laaja vektorianalyysimath.tut.fi/~ruohonen/lva.pdfpi-dämme tietenkin mielessä, että vektori on...

LAAJAVEKTORIANALYYSI

Armo Pohjavirta

Keijo Ruohonen

2004

Sisältö

1 I VIIVAT, PINNAT, VEKTORIKENTÄT1 1.1 Pisteet, paikkavektorit ja vektorit2 1.2 Vi ivat2 1.2.1 Määritelmiä4 1.2.2 Sileys, tangentti, suunnistus, pituusmitta6 1.3 Pinnat6 1.3.1 Määritelmiä8 1.3.2 Sileys10 1.3.3 Tangenttitaso ja normaali15 1.3.4 Pinta-alkion mitta23 1.4 Vektorikentät

27 II MONEN MUUTTUJAN INTEGRAALIT27 2.1 Muuttujien vaihto27 2.1.1 Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot32 2.1.2 Yleinen muuntokaava36 2.1.3 Esimerkkejä45 2.2 Epäoleelliset integraalit45 2.2.1 Integrointialue ei ole rajoitettu51 2.2.2 Integrandi ei ole rajoitettu54 2.3 Deltafunktioδ(r)

57 III VIIVA- JA PINTAINTEGRAALIT57 3.1 Vi ivaintegraali57 3.1.1 Skalaarinen viivaintegraali59 3.1.2 Vektoraalinen viivaintegraali64 3.2 Pintaintegraali65 3.2.1 Skalaarinen pintaintegraali66 3.2.2 Vektoraalinen pintaintegraali69 3.3 Hieman viiva- ja pintaintegraalien käytöstä

71 IV GREEN, GAUSS, STOKES71 4.1 Greenin lause74 4.2 Gaussin lause80 4.3 Stokesin lause

86 V DERIVAATTAOPERAATTORIT86 5.1 Derivointisääntöjä88 5.2 Koordinaatistoriippumattomuus91 5.3 Heikot derivaattaoperaattorit94 5.4 Derivaattaoperaattorit napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistoissa97 5.5 Gradienttikentät ja skalaaripotentiaali103 5.6 Pyörrekentät ja vektoripotentiaali107 5.7 Osittaisintegrointi ja Greenin kaavat

i

ii

111 VI OSITTAISDIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

117 Liite 1: Mitta m-parametrisessa pisteistössä

119 Liite 2: Derivaattaoperaattorien muunnoskaavat

123 Liite 3: Stokesin lause yleiselle parametrisoinnille

126 Liite 4: Dipoliapproksimaatio

130 Kirjallisuus

131 Hakemisto

Esipuhe

Tämä moniste on tarkoitettu TTKK:n kurssin Laaja vektorianalyysi luentomateriaaliksi. Monis-teessa käydään läpi klassisen vektorianalyysin peruskäsitteet olettaen tunnetuksi yhden muuttu-jan analyysiin, osittaisderivaattoihin sekä monen muuttujan integraaleihin liittyvät perustulok-set.

Vektorianalyysi—muodossa jota nykyään kutsutaan klassiseksi—on matemaattisen analyy-sin vanhimpia alueita. (Historian havinaa on suomalaisissakin alan klassikoissa TALLQVIST jaVÄISÄLÄ .) Lujuus-, virtaus-, lämpö- ja sähköopin formulointi kolmiulotteisessa avaruudessaedellyttää tuttujen yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennan käsitteiden ja tulostenyleistämistä. Yleistyksiä on silloin useita, eri tarkoituksiin sopivia. Klassinen vektorianalyysionkin paljolti muotoutunut nimenomaan mainittujen fysiikan ja tekniikan alojen tarpeiden vai-kutuksesta. Erityisesti tekniikkaa ajatellen on keskeistä päästä formuloimaan laskennallinen teh-tävä sellaiseksi, että siihen voidaan soveltaa nopeita ja tarkkoja numeerisia menetelmiä. Yleensätämä tarkoittaa ilmiön lokaalisen käyttäytymisen spesifioimista ns. osittaisdifferentiaaliyhtälönmuodossa, fysiikan lakeja soveltaen, ohjelmistot siirtävät sitten käyttäytymisen laskennallisestiglobaaliseen ympäristöön.

Varsinaisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä tässä monisteessa käsitellään vain vähän, niidenjohtoon liittyviä käsitteitä ja perustuloksia sen sijaan laajemmin ja tarkemmin. Osittaisdiffe-rentiaaliyhtälöihin liittyen alan omat kurssit—Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, Osittaisdifferentiaa-liyhtälöiden numeeriset menetelmät ja Jakautuneet järjestelmät—käsittelevät asiaa luonnolli-sesti laajasti ja eri näkökulmilta.

Moderni vektorianalyysi pohjautuu sellaisten abstraktien käsitteiden varaan, joita käyttäenvoidaan yhtenäistää ja yleistää klassisen vektorianalyysin niin monet ja hajanaiset käsitteet ja tu-lokset. Tällaisia abstraktiokoneistoja on karkeasti ottaen kaksi, monistoanalyysi sekä Cliffordinalgebrat. Asiaa käsitellään kurssilla Vektorianalyysin jatkokurssi, kirjallisuusviitteinä vaikkapaJÄNICH & K AY sekä HESTENES& SOBCZYK. Klassinen vektorianalyysi on silloinkin vielätarpeen tarjoten luonnollisen ja geometris-fysikaalisen havainnollisen kuvan asiasta. (Valitet-tavasti vain sopivaa yhteyttä klassiseen vektorianalyysin ei aina ole helppo löytää.) Klassinenvektorianalyysi ei siis suinkaan ole kuivahtanut paikalleen, uusia kirjojakin ilmestyy koko ajan.

Armo Pohjavirta Keijo Ruohonen

Luku 1

VIIVAT, PINNAT, VEKTORIKENTÄT

1.1 Pisteet, paikkavektorit ja vektorit

Kuten muistamme, geometrisesti ja fysikaalisestivektorion jotain, millä on suunta ja suuruus,mutta ei mitään muuta ominaisuutta.R

2:n jaR3:n luonnollisissa koordinaattisysteemeissäi, j ja

i, j,k, missä

i = (1, 0) , j = (0, 1) ja i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1),

olemme taas tottuneet käsittelemäänpisteitäpareina(x, y) = xi + yj ja kolmikoina(x, y, z) =xi + yj + zk. Tässä voimme surutta käyttää samoja merkintöjäi ja j, voimmehan tarvittaessaajatellaR

2:taR3:n xy-tasona.

x

y

i

j

r = (x,y)

x

yi j

r = (x,y,z)k

xy-taso xyz-avaruus

z

Jotta pääsemme vektorin tarkempaan määrittelyyn, määrittelemme ensin pisteparien ekvi-valenssin≡ seuraavasti:

(r1, r2) ≡ (r3, r4) ⇔ r2 − r1 = r4 − r3.

Kukin pistepari(r1, r2) määrittää yksikäsitteisen vektorin. Pisteparit(r1, r2) ja (r3, r4) määrit-tävätsamanvektorin, jos(r1, r2) ≡ (r3, r4).

Vektorit ovat siis pisteparien ekvivalenssiluokkia, samaan tapaan kuin reaaliluvut ovat ei-negatiivisten reaalilukuparien ekvivalenssiluokkia, ja vektori voitaisiinesittäämillä tahansa si-tä vastaavan ekvivalenssiluokan pisteparilla(r1, r2). Huomaamme, että tällaisessa esityksessävoimme valita pisteenr1 miksi pisteeksi tahansa. Fysiikassa tämä piste on esimerkiksi voimanvaikutuspiste.

1

LUKU 1. VIIVAT, PINNAT, VEKTORIKENTÄT 2

x

y r2

r1

Jos toisaalta nimenomaankiinnitämmepisteenr1, ovat muotoa(r1, r2) olevat vektorit ns.paikkavektoreitaja r1 on niidenkantapiste.Tavallinen valinta kantapisteeksi on tietysti origo0.Tällaisen paikkavektorin(0, r) voimme suoraan samaistaa pisteeseenr. Jatkossa, kun puhummepaikkavektoreista, tarkoitamme juuri tällaista paikkavektoria (ellemme sitten muuta väitä).

Olemme kuitenkin tottuneet esittämään vektorin(r1, r2) erotuksellar2− r1. Siitä on se seu-raus, että vektori sekaantuu merkinnällisesti pisteeseenr2 − r1. Päättelemme tästä, että olisiehkä fiksua käyttää eri merkintöjä pisteille (paikkavektoreille) ja vektoreille, esimerkiksir ja�r. Kuten rigorismista yleensä, tästä olisi seurauksena byrokratian lisääntyminen, meidän pitäi-si esittää tulokset, määritelmät jne. erikseen eri tyyppisille käsitteille, jne. Niinpä käytämmeiloisesti samoja merkintöjä niin pisteille, paikkavektoreille kuin varsinaisille vektoreillekin. Pi-dämme tietenkin mielessä, että vektori on eri asia kuin piste. Tämän suruttoman sopimuksenseurauksena voimme lisäksi ottaa suoraan käyttöön aikaisemmasta tutut vastavektorin, vekto-rien summan ja erotuksen, vektorien vakiolla kertomisen, vektorien pistetulon ja vektorien risti-tulon käsitteet. Vektorianalyysissä muuten reaalista vakiota on tapana usein kutsuaskalaariksi,pistetuloaskalaarituloksija ristituloavektorituloksi.

Geometrisetominaisuudet/käsitteet ovat sellaisia, jotka eivät riipu koordinaatistosta, ts. py-syvät muuttumattomina koordinaatiston siirrossa ja kierrossa. Piste on geometrinen primitii-vi. (Lisäksi tarvitaan vielä koko joukko muita primitiivejä, aksioomia jms. Varsinaista taso-/avaruusgeometriaa emme tässä yritäkään käsitellä.) Vektori voidaan määritellä pisteparien ekvi-valenssiluokkana, joten se on geometrinen käsite. Muita geometrisia käsitteitä ovat pisteidenvälinen etäisyys, vektorien välinen kulma, kolmion pinta-ala, vektorien pistetulo ja ristitulo jne.Huomaamme luonnollisesti, että vain geometriset ominaisuudet/käsitteet voivat olla fysikaali-sesti merkitseviä.

1.2 Viivat

1.2.1 Määritelmiä

Viiva eli käyräon pistearvoinen kuvausparametriväliltäI tasolleR2:lle (tasokäyrä) tai avaruu-

teenR3 (avaruuskäyrä)

C : r = g(u) (u ∈ I).

u on ns.parametri, usein se on fysikaalinen aika. ParametriväliI voi olla millainen tahansa:avoin, suljettu, puoliavoin, ääretön, puoliääretön. Komponenttimuodossa

C :

{x = g1(u)

y = g2(u)(tasokäyrä) , C :

x = g1(u)

y = g2(u)

z = g3(u)

(avaruuskäyrä).


x

y

i

j

r = g(u)

x

yi j

r = g(u)k

tasokäyrä avaruuskäyrä

z

Josg on jatkuva funktio, sanomme viivaakinjatkuvaksi.Voimme mieltää tällaisen viivanfysikaaliseksiradaksi,ts. pisteeng(u) liikeradaksi parametrin kulkiessa välinI (jolloin u onusein suoraan aika).g:n arvojoukong(I) pisteet taas muodostavat ns.geometrisen viivan(pis-tejoukon). Nämä kaksi asiaa eivät ole samat. Toteamme esimerkiksi, että viivatC1 : r =(cos u, sin u), 0 ≤ u < 2π, ja C2 : r = (cos u, sin u), 0 ≤ u < 4π, ovat geometrisesti yksija sama yksikköympyrä, mutta eivät viivoina (jälkimmäinen kiertää ympyrän kahdesti).

Huomautus. Geometrinen viiva annetaan usein koordinaattimuuttujia koskevien side-ehtojenavulla, esimerkkinä tuttu ympyrän yhtälöx2 + y2 = R2.

Määrittelemme vielä muutaman käsitteen. ViivaC : r = g(u) (u ∈ I) onsuljettu,jos

• se on jatkuva,

• parametriväli on suljettu väliI = [a, b] ja

• g(a) = g(b).

Vi iva, joka ei ole suljettu, onavoin.Edelleen viivaC : r = g(u) (u ∈ I) on itseään leikkaava,jos on sellaiset parametrivälinI pisteetu1 ja u2, että

• u1 �= u2,

• ainakin toinen pisteistäu1 ja u2 ei ole välinI päätepiste ja

• g(u1) = g(u2) (leikkauspiste).

Sileälle itseään leikkaavalle viivalle leikkauspiste voi ollasivuamispiste,ts. tangentitg′(u1)ja g′(u2) (ks. seuraava pykälä) ovat yhdensuuntaiset. Viiva, joka ei ole itseään leikkaava, onitseään leikkaamatoneli yksinkertainen.

Suljettuja itseään leikkaamattomia geometrisia viivoja kutsutaanJordanin käyriksi.Määrit-telemme usein tasonR2 alueita Jordanin käyriä käyttäen. Asiaan liittyvä perustavanlaatuinentulos on seuraava:

Lause 1.1. (Jordanin käyrälause)Jordanin käyrä jakaaR2:n tarkalleen kahteen alueeseen,rajoitettuun sisäalueeseen ja rajoittamattomaan ulkoalueeseen. (Viivan pisteet voidaan lukeakumpaan vaan.)

Todistus.Toteamme vain, että tuloksen intuitiivisuudesta huolimatta todistus on pirullinen(mutta nätti!) pistejoukkotopologian pyöritys. Jätämme suosiolla väliin.


x

yitseään leikkaamaton, avoin

x

yitseään leikkaava, avoin

x

yitseään leikkaava, suljettu

x

yJordanin käyrä

1.2.2 Sileys, tangentti, suunnistus, pituusmitta

Vi iva C : r = g(u) (u ∈ I) onsileä,jos

1. g on välillä I jatkuvasti derivoituva (päissä tarvittaessa toispuolisesti) ja

2. g′(u) �= 0 välillä I (tästä seuraa, ettäg on lokaalisesti invertoituva).

Sileällä viivalla on joka pisteessään nollavektorista eroava jatkuvasti muuttuva tangenttivektorig′(u), päätepisteitä mahdollisesti lukuunottamatta.

x

y

i

j

r = g(u)

x

yi j

r = g(u)k

tasokäyrä + tangenttivektori avaruuskäyrä + tangenttivektori

zg′(u)

g′(u)

Yleisemmin voimme määritelläpaloittain sileänviivan jatkuvana viivana, jonka parametrivälivoidaan jakaa äärelliseen määrään osavälejä, joista kullakin viiva on sileä.

Sileälle viivalle argumentinu lisäystäh vastaa funktion arvon lisäys∆r = hg′(u) + o(h).Sen lineaarista osaa vastaamaan määrittelemme viivanyksikkötangenttivektorin:

t(u) = ± g′(u)

‖g′(u)‖ .


Sileysoletusten perusteella tangenttivektori on yksikäsitteisesti määritelty ja nollasta poikkeavakoko viivalla. Viivamme onsuunnistettavissasen mukaan, kuinka valitsemme merkin yksik-kötangentin lausekkeelle. Suunnistus voidaan siten suorittaa kahdella eri tavalla etumerkkejävastaten.

Määrittelemme (sileälle viivalle) differentiaalisen viiva-alkionmitan, pituuden

ds = ‖g′(u)‖ du.

Määritelmän mukaisesti koko viivanC mitta (pituus) on

s =

∫I

‖g′(u)‖ du =

b∫a

‖g′(u)‖ du

(kun I:n päätepisteet ovata ja b).Toisaalta voimme esittää saman viivan mahdollisesti toisella tavalla sileästi parametrisoitu-

na: r = f(v) (v ∈ J). Tämä tarkoittaa sitä, että jollekin jatkuvalle bijektiolleh : I → J onf(h(u)) = g(u). (Ja sileydestä seuraa vielä, ettäh(u) on jatkuvasti derivoituva jah′(u) �= 0,eikö?) Onko viiva-alkion mitta sama kummassakin esityksessä? Myönteisen vastauksen kysy-mykseen toteamme seuraavana lauseena:

Lause 1.2. Sileälle viivalle viiva-alkion mitta on parametriesityksestä riippumaton.

Todistus.Emme esitä tässä yksityiskohtaista todistusta, vaikka se olisi aika helppo. Kyseessäon näet vain erikoistapausm-ulotteiseen monistoon liittyvästä tuloksesta, joka todetaan Liitteen1 Lauseessa 2 (viivallam = 1).1

Aikaisemmin on johdettu lauseke viivan pituudelle, kyseessä oli raja-arvo murtoviiva-app-roksimaation pituudelle. Kun raja-arvo oli sama kuin yllä esitettyyn määritelmään perustuva, sevain todistaa määritelmän mielekkyydestä. Jotta viivan pituus geometrisessa mielessä ja rata-mielessä olisivat samat, pitää sileysehtoihin vielä lisätä ehto

3. g on bijektio väliltäI geometriselle viivalleC.

(Huomaamme, että tämä ei seuraa ehdoista 1. ja 2, vrt. aikaisemmin esimerkkinä ollut kahdestikierretty ympyrä.) Silloin viivan geometrinen pituus on parametriesityksestä riippumaton.

Esimerkki. Suora viiva saadaan aikaan affiinikuvauksella:

r = g(u) = r0 + ua , r0, a ∈ R3.

Silloing′(u) = a , ds = ‖a‖ du

ja

s =

b∫a

‖a‖ du = (b − a)‖a‖ = ‖(b − a)a‖ = ‖(r0 + ba) − (r0 + aa)‖.

O.K., tuloshan on oikea!1Koska lukija, vilkaistuaan malttamattomana Liitettä 1, lienee jo suuren kiihtymyksen vallassa huomannut, että

voimme aivan hyvin merkitä (vaikka tarpeettoman monimutkaisesti tässä tapauksessa—determinantti on vallanyksirivinen)

‖g′(u)‖ du =√

det(g′(u)Tg′(u)) du,

toteamme, että viivan ja (hyper)pinnan alkioiden mitat ovat tosiaan vain erikoistapauksia (1- ja n − 1-dimensio-naaliset) yleisestäm-parametrisen pisteistön alkion mitasta, joka esitellään mainitussa Liitteessä 1.


1.3 Pinnat

Fysikaalisessa kotoavaruudessamme annettuun jatkuvaan aineeseen tai erilaisiin kenttiin—esi-merkiksi sähkö-, magneetti-, virtaus- ja lämpötilakenttiin—pääsee yleensä käsiksi matemaatti-sin työkaluin erottamalla siitä kuvitteellisella suljetulla pinnalla tiettyn osan, jolle sitten mal-linnetaan erilaisia tasapainoyhtälöitä. Tällä tavoin saamme integraalimuotoisen mallin tarkas-teltavalle ilmiölle. Sopivilla muunnoksilla tästä päästään ns. osittaisdifferentiaaliyhtälöön, jokaratkaistaan numeerisesti valmisohjelmistolla. Vastaavanlaisia relaatioita voidaan kirjoittaa myössuljetulle viivalle ja sen kautta asetetulle pinnalle. Ks. Luku 6.

Seuraavassa tutkimme lähemmin tässä työssä tarvittavia matemaattisia välineitä. Operoim-me yleensä fysikaalista tilaa vastaavassa avaruudessaR

3, vaikka eräät johdot menevätkin sel-keämmin suoraan dimensiossan.

1.3.1 Määritelmiä

Pintaon pistearvoinen kuvausR2:ssa olevaltaparametrialueeltaA avaruuteenR3

S : r = g(u) (u ∈ A).

Parametrialue on kokoR2 tai alue, jonka yksi tai useampi jatkuva yksinkertainen käyrä, ns.reunaviiva,erottaa parametritasosta. Mainitut viivat ovat erillisiä. Reunaviiva voi olla Jorda-nin käyrä, jolloin Jordanin käyrälauseen nojalla alueeseenA voi tulla mukaan sen sisäaluettatai ulkoaluetta. Jos jokin reunaviiva ei ole Jordanin käyrä, on alueA rajoittamaton. Kaikkienreunaviivojen kaikkien pisteiden ei tarvitse olla mukana alueessaA, ehkä ei yhdenkään niistä.Reunaviivojen kokonaisuutta merkitsemme∂A:lla ja sanomme sitäA:n reunaksi.Tähän liit-tyen,A− ∂A onA:n sisäosajaA ∪ ∂A onA:n sulkeuma.AlueA on

• avoin,jos mikään∂A:n pisteistä ei oleA:ssa (eliA on oma sisäosansa).

• suljettu,jos kaikki∂A:n pisteet ovatA:ssa (eliA on oma sulkeumansa).

• puoliavoin,jos se ei ole avoin eikä suljettu.

Komponenttimuodossa

S :

x = g1(u) = g1(u1, u2)

y = g2(u) = g2(u1, u2)

z = g3(u) = g3(u1, u2).

x

yi j

r = g(u)

k

z


PintaS on jatkuva,josg on jatkuva koko parametrialueessa.Geometrinen pintaon muodostuug:n arvojoukostag(A), se ei ole sama kuin eo. parametrinen pinta.

PintaC : r = g(u) (u ∈ I) onsuljettu,jos

• se on jatkuva,

• parametrialue on suljettu ja rajoitettu ja

• jokaista reunan∂A pistettäu1 kohti on toinen∂A:n pisteu2, jolle g(u1) = g(u2), mah-dollisesti jotain äärellistä pistemäärää lukuunottamatta.

Pinta, joka ei ole suljettu, onavoin.Kaikkien suljettujen pintojen äiti on tietysti pallonpinta:2

PintaS : r = g(u) (u ∈ A) on itseään leikkaava,jos on sellaiset parametrialueenA pisteetu1 ja u2, että

• u1 �= u2,

• ainakin toinen pisteistäu1 ja u2 ei ole reunalla∂A ja

• g(u1) = g(u2) (leikkauspiste).

Sileälle itseään leikkaavalle pinnalle leikkauspiste voi ollasivuamispiste,ts. normaalivektoritn(u1) ja n(u2) (ks. seuraava pykälä) ovat yhdensuuntaiset. Esimerkkinä pinta, joka tunnetaannimellä ”cross-cap” (vapaa suomennos: ”ristipipo” tjms.), sekä avoimena että suljettuna (piir-rokset: Maple):

Pinta, joka ei ole itseään leikkaava onitseään leikkaamatoneli yksinkertainen.Jordaninkäyrälauseen vastine on

Lause 1.3. (Lebesguen lause)Yksinkertainen suljettu pinta jakaaR3:n kahteen osaan, rajoi-tettuun sisäpuoleen ja rajoittamattomaan ulkopuoleen. (Itse pinnan pisteet voidaan ottaa mu-kaan kumpaan vaan.)

Todistus.On vaikea todistaa, vaikka tuntuu geometrisesti ilmeiseltä.

Lausetta käyttäen voimme määritelläR3:n alueita elikappaleita.

2Melkein kirjaimellisesti: monet tavalliset suljetut pinnat ovat topologisesti homeomorfisia pallon kanssa.


1.3.2 Sileys

Näimme, että viivoille määrittelevän funktion derivaatta on keskeinen työkalu. Samoin on pin-noille. Sanomme, että pintaS : r = g(u) (u ∈ A) onsileä,jos

1. g on jatkuvasti derivoituvaA:n sisäosassa ja

2. rank(g′(u)) = 2 A:n sisäosassa.

Havainnollisesti pinnan sileys merkitsee, että sillä on joka pisteessään tangenttitaso, mutta tä-hän palaamme hetken kuluttua. Yleisemmin voimme määritelläpaloittain sileänpinnan jatku-vana pintana, jonka parametrialue voidaan jatkuvilla yksinkertaisilla viivoilla jakaa äärelliseenmäärään osa-alueita, joista kullekin rajoitettuna pinta on sileä.

Esimerkki. Tarkastelemme sylinterikoordinaatiston pintaar = R = vakio:

x

y

zR

Sen pisteet ovat esitettävissä muodossa

x = R cos u1

y = R sin u1

z = u2,

missä halukas lukija voi sijoittaau1 = φ, u2 = z. Esitys on muotoar = g(u) ja parametrialueA on u-tason nauha[0, 2π) × (−∞,∞). Kyseessä on puoliavoin alue, jonka reunaviivat ovatsuoratu1 = 0 sekäu1 = 2π. Laskemme derivaatan

g′(u) =

∂g1

∂u1

∂g1

∂u2

∂g2

∂u1

∂g2

∂u2

∂g3

∂u1

∂g3

∂u2

=

−R sin u1 0

R cos u1 00 1

.

Nyt ilmiselvästig′ on jatkuva jarank(g′(u)) = 2 (sillä sini ja kosinihan eivät voi olla saman-aikaisesti nollia). Havaitsemme, että sylinteripinta on sileä (ei ollut yllätys).

Saamme sileälle pinnalle myös toisen esityksen (no, ainakin lokaalisesti). Matriisig′(u)on 3 × 2-matriisi, jonka rangi on2. Koska matriisin rivi- ja sarakerangi ovat samat, sillä on


kaksi lineaarisesti riippumatonta riviä. Olkoot nämä vaikkapa toinen ja kolmas rivi. Poimimmevastaavat rivit yhtälöstär = g(u) ja saamme{

y = g2(u)

z = g3(u),

joka on muotoav = h(u), missäv ∈ R2, h′(u) on 2 × 2-matriisi, rank(h′(u)) = 2 (tässä

derivaattamatriisissahan ovat mukana ne valitut riippumattomat rivit matriisistag′(u)). Impli-siittifunktiolauseen mukaan voimme ainakin lokaalisesti ratkaistau:n:

u = k(v) = k(y, z).

Kun sijoitamme tämän yhtälöönx = g1(u), saammex = g1(k(y, z)), joka onkin jo muotoaF (r) = 0. Pinnan pisteet toteuttavat siten (ainakin lokaalisesti) yhden skalaariyhtälön. Tällaistaesitystä kutsummeyhtälöesitykseksieli implisiittiesitykseksi.

Jos kääntäen tietytR3:n pisteetr toteuttavat yhtälönF (r) = 0, funktio F on jatkuvastiderivoituva jaF ′(r) �= 0T, voimme implisiittifunktiolauseen perusteella ainakin periaattees-sa ratkaista yhden muuttujista kahden muun funktiona, esimerkiksix = f(y, z). (Vm. esityspuolestaan on ns.eksplisiittiesitys.) Saamme tästä pisteistölle edelleen parametriesityksen (va-litsemallay = u1 ja z = u2)

x = f(u1, u2)

y = u1

z = u2,

joka on muotoar = g(u). Implisiittifunktiolauseen perusteella funktiof on jatkuvasti deri-voituva, joten funktiog on myös jatkuvasti derivoituva. On perin helppo havaita, että lisäksirank(g′(u)) = 2.

Esimerkki. (Jatkoa) Sylinteriesimerkissämme oli

x = R cos u1

y = R sin u1

z = u2.

Kahdesta viimeisestä yhtälöstä ratkaisemme{u1 = arcsin

y

Ru2 = z,

mistä havaitsemme, ettäz saa olla mielivaltainen, ja

x = R cos(arcsin

y

R

)= ±R

√1 −

( y

R

)2

,

eli x2 + y2 = R2, kuten pitääkin.Tällaisia muunnoksia vaivaudutaan harvoin tekemään. Yllä oleva on tarkoitettu ainoastaan

ilmaiseksi näytteeksi.

Sileällä pinnalla avaruudessaR3 on (ainakin lokaalisesti) kaksi ekvivalenttia esitysmuotoa:

r = g(u) (u ∈ A) (parametriesitys)

sekäF (r) = 0 (yhtälöesitys).

Funktiotg ja F ovat jatkuvasti derivoituvia,rank(g′) = 2 ja rank(F ′) = 1 (eli F ′(r) �= 0T).Esitys valitaan kulloistenkin tarpeitten mukaisesti mahdollisimman mukavaksi.


1.3.3 Tangenttitaso ja normaali

Tarkastelemme avaruudessa sileätä pintaaS : r = g(u) (u ∈ A) ja sen pistettär0 = g(u0).Kun annamme parametrivektorilleu0 pienen lisäyksenh, saavumme pinnan pisteeseen

g(u0 + h) = r0 + g′(u0)h + o(‖h‖).

Lisäyksen lineaarinen osa ong′(u0)h. Tästä saamme aiheen määritellä seuraavasti. PinnanSpisteeseenr0 asetettutangenttitasoon taso

Tu0 : r = r0 + g′(u0)h (h ∈ R2).

Kyseessä on siisg′(u0):n kahden sarakevektorin virittämä taso, joka kulkee pisteenr0 kautta.Koskarank(g′(u0)) = 2, ko. vektorit eivät voi olla yhdensuuntaiset.

Geometrisesti tangenttitaso on paras tasoapproksimaatio pinnalle pisteenr0 ympäristössä.Näin voimme määritellä sileän pinnannormaalinpisteessär0 tähän pisteeseen asetetun tangent-titason normaaliksi.3

x

yi j

r = g(u)k

z n(u)

x

yi j

r = g(u)k

z n(u)tangenttitaso

Ja mikähän olisi tuo pinnan normaali? Koska tangenttitaso on matriising′(u0) sarakkeiden virit-tämä, vektorin on oltava niitä vastaan kohtisuora: sen on kuuluttava niiden virittämän aliavaruu-den ortogonaaliseen komplementtiin. Matriisig′(u0) on3×2-matriisi. Tarkastelemme (formaa-lista) determinanttia, jonka saamme täydentämällä matriisin sarakkeet vasemmalta sarakkeella,jonka alkioina ovat avaruudenR3:n karteesisen koordinaatiston yksikkövektoriti, j,k:∣∣∣∣∣∣∣∣

i | |j

∂g

∂u1

∂g

∂u2

k | |

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Kyseessä on vektori (ajattele kehittämistä 1. sarakkeen suhteen). Sen skalaaritulo mielivaltaisenvektorina = (a1, a2, a3)

T kanssa on

a •

∣∣∣∣∣∣∣∣i | |j

∂g

∂u1

∂g

∂u2

k | |

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 | |a2

∂g

∂u1

∂g

∂u2

a3 | |

∣∣∣∣∣∣∣∣.

3Lukijaa askarruttavaan kysymykseen—miksi, miksi yksinkertaisesta asiasta saadaan niin sotaisa?—vastatta-koon, että näin otettuina tulokset ovat voimassa kaikissa dimensioissa2, . . . , n. Yleisessä tapauksessa vainr =g(u), g : A → R

n, missäA ⊆ Rn−1 ja rank(g′(u)) = n − 1. Todistukset ja määritelmät ovat muuten identtiset!


(Mielessäsi kehität determinantin 1. sarakkeen suhteen, muodostat skalaaritulon ja panet palasettakaisin paikoilleen determinantiksi. ZOT!) Determinanttivektori on kohtisuorassa kumpaakin

vektoria∂g

∂u1

ja∂g

∂u2

vastaan. Skalaaritulon jälkeen näet tulosta vastaavassa determinantissa on

aina kaksi identtistä saraketta, joten sen arvo on nolla. Vektori on kohtisuorassa tangenttitasonvirittäviä vektoreita vastaan ja siten sen normaalin suuntainen!

Kolmiulotteisessa tapauksessamme ristitulon määritelmän mukaan∣∣∣∣∣∣∣∣i | |j

∂g

∂u1

∂g

∂u2

k | |

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

.

Derivaattamatriisin rangia koskevasta oletuksestamme johtuen tämä ei voi olla nollavektori.Saamme siten pinnanS : r = g(u) yksikkönormaaliksi pisteessär0 = g(u0)

n(u0) = ±

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥,

missä derivaatat on tietenkin muodostettu parametrivektorin arvollau0.4

4Aficionadoille ja vain aficionadoille: Ja saman ulottuvuudessa. AvaruudessaRn meillä onn − 1-ulotteinen

sileä hyperpintar = g(u) (u ∈ A ⊆ R

n−1),

missäg′ on jatkuvasti derivoituva jarank(g′(u)) = n − 1. Määrittelemme derivaattamatriisin sarakkeiden yleis-tetyn ristitulon:

cross(

∂g∂u1

, . . . ,∂g

∂un−1

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 | · · · |... | · · · |ei

∂g∂u1

· · · ∂g∂un−1... | · · · |

en | · · · |

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Tämä vektori on kohtisuorassa kaikkia tekijävektoreitaan vastaan, mikä todistetaan kuten yllä. Se on siten hyper-pinnan normaalin suuntainen, ellei satu olemaan nollavektori. Se voi olla nollavektori jos ja vain josrank(g′(u)) <n − 1. Jos näet muodostamme sen skalaaritulon derivaattamatriisin sarakkeiden ortogonaalikomplementtiin kuu-luvan vektorina �= 0 kanssa, skalaaritulon arvo on

det(

a∂g∂u1

· · · ∂g∂un−1

).

Ortogonaalikomplementtiin kuuluvana vektoria ei ole lausuttavissa muiden sarakkeiden lineaarikombinaationa.Siten determinantin sarakkeet ovat lineaarisesti riippuvat (ja arvo= 0) jos ja vain jos muut sarakkeet ovat riippuvat,eli jos ja vain josrank(g′(u)) < n − 1. Tehdyin sileysoletuksin kyseessä ei siis ole nollavektori. Hyperpinnanyksikkönormaali on siten

n(u0) = ±cross

(∂g∂u1

, . . . ,∂g

∂un−1

)∥∥∥∥cross

(∂g∂u1

, . . . ,∂g

∂un−1

)∥∥∥∥.

Numeeriseen laskentaan tuosta hirviöstä ei tietenkään ole. Voimme etsiä derivaattamatriisin sarakkeiden ortogo-naalikomplementtiin kuuluvan vektorin mieluummin vaikka QR-hajoitelman avulla.


Esimerkki. (Jatkoa) Sylinteripintamme tapauksessa

g′(u) =

−R sin u1 0

R cos u1 00 1

.

Siispä

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

= (−R sin u1, R cos u1, 0)T × (0, 0, 1)T = (R cos u1, R sin u1, 0)T,

jotenn(u) = ±(cos u1, sin u1, 0)T.

x

y

zR

r = g(u)

n(u)

Kun muistamme, ettäu1 vastasi sylinterikoordinaatiston kulmaaφ, havaitsemme, että kyseessäon symmetria-akselia vastaan kohtisuora (säteittäinen) vektori aivan kuten pitääkin.

Saamme normaalille toisenkin lausekkeen, joka tietyissä olosuhteissa on hyvin käyttökel-poinen. Pinnallar = g(u) on (ainakin lokaalisesti) ekvivalentti yhtälöesitysmuotoF (r) = 0(ks. edellinen pykälä). TällöinF (g(u)) ≡ 0, identtisesti, ja tehdyin derivoituvuusoletuksin de-rivoimme identiteetin puolittain Ketjusäännöllä:

F ′(g(u))g′(u) ≡ 0T eli F ′(r)g′(u) ≡ 0T.

Matriisien kertolaskua muistellen (F ′(r) on vaakavektori) havaitsemme, että vektoriF ′(r)T

on ortogonaalinen matriising′(u) sarakkeille. Koska mainitut sarakkeet virittävät pisteessär0 = g(u0) tangenttitason, vektoriF ′(r0)

T on tangenttitason normaalin ja siis pinnan nor-maalin suuntainen. Kuten muistetaan,F ′(r)T = grad(F (r)). Tätä merkitään kenttälaskennanyhteydessä useimmiten∇F (r):lla, myöhemmin ilmenevistä syistä. Siten saamme

n(r0) = ± F ′(r0)T

‖F ′(r0)T‖ = ± ∇F (r0)

‖∇F (r0)‖.

Esimerkki. (Jatkoa) Harjoitusvastustajamme sylinteripinta oli esitettävissä yhtälömuodossaF (r) = x2 + y2 − R2 = 0, jolloin

F ′(r) =

(∂F

∂x,∂F

∂y,∂F

∂z

)= (2x, 2y, 0).

Siten

n(r0) = ± F ′(r0)T

‖F ′(r0)T‖ = ±(2x0, 2y0, 0)T

2√

x20 + y2

0

= ± 1

R

x0

y0

0

.


Jos sijoitamme tähän muuttujien parametriesityksetx = R cos u1, y = R sin u1, havaitsemmesaaneemme saman tuloksen kuin edellä.

Normaalin avulla voimme sievästi lausua pisteeseenr0 = g(u0) asetetun tangenttitasonyhtälön saamamme tason normaalin—eli pinnan normaalin—avulla:

Tu0 : n(u0)T(r − r0) = 0.

Ja sitten varsinaiseen asiaan, suunnistettuun pintaan. Sileän pinnanr = g(u) (tai F (r) = 0)pisteessär normaalivektori on olemassa, yksikäsitteisesti määrätty ja nollasta poikkeava. Pintaon silloinsuunnistettavissasopimalla yksikäsitteinen etumerkki normaalin lausekkeessa

n(u0) = ±

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥(tai n(r0) = ± F ′(r0)

T

‖F ′(r0)T‖ ).

Näin saammesuunnistetun pinnan.Suunnistuksia on siis kaksi:

x

y

z n

x

y

z

n

Teknisissä sovelluksissa pinnan suunnistus on usein oleellinen. Näin on erityisesti lasket-taessa virtausmääriä tai kentän vuota tietyn pinnan läpi. Virtauksella ja kentällä on näet tiettysuuntansa ja pinnan suunnistuksella pystymme matemaattisesti pitämään lukua siitä kumpaansuuntaan pinnan läpi liike (tai vuo) kulkee.

Lokaalisesti suunnistus on nyt hallinnassa (lokaalisestihan sileä pinta muistuttaa kummastitangenttitasoaan). Globaalis-geometrisesti juttu on mutkallisempi. Tällainen suunnistus antaanimittäin pinnalle kaksi puolta. Mutta on pintoja, joilla eigeometrisestiole kuin yksi puoli.Tuttu esimerkki onMöbiuksen nauha(piirros: Maple),


jonka parametrimuoto on

x = (1 + u1 cosu2

2) cos u2

y = (1 + u1 cosu2

2) sin u2

z = u1 sinu2

2

( − 1 ≤ u1 ≤ 1, 0 ≤ u2 < 2π).

Näemme, että nauhalla on geometrisesti ajatellen normaali kussakin pisteessään (parametriarvou2 = 0 saattaa herkkää lukijaa arveluttaa, mutta voisihan parametrisoinnissa olla yhtä hyvinvaikka väli1 ≤ u2 < 1 + 2π). Kamalahko lasku näyttäisi, että Möbiuksen nauha on sileä.

Lebesguen lauseesta seuraa, että sileä suljettu yksinkertainen pinta on myös geometrisestisuunnistettu (vaikkapa sisäpuoli→ ulkopuoli). Sileän suljetun (mutta itseään leikkaavan) pin-nan ei tarvitse olla geometrisesti suunnistettu. Tästä esimerkkinäKleinin pullo (piirros: Maple),

jolla ei ole kuin yksi puoli. Pullon parametrisointi (ainakin kuvassa olevan version) on senverran mutkallinen, että emme varmaan halua sitä nähdäkään.

Jos sileän pinnanS : r = g(u) parametrialueA on suljettu ja sillä on vain yksi suljettu,paloittain sileä ja yksinkertainen reunaviivaC, kuvautuu se paloittain sileäksi pinnanreunavii-vaksig(C) = ∂S. Paloittain sileänä suljettuna viivana reunaviiva∂S voidaan suunnistaa (käyt-täen vaikkapaC:n suunnistusta), ts. voimme antaa sillekiertosuunnan.Merkitsemmen(u):lläpinnan yksikkönormaalia jat(u):llä reunaviivan∂S yksikkötangenttia. (Jälkimmäinen on tässämukavuussyistä parametrisoitu pinnan parametreilla.)

n

t

n

t

n

t

n

toikeakätisiä

vasenkätisiä

Voimme nyt liittää sopimuksella yhteen reunaviivan kiertosuunnan ja pinnan suunnistuk-sen. Tätä varten tarvitsemme vielä sen oletuksen, että pinnan suunnistus voidaan ”jatkaa” sen


reunaviivalle, ts. ettän(u) voidaan jatkaa jatkuvana alueenA reunaviivalleC. Jos reunaviivanpisteessäg(u) vektori t(u) × n(u) aina suuntautuu poispäin pinnasta, pinnan ja sen reunansuunnistus onoikeakätinen,päinvastaisessa tapauksessavasenkätinen.5

Eräiden luonnonlakien matemaattinen mallintaminen edellyttää sopimista oikea- tai vasen-kätisyydestä. On sopimuksenvarainen asia kumpaan suuntaan juoksevia positiivisia varauksiakutsutaan positiiviseksi sähkövirraksi. Samoin on sopimuksenvaraista, kuinka päin sovitaanmagneettikentän suunta. Sen sijaan on empiirinen tosiasia, että tiettyyn suuntaan reunaa kiertä-vät positiiviset varaukset saavat aikaan pinnan läpi aivan tietyn suuntaisen magneettikentän. Il-miö voidaan mallintaa tyydyttävästi vain ottamalla käyttöön tietty kätisyys (korkkiruuvisäännötsun muut). Tämän tyyppisten ilmiöitten mallintamisessa kätisyys sisältyy implisiittisenä mal-leissa esiintyviin ristituloihin (esimerkiksi Biot–Savart-laki). Ristitulon suuntahan on sovittu(ns. oikeakätinen6).

Toinen hyvä esimerkki on rotaatioliikkeen kuvaaminen. Rotaatiovektorille sovitaan rotaatio-tasoa vastaan kohtisuora suunta. Rotaatioon liittyvä nopeus mallinnetaan ristitulon avulla. Yk-sityisen pyörreviivan indusoiman nopeuskentän matemaattinen mallintaminen on täysin analo-ginen edellä mainitun sähkövirta-magneettikenttä-relaation kanssa, mitä hyödynnetään esimer-kiksi nykyaikaisessa aerodynamiikassa.

Näiden ilmiöiden kuvaamisen eräs perustyökalu on Stokesin lause (ks. Pykälä 4.3), jokasitoo toisiinsa suunnistetun reunaviivan ja suunnistetun pinnan. Lause esitetään aina oikeakäti-senä.6

1.3.4 Pinta-alkion mitta

Tapa, jolla aikaisemmin olemme päässeet käsiksi tason alueenA alaan, on oikeastaan ns.Jor-danin mitta.Sitä varten tarvitsemme pari käsitettä.A:n ulkopeiteP muodostuu äärellisestämäärästä ruudukon muotoon asetettuja samanlaisia neliöitä, joiden yhdisteeseenA sisältyy.Kaikkien ulkopeitteiden luokkaa merkitsemmePout:llä. SisäpeiteP taas muodostuu äärellises-tä määrästä ruudukon muotoon asetettuja samanlaisia neliöitä, joiden yhdiste sisältyyA:han,vastaavaa luokkaa merkitsemmePin:llä. (TämäPin voi hyvinkin olla tyhjä.) PeitteenP mitta‖P‖ on siinä olevien neliöiden alojen summa. (Neliön ala on geometrinen primitiivi.)

ulkopeite sisäpeite

AlueenA Jordanin sisä-ja ulkomitatovat

‖A‖out = infP∈Pout

‖P‖ ja ‖A‖in = supP∈Pin

‖P‖,

5Tarkka lukijamme huomaa, että tässä pitäisi ilmeisesti vähän skarpata. Oikeastaan tarkoitamme sitä, että pis-teessäg(u) on tangenttitasoTu, jonka normaalivektorin(u) on. Silloint(u) on tasossaTu, itse asiassa koko reu-naviivan tangenttisuorag(u):ssa on tässä tasossa. Edelleen ristitulot(u) × n(u) on tangenttitasossaTu. Kätisyysmääräytyy siis siitä kummalle puolelle tasoaTu ristitulo sojottaa.

