Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

Ficha de Identificação - Produção Didático-pedagógica

Professor PDE/2013

Título A modelagem matemática como um caminho para o ensino de geometria

Autor Ilma Santos da Silva

Disciplina/Área (ingresso no PDE) Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Vereador Raulino Costacurta – Rua Oswald de Andrade 296 – Jardim Milena

Município da Escola Colombo

Núcleo Regional de Educação Área Metropolitana Norte

Professor Orientador Flávia Dias Ribeiro

Instituição de Ensino Superior UTFPR

Relação Interdisciplinar (indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)

Educação Física e Arte

Resumo: Sabendo da necessidade de novas perspectivas para o ensino da matemática no ensino básico e considerando que a matemática é vista pelos alunos como uma disciplina de difícil compreensão que leva o aluno na maioria das vezes a aprender pela memorização ou pela repetição de exercícios e não pela compreensão e construção do conhecimento, visa-se por meio dessa Produção Didática desenvolver estratégias que levem o aluno a superar essas dificuldades, conduzindo-o à construção de um conhecimento efetivo. A proposta consiste em abordar conteúdos matemáticos utilizando a Modelagem Matemática que é uma tendência metodológica que propõe uma nova maneira de olhar e ver uma Matemática vinculada a um contexto sócio-cultural-político, que convida o aluno a investigar, discutir e concluir, portanto ela desenvolve habilidades de exploração e compreensão da matemática do cotidiano. As atividades aqui propostas objetivam aprimorar a aprendizagem em sala de aula de maneira significativa. Sua aplicação vai muito além do que ensinar matemática, implica também em formar cidadãos autônomos e críticos, capazes de trabalhar em grupo, tomar decisões diante de diferentes situações, na direção da formação de um sujeito capaz de promover transformações em sua comunidade.

Palavras-chave Geometria; modelagem matemática; aprendizagem significativa.

Formato do Material Didático Caderno Pedagógico

Público Alvo Alunos de 6ºano

APRESENTAÇÃO

A proposta dessa produção didática é explorar a matemática realizando atividades

que favoreçam o alcance de objetivos que a relacione com o meio social e direcione para

uma aprendizagem significativa. Neste sentido, as dificuldades apresentadas no ensino e

aprendizagem de conceitos geométricos podem ser melhores compreendidas através de

um estudo a partir de uma nova tendência metodológica que é a modelagem matemática

a qual leva os alunos em sala de aula a vivenciaram, na prática, situações tiradas do

mundo real. Segundo Bassanezi (2002, p.16), Modelagem Matemática, “consiste na arte

de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los

interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.

Entende-se que essa é uma abordagem pedagógica que pode ser aplicada nos

diferentes níveis de ensino e em diferentes contextos das diversas áreas do

conhecimento, relacionando conteúdos matemáticos ao cotidiano do aluno promovendo

um ambiente de aprendizagem efetivo e interativo entre os alunos.

Para Biembengut e Hein (2005, pág.12), a “Modelagem Matemática é o processo

que envolve a obtenção de um modelo. Podendo, sob alguns aspectos, ser considerado

um processo artístico, pois para elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de

Matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para

interpretar o contexto, discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e senso

lúdico para jogar com as variáveis envolvidas”.

Torna-se evidente que a aprendizagem significativa acontece de maneira efetiva

quando se estabelece a relação com situações reais de aprendizagem, ou seja,

experiências vividas ou analisadas por aquele que quer aprender. Ao contrário, quando

não se faz essa relação e usam-se situações artificiais de aprendizagem o aluno aprende

por condicionamento ou memorização.

A pergunta central reside em: pode a modelagem matemática se constituir como

um caminho para a aprendizagem significativa da geometria no 6º ano do ensino

fundamental? Para responder a essa questão, apresento esta produção didático -

pedagógica que enquanto pesquisa-ação compreende etapas fundamentais, com um

roteiro de atividades para o ensino de matemática em um ambiente de modelagem

matemática, no qual proponho uma investigação que envolve a quadra esportiva do

Colégio Estadual Vereador Raulino Costacurta localizado no município de Colombo região

metropolitana de Curitiba. As atividades aqui sugeridas abordam conteúdos matemáticos

como: medidas de comprimento, formas geométricas, ângulos, escalas, transformações

de medidas de comprimento, áreas de figuras planas, números e operações. As

atividades estão direcionadas a alunos do sexto (6º) ano do ensino fundamental

distribuídos em pequenos grupos.

O roteiro está dividido em 5 unidades com atividades dentro e fora da sala de aula,

dispondo de uma série de recursos, estratégias e objetivos.

A primeira unidade encontra-se organizada em três fases. Na primeira fase será

feita apresentação do tema gerador através de uma discussão crítica tendo os próprios

alunos como principais agentes do processo. Nessa conversa desencadeia-se a

problemática e a busca da resolução do problema associado à construção dos conceitos

necessários, onde serão relacionados os conteúdos matemáticos que irão ser

trabalhados. Discute-se, também, como será o processo avaliativo durante o

desenvolvimento das atividades. A outra fase destina-se a conhecer ideias acerca de

quadra esportiva, seus elementos e suas medidas que serão obtidas através de

pesquisas dentro do tema e consultas de documentos oficiais que normatizam, regulam e

estabelecem a natureza, o caráter e a forma de construção de uma quadra poliesportiva.

A última fase dessa unidade compreende os procedimentos básicos de uma pesquisa de

campo, de caráter qualitativo mediante estudo de caso, na qual se obtém as definições de

modelo matemático e consequentemente de modelagem matemática.

