osittais- differentiaali- yhtÄlÖtmath.tut.fi/~ruohonen/ody.pdf · 2 i.2 esimerkkejä usein ody:n...
TRANSCRIPT
OSITTAIS-DIFFERENTIAALI-YHTÄLÖT
Keijo Ruohonen
1990
SISÄLTÖLUETTELO
Kirjallisuutta
1 I YLEISTÄ
1 1. Määritelmiä 2 2. Esimerkkejä 5 3. Muuttujien vaihto10 4. (Melkein, kvasi-) lineaaristen ODY:iden ominaisuuksia14 5. Melkein lineaaristen ja kvasilineaaristen ODY:iden luokitte-
lu ja normaalimuodot
26 II ELLIPTISET 2. KERTALUVUN ODY:T
26 1. Reuna-arvotehtävä34 2. Greenin funktio. Hyvin asetettu reuna-arvotehtävä
40 III LAPLACEN YHTÄLÖ
40 1. Yleistä42 2. Esityslause. Keskiarvolause. Maksimi-minimi-periaate. Di-
richlet'n probleeman stabiilisuus48 3. Greenin funktio. Poissonin integraalikaavat53 4. Laplacen yhtälö napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistoissa
59 IV HYPERBOLISET ODY:T
59 1. Yleistä62 2. Karakterististen käyrien menetelmä Cauchyn probleeman
numeerisessa ratkaisussa69 3. 1-ulotteisen aaltoyhtälön Cauchyn probleema76 4. 1-ulotteisen aaltoyhtälön alku-reuna-arvotehtävä
83 V PARABOLISET ODY:T: LÄMPÖYHTÄLÖ
83 1. Lämpöyhtälö89 2. Greenin funktio94 3. Duhamelin periaate98 4. Lämpöyhtälön alkuarvotehtävä99 5. Klassinen lämpöyhtälö
103 VI 1. KERTALUVUN ODY:T
103 1. Kvasilineaarinen 1. kertaluvun kahden muuttujan ODY105 2. Cauchyn probleema kvasilineaariselle kahden muuttujan
ODY:lle109 3. Yleinen kvasilineaarinen 1. kertaluvun ODY110 4. Yleinen 1. kertaluvun kahden muuttujan ODY116 5. Cauchyn probleema yleiselle 1. kertaluvun kahden muuttu-
jan ODY:lle118 6. Yleinen 1. kertaluvun ODY
119 VII 1. KERTALUVUN ODY-RYHMÄT
119 1. Yleistä121 2. Hyperbolinen lineaarinen kahden muuttujan ODY-ryhmä124 3. Yksinkertaiset aaltoratkaisut
126 114 HARJOITUSTEHTÄVÄÄ
Hakemisto
Kirjallisuutta
BITSADZE, A.V.: Equations of Mathematical Physics. Mir Publishers (1980)
DUCHATEAU, P. & ZACHMANN, D.: Applied Partial Differential Equations.Harper & Row (1989)
JOHN, F.: Partial Differential Equations. Springer-Verlag (1986)
MARSDEN, J.E. & TROMBA, A.J.: Vector Calculus. Freeman (1988)
SPIVAK, M.: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry.Vol. V. Publish or Perish (1979)
ZACHMANOGLOU, E.C. & THOE, D.W.: Partial Differential Equations with Ap-plications. Dover (1987)
Esipuhe
Esillä oleva moniste on tarkoitettu TTKK:n kurssin Osittaisdifferenti-aaliyhtälöt kirjalliseksi materiaaliksi. Kurssi käsittelee osittaisdifferen-ti-aaliyhtälöiden klassisen teorian alkeet ja on tarkoitettu lähinnä kenttä-teorian sekä värähtely-, diffuusio- ja kuljetusprobleemoiden mallinnuksentaustaksi. Moniste on tyypiltaan laajennettu luentorunko, joka luennoillatäydennetään esimerkein ja lisäyksin. Itseopiskelijoille suositellaan jon-kin kirjan käyttämistä monisteen ohessa (esim. ZACHMANOGLOU & THOEtai JOHN). Esitystapa on pyritty luomaan sellaiseksi (matriisi- ja vektori-operaatiot, parametrisointi), että symbolisen laskennan ohjelmistot (esim.Maple tai Mathematica) ovat suoraan otettavissa opetuksen tueksi.
1
I YLEISTÄ
I.1 Määritelmiä
Osittaisdifferentiaaliyhtälö (lyhyesti ODY) funktiolle u = u(x1,…,xn) on muo-toa
( 1 ) F(x1,…,xn,u,ux1,…,uxn,ux1x1,ux1x2,…) = 0
oleva yhtälö, missä F on annettu monen muuttujan funktio. F:n muuttuja-paikoille on kirjoitettu riippumattomat muuttujat x1,…,xn, riippuva muut-tuja (tuntematon funktio) u sekä tietty määrä u:n osittaisderivaattoja.Funktio u on ODY:n (1) ratkaisu Än:n alueessa Ω, mikäli (1) toteutuu iden -
titeettinä alueessa Ω, kun siihen sijoitetaan u ja sen osittaisderivaatatomille paikoilleen.
Huom! Funktio F voi olla vakio yhden tai useamman muuttujapaikkansasuhteen. Jotta kyseessä olisi osittaisdifferentiaaliyhtälö, ei F kuitenkaansaa olla vakio kaikkien u:n osittaisderivaattoja vastaavien muuttujapaikko-jen suhteen.
ODY:n (1) kertaluku on korkeimman sellaisen u:n osittaisderivaatan kerta-luku, jota vastaavan muuttujapaikan suhteen F ei ole vakio.
Ellei toisin mainita, oletetaan, että u ja sen osittaisderivaatat ovat jatkuviaalueessa Ω. Jatkossa aluetta Ω ei useinkaan spesifioida. Tällöin tuloksetpätevät ainakin lokaalisesti, ts. tietyn tarkastelupisteen kyllin pienessäympäristössä (Än:ssä), usein myös globaalisesti eli jossain laajemmassaalueessa.
Mikäli (1):ssä F on vektoriarvoinen (merkitään F) ja samoin (ehkä) u(merkitään u), niin saadaan ns. ODY-ryhmä.
ODY (1) on
(A) lineaarinen, jos F on lineaarinen u:ta ja sen osittaisderivaattojavastaavien muuttujapaikkojensa suhteen,
(B) kvasilineaarinen, jos F on lineaarinen korkeinta esiintyvää ker-talukua (eli ODY:n kertalukua) olevia u:n osittaisderivaattoja vas-taavien muuttujapaikkojensa suhteen,
(C) melkein lineaarinen, jos se on kvasilineaarinen ja korkeintaesiintyvää kertalukua olevien u:n osittaisderivaattojen kertoimetF:ssä ovat riippumattomien muuttujien x1,…,xn funktioita,
(D) epälineaarinen, jos se ei ole lineaarinen.
2I.2 Esimerkkejä
Usein ODY:n riippumattomat muuttujat jakautuvat paikkamuuttujiin x1,…,xn (eli x) tai x,y tai x,y,z ja aikamuuttujaan t. Paikkamuuttujien lukumääräon silloin ODY:n ns. dimensio. Paikkamuuttujien osittaisderivaatat puoles-taan esiintyvät usein muodossa
∂2u
∂x21
+˘˘˘+ ∂2u
∂x2n
=merk. ∆u,
missä
∆ = ∂2
∂x21
+˘˘˘+ ∂2
∂x2n
on ns. Laplacen operaattori (derivaattaoperaattori), ja myös divergenssinä
∇ ˘u = ∂u1
∂x1 +˘˘˘+
∂un
∂xn
sekä roottorina
∇ × u =
i j k
∂∂x
∂∂y
∂∂z
u1 u2 u3
←
=
∂u3
∂y -
∂u2
∂z ,
∂u1
∂z -
∂u3
∂x ,
∂u2
∂x -
∂u1
∂y
.
Laplacen yhtälö : ∆u = 0
Kyseessä on lineaarinen 2. kertaluvun ODY. (Aikamuuttujaa ei esiinny lain-kaan.) Ratkaisut u ovat ns. harmonisia funktioita. Kahden muuttujan ta-pauksessa u(x,y):lle saadaan liittofunktio v(x,y) ja ns. Cauchy-Riemanninyhtälöt
ux = vy uy = - vx
toteutuvat (1. kertaluvun ODY-pari). (u,-v) esiintyy usein pyörteettömänkokoonpuristumattoman nesteen virtausnopeuskenttänä tasossa. 3-ulot-teisena Laplacen yhtälö esiintyy voimakenttien (esim. sähköstaattinenkenttä) sekä stationääristen (ei aikamuuttujaa!) virtausten yhteydessä(esim. nestevirta ja lämpövirta).
Aaltoyhtälö : utt = c2∆u (c on positiivinen vakio)
Kyseessä on lineaarinen 2. kertaluvun ODY. Kun merkitään
3
∂2
∂t2 - c2∆ =merk. ∞,
ns. D'Alembert'n operaattori, voidaan aaltoyhtälö kirjoittaa muotoon
∞u = 0.
Aaltoyhtälö esiintyy värähtelyilmiöiden yhteydessä (kielen värähtely, ilma-patsaan värähtely putkessa, nestepinnan aaltoliike, valo, jne.). u on poik-keama tasapainoasemasta.
Maxwellin yhtälöt tyhjössä :
εEt = ∇ × H
µHt = - ∇ × E
∇ ˘E = 0
∇ ˘H = 0
Kyseessä on 1. kertaluvun ODY-ryhmä. Tässä ε ja µ ovat vakioita, E on säh-kökentän voimakkuus ja H on magneettikentän voimakkuus. Riippumat-tomat muuttujat ovat x,y,z ja t. Kukin E:n ja H:n komponenteista toteuttaa
aaltoyhtälön arvolla c = 1
εµ (= valon nopeus tyhjössä).
Aaltoliike kimmoisassa väliaineessa :
ρ ∂2ui
∂t2 = µ∆ui + (λ + µ)
∂∂xi
(∇ ˘u) (i = 1,2,3)
Kyseessä on 2. kertaluvun ODY-ryhmä. Tässä u = (u1,u2,u3) on poikkeamatasapainoasemasta, ρ on tiheys ja λ sekä µ ovat Lamén vakiot. Kukin kom-ponentti ui toteuttaa 4. kertaluvun lineaarisen ODY:n
∂2
∂t2 -
λ + 2µρ
∆
∂2
∂t2 -
µρ ∆ ui = 0.
Stationäärisessä tilassa ut = 0, jolloin kukin ui toteuttaa ns. biharmonisen yhtälön
∆2ui = 0.
Lämpöyhtälö: ut = κ∆u (κ on positiivinen vakio)
Kyseessä on lineaarinen 2. kertaluvun ODY. Lämpöyhtälö kuvaa lämmönjohtumista homogeenisessa väliaineessa. u on lämpötila.
4
Schrödingerin yhtälö : i˛ψt = - ˛2
2m ∆ψ + Vψ
Kyseessä on lineaarinen toisen kertaluvun ODY (h = 2π on Planckin va-kio). Yhtälö kuvaa m-massaisen partikkelin liikettä potentiaalikentässäV(x,y,z) (kvanttimekaaninen malli). Huomaa imaginääriyksikkö i, joka te-kee tuntemattomasta ψ(x,y,z,t) kompleksiarvoisen.
Minimaalipinnan yhtälö : (1 + u2y)uxx - 2uxuyuxy + (1 + u
2x)uyy = 0
Kyseessä on kvasilineaarinen toisen kertaluvun ODY, joka antaa annetunsuljetun avaruuskäyrän rajoittaman alaltaan pienimmän pinnan z = u(x,y)(ns. Plateaun probleema).
Nopeuspotentiaalin yhtälö :
(1 - 1c2 φ
2x)φxx -
2c2 φxφyφxy + (1 -
1c2 φ
2y)φyy = 0
Kyseessä on kvasilineaarinen toisen kertaluvun ODY, missä c on tunnettu
ratanopeuden φ2x + φ
2y funktio. Yhtälö mallintaa (kaasun) stationääristä
adiabaattista pyörteetöntä isentrooppista virtausta tasossa.
Navier-Stokesin yhtälöt :
∂ui
∂t + ∑
k=1
3
∂ui
∂xk uk = -
1ρ
∂p
∂xi + γ∆ui (i = 1,2,3)
∑k=1
3
∂uk
∂xk = 0
Kyseessä on toisen kertaluvun ODY-ryhmä. Tässä ρ on vakiotiheys, γ on ki-nemaattinen viskositeetti ja p(x1,x2,x3,t) on paine. Yhtälö mallintaa ko-koonpuristumattoman nesteen viskoosia virtausta.
Korteweg- de Vriesin yhtälö : ut + cuux + uxxx = 0
Kyseessä on kolmannen kertaluvun melkein lineaarinen ODY. c on vakio.Yhtälö mallintaa mm. veden pintaa virtauksessa matalassa uomassa (mata-lan veden yhtälö).
5I.3 Muuttujien vaihto
Vaihdettaessa riippumattomat muuttujat x = (x1,…,xn) uusiin riippumat-tomiin muuttujiin ξ = (ξ1,…,ξn)* annetaan uudet muuttujat vanhojen avullalausuttuna:
ξ1 = φ1(x1,…,xn)
ξ2 = φ2(x1,…,xn) . . .ξn = φn(x1,…,xn)
eli ξ = φ (x ) .
Tarkastelualueessa on vastaavuuden oltava kääntäen yksikäsitteinen, ts.käänteisfunktio φ -1( ξ ) = x on olemassa (usein annetaankin φ -1 eikä φ ). Yh-
teyden vanhojen ja uusien muuttujien välillä (eli funktion φ ) on oltava kyl-lin monta kertaa jatkuvasti derivoituva, jotta ODY voitaisiin lausua myös uu-sien muuttujien avulla. Lokaalisesti, ts. tietyn Än:n pisteen x0 ympäristös-sä, käänteisfunktion olemassaolo seuraa siitä, että φ :n Jacobin matriisi
∂φ1
∂x1
∂φ1
∂x2 . . .
∂φ1
∂xn
∂φ2
∂x1
∂φ2
∂x2 . . .
∂φ2
∂xn...
.
.
.
.
.
.
∂φn
∂x1
∂φn
∂x2 . . .
∂φn
∂xn
=merk. ∂φ∂x
= ∂ξ ∂x
= φ
x = ξ x
on ei-singuläärinen pisteessä x0, ts. Jacobin determinantti
∂φ1
∂x1
∂φ1
∂x2 . . .
∂φ1
∂xn
∂φ2
∂x1
∂φ2
∂x2 . . .
∂φ2
∂xn...
.
.
.
.
.
.
∂φn
∂x1
∂φn
∂x2 . . .
∂φn
∂xn
=merk. D φ (x0) ≠ 0.
(Ks. peruskurssilta ns. Käänteisfunktiolause.)
* Typografisista syistä kreikkalaisin kirjaimin merkityt vektorit ja matriisit ero-
tetaan alleviivauksella eikä lihavoinnilla kuten roomalaisin kirjaimin merkityt.
6Muuttujien vaihdon jälkeen tuntematon funktio u(x) muuntuu muuttujien ξ funktioksi, jota merkitään u( ξ ):llä*.
Ketjusäännön (ks. peruskurssi) avulla u:n osittaisderivaatta xi:n suhteensaadaan lausuttua muuttujien ξ suhteen muodostettujen u:n osittaisderi-vaattojen avulla seuraavasti:
∂u∂xi
= ∂u∂ξ1
∂φ1
∂xi +
∂u∂ξ2
∂φ2
∂xi +˘˘˘+
∂u∂ξn
∂φn
∂xi ,
matriisimuodossa
∂u
∂x1, … ,
∂u∂xn
=
∂u
∂ξ1, … ,
∂u∂ξn
∂φ∂x
eli
∂u∂x
= ∂u
∂ ξ
∂φ∂x
.
Huomaa, että ∂u
∂x = ux ja
∂u∂ ξ
= u ξ ovat itse asiassa u:n Jacobin matriiseja,
joihin on koottu kaikki u:n ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat. Lo-kaalisesti ajatellen, jos D φ (x0) ≠ 0 jossain pisteessä x0, niin D φ (x ) ≠ 0 myösjossain x0:n ympäristössä (osittaisderivaattojen jatkuvuudesta johtuen) ja
yo. yhtälöstä voidaan ratkaista ∂u∂ ξ
, kun ∂u∂x
tunnetaan, sillä sen deter-
minantti on D φ (x). Tästä syystä vaihto onkin pätevä vain pisteissä, joissaD φ (x) ≠ 0.
Tuntematon funktio u on skalaariarvoinen ja sen 1. kertaluvun osittaisde-
rivaattojen voidaan ajatella muodostavan (vaaka)vektorit ∂u∂x
ja ∂u∂ ξ
.
Vastaa-vasti u:n toisen kertaluvun osittaisderivaatat voidaan puolestaan aja-tella matriisiksi, ns. u:n Hessen matriisiksi:
* Merkintä on epätäsmällinen. Funktio u( ξ ) tarkoittaa siis itse asiassa funktiota
u( φ -1( ξ )). Merkinnällä halutaan ilmaista, että tuntematonta funktiota ei ole vaih-dettu, vain sen muuttujat. Yleensäkin riippumattomien muuttujien vaihdon yh-teydessä voidaan u ja sen osittaisderivaatat sekä muuttujien x että muuttujien ξ suhteen ajatella yhtä hyvin muuttujien x kuin muuttujien ξ funktioiksi, tilantees-ta riippuen.
7
∂2u
∂x21
∂2u
∂x1∂x2 . . .
∂2u
∂x1∂xn
∂2u
∂x2∂x1
∂2u
∂x22
. . . ∂2u
∂x2∂xn...
.
.
.
.
.
.
∂2u
∂xn∂x1
∂2u
∂xn∂x2 . . .
∂2u
∂x2n
=merk. ∂2u
∂x2 = uxx.
Vastaavasti muuttujille ξ saadaan oma Hessen matriisinsa:
∂2u
∂ξ21
∂2u
∂ξ1∂ξ2 . . .
∂2u
∂ξ1∂ξn
∂2u
∂ξ2∂ξ1
∂2u
∂ξ22
. . . ∂2u
∂ξ2∂ξn...
.
.
.
.
.
.
∂2u
∂ξn∂ξ1
∂2u
∂ξn∂ξ2 . . .
∂2u
∂ξ2n
=merk. ∂2u
∂ ξ 2 = u ξ ξ .
Koska funktion u esiintyvien osittaisderivaattojen oletetaan olevan jatkuvia,ei derivointijärjestys sekaderivaatoissa vaikuta (Sekaderivaattalause, ks.peruskursseista), ts.
∂2u
∂xi∂xj =
∂2u
∂xj∂xi ja
∂2u
∂ξ i∂ξ j =
∂2u
∂ξ j∂ξ i .
Näin ollen Hessen matriisi on symmetrinen ja sisältää sekaderivaatat
“kahteen kertaan”. Lasketaan ketjusäännön avulla ∂2u
∂x2 :n alkiot lausuttu-
na muuttujien ξ suhteen otettujen u:n osittaisderivaattojen avulla:
∂2u
∂xi∂xj =
∂∂xi
∂u∂xj
=KS
∂
∂xi
∑k=1
n
∂u∂ξk
∂φk
∂xj
= ∑k=1
n
∂∂xi
∂u∂ξk
∂φk
∂xj + ∑
k=1
n
∂u∂ξk
∂2φk
∂xi∂xj
8
=KS
∑k=1
n
∑t=1
n
∂2u
∂ξt∂ξk
∂φt
∂xi ∂φk
∂xj + ∑
k=1
n
∂u∂ξk
∂2φk
∂xi∂xj
= ∑k=1
n ∑
t=1
n
∂2u
∂ξt∂ξk
∂φt
∂xi ∂φk
∂xj + ∑
k=1
n
∂u∂ξk
∂2φk
∂xi∂xj
= ∂φ∂xi
∂2u
∂ ξ
2
∂φ∂xj
T + ∑
k=1
n
∂u∂ξk
∂2φk
∂xi∂xj ,
matriisimuodossa
∂2u
∂x2 =
∂φ
∂xT ∂2u
∂ ξ
2 ∂φ∂x
+ ∑k=1
n
∂u∂ξk
∂2φk
∂x2 . *
Vastaavasti saataisiin kaavat kolmannen ja korkeamman kertaluvun osit-taisderivaatoille, mutta ne ovat melko mutkikkaita.
Riippumattomien muuttujien vaihto ODY:ssä käy seuraavasti:
( 1 ) Lasketaan esiintyvät u:n osittaisderivaatat muuttujien x suhteenyo. kaavoista ja sijoitetaan ne paikoilleen ODY:ön. Esiintyvätu:n osittaisderivaatat ovat nyt muuttujien ξ suhteen muodostet-tuja.
( 2 ) Muualla kuin u:ssa ja sen osittaisderivaatoissa esiintyvät muut-tujat ovat vielä muuttujia x. Vaihdetaan niiden tilalle muuttujatξ käyttäen kaavaa x = φ -1( ξ ). Tätä varten pitää siis ratkaista x
lausuttuna ξ :n avulla, mutta usein vähempikin riittää.
Usein esiintyvä muuttujien vaihto on lineaarimuunnos, esimerkiksi rotaa-tio, skaalaus, peilaus, jne.. Tällöin ξ T = φ (x)T = CxT, missä C on annettu ei-
singuläärinen n×n-matriisi, ja Jacobin matriisi on ∂φ∂x
= C.
Toinen ODY:ihin liittyvä muunnos on riippuvan muuttujan vaihto. Riippuvamuuttuja u vaihdetaan uudeksi riippuvaksi muuttujaksi v yhtälöllä
u = G(x,v),
* Jos kiinnostaa, niin sama johto (ja tulos) vektoraalisena:
∂∂xi
∂u∂x =
∂∂xi
∂u∂ ξ
∂φ∂x +
∂u∂ ξ
∂∂xi
∂φ∂x =
∑j=1
n
∂
∂ξj
∂u∂ ξ
∂φj∂xi
∂φ∂x +
∂u∂ ξ
∂∂xi
∂φ∂x
= ∂φ∂xi
∂2u∂ ξ
2
∂φ∂x +
∂u∂ ξ
∂∂xi
∂φ∂x
9missä G on annettu n + 1:n muuttujan funktio. G:n pitää olla lisäksi kyllinmonta kertaa jatkuvasti derivoituva. Edelleen yhtälön u = G(x,v) pitää sitoau ja v kääntäen yksikäsitteisesti toisiinsa, ts. vaihto on pätevä vain pis-
teissä, joissa ∂G
∂v ≠ 0. (Usein annetaankin v lausuttuna u:n avulla yhtälöllä
v = H(x,u) ja oletetaan, että ∂H
∂u ≠ 0.) Lasketaan ketjusäännön avulla u:n
osittaisderivaatat v:n ja sen osittaisderivaattojen avulla lausuttuna. Tällöinkäytetään sitä tietoa, että yhtälö u(x) = G(x,v(x)) pätee identtisesti ja de-rivoidaan yhtälöä puolittain ketjusääntöä käyttäen. Saadaan
∂u∂xi
= Gxi + Gv ∂v
∂xi *
ja edelleen
∂2u
∂xi∂xj =
∂∂xi
∂u∂xj
= ∂
∂xi
Gxj + Gv
∂v
∂xj
=KS
Gxixj + Gvxj ∂v
∂xi +
Gxiv +Gvv
∂v
∂xi ∂v
∂xj + Gv
∂2v
∂xi∂xj
= Gxixj + Gvxj ∂v
∂xi + Gxiv
∂v
∂xj + Gvv
∂v
∂xi ∂v
∂xj + Gv
∂2v
∂xi∂xj . *
(Huomaa, miten yhtälöistä näkyy, että pitää olla Gv ≠ 0, jotta v:n osittais-derivaatat määräytyisivät u:n osittaisderivaatoista!) Korkeamman kertalu-vun osittaisderivaattojen lausekkeet ovat samalla tavoin laskettavissa, mut-ta melko mutkikkaita.
Itse riippuvan muuttujan vaihto tarkoittaa sitä, että u:n paikalle kirjoite-taan G(x,v) ja sen osittaisderivaattojen paikalle yo. lausekkeet.
Huom! Kuten yo. kaavoista näkyy, riippumattomien tai riippuvien muuttu-jien vaihto ei voi nostaa ODY:n kertalukua.
* Asiasta kiinnostuneille taas matriisimuodossa:
∂u∂x =
∂G∂x + Gv
∂v∂x
∂2u∂x2 =
∂2G∂x2 +
∂v
∂xT
∂Gv∂x +
∂Gv
∂xT
∂v∂x + Gvv
∂v
∂xT
∂v∂x + Gv
∂2v∂x2
10
I.4 (Melkein, kvasi-) lineaaristen ODY:iden ominaisuuksia
Yleinen 2. kertaluvun lineaarinen ODY on muotoa
∑i=1
n ∑
j=1
n aij(x)
∂2u
∂xi∂xj + ∑
i=1
n bi(x)
∂u∂xi
+ c(x)u = d(x),
missä kerroinfunktiot aij(x), bi(x) ja c(x) sekä pakkofunktio d(x) ovat an-nettuja. Jos pakkofunktio on nollafunktio, kutsutaan ODY:ä homogeenisek-si, muuten epähomogeeniseksi.
Lineaarisen ODY:n osa
∑i=1
n ∑j=1
n aij(x)
∂2u
∂xi∂xj
on sen ns. pääosa ja matriisi
a11(x) . . . a1n(x)
. .
. .
. .an1(x) . . . ann(x)
=merk. A(x)
on ns. pääosan kerroinmatriisi. Koska ∂2u
∂xi∂xj =
∂2u
∂xj∂xi , voidaan A(x) olettaa
symmetriseksi , ts. aij(x) = aji(x). Ellei näin ole, korvataan aij(x) ja aji(x)
kumpikin 12 (aij(x) + aji(x)) :llä. Kun vielä merkitään b(x) = (b1(x),…,
bn(x)), voidaan ODY kirjoittaa matriisimuotoon
trace
A(x)
∂2u
∂x2 + b(x)
∂u∂x
T + c(x)u = d(x). *
Huom! Jotta ODY olisi toista kertalukua, ei A(x) saa olla nollamatriisi.
* Matriisin trace eli jälki on sen lävistäjäalkioiden summa. Seuraavat tracen omi-
naisuudet ovat helposti todettavissa:
(i) trace(A+B ) = trace(A ) + trace(B ), (ii) trace(AT) = trace(A ),(iii) trace(cA ) = c trace(A ), kun c on vakio, (iv) trace(AB ) = trace(BA ),
(v) trace(ABT) = ∑i=1
n ∑
j=1
n aijbij , kun A = (aij ) ja B = (bij ).
Hieman hankalampi on todistaa, että matriisin jälki on sen ominaisarvojen summa.
11
Usein otetaan merkinnällisesti käyttöön lineaarinen operaattori
∑i=1
n ∑
j=1
n aij(x)
∂2
∂xi∂xj + ∑
i=1
n bi(x)
∂∂xi
+ c(x) =merk. L *
ja kirjoitetaan ODY operaattorimuotoon
Lu = d(x).
Vastaavalla tavalla voitaisiin kirjoittaa yleinen miten tahansa korkean ker-taluvun lineaarinen ODY operaattorimuotoon. Ilmeisesti operaattori L ontodella lineaarinen, ts.
L(u + v) = Lu + Lvja
L(Cu) = CLu,
kun C on vakio. Erityisesti homogeenisen lineaarisen ODY:n ratkaisujen u1,…,um lineaarikombinaatio C1u1 +˘˘˘+ Cmum on aina myös sen ratkaisu (ns. superpositioperiaate).
Lineaarista ODY:ä Lu = d(x) vastaava homogeeninen ODY on ODY Lu = 0.Lineaarisen ODY:n kahden ratkaisun u1 ja u2 erotus on aina vastaavan homogeenisen ODY:n ratkaisu , sillä
L(u1 - u2 ) = Lu1 - Lu2 = d(x) - d(x) = 0.
Lineaarinen ODY on vakiokertoiminen, jos sen kerroinfunktiot ovat vakio-funktioita. Esimerkiksi Laplacen yhtälö, aaltoyhtälö ja lämpöyhtälö ovatvakiokertoimisia (ja homogeenisia).
Katsotaan seuraavaksi miten lineaarinen ODY muuntuu riippumattomienmuuttujien vaihdossa. Lasketaan ensin pääosa:
trace
A(x)
∂2u
∂x2 = trace
A(x)
∂φ
∂xT ∂2u
∂ ξ
2 ∂φ∂ x
+ ∑
k=1
n
∂u∂ξk
∂2φk
∂x2
= trace
A(x)
∂φ
∂xT ∂2u
∂ ξ
2 ∂φ∂x
+ ∑k=1
n
∂u∂ξk
trace
A(x)
∂2φk
∂x2
= trace
∂φ∂x
A(x)
∂φ
∂xT ∂2u
∂ ξ
2 + ∑k=1
n trace
A(x)
∂2φk
∂x2 ∂u∂ξk
.
* Matriisimuodossa L = trace( )A(x)∇ T∇ + b(x)∇ T + c(x), missä ∇ =
∂
∂x1 ,…,
∂∂xn
on
tuttu nablaoperaattori ja ∇ T∇ = ∂2
∂x2 on ns. Hessen operaattori.
12
Uuden pääosan kerroinmatriisi on siis
∂φ∂x
A(x)
∂φ
∂xT =merk. P(x)
ja sen alkiot ovat muotoa
pij(x) = ∂φi
∂x A(x)
∂φj
∂xT .
Huomaa erityisesti, että jos A(x) ei ole nollamatriisi, ei sitä ole myöskäänP(x), ts. kertaluku ei alene. Edelleen
b(x)
∂u
∂xT = b(x)
∂φ
∂xT
∂u
∂ ξ T
.
Näin ollen uusi ODY on
trace
P ( ξ )
∂2u
∂ ξ 2 + q( ξ )
∂u∂ ξ
T + c( ξ )u = d( ξ ), *
missä q( ξ ) = (q1( ξ ),…,qn( ξ )) ja
qi( ξ ) = trace
A( ξ )
∂2φi
∂x2 + b( ξ )
∂φi
∂xT .
Sekin on siis lineaarinen. Saadaan
LAUSE 1. Riippumattomien muuttujien vaihto säilyttää ensimmäisen jatoisen kertaluvun lineaarisen ODY:n lineaarisuuden ja kertaluvun.
Huom! Vastaava tulos pätee korkeammankin kertaluvun lineaarisilleODY:ille, mutta on työläämpi todistaa. Sen sijaan riippuvan muuttujanvaihto ei säilytä edes ensimmäisen kertaluvun ODY:n lineaarisuutta, kutenedellisen pykälän kaavoista nähdään.
Yleinen toisen kertaluvun melkein lineaarinen ODY on muotoa
trace
A(x)
∂2u
∂x2 = d(x,u,ux),
* Muista, että esim. c( ξ ) tarkoittaa funktiota, joka saadaan c(x):stä vaihtamalla
muuttujiksi ξ eli itse asiassa funktiota c( φ -1( ξ )), ja samoin kaikki muutkin esiin-tyvät funktiot!
13
missä d on annettu riippumattomien muuttujien, riippuvan muuttujan jasen ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaattojen funktio. Pääosa ja senkerroinmatriisi määritellään kuten edellä.
Riippumattomien muuttujien vaihto melkein lineaarisessa toisen kerta-luvun ODY:ssä johtaa ODY:ön
trace
P ( ξ )
∂2u
∂ ξ 2 = e( ξ ,u,u ξ ) ,
missä P( ξ ) saadaan kuten edellä. Tuloksena on siis jälleen toisen kertalu-vun melkein lineaarinen ODY. Saadaan
LAUSE 2. Riippumattomien muuttujien vaihto säilyttää ensimmäisen jatoisen kertaluvun melkein lineaarisen ODY:n melkein lineaarisuuden jakertaluvun.
Huom! Jälleen sama tulos pätee myös korkeamman kertaluvun melkeinlineaarisille ODY:ille. Myös riippuvan muuttujan vaihto säilyttää ODY:nmelkein lineaarisuuden, kunhan jaetaan puolittain Gv:llä (≠ 0).
Yleinen toisen kertaluvun kvasilineaarinen ODY on muotoa
trace
A(x,u,ux)
∂2u
∂x2 = d(x,u,ux),
missä d on annettu riippumattomien muuttujien, riippuvan muuttujan jasen ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaattojen funktio. Pääosan ker-roinmatriisi A(x,u,ux) on samoin paitsi riippumattomien muuttujien myösriippuvan muuttujan ja sen ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatojenfunktio.
Riippumattomien muuttujien vaihdon jälkeen uusi pääosan kerroinmat-riisi on
∂φ∂x
A(x,u,ux)
∂φ
∂xT =merk. P( ξ
,u,u ξ )
ja saadaan ODY
trace
P ( ξ ,u,u ξ )
∂2u
∂ ξ 2 = e( ξ ,u,u ξ ).
*
* Huomaa, että matriisissa A(x,u,ux ) on myös u:n osittaisderivaatat x:n suhteen kor-
vattava muunnetuilla lausekkeillaan ux = u ξ ∂φ∂x .
14
Toisaalta riippuvan muuttujan vaihdon jälkeen uusi pääosan kerroinmatrii- si on
GvA(x,G(x,v),Gx+Gvvx) =merk. P(x,v,vx).
(Huomaa taas erityisesti, että jos A(x,u,ux) ei ole nollamatriisi, ei sitä olemyöskään P(x,v,vx), sillä Gv ≠ 0.) Saatu ODY on näin ollen tällöin muotoa
trace
P(x,v,vx)
∂2v
∂x2 = e(x,v,vx)
eli kvasilineaarinen. Siis
LAUSE 3. Riippumattomien muuttujien vaihto ja samoin riippuvan muut-tujan vaihto säilyttää ensimmäisen ja toisen kertaluvun kvasilineaarisenODY:n kvasilineaarisuuden ja kertaluvun.
Huom! Jälleen sama tulos pätee myös korkeamman kertaluvun melkeinlineaarisille ODY:ille.
I.5 Melkein lineaaristen ja kvasilineaaristen 2. kertaluvun ODY:iden luokittelu ja normaalimuodot
Melkein lineaarisen ODY:n
trace
A(x)
∂2u
∂x2 = d(x,u,ux)
luokittelu pisteessä x on seuraava:
(1) ODY on parabolinen pisteessä x, jos A(x) on singuläärinen, ts.det(A(x)) = 0 eli A(x):llä on ominaisarvona 0;
(2) ODY on elliptinen pisteessä x, jos A(x):n ominaisarvot ovat jokokaikki positiivisia tai kaikki negatiivisia;
(3) ODY on hyperbolinen pisteessä x, jos A(x):n ominaisarvoista yksion negatiivinen muiden ollessa positiivisia tai yksi on positiivinenmuiden ollessa negatiivisia;
(4) ODY on ultrahyperbolinen pisteessä x, jos A(x) on ei-singulääri-nen ja sen ominaisarvoista ainakin kaksi on negatiivisia ja ainakinkaksi positiivisia.
15
(Huomaa. että muita mahdollisuuksia ei ole, koska symmetrisen matriisinominaisarvot ovat reaalisia (peruskurssi).)
ODY on parabolinen (vast. elliptinen, hyperbolinen, ultrahyperbolinen) alu-eessa Ω, jos se on parabolinen (vast. elliptinen, hyperbolinen, ultrahyper-
bolinen) alueen Ω jokaisessa pisteessä x. Än:n eri osissa ODY voi hyvinkinolla eri tyyppiä.
Tapauksessa (2) A(x) on joko positiividefiniitti (ominaisarvot positiivisia)eli yA(x)yT > 0 aina kun y ∈ Än - 0, tai sitten negatiividefiniitti (ominais-
arvot negatiivisia) eli yA(x)yT < 0 aina kun y ∈ Än - 0 . (Ks. peruskurs-seilta.)
Tapauksissa (3) ja (4) A(x) on ei-singuläärinen ja indefiniitti, ts. yA(x)yT
saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, kun y ∈ Än - 0.
LAUSE 4. Melkein lineaarisen ODY:n tyyppi säilyy riippumattomien muut-tujien vaihdossa.
Todistus . (1) Jos A(x) on singuläärinen, niin samoin on
∂φ∂x
A(x)
∂φ
∂xT = P(x).
Näin ollen parabolisuus säilyy riippumattomien muuttujien vaihdossa.
(2) Jos A(x) on ei-singuläärinen, niin samoin on
∂φ∂x
A(x)
∂φ
∂xT = P(x),
mikäli ∂φ∂x
on ei-singuläärinen (kuten oletetaan). Toisaalta, jos A(x) on
positiividefiniitti (vast. negatiividefiniitti), niin samoin on P(x), sillä
yP(x)yT = y ∂φ∂x
A(x)
∂φ
∂xT yT =
y
∂φ ∂x
A(x)
y
∂φ ∂x
T > 0 (vast. < 0),
kun y ∈ Än - 0 (huomaa, että tällöin myös y ∂φ∂x
∈ Än - 0 , sillä ∂φ ∂x
on
ei-singuläärinen).
(3,4) Kuten edellisessä kohdassa todettiin, P (x) on ei-singuläärinen, josA(x) on sitä. Jos A(x) on indefiniitti, niin on sellaiset vektorit y1 ∈ Än - 0
ja y2 ∈ Än - 0, että y1A(x)yT1 > 0 ja y2A(x)y
T2 < 0. Silloin
16
y1A(x)yT1 =
y1
∂φ
∂x-1
∂φ ∂x
A(x)
∂φ
∂xT
y1
∂φ
∂x-1 T
> 0
ja
y2A(x)yT2 =
y2
∂φ
∂x-1
∂φ ∂x
A(x)
∂φ
∂xT
y2
∂φ
∂x-1 T
< 0,
joten myös P(x) = ∂φ∂x
A(x)
∂φ
∂xT on indefiniitti (huomaa, että y1
∂φ
∂x-1
≠
0 ja y2
∂φ
∂x-1
≠ 0). Näin on todettu, että jos ODY on hyperbolinen tai
ultrahyperbolinen, niin se on sitä myös riippumattomien muuttujienvaihdon jälkeen. Auki jää, voiko esimerkiksi hyperbolinen ODY muuttuaultrahyperboliseksi riippumattomien muuttujien vaihdossa. Voidaan todis-taa, että näin ei käy, ts. hyperbolisuus ja ultrahyperbolisuus säilyvät riip-pumattomien muuttujien vaihdossa (tämä vaatii ns. Sylvesterin inertialain,jota tässä ei todisteta)*.