6Ei millään pahalla vasenkätisiä kohtaan, sopimushan se vaan on!


missä sovimme, että‖A‖in = 0, josPin on tyhjä. AlueA on Jordan-mitallinen,jos ‖A‖out =‖A‖in, ja mittojen yhteinen arvo‖A‖ on senJordanin mitta.Tämä mitta vastaa tarkasti mieli-kuvaamme geometrisesta alasta.

Huomautus. Aivan samalla idealla voimme määritelläJordanin mitan kappaleille,neliöidensijasta peitteissä käytetään kuutioita. Tuloksena on geometrisen tilavuuden käsite. Edelleen sa-ma idea kävisi pituuden määrittelemiseen suoralla: Jordanin mitassa neliöiden sijasta käyte-tään janoja jne. Mutta tämä ei anna viivan pituuden käsitettä, se pitää ottaa erikseen, kutenteimme. Jordanin mitasta taas pääsemme yleisempään mittaan, ks. Liite 1.

Tarkastelemme jälleen sileää pintaaS : r = g(u) (u ∈ A). Kuinka pääsisimme käsiksi pin-nanS alaan? Yllä oleva Jordanin mitta perustuu suorakulmaisen hilan kantti× kantti -mittaan.Kupruilevaa pintaa on mahdotonta litistää tasoon mittausta varten, kuten jokainen tietää maa-palloa koskevista kartografisista ongelmista. Niinpä mitta onkin määriteltäväu-tason (Jordanin)mitan avulla. Määrittelemme seuraavassa differentiaalisen pinta-alkion mitan.

x

y

r = g(u)

z dSu2

u1

du

u

g

A

Parametrialueen pisteenu ympäristössä sijaitsevan mitaltaandu olevan pinta-alkion kuvandS mitta (pinnallaS) on

‖dS‖ =

∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥ du.

(Käsittelemme yleisemmin tällaisia mittoja Liitteessä 1.) Yleensä merkitsemme lyhyesti vaan

dS =

∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥ du.

Itse alaan pääsemme integroimalla (summaamalla)∫A

∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥ du , merkitään∫S

dS.

Esimerkki. Määritelmä antaa tasopinnalle totutun mitan. Tämä on tärkeää, koska taso onmitattavissa Jordanin mitalla.

Tarkastelemme avaruudessa tasoa, joka kulkee pisteenr0 kautta ja on ei-yhdensuuntaistenvektoreidena1 ja a2 virittämä. Tämän tason pisteet ovat tuttuun tapaan esitettävissä muodossar = r0 +Au, missä matriisiA = (a1 | a2) on3× 2-matriisi ja vektoriu ∈ R

2. Voimme esittäätason pintanar = g(u), missä tietenking(u) = r0 + Au. Siteng′(u) = A ja

∂g

∂u1

= a1 ja∂g

∂u2

= a2.


Pinta-alkion mitta on näindS = ‖a1 × a2‖du.

x

y

r = g(u)

z

dSu2

u1

u

g

∆u2

∆u1∆u2a2 ∆u1a1

Toisaalta, kunu1 saa lisäyksen∆u1, vastaavar:n saama lisäys on tarkastiA(∆u1, 0)T =∆u1a1. Josu2 saa lisäyksen∆u2, vastaavar:n saama lisäys on tarkastiA(0, ∆u2)

T = ∆u2a2.Kuvauksessau-tason suorakaide kuvautuu kuvan mukaisesti tason suunnikkaaksi, jonka sivuinaovat vektorit∆u1a1 ja ∆u2a2. Suunnikkaan ala on tunnetusti sivujen ristitulon normi, joten

∆S = ‖∆u1a1 × ∆u2a2‖ = ‖a1 × a2‖∆u1∆u2 = ‖a1 × a2‖∆u,

missä∆u:lla merkitsemmeu-tason alkeiskuvion mittaa, alaa. Tulos on siten yhteensopiva mää-ritelmän kanssa.

Johdamme seuraavaksi pinta-alkion mitalle hieman kuluttajaystävällisemmän lausekkeen.Tätä varten otamme käyttöön seuraavan lauseen:

Lause 1.4.

∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥ =√

det(g′(u)Tg′(u))

Todistus.Todistus menisi raa’alla väännölläkin, mutta otamme sen tavalla, joka on suoraanyleistettävissän-ulotteiseen tapaukseen (aficionadot huom!).

Yksikkövektorin, pinnan normaali, on vektorin∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

suuntainen ja ortogonaalinenristitulon tekijöiden kanssa. Siten∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥2

=

(n • ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

)2

= det((n(u) | g′(u)))2.

Tässä3 × 3-matriisi (n(u) | g′(u)) on saatu matriisistag′(u) liittämällä siihen ensimmäiseksisarakkeeksi vektorin(u). (Kuten muistamme, vektorin skalaaritulo ristitulon kanssa oli esitet-tävissä tuollaisen determinantin muodossa.) Determinanttia koskevien laskusääntöjen mukaan(transponoinnilla ei ollut väliä)

det((n(u) | g′(u)))2 = det((n(u) | g′(u))T) det((n(u) | g′(u)))

= det((n(u) | g′(u))T(n(u) | g′(u))).

Vektori n(u) on ortogonaalinen matriising′(u) sarakkeiden kanssa. Kun otamme huomioonsen, että matriisitulonAB alkio (AB)ij on matriisinA i:nnen rivin (pystyyn nostettuna, trans-ponoituna) ja matriisinB j:nnen sarakkeen skalaaritulo, huomaamme, että saamme lohkotunesityksen

(n(u) | g′(u))T(n(u) | g′(u)) =

(1 0T

0 g′(u)Tg′(u)

).


(Ei sitä juuri päässä näe, parasta piirtää matriisin(n(u) | g′(u))T rivit ja vastaavasti matriisin(n(u) | g′(u)) sarakkeet näkyviin ja ottaa mainittu ortogonaalisuus huomioon. Oikein opetta-vaista, hehheh!)

Niinpä

det((n(u) | g′(u))T(n(u) | g′(u))) =

∣∣∣∣∣ 1 0T

0 g′(u)Tg′(u)

∣∣∣∣∣ = det(g′(u)Tg′(u))

ja ∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥2

= det(g′(u)Tg′(u)).

(Todistusta ei liene syytä opetella ulkoa.)

Toisaalta voimme esittää saman pinnan mahdollisesti eri tavalla sileästi parametrisoituna:r = f(v) (v ∈ B). Tämä tarkoittaa sitä, että jollekin jatkuvalle bijektiolleh : A → B onf(h(u)) = g(u). (Ja sileydestä seuraa vielä, ettäh(u) on jatkuvasti derivoituva jarank(h′(u))= 2, eikö?)

x

y

r = g(u) = f(v)

z dS

u2

u1

du

ug

v2

v1

dv

vf

A

B

Onko pinta-alkion mitta sama molemmissa esityksissä? Vastaus on myönteinen:

Lause 1.5. Pinta-alkion mitta on parametrisoinnista riippumaton.

Todistus.Kun sovellamme Lausetta 1.4 toisiaan (ja pinnan alkiotadS) vastaaviinu- ja v-tasojen pinta-alkioihindu ja dv, havaitsemme, että

dv = | det(h′(u))| du.

Silloin ajattelemmev-tason aluettav1v2v3-avaruuden tasopintana, jolla(v1, v2) = h(u) ja v3 =0, ja laskemme kylmän rauhallisesti lauseessa esiintyvän determinantin neliöjuuren. Lukija onhyvä vaan.

Ketjusäännön mukaisesti

g′(u) = f ′(h(u))h′(u) = f ′(v)h′(u),

joten, sopimalla pinta-alkiotdS (ks. edeltä) positiivisiksi,


dS =√

det(g′(u)Tg′(u)) du

=√

det(h′(u)Tf ′(h(u))Tf ′(h(u))h′(u)) du

=√

det(h′(u)T) det(f ′(h(u))Tf ′(h(u))) det(h′(u)) du

=√

det(f ′(h(u))Tf ′(h(u))) | det(h′(u))| du

=√

det(f ′(v)Tf ′(v)) dv.

Esimerkki. Suoran ympyräpohjaisen kartion pohjan säde onR korkeuden ollessah. Laskem-me kartion vaipan alan. Pyörähdyssymmetrisenä pintana kartiopinta kannattaa parametrisoidasylinterikoordinaattien avulla. Valitsemme esimerkiksiu1 = φ, u2 = z. Tällöin pinnalla

y

x

z

R

y

h

u1

u2

2π

h

A

x =R

hu2 cos u1

y =R

hu2 sin u1

z = u2

eli r = g(u) (0 ≤ u1 < 2π, 0 ≤ u2 ≤ h)

ja

g′(u) =

∂g1

∂u1

∂g1

∂u2

∂g2

∂u1

∂g2

∂u2

∂g3

∂u1

∂g3

∂u2

=

−R

hu2 sin u1

R

hcos u1

R

hu2 cos u1

R

hsin u1

0 1

.

Vaipan pinta-alkio on

dS =

∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥ du =√

det(g′(u)Tg′(u)) du.

Ensimmäinen versio saadaan laskemalla derivaattamatriisin sarakkeiden ristitulon normi, toi-nen matriisitulon determinanttina. Työmäärät ovat suunnilleen samat. Tulos on:

dS =R

hu2

√1 +

R2

h2du =

R

hu2

√1 +

R2

h2du1du2.

Pinnan alkukuvau-tasossa on kuvan mukainen suorakaide. Pinta-alkioita on olemassa tätä


aluetta vastaten. Näiden ”summa” on vaipan ala

A =

∫A

R

hu2

√1 +

R2

h2du =

h∫0

2π∫0

R

hu2

√1 +

R2

h2du1du2

= πRh

√1 +

R2

h2= πR

√R2 + h2.

Kartio on tasottuvapinta, ts. se voidaan leikata auki ja levittää tasoon. Leikkaamalla auki sivuapitkin kartiosta saadaan ympyrän sektori, jonka ala saadaan Jordanin mittana.

y

x

z

R

y

hsαs

leikkausviiva

Sektorin säde on kartion sivun pituus elis =√

R2 + h2 ja keskuskulmaα = 2πR/s radiaania.Sektorin ala on1

2αs2 = πR

√R2 + h2. Näin saadaan varmistus lasketulle alalle. Kaikki pinnat

eivät tietenkään ole tasottuvia, esimerkiksi pallon pinta ei sitä ole.

Pinta-alkion lauseke sisältää välttämättä informaatiota pinnan geometrisesta muodosta jaon siten helposti tavattoman mutkikas auki kirjoitettuna. Siististi integraalit menevät yleensävain ns. valmiiksinauretuissa tapauksissa, joihin edeltävä esimerkki kuuluu. (Ja tietenkin tent-titehtävissä.) Tästä huolimatta pintaintegraali on hyvin yleinen työkalu käytäntöön liittyvässämatematiikassa. Sitä käytetään mallinnettaessa erilaisia kenttätehtäviä. Siitä kuitenkin päästäänyleensä aina eroon Gaussin tai Stokesin lauseen avulla (tulevat kohta, oletko valmis?). Kutenolemme jo maininneet, lopputuloksena näissä tarkasteluissa on ns. osittaisdifferentiaaliyhtälö,joka pyritään ratkaisemaan valmisohjelmistoilla.

Mikäli pinta on annettu eksplisiittimuodossaz = f(x, y) (eli f(x, y) − z = 0, joka vastaaimplisiittistä esitystapaammeF (r) = 0), voimme parametrisoida sen triviaalisti valitsemallax = u1, y = u2:

x = u1

y = u2

z = f(u1, u2)

eli r = g(u).

Silloin

g′(u) =

1 0

0 1D1f(u1, u2) D2f(u1, u2),

jossa alarivillä ovat funktionf derivaatat 1. ja 2. argumenttiposition suhteen,7 ja

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

=

−D1f(u1, u2)

−D2f(u1, u2)1

.

7Käytämme lyhyyden vuoksi merkintääDif , joka merkitsee funktionf osittaisderivaattaai:nnen argumentinsuhteen jne.


SiispädS =

√D1f(u1, u2)2 + D2f(u1, u2)2 + 1 du.

Onko tulos tulkittavissa alkuperäisen tehtävän geometriassa?Pinta-alkioita on olemassau-tason sillä alueella, jolla alkuperäisen pinnan muuttujatx ja

y vaihtelevat pisteen lipuessa pintaa pitkin. Tämä vaihtelualue on sama kuin pinnan projektioxy-tasolle,Axy, eikö?

x

y

z = f(x,y)

z

(x,y)

Axy

Pinnan alaa integroidessamme voimme siis yhtä hyvin operoida alkuperäisenxyz-avaruudenxy-tasossa, sen alueessaAxy, joka on pinnan projektio mainitulle tasolle. Siirtymällä takaisinalkuperäisiin muuttujiin

dS =√

fx(x, y)2 + fy(x, y)2 + 1 dxdy.

Kokonaisala on pinta-alkioitten ”summa”, integraali:

A =

∫A

√D1f(u1, u2)2 + D2f(u1, u2)2 + 1 du =

∫Axy

√fx(x, y)2 + fy(x, y)2 + 1 dxdy.

Mitä tämä merkitsee? Jos lähdemme pinnan esitysmuodostaF (r) = 0, pinnan yksikkönor-maali on

n(r) = ± F ′(r)T

‖F ′(r)T‖ .

Tapauksessamme pinnan yhtälö olif(x, y) − z = 0. Siten yksikkönormaali on

n(x, y) = ± (fx(x, y), fy(x, y),−1)T√fx(x, y)2 + fy(x, y)2 + 1

ja

n(x, y) • k = cos ∠(n(x, y),k) = ∓ 1√fx(x, y)2 + fy(x, y)2 + 1

.

Pinnanz = f(x, y) pinta-alkio on siten

dS =daxy

| cos ∠(n(x, y),k)|

(merkitsimme selvyyden vuoksixy-tason pinta-alkiotadaxy:llä).


x

y

z = f(x,y)

z

(x,y)daxy

dS

n(x,y)

Kokonaisala on

A =

∫Axy

dxdy

| cos ∠(n(x, y),k)| .

Tulos on arkijärkeenkäypä, mikä todistaa alkuperäisen pinta-alkion määrittelyn mielekkääksi:sileän pinnan differentiaalisen pieni alkio on mikromaailmassaan miltei tasomainen. Sen pro-jektio pienenee kallistuskulman kosinin verranxy-tasolle projisoitaessa. Jos haluamme lausuasen mitanxy-tason projektioalkion mitan avulla, meidän tulee jakaa jälkimmäinen kallistuskul-man kosinilla (oikeastaan sen itseisarvolla).

Esimerkki. Laskemme taas kerran edellä tarkastellun suoran ympyräkartion vaipan alan, poh-jan sädeR, korkeush. AlueAxy on nyt ympyräx2+y2 ≤ R2. Pinnan yhtälön saa muodostetuk-si helposti huomaamalla, että sylinterikoordinaatistossa se on kylkiviivan suoruudesta johtuen

r =R

hz, josta

√x2 + y2 =

R

hz. Tästä saa helposti väännetyksi vaaditun kosinin. Pyörähdys-

symmetrisissä tehtävissä kannattaa kuitenkin useimmiten menetellä seuraavasti.Tarvitsemme oikeastaan pinnan normaalin. Sen jälkeen kosini on helppo muodostaa. Muis-

tamme, että pinnanF (r) = 0 normaali on

n(r) = ± F ′(r)T

‖F ′(r)T‖ .

Kirjoitamme pinnan yhtälön mahdollisimman mukavaan muotoon:x2 + y2 − R2

h2z2 = 0. Siitä

saamme normaalin

n(r) =

(x, y,−R2

h2z

)T

√x2 + y2 +

R4

h4z2

.

Meitä kiinnostaa vain kolmas komponentti. Meidän on myös eliminoitavaz, joka tulee mukaankoska emme lähteneet muodostaf(x, y) − z = 0. Pyörähdyssymmetrisissä tapauksissa se käyhelposti, kun käytämme lähtöyhtälöä hyväksi:

n(r) • k =−R2

h2z√

R2

h2z2 +

R4

h4z2

= − 1√h2

R2+ 1

.

Siten ala on


A =

∫Axy

√h2

R2+ 1 dxdy =

√h2

R2+ 1

∫Axy

dxdy = πR2

√h2

R2+ 1 = πR

√h2 + R2.

1.4 Vektorikentät

Vektorikenttäon vektoriarvoinen kuvausF : A → Rn, missä määrittelyalue onR:ssä,R2:ssa tai

R3:ssa jan = 2 tai n = 3. (TässäRn on n-ulotteinen reaalinen vektoriavaruus, ei geometrinen

avaruus.) Huomaamme heti, että viivojen ja pintojen parametriesitykset eivät ole vektorikenttiä,sillä ne ovat pistearvoisia. Sen sijaan viivojen tangentit ja pintojen normaalit ovat vektorikenttiä.

Yleensä vektorikentät ovat fysikaalista alkuperää, virtauskenttiä, sähkökenttiä, magneetti-kenttiä jne. Kunkin vektorikentän arvovektorit majailevat omissa2- tai 3-ulotteisissa avaruuk-sissaan. Asioiden havainnollistamiseksi ja jonkinlaisen graafisen kuvan saamiseksi on tapanakuitenkin esittää ja piirtää vektorikenttien saamat arvovektorit samassa avaruudessa kuin missäniiden argumenttipisteet ovat. Tätä varten sovimme, että koordinaattivektoriti, j,k ovat laadut-tomia (samoin yksikkötangentit ja -normaalit). Yhdelmissäxi + yj + zk, F1i + F2j + F3kjne. laadut tulevat mukaan kertoimistax, y, z ja F1, F2, F3 jne. Tällä tavoin saamme sovituk-si yhteisen orientaation niin erilaisille vektorikentille kuin tangentti- ja normaalivektoreillekin.Orientaatio syntyy tietenkin yhteisten vektoreideni, j,k käytöstä.8

Fysikaalisiin ilmiöihin liittyvien vektorikenttien mallintamisessa on tullut tavaksi käyttäämatemaattista esitystä, joka sopii erityisen mukavasti juuri näihin tarpeisiin. Tyypillistä on piste-ja ristitulon reipas käyttö keskeisten luonnonlakien kuvaamisessa. Meillä on usein samanaikai-sesti olemassa monta vektorikenttää samassa fysikaalisessa tilassa: sähkömagneettisten kent-tien tapauksessa esimerkiksi magneettikentän voimakkuusH(r), magneettivuon tiheysB(r),sähköinen kentänvoimakkuusE(r), sähkövuon tiheysD(r), sähkövirran tiheysi(r), varaus-ten virtausnopeusv(r), varauksiin vaikuttavan voiman kenttäF(r) jne. Kentät ovat yhteydessäkeskenään tunnettujen lakien mukaisesti, esimerkiksi

F = E + v × B ja∮C

H • ds =

∫S

i • da.

On helppo havaita, että tämän tapainen esitys on mahdollista vain, jos kenttien orientaatio toi-siinsa sekä paikkaan nähden on tunnettu (risti- ja pistetulojen laskemista varten). Meidän tu-lee voida verrata erilaatuisten vektoreiden suuntia toisiinsa. Fysikaalisissa malleissa tämä tar-koittaa sitä, että pystymme ilmoittamaan kentän suunnan tietyssä pisteessä paikka-avaruuden,fyysisen tilan, suuntavektorin avulla. (Tämä on kenttävektorin ”suunta”.) Kentän ”voimakkuu-den” (kenttävektorin normin) pystymme mittaamaan asianomaisen mittarin avulla. Normi onei-negatiivinen reaaliluku, jonka arvo riippuu käytetyistä mittayksiköistä.

Tältä pohjalta fyysikoiden on tapana piirrellä samaan kuvaan aivan eri kenttien vektoreita.Kuvan maisema esittää fysikaalista tilaa ja tiettyyn pisteeseen liittyvät kenttävektorit on muu-tettu edellä esitetyllä tavalla tässä tilassa sojottaviksi tikuiksi. Alla olevassa kuvassa on esitettymagneettikentän voimakkuusH(r) pisteessär. Tieto kenttien keskinäisestä orientaatiosta onkuitenkin oleellinen osa fysikaalisten vektorikenttien mallintamista ja se sisältyy implisiittisenäluonnonlakien malleissa esiintyviin risti- ja pistetuloihin. Periaatteessa pystymme laskemaaneri vektorikenttien väliset risti- ja pistetulot (fyysikkomielessä) ilman koordinaatistoa, mikälikentät ovat keskenään orientoituneet. Tätä varten meidän tulee vain sopia mittayksiköistä, kier-

8Huomautamme, ettei tämä suinkaan ole ainoa tapa käsitellä asiaa, laadut voitaisiin sitoa myös yksikkövekto-reihin i, j,k jne.


tosuunnasta (ristitulo) sekä osata piirrellä suoriakulmia (projektiot, ristitulon suunta). Piste- jaristitulo ovat koordinaatistosta riippumattomia.

x

yi j

r = (x,y,z)k

z

H(r )

Yllä mainitun karteesisen koordinaatistovalinnan jälkeen voimme käsitellä kaikkia kenttä-suureita samassa koordinaattiavaruudessa, jossa voimme myös laskea piste- ja ristitulot tavan-omaiseen matemaattiseen tapaan. Esimerkiksi magneettisen kentänvoimakkuuden tarkastelussameillä on työn alla kolme komponenttifunktiotaH1(r), H2(r), H3(r) eli H1(x, y, z), H2(x, y, z),H3(x, y, z). KomponenttiaH1 vastaava suunta luonnossa on paikkakoordinaattiax vastaavasuunta luonnossa, yhteisessä koordinaattiavaruudessa kumpikin liittyy kantavektoriini. Voim-me tietenkin kirjoittaa koordinaattiavaruudessa myösH = (H1, H2, H3)

T. Jos vaikkapa tarkas-telemme lausekettaF = E+v×B ja merkitsemmeF = (F1, F2, F3)

T jne., saamme esimerkiksivoimakentän ykköskomponentille lausekkeen

F1(x, y, z) = E1(x, y, z) + v2(x, y, z)B3(x, y, z) − v3(x, y, z)B2(x, y, z).

Edellisen perusteella kaikkien kenttien vastinkomponentteja vastaavat fyysiset suunnat ovat sa-mat.

Vektorikenttä voi olla myös ajasta riippuva, esimerkiksiH = H(r, t). Edellä esitettyjensopimusten katsotaan tällöin olevan voimassa mielivaltaisella ajanhetkellä. Kentistä piirrellääntyypillisesti silmänräpäyskuvia, tiettyä ajanhetkeä vastaten.

Tarkistusmielessä on joskus hyvä kuljettaa laskuissa dimensioita (laatuja) mukana: kun yri-tämme laskea yhteen metrejä ampeereiden kanssa, voimme olla varmat siitä, että jotakin onunohtunut matkan varrella. Laadut (dimensiot) käyttäytyvät piste- ja ristituloissa kuten skalaa-rit ikään. Ne voidaan kertoa keskenään ja tulos on ao. vektoritulon laatu.

Esimerkki. LausekkeessaF = E + v × B laadut ovat:

[v] =ms

, [B] =Vsm2 , [E] =

Vm

.

Niinpä

[v × B] =mVsm2s

=Vm

= [E]

ja laadut ovat konsistentit. Voimakentän laatu (dimensio) on siten[F] = V/m. Jos varauksensuuruus onq, kentän tähän kohdistama voima onf = qF (ns.Lorentzin voimalaki). Laadultaantämä on

[f ] = [q][F] =AsVm

=Wsm

=Nmm

= N. Hehheh!


Edellä on käynyt ilmi, että meillä on usein samanaikaisesti monia vektorikenttiä määritel-tyinä samassa fyysisessä tilassa. Tarkastelu- tai määrittelyalueeksi tai -kappaleeksi kutsutaantällöin mielenkiinnon kohteena olevaa osaa fyysisestä tilasta (paikasta), tai oikeammin vastaa-vaa osaa koordinaattiavaruudesta. Usein käy kuitenkin niin, että jokin tutkimuksessamme kä-siteltävistä vektorikentistä ei ole olemassa tämän fyysisen alueen tietyssä osassa. Esimerkik-si nestevirtauskentästä on mieletöntä puhua sellaisessa osa-alueessa, jossa jostakin rakenteestajohtuen ei ole nestettä lainkaan. Voi olla myös niin, että teoriamme edellyttää kenttäfunktioltaC2-jatkuvuuden (kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva) ja osassa fyysistä tarkastelualuetta emmevoi olettaa ehdon toteutuvan. Teoriamme kannalta tällaisessa kohdassa tarkastelualuetta on rei-kä (tai kolo): emme voi ulottaa teoriaamme tähän alueeseen. Se on rajattava pois tarkastelua-lueesta, jolloin tähän syntyy mainittu ”reikä” tai ”kolo”.

Käytännössä kyseeseen tulevat useimmiten aineiden väliset rajapinnat, joilla tietyt kenttä-suureet ovat epäjatkuvia. Tarkastelualue jaetaan tällöin osa-alueisiin rajapintoja pitkin. Esimer-kiksi magneettikenttien yhteydessä joudutaan usein poistamaan tarkastelusta käämejä vastaavaalue. Tai teoriamme saattaa perustua sille, että voimme tarkastelualueen mielivaltaisella osa-alueella soveltaa kenttäfunktioon Gaussin lausetta, jonka käyttäminen edellyttää jatkuvaa deri-voitumista funktioltaF. Meidän on rajattava tarkastelualueesta pois ne osa-alueet, jossa tämäehto ei toteudu. Alueeseen tulee reikä, sen kokoa joudutaan rajoittamaan tai se joudutaan jaka-maan osa-alueisiin siten, että osa-alueiden rajat kulkevat pitkin epäjatkuvuuspintoja. Paloitte-lun takia tarvitsemme alueiden välisillä rajoilla lisäinformaatiota tehtävän ratkaisemiseksi, ns.taittumisehtoja. Ilmiö on yleinen erityisesti sähkömagneettisiin kenttiin liittyvissä tehtävissä.

Voimme visualisoida vektorikenttää piirtämällä sille ns.kenttäviivoja.Vektorikentän yksi-tyinen kenttäviiva on paikka-avaruuden viiva, jonka tangentti on jokaisessa viivan pisteessä täs-sä pisteessä määritellyn kenttävektorin suuntainen. Mikäli kenttä on ajasta riippuva, kenttäviivatmääritellään tiettynä ajanhetkenä. Jos kenttäF(r) (tai F(r, t)) on tunnettu, kenttäviivojen gene-roiminen on yksinkertaista. Mikäli viivan parametriesitys onr = g(u), sen tangentti ong′(u).Voimme siis kirjoittaa

g′(u) = kF(g(u)).

Kyseessä on tavallinen DY-normaaliryhmä, johon liittyvä alkuarvotehtävä ratkaistaan tietoko-neella (valmisohjelmat). Verrannollisuuskerroink voi riippua haluttaessa parametristau, jopavektoristar. Jos kenttäviiva valitaan kulkemaan parametrin arvollau0 pisteenr0 kautta, saammekenttäviivan seuraavan alkuarvoprobleeman ratkaisuna (piirto tulee usein kaupanpäälliseksi):{

r′ = kF(r)

r(u0) = r0.

Monissa riittävän säännöllisissä kentissä voimme hahmottaa kenttäviivojen muodostavanvuoputkia:

x

y

z


Paikka-avaruuden suljetun viivan, renkaan, lävitse kulkevat kenttäviivat muodostavat viivakim-pun, vuoputken. Hieman tarkemmin muotoiltuna renkaan kautta voidaan asettaa kulkemaan so-piva pinta (kuten Stokesin lauseessa). Renkaan pinnasta erottaman osan lävitse samaan suuntaankulkevat kenttäviivat kuuluvat putkeen. Riittävän säännöllisissä kentissä yksityinen kenttäviivakuuluu aina joko kokonaisuudessaan tiettyyn vuoputkeen tai sitten ei miltään osin. Vuoputkenkäsitettä on mukava käyttää esimerkiksi magneettikenttien tarkastelussa. Sulkeutuvan virtapii-rin lävitse kulkeva magneettivuo on keskeinen käsite induktiota tutkittaessa. Stationäärisessänestevirtauskentässä vuoputkella on puolestaan aivan nimensä mukainen merkitys.

Luku 2

MONEN MUUTTUJAN INTEGRAALIT

2.1 Muuttujien vaihto

On aina mahdollista operoida karteesisella koordinaatistolla, mutta tämä ei välttämättä ole mu-kavin ratkaisu yksittäisissä tehtävissä. Eräät tekniikassa yleiset muodot kuten ympyräviiva, sy-linterin sekä pallon pinnat ovat kömpelösti mallinnettavissa tässä koordinaatistossa. Epämuka-vuus tuntuu erityisesti tietyn mallisiin kappaleisiin liittyvissä avaruus- ja pintaintegraaleissa,joissa moninkertaisten integraalien rajat riippuvat reunapinnan yhtälöistä. Rajoissa esiintyvätneliöjuuret eivät ainakaan käsinlaskijaa suuremmin ilahduta (ja saavat symbolisen laskennanohjelmistotkin toisinaan aivan sekaisin).

Olemme tähän asti tottuneet määrittelemään pisteen ”sijainnin” (lineaarisessa) äärellisulot-teisessa vektoriavaruudessa kantavektoreiden avulla. Pistettä vastaava paikkavektori lausuttiinkantavektorien lineaariyhdelmänä ja yhdelmän kertoimet antoivat pisteen koordinaatit—koordi-naattivektorin—tässä kannassa. Pisteen määrittelemiseksi on muitakin keinoja. Käymme ensik-si läpi kolme tekniikassa yleistä ja jo tuttua koordinaattijärjestelmää.

2.1.1 Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot

Fysikaalisissa sovelluksissanapakoordinaatistoasetetaan tavallisesti karteesisen koordinaatis-ton päälle alla olevan kuvan osoittamalla tavalla. Pisteen aseman tasossa määrittelevät sen etäi-syys origosta,r, sekä origoon piirretyn yhdysjanan muodostama suunnistettu kulmax-akseliin,perussuoraan, nähden. Yksikäsitteisyyden vuoksi kulmaφ rajoitetaan usein esimerkiksi välille(−π, π] tai [0, 2π).

y

xx

y

r

φ

(x,y) = (r,φ)

Fysikaalisen tason kuvaamisessa emme tietenkään tarvitse napakoordinaatiston tueksi kartee-sista koordinaatistoa. Riittää sopia mikä tahansa tason piste origoksi, valita tästä lähtevä puo-lisuora perussuoraksi (josta kulma lasketaan), valita pituus- ja kulmayksiköt sekä kiertosuunta.Voimme tällöin karakterisoida tason minkä tahansa pisteenr:n jaφ:n avulla.

27

LUKU 2. MONEN MUUTTUJAN INTEGRAALIT 28

Teknisiä sovelluksia ajatellen on oleellista, että viivatr = vakio ovat ympyröitä ja viivatφ = vakio ovat origosta lähteviä puolisuoria:

x

y

r = r1

r = r2

φ = φ1φ = φ2

Nämä viivat ovat ns.koordinaattitasa-arvoviivat.Niinpä seuraavan malliset alueet—esimerkik-si levymäiset kappaleet—ovat asetettavissa napakoordinaatistoon siten, että niiden kaikki reu-naviivat ovat koordinaattitasa-arvoviivoja:

Ilmeisestikin ympyrään, pyörimisliikkeeseen jms. liittyvissä tehtävissä napakoordinaatisto onkätevä. Poikkeuksen muodostaa ympyränsegmentti, joka ei oikein hyvin sopeudu napakoordi-naatistoesitykseen.

Pitemmällä tähtäyksellä meitä kuitenkin kiinnostaa koordinaattimuunnos: kuinka voimmesiirtyä pisteen karteesisesta esityksestä napakoordinaatistoon ja kääntäen? Helpottaisiko siirty-minen koordinaatistosta toiseen esimerkiksi eräitä integrointitehtäviä?

Oletamme karteesisen ja napakoordinaatiston vastaavan toisiaan edellä olevan kuvan mukai-sesti. Tällöin karteesisen koordinaatiston pistettä(x, y) vastaa napakoordinaatiston piste(r, φ)seuraavien kaavojen mukaisesti:{

x = r cos φ

y = r sin φ,

{r =

√x2 + y2

φ = atan(x, y).

Tässäatan on kahden muuttujan arkustangentti eli arkustangentti, jossa kvadrantti ja arvot ak-seleilla tulevat oikein, ts.

atan(x, y) =

arctany

x, kunx > 0 ja y ≥ 0

2π + arctany

x, kunx > 0 ja y < 0

π + arctany

x, kunx < 0

π

2, kunx = 0 ja y > 0

3π

2, kunx = 0 ja y < 0.

Se löytyy kutakuinkin kaikista ohjelmistoista. Huomaamme vielä, ettäatan(x, y) on jatkuva ja


jatkuvasti derivoituvakin1, sillä

∂atan(x, y)

∂x=

∂ arctany

x∂x

= − y

x2 + y2sekä

∂atan(x, y)

∂y=

x

x2 + y2,

puolisuorallax > 0, y = 0 tosin vain ”yläpuolelta” (origo jää tietysti pois).Sylinterikoordinaatistoon napakoordinaatiston kolmiulotteinen vastine. Kolmas, kohtisuora

dimensio on lisätty suoraviivaisella tavalla (ks. kuva alla). Sylinterikoordinaatisto asetetaan ta-vallisesti karteesisen päälle kuvan mukaisesti. Tavallisesti napakoordinaatistoon lisätty kolmaskoordinaatti yhtyy karteesiseenz-koordinaattiin. Kuvasta katsomalla saamme koordinaattijär-jestelmien välisiksi muunnoskaavoiksi

x = r cos φ

y = r sin φ

z = z

,

r =√

x2 + y2

φ = atan(x, y)

z = z

.

x

y

z

z

φ

rr = (r,φ,z)

(x,y,0)

Vastaavuus järjestelmien välillä on kääntäen yksikäsitteinen, paitsiz-akselilla, jollaφ voi ollamielivaltainen. Pinnatr = vakio,φ = vakio jaz = vakio ovatkoordinaattitasa-arvopintoja.

x

y

zφ = vakio

x

y

zr = vakio

x

y

zz = vakio

1Äkkinäisempi uskoo suoraankin, muut tarkistavat kiltisti osittaisderivaataty-akselilla.


Koordinaatisto sopii erityisen hyvin sylinterimäisten kappaleiden kuvaamiseen, mikä käyilmi sen nimestäkin. Seuraavan kuvan mukainen kappale voidaan vielä sijoittaa sylinterikoordi-naatistoon siten, että sen kaikki pinnat ovat koordinaattitasa-arvopintoja. Kappaleen reunapintaon suljettu paloittain sileä yksinkertainen pinta, jonka palat ovat koordinaattitasa-arvopintoja.

z = z2

z = z1

r = R2

r = R1

φ = φ2

φ = φ1

Huomautus. Huomaamme, että koordinaattitasa-arvopinnat ovat analogiset karteesisen koor-dinaatiston koordinaattitasojen (xy-, yz- ja zx-tasot) suuntaisten tasojen kanssa. Näillä pin-noillahan yksi koordinaatti on vakio, kaksi voi muuttua.

Kahden koordinaattitasa-arvopinnan leikkausviiva muodostaa ns.koordinaattiviivan(kuvaalla). Tällä viivalla kaksi koordinaattia ovat vakioita (koordinaattitasa-arvopintoja vastaten),kolmas muuttuu. Vertailun vuoksi huomattakoon, että karteesisessa koordinaatistossa esimer-kiksi kaikki x-akselin suuntaiset suorat ovat tulkittavissa koordinaattipintojeny = vakio jaz =vakio leikkausviivoiksi. Tällaisella viivalla muuttuu ainoastaan pisteenx-koordinaatti.

x

y

z

φ on vakio

r on vakio

z muuttuu

x

y

z φ muuttuu

r on vakio

z on vakio

x

y

z

φ on vakio

r muuttuu

z on vakio

Tällä tavoin saamme aikaankäyräviivaisen koordinaatiston(kuva alla). Sylinterikoordinaatistoon vain yksi erikoistapaus yleisistä käyräviivaisista koordinaatistoista. Niiden käytön motiivinaon mahdollinen sovelluksesta riippuva mukavuus.


x

y

z

r = (r,φ,z)

z kasvaa

r kasvaa

φ kasvaa

Pallokoordinaatistosuhteutetaan tavallisesti karteesiseen koordinaatistoon alla olevan ku-van esittämällä tavalla.

x

y

z

φ

r = (ρ,θ,φ)

(x,y,0)

ρθ

ρ sin θ

Kirjaimella ρ merkitään etäisyyttä origosta. Tällöin origokeskisenR-säteisen pallonpinnanyhtälöksi pallokoordinaatistossa tuleeρ = R. (Eräillä sovellusalueilla on käytössä järjestelmä,jossa kulmaθ lasketaanxy-tasosta positiivisena ylöspäin, negatiivisena alaspäin. Maapallonpituus- ja leveysastejärjestelmä on jälkimmäiselle sukua.) Kuvasta katsoen saamme koordinaa-tistoille vastaavuudet

x = ρ sin θ cos φ

y = ρ sin θ sin φ

z = ρ cos θ

,

ρ =√

x2 + y2 + z2

θ = arccosz√

x2 + y2 + z2

φ = atan(x, y)

.

Koordinaattijärjestelmät vastaavat toisiaan jälleen kääntäen yksikäsitteisesti, paitsiz-akselilla.Tavallisesti valitaanθ ∈ [0, π] ja φ ∈ [0, 2π) tai φ ∈ (−π, π].

Pallokoordinaatistoon liittyvät koordinaattitasa-arvopinnat ovat alla olevan kuvan mallisia.

x

y

zρ on vakio

y

zθ on vakio

x

y

zφ on vakio

x


Vilkkaalla mielikuvituksella varustettu henkilö voinee päätellä, millaisia kappaleita voidaansaada aikaan käyttämällä rajapintoina pelkkiä tasa-arvopintoja. (Mietihän, miten saat yksittäi-sen appelsiininlohkon istumaan pallokoordinaatistoon mahdollisimman mukavasti!) Piirretään-pä vielä malliksi yksittäiseen pisteeseen(ρ, θ, φ) asetettu käyräviivainen koordinaatisto.

x

y

z

r = (ρ,θ,φ)

ρ kasvaa

θ kasvaa

φ kasvaa

Esimerkiksiφ kasvaa pitkin ao. pisteen kautta kulkevien pintojenρ = vakio (pallo) jaθ =vakio (kartio) leikkausviivaa. Tämä on mainitun pallon ”leveyspiiri”. Vastaavastiθ kasvaa pitkinpisteen kautta kulkevaa ”pituuspiiriä”, jolla kaksi muuta koordinaattia ovat vakioita, jaρ pitkinsädettä.

Huomautus. Aikaisemmin on todettu, että napakoordinaatistossa on mukava määritellä tietyn-tyyppisiä käyriä, spiraaleja tms. Samoin voimme todeta, että sylinteri- ja pallokoordinaatistotovat mukavia joidenkin pintojen määrittelyssä. No tietysti ainakin sylinterin ja pallon pintojenja niiden osien määrittelyssä, mutta myös esimerkiksi erilaisten yleisten kartio- ja sylinteri-pintojen ja helikoidien (ruuvipintojen) määrittelyssä. OrigokeskisenR-säteisen pallon pinnanparametriesitys on pallokoordinaatistossa

x = R sin θ cos φ

y = R sin θ sin φ

z = R cos θ

(0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π).

Vaivumme pohtimaan miten tästä oikeastaan tulee määritelmämme mukainen suljettu pinta.

2.1.2 Yleinen muuntokaava

Siirrymme sitten varsinaiseen asiaan eli muuttujien vaihtoon monen muuttujan integraalissa.Vaikka käsittelemme integraalia suoraan ja mukavuussyistä dimensiossan, huolestunut lukijavoi kuvitellan:ksi kesyn3 tai 2 (tai jopa aivan kesyn1).

Tarkastelemme integraalia ∫A

f(r) dx1dx2 · · · dxn

rajoitetun suljetun alueenA ⊂ Rn yli euklidisessa karteesisessa koordinaatistossa. Olem-

me luonnollisesti merkinneetr = (x1, x2, . . . , xn). Oletamme, että alueen reunan∂A Jorda-nin mitta on nolla, esimerkiksi reuna voisi muodostua paloittain sileästä yksinkertaisesta (hy-per)pinnasta.

Yleisessä tapauksessa tuollainen on laskettava numeerisesti, usein Monte Carlo -menetel-mällä. Mistään pikku tehtäväisestä ei ole kyse. Jos dimensio on30 ja ammumme alueeseen


pisteitä niin paljon, että se vastaa hilaa, missä jokainen dimensio on jaettu neljään osaan, tar-vitsemme430 = 1 152 921 504 606 846 976 pistettä. Jos jokaisen laskemiseen kuluu ylioptimis-tisesti vain10−9 s, integraali vaatii CPU-aikaa runsaat36 vuotta. Integraali tulee usein vas-taan todennäköisyyslaskennassa, jolloin käytäntöä sivuavissa tapauksissa se voidaan useimmi-ten palauttaa muuttujien vaihdolla jokseenkin alkeelliseen muotoon. Hypähtäminen dimensioonn tehdään pitkälti tilastollisten monimuuttujamenetelmien asettaman tarpeen vuoksi. Saammekuitenkin samalla vaivalla yleisen tuloksen arkipäiväisemmissä dimensioissa2 ja 3.

Oletamme, että tutkittavassa alueessaA on määritelty vektoriarvoinen funktio

g : A → B , r �→ g(r) (B ⊂ Rn).

Oletamme, että alueessaA (oikeammin sen sisäosassa) funktiog on jatkuvasti derivoituva, jaettärank(g′(r)) = n. Oletamme vielä, että vastaava käänteiskuvaus on olemassa:

h : B → A , u �→ h(u).

Yhtälög1(r) = u1 = vakio määritteleen− 1-ulotteisen hyperpinnan alkuperäisessä avaruudes-sa (yksi muuttujia sitova ehto). Antamallau1:lle eri arvoja saamme (hyper)pintaparven, jonkatunnuslukuau1 voimme käyttää uutena koordinaattina. Vastaavasti yhtälötgi(r) = ui = va-kio (i = 1, 2, . . . , n) määrittelevät kukin oman (hyper)pintaparvensa. Jos lähtöavaruuden pister on pintojengi(r) = ui (i = 1, 2, . . . , n) leikkauspisteessä, se voidaan yksilöidä asianomais-ten vakioiden mukaisesti vektorillau = (u1, u2, . . . , un)T = g(r). Tämä on yksinkertaisestipisteenr ∈ A kuva g(r) ∈ B. Hyperpintojengi(r) = ui = vakio leikkauskäyrinä saadaankäyräviivaiset uudet koordinaatit.

Esimerkki. Sylinterikoordinaatiston tapauksessa

g(x, y, z) =

√x2 + y2

atan(x, y)z

, h(r, φ, z) =

r cos φ

r sin φz

(u1 ↔ r, u2 ↔ φ, u3 ↔ z, eikö?).

Yhtälö√

x2 + y2 = u1 (= r) määrittelee erir:n arvoilla erisäteisiä sylinteripintoja. Klassi-sessa esityksessä hämää hieman se, että traditionaalisesti merkitään itse funktiota ja sille an-nettuja vakioarvoja samalla kirjaimella. Perinteisesti merkitään siis pintaa yhtälöllär(r) =√

x2 + y2 = r = vakio, joka merkintä on aika sport.

