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Optimale nichtlineare Regelung von permanenterregtenSynchronmaschinen

authored by W. Kemmetmüller, D. Faustner, and A. Kugi

and published in at-Automatisierungstechnik.

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Cite this article as:W. Kemmetmüller, D. Faustner, and A. Kugi, “Optimale nichtlineare Regelung von permanenterregten Synchron-maschinen”, at-Automatisierungstechnik, vol. 63, no. 9, pp. 739–750, 2015. doi: 10.1515/auto-2015-0041

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DE GRUYTER OLDENBOURG at – Automatisierungstechnik 2015; 63(9): 739–750

Anwendungen

Wolfgang Kemmetmüller*, David Faustner und Andreas Kugi

Optimale nichtlineare Regelung vonpermanenterregten SynchronmaschinenOptimal nonlinear control of permanent magnet synchronous machines

DOI 10.1515/auto-2015-0041Eingang 25. März 2015; angenommen 24. Juni 2015

Zusammenfassung: Die Momentenregelung von perma-nenterregten Synchronmaschinen (PSM) ist eine häufigeAufgabe. Moderne Motorkonstruktionen und der Betriebbis weit in die magnetische Sättigung führen zu einerschlechten Regelgüte von klassischen Regelungsstrategi-en. In diesem Beitrag wird die PSM mit einem Reluktanz-netzwerk modelliert, das die magnetische Sättigung undhöhere harmonische Charakteristiken berücksichtigt. An-schließend wird für zwei Bauformen von PSM eine opti-maleflachheitsbasierteRegelungsstrategie entwickelt. DieRegelgüte wird schließlich anhand von Messungen an ei-nem Prüfstand nachgewiesen.

Schlüsselwörter: Permanenterregte Synchronmaschine,Reluktanzmodellierung, optimale Momentenregelung,nichtlineare Regelung.

Abstract: The torque control of permanent magnet syn-chronous machines (PSM) is a frequent task. Modern mo-tor constructions and the operation in the range of mag-netic saturation bring along that classical control strate-gies show limited control accuracy. In this paper,magneticequivalent circuit modeling, which allows to systemati-cally account for magnetic saturation and nonfundamen-tal wave characteristics, is utilized. An optimal flatness-based torque control strategy is proposed for two types ofPSM. The control performance is demonstrated by meansof measurement results.

*Korrespondenzautor: Wolfgang Kemmetmüller, Institut fürAutomatisierungs- und Regelungstechnik, Technische UniversitätWien, Wien, E-Mail: [email protected] Faustner, Andreas Kugi: Institut für Automatisierungs- undRegelungstechnik, Technische Universität Wien, Wien

Keywords: Permanent magnet synchronous machine,magnetic equivalent circuitmodeling, optimal torque con-trol, nonlinear control.

||Gewidmet Herrn Univ.-Prof. Dr. techn. Kurt Schlacher zu seinem60. Geburtstag

1 EinleitungDie Regelung des elektrischen Moments von permanent-erregten Synchronmaschinen (PSM) ist eine wichtige Auf-gabe, da die Momentenregelung meist auch als innersterRegelkreis in einer kaskadierten Drehzahl- bzw. Positions-regelung eingesetzt wird. Die Regelgüte des Momenten-reglers ist damit essentiell für die erzielbare Güte des Ge-samtsystems. Zur Momentenregelung wird heute fast aus-schließlich die feldorientierte Regelung (FOC) eingesetzt,die auf der Transformation der Stromdynamik des Motorsin ein rotorfestes Koordinatensystem (Blondel-Park Trans-formation) beruht, siehe z.B. [1–3]. Diese Transformationbasiert auf den Annahmen, dass keine magnetische Sät-tigung auftritt und die wesentlichen Größen des Motors(Ströme, induzierte Spannungen) durch deren Grundwel-le approximiert werden können. Unter Verwendung die-ser Modelle wurden in den letzten Jahren vermehrt moder-ne nichtlineare Methoden zur Regelung untersucht, siehez.B. [4–12].