Melkein lineaarinen ODY on ns. kanonisessa muodossa, jos sen pääosankerroinmatriisi on lävistäjämatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat lukuja 0, 1 ja-1. Esimerkiksi Laplacen yhtälö ja lämpöyhtälö ovat kanonisessa muodos-sa.
LAUSE 5. Melkein lineaarinen ODY, jonka pääosa on vakiokertoiminen ,voidaan aina muuntaa kanoniseen muotoon lineaarisella riippumattomienmuuttujien vaihdolla.
Todistus . Tarkastellaan melkein lineaarista ODY:ä, jonka pääosa on
trace
A
∂2u
∂x2 ,
missä A on symmetrinen vakiomatriisi. Silloin** on olemassa sellainen or-togonaalinen matriisi Q, että A = QT Λ Q , missä Λ on lävistäjämatriisi, jon-
ka lävistäjäalkiot λ1,…,λn ovat A:n ominaisarvot jossain järjestyksessä, ku-kin kertalukunsa osoittaman määrän kertoja. (Ominaisarvot ovat reaaliset,koska A on symmetrinen.) Valitaan sitten lävistäjämatriisin Σ lävistäjäal-
kiot σ1,…,σn seuraavasti:
* Sylvesterin inertialaki sanoo, että jos A on symmetrinen matriisi ja C on ei-sin-
guläärinen matriisi, niin A:lla ja CACT:llä on yhtä monta positiivista, negatiivis-ta ja nollaominaisarvoa. Inertialain todistus ei oikein suju helposti peruskurs-sien pohjalta.
** Schurin lause, ks. peruskurssit.
17
σi =
1
|λi| , jos λ i ≠ 0
1, jos λ i = 0.
Silloin Σ QAQT Σ = ( Σ Q )A ( Σ Q )T =merk. P on lävistäjämatriisi, jonka lävistä-jäalkiot p1,…,pn ovat seuraavat:
pi =
λ i
|λi| , jos λ i ≠ 0
0, jos λ i = 0.
Valitaan nyt lineaarinen riippumattomien muuttujien vaihto ξ T = ( Σ Q)xT,
jonka Jacobin matriisi on Σ Q. Tuloksena on kanonisessa muodossa olevamelkein lineaarinen ODY, jonka pääosan kerroinmatriisi on P.
Yleistä melkein lineaarista ODY:ä ei voida saattaa kanoniseen muotoon riippumattomien muuttujien vaihdolla , ei edes lokaalisesti . Sen sijaan melkein lineaarinen ODY voidaan saattaa yhdessä pisteessä x0 kanoniseen muotoonsa lineaarisella riippumattomien muuttujien vaihdolla aivan kutenyllä (eli ikäänkuin pääosan kerroinmatriisi olisi vakiomatriisi A(x0)).
Poikkeuksena yllä mainitusta on kahden muuttujan tapaus: Kahden muut -tujan melkein lineaarinen ODY voidaan melko yleisesti saattaa lokaalisestikanoniseen muotoonsa riippumattomien muuttujien vaihdolla .
Katsotaan miten tämä tapahtuu. Merkitään (tavan mukaan) riippumatto-mia muuttujia x = (x,y) ja pääosan kerroinmatriisia
A(x,y) =
a(x,y) b(x,y)
b(x,y) c(x,y) .
Silloindet(A(x,y)) = a(x,y)c(x,y) - b(x,y)2 =merk. D(x,y)
on A(x,y):n ominaisarvojen tulo ja ODY:n luokittelu voidaan tehdä D(x,y):navulla seuraavasti:
(1) ODY on parabolinen , jos D(x,y) = 0 (ts. jos ainakin toinen omi-naisarvoista on nolla);
(2) ODY on elliptinen , jos D(x,y) > 0 (ts. jos ominaisarvot ovat nol-lasta eroavia ja samanmerkkisiä);
(3) ODY on hyperbolinen , jos D(x,y) < 0 (ts. jos ominaisarvot ovatnollasta eroavia ja erimerkkisiä).
(Ultrahyperbolinen tapaus ei voi esiintyä.)
18
Merkitään riippumattomien muuttujien vaihdossa ξ = (ξ ,η ) ja φ (x,y) =
(ϕ(x,y),ψ(x,y)), jolloin Jacobin matriisi on
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y) =
∂ϕ
∂x
∂ϕ∂y
∂ψ∂x
∂ψ∂y
.
Vaihdon jälkeen uuden pääosan kerroinmatriisi on ∂(ϕ,ψ)
∂(x,y) A(x,y)
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y)
T
= P(x,y) ja sen determinantti on
det
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y) A(x,y)
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y)
T =
det
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y)
2 D(x,y) =merk. E(x,y).
(Josta muuten välittömästi näkyy, että tyyppi säilyy riippumattomienmuuttujien vaihdossa.)
Lasketaan uusi pääosa, ts. trace
P(x,y)
∂2u
∂(x,y)2 . Menisi käsipelilläkin,
mutta käytetään symbolisen laskennan ohjelmistoa Maple. SyötetäänA(x,y) sekä φ (x,y) ja muodostetaan viimemainitun Jacobin matriisi:
J:=jacobian([ksii,eeta],[x,y]); J := array ( 1 .. 2, 1 .. 2,
d d [---- f(x, y), ---- f(x, y)] dx dy
d d [---- p(x, y), ---- p(x, y)] dx dy
)> A:=array([[a(x,y),b(x,y)],[b(x,y),c(x,y)]]); A := array ( 1 .. 2, 1 .. 2,
[a(x, y), b(x, y)]
[b(x, y), c(x, y)])
Sen jälkeen voidaan muodostaa uusi pääosa käyttäen matriisioperaatioita.Tulos on:
2 d 2 d a(x, y) (---- f(x, y)) (------- u(ksi, eta)) dx 2 dksi
19
2 d d d + 2 (---- f(x, y)) b(x, y) (---- f(x, y)) (------- u(ksi, eta)) dx dy 2 dksi
2 d 2 d + c(x, y) (---- f(x, y)) (------- u(ksi, eta)) dy 2 dksi
2 d d d + (---- f(x, y)) a(x, y) (---- p(x, y)) (----------- u(ksi, eta)) dx dx deta dksi 2 d d d + (---- f(x, y)) b(x, y) (---- p(x, y)) (----------- u(ksi, eta)) dx dy deta dksi
2 d d d + (---- f(x, y)) b(x, y) (---- p(x, y)) (----------- u(ksi, eta)) dy dx deta dksi
2 d d d + (---- f(x, y)) c(x, y) (---- p(x, y)) (----------- u(ksi, eta)) dy dy deta dksi
2 d d d + (---- f(x, y)) a(x, y) (---- p(x, y)) (----------- u(ksi, eta)) dx dx dksi deta
2 d d d + (---- f(x, y)) b(x, y) (---- p(x, y)) (----------- u(ksi, eta)) dx dy dksi deta
2 d d d + (---- f(x, y)) b(x, y) (---- p(x, y)) (----------- u(ksi, eta)) dy dx dksi deta
2 d d d + (---- f(x, y)) c(x, y) (---- p(x, y)) (----------- u(ksi, eta)) dy dy dksi deta
2 d 2 d + a(x, y) (---- p(x, y)) (------- u(ksi, eta)) dx 2 deta
2 d d d + 2 (---- p(x, y)) b(x, y) (---- p(x, y)) (------- u(ksi, eta)) dx dy 2 deta
20
2 d 2 d + c(x, y) (---- p(x, y)) (------- u(ksi, eta)) dy 2 deta
Näyttää mutkikkaalta, mutta ei ole sitä. Uudessa pääosassa siis
(i) uξξ :n kerroin on a(x,y)ϕ2x + 2b(x,y)ϕxϕy + c(x,y)ϕ
2y =merk. p(x,y),
(ii) uξη:n kerroin on 2(a(x,y)ϕxψx + b(x,y)(ϕxψy + ϕyψx) + c(x,y)ϕyψy)=merk. 2q(x,y) ja
(iii) uηη:n kerroin on a(x,y)ψ2x + 2b(x,y)ψxψy + c(x,y)ψ
2y =merk.
r(x,y).
Tarkastellaan asiaa erään pisteen (x0,y0) (kyllin pienessä) ympäristössä ja
vaaditaan, että ko. pisteessä det
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y) ≠ 0, jolloin jatkuvuudesta johtu-
en det
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y) ≠ 0 myös ko. ympäristössä. Katsotaan eri tapauksia:
Hyperbolinen tapaus :
Saatetaan ensin ODY ns. ensimmäiseen normaalimuotoonsa, ts. muotoon
uξη = e(ξ,η,u,uξ,uη),
jonka pääosan kerroinmatriisi on
0
12
12 0
. Tästä päästään ns. toiseen
normaalimuotoon
uξξ - uηη = e(ξ,η,u,uξ,uη)
45° rotaatiolla + skaalauksella (lineaarinen riippumattomien muuttujien
vaihto), jonka matriisi on
1 1
-1 1 , sillä
1 1
-1 1
0
12
12 0
1 -1
1 1 =
1 0
0 -1 .
Toinen normaalimuoto on siis samalla kanoninen muoto, ensimmäinen ei.
21
Riittää saada ODY ensimmäiseen normaalimuotoonsa. Tämä tapahtuu seu-raavasti. Ilmeisesti ϕ(x,y) ja ψ(x,y) on valittava siten, että
p(x,y) = a(x,y)ϕ2x + 2b(x,y)ϕxϕy + c(x,y)ϕ
2y = 0
ja
r(x,y) = a(x,y)ψ2x + 2b(x,y)ψxψy + c(x,y)ψ
2y = 0.
Joudumme olettamaan, että joko a(x,y) ≠ 0 tai c(x,y) ≠ 0 tarkasteltavassa(x0,y0):n ympäristössä ja erityisesti pisteessä (x0,y0) itsessään. Symmet-riasyistä katsotaan vain tapaus, jossa a(x,y) ≠ 0 (toinen menee aivan analo-gisesti).
Itse asiassa tämä oletus ei ole ollenkaan vaativa: ODY voidaan nimittäinsaattaa lineaarisella riippumattomien muuttujien vaihdolla kanoniseenmuotoonsa pisteessä (x0,y0), jolloin toinen luvuista a(x0,y0) ja c(x0,y0) on 1ja toinen -1 ja siis molemmat ≠ 0. Jos nyt esimerkiksi a(x,y) on jatkuvapisteessä (x0,y0), niin se on ≠ 0 myös jossakin ko. pisteen ympäristössä(ts. lokaalisesti).
Yo. yhtälöiden vasemmat puolet voidaan kirjoittaa muotoon
p(x,y) = a(x,y)(ϕx - m1(x,y)ϕy)(ϕx - m2(x,y)ϕy)ja
r(x,y) = a(x,y)(ψx - m1(x,y)ψy)(ψx - m2(x,y)ψy),
missä
m1(x,y) = - b(x,y) + b(x,y)2 - a(x,y)c(x,y)
a(x,y) = - b(x,y) + - D(x,y)
a(x,y)
ja
m2(x,y) = - b(x,y) - b(x,y)2 - a(x,y)c(x,y)
a(x,y) = - b(x,y) - - D(x,y)
a(x,y)
(toisen asteen yhtälön ratkaisukaava). Jos nyt voidaan valita ϕ(x,y) ja ψ(x,y)siten, että 1. kertaluvun lineaariset ODY:t
( 1 ) ϕx - m1(x,y)ϕy = 0
ψx - m2(x,y)ψy = 0
toteutuvat ja ϕy,ψy ovat molemmat ≠ 0, niin p(x,y) = r(x,y) = 0. Edelleentällöin q(x,y) ≠ 0, sillä E(x,y) = - q(x,y)2 < 0 (hyperbolisuus säilyy!). Vielä
det
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y) =
ϕx ϕy
ψx ψy = ϕyψy (m1 - m2) ≠ 0,
22
joten muuttujien vaihto on “pätevä”. Jakamalla saatu uusi ODY puolittainq(x,y):llä (sekä tietysti siirtymällä uusiin muuttujiin ξ ja η ) saadaan haluttunormaalimuoto.
ODY:illä (1) voidaan osoittaa olevan vaaditunlaiset ratkaisut varsin yleisinoletuksin (huomaa, että mm. ϕ:n ja ψ:n pitää olla kahdesti jatkuvasti deri-voituvia), ks. esim. SPIVAK. Käytännössäkin ODY:t (1) voidaan usein rat-kaista seuraavaa ideaa käyttäen:
APULAUSE: Jos differentiaaliyhtälöllä dydx = M(x,y) on muotoa f(x,y) = C
oleva yleinen ratkaisu, josta parametrin C valinnalla saadaan alkuehdony(x1) = y1 toteuttava ratkaisu kaikille tarkastelualueen pisteille (x1,y1), niinf(x,y) toteuttaa ODY:n fx + M(x,y)fy = 0 tarkastelualueessa. (Huomaa, ettäjotta yhtälöstä f(x,y) = C saataisiin y ratkaistua x:n funktiona y(x), pitää ol-la fy ≠ 0.)
Todistus . Otetaan mielivaltainen tarkastelualueen piste (x1,y1). Jollain pa-rametrinvalinnalla C = C1 differentiaaliyhtälön yleisestä ratkaisusta saa-daan alkuarvon y(x1) = y1 omaava ratkaisu y(x), ts. f(x,y(x)) = C1 ja y´(x) =M(x,y(x)) ovat voimassa identiteetteinä. Derivoidaan ensimmäinen identi-teetti puolittain ketjusäännöllä ja sijoitetaan siihen toinen:
0 = fx(x,y(x)) + fy(x,y(x))y´(x) = fx(x,y(x)) + fy(x,y(x))M(x,y(x)).
Erityisesti arvolla x = x1 saadaan:
0 = fx(x1,y1) + fy(x1,y1)M(x1,y1).
Näin ollen ODY toteutuu pisteessä (x1,y1) ja, koska piste oli mielivaltainen,koko tarkastelualueessa.
Etsimällä differentiaaliyhtälöiden
dydx = -m1(x,y) ja
dydx = -m2(x,y)
yleiset ratkaisut muodossa ϕ(x,y) = C ja ψ(x,y) = C', vastaavasti, saadaan ha-luttu riippumattomien muuttujien vaihto. Parametrien C ja C' eri valin-noilla yhtälöt ϕ(x,y) = C ja ψ(x,y) = C' antavat kaksi xy-tason käyrien par-vea. Näitä kutsutaan ODY:n karakteristisiksi käyriksi.
Elliptinen tapaus :
Elliptinen normaalimuoto (ja samalla kanoninen muoto) on
uξξ + uηη = e(ξ,η,u,uξ,uη).
Tähän pääsemiseksi olisi ilmeisesti valittava ϕ(x,y) ja ψ(x,y) siten, että
23
a(x,y)ϕ
2x + 2b(x,y)ϕxϕy + c(x,y)ϕ
2y = a(x,y)ψ
2x + 2b(x,y)ψxψy + c(x,y)ψ
2y
a(x,y)ϕxψx + b(x,y)(ϕxψy + ϕyψx) + c(x,y)ϕyψy = 0.
Tämä on ODY-pari, ns. Beltramin yhtälöt. Tavallisesti Beltramin yhtälötesitetään muodossa, jossa on (algebrallisesti) ratkaistu kaksi osittaisde-rivaatoista (esimerkiksi ϕx ja ψx) muiden avulla esitettynä. Kyseessä ontoi-sen asteen yhtälöparin ratkaiseminen. Menisi käsipelilläkin, mutta onvähän työlästä. Huomaa myös, että toisen asteen yhtälöparilla voi ollaneljä eri ratkaisua, joista valitaan yksi, tietysti reaalinen. (Alunperin ei oleselvää, että reaalisia ratkaisuja onkaan!) Käytetään Maplea. Syötetäänyhtälöt:
yht1:=a*phix^2+2*b*phix*phiy+c*phiy^2=a*psix^2+2*b*psix*psiy+c*psiy^2;
2 2 2 2 yht1 := a phix + 2 b phix phiy + c phiy = a psix + 2 b psix psiy + c psiy> yht2:=a*phix*psix+b*phix*psiy+b*phiy*psix+c*phiy*psiy=0;
yht2 := a phix psix + b phix psiy + b phiy psix + c phiy psiy = 0
ja etsitään niille reaaliratkaisu:
phix:=normal(fiix); 2 2 1/2 b psiy + b phiy (- b + a c) - c psiy a phix := - --------------------------------------------- 2 1/2 a (- b + a c) > psix:=normal(psiix); 2 1/2 b psiy + phiy (- b + a c) psix := - ------------------------------- a
Hieman sievennettynä saadaan siis ODY-pari
ϕx = -
b(x,y)a(x,y) ϕy +
D(x,y)a(x,y) ψy
ψx = - b(x,y)a(x,y) ψy -
D(x,y)a(x,y) ϕy
(Beltramin yhtälöt) .
(Tässä taas tarvitaan oletus a(x,y) ≠ 0, mutta se seuraa suoraan, sillä nytD(x,y) = a(x,y)c(x,y) - b(x,y)2 > 0.) Koska
det
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y) =
ϕx ϕy
ψx ψy =
-
b(x,y)a(x,y) ϕy +
D(x,y)a(x,y) ψy ϕy
- b(x,y)a(x,y) ψy -
D(x,y)a(x,y) ϕy ψy
= D(x,y)a(x,y) (ϕ2
y + ψ2y ) ≠ 0,
24
vaihto on pätevä, olettaen että ainakin toinen osittaisderivaatoista ϕy ja ψyon ≠ 0.
Voidaan osoittaa, että Beltramin yhtälöillä on varsin yleisin oletuksin halu-tunlainen ratkaisu, ks. esim. SPIVAK. Ratkaisun löytäminen ei kuitenkaanyleensä ole helppoa. Riippumattomien muuttujien vaihdon jälkeen jaetaanvielä saatu ODY puolittain p(x,y):llä (eli r(x,y):llä), joka on ≠ 0 (sillä E(x,y)= p(x,y)2 > 0, tyyppi säilyy!), jolloin päästään normaalimuotoon.
Elliptisellä ODY:llä ei ole karakteristisia käyriä.
Parabolinen tapaus :
Parabolisen ODY:n normaalimuoto on
uξξ = e(ξ,η,u,uξ,uη) .
Tähän pääsemiseksi olisi ilmeisesti valittava ψ(x,y) siten, että
r(x,y) = a(x,y)ψ2x + 2b(x,y)ψxψy + c(x,y)ψ
2y = 0.
Ainakin toinen luvuista a(x0,y0) ja c(x0,y0) on ≠ 0 (muuten, koska nytD(x,y) = a(x,y)c(x,y) - b(x,y)2 = 0, myös b(x0,y0) olisi = 0 ja A(x0,y0) olisinollamatriisi). Oletetaan, että a(x,y) ≠ 0 tarkastelualueessa (toinen tapaus,missä c(x,y) ≠ 0, on analoginen). Yo. yhtälö voidaan silloin kirjoittaa muo-toon
a(x,y)(ψx - m(x,y)ψy)2 = 0,
missä
m(x,y) = - b(x,y)a(x,y)
(toisen asteen yhtälön ratkaisukaava).
Näin ollen, jos valitaan ψ(x,y) siten, että se toteuttaa ODY:n
ψx - m(x,y)ψy = 0
ja ψy ≠ 0, niin r(x,y) = 0. Voidaan osoittaa, että ODY:llä on halutunlainenratkaisu varsin yleisin oletuksin, ks. esim. SPIVAK. Se voidaan myöskinusein löytää samalla tavoin kuin hyperbolisessa tapauksessa (Apulause s.22).
Valitaan vielä ϕ(x,y) siten, että det
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y) ≠ 0, jotta vaihto olisi pätevä.
Tämä on helppoa, esimerkiksi ϕ(x,y) = x kelpaa, sillä silloin
25
det
∂(ϕ,ψ)
∂(x,y) =
1 0
ψx ψy = ψy ≠ 0.
(Tosin tämä valinta ei aina ole mukavin mahdollinen.) Koska nyt E(x,y) =-q(x,y)2 = 0 (tyyppi säilyy!), on vaihdon jälkeen automaattisesti q(x,y) = 0ja normaalimuotoon päästään jakamalla saatu ODY puolittain p(x,y):llä (jo-ka taas ei voi olla = 0, koska silloin P(x,y) olisi nollamatriisi).
Parabolisella ODY:llä on karakteristisia käyriä, mutta vain yksi parvi, ni-
mittäin differentiaaliyhtälön dydx = - m(x,y) yleisen ratkaisun ψ(x,y) = C an-
tama parvi.
Kvasilineaaristen toisen kertaluvun ODY:iden luokittelu on sama kuin mel-kein lineaaristen, mutta koska pääosan kerroinmatriisi A(x,u,ux) riippuutällöin riippuvasta muuttujasta ja sen osittaisderivaatoista, luokittelu riip -puu myös ratkaisusta u, ts. ODY:llä voi olla samassa alueessa eri tyypin rat-kaisuja.
Jos nyt annetaan (alku/reuna-arvona) u ja ux jossakin pisteessä x0, niintiedetään ratkaisun tyyppi pisteessä x0, sillä A(x0,u(x0),ux(x0)) määrääsen. Jatkuvuussyistä tyyppi on sama myös tietyssä pisteen x0 ympäristös-sä, ts. lokaalisesti. Näin voidaan alkuarvoilla “valita” halutuntyyppinen rat-kaisu, ainakin lokaalisesti.
26
II ELLIPTISET 2. KERTALUVUN ODY:T
II.1 Reuna-arvotehtävä
Fysikaalisista ym. syistä esiintyvät elliptiset toisen kertaluvun ODY:t ovatns. divergenssimuodossa (eli itseadjungoidussa muodossa)
∇ ˘
∂u∂x
A(x) + c(x)u = d(x),
missä A(x) on positiividefiniitti matriisi. Jotta tämä saataisiin “tavalli-seen” muotoon, lasketaan divergenssi:
∇ ˘
∂u∂x
A(x) =∑i=1
n
∂∂xi
∑j=1
n
∂u∂xj
aji(x) =∑i=1
n
∂∂xi
∑j=1
n
∂u∂xj
aij(x)
= ∑i=1
n ∑j=1
n aij(x)
∂2u
∂xi∂xj + ∑
j=1
n ∑i=1
n
∂aij
∂xi
∂u∂xj
= trace
A(x)
∂2u
∂x2 + (∇ A(x))
∂u
∂xT .
Pääosan kerroinmatriisi on siis A(x) (positiividefiniitti) ja 1. kertaluvunosan kerroinvektori on b(x) = ∇ A(x). Merkitään jälleen ODY:ä operaattori-muodossa Lu = d(x), missä
L = trace
A(x)
∂2
∂x2 + (∇ A(x))
∂
∂xT + c(x).
Tarkastellaan Ä2:n tai Ä3:n äärellistä avointa aluetta Ω ja sen paloittain si -
leää reunaa ˜Ω. Ä2:ssa ˜Ω on sulkeutuva paloittain sileä käyrä, Ä3:ssa sul-
keutuva paloittain sileä pinta.* Merkitään n(x):llä ˜Ω:n yksikkö normaaliaulospäin pisteessä x. Jatkossa oletetaan, että pääosan kerroinmatriisinA(x) alkiot ovat jatkuvasti derivoituvia Ω:n sulkeumassaΩ = Ω ∪ ˜Ω ja että
c(x) sekä d(x) ovat jatkuvia Ω:ssa. * Tarkastelu voitaisiin ulottaa myös yleiseen Än:ään, jolloin reuna olisi sulkeutuva
n-1-ulotteinen paloittain differentioituva monisto.
27
Yllä olevalle elliptiselle itseadjungoidulle ODY:lle on kolme erilaista (si-säistä) reuna-arvotehtävää:
Dirichlet'n probleema: Lu = d(x) alueessa Ω u(x) = h(x) reunalla ˜Ω
Neumannin probleema: Lu = d(x) alueessa Ω
∂u∂x
A(x)n(x)T = h(x) reunalla ˜Ω
Robinin probleema: Lu = d(x) alueessa Ω
f(x)u(x) + g(x) ∂u
∂x A(x)n(x)T = h(x) reunalla ˜Ω,
missä h(x), f(x) sekä g(x) ovat reunalla ˜Ω annettuja jatkuvia funktioita ja
f(x) sekä g(x) eivät ole yhtaikaa nollia, ts. (f(x),g(x)) ≠ 0 ˜Ω:lla. (Vaihtoeh-toisesti voidaan asettaa vastaavat ulkoiset reuna-arvotehtävät , joissa Lu =d(x) alueen Ω ulkopuolella ja normaali n(x) on sisäänpäin .) Funktio u onreunarvotehtävän ratkaisu, jos se on ODY:n ratkaisu, jatkuvasti derivoituvasulkeumassaΩ ja reunaehto toteutuu identiteettinä reunalla ˜Ω, kun sii-hen sijoitetaan u(x).
Huomaa, että Dirichlet'n ja Neumannin probleemat ovat erikoistapauksiaRobinin probleemasta (valitaan vain f(x) = 1 ja g(x) = 0 tai f(x) = 0 ja g(x) =1).
Reuna-arvotehtävät ovat lineaarisia, ts. jos u1(x) ja u2(x) ovat Robinin prob-leemojen
Lu = d1(x) alueessa Ω
f(x)u(x) + g(x) ∂u
∂x A(x)n(x)T = h1(x) reunalla ˜Ω
ja
Lu = d2(x) alueessa Ω
f(x)u(x) + g(x) ∂u
∂x A(x)n(x)T = h2(x) reunalla ˜Ω
ratkaisuja vastaavasti, niin C1u1(x) + C2u2(x) on on Robinin probleeman
Lu = C1d1(x) + C2d2(x) alueessa Ω
f(x)u(x) + g(x) ∂u
∂x A(x)n(x)T = C1h1(x) + C2h2(x) reunalla ˜Ω
ratkaisu, valitaanpa vakiot C1 ja C2 miten tahansa.
28
Reuna-arvotehtävän sanotaan olevan homogeeninen, jos d(x) = 0 ja h(x) =0. Reuna-arvotehtävää vastaava homogeeninen reuna-arvotehtävä saadaankirjoittamalla d(x):n paikalle 0 ja samoin h(x):n paikalle 0. Jos u1(x) jau2(x) ovat reuna-arvotehtävän ratkaisuja, niin u1(x) - u2(x) on vastaavan ho-mogeenisen reuna-arvotehtävän ratkaisu.
II.2 Reuna-arvotehtävän yksikäsitteisyys- ja stabiilisuustuloksia
Lasketaan ensin ∇ ˘
u
∂u∂x
A(x) , jota tarvitaan. Yleisesti, jos v(x) = (v1(x),
...,vn(x)), niin
∇ ˘(u(x)v(x)) =∑i=1
n
∂∂xi
(u(x)vi(x)) =∑i=1
n
∂u∂xi
vi(x) +∑i=1
n u(x)
∂vi
∂xi
= ∂u
∂x v(x)T + u(x)∇ ˘v(x).
Näin ollen
∇ ˘
u
∂u∂x
A(x) = ∂u
∂x A(x)
∂u
∂xT + u∇ ˘
∂u∂x
A(x)
= ∂u
∂x A(x)
∂u
∂x
T + u(Lu - c(x)u).
Tästä saadaan ratkaistuksi
uLu = ∇ ˘
u
∂u∂x
A(x) - ∂u
∂x A(x)
∂u
∂x
T + c(x)u2.
APULAUSE. Oletetaan, että c(x) < 0 alueessa Ω, u(x) on kahdesti jatkuvasti
derivoituvaΩ :ssa ja että pinta/viivaintegraali*
* Muista, että tarkastellaan vain tapauksia n = 2,3. Apulause yleistyy tosin myös
korkeampiin dimensioihin n, mutta silloin tarvitaan Gaussin lause Än:ssä.
29
⌡⌠˜Ω
u
∂u∂x
A(x) ˘ n dσ < 0.
Silloin*
( i ) ⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx < 0,
( ii ) jos c(x) ei ole nollafunktio, niin ⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx = 0 tarkalleen sil-
loin, kun u(x) on nollafunktio,
(iii) jos c(x) on nollafunktio, niin ⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx = 0 tarkalleen silloin,
kun u(x) on vakiofunktio.
Todistus . (i) Yllä johdetun kaavan nojalla saadaan yhtälö**
⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx = ⌡⌠
Ω
⌡⌠
∇ ˘
u
∂u∂x
A(x) - ∂u
∂x A(x)
∂u
∂x
T + c(x)u2 dx
= ⌡⌠Ω
⌡⌠
∇ ˘
u
∂u∂x
A(x) dx + ⌡⌠Ω
⌡⌠
-
∂u
∂x A(x)
∂u
∂x
T + c(x)u2 dx.
Koska A(x) on positiividefiniitti (ks. s. 15) ja c(x) < 0, on oikean puolenjälkimmäinen integraali arvoltaan < 0. Edellinen integraali taas on Gaus-sin/Greenin lauseen avulla kirjoitettavissa pinta/viivaintegraaliksi yli ˜Ω:n.Näin ollen
⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx = ⌡⌠
˜Ω
u
∂u∂x
A(x) ˘ n dσ + ⌡⌠Ω
⌡⌠
-
∂u
∂x A(x)
∂u
∂x
T + c(x)u2 dx < 0.
(ii) Oletetaan, että c(x) ei ole nollafunktio. Ilmeisesti, jos u(x) on nolla-
funktio, niin ⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx = 0. Jos taas oletetaan, että ⌡⌠
Ω
⌡⌠
uLudx = 0, niin yl-
lä olevan (kohdan (i) todistus) nojalla
* Tässä ⌡⌠ ⌡⌠
tarkoittaa 2- tai 3-kertaista integraalia.
** ns. energiayhtälö
30
⌡⌠˜Ω
u
∂u∂x
A(x) ˘ n dσ + ⌡⌠Ω
⌡⌠
-
∂u
∂x A(x)
∂u
∂x
T dx + ⌡⌠
Ω
⌡⌠
c(x)u2dx = 0.
Kukin integraaleista on kuitenkin < 0, joten jokainen niistä on arvoltaan0. Jatkuvuudesta johtuen integrandit ovat nollafunktioita. Erityisesti
∂u∂x
A(x)
∂u
∂x
T = 0.
Koska A(x) on positiividefiniitti, seuraa tästä, että ∂u∂x
= 0 ja edelleen että
u(x) on vakiofunktio, sanotaan u(x) = C. Koska toisaalta myös c(x)u2 =c(x)C2 on (eräänä eo. integrandeista) nollafunktio, mutta c(x) ei ole nolla-funktio (oletus), on oltava C = 0 eli u(x) on nollafunktio.
(iii) Oletetaan, että c(x) on nollafunktio. Edellisen kohdan päättelystä
seuraa silloin, että u(x) on vakiofunktio, mikäli ⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx = 0.
Tästä tuloksesta saadaan koko joukko yksikäsitteisyystuloksia reuna-arvo-tehtäville.
LAUSE 6. Jos c(x) < 0, niin homogeenisen Dirichlet'n probleeman ainoaratkaisu on nollafunktio.
Todistus . Jos u(x) on homogeenisen Dirichlet'n probleeman ratkaisu, niin
u(x) = 0 reunalla ˜Ω ja ⌡⌠˜Ω
u
∂u∂x
A(x) ˘ n dσ = 0. Myös ⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx = 0, kos-
ka Lu = 0. Apulauseen kohtien (ii) ja (iii) nojalla u(x) on vakiofunktio, sa-notaan u(x) = C. Jatkuvuussyistä u(x) = C myös reunalla ˜Ω. Mutta reunallau(x) = 0 (reunaehto), joten C = 0 ja u(x) on nollafunktio.
SEURAUS. Dirichlet'n probleeman ratkaisu on yksikäsitteinen, mikäli c(x )< 0.
Todistus . Jos u1(x) ja u2(x) ovat Dirichlet'n probleeman ratkaisuja, niinu1(x) - u2(x) on vastaavan homogeenisen Dirichlet'n probleeman ratkaisu,joka edellisen lauseen nojalla on nollafunktio. Siis u1(x) = u2(x).
LAUSE 7. Jos c(x) < 0, mutta c(x) ei ole nollafunktio, niin homogeenisenNeumannin probleeman ainoa ratkaisu on nollafunktio.
31
Todistus . Jos u(x) on mainitunlaisen homogeenisen Neumannin prob-
leeman ratkaisu, niin ∂u
∂x A(x)n(x)T = 0 reunalla ˜Ω ja
⌡⌠˜Ω
u
∂u∂x
A(x) ˘ n dσ = 0.
Myös ⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx = 0, koska Lu = 0. Apulauseen kohdan (ii) nojalla u(x) on
nollafunktio.
SEURAUS. Jos c(x) < 0, mutta c(x) ei ole nollafunktio, niin Neumanninprobleeman ratkaisu on yksikäsitteinen.
Todistus . Kuten edellisen Seurauksen todistus.
LAUSE 8. Jos c(x) on nollafunktio, niin homogeenisen Neumannin prob-leeman ainoat ratkaisut ovat vakiofunktiot.
Todistus . Kuten Lauseen 7 todistus, mutta Apulauseesta tulee käyttöönkohta (iii). n
SEURAUS. Jos c(x) on nollafunktio, niin Neumannin probleeman ratkaisuteroavat toisistaan vakiolla.
Todistus . Kuten edellisten Seurausten todistukset.
LAUSE 9. Jos c(x) < 0, f(x)g(x) > 0 ja f(x) ei ole nollafunktio, niin homo-geenisen Robinin probleeman ainoa ratkaisu on nollafunktio.
Todistus . Robinin probleemassa f(x) ≠ 0 ja/tai g(x) ≠ 0, joten voidaan kir-
joittaa joko u(x) = - g(x)f(x )
∂u∂x
A(x)n(x)T tai ∂u∂x
A(x)n(x)T = - f(x )g(x) u(x)
reunalla ˜Ω ja ⌡⌠˜Ω
u
∂u∂x
A(x) ˘ n dσ < 0. Edelleen tällöin ⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx = 0,
koska Lu = 0. Apulauseen kohtien (ii) ja (iii) nojalla u(x) on vakiofunktio,
sanotaan u(x) = C. Silloin ∂u
∂x = 0, jatkuvuussyistä myös reunalla ˜Ω. Koska
f(x)C = 0 reu-nalla (reunaehto), niin C = 0 eli u(x) on nollafunktio.
SEURAUS. Jos c(x) < 0, f(x)g(x) > 0 ja f(x) ei ole nollafunktio, niin Ro-binin probleeman ratkaisu on yksikäsitteinen.
32
Todistus . Kuten edellisten Seurausten todistukset.
Huom! Edelliset Seuraukset eivät sano, että reuna-arvotehtävällä olisi rat-kaisu, vaan vain sen, että ratkaisu on yksikäsitteinen, mikäli se on olemas-sa. Esimerkiksi Neumannin probleemalla ei aina ole ratkaisua. Näin käyvaikkapa, jos c(x) ja d(x) ovat nollafunktioita, A(x) = I (siis Laplacen yhtä-
lö!) ja ⌡⌠˜Ω
h(x)dσ ≠ 0, sillä Greenin/Gaussin lauseen nojalla
⌡⌠Ω
⌡⌠
∆udx = ⌡⌠
Ω
⌡⌠
∇ ˘
∂u
∂x dx = ⌡⌠
˜Ω
∂u
∂x ˘ n dσ = ⌡⌠
˜Ω
h(x)dσ.
Toisaalta ratkaisun olemassaolo on useinkin fysikaalisista tai muista syistäilmeinen, mutta yksikäsitteisyys (tai stabiilisuus) ei ole. Huomattakoonvielä, että esitetyt “oudonnäköiset” oletukset toteutuvat yleensä aivan it-sestään tehtävän luonteesta johtuen (ks. 73113 Vektorikentät). Käytän-nössä esiintyvät elliptiset ODY:t ovat toisaalta monesti kvasilineaarisia, jol-loin eo. tulokset pätevät lokaalisesti ODY:n lineaarisen approksimaationreuna-arvotehtäville.
Jos kerroinfunktio c(x) on < 0 alueessa Ω, niin voidaan soveltaa toistakinlähestymistapaa, joka sopii myös yleiselle elliptiselle ODY:ille, nimittäinns. ääriarvoperiaatetta.
ÄÄRIARVOPERIAATE. Olkoon Lu = 0 yleinen 2. kertaluvun elliptinenODY, jossa c(x) < 0. Jos u on ODY:n ratkaisu alueessa Ω, niin u(x):llä ei ole
Ω:ssa negatiivista lokaalista minimiarvoa eikä positiivista lokaalista maksi-miarvoa.
Todistus . Asetetaan vastaoletus : u(x):llä on negatiivinen lokaalinen minimi
pisteessä x0 ∈ Ω. Silloin (ks. peruskurssit) ∂u(x0)
∂x = 0 ja
∂2u(x0)
∂x2 on posi-
tiivisemidefiniitti*. Toisaalta pääosan kerroinmatriisi A(x) on positiividefi-niitti (tässä riittäisi positiivisemidefiniittisyyskin), joten (ks. peruskurs-sit) on olemassa sellainen ei-singuläärinen matriisi W, että A(x0) = WTW.Pisteessä x0 on nyt
Lu = trace
A(x0)
∂2u(x0)
∂x2 + b(x0)
∂u(x0)
∂x
T + c(x0)u(x0)
= trace
WTW
∂2u(x0)
∂x2 + c(x0)u(x0)
* Tämä tarkoittaa, että y ∂2u(x0)
∂x2 yT > 0 aina, kun y ∈ Än tai että ∂2u(x0)
∂x2 :n omi-
naisarvot ovat ei-negatiivisia.
33
= trace
W
∂2u(x0)
∂x2 WT + c(x0)u(x0) > 0 , .
Huomaa, että jos W:n rivit ovat w1,…,wn, niin
trace
W
∂2u(x0)
∂x2 WT =∑i=1
n wi
∂2u(x0)
∂x2 wiT > 0.
Maksimia koskeva tulos seuraa minimiä koskevasta, kun kirjoitetaan u:npaikalle -u.