Tavallisen yhden muuttujan integraalin muuttujan vaihdossa rajat eivät muodosta suurta-kaan pulmaa (ne tosin voivat vaihtaa suuruusjärjestyksessä paikkaa). Monen muuttujan integ-raalin muuttujan vaihdossar:stäu:ksi uuden integrointialueenB löytäminen voi olla hyvinkinhankalaa. Reuna∂A sentään kuvautuu reunaksi∂B. Muuttujan vaihdon ajatuksena on useinsaada alue helpommin hallittavaksi, kuten edellisessä pykälässä jo totesimme.

Sen sijaan uusi integrandi on helposti löydettävissä. Itse asiassa olemme jo sen tehneet (huo-maamattamme?). Kyseessä on nimittäin itse asiassa parametrisoinnin vaihtoR

n+2:n hyperpin-nassa ja sellaista käsittelimme Pykälässä 1.3.4. Totesimme siellä, että pinta-alkio säilyy muuttu-mattomana parametrisoinnin vaihdossa. Huomautamme, ettei tässä ole tarkoitus tarkasti todis-taa muuntokaavaa, vain johtaa sen muoto. Viittaamme myös Liitteeseen 1, jossa käsittelemmeasiaa yleisemmissä puitteissa.

Idean esittämiseksi palautamme mieliin tutun yhden muuttujan integraalin muuttujan vaih-don (jonka siis pitäisi palautuaR3:n pinnan alaan). Otamme integraalinI =

∫ b

af(x) dx ja

siinä muuttujan vaihdonu = g(x), missäg on jatkuvasti derivoituva jag′(x) �= 0. Oletam-me lisäksi, ettäf on paloittain jatkuva integrointivälillä. Yksinkertaisuuden vuoksi oletammevielä, ettäf(x) ≥ 0 (muutoin tarkastelisimme erikseen funktioitaf+(x) = max(0, f(x)) jaf−(x) = max(0,−f(x))) ja ettäg′(x) > 0. Muistelemme, että silloinI on kuvaajany = f(x),a ≤ x ≤ b, ja x-akselin väliin jäävän alueen ala (joka muuten saadaan Jordanin mitalla).


kuvaaja y = f(x)

xa b

y

epäjatkuvuuspiste

Mainittu alue onR3:n pintaS (xy-tason osa), jonka parametriesitys on

S :

x = x

y = y

z = 0

(a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)).

Parametrialueen reunaviiva muodostuu siisx-akselilla olevasta integrointivälistä, funktiony =f(x) kuvaajasta ja reunoilla sekä mahdollisesti epäjatkuvuuskohdissa olevistay-akselin suun-taisista janoista. Muuttujan vaihtomme vastaa uudelleen parametrisointia

S :

x = h(u)

y = y

z = 0

(α ≤ u ≤ β, 0 ≤ y ≤ f(h(u))),

missäh ong:n käänteiskuvaus jaα = g(a), β = g(b). Vastaava derivaattamatriisi on

J(u) =

h′(u) 0

0 10 0

ja J(u)TJ(u) =

(h′(u)2 0

0 1

).

Ala ei muutu uudelleen parametrisoinnissa, joten

I = S:n ala=

β∫α

f(h(u))∫0

√det(J(u)TJ(u)) dydu =

β∫α

f(h(u))∫0

|h′(u)| dydu =

β∫α

f(h(u))h′(u) du,

joka muistikuvamme mukaan on ihan oikein. (Jätämme lukijan toteamaan, että tulos meneeoikein silloinkin, kung′(x) < 0, ja kunf(x) saa negatiivisia arvoja.)

Aivan samalla tavalla laskeskelemme nyt yleisessä tapauksessa. Silloin integraali

I =

∫A

f(r) dx1dx2 · · · dxn

onRn+2:n hyperpinnan

S :

r = r

xn+1 = xn+1

xn+2 = 0

(r ∈ A, 0 ≤ xn+1 ≤ f(r)).


ala. (No, ne negatiivisetf(r):n arvot taas erikseen, mutta se ei vaikuta lopputulokseen.) Esimer-kiksi R

4:n hyperpinta on3-ulotteinen kappale ja tilanne olisi alla olevan kuvan kaltainen.

x

y

z = f(x,y)

z

A

Huomaamme lisäksi, ettäS:n ala (mitta) saadaanRn+1:n Jordanin mitalla, koskaxn+2 = 0 (ks.Liite 1). Muuttujan vaihtou = g(r) vastaa uudelleen parametrisointia

S :

r = h(u)

xn+1 = xn+1

xn+2 = 0

(u ∈ B, 0 ≤ xn+1 ≤ f(h(u))).

Vastaava derivaattamatriisi on

J(u) =

h′(u) 0

O10

ja J(u)TJ(u) =

(h′(u)Th′(u) 0

0T 1

).

Ala ei muutu uudelleen parametrisoinnissa, joten

I =

∫B

f(h(u))∫0

√det(J(u)TJ(u)) dxn+1du =

∫B

f(h(u))| det(h′(u)| du,

missädu = du1du2 · · · dun.No niin, kun lausumme funktiong funktionh käänteisfunktiona ja käytämme lähtöavaruu-

dessakin merkintäädr = dx1dx2 · · · dxn, saamme sievän tuloksen, kunr = h(u):∫A

f(r) dr =

∫B

f(h(u))| det(h′(u)| du.

Toteammekin tuloksen oikein lauseena.

Lause 2.1. Oletamme, että alueA ⊂ Rn on rajoitettu sekä Jordan-mitallinen. Oletamme, että

funktiof : A → R on alueessaA paloittain jatkuva. Oletamme, että funktioh : B → A onjatkuvasti derivoituva,rank(h′(u)) = n ja että sillä on olemassa käänteisfunktio. Tällöin∫

A

f(r) dr =

∫B

f(h(u))| det(h′(u)| du =

∫h−1(A)

f(h(u))| det(h′(u)| du.


Todistus.Emme esitä tarkkaa todistusta. Modernissa kirjallisuudessa se tehdään yleensä suo-raan Lebesguen integraalille2, mutta menee ilmankin (Jordanin mitalla). Todistus on melkoisenpitkä. Se löytyy kaikista paremmanpuoleisista analyysin kirjoista, mm. NIKOLSKY & V OLO-SOV. Ks. myös Liite 1.

Huomautus. Integrointialueen Jordan-mitallisuudelle riittää, että sen reuna on paloittain jat-kuva. Näin on, jos se esimerkiksi koostuu äärellisen monesta tyyppiäF (r) = 0 olevasta pinnan-osasta, jossa funktioF oletetaan jatkuvasti derivoituvaksi ja derivaatta nollasta poikkeavaksi(F ′(r) �= 0T). Tämä on tyypillistä insinöörisovelluksissa.

2.1.3 Esimerkkejä

Yleensä koordinaattimuunnos integraalissa suoritetaan rajojen yksinkertaistamiseksi. Nehäntyypillisesti tuovat monimutkaisuutta iteroituun moninkertaiseen integraaliin. Toisinaan vastamuunnos tekee integraalista iteroidun. Ja joskus harvoin muunnos suoritetaan, jotta integroitavasaataisiin yksinkertaisempaan muotoon.

Ensimmäisenä esimerkkinä mainitsemmeaffiinin muunnoksen,joka on muotoa

r = h(u) = Au + b,

missäA on ei-singuläärinen matriisi jab on vektori. Tällöin saamme yksinkertaisen muuttu-janvaihtokaavan ∫

A

f(r) dr =

∫B

f(Au + b)| det(A)| du.

Tällainen affiini muunnos on esimerkiksi koordinaatiston kierto annetun akselin ympäri annetunkulman verran (sen käyttö kylläkin usein kertoo, että koordinaatisto on alunperin isketty vääräänpaikkaan). Affiini muunnos kuvaa suorat suoriksi, tasot tasoiksi ja hypertasot hypertasoiksi,mikä helpottaa uuden integrointialueenB hahmottelua.

Huomautus. Tässä itse asiassa| det(A)| on sen (moniulotteisen) suuntaissärmiön mitta (tila-vuus), joksi affiini muunnos kuvaa yksikkökuution.

r-avaruus u-avaruus

h–1

Affiinin muunnoksen yhteydessä suuntaissärmiön mitta saadaan globaalisena, yleisen muun-noskaavan tapauksessa vain lokaalisena (differentiaalisena). Todistettaessa tarkasti Lausetta2.1 eräs päävaikeus on näyttää, että ko. suuntaissärmiön mitta on sama kuin Jordanin mitta.Ks. Liite 1.

2Suosittelemme halullisille lämpimästi kurssia Mitta- ja integraaliteoria.


Jatkamme kevyesti napakoordinaatistosta. Jos merkitsemme harjoittelumielessä

r =

(xy

)ja u =

(rφ

),

niin

h(u) =

(r cos φr sin φ

)ja h′(u) =

∂h1

∂u1

∂h1

∂u2

∂h2

∂u1

∂h2

∂u2

=

(cos φ −r sin φsin φ r cos φ

).

Havaitsemme välittömästi, että|det(h′(u))| = r. Siten saamme napakoordinaatiston ”tila-vuusalkioksi”

dr = | det(h′(u))| du = r drdφ.

Esimerkki. Määritettävä oheisen levymäisen, tasa-aineisen kappaleen painopisteen sijainti.Kyseessä on samankeskisten ympyröiden rajoittama sektori:

R1

R22α

Tunnetusti painopisteen sijaintixy-tason rajoitetussa, suljetussa alueessa on(x0, y0), missä

x0 =

∫A

x dr

∫A

drja y0 =

∫A

y dr

∫A

dr.

(Vakioksi oletettu pintatiheys supistuu pois lausekkeista.) Koska alueen reunaviivat koostuvatviivoista, jotka ovat suoraan napakoordinaatiston koordinaattitasa-arvopintoja (R

2:ssa viivo-ja), kappale kannattaa sijoittaa sen mukaisesti koordinaatistoon. Ja koska symmetriasta johtuenpainopiste on kulman puolittajalla, alue sijoitetaan kätevimmin siten, että tarvitsee laskea vainpainopisteenx0-koordinaatti:

R1 R2

+α

x

y

–α

rR1 R2

+α

–α

BA

r-taso u-tasoφ


Koska lähtöavaruudessa (r-taso) alueen reunaviivat olivat uusiin koordinaatteihin liittyviäkoordinaattitasa-arvoviivoja, uusia koordinaatteja vastaavassa avaruudessa (u-taso) näidenkuvat ovat koordinaattiviivoja. Tämähän on juuri vitsinä uusiin muuttujiin siirtymisessä. Sitenalkuperäisen alueenA kuva (kuvauksessah−1) on u-tason alueB. Elikkä B = h−1(A) jaA = h(B).3 Jotta sen sijaan olisi yksikäsitteisestiB = h−1(A), meidän on ensin sovittavakulmanφ mahdollisista2π-monikerroista.

Integraalimme muuntuu seuraavasti (uusi pinta-alkio laatikoitu):∫A

f(r) dr =

∫B

f(h(u)) |det(h′(u))| du eli

∫A

x dr =

∫B

r cos φ r drdφ =

R2∫R1

α∫−α

r2 cos φ dφdr

=

R2∫R1

α/

−α

r2 sin φ

dr =

2

3(R3

2 − R31) sin α.

Sopii yrittää karteesisessa koordinaatistossa! Uusilla muuttujilla saavutetut vakiorajat helpot-tavat työtä oleellisesti. Painopisteen lausekkeen nimittäjä on alueenA ala. Integroimalla taiyksinkertaisella vertolaskulla täyteen ympyrärenkaaseen vertaamalla saamme∫

A

dr = α(R22 − R2

1).

Saamme niin muodoin

x0 =2 sin α

3α

R32 − R3

1

R22 − R2

1

=2 sin α

3α

R21 + R1R2 + R2

2

R1 + R2

=2

3sinc α

R21 + R1R2 + R2

2

R1 + R2

eli painopiste on symmetria-akselilla, etäisyydelläx0 ympyröiden keskipisteestä. Tässä oleva

sinc α =sin α

αon ns.kardinaalisini,erityisestisinc 0 = 1.

Napakoordinaatistolle löytyy käyttöä usein, sillä ympyrät ovat tekniikassa yleisiä. Niinpä ar-jen tuoksinassa muunnos tehdään harvoin tuolla tavalla sievästi. Pinta-alkior drdφ muistetaanulkoa tai katsotaan vähän karrikoidusta kuvasta:

r r dφ

dr

Differentiaalisen pienenä ruutu on noin suorakaide ja sen ala on kantti× kantti. Muistia hel-pottaa vielä se, että pinta-alkion on tietenkin oltava laadultaan matka2 (vaikka m2). Kulmanyksikkö radiaani on dimensioton, joten[r][dr][dφ] = m2.

3Halullinen sielu näkee sen muodollisesti seuraavasti. Napakoordinaatistoa vastaava muunnos on

r =(

xy

)= h(u) =

(r cos φr sinφ

).

Esimerkiksiu-tason viivan{(r, φ) | r = R1 ja − α ≤ φ ≤ α} kuva kuvauksessah on mitä ilmeisimminlähtösektorin sisäkehä parametrimuotoisesti esitettynä. Kuvaa pällistelemällä näemme, että muutenkinA = h(B).


Sylinterikoordinaatistossa

r =

x

yz

= h(u) =

r cos φ

r sin φz

ja

h′(u) =

∂h1

∂r

∂h1

∂φ

∂h1

∂z∂h2

∂r

∂h2

∂φ

∂h2

∂z∂h3

∂r

∂h3

∂φ

∂h3

∂z

=

cos φ −r sin φ 0

sin φ r cos φ 00 0 1

ja saamme tilavuusalkiolle lausekkeen

dr = | det(h′(u))| du = r drdφdz .

Usein tämä katsotaan siveettömästi suoraan karrikoidusta kuvasta (tilavuusalkiohan on mikro-maailmassaan suorakulmainen särmiö):

r

r dφdr

dz

z

y

x

Esimerkki. Suoran, täyteisen, ympyräpohjaisen lieriön pohjan säde onR korkeuden ollessaH. Aineen tiheys onρ0 = vakio. Laskemme kappaleen hitausmomentin pohjaympyrän halkaisi-jan suhteen.

Hitausmomentti

J =

∫K

(alkion etäisyys akselista)2massa-alkio.

On viisasta sijoittaa kappale koordinaatistoon siten, että pääsemme hyödyntämään sitä seik-kaa, että kappaleen kaikki rajapinnat voidaan esittää sylinterikoordinaatiston koordinaattitasa-arvopintoina. Pyörähdysakseliksi valitsemme jokox- tai y-akselin saadaksemme integroitavanfunktion mahdollisimman yksinkertaiseksi.


R–R

H

x

y

z

K

Hitausmomentti on

J =

∫K

ρ0(y2 + z2) dr.

Sylinterikoordinaattiavaruudessa alueenK kuva onL:

R

H

r

φ

z

L

2π

Muunnoskaavojen mukaany = r sin φ ja z = z. u-avaruudessa integraalimme on siten (vakioρ0 lähtee eteen):

J = ρ0

∫L

(r2 sin2 φ + z2) du = ρ0

∫L

(r2 sin2 φ + z2) r drdφdz

= ρ0

H∫0

2π∫0

R∫0

(r2 sin2 φ + z2) r drdφdz

= ρ0

H∫0

2π∫0

(R4

4sin2 φ +

R2

2z2

)dφdz = ρ0

H∫0

(πR4

4+ πR2z2

)dz

= ρ0

(πR4H

4+

πR2H3

3

)= ρ0πR2H

(R2

4+

H2

3

)

= M

(R2

4+

H2

3

),

missä kirjaimellaM on merkitty sylinterin kokonaismassaa.


Esimerkki. Suoran ympyräpohjaisen umpinaisen kartion pohjan säde onR korkeuden ollessaH. Aine on homogeenista, tiheysρ0 = vakio. Laskemme kappaleen hitausmomentin symmetria-akselin suhteen (jotakin laskeaksemme, jep?).

Kartiot ja ylipäänsä pyörähdyssymmetriset alueet kannattaa useimmiten hoidella sylinteri-koordinaatistossa. Alue sijoitetaan koordinaatistoon siten, että pyörähdyssymmetria-akseli yh-tyy sylinterikoordinaatistonz-akseliin:

R

H

r

φ

z

L

2πR–R

H

x

y

z

K

Hitausmomenttimme on siten

J = ρ0

∫K

(x2 + y2)dr = ρ

∫L

r2 r du = ρ0

2π∫0

H∫0

RH

z∫0

r3drdzdφ.

Integroimalla ensinz:n suhteen saamme toisen, ekvivalentin esityksen:

J = ρ0

2π∫0

R∫0

H∫HR

r

r3dzdrdφ.

Integraalit ovat helpot: lukija on hyvä vaan!

Esimerkki. 2R-säteisestä pallosta on leikattuR-säteisellä putkella pala siten, että putken reu-na kulkee pallon halkaisijaa pitkin. Laskemme palan tilavuuden.

2R cos φ

2R

x

y

φy

x

2R

z

K

r-avaruus


sivut r = 2R cos φ

2R

φ2R

zu-avaruus

r π/2

–π/2

yläpinta z = (4R2 – r2)1/2

L

Tämä on suunnilleen monimutkaisin tehtävä, joka kannattaa laskea sylinterikoordinaatistossa.Se on kieltämättä hieman keinotekoinen, mutta on opettavainen muuttujien vaihtoon liittyviärajojen vaihtoja ajatellen.

Kuvat puhunevat puolestaan. Laskemmexy-tason yläpuolisen kappaleen puolikkaan tila-vuuden

V =

∫K

dr =

∫L

r du =

π2∫

−π2

2R cos φ∫0

√4R2−r2∫0

r dzdrdφ

=

π2∫

−π2

2R cos φ∫0

r√

4R2 − r2 drdφ = −1

3

π2∫

−π2

2R cos φ/

0

(4R2 − r2)3/2

dφ

=1

3

π2∫

−π2

8R3(1 − (1 − cos2 φ)3/2) dφ.

Viimeisessä integraalissa on ns. eksytystä itsekullekin. Onhan näet suuri kiusaus kirjoittaa suo-raan(1 − cos2 φ)3/2 = sin3 φ, mutta eipä käy! Yleisesti nimittäin on(1 − cos2 φ)3/2 = | sin3 φ|ja etumerkki on valittava tilanteen mukaan. Havaitsemme siis, että(1 − cos2 φ)3/2:n on ol-tava positiivinen myös negatiivisillaφ:n arvoilla. Kun φ < 0, meidän onkin siis kirjoitettava(1 − cos2 φ)3/2 = − sin3 φ. Hajottamalla integraalin osiin saamme

V =8πR3

3− 2

8R3

3

π2∫

0

sin3 φ dφ =8

9R3(3π − 4).

Vaihdamme vielä huvittelumielessä integrointijärjestyksen (katso kuvaa!):

V =

2R∫0

arccos r2R∫

−arccos r2R

√4R2−r2∫0

r dzdφdr =

2R∫0

arccos r2R∫

−arccos r2R

r√

4R2 − r2 dφdr

=

2R∫0

2r√

4R2 − r2 arccosr

2Rdr.


Nitron lisäksi otamme uuden muuttujanr

2R= cos t, dr = −2R sin t dt:

V =

0∫−π

2

(4R cos t)(−2R sin t)(−t)(−2R sin t) dt

= 16R3

π2∫

0

t cos t sin2 t dt (jota osittaisintegroimme)

= 16R3

π2/

0

tsin3 t

3−

π2∫

0

sin3 t

3dt

= 16R3

(π

6− 2

9

)=

8

9R3(3π − 4).

Pallokoordinaatiston koordinaattipinnat ovat jo siksi monimutkaiset, että muunnosta käy-tetään yleensä vain silloin, kun muunnoksella päästään vakiorajaisiin integraaleihin. Sylinteri-koordinaatisto on muussa tapauksessa varteenotettava kilpailija. Pallokoordinaatistoa vastaavamuunnos on

r =

x

yz

= h(u) =

ρ sin θ cos φ

ρ sin θ sin φρ cos θ

ja

h′(u) =

∂h1

∂ρ

∂h1

∂θ

∂h1

∂φ∂h2

∂ρ

∂h2

∂θ

∂h2

∂φ∂h3

∂ρ

∂h3

∂θ

∂h3

∂φ

=

sin θ cos φ ρ cos θ cos φ −ρ sin θ sin φ

sin θ sin φ ρ cos θ sin φ ρ sin θ cos φcos θ −ρ sin θ 0

ja | det(h′(u))| = ρ2 sin θ, joten tilavuusalkio on

dr = | det(h′(u))| du = ρ2 sin θ dρdθdφ .

Tämä muistellaan usein alla olevan karrikoidun kuvan perusteella. Mikromaailmassaan alkeis-koppi on suorakulmainen ja sen tilavuus on kantti× kantti × kantti. Alkeiskoppi on jälleendimensioltaan pituusmitta3, mikä myös helpottaa muistamista.

ρ sin θ

ρ dθ

ρ sin θ dφ

dρ

z

ρ

x y


Esimerkki. MääritämmeR-säteisen homogeenisen puolipallon painopisteen(x0, y0, z0) si-jainnin. Kun sijoitamme kappaleen koordinaatistoon alla olevan kuvan mukaisesti,

x

y

z

R–R

niin symmetriasta ja aineen homogeenisuudesta johtuen riittää laskea painopisteenz-koordi-naatti (tiheys on vakio ja supistuu pois):

z0 =

∫K

z dr

∫K

dr.

Tiedämme, että nimittäjän integraali on kappaleen tilavuus∫K

dr =2

3πR3,

ja laskemme loput:

∫K

z dr =

∫L

h3(u)| det(h′(u))| du =

2π∫0

π2∫

0

R∫0

ρ cos θ ρ2 sin θ dρdθdφ

=R4

4

2π∫0

π2∫

0

sin θ cos θ dθdφ =R4

8

2π∫0

dφ =πR4

4.

Painopisteen korkeus pohjatasosta on sitenz0 =3

8R.

Esimerkki. Laskemme homogeenisen pallonlohkon hitausmomentin särmää vastaan kohtisuo-ran, painopisteen kautta kulkevan akselin suhteen. Aineen tiheys onρ0 = vakio, säde onR jalohkokulma on2α.4 (Älä sekoitaρ0:aa mitenkään pallokoordinaatiston säteeseenρ. Merkinnätovat mitä ovat.)

4Anteeksi muuten ylettömät hitausmomentit, niitä on vain niin helppo laskea.


z

y

x

r-avaruus

φ = –α

ρ = R

φ = α

u-avaruus

α

–αR

ρ

θ

φ

πL

K

Hitausmomentin lauseke on

J = ρ0

∫K

(y2 + z2) dr = ρ0

∫L

(h2(u)2 + h3(u)2)| det(h′(u))| du

= ρ0

α∫−α

π∫0

R∫0

(ρ2 sin2 θ sin2 φ + ρ2 cos2 θ) ρ2 sin θ dρdθdφ

= ρ0R5

5

α∫−α

π∫0

(sin3 θ sin2 φ + sin θ cos2 θ) dθdφ = ρ0R5

5

α∫−α

(4

3sin2 φ +

2

3

)dφ

= ρ02R5

15(4α − sin 2α) = ρ0

4αR5

15(2 − sinc 2α).

(Ns. vääntöä ei ole kirjoitettu näkyviin. Esiintyvät integraalit ovat tosin melko yksinkertaisia.)

2.2 Epäoleelliset integraalit

Riemannin integraali ei ole määritelty tapauksissa, joissa integrointialue ei ole rajoitettu ja/taiintegroitava ei ole rajoitettu alueen tietyssä osassa. On kuitenkin tarpeellista laajentaa integraa-lin käsite myös näihin tapauksiin. Yksinkertaisen integraalin tapauksessa otimme käyttöön epä-oleelliset integraalit. Teemme nyt saman moniulotteisessa tapauksessa.

2.2.1 Integrointialue ei ole rajoitettu

Aloitamme ottamalla komeasti integrointialueeksi kokoRn:n ja integroimalla funktionf :

Rn → R. Otamme sellaisen jonon rajoitettuja Jordan-mitallisia osa-alueitaAi (i = 1, 2, . . . ),

ettäAi ⊂ Ai+1 ja jokainenRn:n piste on jonkin osa-alueenAi sisäpiste, ts. piste joka on

Ai:ssä, mutta ei sen reunalla∂Ai. Jos kaikille mahdollisille yllä esitettyä tyyppiä oleville osa-aluejonoille kaikki integraalit

Ii =

∫Ai

f(r) dr


ovat olemassa ja jos raja-arvoI = limi→∞ Ii on olemassa ja on sama kaikille osa-aluejonoille,niin määrittelemme epäoleellisen integraalin

∫Ai

f(r) dr arvoksiI:n. Jos äärellinen raja-arvoon olemassa sanomme, että integraalisuppenee(konvergoi). Muussa tapauksessa integraalihajaantuu(divergoi). Erityisesti merkitsemmeI = ±∞, jos limi→∞ Ii = ±∞ kaikille osa-aluejonoille.

Entäs, jos integrointialueA onkin rajoittamaton, mutta ei ole kokoRn? Näinhän tietystiusein käy.

A

A1

A2

Ai

A

Käytämme silloin vanhaa temppua, määrittelemme ensin alueenA karakteristisen funktion

χA(r) =

{1, jos r ∈ A0, jos r /∈ A

ja tutkimmekin∫A

f(r) dr:n sijasta integraalia

∫Rn

χA(r)f(r) dr.

Kaiken kaikkiaan ideana on laskea integraali ensin äärellisen osa-alueen yli, suurentaa aluet-ta pikkuhiljaa ja katsoa lähestyykö integraalin arvo jotakin tiettyä rajaa. Määritelmän näennäi-nen mutkikkuus johtuu siitä, että osa-alueet voidaan valita niin perin umpikierolla tavalla, ettätulokset eivät vastaa aina arki-intuitiota. Sen takia määritelmässä esiintyy vaatimus ”kaikilleosa-aluejonoille”. Käytännössä ”kaikille osa-aluejonoille” aiheuttaisi hirmuista päänvaivaa, el-lei tietylle integrandien luokalle, itseisesti integroituville funktioille, olisi voimassa oleellisestiyksinkertaisempaa tulosta, jonka toteamme seuraavassa lauseena.

Huomautus. Yllä olevan kanssa ekvivalentit määritelmät ovat vallitsevia kirjallisuudessa (esi-merkiksiNIKOLSKY & V OLOSOV ja OSTROWSKI). Esiintyy kuitenkin toinen määritelmä, jossarajoitutaan osa-alueisiin, jotka ovat origokeskisiä palloja. Tämä määritelmä on heikompi kuinyllä esitetty.5 Siinä eivät ole voimassa tietyt modernissa kirjallisuudessa esiintyvät lauseet epä-oleellisista integraaleista. (Ts. ko. integrandit eivät ole Lebesgue-integroituvia.) Kirjallisuutta

5Ilmiö esiintyy jo yksinkertaisessa integraalissa. Voimme nimittäin mainiosti soveltaa yo. määrittelyä myös yk-sinkertaisiin epäoleellisiin integraaleihin. Silloin vain jotkut aikaisemmin suppeneviksi havaitsemamme epäoleel-liset integraalit eivät enää suppenekaan.


selatessa on siis aina varmistettava, kuinka epäoleellinen integraali on määritelty, ennen kuinkäyttää lauseita hyväkseen. Onneksi sovellusten kannalta oleelliset tulokset (koskien positiivisiatai itseisesti integroituvia funktioita) ovat samat kummassakin systeemissä.

Lause 2.2. Oletamme, että integrandif(r) on ei-negatiivinen. Jos raja-arvo

I = limi→∞

Ii = limi→∞

∫Ai

f(r) dr

on olemassa (äärellisenä tai äärettömänä) tietylle osa-aluejonolleAi (i = 1, 2, . . . ), niin se onolemassa ja sama kaikille muillekin edellä mainittua tyyppiä oleville osa-aluejonolle. Integraalion siis tällöin olemassa ja sen arvo onI. (Ei-negatiivisen funktion tapauksessa riittää sitenkokeilla yhtä, mitä tahansa mukavaa osa-aluejonoa.)

Todistus.Sivuutamme todistuksen. Se tarvitsee ns. Bolzano–Weierstraß-lauseenRn:ssä. Ks.

NIKOLSKY & V OLOSOV tai OSTROWSKI.

Lause 2.3. Epäoleellinen integraali∫A |f(r)| dr suppenee (ts. funktiof on itseisesti integroi-

tuvaA:ssä) tarkalleen silloin, kun integraali∫A f(r) dr suppenee. (Ts. funktio on alueessaA

itseisesti integroituva tarkalleen silloin, kun se on siinä integroituva.)

Todistus.Kuten edellä totesimme, voimme olettaa, ettäA on koko Rn. Jos funktio|f | on in-

tegroituva, niin integroituvia ovat myös funktiot

f+(r) = max(0, f(r)) =1

2(|f(r)|+ f(r)) ja f−(r) = max(0,−f(r)) =

1

2(|f(r)| − f(r)).

Kumpikin on näet ei-negatiivinen ja≤ |f(r)| ja arvolle∫Ai

f±(r) dr on ylärajana∫Ai

|f(r)| dr.Ylärajana on niin muodoin myös

∫Rn |f(r)| dr. Siispä osa-aluejonosta riippumatta ovat olemas-

sa raja-arvotlimi→∞

∫Ai

f±(r) dr, joten myös raja-arvo

limi→∞

∫Ai

(f+(r) − f−(r)) dr = limi→∞

∫Ai

f(r) dr =

∫Rn

f(r) dr

on olemassa osa-aluejonosta riippumatta.Todistus toiseen suuntaan onkin jo sitten huomattavasti vaikeampi, tarkka todistus on esi-

merkiksi OSTROWSKIssa. Idean voimme kumminkin esittää. Integraalit

I+ =

∫Rn

f+(r) dr ja I− =

∫Rn

f−(r) dr

ovat olemassa äärettöminä tai äärellisinä. Jos molemmat ovat äärellisiä, on∫

Rn |f(r)| dr =I+ + I− eli f on itseisesti integroituva (ja integroituva). Jos taasI+ < ∞ ja I− = ∞ taitoisinpäin,f ei ole integroituva. Näin jää tapausI+ = I− = ∞. Valitsemme nyt osa-aluejononAi (i = 1, 2, . . . ) siten, että otammeAi:hin mukaan paljon sellaisia pisteitär, joissaf(r) > 0,ja vähän sellaisia pisteitä, joissaf(r) < 0. Tuloksena on raja-arvolimi→∞ Ii = ∞. Tästäpäättelemme, ettäf ei ole integroituva tapauksessaI+ = I− = ∞. (Itse asiassa vm. tapauksessavoitaisiin sopivalla osa-alueiden jonon valinnalla saada raja-arvoksilimi→∞ Ii mikä tahansaarvo väliltä[−∞,∞]!)


Lauseen suuri käyttöarvo piilee siinä, että ei-negatiivisena funktiona funktion|f(r)| integroi-tuvuus on Lauseen 2.2 mukaan mahdollisimman helposti todettavissa: mikä tahansa em. osa-aluejono käy. Ja jos tätä kautta funktiof saadaan integroituvaksi, määritelmän mukaan sen arvovoidaan laskea missä em. osa-aluejonossa tahansa, ts. niin yksinkertaisessa kuin mahdollista.

Esimerkki. Laskemme integraalin ∫R2

e−x2−y2

dxdy.

Integroitavamme on ei-negatiivinen, joten Lauseen 2.2 mukaisesti voimme yrittää mitä tahansaosa-aluejonoa. Valitsemme osa-alueiksi origokeskiset ympyrät.n-säteisen origokeskisen ympy-rän rajoittama osaxy-tasosta olkoonAn. Integraalin

∫An

e−x2−y2dxdy laskemme napakoordi-

naatistossa:

∫Ai

e−x2−y2

dxdy =

2π∫0

n∫0

e−r2

r drdφ = −1

2

2π∫0

(n/

0

e−r2

)dφ = π(1 − e−n2

).

Ympyrät saamme siirtymään vaaditulla tavalla äärettömyyteen antamallan → ∞. Tämä ontyypillistä epäoleellisten integraalien laskemiselle. Konstruoimme aluejonon, joka indeksin kas-vaessa laajenee vaaditulla tavalla äärettömyyteen. Integraali

∫Ai

f(r) dr jää niin muodoin riip-pumaan tästä indeksistä, jolloin raja-arvoprosessilim

i→∞

∫Ai

f(r) dr voidaan tehdä kyseisen indek-sin avulla. Esimerkissämme tänä indeksinä onn.

Koska limn→∞

π(1 − e−n2

) = π, niin∫R2

e−x2−y2

dxdy = π.

Integrandi oli positiivinen ja integraali osoittautui olevan olemassa. Niinpä tulos on sama käy-tettäessä mitä vaatimustemme mukaista osa-aluejonoa tahansa. Käytämmekin seuraavaksi ori-gokeskisiä neliöitäBn : |x|, |y| ≤ n. Saamme

π =

∫R2

e−x2−y2

dxdy = limn→∞

∫Bn

e−x2−y2

dxdy = limn→∞

n∫−n

n∫−n

e−x2

e−y2

dydx

= limn→∞

n∫−n

e−x2

n∫

−n

e−y2

dy

dx = lim

n→∞

n∫

−n

e−x2

dx

n∫

−n

e−y2

dy

= limn→∞

n∫

−n

e−x2

dx

2

=

∞∫

−∞

e−x2

dx

2

,

sillä integrointimuuttujan merkkinä käytetyllä kirjaimella ei ole väliä.Saamme erinomaisen käyttökelpoisen tuloksen:

∞∫−∞

e−x2

dx =√

π.


Tulos johdetaan unohduksen yllättäessä yllä olevalla tekniikalla, siittä vaan. Tämä integraalion niin keskeinen, että siihen liittyen on otettu käyttöön erikoisfunktio

erf(x) =2√π

x∫0

e−t2dt,

ns.error-funktio.(Lisäämme yleissivistykseemme tiedonjyvänerf(±∞) = ±1.)Alkeellisella muuttujan vaihdoksella laskemme vielä todennäköisyyslaskennassa niin tär-

keän integraalin∞∫

−∞

e−12x2

dx.

Merkitsemällät =x√2, dx =

√2 dt saamme

∞∫−∞

e−12x2

dx =√

2

∞∫−∞

e−t2dt =√

2π.

Esimerkki. n × n-matriisi Σ on symmetrinen ja positiividefiniitti jax, µ ∈ Rn. Osoitamme,

että1

(2π)n2

√det(Σ)

∫Rn

e−12(x−µ)TΣ−1(x−µ)dx = 1.

Integrandi (vakiotekijä mukaanluettuna, nitroa täytyy ottaa!) onn-ulotteisen multinormaalija-kaumantiheysfunktio,Σ sen ns. (ko)varianssimatriisi,µ puolestaanodotusarvovektori,kum-matkin vakioita. Jakaumaan törmää nykyisin varsin usein, sillä sen ympärille rakennettujatilasto-ohjelmia on runsaasti markkinoilla PC-tasosta alkaen. Vaikka integraali näyttää ka-moittavalta, se menee mahdottoman helposti. (Mutta mitenkä onkaan lineaarialgebrasi laita?)

KoskaΣ on positiividefiniitti symmetrinen reaalimatriisi, niinΣQ = QΛ, missäΛ =�λ1, λ2, . . . , λn� on matriisinΣ (positiivisista) ominaisarvoista rakennettu lävistäjämatriisi jaQ on matriisinΣ vastaavista ortonormeeratuista ominaisvektoreista rakennettu ortogonaali-matriisi. Siten

Σ = QΛQT ja Σ−1 = QΛ−1QT,

missäΛ−1 =

⌈1

λ1

,1

λ2

, . . . ,1

λn

⌋(tarkista jottas opit!). Jos merkitsemme

Λ− 12 =

⌈1√λ1

,1√λ2

, . . . ,1√λn

⌋,

niin Λ−1 = Λ− 12Λ− 1

2 ja

Σ−1 = QΛ− 12Λ− 1

2QT = QΛ− 12QTQΛ− 1

2QT = Σ− 12Σ− 1

2 ,

missä matriisiΣ− 12 = QΛ− 1

2QT on symmetrinen. Jos vastaavalla tavalla merkitsemme

Λ12 =

⌈√λ1,

√λ2, . . . ,

√λn

⌋ja Σ

12 = QΛ

12QT,

havaitsemme, ettäΣ = Σ12Σ

12 ja kaiken lisäksi(Σ

12 )−1 = Σ− 1

2 , eikös vaan?


Otamme integraalissa käyttöön uudet muuttujat:

u = Σ− 12 (x − µ) ja x = µ + Σ

12u = h(u).

Koska matriisiΣ12 ei ole singuläärinen, muunnosh kuvaa avaruudenRn itselleen kääntäen

yksikäsitteisesti. Kuvauksen lineaarisuudesta johtuen

h′(u) = Σ12 , det(h′(u)) = det(Σ

12 )

(vertaa affiini muunnos edellä). Uusissa muuttujissa lausuttuna alkuperäinen integraalimme yli(hyper)kuutionKi : |x1|, |x2|, . . . , |xn| ≤ i on muunnoskaavojen mukaisesti∫

Ki

f(x) dx =

∫Li

f(h(u))| det(h′(u))| du,

missäLi on kuutiostaKi muunnoksen kautta syntyvän-ulotteinen suuntaissärmiö. Siirryttäessärajalle i → ∞ saadaan vastaavat epäoleelliset integraalit:∫

Rn

f(x) dx =

∫Rn

f(h(u))| det(h′(u))| du.

(Huomaat toki, että myös suuntaissärmiötLi laajenevat täyttämään kokoRn:n.) KoskaΣ =

Σ12Σ

12 , niin det(Σ) = det(Σ

12 )2 ja sitendet(Σ

12 ) =

√det(Σ). Edelleen koska

(x − µ)TΣ−1(x − µ) = (x − µ)TΣ− 12Σ− 1

2 (x − µ) = uTu,

saamme muunnetuksi alkuperäisen integraalin muotoon, josta se on suoraviivaista laskea edel-lisen esimerkin tuloksen avulla:

1

(2π)n2

√det(Σ)

∫Rn

e−12(x−µ)TΣ−1(x−µ)dx =

1

(2π)n2

∫Rn

e−12uTu du

=1

(2π)n2

∫Rn

e− 1

2

n∑j=1

u2j

du =1

(2π)n2

∫Rn

n∏j=1

e−12u2

j du

= limi→∞

1

(2π)n2

∫Ki

n∏j=1

e−12u2

j du = limi→∞

1√

2π

i∫−i

e−12u2

du

n

=

1√

2π

∞∫−∞

e−12u2

du

n

= 1.

Tilastomatematiikassa siirtymistä uusiin muuttujiinu = Σ− 12 (x − µ) kutsutaanMahala-

nobisin muunnokseksi.Sen avulla useat multinormaalijakaumaan liittyvät tehtävät palautuvattavalliseen normaalijakaumaan liittyviksi tehtäväisiksi (mm. multinormaalien satunnaisvekto-rien generointi). Suosittelemme tässä lämpimästi kurssia Laaja tilastomatematiikka ja muitakintilastokursseja.


2.2.2 Integrandi ei ole rajoitettu

Tarkastelemme seuraavaksi tapauksia, missä integrandi ei ole rajoitettu integrointialueenA (ra-joitettu, Jordan-mitallinen) tietyn pisteenr0 ympäristössä. Menettelytapa on täysin analoginenedellisen kohdan tapaukselle, missä integrointialue ei ollut rajoitettu.

A A1

A2

A3

r0

Rajoitamme pois singuläriteetinr0 integrointialueesta poistamalla siitä alueita, joiden sisä-pister0 on, siten että näin syntyneet reiälliset (ontot) osa-alueetAi (i = 1, 2, . . . ) ovat Jordan-mitallisia, Ai ⊂ Ai+1 ja jokainenA:n sisäosan piste singuläriteettiär0 lukuunottamatta onjonkin osa-alueenAi sisäpiste (siis piste joka onAi:ssä, mutta ei sen reunalla∂Ai). Jos kaikillemahdollisille yllä esitettyä tyyppiä oleville osa-aluejonoille kaikki integraalit

Ii =

∫Ai

f(r) dr

ovat olemassa ja jos raja-arvoI = limi→∞ Ii on olemassa ja on sama kaikille osa-aluejonoille,niin määrittelemme epäoleellisen integraalin

∫Ai

f(r) dr arvoksiI:n. Jos äärellinen raja-arvoon olemassa sanomme, että integraalisuppenee(konvergoi). Muussa tapauksessa integraalihajaantuu(divergoi). Erityisesti merkitsemmeI = ±∞, jos limi→∞ Ii = ±∞ kaikille osa-aluejonoille.

Määritelmä on verbaalisesti sama kuin rajoittamattoman alueen tapauksessa. Koska analogiatähän edellä käsiteltyyn tapaukseen nähden on muutenkin lähes täydellinen, rajoitumme vaintoteamaan seuraavat lauseet.

Lause 2.4. Oletamme, että integrandif(r) on ei-negatiivinen. Jos raja-arvo

I = limi→∞

Ii = limi→∞

∫Ai

f(r) dr

on olemassa (äärellisenä tai äärettömänä) tietylle osa-aluejonolleAi (i = 1, 2, . . . ), niin se onolemassa ja sama kaikille muillekin edellä mainittua tyyppiä oleville osa-aluejonolle. Integraalion siis tällöin olemassa ja sen arvo onI. (Ei-negatiivisen funktion tapauksessa riittää sitenkokeilla yhtä, mitä tahansa mukavaa osa-aluejonoa.)


Lause 2.5. Epäoleellinen integraali∫A |f(r)| dr suppenee (ts. funktiof on itseisesti integroi-

tuvaA:ssä) tarkalleen silloin, kun integraali∫A f(r) dr suppenee. (Ts. funktio on alueessaA

itseisesti integroituva tarkalleen silloin kun se on siinä integroituva.)

Huomautus. Jälleen yllä olevan kanssa ekvivalentit määritelmät ovat vallitsevia kirjallisuu-dessa (esimerkiksiOSTROWSKI). Esiintyy kuitenkin taas toinen määritelmä, jossa alueestaApoistetaanr0-keskisiä palloja (esimerkiksiNIKOLSKY & V OLOSOV). Tämä määritelmä on täs-säkin heikompi kuin yllä esitetty6 ja siinä eivät ole voimassa tietyt modernissa kirjallisuudes-sa esiintyvät lauseet epäoleellisista integraaleista. Mutta onneksi tässäkin sovellusten kannaltaoleelliset tulokset (koskien positiivisia tai itseisesti integroituvia funktioita) ovat samat kummas-sakin systeemissä.

Tämän lajin epäoleellisia integraaleja tulee vastaan useimmiten vektorikenttiin liittyvissätehtävissä. Niitä joudutaan laskemaan numeerisesti erityisesti reunaelementtimenetelmään (taivirtausopin paneelimenetelmään) liittyvissä tehtävissä. Tällöin on syytä käyttää asianomaistasinguläriteettityyppiä varten kehitettyjä erityisohjelmistoja. Mikäli numeerinen laskeminen jou-dutaan tekemään ilman näitä, singuläriteetin ympärille tehdään sopiva reikä. Reiällisen alueenyli integraali lasketaan parhaaksi katsotulla ohjelmalla. Singuläriteetin ympäristön—siis pois-leikatun alueen—osuus approksimoidaan analyyttisesti, ks. alla oleva huomautus.