Durch die Verwendung von inhomogenen Luftspalt-geometrien oder konzentrierten Einzelzahnspulen sinddie für das Grundwellenmodell getroffenen Annahmenmeist mehr oder weniger stark verletzt. Weiterhin wer-den PSM häufig bis weit in den Sättigungsbereich betrie-ben. Für diese Motoren liefern die genannten Regelungs-strategienmeist nur eine eingeschränkte Regelgüte. Daherwurden in der Literatur (heuristische) Erweiterungen desGrundwellenmodells vorgeschlagen, um die magnetischeSättigung bzw. die höheren Harmonischen zumindest nä-

Bereitgestellt von | Technische Universität WienAngemeldet | [email protected] Autorenexemplar

Heruntergeladen am | 11.09.15 10:19Post-print version of the article: W. Kemmetmüller, D. Faustner, and A. Kugi, “Optimale nichtlineare Regelung von permanenterregtenSynchronmaschinen”, at-Automatisierungstechnik, vol. 63, no. 9, pp. 739–750, 2015. doi: 10.1515/auto-2015-0041The content of this post-print version is identical to the published paper but without the publisher’s final layout or copy editing.


740 | W. Kemmetmüller et al., Nichtlineare Regelung von PSM DE GRUYTER OLDENBOURG

herungsweise zu berücksichtigen. Auf Basis dieser erwei-terten Modelle lassen sich in vielen Anwendungen Rege-lungsstrategien mit einer signifikanten Verbesserung derRegelgüte entwerfen, vgl. [13–19].

Im Rahmen dieses Beitrags wird eine systematischeVorgehensweise zur optimalen Momentenregelung vonPSM mit ausgeprägter magnetischer Sättigung und nichtsinusförmigen Größen des Motors vorgeschlagen. DieGrundlage dafür bildet die Beschreibung des Magnetkrei-ses des Motors mit Hilfe von Reluktanznetzwerken, die ei-ne systematische Beschreibung von magnetischer Sätti-gungundbeliebigenVerläufender charakteristischenGrö-ßen desMotors erlauben, siehe z.B. [20–26].Wie in [26, 27]gezeigt wurde, ist dabei eine Übertragung der von elektri-schen Netzwerken bekannten Netzwerkstheorie zur Her-leitung der Gleichungen des Reluktanznetzwerkes mög-lich. Auf Basis dieser Modelle kann dann eine optima-le flachheitsbasierte Momentenregelungsstrategie entwi-ckelt werden, siehe [28] und [29]. Dieser Beitrag stellt dieMethoden und Ergebnisse der optimalen Momentenrege-lung für eine PSM mit eingebetteten Magneten und einePSMmit Oberflächenmagneten dar und zeigt die erzielba-re Regelgüte anhand von Messungen an einem Prüfstand.Für eine detaillierte Beschreibung der Modellierung undder Momentenregelung der Motoren sei auf [26–29] ver-wiesen.

Der Beitrag gliedert sich in die folgenden Abschnitte:In Abschnitt 2 werden die Modellierung von PSM auf Ba-sis von Reluktanznetzwerken kurz zusammengefasst unddie Redundanzen der resultierenden Gleichungen zufol-ge der magnetischen und elektrischen Verschaltung derSpulen des Motors diskutiert. Die optimale Momentenre-gelung wird anschließend in Abschnitt 3 für eine PSMmit eingebetteten Magneten vorgestellt, die ein ausgepräg-tes Rastmoment, eine nicht sinusförmige induzierte Span-nung und maßgebliche Sättigung aufweist. Anschließendwird inAbschnitt 4 für einePSMmitOberflächenmagnetenund ausgeprägter magnetischer Sättigung gezeigt, dassfür PSMmitnahezu sinusförmigencharakteristischenGrö-ßen eine vereinfachte optimale Momentenregelungsstra-tegie entwickelt werden kann. Der Beitrag schließt mit ei-ner Zusammenfassung und einem Ausblick auf weitereForschungsarbeiten.