Dirichlet'n reuna-arvoprobleema
Lu = d(x) alueessa Ω u(x) = h(x) reunalla ˜Ω
voidaan kirjoittaa myös yleiselle elliptiselle ODY:lle Lu = d(x). Ääriarvope-riaatteesta saadaan silloin
SEURAUS 1. Yleisen elliptisen Dirichlet'n probleeman, jossa c(x) < 0 alu-eessa Ω, ratkaisu on stabiili, ts. jos u1(x) ja u2(x) ovat Dirichlet'n problee-mojen
Lu = d(x) alueessa Ω u(x) = h1(x) reunalla ˜Ω ja
Lu = d(x) alueessa Ω u(x) = h2(x) reunalla ˜Ω
ratkaisuja ja |h1(x) - h2(x)| < ε reunalla ˜Ω, niin |u1(x) - u2(x)| < ε koko
alueessa Ω, olipa ε mikä tahansa ei-negatiivinen luku.
Todistus . Jos u1(x) ja u2(x) ovat mainittujen Dirichlet'n probleemojen rat-kaisuja, niin erotus u1(x) - u2(x) =merk. u(x) on Dirichlet'n probleeman
Lu = 0 alueessa Ω u(x) = h1(x) - h2(x) reunalla ˜Ω
ratkaisu. Asetetaan vastaoletus : u(x) saa Ω:n pisteessä arvon, joka on > ε.(Tapaus, jossa u(x) saa jossain Ω:n pisteessä arvon, joka on < -ε, käsitel-
lään vastaavasti.) SulkeumassaΩ jatkuvana funktiona u(x):llä onΩ :ssa
maksimiarvo (ks. peruskurssit). Koska reunalla ˜Ω u(x):n arvot ovat < ε, on
u(x):llä näin ollen positiivinen lokaalinen maksimi alueessa Ω, (Ääriar-voperiaate).
SEURAUS 2. Yleisen elliptisen Dirichlet'n probleeman, jossa c(x) < 0 alu-eessa Ω, ratkaisu on yksikäsitteinen.
34
Todistus . Valitaan ε = 0 Seurauksessa 1.
II.2 Greenin funktio. Hyvin asetettu reuna-arvotehtävä
Fysikaalisista syistä on syytä olettaa, että edellä esitetyillä reuna-arvoteh-tävillä on ratkaisu myös silloin, kun d(x) on Ω:n pisteessä ξ oleva ns. del-
tafunktio δ(x- ξ ). Tämä vastaa pistemäistä varausta, pistemäistä lämpö-lähdettä, yms.. Formaalisesti kirjoitetaan tällöin jokaiselle jatkuvalle funk-tiolle u(x)
⌡⌠Ω
⌡⌠
u(x)δ(x- ξ )dx =
u(ξ), jos ξ ∈ Ω 0 muuten.
Lisäksi voidaan reunalla olettaa toteutuvan homogeeniset reunaehdot , jois-sa h(x) on nollafunktio. Tällaista ratkaisua kutsutaan reuna-arvotehtävänGreenin funktioksi ja sitä merkitään G(x, ξ ):llä.* Formaalisesti siis LG =
δ(x- ξ ). Koska varausta, lämpölähdettä tms. ei ole pisteen ξ ulkopuolella,
pitää olla LG = 0, kun x ≠ ξ .
Jotta yllä esitetty formaalisesti asetettu tehtävä voitaisiin esittää “tavalli-sin” ehdoin, tarvitaan pari laskukaavaa. Kuten sivulla 28, saadaan kaava
∇ ˘
v
∂u
∂x A(x) =
∂v
∂x A(x)
∂u
∂xT + v∇ ˘
∂u∂x
A(x)
= ∂v
∂x A(x)
∂u
∂xT + v(Lu - c(x)u).
ja vastaavasti
∇ ˘
u
∂v
∂x A(x) =
∂u
∂x A(x)
∂v
∂xT + u(Lv - c(x)v).
Vähennetään nämä puolittain toisistaan:
∇ ˘
v
∂u
∂x - u
∂v
∂x A(x) = vLu - uLv
* Joissain kirjoissa esiintyy Greenin funktiona -G(x, ξ ).
35
(huomaa, että ∂u
∂x A(x)
∂v
∂xT =
∂v
∂x A(x)
∂u
∂xT ). Integroimalla vielä puo-
littain alueen Ω yli ja käyttämällä Gaussin/Greenin lausetta saadaan ns.Greenin kaava:
⌡⌠Ω
⌡⌠
(vLu - uLv)dx = ⌡⌠
˜Ω
v
∂u
∂x - u
∂v
∂x A(x) ˘ n dσ.
Sijoitetaan Greenin kaavaan v:n paikalle Greenin funktio G(x, ξ ), jossa pi-
detään ξ ∈ Ω kiinteänä:
⌡⌠Ω
⌡⌠
(G(x, ξ )Lu - uLG) dx = ⌡⌠
˜Ω
G(x, ξ )
∂u
∂x - u
∂G
∂x A(x) ˘ n dσ
eli (vaaditaan, että LG on deltafunktio δ(x- ξ ) ! )
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )Ludx - u( ξ ) = ⌡⌠
˜Ω
G(x, ξ )
∂u
∂x - u
∂G
∂x A(x) ˘ n dσ.
Eri reuna-arvotehtävätyypeille Greenin funktion vaatimukset ovat seuraa-vat: Jos ξ on mielivaltainen Ω:n piste ja u on mielivaltainen reuna-arvoteh-tävän ratkaisulle asetetut ehdot toteuttava funktio, niin
Dirichlet'n probleema :
LG = 0, kun x ∈ Ω - ξ
G(x,ξ
) = 0, kun x on reunalla ˜Ω
u( ξ
) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )Ludx + ⌡⌠
˜Ω
u
∂G
∂x A(x) ˘ n dσ
Neumannin probleema :
LG = 0, kun x ∈ Ω - ξ
∂G
∂x A(x)n(x)T = 0, kun x on reunalla ˜Ω
u( ξ
) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )Ludx - ⌡⌠
˜Ω
G(x, ξ )
∂u∂x
A(x) ˘ n dσ
36
Robinin probleema :
LG = 0, kun x ∈ Ω - ξ
f(x)G(x,ξ
) + g(x) ∂G
∂x A(x)n(x)T = 0, kun x on reunalla ˜Ω
u( ξ
) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )Ludx + ⌡⌠
˜Ω
u
∂G
∂x - G(x, ξ )
∂u
∂x A(x) ˘ n dσ.
Jos u(x) on reuna-arvotehtävän ratkaisu, niin yo. vaatimusten kolmansistayhtälöistä saadaan itse asiassa ratkaisulle integraalikaavat. Eri tyyppisillereuna-arvotehtäville ne ovat seuraavat:
Dirichlet'n probleema :
u( ξ ) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )d(x)dx + ⌡⌠
˜Ω
h(x)
∂G
∂x A(x) ˘ n dσ
Neumannin probleema :
u( ξ ) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )d(x)dx - ⌡⌠
˜Ω
G(x, ξ )h(x)dσ
Robinin probleemassa ratkaisukaava saadaan, jos f(x) ≠ 0 tai g(x) ≠ 0 reu-nalla ˜Ω. Jos nimittäin g(x) ≠ 0 reunalla, niin
∂G
∂x A(x)n(x)T = - G(x, ξ )
f(x )g(x) ja
∂u
∂x A(x)n(x)T = - u(x)
f(x )g(x) +
h(x)g(x) ,
jolloin
u(x)
∂G
∂x - G(x, ξ )
∂u
∂x A(x)n(x)T = - G(x, ξ )
h(x)g(x)
ja saadaan kaava
u( ξ ) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )d(x)dx - ⌡⌠
˜Ω
G(x, ξ )
h(x)g(x) dσ.
Jos taas f(x) ≠ 0 reunalla, niin
37
G(x, ξ ) = - g(x)f(x )
∂G
∂x A(x)n(x)T ja u(x) = -
g(x)f(x )
∂u
∂x A(x)n(x)T +
h(x)f(x ) ,
jolloin
u(x)
∂G
∂x - G(x, ξ )
∂u
∂x A(x)n(x)T =
h(x)f(x )
∂G
∂x A(x)n(x)T
ja saadaan kaava
u( ξ ) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )d(x)dx + ⌡⌠
˜Ω
h(x)f(x )
∂G
∂x A(x) ˘ n dσ.
Huom! Voidaan osoittaa, että niissä tilanteissa, joissa Greenin funktion“fysikaalisesti” pitäisi olla olemassa, se myöskin sitä on. Edelleen voidaanosoittaa, että tällöin reuna-arvotehtävän ratkaisu u(x) (milloin se on ole-massa) saadaan yo. integraalikaavoista, ts. niissä esiintyvät epäoleellisetmoninkertaiset integraalit suppenevat. Nämä todistukset ovat varsin mut-kikkaita.
Huom! Yleisessä tapauksessa Greenin funktiota on erittäin vaikea löytää(paitsi ehkä numeerisesti). Eräissä erikoistapauksissa sen sijaan Greeninfunktio tunnetaan. Yo. integraalikaavojen käyttö yleisessä tapauksessa liit-tyykin lähinnä ratkaisun ominaisuuksien ja “muodon” tutkimiseen.
Katsotaan vielä eräs Greenin funktioiden ominaisuus:
LAUSE 10*. Greenin funktio on symmetrinen muuttujien x ja ξ suhteen,
ts. G(x, ξ ) = G( ξ ,x).
Todistus . Kiinnitetään mielivaltaiset alueen Ω pisteet x ja ξ (x ≠ ξ ) .Tarkas-tellaan funktioita u(y) = G(y, ξ ) ja v(y) = G(y,x). Silloin u(y) ja v(y) toteut-tavat homogeeniset reunaehdot. Lasketaan ja käytetään Greenin kaavaa (Loperoi nyt riippumattomiin muuttujiin y):
G( ξ ,x) - G(x, ξ ) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
(vLu - uLv) dy = ⌡⌠
˜Ω
v
∂u
∂y - u
∂v
∂y A (y) ˘ n dσ.
Dirichlet'n ja Neumannin probleemoissa oikean puolen pinta/viivainteg-raali on = 0 homogeenisista reunaehdoista johtuen, joten lauseen tulos pä-tee näille.
Robinin probleemassa taas aina joko f(y ) ≠ 0 tai sitten g(y ) ≠ 0. Jos f(y ) ≠0, niin * Tulos tunnetaan myös resiprookkisuusominaisuuden nimellä.
38
u(y) = - g(y)f(y )
∂u
∂y A(y)n(y)T ja v(y) = -
g(y)f(y )
∂v
∂y A (y)n(y)T.
Jos taas g(y) ≠ 0, niin
∂u∂y
A(y)n(y)T = - f(y )g(y ) u(y) ja
∂v
∂y A(y)n(y)T = -
f(y )g(y ) v(y).
Molemmissa tapauksissa
v(y)
∂u
∂y - u(y)
∂v
∂y A (y) ˘ n(y) = 0,
joten lauseen tulos pätee myös Robinin probleemalle.
Neumannin (tai Robinin) probleeman tarvitsemaa Greenin funktiota ei ai-na ole olemassa homogeenisista reunaehdoista johtuen, vaikka epähomo-geenisilla reunaehdoilla ratkaisu olisikin (vrt. Huomautus sivulla 32). Täl-löin integraalikaava ei päde. Greenin funktion sijasta käytetään tällaisissatapauksissa ns. Neumannin funktiota N(x, ξ , η ), missä deltafunktion “piste-
mäiset suureet” ovat kahdessa eri pisteessä ξ ja η ja vastakkaismerkkiset.
Formaalisesti siis LN = δ(x- ξ ) - δ(x- η ) ja LN = 0, kun x ≠ ξ , η . Lisäksi edel-leen vaaditaan, että Neumannin funktio toteuttaa homogeenisen reunaeh-don ja että N(x, ξ , η ) = -N(x, η , ξ ) sekä N(x, ξ , ξ ) = 0. Sijoitetaan Greenin kaa-
vaan v:n paikalle Neumannin funktio N(x, ξ , η ), jossa pidetään ξ ∈ Ω ja
η ∈ Ω kiinteinä:
⌡⌠Ω
⌡⌠
(N(x, ξ , η )Lu - uLN) dx = ⌡⌠
˜Ω
N(x, ξ , η )
∂u
∂x - u
∂N
∂x A(x) ˘ n dσ
eli
⌡⌠Ω
⌡⌠
N(x, ξ , η )Ludx - u( ξ ) + u( η ) = ⌡⌠
˜Ω
N(x, ξ , η )
∂u
∂x - u
∂N
∂x A(x) ˘ n dσ.
Integraalikaava Neumannin probleemalle on nyt
u( ξ ) - u( η ) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
N(x, ξ , η )d(x)dx - ⌡⌠
˜Ω
N(x, ξ , η )h(x)dσ.
Huomaa, että integraalikaava ei anna ratkaisua yksikäsitteisesti, vaan vainkahdessa pisteessä saatujen ratkaisun arvojen erotuksen. Tämä on luon-nollista (vrt. Lauseen 8 Seuraus).
39
Reuna-arvotehtävän sanotaan olevan hyvin asetettu, jos sen ratkaisu on olemassa (tai vaihtoehtoisesti Greenin funktio on olemassa) ja ratkaisu on yksikäsitteinen sekä stabiili (ks. Seuraus 1 sivulla 33).
40
III LAPLACEN YHTÄLÖ
III.1 Yleistä
Laplacen yhtälö on ∆u = 0. Vastaava epähomogeeninen ODY on Poissonin
yhtälö ∆u = d(x). Kummassakin pääosan kerroinmatriisi on identiteet-
timatriisi I ja ODY on itseadjungoitu , sillä ∆u = ∇ ˘(∇ u) = ∇ ˘
∂u∂x
I . Lapla-
cen yhtälön ratkaisuja kutsutaan harmonisiksi funktioiksi.
Edellisessä luvussa usein esiintyvä lauseke ∂u
∂x A(x)n(x)T on nyt
∂u∂x
In(x)T = ∂u
∂x ˘ n(x) =
∂u
∂n
eli suunnattu derivaatta normaalin n(x) suuntaan .* Reuna-arvotehtävät Laplacen yhtälölle ovat näin ollen seuraavat:
Dirichlet'n probleema : ∆u = d(x) alueessa Ω u(x) = h(x) reunalla ˜Ω
Neumannin probleema : ∆u = d(x) alueessa Ω
∂u∂n
= h(x) reunalla ˜Ω
Robinin probleema : ∆u = d(x) alueessa Ω
f(x)u(x) + g(x) ∂u
∂n = h(x) reunalla ˜Ω,
missä h(x), f(x) sekä g(x) ovat reunalla ˜Ω annettuja jatkuvia funktioita ja
f(x) sekä g(x) eivät ole yhtaikaa nollia, ts. (f(x),g(x)) ≠ 0 ˜Ω:lla.
II.2:n tuloksista saadaan Laplacen yhtälön reuna-arvoprobleemoille koot-tua seuraavat ominaisuudet:
( i ) Laplacen yhtälön Dirichlet'n probleeman ratkaisu on yksikäsittei-nen (Lauseen 6 Seuraus).
* Muista, että tässä tarkastellaan joko Ä2:ta tai Ä3:a. Tulokset tosin yleistyvät kor-
keampiinkiin dimensioihin.
41
(ii) Laplacen yhtälön Neumannin probleeman ratkaisut eroavat toi-sistaan vakiolla (Lauseen 8 Seuraus).
(iii) Laplacen yhtälön Robinin probleeman ratkaisu on yksikäsittei-nen, jos f(x)g(x) > 0 ja f(x) ei ole nollafunktio (Lauseen 9 Seu-raus).
Sen sijaan Ääriarvoperiaate ei ole käyttökelpoinen, joten stabiilisuustulok-sia ei sitä kautta saada. Dirichlet'n probleeman stabiilisuus voidaan kuiten-kin todistaa muulla tavoin (seuraava pykälä). Greenin kaava saa nyt muo-don
⌡⌠Ω
⌡⌠
(v∆u - u∆v)dx = ⌡⌠
˜Ω
v
∂u
∂n - u
∂v
∂n dσ.
Dirichlet'n probleemallakaan ei aina ole ratkaisua. Ratkaisun olemassaoloriippuu vahvasti alueen Ω muodosta. Tunnettu ns. Lebesguen vastaesimerk-
ki osoittaa, että esimerkiksi Ä3:n alueessa, jonka reunapinta saadaan pois-tamalla pallosta kalotti ja liittämällä saatuun reikään sisäänpäin ekspo-nentiaalikartio* (ks. alla oleva kuvio), ei Laplacen yhtälön Dirichlet'n prob-leemalla ole aina ratkaisua lainkaan.
Eräs ehto, joka takaa ratkaisun olemassaolon, on ns. kärkiehto. Pyöräh-dyspintoja, jotka saadaan pyöräyttämällä jotain potenssikäyrää y = xa
(x > 0, a > 1) x-akselin ympäri, kutsutaan kärkipinnoiksi. Pinta toteuttaakärkiehdon, jos sen jokaista pistettä voidaan koskettaa ulkopuolelta jollainkärkipinnalla siten, että lokaalisesti vain kärki koskettaa pintaa (ks. allaoleva kuvio). Lebesguen vastaesimerkin pinta ei toteuta kärkiehtoa. Kaksi-
* Pyörähdyspinta, joka saadaan pyöräyttämällä käyrää y = e-1/x (x > 0) x-akselin
ympäri.
42
ulotteisessa tapauksessa kärkipinnat korvautuvat janalla, jolla kosketetaanreunakäyrää ulkopuolelta.*
III.2 Esityslause. Keskiarvolause. Maksimi-minimi-periaate. Dirich- let'n probleeman stabiilisuus
Eräänlainen perustyökalu Laplacen yhtälön Dirichlet'n probleemalle on
ns. Esityslause . Siihen pääsemiseksi todetaan ensin, että funktio 1
·x - ξ ·
on harmoninen Ä3:ssa ja funktio ln(·x - ξ ·) puolestaan Ä2:ssa, kun x ≠ ξ .Maple laskee:
normal(laplacian((x^2+y^2+z^2)^(-1/2),[x,y,z])); 0
> normal(laplacian(ln((x^2+y^2)^(1/2)),[x,y]));
0
Edelleen todetaan, että jos ξ ∈ Ω , niin Ä3:ssa integraali ⌡⌠Ω
⌡⌠
⌡⌠
∆v
·x - ξ · dx
suppenee ja vastaavasti Ä2:ssa integraali ⌡⌠Ω
⌡⌠
∆v ln(·x - ξ ·)dx suppenee, kun
* Todistukset löytyvät esimerkiksi kirjasta KELLOGG, O.D.: Foundations of Poten-
tial Theory. Dover (-53). Hyvä esitys klassisista olemassaolotuloksista on myöskirjassa GARABEDIAN, P.R.: Partial Differential Equations. Wiley (-64).
43
v(x) onΩ :ssa kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio.*
ESITYSLAUSE ÄÄÄÄ3:SSA. Jos v(x) on kahdesti jatkuvasti derivoituvaΩ :ssa ja
ξ ∈ Ω , niin v( ξ ) voidaan esittää muodossa
v( ξ ) = 14π
⌡⌠˜Ω
1·x - ξ ·
∂v
∂n - v(x)
∂∂n
1
·x - ξ · dσ -
14π ⌡⌠
Ω
⌡⌠
⌡⌠
∆v
·x - ξ · dx.
(Muista, että kaavassa esiintyvä 3-kertainen epäoleellinen integraali sup-penee, kuten todettiin.)
Todistus : Valitaan ε niin, että ξ -keskinen ε-säteinen pallo P ( ξ ,ε) on koko-
naan Ω:ssa ja merkitään Σε = Ω - P ( ξ ,ε). Merkitään pallon P ( ξ ,ε) kuorta
Γε:lla. Silloin ˜Σε = ˜Ω ∪ Γε ja Σε:n ulkonormaali reunapinnalla Γε näyttää
pallon P ( ξ ,ε) sisään . Valitaan nyt Greenin kaavassa (s. 41) Ω:ksi Σε ja
u(x):ksi harmoninen funktio 1
·x - ξ · :
* Varsin todennäköisesti nämä on käsitelty peruskursseilla esimerkkeinä tai har-
joitustehtävinä. Jos asia on outo, niin näin se menee: Ensinnäkin riittää näyttää,että vastaavat integraalit suppenevat, kun Ω korvataan ξ -keskisellä suljetullapallolla/ympyrällä P( ξ ,R), jonka säde R valitaan niin pieneksi, että P( ξ ,R) ⊆ Ω .Tällöin ∆v:llä on maksimiarvo P( ξ ,R):ssä ja majoranttiperiaatteen mukaisesti
riittää osoittaa, että integraalit ⌡⌠
P( ξ ,R)
⌡⌠
⌡⌠
dx
·x - ξ · Ä3:ssa ja ⌡⌠
P( ξ ,R)
⌡⌠
|ln(·x - ξ ·)|dx
Ä2:ssa suppenevat. Integrandien ei-negatiivisuudesta johtuen voidaan singulääri-syyspistettä ξ kohti suppenevaksi pinta/käyräparveksi ottaa ξ -keskisten pallon-pintojen/ympyränkehien parvi S( ξ ,ε) | 0 < ε < R (ε on säde). Merkitään H( ξ ,ε) =P( ξ ,R) - P( ξ ,ε) (ontto pallo / ympyrärengas). Ottamalla integrointialueeksi H( ξ ,ε) se-kä tekemällä ξ -kes-kinen pallo/napakoordinaattimuunnos saadaan integraalit
⌡⌠0
2π
⌡⌠0
π
⌡⌠ε
R
ρ sin θ dϕdθdρ ja⌡⌠0
2π
⌡⌠ε
R
r ln r dθdr. Lasketaan näiden raja-arvot, kun ε → 0+.
Maple laskee:
limit(int(int(int(ro*sin(the),ro=eps..R),the=0..Pi),phi=0..2*Pi),eps=0,right);
2 2 R Pi
> limit(int(int(r*ln(r),r=eps..R),the=0..2*Pi),eps=0,right);
2 1/2 R (2 ln(R) - 1) Pi
Raja-arvot ovat siis olemassa ja integraalit suppenevat.
44
- ⌡⌠Σε
⌡⌠
⌡⌠
∆v
·x - ξ · dx = ⌡⌠
˜Ω
v(x)
∂∂n
1
·x - ξ · -
1·x - ξ ·
∂v
∂n dσ
+⌡⌠Γε
v(x)
∂∂n
1
·x - ξ · -
1·x - ξ ·
∂v
∂n dσ.
Koska integraali ⌡⌠Ω
⌡⌠
⌡⌠
∆v
·x - ξ · dx suppenee, on vasemmalla puolella olevan
integraalin raja-arvo juuri ⌡⌠Ω
⌡⌠
⌡⌠
∆v
·x - ξ · dx, kun ε → 0+. Oikealla puolella
olevaa toista pintaintegraalia puolestaan voidaan sieventää. Pallonkuorella
Γε on nimittäin ·x - ξ · = ε (vakio) ja n(x) = ξ - x
·x - ξ
· =
ξ - x
ε , jolloin
∂
∂n
1
·x - ξ · =
∂∂x
1
·x - ξ · ˘ n(x) =
∂∂x
1
·x - ξ · ˘
ξ - x
ε
= - 1ε
∂∂x
1
·x - ξ · ˘ (x - ξ ) =*
1ε2 .
Siispä
⌡⌠Γε
v(x)
∂∂n
1
·x - ξ · -
1·x - ξ ·
∂v
∂n dσ = ⌡⌠
Γε
1ε2 v(x) -
1ε
∂v
∂n dσ
=⌡⌠Γε
1ε2 v( ξ )dσ +⌡⌠
Γε
1ε2 (v(x) - v( ξ )) - 1
ε
∂v
∂n dσ
= 4πv( ξ ) +⌡⌠Γε
1ε2 (v(x) - v( ξ )) - 1
ε
∂v
∂n dσ.
Pallonkuorella Γε ilmeisesti v(x):n jatkuvuudesta johtuen
|v(x) - v( ξ )| < maxx ∈ Γε
(|v(x) - v( ξ )|) → 0, kun ε → 0+
* Maple töihin:
subs(x^2+y^2+z^2=eps^2,normal(dotprod(grad(1/sqrt(x^2+y^2+z^2),[x,y,z]),[x,y,z]))); - 1/eps
45
ja puolestaan johtuen ∂v
∂x :n jatkuvuudestaΩ :ssa
∂v
∂n =
∂v
∂x ˘ n(x) < ·
∂v
∂x · ·n(x)· = ·
∂v
∂x · < max
x ∈ Ω
·
∂v
∂x ·
(Schwarzin epäyhtälö). Näin ollen
⌡⌠Γε
1ε2 (v(x) - v( ξ )) - 1
ε
∂v
∂n dσ
< 1ε2
⌡⌠Γε
(v(x) - v( ξ ))dσ +
1ε
⌡⌠Γε
∂v
∂n dσ
< 1ε2⌡⌠
Γε
|v(x) - v( ξ )|dσ +
1ε ⌡⌠Γε
∂v
∂n dσ
< 1ε2⌡⌠
Γε
maxx ∈ Γε
(|v(x) - v( ξ )|) dσ + 1ε ⌡⌠Γε
maxx ∈ Ω
·
∂v
∂x · dσ
= 4π maxx ∈ Γε
(|v(x) - v( ξ )|) + 4πε maxx ∈ Ω
·
∂v
∂x · → 0, kun ε → 0+.
Rajalla ε = 0+ saadaan silloin haluttu kaava
- ⌡⌠Ω
⌡⌠
⌡⌠
∆v
·x - ξ · dx = ⌡⌠
˜Ω
v(x)
∂∂n
1
·x - ξ · -
1·x - ξ ·
∂v
∂n dσ + 4πv( ξ ).
ESITYSLAUSE ÄÄÄÄ2:SSA. Jos v(x) on kahdesti jatkuvasti derivoituvaΩ :ssa ja
ξ ∈ Ω , niin v( ξ ) voidaan esittää muodossa
v( ξ ) = - 12π
⌡⌠˜Ω
ln(·x - ξ ·)
∂v
∂n - v(x)
∂∂n
ln(·x - ξ ·) dσ + 12π ⌡⌠
Ω
⌡⌠
∆v ln(·x - ξ ·) dx.
46
(Muista, että kaavassa esiintyvä 2-kertainen epäoleellinen integraali sup-penee, kuten todettiin.)*
Todistus . Todistus on hyvin samankaltainen kuin edellinen todistus. Tässä
käytetään funktion 1
·x - ξ · :n sijasta harmonista funktiota ln(·x - ξ ·) ja
pintaintegraalien sijasta tarkastellaan käyräintegraaleja. (Lisäksi tarvitaantuttua raja-arvoa lim
ε→0+ ε ln ε = 0.) Tarkempi todistus jätetään lukijalle.
Funktiolla v(x) sanotaan olevan ns. keskiarvo-ominaisuus pallon kuorella /ympyrän kehällä Γ( ξ ,R) (keskipiste ξ , säde R), jos
1
|Γ ( ξ ,R)| ⌡⌠Γ ( ξ ,R)
v(x)dσ = v( ξ ) ,
missä |Γ( ξ ,R)| on Γ ( ξ ,R):n ala (= 4πR2) / pituus (= 2πR).
KESKIARVOLAUSE. Harmonisilla funktioilla on keskiarvo-ominaisuus.
Todistus . Näytetään asia Ä3:ssa (Ä2:ssa todistus on aivan analoginen). Ole-tetaan, että v(x) on harmoninen ja tarkastellaan pallon kuorta Γ ( ξ ,R) sekä
sen rajaamaa (avointa) palloa P ( ξ ,R). Valitaan Ω:ksi P ( ξ ,R) ja ˜Ω:ksi Γ ( ξ ,R)
sekä sovelletaan Esityslausetta:
v(ξ ) = 14π
⌡⌠
Γ ( ξ ,R)
1·x - ξ ·
∂v
∂n - v(x)
∂∂n
1
·x - ξ · dσ.
Kuten Esityslauseen todistuksessa (normaali vain on nyt ulospäin), tode-taan, että Γ( ξ ,R):lla
1
·x - ξ · =
1R ja
∂∂n
1
·x - ξ · = -
1R2 .
Näin ollen (Gaussin lausetta käyttäen)
* Huomaa, että esityskaavan oikea puoli on “merkiltään vastakkainen” 3-dimen-
sionaaliseen tapaukseen verrattuna. Tämä johtuu siitä, että
∂
∂n ln(·x - ξ ·) =
∂∂x ln(·x - ξ · ) ˘
ξ - xε = -
1ε
∂∂x ln(·x - ξ
· ) ˘ (x - ξ ) = -
1ε .
Maple laskee:
subs(x^2+y^2=eps^2,normal(dotprod(grad(ln(sqrt(x^2+y^2)),[x,y]),[x,y])));
1
47
v( ξ ) = 14π
⌡⌠
Γ ( ξ ,R)
1R
∂v
∂n +
v(x)R2 dσ
= 1
4πR ⌡⌠
Γ ( ξ ,R)
∂v
∂x n dσ +
14πR2 ⌡⌠
Γ ( ξ ,R)
v(x)dσ
= 1
4πR ⌡⌠P( ξ ,R)
⌡⌠
⌡⌠
∆vdx +
14πR2 ⌡⌠
Γ ( ξ ,R)
v(x)dσ
= 1
4πR2 ⌡⌠Γ ( ξ ,R)
v(x)dσ.
Keskiarvolauseen avulla saadaan todistettua Ääriarvoperiaatetta (joka ei pä-de Laplacen yhtälölle!) vastaava
MAKSIMI-MINIMI-PERIAATE. Alueessa Ω harmoninen funktio u(x) ei
saavuta ääriarvojaanΩ :ssa missään Ω:n pisteessä, ellei se ole vakiofunktio.
Todistus . Todistetaan tulos vaihteeksi Ä2:ssa (todistus Ä3:ssa on taas aivananaloginen). Oletetaan nyt, että alueessa Ω harmoninen funktio u(x) saa-
vuttaa maksimiarvonsaΩ :ssa Ω:n pisteessä P (lokaalinen maksimi). (Vas-taavasti menisi minimin tapaus.) Merkitään M = u(P) ja valitaan mielival-tainen toinen Ω:n piste R. Näytetään, että myös u(R) = M. Pisteen R mie-livaltaisuudesta seuraa silloin, että u(x) on vakiofunktio. Yhdistetään P ja Rtoisiinsa alueessa Ω (äärellispituisella) käyrällä Γ. Silloin karteesinen tulo
˜Ω × Γ on kompakti joukko Ä4:ssä, joten ˜Ω:n pisteen x1 ja Γ:n pisteen x2
etäisyydellä on positiivinen minimiarvo d. Valitaan r = d2 ja piirretään pis-
te P keskipisteenä r-säteinen ympyrä. Se leikkaa käyrää Γ jossain
ΩP
R
Q
48
pisteessä Q. Koska u(x) on harmoninen, niin samoin on M - u(x) =merk.
v(x). Sovelletaan Keskiarvolausetta ympyrällä Γ(P,r) funktioon v(x):
0 = v(P) = 1
2πr ⌡⌠Γ (P,r)
v(x)dσ.
Mutta v(x) on ei-negatiivinen (koko alueessa Ω), joten se on = 0 ympyrän
kehällä Γ (P,r) ja erityisesti pisteessä Q. Siispä u(Q) = M ja maksimiarvo
saavutetaan myös Ω:n pisteessä Q. Toisaalta Q on myös käyrällä Γ. Toiste-taan menettely lähtien pisteestä Q, jne.. Lopulta päädytään tilanteeseen,jossa R jää viimeksi saadun r-säteisen ympyrän sisään. Korvataan silloinviimeinen ympyrä pienemmällä ympyrällä. joka kulkee R:n kautta. Tällätavoin päätellään, että u(P) = u(R).
SEURAUS. Laplacen yhtälön Dirichlet'n probleeman ratkaisu on stabiili(ks. Ääriarvoperiaatteen Seuraus 1 sivulla 33).
Todistus . Kuten vastaavan Ääriarvoperiaatteen Seurauksen todistus (s. 33).
III.3 Greenin funktio. Poissonin integraalikaavat
Laplacen yhtälön Greenin funktion G(x, ξ ) pitää toteuttaa seuraava ehto:
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )∆udx - u( ξ ) = ⌡⌠
˜Ω
G(x, ξ )
∂u
∂n - u
∂G
∂n dσ
(vrt. s. 35). Neumannin probleemalle Greenin funktiota ei olekaan, vaanpitää käyttää Neumannin funktiota (vrt. s. 38). Myöskään Robinin prob-leemalle Greenin funktiota ei ole, jos f(x) on nollafunktio. Tarkastellaanjatkossa vain Dirichlet'n probleemaa, jolloin Greenin funktio toteuttaa seu-raavat ehdot:
∆G = 0, kun x ∈ Ω - ξ
G(x,ξ
) = 0, kun x on reunalla ˜Ω
u( ξ
) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )∆udx + ⌡⌠
˜Ω
u ∂G
∂n dσ,
49
kun ξ on mielivaltainen Ω:n piste ja u on mielivaltainen reuna-arvoteh-tävän ratkaisulle asetetut ehdot toteuttava funktio. Tällöin saadaan integ-raalikaava
u( ξ ) = ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ )d(x)dx + ⌡⌠
˜Ω
h(x)
∂G
∂n dσ.
Sovelletaan nyt Esityslausetta Greenin funktioon. Ensin Ä3:ssa:
G( ξ , η ) = 14π
⌡⌠˜Ω
1·x - ξ ·
∂G
∂n - G(x, η )
∂∂n
1
·x - ξ · dσ -
14π ⌡⌠
Ω
⌡⌠
⌡⌠
∆G
·x - ξ · dx
= 14π
⌡⌠˜Ω
1·x - ξ ·
∂G
∂n dσ -
14π
1
· η - ξ · .
(Integrandeissa esiintyvän G:n muuttujat ovat x ja η .) Tässä pintaintegraaliedustaa seuraavan Dirichlet'n probleeman ratkaisua H(x), kuten integraali-kaavasta suoraan nähdään:
∆H = 0 alueessa Ω
H(x) = 14π
1
·x - ξ · reunalla ˜Ω,
x:n paikalla vain on η . Toisaalta (Lause 10 s. 37) G( η , ξ ) = G( ξ , η ). Näin ollen
(vaihdetaan η :n tilalle x) Greenin funktio on muotoa
G(x, ξ ) = - 14π
1
·x - ξ · + H(x, ξ ),
missä H(x, ξ ) on yo. Dirichlet'n probleeman ratkaisu (mukaan on merkitty
myös muuttujat ξ , koska H ilmeisesti riippuu myös niistä). Mainittu Di-richlet'n probleema
∆H = 0 alueessa Ω
H(x) = 14π
1
·x - ξ · reunalla ˜Ω
on aivan “tavallinen” ja eräissä tapauksissa jopa analyyttisesti ratkeava (ai-nakin numeerisesti). Laplacen yhtälön Dirichlet'n probleeman Greeninfunktio on siis helposti saatavissa (ainakin verrattuna yleiseen itseadjun-goituun elliptiseen tapaukseen).
Aivan vastaavasti menetellään Ä2:ssa. Nyt
50
G( ξ , η ) = - 12π
⌡⌠˜Ω
ln(·x - ξ ·)
∂G
∂n - G(x, η )
∂∂n
ln(·x - ξ ·) dσ
+ 12π ⌡⌠
Ω
⌡⌠
∆G ln(·x - ξ ·)dx
= - 12π
⌡⌠˜Ω
ln(·x - ξ ·)
∂G
∂n dσ +
12π
ln(· η - ξ ·)
ja päätellään Greenin funktion olevan muotoa
G(x, ξ ) = 1
2π ln(·x - ξ ·) + H(x, ξ ),
missä H(x, ξ ) on Dirichlet'n probleeman
∆H = 0 alueessa Ω
H(x) = - 1
2π ln(·x - ξ ·) reunalla ˜Ω
ratkaisu.
H(x, ξ ):n löytämiseksi on kehitetty useita menetelmiä, joista mainittakoon
ns. sähköstaattisten kuvien käyttö: H(x, ξ ):n ajatellaan syntyvän alueen Ωulkopuolelle sijoitetun varaustiheyden aikaansaamaksi potentiaaliksi. Tällätavoin saadaan (ks. ZACHMANOGLOU & THOE) H(x, ξ ) esimerkiksi pallol-le/ympyrälle P(0,R): pallolle
H(x, ξ ) = 14π
R·x·
· ·x·2 ξ - R2x ·
ja ympyrälle
H(x, ξ ) = 1
2π ln(R·x·) - 1
2π ln(··x·2 ξ - R2x·).
Reunaehdot toteutuvat, kuten helposti todetaan. Annetaan Maplen toden-taa harmonisuus:
ksi:=array([ks1,ks2,ks3]);xx:=array([x,y,z]);n:=norm(xx,2); ksi := array ( 1 .. 3,
[ks1, ks2, ks3]
51
xx := array ( 1 .. 3,
[x, y, z]
2 2 2 1/2 n := (x + y + z )
> nn:=normal(norm(add(scalarmul(ksi,n^2),scalarmul(xx,-R^2)),2)): > normal(laplacian(R*n/nn,[x,y,z])); 0
ksi:=array([ks1,ks2]);xx:=array([x,y]);n:=norm(xx,2); ksi := array ( 1 .. 2,
[ks1, ks2]
xx := array ( 1 .. 2,
[x, y]
2 2 1/2 n := (x + y )
nn:=normal(norm(add(scalarmul(ksi,n^2),scalarmul(xx,-R^2)),2)): > normal(laplacian(ln(R*n)-ln(nn),[x,y])); 0
Edelleen Dirichlet'n probleemalle
∆u = 0 pallossa/ympyrässä P(0,R)
u(x) = h(x) pallon kuorella / ympyrän kehällä Γ(0,R)
saadaan ns. Poissonin integraalikaava
u( ξ ) = ⌡⌠
Γ(0,R)
h(x) ∂G
∂n dσ.
Pallo/napakoordinaatistossa Poissonin integraalikaava tulee “mukavam-paan” muotoon. Jos merkitään r = ·x· ja ρ = · ξ · sekä Θ:lla x:n ja ξ :nvälistä kulmaa, niin* pallon kuorella G(x, ξ ) saa muodon
14π
-
1
r2 + ρ2 - 2rρ cos Θ +
Rr
ρ2r4 + R4r2 - 2R2r3ρ cos Θ
ja ympyrän kehällä muodon
* Muista Kosinilause: ·a - b·2 = ·a·2 + ·b·2 - 2·a··b·cos(<) (a,b ) ).
52
12π
12 ln(r2 + ρ2 - 2rρ cos Θ) + ln(Rr) -
12 ln(ρ2r4 + R4r2 - 2R2r3ρ cos Θ) .