Na segunda unidade será explorada a noção intuitiva de ponto, reta e plano e

consequentemente as figuras geométricas planas identificadas no desenho da quadra de

maneira a enfatizar as diferentes características encontradas em cada uma delas. Já na

terceira unidade propõe-se estudar áreas de figuras planas em especial a área da quadra

e as áreas das figuras que ali aparece. Na quarta unidade será realizada entrevista,

pesquisa e muitos cálculos numéricos com o intuito de fazer um orçamento de

quantidades e custos dos materiais a ser usado para reforma da quadra, nesse momento

o trabalho dos grupos se intensifica devido a ter que correlacionar medidas, quantidades e

custos. A quinta e ultima unidade objetiva-se como fechamento do trabalho a construção

de maquetes, por meio da qual espera-se que o aluno consiga transformar as medidas

necessárias aplicando noções de escala no processo de confecção.

. ABORDAGEM INICIAL

Pesquisa exploratória: Reconhecendo medidas de uma quadra

poliesportiva (futsal, voleibol, basquetebol e handebol). Medindo

comprimento e superfície.

Problema de investigação: Existe medida padrão para uma quadra esportiva? E uma

quadra poliesportiva (futsal, voleibol, basquetebol e handebol)? A quadra da escola

atende esse padrão?

Conteúdos: Medidas de comprimento

Recursos: A quadra esportiva da escola, a biblioteca, a internet, instrumentos usados

para medir comprimento (trena, metro, fita métrica, paquímetro, etc.), barbante e corda.

Objetivos: Reconhecer e elaborar meios para medir comprimentos; Explorar medidas

retilíneas usando diferentes instrumentos.

Pesquisar as medidas consideradas padrão utilizado na construção de uma quadra

esportiva e comparar essas medidas com as medidas obtidas na quadra da escola.

Orientação para desenvolvimento da atividade:

1º passo

Nesse primeiro momento faz-se necessário conversar com a turma sobre a proposta do

projeto e encaminha-los para a formação dos grupos, os quais deverão permanecer o

mesmo do início ao fim da implementação do projeto. Informar aos grupos sobre a forma

de avaliação, na qual cada grupo deverá montar uma pasta arquivo (portfólio) onde

registrarão todas as atividades realizadas e as devidas conclusões. No portfólio deverão

estar documentadas as produções realizadas pelos próprios alunos, como por exemplo:

textos, desenhos, tarefas, atividades de recorte e colagem, projetos, fotografias,

anotações de atividades, amostras de trabalhos, comentários do aluno e do professor

sobre os trabalhos.

Nesse contexto o portfólio apresentará todas as atividades investigativas e lúdicas

garantindo resguardar todo o desenvolvimento do projeto servindo assim para as devidas

avaliações.

2º passo

Apresentação do vídeo “matemática em toda parte”.

Esse vídeo conduzirá a uma conversa sobre a

presença da matemática na construção civil e relaciona

os conteúdos a serem trabalhados nessa

implementação.

Vídeo encontrado em : http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/arquivoVideos.php

O princípio do portfólio é o de uma pasta, ou álbum, em que se armazenam documentos, papéis ou o que se

queira. Trazido para o âmbito escolar, transforma-se num arquivo organizado, em que se armazena a

produção escolar dos alunos, de modo visível para permitir o acompanhamento do desenvolvimento do

aluno em seu processo de atividade.

Texto adaptado do material: Avaliação em matemática nas séries iniciais. Editora UTPR

matematicaconstrucao.avi

3º passo

Considerando que a quadra é um ambiente que os alunos conhecem bem e gostam de

estar, para iniciar a investigação o professor deve direcioná-los até a mesma para essa

atividade de reconhecimento da situação problema e familiarização com o assunto. Já na

quadra o professor propõe a formação de um circulo de conversa. Levantar questões

como:

Vocês costumam frequentar quadras esportivas?

Será que elas têm sempre a mesma medida?

Vocês têm alguma informação sobre medidas padrão para quadras

esportivas?

No caso da quadra da escola, para qual tipo de esporte ela se destina?

Será que ela atende o padrão de medida utilizado?

4º passo

Na tentativa de sanear as dúvidas surgidas a partir dos questionamentos acima, será

realizada na biblioteca da escola e por meio da internet uma pesquisa exploratória que

consistirá na busca de uma série de dados sobre as dimensões de quadras esportivas, e

seus respectivos esportes, essas informações possibilitará o entendimento do problema

levando os alunos a uma nova reflexão sobre as questões anteriores, conduzindo assim

para a resolução da problemática por meio da linguagem matemática. Nesse momento

faz-se necessário fazer uma abordagem envolvendo medidas de comprimento.

1 Medidas não padronizada de comprimento

Já houve um tempo em que as pessoas utilizam partes do corpo como unidade de medida

o pé, o palmo, a braça, o passo, a polegada e a jarda são unidades não pertencentes ao

sistema métrico decimal, porém são utilizadas em países de língua inglesa. Vamos agora,

examinar algumas.

Pé: é uma unidade de medida de comprimento. Um pé corresponde a doze polegadas, e três pés são uma jarda. Esse sistema de medida é utilizado atualmente no Reino Unido, nos Estados Unidos e, com menor frequência, no Canadá. Mede aproximadamente 30,48 cm

Palmo: é uma medida de comprimento que se obtém com a mão toda aberta, medindo do dedo polegar ao mínimo, cuja distância gira em torno de 22 cm. Um palmo inglês mede nove polegadas ou 22,86 cm.

Braça: é uma antiga medida de comprimento, equivalente a 2,2 metros. Apesar de antiga, atualmente ainda é usada e compreendida por muitos trabalhadores rurais e outras pessoas envolvidas com o meio rural. Ao conjunto de 3.000 braças se dá o nome de légua.

Passo: era uma unidade de medida de comprimento em uso no Império Romano, valendo 5 pés, ou seja, o equivalente a 1,48 metros.

Polegada: é uma unidade de medidas usada, normalmente, nos países de língua inglesa, mas, às vezes, também é utilizada por nós para medir a diagonal da tela da tv, o diâmetro de canos, o comprimento de parafusos, etc. Uma polegada corresponde a aproximadamente 25 mm ou 2,5 cm.