2 Modellierung auf Basis vonReluktanznetzwerken

Die Grundidee derModellierung von elektromagnetischenAktorenaufBasis vonReluktanznetzwerkenbestehtdarin,

den Magnetkreis in Form von magnetischen Leitwerten(Permeanzen) 𝐺 und magnetischen Spannungsquellen 𝑢zufolge der Spulen und Permanentmagnete zu approxi-mieren, siehe z.B. [20–26]. Zur systematischen Bestim-mung der Gleichungen des resultierenden Netzwerkeswurde in [26] die von elektrischen Netzwerken bekannteNetzwerkstheorie übertragen. Die Grundidee besteht dar-in, einen Baum zu definieren, welcher alle Knoten desmagnetischen Netzwerkes verbindet ohne eine Maschezu bilden. Dieser Baum muss dabei alle magnetischenSpannungsquellen beinhalten. Durch Hinzufügen einesElements des Kobaums, welcher alle Elemente beinhaltet,die nicht Teil des Baums sind, zum Baum entsteht genaueine Masche. Die Topologie des Netzwerkes kann damitmit Hilfe der InzidenzmatrixD𝑇 = [D𝑇

𝑐,D𝑇

𝑚,D𝑇

𝑔] beschrie-

ben werden.Wendet man die in [26] beschriebene Vorgehenswei-

se zur Modellierung an¹, so erhält man das folgende DAE-System zur Beschreibung eines elektromagnetischen Ak-tors

d

d𝑡𝜓𝑐= −R

𝑐i𝑐+ v𝑐

(1a)

0 = [D𝑐G𝑐D𝑇

𝑐D𝑐G𝑐D𝑇

𝑔

D𝑔G𝑐D𝑇

𝑐G𝑡+ D𝑔G𝑐D𝑇

𝑔

] [i𝑐

u𝑡𝑔

] (1b)

− [𝜓𝑐

0] + [D𝑐

D𝑔

]G𝑐D𝑇

𝑚u𝑡𝑚.

Darin beschreibt 𝜓𝑐den verketteten Fluss, R

𝑐den elek-

trischen Widerstand, i𝑐den Strom und v

𝑐die elek-

trische Spannung an den Spulen. Weiterhin ist D𝑇 =[D𝑇

𝑐,D𝑇

𝑚,D𝑇

𝑔] die transformierte Inzidenzmatrix, wobei

D𝑐= N𝑐D𝑐mit der Windungsmatrix N

𝑐gilt. Die magne-

tischen Spannungen der Permanentmagneten u𝑡𝑚

undder Leitwerte des Baums u

𝑡𝑔werden gemeinsam mit dem

Strom i𝑐zum Vektor u𝑇

𝑡= [i𝑇

𝑐, u𝑇

𝑡𝑚, u𝑇

𝑡𝑔] zusammengefasst.

Die magnetischen Leitwerte des Baums G𝑡und des Ko-

baums G𝑐sind aufgrund der nichtlinearen Eigenschaf-

ten (Sättigung) des Materials Funktionen der zugehörigenmagnetischen Spannungen und des mechanischen Frei-heitsgrads 𝜑 (Relativwinkel vom Rotor zum Stator), d.h.G𝑡(u𝑡𝑔, 𝜑) undG

𝑐(u𝑐, 𝜑)mit u

𝑐= −D

𝑇

𝑐u𝑡. Die Gleichung

(1a) beschreibt das Faradaysche Induktionsgesetz und (1b)die magnetische Verschaltung der Elemente des Reluk-tanznetzwerkes. Das resultierende Moment 𝜏 ergibt sich

1 Man beachte, dass in (1) im Vergleich zu [26] ein rechtshändigesZählpfeilsystem verwendet wurde. Weiterhin wurde (1b) im Vergleichzu [26] direkt im verketteten Fluss 𝜓

𝑐und den Strömen i

𝑐der Spulen

formuliert.




DE GRUYTER OLDENBOURG W. Kemmetmüller et al., Nichtlineare Regelung von PSM | 741

aus dem Koenergieprinzip zu [20, 26]

𝜏 =1

2u𝑇

𝑡𝑔

𝜕G𝑡

𝜕𝜑u𝑡𝑔+1

2u𝑇

𝑡D𝜕G𝑐

𝜕𝜑D𝑇u𝑡. (2)

2.1 Magnetische Verschaltung

Aufgrund derWahl der verketteten Flüsse𝜓𝑐als Zustands-

größen müssen der Strom i𝑐und die magnetische Span-

nung u𝑡𝑔aus demnichtlinearenGleichungssystem (1b) be-

stimmt werden. Der folgende Satz gibt Auskunft darüber,ob und unter welchen Bedingungen eine eindeutige Lö-sung dieses nichtlinearen Gleichungssystems existiert.

