Øscalare quantità descrivibile unicamente da un numero...

Precorsi di Fisica Precorsi di Fisica –– Ing.Ing. Civile&MeccanicaCivile&Meccanica, , A.A. 2005A.A. 2005--20062006 Carmine Elvezio PagliaroneCarmine Elvezio Pagliarone

II.II. RipassoRipasso didi MatematicaMatematica: : ScalariScalari e e VettoriVettori

ØØ ScalareScalare quantitquantitàà descrivibiledescrivibile unicamenteunicamente dada un un numeronumero ((temperaturatemperatura, , lunghezzalunghezza,,……))ØØ VettoreVettore quantitquantitàà cheche necessitanecessita per la per la suasua

descrizionedescrizione didi unun’’ampiezzaampiezza, , didi unauna direzionedirezione e e didiun un segnosegno

((ForzaForza, , velocitvelocitàà, , accelerazioneaccelerazione,,……))

ØØ SiSi rappresentarappresenta con con unauna frecciafreccia la cui la cui lunghezzalunghezza èèproporzionaleproporzionale al modulo al modulo del del vettorevettoreØØ La La puntapunta delladella frecciafreccia rappresentarappresenta la la direzionedirezione del del

vettorevettore


simbologiasimbologia per i per i vettorivettori

ØØLetteraLettera con con frecciafreccia::ØØLetteraLettera in in grassettograssetto: : AAØØSe Se sisi intendeintende scriverescrivere ilil modulo modulo

didi un un vettorevettore alloraallora sisi puòpuò usareusareo o semplicementesemplicemente la la letteralettera o o indicareindicarela la medesimamedesima in italic: in italic: AA

Ar


PropietPropietàà deidei VettoriVettori

ØØUguaglianzaUguaglianza frafra due due VettoriVettoriØØDue Due vettorivettori sisi diconodicono ugualiuguali se se essiessi hannohanno

stessostesso modulomodulo e e stessastessa direzionedirezione

ØØSpostamentoSpostamento didi vettorivettori in a in a diagrammadiagrammaØØUn Un vettorevettore puòpuò sempresempre essereessere mossomosso

parallelamenteparallelamente a se a se stessostesso senzasenza cheche questoquestomodifichimodifichi ilil vettorevettore medesimomedesimo


AltreAltre proprietproprietàà deidei VettoriVettori

ØØVettoreVettore NegativoNegativoØØUn Un vettorevettore èè ilil negativonegativo didi un un altroaltro se ha lo se ha lo

stessostesso modulo ma modulo ma direzionedirezione oppostaopposta ovveroovveroruotataruotata didi 180180°° ((ππ/2/2) ) ØØ AA = = --BB

ØØVettoreVettore RisultanteRisultanteØØIl Il vettorevettore risultanterisultante èè ilil vettorevettore ottenutoottenuto come come

sommasomma delldell’’insiemeinsieme didi vettorivettori datodato


SommaSomma didi VettoriVettori

ØØQuandoQuando sisi sommanosommano deidei vettorivettori, , occorreoccorreteneretenere contoconto sempresempre delledelle loroloro direzionidirezioniØØLe Le unitunitàà adottateadottate devonodevono essereessere le le stessestesse

ØØMetodoMetodo GraficoGraficoØØSiSi disegnanodisegnano i i vettorivettori in in scalascala

ØØMetodoMetodo AlgebricoAlgebricoØØpipiùù convenienteconvenienteØØ (x(x11,y,y11,z,z11)+(x)+(x22,y,y22,z,z22) =(x) =(x11+ x+ x22, y, y11+ y+ y22, z, z11+ z+ z22) )


MetodoMetodo graficografico

A B B A+ = +r rr r


SottrazioneSottrazione didi due due vettorivettori

ØØ Un Un casocaso particolareparticolare didisommasomma::ØØAA –– B = AB = A+(+(--BB))


SistemaSistema didi coordinate coordinate cartesianecartesiane 3D3D

P=( x, y, z)

xur

r

xy

z

yur

zur


P=( r,ϑ,ϕ)

ru r r

u ϕ

ruϑ

r

ϕ

ϑ

xy

z

r sinϑ

SistemaSistema didi coordinate coordinate sferichesferiche

( )OP r rsin cos , r sin sin , rcos= = θ φ θ φ θr

( )r, ,φ θ


CambiamentoCambiamento didi coordinatecoordinate

PPρθ

( ) ( )( ) ( )