Nyt G(x, ξ ) riippuu x:stä vain r:n ja Θ:n kautta ja pallon kuorella / ympyrän
kehällä Θ ei muutu n:n suuntaan, joten (ketjusääntö)
∂G
∂n =
∂G
∂r
∂r
∂n +
∂G
∂Θ
∂Θ∂n
= ∂G
∂r ˘1 +
∂G
∂Θ ˘0 =
∂G
∂r .
Lasketaan ∂G
∂r Maplella (menisi jälleen käsinkin):
funk:=-1/sqrt(r^2+ro^2-2*r*ro*costheta)+R*r/sqrt(ro^2*r^4+R^4*r^2-2*R^2*r^3*ro*costheta);
1 funk := - --------------------------------- 2 2 1/2 (r + ro - 2 r ro costheta)
R r + ------------------------------------------- 2 4 4 2 2 3 1/2 (ro r + R r - 2 R r ro costheta)
> normal(subs(r=R,diff(funk,r)));
2 2 I (- R + ro ) - ------------------------------------- 2 2 3/2 R (- R - ro + 2 R ro costheta)
funk:=(ln(r^2+ro^2-2*r*ro*costheta))/2+ln(R)+ln(r)-(ln(ro^2*r^4+R^4*r^2-2*R^2*r^3*ro*costheta))/2;
2 2 funk := 1/2 ln(r + ro - 2 r ro costheta) + ln(R) + ln(r)
2 4 4 2 2 3 - 1/2 ln(ro r + R r - 2 R r ro costheta)
> normal(subs(r=R,diff(funk,r)));
2 2 - R + ro ---------------------------------- 2 2 R (- R - ro + 2 R ro costheta)
53
Siis pallon kuorella ∂G
∂n tulee muotoon*
∂G
∂n =
14πR
R2 - ρ2
(R2 + ρ2 - 2Rρ cos Θ)3/2
ja ympyrän kehällä muotoon
∂G
∂n =
12πR
R2 - ρ2
R2 + ρ2 - 2Rρ cos Θ
(ns. Poissonin ytimet) ja Poissonin integraalikaavat saavat muodon
u( ξ ) = 1
4πR ⌡⌠
Γ(0,R)
(R2 - ρ2)h(x)
(R2 + ρ2 - 2Rρ cos Θ)3/2 dσ (Ä3:ssa)
u( ξ ) = 1
2πR ⌡⌠
Γ(0,R)
(R2 - ρ2)h(x)
R2 + ρ2 - 2Rρ cos Θ dσ (Ä2:ssa),
jossa ne usein esitetään. Näistä voidaan sentään suhteellisen helpostiosoittaa, että ne todella antavat tarkastellun Dirichlet'n probleeman rat-kaisun, mikäli h(x) on jatkuva pallon kuorella / ympyrän kehällä Γ (0,R).(Ks. ZACHMANOGLOU & THOE.)
III.4 Laplacen yhtälö napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistoissa
Muunnoskaavat ovat seuraavat:
Napakoordinaatisto : x = r cos θ y = r sin θ
* Maplen I on lyhennysmerkintä ilmaukselle RootOf(_Z^2+1). Välttääkseen tyyp-
piä 1 = (-1)(-1) = -1 -1 = -1 olevia virheitä Maple ei varovaisuussyistä ole yl-lä supistanut pois i:tä. Näin ollen nimittäjästä tuleva neliöjuuri voi olla kumpaaetumerkkiä tahansa I:hin verrattuna. Tässä se on -I.
54
Sylinterikoordinaatisto : x = r cos θ
y = r sin θ z = z
Vasenkätinen pallokoordinaatisto : x = ρ cos ϕ sin θ
y = ρ sin ϕ sin θ z = ρ cos θ
Oikeakätinen pallokoordinaatisto : x = ρ cos ϕ cos θ
y = ρ sin ϕ cos θ z = ρ sin θ
Laplacen yhtälön ∆u = d(x) muoto vastaavan riippumattomien muuttujienvaihdon jälkeen voidaan laskea suoraan I.3:n kaavoilla, kunhan yo. yhtä-löistä ratkaistaan uudet muuttujat:
r = x2 + y2
θ = arctan yx
(napakoordinaatisto)
r = x2 + y2
θ = arctan yx
z = z
(sylinterikoordinaatisto)
ρ = x2 + y2 + z2
ϕ = arctan yx
θ = arccot z
x2 + y2
(vasenkätinen pallokoordinaatisto)
ρ = x2 + y2 + z2
ϕ = arctan yx
θ = arctan z
x2 + y2
(oikeakätinen pallokoordinaatisto)
Nämä laskut ovat aika työläitä, joten käytetään Maplea.
Aloitetaan napakoordinaatistosta . Lasketaan ensin Jacobin matriisi:
55
array ( 1 .. 2, 1 .. 2,
[cos(theta), sin(theta)]
sin(theta) cos(theta) [- ----------, ----------] r r
sitten uusi pääosan kerroinmatriisi:
array ( 1 .. 2, 1 .. 2,
[1, 0]
1 [0, ----] 2 r
ja uusi pääosa:
2 d ------- u(r, theta) 2 2 d dtheta ----- u(r, theta) + ------------------- 2 2 dr r
sekä lopuksi 1. kertaluvun osa:
doo u/doo r:n kerroin on 1/r doo u/doo theta:n kerroin on 0
Tulos on siis ∂2 u
∂r2 + 1r2
∂2 u
∂θ2 + 1r
∂u
∂r = e(r,θ).
Sylinterikoordinaatiston Laplacen yhtälö saadaan tästä välittömästi, sillä
uzz ei muutu: ∂2 u
∂r2 + 1r2
∂2 u
∂θ2 + ∂2 u
∂z2 + 1r
∂u
∂r = e(r,θ,z).
Lasketaan sitten oikeakätisen pallokoordinaatiston Laplacen yhtälön muo-to: Syötetään ensin kaavat:
r:=sqrt(x^2+y^2+z^2);fii:=arctan(y/x);theta:=arctan(z/sqrt(x^2+y^2));
56
rr:=sqrt(xx^2+yy^2+zz^2);phi:=arctan(yy/xx);the:=arctan(zz/sqrt(xx^2+yy^2));
xx:=rr*cos(phi)*cos(the);yy:=rr*sin(phi)*cos(the);zz:=rr*sin(the);
lasketaan sitten Jacobin matriisi xyz-koordinaateissa:
array ( 1 .. 3, 1 .. 3,
xx yy zz [----------------------, ----------------------, ---------------------] 2 2 2 1/2 2 2 2 1/2 2 2 2 1/2 (xx + yy + zz ) (xx + yy + zz ) (xx + yy + zz )
yy xx [- -----------, -----------, 0] 2 2 2 2 xx + yy xx + yy
zz xx zz yy [- ----------------------------------, - ---------------------------------, 2 2 1/2 2 2 2 2 2 1/2 2 2 2 (xx + yy ) (xx + yy + zz ) (xx + yy ) (xx + yy + zz )
2 2 1/2 (xx + yy ) -----------------] 2 2 2 xx + yy + zz
ja muunnetaan se uusiin koordinaatteihin:
J := array ( 1 .. 3, 1 .. 3,
[cos(phi) cos(the), sin(phi) cos(the), sin(the)]
sin(phi) cos(phi) [- -------------, -------------, 0] rr cos(the) rr cos(the)
cos(phi) sin(the) sin(phi) sin(the) cos(the) [- -------------------, - -------------------, ----------] rr rr rr
sen jälkeen saadaan uusi pääosan kerroinmatriisi:
57
array ( 1 .. 3, 1 .. 3,
[1, 0, 0]
1 [0, ---------------, 0] 2 2 rr cos(the)
1 [0, 0, -----] 2 rr
ja siitä uusi pääosa: 2 2 d d ------ u(rr, phi, the) ------ u(rr,phi,the) 2 2 2 d dphi dthe ------ u(rr, phi, the) + ------------------------- + --------------------- 2 2 2 2 drr rr cos(the) rr
edelleen 1. kertaluvun termit ovat:
doo u/doo r:n kerroin on 2 1/r doo u/doo fii:n kerroin on 0 doo u/doo theta:n kerroin on
sin(theta) - --------------- 2 r cos(theta)
Lopputulos on siis
∂2 u
∂ρ2 + 1
ρ2 cos2 θ
∂2 u
∂ϕ2 + 1ρ2
∂2 u
∂θ2 + 2ρ
∂u
∂ρ -
tan θρ2
∂u
∂θ = e(ρ,ϕ,θ).
Vasenkätisen pallokoordinaatiston Laplacen yhtälö saadaan tästä helposti,
vaihdetaan vain θ:n paikalle π2 - θ (päässälaskua). Tulos on:
∂2 u
∂ρ2 + 1
ρ2 sin2 θ
∂2 u
∂ϕ2 + 1ρ2
∂2 u
∂θ2 + 2ρ
∂u
∂ρ +
cot θρ2
∂u
∂θ = e(ρ,ϕ,θ).
58
Huom! Nämä ODY:t eivät ole divergenssimuodossa. Toisaalta ne voidaanhaluttaessa saattaa divergenssimuotoon kertomalla puolittain sopivallafunktiolla, ns. integroivalla tekijällä. Napakoordinaatiston ja sylinteri-koordinaatiston integroiva tekijä on r, oikeakätisen pallokoordinaatistonρ2 cos θ ja vasenkätisen ρ2 sin θ, kuten voi helposti nähdä. Kun ODY:t onsaatettu divergenssimuotoon, voidaan niihin soveltaa Luvun II tuloksia, jol-loin saadaan yksikäsitteisyystuloksia, Greenin funktioita, jne.. Toisaaltanämä saadaan myös lähtien “tavallisesta” Laplacen yhtälöstä suorittamallavastaava riippumattomien muuttujien vaihto. Esimerkiksi Poissonin integ-raalikaavat voidaan siirtää helposti napa/pallokoordinaatistoon.
59
IV HYPERBOLISET ODY:T
IV.1 Yleistä
Yleiselle lineaariselle hyperboliselle ODY:lle voitaisiin periaatteessa kehit-tää samantapainen teoria kuin elliptisillekin ODY:ille. Greenin funktion ti-lalla ovat silloin ns. Riemannin funktiot. Erona on kuitenkin se, että hy-perbolisille ODY:ille eivät reuna-arvotehtävät yleensä ole hyvin asetettujaja niiden tilalle tulevat alkuarvotehtävät eli Cauchyn probleemat tai alku-reuna-arvotehtävät. Riemannin funktioita käyttäen saadut integraalikaavatovat vielä yleisessä tapauksessa erittäin mutkikkaita ja vaikeakäyttöisiä,poikkeuksena kahden muuttujan tapaus sekä (epähomogeeninen) aaltoyh-tälö (ks. s. 2).*
Tarkastellaan jatkossa vain kahden muuttujan hyperbolista melkein lineaa-rista ODY:ä, joka kirjoitetaan muotoon
a(x,y)uxx + 2b(x,y)uxy + c(x,y)uyy = d(x,y,u,ux,uy),
kuten I.3:ssa. Hyperbolisuus tarkoittaa silloin sitä, että determinanttiD(x,y) = a(x,y)c(x,y) - b(x,y)2 on < 0. ODY:n ratkaisu u(x,y) voidaan ajatellapintana z = u(x,y) xyz-avaruudessa (ns. ratkaisupinta). Cauchyn problee -massa vaaditaan, että tämä pinta sisältää annetun avaruuskäyrän Γ (ns.
lähtökäyrä) ja että ∂u
∂(x,y) tunnetaan käyrällä Γ. Käyrä Γ annetaan para-
metriesityksen avulla:
Γ: x = f(s) y = g(s) z = h(s).
Lähtökäyrästä Γ oletetaan, että se on sileä , ts. että f, g ja h ovat jatkuvastiderivoituvia ja että (f´(s),g´(s),h´(s)) ≠ 0 (eli että käyrällä on jatkuva tan-gentti).
Edelleen ∂u
∂(x,y) voidaan antaa Γ:lla seuraavasti:
ux(f(s),g(s)) = p(s) uy(f(s),g(s)) = q(s),
jolloin annettujen funktioiden p(s) ja q(s) tulee olla jatkuvasti derivoituvia.
* Kahden muuttujan Riemannin funktiota on käsitelty esim. BITSADZEn kirjassa.
Aaltoyhtälön integraalikaavoja taas käsitellään esim. ZACHMANOGLOU &THOEn sekä JOHNin kirjoissa.
60
Huom! Yllä (x,y) on tarkastelualueessa Ω, jossa ODY on hyperbolinen. Sa-
moin Γ:n parametri s on jollain parametrivälillä I. Näitä ei jatkossamainita erikseen. Sitäpaitsi tarkastelu on useinkin lokaalista, ts. jonkinpisteen (x0,y0,z0), jonka kautta Γ kulkee, ympäristössä tapahtuvaa (jollointietysti z0 = u(x0,y0)).
Se että ratkaisupinta sisältää lähtökäyrän tarkoittaa, että yhtälö
u(f(s),g(s)) = h(s)
toteutuu identiteettinä. Ketjusäännön nojalla toteutuu silloin myös ehto
ux(f(s),g(s))f´(s) + uy(f(s),g(s))g´(s) = h´(s)eli
p(s)f´(s) + q(s)g´(s) = h´(s)
identiteettinä. Tämä ehto on ns. nauhaehto* ja se sanoo, että ratkaisupin-nan normaali lähtökäyrän pisteessä on kohtisuorassa lähtökäyrän tan-genttia vastaan ko. pisteessä. Lähtödataa ei siis voi valita täysin vapaasti!
(-u ,-u ,1)x yz
x
y
Γ
Γxy
Merkitään käyrän Γ projektiota xy-tasolla Γxy:llä, ts.
Γxy : x = f(s) y = g(s).
* Nauha on käyrä, jonka normaali (tässä (-p(s),-q(s),1)) on annettu. Muista, että
pinnan z = u(x,y) eräs normaali pisteessä (x,y,u(x,y)) on (-ux(x,y),-uy(x,y),1).
61
Tätä kutsutaan lähtökäyräksi xy-tasolla. Mikäli lähtödata on riittävää, onsen määrättävä erityisesti u:n toisen kertaluvun derivaatat Γxy:llä. Derivoi-malla identiteetit
ux(f(s),g(s)) = p(s) uy(f(s),g(s)) = q(s)
puolittain s:n suhteen ketjusäännöllä saadaan yhtälöt
uxx(f(s),g(s))f´(s) + uxy(f(s),g(s))g´(s) = p´(s) uxy(f(s),g(s))f´(s) + uyy(f(s),g(s))g´(s) = q´(s).
Käyrällä Γxy pätee luonnollisesti myös ODY, joten
a(f(s),g(s))uxx(f(s),g(s)) + 2b(f(s),g(s))uxy(f(s),g(s))
+ c(f(s),g(s))uyy(f(s),g(s)) = d(f(s),g(s),h(s),p(s),q(s)).
Koska muuta dataa ei ole käytettävissä, niin saadusta yhtälöryhmästä
uxxf´(s) + uxyg´(s) = p´(s) uxyf´(s) + uyyg´(s) = q´(s) auxx + 2buxy + cuyy = d
(jätetään lyhyyssyistä f(s), g(s), h(s), p(s) ja q(s) muuttujapaikoilta pois)pitää ratketa yksikäsitteisesti uxx, uxy ja uyy. Tämä onnistuu, jos ryhmändeterminantti
f´(s) g´(s) 0
0 f´(s) g'(s)
a 2b c
= ag´(s)2 - 2bf´(s)g´(s) + cf´(s)2 ≠ 0,
joten lähtökäyrä ei saa sivuta karakteristista käyrää (eikä siis missäännimessä saa itse olla karakteristinen käyrä!). Jos nimittäin ag´(s)2 -2bf´(s)g´(s) + cf´(s)2 = 0, niin (vrt. ss. 21-22 ja huomaa merkkiero!)
a(g´(s) + m1f´(s))(g´(s) + m2f´(s)) = 0,
jolloin tangentin (f´(s),g´(s)) kulmakerroin on
dydx =
g´(s)f´(s)
= - m1 tai - m2
eli sama kuin karakteristisella käyrällä. (Huom! Tässä oletetettiin, että a≠ 0. Tapaus jossa c ≠ 0 on aivan analoginen (x ja y vain vaihtavat paikkaa).
62
Jos taas jossain pisteessä a = c = 0, niin karakteristiset käyrät ovat tässäpisteessä x- ja y-akselien suuntaiset. Toisaalta tällaisessa pisteessä ym.determinantti on -2bf´(s)g'(s) ja b ≠ 0, joten myös lähtökäyrä olisijommankumman akselin suuntainen, mikäli determinantti olisi = 0.)
IV.2 Karakterististen käyrien menetelmä Cauchyn probleeman nu- meerisessa ratkaisussa
Tarkastellaan edellisessä pykälässä esitettyä Cauchyn probleemaa. Olete -taan , että kerroinfunktiot a(x,y) ja c(x,y) ovat ≠ 0 tarkastelualueessa .
Ainakaan lokaalisesti tämä ei ole kovin rajoittava vaatimus, sillä jos tarkas-tellaan tilannetta jonkin kiinteän pisteen (x0 ,y0) (pienessä) ympäristössä,niin ODY saadaan muunnettua ko. pisteessä kanoniseen muotoonsa jollainlineaarisella riippumattomien muuttujien vaihdolla
ξ
η = C
x
y
(vrt. vastaava päättely normaalimuotojen yhteydessä s. 21). Huomaa, ettätällöin on myös muunnettava Cauchyn lähtödata : Uuden lähtökäyrän para-metriesitys ξη-tasolla on
Γξη :
ξ
η = C
f(s)
g(s) =merk.
k(s)
l(s)
ja uusien muuttujien ξ ja η suhteen esitetyltä riippuvalta muuttujalta u(ξ,η)vaaditaan alkuehto
u(k(s),l(s)) = h(s).
Edelleen (ks. s. 6)
∂u
∂(ξ,η ) =
∂u∂(x,y)
C-1,
joten toinen alkuehto (u:n osittaisderivaattoja koskeva) on uudessa muo-dossaan
(uξ(k(s),l(s)),uη(k(s),l(s))) = (p(s),q(s))C-1.
Nauhaehto säilyy, sillä
63
(uξ(k(s),l(s)),uη(k(s),l(s)))
k´(s)
l´(s) = (p(s),q(s))C-1C
f´(s)
g´(s) = h´(s).
Siirrytään tarkastelemaan karakterististen käyrien menetelmää (olettaensiis, että a(x,y) ≠ 0 ja c(x,y) ≠ 0). Lähtökäyrältä Γxy valitaan tietty määrälähtöpisteitä …,P,Q,… (vaikkapa suorittamalla jako parametrivälillä).Lähtö-pisteiden kautta asetetaan karakteristiset käyrät, yksi kummastakinparvesta. Peräkkäisiin lähtöpisteisiin asetetut eri parviin kuuluvat karak-teristiset käyrät leikkaavat pisteissä …,R,S,…. Etsitään nämä leikkauspis-teet ja käytetään niitä uusina lähtöpisteinä. Näin saadaan uudet leikkaus-pisteet …,T,…, jne..
PQ
RS
T
y
x
Γxy
Menettelyä voidaan jatkaa niin kauan kun pysytään alueessa, jossa ODY onhyperbolinen, a(x,y) ≠ 0 ja c(x,y) ≠ 0, ja pisteet “riittävät”. Jos lähdetäänliikkeelle äärellisestä pistejoukosta Γxy:llä, niin aina siirryttäessä seuraa-vaan leikkauspistejoukkoon pisteiden lukumäärä pienenee yhdellä. Me-nettely pysähtyy tällöin, kun leikkauspisteitä tulee enää yksi.
Tuntemattoman funktion u (eli riippuvan muuttujan) ja sen osittaisderi-vaattojen arvot lasketaan saaduissa pisteissä (lähtökäyrällä ne tunnetaan-kin). Itse asiassa nimenomaan karakterististen käyrien leikkauspisteidenkäyttö pistehilana, jossa u:n arvot lasketaan, on tällöin edullista. Verkontiheyttä ja tuloksen tarkkuutta voidaan haluttaessa lisätä ottamalla alussalähtökäyrällä tiheämpi jako.
Jos ajatellaan yleisesti karakteristista käyrää Φ: y = y1,2(x), niin y toteuttaa
jommankumman DY:istä dydx = -m1,2(x,y). Näillä DY:illä saadaan etsittyä
ka-rakterististen käyrien leikkauspisteet. Toisaalta, ketjusäännön nojalla
ddx u(x,y1,2(x)) = ux(x,y1,2(x)) + uy(x,y1,2(x)) dy
dx
= ux(x,y1,2(x)) - uy(x,y1,2(x))m1,2(x,y).
64
Tätä käyttäen saadaan laskettua u:n arvot leikkauspisteissä. u:n osittaisde-rivaattojen laskemiseksi puolestaan tarvitaan
ddx ux(x,y1,2(x)) = uxx(x,y1,2(x)) + uxy(x,y1,2(x)) dy
dx
( 1 )= uxx(x,y1,2(x)) - uxy(x,y1,2(x))m1,2(x,y)
ja
ddx uy(x,y1,2(x)) = uxy(x,y1,2(x)) + uyy(x,y1,2(x)) dy
dx
( 2 )= uxy(x,y1,2(x)) - uyy(x,y1,2(x))m1,2(x,y).
Lisäksi tietysti itse ODY on voimassa käyrällä Φ:
a(x,y1,2(x))uxx(x,y1,2(x)) + 2b(x,y1,2(x))uxy(x,y1,2(x))
( 3 ) + c(x,y1,2(x))uyy(x,y1,2(x))
= d(x,y1,2(x),u(x,y1,2(x)),ux(x,y1,2(x)),uy(x,y1,2(x))).
(1), (2) ja (3) muodostavat u:n toisen kertaluvun osittaisderivaatoille uxx,uxy ja uyy yhtälöryhmän, jonka determinantti on (ks. s. 21)
1 -m1,2 0
0 1 -m1,2
a 2b c
= am21,2 + 2bm1,2 + c = 0.
(Karakteristisella käyrällä u:n toisen kertaluvun osittaisderivaatat eivätmääräydy yksikäsitteisesti, vrt. edellinen pykälä. Lyhyyden vuoksi jäte-tään muuttujapaikoilta pois x ja y1,2(x).) Toisen kertaluvun osittaisderi-vaatat ovat kumminkin olemassa eli ryhmä ratkeaa, joten Cramerin sään-nön (ks. peruskurssit) mukaisesti myös ne determinantit ovat = 0, jotkasaadaan korvaamalla yo. determinantin jokin sarake yhtälöryhmän oikeanpuolen muodostamalla sarakkeella. Näin ollen (korvataan keskimmäinensarake) erityisesti
1duxdx 0
0duydx -m1,2
a d c
= - am1,2 duxdx + dm1,2 + c
duydx = 0.
65
Tästä saadaan tarvittavat DY:t: “1-parvelle” DY
am1 duxdx - dm1 - c
duydx = 0
ja “2-parvelle” DY
am2 duxdx - dm2 - c
duydx = 0.
Näillä voidaan laskea verkossa eteenpäin u:n osittaisderivaattojen arvoja.
Kootaan vielä yhteen kaikki saadut DY:t kahdeksi ryhmäksi:
dydx = -m1
dudx = ux - uym1
am1 duxdx - c
duydx = dm1
dydx = -m2
dudx = ux - uym2
am2 duxdx - c
duydx = dm2.
Huomaa, että tässä a, c, m1 sekä m2 riippuvat myös y:stä, d riippuu x:n li-säksi y:stä, u:sta, ux:stä ja uy:stä. Edelleen u tarkoittaa itse asiassa funk-tiota u(x,y(x)), ux tarkoittaa funktiota ux(x,y(x)) ja uy funktiota uy(x,y(x)).
Kumpikin DY-ryhmä on erikseen alimäärätty (enemmän tuntemattomiafunktioita kuin yhtälöitä). Jos kuitenkin on kyseessä yhteinen piste(x,y(x)), niin halutaan, että u, ux sekä uy saavat kummallekin DY-ryhmällesamat arvot. Kyseessä ei siis ole puhtaasti DY-ryhmän ratkaisu eikä puh-taasti yhtälöryhmän ratkaisu, vaan eräänlainen yhdistelmä näistä. Yksin-kertaisimmillaan tällaisen tehtävän ratkaisu on seuraavanlaisen iteraationkäyttöä.
Iteraatiomenettely :
Näytetään kuinka pisteistä P ja Q siirrytään pisteeseen R (merkinnät ovats. 63 olevan kuvion mukaiset). Korvataan derivaatat differensseillä (elikor-vataan karakteristiset käyrät suorilla) ja käytetään systemaattisen virheen välttämiseksi kulloinkin tunnetuille suureille keskiarvoja
arvo R:ssä + arvo P:ssä (Q:ssa)
2
aina, kun se suinkin on mahdollista. Edelleen käytetään kaikki saatu uusi data niin nopeasti kuin mahdollista . Eo. differentiaaliyhtälöitä tulevat sil-
66
loin vastaamaan differenssiyhtälöt . DY:itä dydx = -m1,2 vastaavat differens-
siyhtälöt ovat
( A )
y(R) - y(P)
x(R) - x(P) = - m1(R) + m1(P)
2
y(R) - y(Q)x(R) - x(Q) = -
m2 (R) + m2 (Q)2 .
DY:itä
am1,2 duxdx - c
duydx = dm1,2 = - d
dydx
taas vastaavat differenssiyhtälöt (yhtälöistä kerrotaan puolittain pois x(R) -x(P) ja x(R) - x(Q))
(B)
a(R)m1(R)+a(P)m1(P)2 (ux(R) - ux(P)) - c(R)+c(P)
2 (uy(R) - uy(P))
= - d(R) + d(P)
2 (y(R) - y(P))
a(R)m2(R)+a(Q)m2(Q)2 (ux(R) - ux(Q)) - c(R)+c(Q)
2 (uy(R) - uy(Q))
= - d(R) + d(Q)
2 (y(R) - y(Q)).
Edelleen DY:itä dudx = ux - uym1,2 = ux + uy
dydx vastaavat differenssiyhtä-
löt ovat
(C)
u(R) - u(P) =
ux(R)+ux(P)2 (x(R) - x(P)) +
uy(R)+uy(P)2 (y(R) - y(P))
u(R) - u(Q) = ux(R)+ux(Q)
2 (x(R) - x(Q)) + uy(R)+uy(Q)
2 (y(R) - y(Q)).
Lasketaan iteroiden x(R), y(R), u(R), ux(R) ja uy(R). Lähtökäyrällä Γxy jasiis myös lähtöpisteissä P ja Q tunnetaan x, y, u, ux sekä uy ja näin ollenmyös a, c, m1, m2 ja d. Merkitään kullakin iteraatiokierroksella saatua ar-voa käyttäen sulutettua yläindeksiä. Jätetään vielä lyhyyden vuoksi mer-kitsemättä piste R muuttujapaikassa. Sulutetulla yläindeksillä varustetutarvot ovat siis aina pisteessä R saatuja. Lähtiessä kierroslaskuri (= yläin-deksi) on nollassa. Itse iteraatiomenettely on seuraava:
67
1) Nollataan laskuri n ← 0 ja asetetaan (yo. differenssiyhtälöparejavastaten)
a(0) ← a(P) a(Q) , c(0) ←
c(P) c(Q) , d(0) ←
d(P) d(Q) .
sekä m(0)1 ← m1(P) ja m
(0)2 ← m2(Q).
2) Kasvatetaan laskuria: n ← n + 1.
3) Ratkaistaan x(n) ja y(n) käyttäen yhtälöparia (A):
y(n) - y(P)x(n) - x(P)
= - m
(n-1)1 + m1(P)
2
y(n) - y(Q)x(n) - x(Q)
= - m
(n-1)2 + m2(Q)
2 .
Parin determinantti on likimain
m1(P) 1
m2(Q) 1 = m1(P) - m2(Q) ja
se on ≠ 0, kunhan P ja Q ovat kyllin lähellä toisiaan (tiheä jako).Itse asiassa, jos olisi P = Q, niin determinantti olisi m1 - m2 ≠ 0(hyperbolinen tapaus).
4) Ratkaistaan sitten u(n)x ja u
(n)y yhtälöistä (B) käyttäen kohdassa
3) saatuja uusia iteraatteja:
a(n)m(n)1 +a(P)m1(P)
2 (u(n)x - ux(P)) - c
(n)+c(P)2 (u(n)
y - uy(P))
= - d(n-) + d(P)
2 (y(n) - y(P))
a(n)m(n)2 +a(Q)m2(Q)
2 (u(n)x - ux(Q)) - c
(n)+c(Q)2 (u(n)
y - uy(Q))
= - d(n-) + d(Q)
2 (y(n) - y(Q)).
Tässä d(n-) = d(x(n),y(n),u(n-1),u(n-1)x ,u
(n-1)y ) (saatua dataa on heti
käytettävä!). Parin determinantti on likimain
a(P)m1(P) - c(P)
a(Q)m2(Q) - c(Q)
ja se on ≠ 0, kunhan P ja Q ovat kyllin lähellä toisiaan. Jos nimit-
68
täin olisi P = Q, niin determinantti saisi arvon ac(m1 - m2) ≠ 0.Tässä kohden siis tarvitaan vaadittu oletus a,c ≠ 0.
5) Ratkaistaan sitten u(n) n:n pariteetin mukaisesti vuorotellen yh-tälöistä (C) käyttäen edellä saatuja uusia iteraatteja:
u(n) - u(P) = u
(n)x + ux(P)
2 (x(n) - x(P)) + u
(n)y + uy(P)
2 (y(n) - y(P)) ,
jos n on parillinen, ja
u(n) - u(Q) = u
(n)x + ux(Q)
2 (x(n) - x(Q)) + u
(n)y + uy(Q)
2 (y(n) - y(Q)) ,
jos n on pariton. (Myös yo. yhtälöistä saatujen u(n):n arvojen kes-kiarvoa voitaisiin käyttää.)
6) Testataan, onko
| x(n) - x(n-1)| < ε , | y(n) - y(n-1)| < ε , | u(n) - u(n-1)| < ε ,
| u(n)x - u
(n-1)x | < ε ja | u
(n)y - u
(n-1)y | < ε ,
missä ε on ennalta valittu tarkkuusraja. Mikäli haluttu tarkkuuson saavutettu, lopetetaan, muuten mennään kohtaan 2).
Luonnollisesti on vielä syytä asettaa maksimi M iteraatiokierrosten luku-määrälle sekä testata onko n = M. Yleensä iteraatiokierroksia ei tarvitamonta, ellei olla lähellä pisteitä, joissa ODY on parabolinen (m1 = m2) tai a= 0 tai c = 0.
Huom! Menettely on aivan pienin muutoksin yleistettävissä myös kvasili -neaariseen tapaukseen . (Ero on lähinnä siinä, missä kohden uutta dataavoidaan ottaa käyttöön.) Hyvä asiaan liittyvä kirja on SMITH, G.D.: Nume-rical Solutions of Partial Differential Equations. Oxford University Press(-85).
69
IV.3 1-ulotteisen aaltoyhtälön Cauchyn probleema
1-ulotteinen epähomogeeninen aaltoyhtälö (ks. sivu 2) on muotoa
c2uxx = utt - d(x,t)
oleva ODY, jonka muuttujista x on paikkamuuttuja ja t on aika . Riippuvanmuuttujan u “arvot” edustavat poikkeamaa tasapainoasemasta (u = 0), jo-ten se on luonteeltaan myös paikkamuuttuja. Pakkofunktio d(x,t) taas onluonteeltaan kiihtyvyyssuure ja miinusmerkki suuntaa sen samansuuntai-seksi toisen kiihtyvyyssuureen utt kanssa. Vakiokerroin c on nopeussuure.
Pääosan kerroinmatriisi on tässä A =
c2 0
0 -1 . “Juuret” m1 ja m2 (ks. sivu
21) ovat ± 1c . Differentiaaliyhtälön
dtdx = ±
1c ratkaisuista saadaan (ks.
sivun 22 Apulause) karakteristisiksi käyriksi suorat ±x + ct = C (ns.karakteristi-set suorat). Ensimmäiseen normaalimuotoon päästään näin
ollen lineaari-sella riippumattomien muuttujien vaihdolla
ξ
η = C
x
t ,
missä C =
1 c
-1 c . Uusi pääosan kerroinmatriisi on muuttujien vaihdon
jälkeen*
1 c
-1 c
c2 0
0 -1
1 -1
c c =
0 -2c2
-2c2 0 ,
joten normaalimuotoisena aaltoyhtälö on
uξη = 1
4c2 d(ξ,η ).
Cauchyn probleeman lähtökäyrä xt-tasolla on (yleensä) x-akseli, ts.lähtödata annetaan alkuhetkellä t = 0. Alkuhetkestä voidaan “edetä” yhtähyvin eteen (t > 0) kuin taakse (t < 0). Lähtökäyrä on siis
Γxt : x = s = f(s) t = 0 = g(s)
ja lähtödatana annetaan
u(s,0) = h(s) sekä ut(s,0) = q(s).
Tällöin ilmeisesti ux(s,0) = h´(s) (mikä seuraa myös nauhaehdosta). Ky-seessä on näin ollen puhtaasti alkuarvotehtävä.
Katsotaan miten Cauchyn probleeman lähtödata muuntuu normaalimuoto-muunnoksessa (ks. sivu 62). Lähtökäyrä ξη-tasolla on
* Ks. s. 12 ja sen alaviite.
70
Γξη :
ξ
η = C
s
0 =
s
-s =
k(s)
l(s) .
Uusi Cauchyn lähtödata on siis
u(s,-s) = h(s)ja
(uξ(s,-s),uη(s,-s)) = (h´(s),q(s))C-1 = (h´(s),q(s))
1
2 - 12
12c
12c
= (12 h´(s) + 12c q(s),-
12 h´(s) +
12c q(s)).
Johdetaan seuraavaksi aaltoyhtälön alkuarvotehtävälle integraalikaava , ns.D'Alembert'n kaava . Tätä varten integroidaan ensin normaalimuotoinenaaltoyhtälö. Kertaalleen integroiden (muuttujan ξ suhteen) saadaan yhtälö
uη(ξ,η) = 1
4c2 ⌡⌠-η
ξ d(λ,η )dλ + C1(η ).
Huomaa, että määräämätön integrointivakio voi nyt riippua muuttujasta η,
sillä integrointi tapahtui muuttujan ξ suhteen. Alarajaksi voitaisiin valita
-η:n sijasta mikä tahansa η:sta riippuva raja, mutta valittu alaraja on muka-
va, koska lähtökäyrällä Γξη integrointirajat yhtyvät ja lähtödatan avulla saa-daan
uη(s,-s) = 0 + C1(-s) = - 12 h´(s) +
12c q(s).
Näin ollen C1(η) = - 12 h´(-η ) +
12c q(-η ). Integroidaan toisen kerran (nyt
muuttujan η suhteen):
u(ξ,η) = 1
4c2⌡⌠-ξ
η
⌡⌠-ν
ξ d(λ ,ν)dλ dν +⌡⌠
-ξ
η (- 12 h'(-ν) +
12c q(-ν)) dν + C2(ξ).
Tällä kertaa määräämätön integrointivakio voi riippua muuttujasta ξ, sillä
integrointi tapahtui muuttujan η suhteen. Alarajaksi voitaisiin valita -ξ:n
sijasta mikä tahansa ξ:stä riippuva raja, mutta valittu alaraja on jälleen mu-
kava, koska lähtökäyrällä Γξη integrointirajat yhtyvät ja lähtödatan avullasaadaan
u(s,-s) = 0 + 0 + C2(s) = h(s).
71
Näin ollen C2(ξ) = h(ξ ) = h(x+ct). Katsotaan molempia integraaleja erik-seen. Ensin lasketaan
⌡⌠-ξ
η (- 12 h´(-ν) +
12c q(-ν)) dν =/
-ξ
η 12 h(-ν) +
12c⌡⌠
-ξ
η q(-ν)dν
χ=-ν=
12 h(-η) -
12 h(ξ ) +
12c ⌡⌠
−η
ξ q(χ )dχ
= 12 h(x-ct) -
12 h(x+ct) +
12c ⌡⌠
x-ct
x+ct
q(χ )dχ.
Kaksoisintegraalin tarkastelussa erotetaan kaksi tapausta. Jos ξ + η > 0 eli
t > 0, niin kaksoisintegraali on alla kuvatun alueen A yli otetun kaksinker-taisen integraalin iteroitu muoto:
A(ξ,η)
λ
ν
−ξ
−ηD
t
xx-ct x+ct
τ
χ
Integraalimuunnos
χ
τ = C-1
λ
ν , jonka determinantti on 2c, muuntaa
silloin kaksinkertaisen integraalin muotoon ⌡⌠D
⌡⌠
d(χ,τ)2cdχdτ, missä D on
yo. kuvion antama alue. Huomaa, että χ ja τ vastaavat nyt suoraan integroin-
timuuttujina x:ää ja t:tä. Vastaavasti, jos ξ + η < 0 eli t < 0, niin kaksoisin-tegraali kirjoitettuna muotoon
⌡⌠-ξ
η
⌡⌠-ν
ξ d(λ ,ν)dλ dν =⌡⌠
-ξ
η
- ⌡⌠ξ
-ν d(λ ,ν)dλ dν =⌡⌠
η
-ξ
⌡⌠ξ
-ν d(λ ,ν)dλ dν
on jälleen alla kuvatun alueen A yli otetun kaksinkertaisen integraalin ite-roitu muoto:
72
λ
ν
A
x x-ctx+ct
τ
χ
t
D−ξ
−η
(ξ,η)
ja integraali tulee muunnoksen jälkeen muotoon ⌡⌠D
⌡⌠
d(χ,τ)2cdχdτ, missä
D on yo. kuvion antama alue.
Kun kootaan saadut tulokset yhteen ja palataan alkuperäisiin muuttujiin,syntyy D'Alembert'n kaava
u(x,t) = 12 h(x-ct) +
12 h(x+ct) +
12c ⌡⌠
x-ct
x+ct
q(χ )dχ + 12c ⌡⌠
D
⌡⌠
d(χ,τ)dχdτ,
missä D on jompikumpi yo. kuvioiden antamista integrointialueista, senmukaan onko t > 0 vaiko t < 0.
