optymalizacja konstrukcji - wersja.0.95, prof. d. skibicki

Dariusz Skibickidariusz.skibicki(at)utp.edu.pl

Wydział In żynierii Mechanicznej

Optymalizacja

konstrukcji

Wydział In żynierii MechanicznejUniwersytet Technologiczno – Przyrodniczy im. Jana i J ędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

Plan wykładu

1. Konstruowanie

a) Konstrukcja dobra

2. Matematyczny model optymalizacji

a) Konstrukcja optymalna

b) Budowa modelu optymalizacji

c) Nieprawidłowe modele optymalizacji

3. Metody optymalizacji

4. Oprogramowanie optymalizacyjne

a) Matlab

b) Excel

c) Ansys

5. Polioptymalizacja

6. Metody globalne optymalizacji

a) Algorytmy genetyczne

2

3. Metody optymalizacji

a) Potrzeba metod optymalizacji

b) Błędy w metodach numerycznych

c) Poszukiwanie ekstremum na kierunku

d) Metody bezgradientowe

e) Metody gradientowe

f) Metody newtonowskie

g) Metody funkcji kary

h) Metoda simplex

a) Algorytmy genetyczne

7. Praktyka (kiedy brak jawnej postaci modelu)

a) MES

b) Aproksymacja, interpolacja

Konstruowanie

1. Projekt jest abstrakcyjnym obrazem wytworu.

2. Projekt jest zapisywany w postaci dokumentacji projektowej.

3. Projektowanie maszyn nazywa się konstruowaniem.

4. Konstruowanie polega na określeniu cech konstrukcyjnych: materiałowych, geometrycznych i montażowych.

3

materiałowych, geometrycznych i montażowych.

5. Cechy konstrukcyjne dobieramy w oparciu o kryteria:

- konstrukcyjne,

- technologiczne,

- eksploatacyjne.

Konstruowanie

1. Kryteria konstrukcyjne: właściwy układ przenoszenia obciążeń, wytrzymałość, sztywność.

2. Kryteria technologiczne: technologiczność, taniość i dostępność materiałów, łatwość montażu.

4

montażu.

3. Kryteria eksploatacyjne: funkcjonalność, ergonomiczność, niezawodność, trwałość, sprawność, łatwość eksploatacji, naprawialność.

Konstruowanie

Jeżeli każdej z cech konstrukcyjnych przypiszemy pewną liczbę, to całą konstrukcję możemy opisać zbiorem liczb.

wd

wd

5Matematyczny model konstrukcji

zd

zd

zd

wd

Konstruowanie

Konstrukcja spełniająca wszystkie warunki konstrukcyjne nazywa się konstrukcją dobrą.

wd

6Konstrukcja dobra

zd

wz dd , ( ) 01 ≤xϕ

Konstruowanie

Należy skonstruować wał drążony ze stali 55, której wytrzymałość na skręcanie wynosi ks=100 MPa.

Wał powinien przenosić moment skręcający Ms=1000 Nm.

Zadanie PKM

0101.5 4441 ≤⋅++−= zwz dddϕ

02.02 ≤−= wz ddϕ

ss k≤τ

7Różne konstrukcje dobre

Ze względów technologicznych, otwór wewnętrzny wału nie może być mniejszy niż 20% średnicy zewnętrznej oraz nie może być większy niż 80% tej średnicy.

Ze względu na warunki montażu, średnica zewnętrzna wału nie powinna być większa od średnicy Ø50 mm otworu w korpusie maszyny.

W osiągalnym asortymencie półwyrobów dostępne są pręty o średnicach nie mniejszych niż 38 mm.

2 wz

08.03 ≤+−= wz ddϕ

0504 ≤−= zdϕ

0385 ≤+−= zdϕ

0.8 /d 0.2 w ≤≤ zd

50 38 ≤≤ zd

Konstruowanie

Zadanie PKM

0101.5 4441 ≤⋅++−= zwz dddϕ

08.03 ≤+−= wz ddϕ

0385 ≤+−= zdϕ

0101.5 4441 ≤⋅++−= zwz dddϕ

02.02 ≤−= wz ddϕ

0385 ≤+−= zdϕ

8Różne konstrukcje dobre

02.02 ≤−= wz ddϕ

0504 ≤−= zdϕ

08.03 ≤+−= wz ddϕ

0504 ≤−= zdϕ

10

50

mmd

mmd

w

z

==

40

50

mmd

mmd

w

z

==

Matematyczny model optymalizacji

Zmienne decyzyjne

Rozwiązanie optymalne

[ ]n ... x xx 21=x

Funkcja celu

( )xQ

( )xQ

Φ

9

x1

x2

( )xQ

Ograniczenia (obszar rozwiązań dobrych)