Esimerkki. Kolmiulotteisessa fysikaalisessa kotoavaruudessamme, vakuumissa, on annettusähkövarausjakautuma varaustiheydeltäänρ(r) (dimensio[As/m3]) rajoitetussa Jordan-mital-lisessa kappaleessaK. Funktio ρ oletetaan kappaleessaK jatkuvaksi ja rajoitetuksi. Varaus-tiheyden aiheuttama potentiaali äärettömyyteen nähden kappaleen ulkopuolella sijaitsevassapisteessäy on lausuttavissa muodossa

V (y) =1

4πε0

∫K

ρ(r)

‖r − y‖dr.

Mitä tapahtuu, jos tarkastelupistey siirtyy kappaleen sisälle, jolloin integrandilla on singulä-riteetti pisteessäy? Pysyykö potentiaali äärellisenä? Tarkastelemme asiaa lähinnä yllä olevanintegraalin valossa.

K

BR

y

Bε

Kun tämän tyyppisissä tehtävissä tutkitaan epäoleellisen integraalin olemassaoloa, rajoite-taan tarkastelu singuläriteetin ympäristöön yksinkertaisuuden vuoksi. Voimme nimittäin ensiksijakaa kappaleenK y-keskiselläR-säteisellä pallonpinnallaSR kahteen osaan, palloonBR sekä

6Ilmiö esiintyy nytkin jo yksinkertaisessa integraalissa, ks. aikaisempi alaviite.


loppuun kappaleeseenK−BR (R oletetaan riittävän pieneksi, joten pallo mahtuu kappaleeseenK). Tällöin ∫

K

=

∫K−BR

+

∫BR

.

KappaleessaK−BR integrandi on rajoitettu ja jatkuva ja kappale on Jordan-mitallinen. Sitenintegraali

∫K−BR

on olemassa. Ongelma tiivistyy kappaleeseenBR.Tutkiaksemme epäoleellista integraalia

1

4πε0

∫BR

ρ(r)

‖r − y‖dr

rajoitamme kappaleestaBR poisy-keskisen,ε-säteisen pallonBε pallonpinnallaSε ja saammereiällisen kappaleenBR−Bε. Lauseen 2.5 mukaan meidän riittää tutkia integraalin

∫BR

itseistäkonvergenssia mielivaltaisella osa-aluejonolla. Siksi valitsemme em.εi-säteiset pallot, missäεi = 1/(N + i) (i = 1, 2, . . . ) kyllin suurelleN :lle, ja merkitsemmeKi = BR − Bεi

. (Älä sotketätä epsilonia dielektrisyysvakioonε0, jonka jätämme seuraavassa sekaannusten välttämiseksihuomiotta. Kysehän on vain vakiokertojasta.) Siis onko olemassa äärellinen raja-arvo

limi→∞

∫Ki

|ρ(r)|‖r − y‖dr ?

Ensin arvioimme:∫Ki

|ρ(r)|‖r − y‖dr ≤ max

r∈BR

|ρ(r)|∫Ki

dr

‖r − y‖ = ρ0

∫Ki

dr

‖r − y‖ .

Tuomme paikalley-keskisen pallokoordinaatiston. Muuttujien vaihdon jälkeen

ρ0

∫Ki

dr

‖r − y‖ = ρ0

2π∫0

π∫0

R∫εi

1

rr2 sin θ drdθdφ = ρ02π(R2 − ε2

i )

(sekaannusten välttämiseksi merkitsemme pallokoordinaatiston sädettä tässä poikkeuksellisestir:llä). Siten

limi→∞

∫Ki

|ρ(r)|‖r − y‖dr ≤ lim

i→∞ρ02π(R2 − ε2

i ) = ρ02πR2.

Tulos takaa integraalin konvergoimisen. Integrandin positiivisuudesta johtuen on näet vain kak-si mahdollisuutta: joko integraali konvergoi tai sitten tarkasteltava raja-arvo on= ∞.

Koska siis epäoleellinen integraalimme∫BR

ρ(r)

‖r − y‖dr

konvergoi itseisesti, se myös konvergoi sellaisenaan (Lause 2.5). Tarkasteltu alkuperäinen integ-raali siis myös konvergoi. Ja koska molempien integraalien ollessa olemassa on∣∣∣∣∣∣

∫BR

ρ(r)

‖r − y‖dr

∣∣∣∣∣∣ ≤∫BR

|ρ(r)|‖r − y‖dr,


havaitsemme lisäksi, että ∣∣∣∣∣∣∫BR

ρ(r)

‖r − y‖dr

∣∣∣∣∣∣ ≤ ρ02πR2.

Siten integraali pikkupallonBR yli häviää, kun sädeR → 0. Singuläriteettipisteestäy ei tässätapauksessa tule mitään ylimääräistä kontribuutiota, kuten joskus tulee erityisesti sähköopinsovelluksissa.

Insinöörityön tuiskeessa konvergenssi arvioidaan alustavasti seuraavasti. Kiusallisen pis-teeny ympäriltä tarkastellaan riittävän pientäR-säteistä palloa ja arvioidaan sen kontribuu-tio integraalille. Koska funktioρ oletettiin jatkuvaksi, teemme prosentuaalisesti mielivaltaisenpienen virheen pitäessämme sitä vakiona tässä riittävän pienessä pallossa. (Oletamme yksin-kertaisuuden vuoksi, ettäρ(y) �= 0.) Siten

∫BR

ρ(r)

‖r − y‖dr ∼= ρ(y)

∫BR

dr

‖r − y‖ = ρ(y) limε→0

2π∫0

π∫0

R∫ε

1

rr2 sin θ drdθdφ

= ρ(y) limε→0

2π(R2 − ε2) = 2πρ(y)R2.

Singuläriteetin ympäristön kontribuutio pysyy näin äärellisenä ja→ 0 kunR → 0.

Huomautus. Menettelytapaa voidaan käyttää hyväksi laskettaessa kotikonstein numeerisestiepäoleellista integraalia. Tavalliset alkeismenetelmät eivät ole käyttökelpoisia, sillä ne poimi-vat näytteitä integroitavasta tietystä hilasta. Tällöin on useimmiten sattumanvaraista, kuinkalähelle singuläriteettiä hilapiste sattuu. Koska integrandin arvo muuttuu rajusti singuläriteetinympäristössä, tulos on jokseenkin sattumanvarainen. Voimme erikoisohjelmien puuttuessa ja-kaa integrointialueen kahteen osaan kuten yllä esimerkissä. Reiällisessä alueessa integroitavakäyttäytyy sopuisasti ja on numeerisesti integroitavissa. Pois erotetun alueen yli approksimoim-me integraalia analyyttisesti, esimerkiksi kuten yllä. Teknisissä tehtävissä singuläriteetit ovatuseimmiten yllä esitettyä tyyppiä, jolloin approksimointi ei ole kovin hankalaa.

Käsittelimme tässä vain tapausta, missä on yksi pistemäinen singuläriteetti. Määrittelymmeyleistyy melko suoraviivaisella tavalla myös tapaukseen, jossa singuläriteettejä on useampia taine muodostavat kokonaisen viivan, pinnan tai hyperpinnan.

2.3 Deltafunktio δ(r)

Olemme edellä tavanneet monta muotoa∫A

f(r)ρ(r) dr

olevaa integraalia painopisteitä ja hitausmomentteja laskiessamme, missäρ(r) on jonkin lajintiheys. Yleisemmin voimme ajatella tätälineaarisena funktionaalina.Funktionaali on kuvaus,joka kuvaa funktion luvuksi. Merkitsemme yllä olevaa funktionaaliaTρ:lla eli

Tρ : f �→∫A

f(r)ρ(r) dr.


Ilmeisestikin (lineaarisuus)Tρ(c1f + c2g) = c1Tρ(f) + c2Tρ(g). Voimme nyt yhtä hyvin itsetiheydenρ sijasta tarkastella vastaavaa funktionaaliaTρ, tiheyttähän pääsääntöisesti tarvitaanaina integraalin sisällä.

Usein kuitenkin tiheys liittyypistemäiseenkohteeseen, pistemäiseen massaan, kuormituk-seen, varaukseen, lämpölähteeseen jne. Mikään funktio tai yo. integraalimuotoinen funktionaaliei pysty tällaista sulattamaan ja tarvitsemme jotain muuta. Kyseessähän on oikeastaan äärim-mäinen singuläriteetti, jossa integraali kuitenkin suppenee (massa on olemassa jne.). Onneksifunktionaaleissa löytyy! Otamme tätä varten käyttöön jonon tiheyksiäρ1, ρ2, . . . , joilla on seominaisuus, että niidentueteli joukot

supp(ρi) = {r | ρi(r) �= 0}

ovat rajoitettuja ja sisältyvätA:han. Tarkoitus on saada jonon raja-arvona jotenkin pistemäinenyksikkötiheysA:n sisäosan pisteessär0. (Tavallisena raja-arvona se ei millään onnistu.) Teem-me tämän niin, että tuetsupp(ρi) kutistuvat pisteenr0 ympärille, funktiotρi ovat ei-negatiivisiaja ∫

A

ρi(r) dr = 1.

Voimme ottaa vaikkapa

ωε(r) =

{Cε, kun‖r − r0‖ ≤ ε ja r ∈ A0 muuten,

missä valitsemme vakionCε sellaiseksi, että∫A ωε(r) dr = 1, ja sittenρi(r) = ωεi

(r), missäεi = 1/i. Raja-arvomme on silloin yksinkertaisesti

limi→∞

Tρi(f) = f(r0).

Raja-arvona7 saatavaa mahdottoman yksinkertaista funktionaalia kutsutaan(Diracin) deltafunk-tioksi 8 ja merkitäänδA,r0 . Siis

δA,r0 : f �→ f(r0).

(Usein jätetään alueA pois merkinnästä, jos se on asiayhteydestä selvä.) Huomaamme heti, ettäkoska voimme tulkitaf(r0):n vakiofunktioksiA:ssa, niin

δA,r0(f) = δA,r0(f(r0)) = f(r0).

Vaikka siis pistemäistä yksikkötiheyttä pisteessär0 ei saadakaan minään tavallisena raja-arvona, vastaava funktionaali saadaan funktionaalien raja-arvonaδA,r0 . Niinpä käytetään ylei-sesti matemaattisesti sangen epäilyttävää merkintää

δA,r0(f) =

∫A

f(r)δ(r − r0) dr = f(r0)

(jossa kutsummef(r)δ(r − r0):aa integrandiksi) sekä sovitaan vielä, että∫A

f(r)δ(r − r0) dr = 0 , jos r0 /∈ A.

7Itse asiassa raja-arvo riittää testata eräillä sangen kiltisti käyttäytyvillä funktioillaf , ns.testifunktioilla.Tämätakaa sen, että raja-arvoprosesseilla voidaan määritellä hyvinkin monenlaisia funktionaaleja.

8Huomaa ”älytön” perinteinen nomenklatuuri, kyseessähän ei ole funktio missään tavallisessa mielessä, vaanns.yleistetty funktioeli distribuutio.


(Eli alueelleA, jossa ei lainkaan ole pistettär0, δA,r0 on nollafunktionaali, jota usein merkitäänyksinkertaisesti0:lla.) Sen sijaan emme määrittele millään tavoin tapausta, jossar0 on A:nreunalla∂A. Määrittely voidaan toki ulottaa sinnekin, mutta se voidaan tehdä monella tavalla,tilanteesta riippuen.

Yo. merkinnän etu on, että kun usein mukana on sekä pistemäisiä että ”tavallisia” jakautu-neita tiheyksiä, saadaan yhtenäinen merkintä. Jos esimerkiksi mukana on sekä jakautunut tiheysρ(r) että pisteessär0 oleva pistemäinenm:n suuruinen suure, voidaan kokonaissuure (-massa,-varaus tms.) kirjoittaa kokonaan integraalina∫

A

f(r)(ρ(r) + mδ(r − r0)) dr.

Näille integraaleille otetaan suruttomasti käyttöön tavalliset yhteen- ja vähennyslaskua sekä va-kiolla kertomista koskevat kaavat. Jaettaessa alueA kahteen osaanA1 jaA2 saadaan tuttu kaava∫A =

∫A1

+∫A2

, edellyttäen että pister0 jää jommankumman alueen sisään. (Lisäksi saadaankoko joukko muita kaavoja, mm. muuttujanvaihtokaavat sekä1-ulotteisessa tapauksessa osit-taisintegrointi jne.)

Huomautus. Sen sijaan symbolisessa yksinkertaisessa integroinnissa deltafunktio voidaan ot-taa mukaan vain annetun symbolisen integrointisäännön kautta. Näin tekee mm. Maple-ohjel-misto. Asiaa käsitellään vähän enemmän kurssilla Symbolinen analyysi 1.

Deltafunktio voidaan yleistää myös viivoille ja (hyper)pinnoille, ts. otetaan pisteenr0 sijastakokonainen viiva tai pinta jne. Tällöin tarvitaan viiva- ja pintaintegraaleja (ks. seuraava luku).

Merkinnällinen holtittomuus on yleistä, mutta yleensä vaaratonta. Seuraavassa esimerkkinämuutamia1-ulotteista deltafunktiota koskevia ”kaavoja”:

δ(x) =1

π

(1

2+

∞∑n=1

cos nx

)(−π < x < π),

δ(x) =1

πlim

n→∞

sin nx

x, δ(x) =

1

2π

∞∫−∞

cos sx ds,

δ(−x) = δ(x) , xδ(x) = 0 , δ(ax) =1

|a|δ(x) (a �= 0 on vakio).

Mieltähän näissä on vain integraalin sisällä.Graafisesti kahden muuttujan tapauksessakuvaajaz = f(r)δ(r−r0) onxy-tason pisteeseen

(r0, 0) asetettuz-akselin suuntainen nuoli (ei vektori!), jonka pituus on|f(r0)| ja suuntaf(r0):nmerkin antama. Yhden muuttujan tapauksessa kuvaajay = f(x)δ(x − x0) esitetään samaantapaan. Ks. alla oleva kuva.

x

y

z = f(r)δ(r – r0)

f(r0)

(r0,0)

x

y = f(x)δ(x – x0) + g(x)δ(x – x1)

x0

x1

f(x0)

g(x1)

Luku 3

VIIVA- JA PINTAINTEGRAALIT

Luvussa 1 esitellyt viiva- ja pinta-alkioiden mitat ovat perustana viivoihin ja pintoihin liittyvälleintegraalilaskennalle. Tuloksia hyödynnetään erityisesti kenttälaskennassa.

3.1 Viivaintegraali

Käsittelemme seuraavassa avaruudessaR3 tai tasossaR2 sileätä viivaaC : r = g(t) (t ∈ I),

jossa jatkuvasti derivoituva funktiog kuvaa parametrivälinI tarkasteltavaksi viivaksi. Muis-tamme, että silloing′(t) �= 0. Merkitsemme parametrivälin päätepisteitäa:lla ja b:llä. Perinyleistä teknisissä tehtävissä on, että viiva on suljettu. Olemme siirtyneet käyttämään parametriät aikaisemmin käytetynu:n asemesta, sillä monissa sovelluksissa muuttujana on suoraan aika.

Luvun 1 tulosten mukaisesti tiedämme, että viiva on suunnistettavissa ja että viiva-alkionmitta on

ds = ‖g′(t)‖ dt.

3.1.1 Skalaarinen viivaintegraali

Oletamme, että viivallaC on määritelty skalaariarvoinen funktiof : C → R. (AjattelemmetässäC:n pistejoukkona.) Oletamme vielä, että yhdistetty funktiof ◦ g on paloittain jatkuva.Funktionf (skalaarinen) viivaintegraaliyli viivan C on

∫C

f(r) ds =

b∫a

f(g(t))‖g′(t)‖ dt.

Määritelmämme geometriseksi perustelemiseksi jaamme viivan∆si-pituisiin osaväleihin.Kustakin osavälistä valitsemme viivan pisteenri. (Ks. kuva alla.) Jos osaväleihin jaosta ja pis-teidenri valinnasta riippumatta raja-arvo

limmax

i∆si→0

∑i

f(ri)∆si = J

on olemassa ja sama, niin

J =

∫C

f(r) ds.

Määritelmämme yleistyy välittömästi myös paloittain sileille viivoille: integraalit lasketaan pa-loille erikseen ja ynnätään yhteen.

57

LUKU 3. VIIVA- JA PINTAINTEGRAALIT 58

rig(a)

g(b)

y

z

x

∆si

r-avaruus

C

Lause 3.1. Skalaarisen viivaintegraalin arvo on viivan parametrisoinnista riippumaton.

Todistus.Vi iva-alkio on parametrisoinnista riippumaton.

Huomautus. Tässä skalaarisessa viivaintegraalissa viiva-alkioiden mitat ovat positiivisia. Tä-män vuoksi integrointirajat on kirjoitettava niin päin, ettäb ≥ a. Tässä suhteessa skalaarinenviivaintegraali eroaa seuraavaksi esiteltävästä vektoraalisesta viivaintegraalista, jossa rajojenjärjestys on tiukasti tehtävän määräämä. Skalaarinen viivaintegraali kannattaa hahmottaa seu-raavasti: Funktion paikallinen arvo viivallaf(r) = f(g(t)) kerrotaan paikallisen viiva-alkionpituudellads = ‖g′(t)‖ dt. Summa ulotetaan kaikkien viiva-alkioiden yli (summaa edustaa tyy-litelty

∫-kirjain). Mukaan tulevia viiva-alkioita on olemassa parametrint vaihteluvälilläI.

Skalaarinen viivaintegraali ilmestyy teknisiin tehtäviin usein mallintamisvaiheessa suorite-tun idealisaation seurauksena. Jos jokin olio on ohut mutta pitkä, päästään usein huomattavastivähemmällä laskemisella pitämällä sitä viivamaisena, ikäänkuin puristaen kaksi muuta dimen-siota kasaan viivan ympärille. Esimerkiksi mekaniikkaan liittyvissä tehtävissäR-säteinen lan-ka tiheydeltäänρ [kg/m3] voidaan usein mallintaa viivana, jonka viivatiheys onρ1 = πR2ρ[kg/m]. Sama koskee viivamaisia varauksia jne.

Esimerkki. Suorassa pyöreässä vieterissä on20 kierrosta, kierteen nousu kierroksella onh.Vieterin halkaisija (langan keskeltä langan keskelle) on2R, langan säde onR1 (R1 � R).Langan tiheys onρ. Laskemme vieterin hitausmomentinJ sylinteriakselin suhteen.

Asetamme spiraalimme symmetrisestiz-akselin ympärille ja approksimoimme lankaa vii-valla r = g(t) (ns.ruuviviiva eli heliksi) eli

x = R cos t

y = R sin t

z =h

2πt

(0 ≤ t ≤ 40π).

Vieterin viivatiheys onρ1 = πR21ρ [kg/m]. Viivan pituusalkio kohdallat on

ds = ‖g′(t)‖ dt =

√R2 sin2 t + R2 cos2 t +

h2

4π2dt =

√R2 +

h2

4π2dt


ja massa-alkio siten

dm = ρ1

√R2 +

h2

4π2dt.

Massa-alkion etäisyys pyörähdysakselista parametrin arvollat on√

x(t)2 + y(t)2 = R. Mas-sa-alkion osuus hitausmomentista on siten (massa× etäisyyden neliö)

dJ = R2ρ1

√R2 +

h2

4π2dt.

Hitausmomentti on näiden summa (approksimaatiomme puitteissa)

J =

40π∫0

R2ρ1

√R2 +

h2

4π2dt = 40πρ1R

2

√R2 +

h2

4π2= 40π2ρR2

1R2

√R2 +

h2

4π2.

Tulos on likimääräinen. Tarkan tuloksen laskeminen kolmiulotteisella mallilla on oleellisestimutkikkaampaa ja useimmiten epätarkoituksenmukaista.

3.1.2 Vektoraalinen viivaintegraali

Oletamme, että viivallaC on määritelty vektoriarvoinen funktio (vektorikenttä)F : C → R3

(tai F : C → R2) (paikasta riippuva sähkö-, magneetti-, virtauskenttä tms.). Usein kenttäF on

määritelty viivan ulkopuolellakin. Oletamme vielä, että yhdistetty funktioF ◦ g on paloittainjatkuva. FunktionF (vektoraalinen) viivaintegraaliyli viivan C on

∫C

F(r) • ds =

b∫a

F(g(t)) • g′(t) dt.

Määritelmämme geometriseksi perustelemiseksi jaamme viivan∆si-pituisiin osaväleihin. Kus-takin osavälistä valitsemme viivan pisteenri = g(ti).

ri = g(ti)g(a)

g(b)

y

z

x

∆si

r-avaruus

C

t(ti)

F(ri)

Jos osaväleihin jaosta ja pisteidenri valinnasta riippumatta raja-arvo

limmax

i∆si→0

∑i

F(ri) • t(ti)∆si = J



J =

∫C

F(r) • ds.

Tässät(t) on yksikkötangenttivektori

t(t) =g′(t)

‖g′(t)‖ .

Olemme kiinnittäneet suunnistuksen valitsemalla+-merkin (ks. Pykälä 1.2.2). Geometrisestitämä valinta suuntaa viivan pisteestäg(a) pisteeseeng(b) (etenemme tangentin suuntaan).

Määritelmämme yleistyy välittömästi myös paloittain sileille viivoille: integraalit lasketaanpaloille erikseen ja ynnätään yhteen. Toteamme vielä, että integraalimme on määritelmästä joh-tuen tulkittavissa skalaarifunktionF • t skalaariseksi viivaintegraaliksi annetun viivan yli:

∫C

F(r) • ds =

b∫a

F(g(t)) • t(t)‖g′(t)‖ dt.

Lause 3.2. Vektoraalinen viivaintegraali on parametrisoinnista riippumaton.

Todistus.Tulos seuraa Lauseesta 3.1, kunhan ensin näytämme, että yksikkötangenttivektorit(t)on parametrisoinnista riippumaton. Esitämme saman viivan toisella tavalla sileästi parametrisoi-tuna:r = f(v) (v ∈ I ′). Tämä tarkoitti sitä, että jollekin jatkuvalle bijektiolleh : I → I ′ onf(h(t)) = g(t). (Ja sileydestä seurasi vielä, ettäh(t) on jatkuvasti derivoituva jah′(t) �= 0.) Li-säksi haluamme suunnistuksen säilyvän, ts. pitää ollah′(t) > 0. Uusi yksikkötangenttivektorion nyt

f ′(v)

‖f ′(v)‖ =f ′(h(t))h′(t)

‖f ′(h(t))‖h′(t)=

f ′(h(t))h′(t)

‖f ′(h(t))h′(t)‖ =g′(t)

‖g′(t)‖eli sama kuin vanha.

Jos parametrisoimme viivan uudelleen siten, että suunnistus vaihtuu, ts. kuljettaessa in-tegrointitie päinvastaiseen suuntaan, vektoraalisen integraalin etumerkki muuttuu (toisin kuinskalaariselle viivaintegraalille). Edellisen lauseen nojalla riittää valita jokin tällainen paramet-risointi ja tarkistaa asia, esimerkiksi

v = h(t) = 1 − t − a

b − aja r = f(v).

Silloin uusi yksikkötangenttivektori on

f ′(v)

‖f ′(v)‖ = −f ′(h(t))

1

a − b∥∥∥∥f ′(h(t))1

a − b

∥∥∥∥= − f ′(h(t))h′(t)

‖f ′(h(t))h′(t)‖ = − g′(t)

‖g′(t)‖ .

Usein merkitään vastakkaisesti suunnistettua viivaa−C:llä. Saamme silloin vektoraaliselle vii-vaintegraalille kaavan ∫

−C

F(r) • ds = −∫C

F(r) • ds,


kun taas skalaariselle viivaintegraalille∫−C

f(r) ds =

∫C

f(r) ds.

Fysiikkaan ja tekniikkaan liittyvissä sovellutuksissa on tavanomaista hahmottaa integraalivektoraalisen viiva-alkion avulla:ds = t(r) ds. Tämä voidaan tulkita differentiaalisen pienenäviivan (tangentin) suuntaisena vektorina, jonka normi (pituus) on viiva-alkion pituusds. Sensuunta on tietenkin valittava integrointisuunnan mukaisesti. Parametrisoinnissa vastaava vek-toraalinen viiva-alkio onds = g′(t) dt. Viiva-alkion suunta tulee automaattisesti oikein, josvalitsemme parametrint differentiaalindt etumerkiltään liikesuuntaa vastaavaksi.

Vektoraalisen viiva-alkion käyttö nopeuttaa fysikaalisten tehtävien mallintamista. Tätä mie-likuvaa käyttäen päädymme tavanmukaisissa riittävän jatkuvuuden omaavissa tehtävissä oi-keaan tulokseen suorittamatta joka kerta uudelleen integraalisummaan liittyviä (usein perinmutkikkaita) raja-arvotarkasteluja.

Esimerkki. Massapiste (massam) liikkuu fysikaalisessa avaruudessa suunnistettua viivaaCpitkin alkupisteestä loppupisteeseen. Avaruudessa vaikuttaa voimakenttäF(r), esimerkiksimaan vetovoima. Pisteessär massapisteeseen kohdistuu voimaF(r). Minkä työn kenttä suo-rittaa, kun piste siirretään viivaa pitkin, ts. mikä on massapisteen energian lisäys?

VoimanF suorittama työ vaikutuspisteen siirtyessä matkans on tunnetustiF • s. Kun pis-teessär sijaitseva massapiste liikkuu viivaa pitkin differentiaalisen matkands, siihen suoritettutyö lausutaan paikallisen voiman ja siirtymän avulla vastaavalla tavalla:

dE(r) = F(r) • ds.

Kokonaistyö on näiden alkeistöiden summa (∫

sanasta ”summa”) laskettuna koko liikutun mat-kan (viivanC) yli:

E =

∫C

F(r) • ds

Olkoon esimerkiksi kyseessäF(r) = (0, 0,−mg)T, painovoima. (Älä sekoita painovoiman kiih-tyvyyttäg muihing:ihin!) Jos liikerata on viivaC : r = g(t) (t1 ≤ t ≤ t2), niin pisteen saamaenergia on

E =

∫C

F(r) • ds =

t2∫t1

F(g(t)) • g′(t) dt =

t2∫t1

(−mg)g′3(t) dt

= −mg

t2/t1

g3(t) = mg(g3(t1) − g3(t2)).

Tuttua?

Seuraavaksi pari esimerkkiä viivaintegraalin teknisestä laskemisesta.

Esimerkki. AvaruudessaR3 on annettu vektorifunktioF(r) = (y,−2x, 3)T. Laskemme vii-vaintegraalin

∫C

F(r) • ds yli ruuviviivan

C : r = g(t) =

R cos t

R sin tht

(0 ≤ t ≤ π

2).


Integrointitiellä

F(g(t)) =

R sin t

−2R cos t3

ja ds = g′(t) dt =

−R sin t

R cos th

dt,

jotenF • ds = (−R2 sin2 t − 2R2 cos2 t + 3h) dt.

Lähtöpistettä vastaa parametrin arvoa = 0, päätepistettä arvob =π

2. Siten

∫C

F(r) • ds =

b∫a

F(g(t)) • g′(t) dt =

π2∫

0

(−R2 sin2 t − 2R2 cos2 t + 3h) dt

= −R2π

4− 2R2π

4+ 3h

π

2=

π

4(6h − 3R2).

Esimerkki. Viivan parametrisointi kannattaa valita niin mukavaksi kuin suinkin. Olettakaam-me, ettäR2:ssa on integroitava funktionf(x) kuvaajanC : y = f(x) (x1 ≤ x ≤ x2) yli funktio

F(x, y) =

(F1(x, y)F2(x, y)

).

Oletamme, ettäf on jatkuvasti derivoituva jaf ′(x) �= 0 ja merkitsemmey1 = f(x1) ja y2 =f(x2).

Koska viivaintegraalilla on ilmeisestikin tavan mukaiset lineaarisuusominaisuudet integran-din suhteen (minkä näkee määritelmästä tai viimeistään parametriesityksestä), mikään ei estäjakamasta integrandia osiin:

F(x, y) = G1(x, y) + G2(x.y) =

(F1(x, y)

0

)+

(0

F2(x, y)

).

Palaset integroidaan erikseen:∫C

F(x, y) • ds =

∫C

G1(x, y) • ds +

∫C

G2(x, y) • ds.

Oikean puolen integraalit kannattaa parametrisoida kumpikin erikseen. Ensimmäisessä integ-raalissa parametrisoimme viivanC valitsemalla parametriksit = x. Tällöin viivan esitys on

r = g1(x) =

(x

f(x)

), g′

1(x) =

(1

f ′(x)

), ds =

(1

f ′(x)

)dx

ja ∫C

G1(x, y) • ds =

x2∫x1

F1(x, f(x)) dx.

Vastaavasti toinen integraali saadaan muotoon

∫C

G2(x, y) • ds =

y2∫y1

F2(f−1(y), y) dy.


Josy1 ≤ y2, tämä menee kutakuinkin samoin kuin edellinen tapaus. Jos taasy1 > y2, para-metrisoinnin vaihto vaihtaa suunnistuksen eli saammekin integraalin−

∫ y1

y2, jonka rajat sitten

vaihdetaan. Koko viivaintegraaliksi muodostuu näin

∫C

F(x, y) • ds =

x2∫x1

F1(x, f(x)) dx +

y2∫y1

F2(f−1(y), y) dy.

Huomaa, että integrandin argumenttina on kummassakin tapauksessa (tietenkin!) integrointi-tien piste.

Yllä esitetty on siistin muodollinen johto yksinkertaiselle tulokselle. Huolettomat sielut kat-sovat asian suoraan alla olevasta kuvasta. Esitämme oikein konkreettisia ollaksemme integran-din muodossaF = F1i + F2j. Kuvasta katsomallads = dxi + dyj ja F • ds = F1dx + F2dy.Koska integrandi on evaluoitava integrointitiellä,F1dx = F1(x, f(x)) dx, vastaavastiF2dy =F2(f

−1(y), y) dy. (Jotta pääsisimme integroimaan, täytyy tien esitys valita summausmuuttujaavastaavasti). Näin viiva-alkiota vastaava integraalin osa saadaan lausutuksi muuttujienx ja ylisäyksien avulla, kummankin erikseen.

x1

y1

y2

x2

ds

dxdy

x

y

F(x,y) y = f(x) eli x = f –1(y)

(x,y)

Integrointitiellä muuttujax kulkee välin[x1, x2], muuttujay puolestaan välin[y1, y2]. Summaa-malla viiva-alkioita vastaavat kontribuutiotF1dx + F2dy, saamme puoliheuristisesti taas

∫C

F(x, y) • ds =

x2∫x1

F1(x, f(x)) dx +

y2∫y1

F2(f−1(y), y) dy.

Esimerkki. Tarkastelemme vielä viivaintegraalia, jossa esiintyy ristitulo. Esimerkiksi otammens.Biot–Savart-lain,joka ilmoittaa sähköjohtimenC generoiman magneettikentän voimakkuu-den tarkastelupisteessär, joka tässä yhteydessä ei sijaitse johtimellaC (vastaava lauseke tuleepyörreviivan synnyttämälle virtauksen nopeuskentälle):

H(r) =I

4π

∮C

ds′ × (r − r′)

‖r − r′‖3.

Rinkula integraalissa tarkoittaa, että integroimme suljetun johtimen ympäri. Pilkutetut suureetliittyvät integrointialkioon, ne sijaitsevat integrointiviivallaC. Virran voimakkuus viivamaiseksi


oletetussa johtimessa onI, sen suunta on sama kuin integrointialkionds. Integraali riippuuparametrivektoristar, tarkastelupisteestä.

Tällainen integraali johdetaan periaatteessa samanlaisen integraalisumman avulla kuinvektoraalinen viivaintegraali edellä. Voimme jo tässä vaiheessa tarkastella sitä komponenteit-tain muodostamalla integraalisumman yhteenlaskettavan skalaaritulot yksikkövektoreitteni, jja k kanssa. Saamme silloin esimerkiksi

H1(r) = H(r) • i =I

4π

∮C

ds′ × (r − r′) • i

‖r − r′‖3=

I

4π

∮C

((r − r′) × i) • ds′

‖r − r′‖3.

Tämä on jo tuttua tyyppiä. Monissa todellisiin sähkökoneisiin tai virtaustehtäviin liittyvissäprobleemoissa integraali joudutaan laskemaan numeerisesti, mutta sehän käy. Eräissä ohjel-mistoissa käytetään hyväksi analyyttisiä tuloksia, joita on johdettavissa tietyille alkeellisilleperusgeometrioille.

Vektoraalinen viivaintegraaliR2:ssa voidaan kirjoittaa myös toiseen muotoon, jossa tan-genttivektorin sijasta on viivan normaalivektori. Pykälän 1.3.3 vihjeen mukaisesti luulisimme,että ko. normaalivektori on

m(t) =

∣∣∣∣∣∣∣i

dg1

dt

jdg2

dt

∣∣∣∣∣∣∣ =dg2

dti − dg1

dtj

ja skalaaritulolla tarkistamalla voimme todeta, että niin onkin:m(t) • g′(t) = 0. Vastaavayksikkönormaalivektorion

n(t) = ± m(t)

‖m(t)‖ .

(Merkki määräytyy haluamastamme suunnistuksesta, valitsemme jatkossa+:n.) Kun merkit-semme

F(r) =

(F1(r)F2(r)

)ja F⊥(r) =

(F2(r)

−F1(r)

)(kentän kierto90◦ myötäpäivään), niin

∫C

F(r)•ds =

b∫a

F⊥(g(t))•m(t) dt =

∫C

F⊥(r)•dn ja∫C

F(r)•dn = −∫C

F⊥(r)•ds,

missä olemme merkinneetdn = m(t) dt. Huomaa, ettäF⊥⊥ = −F eli F = (−F⊥)⊥ jaettä erityisestin = t⊥, missät on yksikkötangenttivektori, sekäF⊥ • m = F • g′ ja F • m= −F⊥ • g′. Tätä muotoa tarvitaan mm. Greenin lauseessa (Pykälä 4.1).

3.2 Pintaintegraali

Pintaintegraalit ovat luonteeltaan hyvin samanlaiset kuin viivaintegraalit, sillä kumpikin on eri-koistapaus ns. monistoilla määritellyistä integraaleista. Käsittelemme seuraavassa avaruudessaR

3 sileätä pintaaS : r = g(u) (u ∈ A), jossa jatkuvasti derivoituva funktiog kuvaa para-metrialueenA tarkasteltavaksi pinnaksi. Sangen yleisesti teknisissä tehtävissä pinta on suljettu.Luvun 1 tulosten mukaisesti tiedämme, että pinta on suunnistettavissa ja että pinta-alkion mittaon

dS =

∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥ du =√



3.2.1 Skalaarinen pintaintegraali

Oletamme, että sileällä pinnallaS on määritelty skalaariarvoinen funktiof : S → R. (Ajat-telemme tässäS:n pistejoukkona.) Oletamme vielä, että yhdistetty funktiof ◦ g on paloittainjatkuva. Funktionf (skalaarinen) pintaintegraaliyli pinnanS on∫

S

f(r) dS =

∫A

f(g(u))

∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥ du =

∫A

f(g(u))√


Määritelmämme geometriseksi perustelemiseksi jaamme pinnan aukottomasti osapintoihin∆Si. Kultakin osapinnalta valitsemme pinnan pisteenri. (Ks. kuva alla.) Merkitsemme vielä∆di:llä ∆Si:n halkaisijaa (eli suurinta sen pisteiden välistä etäisyyttä) sekä∆ai:llä sen alaa.Jos osapintoihin jaosta ja pisteidenri valinnasta riippumatta raja-arvo

limmax

i∆di→0

∑i

f(ri)∆ai = J


J =

∫S

f(r) dS.

Määritelmämme yleistyy välittömästi myös paloittain sileille pinnoille: integraalit lasketaan pa-loille erikseen ja ynnätään yhteen.

ri∆Si

x

y

z n

S

Integraalissa on integrandif evaluoitu pinnan pisteessä ja saatu arvo on kerrottu paikallisellapinta-alkion mitalla. Alkiot on summattu—integroitu—pinnan yli. Koko toimitus on siirrettytapahtumaan parametriavaruuden (u-taso) alueessaA. Näin integraalista on saatu tavallinenkaksinkertainen tason pintaintegraali. Huomaa, että funktiog kuvaa alueenA pinnaksiS. Useinjostakin laajemmasta pinnasta integroidaan vain osa. Tällainen tilanne palautuu edellä olevaan,kunhan ajattelemme mainitun osan varsinaiseksi pinnaksi.

Lause 3.3. Skalaarisen pintaintegraalin arvo on pinnan parametrisoinnista riippumaton.

Todistus.Pinta-alkio on parametrisoinnista riippumaton.


Esimerkki. R-säteisen ohuen pallonkuorenS pintatiheys onρ [kg/m2]. Laskemme kuoren hi-tausmomentin pallon halkaisijan suhteen.

Pyörähdyssymmetriset tapaukset kannattaa useimmiten laskea sylinterikoordinaatistossamuuttujien yksinkertaisemmista lausekkeista johtuen. Tällä kertaa suoritamme laskut kuiten-kin pallokoordinaateissa esimerkin vuoksi. Pinnan yhtälö on

r = g(u) =

R sin u1 cos u2

R sin u1 sin u2

R cos u1

ja

∂g

∂u1

=

R cos u1 cos u2

R cos u1 sin u2

−R sin u1

ja

∂g

∂u2

=

−R sin u1 sin u2

R sin u1 cos u2

0

,

josta lievällä väännöllä ∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥ = R2 sin u1.

Jos valitsemme pyörähdysakseliksiz-akselin, hitausmomentin lauseke on

J =

∫S

ρ(x2 + y2) dS.

Pallon pintaa vastaau-tason suorakaide0 ≤ u1 ≤ π, 0 ≤ u2 < 2π. Integraaliksi saamme niinmuodoin

J = ρ

2π∫0

π∫0

(R2 sin2 u1 cos2 u2 + R2 sin2 u1 sin2 u2)R2 sin u1du1du2

= ρR4

2π∫0

π∫0

sin3 u1du1du2 =8

3πρR4 =

2

3MR2,

missäM on pinnan kokonaismassa (pintatiheys× ala).

3.2.2 Vektoraalinen pintaintegraali

Oletamme, että sileällä pinnallaS on määritelty vektoriarvoinen funktio (vektorikenttä)F : S → R

3 (paikasta riippuva sähkö-, magneetti-, virtauskenttä tms.). Usein kenttäF onmääritelty pinnan ulkopuolellakin. Oletamme vielä, että yhdistetty funktioF ◦ g on paloittainjatkuva. FunktionF (vektoraalinen) pintaintegraaliyli viivan C on∫

S

F(r) • dS =

∫A

F(g(u)) • ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

du.

Määritelmämme geometriseksi perustelemiseksi jaamme pinnan aukottomasti osapintoihin∆Si. Kultakin osapinnalta valitsemme pinnan pisteenri = g(ui). (Ks. kuva edellä.) Merkitsem-me vielä∆di:llä ∆Si:n halkaisijaa(eli suurinta sen pisteiden välistä etäisyyttä) sekä∆ai:llä senalaa. Jos osapintoihin jaosta ja pisteidenri valinnasta riippumatta raja-arvo

limmax

i∆di→0

∑i

F(ri) • n(ui) ∆ai = J



J =

∫S

F(r) • dS.

Tässän(u) on yksikkönormaalivektori, ts.

n(u) = ±

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥(merkki määräytyy pinnan suunnistuksesta).

Määritelmämme yleistyy välittömästi myös paloittain sileille pinnoille: integraalit lasketaanpaloille erikseen ja lasketaan yhteen. Toteamme vielä, että integraalimme on määritelmästä joh-tuen tulkittavissa skalaarifunktionF • n skalaariseksi pintaintegraaliksi annetun pinnan yli:∫

S

F(r) • dS =

∫A

F(g(u)) • n(u)

∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥ du.

Lause 3.4. Vektoraalinen pintaintegraali on parametrisoinnista riippumaton.

Todistus.Tulos seuraa Lauseesta 3.3, kunhan ensin näytämme, että yksikkönormaalivektorin(u) on parametrisoinnista riippumaton. Esitämme saman pinnan toisella tavalla sileästi pa-rametrisoituna:r = f(v) (v ∈ A′). Tämä tarkoitti sitä, että jollekin jatkuvalle bijektiolleh : A → A′ on f(h(u)) = g(u). (Ja sileydestä seurasi vielä, ettäh(u) on jatkuvasti deri-voituva jarank(h′(u)) = 2.) Lisäksi haluamme suunnistuksen (kätisyyden) säilyvän, ts. pitääolla det(h′(u)) > 0. Ketjusäännön mukaisesti silloin

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

=

(∂f

∂v1

∂h1

∂u1

+∂f

∂v2

∂h2

∂u1

)×

(∂f

∂v1

∂h1

∂u2

+∂f

∂v2

∂h2

∂u2

)= det(h′(u))

(∂f

∂v1

× ∂f

∂v2

).

(Muistathan, että vektorin ristitulo itsensä kanssa on nollavektori.) Uusi yksikkönormaalivektorion nyt (ks. myös Lauseen 1.5 todistus)

±

∂f

∂v1

× ∂f

∂v2∥∥∥∥ ∂f

∂v1

× ∂f

∂v2

∥∥∥∥= ±

det(h′(u))

(∂f

∂v1

× ∂f

∂v2

)

det(h′(u))

∥∥∥∥ ∂f

∂v1

× ∂f

∂v2

∥∥∥∥= ±

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥eli sama kuin vanha.

Jos parametrisoimme pinnan uudelleen siten, että suunnistus vaihtuu, vektoraalisen inte-graalin etumerkki muuttuu (toisin kuin skalaariselle pintaintegraalille). Usein merkitään vas-takkaisesti suunnistettua pintaa−S:llä. Saamme silloin vektoraaliselle viivaintegraalille kaa-van ∫

−S

F(r) • dS = −∫S

F(r) • dS,

kun taas skalaariselle viivaintegraalille∫−S

f(r) dS =

∫S

f(r) dS.


Huomaamme erityisesti, että parametrienu1 ja u2 vaihto keskenään (eli peilausu-koordinaatis-tossa) vaihtaa normaalin suunnan ja pinnan suunnistuksen päinvastaiseksi.

Fysiikkaan ja tekniikkaan liittyvissä sovellutuksissa on tavanomaista hahmottaa integraalivektoraalisen pinta-alkion avulla:dS = n(r) dS. Tämä voidaan tulkita differentiaalisen piene-nä pinnan normaalin suuntaisena vektorina, jonka normi (pituus) on pinta-alkion aladS. Vek-toraalisen pinta-alkion käyttö nopeuttaa fysikaalisten tehtävien mallintamista. Tätä mielikuvaakäyttäen päädymme tavanmukaisissa riittävän jatkuvuuden omaavissa tehtävissä oikeaan tulok-seen suorittamatta joka kerta uudelleen integraalisummaan liittyviä (usein perin mutkikkaita)raja-arvotarkasteluja.

Esimerkki. xy-tasolla seisoo alla olevan kuvan mukaisesti suoran ympyräpohjaisen kartionvaipan neljännesS, pohjan sädeR, korkeush. Pinnan normaali suuntautuu poispäinz-akselista.Pinnalla on annettu vektoriarvoinen funktio

F(x, y, z) =

x

2y3z

.