Satz 1. Das nichtlineare Gleichungssystem der Form

K1(x)x + f(x) = 0 (3)

besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenndie Jacobi-Matrix

K1+

𝑛

∑

𝑗=1

𝜕K1

𝜕𝑥𝑗

x +𝜕f

𝜕x(4)

positiv definit ist und die Bedingung

lim‖x‖→∞

‖K1(x)x + f(x)‖ = ∞ (5)

erfüllt ist [30].

Man kann nun zeigen, dass die Jacobi-Matrix des nicht-linearen Gleichungssystems (1b) genau dann regulär ist,wenn D

𝑐zeilenregulär ist, d.h. wennRang(D

𝑐) = 𝑠mit der

Anzahl der Spulen 𝑠 gilt. Für den häufig auftretenden FallRang(D

𝑐) = 𝑠𝐼< 𝑠 kann damit nicht der gesamte Vektor

der Ströme i𝑐aus (1b) bestimmt werden und, wie in [26]

diskutiert, nicht der gesamte verkettete Fluss 𝜓𝑐als un-

abhängiger Zustand gewählt werden. Wie in [26] gezeigt,wird mithilfe der Transformation

T1= [T1𝑐0

0 I] , (6)

mit

T1𝑐= [

[

(D⊥

𝑐)𝑇

(D𝐼

𝑐)𝑇]

]

(7)

und der Einheitsmatrix I ein reduziertes DAE-System her-geleitet. Darin ist D𝐼

𝑐aus 𝑠𝐼 unabhängigen Vektoren des

Bildes von D𝑐aufgebaut und D⊥

𝑐besteht aus 𝑠 − 𝑠𝐼 Vek-

toren des Kerns von D𝑇𝑐. Definiert man die transformierten

Ströme und verketteten Flüsse

[i⊥

𝑐

i𝐼

𝑐

] = T1𝑐i𝑐, [𝜓⊥

𝑐

𝜓𝐼

𝑐

] = T1𝑐𝜓𝑐, (8)

so erhält man das transformierte DAE-System in der Form

d

d𝑡𝜓𝐼

𝑐= − (D

𝐼

𝑐)𝑇

R𝑐(H𝐼

1i𝐼

𝑐+H⊥

1i⊥

𝑐) + (D

𝐼

𝑐)𝑇

v𝑐

(9a)

0 = − (D⊥

𝑐)𝑇

R𝑐(H𝐼

1i𝐼

𝑐+H⊥

1i⊥

𝑐) + (D

⊥

𝑐)𝑇

v𝑐

(9b)

0 = K2[i𝐼

𝑐

u𝑡𝑔

] − [𝜓𝐼

𝑐

0] + [

(D𝐼

𝑐)𝑇

D𝑐

D𝑔

]G𝑐D𝑇

𝑚u𝑡𝑚

(9c)

mit der InversenH1= [H⊥

1,H𝐼

1] = T−1

1𝑐vonT

1𝑐undder Ab-

kürzung

K2= [

(D𝐼

𝑐)𝑇D𝑐G𝑐D𝑇

𝑐H𝐼

1(D𝐼

𝑐)𝑇D𝑐G𝑐D𝑇

𝑔

D𝑔G𝑐D𝑇

𝑐H𝐼

1G𝑡+ D𝑔G𝑐D𝑇

𝑔

] . (10)

Es kann dann gezeigt werden, dass die Matrix K2regulär

ist und die Bedingungen aus Satz 1 erfüllt sind, womit dasnichtlineare Gleichungssystem (9c) mit (10) eine eindeuti-ge Lösung besitzt.

2.2 Elektrische Verschaltung

In den bisherigen Betrachtungen wurde die elektrischeVerschaltung der Spulen nicht berücksichtigt. Die elek-trische Verschaltung der Spulen definiert zusätzlicheZwangsbedingungen an die Spulenströme i

𝑐der Form

(V⊥)𝑇i𝑐= 0,mit der elektrischenVerschaltungsmatrixV⊥.