Jos d(x,t) on nollafunktio eli kyseessä on homogeeninen aaltoyhtälö, voi-daan D'Alembert'n kaava kirjoittaa muotoon
u(x,t) = 12 h(x-ct) +
12 h(x+ct) +
12c /
x-ct
x+ct Q(χ)
= 12 h(x-ct) +
12 h(x+ct) +
12c (Q(x+ct) - Q(x-ct))
=merk. H1(x-ct) + H2(x+ct).
Ratkaisu muodostuu tällöin kahdesta vastakkaisiin suuntiin muotoaanmuuttamatta nopeudella c etenevästä aaltokuviosta
H1(x) = 12 h(x) -
12c Q(x)
ja
H2(x) = 12 h(x) +
12c Q(x).
73
Huom! D'Alembertin kaava antaa tuloksen aina, kun integraalit ovat ole-massa. Siis silloinkin, kun kaikki derivoituvuus- ja jatkuvuusoletukset eivätole voimassa. Tällaisia “ratkaisuja” kutsutaan heikoiksi ratkaisuiksi . Niillä-kin on usein vastineensa fysikaalisten värähtelyilmiöiden joukossa.
D'Alembert'n kaavasta nähdään, että ratkaisu u(x,t) riippuu pisteessä (x,t)lähtöarvoista h(s) vain s:n arvoilla x ± ct ja lähtöarvoista q(s) vain x-akselinvälillä [x — ct,x ± ct]. Tämä väli on ns. pisteen (x,t) riippuvuusväli. Kolmio,jonka kanta on riippuvuusväli ja kärkipiste (x,t), on ns. riippuvuuskolmio(kolmio D alla olevassa kuviossa). Ratkaisun u(x,t) arvo pisteessä riippuupakkofunktiosta d vain tämän riippuvuuskolmiossa saamien arvojen kaut-ta. x-akselin pisteen (x,0) vaikutusalue on ko. pisteen kautta piirrettyjenkarakterististen suorien väliin jäävä xt-tason alue (ks. alla oleva kuvio).Lähtödata x-akselin pisteessä (x,0) vaikuttaa ratkaisun arvoon muualla vainko. pisteen vaikutusalueessa.
x-ct x+ctx
(x,t)
t
x
riippuvuusväli
D
t
xx
D'Alembertin kaavan seurauksena saadaan ns.
SUUNNIKASSÄÄNTÖ. Karakterististen suorien muodostamassa suunnik-kaassa S (ks. alla oleva kuvio) on
u(A) + u(C) - u(B) - u(D) = 12c ⌡⌠
S
⌡⌠
d(χ,τ)dχdτ
74
A
B
C
D
S S
Todistus . Kuten sivulla 72 todettiin, muusta kuin pakkofunktiosta aiheu-tuva ratkaisun u(x,t) osa voidaan kirjoittaa muotoon H1(x-ct) + H2(x+ct)=merk. v(x,t). Koska karakteristisella suoralla x - ct = C1 funktio H1(x-ct)saa vakioarvon H1(C1) ja suoralla x + ct = C2 puolestaan funktio H2(x+ct)saa vakioarvon H2(C2), niin ilmeisesti
v(A) + v(C) - v(B) - v(D) = 0.
Pakkofunktiosta riippuvan osan 12c ⌡⌠
D
⌡⌠
d(χ,τ)dχdτ =merk. w(x,t) arvot suun-
nikkaan kärjissä saadaan muodostamalla kaksinkertaiset integraalit sopi-vien kolmioiden yli. Näiden kolmioiden kantapisteet x-akselilla alla olevankuvion tilanteessa ovat seuraavat:
a) kärki A, kantapisteet x ± ct;
b) kärki B, kantapisteet x - ct ja x + ct + 2ct1;
c) kärki C, kantapisteet x - ct - 2ct2 ja x + ct + 2ct1;
d) kärki D, kantapisteet x - ct - 2ct2 ja x + ct.
Vastaavat integrointialueet ovat kolmiot K, K ∪ L, K ∪ L ∪ M ∪ S ja K ∪ M.Ks. kuvio seuraavalla sivulla.
75
A
B
C
D
S
M
KL
x-ct-2ct x-ct x+ct x+ct+2ct2 1
Tällöin ilmeisesti w(A) + w(C) - w(B) - w(D) = 12c ⌡⌠
S
⌡⌠
d(χ,τ)dχdτ. Koska
u(x,t) = v(x,t) + w(x,t), saadaan väitetty kaava.
Muut tilanteet (ks. alla olevat kuviot) käsitellään vastaavasti.
A
B
C
D
S S
A
B
C
D
SS
76
A
B
C
DS S
A
B
C
DSS
IV.4 1-ulotteisen aaltoyhtälön alku-reuna-arvotehtävä
Usein ratkaistaan aaltoyhtälö vain kaistassa a < x < b. Tällöin tarvitaan (Di-
richlet'n tyyppiset) reunaehdot u(a,t) = α (t)
u(b,t) = β(t)
t
xa b
alkuehtojen lisäksi. Annetun datan on silloin toteutettava ns. yhteensopi-vuusehdot
77
α (0) = h(a)
β(0) = h(b)
α ´(0) = q(a)
β´(0) = q(b)
α ´´(0) = c2h´´(a) + d(a,0)
β´´(0) = c2h´´(b) + d(b,0)
(muutoin saadaan vain heikkoja ratkaisuja).
Näytetään seuraavaksi, että
APULAUSE. Suunnikassääntö pätee myös alku-reuna-arvotehtävän ratkai-sukaistassa.
Todistus. Todetaan ensin, että jos suunnikas ◊ABEF, jonka sivut ovat ka-rakteristisia suoria, voidaan jakaa karakteristisella suoralla kahteen osa-suunnikkaaseen ◊ABCD ja ◊CEFD, joille Suunnikassääntö pätee, niin se pä-tee myös suunnikkaalle ◊ABEF. (Ks. seuraavalla sivulla oleva kuvio.) Jos ni-mittäin
u(A) + u(C) - u(B) - u(D) = 12c ⌡⌠
◊ABCD
⌡⌠
d(χ,τ)dχdτ
ja vastaavasti
u(D) + u(E) - u(F) - u(C) = 12c ⌡⌠
◊CEFD
⌡⌠
d(χ,τ)dχdτ,
niin puolittain yhteenlaskemalla saadaan
u(A) + u(E) - u(B) - u(F) = 12c ⌡⌠
◊ABEF
⌡⌠
d(χ,τ)dχdτ.
Näin ollen suunnikkaat voidaan jakaa tarvittaessa miten tahansa pieniksiosasuunnikkaiksi karakteristisilla suorilla. Jaetaankin tarkasteltava suunni-kas niin pieniin osasuunnikkaisiin, että kullekin tällaiselle osasuunnik-kaalle ◊ABCD sen sivujen jatkeet leikkaavat jotain suoraa t = t0 tarkastelu-kaistan a < x < b sisällä. Ajanhetki t0 voidaan aina valita siten, että suora t= t0 kulkee jommankumman kärjen B tai D kautta. Merkitään sitten t = t0+ t' ja pisteitä A, B, C ja D xt'-koordinaatistossa A', B', C' ja D', vastaavasti.Merkitään edelleen v(x,t') = u(x,t0+t').* Silloin ketjusäännön nojallavt't'(x,t') = utt(x,t0+t') ja vxx(x,t') = uxx(x,t0+t'). Edelleen vt'(x,0) = ut(x,t0).Näin ollen v(x,t') on alku-reuna-arvotehtävän
* Kyseessä on itse asiassa riippumattomien muuttujien vaihto
x = x t' = t - t0 (aikatrans-
laatio) , mutta ei oteta tässä turhaan käyttöön “raskasta koneistoa”.
78
F
E
C
D
A
B
x
t
C'
D'
A'
B'
x
t'
a b
c2vxx = vt't' - d(x,t0+t'), kun a < x < b
v(x,0) = u(x,t0), kun a < x < b
vt'(x,0) = ut(x,t0), kun a < x < b
v(a,t') = α (t0+t')
v(b,t') = β(t0+t')
ratkaisu. Mutta suunnikkaassa ◊A'B'C'D' siihen voidaan soveltaa Suunnikas-sääntöä, koska tässä suunnikkaassa tarvitaan vain alku arvodataa japakkofunktiota. Siis
v(A') + v(C') - v(B') - v(D') = 12c ⌡⌠
◊A'B'C'D'
⌡⌠
d(χ,t0+τ ')dχdτ ',
josta suunnikaskaava saadaan siirtymällä takaisin aikamuuttujaan t = t0 +t'.
Alku-reuna-arvotehtävä voidaan nyt ratkaista seuraavasti käyttäen Suunni-kaskaavaa. Piirretään tarkastelupisteestä (x,t) karakteristisia suoria koh-den x-akselia antaen niiden heijastua reunasuorista x = a ja x = b. Näin
79
K
t
a bx
(x,t)
80
syntyy kohden x-akselia etenevä suunnikasketju (ks. edellä oleva kuvio).Koska suunnikkaiden pisteistä aina kaksi on reunalla, jossa u tunnetaan,voidaan u(x,t) saada laskettua, kunhan kaksinkertaiset integraalit ketjunsuunnikkaiden yli saadaan laskettua ja u:n arvo saadaan ketjun alimmassa(ylimmässä, jos t < 0) pisteessä. Ketjua jatketaankin niin pitkälle, kunnessen viimeisen suunnikkaan kärki osuu kolmioon K, jossa u:n arvo saadaanvälittömästi D'Alembert'n kaavasta (musta kolmio kuviossa).
Huom! Eo. kuvion tapaus ei suinkaan ole ainoa. Saattaa olla, ettei ketjunviimeisen suunnikkaan kärki osu lainkaan mainittuun kolmioon, vaan jäävähän vaille. Näissä tapauksissa joudutaan lisäämään muutamia suunnik-kaita. (Ks. alla olevat kuviot.)
K
t
a bx
81
K
t
a bx
Muitakin tapoja alku-reuna-arvotehtävien ratkaisemiseksi on, esimerkiksiFourier'n analyysiin perustuvat menettelyt (ks. peruskurssit). Näillä saa-daan käsiteltyä myös muunlaisia reunaehtoja kuin eo. Dirichlet'n tyyp-pinen reunaehto.
Numeerisesti laskettaessa soveltuu yo. menettelyn lisäksi (jossa numeeri-sesti pitää laskea lähinnä esiintyvät integraalit) myös karakterististenkäyrien menetelmä. Tässä tapauksessa siitä tulee ns. eksplisiittinen diffe -renssimenetelmä .
82
Huom! Yo. menettely soveltuu myös silloin, kun ratkaisu on heikko, koskaSuunnikaskaavan johdossa tarvitaan vain integraalikaavaa, ei itse aaltoyh-tälöä. Tällöin lähtö- ja reunadatassa voi olla epäjatkuvuuksia, samoin pak-kofunktiossa, eikä yhteensopivuusehtojen tarvitse välttämättä olla voimas-sa. Ratkaisussa on tällöin ns. singuläriteettejä . Nämä “etenevät” pitkinkarakteristisia suoria, koska muilla käyrillä u:n toiset derivaatat määräy-tyisivät yksikäsitteisesti (ainakin jossain), vrt. s. 61.
83
V PARABOLISET ODY:T: LÄMPÖYHTÄLÖ
V.1 Lämpöyhtälö
Parabolisia ODY:itä on hyvin monenlaisia. Tavallisimmat ovat ns. lämpöyh-tälöitä eli diffuusioyhtälöitä, ts. tyyppiä
∇ ˘((∇ u)A(x,t)) + c(x,t)u = ∂u
∂t + d(x,t),
missä riippumattomat muuttujat ovat x1,…,xn (ns. paikkamuuttujat, mer-kitään lyhyesti x) ja t (ns. aikamuuttuja). Huomaa, että nablaoperaattori ∇ja divergenssioperaattori ∇ ˘ operoivat vain paikkamuuttujiin x. Matriisi
A(x,t) on symmetrinen positiividefiniitti nÆn-matriisi.
Avattuna ODY on muotoa
trace(A(x,t)∇ T∇ u) + (∇ A(x,t))(∇ u)T + c(x,t)u = ∂u
∂t + d(x,t)
(ks. s. 26; huomaa, että Hessen matriisi ∇ T∇ u on muodostettu vain paik-kamuuttujien x suhteen). Varsinainen ODY:n pääosan kerroinmatriisi onnäin ollen (n + 1)Æ(n + 1)-matriisi
A(x,t) 0T
0 0
ja se on positiivisemidefiniitti (ks. sivun 32 alaviite). Kuten aikaisemmin-kin, käytetään ODY:lle operaattorimerkintää Lu = d(x,t), missä
L = trace(A(x,t)∇ T∇ ) + (∇ A(x,t))∇ T + c(x,t) - ∂∂t
.
Lämpöyhtälölle ominainen tehtävätyyppi on alku-reuna-arvotehtävä (ks.IV.4). Formuloidaan tehtävä vain n:n arvoille 1, 2 ja 3. (Tehtävä yleistyytoki myös korkeampiin dimensioihin.) Reunaehtojen tyypistä riippuen(ks. II.1) saadaan lämpöyhtälölle seuraavat alku-reuna-arvotehtävät:
Dirichlet'n probleema : Lu = d(x,t), kun x ∈ Ω ja t > 0
u(x,0) = k(x), kun x ∈Ω u(x,t) = h(x,t), kun x ∈ ∂Ω ja t > 0
8 4
Neumannin probleema *: Lu = d(x,t), kun x ∈ Ω ja t > 0
u(x,0) = k(x), kun x ∈Ω (∇ u)A(x,t)n(x)T = h(x,t), kun x ∈ ∂Ω ja t > 0
Robinin probleema *:
Lu = d(x,t), kun x ∈ Ω ja t > 0
u(x,0) = k(x), kun x ∈Ω f(x,t)u(x,t) + g(x,t)(∇ u)A(x,t)n(x)T = h(x,t),
kun x ∈ ∂Ω ja t > 0.
Kuten elliptisillekin ODY:ille, vaaditaan tässäkin, että Robininprobleemas-sa (f(x,t),g(x,t)) ≠ 0. Huomaa, että toisin kuin aaltoyhtälölle,ut:tä ei anneta alkudatana. Se nimittäin saadaan itse lämpöyhtälöstä rajallat → 0+. Erona aaltoyhtälön alku-reuna-arvotehtävään verrattuna on lisäksise, ettei arvoja t < 0 tarkastella lainkaan (lämpövirtaa ei voi ajaataaksepäin). Myös yh-teensopivuusehdot voidaan kirjoittaa eri alku-reuna-arvotehtäville samaan tapaan kuin aaltoyhtälölle s. 76. Ne ovat seuraavat:
Dirichlet : h(x,0) = k(x)
∇ ˘((∇ k)A(x,0)) + c(x,0)k(x) = ∂h
∂t + d(x,0) , kun x ∈ ∂Ω,
Neumann : (∇ k)A(x,0)n(x)T = h(x,0), kun x ∈ ∂Ω,
Robin : f(x,0)k(x) + g(x,0)(∇ k)A(x,0)n(x)T = h(x,0), kun x ∈ ∂Ω.
Lämpöyhtälön alku-reuna-arvotehtävien tarkastelu on paljolti samantapais-ta kuin vastaavien (itseadjungoidun) elliptisen ODY:n tehtävien käsittelyLuvussa II. Sivulla 28 olevaa derivointikaavaa vastaava tulos on nyt
∇ ˘(u(∇ u)A(x,t)) = (∇ u)A(x,t)(∇ u)T + u∇ ˘((∇ u)A(x,t))
= (∇ u)A(x,t)(∇ u)T + u(Lu - c(x,t)u + ut),
joten
uLu = ∇ ˘(u(∇ u)A(x,t)) - (∇ u)A(x,t)(∇ u)T + c(x,t)u2 - uut.
∗ Jos n = 1, normaali n on ±1. Yleensä annetaankin tällöin Neumannin problee-
massa ux reunapisteissä ja Robinin probleemassa vastaavasti u:n ja ux:n lineaa-rikombinaation arvo reunapisteissä.
85
Samalla sivulla oleva Apulause puolestaan tulee muotoon
APULAUSE. Oletetaan, että c(x,t) < 0, kun x ∈ Ω ja t > 0, u(x,t) on kah-
desti jatkuvasti derivoituvaΩ Æ Ä0:ssa∗ , u(x,0) = 0, kun x ∈ Ω, ja että in-tegraali∗∗
⌡⌠0
T
⌡⌠∂Ω
(u(∇ u)A(x,t))˘ndσ dt < 0
aina kun T > 0. Silloin∗∗∗
(i) ⌡⌠0
T
⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx dt < 0 ja
(ii) ⌡⌠0
T
⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx dt = 0 tarkalleen silloin, kun u(x,t) on nolla-
funktio.
Todistus . (i) Todistus on hyvin samantapainen kuin vastaavan tuloksen to-distus II.2:ssa. Homogeeninen alkuehto u(x,0) = 0 tarvitaan, jotta
⌡⌠0
T
⌡⌠Ω
⌡⌠
uutdx dt = ⌡⌠
Ω
⌡⌠
⌡⌠0
T
uutdt dx = ⌡⌠
Ω
⌡⌠
/
0
T 12 u2 dx = ⌡⌠
Ω
⌡⌠
12 u(x,T)2dx > 0.
(ii) Jälleen todistus on samantapainen kuin s. 28 Apulauseen todistukses-
sa. Jos⌡⌠0
T
⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx dt = 0, niin (vrt. (i) yllä) erityisesti ⌡⌠
Ω
⌡⌠
12 u(x,T)2dx
= 0 kaikille T:n arvoille T > 0. Siispä tällöin u(x,t) = 0, kun t > 0 (muistahomogeeninen alkuehto).
LAUSE 11. Jos c(x,t) < 0 ja f(x,t)g(x,t) > 0, niin homogeenisen Robininprobleeman (d(x,t) = 0, k(x) = 0 ja h(x,t) = 0) ainoa ratkaisu on nollafunk-tio.
∗ Ä0 on ei-negatiivisten reaalilukujen joukko .∗∗ Muista, että tarkastellaan vain tapauksia n = 1,2,3. Reunaintegraali on summa ja
n = ±1 tapauksessa n = 1. Apulause yleistyy tosin myös korkeampiin dimensi-oihin n, mutta silloin tarvitaan Gaussin lause Än:ssä.
∗∗∗ Tässä ⌡⌠ ⌡⌠
tarkoittaa 1-, 2- tai 3-kertaista integraalia.
86
Todistus . Robinin probleemassa f(x,t) ≠ 0 ja/tai g(x,t) ≠ 0, joten voidaan
aina kirjoittaa joko u(x,t) = - g(x,t)f(x,t) (∇ u) A(x,t)n(x)T tai (∇ u)A(x,t)n(x)T =
- f(x,t)g(x,t) u(x,t), kun x ∈ ∂Ω, jolloin ⌡⌠
0
T
⌡⌠∂Ω
(u(∇ u)A(x,t))˘ndσ dt < 0. Edel-
leen tällöin⌡⌠0
T
⌡⌠Ω
⌡⌠
uLudx dt = 0, koska Lu = 0. Apulauseen kohdan ( ii )
nojalla u(x,t) on nollafunktio.
SEURAUS. Jos c(x,t) < 0, niin kaikkien alku-reuna-arvotehtävien ratkaisutovat yksikäsitteiset. (Robinin probleemassa edellytetään tässäkin, ettäf(x,t)g(x,t) > 0.)
Todistus . Kuten vastaavien Seurausten todistukset II.2:ssa. Huomaa, ettäDirichlet'n ja Neumannin probleemat saadaan Robinin probleemasta valit-semalla f(x,t) = 1 ja g(x,t) = 0 tai f(x,t) = 0 ja g(x,t) = 1.
Yleisemmin lämpöyhtälö voidaan esittää muodossa
trace(A(x,t)∇ T∇ u) + b(x,t)(∇ u)T + c(x,t)u = ∂u
∂t + d(x,t)
(lyhyesti Lu = d(x,t)), missä A(x,t) on positiividefiniitti symmetrinen mat-riisi. Sivulla 32 esitetty Ääriarvoperiaate yleistyy tällaiselle lämpöyhtälölle:
LÄMPÖYHTÄLÖN ÄÄRIARVOPERIAATE 1. Olkoon Lu = 0 yleinen ho -mogeeninen lämpöyhtälö, jossa c(x,t) < 0, ja T > 0. Jos u on lämpöyhtälönratkaisu Ω Æ Ä+:ssa∗ , niin u(x,t):llä ei ole joukossa Ω Æ (0,T] negatiivista mi-nimiarvoa eikä positiivista maksimiarvoa.
Todistus . Asetetaan vastaoletus : u(x,t):llä on negatiivinen minimiarvo mpisteessä x0 ∈ Ω hetkellä t0 ∈ (0,T]. (Positiivisen maksimiarvon tapaus kä-sitellään vastaavasti.) Silloin m on x:n funktion u(x,t0) minimiarvo kom-paktissa joukossaΩ . Koska x0 ∈ Ω, kyseessä on lokaalinen minimi ja
(paikkamuuttujien suhteen hetkellä t = t0 muodostettu) gradientti ∇ u on
= 0 ja Hessen matriisi ∇ T∇ u on positiivisemidefiniitti (ks. peruskurssit).Mutta tällöin
ut(x0,t0) = ut(x0,t0) + Lu
= trace(A(x0,t0)∇ T∇ u) + b(x0,t0)(∇ u)T + c(x0,t0)m > 0
∗ Ä+ on positiivisten reaalilukujen joukko.
87
(vrt. s. 32 oleva todistus). Näin ollen t:n funktio u(x0,t) on aidosti kasvava
hetkellä t = t0 ja jollain hetkellä t1 < t0 on u(x0,t1) < m, .
Jos c(x,t) voi saada myös nolla-arvoja, saadaan hieman heikompi tulos:
LÄMPÖYHTÄLÖN ÄÄRIARVOPERIAATE 2. Olkoon Lu = 0 yleinen ho -mogeeninen lämpöyhtälö, jossa c(x,t) < 0, ja T > 0. Jos u on lämpöyhtälönratkaisu Ω Æ Ä+:ssa, niin u(x,t) saavuttaa (mahdollisen) negatiivisen mini-
minsä ja (mahdollisen) positiivisen maksiminsa joukossaΩ Æ [0,T] joko al-
kuhetkellä t = 0 ja/tai reunalla ∂Ω (ja mahdollisesti muuallakin/muulloin-kin).
Todistus : Asetetaan vastaoletus : u(x,t):n minimiarvo m < 0 joukossaΩ Æ
[0,T] saavutetaan joukossa Ω Æ (0,T], mutta ei alkuhetkellä t = 0 eikä reu-
nalla ∂Ω. (Vastaavasti käsitellään positiivisen maksimiarvon tapaus.) Vali-
taan (jokin) sellainen piste x0 ∈ Ω ja hetki t0 ∈ (0,T], että u(x0,t0) = m.Merkitään
v(x,t) = u(x,t) + a(t - T),
missä a on myöhemmin valittava positiivinen vakio. Silloin
∇ v = ∇ u , ∇ T∇ v = ∇ T∇ u ja vt = ut + a.
Edelleen
u(x,t) > v(x,t) > u(x,t) - aT,
kun x ∈Ω ja 0 < t < T. Merkitään vielä
m1 = minx ∈ Ω
u(x,0) , m2 = minx ∈ ∂Ω
0 < t < T
u(x,t) ja m3 = minm1,m2
(kyseessä ovat jatkuvien funktioiden minimit kompakteissa joukoissa).Vastaoletuksen mukaan m3 > m. Toisaalta
v(x,0) > m3 - aT , kun x ∈Ωja
v(x,t) > m3 - aT , kun x ∈ ∂Ω ja 0 < t < T.
Valitaan nyt a niin pieneksi, että m3 - aT > m ja m + aT < 0, esimerkiksi
a:n arvo min m3 - m
2T ,- m2T kelpaa. Koska
v(x0,t0) = m + a(t0 - T) < m,
88
niin v(x,t):n minimiä m' < m joukossaΩ Æ [0,T] ei saavuteta alkuhetkellä t
= 0 eikä reunalla ∂Ω, vaan jossain pisteessä x1 ∈ Ω jollain hetkellä t1 ∈(0,T]. Silloin ∇ v = ∇ u on = 0 ja Hessen matriisi ∇ T∇ v = ∇ T∇ u on positiivi-semidefiniitti pisteessä x = x1 hetkellä t = t1, joten (ks. s. 32 oleva todis-tus)
ut(x1,t1) = ut(x1,t1) + Lu
= trace(A(x1,t1)∇ T∇ u) + b(x1,t1)(∇ u)T + c(x1,t1)u(x1,t1)
> c(x1,t1)u(x1,t1) > c(x1,t1)(m' + aT) > c(x1,t1)(m + aT) > 0.
Mutta silloin vt(x1,t1) = ut(x1,t1) + a > a > 0 ja t:n funktio v(x1,t) on aidosti
kasvava hetkellä t = t1 ja jollain hetkellä t2 < t1 on v(x1,t2) < v(x1,t1), .
Dirichlet'n probleema
Lu = d(x,t), kun x ∈ Ω ja t > 0
u(x,0) = k(x), kun x ∈Ω u(x,t) = h(x,t), kun x ∈ ∂Ω ja t > 0
voidaan kirjoittaa myös yleiselle lämpöyhtälölle Lu = d(x,t). Ääriarvoperi-aatteesta saadaan silloin
SEURAUS 1. Yleisen lämpöyhtälön Dirichlet'n probleeman, jossa c(x,t) < 0, kun x ∈ Ω ja t > 0, ratkaisu on stabiili. Ts. jos u1(x,t) ja u2(x,t) ovat Di-richlet'n probleemojen
Lu = d(x,t), kun x ∈ Ω ja t > 0
u(x,0) = k1(x), kun x ∈Ω u(x,t) = h1(x,t), kun x ∈ ∂Ω ja t > 0
ja Lu = d(x,t), kun x ∈ Ω ja t > 0
u(x,0) = k2(x), kun x ∈Ω u(x,t) = h2(x,t), kun x ∈ ∂Ω ja t > 0
ratkaisuja, missä |k1(x) - k2(x)| < ε, kun x ∈Ω , ja |h1(x,t) - h2(x,t)| < ε,kun x ∈ ∂Ω ja t > 0, niin |u1(x,t) - u2(x,t)| < ε koko alueessaΩ ja kaikilla
ajanhetkillä t > 0, olipa ε mikä tahansa ei-negatiivinen luku.
Todistus . Jos u1(x,t) ja u2(x,t) ovat mainittujen Dirichlet'n probleemojenratkaisuja, niin erotus u1(x,t) - u2(x,t) =merk. u(x,t) on Dirichlet'n prob-leeman
Lu = 0, kun x ∈ Ω ja t > 0
u(x,0) = k1(x) - k2(x), kun x ∈Ω u(x,t) = h1(x,t) - h2(x,t), kun x ∈ ∂Ω ja t > 0
89
ratkaisu. Asetetaan vastaoletus : u(x,t) saa jossain Ω:n pisteessä hetkellä T
> 0 arvon, joka on > ε. (Tapaus, jossa u(x,t) saa jossain Ω:n pisteessä jollain
hetkellä T > 0 arvon, joka on < -ε, käsitellään vastaavasti.) Sulkeumassa ΩÆ [0,T] jatkuvana funktiona u(x,t):llä onΩ Æ [0,T]:ssa maksimiarvo (ks. pe-
ruskurssit). Koska u(x,t):n arvot reunalla ∂Ω ja/tai alkuhetkellä t = 0 ovat <
ε, on u(x,t):llä näin ollen positiivinen maksimiarvo joukossa Ω Æ (0,T], (Ääriarvoperiaate 2).
SEURAUS 2. Yleisen lämpöyhtälön Dirichlet'n probleeman, jossa c(x,t) < 0, kun x ∈ Ω ja t > 0, ratkaisu on yksikäsitteinen.
Todistus . Valitaan ε = 0 Seurauksessa 1.
Jos toisaalta c(x,t) on nollafunktio, saadaan vahvempi tulos (aivan kutenLaplacen yhtälöllekin, vrt. s. 47), nimittäin
LÄMPÖYHTÄLÖN MAKSIMI-MINIMI-PERIAATE: Olkoon Lu = 0 yleinen homogeeninen lämpöyhtälö, jossa c(x,t) on nollafunktio, ja T > 0. Josu(x,t) on lämpöyhtälön ratkaisu Ω Æ Ä+:ssa, niin u(x,t) saavuttaa maksimin-
sa ja miniminsä joukossaΩ Æ [0,T] joko alkuhetkellä t = 0 ja/tai reunalla
∂Ω (ja mahdollisesti muuallakin/muulloinkin).
Todistus : Todistus on kutakuinkin sama kuin Ääriarvoperiaatteen 2 todis-tus (itse asiassa hiukan helpompikin). Koska c(x,t) on nollafunktio, ei ää-riarvojen merkeillä ole väliä.
V.2 Greenin funktio
Kuten elliptisillekin ODY:ille, on fysikaalisista syistä syytä olettaa, ettäedellä esitetyillä alku-reuna-arvotehtävillä on ratkaisu myös silloin, kund(x,t) on Ω:n pisteessä ξ hetkellä τ oleva ns. deltafunktio δ(x- ξ ,t-τ). Tämä
vastaa pistemäistä lämpölähdettä yms., joka vaikuttaa pisteessä x = ξ , kun
t = τ. Formaalisesti kirjoitetaan tällöin jokaiselle jatkuvalle funktiolle u(x,t)
⌡⌠0
T
⌡⌠Ω
⌡⌠
u(x,τ)δ(x- ξ ,t-τ)dx dτ =
u(ξ,t), jos ξ ∈ Ω ja T > t
0 muuten.
Lisäksi voidaan olettaa toteutuvan homogeeniset alku-reunaehdot , joissasiis k(x) ja h(x,t) ovat nollafunktioita. Tällaista ratkaisua kutsutaan alku-
90
reuna-arvotehtävän Greenin funktioksi ja sitä merkitään G(x, ξ ,t,τ):lla.∗
Formaalisesti siis LG = δ(x- ξ ,t-τ).
Jatkossa oletetaan, että kerroinmatriisi A(x,t) ja kerroinfunktio c(x,t) ei-vät riipu ajasta t, merkitään A(x) ja c(x). Robinin probleemassa oletetaanlisäksi, että reunaehdon kerroinfunktiot f(x,t) ja g(x,t) eivät riipu t:stä,merkitään f(x) ja g(x).
Koska varausta, lämpölähdettä tms. ei ole pisteen ξ ulkopuolella eikä ajan-
hetkillä t ≠ τ, pitää olla LG = 0, kun x ≠ ξ ja/tai t ≠ τ. Edelleen, koska
lämpölähde vaikuttaa vain hetkellä t = τ ja alku-reunaehdot ovat homogee-
niset, on G(x, ξ ,t,τ) = 0, kun 0 < t < τ. Vielä päätellään, että koska A(x) ja
c(x) eivät riipu ajasta t, G(x, ξ ,t,τ) riippuu t:stä ja τ:sta vain erotuksen t - τkautta. Näin ollen G(x, ξ ,t,τ) = G(x, ξ ,t-τ,0).
Jotta päästäisiin eroon deltafunktioista, tarvitaan pari laskukaavaa, jotkamuistuttavat vastaavia kaavoja II.2:ssa. Kirjoitetaan ensin lämpöyhtälönoperaattori (muistaen, että A(x) ja c(x) ja eivät riipu t:stä)
L = trace(A(x)∇ T∇ ) + (∇ A(x))∇ T + c(x) - ∂∂t
ja sitten sama operaattori käyttäen toista aikamuuttujaa τ:
L' = trace(A(x)∇ T∇ ) + (∇ A(x))∇ T + c(x) - ∂∂τ
.
Valitaan u(x,τ):lle aikamuuttuja τ ja v(x,t-τ):lle aikamuuttuja t - τ. Tämä sentakia, että lämpöyhtälön Greenin kaavassa aikaintegraali on konvoluutio-muotoa∗∗ . Merkitään (hieman epätäsmällisesti) v = v(x,t-τ), jolloin (ketju-sääntö)
vt =
∂
∂(t-τ ) v(x,t-τ)
∂(t - τ)
∂t = -
∂
∂(t-τ ) v(x,t-τ)
∂(t - τ)
∂τ = -vτ.
Lasketaan kuten s. 34:
∇ ˘(v(∇ u)A(x)) = (∇ v)A(x)(∇ u)T + v(L'u - c(x)u + uτ)
ja vastaavasti
∇ ˘(u(∇ v)A(x)) = (∇ u)A(x)(∇ v)T + u(Lv - c(x)v + vt) ∗ Monissa kirjoissa esiintyy Greenin funktiona -G(x, ξ ,t,τ), joka saadaan käyttämäl-
lä vastakkaismerkkistä deltafunktiota -δ(x- ξ ,t-τ).** Tämä on itse asiassa väljästi ottaen eräs ns. Duhamelin periaate , joista enemmän
seuraavassa pykälässä.
91
= (∇ u)A(x)(∇ v)T + u(Lv - c(x)v - vτ).
Vähennetään nämä puolittain toisistaan:
∇ ˘((v∇ u - u∇ v)A(x)) = vL'u - uLv + vuτ + uvτ
= vL'u - uLv + ∂∂τ
(uv)
(huomaa, että (∇ u)A(x)(∇ v)T= (∇ v)A(x)(∇ u)T). Integroimalla vielä puolit-
tain x:n suhteen alueen Ω yli ja τ:n suhteen 0:sta t:hen, käyttämällä Gaus-sin/Greenin lausetta ja vaihtamalla integrointijärjestystä saadaan ns. läm-pöyhtälön Greenin kaava.
⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
(vL'u - uLv)dx dτ =⌡⌠
0
t
⌡⌠∂Ω
((v∇ u - u∇ v)A(x))˘ndσ dτ
- ⌡⌠Ω
⌡⌠
(u(x,t)v(x,0) - u(x,0)v(x,t)) dx.
Sijoitetaan Greenin kaavaan v:n paikalle Greenin funktio G(x, ξ ,t,τ), jossa
pidetään ξ kiinteänä (muista, että G(x, ξ ,t,τ) = G(x, ξ ,t-τ,0)):
⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
(G(x, ξ ,t,τ)L'u - uLG)dx dτ
=⌡⌠0
t
⌡⌠∂Ω
((G(x, ξ ,t,τ)∇ u - u∇ G)A(x))˘ndσ dτ + ⌡⌠
Ω
⌡⌠
u(x,0)G(x, ξ ,t,0)dx
eli (vaaditaan, että LG on deltafunktio δ(x- ξ ,t-τ)!)
⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t,τ)L'udx dτ - u( ξ ,t)
( # )
=⌡⌠0
t
⌡⌠∂Ω
((G(x, ξ ,t,τ)∇ u - u∇ G)A(x))˘ndσ dτ + ⌡⌠
Ω
⌡⌠
u(x,0)G(x, ξ ,t,0)dx.
92
Eri alku-reuna-arvotehtävätyypeille Greenin funktion vaatimukset ovatseuraavat: Jos ξ on mielivaltainen Ω:n piste ja u mielivaltainen alku-reuna-arvotehtävän ratkaisulle asetetut ehdot toteuttava funktio, niin
Dirichlet'n probleema :
LG = 0, kun x ∈ Ω - ξ ja/tai t ≠ τ G(x,ξ
,t,τ) = 0, kun x on reunalla ∂Ω ja/tai t < τ
u(ξ
,t) =⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x,ξ ,t,τ)L'udx dτ +⌡⌠
0
t
⌡⌠∂Ω
u((∇ G)A(x))˘ndσ dτ
- ⌡⌠Ω
⌡⌠
u(x,0)G(x, ξ
,t,0)dx
Neumannin probleema :
LG = 0, kun x ∈ Ω - ξ ja/tai t ≠ τ (∇ G)A(x)n(x)T = 0, kun x on reunalla ∂Ω G(x,ξ
,t,τ) = 0, kun t < τ
u( ξ
,t) =⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t,τ)L'udx dτ -⌡⌠
0
t
⌡⌠∂Ω
G(x, ξ ,t,τ)((∇ u)A(x))˘ndσ dτ
- ⌡⌠Ω
⌡⌠
u(x,0)G(x, ξ ,t,0)dx
Robinin probleema :
LG = 0, kun x ∈ Ω - ξ ja/tai t ≠ τ
f(x)G(x,ξ
,t,τ) + g(x)(∇ G)A(x)n(x)T = 0, kun x on reunalla ∂Ω
G(x, ξ
,t,τ) = 0, kun t < τ u toteuttaa ehdon (#) yllä.
Edelleen saadaan Dirichlet'n ja Neumannin alku-reuna-arvoprobleemoilleintegraalikaavat:
93
Dirichlet'n probleema :
u( ξ ,t) =⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t,τ)d(x,τ)dx dτ +⌡⌠
0
t
⌡⌠∂Ω
h(x,τ)((∇ G)A(x))˘ndσ dτ
- ⌡⌠Ω
⌡⌠
k(x)G(x, ξ ,t,0)dx
Neumannin probleema :
u( ξ ,t) =⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t,τ)d(x,τ)dx dτ -⌡⌠
0
t
⌡⌠∂Ω
G(x, ξ ,t,τ)h(x,τ)dσ dτ
- ⌡⌠Ω
⌡⌠
k(x)G(x, ξ ,t,0)dx
Kuten elliptisellekin ODY:lle, myös Robinin reunaehto määrää reunainteg-raalin täysin (#):ssa, ja eräissä tapauksissa saadaan integraalikaavatkin(vrt. ss. 36-37). Tässä tarvitaan se tieto, että kerroinfunktiot f(x) ja g(x)eivät riipu ajasta!
Kuten elliptisillekin ODY:ille, Greenin funktio on symmetrinen:
LAUSE 12. Greenin funktio on symmetrinen muuttujien x ja ξ suhteen, ts.
G(x, ξ ,t,τ) = G( ξ ,x,t,τ).
Todistus . Kiinnitetään mielivaltaiset alueen Ω pisteet x ja ξ (x ≠ ξ ) ja ajan-
hetket t > 0 ja τ > 0. Tarkastellaan funktioita u(y,θ) = G(y, ξ ,θ,τ) ja v(y,t-θ)
= G(y,x,t,θ) = G(y,x,t-θ,0). Silloin u(y,θ) ja v(y,t) toteuttavat homogeenisetreunaehdot muuttujien y suhteen ja homogeeniset alkuehdot aikamuuttu-jien θ ja t - θ suhteen. Sovelletaan Greenin kaavaa (L operoi nyt riippumat-
tomiin muuttujiin y sekä t ja L' riippumattomiin muuttujiin y sekä θ):
G( ξ ,x,t,τ) - G(x, ξ ,t,τ) =⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
(vL'u - uLv)dy dθ
94
=⌡⌠0
t
⌡⌠∂Ω
((v∇ u - u∇ v)A(y))˘ndσ dθ
- ⌡⌠Ω
⌡⌠
(G(y, ξ ,t,τ)G(y,x,0,0) - G(y, ξ ,0,τ)G(y,x,t,0)) dy.