Laskemme pinnan yli integraalin∫S

F(r) • dS.

z

x

y

h

R

n(u)

r = g(u)

S

Pinta kannattaa pyörähdyssymmetrisenä parametrisoida sylinterikoordinaatistossa,u1 =r, u2 = φ, esimerkiksi. Tällöin kuvasta katsomalla ja päätä kallistelemalla saamme pinnanyhtälöksi

r = g(u) =

u1 cos u2

u1 sin u2

h(1 − u1

R

) ,

eikö? AlueA on suorakaide0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ π

2. Tarkista! Silloin

F(g(u)) =

u1 cos u2

2u1 sin u2

3h(1 − u1

R

)


ja

∂g

∂u1

=

cos u2

sin u2

− h

R

,

∂g

∂u2

=

−u1 sin u2

u1 cos u2

0

,

joten

F(g(u)) • ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

=

∣∣∣∣∣∣∣u1 cos u2 cos u2 −u1 sin u2

2u1 sin u2 sin u2 u1 cos u2

3h(1 − u1

R

)− h

R0

∣∣∣∣∣∣∣ ,

josta vähän painimalla

F(g(u)) • ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

=h

R(3u1(R − u1) + 2u2

1 sin2 u2 + u21 cos2 u2).

Mikä etumerkki tulee integraaliimme,+ vai −? Meidän on verrattava geometrisesti sovit-

tua normaalin suuntaa vektorin∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

suuntaan. Kun parametriu1 (eli r) kasvaau2:n (eli

φ:n) pysyessä vakiona, piste juoksee pintaa alaspäin. Vektori∂g

∂u1

on siten alaspäin suuntautu-

van kylkiviivan suuntainen. Kun puolestaanu2 kasvaa (φ siis)u1:n pysyessä vakiona, liikumme

z

x

y

h

RS

n(u)r = g(u)

∂g∂u1

∂g∂u2

vaakasuoraan kylkiympyrää pitkin kasvavan kulman suuntaan. Vektori∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

on suunnis-

tukseltaan sovitun normaalin mukainen, ja integraalin etumerkki on+. Siten

∫S

F(r) • dS =

π2∫

0

R∫0

h

R(3u1(R − u1) + 2u2

1 sin2 u2 + u21 cos2 u2) du1du2 =

π

2hR2.

3.3 Hieman viiva- ja pintaintegraalien käytöstä

Vi iva- japintaintegraalit ovat oleellisesti vaativampia laskettavia kuin tavalliset tai tasointegraa-lit. Integroitavan funktion lisäksi tulokseen näet vaikuttaa viivan tai pinnan muotoon sisältyvägeometrinen informaatio. Siistin analyyttisesti menevät vain aivan alkeelliset tehtävät.


Toisaalta viiva- ja pintaintegraalit eivät ole kovin yleisiä laskettavia tekniikassa. Tarvettaesiintyy eräissä sähkömagneettisiin ja virtauskenttiin liittyvissä tehtävissä. Laskenta suoritetaantällöin numeerisesti tai esimerkiksi approksimoimalla viivaa alkeisgeometrisilla osilla, joillevoidaan johtaa analyyttisiä tuloksia (esimerkiksi Biot–Savart-laki suoralle johtimen osalle). Nu-meerista laskentaa tarvitaan myös eräissä kompleksitasoon liittyvissä viivaintegraaleissa, jotkaovat analogisia laskentatekniikaltaan yllä esitetyille viivaintegraaleille.

Sen sijaan viiva- ja pintaintegraalit ovat ahkerassa käytössä erilaisiin kenttiin liittyvissä teh-tävissä. Useat luonnonlait näet mallinnetaan integraalimuotoisina ja kyseeseen tulevat integraa-lit ovat juuri edellä esitettyä muotoa. Näistä integraaleista päästään kuitenkin useimmiten eroonvektorianalyysin keinoin. Viivaintegraaleja muunnetaan pintaintegraaleiksi, pintaintegraaleja ti-lavuusintegraaleiksi kavala tähtäys silmässä ja loppujen lopuksi jäljelle jää usein vain ns. osit-taisdifferentiaaliyhtälö, joka standardityyppisenä ratkaistaan numeerisesti tietokoneella. (Sinän-sä oikein vaativa tehtävä sekin!) Työskentelyn kannalta on tällöin tärkeintä osata käsitellä in-tegraaleja siten, että lopuksi päästään standardityyppiseen, numeerisesti ratkeavaan tehtävään.Seuraavassa esiteltävät Gaussin ja Stokesin lauseet ovat keskeisiä työkaluja tässä puuhassa.

Koska vektorianalyysissä strategisesti pyritään olemaan turhaan laskematta integraaleja—pikemminkin hävittämään ne analyysin keinoin—ne kirjoitetaan yleensä hyvin lyhyesti ilmanargumentteja, esimerkiksi

∮F •ds tai

∮F •dS (rinkula osoittaa, että integraali lasketaan asia-

yhteydestä selviävän suljetun viivan/pinnan yli). On tärkeätä oppia lukemaan näitä kokonaisinaja ymmärtämään niiden asiaan liittyvä fysikaalinen tulkinta. Hätäpaikan tullen, kun ei enää mi-kään muu auta, integraali lasketaan edellä esitetyn mukaisesti, tarvittaessa numeerisesti. (Edel-lähän olemme palauttaneet integraalit tavallisiksi tai tason integraaleiksi, jotka menevät numee-risesti.)

Esityksessämme olemme rajoittuneet vain (paloittain) sileisiin pintoihin ja viivoihin sekä(paloittain) jatkuviin funktioihin. Tekniikassa joudutaan tekemisiin myös erilaisten kulmien taiepäjatkuvuuksien kanssa. Tällöin integrointialue jaetaan yksinkertaisesti tarpeelliseen määräänosa-alueita (paloja), joissa kussakin ovat voimassa vaaditut sileys- ja jatkuvuusehdot.

Ja vaikka olemme käsitelleet integraalejamme vainR2:ssa jaR3:ssa, ne yleistyvät suoravii-

vaisesti myös avaruuteenRn.

Luku 4

GREEN, GAUSS, STOKES

”Stokes theorem was stated by Sir George Stokes asaCambridge examination question, having been raised

by Lord Kelvin in a letter to Stokes in 1850.”

(A Dictionary of Science,Oxford University Press, 1999)

Tavoitteemme tässä on yleistää edellä kehittelemillemme integraaleille tuo tuttu ja turvalli-nen kaava:

b∫a

f ′(x) dx = f(b) − f(a).

Sileälle viivalleC : r(t) = g(t), a ≤ t ≤ b, tämä yleistyykin suoraan:

∫C

f ′(r)T • ds =

b∫a

f ′(g(t))g′(t) dt =

b∫a

d

dtf(g(t)) dt = f(g(b)) − f(g(a)).

Yleisesti tavoite on hyvin summittaisesti seuraava: jonkinlaisen funktion jonkinlaisen deri-vaatan jonkinlainen integraali yli jonkinlaisen integrointialueen yli on lausuttavissa ko. funktionja jonkinlaisen integraalin avulla alueen reunalla, ja mukana on jotenkin myös alueen normaa-livektori. (Normaali on mukana myös tutussa kaavassamme: välin[a, b] ulkonormaalit ovat−1(kunx = a) ja +1 (kunx = b).)

4.1 Greenin lause

AloitammeR2:sta. Sanomme, että alueA, jonka reunaviiva onC, onx-parametrisoituva,josC

on paloittain sileä ja muodostuu kolmesta osastaC1, C2 ja C3:

• C1 : r = (x, g1(x)) (a ≤ x ≤ b), missäg1 on paloittain jatkuvasti derivoituva.

• C2 : r = (x, g2(x)) (a ≤ x ≤ b), missäg2 on paloittain jatkuvasti derivoituva jag2(x) ≥g1(x).

• C3 muodostuu yhdestä tai kahdestay-akselin suuntaisesta janasta. (C3 voi jäädä poiskin.)

Valitsemme normaalivektoriksi ulkonormaalin (ts. suuntaamme sen alueesta poispäin). Laskem-me ko. normaalivektorinm käyttäen yo. parametrisointia:

• C1:ssäm(x) = (g′1(x),−1)T.

• C2:ssam(x) = (−g′2(x), 1)T.

• C3:ssa normaali onm = (±1, 0)T.

Vastaavasti määrittelemmey-parametrisoituvuuden.

71

LUKU 4. GREEN, GAUSS, STOKES 72

a bx

yC2: y = g2(x)

A

C1: y = g1(x)

C3

m

m

m

Integrandimme (reunalla) on vektoriarvoinen funktioF(r), jonka kirjoitamme muotoon

F(r) =

(F1(r)F2(r)

)= G1(r) + G2(r),

missä

G1(r) =

(0

F2(r)

)ja G2(r) =

(F1(r)

0

).

x-parametrisoinnissa on silloin ilmeisesti∫C3

G1(r) • dn = 0 ja

∮C

G1(r) • dn =

∫C1

G1(r) • dn +

∫C2

G1(r) • dn.

FunktionF(r) ns.divergenssion

div(F) =∂F1

∂x+

∂F2

∂y,

merkitään usein∇ • F.

Lause 4.1. (Greenin lause) Jos alueenA reunaviiva onC, ja se on sekäx- ettäy-parametri-soituva jaF on alueessa jatkuvasti derivoituva funktio, niin∫

A

div(F(r)) dr =

∮C

F(r) • dn.

Todistus.Näytämme tuloksen vainG1(r):lle. G2(r):lle se voidaan todistaa aivan analogisesti.Koko lauseen saamme, kun laskemme yhteen puolittain saadut yhtälöt.

Lasketaan vaan: ∫A

div(G1(r)) dr =

b∫a

g2(x)∫g1(x)

∂F2

∂ydydx


=

b∫a

(F2(x, g2(x)) − F2(x, g1(x))) dx

=

b∫a

F2(x, g2(x)) dx −b∫

a

F2(x, g1(x))) dx

=

∫C2

G1(r) • dn +

∫C1

G1(r) • dn =

∮C

G1(r) • dn.

Entäs jos haluaisimmekin saada tuloksen käyttäen sitä toista vektoraalisen viivaintegraalinmuotoa (jossa esiintyy tangenttivektori)? Tällöin reunaviiva pitää suunnistaa. Ensinnäkin∮

C

F(r) • ds =

∮C

F⊥(r) • dn =

∫A

div(F⊥(r)) dr =

∫A

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dr.

Kumpi suunnistus, kierto positiiviseen vaiko negatiiviseen kiertosuuntaan, vastaa valitsemaam-me ulkonormaalia? Pieni miettiminen antaa vastauksen: kierto positiiviseen kiertosuuntaan (elivastapäivään). Ajattele vaikkapa tilannetta, jossa ulkonormaali muodostaa positiivisenx-akse-lin kanssa kulmanπ/4.

Huomautus. Innostunut lukijamme voi kokeilla Greenin lausetta ympyrään tai muihin saman-tapaisiin alueisiin ja havaitsee, ettäx-parametrisoituvuuden antama parametrisointi johtaaepäoleelliseen viivaintegraaliin! (g′

1 ja g′2 saavat äärettömän arvon reunalla.) Tästä voidaan

selvitä kahdella tavalla. Ensiksikin voimme käsitellä singuläriteetin samoin kuin edellä teimmeepäoleelliselle integraaleille yleensä: suljemme sen pois ja menemme rajalle. On aika helppovakuuttua tutkimalla yo. todistusta, että tällä tavoin saadaan rajalla Greenin lause. Toinen tapaolisi jakaa alue osiin, joissa ei tällaista vaikeutta ole. Silloin kuitenkin osia pitää pyöritellä, ts.vaihtaa koordinaatistoa. Fysikaalisille kentille tämä ei tietenkään muuta tilannetta mitenkään(ja divergenssikin on itse asiassa koordinaatistoriippumaton). Ks. Pykälä 6.2.

C1

C2

C3

C4

1. osa-alue2. osa-alue

4. osa-alue

3. osa-alue

Useinkaan alueA ei valmiiksi ole muutenkaan Greenin lauseessa mainittua muotoa. Näinkäy, jos esimerkiksi alueessa on reik(i)ä. Jos se kuitenkin voidaan jakaa osa-alueisiin käyt-täen äärellistä määrää paloittain sileitä jakoviivojaCi siten, että kullekin osa-alueelle Greenin


lausetta voidaan yo. muodossa soveltaa, niin lause pätee koko alueelleA. Tämä johtuu siitä,että suunnistuksesta johtuen jakoviiva näkyy yhdelle alueelleCi:nä ja naapurille−Ci:nä ja näi-den ulkonormaalit ovat vastakkaiset ja vastaavat integraalit summautuvat nollaksi. Tällä tavoinGreenin lause saadaan soveltumaan sangen monenlaisille alueille.

Greenin lauseella ei oikein ole itsenäistä elämää. Sen avulla johdamme kuitenkin Gaussinlauseen (joka tosin voitaisiin näyttää muutenkin) sekä Stokesin lauseen. Toisinaan hyvin käyt-tökelpoinen on lauseesta suoraan saatava alueenA alan kaava

A =1

2

∮C

r • dn,

jolla alueen ala voidaan laskea sen reunaviivan avulla. Kätevää, jos reunaviiva esimerkiksi muo-dostuu janoista. (No, napakoordinaatiston alan lauseke se siinä itse asiassa on.)

4.2 Gaussin lause

Gaussin lause on Greenin lause avaruudessaR3. (Monesti tosin Greenin lausetta kutsutaan

Gaussin lauseeksi tasossa, ja Gaussin lausetta kutsutaan myös Ostrogradskijn lauseeksi, ja mo-lempia kutsutaan yleisesti myös Divergenssilauseeksi. Hyvällä tuloksella on monta nimeä jakeksijää.)

Sanomme, että kappaleK, jonka reunapinta onS, onx-parametrisoituva,josS on paloittainsileä ja muodostuu kahdesta osastaS1 ja S2:

• S1 : r = g(x, u) = (x, g2(x, u), g3(x, u)) (c(x) ≤ u ≤ d(x) ja a ≤ x ≤ b), missäg2

ja g3 ovat paloittain jatkuvasti derivoituvia. Lisäksi vaadimme, että viivatCx : (y, z) =(g2(x, u), g3(x, u)) (c(x) ≤ u ≤ d(x)) ovat, mahdollisesti jotain äärellistäx:n poik-keusarvojen joukkoa lukuunottamatta, suljettujayz-tason viivoja, jotka rajaavat sisälleenalueenAx, johon voidaan soveltaa Greenin lausetta. ViivatCx ovat suunnattuja positiivi-seen kiertosuuntaanyz-tasossa.

• S2 muodostuu yhdestä tai kahdestayz-tason suuntaisesta tasopinnasta. (S2 voi jäädä pois-kin.)

Valitsemme normaalivektoriksi ulkonormaalin (ts. suuntaamme sen kappaleesta poispäin). Las-kemme ko. normaalivektorinm käyttäen yo. parametrisointia:

• S1:ssä

m(x, u) = −(

1,∂g2

∂x,∂g3

∂x

)T

×(

0,∂g2

∂u,∂g3

∂u

)T

=

(· · · ,

∂g3

∂u,−∂g2

∂u

)T

(emme laskeneet ensimmäistä komponenttia, sitä ei tarvita). Huomaamme, ettäm(x, u):nkaksi viimeistä komponenttia muodostavat viivanCx ulkonormaalinmx(u) (mikä takaa,että valittu normaali todella on pinnan ulkonormaali).

• S2:ssa normaalivektori onm = (±1, 0, 0)T.

Vastaavasti määrittelemmey-parametrisoituvuuden jaz-parametrisoituvuuden. Huomaam-me, että nämä käsitteet ovat likeistä sukua vastaavilleR

2:n alueiden ominaisuuksille.


z

x

y

K

S2

S2

S1

Ax

Cx

m

m


F(r) =

F1(r)

F2(r)F3(r)

= G1(r) + G2(r) + G3(r),

missä

G1(r) =1

2

0

F2(r)F3(r)

, G2(r) =

1

2

F1(r)

0F3(r)

ja G3(r) =

1

2

F1(r

F2(r)0

.

x-parametrisoinnissa on silloin ilmeisesti∫S2

G1(r) • dS = 0 ja∮S

G1(r) • dS =

∫S1

G1(r) • dS.

FunktionF(r) divergenssion nyt

div(F) =∂F1

∂x+

∂F2

∂y+

∂F3

∂z,

merkitään usein∇ • F.1

Lause 4.2. (Gaussin lause) Jos kappaleenK reunapinta onS, ja se on sekäx-, y- että z-parametrisoituva jaF on kappaleessa jatkuvasti derivoituva funktio, niin∫

K

div(F(r)) dr =

∮S

F(r) • dS.

1Fysiikassa ja tekniikassa suositaan merkintää∇•F. Se tulkitaan syntyneeksi vektoraalisen derivaattaoperaat-

torin ∇ = i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂zskalaaritulona vektoriarvoisen funktionF = F1i + F2j + F3k kanssa. Tällöin

sovitaan, että varsinaiset derivaattaoperaattorit∂

∂xjne. käyttäytyvät kuten skalaarit ja että tulosta sievennettäessä

derivaattaoperaattorit kohdistetaan kohdefunktioon tai sen komponentteihin (viedään niiden vasemmalle puolelle).Huomattakoon, että tällä notaatiolla voidaan esittää myös skalaarifunktionf(r) gradientti:

grad(f) = f ′(r)T =∂f

∂xi +

∂f

∂yj +

∂f

∂zk = ∇f.


Todistus.Näytämme tuloksen vainG1(r):lle. G2(r):lle ja G3(r):lle se voidaan todistaa aivananalogisesti. Koko lauseen saamme, kun laskemme yhteen puolittain saadut kolme yhtälöä.

Lasketaan vaan, käyttäen Greenin lausettayz-tasossa:

∫K

div(G1(r)) dr =

b∫a

∫Ax

1

2

(∂F2

∂y+

∂F3

∂z

)dydzdx =

b∫a

∮Cx

1

2

(F2

F3

)• dn

=

b∫a

d(x)∫c(x)

1

2

(F2(x, g2(x, u), g3(x, u))

∂g3

∂u

−F3(x, g2(x, u), g3(x, u))∂g2

∂u

)dudx

=

∫S1

G1(r) • dS =

∮S

G1(r) • dS.

Huomautus. Lukijamme haluaa varmaankin kokeilla heti Gaussin lausetta palloon tai muihinsamantapaisiin kappaleisiin ja havaitsee nytkin, kuten Greenin lauseelle, ettäx-parametrisoi-tuvuuden antama parametrisointi johtaa epäoleelliseen pintaintegraaliin! (Eräät normaalikom-ponentit saavat äärettömän arvon reunalla.) Tästä voidaan taas selvitä kahdella tavalla. Ensik-sikin voimme käsitellä singuläriteetin samoin kuin edellä teimme epäoleelliselle integraaleilleyleensä: suljemme sen pois ja menemme rajalle. On helppo nähdä tutkimalla yo. todistusta,että tällä tavoin saadaan rajalla Gaussin lause. Toinen tapa on jakaa kappale osiin, joissa eitällaista vaikeutta ole. Silloin kuitenkin osia pitää pyöritellä, ts. vaihtaa koordinaatistoa. Fysi-kaalisille kentille tämä ei tietenkään muuta tilannetta mitenkään (ja divergenssi on koordinaa-tistoriippumaton). Ks. Pykälä 6.2.

Useinkaan kappaleK ei valmiiksi ole muutenkaan Gaussin lauseessa mainittua muotoa.Näin käy, jos esimerkiksi kappaleessa on onteloita tai reikiä tai se on kuppimainen. Jos se kui-tenkin voidaan jakaa osakappaleisiin käyttäen äärellistä määrää paloittain sileitä jakopintojaSi

siten, että kullekin osakappaleelle Gaussin lausetta voidaan yo. muodossa soveltaa, niin lausepätee koko kappaleelleK. Tämä johtuu siitä, että suunnistuksesta johtuen jakopinta näkyy yh-delle kappaleelleSi:nä ja naapurille−Si:nä ja näiden ulkonormaalit ovat vastakkaiset ja vastaa-vat integraalit summautuvat nollaksi. Tällä tavoin Gaussin lause saadaan soveltumaan sangenmonenlaisille kappaleille. Kappaletta pilkottaessa siihen mahdollisesti sisältyvien onteloidenpinnat tulevat mukaan kuten mitkä muut pinnan osat tahansa. Siten onteloita vuoraavat pinnaton otettava mukaan pintaintegraaliin. Koska todistukselle oli olennaista, että normaali suuntau-tuu poispäin alueesta, tämän ehdon on toteuduttava myös onteloiden osalta. Tarkasteltavastakappaleesta poispäin osoittavat normaalit suuntautuvat tällöin ontelon sisusta kohti.

Äiti, mistä ontelot ja reiät tulevat? Jos esimerkiksi nesteen virtauskentässä on vieras esine,vaikkapa siipi, tällä kohtaa kenttää ei ole määritelty. Virtauskenttää ajatellen siinä on reikä taiontelo. Ontelo tehdään myös usein kuvitteellisesti rajaamaan pois tarkastelualueesta jokin pai-kallinen hankaluus—esimerkiksi pistemäinen varaus, jonka lähellä kentän voimakkuus kasvaarajatta.

Toisinaan hyvin käyttökelpoinen on Gaussin lauseesta suoraan saatava kappaleenK tilavuu-den kaava

V =1

3

∮S

r • dS,


jolla kappaleen tilavuus voidaan laskea sen reunapinnan avulla. (Tämähän on toisaalta pallo-koordinaatiston tilavuuden lauseke. Tuttu?)

Hartaasti tutkittuaan Greenin ja Gaussin lauseiden todistuksia lukijamme päättelee, että me-nettelyä voidaan jatkaa induktiivisesti korkeampiin dimensioihin varsin kivuttomasti. Gaus-sin lause on siis voimassa kaikissa dimensioissa. Onhan se voimassa myös dimensiossa1:∫ b

aDf(x) dx = (+1)f(b) + (−1)f(a).Gaussin lausetta käytetään harvoin definiitin numeerisen tuloksen saamiseksi. Sen merkitys

on lähes kokonaan analyysin puolella: päästään siirtymään integraalilajista toiseen. Sen avullavoimme erottaa kuvitteellisella suljetulla pinnalla jatkuvasta aineesta kappaleen, jolle muodos-tamme tasapainoyhtälöt esimerkiksi sen pintaan kohdistuvien voimien (ideaalinesteellä paine)ja tilavuusvoimien (hitausvoimat, vetovoima) välille. Muuttamalla tasapainoyhtälöissä integraa-lit samantyyppisiksi pääsemme niistä kokonaan eroon ja päädymme osittaisdifferentiaaliyhtä-löön, ks. Luku 6.

Esimerkki. Tarkastelemme fysikaalisessa avaruudessa jatkuvasti derivoituvaa virtauskenttääv(r). Rajaamme kentästä kuvitteellisen Gaussin lauseen vaatimusten mukaisen kappaleenK,normaali suunnattuna ulospäin.

v

v

v

v

v

v

m

K

S

Pinnan mielivaltaisen pinta-alkiondS lävitse poistuu ajassadt nestettä pinnan sisäpuolel-ta ulos määrädtv • n dS = dtv • dS. (Virtauksen suunnasta katsottuna pinta-alkio näyttääpienentyneen kallistuskulman kosinia vastaten: virtaus ”näkee” pinta-alkion projektion kul-kusuunnassaan.) Huomattakoon, että mikäli neste menee tarkastelukohdalla pinnan sisään,cos ∠(v,n) < 0, jolloin v • dS < 0 ja nestettä poistuu kappaleestaK negatiivinen määrä—sesiis lisääntyy.

v

v

v

v

n

K

dS

Kokopinnan lävitse poistuu ajassa dt nestettä nettomäärä

dt

∮S

v • dS = dt

∫K

∇ • v dr,


tavanomaisia fyysikkomerkintöjä käyttäen.Mikäli neste on kokoon puristumatonta, kopin sisällä olevan nesteen määrä pysyy koko ajan

vakiona: se mitä ulos menee korvautuu sisään tulevalla. Nettopoistuma on siten0. Niinpä mie-livaltaiselle kopilleK on

∫K∇•v dr = 0, josta voimme päätellä, että kokoon puristumattomalla

virtauksella∇ • v = div(v) = 0.

Tämä tietysti edellyttää, ettei kappaleessaK ole virtauksen lähteitä tai nieluja (negatiivisialähteitä) ja että kavitaatiota ei esiinny. Tästä syystä divergenssiä sanotaankin useinlähteentiheydeksitai lähteisyydeksi.

Esimerkki. MagneettikentänB vuo suunnistetun pinnanS lävitse määritellään integraalina

Φ =

∫S

B • dS.

On empiirinen tosiasia, että ns. magneettimonopolia ei ole toistaiseksi löydetty (etsintä jatkuuedelleen). Niinpä nykytiedoin mielivaltaisen suljetun pinnan lävitse magneettikentän vuo on0.Siten mielivaltaiselle Gaussin lausetta vastaavalle kappaleelleK (reunapintaS), missäB onjatkuva,

Φ =

∮S

B • dS =

∫K

∇ • B dr = 0.

Voimme siis päätellä kuten edellisessä esimerkissä, että kappaleessa, missäB on jatkuvastiderivoituva, on∇ • B = 0.

Kuten huomaat, näissä esimerkeissä ei jouduta laskemaan mitään. Lopuksi integraaleistapäästään eroon ja tuloksena on osittaisderivaattoja sisältävä lauseke.

Gaussin lauseen todistuksessa ”irrallaan” olleet osat voidaan valita toisinkin ja koota taasyhteen eri tavoin. Näin saamme esimerkiksi seuraavan version:

Lause 4.3. (Vektoraalinen Gaussin lause) JoskappaleenK reunapinta onS, ja se on sekäx-,y- ettäz-parametrisoituva jaf on kappaleessa jatkuvasti derivoituva funktio, niin∫

K

grad(f(r)) dr =

∮S

f(r)dS.

(Vektorit integroidaan komponenteittain.)

Todistus.Merkitään

F1(r) =

f(r)

00

, F2(r) =

0

f(r)0

ja F1(r) =

0

0f(r)

.

Sovelletaan ”tavallista” Gaussin lausettaF1(r):ään:∫K

∂f

∂xdr =

∫K

∇ • F1(r) dr =

∫S

F1(r) • dS =

∫S

f(r)n1(r) dS,

missän1(r) on yksikköulkonormaalivektorin ensimmäinen komponentti. Vastaavasti saamme∫K

∂f

∂ydr =

∫S

f(r)n2(r) dS ja∫K

∂f

∂zdr =

∫S

f(r)n3(r) dS.

Näistä kolmesta yhtälöstä saamme yhdistämällä halutun vektoraalisen yhtälön.


Esimerkki. Tarkastelemme kitkattoman, kokoon puristumattoman ns. ideaalinesteen virtausta.Tiettynä ajan hetkenä erotamme kuvitteellisella pinnallaS nesteestä Gaussin lauseen mukaisenkappaleenK. Voimme tulkita tänä ajan hetkenä pinnan sisälle jäävän nesteen massapisteistök-si tai kappaleeksi, johon kohdistuville voimille muodostamme tasapainoyhtälön Newtonin lakiamv = F vastaten. Pisteessär tiheys onρ(r) ja v(r) sekäv(r) ovat ko. pisteessä olevan partik-kelin nopeus ja kiihtyvyys kyseisellä ajanhetkellä. Alamme pitää kirjaa vaikuttavista voimista.

Koppiin kohdistuva maan vetovoima on

Fgravitaatio = −g

∫K

ρ(r) dr k

massa-alkioihinρ(r) dr kohdistuvien voimien ”summana”, integraalina.Kopin pintaan kohdistuva nesteen paine kohdallar on p(r). Sen suunta on vastakkainen

pinnan normaalille. Kokonaispainevoima saadaan integroimalla kopin pinnan yli:

Fpaine =

∮S

(−p(r)n(r)) dS = −∮S

p(r)dS = −∫K

∇p(r) dr,

missä viimeisenä askeleena olemme käyttäneet uunituoretta Vektoraalista Gaussin lausettamme(ja olettaneet, ettäp(r) on jatkuvasti derivoituva).

Pinnan sisällä vaikuttavien hitausvoimien summa on

Fvitka =

∫K

ρ(r)v(r) dr

(osa voimista kumoutuu integraalissa pinnan rajoittaman systeemin sisäisinä voimina).Tasapainoyhtälönä saamme mielivaltaisen, Gaussin lauseen mukaisen pinnan rajoittamalle

nesteen osalle: ∫K

ρ(r)v(r) dr = −g

∫K

ρ(r) dr k −∫K

∇p(r) dr

eli ∫K

(ρ(r)v(r) + ρ(r)gk + ∇p(r)) dr = 0.

Koska tämä pitää paikkansa mielivaltaiselle riittävän sileälle kopille, integrandin on oltavanollavektori.2

Saamme siten ideaalinesteen virtaukselle (erään) yhtälön

ρ(r)v(r) + ρ(r)gk + ∇p(r) = 0.

Jälleen kaikista integraaleista päästiin eroon eikä mitään ns. rehellistä työtä tarvinnut tehdä.Tuloksena on osittaisderivaattoja sisältävä lauseke. (Termiv(r) ei tosin ole niin yksinkertainenkuin miltä näyttää, sehän sisältää aikaderivaatan.)

2Integrandissa olevat yhteenlaskettavat oletetaan teknisissä tarkasteluissa jatkuviksi. Jos sen jokin komponenttiolisi tietyssä pisteessä esimerkiksi> 0, ko. komponentti olisi jatkuvuudesta johtuen positiivinen myös tämänpisteen riittävän pienessä ympäristössä. Valitsemme koppimme (miten pienen tahansa!) tähän ympäristöön. Koskaintegroitava komponentti kopissa olisi kauttaaltaan positiivinen, olisi integraalin arvokin tämän komponentin osaltapositiivinen, mikä on ristiriidassa tuloksemme kanssa. Siis integrandi on kaikkialla= 0.


4.3 Stokesin lause

Stokesin lause on Greenin lauseen yleistysR3:n ei-suljetulle suunnistetulle pinnalle, jolla on

reunaviiva. Kuten aikaisemmin totesimme, tällaiselle pinnalle suunnistus voidaan liittää reuna-viivan kiertosuuntaan. Valitsemme oikeakätisen suunnistuksen.

Sanomme, että paloittain sileä suunnistettu pintaS, jonka reunaviiva onC, onx-parametri-soituva,josC on paloittain sileä (oikeakätisesti) suunnistettu viiva ja

S : r = g(x, u) = (x, g2(x, u), g3(x, u)) (c(x) ≤ u ≤ d(x) ja a ≤ x ≤ b),

missäg2 ja g3 ovat paloittain jatkuvasti derivoituvia. Lisäksi vaadimme, että parametrialuee-seenA voidaan soveltaa Greenin lausetta ja ettäA:n reunaviivaCxu on suunnattu positiiviseenkiertosuuntaanxu-tasossa vastaten (annetunS:n parametrisoinnin kautta)C:n suunnistusta.

LaskemmeS:n normaalivektorinm käyttäen yo. parametrisointia:

m(x, u) =

(1,

∂g2

∂x,∂g3

∂x

)T

×(

0,∂g2

∂u,∂g3

∂u

)T

=

(· · · ,−∂g3

∂u,∂g2

∂u

)T

(emme laskeneet ensimmäistä komponenttia, sitä ei tarvita). Tämä normaalivektori on auto-maattisesti oikean suuntainen, ks. Liite 3, missä asia näytetään yleiselle parametrisoinnille.

Vastaavasti määrittelemmey-parametrisoituvuuden jaz-parametrisoituvuuden.

m

�

�t

x

u

��xu


F(r) =

F1(r)

F2(r)F3(r)

= G1(r) + G2(r) + G3(r),

missä

G1(r) =

F1(r)

00

, G2(r) =

0

F2(r)0

ja G3(r) =

0

0F3(r

.

Stokesin lauseessa tarvittava differentiaalioperaattori on ns.roottori. FunktionF(r) roottorion vektori


rot(F) =

∂F3

∂y− ∂F2

∂z∂F1

∂z− ∂F3

∂x∂F2

∂x− ∂F1

∂y

,

merkitään usein∇× F tai curl(F).3 Nimensä mukaisesti roottorilla on jotain tekemistä pyöri-misen kanssa. Otamme esimerkiksi globaalisesti pyörivän nopeuskentän.

Esimerkki. NopeuskenttäF(r) = (−cy, cx, 0)T, missäc > 0 on skalaarivakio, kuvaa vakio-kulmanopeudellac z-akselin ympäri positiiviseen kiertosuuntaan pyöriviä partikkeleita.z-ak-selin suunnasta katsoen kenttä on seuraavannäköinen:

F

x

y

z

Laskemme kentän roottorin:

∇× F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i∂

∂x−cy

j∂

∂ycx

k∂

∂z0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

0

02c

.

Roottorin suunta antaa siis kiertoakselin, josta kiertosuunta saadaan oikean käden säännöllä,ja pituus antaa kulmanopeuden kaksinkertaisena.

3Fysiikassa ja tekniikassa suositaan merkintää∇ × F. Se tulkitaan syntyneeksi vektoraalisen derivaattaope-

raattorin∇ = i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂zristitulona vektoriarvoisen funktionF = F1i + F2j + F3k kanssa. Tällöin

sovitaan, että varsinaiset derivaattaoperaattorit∂

∂xjne. käyttäytyvät kuten skalaarit ja että tulosta sievennettäessä

derivaattaoperaattorit kohdistetaan kohdefunktioon tai sen komponentteihin (viedään niiden vasemmalle puolelle).Ristitulon tapaan roottori voidaan siis esittää myös determinanttimuodossa

∇× F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i∂

∂xF1

j∂

∂yF2

k∂

∂zF3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.


Differentiaalisena operaattorina roottori antaa kentän lokaalisen kiertoakselin (suunta) jakulmanopeuden (puolet pituudesta). Tästä syystä roottoria kutsutaankin useinpyörteen tihey-deksitai pyörteisyydeksi.

Lause 4.4. (Stokesin lause) JospinnanS reunaviiva onC, ja se on sekäx-, y- ettäz-paramet-risoituva jaF on jatkuvasti derivoituva vektoriarvoinen funktio, niin∫

S

rot(F(r)) • dS =

∮C

F(r) • ds.

Todistus.Näytämme tuloksen vainG1(r):lle. G2(r):lle ja G3(r):lle se voidaan todistaa aivananalogisesti. Koko lauseen saamme, kun laskemme yhteen puolittain saadut kolme yhtälöä.

Lasketaan vaan, yhtäältä

∫S

rot(G1(r)) • dS =

∫S

(0,

∂F1

∂z,−∂F1

∂y

)T

• dS

= −∫A

(∂F1(x, g2(x, u), g3(x, u))

∂z

∂g3

∂u+

∂F1(x, g2(x, u), g3(x, u))

∂y

∂g2

∂u

)dxdu.

Toisaalta, josCxu:n reunaviivan parametrisointi on(x, u) = h(t) (α ≤ t ≤ β), niin valitsemmeS:n reunaviivanC parametrisoinniksir = g(h(t)) (α ≤ t ≤ β). Kummassakin parametrisoin-nissa tangentin ensimmäinen komponentti onh′

1(t). Siis, Greenin lauseen (se toinen muoto) jaKetjusäännön nojalla

∮C

G1(r) • ds =

β∫α

F1(g(h(t)))h′1(t) dt =

∮Cxu

(F1(x, g2(x, u), g3(x, u)), 0)T • ds

=

∫A

(− ∂

∂uF1(x, g2(x, u), g3(x, u))

)dxdu

= −∫A

(∂F1(x, g2(x, u), g3(x, u))

∂z

∂g3

∂u+

∂F1(x, g2(x, u), g3(x, u))

∂y

∂g2

∂u

)dxdu.

Useinkaan pintaS ei valmiiksi ole Stokesin lauseessa mainittua muotoa. Näin käy, jos esi-merkiksi pinnassa on reikiä, ks. kuva alla. Jos se kuitenkin voidaan jakaa osapintoihin käyt-täen äärellistä määrää paloittain sileitä jakoviivojaCi siten, että kullekin osapinnalle Stokesinlausetta voidaan yo. muodossa soveltaa, niin lause pätee koko pinnalleS. Tämä johtuu siitä,että suunnistuksesta johtuen jakoviiva näkyy yhdelle osapinnalleCi:nä ja naapurille−Ci:nä janäiden tangentit ovat vastakkaiset ja vastaavat integraalit summautuvat nollaksi. Osapintoja voi-daan vielä pyöritellä, ks. Pykälä 6.2. Tällä tavoin Stokesin lause saadaan soveltumaan sangenmonenlaisille pinnoille.4

Huomautus. Stokesin lause voidaan myös todistaa suoralla läpilaskulla yleisestä pinnan para-metriesityksestä lähtien. Tällöin kuitenkin vaaditaan parametriesityksen jatkuva derivoituvuuskahdesti. Ks. Liite 3.

4Aficionadoille huomautamme, että Stokesin lause yleistyy nättiin muotoon monistoille.


n

n

C3

C1

C2

Kokeilemme tuoretta lausettammez:sta riippumattomaan vektorikenttään

F(r) =

F1(x, y)

F2(x, y)0

, jolle rot(F(r)) =

00

∂F2

∂x− ∂F1

∂y

,

ja valitsemme pinnaksixy-tason alueenA, jonka reunakäyrä onC. Silloin Stokesin lausettakäyttäen saamme yhtälön∮

C

(F1(x, y), F2(x, y))T • ds =

∫A

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy

eli Greenin lauseen. Greenin lause siis todellakin on Stokesin lauseen erikoistapaus, kuten alus-sa totesimme (ehditkö jo epäillä?).

Stokesin lause kytkee Gaussin lauseen tavoin kaksi eri integraalilajia toisiinsa. Koska root-torin lauseke on sinänsä mutkikas, lausetta käytetään etupäässä tilanteissa, missä meillä on etu-käteistietoa jonkin kenttäsuureen roottorista. Seuraavassa joitakin esimerkkejä.

Esimerkki. Sähkötekniikassa tiedämme ns. Maxwellin yhtälöistä, että

∇× H = i,

missäH on magneettinen kentänvoimakkuus jai on virran tiheys. MikäliC (S:n reunaviiva) onriittävän sileä sulkeutuva, itseään leikkaamaton viiva, sen kautta voidaan asettaa saippuave-sikalvon tavoin lauseen vaatimukset täyttävä pintaS. Sovitulla oikeakätisellä suunnistuksella(ns. korkkiruuvisääntö) ∮

C

H • ds =

∫S

∇× H • dS =

∫S

i • dS.

Ensimmäinen integraali määrittelee kentänvoimakkuuden viivaintegraalin suljetun viivan ym-päri, viimeinen ilmoittaa sen suuruudeksi silmukan läpi kulkevan sähkövirran määrän. Tämätunnetaan ns.lävistyslainnimellä.


Esimerkki. Edelleen Maxwellin yhtälöistä

∇× E = −∂B

∂t.

Kuten edellä, vaaditut ehdot täyttävän sulkeutuvan silmukan ympäri∮C

E • ds =

∫S

∇× E • dS = −∫S

∂B

∂t• dS = − d

dt

∫S

B • dS = −dΦ

dt.

Sähkömotorinen voima suljetun silmukan ympäri on silmukan lävitse kulkevan magneettivuonaikaderivaatta.

Esimerkki. Ensimmäisenä approksimaationa—usein myös viimeisenä—monissa virtausprob-leemoissa oletetaan virtaavan aineen olevan ideaalinestettä: kitkatonta ja kokoon puristuma-tonta. Ns. Thomsonin virtauslause ilmoittaa, että tietyin varsin yleisin ehdoin virtaus, jolla no-peuden roottori on nolla virtausalueen alkupäässä, säilyttää tämän ominaisuuden koko aluees-sa. Tällöin tiedämme, että

∇× v = 0.

Mikäli C on sulkeutuva lauseen mukainen viiva ja sen yli voidaan asettaa pinta, jollav onmääritelty ja jatkuvasti derivoituva, viivan ympäri laskettu integraali on nolla:∮

C

v • ds = 0.

Mielenkiintoista kyllä, erityisesti virtaustehtävissä ei joskus ole mahdollista asettaa vaaditun-laista (kuvitteellista) pintaa tarkasteltavan silmukan yli. Näin on useimmiten siitä syystä, et-tä virtauskentässä on reikä: Nesteessä on vieras esine, esimerkiksi siipi, jonka alueella ei olenestettä eikä sen kummemmin virtaustakaan. (Vastaavaa tavataan sähkövirtauskentässä, kunjohteessa on reikä tai eristeenkappale.)

Reikäilmiöön törmätään erityisesti kaksidimensionaalisissa tehtävissä. Kaksidimensionaa-linen maailma on laskennallisesti oleellisesti kevyempi kuin kolmidimensionaalinen (CPU-aiko-jen suhteet ovat kolmen kertaluvun luokkaa.) Kaksidimensionaaliseen malliin päädytään olet-tamalla, että ilmiö jatkuu samanlaisenaz-suunnassa: virtauskuva tms. mielivaltaisella korkeu-della z on samanlainen,xy-tason suuntainen. Tällöin virtauksessa olevat siivet ym. ovat ää-rettömän pitkiä (z-suunnassa), jolloin siiven ympäri kulkevan silmukan kautta ei voida asettaapintaa, jolla virtaus olisi määritelty.

z

x

y

C

x

y

C

z


Joskuitenkin tiedetään, että virtauksella∇×v = 0, voimme osoittaa, että mielivaltaisella,reiän kiertävän viivan ympäri lasketulla viivaintegraalilla on sama arvo

Γ =

∮v • ds,

joka niin muodoin voidaan laskea mukavinta mahdollista integrointitietä pitkin. Tällä on merki-tystä vaikkapaZukovskijn5 nostovoimalauseen soveltamisessa. Lause näet ilmoittaa kaksiulot-teisen siiven nostovoimaksi pituusyksikköä kohden äärettömyydestä nopeudellav∞ lähestyvällenesteelle (ilmalle, tiheydeltäänρ) voimanF = ρΓv∞. (Voima on kohtisuorassa kaksiulotteistanopeutta vastaan, suuntautuu lentokoneesta tutulla tavalla.)

Edellä mainittu integrointitiestä riippumattomuus nähdään havainnollisesti seuraavasti:Jos meillä on kaksi siiven kiertävää viivaa,C1 ja C2, voimme leikata ne kuvitteellisesti poik-ki ja yhdistää ne kaksinkertaisella yhdystielläL yhdeksi isoksi suljetuksi viivaksiC alla olevankuvan mukaisesti. Suljetun silmukanC kautta voimme asettaa pinnan, jollav on määritelty,jolloin roottorin oletetusta häviämisestä johtuen∮

C

v • ds = 0.

Toisaalta integraalia laskettaessa yhdysviivanL yli integraali lasketaan kahteen kertaan, päin-vastaisiin suuntiin. (Yhdysviiva on piirretty havainnollisuuden vuoksi kaksinkertaisena.) ViivanC yli laskettavassa kokonaisintegraalissa nämä osat kumoavat toisensa vastakkaismerkkisinä.Siten (ajattele kiertosuuntia)

x

y

C1

z

C2

x

y

C

z

L

∮C

v • ds =

∮C1

v • ds −∮C2

v • ds = 0,

mistä seuraakin väitetty silmukkaintegraalien yhtäsuuruus.Edellä esitetty integrointiteitten silpominen ja yhdistely on yleisesti käytetty temppu.