Jarda: é a unidade de comprimento básica nos sistemas de medida utilizados nos Estados Unidos e no Reino Unido. Uma jarda mede aproximadamente 1,44 cm. A jarda foi fixada como a distância

entre o nariz e o polegar com o braço estendido.

Fonte/ figuras http://www.matematica.seed.pr.govbr/modules/galeria/listaEventos.php

Nas medidas de polegadas, é comum o uso de valores como meia polegada, um quarto

de polegada ou um oitavo de polegada.

Uma polegada corresponde a aproximadamente 25 mm ou 2,5 cm

1”= 25 mm ou 1”= 2,5 cm

5º passo

Joãozinho mediu a diagonal da tela de sua tv e verificou que ela tem 105 cm. Use uma

calculadora e indique de quantas polegadas, aproximadamente, é a tv do Joãozinho.

2 Medidas padronizada de comprimento

2.1 Metro

A palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". Foi estabelecido

inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo

Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado

oficialmente em 1928.

6º Passo

Nesse momento vamos construir uma fita métrica com divisões de 1 em 1 centímetro.

E com uso dessa fita podemos fazer algumas medições na sala de aula.

Sistema Métrico Decimal

Desde a antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um

deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio

ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas

medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único

para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da Revolução Francesa, um

grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um

sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

Texto adaptado do site: www.somatematica.com.br/ fundam/comprimento/comprimento.php

2.2 Múltiplos e submúltiplos do metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos

e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca,

deci, centi e mili.

Observe o quadro:

Múltiplos Unidade

Fundamental Submúltiplos

quilômetro hectômetro Decâmetro Metro Decímetro centímetro Milímetro

Km Hm Dam M Dm Cm Mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os

submúltiplos, para pequenas distâncias.

Texto adaptado do site www.somatematica.com.br/fundam/comprimento/comprimento.php

7º passo

Ainda pensando nos questionamentos feitos em relação à quadra da escola, e

considerando que os alunos já aprenderam a definição de metro, seus múltiplos e

submúltiplos, encaminhá-los até a quadra da escola para fazer as medições necessárias

e as possíveis suposições, os grupos usarão diferentes instrumentos (fita métrica, trena,

régua, corda, barbante, etc.) que os levarão a diferentes conclusões. Nessa atividade será

feito um esboço da quadra com as devidas medidas.

8º passo

Medir é comparar duas grandezas de mesma espécie, verificando quantas vezes

uma contém a outra (unidade de medida).

Em posse da pesquisa realizada sobre as medidas padrão e do esboço com as medidas

reais da quadra da escola, podem ser respondidas as questões feitas anteriormente e

formular outras como:

A quadra da escola apresenta dimensões (largura e comprimento) maiores ou

menores que o padrão? Quanto?

Considerações finais sobre a atividade: A referida atividade remete-se em modelar o

ensino da matemática no que diz respeito a medidas de comprimento, seus elementos e

características. “Modelar um assunto significa obter uma representação matemática que

permita um estudo coerente do modelo com o real” (SOUZA & PINHEIRO, 2008, p.1).

Avaliando a atividade

Essa atividade será avaliada através da pesquisa realizada, dos registros escritos e do

esboço da quadra que deverão estar organizados no portfólio. As respostas às questões

sugeridas também serão indicativos para a avaliação.

EXPLORANDO FORMAS GEOMÉTRICAS

Problema de investigação: Há diferença do formato da quadra da escola

e de uma quadra padrão? Olhando no desenho da quadra você consegue

identificar outras formas geométricas? Quais?

Conteúdos: Ponto, reta, plano, formas geométricas (retângulo, quadrado, triângulo e

círculo) e seus elementos (lados, ângulo e vértices); escala; transformação de medidas,

representação geométrica (planta baixa) da quadra.

Recursos: cartolina, tesoura, régua, cola, lápis de cor e canetas coloridas.

Objetivos: O aluno deverá ser capaz de reconhecer entre os quadriláteros, os retângulos

e os quadrados, classificar triângulos segundo as medidas dos lados e os ângulos.

Desenho da planta baixa da quadra poliesportiva da escola.

Orientação para desenvolvimento da atividade:

1º passo

Etapa inicial de construção da planta baixa. Serão levantados questionamentos sobre: o

que é necessário para essa construção, onde construir, muito espaço ou pouco espaço,

as relações de tamanho, de medidas e como transformar essas medidas.

No segundo momento os grupos deverão fazer a análise do esboço da quadra, na qual

deverão investigar as representações geométricas comparando o padrão com o da

escola. Iniciam-se as aplicações de conceitos elementares de geometria plana.

Os estudos iniciais sobre Geometria Plana estão relacionados à

Grécia Antiga, também pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a

Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de

Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princípios de Platão. Os princípios

que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do

ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição

plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido

através da disposição de retas.

As definições teóricas da Geometria de Euclides estão baseadas em axiomas,

postulados, definições e teoremas que estruturam a construção de variadas formas

planas. Os polígonos são representações planas que possuem definições, propriedades

e elementos.

Fonte de consulta: http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-plana.htm.

1 Ponto, Reta e Plano

Em Geometria os pontos, as retas e os planos são considerados ideias primitivas sem

definição. Não existe dimensão para um ponto, apenas imagens de ponto, como por

exemplo, um lápis tocando o papel. O mesmo podemos dizer que ocorre com a reta que

não tem espessura, não tem começo e nem fim e é ilimitada nos dois sentidos podendo

ser representada por um pedaço de linha qualquer, já o plano é imaginado sem fronteiras

e ilimitados em todas as direções e é impossível ser representado no papel ou no quadro

de giz, por esse motivo representamos somente uma parte dele.

Representações:

a) os pontos com letras maiúsculas A, B, C,...

b) as retas com letras minúsculas r, s, t,...

c) os planos com letras do alfabeto grego α, β, γ,…

d) assim como dois pontos distintos definem uma reta, pode – se indicar a reta por dois de

seus pontos.