(Huomaa, että L'u = δ(y- ξ ,θ-τ) ja Lv = δ(y-x,t-θ).) Reunaintegraali on = 0homogeenisten reunaehtojen takia (vrt. Lauseen 10 todistus). Alkuehtoavastaava integraali puolestaan on = 0, koska G(y,x,0,0) = 0 ja G(y, ξ ,0,τ) = 0(homogeeninen alkuehto).
Huom! Voidaan osoittaa, että Greenin funktio on olemassa,. Edelleen voi-daan osoittaa, että tällöin reuna-arvotehtävän ratkaisu u(x,t) saadaan yo.integraalikaavoista, ts. niissä esiintyvät epäoleelliset moninkertaiset in-tegraalit suppenevat. Nämä todistukset ovat varsin mutkikkaita. Huomat-takoon myös, että erillistä Neumannin funktiota Neumannin probleemaavarten ei tarvita.
Huom! Yleisessä tapauksessa Greenin funktiota on erittäin vaikea löytää(paitsi ehkä numeerisesti). Eräissä erikoistapauksissa sen sijaan Greeninfunktio tunnetaan. (Ks. esim. CARSLAW, H.S. & JAEGER, J.C.: Conduction ofHeat in Solids. Oxford University Press (-59).) Yo. integraalikaavojen käyt-tö yleisessä tapauksessa liittyykin lähinnä ratkaisun ominaisuuksien ja“muodon” tutkimiseen.
V.3 Duhamelin periaate
Duhamelin periaatteella tarkoitetaan menettelyä, jolla stationäärisen (siisajasta riippumattoman), mutta parametrisoidun lähtödatan määrittämästäratkaisusta saadaan rekonstruoitua vastaavan dynaamisen (siis ajasta riip-puvan) lähtödatan määrittämä ratkaisu konvoluutiolla käytetyn parametrinsuhteen. Tämä osoittaa, että aikamuuttujan rooli lähtödatassa on eräässämielessä parametrin rooli.
Duhamelin periaate on likeisessä yhteydessä Greenin funktioiden anta-miin integraalikaavoihin. Itse asiassa ko. integraalikaavat voitaisiin tulkitakonvoluutiointegraaleiksi. Näin ollen oletetaan samat ajastariippumatto-muudet kuin Greenin funktioiden yhteydessäkin (ks. s. 90).
Eri lähtödatoille on omat Duhamelin periaatteensa. Aloitetaan pakkofunk-tiosta.
PAKKOFUNKTION DUHAMELIN PERIAATE. Jos v(x,t,λ ) on parametri-
soidun (parametrina λ) alku-reuna-arvotehtävän
95
Lv = d(x,λ )
v(x,0,λ ) = 0
v(x,t,λ) toteuttaa homogeenisen reunaehdon reunalla ∂Ω
ratkaisu, niin
u(x,t) =⌡⌠0
t
∂∂t
v(x,t-λ,λ )dλ
on alku-reuna-arvotehtävän
Lu = d(x,t) u(x,0) = 0 u(x,t) toteuttaa homogeenisen reunaehdon reunalla ∂Ω
ratkaisu. (Huom! Reunaehdot saavat olla mitä tahansa tyyppiä, kunhan neovat molemmissa samaa tyyppiä.)
Todistus . Integraalikaavan nojalla
v( ξ ,t,λ ) =⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t,τ)d(x,λ )dx dτ.
Lasketaan osittaisderivaatta t:n suhteen formaalisesti käyttäen parametri-soidun integraalin derivointikaavaa (ks. peruskurssit) sekä sitä tietoa, ettäG(x, ξ ,t-λ,t-λ) = 0 ja G(x, ξ ,t-λ,0) = G(x, ξ ,t,λ ):
∂∂t
⌡⌠0
t-λ
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t-λ,τ)d(x,λ )dx dτ
= ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t-λ ,t-λ )d(x,λ )dx + ⌡⌠
0
t-λ
⌡⌠
Ω
⌡⌠
∂∂t
G(x, ξ ,t-λ,τ) d(x,λ )dx dτ
= - ⌡⌠0
t-λ
⌡⌠
Ω
⌡⌠
∂∂τ
G(x, ξ ,t-λ,τ) d(x,λ )dx dτ
= - ⌡⌠
Ω
⌡⌠
/
0
t-λ G(x, ξ ,t-λ,τ) d(x,λ )dx
= ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t-λ ,0)d(x,λ )dx - ⌡⌠
Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t-λ ,t-λ )d(x,λ )dx
96
= ⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t,λ )d(x,λ )dx.
Jälkimmäisen alku-reuna-arvotehtävän ratkaisu puolestaan on saman in-tegraalikaavan nojalla
u( ξ ,t) =⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t,τ)d(x,τ)dx dτ.
Reunaehdon Duhamelin periaate on hiukan työläämpi todistettava. Käsi-tellään vain esimerkkinä Dirichlet'n probleeman Duhamelin periaate.Neumannin ja Robinin probleemojen Duhamelin periaatteet ovat aivan vas-taavat ja todistetaan analogisesti. (Robinin probleeman Duhamelin prob-leeman todistuksessa tarvitaan jälleen se tieto, että kerroinfunktiot f(x) jag(x) eivät riipu ajasta t.)
DUHAMELIN PERIAATE DIRICHLET'N PROBLEEMALLE. Jos v(x,t,λ )
on parametrisoidun (parametrina λ) Dirichlet'n probleeman
Lv = 0
v(x,0,λ ) = 0
v(x,t,λ) = h(x,λ) reunalla ∂Ω
ratkaisu, niin
u(x,t) =⌡⌠0
t
∂∂t
v(x,t-λ,λ )dλ
on Dirichlet'n probleeman
Lu = 0 u(x,0) = 0 u(x,t) = h(x,t) reunalla ∂Ω
ratkaisu.
Todistus . Integraalikaavan nojalla
v( ξ ,t,λ ) =⌡⌠0
t
⌡⌠∂Ω
h(x,λ )((∇ G)A(x))˘ndσ dτ.
Koska G(x, ξ ,t,τ) riippuu t:stä ja τ:sta vain niiden erotuksen t - τ kautta, pä-
tee sama gradientille ∇ G. Näin ollen ∂∂t
(∇ G) = - ∂∂τ
(∇ G) . Lasketaan osit-
97
taisderivaatta t:n suhteen käyttäen parametrisoidun integraalin derivointi-kaavaa (ks. peruskurssit) sekä sitä tietoa, että G(x, ξ ,t-λ,t-λ ) = 0 ja G(x, ξ ,t-λ,0) = G(x, ξ ,t,λ) (ja sama ∇ G:lle):
∂∂t
⌡⌠0
t-λ
⌡⌠∂Ω
h(x,λ )((∇ G(x, ξ ,t-λ,τ))A(x))˘ndσ dτ
= ⌡⌠∂Ω
h(x,λ )((∇ G(x, ξ ,t-λ ,t-λ ))A(x))˘ndσ
+ ⌡⌠0
t-λ
⌡⌠
∂Ω
h(x,λ )
∂∂t
(∇ G(x, ξ ,t-λ ,τ)) A(x) ˘ n dσ dτ
= - ⌡⌠0
t-λ
⌡⌠
∂Ω
h(x,λ )
∂∂τ
(∇ G(x, ξ ,t-λ ,τ)) A(x) ˘ n dσ dτ
= - ⌡⌠
∂Ω
h(x,λ )
/
0
t-λ ∇ G(x, ξ ,t-λ,τ) A(x) ˘ n dσ
= ⌡⌠∂Ω
h(x,λ )((∇ G(x, ξ ,t-λ ,0))A(x))˘ndσ
- ⌡⌠∂Ω
h(x,λ )((∇ G(x, ξ ,t-λ,t-λ ))A(x))˘ndσ
= ⌡⌠∂Ω
h(x,λ )((∇ G(x, ξ ,t,λ ))A(x))˘ndσ.
Jälkimmäisen alku-reuna-arvotehtävän ratkaisu puolestaan on saman in-tegraalikaavan nojalla
u( ξ ,t) =⌡⌠0
t
⌡⌠∂Ω
h(x,τ)((∇ G(x, ξ ,t,τ))A(x))˘ndσ dτ.
Alkuehdon Duhamelin periaate on erilainen, sillä vaikka alkuehdon k(x)voi parametrisoida, siihen ei voi liittää aikaa. Tällöin alkuehto muutetaanhomogeeniseksi ja alunperin homogeenisen ODY:n tilalle tulee vastaavaepähomogeeninen ODY.
ALKUEHDON DUHAMELIN PERIAATE. Jos v(x,t,λ ) on parametrisoidun
(parametrina λ) alku-reuna-arvotehtävän
98
Lv = 0
v(x,0,λ ) = k(x,λ )
v(x,t,λ) toteuttaa homogeenisen reunaehdon reunalla ∂Ω
ratkaisu, niin
u(x,t) =⌡⌠0
t
v(x,t-λ,λ )dλ
on alku-reuna-arvotehtävän
Lu = -k(x,t) u(x,0) = 0 u(x,t) toteuttaa homogeenisen reunaehdon reunalla ∂Ω
ratkaisu. (Huom! Reunaehdot saavat olla mitä tahansa tyyppiä, kunhan neovat molemmissa samaa tyyppiä.)
Todistus . Integraalikaavan nojalla
v( ξ ,t,λ ) = - ⌡⌠Ω
⌡⌠
k(x,λ )G(x, ξ ,t,0)dx,
jolloin
v( ξ ,t-λ,λ ) = - ⌡⌠Ω
⌡⌠
k(x,λ )G(x, ξ ,t-λ,0)dx = - ⌡⌠
Ω
⌡⌠
k(x,λ )G(x, ξ ,t,λ )dx,
ja
u( ξ ,t) = -⌡⌠0
t
⌡⌠Ω
⌡⌠
G(x, ξ ,t,τ)k(x,τ)dx dτ.
Huom! Jälleen voidaan osoittaa, että esiintyvät integraalit suppenevat jasuoritetut integraalien derivoinnit parametrin t suhteen ovat sallittuja.Pakkofunktion ja reunaehtojen Duhamelin periaatteet voidaan yhdistää,sillä niissä esiintyvät integraalilausekkeet ovat samaa muotoa. Hyvä asiaakäsittelevä kirja on s. 94 Huomautuksessa mainittu CARSLAW & JAEGER.
V.4 Lämpöyhtälön alkuarvotehtävä
Puhtaassa alkuarvotehtävässä annetaan lähtödatana (pakkofunktion lisäk-si) vain alkuarvo u(x,0) = k(x). ut(x,0):aa ei anneta, koska se saadaan itseODY:stä rajalla t → 0+ (lämmölle ei voi antaa alkuvauhtia). Toisin kuin aal-toyhtälölle, alkuarvon vaikutus ei etene tietyllä nopeudella, vaan tapahtuu
99
kaikkialla välittömästi. (Tämä pätee alku-reuna-arvotehtävillekin, kutenintegraalikaavoista voi havaita.) Näin ollen ei alkuarvotehtävää periaattees-sa voi ajatella rajoitetussa alueessa, kuten aaltoyhtälölle. Alkuehdon vaiku-tus etäällä ja lyhyen ajan sisällä ei kuitenkaan ole suuri, joten tietyssä app-roksimatiivisessa mielessä lämpöyhtälön alkuarvotehtävän voi esittäämyös rajoitetussa alueessa.
Itse asiassa lämpöyhtälön alkuarvotehtävä ei ole hyvin määritelty, sillä sil-lä on yleensä useita ratkaisuja. Toisaalta hyvinkin heikot lisävaatimuksetrajoittavat ratkaisujen lukumäärän yhteen. (Ks. esim. JOHN.)
V.5 Klassinen lämpöyhtälö
Klassinen (epähomogeeninen) lämpöyhtälö on muotoa
κ∆u = ut + d(x,t),
oleva lämpöyhtälö, missä κ on positiivinen vakio, ns. diffundoituvuusker-
roin. Tässä siis A(x,t) = κI ja c(x,t) on nollafunktio.
Edellisten pykälien tulokset ovat suoraan sovellettavissa tämän lämpöyh-tälön alku-reuna-arvotehtäviin (alku-reuna-arvotehtävien ratkaisut ovat yk-sikäsitteisiä, Dirichlet'n alku-reuna-arvoprobleeman ratkaisut ovat stabii-leja, Duhamelin periaatteet pätevät, jne.). Huomaa, että
(∇ u)A(x,t)n(x)T = κ ∂u
∂n ,
josta syystä Neumannin ja Robinin reunaehdot yleensä kirjoitetaankinmuotoon
Neumann : ∂u
∂n = h(x,t)
Robin : f(x,t)u(x,t) + g(x,t) ∂u
∂n = h(x,t),
missä vakio κ on upotettu esiintyviin funktioihin. Tämä aiheuttaa pieniämuutoksia integraalikaavoihin.
100
Funktio
v(x,t) = 1
(4πκt)n/2 e-
·x·2
4κt
on ns. lämpöyhtälön perusratkaisu. Se toteuttaa homogeenisen n-ulottei-sen lämpöyhtälön κ∆v = vt. Todetaan tämä Maplella: Ensin yhden dimen-sion tapaus
v:=1/sqrt(4*Pi*kappa*t)*exp(-x^2/(4*kappa*t)); 2 x exp(- 1/4 ---------) kappa t v := 1/2 ---------------------- 1/2 1/2 1/2 Pi kappa t
normal(kappa*diff(v,x$2)-diff(v,t)); 0
sitten kahden
xx:=array([x,y]);n:=norm(xx,2); xx := array ( 1 .. 2,
[x, y])
2 2 1/2 n := (x + y )
v:=1/(4*Pi*kappa*t)*exp(-n^2/(4*kappa*t)); 2 2 x + y exp(- 1/4 ---------) kappa t v := 1/4 ---------------------- Pi kappa t
normal(kappa*laplacian(v,xx)-diff(v,t)); 0
ja lopuksi kolmen dimension tapaus
xx:=array([x,y,z]);n:=norm(xx,2); xx := array ( 1 .. 3,
[x, y, z]
2 2 2 1/2 n := (x + y + z )
v:=1/(4*Pi*kappa*t)^(3/2)*exp(-n^2/(4*kappa*t));
101
2 2 2 x + y + z exp(- 1/4 --------------) kappa t v := --------------------------- 3/2 3/2 3/2 3/2 4 Pi kappa t
> normal(kappa*laplacian(v,xx)-diff(v,t)); 0
Ilmeisesti lim·x·→∞
v(x,t) = 0, kun t > 0. Toisaalta myös limt→0+
v(x,t) = 0, kun x
≠ 0, kuten Maplella voi helposti todeta (esimerkkinä kolmidimensioinentapaus):
v:= 1/t^(3/2)*exp(-xx^2/t); 2 xx exp(- -----) t v := -------------- 3/2 t
limit(v,t=0,right);
0
Näin ollen v(x,t) näyttäisi toteuttavan homogeenisen alkuarvotehtävän
κ∆v = vt v(x,0) = 0
, vaikka se ei ole nollafunktio. Itse asiassa v(x,0) = δ(x). (Tämä
näkyy vaikkapa siitä, että x:n funktiona v(x,t) on sellaisen n-ulotteisennormaalijakauman tiheysfunktio, jonka keskiarvovektori on 0 ja jonka ko-varianssimatriisi on 2κtI. Rajalla t → 0+ jakauma degeneroituu vakiovekto-
rin 0 jakaumaksi, jonka tiheysfunktio on δ(x). Ks. peruskurssit.) Perusrat-kaisu sisältää juuri sellaisen singuläriteetin, joka klassisen lämpöyhtälönGreenin funktiossa “tarvitaan”. Niinpä se esiintyy muodossa tai toisessauseissa tunnetuissa tällaisissa Greenin funktioissa siirrettynä paikkaan ξ ja aikaan τ:
1(4πκ(t-τ))n/2 e
- ·x-ξ·24k(t-τ)
ks. CARSLAW & JAEGER (Huomautus s. 94). Itse asiassa yo. funktio miinus-merkkisenä on klassisen lämpöyhtälön alkuarvotehtävän Greenin funktio,lisäehtona (vrt. V.4) vaikkapa se, että ratkaisu on rajoitettu funktio. Tämävoitaisiin johtaa ottamalla käyttöön esityslauseet (vrt. III.2) lämpöyhtä-lölle. Edelleen saataisiin alkuarvotehtävälle integraalikaava, joka muistut-taa V.2:n integraalikaavoja, Duhamelin periaate, jne..
102
Huom! Toisinaan käytetään ns. hyperbolisia lämpöyhtälöitä , jotka saadaanlisäämällä tavalliseen paraboliseen lämpöyhtälöön toista aikaderivaattaa si-sältäviä termejä eri tavoin. Tavoitteena on saada aikaan aaltoyhtälön jalämpöyhtälön välimuoto, jossa estetään lämmön äärettömän nopea virtaus(ks. V.4) ja lämmölle voidaan antaa alkunopeus. Yksinkertaisimmillaanhyperbolinen lämpöyhtälö on muotoa κ∆u = ut + γutt + d(x,t), missä γ onpieni positiivinen vakio. Tällainen ODY on nimensä mukaisesti hyperboli-nen.
103
VI 1. KERTALUVUN ODY:T
VI.1 Kvasilineaarinen 1. kertaluvun kahden muuttujan ODY
Yleinen 1. kertaluvun ODY (ks. sivu 1) on muotoa
F(x,u,ux) = 0
oleva ODY. Tällaiselle ODY:lle on ominaista, että (ainakin periaatteessa)sen ratkaisu palautuu tavallisten differentiaaliyhtälöiden (DY) ratkaisemi-seen. Katsotaan aluksi vain kahden riippumattoman muuttujan (x,y) ta-pausta. Ratkaisufunktion u(x,y) kuvaajapinta z = u(x,y) xyz-avaruudessa onODY:n ns. integraalipinta. Integraalipinnan normaali pisteessä (x0,y0,z0) on
(-ux(x0,y0,z0),-uy(x0,y0,z0),1).
Kvasilineaarinen 1. kertaluvun ODY (ks. sivu 1) kahdelle riippumattomallemuuttujalle x ja y on muotoa
( 1 ) a(x,y,u)ux + b(x,y,u)uy = c(x,y,u)
oleva ODY. Merkitään (x,y,z) = r ja (a(r),b(r),c(r)) = a(r). Vektoriarvoinenr:n funktio a(r) on ns. ODY:n (1) suuntakenttä. Tässä oletetaan, että a(r) jab(r) eivät ole yhtaikaa nollia tarkastelualueessa. Edelleen oletetaan, ettäa(r) on jatkuva ja jatkuvasti derivoituva tarkastelualueessa.
Geometrisesti ODY (1) merkitsee sitä, että pinta on integraalipinta tarkal -leen silloin , kun sen normaali on kohtisuorassa suuntakenttää vastaan , ts.
a(x,y,u(x,y))˘(-ux(x,y),-uy(x,y),1) = 0.
Kentän a(r) kenttäviiva on käyrä Γ: r = r(t), jonka tangentti on suuntaken-tän suuntainen, ts.
( 2 ) drdt = a(r(t)). *
* a(r(t)):n ja Γ:n tangentin yhdensuuntaisuus merkitsee yleisesti ottaen sitä, että
(#)drdt = k(t)a(r(t)),
missä k(t) on jatkuva funktio ja k(t) ≠ 0. Tämä palautuu esitettyyn muotoon, kunvalitaan uusi parametri s = K(t), missä K´(t) = k(t). Tällöin ketjusäännön mukai-sesti
dds r(K-1(s)) =
drdt
dtds = k(K-1(s))a(r(K-1(s)))
dtds = a(r(K-1(s))).
104
Kyseessä on DY-ryhmä. Se on autonominen , ts. t ei esiinny ryhmässä eks-plisiittisesti.
LAUSE 13. Jos DY-ryhmässä (2) a(r) on jatkuva ja jatkuvasti derivoituvajossain pisteen r0 ympäristössä, niin ryhmällä on tarkalleen yksi alkueh-don r(t0) = r0 toteuttava ratkaisu ja se riippuu alkuarvosta r0 jatkuvasti jajatkuvasti derivoituvasti.
Todistus . Ks. esimerkiksi HARTMAN, P.: Ordinary Differential Equations.Birkhäuser (1982).
DY-ryhmän (2) ratkaisu on 3-parametrinen (kolme määräämätöntä vakio-ta). Kuitenkin, jos r(t) on sen ratkaisu, niin samoin on r(t+C) pienillä va-kion C arvoilla, joten C on yksi ko. määräämättömistä vakioista. Toisaaltar(t) ja r(t+C) antavat saman geometrisen käyrän. Parametrejä jää näin jäl-jelle vain kaksi. DY-ryhmän (2) antamia kenttäviivoja sanotaan ODY:n ( 1 )karakteristisiksi käyriksi (kaksiparametrinen käyräparvi).
Jos pinta S: z = u(x,y), missä u(x,y) on jatkuva ja derivoituva, on karakte-rististen käyrien yhdiste, niin se on ODY:n (1) integraalipinta. Kääntei-nenkin tulos pätee:
LAUSE 14. Jos karakteristinen käyrä Γ: r = r(t) leikkaa integraalipintaa S:
z = u(x,y), niin se on kokonaan pinnassa S.
Todistus . Oletetaan, että käyrä Γ leikkaa pintaa S pisteessä r0 = r(t0). Mer-kitään
U(t) = z(t) - u(x(t),y(t)),
jolloin U(t0) = 0. Edelleen
dUdt =
dzdt - ux(x(t),y(t)) dx
dt - uy(x(t),y(t)) dydt
= c(r(t)) - ux(x(t),y(t))a(r(t)) - uy(x(t),y(t))b(r(t))
= c(x(t),y(t),U+u(x(t),y(t))) - ux(x(t),y(t))a(x(t),y(t),U+u(x(t),y(t)))
- uy(x(t),y(t))b(x(t),y(t),U+u(x(t),y(t))).
Muoto (#) on joskus kätevä. Parametriksi t valitaan tällöin usein x (tai y, joskusz). Silloin saadaan differentiaaliyhtälöpari
1 =
dxdx = k(x)a(x,y(x),z(x))dydx = k(x)b(x,y(x),z(x))dzdx = k(x)c(x,y(x),z(x))
eli dy
dx = b(x,y(x),z(x))a(x,y(x),z(x))
dzdx =
c(x,y(x),z(x))a(x,y(x),z(x))
.
105
Kyseessä on differentiaaliyhtälö U(t):lle. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyys-lauseen nojalla (ks. peruskurssit) sillä on alkuehdolla U(t0) = 0 tarkalleenyksi ratkaisu. Mutta toisaalta tämä ratkaisu on nollafunktio, sillä
0 = c(x,y,u(x,y)) - ux(x,y)a(x,y,u(x,y)) - uy(x,y)b(x,y,u(x,y)),
koska S on integraalipinta. Siis
U(t) = z(t) - u(x(t),y(t)) = 0
eli Γ on pinnassa S.
SEURAUS. Jos kaksi integraalipintaa leikkaa (ei sivua!), niin niiden leik-kauskäyrä on karakteristinen käyrä.
Todistus . Integraalipintojen jokaisen leikkauspisteen kautta kulkeva ka-rakteristinen käyrä on Lauseen 14 mukaan kokonaan molemmissa pin-noissa, joten se on leikkauskäyrä.
VI.2 Cauchyn probleema kvasilineaariselle kahden muuttujan ODY:lle
Edellä esitetyn nojalla ODY:n (1) integraalipinnat ovat karakterististenkäyrien yhdistepinnat. Jotta saataisiin määritettyä yksi näistä pinnoista,asetetaan lisäehto: Integraalipinta sisältää annetun sileän avaruuskäyrän
Γ0: r = f(s)
(ns. lähtökäyrä), missä f(s) = (f(s),g(s),h(s)). Ts. vastaava ratkaisu u(x,y) onsellainen, että
h(s) = u(f(s),g(s))
toteutuu identiteettinä. ODY (1) yhdessä ko. lisäehdon kanssa muodostaans. Cauchyn probleeman (vrt IV.1).
Usein muuttuja y on aikamuuttuja ja lisäehto on ns. alkuehto
u(s,0) = h(s),
ts. lähtökäyrä on muotoa r = (s,0,h(s)). Tällainen Cauchyn probleema onns. alkuarvotehtävä (vrt. IV.3).
Geometrisesti Cauchyn probleeman ratkaisu saadaan asettamalla Γ0:n pis-
teiden kautta karakteristiset käyrät (ellei nyt sitten Γ0 itse ole karakteris-tinen käyrä).
106
Γ0y
x
z
Tätä varten ratkaistaan DY-ryhmä (2) alkuehdolla r(0) = f(s). Ratkaisu jääriippumaan parametristä s. Merkitään sitä R(t,s):llä, ts. R(t,s) = (X(t,s),Y(t,s),Z(t,s)) ja
∂R
∂t = a(R(t,s))
R(0,s) = f(s).
Lauseen 13 nojalla ratkaisu on olemassa yksikäsitteisenä ja se on jatkuva jajatkuvasti derivoituva sekä t:n että s:n suhteen.
Toisaalta r = R(t,s) on Cauchyn probleeman ratkaisua vastaavan integraali -pinnan parametriesitys . Jos yo. DY-ryhmän alkuarvotehtävä ratkaistaannumeerisesti, saadaan näin joukko integraalipinnan pisteitä ja pintavoidaan piirtää tai u(x,y):n arvoja voidaan interpoloida (eli sovittaa tietyn-tyyppinen pinta saatuun dataan). Ks. 73110 Numeerinen analyysi 1.
Jos taas R(t,s) saadaan ratkaistua analyyttisesti (joko käsin tai jollain sym-bolisen laskennan ohjelmistolla), voidaan yrittää ratkaista (jälleen käsintai mainitulla ohjelmistolla) t ja s yhtälöparista
x = X(t,s)y = Y(t,s)
x:n ja y:n funktioina:
t = T(x,y)s = S(x,y).
Implisiittifunktiolauseen (ks. peruskurssit) mukaan (ainakin periaattees-sa) tämä onnistuu lokaalisesti, ts. jossain pisteen (0,s0) ympäristössä, mi-käli Jacobin determinantti
107
∂(X,Y)
∂(t,s) =
∂X
∂t
∂X
∂s
∂Y
∂t
∂Y
∂s
=merk. D(t,s)
on ≠ 0 pisteessä (0,s0). Lisäksi tällöin T(x,y) ja S(x,y) ovat jatkuvia ja jat-kuvasti derivoituvia jossain pisteen (x0,y0) ympäristössä, missä
x0 = X(0,s0) = f(s0) ja y0 = Y(0,s0) = g(s0).
Ehto D(0,s0) ≠ 0 toteutuu, jos
Xt(0,s0) Xs(0,s0)
Yt(0,s0) Ys(0,s0) =
a(r0) f´(s0)
b(r0) g´(s0) = a(r0)g´(s0) - b(r0)f´(s0) ≠ 0,
missä r0 = (x0,y0,h(s0)).
Ratkaisu on
u(x,y) = Z(T(x,y),S(x,y)).
LAUSE 15. Jos Cauchyn probleemalla on (lokaalinen) ratkaisu ja D(0,s0) =0, niin Γ0 sivuaa karakteristista käyrää r0:ssa.
Todistus . Jos u(x,y) on Cauchyn probleeman ratkaisu, niin
a(x,y,u(x,y))ux(x,y) + b(x,y,u(x,y))uy(x,y) = c(x,y,u(x,y))
jah(s) = u(f(s),g(s)).
Derivoidaan vm. yhtälö puolittain s:n suhteen:
h´(s) = ux(f(s),g(s))f´(s) + uy(f(s),g(s))g´(s).
Jos D(0,s0) = 0, niin (edellä olevan mukaan)
a(r0)g´(s0) = b(r0)f´(s0).
Näin ollen
f´(s0) Æ a(r0) =
i j k
f´(s0) g´(s0) h´(s0)
a(r0) b(r0) c(r0)
108
=
i j k
f´(s0) g´(s0) ux(x0,y0)f´(s0) + uy(x0,y0)g´(s0)
a(r0) b(r0) ux(x0,y0)a(r0) + uy(x0,y0)b(r0)
= 0,
ts. f´(s0) ja a(r0) ovat yhdensuuntaiset. n
LAUSE 16. Jos lähtökäyrä Γ0 on karakteristinen käyrä, niin Cauchynprobleemalla on äärettömän monta ratkaisua.
Todistus . Valitaan mielivaltainen käyrän Γ0 piste r0. Asetetaan r0:n kautta
sileä käyrä Γ1: r = r1(w) = (f1(w),g1(w),h1(w)), ts. r1(w0) = r0. Valitaan vie-
lä Γ1 siten, että
f1(w0) b(r0) ≠ g1(w0) a(r0)
(äärettömän monta valintamahdollisuutta). Jos otetaan lähtökäyräksi Γ1,niin saadulla Cauchyn probleemalla on edellä esitetyn nojalla ratkaisu. Lau-seen 14 mukaan Γ0 on jokaisen tällaisen Cauchyn probleeman ratkaisunantamassa integraalipinnassa. n
Melkein lineaarinen kahden muuttujan 1. kertaluvun ODY
a(x,y)ux + b(x,y)uy = c(x,y,u)
on erikoistapaus vastaavasta kvasilineaarisesta ODY:stä. Tällaiselle ODY:lleDY-ryhmä (2) sivulla 103 on muotoa
dxdt = a(x(t),y(t))dydt = b(x(t),y(t))dzdt = c(x(t),y(t),z(t)).
Kahdesta ensimmäisestä DY:stä saadaan x(t) sekä y(t), jonka jälkeen vii-meisestä DY:stä saadaan z(t).
109
VI.3 Yleinen kvasilineaarinen 1. kertaluvun ODY
Yleinen n:n muuttujan kvasilineaarinen 1. kertaluvun ODY on muotoa
∑i=1
n ai(x,u)uxi = c(x,u)
oleva ODY, missä (a1(x,u),…,an(x,u)) ≠ 0. Merkitään jälleen r = (x,z) ja(a1(r),…,an(r),c(r)) = a(r). Karakteristiset käyrät (Än+1:ssä) saadaan DY-ryhmästä
( 1 )drdt = a(r(t)).
Cauchyn probleema syntyy, kun asetetaan lisäehto: Integraalipinta z = u(x)(Än+1:n hyperpinta) sisältää n-1-ulotteisen differentioituvan moniston
Γ0: r = f(s),
missä s kulkee tietyn Än-1:n parametrialueen pisteet. Cauchyn probleemaratkaistaan analogisesti kahden muuttujan tapauksen kanssa. Ratkaistaanensin DY-ryhmä (1) alkuehdolla r(0) = f(s). Saadaan Än+1:n hyperpinta
r = (X (t,s),Z(t,s)).
Numeerisiin tarkoituksiin tämä usein riittääkin, kyseessähän on integraa-lipinnan parametriesitys. Periaatteessa voitaisiin ratkaista t ja s (ainakinlokaalisesti)
t = T(x)s = S(x)
olettaen, että Jacobin determinantti
det(a(r0)T,fs(s0)) ≠ 0
tarkastelupisteessä r0 = f(s0). Cauchyn probleeman ratkaisu on tällöin u(x)= Z(T(x),S(x)).
110
VI.4 Yleinen 1. kertaluvun kahden muuttujan ODY
Yleinen 1. kertaluvun ODY riippumattomille muuttujille x ja y sekä riippu-valle muuttujalle u on muotoa
( 1 ) F(x,y,u,ux,uy) = 0.
F oletetaan jatkuvaksi osittaisderivaattoineen toiseen kertalukuun asti.Ratkaisusta u(x,y) saadaan jälleen integraalipinta z = u(x,y). Merkitäänlyhyyden (ja selvyyden) vuoksi
p = ux sekä q = uy
ja otetaan käyttöön myös vektoraaliset merkinnät
x = (x,y), r = (x,y,z) ja p = (p,q).
Yhtälö F(r,p) = 0 sitoo funktionaalisesti yhden muuttujista toisiin. Koska(1) on ODY, on oltava p ≠ 0 (muutoin yhtälö F(r,p) = 0 ei sido osittaisderi-vaattoja). Sovitaan vaikkapa, että tarkastelualueessa q ≠ 0 (tapaus, missäp ≠ 0 on aivan symmetrinen). Näin ollen yhtälö F(r,p) = 0 sitoo nimen-omaan q:n toisiin muuttujiin, vieläpä jatkuvasti ja jatkuvasti derivoituvasti:
q = Q(r,p)
(Implisiittifunktiolause). Ts. yhtälö
( 2 ) F(r,p,Q(r,p)) = 0
on identiteetti. Näin ollen myös siitä puolittain p:n suhteen derivoimalla(ketjusääntö) saatu yhtälö
Fp(r,p,Q(r,p)) + Fq(r,p,Q(r,p))Qp(r,p) = 0eli
( 3 ) Qp(r,p) = - Fp(r,p,Q(r,p))Fq(r,p,Q(r,p))
on identiteetti.
Integraalipinnan z = u(x,y) tangenttitaso pisteessä r0 = (x0,y0,z0) on
z - z0 = p0(x - x0) + q0(y - y0),
missä z0 = u(x0,y0), p0 = ux(x0,y0) ja q0 = uy(x0,y0). Koska ODY toteutuu,toteutuu myös identiteetti (2), ts. q0 = Q(r0,p0). Toisaalta pisteen r0kautta kulkee useampia integraalipintoja, näiden tangenttitasot ovat
( 4 ) z - z0 = p(x - x0) + Q(r0,p)(y - y0)
(1-parametrinen tasoparvi). Tasojen normaalisuorat
r = r0 + w(-p,-Q(r0,p),1) (w on suoran parametri)
111
(1-parametrinen suoraparvi) pyyhkäisevät ns. parven (4) normaalikartion .Tämän vastakartio eli tasoparven (4) verhokartio on ODY:n ns. Mongenkartio.*
normaalikartio
Mongen kartio
tang
enttit
aso
(-u ,-u ,1)x ynormaali
karakteristinen suunta
Geometrisesti ODY (1) merkitsee sitä, että pinta on integraalipinta tarkal-leen silloin , kun se sivuaa jokaisessa pisteessään ko. pisteeseen asetettua Mongen kartiota .
integraalipinta
Mongen kartio
Mongen kartio on myös pyyhkäisypinta, sen pyyhkäisevät pisteen r0 kaut-ta kulkevat ns. karakterististen suuntien suuntaiset suorat. Näiden suun-tien selville saamiseksi katsotaan ensin vähän yleistä 1-parametristen pin-taparvien verhopintojen karakterisaatiota ja sovelletaan sitä sitten tan-genttitasoparveen (4).
* Kyseessä ovat ns. yleiset kartiopinnat , ts. kiinteän pisteen kautta kulkevan liik-
kuvan suoran pyyhkäisemät pinnat. Tuttu ympyräkartio on tietysti eräs kartio-pinta, samoin elliptiset kartiot sekä taso.
112
Verhopinta :
Pintojen parven verhopinta on pinta, joka joka pisteessään sivuaa tarkal-leen yhtä parven pintaa ja joka sivuaa kaikkia parven pintoja. Jos parvi on1-parametrinen, ts. muodostuu pinnoista
z = f(x,λ ) (λ on parametri),
niin (mahdollinen) parven verhopinta löydetään seuraavalla tavalla. Pis-teessä r verhopinta sivuaa tarkalleen yhtä parven pintaa z = f(x,λ1). Para-
metrin arvo λ1 riippuu täten pisteestä x, ts.
λ = g(x),
ja verhopinnan yhtälö on näin
z = f(x,g(x)).
Merkitään normaalit yhdensuuntaisiksi pisteessä r:
fx(x,g(x)) = fx(x,g(x)) + fλ(x,g(x))gx(x).
Koska g(x) ei voi olla vakio eli gx(x) ei ole identtisesti nollavektori, pitääolla
fλ(x,λ ) = 0
(josta periaatteessa voitaisiin saada ratkaisemalla g(x)). Verhopinta voidaanantaa pintojen z = f(x,λ) ja fλ(x,λ) = 0 (z-akselinen sylinteripinta) leikkaus-käyrien (1-parametrinen käyräparvi) pyyhkäisypintana. Näin on saatu il-maistua pintaparven verhopinta käyräparven pyyhkäisypintana.
Palataan eo. tasoparveen (4). Parven verhokartio saadaan siis tasojen
z - z0 = p(x - x0) + Q(r0,p)(y - y0) ja x - x0 + Qp(r0,p)(y - y0) = 0
leikkaussuorien parven pyyhkäisypintana. Karakteristiset suunnat ovat tä-män parven suorien suunnat ja ne saadaan normaalien ristituloina:
(-p,-Q(r0,p),1) Æ (1,Qp(r0,p),0) = (-Qp(r0,p),1,-pQp(r0,p) + Q(r0,p))
=(3)
(Fp,Fq,pFp + Q(r0,p)Fq)
Fq ,
missä F:n ja sen osittaisderivaattojen muuttujapaikoilla on (r0,p,Q(r0,p)).
Kuten VI.1:ssä, karakteristinen käyrä on käyrä r = r(t), jonka tangentti-vektori r´(t) on karakteristisen suunnan suuntainen. Koska pelkkä Mon-gen kartion kärkipiste r0 ei määritä karakteristista suuntaa, tarvitaanmyös normaalin suunta (-p,Q(r0,p),1), joka määräytyy p:stä. Merkitään
113
p (t) = (p(t),q(t)),missä
q(t) = Q(r(t),p(t)).
Itse asiassa on helpompaa kirjoittaa DY myös q(t):lle ja ottaa lisäehdoksi q(t) = Q(r(t),p(t)) eli (ks. (2) ) F(r(t),p(t),Q(r(t),p(t))) = 0. Kaiken kaikki-aan tarvitaan DY-ryhmä (r(t),p (t)):lle. Käyrä, jonka normaalin suunta onkiinnitetty, on ns. nauha (ks. sivun 60 alaviite). (r(t),p (t)) on ns. karakte-ristinen nauha.
Huom! Jokaisen nauhan (r(t),p(t)) on toteutettava ns. nauhaehto
r´(t)˘p(t) = 0
eli tangentin on oltava kohtisuorassa normaalia vastaan.