Weiterhin ist durch die Vorgabe der Anschlussspannun-gen des Aktors häufig nicht der gesamte Vektor der Spu-lenspannungen v

𝑐festgelegt. Die elektrische Verschaltung

führt damit in vielen Fällen dazu, dass ein Teil von i𝐼𝑐in

(9c) ebenfalls eine Zwangsbedingung erfüllen muss. Diesimpliziert weiterhin, dass nicht der gesamte Vektor dertransformierten verketteten Flüsse 𝜓𝐼

𝑐als unabhängiger

Zustand zur Verfügung steht, da ein Teil durch die alge-braischen Gleichungen festgelegt ist.

Eine allgemeine Analyse der möglichen auftretendenFälle gestaltet sich sehr umfangreich, weshalb imRahmendieses Beitrags auf eine detaillierte Diskussion verzichtetwird. In den folgenden Abschnitten, welche sich mit deroptimalen Momentenregelung von zwei Bauformen vonPSM beschäftigen, wird kurz auf die Behandlung der dortrelevanten Fälle eingegangen.

3 PSMmit eingebetteten MagnetenIn diesem Abschnitt wird eine optimale Regelungsstrate-gie für das Moment 𝜏 einer PSMmit eingebetteten Magne-ten vorgestellt. Die betrachtete PSM besteht aus 12 Spulen





und 8 im Rotor eingebetteten Permanentmagneten. Auf-grund der resultierenden Symmetrie des Motors wird imWeiteren nur 1/4 des Motors betrachtet. Dem SchnittbilddesMotors in Abbildung 1 kannman entnehmen, dass derMotor keine konstante Luftspalthöhe aufweist, was zu ei-nem ausgeprägten Rastmoment führt. Weiterhin bedingteine steigende Bestromung der Spulen eine maßgeblicheSättigung des Materials des Stators und des Rotors. Da-mit sind, wie bereits in der Einleitung diskutiert, klassi-sche Grundwellenmodelle für eine genaue Beschreibungdes Verhaltens dieser PSM ungeeignet.

Wendet man die im letzten Abschnitt dargestellte Mo-dellierung auf Basis von Reluktanznetzwerken an, so er-hält man ein DAE-System der Form (9), siehe auch [26, 29].Die Spulen des Motors sind in Dreieck geschaltet, womitkeine weiteren Zwangsbedingungen für die Ströme i𝐼

𝑐=

[𝑖𝑐1− 𝑖𝑐3, 𝑖𝑐2− 𝑖𝑐3]𝑇 resultieren. Diese elektrische Verschal-

tungbedingtweiterhin (D⊥𝑐)𝑇

v𝑐= 𝑣𝑐1+𝑣𝑐2+𝑣𝑐3= 0, womit

aus (9b)mitR𝑐= 𝑅𝑐I direkt i⊥

𝑐= 𝑖𝑐1+𝑖𝑐2+𝑖𝑐3= 0 folgt. Die

PSM kann damit durch das DAE-System

d

d𝑡𝜓𝐼

𝑐= −𝑅𝑐i𝐼

𝑐+ (D𝐼

𝑐)𝑇

v𝑐

(11a)

0 = K2[i𝐼

𝑐

u𝑡𝑔

] − [𝜓𝐼

𝑐

0] + [

(D𝐼

𝑐)𝑇

D𝑐

D𝑔

]G𝑐D𝑇

𝑚u𝑡𝑚

(11b)

beschrieben werden. Darin ist𝜓𝐼𝑐= [𝜓𝑐1−𝜓𝑐3, 𝜓𝑐2−𝜓𝑐3]𝑇

der Vektor der unabhängigen verketteten Spulenflüsseund K

2ergibt sich nach (10). Das resultierende Moment

Abbildung 1: Schnitt durch die betrachtete PSM mit eingebettetenMagneten [26].

errechnet sich gemäß (2) zu

𝜏 =1

2𝑝(u𝑇

𝑡𝑔

𝜕G𝑡

𝜕𝜑u𝑡𝑔+

[(H𝐼

1i𝐼

𝑐)𝑇, u𝑇

𝑡𝑚, u𝑇

𝑡𝑔] D

𝜕G𝑐

𝜕𝜑D𝑇 [

[

H𝐼

1i𝐼

𝑐

u𝑡𝑚

u𝑡𝑔

]

]

), (12)

mit der Polpaarzahl𝑝 = 4 des Motors. Für eine detaillierteBeschreibung der Modellierung sei auf [26] verwiesen.