ˆ ˆ ˆsin cos

ˆ ˆ ˆcos sin

u x y

u x yρ

θ

θ θ

θ θ

= +

= −

zz xx

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

2

ˆ ˆ ˆcos sin cos cos

ˆ ˆ ˆsin sin cos sin

u x y

u x yρ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= +

− = − +

( ) ( )ˆ ˆ ˆcos sinyu u uρ θθ θ= −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

2

ˆ ˆ ˆsin sin sin cos

ˆ ˆ ˆcos s cos sin

u x y

u x co yρ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= +

= −

( ) ( )ˆ ˆ ˆsin cosxu u uρ θθ θ= +

( ) ( )( ) ( )

ˆ ˆ ˆsin cos

ˆ ˆ ˆcos sinx

y

u u u

u u uρ θ

ρ θ

θ θ

θ θ

= +

= −

yy


InversioneInversione didi coordinatecoordinate

xx

yy

zz

P(x,y,zP(x,y,z))

zz’’

yy’’

xx’’

PP’’

( )( , , ) ' ( , , )P x y z P x y z℘ = = − − −


Scalari,Pseudoscalari,Vettori,PseudovettoriScalari,Pseudoscalari,Vettori,Pseudovettori

ØØ ScalareScalare: : elementoelemento appartenenteappartenente ad ad RR invarianteinvariante per per InversioneInversione del del sistemasistema didi coordinate;coordinate;

ØØ PseudoscalarePseudoscalare: : elementoelemento appartenenteappartenente ad ad RR chechecambia cambia segnosegno per per inversioneinversione del del sistemasistema didicoordinatecoordinate

ØØ VettoreVettore: : ElementoElemento dellodello spaziospazio RR33 cheche cambia cambia segnosegnoper per inversioneinversione del del sistemasistema didi coordinate;coordinate;

ØØ PseudovettorePseudovettore: : ElementoElemento dellodello spaziospazio RR33 cheche non non cambia cambia segnosegno per per inversioneinversione del del sistemasistema didicoordinate;coordinate;

ESERCIZIOESERCIZIO

DimostrareDimostrare cheche datidati due due qualsiasiqualsiasi vettorivettori nellonello spaziospazio::ØØ ilil loroloro prodottoprodotto scalarescalare èè commutativocommutativo;;ØØ ilil loroloro prodottoprodotto scalarescalare dada sempresempre unouno scalarescalare;;ØØ ilil loroloro prodottoprodotto vettorialevettoriale èè anticommutativoanticommutativo;;ØØ ilil loroloro prodottoprodotto vettorialevettoriale dada sempresempre unouno pseudovettorepseudovettore;;


ProdottoProdotto ScalareScalare e e ProdottoProdotto VettorialeVettoriale IIØØ ProdottoProdotto ScalareScalare: : ApplicazioneApplicazione cheche vava dallodallo spaziospazio

prodottoprodotto RR33xRxR33 in in RR tale tale cheche::

ØØ Norma Norma didi un un VettoreVettore: : ApplicazioneApplicazione cheche vava dallodallospaziospazio deidei vettorivettori RR33 nellonello spaziospazio deidei RealiReali positivipositivi RR+ +

definitodefinito come:come:

ØØ ProdottoProdotto VettoreVettore: : ApplicazioneApplicazione cheche vava dallodallo spaziospazioprodottoprodotto RR33xRxR33 nellonello spaziospazio deidei vettorivettori RR33, , definitodefinitodalladalla relazionerelazione::

ˆ ˆ ˆ

x y z

x y z

x y zA B A A A

B B B× ≡

r r

23

1,

j jA A A A

=≡ = ∑

r r r

3

1, j jj

A B A B A B=

≡ ⋅ =∑r rr r


ProdottoProdotto ScalareScalare e e ProdottoProdotto VettoreVettore IIII

ˆ ˆ ˆˆ sinx y z AB AB

x y z

x y zA B A A A u A B

B B Bθ× ≡ =

r rr r

3

1, cos

jj j ABj

A B A B A B A B θ=

=≡ ⋅ = =∑

r r rr r r

BBAA

uuABAB

θθABAB


FormuleFormule didi calcolocalcolo vettorialevettoriale

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

a b c b c a c a b

a b c a c b a b c

a b c d a c b d a d b c

⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

× × = ⋅ − ⋅

× ⋅ × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

r r rr r r r rr r rr r r r r rr r r r r rr r r r r r

ØØ AlcuneAlcune proprietproprietàà deidei ProdottiProdotti ScalariScalari e e VettorialiVettoriali::

Øscalare quantità descrivibile unicamente da un numero...

Documents