optimización con restricciones de...

Optimización Con Restricciones de Igualdad Profr. E. Uresti - p. 1/31

Optimización

Optimización Con Restricciones de IgualdadDr. E Uresti

ITESM

IntroMultilicadores deLagrangeEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Nota


Introducción

En esta lectura veremos el problema de optimizaruna función de valor real sujeta a un conjunto derestricciones. El método que veremos se debe aJoseph Louis Lagrange (1736-1813) y la pruebade que define condiciones necesarias para lospuntos óptimos aparece en el libro de A. Khuri(1993): Advanced Calculus with Applications inStatistics (John Wiley and Sons, New York) y laprueba de las condiciones de suficiencia aparecenen el libro R. P. Gillespie (1954): PartialDifferentiation (Oliver and Boyd, Edinburgh).Veremos un par de ejemplos para clarificar loscriterios de máximos y mínimos relativos.



El método de los Multiplicadores de Lagrange

Suponga que se desea optimizar la función realvaluada f(x1, x2, . . . , xn) donde las variablesx1,x2,. . . ,xn están sujetas a las restricciones deigualdad (m < n):

g1(x1, x2, . . . , xn) = 0

g2(x1, x2, . . . , xn) = 0...

gm(x1, x2, . . . , xn) = 0

donde las funciones f ,g1,g2,. . . ,gm sondiferenciables. f debe tener segundas derivadascontinuas, mientras que las gi deben tenerprimeras derivadas continuas.



El primer paso consiste en determinar los puntoscríticos para ello se forma la función Lagrangeana:

F (x, λ) = f(x) +m∑

j=1

λj gj(x)



El primer paso consiste en determinar los puntoscríticos para ello se forma la función Lagrangeana:

F (x, λ) = f(x) +m∑

j=1

λj gj(x)

Los puntos estacionarios se determinanresolviendo ∇F = 0:

∇F =

∂F∂x1

...∂F∂xn

∂F∂λ1

...∂F∂λm

=

∂f

∂x1

+∑m

j=1 λj∂gj∂x1

...∂F∂xn

+∑m

j=1 λj∂gj∂xn

g1...gm

= 0



Es decir, los puntos máximos o mínimos seencuentran dentro del conjunto de puntos críticosque se obtienen de resolver el sistema formadopor las ecuaciones:

∂F

∂xi

=∂f

∂xi

+m∑

j=1

λj

∂gj∂xi

= 0 para i = 1, 2, . . . , n

y junto con las m ecuaciones dadas por lasrestricciones:

g1(x1, x2, . . . , xn) = 0

g2(x1, x2, . . . , xn) = 0...

gm(x1, x2, . . . , xn) = 0



Este sistema se resuelve para las variablesx1,x2,. . . ,xn y λ1,λ2,. . . , λm. Así pues el sistemaconsta de n+m ecuaciones en n+m incógnitas:El resultado sobre la necesidad dice: Un máximo omínimo al problema debe satisfacer el sistema deecuaciones antes planteado.


Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el problemade determinar si son máximos o mínimos locales.


Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el problemade determinar si son máximos o mínimos locales. Para cadapunto estacionario xo y para los valores λ1,λ2,. . . ,λm

correspondientes.


Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el problemade determinar si son máximos o mínimos locales. Para cadapunto estacionario xo y para los valores λ1,λ2,. . . ,λm

correspondientes. Se construye la matriz:

B1 = HF =

F11 F12 · · · F1n g(1)1 g

(1)2 . . . g

(1)m

F21 F22 · · · F2n g(2)1 g

(2)2 . . . g

(2)m

......

. . ....

......

. . ....

g(1)1 g

(2)1 . . . g

(n)1 0 0 · · · 0

g(1)2 g

(2)2 . . . g

(n)2 0 0 · · · 0

......

. . ....

......

. . ....

g(1)m g

(2)m . . . g

(n)m 0 0 · · · 0


Sea ahora para i = 2, 3, . . . , n−m, Bi la matriz obtenida de B1

eliminando las primeras i− 1 filas y las primeras i− 1columnas, y sea ∆i el determinante de Bi. xo es un mínimolocal si:■ siendo m par cuando

∆1 > 0, ∆2 > 0, . . . ,∆n−m > 0

■ siendo m impar, cuando

∆1 < 0, ∆2 < 0, . . . ,∆n−m < 0

xo es un máximo local si:■ siendo n par cuando

∆1 > 0, ∆2 < 0, . . . , (−1)n−m∆n−m < 0

■ siendo n impar, cuando

∆1 < 0, ∆2 > 0, . . . , (−1)n−m∆n−m > 0



Ejemplo 1

Encuentre los valores óptimos de la función

f(x, y) = x2 + 12xy + 2y2

sujeto a4x2 + y2 = 25



Aquí

F = x2 + 12xy + 2y2 + λ(4 x2 + y2 − 25)