3.1 Optimale Momentenregelung

Das Ziel der Momentenregelung ist es, die Spannungenv𝑐so vorzugeben, dass das Moment 𝜏 einem gewünsch-

ten Sollmoment 𝜏∗ entspricht und dassdie OhmschenVer-luste des Motors minimiert werden. Für diese Regelungs-aufgabe wird im Folgenden eine flachheitsbasierte Rege-lungsstrategie entworfen. Dazu werden im ersten Schrittdie optimalenWerte i𝐼∗

𝑐der Ströme i𝐼

𝑐als Lösung des nicht-

linearen statischen Optimierungsproblems

mini𝑐,u

𝑡𝑔

1

2(i𝑐)𝑇

i𝑐= mini𝐼

𝑐,u

𝑡𝑔

1

2(i𝐼

𝑐)𝑇

(H𝐼

1)𝑇

H𝐼

1⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

Q

i𝐼

𝑐(13)

mit der positiv definiten MatrixQ > 0 und den nichtlinea-ren Gleichungsnebenbedingungen

𝑔 = 𝜏(i𝐼

𝑐, u𝑡𝑔) − 𝜏∗= 0 (14a)

h = [D𝑔G𝑐D𝑇

𝑐H𝐼

1,G𝑡+ D𝑔G𝑐D𝑇

𝑔] [i𝐼

𝑐

u𝑡𝑔

] (14b)

+ D𝑔G𝑐D𝑇

𝑚u𝑡𝑚= 0

ermittelt. Da die Lösung dieses Optimierungsproblems inEchtzeit mit einer typischen Abtastzeit von 50 μs–200 μsermittelt werden muss, ist eine effiziente Lösungsmetho-de von besonderer Bedeutung. In [29] wurde die Optimie-rungsaufgabe mit Hilfe der Lagrangefunktion

L =1

2(i𝐼

𝑐)𝑇

Qi𝐼

𝑐+ 𝜆𝑔 + 𝜇

𝑇h (15)

und den Optimalitätsbedingungen erster Ordnung auf dieLösung eines nichtlinearen Gleichungssystems der Form

[[[[[[[[

[

(𝜕L

𝜕i𝐼𝑐

)

𝑇

(𝜕L

𝜕u𝑡𝑔

)

𝑇

(𝜕L

𝜕𝜆)𝑇

(𝜕L

𝜕𝜇)𝑇

]]]]]]]]

]

=[[[

[

f1

f2

f3

f4

]]]

]

= f (x) = 0 (16)





zurückgeführt. Darin beschreibt x𝑇 = [(i𝐼𝑐)𝑇, u𝑇

𝑡𝑔, 𝜆, 𝜇𝑇]

den Vektor der Unbekannten. Die besondere Struktur deralgebraischen Gleichungen (11b) erlaubt es nun, die parti-ellen Ableitungen (16) von L sehr effizient zu berechnen.Weiterhin lässt sich durchVernachlässigungder partiellenAbleitungen der magnetischen Leitwerte G

𝑡und G

𝑐nach

i𝐼

𝑐und u

𝑡𝑔ein vereinfachtes nichtlineares Gleichungssys-

tem definieren, dessen Lösung für den betrachteten Motornur sehr geringe Abweichungen von der Lösung des exak-ten Gleichungssystems zeigt.

Für die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems(16) wird die Newton-Iteration der Form

x𝑗+1

𝑘= x𝑗

𝑘− J(x𝑗

𝑘)−1f(x𝑗

𝑘), 𝑗 = 0, . . . , 𝑛

𝑖− 1, (17)

angewandt, wobei die Jacobi-Matrix J von fwiederumana-lytisch bestimmt werden kann. Bei Vorgabe eines gutenStartwertes x0

𝑘reicht eine sehr geringe Anzahl von Itera-

tionen 𝑛𝑖zur Bestimmung einer genauen Lösung aus. Man

beachte, dass ein derartiger Startwert in Form der Lösungdes letztenAbtastschrittes immer zurVerfügung steht, d.h.man wählt x0

𝑘= x𝑛𝑖

𝑘−1.