( ) qjdlaj ,,10 K=≤xϕ

( ) 03 ≤xϕ ( ) 04 ≤xϕ

( ) 01 ≤xϕ

( ) 02 ≤xϕ ( ) 05 ≤xϕ

Konstrukcja dobrą najlepszą ze względu na kryterium optymalizacji nazywamy konstrukcją optymalną.


Zmienne decyzyjne

Funkcja celu

Należy skonstruować wał drążony ze stali 55, której wytrzymałość na skręcanie wynosi ks=100 MPa.

Wał powinien przenosić moment skręcający Ms=1000 Nm.

Ze względów technologicznych, otwór wewnętrzny

[ ] x wz dd=

Model matematycznyModel opisowy

22wz ddQ −=

10Przykład przewodni 1


Ze względów technologicznych, otwór wewnętrzny wału nie może być mniejszy niż 20% średnicy zewnętrznej oraz nie może być większy niż 80% tej średnicy.

Ze względu na warunki montażu, średnica zewnętrzna wału nie powinna być większa od średnicy Ø50 mm otworu w korpusie maszyny.

W osiągalnym asortymencie półwyrobów dostępne są pręty o średnicach nie mniejszych niż 38 mm.

Wał powinien być najlżejszy z możliwych.

0101.5 4441 ≤⋅++−= zwz dddϕ

02.02 ≤−= wz ddϕ

08.03 ≤+−= wz ddϕ

0504 ≤−= zdϕ

0385 ≤+−= zdϕ


Zmienne decyzyjne

Funkcja celu


[ ] x wz dd=

22wz ddQ −=

0101.5 4441 ≤⋅++−= zwz dddϕ

02.02 ≤−= wz ddϕ

08.03 ≤+−= wz ddϕ

0504 ≤−= zdϕ

0385 ≤+−= zdϕ

( ) 25.0441 101.5: zzw ddd ⋅−≤ϕ

zw dd 2.0:2 ≥ϕ

zw dd 8.0:3 ≤ϕ

50:4 ≤zdϕ

38:5 ≥zdϕ

11Graficzne przedstawienie matematycznego modelu optymalizacji

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

x̂

Φ

xopt


Zmienne decyzyjne

Funkcja celu

Nr wydziałuMoc produkcyjna

Normy czasowe dla wyrobu [godz.]

W przedsiębiorstwie złożonym z 4 wydziałów produkcyjnych, specjalizujących się w określonej obróbce, wytwarza się 2 wyroby.

Normy czasowe potrzebne do wykonania jednej sztuki wyrobu na odpowiednich wydziałach oraz moce produkcyjne, jakimidysponują poszczególne wydziały zestawiono w tabeli.

[ ] x 21 xx=

21 2030 xxQ +=

Model matematycznyModel opisowy

12Przykład przewodni 1

Ograniczenia (obszar rozwiązań dobrych)Nr wydziału

Moc produkcyjna wydziału [godz.]

wyrobu [godz.]wyrób 1 wyrób 2

1 12 2 22 9 1 23 16 4 04 14 0 4

Na wyprodukowaniu jednej sztuki pierwszego wyrobu zakład zarabia 30 zł, zaś na wyprodukowaniu sztuki wyrobu drugiego 20 zł.

Ile sztuk wyrobu pierwszego, a ile sztuk wyrobu drugiego powinno się produkować, aby w określonych powyżej warunkach produkcyjnych osiągnąć maksymalny zysk?