El sistema de ecuaciones es:

Fx = 0 = 2 x+ 12 y + 8λx

Fy = 0 = 12 y + 4 y + λ y

g1 = 0 = 4 x2 + y2 − 25



Aquí

F = x2 + 12xy + 2y2 + λ(4 x2 + y2 − 25)

El sistema de ecuaciones es:

Fx = 0 = 2 x+ 12 y + 8λx

Fy = 0 = 12 y + 4 y + λ y

g1 = 0 = 4 x2 + y2 − 25

De la primera ecuación despejas y (Observe queno conviene que despeje x o λ pues implicaindicar una división con una expresión quedependerá de una variable y se tendría queconsiderar por separado el caso cuando es cero.):

y = −1/6 x− 2/3λx



Si sustituimos esto en las ecuaciones 2 y 3 delsistema nos queda:

Fy = 0 = 34/3 x− 3λx− 4/3λ2 x = 0

g = 0 = 145/36 x2 + 2/9λx2 + 4/9λ2 x2− 25 = 0

Si tomamos la nueva ecuación 1 y la factorizamosqueda:

−1/3 x (4λ+ 17) ∗ (λ− 2) = 0

Esto nos origina tres posibles casos:

x = 0, λ = −17/4, y λ = 2

Si sustituimos el caso x = 0 en la segunda nuevaecuación nos queda:

−25 = 0



Es decir, este caso de la primera ecuación esincompatible con la segunda. El caso λ = 2sustituido en la segunda ecuación da:

25/4 x2− 25 = 0

La cual da las soluciones:

x = 2 y x = −2

sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:

y = −3 y y = 3

Resumiendo tenemos los puntos:

P x = −2, y = 3, λ = 2

Q x = 2, y = −3, λ = 2



El caso λ = −17/4 sustituido en la segundaecuación da:

100/9 x2− 25 = 0

La cual da las soluciones:

x = 3/2 y x = −3/2

sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:

y = 4 y y = −4

Resumiendo tenemos los puntos:

R x = 3/2, y = 4, λ = −17/4

S x = −3/2, y = −4, λ = −17/4



En nuestro problema n = 2 (número de variablesen f ) y m = 1 (número de restricciones), y portanto debemos calcular ∆i desde i = 1 hastai = n−m = 1. Es decir, que en este ejemplo bastacalcular ∆1 para cada punto. La matriz B1 queda:

B1 =

2 + 8λ 12 8 x

12 4 + 2λ 2 y

8 x 2 y 0




B1 =

2 + 8λ 12 8 x

12 4 + 2λ 2 y

8 x 2 y 0

Para el punto P (x = −2, y = 3, λ = 2), B1 queda:

B1(P ) =

18 12 −16

12 8 6

−16 6 0

→ ∆1 = −5000




B1 =

2 + 8λ 12 8 x

12 4 + 2λ 2 y

8 x 2 y 0

Para el punto P (x = −2, y = 3, λ = 2), B1 queda:

B1(P ) =

18 12 −16

12 8 6

−16 6 0

→ ∆1 = −5000

Como m = 1 es impar, P es mínimo local.



Para el punto Q(x = 2, y = −3, λ = 2), B1 queda:

B1(Q) =

18 12 16

12 8 −6

16 −6 0

→ ∆1 = −5000



Para el punto Q(x = 2, y = −3, λ = 2), B1 queda:

B1(Q) =

18 12 16

12 8 −6

16 −6 0

→ ∆1 = −5000

Como m = 1 es impar, Q es mínimo local.



Para el punto R(x = 3/2, y = 4, λ = −17/4), B1

queda:

B1(R) =

−32 12 12

12 −9/2 8

12 8 0

→ ∆1 = 5000



Para el punto R(x = 3/2, y = 4, λ = −17/4), B1

queda:

B1(R) =

−32 12 12

12 −9/2 8

12 8 0

→ ∆1 = 5000

Como n = 2 es par, R es máximo local.



Para el punto S(x = −3/2, y = −4, λ = −17/4), B1

queda:

B1(S) =

−32 12 −12

12 −9/2 −8

−12 −8 0

→ ∆1 = 5000



Para el punto S(x = −3/2, y = −4, λ = −17/4), B1

queda:

B1(S) =

−32 12 −12

12 −9/2 −8

−12 −8 0

→ ∆1 = 5000

Como n = 2 es par, S es máximo local.



La gráfica en la figura 1 ilustra los puntos críticosde ejemplo 1 sobre la misma superficie de lafunción: se puede observar que tales puntoscorresponden a los puntos más altos y más bajosde la superficie restringidos a la elipse.



Repitamos los cálculos utilizando ahora la calculadora TI. En lafigura 2 se ilustra el borrado de las variables utilizadas (x, y, nosfaltó incluir a la variable t, que funcionará como λ1 ,como t no teníaasignado valor no tuvimos problema); en la variable f está lafunción a optimizar; en g está la restricción; y en la variable fb lafunción F = f + λ g.