Stokesin lauseen ehkä tärkein sovellutus tulee esille myöhemmin koskien kenttiä, joilla∇ × F = 0. Sen avulla pääsemme kiinni skalaaripotentiaaliin ja sitä kautta tehtävän asette-luun, jolle löytyy valmisohjelmien tuki. Ks. myös Liite 4.

5Usein Joukowsky!

Luku 5

DERIVAATTAOPERAATTORIT

5.1 Derivointisääntöjä

Olemme jo edellä tavanneet melkein kaikki tavallisimmat derivaattaoperaattorit, gradientin(nablan), divergenssin ja roottorin. Listasta puuttuu vielä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden kan-nalta keskeinen gradientin divergenssi eli ns. Laplacen operaattori

∆f = ∇ • (∇f) =∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2

(+

∂f 2

∂z2

).

Muita merkintöjä ovat lap(f), del(f), divgrad(f) ja ∇2f .1 Tällaiseen lausekkeeseen pyritäänkynsin hampain, sillä esimerkiksi yhtälö ∆f = 0 onnistutaan yleensä ratkaisemaan valmisoh-jelmilla. Laplacen operaattori on toisen kertaluvun derivaattaoperaattori. Tarvitsemme joskusLaplacen operaattorin myös kohdistettuna vektorikenttään. Tällöin R

3:ssa

F =

F1

F2

F3

ja ∆F =

∆F1

∆F2

∆F3

,

vastaavasti R2:ssa.

Ensimmäinen huomiomme on, että nämä operaattorit ovat lineaarisia, ts. jos c1 ja c2 ovatskalaarivakioita, niin esimerkiksi

∇(c1f + c2g) = c1∇f + c2∇g ja

∇ • (c1F + c2G) = c1∇ • F + c2∇ • G , jne.

Derivaattaoperaattori nabla,

∇ =∂

∂xi +

∂

∂yj

(+

∂

∂zk

),

on otettu käyttöön vähentämään mutkikkaitten lausekkeitten sieventämisessä tarvittavaa ajatus-työtä. Sille sovitaan/saadaan seuraavanlaiset laskusäännöt:

(A) Vektorialgebran kannalta ∇ käyttäytyy kuten vektori. Sen yksikkövektoreiden kertoimet∂/∂x jne. käyttäytyvät skalaarien tavoin. Lopullisessa sievennyksessä on huolehdittava

1Viimemainitussa tulkitsemme taas ∇:n vektoriksi ja kirjoitamme formaalisesti ∆f = (∇ •∇)f . (Älä sekoitajoskus esiintyvään operaattoriin ∇(∇ • F).) Rakkaalla lapsella on monta nimeä.

86

LUKU 5. DERIVAATTAOPERAATTORIT 87

siitä, että derivaattaoperaattorit kirjoitetaan kohteittensa vasemmalle puolelle, jotta ne näi-hin kohdistuisivat. Tarvittaessa käytetään (ad lib.) sulkumerkkejä ja alaindeksiä c (tuleekohta) rajoittamaan derivaattaoperaattoreiden kohdistumista. Oletamme aina seuraavassa,että ao. derivaatat ovat olemassa.

Esimerkki. Lausekkeessa(∇ • F)(r − r0) vektorir − r0 on kerrottu skalaarifunktiolla∇ • F. Sen sijaan

(F • ∇)(r − r0) =

(F1

∂

∂x+ F2

∂

∂y+ F3

∂

∂z

)((x − x0)i + (y − y0)j + (z − z0)k)

= F1i + F2j + F3k = F.

(B) Nablan kohdistuessa tuloon tämä jakautuu kahteen osaan. Seuraavassa merkitään alain-deksillä c termiä, johon ∇ ei kohdistu, joka siis käyttäytyy derivoinnissa kuten vakio (cfor constant, you see). Näin saamme laskusäännöt

(i) ∇(fg) = ∇(fgc) + ∇(fcg) = g∇f + f∇g (skalaarifunktioiden tulo)

(Skalaari voi olla kummalla puolella vektoria ∇ tahansa. Siisteyssyistä se siirretäänsiten, että ∇ kohdistuu siihen skalaarifunktioon kuin pitääkin.)

(ii) ∇ • (fG) = ∇ • (fGc) + ∇ • (fcG) = ∇f • G + f∇ • G

(Vektoreita tässä skalaarifunktion ja vektorifunktion tulon divergenssissä ovat ∇ jaG. Muodollisesti skalaarin tavoin käyttäytyvä f puikahtelee sopivalla tavoin vekto-reiden tai skalaaritulon kertoimena.)

(iii) ∇× (fG) = ∇× (fGc) + ∇× (fcG) = ∇f × G + f∇× G

(iv) ∇ • (F × G) = ∇ • (F × Gc) + ∇ • (Fc × G) = ∇× F • G − F • ∇ × G

(v) ∇× (F × G) = ∇× (F × Gc) + ∇× (Fc × G)

= (G • ∇)F − (∇ • F)G + (∇ • G)F − (F • ∇)G

(Huomaa, että esimerkiksi

(G • ∇)F =

(G1

∂

∂x+ G2

∂

∂y+ G3

∂

∂z

)(F1i + F2j + F3k) = F′G,

jossa on avattuna jumalattomat 9 yhteenlaskettavaa!)

(vi) ∇(F • G) = ∇(F • Gc) + ∇(Fc • G)

= (G • ∇)F − (∇× F) × G − (∇× G) × F + (F • ∇)G

(Matriisimuodossa kaava on mukava: ∇(F • G) = F′TG + G′TF.)

(vii) (∇× F) × G = (F′ − F′T)G

(Ristitulot ja roottorit ovat oikein käteviä vektorianalyysissä ja fysiikassa, mutta yk-si vika niillä on: ne sopivat huonosti yhteen matriisinotaation kanssa. Tämä kaavaon eräs silmänkääntötemppu, jolla niitä voi yhdistää. Epäuskoinen tarkistaa purka-malla, please.)

Mihinkä ylläoleva perustuu? Sekä tavallinen että skalaari- ja ristitulo aukikirjoitettuinakoostuvat yhteenlaskettavista, joiden skalaariosa on tulo, jossa on yksi tekijä kummas-takin vektorista (skalaarista). Kun tämän kanssa naitetaan ∇ jonkin em. tulon voimalla,yhteenlaskettavien skalaarikertoimet ovat kolmen tekijän tuloja: yksi on derivaattaope-raattorina peräisin nablasta, kaksi muuta ovat funktion komponentteja, toinen toisesta,


toinen toisesta funktiosta lähtöisin. Kukin yhteenlaskettava on siten tulon derivaatta. Sejakautuu derivoitaessa kahtia à la (uv)′ = u′v + uv′ = (uvc)

′ + (ucv)′. Teemme kustakinyhteenlaskettavasta kaksi uutta varustamalla ensin toisen, sitten toisen derivoitavan alain-deksillä c. Ryhmittelemme termit kahteen läjään, ensimmäiseen ne, joissa G-peräisissätermeissä on alaindeksi c, toiseen ne, joissa F-peräisissä termeissä on alaindeksi c. Pa-nemme palaset takaisin alkuperäisiksi kolmituloiksi, ensimmäisen läjän erikseen, toisenläjän erikseen. Tuloksena on kaksi kappaletta alkuperäisen tulon mallisia tuloja, alaindek-sein c varustettuina kuten yllä (vrt. uv-esimerkki). Kuulostiko vakuuttavalta?

(C) Toisen kertaluvun derivaatoille saamme säännöt

(viii) ∇×∇f = 0 (olettaen, että f on kahdesti jatkuvasti derivoituva)(Jos lukija ystävällisesti vaivautuu kirjoittamaan vasemman puolen auki, hän huo-maa, että lauseke menee nollille, mikäli derivointijärjestystä saa vaihtaa—siitä tuoriittävä ehto toisten derivaattojen jatkuvuudesta. Tulos, gradienttikentän pyörteet-tömyys, on hyvin kätevä sieventämistyössä. Tuloksen muistaa, koska symbolisesti∇ × ∇f = (∇ × ∇)f ja vektorin ristitulo itsensä kanssa on nollavektori. Todel-lisuudessa vaaditaan tietysti derivaattaoperaattoreiden kommutoiminen, derivointi-järjestyksen vaihto.)

(ix) ∇ • (∇× F) = 0 (olettaen, että F on kahdesti jatkuvasti derivoituva)(Jos lukija jälleen ystävällisesti vaivautuu kirjoittamaan vasemman puolen auki, hänhuomaa, että se on nolla, mikäli derivointijärjestystä saa vaihtaa. Tämäkin tulos,pyörrekentän lähteettömyys, on hyvin kätevä. Tuloksen muistaa, koska symbolises-ti kyseessä on skalaarikolmitulo, jossa on kaksi samaa vektoria—nimittäin ∇—jasellainenhan on nolla. Todellisuudessa vaaditaan tietysti jälleen derivointijärjestyk-sen vaihto.)

(x) ∇× (∇×F) = ∇(∇•F)−∆F (olettaen, että F on kahdesti jatkuvasti derivoituva)(Kaavamme, ns. kaksoisroottorin kehityskaava,on jälleen todistettavissa kirjoitta-malla molemmat puolet aivan auki. Tulos tuo toki elävästi mieleen vektorikolmitu-lon kehityskaavan a × (b × c) = (a • c)b − (a • b)c.)

Huomautus. Kaikki yo. kaavat(i)–(x) ovat itse asiassa symbolisia identiteettejä ja ne voidaantodentaa raa’alla laskulla. Maple-ohjelmisto on tässä vähemmän luovassa työssä sangen käyt-tökelpoinen.

Teknisissä sovelluksissa roottori tunnetaan usein a priori. Jos esimerkiksi alunperin levossaollut kitkaton ideaalineste valuu minkälaisessa rännissä tahansa, nopeuskentän roottori on nolla.Roottoriin kannattaa tällöin sievennysmielessä pyrkiä, sillä se supistuu pois.

Miksi näin monta derivaattaoperaattoria ja niille näin monta laskusääntöä (eikä tässä vieläedes ole kaikki)? Toteamme vain vihjaillen, että siirtymällä abstrakteihin rakenteisiin asiat yk-sinkertaistuvat tässä suhteessa kovasti. Monistopohjainen käsittely on eräs tällainen abstraktio,ks. esimerkiksi HUBBARD & HUBBARD tai RUDIN (ja kurssi Vektorianalyysin jatkokurssi!).Toinen tapa olisi käyttää sopivaa ns. Cliffordin algebraa eli geometrista algebraa, ks. esimerkik-si alan klassikko HESTENES & SOBCZYK.

5.2 Koordinaatistoriippumattomuus

Vektorien skaalaaritulo ja ristitulo ovat koordinaatistoriippumattomia. Asia on jokseenkin selvä,kun muistelemme miten ne geometrisesti määriteltiin (”pituuksien tulo kertaa välisen kulman


kosini” jne.), mutta voitaisiin toki todistaa myös koordinaatistomuunnosta käyttäen. Tästä seu-raa jokseenkin välittömästi, että myös viiva- ja pintaintegraalit ovat koordinaatistoriippumatto-mia.

Fysikaalisessa mallinnuksessa koordinaatistoriippumattomuus on pakollista. On varsin vai-kea mieltää fysikaalisiksi kenttiä ja operaatioita, joiden määrittelyyn tarvitaan aivan tietty koor-dinaatisto.2

Derivaattaoperaattorimme gradientti, divergenssi, roottori ja Laplacen operaattori ovat osit-taisderivaattojen avulla määriteltyjä ja näyttäisivät näin olevan sidoksissa tiettyyn koordinaatis-toon. Ne ovat kuitenkin koordinaatistoriippumattomia. Näytämme asian (ja huokaisemme hel-potuksesta). Palautamme ensin mieleemme koordinaatistomuunnoksen, joka muuntaa ”vanhat”koordinaatit r uusiksi koordinaateiksi r∗. (Koordinaatistot ovat oikeakätisiä.) Silloin

r∗ = Qr + b,

missä Q on ortogonaalimatriisi ja b on vakiovektori (rotaatio + translaatio). Vektorit voidaanesittää pisteparien avulla, jolloin voimme olettaa, että b = 0, ja saamme vastaavaksi muun-nokseksi r∗ = Qr. Tällöin Q:n sarakkeet antavat siis vanhat koordinaattivektorit uusien avulla.Merkitsemme uusissa koordinaateissa laskettua nablaa ∇∗:lla. Koordinaatistoriippumattomuustarkoittaa silloin seuraavia kaavoja:

1. ∇∗(f(QT(r∗ − b))) = Q∇f(r)

(Siirrytään vähentämällä b sekä QT:lla kertomalla uusista koordinaateista r∗ vanhoihin,lasketaan f ja muodostetaan gradientti uusien koordinaattien avulla. Tuloksen pitää ol-la sama kuin laskettaessa gradientti vanhoissa koordinaateissa ja siirtämällä tulos Q:llakertomalla uusiin koordinaatteihin.)

2. ∇∗ • (QF(QT(r∗ − b))) = ∇ • F(r)

(Siirrytään vähentämällä b sekä QT:lla kertomalla uusista koordinaateista r∗ vanhoihin,lasketaan F, siirretään Q:lla kertomalla tulos uusiin koordinaatteihin ja muodostetaan di-vergenssi uusien koordinaattien avulla. Tuloksen pitää olla sama kuin laskettaessa diver-genssi vanhoissa koordinaateissa.)

3. ∇∗ × (QF(QT(r∗ − b))) = Q(∇× F(r))

2Mitä mieltä lukija muuten on seuraavasta vektorikentästä. Oletamme, että fysikaalisessa paikka-avaruudessaon määritelty skalaarikenttä. Pystymme mittaamaan skalaarikentän suuruuden jokaisessa tarkastelualueen pistees-sä, mittayksikkö on sovittu.

Kun mittaamme skalaarikentän arvon pisteessä, jonka koordinaatit ovat r, mittauksen hinta on F1(r) mk, mit-tauksen suoritusaika on F2(r) s, ja mittauksen suhteellinen virhe on F3(r) %. Voimme pitää mittauksia kolmikko-na, jolle voidaan valita laaduilla varustetut kantavektorit

e1 =

1 mk

0 s0 %

, e2 =

0 mk

1 s0 %

, e3 =

0 mk

0 s1 %

.

Tämän jälkeen meillä on koordinaattiavaruuksien välinen kuvaus

F : R3 → R

3 , F : r �→

F1(r)

F2(r)F3(r)

.

Voimmeko muodostaa koordinaatistosta riippumattomia risti- ja pistetuloja vektorin F ja paikkavektorin r välillä,jos yksiköistä sovitaan?


(Siirrytään vähentämällä b sekä QT:lla kertomalla uusista koordinaateista r∗ vanhoihin,lasketaan F, siirretään Q:lla kertomalla tulos uusiin koordinaatteihin ja muodostetaanroottori uusien koordinaattien avulla. Tuloksen pitää olla sama kuin laskettaessa roottorivanhoissa koordinaateissa ja siirtämällä tulos Q:lla kertomalla uusiin koordinaatteihin.)

Lause 5.1. Gradientti, divergenssi, roottori ja Laplacen operaattori ovat koordinaatistoriippu-mattomia.

Todistus.Laplacen operaattorin kordinaatistoriippumattomuus seuraa suoraan gradientin ja di-vergenssin vastaavasta ominaisuudesta. Merkitsemme muiden riippumattomuuksien todistami-seksi

f ∗(r∗) = f(QT(r∗ − b)) ja F∗(r∗) = QF(QT(r∗ − b)).

Ketjusäännön mukaan on silloin

f ∗′(r∗) = f ′(r)∂r

∂r∗= (∇f(r))TQT ja vastaavasti F∗′(r∗) = QF′(r)QT.

Siispä välittömästi toteamme, että

(∇∗f ∗(r∗))T = f ∗′(r∗) = (∇f(r))TQT,

josta kaava 1. saadaan transponoimalla.Kaavan 2. näyttämiseksi määrittelemme ensin sangen käyttökelpoisen neliömatriisin tun-

nusluvun (melkein yhtä käyttökelpoisen kuin determinantti). Neliömatriisin A jälki (engl. trace)trace(A) on sen lävistäjäalkioiden summa. Jäljellä on (monien muiden mukavien ominaisuuk-sien lisäksi) se ominaisuus3, että jos matriisitulo AB on neliömatriisi, niin

trace(AB) = trace(BA).

Nyt

F′ =

∂F1

∂x

∂F1

∂y

∂F1

∂z∂F2

∂x

∂F2

∂y

∂F2

∂z∂F3

∂x

∂F3

∂y

∂F3

∂z

,

joten

trace(F′) =∂F1

∂x+

∂F2

∂y+

∂F3

∂z= ∇ • F.

Siispä saamme laskemalla kaavan 2.:

∇∗ • F∗(r∗) = trace(F∗′(r∗)) = trace(QF′(r)QT) = trace(QTQF′(r))

= trace(F′(r)) = ∇ • F(r).

(Todistus R2:ssa on samankaltainen.)

Kaavan 3. toteamiseksi tarvitsemme matriisin QT sarakkeet q1,q2,q3. Laskemme malliksiroottorin ∇∗ × F∗(r∗) ensimmäisen komponentin. Säännön (vii) (edellinen pykälä) ja skalaari-kolmitulon kiertosäännön nojalla nimittäin

3Eikä ole vaikea todistaa. Jos nimittäin A = (aij), B = (bij), AB = (cij) ja BA = (dij), niin

trace(AB) =3∑

k=1

ckk =3∑

k=1

3∑l=1

aklblk =3∑

l=1

3∑k=1

blkakl =3∑

l=1

dll = trace(BA).


(∇∗ × F∗(r∗))1 =∂F ∗

3

∂y∗ − ∂F ∗2

∂z∗= qT

3 F′(r)q2 − qT2 F′(r)q3 = qT

3 (F′(r) − F′(r)T)q2

= q3 • (∇× F(r)) × q2 = q2 × q3 • (∇× F(r))

= q1 • (∇× F(r)) = (Q(∇× F(r)))1.

(Koska uusikin koordinaatistomme on oikeakätinen, niin q2 × q3 = q1.)

Gradientin tapauksessa koordinaatistoriippumattomuus on aika havainnollistakin. Gradient-tihan nimittäin osoittaa suuntaan, johon skalaarikenttä nopeimmin kasvaa, ja sen pituus on juuriko. kasvunopeus (suunnattu derivaatta). Nämä ovat saatavissa arkipäiväisin fysikaalis-geomet-risin konstein ilman mitään koordinaatistoja. Divergenssin ja roottorin tapaukset eivät sittenenää olekaan yhtä selviä.

Huomautus. Jotta saisimme Greenin, Gaussin ja Stokesin lauseet laajalti käyttöön, pitääalueet, kappaleet ja pinnat jakaa osiin, niin että voisimme soveltaa esitettyjä ”perusmuotoi-sia” lauseita. Mainittuja osia pitää kuitenkin sitä ennen usein pyöritellä sopivaan asentoonkäytettyyn koordinaatistoon nähden. Lause 5.1 (ja ko. integraalien oma koordinaatistoriippu-mattomuus) takaa, että tämä voidaan tehdä tulosten muuttumatta. Mukava tietää tuokin!

5.3 Heikot derivaattaoperaattorit

Tavallinen derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h.

Tämä on itse asiassa kaiken numeerisen ja kokeelliseen dataan perustuvan derivoinnin perusta(tekemällä sopivia mittauksia voimme määrittää derivaatan miten tahansa tarkasti). Kun kirjoi-tamme raja-arvon keskeiserotusosamäärää käyttäen

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x − h)

2h,

toteamme, että saamme derivaatan toisinaan silloinkin, kun f(x) on epäjatkuva, kokeile vaik-kapa funktioon

h(x) =

{x2, kun x �= 0

1, kun x = 0

origossa, jolle keskeiserotusosamäärä antaa derivaatan h′(0) = 0. Tällaista derivaattaa kutsu-taan heikoksi derivaataksi.4

Mutta kuinka on asian laita derivaattaoperaattoriemme kanssa? (Laplacen operaattori ontoista kertalukua, joten sen jätämme nyt pois.) Näillekin voidaan määritellä eräänlaiset erotus-osamäärät, joiden raja-arvoina ne saadaan, sekä vastaavat heikot derivaatat.

Aloitamme divergenssistä. Oletimme, että tarkastelupisteen ympäristössä funktio F on jat-kuvasti derivoituva. Jos erotamme pisteen r0 ympäriltä mielivaltaisen kappaleen K, joka onmuodoltaan riittävän säännöllinen ja paloittain sileän pinnan S rajoittama (normaalivektori nulospäin suunnattu), niin Gaussin lauseen mukaan

4Tarkemmin ottaen määrittelemme funktion f(x) heikon derivaatan g(x) siten, että yhtälö f(x) = f(a) +∫ x

ag(t) dt toteutuu jollekin vakiolle a funktion f jatkuvuuspisteissä. Heikot derivaatat ovat käytössä silloin, kun

toimitaan ”integraalin sisällä” eikä tavallisia derivaattoja ole aina olemassa.


∫K

∇ • F(r) dr =

∮S

F(r) • dS.

K

S

n

r0

Divergenssin ∇•F(r) oletetusta jatkuvuudesta ja integraalilaskennan väliarvolauseesta seuraa,että kappaleessa K on sellainen piste ρ, että

∇ • F(ρ) =1

‖K‖

∮S

F(r) • dS,

missä ‖K‖ on kappaleen K tilavuus. Edelleen divergenssin jatkuvuudesta seuraa, että mikälikappale K kutistuu pistettä r0 kohti siten, että sen lävistäjä diag(K) (suurin etäisyys kahdenkappaleen pisteen välillä) lähenee nollaa (jolloin yllä ρ → r0), niin

∇ • F(r0) = limdiag(K)→0

1

‖K‖

∮S

F(r) • dS.

Mikäli oikean puolen raja-arvo on olemassa, lauseketta voidaan pitää divergenssin määri-telmänä. (Määrittely R

2:ssa on tietysti aivan analoginen.) Itse asiassa useimmissa teknisissäsovellutuksissa tällä määritelmällä on yksinkertainen fysikaalinen tulkinta. Eräissä tärkeissä ta-pauksissa raja-arvo on olemassa, vaikka funktio F ei ole edes jatkuva. Kutsumme raja-arvoasilloin funktion F heikoksi divergenssiksitarkastelupisteessä r0. Tiedämme esimerkiksi empii-risesti, että mikäli B on magneettikentän vuon tiheys, niin mielivaltaiselle suljetulle pinnalle Son

∮S B • dS = 0. Tulos pitää paikkansa, vaikka pinnan sisällä kulkisi ilman ja ferromagneet-

tisen aineen rajapinta, jolla kenttä B on epäjatkuva.Lauseke F(r) • dS = F(r) • n dS ilmoittaa kentän F vuon kyseisen pinta-alkion lävitse

pinnan sisäpuolelta sen ulkopuolelle. Jos F on nestevirtauksen nopeus, niin pinta-alkion lävit-se poistuu pinnan sisäpuolelta nestettä sen ulkopuolelle tilavuusnopeudella F(r) • n dS. (Kul-kuaukon dS projektio virtausta vastaan kohtisuoraan tasoon on ilmeisestikin | cos ∠(n,F)| dS,miksi muuten?) Skalaaritulon F(r) • n etumerkistä johtuen kyseessä on etumerkillä varustettuvuo ulospäin. Jos F(r) • n < 0, niin vuo suuntautuu sisäänpäin (negatiivinen vuo ulospäin).Mikäli F on nesteen virtausnopeuskenttä, tässä tapauksessa nestettä kulkee ao. kohdalla pinnansisään.

Pinta-alkiota koskevan vuotulkinnan avulla pintaintegraali∮S F •dS voidaan tulkita kentän

F kokonais(netto)vuoksi pinnan lävitse sisältä ulos. Se ilmoittaa myös, kuinka paljon enem-män vuota tulee pinnan sisältä ulos kuin mitä sinne mitä menee sisään. Vuota ikäänkuin syntyypinnan sisällä. Sanomme, että pinnan sisällä on vuon lähde.Mikäli funktio F on jatkuvasti deri-voituva, suljetun pinnan S sisällä olevan lähteen antoisuus(paljonko ulostulevaa ylijäämävuota


syntyy) on Gaussin lauseen perusteella∮S

F(r) • dS =

∫K

∇ • F(r) dr.

Vastaavasti lähteen keskimääräinen tiheyskappaleessa K on

1

‖K‖

∮S

F(r) • dS =1

‖K‖

∫K

∇ • F(r) dr.

Lähteen paikallinen tiheyseli yksinkertaisesti lähteen tiheyseli lähteisyyssaadaan antamallakappaleen K kutistua pisteen r0 ympärille. Lähteen tiheys pisteessä r0 on

ρ(r0) = limdiag(K)→0

1

‖K‖

∮S

F(r) • dS = ∇ • F(r0).

Esimerkki. Oletamme, ettäD(r) on sähkökentän vuon tiheys. Sähköstatiikan lävistyslaista tie-dämme, että integraali ∮

S

D • dS

on pinnanS sisällä oleva kokonaisvaraus. Mikäli varaus on jatkuvasti jakautuneen varausti-heydenρ(r) muodossa, niin saamme kokonaisvaraukselle lausekkeen∮

S

D • dS =

∫K

ρ(r) dr.

Antamalla kappaleenK ”kutistua pisteenr0 ympärille” saamme varaustiheyden oletetusta jat-kuvuudesta johtuen

ρ(r0) = limdiag(K)→0

1

‖K‖

∮S

D • dS = ∇ • D(r0).

Kyseessä on edellä mainittu heikko divergenssi. Mikäli kenttäD on jatkuvasti derivoituva, ky-seessä on tavallinen divergenssi. Tekniikkaan liittyvissä tehtävissä on tavallista pyrkiä tilan-teisiin, joissa vaadittu jatkuvuus löytyy kaikkialta muualta paitsi ehkä osa-alueiden välisiltärajapinnoilta (esimerkiksi, kunρ(r) on jatkuvasti derivoituva).5

Gradientin tapaus palautuu divergenssiin.Toteamme nimittäin, että gradientin ∇f(r) pro-jektio yksikkövektorille m eli suunnattu derivaatta suuntaan m on lausuttavissa divergenssinä:

m • ∇f(r) = ∇ • (f(r)m)

Näin ollen heikko derivaatta suuntaanm on

m • ∇f(r0) = limdiag(K)→0

1

‖K‖

∮S

f(r)m • dS = m • limdiag(K)→0

1

‖K‖

∮S

f(r)dS

ja heikko gradienttion

5Emme malta olla tässä viittaamatta klassiseen mainioon sähkömagnetiikan kirjaan STRATTON, J.A: Electro-magnetic Theory.McGraw–Hill (1941). Oldie but goodie!


∇f(r0) = limdiag(K)→0

1

‖K‖

∮S

f(r)dS.

(No, Vektoraalisesta Gaussin lauseestahan tämä tulee myös.)Ja sitten roottoriin. Konstruoimme tarkastelupiste r0 keskipisteenä tasomaisen ympyräkie-

kon S, jonka suunnistamme valitsemalla normaalin n suunnan sekä siihen liittyvän positiivisenkiertosuunnan (korkkiruuvisääntö). Olkoon kiekon säde R ja reunaympyrä C.

F

n

K

S

Cr0 ds

Stokesin lauseen mukaan tällöin∫S

∇× F(r) • n dS =

∫S

∇× F(r) • dS =

∮C

F(r) • ds,

missä oikean puolen suunnistettu viivaintegraali lasketaan reunakäyrän ympäri positiiviseensuuntaan (suunnistuksen mukaisesti). Väliarvolauseen mukaan kiekolta löytyy sellainen pisteρ, että

∇× F(ρ) • n =1

πR2

∮C

F(r) • ds.

Funktion F derivaattojen oletetusta jatkuvuudesta seuraa, että kiekon säteen lähestyessä nollaa

∇× F(r0) • n = limR→0

1

πR2

∮C

F(r) • ds.

Oikean puolen lauseke ei ole sidottu koordinaatistoon, pystymme laskemaan sen ”paikan pääl-lä” kunhan vain mittayksiköistä on sovittu. Huomaa, että normaali n on sidottu kiekkoon, ja semäärää kiertosuunnan viivaintegraalissa! Pystymme siis laskemaan heikon roottorinprojektionmielivaltaiselle yksikkövektorille n tuntien ainoastaan (jatkuvasti derivoituvan) kentän F sekäsopimalla mittayksiköistä.

5.4 Derivaattaoperaattorit napa-, sylinteri- ja pallokoordi-naatistoissa

Vektorikenttiä koskevien tehtävien yhteydessä suurin osa matemaattisista toimenpiteistä tapah-tuu yhdessä pisteessä, tarkastelupisteessä. Jopa kaukovaikutuksia sisältävissä tehtävissä (va-rausten ja virtojen aiheuttamat kentät, vetovoimakenttä jne.) pyrimme pääsemään eroon erilli-sistä lähdepisteestä ja tarkastelupisteestä sopivaan osittaisdifferentiaaliyhtälöön siirtymällä. Sil-loin kun tarkastelemme eri kenttiä samassa pisteessä muussa kuin karteesisessa koordinaatis-tossa, on luontevaa siirtyä uutta koordinaatistoa vastaavaan lokaaliseen koordinaatistoon.

Olettakaamme, että olemme siirtyneet uusin koordinaatteihin u = (u, v, w) muunnoskaavanr = h(u) kautta. Tällöin on kätevää määritellä lokaaliset koordinaattiyksikkövektorit


eu =

∂h

∂u∥∥∥∥∂h

∂u

∥∥∥∥, ev =

∂h

∂v∥∥∥∥∂h

∂v

∥∥∥∥, ew =

∂h

∂w∥∥∥∥∂h

∂w

∥∥∥∥.

Esimerkiksi vektori eu ilmoittaa, mihin suuntaan tarkastelupiste liikahtaa koordinaatin u saa-dessa differentiaalisen pienen lisäyksen.

Normeerauksesta johtuen vektorit ovat yksikkövektoreita alkuperäisessä tarkastelu(koordi-naatti)avaruudessa R

3. Ja koska koordinaatistomuunnoksissa on aina oltava det(h′(u)) �= 0,vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. (Poikkeuksen muodostavat koordinaattijärjestelmänmahdolliset sellaiset viivat, joilla det(h′(u)) = 0, esimerkiksi sylinterikoordinaatiston akselir = 0.) Tarkastelupisteessä vektorit muodostavat siten kannan: olemme konstruoineet lokaali-sen koordinaatiston.

Näitä koordinaattivektoreita vastaavat fysikaalisessa paikka-avaruudessa sekä tarkastelta-vissa kentissä samoin orientoidut fysikaaliset yksikkövektorit. Olemme siten koko ajan selvil-lä uusien yksikkövektoreiden suunnista suhteessa tarkasteltavaan fyysiseen tilaan. Paikallistenkoordinaattivektoreiden suunnat vaihtelevat tarkastelupisteestä toiseen. Samassa tarkastelupis-teessä voimme mainiosti käyttää niitä eri kenttien ja paikan välisiin operaatioihin. Sen sijaankaukovaikutusten (esimerkiksi Biot–Savart-laki tai varauksen aiheuttama kenttä) mallintami-nen niiden avulla on kömpelöä: joutuisimme kuitenkin suhteuttamaan vektorit alkuperäiseenkarteesiseen koordinaatistoon eli fysikaalisen avaruuden absoluuttisiin suuntiin.

Kätevimmillään lokaaliset koordinaatistot ovat silloin, kun kantavektorit ovat keskenään or-togonaaliset. Näin on asianlaita tekniikassa yleisimmin käytetyissä sylinteri- ja pallokoordinaa-tistoissa. Napakoordinaatiston tapaus saadaan erikoistapauksena sylinterikoordinaatistosta, kunotetaan muotoa f(x, y) oleva skalaarikenttä tai muotoa F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y), 0)T olevavektorikenttä. Tarkastelemmekin vain sylinteri- ja pallokoordinaatistoja.

Sylinterikoordinaatiston yksikkövektoreiden er, eφ, ez suunnat hahmotetaan parhaiten mää-ritelmän mukaan: mihin suuntaan liikahtaa tarkastelupiste, kun esimerkiksi koordinaatti r saadifferentiaalisen lisäyksen. Vastaavan suuntainen alkuperäisen karteesisen koordinaattiavaruu-den yksikkövektori on paikallinen koordinaattivektori er. Vektorit on helppo mieltää keskenäänortogonaalisiksi geometrisin perustein. Analyyttisesti tämän voi halutessaan todeta lokaalistenkoordinaattivektoreiden määritelmistä ja muunnosyhtälöistä

r =

x

yz

= h(u) =

r cos φ

r sin φz

.

r

φ

x

y

z(r,φ,z)

er

ez

eφ

z


Sylinterikoordinaatisto suhteutetaan tavallisesti yllä olevan kuvan mukaisella tavalla kartee-siseen koordinaatistoon. Havaitsemme, että koordinaattiakselilla z vektori eφ ei ole määritelty.Mainittu akseli on singuläärinen siinä mielessä, että sillä det(h′(u)) = 0 eikä kulmamuuttu-ja φ ole yksikäsitteisesti määrätty. Tarkastelupisteessä (r, φ, z) vektorikenttä F on esitettävissämuodossa

F = Fr(r, φ, z)er + Fφ(r, φ, z)eφ + Fz(r, φ, z)ez.

Jos samassa pisteessä on määritelty myös kenttä G, lokaalisen koordinaatiston kantavektoreidenortonormaalisuudesta johtuen

F • G = FrGr + FφGφ + FzGz.

Koska kirjoittamassamme järjestyksessä kantavektorit muodostavat oikeakätisen systeemin, onvastaavasti

F × G =

∣∣∣∣∣∣er Fr Gr

eφ Fφ Gφ

ez Fz Gz

∣∣∣∣∣∣ .

Huomaa, että et voi käyttää ristituloa tässä muodossa kaukovaikutuksen mallintamiseen (esi-merkiksi Biot–Savart-laissa), koska lähdepisteessä ja tarkastelupisteessä meillä on aivan erilai-set lokaaliset koordinaatistot.

Pallokoordinaatiston yksikkövektorit eρ, eθ, eφ on jälleen helppo mieltää tarkastelupisteenvirtuaalisen liikkeen perusteella koordinaattien ρ, θ, φ kunkin vuorollaan saadessa differentiaa-lisen lisäyksen:

φ

θ ρ

eρ

eφ

eθ

x

y

z

Pallokoordinaatisto asetetaan vastaamaan karteesista kuvan osoittamalla tavalla. Muunnoskaa-vahan on

r =

x

yz

= h(u) =

ρ sin θ cos φ

ρ sin θ sin φρ cos θ

.

Kertaamme vielä, että lokaaliset kantavektorit eρ, eθ, eφ ovat alkuperäisen koordinaattiavaruu-den vektoreita. Niitä vastaavat tarkasteltavien kenttien yksikön mittaiset kantavektorit tarkaste-lupisteessä. Lokaalisen koordinaatiston kantavektoreita on syytä käyttää vain tarkastelupistees-sä tapahtuviin laskutoimituksiin. Lokaalisen koordinaatiston kantavektorit ovat asianomaistenkoordinaattiviivojen tangenttien suuntaiset tarkastelupisteessä. Ensinäkemältä saattaa hiemanhämätä se, että makroskooppinen tangentin suuntainen vektori ilmiselvästi erkanee piirrokses-sa koordinaattiviivastaan tämän kaarevuudesta johtuen. Aiheutuuko tästä virhettä esimerkiksi


vektoreiden yhteenlaskussa suunnikassäännön avulla? Ei! Jos yhteenlaskettavat on määriteltysamassa pisteessä, summakin on määritelty tässä pisteessä ja tulos on oikein. Sama pätee tie-tenkin piste- ja ristituloille. Edellä esitellyt sylinteri- ja pallokoordinaatistot ovat lokaalistenkoordinaattivektoreittensa ortogonaalisuudesta ja koordinaattiviivojensa kaarevuudesta johtuenkäyräviivaisia suorakulmaisia koordinaatistoja.

Gradientin, divergenssin, roottorin sekä Laplacen operaattorin lausekkeet ovat vaikeita (ai-nakin työläitä) johtaa. Jätämme asian Liitteeseen 2, jossa johdamme yleiset muunnoskaavat jaannamme pienet Maple-ohjelmat laskujen suorittamiseen. Ne katsotaan tarvittaessa käsikirjois-ta tai tästä monisteesta. Huomautamme, että kaikki tarkasteltavat derivaattamuodot ovat koor-dinaatistosta riippumattomia. Niinpä kaikenlainen sieventely ja muokkaus voidaan tehdä kuvit-teellisesti karteesisessa koordinaatistossa, jossa nabla toimii vektorin tavoin. Jos pidämme huo-len siitä, että lopputuloksen lausekkeet ovat gradientteja, divergenssejä, roottoreita tai näidenkombinaatioita, lausekkeet ovat voimassa mielivaltaisessa koordinaatistossa. Niinpä alla esitel-täviä muotoja tarvitseekin käyttää vain lopputuloksen esittämisessä silloin, kun tämä katsotaanedulliseksi.

Aloitamme sylinterikoordinaatistosta. Merkitsemme sylinterikoordinaatiston skalaarikent-tää f(r, φ, z):lla sekä vektorikenttää Fr(r, φ, z)er + Fφ(r, φ, z)eφ + Fz(r, φ, z)ez:lla (= F).Saamme seuraavat kaavat:

∇f =∂f

∂rer +

1

r

∂f

∂φeφ +

∂f

∂zez

∇ • F =1

rFr +

∂Fr

∂r+

1

r

∂Fφ

∂φ+

∂Fz

∂z

∇× F =

(1

r

∂Fz

∂φ− ∂Fφ

∂z

)er +

(∂Fr

∂z− ∂Fz

∂r

)eφ +

1

r

(Fφ + r

∂Fφ

∂r− ∂Fr

∂φ

)ez

∆f =1

r

∂f

∂r+

∂2f

∂r2+

1

r2

∂2f

∂φ2+

∂2f

∂z2

Ja sitten pallokoordinaatisto. Merkitsemme jälleen pallokoordinaatiston skalaarikenttääf(ρ, θ, φ):llä ja vektorikenttää Fρ(ρ, θ, φ)eρ + Fθ(ρ, θ, φ)eθ + Fφ(ρ, θ, φ)eφ:llä (= F). Saammekaavat (jotka ovat muuten todella työläitä käsin johtaa, nitroa pitäisi ottaa):

∇f =∂f

∂ρeρ +

1

ρ

∂f

∂θeθ +

1

ρ sin θ

∂f

∂φeφ

∇ • F =2

ρFρ +

∂Fρ

∂ρ+

1

ρ tan θFθ +

1

ρ

∂Fθ

∂θ+

1

ρ sin θ

∂Fφ

∂φ

∇× F =1

ρ sin θ

(cos θFφ + sin θ

∂Fφ

∂θ− ∂Fθ

∂φ

)eρ +

1

ρ

(1

sin θ

∂Fρ

∂φ− Fφ − ρ

∂Fφ

∂ρ

)eθ

+1

ρ

(Fθ + ρ

∂Fθ

∂ρ− ∂Fρ

∂θ

)eφ

∆f =2

ρ

∂f

∂ρ+

∂2f

∂ρ2+

1

ρ2 tan θ

∂f

∂θ+

1

ρ2

∂2f

∂θ2+

1

ρ2 sin2 θ

∂2f

∂φ2

5.5 Gradienttikentät ja skalaaripotentiaali

Teknisissä sovellutuksissa vektorikenttä F on yleensä tuntematon. Tehtävämme on ratkaista seannettujen tietojen perusteella. Tämä tietää kolmen skalaarifunktion ratkaisemista (vektoriken-tän kolme komponenttia). Pyörteettömissä kentissä tuntematon kenttä voidaan (yleensä) esit-tää (toistaiseksi tuntemattoman) skalaarifunktion, skalaaripotentiaalin,gradienttina: F = ∇f .


Meidän riittää määrätä kentän ratkaisemiseksi vain yksi skalaarifunktio, potentiaali f . Kenttä-hän oli pyörteetön, jos ∇ × F = 0. Tämä tieto seuraa yleensä tehtävän asettelusta (Thomso-nin virtauslause, Maxwellin yhtälöt ym.). Pyörteettömyys on välttämätön ehto, sillä gradienttion aina pyörteetön. Käsittelemme asiaa jatkossa vain R

3:ssa, R2:n vastaava tulos kun saadaan

jälleen ”upottamalla” kenttä R3:een, ts. siirtymällä kenttään (F1(x, y), F2(x, y), 0)T.

Huomaamme, että jos f on potentiaali ja c on vakio, niin f + c on myös potentiaali, sillä∇(f + c) = ∇f . Toisaalta, jos f ja g ovat molemmat potentiaaleja, niin ∇(f − g) = 0 ja f − gon vakio. Potentiaali on siis yksikäsitteinen vakiota vaille.

Potentiaalin olemassaolo liittyy viivaintegraaleihin seuraavalla tavalla.

Lause 5.2. Seuraavat kolme ehtoa ovat ekvivalentit kappaleessaK määritellylle jatkuvalle vek-torikentälleF(r).

(i) F(r):llä on K:n sisäosassa6 skalaaripotentiaalif(r).

(ii) Mille tahansaK:n sisäosassa olevalle paloittain sileälle suljetulle viivalleC on∮C

F(r) • ds = 0.

(iii) Josr0 ja r1 ovatK:n sisäosan pisteitä jaC niitä K:n sisäosassa yhdistävä paloittain sileäviiva, ts. suunnistuksessar0 on kiinteä alkupiste jar1 vaihtuva loppupiste, niin integraali∫

C

F(r) • ds = h(r1)

ei riipu viivan C valinnasta muuten kuin loppupisteenr1 kautta ja määrittää näinr1:nfunktionh(r1).

Kohdan (iii) funktioh onF:n potentiaaliK:n sisäosassa.

Todistus.Toteamme ensin implikaation (i) ⇒ (iii). Oletamme siis kohdan (i). Tarvitsemme C:nparametrisoinnin C : r = g(u) (a ≤ u ≤ b). Käyttäen hyväksi luvattua potentiaalia f saamme

∫C

F(r) • ds =

∫C

∇f(r) • ds =

b∫a

f ′(g(u))g′(u) du =

b∫a

d

duf(g(u)) du

=

b/a

f(g(u)) = f(r1) − f(r0),

mistä tulos seuraa, kun valitsemme h(r1) = f(r1)− f(r0). (Huomaa, että h on nyt potentiaali.)Seuraavaksi otamme implikaation (iii) ⇒ (i). Pitää vain näyttää, että (iii):n antama funktio

h todella on potentiaali. Näytämme, että

∂h

∂x1

= F1(r1),

muut osittaisderivaatat käsitellään samaan tapaan. Sitä varten otamme pisteen r1 kappaleen Ksisäosasta ja valitsemme viivaksi C sellaisen, jossa viimeinen ”pala” on x-akselin suuntainenlyhyt jana

C2 : r = r2 ± ui (0 < u ≤ ±(x1 − x2)),

6Jätämme siis K:n reunan pisteet pois.


etumerkki tulosuunnasta riippuen (eli plus, jos x1 > x2, muuten miinus). Ilmeisesti C2:n tan-genttivektori on ±i. Koska integraali ei riipu reitin valinnasta, meillä on vapaus tehdä näin.Muistamme myös, että piste r1 on K:n sisäosassa, joten tilaa on. C:n alkupäätä merkitsemmeC1:llä, ts. C = C1 + C2.

y

x

r0

r1r2

C1

C2

z

Jos tulosuunta on vasemmalta (eli merkki on plus, miinus vastaavasti), niin

h(r1) =

∫C

F(r) • ds =

∫C1

F(r) • ds +

∫C2

F(r) • ds

=

∫C1

F(r) • ds +

x1−x2∫0

F(r2 + ui) • i du =

∫C1

F(r) • ds +

x1−x2∫0

F1(r2 + ui) du.