Exemplo:

2 Figuras geométricas planas:

São figuras formadas pela região onde retas se interceptam num mesmo ponto e

no mesmo plano.

2.1 Os Quadriláteros:

São polígonos com 4 lados .

Propriedades: Relação entre os lados e os ângulos, é o que nos permitem

reconhecê- los.

2.2 Os quadriláteros mais comuns são:

Quadrado 4 lados iguais

Retângulo 4 lados iguais 2 a 2

Losango 4 lados iguais

Paralelogramo 4 lados iguais 2 a 2

Trapézio isóscele 2 lados paralelos e 2 lados não

paralelos iguais

2.2 O triângulo

É uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não

passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos:

- Os lados são definidos pelas letras minúsculas a, b e c;

- Os vértices são definidos pelas letras maiúsculas A, B e C.

- A altura é representada pela letra h.

Tipos de triângulos

O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado:

Triângulo escaleno: Todos os lados

e todos os ângulos são diferentes.

Triângulos isósceles: dois lados

iguais e os ângulos opostos

a esses lados também são iguais,

sendo um dos ângulos diferente.

Triângulo equilátero: Todos os

lados e ângulos são iguais.

Concluímos que seus ângulos

serão de 60°.

Ângulos

É a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma

origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é uma propriedade

invariante e é medida em radianos ou graus.

Os instrumentos usados para medir ângulos são: o esquadro que além de medir ângulos

pode ser usado também para traçar retas paralelas e retas perpendiculares e o

transferidor que são usados para medir ângulos, em graus.

No caso dos quadriláteros, os ângulos internos se apresentam da seguinte forma:

4 ângulos retos

4 ângulos retos

2 ângulos acutângulo e

2 obtusângulo

2 ângulos acutângulo e 2

obtusângulo

2 ângulos acutângulo

2 obtusângulo

2 ângulos acutângulo e 2 obtusângulo

2 ângulos retos, 1 acutângulo e um

obtusângulo

No caso dos triângulos, eles podem ser classificados segundo seus ângulos internos:

Triângulo retângulo: tem um

ângulo que mede 90º.

Triângulo Obtusângulo: tem um

ângulo maior que 90°.

Triângulo Acutângulo: Tem todos

os ângulos menores que 90°.

2º passo

Analisando as linhas que contornam a quadra percebemos que as linhas laterais se

encontram com as linhas de meta, formando alguns elementos essenciais os vértices e os

ângulos. Fale sobre eles.

2.3 A circunferência

É o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma

mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.

Arquivo do autor

3ºpasso

Com os alunos na quadra fazer a demonstração prática do conceito de

circunferência: os alunos em círculo, um ao centro e com uso de uma

corda que será a medida do raio da circunferência, o aluno que está ao

centro segurará uma ponta da corda enquanto a outra ponta irá

passando um a um dos demais alunos.

4º passo

Para dar sequência na construção do desenho é necessário que o aluno entenda o que é

e como aplicar a escala cartográfica e aprenda a transformação de medidas de

comprimento.

Explorando escala cartográfica A escala, em cartografia, é a relação matemática entre as dimensões do objeto no real e as do desenho que o representa em um plano ou um mapa.

Representação de escala

Escala natural: é aquela em que o tamanho físico do objeto representado no plano coincide com a realidade, mantendo o mesmo tamanho e as mesmas características. Portanto na escala natural é necessário uma alta fidelidade de representação do que está sendo reproduzido.

Escala reduzida: é aquela em que a área a ser representada é maior na realidade do que na própria representação. Tal escala é geralmente utilizada em plantas de habitações e mapas físicos de territórios de tamanho extenso onde se faz necessário a redução por motivos práticos.

Escala ampliada: A escala ampliada, por sua vez, é utilizada quando é necessária a representação de detalhes mínimos de uma determinada área, ou seja, a representação deve ser mair do que o tamanho real daquilo que está sendo reproduzido.

Tipos de escala

A escala pode ser apresentada de duas maneiras distintas: escala de

mapeamento (representada por um gráfico); escala numerada (representada por números).

Transformações envolvendo unidades de medidas de comprimento.

Km Hm Dam M Dm Cm Mm

Cada unidade vale 10 vezes a que fica à sua direita

1 cm = 10 mm 1 hm = 10 dam 1 dam = 100 dm (10 x 10)

1mm= 0,1 cm 1 dam = 0,1 hm 1 dm = 0,01 dam

5 º passo

Transforme metros em centímetros e centímetros em metros:

A quadra mede 25,83 m de comprimento, calcule essa medida em centímetro.

E a largura que mede 16,83 m, indique esse valor em centímetros.

Calcule a medida do comprimento do percurso que uma pessoa fará se completar

uma volta na quadra.

6º passo

Finalizando, partindo do esboço para a construção da planta baixa.

Relacionar as figuras geométricas encontradas no desenho da quadra e nomeá-

las.

Identificar os ângulos apresentados no desenho.

Transformar as medidas necessárias para a construção do desenho.

Sempre que somamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos quaisquer valores,

devemos assegurar-nos que se encontra com a mesma unidade de medida.

Por vezes, é necessário converter medidas antes de efetuar os cálculos que

pretendemos.

Fonte: ptwikipedia.org/wiki/Quadraesportiva

Considerações finais sobre a atividade: Essa atividade possibilita ao aluno o registro

de todo o conhecimento adquirido. A produção do desenho pode concretizar tudo o que se

aprendeu e também demonstrar aquilo que ainda não se aprendeu.

Avaliação da atividade: A avaliação será feita através do registro do desenho da planta

baixa da quadra a qual deverá estar dentro da proposta.