Merkitään nyt karakteristisen käyrän tangenttivektoriksi (ks. yllä)
(Fp(r(t),p(t)),p(t)˘Fp(r(t),p(t))),
ts. valitaan*
dx
dt = Fp(r,p)
dzdt = p˘Fp(r,p).
p(t):lle saadaan DY:t, kun vaaditaan, että karakteristinen nauha on (jos-sain) integraalipinnassa z = u(x). (Tällöin myös normaalien suuntien onyhdyttävä!) Koska integraalipinnalle z = u(x)
F(x,u(x),ux(x)) = 0
on identiteetti x:n suhteen, on sitä myös x:n suhteen derivoimalla saatuyhtälö
Fx(x,u(x),ux(x)) + Fz(x,u(x),ux(x))ux(x) + Fp(x,u(x),ux(x))uxx(x) = 0
(tässä uxx(x) on Hessen matriisi, ks. sivu 7). Erityisesti tämä identiteettipätee karakteristiselle nauhalle, jos se on integraalipinnassa, ts.
( 5 ) Fx(r(t),p(t)) + Fz(r(t),p(t))ux(x(t)) + Fp(r(t),p(t))uxx(x(t)) = 0
on identiteetti t:n suhteen. Toisaalta tällöin myös p (t) = ux(x(t)) on iden-titeetti t:n suhteen (normaalien suunnat yhtyvät, nauhaehto) ja samoin onsiitä t:n suhteen derivoimalla saatu yhtälö
p´(t) = x´(t)uxx(x(t)) = Fp(r(t),p(t))uxx(x(t)).
* Vrt. sivun 103 alaviite.
114
Siis (ks. (5))
p´(t) = -Fx(r(t),p(t)) - Fz(r(t),p(t))p(t).
Kaiken kaikkiaan karakteristiselle nauhalle saadaan viiden DY:n ja yhdenyhtälön ryhmä
( 6 )
dxdt = Fp(r,p)
dzdt = p˘Fp(r,p)
dpdt = -Fx(r,p) - Fz(r,p)p
F(r,p) = 0.
1-parametrinen nauhaparvi (R (t,s),P(t,s)) (t on nauhan parametri, s par-ven parametri) voidaan samaistaa pintaan, kun (-P(t,s),1) katsotaan pin-nan normaaliksi. Tällöin on tietysti Rs(t,s):n oltava kohtisuorassa nauhannormaalia (-P(t,s),1) vastaan,ts..
Rs(t,s)˘(-P(t,s),1) = 0 (ns. pyyhkäisyehto),
sillä kiinteällä t:n arvolla käyrä r = R(t,s) (parametrinä s) on pinnassa.Tällaista pintaa sanotaan nauhaparven pyyhkäisypinnaksi.
pyyhkäisypinta
(-P(t ,s ),1 )0 0
r = R(t ,s)0
r = R(t,s )0
Jokainen karakterististen nauhojen pyyhkäisypinta on ODY:n (1) integraa-lipinta. Käänteinen tulos pätee jälleen:
LAUSE 17. Jos karakteristinen nauha sivuaa integraalipintaa, niin se onkokonaan tässä pinnassa (erityisesti myös normaalien suunnat ovat samat).
115
Todistus . Todistus on samantapainen kuin Lauseen 15 todistus. Oletetaan,että karakteristinen nauha (r(t),p(t)) sivuaa integraalipintaa S: z = u(x) pis-teessä r0 = (x0,z0) = r(t0), ts.
z0 = u(x0)ux(x0) = p(t0).
Merkitään
Z(t) = z(t) - u(x(t))P(t) = p(t) - ux(x(t)),
jolloin Z(t0) = 0 ja P(t0) = 0. Edelleen
dZdt = z´(t) - ux(x(t))˘x´(t) = (p(t) - ux(x(t)))˘Fp(r(t),p(t))
( 7 ) = P(t)˘Fp(x(t),Z(t)+u(x(t)),P(t)+ux(x(t)))
jadPdt = p´(t) - x´(t)uxx(x(t))
= -Fx(r(t),p(t)) - Fz(r(t),p(t))p(t) - Fp(r(t),p(t))uxx(x(t))
( 8 ) = -Fx(x(t),Z(t)+u(x(t)),P(t)+ux(x(t)))
- Fz(x(t),Z(t)+u(x(t)),P(t)+ux(x(t)))(P(t) + ux(x(t)))
- Fp(x(t),Z(t)+u(x(t)),P(t)+ux(x(t)))uxx(x(t)).
(7) ja (8) muodostavat DY-ryhmän (Z(t),P (t)):lle. Olemassaolo- ja yksikä-sitteisyyslauseen (ks. peruskurssit) nojalla sillä on alkuehdoilla Z(t0) = 0 jaP(t0) = 0 tarkalleen yksi ratkaisu (tässä muuten tarvitaan F:n toisen kerta-luvun osittaisderivaattojen jatkuvuus). Mutta toisaalta tämä ratkaisu onnollafunktio (0,0), sillä tietysti
0 = 0˘Fp(x(t),u(x(t)),ux(x(t)))
ja (5):n nojalla
0 = -Fx(x(t),u(x(t)),ux(x(t))) - Fz(x(t),u(x(t)),ux(x(t)))ux(x(t)))
- Fp(x(t),u(x(t)),ux(x(t)))uxx(x(t)).
Siis
Z(t) = z(t) - u(x(t)) = 0 ja P(t) = p(t) - ux(x(t)) = 0
116
eli nauha (r(t),p(t)) on pinnassa S.
SEURAUS. Kahden integraalipinnan sivuamisnauha on aina karakteristi-nen.
Todistus . Integraalipintojen sivuamisnauhan jokaisessa pisteessä pintojasivuava karakteristinen nauha on kokonaan molemmissa pinnoissa, jotensen on oltava sivuamisnauha.
VI.5 Cauchyn probleema yleiselle 1. kertaluvun kahden muuttujan ODY:lle
Cauchyn probleemassa vaaditaan, että integraalipinta sivuaa annettua nau-haa r = f(s), p = φ (s) = (ϕ (s),ψ(s)) (parametrinä s, vrt. VI.2), ns. lähtönau-ha. Ts.
F(f(s), φ (s)) = 0 ja h´(s) = ϕ (s)f´(s) + ψ(s)g´(s)
identtisesti.
Jos alkudatana on annettu vain sileä lähtökäyrä r = f(s), on siihen lisättäväsopivat “nauhakomponentit” ϕ(s) ja ψ(s). Mikäli Jacobin determinantti
( 1 )
Fp(f(s),φ(s)) Fq(f(s),φ (s))
f´(s) g´(s) = g´(s)Fp(f(s), φ
(s)) - f´(s)Fq(f(s), φ (s)) ≠ 0
jossain parametripisteen s = s0 ympäristössä, niin (Implisiittifunktiolause)yhtälöparista
F(f(s),ϕ,ψ) = 0
f´(s)ϕ + g´(s)ψ = h´(s)
ratkeavat (ainakin periaatteessa) ϕ (s) ja ψ(s) yksikäsitteisesti, vieläpä jat-kuvasti derivoituvina.
Huom! Ehto (1) takaa myös sen, ettei saatu lähtönauha ole karakteristi-nen, ks. edellisen pykälän DY-ryhmä (6).
Cauchyn probleema ratkaistaan nyt seuraavasti. Ratkaistaan ensinedellisen pykälän DY-ryhmä (6) alkuehdoilla
r(0) = f(s), p(0) = φ (s).
Saadaan ratkaisu, joka jää riippumaan parametristä s. Merkitään sitä(R(t,s),P(t,s)):llä, ts. R(t,s) = (X(t,s),Y(t,s),Z(t,s)) ja P(t,s) = (P(t,s),Q(t,s))
117
(vrt. VI.2). Lauseen (13) vastine on voimassa ja sen mukaan ratkaisu onolemassa yksikäsitteisenä ja se on jatkuva ja jatkuvasti derivoituva sekä t:nettä s:n suhteen.
Usein tämä riittääkin, sillä r = R(t,s) on integraalipinnan parametriesitys(lisäksi saatiin myös normaali (-P(t,s),-Q(t,s),1)). DY-ryhmä voidaan rat-kaista numeerisesti tai (toisinaan) analyyttisesti.
Jos R(t,s) saadaan analyyttisenä lausekkeena ja Jacobin determinantti
( 2 )∂(X,Y)
∂(t,s) ≠ 0
jossain pisteen (0,s0) ympäristössä, saadaan ratkaistua t = T(x ) ja s = S(x)yhtälöparista
x = X(t,s)y = Y(t,s)
jatkuvina ja jatkuvasti derivoituvina. Cauchyn probleeman ratkaisu on täl-löin
z = u(x) = Z(T(x),S(x)).
Huom! Ehto (2) on itse asiassa sama kuin (1), sillä
Xt(0,s0) Xs(0,s0)
Yt(0,s0) Ys(0,s0) =
Fp(R(0,s0),P(0,s0)) f´(s0)
Fp(R(0,s0),P(0,s0)) g´(s0) .
Huom! Edellisen pykälän DY-ryhmässä (6) oleva “lisäyhtälö” F(r,p) = 0 eiaiheuta vaikeuksia, sillä jos se toteutuu, kun t = 0, niin se toteutuu myösmuilla t:n arvoilla:
ddt F(r(t),p(t)) = Fr(r(t),p(t))˘r´(t) + Fp(r(t),p(t))˘p´(t)
= Fx(r(t),p(t))˘Fp(r(t),p(t)) + Fz(r(t),p(t))p(t)˘Fp(r(t),p(t))
- Fp(r(t),p(t))˘(Fx(r(t),p(t)) + Fz(r(t),p(t))p(t))
= 0,
ts. F(r(t),p(t)) on t:n suhteen vakio.
118
VI.6 Yleinen 1. kertaluvun ODY
Yleisen n muuttujan x1,…,xn (eli x) 1. kertaluvun ODY:n
F(x,u,ux) = 0
tapaus on analoginen kahden muuttujan tapauksen kanssa. Merkitään (ly-hyyden vuoksi) z = u, p = ux ja r = (x,z). Lähtömonisto on muotoa
x = f(s), z = h(s),
missä s = (s1,…,sn-1) on parametrivektori. Tämä täydennetään ratkaise-malla φ = (φ1(s),…,φn(s)) yhtälöistä
F(f(s),h(s),φ) = 0
φ
fs(s) = hs
edellyttäen (kuten oletetaan), että Jacobin determinantti
Fp(f(s),h(s),φ(s))
fs(s)T ≠ 0.
Karakteristinen nauha x = X(t,s), z = Z(t,s), p = P (t,s) saadaanalkuarvoteh-tävästä
dx
dt = Fp(r,p)
dzdt = p˘Fp(r,p)
dpdt = -Fx(r,p) - Fz(r,p)p
F(r,p) = 0
x(0) = f(s)
z(0) = h(s)
p(0) = φ (s ) .
Tämä riittääkin usein. Jos t = T(x ) ja s = S(x) saadaan ratkaistuksi yhtä-löstä x = X(t,s), saadaan edelleen ratkaisu z = u(x) = Z(T(x),S(x)).
119
VII 1. KERTALUVUN ODY-RYHMÄT
VII.1 Yleistä
1. kertaluvun ODY-ryhmä vektoriarvoiselle riippuvalle muuttujalle u ja riip-pumattomille muuttujille x on muotoa
F(x,u,ux) = 0,
missä F on annettu vektoriarvoinen funktio.
Rajoitutaan tapaukseen, missä ODY-ryhmä on lineaarinen ja riippumatto-mia muuttujia on kaksi, x ja y (merkitään silti x = (x,y)). Edelleen riippuvamuuttuja u on n-ulotteinen, ts. u = (u1,…,un). Tällöin ODY-ryhmä on muo-toa
( 1 ) uxA(x) + uyB(x) = uC(x) + d(x),
missä A(x), B(x) ja C(x) ovat nÆn-matriiseja ja d(x) on n-vektori, joiden al-kiot ovat jatkuvia ja jatkuvasti derivoituvia.
Cauchyn probleema saadaan, kun annetaan u(x):n arvo xy-tason sileällälähtökäyrällä x = f(t), ts.
( 2 ) u(f(t)) = h (t)
pätee identiteettinä.
Huom! Lineaariset korkeamman kertaluvun ODY:t, esimerkiksi aaltoyhtä-lö, voidaan palauttaa 1. kertaluvun lineaariseksi ODY-ryhmäksi samaan ta-paan kuin differentiaaliyhtälötkin (ks. peruskurssit).
xy-tason sileä käyrä x = φ (t) = (ϕ (t),ψ(t)) on ODY-ryhmän (1) karakteristi-nen käyrä, jos tällä käyrällä ux ja uy eivät määräydy yksikäsitteisesti käy-rällä annetusta datasta u( φ (t)) = g (t) (vrt. IV.1). Erityisesti karakteristisel-
la käyrällä x = φ (t) ryhmällä
uxA(φ(t)) + uyB(φ (t)) = g(t)C(φ (t)) + d(φ (t))
φ
´(t)uTx = g´(t)
ei ole yksikäsitteistä ratkaisua (jälkimmäinen yhtälöistä saadaan derivoi-malla identiteetti u( φ (t)) = g(t) puolittain t:n suhteen), ts. ryhmän deter-minantti
120
A(φ(t))T B(φ (t))T
ϕ ´(t)I ψ´(t)I = 0.
Jos valitaan parametriksi t muuttuja y, ts. φ (t) = (ϕ (t),t), on determinantti
A(φ(t))T B(φ (t))T
ϕ´(t)I I =
A(φ (t))T - ϕ ´(t)B(φ (t))T B(φ (t))T
O I
= det(A(ϕ (t),t) - ϕ ´(t)B(ϕ (t),t)) = 0.
Kyseessä on 1. kertaluvun, mutta n:nnen asteen DY funktiolle ϕ (t). Jokai-nen karakteristinen käyrä, joka ei sivua x-akselin suuntaista suoraa, voi-daan parametrisoida tällä tavoin. Vastaavasti, jos valitaan parametriksimuuttuja x, ts. φ (t) = (t,ψ(t)), saadaan DY
det(B(t,ψ(t)) - ψ´(t)A(t,ψ(t))) = 0
ja tällainen parametrisointi voidaan ottaa käyttöön karakteristisille käyril-le, jotka eivät sivua y-akselin suuntaista suoraa.
Alkuarvotehtävässä valitaan lähtökäyräksi x-akseli, ts. asetetaan alkuehto
u(x,0) = h(x).
Tällöin on oltava det(B(x,0)) ≠ 0, jotta x-akseli ei itse olisi karakteristinenkäyrä. Ainakin lokaalisesti B(x) on silloin ei-singuläärinen ja ODY-ryhmä(1) voidaan kirjoittaa muotoon
( 3 ) uy + uxA1(x) = uC1(x) + d1(x),
missä
A1(x) = A(x)B(x)-1, C1(x) = C(x)B(x)-1 ja d1(x) = d(x)B(x)-1.
Jatkossa oletetaankin , että ODY on muotoa ( 3 ) ja jätetään indeksit 1 pois.Edelleen rajoitutaan alkuarvotehtäviin . Karakteristiselle käyrälle φ (t) =
(ϕ(t),t), joka ei sivua x-akselin suuntaista suoraa, saadaan silloin DY
det(A(ϕ (t),t) - ϕ ´(t)I) = 0.
121
VII.2 Hyperbolinen lineaarinen kahden muuttujan ODY-ryhmä
Lineaarinen ODY-ryhmä (3) on hyperbolinen, jos matriisilla A(x)T on ainan lineaarisesti riippumatonta reaalista ominaisvektoria ξ 1(x)T,…, ξ n(x)T.
Jatkossa tarkastellaan vain tapausta , missä A ( x ) T :n ominaisarvot λ1(x),…,
λn(x) ovat reaaliset ja eri suuret , jolloin ODY-ryhmä (3) on hyperbolinen(ks. peruskurssit). Tällöin
Ξ (x)A (x) = Λ (x ) Ξ (x ) ,missä
Ξ (x) =
ξ1(x)
˘
˘
˘
ξ
n(x)
ja Λ (x) =
λ1(x)
λ2(x) O ˘ O ˘ ˘ λn(x)
.
Tehdään riippuvan muuttujan vaihto v(x) = u Ξ (x)-1, jolloin saadaan ODY-ryhmä
vy + vx Λ (x) = v( Ξ (x)C (x) Ξ (x)-1 - Ξ y(x ) Ξ (x)-1 - Ξ x(x)A (x) Ξ (x)-1) + d(x) Ξ (x)-1
ja sille alkuehto
v(x,0) = h(x) Ξ (x,0)-1 =merk. k(x).
Tämä on ns. hyperbolisen ODY-ryhmän kanoninen muoto. Merkitään ly-hyyden vuoksi
Ξ (x)C (x) Ξ (x)-1 - Ξ y(x ) Ξ (x)-1 - Ξ x(x)A (x) Ξ (x)-1 = E(x)ja
d(x) Ξ (x)-1 = e(x),
jolloin ODY-ryhmä (kanonisessa muodossa) on
( 4 ) vy + vx Λ (x) = vE(x) + e(x),
missä Λ (x) on lävistäjämatriisi.*
ODY-ryhmän (4) karakteristiselle käyrälle φ (t) = (ϕ (t),t) (joka ei sivua x-akselin suuntaisia suoria) saadaan DY
* Hiljaisena oletuksena tässä on, että Ξ (x):n alkiot ovat jatkuvia ja jatkuvasti deri-
voituvia ja Λ (x):n alkiot ovat jatkuvia. Näin ei välttämättä tarvitse olla, vaikkaA(x) olisikin diagonalisoituva.
122
det( Λ (ϕ (t),t) - ϕ ´(t)I) = 0eli
(λ1(ϕ,t) - ϕ´)˘˘˘(λn(ϕ,t) - ϕ´) = 0.
Tästä saadaan n karakteristista käyrää φ i(t) = (ϕ i(t),t) (i = 1,…,n) vastatenn:ää DY:ä
( 5 ) ϕ´= λ i(ϕ ,t) (i = 1,…,n).
Karakteristisellä käyrällä φ i(t) = (ϕ i(t),t) riippuva muuttuja v = v(ϕ i(y),y)riippuu vain y:stä ja (ketjusääntö)
dvidy =
∂vi
∂x ϕ i(y) +
∂vi
∂y =
∂vi
∂x λ i(ϕ i(y),y) +
∂vi
∂y = vEi(ϕ i(y),y) + ei(ϕ i(y),y),
missä Ei(ϕ i(y),y) on matriisin E(ϕ i(y),y) i:s sarake ja ei(ϕ i(y),y) on vektorin
e(ϕ i(y),y) i:s alkio.
Asetetaan nyt kiinteän pisteen x0 kautta karakteristiset käyrät φ i(t) =
(ϕ i(t),t) (i = 1,…,n), merkitään
Ci: x = α i(y,xo) (i = 1,…,n),
jotka saadaan asettamalla DY:ille (5) vastaavat alkuehdot.
x0y
x
CC C
C1
2 3
n. . .
Käyrällä Ci
dvidy = vEi(α i(y,x0),y) + ei(α i(y,x0),y)
eli (integroidaan 0:sta y0:aan)
( 6 ) vi(x0) = ki(α i(0,x0)) +⌡⌠0
y0
(v(α i(y,x0),y)Ei(α i(y,x0),y) + ei(α i(y,x0),y)) dy
(i = 1,…,n).
123
Jos merkitään W = (W1,…,Wn), missä
Wi(x0) = ki(α i(0,x0)) + ⌡⌠0
y0
ei(α i(y,x0),y)dy (i = 1,…,n),
ja S:llä operaattoria S: v |→ w = (w1,…,wn), missä
wi = ⌡⌠0
y0
v(α i(y,x0),y)Ei(α i(y,x0),y)dy (i = 1,…,n),
niin (6) voidaan kirjoittaa lyhyeen muotoon
v = W + Sv.
Tätä voidaan käyttää iterointiin:
v(0) = 0
v(i+1) = W + Sv(i) (i = 0,1,…).
Iterointi onnistuu ainakin lokaalisesti, ts. tapauksessa. missä |y0| on pie-ni. Huomaa, että iteroinnissa itse asiassa tarvitaan karakterististen käyrienverkko, koska integraalien numeeristen arvojen laskemiseksi tarvitaan v:narvot karakteristisilla käyrillä x-akselin ja pisteen x0 välillä sopivissa pis-teissä.
x
yx0
Iteroinnin kulku :
1 ) Etsitään ensin karakteristisilta käyriltä halutut pisteet ratkaise-malla vastaavat alkuarvotehtävät numeerisesti tai muuten.
2 ) Lasketaan W halutuissa pisteissä karakteristisillä käyrillä numee-risella integroinnilla tai muuten.
3 ) Lasketaan Sv(i) halutuissa pisteissä käyttäen numeerista integ-rointia (tai muuten) ja v(i-1):tä. Lasketaan v(i+1) = W + Sv(i).
124
4 ) Toistetaan rekursiota lähtien alkuarvauksesta v(0) = 0 (voisi tie-tysti olla parempikin!), kunnes ||v(i) - v(i-1)|| on kyllin pieni. Lo-
puksi saadaan u(x0) ≅ v(i) Ξ (x0).
Huom! Iterointi voitaisiin suorittaa myös suoraan alkuperäiselle ODY-ryh-mälle ilman muuntoa kanoniseen muotoon, kaavat vain ovat tällöin mut-kikkaampia. Edelleen vastaava menettely voidaan kehittää myös (hyperbo-liselle) kvasilineaariselle kahden muuttujan 1. kertaluvun ODY-ryhmälle
uy + uxA(x,u) = d(x,u).
Menettely voidaan myös muuntaa alku-reuna-arvotehtäviä koskevaksi. Ks.esimerkiksi SPIVAK. (Klassinen artikkeliviite on COURANT, R. & LAX, P.:On nonlinear partial differential equations with two independent variab -les . Comm. Pure Appl. Math. 2 (-49), 255-273, mutta se ei ole kovin luku-kelpoinen.) Vakiokertoimisille hyperbolisille ODY-ryhmille eo. karakteris-tisten käyrien menetelmä yksinkertaistuu, ks. DUCHATEAU & ZACHMANN.
VII.3 Yksinkertaiset aaltoratkaisut
Tarkastellaan kvasilineaarista kahden muuttujan 1. kertaluvun homogee-nista ODY-ryhmää
( 7 ) uy + uxB(u) = 0,
missä B(u) on matriisi, jonka alkiot ovat jatkuvia n muuttujan funktioita.
Mahdollisia muotoa
( 8 ) u(x) = F(f(x))
olevia ODY-ryhmän (7) ratkaisuja kutsutaan yksinkertaisiksi aaltoratkai-suiksi. (Lisäksi oletetaan, että ux(x) ≠ 0.)
Sijoitetaan (8) ODY-ryhmään (7):
F´(f(x))fy(x) + fx(x)F´(f(x))B(F(f(x))) = 0eli
F´(f(x))B(F(f(x))) = - fy(x)fx(x) F´(f(x)).
Siis fy(x)fx(x) on matriisin B(F(f(x)))T ominaisarvo, jota vastaa ominaisvektori
F´(f(x))T. (Huomaa, että fx(x) ≠ 0 ja F´(f(x)) ≠ 0, koska ux(x) ≠ 0.)
125
Oletetaan nyt, että jokaista riippuvan muuttujan u arvoa vastaten B(u)T:llaon reaalinen ominaisarvo λ (u) ja siihen liittyvä reaalinen ominaisvektori
ξ (u)T, molemmat jatkuvia ja jatkuvasti derivoituvia n muuttujan funktioita.
Kun merkitään
( 9 ) F´ = ξ (F ),
saadaan 1. kertaluvun DY-ryhmä F:lle. Jos G toteuttaa ko. DY-ryhmän, niinf(x) saadaan 1. kertaluvun kvasilineaarisesta ODY:stä
λ (G(f))fx + fy = 0.
Mikäli alkuehto annetaan muodossa
f(x,0) = h(x)
(jolloin u(x,0) = F(f(x,0)) = F(h(x)); huomaa, että myös DY-ryhmälle ( 9 )voidaan asettaa alkuehto), saadaan f(x):lle alkuarvotehtävä (Cauchyn prob-leema), ks. VII.2. Ratkaistaan ko alkuarvotehtävä
dxdt = λ (G (z))dydt = 1
dzdt = 0
x(0) = s
y(0) = 0
z(0) = h(s),
jolloin saadaan
x = tλ(G(h(s))) + sy = tz = h(s).
Näin ollen f toteuttaa funktionaaliyhtälön
f = h(x-λ(G(f))y),
josta f(x) saadaan (ainakin numeerisesti) ratkaistuksi.
Kaiken kaikkiaan yksinkertaisten aaltoratkaisujen etsintä palautuu DY-ryh-mien alkuarvotehtävien ratkaisuksi.
126
114 HARJOITUSTEHTÄVÄÄ
1. Totea, että kahden muuttujan funktio u(x,y) = f(x)e-y + g(y)e-x onODY:n uxy + ux + uy + u = 0 ratkaisu aina, kun siinä esiintyvät yh-den muuttujan funktiot f ja g ovat kahdesti jatkuvasti derivoituvia.
2. a) Suorita ODY:ssä ∂∂x
x2
∂u
∂x = x2
∂2u
∂y2 siihen merkitty derivointi.
b) Osoita, että kahden muuttujan funktio u(x,y) = 1x (f(x+y) + g(x-y))
on a)-kohdan ODY:n ratkaisu aina, kun siinä esiintyvät yhdenmuuttujan funktiot f ja g ovat kahdesti jatkuvasti derivoituvia.
3. Funktio u(x) on astetta a homogeeninen, jos u(λx) = λau(x) kaikille
pisteille x ja kaikille λ:n positiivisille arvoille. Esimerkiksi vakio-funktiot ovat astetta 0 homogeeniset, lineaariset funktiot ovat as-tetta 1 homogeenisia, x2 + xy + y2 on astetta 2 homogeeninen,jne.. Johda jatkuvasti derivoituville astetta a homogeenisille funk-tioille ensimmäisen kertaluvun ODY (ts. ODY, jonka tällaiset funk-tiot toteuttavat). (Vihje: Derivoi identiteetti u(λx) = λau(x) puolit-
tain λ:n suhteen. Saat uuden identiteetin, johon voit sijoittaa sopi-
vaksi katsomasi λ:n arvon.) Ks. Tehtävä 101.
4. x˘(∇ × (ux)) = 0 näyttäisi olevan 1. kertaluvun ODY. Kirjoita se auki.
5. Etsi ODY, jonka toteuttavat kaikki origokeskiset pallonpinnatu(x,y,z) = x2 + y2 + z2 = R2, säteen R arvosta riippumatta. (Vihje:Mitenkähän suhtautuvat toisiinsa pinnan pisteen paikkavektori(x,y,z) ja pisteessä oleva normaalivektori?)
6. Etsi ODY, jonka toteuttavat kaikki origon kautta kulkevat tasotu(x,y,z) = ax + by + cz = 0 vakioiden a, b ja c arvoista riippumatta.(Vihje: Sama kuin edellisessä tehtävässä.)
7. Etsi ODY, jonka toteuttavat kaikki z-akseliset sylinteripinnatu(x,y,z) = x2 + y2 = R2, säteen R arvosta riippumatta.
8. Näytä, että Maxwellin yhtälöiden määrittämän E:n komponentittoteuttavat aaltoyhtälön, kuten todettiin. (Vihje: Kaksoisroottorinkehityskaavasta ∇ × (∇ × u) = ∇ (∇ ˘u) - ∆u saattaisi olla apua.)
9. Näytä, että Maxwellin yhtälöiden määrittämän H:n komponentittoteuttavat aaltoyhtälön, kuten todettiin. (Vihje: Kuten edellisessätehtävässä.)
10. a) Kokeile Laplacen yhtälöön eksponentiaaliyritettä eh˘x , missä h onparametrivektori. Onnistuuko?
b) Kokeile lämpöyhtälöön eksponentiaaliyritettä eh˘x + kt , missä hon parametrivektori ja k on parametri.
127
11. Tee ODY:ssä x2u2x + y2u2
y = u ensin riippuvan muuttujan vaihto u =14 v2 ja sitten riippumattomien muuttujien vaihto ξ = ln x, η = ln y.
12. Kirjoita Hessen matriisin muunnoskaava napakoordinaatistomuun-
noksessa r = x2 + y2 , θ = arctan yx .
13. Laske eksponentiaaliratkaisun eh˘x , missä h on parametrivektori,Jacobin matriisi ja Hessen matriisi ja sijoita nämä yleiseen lineaa-riseen homogeeniseen 2. kertaluvun ODY:ön.
14. Näytä oikeaksi matriisin jäljen ominaisuus
trace(ABT) =∑i=1
n ∑
j=1
n aijbij,
kun A = (aij) ja B = (bij).
15. Riippumattomien muuttujien vaihdossa uusien muuttujien sanotaan
olevan ortogonaaliset, jos ∂φ∂x
∂φ
∂xT on lävistäjämatriisi. Näytä, että
napakoordinaatit ovat ortogonaaliset.
16. Näytä, että pallokoordinaatit ovat ortogonaaliset (ks. edellinentehtävä). Muistin virkistykseksi: Pallokoordinaatistomuunnos (va-senkätinen) on x = ρ cos φ sin θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos θ.
17. Näytä, että sylinterikoordinaatit ovat ortogonaaliset (ks. Tehtävä15). Muistin virkistykseksi: Sylinterikoordinaatistomuunnos onx = r cos θ, y = r sin θ, z = z.
18. a) Näytä, että Laplacen yhtälö säilyy muodoltaan samana lineaarisessariippumattomien muuttujien vaihdossa ξ T = CxT, missä C on orto-gonaalimatriisi, ts. CCT = I.
b) Lineaarisen 2. kertaluvun ODY:n pääosa on diagonaalinen, jos senkerroinmatriisi on lävistäjämatriisi. Näytä, että ortogonaalisessariippumattomien muuttujien vaihdossa (ks. Tehtävä 15) Laplacenyhtälöstä tulee pääosaltaan diagonaalinen.
19. Etsi ne lineaariset 2. kertaluvun ODY:t, jotka säilyvät muodoltaanmuuttumattomina kaikissa riippumattomien muuttujien translaa-tioissa eli muotoa ξ = x + c olevissa riippumattomien muuttujienvaihdoissa, missä c on vakiovektori. (Tässä siis myös kerroinfunk-tioiden tulee olla uusien muuttujien suhteen samaa muotoa kuinvanhojenkin muuttujien suhteen.)
20. Etsi ne lineaariset homogeeniset vakiokertoimiset 2. kertaluvunODY:t, jotka säilyvät muodoltaan muuttumattomina kaikissa lineaa-
128
risissa riippumattomien muuttujien vaihdoissa ξ T = CxT, missä Con ortogonaalimatriisi, ts. CCT = I. (Vihje: Kokeile erilaisia ortogo-naalimatriiseja C.)
21. Lineaarisia riippumattomien muuttujien vaihtoja ( ξ ,τ)T = C(x,t)T,jotka säilyttävät aaltoyhtälön muodon (valitaan c = 1), kutsutaanLorentzin muunnoksiksi. Näytä, että kahden muuttujan tapaukses-sa
Lorentzin muunnoksia ovat ainakin muunnokset
ξ
τ = C
x
t ,
joissa C on muotoa ±
cosh θ sinh θ
sinh θ cosh θ ja θ on parametri. Onko
niitä vielä muitakin?
22. Ilmeisesti funktion u(x) Hessen matriisi ∂2u
∂x2 on ux(x):n Jacobin
matriisi. Näin ollen, jos Hessen matriisi ∂2u
∂x2 on ei-singuläärinen,
niin yhtälöstä p = ux(x) ratkeaa x yksikäsitteisesti p:n funktiona x= g(p) (ainakin lokaalisesti), ts. u(x):n gradientti määrää yksikä-sitteisesti sen pisteen, jossa saadaan ko. gradientti. a) Näytä, ettäjos u(x):n Hessen matriisi on ei-singuläärinen, niin u(x) toteuttaans. Clairaut'n yhtälön, ts. muotoa u = x˘ux + a(ux) olevan ODY:n,missä a on sopivasti valittu funktio. (Jokaiselle u:lle tulee ikiomafunktio a.) b) Funktion u(x,y,z) = x2 + y2 + z2 Hessen matriisi onei-singuläärinen (totea vaikka!). Kuinka pitäisi a valita vastaavassaClairaut'n yhtälössä?
23. Muotoa ax2uxx + 2bxyuxy + cy2uyy + dxux + eyuy + fu = 0 olevaODY, missä a, b, c, d, e ja f ovat vakioita (e ei välttämättä ole “se ”e) on ns. Eulerin yhtälö. Näytä, että se muuntuu vakiokertoimi-seksi lineaariseksi ODY:ksi riippumattomien muuttujien vaihdossaξ = ln x, η = ln y.
24. ODY:llä utt - c2uxx = d2u, missä c ja d ovat positiivisia vakioita, onmuotoa f(x2 - c2t2) olevia ratkaisuja (muitakin kuin se, missä f onnollafunktio!). Silloin f:n täytyy toteuttaa eräs differentiaaliyhtälö.Mikä?
25. Korteweg- de Vriesin yhtälöllä ut + cuux + uxxx = 0 (c on vakio) onmillä tahansa vakionopeudella v eteneviä solitoniaaltoratkaisuja, ts.muotoa f(x-vt) olevia ratkaisuja, missä raja-arvot f(±∞), f´(±∞) jaf´´(±∞) ovat nollia ja f on kolmesti jatkuvasti derivoituva. Etsi tällai-set ratkaisut. (Vihje: Muodosta DY f:lle ja ratkaise se annetuin raja-ehdoin: ensimmäinen integrointi suoraan, toinen f´:lla kertomisenjälkeen. Käytä hyperbolisia funktioita.)
26. 1-ulotteinen telegraafiyhtälö on ODY utt + 2γut + βu - c2uxx =
d(x,t), missä γ > 0, β > 0 sekä c > 0 ovat vakioita. Näytä, että riip-
129
puvan muuttujan vaihto u = e-γt v hävittää telegraafiyhtälöstä 1.kertaluvun termin. (Telegraafiyhtälö on aaltoyhtälön yleistys, aalto-yhtälö saadaan, kun γ = β = 0.)
27. Näytä, että jos melkein lineaarinen 2. kertaluvun ODY kerrotaanpuolittain funktiolla f(x), joka on ≠ 0, niin ODY:n tyyppi säilyy (siiselliptinen ODY säilyy elliptisenä, jne.).
28. Luokittele ODY:t eri pisteissä (x,y). a) 4uxx - 8uxy + 4uyy = 1
b) uxx - 2(sin x)uxy - (cos2x)uyy = (cos x)uy c) x2uxx - y2uyy = xy
29. Luokittele ns. Tricomin yhtälö uyy = yuxx eri (x,y):n arvoilla ja etsihyperbolisessa tapauksessa karakteristiset käyrät ja hahmotteleniiden kuvaajat.
30. a) Muodosta Tricomin yhtälön (ks. edellinen tehtävä) Beltraminyhtälöt elliptisessä pisteessä (x,y) ja etsi niille muotoa ϕ(x,y) =
Axα, ψ(x,y) = B(-y)β oleva ratkaisu, missä A, B, α ja β ovat vakioita(≠ 0). b) Vie saamaasi ratkaisua käyttäen Tricomin yhtälö normaa-limuotoonsa elliptisessä osassa Ä2:ta.
31. Oletetaan, että ODY:n pääosa on diagonaalinen (ks. Tehtävä 18b)ja vieläpä sellainen, että pääosan kerroinmatriisi A(x) on lävistäjä-matriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat a1(x1),…,an(xn) (jatkuvia funk-tioita). Ensimmäinen lävistäjäalkio riippuu siis vain x1:stä, toinenvain x2:sta, jne.. Näytä, että tällöin ODY on vietävissä kanoniseenmuotoonsa riippumattomien muuttujien vaihdolla alueessa, jossakunkin funktion a1(x1),…,an(xn) merkki (+, - tai 0) pysyy samana.(Vihje: Lauseen 5 todistus.)
32. Homogeenisen telegraafiyhtälön (Tehtävä 26, d(x,t) = 0) sanotaanolevan särötön, jos e-γt f(x ± ct) on sen ratkaisu olipa f mikä tahan-sa kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio. (Kyseessä on vaimenevavakionopeudella ±c etenevä aaltokuvio.) Näytä, että homogeeninentelegraafiyhtälö on särötön täsmälleen silloin, kun β = γ2.
33. Jos Beltramin yhtälöissä kirjoitetaan ζ(x,y) = ϕ(x,y) + iψ(x,y) ja de-
rivoidaan ζ(x,y):tä tavalliseen tapaan pitäen imaginääriyksikköä i
vakiona, niin Beltramin yhtälöt korvautuvat yhdellä ζ(x,y):tä koske-valla yhtälöllä. Mikä on tämä yhtälö?
34. Luokittele Eulerin yhtälö (ks. Tehtävä 23) Ä2 - 0:n eri pisteissä.(Origossa pääosan kerroinmatriisi on nollamatriisi, joten se ei voiolla tarkastelualueessa.)
35. Mikä on se riippumattomien muuttujien vaihto, joka vie hyperboli-sessa tapauksessa kahden muuttujan melkein lineaarisen ODY:nsuoraan sellaiseen muotoon, josta puolittain nollasta eroavalla funk-
130
tiolla jakamalla päästään hyperbolisen ODY:n toiseen normaali-muotoon?
36. Vie parabolinen ODY uxx - 4uxy + 4uyy = 0 normaalimuotoonsa.
37. Vie edellisen tehtävän parabolinen ODY kanoniseen muotoonsa (elinormaalimuotoonsa) myös Lauseen 5 todistuksen antamalla taval-la.
38. Ratkaise ODY:t luentojen sivulla 22 olevan Apulauseen avulla.
a) ∂u
∂x + ey
∂u
∂y = 0 b) xux = yuy c) yux = xuy
39. Mitkä seuraavista ODY:istä ovat divergenssimuodossa?
a) 2uxx + 3uyy + uzz = 0 b) x2uxx + y2uyy + 2xux + 2yuy = 0
c) urr + 1r2
uθθ + 1r ur = 0
40. a) Näytä vastaesimerkillä, että ODY:n divergenssimuoto ei välttä-mättä säily kerrottaessa ODY puolittain nollasta eroavalla jatkuvastiderivoituvalla funktiolla a(x). b) Vastaavasti on toisinaan mahdollis-ta viedä ODY, joka ei ole divergenssimuodossa, divergenssimuo-toon kertomalla puolittain sopivalla integroivalla tekijällä a(x). Etsiintegroiva tekijä ODY:lle x2uxx + y2uyy + xux + yuy + u = 0 (josmahdollista).