01222 211 ≤−+= xxϕ

0921 212 ≤−+= xxϕ

01604 213 ≤−+= xxϕ

01440 214 ≤−+= xxϕ

015 ≤−= xϕ

016 ≤−= xϕ


Zmienne decyzyjne

Funkcja celu

[ ] x 21 xx=

21 2030 xxQ +=

01222 211 ≤−+= xxϕ0921 212 ≤−+= xxϕ01604 213 ≤−+= xxϕ01440 214 ≤−+= xxϕ

015 ≤−= xϕ026 ≤−= xϕ

6: 121 +−= xxϕ5.4: 122 +−= xxϕ

4: 13 =xϕ5.3: 24 =xϕ

0: 15 =xϕ0: 26 =xϕ

13Graficzne przedstawienie matematycznego modelu optymalizacji

φ1

x̂

φ2

φ3

φ4

Φ


( ) 01 =xϕ

( ) 02 =xϕ

Q

14Nieprawidłowe modele optymalizacyjne

Optymalizacja

x2 x2 x2

x2

15Metoda systematycznego przeszukiwania

x1

x1

x1

x3310=obliczeń

zmiennychpodziałobliczeń =

Optymalizacja

Załóżmy, że zadanie optymalizacji polega na skonstruowaniu najlżejszej kratownicy.Konstrukcja kratownicy złożona jest z 10 prętów. Żądamy spełnienia kryteriówwytrzymałościowych i sztywnościowych. Zakładamy, że średnica pręta może zmieniać się od 0do 100 mm i że interesuje nas dokładność obliczeń rzędu 1 mm. Średnica każdego z 10 prętówmoże przyjąć więc jedną ze 100 wartości.

Musimy sprawdzić, czy nie zostały naruszone ograniczenia dla każdej kombinacji danych. Dlarozwiązań dopuszczalnych musimy policzyć dodatkowo wartość funkcji celu. Jak łatwosprawdzić, mamy do wykonania co najmniej 10010 obliczeń.

16Potrzeba metod numerycznych

Pętlę 100’000 dodawania liczb całkowitych np. a=a+1, komputer z zegarem 2.4 MHz wykonujew czasie 0.157 s. Wynika z tego, że jedna operacja dodawania trwa 1.57*10-6 s.

>> Miliony_Lat = 100^10*1.57*10^-6/60/60/24/365/1000000

Miliony_Lat = 4.9

>> Miliony_Lat = 100^12*1.57*10^-6/60/60/24/365/1000000

Miliony_Lat = 4.9e+004

Błędy w komputerze

1. Błędy wejściowe: wyniki pomiarów, stałe fizyczne.

2. Błędy zaokrągleń

3. Błędy obcięcia

>> x = 0.2>> for i=1:200 x=x+0.2, endx = 40.20000000000003

...!

1...

21

1!1 2 +++++==∑

∞nix x

nxxx

ie

17

4. Uwarunkowanie zadania

=+=+

4,1021,1

102

21

21

xx

xx 3,4 21 == xx

...!

...2

1!0

+++++==∑=i

xn

xxxi

e

=+=+

4,10205,1

102

21

21

xx

xx 1,8 21 == xx

Metody poszukiwania ekstremum funkcji

1. Metody bezgradientowe . W przypadku tej grupy do znalezienia kierunku poprawy potrzebne są jedynie wartości funkcji. Do metod tej grupy zaliczyć można metody Gaussa-Seidla i Powella.

2. Metody gradientowe . Są to metody, których zastosowanie wymaga wyznaczenia wartości funkcji oraz jej gradientu.

18

wyznaczenia wartości funkcji oraz jej gradientu. Jako przykłady posłużyć mogą: metoda gradientu prostego, metoda najszybszego spadku i metoda gradientu sprzężonego.

3. Metody newtonowskie . Są to metody w których procedura poszukiwania ekstremum funkcji wymaga wyznaczenia wartości, gradientu i hesjanu badanej funkcji. Takimi metodami są np. metoda Newtona-Raphsona i metoda Davidona-Fletchera-Powella.

Ogólny podział metod

Metody bezgradientowe.

Metody minimalizacji funkcji na kierunku

Q

Q(l(0))

Q(r(0))

[ ])0()0( ba

)(

)()()()()(

)()()()(

iiii

iiii

abkar

abkbl

−⋅+=−⋅−=

618,02

15 ≈−=k

1.

2.

19Metoda złotego podziału

xa(0) r(O) b(0)l(0)

( ) ( ))()( ii rQlQ ≤ )()1(

)()1(

ii

ii

rb

aa

==

+

+

( ) ( ))()( ii rQlQ >)()1(

)()1(

ii

ii

bb

la

==

+

+

2)( )()( ii ba

x−=)

3.