Näin ollen (derivoidaan integraalin ylärajan suhteen)

∂h

∂x1

= F1(r1).

r0

r1

CC′

r0

r1

C– C′

Implikaatio (ii) ⇒ (iii) on aika selvä. Jos nimittäin oletamme (ii):n ja otamme (iii):ssa kaksikuvatunlaista viivaa, C:n ja C ′:n, niin voimme kääntää C ′:n suunnan päinvastaiseksi, jolloinsaamme viivan −C′, ja yhdistää sen C:hen. Tuloksena on paloittain sileä suljettu viiva C − C′ ja(ii):n mukaan

0 =

∮C−C′

F(r) • ds =

∫C

F(r) • ds −∫C′

F(r) • ds.


r0

r1

CC′

r0

r1

– C′′

Myös implikaatio (iii) ⇒ (ii) on melko ilmeinen. Jos oletamme (iii):n ja otamme paloittainsileän suljetun viivan C, voimme valita C:ltä kaksi pistettä r0 ja r1. C jakaantuu nyt kahteenosaan, r0:n ja r1:n yhdistävään suunnattuun viivaan C ′ sekä r1:n ja r0:n yhdistävään suunnattuunviivaan C ′′. Vaihdamme jälkimmäisen suunnan, jolloin saamme kaksi (iii):ssa esiintyvää viivaa,C ′:n ja −C′′:n. (iii):n mukaisesti∮

C

F(r) • ds =

∫C′

F(r) • ds −∫

−C′′

F(r) • ds = 0.

Kenttää, joka toteuttaa lauseen kohdan (iii), kutsutaan konservatiiviseksi.Konservatiivisellekentälle kirjoitetaan usein ∫

C

F(r) • ds =

r1∫r0

F(r) • ds,

integraalin tuloshan riippuu vain päätepisteistä.Potentiaalin olemassaolo ei riipu pelkästään kentästä F, vaan myös tarkastelukappaleesta

K. Sentään on niin, että jos ∇× F = 0, niin suorakulmaisessa särmiössä (pelkkä sisäosa)

K : a1 < x < b1 , a2 < y < b2 , a3 < z < b3

potentiaali on olemassa. (Emme tässä sulje pois sitä mahdollisuutta, että jotkin rajoista ai oli-sivat = −∞ ja jotkin rajoista bi olisivat = ∞.) Tällöin nimittäin voimme saada halutun poten-tiaalin vain integroimalla:

f(r) =

x∫x0

F1(u, y0, z0) du +

y∫y0

F2(x, v, z0) dv +

z∫z0

F3(x, y, w) dw (+ c).

(x0,y0,z0)

(x,y,z0)(x,y0,z0)

rK

x

y

z


Oletuksena tässä on se, että voimme derivoida integraalien alla, muutenhan emme voisi helpostitarkistaa, että kyseessä tosiaan on potentiaali. Tähän riittää, että F(r) on jatkuvasti derivoituvaK:ssa. Huomaa miten integraalit yhdessä muodostavat viivaintegraalin pitkin särmiössä K ole-vaa koordinaattimurtoviivaa. Teemme mainitun tarkistuksen, laskemme vain osittaisderivaatanx:n suhteen, muut menevät samoin:

∂f

∂x= F1(x, y0, z0) +

y∫y0

∂F2(x, v, z0)

∂xdv +

z∫z0

∂F3(x, y, w)

∂xdw

= F1(x, y0, z0) +

y∫y0

∂F1(x, v, z0)

∂vdv +

z∫z0

∂F1(x, y, w)

∂wdw

= F1(x, y0, z0) +

y/y0

F1(x, v, z0) +

z/z0

F1(x, y, w)

= F1(x, y0, z0) + (F1(x, y, z0) − F1(x, y0, z0)) + (F1(x, y, z) − F1(x, y, z0)) = F1(r).

Huomaatko, missä käytimme pyörteettömyysoletusta?Entäs sitten yleisemmät kappaleet? Juttu riippuu kappaleen topologiasta, ts. siitä mitä sii-

nä jatkuvilla muunnoksilla voidaan viivoille (ja pinnoille) tehdä. Sanomme, että kappale K onyhdesti yhtenäinen,jos sen sisäosassa jokainen paloittain sileä suljettu viiva C voidaan jatkuvil-la muunnoksilla viedä pisteeksi jättämättä kappaletta K. Tarkemmin sanoen tarkoitamme, ettäkappaleen sisäosassa on sellainen paloittain sileä pinta S : r = g(t, u) (a(u) ≤ t ≤ b(u), 0 ≤u ≤ 1), että

• a(u) ja b(u) ovat jatkuvia välillä [0, 1],

• C on viiva r = g(t, 1) (a(1) ≤ t ≤ b(1)),

• viiva Cu : r = g(t, u) (a(u) ≤ t ≤ b(u)) on suljettu jokaiselle arvolle 0 < u ≤ 1 ja

• viiva C0 : r = g(t, 0) (a(0) ≤ t ≤ b(0)) on piste (degeneroitunut viiva).

Tällaisen pinnan ”prototyyppi” on R-säteisen pallon kalotti parametrisoituna pallokoordinaa-tistossa:

S : r =

x

yz

= g(t, u) =

R sin u cos t

R sin u sin tR cos u

(0 ≤ t < 2π, 0 ≤ u < 1).

Sen reunaympyrä kutistuu jatkuvasti muuntuen kalotin päällä olevaksi pisteeksi (piirros: Map-le):


Lause 5.3. JosF on pyörteetön jatkuvasti derivoituva vektorikenttä yhdesti yhtenäisessä kap-paleessaK, niin sillä on skalaaripotentiaaliK:n sisäosassa.

Todistus.Todistus on pitkähkö ja tekninen, ks. esimerkiksi NIKOLSKY & VOLOSOV.

Esimerkkinä kappaleesta, joka ei ole yhdesti yhtenäinen, on toruseli rinkilä (piirros: Maple):

Sen reunapinnan parametrisointi on

x = (R1 + R2 cos u2) cos u1

y = (R1 + R2 cos u2) sin u1

z = R2 sin u2

(0 ≤ u1, u2 < 2π).

Rinkilässä esimerkiksi kentällä

F(r) =1

x2 + y2

−y

x0

ei ole potentiaalia, vaikka helposti on todettavissa, että se on pyörteetön. Potentiaalia ei Lauseen5.2 nojalla ole, koskapa rinkilän keskusympyrälle C : x = R1 cos u1, y = R1 sin u1, z = 0(0 ≤ u1 < 2π) on

∮C

F(r) • ds =

2π∫0

1

R21

−R1 sin u1

R1 cos u1

0

•

−R1 sin u1

R1 cos u1

0

du1 =

2π∫0

du1 = 2π �= 0.

Jos sen sijaan leikataan rinkilästä pala pois positiivisen x-akselin kohdalta, potentiaalikin onolemassa, nimittäin atan(x, y) (ks. Pykälä 2.1.1).

Esimerkki. Pistemäisen lähteen (pisteessär0) synnyttämät kentät, esimerkiksi pistemäisen säh-kövarauksen generoima sähköstaattinen kenttä, massapisteen aiheuttama vetovoimakenttä, pis-temäisen nestelähteen aikaansaama virtauskenttä jne. liittyvät usein ns.Newtonin potentiaaliin

f(r) =1

‖r − r0‖.

Vastaava kenttä on (laskeppa)

F(r) = ∇f(r) =r0 − r

‖r − r0‖3

(usein, sovelluksesta riippuen, tosin vastakkaismerkkisenä!).


Huomautus. Mikäli kappale ei ole yhdesti yhtenäinen, pyörteettömällä vektorikentällä on edel-leenkin lokaalinen skalaaripotentiaali, mutta sen ei tarvitse olla globaalisesti yksikäsitteinenvakioyhteenlaskettavaa vaille. Koska numeerisesti voimme ratkaista vain yksikäsitteisiä tehtä-viä, kappale on tehtävä keinotekoisesti yhdesti yhtenäiseksi ”leikkaamalla se auki” sopivaapintaa pitkin.

Toisaalta eräissä tapauksissa tiedämme pyörteettömällä kentällä olevan yksikäsitteisen ska-laaripotentiaalin, vaikka kappale ei olisikaan yhdesti yhtenäinen. Näin on laita esimerkiksisähkökentän voimakkuuteenE liittyvissä tehtävissä, jos mailla halmeilla ei ole muuttuvia mag-neettikenttiä tai ylimääräisiä sähkömotorisia voimia. Tiedämme näet energeettisistä syistä, ettämielivaltaisen suljetun viivanC ympäri näissä tapauksissa

∮C E • ds = 0. Tällöin integraali∫ r

r0E • ds on integrointitiestä riippumaton ja kelpaa (erääksi) yksikäsitteiseksi potentiaaliksi.Skalaaripotentiaali voidaan myös saada aikaan approksimatiivisesti, ks. Liite 4.

Esimerkkinä vielä kappaleesta, jossa skalaaripotentiaali on olemassa ja saadaan integroi-malla, on ns. tähtimäinenkappale. Kappale K on tähtimäinen, jos siinä on sellainen piste r0,että kun yhdistetään mielivaltainen toinen K:n piste r1 janalla r0:aan, niin koko jana on K:ssa.(Nimitys on sattuva, kun sitä vähän enemmän miettii.) Seuraavassa eräitä tuttuja tähtimäisiätasoalueita:

ja sitten eräitä ei-tähtimäisiä alueita:

Mainitun janan parametriesitys on r = r0 + t(r1 − r0), 0 ≤ t ≤ 1. Pyörteettömän jatkuvas-ti derivoituvan vektorikentän F(r) skalaaripotentiaali tällaisessa tähtimäisessä kappaleessa onnimittäin

f(r) =

1∫0

F(r0 + t(r − r0)) • (r − r0) dt,

minkä voi todeta derivoimalla.

5.6 Pyörrekentät ja vektoripotentiaali

Lähteettömissä kentissä tuntematon kenttä voidaan (yleensä) esittää (toistaiseksi tuntematto-man) vektorikentän, vektoripotentiaalin,roottorina: F = ∇ × U. Kenttähän oli lähteetön, jos∇•F = 0. Tämä tieto seuraa yleensä tehtävän asettelusta. Lähteettömyys on välttämätön ehto,sillä pyörrekenttä on aina lähteetön.


Huomaamme, että jos U on vektoripotentiaali ja ∇f on gradienttikenttä, niin U + ∇f onmyös vektoripotentiaali, sillä ∇ × (U + ∇f) = ∇ × U + ∇ × ∇f = ∇ × U. Toisaalta,jos U ja V ovat molemmat vektoripotentiaaleja, niin ∇ × (U − V) = 0 ja U − V on pyör-teetön. Vektoripotentiaali on siis yksikäsitteinen pyörteetöntä yhteenlaskettavaa vaille. Mikälitarkasteltava kappale on sellainen, että siinä on skalaaripotentiaali (esimerkiksi yhdesti yhtenäi-nen), on vektoripotentiaali yksikäsitteinen yhteenlaskettavaa gradienttikenttää vaille. Jos ska-laaripotentiaalia ei aina ole, näin ei ole. Esimerkiksi edellisen pykälän rinkilässä nollakentän 0vektoripotentiaali on kyllä olemassa (eräs sellainen on tietysti 0), mutta myös

F(r) =1

x2 + y2

−y

x0

on 0:n vektoripotentiaali ja sehän ei ollut gradienttikenttä.Vektoripotentiaalin olemassolo liittyy pintaintegraaleihin seuraavalla tavalla:

Lause 5.4. Oletamme, ettäF(r) on kappaleessaK jatkuvasti derivoituva vektorikenttä, jollaon ko. kappaleen sisäosassa vektoripotentiaaliU(r). Lisäksi oletamme, ettäK:n (jollain) reu-napinnallaS (suljettu pinta) on se ominaisuus, että jollain suljetulla paloittain sileällä itseäänleikkaamattomalla viivalla pinnastaS erotettuun kahteen osapintaan voidaan soveltaa Stokesinlausetta. Silloin ∮

S

F(r) • dS = 0.

(Mainittu Stokesin lauseen soveltuvuutta koskeva ehto ei ole reunapinnan suhteen kovinkaanvaativa, kuten olemme todenneet.)

Todistus.Erotetaan pinnasta S siinä olevalla suljetulla paloittain sileällä itseään leikkaamat-tomalla viivalla C osapinnat S ′ ja S ′′. Kun suunnistamme viivan C ensin S ′:n ja sitten S ′′:nreunaviivana käyttäen S:n ulkonormaalia, ovat saamamme suunnat vastakkaiset.

S ′

S ′′

C

n

n

Niinpä Stokesin lauseen mukaisesti (sitähän sai soveltaa, jatkuvuussyistä U voidaan jatkaa reu-napinnalle) ∮

S′

F(r) • dS =

∮C

U(r) • ds = −∮−C

U(r) • ds = −∮S′′

F(r) • dS

ja ∮S

F(r) • dS =

∮S′

F(r) • dS +

∮S′′

F(r) • dS = 0.


Kuten skalaaripotentiaalillekin, vektoripotentiaalin olemassaolo ei riipu pelkästään kentästä,vaan myös tarkastelukappaleesta K. Tilanne on vaan paljon mutkikkaampi. Jälleen sentään, jos∇ • F = 0 ja F(r) on jatkuvasti derivoituva suorakulmaisessa särmiössä (pelkkä sisäosa)

K : a1 < x < b1 , a2 < y < b2 , a3 < z < b3,

niin vektoripotentiaali on olemassa ko. särmiössä. (Emme taaskaan sulje pois sitä mahdolli-suutta, että jotkin rajoista ai olisivat = −∞ ja jotkin rajoista bi olisivat = ∞.) Tällöin nimittäinsaamme halutun potentiaalin vain integroimalla:

U1(r) = 0 ,

U2(r) =

x∫x0

F3(u, y, z) du −z∫

z0

F1(x0, y, v) dv ,

U3(r) = −x∫

x0

F2(u, y, z) du.

(r0 on mielivaltainen K:n piste.) Silloin

∂U3

∂y− ∂U2

∂z= −

x∫x0

∂F2(u, y, z)

∂ydu −

x∫x0

∂F3(u, y, z)

∂zdu + F1(x0, y, z)

=

x∫x0

∂F1(u, y, z)

∂udu + F1(x0, y, z) =

x/x0

F1(u, y, z) + F1(x0, y, z) = F1(r) ,

∂U1

∂z− ∂U3

∂x= F2(r) ja

∂U2

∂x− ∂U1

∂y= F3(r)

eli olemme todella saaneet sen vektoripotentiaalin (ja missä käytimmekään lähteettömyyttä?).

Esimerkki. Esimerkkimme on vähän akateeminen. Etsimme vakiopyörteisen kentän eli kentänU, jolla on vakiopyörreω kokoR

3:ssa. Menetelmämme mukaanU1(r) = 0 ja

U2(r) =

x∫0

ω3 du −z∫

0

ω1 dv = ω3x − ω1z sekä U3(r) = −x∫

0

ω2 du = −ω2x.

Yleisemminkin vektoripotentiaali saadaan integroimalla jälleen tähtimäisissä kappaleissa(ks. edellinen pykälä). Lähteettömän jatkuvasti derivoituvan vektorikentän F(r) vektoripoten-tiaali tällaisessa tähtimäisessä kappaleessa on nimittäin

1∫0

tF(r0 + t(r − r0)) × (r − r0) dt,

minkä itsekukin voi todeta huolellisella laskulla.

Esimerkki. Perin tavallinen esimerkki tapauksesta, missä lähteettömällä kentällä ei ole vekto-ripotentiaalia, on Newtonin potentiaalin kenttä

F(r) =r0 − r

‖r − r0‖3


”puhkaistussa” kappaleessaK, mistä pister0 on suljettu pois, mutta joka ”ympäröi” pisteenr0. (Jätämme lukijalle tehtäväksi laskea kentän divergenssin ja todeta, että kyllä se on nolla.)Mainitun pisteen alueesta pois rajaavan pienenδ-säteisenr0-keskisen pallon

S : r =

x = x0 + δ sin θ cos φ

y = y0 + δ sin θ sin φ

z = z0 + δ cos θ

(0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π)

yli näet (vrt. esimerkki Pykälässä 3.2.1)

∮S

F(r) • dS = −2π∫0

π∫0

1

δ2

sin θ cos φ

sin θ sin φcos θ

•

sin θ cos φ

sin θ sin φcos θ

δ2 sin θ dθdφ

= −2π∫0

π∫0

sin θ dθdφ = −4π �= 0

(Lause 5.4).

Ammattikirjallisuudessa esitetään usein seuraava ajatuksenjuoksu: ”Koska ∇•(∇×U) = 0,lähteetöntä kenttää F etsitään muodossa F = ∇ × U.” Tämä ei riitä motiiviksi. Meidän tuleeensin tietää moisen vektoripotentiaalin olemassaolo. Jos etsimme kenttää mainitussa muodos-sa silloin, kun vektoripotentiaalia ei ole olemassa, päädymme joko ristiriitaisiin tai, pahempaa,vääriin tuloksiin. Mitkä sitten ovat riittäviä ehtoja vektoripotentiaalin olemassaololle? Käytän-nön tarpeita ajatellen kirjallisuus on kovin puutteellista tässä suhteessa. Asia on paljon mutkik-kaampi kuin miltä näyttää. Joka tapauksessa Lauseen 5.4 välttämättömien ehtojen on toteudut-tava. Kirjallisuudesta löytyviä riittäviä ehtoja ovat:

• Kenttä F jatkuvasti derivoituva, lähteetön ja määritelty koko avaruudessa R3 (VÄISÄLÄ).

Tämän totesimme myös edellä.

• Kenttä F jatkuvasti derivoituva ja lähteetön. Jokaisen K ∪ ∂K:hon (kappale + reuna)sisältyvän suljetun pinnan sisälle jäävä kappale K′ sisältyy kokonaisuudessaan K:hon (eionteloita) (APOSTOL).

• Magneettikenttä B vakuumissa, joka sisältää liikkuvia varauksia (FEYNMAN, R.P. et al.:The Feynman Lectures on Physics. Vol. II.Addison–Wesley (1998)).

• Kenttä on lähteetön ja jatkuvasti derivoituva tähtimäisessä kappaleessa (edellä, kansan-tietoutta).

• Kenttä F on derivoituva ja sen vuo mielivaltaisen kappaleen K sisällä olevan suljetunpaloittain sileän pinnan yli on nolla. Kappale K on jatkuvin muunnoksin muunnettavissatähtimäiseksi kappaleeksi, jossa on korkeintaan äärellinen määrä pallomaisia onteloita(TON, T.-C.: On the Potential of a Solenoidal Vector Field. Journal of MathematicalAnalysis and Applications151 (1990), 557–580).

Huomautus. Välttämättömät ja riittävät ehdot vektoripotentiaalin olemassaololle distribuu-tiomielessä (yleistetyt funktiot) löytyvät kirjastaGIRAULT, V. & RAVIART, P.-A.: Finite Ele-ment Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer–Verlag (1986).Ehdot ovat (yleistetyssä mielessä siis) seuraavat:


(i) VektorikenttäF on lähteetön ja

(ii) K ∪ ∂K:n jokaisen reunapinnan∂Ki yli (ontelot) on∮

∂Ki

F(r) • dS = 0.

Asiaan liittyy myös klassinen artikkeliMISNER, C.W. & WHEELER, J.A.: Classical Phy-sics as Geometry: Gravitation, Electromagnetism, Unquantified Charge, and Mass as Proper-ties of Curved Empty Space.Annals of Physics 2 (1957), 525–603, jossa annetaan suhteellisuus-teoreettinen abstrakti karakterisaatio vektoripotentiaalin olemassololle eräissä melko yleisissätapauksissa. Tämäntapaiset ehdot ja karakterisaatiot ovat jo hyvin rautaista matematiikkaa!7

Kuten edellä totesimme, F(r):n vektoripotentiaali, jos yleensäkään olemassa, on yksikä-sitteinen vain pyörteetöntä yhteenlaskettavaa vaille. Tämä antaa mahdollisuuden lisätä ehtojavektoripotentiaalille. Oletamme, että tarkastelukappaleessa K jatkuvasti derivoituvilla pyörteet-tömillä kentillä on skalaaripotentiaali. Mitäs, jos esimerkiksi haluaisimme vektoripotentiaalinU1(r), joka on lähteetön. Olemme jo saaneet jonkin vektoripotentiaalin U(r), jonka lähteisyys∇•U(r) = g(r) ei ole nolla. (Jos g(r) = 0, niin homma on jo hoitunut.) Haluttu potentiaalim-me on siis muotoa U1(r) = U(r) + ∇φ. Tällöin

0 = ∇ • U1(r) = ∇ • U(r) + ∆φ(r) = g(r) + ∆φ(r).

Saamme siis φ:lle yhtälön∆φ(r) = −g(r).

Tämä on osittaisdifferentiaaliyhtälö, ns. Poissonin yhtälö.Yhtälön ratkaisu ei ole yksikäsittei-nen, mikä tahansa funktio φ + h, missä ∆h = 0, on myös ratkaisu. Osittaisdifferentiaaliyhtälö

∆h(r) = 0

on ns. Laplacen yhtälöja sen ratkaisuja kutsutaan harmonisiksi funktioiksi8. Saamamme φ onsiis yksikäsitteinen harmonista yhteenlaskettavaa vaille. Jos vielä haluaisimme yksikäsitteisenφ:nkin, joudumme asettamaan Poissonin yhtälölle lisäehtoja, ns. reunaehtoja (joista ei tässä senenempää).

Kaiken kaikkiaan, koska Poissonin yhtälöillä varsin yleisesti on ratkaisu, toteamme, ettäjos yleensä ottaen saamme vektoripotentiaalin, niin saamme myös lähteettömän vektoripoten-tiaalin. Samalla idealla saamme myös pyörteettömän kentän U2(r), jonka lähteisyys f(r) onannettu. Silloin U2(r) = ∇ψ(r) ja

∇ • U2(r) = ∆ψ(r) = f(r)

ja meillä on taas ratkaistavana Poissonin yhtälö. Ratkaisu ψ(r) on jälleen yksikäsitteinen har-monista yhteenlaskettavaa vaille.

Jos nyt haluamme kentän U(r), jolla on annettu roottori (pyörteisyys) ∇ × U(r) = F(r)ja annettu divergenssi (lähteisyys) ∇ • U(r) = f(r), niin se on yksinkertaisesti U(r) =U1(r) + U2(r). Jotta U(r) olisi yksikäsitteinen tarvitaan siis lisä(reuna)ehtoja. VÄISÄLÄ mai-nitsee koko R

3:ssa yksikäsitteisyyden seuraavan, jos vaaditaan lisäksi, että kenttä U(r) häviäääärettömyydessä, ts.

lim‖r‖→∞

U(r) = 0.

7Puhumattakaan vielä monistoteoreettisista tarkasteluista. Alan klassinen viite on WEYL, H.: The Methodof Orthogonal Projection in Potential Theory. Duke Mathematical Journal7 (1940), 411–444. Modernit ideatperustuvat Georges de Rhamin perustaviin tuloksiin. Ks. DE RHAM, G.H.: Differentiable Manifolds.Springer–Verlag (1984).

8Kai sen takia, että harmonisilla funktioilla on todella hyvät ominaisuudet. Asiasta enemmän kurssilla Osittais-differentiaaliyhtälöt.


Samalla olemme muuten esittäneet suhteellisen mielivaltaisen kentän U(r) lähteettömän japyörteettömän kentän summana: otamme kentän U(r) ja valitsemme lähtiessä F(r) = ∇×U(r)sekä f(r) = ∇ • U(r). Erotus U − U1 − U2 on silloin harmonisen funktion gradientti (totea)ja se voidaan lisätä joko U1:een tai U2:een.

Korostettakoon vielä, että kaikki tämä toimii tietysti sillä edellytyksellä, että kappaleessa Kskalaari- ja vektoripotentiaalit ovat olemassa ja että esiintyvillä Poissonin yhtälöillä on ratkaisut.

5.7 Osittaisintegrointi ja Greenin kaavat

Lukijamme lienee jo todennut, että vektorianalyysi on paljolti yhden muuttujan differentiaali- jaintegraalilaskennan kaavojen siirtoa monen muuttujan tapaukseen. Integraalilaskennan päälauseyleistyi Greenin, Gaussin ja Stokesin lauseiksi ja myös skalaaripotentiaalia käyttäen kaavaksi

r2∫r1

∇f(r) • ds = f(r2) − f(r1).

Sijoitusmenetelmäkin yleistyi monen muuttujan integraalin muuttujan vaihdoksi. Näinpä ei tai-da tuntua ihmeelliseltä, että myös tuttu osittaisintegrointikaava

b∫a

u′(x)v(x) dx =

b/a

u(x)v(x) −b∫

a

u(x)v′(x) dx

yleistyy. Se yleistyy vielä sangen monilla tavoilla, joista otamme tässä vain tavallisimmat.Ratkaistaessa vektorikenttiä (esimerkiksi elementtimenetelmän avulla) törmäämme useim-

miten tyyppiä ∫K

v(r)∇ • (k(r)∇u(r)) dr

olevaan integraaliin. Oletamme, että funktiot k ja v ovat jatkuvasti derivoituvia ja u kaksi kertaajatkuvasti derivoituva (klassiset oletukset). Lauseke on tapana osittaisintegroidaseuraavasti.Tarkastelemme ovelasti seuraavaa lauseketta:

∇ • (vk∇u) = v∇ • (k∇u) + k∇u • ∇v

(tulon derivointi, kuten ”tavallisessakin” osittaisintegroinnissa). Siten∫K

v(r)∇ • (k(r)∇u(r)) dr = −∫K

k(r)∇u(r) • ∇v(r) dr +

∫K

∇ • (v(r)k(r)∇u(r)) dr.

Mikäli kappale K reunapintoineen S on Gaussin lauseen vaatimaa tyyppiä, oikean puolen jäl-kimmäinen termi on muunnettavissa sanotun lauseen avulla. Tällöin saamme sovellutusten kan-nalta keskeisen tuloksen:∫

K

v(r)∇ • (k(r)∇u(r)) dr = −∫K

k(r)∇u(r) • ∇v(r) dr +

∮S

v(r)k(r)∇u(r) • dS

= −∫K

k(r)∇u(r) • ∇v(r) dr +

∮S

v(r)k(r)∂u(r)

∂ndS.


Tässä∂u(r)

∂n= ∇u(r) • n

on funktion u ns. normaaliderivaatta,ts. sen suunnattu derivaatta reunapinnan ulospäin suun-tautuvan normaalin suuntaan (reunapinnalla, raja-arvona, pintaa lähestyttäessä K:n sisältä kä-sin). Osittaisintegrointi on kahdella tapaa merkittävä ratkaistaessa osittaisdifferentiaaliyhtälöitäelementtimenetelmällä (Galerkinin ja Ritzin menetelmät). Ensinnäkin tunnetut reunaehdot teke-vät oikean puolen pintaintegraalista tunnetun. Saamme tällä tavoin reunaehdot suoraan mukaanratkaisuun. Toiseksi integraali

−∫K

k(r)∇u(r) • ∇v(r) dr

vaatii funktiolta k sekä funktioiden u ja v osittaisderivaatoilta ainoastaan paloittaisen jatkuvuu-den.9 Osittaisintegrointia käyttämällä voimme tyytyä jatkuvuusvaatimuksiin nähden yksinker-taisempiin funktioihin.

Oletamme sitten jälleen, että K reunoineen S toteuttaa Gaussin lauseen asettamat vaatimuk-set ja että K∪S:ssä funktiot u ja v ovat kahdesti jatkuvasti derivoituvia (reunalla toispuolisesti).Kun valitsemme edellisen kohdan tarkastelussa k(r) = 1, saamme osittaisintegroimalla Gree-nin ensimmäisen kaavan∫

K

v(r)∆u(r) dr = −∫K

∇u(r) • ∇v(r) dr +

∮S

v(r)∂u(r)

∂ndS.

Vaihtamalla funktioitten u ja v roolit keskenään saamme vastaavasti∫K

u(r)∆v(r) dr = −∫K

∇v(r) • ∇u(r) dr +

∮S

u(r)∂v(r)

∂ndS.

Vähentämällä saadut yhtälöt puolittain saamme Greenin toisen kaavan∫K

(v(r)∆u(r) − u(r)∆v(r)) dr =

∮S

(v(r)

∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)dS.

Esimerkki. Oletamme, että kappaleessaK (joka täyttää reunoineenS Gaussin lauseen vaa-timukset) on annettu harmoninen funktiou(r), toisin sanoen∆u(r) = 0. Funktio u on kaksikertaa jatkuvasti derivoituva ja siten myös jatkuva. Oletamme, että pister0 onK:n sisäosassaja valitsemme funktion

v(r) =1

‖r − r0‖.

Koskav on singuläärinen kappaleessaK, muodostamme uuden kappaleenK1 rajaamalla poisr0-keskisenδ-säteisen pallonK2 (vastaava pallonpinta onS2). KappaleellaK1 on kaksi reuna-pintaa, sisempi ja ulompi. KappaleessaK1 kumpikin funktioistau ja v on harmoninen (toteaasiav:n osalta). Soveltamalla kappaleeseenK1 Greenin toista kaavaa saamme

0 =

∮S

(v(r)

∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)dS −

∮S2

(v(r)

∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)dS,

9Elementtimenetelmässä funktiot u ja v ovat ns. elementtifunktioita,approksimoimme ratkaisua elementtifunk-tioiden ui lineaariyhdelmällä.


missä olemme kääntäneet sisäpinnanS2 normaalin osoittamaan poispäin pisteestär0 eli kap-paleenK1 sisuksia kohti, siitä jälkimmäisen termin etumerkki.

Jatkamme nyt olettamalla, että kappaleK on avoinR-säteinenr0-keskinen pallo‖r−r0‖ <R. Tällöin tarkasteltava ulkopintaS onR-säteinen pallonkuori keskipisteenäänr0. Ulkopinnal-la funktiollav on vakioarvo1/R. Normaaliderivaatta ulkopinnalla on (muista Newtonin poten-tiaali)

∂v(r)

∂n= ∇ 1

‖r − r0‖• n =

r0 − r

‖r − r0‖3• r − r0

‖r − r0‖= − 1

‖r − r0‖2= − 1

R2.

Koska mielivaltainen harmoninen funktiou toteuttaaK:ssa yhtälön∮S

∂u(r)

∂ndS =

∫K

∆u(r) dr = 0

(Gaussin lause), niin∮S

(v(r)

∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)dS =

∮S

1

R2u(r) dS = 4π× (u:n keskiarvo pallonpinnalla).

Sisäpinta onδ-säteinen pallo, joten äskeinen tarkastelu puree siihenkin (olemme jo kääntäneetnormaalin suunnan poispäin keskipisteestä). Saamme siten vastaavasti∮

S2

(v(r)

∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)dS =

∮S2

1

δ2u(r) dS = 4π× (u:n k.a. sisäpallonpinnalla).

Funktionu jatkuvuudesta johtuen, kunδ → 0+, kyseinen keskiarvo lähenee raja-arvoau(r0).Alkuperäisestä yhtälöstä

0 =

∮S

(v(r)

∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)dS −

∮S2

(v(r)

∂u(r)

∂n− u(r)

∂v(r)

∂n

)dS

lähtien saamme siten seuraavan merkittävän tuloksen: Harmonisen funktion arvo pallon keski-pisteessä on keskiarvo funktion pallon pinnalla saamista arvoista. Mielenkiintoista.10

Esimerkki. Esitetyllä tekniikalla on helppo johtaa muitakin osittaisintegrointituloksia, mm.kaavat ∫

K

F(r) • ∇f(r) dr = −∫K

f(r)∇ • F(r) dr +

∮S

f(r)F(r) • dS

ja ∫K

F(r) • ∇ × G(r) dr =

∫K

G(r) • ∇ × F(r) dr −∮S

F(r) × G(r) • dS.

Kumpaankin törmää ammattikirjallisuudessa silloin tällöin.

10Taisimme jo edellä todetakin, ettei harmonisia funktioita turhaan ole nimetty harmonisiksi.

Luku 6

OSITTAISDIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Kaupalliset osittaisdifferentiaaliyhtälöratkaisijat ratkovat erityisen kernaasti tehtävää

∇ • (k(r)∇u(r)) = F (r)

tai ajasta riippuvassa tapauksessa tehtävää

∇ • (k(r)∇u(r, t)) = f(r)∂u

∂t+ g(r)

∂2u

∂t2+ F (r, t) , missä k(r) > 0 ja f(r), g(r) ≥ 0,

asianomaisin reuna- ja alkuehdoin, joihin emme tässä yhteydessä puutu. Hyvin asetetut reuna-ja alkuehdot käyvät insinööritarkoituksiin ilmi ohjelmamanuaaleista. Kerroinfunktiot k, f ja gvoivat lisäksi vielä riippua u:sta, funktio g mahdollisesti myös gradientista ∇u.

Tarkastelemme esimerkkien valossa eräitä näihin yhtälöihin johtavia kenttätehtäviä. To-teamme, että osittaisdifferentiaaliyhtälöitä käsitellään paljon enemmän kursseilla Vektoriana-lyysin jatkokurssi, Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden numeeriset me-netelmät ja Jakautuneet järjestelmät. Suosittelemme!

Esimerkki. (Sähköstaattinen kenttä) Koska staattisessa kentässä kentän voimakkuusE onpyörteetön,∇×E = 0 ja kentällä on potentiaali, ts.E = −∇V . (Sähkötekniikassa käytettyjenmerkintöjen mukaisesti potentiaali onΦ = −V .)

Sähköopista tiedetään, että∇•D = ∇• (εE) = ρ, varaustiheys. (Tässäε on dielektrisyys.)Jos varaustiheys (ja tietenkin dielektrisyys) tunnetaan,

∇ • (ε(r)∇V (r)) = −ρ(r).

Tämä on standardimuotoa.

Esimerkki. (Stationäärinen sähkövirtauskenttä)1 Virran tiheys i = σE, missäσ on johta-vuus. Kirchhoffin lain perusteella sähköä ei kerry minnekään, ts. mielivaltaisen suljetun pinnanläpi sähkön nettovirta on nolla. Siten mielivaltaiselle suljetulle pinnalleS, joka rajaa sisälleenkappaleenK, ∮

S

i(r) • dS = 0 =

∫K

∇ • i(r) dr

(Gaussin lause). Tehtävissä yleensä oletetaan kenttä jatkuvasti derivoituvaksi, joten kopinKmielivaltaisuudesta johtuen po.∇ • i = 0.

KentälläE on pyörteettömyydestä johtuen skalaaripotentiaali eliE = −∇V , joten

∇ • i(r) = ∇ • (σ(r)∇V (r)) = 0

ja taas ollaan standardimuodossa.

1stationäärinen = ajasta riippumaton

111

LUKU 6. OSITTAISDIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 112

Esimerkki. (Magneettikenttä ja skalaaripotentiaali) Jos alueessa ei ole sähköjohtimia, vir-ran tiheys on nolla ja Maxwellin yhtälöiden perusteella∇ × H = i = 0. Tällöin kentällä onskalaaripotentiaali, ts.H = ∇Φ.

Toisaalta tiedämme Maxwellin yhtälöistä, että

∇ • B = ∇ • (µH) = 0,

missäµ on permeabiliteetti. Taas saavumme samaan yhtälötyyppiin, sillä nyt

∇ • (µ(r)∇Φ(r)) = 0.

Esimerkki. (Kokoon puristumaton pyörteetön virtaus) Virtauskenttä tiedetään luonteestaanjohtuen tehtävässä pyörteettömäksi, ts.∇× v = 0. Nopeudella on siten skalaaripotentiaali eliv = ∇φ. Jos virtaus on kokoon puristumatonta, nestettä ei kerry mihinkään suljetun pinnanS rajoittamaan koppiinK, kaikki mitä sisään tulee, se ulos menee. Ajassadt kopista poistuunettonestemäärä

dt

∮S

v(r) • dS = dt

∫K

∇ • v(r) dr = 0.

Koska koppi on mielivaltainen, järkeillen kuten edellä,∇ • v = 0. Siten päädymme Laplacenyhtälöön

∇ •∇φ(r) = ∆φ(r) = 0

(ja taas. . . ).

Esimerkki. (Stationäärinen lämmönjohtuminen) Lämpövirta onv = −k∇T , missäT onlämpötila jak on lämmönjohtumiskerroin (empiirinen malli, pätee isotrooppiselle aineelle, ts.sellaiselle, jossa paikallinen lämmönjohtuminen ei eri suuntiin ole erilainen).

Mikäli lämpötila on stationäärinen (ei riipu ajasta), lämpöenergiaa ei kasaudu mihinkäänkoppiin. Kuten nestevirtauksen tai Kirchhoffin lain yhteydessä,∇ • v = 0. Siten

∇ • (k(r)∇T (r)) = 0.

Esimerkki. (Dynaaminen lämmönjohtuminen) Kuten edellä, lämpövirta onv = −k∇T .Ajassadt kopista poistuu nettolämpömäärä

dt

∮S

v(r, t) • dS

eli sinne kertyy nettolämpömäärä

dE = −dt

∮S

v(r, t) • dS = dt

∫K

∇ • (k(r)∇T (r, t)) dr

(Gaussin lause). Tämän lämpömäärän täytyy energian häviämättömyyden perusteella olla sa-ma kuin kopin massaan lämpötilan nousun johdosta sitoutuva lämpömäärä.

Tilavuusalkioondr liittyvä massa-alkio onρ(r)dr, missäρ on aineen tiheys. Kohdassaraineen lämpökapasiteetiksi merkitäänC(r). Ajassadt kohdassar lämpötila nousee määrän

dt∂T (r, t)

∂t.


Massa-alkioon tällöin sitoutuva lämpöenergia on

dt C(r)ρ(r)∂T (r, t)

∂t

ja koko koppiin

dE = dt

∫K

C(r)ρ(r)∂T (r, t)

∂tdr.

Kun vertaamme näitä energialausekkeita toisiinsa ja otamme huomioon kopin mielivaltaisuu-den (voi olla kuinka pieni tahansa), havaitsemme, että integrandien tulee olla yhtä suuret. Siten

∇ • (k(r)∇T (r, t)) = C(r)ρ(r)∂T (r, t)

∂t.

Esittelemistämme standardityyppisistä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä tämä on jälkimmäistämuotoa, ns.lämpöyhtälö. Ohjelma laskee lämpötilajakautuman ja lämpövirtakentän halutuinaika-askelin, ankarasti painiskellen.

On mielenkiintoista, miten eri alojen problematiikka johtaa matemaattisessa mielessä sa-moihin yhtälöihin, eikö?

Eräät osittaisdifferentiaaliyhtälöt pitävät sisällään Newtonin laista tulevan toisen kertaluvunaikaderivaatan. Tällainen tulisi mukaan myös dynaamiseen virtausyhtälöön. Esimerkkimme onns. aaltoyhtälö.

Esimerkki. (Pieniamplitudinen akustinen tasoaalto) Tasoaallolla tarkoitamme tasomaistaaaltorintamaa. Asetamme koordinaatiston niin, että rintama ”etenee”x-akselin suuntaan, ts.se onyz-tason suuntainen. Voimme tyytyä käyttämään vainx-koordinaattia (sekä aikaat), sillärintaman suunnassa tilanne on vakio. Merkitsemme alussa (t = 0) pisteessäx olevan ilmamo-lekyylin paikkaax+u(x, t):llä hetkellät. Tässäu(x, t) siis ilmoittaa poikkeaman alkupaikasta.

x

y

zu(x,t)

dx dx + ux

x

dx

ρ0 ρ

dx:n paksuinen rintaman kerros on alussa pisteessäx (vasen reuna) ja hetkellät se on pisteessäx + u(x, t) (vasen reuna). Vm. tilanteessa kerroksen paksuus on

dx +∂u(x, t)

∂xdx.


Kerroksen massa yksikköalaa kohti pysyy vakiona, ts.

ρ0dx = ρ(x, t)

(1 +

∂u(x, t)

∂x

)dx,

missäρ0 on ilman tiheys hetkellät = 0 ja ρ(x, t) vastaavasti tiheys hetkellät. Näemme tästä,että

ρ(x, t)

ρ0

=

(1 +

∂u(x, t)

∂x

)−1

.

Adiabaattisessa prosessissa (lämpöä ei synny eikä häviä) on fysiikan lakien mukaan

p(x, t)

p0

=

(ρ(x, t)

ρ0

)γ

,

missäp0 on ilmanpaine alussa jap(x, t) hetkellät. γ on ns. adiabaattivakio, ilmalleγ = 1.40.Derivoimalla saamme nyt

∂p(x, t)

∂x= p0

∂

∂x

(1 +

∂u(x, t)

∂x

)−γ

= −γp0

(1 +

∂u(x, t)

∂x

)−γ−1∂2u(x, t)

∂x2

= −γp0

ρ0

ρ(x, t)

(1 +

∂u(x, t)

∂x

)−γ∂2u(x, t)

∂x2.

Pienillä amplitudeillaγp0

ρ0

= c2

on vakio, äänen nopeuden neliö. (Tämä seuraa Ideaalikaasulaista, pienillä amplitudeilla läm-pötila ei muutu ja tiheys on kääntäen verrannollinen tilavuuteen.)

Kerrosta liikuttaa sen eri puolien välisen paine-eron aiheuttama voima (yksikköalaa kohti),jonka on oltava sama kuin Newtonin lain antama:

∂p(x, t)

∂xdx = −c2ρ(x, t)

(1 +

∂u(x, t)

∂x

)−γ∂2u(x, t)

∂x2dx

= −ρ(x, t)

(1 +

∂u(x, t)

∂x

)∂2u(x, t)

∂t2dx

(huomaa etumerkki, molekyylithän liikkuvat paine-erolle vastakkaiseen suuntaan). Näin saam-me lopulta osittaisdifferentiaaliyhtälön

∂2u(x, t)

∂x2=

1

c2

(1 +

∂u(x, t)

∂x

)γ+1∂2u(x, t)

∂t2,

joka on esittämäämme muotoa (kerroinfunktiog riippuu tässä myös∂u

∂x:stä).

Pienillä amplitudeilla ja akustisilla taajuuksilla myös∂u(x, t)

∂xon pieni, joten (ainakin app-

roksimatiivisesti)∂2u(x, t)

∂x2=

1

c2

∂2u(x, t)

∂t2.

Vm. osittaisdifferentiaaliyhtälö on aaltoyhtälö. Laplacen operaattorin koordinaatistoriippumat-tomuudesta johtuen on aaltoyhtälö mielivaltaiselle tasoaallon rintaman suunnalle

∆u(r, t) =1

c2

∂2u(r, t)

∂t2.


Usein valitaan yksiköt siten, ettäc = 1, ja merkitään

�u = ∆u − ∂2u

∂t2(ns.d’Alembertin operaattori)

(esiintyy joskus vastakkaismerkkisenä). Aaltoyhtälö on silloin yksinkertaisesti�u = 0 (tai�u = F (r, t), jos mukana on pakkofunktioF ). Yleisellä aaltoyhtälöllä on muitakin ratkai-suja kuin tasoaallot, mm. palloaallot.