41. Parabolisesta lineaarisesta ODY:stä uxx + f(x,y)ux + g(x,y)uy +c(x,y)u = d(x,y) saadaan toinen ensimmäisen kertaluvun osittaisde-
rivaatoista häviämään riippuvan muuttujan vaihdolla u = ve-
12 h(x,y)
,
missä h(x,y) = ⌡⌠
f(x,y)dx. Näytä tämä.
42. a) Näytä, että minimaalipinnan yhtälö (kvasilineaarinen toisen kerta-luvun kahden muuttujan ODY) on aina elliptinen ratkaisusta riippu-matta.
b) Mikä ehto nopeuspotentiaalin yhtälössä (kvasilineaarinen toisenkertaluvun kahden muuttujan ODY) olevan funktion c tulee toteut-taa, jotta ODY olisi aina elliptinen ratkaisusta riippumatta?
Johdantona seuraaviin tehtäviin Divergenssimuotoisen elliptisen ODY:n
vastine differentiaaliyhtälöiden puolella on DY Lu = ddx (u´a(x)) + c(x)u =
d(x), missä kerroinfunktiot ovat jatkuvia ja a(x) ≠ 0. Oletetaan, että a(x) >0. Aluetta Ω vastaa väli (α ,β) ja reunaa ˜Ω joukko α ,β. Reunarvotehtävä-tyypit ovat:
131
Dirichlet: Lu = d(x), kun α < x < βu(α) = h0 ja u(β) = h1
Neumann: Lu = d(x), kun α < x < βu´(α) = h0 ja u´(β) = h1
Robin: Lu = d(x), kun α < x < βf0u(α) + g0u´(α) = h0 ja f1u(β) + g1u´(β) = h1
(missä (f0,g0) ≠ 0 ja (f1,g1) ≠ 0). Tehtävät eivät ole kovin vaikeita! Reuna-integraali korvautuu summalla.
43. Formuloi s. 28 oleva Apulause yo. DY:lle ja todista se. Minkälaisetyksikäsitteisyystulokset saat eri reuna-arvotehtävätyypeille?
44. Formuloi ja todista Ääriarvoperiaate yo. DY:lle. Minkä stabiilisuus-tuloksen saat seurauksena?
45. Kirjoita yo. differentiaalioperaattorille L Greenin kaava (ks. s. 35)sekä sen avulla Greenin funktiolta G(x,ξ) vaadittavat ominaisuudeteri reuna-arvotehtävätyypeille. Mitkä integraalikaavat saat tulok-seksi? (Lisäksi voit vielä osoittaa Greenin funktion symmetriseksi,eli että G(x,ξ) = G(ξ,x).)
46. Tarkastele erikoisesti DY:n d2udx2 = d(x) Dirichlet'n probleemaa ja
etsi sille Greenin funktio G(x,ξ). (Vihje: Integroimalla suoraan.
Muista, että ⌡⌠
δ(x-ξ )dx = s(x-ξ ) + C, missä s(x) on yksikköaskel
1, jos x > 00, jos x < 0 ja C integrointivakio.) Todenna G:n symmetrisyys, ts.
se että G(x,ξ) = G(ξ,x).
47. Näytä, että jokainen DY a(x)y´´ + b(x)y´ + c(x)y = d(x), missä ker-roinfunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia ja a(x) ei saa arvoa nolla,voidaan saattaa divergenssimuotoon kertomalla puolittain eräälläjatkuvasti derivoituvalla nollasta eroavalla funktiolla (ns. integroi-valla tekijällä).
48. Laplacen yhtälön vastine DY:iden maailmassa on DY y´´ = 0 jaPoissonin yhtälön vastine on DY y´´ = d(x). Nämä eivät ole kovinmielenkiintoisia DY:itä. Yhden muuttujan harmonisia funktioita eiedes kutsuta harmonisiksi funktioiksi (vaan affiinisiksi funktioik-si). a) Formuloi nyt kuitenkin Esityslause, Keskiarvolause sekäMaksimi-minimi-periaate yhden muuttujan tapauksessa ja todistane. b) Etsi myös Greenin funktio ja Poissonin integraalikaavanvastine yhden muuttujan tapauksessa samaan tapaan kuin luentojenpykälässä III.3.
49. Kuten aikaisemmin on todettu, Laplacen yhtälö säilyy muuttu-mattomana koordinaatistojen kierroissa ja translaatioissa (Tehtä-vät 18a ja 19; rotaatiothan ovat orgonaalimuunnoksia). Tästä voisi
132
äkkinäisempi päätellä, että täytyy olla muitakin muotoa f(·x- ξ ·),missä f on kahdesti jatkuvasti derivoituva ja ξ on vakiovektori,olevia harmonisia funktioita kuin vakiofunktiot. (Ja onhan niitä tie-tysti.) Etsi kaikki tällaiset funktiot. (Vihje: Derivoi ketjusäännölläja muodosta DY tuntemattomalle funktiolle f sekä ratkaise se. Vrt.Tehtävät 24 ja 25.)
50. Merkitään k(R):llä jatkuvasti derivoituvan funktion v(x):n keskiar-voa pallon kuorella / ympyrän kehällä Γ( ξ ,R), ts.
k(R) = 1
|Γ( ξ ,R)| ⌡⌠Γ( ξ ,R)
v(x)dσ.
Näytä, että dkdR =
1|Γ( ξ ,R)| ⌡⌠
Γ( ξ ,R)
(∇ v) ˘ndσ. (Vihje: Parametrisoi pallon
kuori / ympyrän kehä ξ -keskistä pallo/napakoordinaatistoa käyt-täen.) (Gaussin/Greenin lausetta soveltamalla nähdään, että har-moniselle funktiolle v(x) tämä derivaatta on = 0, niin kuin Keski-arvolauseen mukaan pitää ollakin.)
51. Totea, että Dirichlet'n probleemalla
uxx + uyy + 2u = 0, kun (x,y) ∈ Ωu(x,y) = 0, kun (x,y) ∈ ˜Ω,
missä Ω on neliö 0 < x < π, 0 < y < π, on useita ratkaisuja. (Vihje:Olisiko C1cos(x+y) + C2cos(x-y) mitään?) Miksi tässä yksikäsittei-syystulokset eivät päde?
52. Totea, että annettu pallon/ympyrän P(0,R) Greenin funktio G(x, ξ )on symmetrinen, ts. G(x, ξ ) = G( ξ ,x).
53. Totea, että 1-ulotteisen aaltoyhtälön uxx = utt Dirichlet'n problee-malla
uxx - utt = 0, kun (x,t) ∈ Ωu(x,t) = 0, kun (x,t) ∈ ˜Ω,
missä Ω on neliö 0 < x < π, 0 < t < π, on useita ratkaisuja. (Vihje:Olisiko C1cos(x+t) + C2cos(x-t) mitään?) Dirichlet'n probleema eisiis taida olla sopiva aaltoyhtälölle!
54. Funktio u(x,y) = x3y + 2xy - xy3 on harmoninen (totea!). Tämäntiedon avulla on helppo etsiä u(x,y):n ääriarvot neliössä 0 < x < 1,0 < y < 1. Tee tämä.
55. Merkitään Ä2:n Poissonin ytimen yhteydessä x = (x,y), ξ = (ξ ,η ),
z = x + iy sekä ζ = ξ + iη, jolloin |z| = R ja |ζ| = ρ. a) Näytä, että
133
lauseke R2 - ρ2
R2 + ρ2 - 2Rρ cos Θ , joka saadaan Poissonin ytimestä
2πR:llä kertomalla, on kompleksisen lausekkeen (1 + ζz )/(1 -
ζz )
reaaliosa. b) Kirjoita tätä käyttäen Poissonin ydin Θ:n kosinisarjak-
si. (Vihje: Kirjoita em. kompleksinen lauseke ζz :n potenssisarjaksi
ja ota siitä reaaliosa.)
56. Otetaan Ä3:n Poissonin ytimessä (oikeakätinen) pallokoordinaatis-to käyttöön “loppuun asti”, ts. kirjoitetaan x = (R cosϕ cosθ,
R sinϕ cosθ,R sinθ) ja ξ = (ρ cosφ cosυ,ρ sinφ cosυ,ρ sinυ) (siis ra-
diussäteet R ja ρ, napakulmat ϕ ja φ sekä korkeuskulmat θ ja υ ).Kirjoita ydin käyttäen näitä koordinaatteja.
57. Funktiot v(x,t) ja u(x,t) toteuttavat seuraavat 1. kertaluvun alkuar-votehtävät (eli Cauchyn probleemat), missä c > 0 on vakio:
∂v
∂t + c
∂v
∂x = d(x,t)
v(x,0) = q(x) - ch´(x) ja
∂u
∂t - c
∂u
∂x = v(x,t)
u(x,0) = h(x).
Ensin ratkaistaan v(x,t) ja sitten u(x,t). Näytä, että u(x,t) on silloinmyös aaltoyhtälön Cauchyn probleeman c2uxx = utt - d(x,t), u(x,0)= h(x), ut(x,0) = q(x), ratkaisu. (Näin ollen aaltoyhtälön Cauchynprobleema voidaan palauttaa kahdeksi 1. kertaluvun Cauchyn prob-leemaksi.)
58. Näytä, että a) pallon, b) ympyrän P(0,R) Greenin funktiot ovat ar-voltaan < 0. (Mikä toisaalta on fysikaalisesti uskottavaa lämmönjoh-tumisanalogiaa ajatellen. Deltafunktio on itse asiassa pistemäinenlämpögradientin lähde eli lämpönielu.) (Vihje: Sovella Maksimi-minimi-periaatetta ko. Greenin funktioon joukossa P(0,R) - P ( ξ .ε)
ja vie ε → 0+.)
Pisteen x ≠ 0 ns. inversio ympyrän P(0,R) suhteen on seuraava riippu-mattomien muuttujien vaihto: Kirjoitetaan x:n napakoordinaattiesitys. Uu-sien muuttujien ξ napakoordinaattiesitys saadaan vaihtamalla radiussäteen
r paikalle R2/r (napakulmaan ei kosketa). (Vastaava operaatio Ä3:ssa on ns.inversio pallon P(0,R) suhteen. Se on hieman mutkikkaampi eli riippu-mattomien muuttujien vaihto + riippuvan muuttujan vaihto.)
59. Näytä, että harmoninen funktio u(x) muuntuu inversiossa uusienmuuttujien ξ suhteen harmoniseksi funktioksi.
60. Muunna harmoninen funktio ln(·x - η ·), missä η on vakiovektori,inversiolla ympyrän P(0,R) suhteen.
134
61. Miksi muuntuu Ä2:n alue x > 1, y > 1 inversiossa ympyrän P(0,1) suhteen?
62. Kirjoita yleistä riippumattomien muuttujien vaihtoa ξ = ϕ(x,y)
η = ψ(x,y)
vastaava muunnoskaava hyperbolisen kahden muuttujan melkeinlineaarisen ODY:n Cauchyn alkudatalle kuten s. 62 tehtiin lineaa-riselle riippumattomien muuttujien vaihdolle. Totea myös, ettänauhaehto säilyy. (Vihje: Funktion ja sen käänteisfunktion Jacobinmatriisit ovat toistensa käänteismatriiseja).
63. Vaikka hyperbolinen kahden muuttujan lineaarinen ODY säilyttäi-sikin muotonsa (lineaarisessa) riippumattomien muuttujien vaih-dossa, Cauchyn probleeman lähtökäyrän ei tarvitse säilyä saman-muotoisena. Totea kuitenkin, että (aaltoyhtälön uxx - utt = 0) Lo-rentzin muunnoksessa (Tehtävä 21) lähtökäyränä oleva hyperbelix2 - t2 = 1 säilyy samana. (Vihje: Funktioita sinh ja cosh ei turhaankutsuta hyperbolisiksi.)
64. Lähtien pisteistä P = (0.2,0) ja Q = (0.4,0) vie Cauchyn problee-man
uxx = uuyy + x2 - 1u(x,0) = x - x2
uy(x,0) = 0
ratkaisu uuteen pisteeseen karakterististen käyrien menetelmällä.
65. Minkälainen karakterististen käyrien menetelmä on aaltoyhtälönCauchyn problemalle?
66. Esitetty karakterististen käyrien menetelmä ei sovi muotoa uxy =d(x,y,u,ux,uy) olevalle hyperboliselle ODY:lle. Minkälainen olisi tä-män ODY:n karakterististen käyrien menetelmä?
67. Esitetty karakterististen käyrien menetelmä ei sovellu muotoa
a(x,y)uxx + 2b(x,y)uxy = d(x,y,u,ux,uy)
oleville ODY:ille. Johda toinen karakterististen käyrien menetelmätälle ODY:lle. (Vihje: Ota käyttöön Cramerin säännön antamistanolla-arvoisista determinanteista se, joka ei sisällä c(x,y):tä.)
68. Jos kahden muuttujan melkein lineaarinen ODY on hyperbolinenmuualla paitsi jollain käyrällä Γ, on usein mahdollista parametri-soida karakteristiset käyrät siten, että ne “jatkuvat” sileinä käy-rän Γ yli. Esitä esimerkki tällaisesta tapauksesta ja mieti toimisiko
karakterististen käyrien menetelmä tällöin koko Ä2:ssa.
69. Lämpöyhtälössä ut = κuxx kerroin κ on muotoa κ = kρc , missä k on
lämmönjohtavuus [J°C-1s-1m-1], ρ on tiheys [kg m-3] (tässä ei voiottaa viivatiheyttä, sillä lämmönjohtuminen yhdessä dimensiossa
135
on kokonaan toinen juttu!) ja c on ominaislämpö [J°C-1kg-1]. Tie-tysti x:n dimensio on [m] ja t:n [s]. u on lämpötila [°C]. a) Totea,et-tä suureet
z = x
2 ktρc
ja uQ kρct ,
missä Q on vakio [J m-2], ovat dimensiottomia. b) Tästä voidaanpäätellä, että lämpöyhtälöllä on ei-triviaaleja muotoa
u(x,t) = Q
kρct f(z)
olevia ratkaisuja, missä f on kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio.(Siis muitakin kuin nollafunktio.) Etsi sellainen.
70. a) Totea, että u(x,y) = 1a2 sinh(ay) sin(ax), missä a ≠ 0 on vakio, on
harmoninen. b) Näytä tätä käyttäen, että Laplacen yhtälön alkuar-votehtävän ratkaisut eivät (välttämättä) ole stabiileja. Alkuarvoteh-tävä ei siis ole sopiva Laplacen yhtälölle!
71. Kirjoita karakterististen käyrien menetelmän palautuskaavat aalto-yhtälön alkuarvotehtävälle
uxx - uyy = 0
u(x,0) = k(x)uy(x,0) = q(x).
72. Tarkastellaan kaksiulotteista aaltoyhtälöä uxx + uyy = c-2utt. a )Suorita tässä paikkamuuttujiin x ja y napakoordinaattimuunnos jab) näytä, että saamallasi ODY:llä ei ole muita muotoa f(r-ct) oleviaratkaisuja kuin vakiofunktiot, ts. ei-triviaaleja radiaalisymmetrisiäaaltoja ei ole. c) Entäs, jos kyseessä on kolmiulotteinen aaltoyhtälöuxx + uyy + uzz = c-2utt ja paikkamuuttujiin x, y ja z suoritetaan pal-lokoordinaattimuunnos?
73. Ratkaise alkuarvotehtävä c2uxx = utt
u(x,0) = A sin(ωx)ut(x,0) = 0
, missä A ja ω ovat
positiivisia vakioita. Tulkitse tulos seisovaksi aalloksi ja etsi senfrekvenssi, amplitudi sekä solmupisteet.
74. Ratkaise alkuarvotehtävä c2uxx = uttu(x,0) = 0ut(x,0) = A sin(ωx)
, missä A ja ω ovat
positiivisia vakioita. Tulkitse tulos seisovaksi aalloksi ja etsi senfrekvenssi, amplitudi sekä solmupisteet.
136
75. Ratkaise alkuarvotehtävä c2uxx = utt - A sin(ωx)u(x,0) = 0ut(x,0) = 0
, missä A ja ω
ovat positiivisia vakioita. Tulkitse tulos seisovaksi puoliaalloksi jaetsi sen frekvenssi, amplitudi sekä solmupisteet.
76. Ratkaise alkuarvotehtävä c2uxx = utt - A sin(ωt)u(x,0) = 0ut(x,0) = 0
, missä A ja ω ovat
positiivisia vakioita.
77. Totea seuraava ns. Duhamelin periaate aaltoyhtälön alkuarvoteh-tävän alkuarvolle: Jos v(x,t) on alkuarvotehtävän
c2vxx = vttv(x,0) = 0vt(x,0) = q(x)
ratkaisu, niin ⌡⌠0
t
v(x,t-τ)dτ on alkuarvotehtävän
c2uxx = utt - q(x)u(x,0) = 0ut(x,0) = 0
ratkaisu.
78. Totea seuraava ns. Duhamelin periaate aaltoyhtälön alkuarvotehtä-vän alkuarvolle: Jos v(x,t) on alkuarvotehtävän
c2vxx = vttv(x,0) = h(x)vt(x,0) = 0
ratkaisu, niin ⌡⌠0
t
v(x,t-τ)dτ on alkuarvotehtävän
c2uxx = uttu(x,0) = 0ut(x,0) = h(x)
ratkaisu.
79. Ratkaise alkuarvotehtävä
c2uxx = utt
u(x,0) = 0
ut(x,0) = 1, kun 0 < x < 10 muulloin
. Koska
ut(x,0) ei ole jatkuva, saatu ratkaisu on heikko.
80. Osoita, että kaikki muotoa 1ρ f(ρ-ct), missä ρ = x2 + y2 + z2 ja f
on kahdesti jatkuvasti derivoituva, olevat funktiot ovat kolmiulot-teisen aaltoyhtälön uxx + uyy + uzz = c-2utt ratkaisuja. Kolmiulot-teisessa avaruudessa on siis vaimenevia radiaalisymmetrisiä aaltoja,vrt. Tehtävä 72. (Vihje: Kirjoita aaltoyhtälö pallokoordinaatistoon.)
137
81. Näytä, että ainoa sellainen kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio
h(r,t), että kaikki funktiot h(r,t)f(r-ct), missä r = x2 + y2 ja f onkahdesti jatkuvasti derivoituva funktio, ovat kaksiulotteisen aalto-yhtälön uxx + uyy = c-2utt ratkaisuja, on nollafunktio. Kaksiulot-teisessa avaruudessa ei siis ole millään tavalla vaimeneviakaan ra-diaalisymmetrisiä aaltoja, vrt.. Tehtävä 80. (Ä3:ssa napsaus kuuluunapsauksena, mutta Ä2:ssa se “jää soimaan”.) (Vihje: Tapoja onmonia. Voisit vaikkapa kirjoittaa aaltoyhtälön napakoordinaatis-toon, valita sitten funktioksi f vakiofunktion ja identiteettifunktion,jolloin saat kaksi ODY:ä h(r,t):lle, sekä käyttää Tehtävässä 57 ole-
vaa operaattorin tekijöihin jakoa c2 ∂2
∂r2 - ∂2
∂t2 =
c
∂∂r
- ∂∂t
c
∂∂r
+ ∂∂t
Mutta ehkä keksit paremman konstin!)
82. Alku-reuna-arvotehtävän
c2uxx = utt , kun a < x < b
u(x,0) = 1, kun a < x < but(x,0) = 0, kun a <
x < b
u(a,t) = u(b,t) = 1
ratkaisu on
ilmeisesti vakiofunktio 1. Todennä tämä suunnikasketjuja käyt-täen.
83. Etsi alku-reuna-arvotehtävän
uxx = utt + 2, kun 0 < x < 1
u(x,0) = 0, kun 0 < x < 1ut(x,0) = 0, kun 0 <
x < 1
u(0,t) = u(1,t) = t
ratkai-
sun arvo pisteessä x = 14 hetkellä t =
34 .
84. Etsi alku-reuna-arvotehtävän
uxx = utt, kun 0 < x < 1
u(x,0) = 0, kun 0 < x < 1ut(x,0) = 1, kun 0 <
x < 1
u(0,t) = u(1,t) = t
ratkaisun
arvo hetkellä t = 14 , ts. u(x,
14 ). (Ehkäpä arvaatkin tuloksen, mutta
laske kumminkin.)
85. Etsi alku-reuna-arvotehtävän
c2uxx = utt + g, kun a < x < b
u(x,0) = 0, kun a < x < but(x,0) = 0, kun a <
x < b
u(a,t) = u(b,t) = 0
, mis-
sä g on vakio, ratkaisun arvo pisteessä x = 12(a + b) ts. u(12(a + b) ,t)
suunnikasketjuja käyttäen. Toteutuvatko yhteensopivuusehdot?
86. a) Sovella lämpöyhtälöön ut = κuxx kompleksista eksponentiaaliyri-
tettä eilx+mt , missä l ja m ovat reaalilukuja. Saamasi kompleksiar-voisen ratkaisun reaali- ja imaginääriosat ovat myös ratkaisuja. Etsinämä.
138
b) Kaavaa⌡⌠0
∞
e-λ2cos(2aλ)dλ =
π2 e-a2
käyttäen saat vielä lisää ratkai-
suja. Etsi ne.
87. a) Sovella lämpöyhtälöön ut = κuxx kompleksista eksponentiaali-
yritettä Celx+imt , missä C sekä l ovat kompleksilukuja ja m on re-aaliluku. Saamasi kompleksiarvoisen ratkaisun reaali- ja imagi-nääriosat ovat myös ratkaisuja. Etsi nämä. b) Totea erityisesti, että
saat tällä tavoin muotoa Ae-x
m2κ
cos(mt - ϕ - xm2k ) olevan rat-
kaisun.
88. Edellisen tehtävän mukaan lämpöyhtälöllä ut = κuxx on muotoa
u(x,t) = Ae-x
m2κ
cos(mt - ϕ - xm2k ) + b oleva ratkaisu, jolloin il-
meisesti u(0,t) = A cos(mt - ϕ ) + b. Hieman yksinkertaistaen, josu(0,t) on maanpinnan lämpötila [°C] hetkellä t [v] (ja t = 0 vuo-denvaihteessa), niin u(x,t) on maankamaran lämpötila syvyydellä x
[m] hetkellä t [v]. Tiedetään, että u(0,t) = -20 cos(ωt - π6 ) + 2 °C,
missä ω = 2π rad/v. Edelleen tiedetään, että syvyydellä x = 2 m
alin lämpötila saavutetaan 15. kesäkuuta. a) Mikä on kertoimen κarvo ja mikä on ko. alin lämpötila? b) Millä syvyydellä korkeinlämpötila on 10 °C ja milloin se saavutetaan?
89. a) Soveltamalla lämpöyhtälöön ut = κuxx kompleksista eksponentiaa-
liyritettä Ceilx+mt , missä C, l ja m ovat reaalilukuja saat komplek-siarvoisen ratkaisun imaginääriosana muotoa cle-κ l2 t sin(lx) olevanratkaisun, missä c on vakio. Tee tämä. (Vrt. Tehtävä 86.)
b) Kaavaa ⌡⌠0
∞
λe-λ2sin(2aλ)dλ =
π2 ae-a2
käyttäen saat vielä muotoa
γxt3/2 e
- x2
4κt olevan ratkaisun, missä γ on vakio. Tee tämäkin. (Toi-
saalta ko. ratkaisu saadaan perusratkaisusta derivoimalla x:nsuhteen.)
90. Tehtävissä 86 ja 87 sekä Tehtävässä 89 käytettiin erilaisia komp-leksisia eksponentiaaliyritteitä. Yleisempi tällainen yrite on muo-toa Celx+mt , missä C, l ja m ovat kaikki kompleksilukuja. Kokeiletällaista yritettä ja etsi saadun kompleksisen ratkaisun reaali- jaimaginääriosat (jotka ovat reaalisia ratkaisuja).
91. a) Totea, että limt→0+
γ x
t3/2 e-
x2
4κt = 0 (ks. edellinen tehtävä). b) Mitä
päättelet tämän nojalla lämpöyhtälön Cauchyn probleeman
139
ut = κuxxu(x,0) = 0
ratkaisujen lukumäärästä? c) Onko γx
t3/2 e-
x2
4κt rajoi-
tettu funktio, kun x ∈ Ä ja t > 0 ?
92. a) Totea, että yksiulotteisen lämpöyhtälön alku-reuna-arvoprob-leema
κuxx = ut + d(x,t), kun 0 < x < L ja t > 0
u(x,0) = k(x), kun 0 < x < L
u(0,t) = α (t), kun t >
0
ux(L,t) = β(t), kun t > 0
on Robinin tyyppiä. b) Kirjoita ko. probleeman integraalikaavakäyttäen alkudataa.
93. Edellisessä tehtävässä esitetyn alku-reuna-arvoprobleeman Gree-nin funktioksi mainitaan kirjallisuudessa
G(x,ξ,t,τ) = - 2L ∑
n=1
∞
sin (2n-1)πξ
2L sin (2n-1)πx
2L e-
κ(2n-1)2π2(t-τ)4L2
(kun t > τ, ja tietysti = 0, kun 0 < t < τ). Totea, että tämä Greeninfunktio toteuttaa asetetut vaatimukset ehtoa (# ) lukuunottamatta.(Kyllä (#):kin toteutuu, mutta on työläämpi todentaa.)
94. Etsi kenttäviivat.
a) xux + y2uy = u2 b) xux = 1 + xu
c) uux + (y - u)uy = 1 + u d) ux = xyu
95. Ratkaise alkuarvotehtävät.
a) yux + xuy = u2
u(x,0) = ex b) ux = uyuu(x,0) = x2
96. Etsi ODY:n u(ux + uy) = 1 integraalipinta, joka sisältää käyrän Γ0:x = sin s cos s, y = cos2s, z = sin s.
97. Etsi alkuarvotehtävän uy = xuuxu(x,0) = x ratkaisun arvo pisteissä ( i
3 , j3 )
(i = 0,1,2,3; j = 0,1,2,3) iteroimalla, mikäli mahdollista. Tutki en-sin vähän tilannetta.
98. ODY ux + uy = 1u on ilmeisesti sama kuin Tehtävän 96 ODY. Ylei-
sesti ODY:t a(x,y,u)ux + b(x,y,u)uy = c(x,y,u)d(x,y,u) ja a(x,y,u)d(x,y,u)ux +
140
b(x,y,u)d(x,y,u)uy = c(x,y,u) ovat samat. Näytä, että karakteristisetkäyrätkin ovat samat, parametrisointi vain on erilainen.
99. Ajatellaan suora kapea matala kanava x-akselille ja merkitäänu(x,t):llä vedenpinnan korkeutta lepotasosta u = 0 mitattuna het-kellä t pisteessä x. Veden liikkuessa painovoiman alaisena pätee(sopivin dimensioin) likimain ns. yksiulotteinen matalan veden yh-tälö
(1 + 32 u)ux + ut = 0.
Etsi u(x,y), kun u(x,0) = ε(1 + cos x), kun -π ≤ x ≤ π0 muualla
(matala alku-
aalto; 0 < ε << 1 on vakio)Millä ajanhetkellä ratkaisu lakkaa ole-masta olemassa ja miksi?
100. Millainen tulisi alkuarvotehtävässä* ut + uux = 0u(x,0) = h(x) alkuarvon h(x)
olla, jotta ratkaisu olisi olemassa kaikille ajanhetkille t ≥ 0? Mitenon tapauksissa a) h(x) = x, b) h(x) = ex, c) h(x) = sin x, d) h(x) =1, e) h(x) = x2, f) h(x) = x3 ? (Ks. myös s. 125.)
101. Ns. Eulerin yhtälö homogeenisille funktioille on ODY x˘ux = au, missäa on vakio. Asetetaan alkuehto
x1 = s1 ,…, xn-1 = sn-1 , xn = 1 ja u(s,1) = h(s).
Ratkaise saatu alkuarvotehtävä ja totea, että ratkaisu on astetta ahomogeeninen funktio (ks. Tehtävä 3).
102. Jos funktiolla h(y) on Taylorin sarja pisteessä y = c ja yhtälöllä y =c + zh(y) on yksikäsitteinen ratkaisu y = g(z) (sarjan suppenemis-välillä), niin ns. Lagrangen inversiokaavan mukaan
g(z) = c +∑n=1
∞
zn
n!
dn-1
dyn-1 (h(y))n y=c
(sulkulauseke: lasketaan h(y):n n:nnen potenssin n-1:s derivaattapisteessä y = c). Sovella inversiokaavaa Tehtävän 100 ratkaisunsarjaesityksen saamiseksi yhtälöstä u = h(x-tu). (Vihje: Kirjoita y =x - tu = x - th(u) ja valitse c = x sekä z = -t.) Kokeile tapauksiin a )h(x) = 2x - 1 ja b) h(x) = ex. Tutki myös sarjan suppenemista.
* Tämä voidaan tulkita seuraavasti: u(x,t) on x-akselilla pisteessä x olevan partik-
kelin (auton tms.) vakionopeus hetkellä t. ODY:stä nimittäin seuraa, että kiihty-vyys
x´´(t) = ddt x´(t) =
ddt u(x(t),t) = ux(x(t),t)x´(t) + ut(x(t),t) = 0.
Alkuehto u(x,0) = h(x) antaa nopeuksien alkujakauman.
141
103. Oletetaan tunnetuksi, että jono w,ww,www,wwww,… suppenee täs-
mälleen silloin, kun e-e ≤ w ≤ e1/e. Mitä päättelet tämän nojallaTehtävän 100 alkuarvotehtävän ratkaisusta iteroinnilla lähtien al-kuarvauksesta u(x,t) = 0 tapauksessa h(x) = ex ? (Vihje: Valitse w =e-tex.)
104. a) Totea, että kvasilineaarisen 1. kertaluvun kahden muuttujanODY:n Mongen kartio on degeneroitunut suoraksi. b) Kirjoita s.114 oleva viiden DY:n ryhmä kvasilineaariselle ODY:lle. Miksi itseasiassa vain kolme DY:ä riittää?
105. Minkälaisia ovat seuraavien ODY:iden Mongen kartiot?
a) uxuy = 1 b) u = u2x c) x2u
2x + y2u
2y = 1
106. Etsi edellisen tehtävän ODY:iden karakteristiset nauhat yleisin al-kuehdoin.
107. Taso on kartiopinta. Voivatko ODY:n kaikki Mongen kartiot olla ta-soja?
108. Etsi ne Tehtävän 105 ODY:iden integraalipinnat (ainakin paramet-rimuodossa), jotka sisältävät a) ympyrän x = cos s, y = sin s, z = 1,b) suoran x = s, y = 0, z = 1 (mikäli mahdollista).
109. a) ODY u3x = u
3y on ilmeisesti sama kuin ODY ux = uy ja siis “olen-
naisesti” kvasilineaarinen. Totea, että ODY:n u3x = u
3y Mongen
kartiot ovatkin kutistuneet suoriksi (ks. Tehtävä 104a)
b) ODY:n “muokkaaminen” voi olla vaarallista. Esimerkiksi ODY:tux + uy = 0 sekä (ux + uy)3 = 0 näyttävät olevan samat, mutta ko-keilepa ratkaista jälkimmäinen! Mistä tämä johtuu?
c) Toisaalta ODY:n muokkaaminen on välistä tarpeen. Esimerkiksi
ODY:ä 3
ux + uy = 0 ei voi ratkaista sellaisenaan (totea!), muttaODY ux + uy = 0 tietysti voidaan.
110. Muunna a) aaltoyhtälö c2uxx = utt - d(x,t), b) Laplacen yhtälö uxx +uyy = 0, c) lämpöyhtälö κuxx = ut + d(x,t) sekä d) Tricomin yhtälö(ks. Tehtävä 29) 1. kertaluvun ODY-ryhmäksi riippuvalle muuttu-jalle
(i) u = (u,ux,ut) tai u = (u,ux,uy) (ii) u = (ux,ut) tai u = (ux,uy)
siten, että ainakin toisen u:n osittaisderivaatan kerroinmatriisi oli-si ei-singuläärinen (mikäli mahdollista). Etsi myös karakteristisetkäyrät.
142
111. Muunna ne edellisessä tehtävässä saadut ODY-ryhmät kanoniseenmuotoonsa, joille se onnistuu,
112. Minkälainen iterointi syntyy aaltoyhtälöä vastaavalle kanonistamuotoa olevalle 1. kertaluvun ODY-ryhmälle (ks. edellinen tehtä-vä).
113. Muunna kvasilineaarinen ODY uyy = (1 + ux)2uxx 1. kertaluvunODY-pariksi ux:lle. Etsi sitten ko. parille yksinkertaiset aaltorat-kaisut, kun u(x,0) = h(x) on annettu.
114. a) Totea, että muotoa a(ux)uxx + 2b(ux)uxy + c(ux)uyy = 0 olevakahden muuttujan kvasilineaarinen ODY (jossa siis ei lainkaanesiinny eksplisiittisesti x:ää, y:tä eikä u:ta), muuntuu ns. Legend-ren muunnoksella
ξ = ux
η = uyv = x˘ux - u
lineaariseksi ODY:ksi a(ξ,η)vηη - 2b(ξ,η)vξη + c(ξ,η )vξξ = 0, missä x
= vξ ja y = vη ja riippuva muuttuja on v(ξ,η ). b) Muunna myösCauchyn probleema ja tarkista nauhaehto. c) Kuinka pääsetv(ξ,η):sta takaisin u(x,y):hyn, jos olet saanut jälkimmäisen ODY:nratkaistuksi? (Ks. Tehtävä 22).
Hakemisto
1. kertaluvun ODY 102,109,110,1182. kertaluvun lineaarinen ODY 10aaltoyhtälö 2,69aikamuuttuja 2,69,83alku-reuna-arvotehtävä 59,63alkuarvotehtävä 59,69,98,105,120alkuehto 97,105Beltramin yhtälöt 23biharmoninen yhtälö 3Cauchy-Riemannin yhtälöt 2Cauchyn probleema 59,69,105,109,116,
119Clairaut’n yhtälö 128D’Alembertin kaava 70,72D’Alembertin operaattori 3deltafunktio 34,89differenssiyhtälö 66diffuusioyhtälö 83dimensio 2Dirichlet’n probleema 27,35,36,40,83,92,
96divergenssi 2divergenssimuoto 26Duhamelin periaate 90,94,96,97,136eksplisiittinen differenssimenetelmä 81eksponentiaaliratkaisu 127eksponentiaaliyrite 126,137,138elliptinen 14,15,17,26energiayhtälö 29epähomogeeninen 10epälineaarinen ODY 1Esityslause 43,45Eulerin yhtälö 128,129,140Greenin funktio 34,48,90,131Greenin kaava 35,41,91harmoninen funktio 2,40heikko ratkaisu 73,82Hessen matriisi 6Hessen operaattori 11homogeeninen 10,28hyperbolinen 14,15,17,59,121hyperbolinen lämpöyhtälö 102hyvin asetettu tehtävä 34,39indefiniitti 15integraalikaava 36,38,49,70,92integraalipinta 102,110integroiva tekijä 58inversio 133itseadjungoitu muoto 26Jacobin determinantti 5Jacobin matriisi 5kanoninen muoto 16,121karakteristinen käyrä 22,62,104,109,112,
119karakteristinen nauha 113,118karakteristinen suora 69karakteristinen suunta 111,112karakterististen käyrien menetelmä 62,
134
kenttäviiva 102kerroinfunktiot 10kertaluku 1keskiarvo-ominaisuus 46Keskiarvolause 46klassinen lämpöyhtälö 99Korteweg- de Vriesin yhtälö 4,128kvasilineaarinen ODY 1,13,103,109kärkiehto 41Lagrangen inversiokaava 140Laplacen operaattori 2Laplacen yhtälö 2,40,55,57,126Lebesquen vastaesimerkki 41Legendren muunnos 142lineaarimuunnos 8lineaarinen ODY 1Lorentzin muunnos 128lähtökäyrä 59,61,105lämpöyhtälö 3,83,99,126Lämpöyhtälön maksimi-minimi-periaate
89Lämpöyhtälön ääriarvoperiaate 87lämpöyhtälön perusratkaisu 100Maksimi-minimi-periaate 47Maxwellin yhtälöt 3,126melkein lineaarinen ODY 1,12,108minimaalipinnan yhtälö 4,130Mongen kartio 111nablaoperaattori 11napakoordinaatisto 53nauha 60,113nauhaehto 60Navier-Stokesin yhtälö 4negatiividefiniitti 15Neumannin funktio 38Neumannin probleema 27,35,36,40,84,
92,99nopeuspotentiaalin yhtälö 4,130normaalikartio 111normaalimuodot 14,20,22,24ODY 1ODY-ryhmä 1,119operaattorimuoto 11osittaisdifferentiaaliyhtälö 1paikkamuuttuja 2,69,83pakkofunktio 10,94pallokoordinaatisto 54parabolinen 14,15,17,83Plateaun probleema 4Poissonin integraalikaava 51,53Poissonin ydin 53,132Poissonin yhtälö 40positiividefiniitti 15pyyhkäisyehto 114pääosa 10pääosan kerroinmatriisi 10ratkaisupinta 59Resiprookkisuuslause 37,93reuna-arvotehtävä 27,40
Riemannin funktio 59riippumaton muuttuja 1riippumattomien muuttujien vaihto 5,8riippuva muuttuja 1riippuvan muuttujan vaihto 8,9riippuvuuskolmio 73riippuvuusväli 73Robinin probleema 27,36,40,84,92,99roottori 2Schrödingerin yhtälö 4singuläriteetti 82solitoniaaltoratkaisu 128stabiilisuus 33,48,88superpositioperiaate 11Suunnikassääntö 73,77suuntakenttä 102sylinterikoordinaatisto 54Sylvesterin inertialaki 16telegraafiyhtälö 128,129Tricomin yhtälö 129ultrahyperbolinen 14,15vaikutusalue 73vakiokertoiminen melkein lineaarinen
ODY 16vastakartio 111vektoriarvoinen ODY 1verhopinta 112yhteensopivuusehdot 84yksikäsitteisyys 30,40,41,86,89,131yksinkertainen aaltoratkaisu 124Ääriarvoperiaate 32,131