5.

)()( iio ba −≤ε4.

Q

xa(1) b(1)l(1) l(1)

Metody bezgradientowe.

Metody minimalizacji funkcji na kierunku

wielomian interpolacyjny f(x)

poszukiwane ekstremum

nieznana funkcja Q(x)ekstremum wielomianu

interpolacyjnegoQ(x)

f(x)

Q(a)Q(c)

20Metoda interpolacji kwadratowej

)()()()()()(

)()()()()()( 222222

21

cQbabQacaQcb

cQbabQacaQcbxm −+−+−

−+−+−=

cxma x bx

))(())((

)())(())((

)())(())((

)()(bcac

bxaxcQ

cbab

cxaxbQ

caba

cxbxaQxf

−−−−+

−−−−+

−−−−=

Q(a)

Q(b)

Metody bezgradientowe

x2

x(0,2)

=x(1)

x(1,2)

=x(2)

iteracja 1

]n

... x x [x )(x21

0 =1.

min

1

+

jε

jλ

, j)(i-xQ2.

21Metoda Gaussa-Seidela

ε1

x(0)

x(0,2)

=x(1)

x(0,1)

x(1,1)

x1

ε2

etap 2

etap 1

∑=

−−=

=−−≤

n

j

jixjix

ixixo

1

2),1(),(

)1()(ε3.

Metody bezgradientowe

x2

]n

... x x [x )(x21

0 =1.

min

1

+

jε

jλ

, j)(i-xQ2.

ε3ε5

ε4

x(0,2)

x(0,3)=x(1)

x(1,1)

x(1,2)

ε6

x(1,3)=x(2)),1()1,1( nixnix −−+−

=ε3.

22Metoda Powella

ε1

x1

ε2

∑=

−−=

=−−≤

n

j

jixjix

ixixo

1

2),1(),(

)1()(ε4.x(0) ε1

ε2

ε5

x(0,1)

x(1,1) x(1,3)=x(2)

),1()1,1(

),1()1,1(

1 nixnix

nixnixn −−+−

−−+−=+ε3.

Metody gradientowe

x2

]n

... x x [x )(x21

0 =1.

2.

3.

e

β2e

g2x(2)

x

x(5)

)11-i

)(i-grad Q(g x=

g−=ε

23Metoda największego spadku

x1

4.

3.

e

e

β2e

βe

g1

g0

ε0

x(0)

x(1) x(3)x(4) 1-i1

gi

−=−ε

11

i- eε )(i- (i) += xx

11

i-eε )(i- (i) β+= xx

Metody gradientowe

x2

]n

... x x [x )(x21

0 =1.

2.

3.

g1

g3x(1)

x(4)

x(3) )11-i

)(i-grad Q(g x=

g−=ε

24Metoda gradientu prostego

x1

4.

3.

ε0

g0

g2x(2)

x(4)

x(0)

1-i1g

i−=−ε

min111 )

iiλ

)(i-Q( −−+ εx

Szereg Taylora

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )211

11

1

21

''

'

−−

−−

−

−⋅

+−⋅+≈

iii

iii

ii

xxxf

xxxf

xfxf

523 x--xf(x) =

f=inline('x.^3-2*x-5');f1p=inline('3*x.^2-2');f2p=inline('6*x');

25

plot(xi, f(xi1),'k*')

plot(xi, f(xi1)+ ... f1p(xi1)*(xi-xi1),'ko')

plot(xi, f(xi1)+ ... f1p(xi1)*(xi-xi1)+ ...f2p(xi1)*(xi-xi1).^2/2,'k+')

f2p=inline('6*x');

Metoda Newtona

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )211

11

1

21

''

'

−−

−−

−

−⋅

+−⋅+≈

iii

iii

ii

xxxf

xxxf

xfxf

f(x)