Um nun ausgehend von den optimalen Werten i𝐼∗𝑐

und u∗𝑡𝑔den zugehörigen Vektor der optimalen verketteten

Flüsse 𝜓𝐼∗𝑐

zu bestimmen, verwendet man die erste Zeilevon (11b) in der Form

𝜓𝐼∗

𝑐= (D𝐼

𝑐)𝑇

D𝑐G𝑐(D𝑇

𝑐H𝐼

1i𝐼∗

𝑐+ D𝑇

𝑔u∗

𝑡𝑔+ D𝑇

𝑚u𝑡𝑚) . (18)

Durch zeitliche Ableitung dieses Ausdruckes und unterVerwendung von (11a) kann dann der optimale Wert derSpannung v∗

𝑐in der Form

v∗

𝑐= H𝐼

1(d

d𝑡𝜓𝐼∗

𝑐+ 𝑅𝑐i𝐼∗

𝑐) (19)

ermittelt werden. Man beachte, dass die zeitliche Ablei-tung von 𝜓𝐼∗

𝑐analytisch durch Anwendung der Kettenre-

gel aus den zeitlichen Ableitungen von 𝜏∗ und 𝜑 = 𝜔 er-mittelt werden kann. In der praktischen Anwendung ist esjedoch meist effizienter, die zeitliche Ableitung durch

d

d𝑡𝜓𝐼∗

𝑐(𝑘𝑇𝑠) ≈𝜓𝐼∗

𝑐,𝑘− 𝜓𝐼∗

𝑐,𝑘−1

𝑇𝑠

(20)

zu approximieren, wobei 𝑇𝑠die Abtastzeit der Regelung

bezeichnet.Im letzten Schritt des Reglerentwurfs muss eine Sta-

bilisierung des Trajektorienfolgefehlers 𝜓𝐼𝑐−𝜓𝐼∗

𝑐erfolgen.

Die Dynamik des Trajektorienfolgefehlers wird durch

d

d𝑡(𝜓𝐼

𝑐− 𝜓𝐼∗

𝑐) = −𝑅

𝑐e𝐼

𝑖+ (D𝐼

𝑐)𝑇

v𝑐

𝑐(21)

beschrieben, wobei e𝐼𝑖= i𝐼

𝑐− i𝐼∗

𝑐den Stromfehler bezeich-

net und v𝑐𝑐dem Regleranteil der Spannung v

𝑐entspricht,

d.h. v𝑐= v∗

𝑐+ v𝑐

𝑐. Natürlich steht in der praktischen Im-

plementierung keine Messung der verketteten Flüsse zurVerfügung. Wie in [29] gezeigt, kann aus dem nichtlinea-ren Gleichungssystem für G

𝑐(−D𝑇u𝑡, 𝜑) ≈ G

𝑐(−D𝑇u∗

𝑡, 𝜑)

undG𝑡(u𝑡𝑔, 𝜑) ≈ G

𝑡(u∗

𝑡𝑔, 𝜑) eine Approximation der Form

𝜓𝐼

𝑐− 𝜓𝐼∗

𝑐= (D𝐼

𝑐)𝑇

D𝑐T𝑙D𝑇

𝑐H𝐼

1e𝐼

𝑖= L𝐼

𝑐(u∗

𝑡, 𝜑) e𝐼

𝑖(22)

mit der positiv definiten Induktivitätsmatrix L𝐼𝑐formuliert

werden. Die Abkürzung T𝑙errechnet sich dabei mit Hilfe

des verallgemeinerten Matrizeninversionslemmas zu

T𝑙(u∗

𝑡, 𝜑) = (G

−1

𝑐+ D𝑇

𝑔G−1

𝑡D𝑔)−1

. (23)

Verwendet man die Approximation (22) in (21), so erhältman

L𝐼

𝑐

d

d𝑡e𝐼

𝑖= − (D

𝐼

𝑐)𝑇

D𝑐(𝜕T𝑙

𝜕𝜑𝜔 +

𝜕T𝑙

𝜕u∗𝑡

du∗

𝑡

d𝑡) D𝑇

𝑐H𝐼

1e𝐼

𝑖

− 𝑅𝑐e𝐼

𝑖+ (D𝐼

𝑐)𝑇

v𝑐

𝑐. (24)