Quebra- cabeça de figuras geométricas para estimular a coordenação motora e

composição de formas. Figuras trabalhadas: retângulo, triângulo e quadrado (pode-se

trabalhar também trapézio e paralelogramo).

Orientação para desenvolvimento da atividade:

1º passo

Em uma folha de cartolina medir um retângulo com 16 cm de comprimento por 8 cm de

largura, o qual deverá ser recortada de maneira a obter quatro triângulos.

Procedimento: encontrar o ponto médio de um dos lados de maior medida do retângulo,

em seguida traçar uma reta ligando esse ponto médio aos dois vértices inferiores opostos

a ele, com isso já se tem três triângulos é só recortar, e pra finalizar pega um dos

triângulos menores e encontra o ponto médio da sua base e traça uma reta ligando-o ao

vértice oposto obtendo dois triângulos iguais e recorta - os.

Atividade adaptada do livro Novo Caminho Matemática – 1ª série dos autores Imenes, Jakubo e Lellis –

Editora Scipione, 1997.

2º passo

Partindo da figura inicial até os recortes feito podemos explorar formas geométricas, ponto

médio e simetria. Com esse quebra cabeça pode-se propor os seguintes questionamentos

(em folha digitada):

Junte dois triângulos e forme um quadrado.

Depois, juntando três triângulos forme outro quadrado.

Forme um quadrado com os quatro triângulos.

Existe alguma relação desse quadrado com o retângulo inicial?

Sobreponha os três triângulos menores sobre o maior de maneira a ficarem

alinhados. O que se conclui?

Tente formar outras figuras geométricas.

Considerações finais sobre a atividade: Essa atividade propõe uma investigação com

uso de conteúdos já explorados, desenho e recorte com medidas retilíneas e

reconhecimento de formas e montagem de outras através de sobreposição.

Avaliação da atividade: Serão avaliadas nesta unidade as atividades realizadas, assim

como as discussões e a criatividade do grupo. Em todas as unidades se pede que faça

um relatório escrito para arquivar no portfólio.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Problema de investigação – Para que a quadra da escola atenda o

padrão de medida, ela precisa ser aumentada ou reduzida? Em

quantos metros quadrados?

Conteúdos: Áreas do retângulo, quadrado, triângulo e circunferência.

Recursos: trena, régua, barbante, jornais, fita adesiva e folha quadriculada.

Objetivos: - O aluno deverá reconhecer a importância do “metro” como unidade padrão e

entender o metro quadrado como uma superfície que apresenta 1 metro de largura e 1

metro de comprimento. Associar a uma superfície um número que expressa sua medida e

que se denomina área. Determinar as áreas de figuras retangulares, por contagem.

Calcular as áreas do retângulo, do quadrado, do paralelogramo, do triângulo e do

trapézio.

Investigando áreas de figuras planas, tendo como base a área da superfície da quadra.

Orientação para desenvolvimento da atividade:

1º passo

Para iniciarmos essa atividade é importante entender a definição de unidade em relação à

área. Portanto vamos explorar as unidades de área de forma integrada a superfície que

se pretende medir. Considerando que a quadra apresenta forma retangular, é bom saber

que no cálculo de qualquer retângulo ou quadrado podemos seguir o raciocínio abaixo:

Em seguida cada grupo receberá uma malha quadriculada onde deverão registrar as

idéias discutidas acima. Os cálculos de área de superfície serão demonstrados na prática

sendo desenvolvido visualmente pelos próprios alunos com uso de geoplano

2º passo

Cada grupo irá medir e recortar 12 quadradinhos com 1 centímetro de lado e em posse

desses quadradinhos, propor que investiguem as possibilidades para se montar um

retângulo. Assim, na condição de usarmos, obrigatoriamente, os 12 quadradinhos na

construção de cada retângulo terá sempre a área constante de 12 centímetros quadrados

(12 cm²), mudando somente o formato do retângulo. É uma atividade que possibilita seis

respostas diferentes. Questione com os alunos o seguinte:

Quantos retângulos diferentes podem ser construídos com esses

quadradinhos?

Quais são as medidas dos lados de cada retângulo construído?

Qual é a área de cada retângulo construído?

A partir do que você observou é possível construir um quadrado com os

quadradinhos? Justifique.

3º passo

De posse de jornais, propor aos alunos que repitam a atividade anterior, só que agora

recortando quadrados com um 1 metro de lado, de modo que cubra toda a superfície da

quadra (comprimento e largura). Direcionar os alunos até a quadra e pedir que cubram a

superfície da quadra, sempre trabalhando linha e coluna. Depois da atividade já ter sido

realizada levar os alunos a refletir sobre as seguintes questões:

Quantos quadrados foram necessários para cobrir uma linha da quadra?

E uma coluna, quantos precisou?

A quadra toda foi coberta? Quantos quadrados foram necessários?

Como podemos determinar a área total da quadra?

Assim pode-se concluir que:

O número de quadrados obtidos nessa multiplicação (comprimento multiplicado por

largura) é a medida da área.

4º passo

Quando uma quadra é construída para a prática de mais de um esporte, ela recebe o

nome de poliesportiva, porém cada esporte tem uma quadra específica com dimensões

próprias.

Complete o quadro com dados sobre as quadras de:

DIMENSÕES

QUADRA LARGURA COMPRIMENTO ÁREA TOTAL

Futsal

Voleibol

Basquetebol

Handebol

Considerações finais sobre a atividade: Se afirmamos que a superfície da quadra tem

40 metros de comprimento por 20 metros de largura, estamos informando que para esse

lado de 40 metros podemos usar 40 quadrados de 1 metro de lado e sobrepor toda essa

superfície, já para o lado de 20 metros usa-se 20 quadrados do mesmo. E para preencher

a quadra toda serão necessários 800 quadrados iguais a esses, considerando que a

quadra tem 800 metros quadrados (m²) de área. Nessa atividade acredita-se que a

investigação pode potencializar a aprendizagem da geometria possibilitando reflexão e

possível construção de um conhecimento significativo.