On mielenkiintoista, että samaan yhtälöön päästään tutkimalla pieniamplitudisia värähtely-jä yleensäkin: kielille, ohuille sauvoille ja kalvoille, sähkömagneettisille aalloille (Maxwellinyhtälöiden seurauksena), virtapiireille jms. Otamme vielä esimerkkinä yleisen akustisen pai-neaaltoyhtälön johdon.

Esimerkki. (Pieniamplitudinen akustinen paineaalto) Tutkimme taas tilannetta kuvitteelli-sessa suljetun pinnanS(t) rajaamassa kopissaK(t). Niin koppi kuin sen reunakin ovat liikku-via, ajasta riippuvia, koppi pitää sisällään samat hiukkaset seuraten niiden liikkeitä. Käytämmeedellisen esimerkin merkintöjä ja merkitsemme vielä hiukkasen nopeuttav(r, t):llä.

Kopissa olevan massan muutos on

0 =

∫K(t)

∂ρ(r, t)

∂tdr +

∮S(t)

ρ(r, t)v(r, t) • dS =

∫K(t)

∂ρ(r, t)

∂tdr +

∫K(t)

∇ • (ρ(r, t)v(r, t)) dr

(sovelsimme Gaussin lausetta). Esiintyvä pintaintegraali ilmoittaa kopin siirtymästä johtuvanmassan muutoksen. Pinta-alkiodS siirtyy nopeudellav•n ottaen mukaan tai jättäen ulos lokaa-lista tiheyttäρ(r, t). Koska koppimme on mielivaltainen, päättelemme taas kerran lahjakkaasti,että

∂ρ(r, t)

∂t= −∇ • (ρ(r, t)v(r, t)) (ns.jatkuvuusyhtälö)

(vrt. Pykälän 4.2 esimerkki).Newtonin lain nojalla kokonaisliikemäärän derivaatta on kokonaisvoima. Koppiimme so-

vellettunad

dt

∫K(t)

ρ(r, t)v(r, t) dr = −∮

S(t)

p(r, t)dS,

missä jälkimmäinen integraali edustaa paineen aiheuttamaa kokonaisvoimaa reunalla. Toisaal-ta, päätellen aivan samalla tavalla kuin jatkuvuusyhtälöä johdettaessa, mutta nyt liikemäärälle,saamme

d

dt

∫K(t)

ρ(r, t)v(r, t) dr =

∫K(t)

∂

∂t(ρ(r, t)v(r, t)) dr +

∮S(t)

(ρ(r, t)v(r, t))v(r, t) • dS,

missä edellinen integraali edustaa liikemäärän muutosta kopissa ja jälkimmäinen taas kopinliikkeen kautta mukaan tulevaa / poistuvaa lokaalista liikemäärää.2 Voimme hyvin olettaa, että

2Huomaa, miten tämä muistuttaa tavallista integraalin derivoimista parametrin suhteen:

d

dt

b(t)∫a(t)

f(x, t) dx =

b(t)∫a(t)

∂f(x, t)∂t

dx + f(b(t), t)b′(t) − f(a(t), t)a′(t).


ko. jälkimmäinen integraali on likimain nolla pienille amplitudeille ja akustisille taajuuksil-le. Integrandi nimittäin on tyyppiä nopeuden neliö, joka on silloin hyvin pieni (vrt. edellinenesimerkki). Toisaalta Vektoraalisen Gaussin lauseen mukaisesti∮

S(t)

p(r, t)dS =

∫K(t)

∇p(r, t) dr,

joten kaiken kaikkiaan saamme∫K(t)

∂

∂t(ρ(r, t)v(r, t)) dr = −

∫K(t)

∇p(r, t) dr,

josta päättelemme yhtä lahjakkaasti kuin edellä, että

∂

∂t(ρ(r, t)v(r, t)) = −∇p(r, t).

Jatkamme työtä derivoimalla puolittain yhtälönp(r, t)

p0

=

(ρ(r, t)

ρ0

)γ

(adiabaattisuus, ks.edellinen esimerkki)t:n suhteen. Saamme ensin

1

p0

∂p(r, t)

∂t=

γ

ρ0

(ρ(r, t)

ρ0

)γ−1∂ρ(r, t)

∂teli

ρ(r, t)

p0ρ0

∂p(r, t)

∂t=

γ

ρ0

p(r, t)

p0

∂ρ(r, t)

∂t

ja sitten∂p(r, t)

∂t= γ

p(r, t)

ρ(r, t)

∂ρ(r, t)

∂t.

Ideaalikaasulain mukaisesti pienille amplitudeille, joille lämpötila ei muutu,

γp(r, t)

ρ(r, t)= c2 (vakio).

Siispä∂2p(r, t)

∂t2= c2∂2ρ(r, t)

∂t2.

No nyt alkaa olla palikat kasassa. Saamme ensin

∇ • ∂

∂t(ρ(r, t)v(r, t)) =

∂

∂t(∇ • (ρ(r, t)v(r, t))) =

∂

∂t

(−∂ρ(r, t)

∂t

)

ja sitten∂2ρ(r, t)

∂t2= ∆p(r, t)

ja lopulta sen aaltoyhtälön

∆p(r, t) =1

c2

∂2p(r, t)

∂t2.

LIITE 1: Mitta m-parametrisessapisteistössä

Oletamme, ettäg : A → Rn, u �→ g(u), on yhtenäisessä alueessaA ⊂ R

m jatkuvasti de-rivoituva, rank(g′(u)) = m ja m ≤ n. Tällöin pisteeseenr = g(u) liittyvä (m-ulotteinen)tilavuusalkioon

dVm =√


Olemme jo törmänneet erikoistapauksiinm = n − 1 (pinta tai hyperpinta) jam = 1 (viiva)ja todenneet näissä määritelmän hyvin motivoiduksi. Kuinka se on perusteltavissa yleisessätapauksessa?

Kaikkien tällaisten tulosten äiti on seuraava lause:

Lause 1. Euklidisella sisätulolla varustetussa avaruudessaRn vektorit a1, a2, . . . , an särmi-

nään muodostetun suuntaissärmiön tilavuus on

V = | det(A)|,missäA = (a1, a2, . . . , an) on matriisi, jonka sarakkeet ovat mainitut vektorit.

Todistus.Tilavuus on luonnollisesti määritelty Jordanin mittaa käyttäen. Todistus on varsin pit-kä ja tekninen arviointi, ks. esimerkiksi NIKOLSKY & V OLOSOV. Sen idean voimme kummin-kin esittää.

Ladotaan suuntaissärmiön sisäpuolelle vektoriena2, . . . , an määrittämästä tahkosta lähtienn-ulotteiseksi ruudukoksi naftisti (hyper)kuutioita (tarkoittaa, että ruudukkoon ei voi lisätä yh-tään kuutiota menemättä särmiön ulkopuolelle). Näin saadaan eräs sisäpeitePin. TäydennetäänPin ulkopeitteeksiPout lisäämällä pienin mahdollinen määrä kuutioita. Valitsemalla ruudukonkuution sivun pituus kyllin pieneksi saadaan‖Pin‖ ja‖Pout‖ miten tahansa lähelle toisiaan. Kos-ka jokainen sisäpeite on mitaltaan pienempi kuin jokainen ulkopeite, seuraa tästä, että särmiönJordanin sisä- ja ulkomitat ovat samat, ts. sillä on mitta (tilavuus).

a2 a2

a1 a′1

117

118

Determinanttia koskeva tulos saadaan induktiolla. Tapausn = 1 on selvä. Palautettaessatapausn = k + 1 tapaukseenn = k (induktio-oletus) projisoidaan vektoria1 yleistetylle ris-titulolle cross(a2, . . . , an) vektoriksia′

1. Tämä vastaa ruudukoissamme kuutioiden siirtämistä”päällekkäin”. Ruudukoiden mitat eivät tästä muutu (samat kuutiot). Tilavuus on näin ollena′

1:n pituus kertaa pohjan mitta (ns.Cavalierin periaate), joka saadaan tapauksestan = k. De-terminantissa operaatio vastaa siirtymistä kantaan, jonka yksi kantavektori ona′

1:n suuntainen(vrt. QR-hajoitelma tai Gram–Schmidt-menetelmä), joten sen (itseis)arvo ei siinä muutu.

Tämä esitys ilmeisesti riippuu särmävektoreiden koordinaattiesityksestä. Se on kuitenkinsaatettavissa kannasta riippumattomaan muotoon. Onhan näet

V = | det(A)| =√

det(ATA).

Matriisin ATA alkio (ATA)ij on matriisien kertolaskusäännän perusteellaaTi aj. Tämä skalaa-

ritulo ei ole koordinaattiesityksestä riippuvainen! MatriisiaATA kutsutaan vektoreihin (huo-maa järjestys)a1, a2, . . . , an liittyväksi Gramin matriisiksi, merkitäängram(a1, a2, . . . , an).Sen determinantti on ns.Gramin determinantti.Sitä käyttämällä saamme siis lausutuksi suun-taissärmiömme tilavuuden (mitan) koordinaattivapaassa muodossa:

V =√

det(gram(a1, a2, . . . , an)).

Jos nyt avaruudenRn m-dimensionaalisessa aliavaruudessa on annettu vektoreidena1, a2,. . . , am avulla muodostettu suuntaissärmiö, voimme lausua senm-dimensionaalisen mitan ava-ruudenR

n kannassa lausuttujen särmävektoreiden avulla käyttäen koordinaattiesityksestä riip-pumatonta muotoa:

Vm =√

det(gram(a1, a2, . . . , am)).

MatriisiaA1 = (a1|a2| · · · |am) käyttäen siis

Vm =√

det(AT1 A1).

Palaamme takaisinm-parametriseen tyyppiär = g(u), r ∈ Rn,u ∈ R

m, olevaan pisteis-töön alussa tehdyin oletuksin (mm. jatkuva derivoituvuus). AvaruudenR

m suorakulmaisen sär-miön muotoisen tilavuusalkiondu1×du2×· · ·×dum kuva avaruudessaRn on differentiaalisenpieni suuntaissärmiö, jonka särmät ovat vektorit

∂g

∂ui

dui (i = 1, 2, . . . , m).

Vääristymisestä johtuen kuva ei ole tarkasti ottaen suuntaissärmiö, jonka vuoksi meidän täytyy-kin ottaa tilavuusalkio määritelmänä. Havaitsemme kuitenkin, että lineaarikuvauksen tapauk-sessa kyseessä on aito suuntaissärmiö ja että sileiden funktioitten tapauksessa alkio ikäänkuin”lähestyy” suuntaissärmiötä.

Vektorit∂g

∂ui

dui nurkkavektoreina rakennetun (tarkan) suuntaissärmiön tilavuus on

dVm =

√det

(gram

(∂g

∂u1

,∂g

∂u2

, . . . ,∂g

∂um

))du1du2 · · · dum =

√det(g′(u)Tg′(u)) du

(tarkista!).

Lause 2. Tilavuusalkio on parametroinnista riippumaton.

Todistus.Todistus on sama kuin Lauseessa 1.5 (pinta-alkion mitta). Tässä tapauksessa tietenkinvainh : R

m → Rm ja rank(h′(v)) = m.

Huomautus. Tulos on sovellettavissa erikoistapauksena myös viivan pituusalkion mittaan(m = 1).

LIITE 2: Derivaattaoperaattorienmuunnoskaavat

Käsittelemme asiaaR3:ssa, käsittelyR2:ssa on analoginen. Muunnoksemme on

r = h(u) eli u = h−1(r).

Oletamme lisäksi, että uusi käyräviivainen koordinaatistomme on ortogonaalinen, ts.h′(u):nsarakkeet ovat keskenään ortogonaaliset (rivit eivät välttämättä sitä ole!). Merkitsemme nytM(u):lla matriisia, joka saadaan normeeraamallah′(u):n sarakkeet. SilloinM(u) on orto-gonaalimatriisi, ts.M(u)−1 = M(u)T. Merkitsemme vieläM(u)T:n sarakkeita vektoreillam1(u), m2(u) ja m3(u).

Käsittelemme ensin vektorikentänF(r) tapauksen. MerkitsemmeG(u):lla vektorikenttääm-me lausuttuna uusissa lokaalisissa koordinaateissa. Silloin

G(u) = M(u)TF(h(u)) =3∑

i=1

mi(u)Fi(h(u)).

Huomaamme, että lokaalisen lineaarisen koordinaattimuunnoksen hoitaa matriisiM(u)T. De-rivoidaanG(u) tulon derivointisäännöllä sekä Ketjusäännöllä:

G′(u) =3∑

i=1

m′i(u)Fi(h(u)) +

3∑i=1

mi(u)(Fi(h(u)))′

=3∑

i=1

m′i(u)Fi(h(u)) +

3∑i=1

mi(u)F ′i (h(u))h′(u)

=3∑

i=1

m′i(u)Fi(h(u)) + M(u)TF′(h(u))h′(u).

Olemme tässä muuten soveltaneet ns. toista matriisikertolaskusääntöä.1 Voimme nyt ratkaistaF′(h(u)):n:

F′(h(u)) = M(u)

(G′(u) −

3∑i=1

m′i(u)Fi(h(u))

)h′(u)−1

= M(u)

(G′(u) −

3∑i=1

m′i(u)(M(u)G(u))i

)h′(u)−1.

1Jos matriisinA sarakkeet ovata1, . . . ,an ja matriisinB rivit bT1 , . . . ,bT

n , niin

AB =n∑

i=1

aibTi .

Tässähän on vain sovellettu lohkomatriisin kertolaskua.

119

120

Divergenssi∇ • F saadaankin sittenF′(h(u)):n jälkenä. Sen sijaan roottorin laskemiseksitoteamme ensin, että kaksi yhtälöä

∇× F =

a

bc

ja F′ − F′T =

0 −c b

c 0 −a−b a 0

ovat ekvivalentit (helppo todeta). Näin roottorin komponentit saadaan poimituksiF′ − F′T:sta.Lisäksi roottori pitää muuntaa uusiin lokaalisiin koordinaatteihin kertomallaM(u)T:lla. Näinsaamme roottoriksi

M(u)T

(F′(h(u)) − F′(h(u))T)3,2

(F′(h(u)) − F′(h(u))T)1,3

(F′(h(u)) − F′(h(u))T)2,1

.

Seuraava Maple-ohjelma laskee yo. tavalla divergenssin ja roottorin. Syötteenä ohjelmalleannamme muunnoksenh ja koordinaattimuuttujat (oikeammin vain niiden nimet).

> Dtrans1:=proc(h,m)

local K,J,N,M,H,DV,DG;

K:=<K1(op(m)),K2(op(m)),K3(op(m))>;J:=Jacobian(h,m);N:=Map(sqrt,Transpose(J).J);M:=simplify(J.MatrixInverse(N),symbolic);H:=M.K;

DV:=MatrixAdd(MatrixAdd(MatrixAdd(Jacobian(K,m),ScalarMultiply(Jacobian(Row(M,1),m),-H[1])),ScalarMultiply(Jacobian(Row(M,2),m),-H[2])),ScalarMultiply(Jacobian(Row(M,3),m),-H[3]));

DG:=simplify(M.DV.MatrixInverse(J),symbolic);

[Trace(DG),convert(Transpose(M).<DG[3,2]-DG[2,3],DG[1,3]-DG[3,1],DG[2,1]-DG[1,2]>,vector)];

combine(subs({K1=G[m[1]],K2=G[m[2]],K3=G[m[3]]},simplify(%,symbolic)));

end:

Kokeillaan sylinteri- ja pallokoordinaatistoon:

> with(LinearAlgebra):with(VectorCalculus):

Warning, the names &x, CrossProduct and DotProduct have been reboundWarning, the assigned names ‘<,>‘ and ‘<|>‘ now have a global bindingWarning, these protected names have been redefined and unprotected: *, +, ., D, Vector, diff, int, limit, series

> h:=<r*cos(phi),r*sin(phi),z>:Dtrans1(h,[r,phi,z]);

[

∂∂φ

Gφ (r, φ, z) + Gr (r, φ, z) + r ∂∂r

Gr (r, φ, z) +(

∂∂z

Gz (r, φ, z))

r

r,

[−

(∂∂z

Gφ (r, φ, z))

r − ∂∂φ

Gz (r, φ, z)

r,

∂

∂zGr (r, φ, z) − ∂

∂rGz (r, φ, z) ,

− ∂∂φ

Gr (r, φ, z) + Gφ (r, φ, z) +(

∂∂r

Gφ (r, φ, z))

r

r]]

> h:=<rho*sin(theta)*cos(phi),rho*sin(theta)*sin(phi),rho*cos(theta)>:Dtrans1(h,[rho,theta,phi]);

[sin (θ) ρ ∂

∂ρGρ (ρ, θ, φ) + cos (θ) Gθ (ρ, θ, φ) + 2 sin (θ) Gρ (ρ, θ, φ) + sin (θ) ∂

∂θGθ (ρ, θ, φ) + ∂

∂φGφ (ρ, θ, φ)

ρ sin (θ),

[− ∂

∂φGθ (ρ, θ, φ) + sin (θ) ∂

∂θGφ (ρ, θ, φ) + cos (θ) Gφ (ρ, θ, φ)

ρ sin (θ),

121

−− ∂

∂φGρ (ρ, θ, φ) + sin (θ) Gφ (ρ, θ, φ) + sin (θ)

(∂∂ρ

Gφ (ρ, θ, φ))

ρ

ρ sin (θ),− ∂

∂θGρ (ρ, θ, φ) + Gθ (ρ, θ, φ) +

(∂∂ρ

Gθ (ρ, θ, φ))

ρ

ρ]]

Tulokset ovat vähemmän sievässä muodossa, mutta niistä saadaan esittämämme kaavat suoraan.Skalaarikentänf(r) tapaus on kumma kyllä aika analoginen. Merkitsemmeg(u):lla kenttää

lausuttuna uusissa koordinaateissau. Ketjusäännön mukaisesti

g′(u) = f ′(h(u))h′(u).

Tästä saadaan gradientti

M(u)Tf ′(h(u))T = M(u)Th′(u)−Tg′(u)T.

Tulon derivointisäännöllä saamme toisen derivaatan (Hessen matriisin):

g′′(u) = (g′(u)T)′ = (h′(u)Tf ′(h(u))T)′ =

(3∑

i=1

h′i(u)T(f ′(h(u)))i

)′

=3∑

i=1

h′′i (u)(f ′(h(u)))i +

3∑i=1

h′i(u)T((f ′(h(u)))i)

′

=3∑

i=1

h′′i (u)(f ′(h(u)))i + h′(u)Tf ′′(h(u))h′(u).

Ratkaisemalla saammef ′′(h(u)):n

f ′′(h(u)) = h′(u)−T

(g′′(u) −

3∑i=1

h′′i (u)(f ′(h(u)))i

)h′(u)−1

= h′(u)−T

(g′′(u) −

3∑i=1

h′′i (u)(g′(u)h′(u)−1)i

)h′(u)−1.

Mitä ilmeisimmin Laplacen operaattori on Hessen matriisin jälki, joten se saadaan nyt suoraan.Seuraava Maple-ohjelma laskee yo. tavalla gradientin ja Laplacen operaattorin. Syötteenä

ohjelmalle annamme muunnoksenh ja koordinaattimuuttujat.

Dtrans2:=proc(h,m)

local k,J,N,M,H,HV,HF;

k:=g(op(m));J:=Jacobian(h,m);N:=simplify(Map(sqrt,Transpose(J).J),symbolic);M:=J.MatrixInverse(N);H:=simplify(Jacobian([k],m).MatrixInverse(J),symbolic);

HV:=MatrixAdd(MatrixAdd(MatrixAdd(Hessian(k,m),ScalarMultiply(Hessian(h[1],m),-H[1,1])),ScalarMultiply(Hessian(h[2],m),-H[1,2])),ScalarMultiply(Hessian(h[3],m),-H[1,3]));

HF:=simplify(MatrixInverse(Transpose(J)).HV.MatrixInverse(J),symbolic);

[convert(H.M,vector),Trace(HF)];combine(simplify(%,symbolic));

end:

122

Huomaa ällistyttävä yhdennäköisyys edellisen ohjelmamme kanssa. Kokeillaan taas sylinteri-ja pallokoordinaatistoon:

> with(LinearAlgebra):with(VectorCalculus):

Warning, the names &x, CrossProduct and DotProduct have been reboundWarning, the assigned names ‘<,>‘ and ‘<|>‘ now have a global bindingWarning, these protected names have been redefined and unprotected: *, +, ., D, Vector, diff, int, limit, series

> h:=<r*cos(phi),r*sin(phi),z>:Dtrans2(h,[r,phi,z]);

[[∂

∂rg (r, φ, z) ,

∂∂φ

g (r, φ, z)

r,

∂

∂zg (r, φ, z)],

∂2

∂φ2 g (r, φ, z) +(

∂∂r

g (r, φ, z))

r +(

∂2

∂r2 g (r, φ, z))

r2 +(

∂2

∂z2 g (r, φ, z))

r2

r2]

> h:=<rho*sin(theta)*cos(phi),rho*sin(theta)*sin(phi),rho*cos(theta)>:Dtrans2(h,[rho,theta,phi]);

[[∂

∂ρg (ρ, θ, φ) ,

∂∂θ

g (ρ, θ, φ)

ρ,

∂∂φ

g (ρ, θ, φ)

ρ sin (θ)],

1

−ρ2 + ρ2 cos (2 θ)

(2

(∂

∂ρg (ρ, θ, φ)

)ρ cos (2 θ) +

(∂2

∂ρ2g (ρ, θ, φ)

)ρ2 cos (2 θ) −

(∂2

∂ρ2g (ρ, θ, φ)

)ρ2

− ∂2

∂θ2g (ρ, θ, φ) − 2

(∂

∂ρg (ρ, θ, φ)

)ρ − 2

∂2

∂φ2g (ρ, θ, φ) +

(∂2

∂θ2g (ρ, θ, φ)

)cos (2 θ) −

(∂

∂θg (ρ, θ, φ)

)sin (2 θ)

)]

Tulokset ovat jälleen vähemmän sievässä muodossa, mutta niistä saadaan esittämämme kaavat.Todettakoon, että nämä muunnoskaavat ja vastaavat kaavat monelle muullekin käyräviivai-

selle koordinaatistolle ovat suoraan saatavissa Maple-ohjelmistonVectorCalculus-pake-tissa. Itse asiassa tässä paketissa voidaan määritellä mielivaltainen käyräviivainen koordinaatis-to ja laskea tälle derivaattaoperaattorien muunnoskaavat.

LIITE 3: Stokesin lause yleiselleparametrisoinnille

Stokesin lause todistettiin Pykälässä 4.3 vaatien pinnalta ainoastaan (paloittainen) sileys. Todis-tuksessa on tällöin kuitenkin hieman jälkiviisaan makua: pinnan piti olla geometrisesti tiettyämuotoa, joka tosin ei ole kovin rajoittava kuten Pykälässä 5.2 todettiin. Seuraava todistus pe-rustuu suoraviivaiseen läpilaskentaan ja on siinä mielessä opettavainen. Joudumme sitä vartenkuitenkin olettamaan parametrisoinnin toisten derivaattojen olemassaolon ja jatkuvuuden. Se,että todistus näin vaatii tällaisen lisäehdon, on oikeastaan outoa.

Suoraan läpilaskentaan perustuva Stokesin lauseen todistus on siinä mielessä hieman hanka-la, että samanaikaisesti joudutaan käsittelemään vektoriristituloja sekä matriisimuotoisia lausek-keita, eivätkä ne oikein mukavasti sovi yhteen. Seuraavassa sotkemme eri lajeja yhteen jokseen-kin huolettomasti, ks. sääntö (vii) Pykälässä 5.1.

Lause 3. (Stokesin lause) Oletamme, että sileä pintaS on suunnistettu ja että sillä on oikea-kätisesti suunnistettu sileä reunaviivaC. Oletamme, että pinta on esitettävissä parametrimuo-dossaS : r = g(u) (u ∈ A), missäg on kahdesti jatkuvasti derivoituva, alueeseenA voidaansoveltaa Greenin lausetta jaA:n reunaviivaCu kuvautuug:tä sovellettaessa sileästiC:ksi. Ole-tamme, että vektoriarvoinen funktioF on jatkuvasti derivoituva. Tällöin∫

S

∇× F(r) • dS =

∮C

F(r) • ds.

Todistus.Cu:n kierto kuvautuug:llä C:n kierroksi. Sovimme, ettäCu suunnistetaanu-tason po-sitiiviseen kiertosuuntaan ja että tämä suunnistus antaag:llä kuvattaessa oletetunC:n suunnis-tuksen. Vastaako tämä sovittuaS:n suunnistusta normaalivektorille

n(u) =

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥,

ettei vaan tulisi miinusmerkki?AlueenA reunaviivan esitämme parametrimuodossau = h(t) (a ≤ t ≤ b), oikein suunnis-

tettuna. TällöinCu:n normaalivektori, ks. Pykälät 3.1 ja 4.1,

m(t) =

(−h′

2(t)h′

1(t)

)

on suuntautunut alueenA sisusta kohti. Jos reunanCu pisteestäu = h(t) kuljemme diffe-rentiaalisen pienen matkan kohtisuoraan kohti alueen sisusta, pinnallaS reunapiste liikahtaakuvaukseng perusteella vektorin

b = g′(u)m(t) = −h′2(t)

∂g

∂u1

+ h′1(t)

∂g

∂u2

123

124

suuntaisesti pinnan sisukseen päin. Jos skalaarikolmitulot×b•n on positiivinen reunaviivanCtarkastelupisteessä, systeemi on oikeakätisesti suunnistettu (mietis tuota). Tässät on tangentti

t = g′(u)h′(t) = h′1(t)

∂g

∂u1

+ h′2(t)

∂g

∂u2

.

Osoitamme, että valitulle normaalillen tämä skalaarikolmitulo on positiivinen. Lasketaan:(h′

1(t)∂g

∂u1

+ h′2(t)

∂g

∂u2

)×

(−h′

2(t)∂g

∂u1

+ h′1(t)

∂g

∂u2

)•

(∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

)

= (h′1(t)

2 + h′2(t)

2)

∥∥∥∥ ∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

∥∥∥∥2

> 0.

Pinnan normaalin oikea suunta on siten todettu.Seuraavaksi laskemme integraalin∫

S

∇× F(r) • dS =

∫S

∇× F(r) • n(r) dS,

missä tietenkin normaalin lauseke evaluoidaan pinnanS integrointipistettä vastaten. Siirrymmeintegroimaanu-tasoon vektoraalisen pintaintegraalin määritelmän mukaisesti sekä sievennäm-me pois nablalausekkeen:∫

A

∇× F(g(u)) •(

∂g

∂u1

× ∂g

∂u2

)du =

∫A

((∇× F(g(u))) × ∂g

∂u1

)• ∂g

∂u2

du

=

∫A

(∂g

∂u1

)T

(F′(g(u))T − F′(g(u)))∂g

∂u2

du

=

∫A

((∂g

∂u1

)T

F′(g(u))T ∂g

∂u2

−(

∂g

∂u2

)T

F′(g(u))T ∂g

∂u1

)du

=

∫A

((∂

∂u1

F(g(u))

)T∂g

∂u2

−(

∂

∂u2

F(g(u))

)T∂g

∂u1

)du

=

∫A

(∂

∂u1

(F(g(u))T ∂g

∂u2

)− ∂

∂u2

(F(g(u))T ∂g

∂u1

))du,

sillä johtuen oletetusta jatkuvasta derivoituvuudesta kahdesti sekaderivaatat ovat samat eli

∂2g

∂u1∂u2

=∂2g

∂u2∂u1

ja supistuvat tulojen derivoinnin jälkeen pois. (Huomaa: Ainoastaan tätä varten jouduimme vaa-timaan funktiong kahdesti jatkuvasti derivoituvaksi.)

Greenin lauseen avullau-tason pintaintegraali muutetaan viivaintegraaliksi alueenA reuna-viivanCu ympäri (viiva on muotoau = h(t), kuten muistetaan). Lausetta sovelletaanu-tasollavektorikenttääng′(u)TF(g(u)) = (F(g(u))Tg′(u))T:

125

∫S

∇× F(r) • dS =

∫A

(∂

∂u1

(F(g(u))T ∂g

∂u2

)− ∂

∂u2

(F(g(u))T ∂g

∂u1

))du

=

∮Cu

(F(g(u))Tg′(u))T • ds =

b∫a

F(g(h(t)))Tg′(h(t))h′(t) dt

=

∮C

F(r) • ds,

sillä viiva C on esitettävissä muodossar = g(h(t)) (a ≤ t ≤ b), jolloin ds = g′(h(t))h′(t) dt.

Huomautus. Paitsi Pykälän 4.3 todistus ja edellä oleva todistus, klassisia todistuksia on kol-maskin. Siinä korvataan pinta kolmioista muodostuvalla jatkuvalla pinnalla ja reunaviiva vas-taavasti murtoviivalla. Tällaiselle approksimaatiopinnalle Stokesin lause on helppo todistaa(oleellisesti Greenin lause kolmioille). Tihentämällä kolmiointia saadaan rajalla Stokesin lause.(Ks. esimerkiksiSCHEY.) Tässä lähestymistavassa ei tarvita parametrisoituvuusehtoja kutenPykälän 4.3 todistuksessa eikä parametrisoinnin jatkuvaa derivoituvuutta kahdesti kuten edel-lä. Toisaalta siinä tarvitaan kentän jatkuva derivoituvuus pinnan ulkopuolella, myös sen reuna-viivan ulkopuolella.

Tällainen käsittelytapa on jo likellä monistoteoreettista ajattelua, ks. esimerkiksiHUBBARD

& H UBBARD.

LIITE 4: Dipoliapproksimaatio

1. Sähköinen dipoli

Dipolikentällä tarkoitamme kahden vastakkaismerkkisen potentiaalin aiheuttamaa kenttää. Tyy-pillinen tilanne on lähellä toisiaan olevat samansuuruiset mutta vastakkaismerkkiset varauksetja niiden aiheuttama sähkökenttä. (Onko gravitaatiodipoleja onkin jo mielenkiintoisempi kysy-mys!)

Oletamme, että sähkövaraukset+q ja −q sijaitsevat alla olevan kuvan kuvan mukaisestilähellä toisiaan pisteissär′ + h ja r′. Tarkastelemme niiden aiheuttamaa sähköstaattista kenttääpisteessär. Dipoliapproksimaation luonteeseen kuuluu, että‖r − r′‖ � ‖h‖.

r

r′

r′ + h–q

+q

Sähköopin mukaisesti varausten synnyttämän kentän (äärettömyydessä häviävä) potentiaalipisteessär on

φ(r) =q

4πε

(1

‖r − r′ − h‖ − 1

‖r − r′‖

).

Toisaalta, kun derivointimuuttujana onr′ (pilkutettu nabla),

1

‖r − r′ − h‖ =1

‖r − r′‖ +

(∇′ 1

‖r − r′‖

)• h + o(‖h‖).

Siten tarkastelupisteessär

φ(r) =q

4πε

((∇′ 1

‖r − r′‖

)• h + o(‖h‖)

)=

q

4πε

(r − r′

‖r − r′‖3• h + o(‖h‖

).

Jos perinteiseen tapaan kutsummesähköiseksi dipolimomentiksilauseketta

qh = p′

126

127

ja oletammeo-termin häviävän pieneksi (siis rajallah → 0 siten, ettäqh = p′), saammetavanomaisenpotentiaalin dipoliapproksimaation

φ(r) ≈ 1

4πε

p′ • (r − r′)

‖r − r′‖3,

missä yleisen tavan mukaisesti pisteeseenr′ liittyvä suurep′ on pilkutettu.Ja mikähän on sähkökentän voimakkuus tarkastelupisteessär? Sähkötekniikassa potentiaa-

lin etumerkki sovitaan siten, ettäE(r) = −∇φ(r). Siis

E(r) ≈ − 1

4πε∇p′ • (r − r′)

‖r − r′‖3.

Koska gradientti muodostetaan tarkastelupisteessär (kuten aina laskettaessa kenttää paikallises-ta potentiaalista), nabla kohdistuu muuttujaanr. Lausekkeessa vektorip′ ei riipu muuttujastar,johon nabla kohdistuu. Pykälän 5.1 kaavalla (i)

∇p′ • (r − r′)

‖r − r′‖3= (p′ • (r − r′))∇ 1

‖r − r′‖3+

1

‖r − r′‖3∇(p′ • (r − r′))

= −3p′ • (r − r′)

‖r − r′‖5(r − r′) +

p′

‖r − r′‖3

ja saamme lopultakentän dipoliapproksimaation(kentän voimakkuus oli negatiivinen gradient-ti)

E(r) ≈ 1

4πε‖r − r′‖5(−‖r − r′‖2p′ + 3(p′ • (r − r′))(r − r′)).

Tällainen approksimaatio on käyttökelpoinen, paitsi varsinaisille sähköisille dipoleille, myöskentille, jotka ovat likimain dipolikenttiä. Dipolimomentti saadaan silloin fysikaalisin perustein.

2. Magneettinen dipoli

Magneettinen dipoli voitaisiin määritellä ja johtaa vektoripotentiaaleja käyttäen kuten edelläsähköinen dipoli. Käsitellään sitä kuitenkin virtasilmukan avulla, vähän samaan tapaan kuinheikon roottorin yhteydessä Pykälässä 5.3.

r

r0r′ = r0+ h

ds′

n

CI

Tarkastelemme pientä tasossa olevaa virtasilmukkaaC, jossa kiertää virtaI. Silmukan tasonyksikkönormaali onn (ja se on virran kiertosuuntaan nähden oikein suunnistettu). Tarkastelu-pister sijaitsee silmukan mittoihin nähden kaukana silmukasta. Valitsemme silmukan sijain-tia karakterisoimaan sen tasosta, viivan sisäpuolelta jonkin kiinteän pisteen, jota merkitsemme

128

r0:lla. Voimme karakterisoida silmukan pisteitä vektorillar′ = r0 +h, jossa nyth on muuttuja.Tarkastelupisteenr ”kaukaisuus” tarkoittaa, että‖r − r′‖ � ‖h‖.

Biot–Savart-lain mukaan magneettikentän voimakkuus pisteessär on (ks. Pykälän 3.1 esi-merkki)

H(r) =I

4π

∮C

ds′ × (r − r′)

‖r − r′‖3,

jolloin esimerkiksi

H1(r) = H(r) • i =I

4π

∮C

((r − r′) × i) • ds′

‖r − r′‖3

(muutH(r):n komponentit vastaavasti).Sovelletaan Stokesin lausettaC:n rajaamaan tasoalueeseenS. Merkitään sitä varten∇′:lla

nablaa muuttujanr′ suhteen sekä∇h:lla nablaa muuttujanh suhteen. Silloin

H1(r) =I

4π

∫S

∇′ × (r − r′) × i

‖r − r′‖3• dS′ =

I

4π

∫S

∇h × (r − r0 − h) × i

‖r − r0 − h‖3• dS′

(r′:n jah:n ero on vain translaatio). Pykälän 5.1 kaavan (v) mukaan edelleen

H1(r) =I

4π

∫S

((i • ∇h)

r − r0 − h

‖r − r0 − h‖3−

(∇h • r − r0 − h

‖r − r0 − h‖3

)i

)• dS′.

Helppo lasku osoittaa, että integrandissa oleva divergenssi on= 0, joten

H1(r) =I

4π

∫S

(∂

∂h1

r − r0 − h

‖r − r0 − h‖3

)• n dS ′

=I

4π

∫S

(− n1

‖r − r0 − h‖3+ 3

(r − r0 − h) • n

‖r − r0 − h‖5(r − r0 − h)1

)dS ′.

Voimme olettaa, ettäh pienenä voidaan jättää pois, joten

H1(r) ≈I

4π

∫S

(− n1

‖r − r0‖3+ 3

(r − r0) • n

‖r − r0‖5(r − r0)1

)dS ′.

Muut komponentit saamme approksimoiduksi samalla tavoin, joten

H(r) ≈ I

4π

∫S

(− n

‖r − r0‖3+ 3

(r − r0) • n

‖r − r0‖5(r − r0)

)dS ′

=IA

4π

(− n

‖r − r0‖3+ 3

(r − r0) • n

‖r − r0‖5(r − r0)

),

missäA on alueenS ala.Ottamalla käyttöön silmukkaanC liittyvän magneettisen dipolimomentin

m′ = IAn

129

saamme pisteenr0 välittömässä läheisyydessä sijaitsevan silmukan aiheuttaman kentän dipo-liapproksimaatioksi kaukaisessa pisteessär

H(r) ≈ 1

4π‖r − r0‖5(−‖r − r0‖2m′ + 3((r − r0) • m′)(r − r0)).

Lauseke on täsmälleen samaa muotoa kuin sähköstaattisella dipolilla! Niinpä edellisen py-kälän mukaisesti takaperin argumentoiden havaitsemme, että magneettikentän voimakkuudellaon tässä tapauksessa approksimatiivinen (skalaari)potentiaaliφ:

H(r) = −∇φ(r),

missä

φ(r) ≈ 1

4π

m′ • (r − r0)

‖r − r0‖3,

Kirjallisuus

1. APOSTOL, T.M.: Calculus. Vol. II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra withApplications to Differential Equations.Wiley (1975)

2. BAXANDALL , P.R. & LIEBECK, H.: Vector Calculus.Clarendon Press (1987)

3. HESTENES, D. & SOBCZYK, G.: Clifford Algebra to Geometric Calculus: A UnifiedLanguage for Mathematics and Physics.Kluwer (1987)

4. HUBBARD, J.H. & HUBBARD, B.B.: Vector Calculus, Linear Algebra, and DifferentialForms.Prentice–Hall (1999)

5. JÄNICH, K. & K AY, L.D.: Vector Analysis.Springer–Verlag (2000)

6. KAPLAN, W.: Advanced Calculus.Addison–Wesley (1992)

7. KELLOGG, O.D.: Foundations of Potential Theory.Dover (1974)

8. LORRAIN, P. & CORSON, D.R.: Electromagnetic Fields and Waves.W.H. Freeman(1987)

9. MARSDEN, J.E. & TROMBA, A.J.: Vector Calculus.W.H. Freeman (1995)

10. NIKOLSKY, S.M. & VOLOSOV, V.M.: A Course of Mathematical Analysis. Vol. 2.MIRPublishers (1987)

11. OSTROWSKI, A.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band I–III.Birk-häuser (1972)

12. RAHMAN , M. & M ULOLANI , I.: Applied Vector Analysis.CRC Press (2001)

13. RUDIN, W.: The Principles of Mathematical Analysis.McGraw–Hill (1987)

14. SCHEY, H.M.: Div, Grad, Curl, and All That. An Informal Text on Vector Calculus.W.W.Norton (1997)

15. TALLQVIST, H.: Grunderna av vektoranalysen med tillämpningar i fysiken.Söderström(1923)

16. VÄISÄLÄ , K.: Vektorianalyysi.WSOY (1972)

130

131

Hakemisto

affiini muunnos 36affiinikuvaus 5ala 16antoisuus 92atan 28,102avaruuskäyrä 2avoin alue6avoin pinta 7avoin viiva 3Biot–Savart-laki 15,63,70,96,128Cavalierin periaate 118Cliffordin algebra 88cross-cap 7deltafunktio 54dipoliapproksimaatio 126dipolimomentti 126,128distribuutio 55divergenssi 72,75,86,92,120Divergenssilause 74divergoiminen 46,51eksplisiittiesitys 9epäoleellinen integraali 45error-funktio 49funktionaali 55Gaussin lause 20,25,70,75,78,91,108,111geometrinen 2geometrinen algebra 88geometrinen pinta 7,13geometrinen viiva 3gradientti 86,121gradienttikenttä 97,88Gram–Schmidt-menetelmä 118Gramin determinantti 118Gramin matriisi 118Greenin ensimmäinen kaava 109Greenin lause 72,83,91Greenin toinen kaava 109hajaantuminen 46,51halkaisija 65harmoninen funktio 107,110heikko derivaatta 91,93heikko divergenssi 92heikko gradientti 93heikko roottori 94implisiittiesitys 9itseään leikkaamaton pinta 7itseään leikkaamaton viiva 3itseään leikkaava pinta 7itseään leikkaava viiva 3jatkuva pinta 7

jatkuva viiva 3Jordan-mitallinen 16Jordanin käyrä 3Jordanin käyrälause 3,7Jordanin mitta 16Jordanin sisämitta 15Jordanin ulkomitta 15jälki 90,120kaksoisroottori 88kantapiste 2kappale 7karakteristinen funktio 46kardinaalisini 38kartio 19käyrä 2käyräviivainen koordinaatisto 30kenttäviiva 25kiertosuunta 14Kleinin pullo 14konservatiivinen kenttä 100konvergointi 46,51koordinaattitasa-arvopinta 29lähde 92lähteen tiheys 78,93lähteetön 88,103lähteisyys 78,93Laplacen operaattori 86,121Laplacen yhtälö 107Lebesguen integraali 36,46Lebesguen lause 7leikkauspiste 3,7Lorentzin voimalaki 24magneettinen dipoli 127Mahalanobisin muunnos 50Möbiuksen nauha 13monisto 88,106multinormaalijakauma 49muuttujien vaihto 27,32nabla 86napakoordinaatisto 27,95Newtonin potentiaali 102,105,109normaali 10normaaliderivaatta 108oikeakätinen suunistus 15osittaisdifferentiaaliyhtälö 70,111osittasintegrointi 108Ostrogradskijn lause 74paikkavektori 2pallokoordinaatisto 31,96,120paloittain sileä pinta 8

132

paloittain sileä viiva 4parametrialue 6parametriesitys 9parametriväli 2pinta 6pinta-alkio 16pintaintegraali 64piste 1pituus 5pituusmitta 5Poissonin yhtälö 107puoliavoin alue 6pyörrekenttä 88,103pyörteetön 88,98QR-hajoitelma 11,118rata 3reuna 6reunaviiva 6,14rinkilä 102roottori 80,86,91,94,120sileä pinta 8sileä viiva 4sinc-funktio 38sisäosa 6sisäpeite 15sivuamispiste 3,7skalaarinen pintaintegraali 65skalaarinen viivaintegraali 57skalaaripotentiaali 97,126,129skalaaritulo 2stationäärinen 112Stokesin lause 15,20,70,74,82,85,103,123,128suljettu alue 6suljettu pinta 7suljettu viiva 3sulkeuma 6suppeneminen 46,51suunnistettu pinta 13suunnistettu viiva 5sylinteri 8sylinterikoordinaatisto 8,29,33,95,120sähköinen dipoli 126tähtimäinen 105tangenttitaso 10tasokäyrä 2testifunktio 55Thomsonin virtauslause 84,98tilavuusalkio 117torus 102tuki 55ulkopeite 15vasenkätinen suunnistus 15

Vektoraalinen Gaussin lause 78,93vektoraalinen pintaintegraali 66vektoraalinen viivaintegraali 59vektori 1vektorikenttä 23vektoripotentiaali 103vektoritulo 2viiva 2viivaintegraali 57vuoputki 25yhdesti yhtenäinen 101yhtälöesitys 9yksikkönormaali 11,64yksikkötangenttivektori 4yksinkertainen pinta 7yksinkertainen viiva 3yleistetty funktio 55yleistetty ristitulo 11x-parametrisoituva 72,74,80y-parametrisoituva 72,74,80z-parametrisoituva 74,80Zukovskijn nostovoimalause 85

laaja vektorianalyysimath.tut.fi/~ruohonen/lva.pdfpi-dämme tietenkin mielessä, että vektori on...

Documents