( )( )1−ixf

26

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0' 111 =−+ −−− iiii xfxxxf

( ) ( )( )( )( )( )1

11

' −

−− −=

i

iii

xfxf

xx

( ) ( ) x x x 1-ii ∆+=

( )ix( )1−ix

Poszukiwanie miejsc zerowych

Metoda Newtona

( ) ( )( )( )( )( )1

11

' −

−− −= i

iii

xf

xfxx

( ) ( ) x x x 1-ii ∆+=

52)( 3 −−= xxxf

27

f=inline('x.^3-2*x-5');f1p=inline('3*x.^2-2');

for i=2:6x(i)=x(i-1)-f(x(i-1))/f1p(x(i-1));

end


Metody Newtonowskie

( ) ( )( )( )( )( )1

11

' −

−− −=

i

iii

xf

xfxx


f(x)

x

28Poszukiwanie ekstremum

( ) ( )( )( )( )( )1

11

''

'−

−− −=

i

iii

xf

xfxx

Poszukiwanie ekstremum

x

f'(x)

x

Metody Newtonowskie

22

21 xxf(x) +=

G=inline('[2*x(1);2*x(2)]');

H=inline('[2 2*x(1)+2*x(2);2*x(1)+2*x(2) 2]');

29Poszukiwanie ekstremum

2*x(1)+2*x(2) 2]');

x(:,1)=[1;1];for i=2:5

x(:,i)=x(:,i-1)-H(x(:,i-1))\G(x(:,i-1));end

Optymalizacja z ograniczeniami

Modyfikacja funkcji celu

∑=

+=m

j j

jk x

rxQxQ

1 )()()(

ϕ

Q(x)

Qk(x)Qk(x)

Q(x)

30Metoda wewnętrznej funkcji kary

xxxQ ⋅−= 10)( 2 02.0)(1 ≤+−= xxϕ01)(2 ≤−= xxϕ 12.0

10)( 212

−+

+−+⋅−=

x

r

x

rxxxQk

x=0.2

funkcja kary

xx=1


Modyfikacja funkcji celu

Q(x)

Qk(x) Qk(x)

∑=

+=m

jj

ik x

rxQxQ

1

2)(1

)()( ϕ

31Metoda zewnętrznej funkcji kary

xxxQ ⋅−= 10)( 2 ]01,0[)(1 ≤+−= xxϕ1

22 )1(

10)(r

xxxxQk

−+⋅−=

x=1funkcja kary

x


xopt

32Metoda zewnętrznej funkcji kary dla przykładu 1

Metoda simplex

Rozwiązanie

( )x1ϕ

( )x2ϕ2x

33Liniowy model optymalizacji

Rozwiązanie optymalne

212 xxQ +=

1x

( )x3ϕ

Iteracja metody Simplex

Iteracja metody gradientowej

Oprogramowanie optymalizacyjne

Przykład 1 Przykład 2

34Excel


Przykład 1

35Excel


36Excel


Przykład 1

37Matlab


Przykład 1

38Matlab


OPVAR, H2, DV, 0,H1-5,0.001 OPVAR, R1, DV, 5,H1/2-X1/2/L*H2-5,0.001 OPVAR, X1, DV, R1+5,L-R1-5,0.001

X1

R1

Y1Design variable

H2

39Ansys

OPVAR, X1, DV, R1+5,L-R1-5,0.001 OPVAR, Y1, DV, X1/L*H2+R1+5,H1-R1-5,0.001

OPVAR, SMAX, SV,0,600,0.001

OPVAR, VOLUME, OBJ,,,20

State variable

Objective function

Polioptymalizacja

q2

x2

Φ

a1

a3

a4

40Krzywa stanów polioptymalnych

zbiór rozwiązań polioptymalnychw zbiorze dopuszczalnym

q1

x1

a1

a2

a5

krzywa stanów polioptymalnych w zbiorze stanów osiągalnych

q2min

q1min

Polioptymalizacja

q2

krzywa stanów polioptymalnych w zbiorze stanów osiągalnych

2211 qpqpQ +=

11

2 p

Qq

p

pq +−=

41Pseudopolioptymalizacja

q1

)ˆ,ˆ( 21 qq

constQ =

21

22 p

qp

q +−=

∑=

=m

iii qpQ

1

Globalne metody optymalizacji

42


Zbiory rozmyte1965

Sieci neuronowe1943

Algorytmy genetyczne1975

Automaty komórkowe1948

ązy

wan

ego

prob

lem

u

ść

ść i

roz

wią

zani

a

Fraktale1975

L-systemy

43

Równania różniczkoweXVIII

Statystyka1812

Metody dyskretneMES - 1960

Ska

la r

ozw

iązy

wan

ego

prob

lem

uP

robl

emy

klas

y "N

P"