Avaliação da atividade: A participação ativa do aluno e as resposta às perguntas

indicadas na atividade será usada como instrumento de avaliação.

Ainda falando sobre áreas e formas de superfícies planas.

Orientação para desenvolvimento da atividade:

1º passo

Para dar sequência na atividade anterior podemos fazer uso de malha quadriculada,

considerando que cada quadradinho tem 1 cm², explorar áreas de figuras planas. Propor

que façam um retângulo usando 13 unidades na

largura e 5 unidades no comprimento. Para o

caso do retângulo, esse é um procedimento bem

simples, já que fica fácil calcularmos a quantidade

de quadradinhos que vai formar a superfície

dessa figura.

2º passo

Em seguida propor que recorte a figura formando um quebra

cabeça e sugerir que montem um quadrado. Deixar que os

alunos discutam nos grupos sobre as possibilidades,

interagindo com os outros grupos e cheguem ao resultado

esperado. .

Considerações finais sobre a atividade:

Nessa atividade somente alguns dos quadradinhos que foram cortados se encaixaram

perfeitamente, outros não tiveram um encaixe perfeito ficando deformados, porém nos

dando a impressão de estarem perfeitos. Essa Imagem nos permite problematizar a

questão da incomensurabilidade. A incomensurabilidade é um termo da matemática que

significa “falta de medida comum”. Observa-se que nesta imagem o retângulo é formado

pelas mesmas figuras que formam o quadrado (dois triângulos congruentes e dois

trapézios congruentes). Porém, em função do modo como essas figuras são organizadas

para formar o retângulo e o quadrado a área e o perímetro do retângulo e do quadrado

são diferentes. No retângulo temos 105 e no quadrado 64 unidades de área. O perímetro

do retângulo é 36 e o quadrado é de 32 unidades.

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/listaEventos.php

Avaliação da atividade: A avaliação se dará através do registro escrito das conclusões

tiradas ao termino da atividade e uma breve exposição do grupo.

CUSTOS DE REFORMA

Problema de investigação: quais tipos, qual a quantidade e quais os

respectivos custos dos materiais necessários para a suposta reforma

da quadra da escola?

Conteúdos: Medidas, sistema monetário, números e operações.

Recursos: panfletos de propaganda de materiais de construção, trena.

Objetivos: O objetivo desta unidade é que os alunos sejam capazes de calcular a

quantidade de materiais necessária e o custo total da reforma. Espera-se que os alunos

consigam realizar os cálculos (adição, subtração, multiplicação e divisão) propostos.

Entrevista, pesquisa de custos e exploração de cálculos diversos.

Orientação para desenvolvimento da atividade:

1º passo

Em qualquer projeto de reforma devem-se fazer os cálculos da quantidade de materiais e

custos dos mesmos, dessa forma é importante que se realize uma entrevista com um

trabalhador da construção civil para saber quais materiais e que quantidade serão

necessárias para a referida reforma.

Questões destinadas ao entrevistado (trabalhador da construção civil)

Que instrumentos de medida são utilizados na sua profissão?

Como você calcula a quantidade de material necessário (tijolos, areia,

cimento, madeira, cal etc.) para desenvolver sua atividade?

Como você faz a previsão do orçamento do seu serviço? Você utiliza

cálculo?

Para a reforma da quadra da escola quais materiais serão necessários? E

que quantidade?

2º passo

É necessário nesse momento que se faça uma pesquisa de custos em uma loja de

material de construção para saber o custo dos materiais a serem utilizados. Outra forma é

usar panfletos de propagandas de preços para esse fim.

Construção de tabela

Após realizar as pesquisas necessárias, organizar os dados encontrados em uma tabela

para facilitar o desenvolvimento e o entendimento dos cálculos.

A tabela a seguir indica o tipo de material, a quantidade, o valor por unidade e o valor total

dos materiais a serem utilizados:

Tipo de material Quantidade Valor por unidade Valor total

Cimento

Areia

Pedra

Cal

Tinta

Considerações finais sobre a atividade: Essa atividade dá a oportunidade do aluno

vivenciar, descobrir a matemática articulando conhecimento da geometria com o trabalho

desenvolvido na construção civil e o estudo dos números, explorando diversos tipos de

cálculos (cm e cm², m e m²).

Avaliação da atividade: A avaliação será coerente com as atividades desenvolvidas e se

dará através da participação e desempenho do aluno. A entrevista, as pesquisas e as

discussões podem ser indicativas para avaliação, além dos cálculos realizados.

APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

Construção de maquetes da quadra esportiva da escola, para que se

tenha um material concreto no final como fechamento do trabalho.

Problema de investigação: Como aplicar na construção de maquete

todo o conhecimento adquirido dentro dessa abordagem?

Conteúdos: formas, medidas, transformação de medidas e escalas.

Recursos: papéis coloridos diversos, cartolina, canetas coloridas, régua, tesoura, cola.

Objetivos: Nessa unidade espera-se que os alunos consigam transformar medidas

(metros em centímetros e vice) e aplicar o que entendeu sobre escala na construção das

maquetes.

Construção de maquete

Construção da maquete da quadra, já entram questionamentos sobre a construção civil,

acabamento, etc. Passa-se a utilizar agora alguns conceitos dos sólidos geométricos, ou

seja, utilizando a geometria espacial, mas é claro, utilizando sempre elementos da

construção civil.

Orientação para desenvolvimento da atividade:

1º passo

Inicia-se com uma discussão para escolher o tipo de maquete que irão fazer, em seguida

faz-se necessário definir o valor da escala, considerando que os alunos já tenham se

apropriado desse conteúdo e quais os tipos de materiais que vão ser utilizados nessa

construção.

Perguntas destinadas aos alunos:

Qual a escala utilizada na construção da maquete?

Quais figuras geométricas são identificadas?

