oran-oranti · 2011. 12. 6. · 1 akdenİz Ünİversİtesİ 2011 oran-oranti İlköğretim...
TRANSCRIPT
1
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ
2011
ORAN-ORANTI İlköğretim Matematik Öğretmenliği
Grup1
E N F O R M A T İ K - L A B 4
2
İçindekiler
ÜNİTE HAKKINDA BİLGİ: ..................................... 3
ORAN ........................................................................ 3
ORANTI ..................................................................... 4
1)ORANTI ÇEŞİTLERİ .......................................... 5
A)DOĞRU ORANTI ............................................. 5
B)TERS ORANTI .................................................. 7
2)TANIMLAR ......................................................... 8
A)ARİTMETİK ORTALAMA .............................. 8
B)GEOMETRİK ORTALAMA ............................ 9
C)DÖRDÜNCÜ ORANTI ..................................... 9
Kaynakça ...................................................................10
3
ÜNİTE HAKKINDA BİLGİ: Bu bölümde; önce oran konusunu
sonra da orantı konusunu anlatacağız. Orantı konusu içinde doğru orantılı
çoklukları, ters orantılı çoklukları bazı ortalama tanımlarını vereceğiz.
ORAN
Aynı cins iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. a ve
b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak koşuluyla a
b ye a’nın b’ye
oranı denir.
ÖRNEK:1
Özlem’in boyunun uzunluğu 113 cm, Derya’nın boyunun uzunluğu 114 cm
dir. Buna göre, Özlem’in boyunun uzunluğu ile Derya’nın boyunun
uzunluğunu karşılaştıralım.
Çözüm:
Özle m ′ in boyunun uzunluğu
Dery a ′ nın boyunun uzunluğu =
113 cm
114 cm =
113
114 olur.
Oranın Özellikleri:
Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür ya da aynı cins olmalıdır.
Oranda ölçü birimi yoktur.
Kesirde olduğu gibi, oranın da payı ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile
genişletilebilir.
a
b =
a.c
b.c , (c≠0)
Oranın payı ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile sadeleştirilebilir.
4
a
b =
a:c
b:c , (c≠0)
ORANTI
En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani 𝑎 𝑏 oranı 𝑐 𝑑 nin eşitliği olan
a:b=c:d ye orantı denir.
İse; a:b=c:d a ile d’ ye dışlar, b ile c’ ye içler denir.
5
ÖRNEK:2
15
18 oranını ele alalım:
15
18=
15:3
18:3=
5
6 olduğundan;
15
18=
5
6 orantısı elde edilir.
Orantının Özellikleri
a b = c d İse a.d=b.c *ikili bir oranda dışların (a ile d nin) çarpımı
içlerin (b ile c nin) çarpımına eşittir.+
a:b:c=x:y:z ise burada; a=xk b=yk c=zk olur.
x.y≠0 olmak üzere; a
b=
c
d = k ise;
xa
xb=
yc
yd = k dir.
xa +yc
xb +yd = k dir.
an
bn =cn
dn = kn dir.
1)ORANTI ÇEŞİTLERİ
A)DOĞRU ORANTI
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken
diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir. Ya da
kısaca, orantılıdır denir.
Tanım
X çokluğu ile y çokluğu orantılı olsun. K bir pozitif sabit olmak üzere,
6
K = y
x eşitliğindeki k ye doğru orantı sabiti,
Y = kx eşitliğine de doğru orantı denklemi denir. Doğru orantı kısaca, D.O. ile
gösterilir.
ÖRNEK:3
6 saatte 465 km yol giden bir otomobil, aynı hızla 4 saatte kaç km yol gider?
Çözüm:
Otomobil 6 saatte 465 km yol alırsa, aynı hızla 4 saatte daha az yol alacaktır.
Verilen çokluklardan biri azalırken, diğeri de aynı oranda azaldığı için, bu
çokluklar doğru orantılıdır. Bir orantıda bilinmeyenin değerini bulmak için,
içler çarpımı ile dışlar çarpımı eşitlenir. Bu eşitlikten bilinmeyenin değeri
bulunur.
6 saatte 465 km yol giderse,
Azalış Azalış
4 saatte x km yol gider.
YANİ DOĞRU ORANTI VAR.
6.x = 4.465
X = 4.465
6 ise x = 310 olur.
7
B)TERS ORANTI
İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken
diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir. (GÜLMEZ,
2002)
Tanım:
X çokluğu ile y çokluğu ters orantılı olsun. K bir pozitif sabit olmak üzere,
K = x.y eşitliğindeki k ye ters orantı sabiti,
Y = k
x eşitliğine de ters orantı denklemi denir. Ters orantı kısaca T.O.ile
gösterilir.
ÖRNEK:4
Bir işi 4 işçi 56 günde yapabiliyor. Aynı koşullar altında, 7 işçi bu işi kaç günde
bitirebilir?
Çözüm:
İşçi sayısı arttığında işin tamamlanma süresi orantılı olarak azalır. Yani, işçi
sayısı çokluğu ile işin tamamlanma süresi çokluğu ters orantılıdır.
4 işçi 56 günde yaparsa
Artış Azalış
7 işçi x günde yapar.
8
YANİ TERS ORANTI VAR.
Bir ters orantıda bilinmeyenin değerini bulmak için, üst terimlerin çarpımı ile
alt terimlerin çarpımı eşitlenir. Bu eşitlikten bilinmeyenin değeri bulunur.
4.56 = 7.x
X = 4.56
7 ise x = 32 olur.
2)TANIMLAR
A)ARİTMETİK ORTALAMA
𝑥1 ,𝑥2 , 𝑥3 ,… , 𝑥𝑛 sayılarının; aritmetik ortalaması bu n tane sayının
toplamının n ye bölümüdür. Aritmetik orta kısaca A.O. ile gösterilir.
Kural:
A.O. = x1 ,x2,x3,… ,xn
n dir.
ÖRNEK:5
Ortalaması 12 olan 7 sayının toplamı kaçtır?
Çözüm:
N tane sayının aritmetik ortalaması, bu n tane sayının toplamının n ye
bölümü olduğu için; 7 sayının toplamı x ve aritmetik ortalaması 12 ise;
x
y = 12 x = 84 tür.
9
B)GEOMETRİK ORTALAMA
x1 , x2 , x3 ,… , xn sayıların; geometrik ortalaması bu n tane sayının çarpımının
n. dereceden köküne eşittir. Geometrik orta kısaca G.O. ile gösterilir.
Kural:
G.O. = 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 ,… , 𝑥𝑛𝑛 dir. (ÖZBEK, 2007)
C)DÖRDÜNCÜ ORANTI
a/b = c/d orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı
olan sayı denir.
DOĞRU ORANTI GRAFİĞİ TERS ORANTI GRAFİĞİ
10
Kaynakça
GÜLMEZ, S. (2002). Matematik. Ankara : Zafer Yayınları.
ÖZBEK, M. (2007). Zirve-Matematik1. İZMİR: Zirve Dergisi Yayınları.
www.sanalda1numara.com
www.matematikcifatih.com
www.gunceldir.com