Pew

ność, d

okła

dnoś

ć i

roz

wią


Osobnik

[110111001001]

2314 100100001010

[001111001011]

Liczba dziesiętna Liczba binarna

44Algorytmy genetyczne

Osobnik

Chromosom

Gen

Populacja

Osobnik[11011 ”1” 001101]

[001111001011]

[001111001011]


Start

Losowanie populacji

początkowej

Selekcja – wybór populacji rodzicielskiej

45Algorytmy genetyczne

populacji rodzicielskiej

Warunek zatrzymania

Najlepszy osobnik

Reprodukcja –zastosowanie operatorów

genetycznych


46Selekcja


Crossover

47Reprodukcja

1 0 1 0 0 1 0

↓

1 0 1 0 1 1 0

Mutacja


1000

1500

2000

2500

y = 2x 2 + 1

y - funkcja celu

x - zmienna decyzyjna

48Przykład

0

500

0 5 10 15 20 25 30 35

x - zmienna decyzyjna

znaleść takie x dla którego yosiągnie wartość maksymalną

Problem optymalizacyjny:


Osobnik x Chromosom y Przystosowanie1 19 10011 723 20.45%2 3 00011 19 0.54%3 7 00111 99 2.80%4 21 10101 883 24.97%5 8 01000 129 3.65%6 29 11101 1683 47.60%

1

20.45%2000

49Przykład

20.45%

2

0.54%

3

2.80%

4

24.97%

5

3.65%

6

47.60%

0

500

1000

1500

2000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30


Nr Losowanie1 97

Osobnik x Chromosom y Przystosowanie1 19 10011 723 20.45%2 3 00011 19 0.54%3 7 00111 99 2.80%4 21 10101 883 24.97%5 8 01000 129 3.65%6 29 11101 1683 47.60%

1

20.45%

2

0.54%

3

2.80%

4

6

47.60%

Nr Dystrubuanta1 20.45%

50Przykład

2 263 544 135 316 88

Nr Dystrubuanta Wylosowane liczby1 20.45% 132 20.98%3 23.78%4 48.76% 26 315 52.40%6 100.00% 97 54 88

24.97%

5

3.65%

1 20.45%2 20.98%3 23.78%4 48.76%5 52.40%6 100.00%

Osobnikpopulacji

Osobnik rodzicielskiejpopulacji P(k) M(k) Chromosom

1 6 001102 4 001003 6 001104 1 000015 4 001006 6 00110


Wylosowanepary Chromosomy

1 100114 101014 10101

Punkt Podzielone Nowakrzy żowania chromosomy populacja

3 100** ***11 10001101** ***01 10111

2 10*** **101 10101

51Przykład

4 101016 111016 111016 11101

2 10*** **101 1010111*** **101 11101

4 1110* *****1 111011110* *****1 11101


Populacja P(k)Osobnik Chromosom x y

1 10011 19 7232 00011 3 193 00111 7 994 10101 21 8835 01000 8 1296 11101 29 1683

Średnia: 589

Populacja P(k+1)Osobnik Chromosom x y

1 10001 17 5792 10111 23 10593 10101 21 8834 11101 29 16835 11101 29 16836 11101 29 1683

Średnia: 1262

2000 2000

52Przykład

0

500

1000

1500

2000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0

500

1000

1500

2000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30


[001111001011]

Warto ść funkcji celu w pokoleniu

200

250

300

350

400

450

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

53Kratownica

Praktyka (kiedy brak jawnej postaci modelu)

x0 = ones(23,1);

[x, fval] = fmincon( @optym_fc_zuraw, x0,[],[],[],[],[],[],@optym_fo_zuraw)

function [c, ceq] = optym_fo_zuraw(x)

[U F Sigma Epsilon] = MES(n, f, c ,e, 0);

54MES

[U F Sigma Epsilon] = MES(n, f, c ,e, 0);

c = [ 5-x;abs(U)-2;abs(Sigma)-100 ];

end

function waga = optym_fc_zuraw(x)waga=sum(x);

end

Praktyka (kiedy brak jawnej postaci modelu)

Patrz Dodatek 1. Aproksymacja i interpolacja

55Aproksymacja i interpolacja

optymalizacja konstrukcji - wersja.0.95, prof. d. skibicki

Documents