Você utilizou de algum instrumento de medir na hora da construção?

Quais cálculos foram utilizados?

Quais são as dimensões que ela apresenta (largura e comprimento)?

Qual a área ocupada por sua maquete?

Qual a relação da maquete com a quadra da escola?

2º passo

No final pretende-se fazer uma mostra dos trabalhos na escola, com apresentação e

exposição oral feita pelos alunos. Os alunos deverão explicar todo o processo matemático

usado na construção da maquete.

Considerações finais sobre a atividade: Nessa atividade articula-se o ensino de

geometria com o estudo de números, medidas e álgebra a fim de tornar a aprendizagem

mais abrangente.

Avaliação da atividade Além dos cálculos realizados, as discussões e a exposição oral podem ser consideradas

para avaliação.

ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Este caderno pedagógico relaciona uma série de atividades a serem

desenvolvidas com uso de pesquisa-ação, exploração e compreensão da Matemática no

mundo, possibilitando ao aluno repensar a matemática como parte fundamental em todas

as etapas de uma construção civil e também na vida. Os encaminhamentos previstos

nesse caderno pedagógico podem ser utilizados mesmo com a seleção de outros temas

geradores, advindos da própria realidade em que estão inseridos.

A proposta da modelagem matemática é desenvolver nos alunos a capacidade e

a atitude, tornando-os investigadores, criativos e habilidosos na resolução de problemas,

nesse contexto é preciso que o professor como condutor do processo repense as suas

aulas sempre para não perder o foco.

Uma vez delineada a situação que se pretende investigar, deve ser feita uma

pesquisa sobre o assunto de modo que se proponha um confrontamento do real com o

modelo e o professor como mediador do processo deve ter muito cuidado na hora de

relacionar as atividades a serem trabalhadas para não associá-las somente a conteúdos

de alto nível de abstração e que não possuem ligação com o cotidiano dos alunos.

Alguns autores apresentam uma conceituação informal para modelagem

matemática, sua importância como metodologia alternativa e as etapas pelas quais ela

deve passar, experimentação, abstração, matematização, resolução, validação e

modificação, não necessariamente seguidos nessa ordem. Porém faz-se necessário que

o professor fique atento a cada etapa de investigação.

Um encaminhamento que considerei importante nesse caderno é a questão da

avaliação, onde sugiro a participação do aluno no processo. Para isso proponho o uso do

portfólio nas aulas, além de permitir certa organização do trabalho pedagógico, possibilita

também ao aluno participar de sua própria avaliação.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho foi elaborado como parte integrante e complementar de um Projeto

de Implementação Pedagógica com o propósito de trabalhar geometrias, grandezas e

medidas a partir do referencial e orientações da modelagem matemática como processo

de ensino e de aprendizagem. Pensar e discorrer sobre essa proposta possibilitou-me

refletir se as dificuldades encontradas pelos alunos são próprias da matemática ou se é

devido à forma como ela é abordada. A situação atual do ensino exige que o professor

mude sua forma de pensar e de agir quando os resultados não forem satisfatórios, o

professor deve ser habilidoso e se utilizar de ferramentas que favoreçam melhor

compreensão dos conteúdos envolvidos. Toda situação matemática é chamada de

problema e pede uma reflexão e consequentemente uma resposta, o Projeto de

Implementação Pedagógica em questão não é diferente, ele traz um tema que gera uma

problemática e que o Caderno Pedagógico por trazer os conteúdos vinculados ao tema

gerador está dando conta de responder, a proposta desse caderno é produzir significado

para a situação em questão. Abordar o assunto de geometria espacial, grandezas e

medidas segundo as etapas/fases metodológicas indicadas e citadas no Projeto de

Intervenção Pedagógica fará desse caderno pedagógico um material bastante produtivo

considerando que as atividades aqui dispostas exige uma mudança de comportamento

tanto do professor quanto do aluno.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AUSUBEL, D. P; NOVAK, J. D; HENESIAN, H. Psicologia Educacional. Rio de Janeiro, Interamericana, 1980. BARBOSA, J. C. O que pensam os professores sobre a modelagem matemática? Zetetiké, Campinas, v. 7, n. 11, 1999. p. 67-85 BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. 3. ed. São Paulo: Contexto, 2011. 389 p. BIEMBENGUT, M. S; HAIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2000. 127 p. BRANDT, C. F; BURAK, D; KLUBER, T. E. Modelagem matemática: uma perspectiva para a educação básica. Ponta Grossa: UEPG, 2010. 148 p. BRASIL, Ministério de Educação e Cultura-SEED. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental; matemática, Brasília D.F. 1998. BRASIL. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Paraná: SEED, 2008. BROITMAN, Claudia; ITZCOVICH, Horacio. O estudo das figuras e dos corpos geométricos: Atividades para o ensino fundamental 1. São Paulo: Ática, 2011. 109 p. Tradução Carmem Cacciacarro.

BURAK, Dionísio; ARAGÃO, Rosália Maria Ribeiro de. A modelagem Matemática e relações com a aprendizagem significativa. Curitiba/ Paraná: Crv, 2012. 129 p. DIAS, M. G. A. Modelagem no ensino geometria. Universidade Federal do Recôncavo Baiano: UFRB, 2007. Disponível em: http//www.degraf.ufpr.br/artigos-graphica/modelagem. Acessado em 07/05/2013. GIOVANNI JUNIOR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da matemática. São Paulo: Ftd, 2009. (6 º ANO).