Figura 2: Inicio del problema 1


En la figura 3 se obtiene el cálculo de Fx(variables fbx), Fy (variable fby) y elplanteamiento del sistema para determinar los puntos críticos.

Figura 3: Sistema para obtener los puntos críticos del ejemplo 1


En la figura 4 se obtienen las soluciones al sistema y su conversión a una formamás conveniente. En la matriz representada por p: los valores de x están en laprimer columna, los de y en la segunda, y en la tercera los de t (λ). Tambiénaparece el cálculo de la matriz hessiana de F (variable h). Nuevamente,utilizaremos la variable i para ahorrarnos la escritura de comandos en el cálculo de∆1 en cada punto crítico representado en cada renglón de p.

Figura 4: Puntos críticos y B1 del ejemplo 1


En la figura 5 se obtienen los determinantes ∆1 para cada uno de los puntoscríticos encontrados. Recuerde que al ser m = 1 (impar): x es mínimo local si∆1 < 0 y siendo n = 2 (par): x es máximo local si ∆1 > 0. Por tanto, el primero y elsegundo renglón de p representan mínimos locales, mientras que el cuarto y elquinto representan máximos locales. Los cálculos coinciden los realizadosanteriormente �

Figura 5: Cálculo de ∆1 en los puntos críticos del ejemplo 1



Ejemplo 2

Encuentre los máximos y los mínimos de la función

f(x, y, z) = x2y + 3 z − 6 y + 3x

sujeta a las condiciones

g1(x, y, z) = y − x2− 1 = 0 y g2(x, y, z) = x− y + z − 1 = 0


En la figura 6 se preparan los cálculos: se limpian las variables usadas en lasexpresiones (t1 hará el papel de λ1 y t2 hará el papel de λ2); se captura la funciónf , las restricciones g1 y g2; y el cálculo de las parciales.

Figura 6: Preparación del ejemplo 2



En la figura 7 se obtiene la hessiana de F (guardada en h) y laobtención de los puntos críticos y convenientemente codificados enla matriz p. Obervamos que sólo determina tres puntos críticosP (x = 1, y = 2, z = 2, λ1 = 2, λ2 = −3) (renglón 1 de p),Q(x = 0, y = 1, z = 2, λ1 = 3, λ2 = −3) (renglón 2 de p), yR(x = −1, y = 2, z = 4, λ1 = 2, λ2 = −3) (renglón 3 de p). Seutilizó Maple para validar este resultado y hubo concordancia.

Figura 7: Hessiana y puntos críticos del ejemplo 2


Como n = 3 y m = 2, sólo debemos determinar hasta ∆n−m = ∆1 en los puntoscríticos. Recordemos que al ser m par, x es un mínimo local si ∆1 > 0. Mientrasque al ser n impar, x es un máximo local si ∆1 < 0. En la figura 8 se obtiene eldeterminante ∆1 en cada uno de los puntos críticos. Por tanto, P y R son mínimoslocales y Q es máximo local �

Figura 8: ∆1 en los puntos críticos del ejemplo 2



Ejemplo 3

Determine los valores máximos y mínimosrelativos de

f(x, y, z) = 3 + 4 x− x2− y2 − 24 z

sujeta a

g(x, y, z) = −6 + x− y − 3 z = 0


En la figura 9 se preparan los cálculos: se limpian las variables usadas en lasexpresiones (t hará el papel de λ); se captura la función f , la restricción g; y elcálculo de las parciales.

Figura 9: Preparación del ejemplo 3


En la figura 10 se obtiene la hessiana de F , también llamada B1, y se guarda en h.Como en este ejemplo se debe calcular hasta ∆n−m = ∆2 determinamos lasegunda submatriz principal primera de h, también llamada B2, y la guardamos enla variable h1.

Figura 10: Hf y segunda submatriz primera de Hf para el ejemplo 3


En la figura 11 se obtiene el único punto crítico de F el cual corresponde aP (x = −2, y = 4, z = −4, t = −8). Al ser sólo uno el punto crítico es másconveniente hacer la sustituión directa de las variables en B1 y en B2. Note que lasustitución no es necesaria pues ni B1 ni B2 tienen variables. Así que la sustituciónlas dejará igual. Los determinantes que se obtienen son ∆1 = −36 y ∆2 = 18. Alser n impar el criterio indica que el punto P es un máximo local.

Figura 11: Obtención del único punto crítico y ∆1 y ∆2 en el ejemplo 3



Nota importante

Los ejemplos anteriores fueron adecuadamentefabricados de forma tal que los sistemas deecuaciones para la obtención de los puntoscríticos resultaran relativamente fáciles deresolver. En general, tales sistemas de ecuacionesresultan imposibles de resolver en forma exacta. Yen tales casos se utiliza un método numérico.

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