GUÉRIOS, Ettiène. et al. A avaliação em matemática nas séries iniciais. Curitiba/ Paraná: Editora Ufpr, 2005. 64 p. IMENES, Luiz Marcio Pereira; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Novo Caminho da matemática. São Paulo: Scipione, 1997. 215 p. (1ª). LORENZATO, S. Para Aprender Matemática. 2. ed. Campinas: Autores Associados, 2006. 139 p. (Revisado). RIBEIRO, F. D. Jogos e modelagem na educação matemática - metodologia do ensino de matemática e física. IBPEX, Curitiba, v.6, 2008. 124 p.

http:/ www.futsaldobrasil.com.br/2009/cbfs/quadra.php - acessado em 03/09/2013

ptwikipedia.org/wiki/Quadra_esportiva - acessado em 03/09/2013

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br - acessado em 09/10/2013

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/listaEventos.php - acessado

em 09/10/2013

http://www.somatematica.com.br- acessado em 09/11/2013 http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-plana.htm - acessado em

01/12/2013

1- ENTENDENDO O QUE É UMA QUADRA ESPORTIVA

Quadra esportiva é uma área de terreno demarcada e preparada para a realização de

determinadas práticas esportivas, como por exemplo, jogos de basquete, tênis, vôlei,

futsal entre outros. Uma quadra esportiva consiste basicamente de uma superfície plana,

geralmente retangular, delimitada por marcações ou elementos que estabeleçam seus

limites e dos demais componentes para a prática dos esportes a que se destina. Tais

componentes incluem linhas demarcatórias, tabelas, traves, postes, redes, além de

sistema de iluminação, caso a quadra seja instalada em um ambiente fechado ou tenha

uso noturno.

A superfície de uma quadra pode ser recoberta por uma enorme variedade de materiais,

sendo os mais frequentes o cimento, grama, saibro, areia e ainda uma gama crescente de

opções em materiais sintéticos. A escolha do material depende do esporte a que se

destina a quadra, e também dos recursos disponíveis para a construção.

Quando uma quadra é construída para a prática de mais de um esporte, ela recebe o

nome de poliesportiva. Quadras poliesportivas tem sido um importante equipamento

arquitetônico em instalações educacionais ou residenciais, cuja relevância na área social,

de saúde e cidadania tem sido cada vez mais reconhecida.

Fonte:twikipedia.org/wiki/Quadra_esportiva

2- CONHECENDO AS DIMENSÕES DA QUADRA DE FUTSAL

Dimensões

A quadra de jogo será um retângulo com o comprimento de 40 metros e largura de 20

metros. As linhas demarcatórias da quadra, na lateral e no fundo, deverão estar

afastadas 2 (dois) metros de qualquer obstáculo (rede de proteção, tela, grade ou

parede).

A marcação da quadra

Todas as linhas demarcatórias da quadra deverão ser bem visíveis, com 8 (oito)

centímetros de largura.

• As linhas limítrofes de maior comprimento denominam-se linhas laterais e as de menor

comprimento linhas de meta.

• Na metade da quadra será traçada uma linha divisória, de uma extremidade a outra das

linhas laterais, equidistantes às linhas de meta.

• O centro da quadra será demarcado por um pequeno círculo com 10 (dez) centímetros

de raio.

• Ao redor do pequeno círculo será fixado o círculo central da quadra com um raio de 3

(três) metros.

• Nos quatro cantos da quadra, no encontro das linhas laterais com as linhas de meta

serão demarcados ¼ (um quarto) de círculo com 25 centímetros de raio de onde serão

cobrados os arremessos de canto. O raio de 25 centímetros partirá do vértice externo do

ângulo formado pelas linhas lateral e de meta até o extremo externo da nova linha.

• As linhas demarcatórias integram e pertencem à quadra de jogo.

Área de meta

Nas quadras, em cada extremidade da quadra, a 6 (seis) metros de distância de cada

poste de meta haverá um semicírculo perpendicular à linha de meta que se estenderá ao

interior da quadra com um raio de 6 (seis) metros. A parte superior deste semicírculo será

uma linha reta de 3,16 (três metros e dezesseis centímetros), paralela à linha de meta,

entre os postes. A superfície dentro deste semicírculo denomina-se área de meta. As

linhas demarcatórias fazem parte da área de meta.

Metas

No meio de cada área e sobre a linha de meta serão colocadas as metas, formadas por

dois postes verticais separados em 3 (três) metros entre eles (medida interior) e ligados

por um travessão horizontal cuja medida livre interior estará a 2 (dois) metros do solo.

• A largura e espessura dos postes e do travessão serão de 8 (oito) centímetros e quando

roliços terão o diâmetro de 8 (oito) centímetros.

• Os postes e travessão poderão ser confeccionados em madeira, plástico, ferro ou

material similar e pintados de cor contrastante com o fundo da quadra, de preferência que

sejam fixados ao solo. Os postes e travessão deverão ter a mesma largura e espessura.

• Serão colocadas redes por trás das metas e obrigatoriamente presas aos postes,

travessão e ao solo. Deverão estar convenientemente sustentadas e colocadas de modo

a não perturbar ou dificultar a ação do goleiro. As redes serão de corda, em material

resistente e malhas de pequena abertura para não permitir a passagem da bola. As metas

não devem possuir ferro ligando o travessão ao suporte de sustentação.

Construção

O seu piso deverá ser construído de madeira, material sintético ou cimento,

rigorosamente nivelado, sem declives, nem depressões, prevenindo escorregões e

acidente.

Texto extraído de www.futsaldobrasil.com.br/2009/cbfs/quadra.php

3- CONHECENDO A QUADRA ESPORTIVA DO COLÉGIO ESTADUAL

VEREADOR RAULINO COSTACURTA

Fonte: arquivo do autor

A quadra do Colégio Estadual Vereador Raulino Costacurta é uma quadra

adaptada para quatro tipos de esportes (futsal, voleibol, basquetebol e handebol),

portanto é uma quadra poliesportiva, porém apresenta um tamanho menor que o

determinado, se encontra fora das normas e padrões exigidos, sendo que o seu

comprimento é de 25,83 metros e a sua largura é de 16,83 metros. Não é coberta e

devido a exposição ao sol e a chuva tanto o piso como as linhas demarcatórias estão

bastante desgastadas.