Mit Hilfe des Stellgesetzes

v𝑐

𝑐= H𝐼

1[(D𝐼

𝑐)𝑇

D𝑐(𝜕T𝑙

𝜕𝜑𝜔 +

𝜕T𝑙

𝜕u∗𝑡

du∗

𝑡

d𝑡) D𝑇

𝑐H𝐼

1] e𝐼

𝑖

+H𝐼

1𝑅𝑐e𝐼

𝑖+H𝐼

1L𝐼

𝑐(−𝜆1e𝐼

𝑖− 𝜆0

𝑡

∫

0

e𝐼

𝑖d𝑡) (25)

wird mit 𝜆1, 𝜆0> 0 eine exponentiell stabile Fehlerdyna-

mik erreicht. In der praktischen Anwendung gestaltet sichdie Berechnung von L𝐼

𝑐und der Terme der ersten Zeile der

rechten Seite von (25) häufig als sehr aufwändig. Unter derAnnahme, dass der Stromregelfehler e𝐼

𝑖klein ist, kann ein

vereinfachtes Regelgesetz der Form

v𝑐

𝑐= H𝐼

1L𝐼

𝑐(−𝜆1e𝐼

𝑖− 𝜆0

𝑡

∫

0

e𝐼

𝑖d𝑡) (26)

angegeben werden, wobei häufig auch L𝐼𝑐durch eine kon-

stante mittlere Matrix L𝐼𝑐ersetzt wird. Wie in den folgen-

den Messergebnissen gezeigt wird, erreicht man trotz dergetroffenen Vereinfachungen eine sehr gute Regelgüte inder praktischen Anwendung.

3.2 Messergebnisse

Die Güte der entworfenen optimalen nichtlinearen Rege-lungsstrategie wird durch Messungen an einem Prüfstand





nachgewiesen. Die gesamte Regelungsstrategie bestehendaus der Berechnung der optimalen Ströme i𝐼∗

𝑐(Anzahl

der Iterationen 𝑛𝑖 = 2), der flachheitsbasierten Vorsteue-rung v∗

𝑐und dem Regler v𝑐

𝑐wurde dazu in einem dSPACE-

Echtzeitsystem ds1103 mit einer Abtastzeit𝑇𝑠= 200 μs im-

plementiert. Der Prüfstand besteht aus dem Prüfmotor,welcher über eine Momentenmesswelle mit einem Last-motor gekoppelt ist. Der Lastmotor (HarmonicDrive) wur-de in denVersuchen auf konstante Drehzahl (𝑛 = 4U/min)geregelt, während die betrachtete PSM auf das konstantegewünschte Sollmoment 𝜏∗ geregelt wurde. Es sei daraufhingewiesen, dass dieMomentenmessung nur zur Validie-rung der Momentenregelung dient, jedoch nicht in der Re-gelungsstrategie verwendet wurde.

Im Folgenden soll die Regelgüte der vorgeschlagenenRegelungsstrategie mit einer klassischen feldorientiertenMomentenregelung (dq0) verglichen werden. Die feldori-entierte Regelung basiert auf einem magnetisch linearenGrundwellenmodell, dasmit Hilfe der Blondel-Park Trans-formation in ein rotorfestes Koordinatensystem transfor-miert wurde. Obwohl mit diesem Modell weder der Ein-

Abbildung 2: Vergleich des gemessenen Spulenstromes 𝑖𝑐1und des Moments 𝜏 der optimalen nichtlinearen Regelungsstrategie (nichtlinear)

mit einem klassischen feldorientierten Regler (dq0) und der optimalen Regelungsstrategie unter Vernachlässigung der magnetischenSättigung (linear) für 𝜏∗ = 0 − 2 Nm.

fluss von magnetischer Sättigung noch das Rastmomentbeschrieben werden kann, liefert die darauf beruhendefeldorientierte Regelung in vielen praktischenAnwendun-gen gute Ergebnisse.

In Abbildung 2 sind die Ergebnisse der vorgeschla-genen nichtlinearen optimalen Momentenregelungsstra-tegie für Sollmomente von 𝜏∗ = 0Nm bis zum doppeltenNennmoment 𝜏∗ = 2Nm dargestellt. Die Ergebnisse für𝜏∗= 0Nm zeigen, dass mit der vorgeschlagenen Rege-

lungsstrategie eine sehr gute Unterdrückung des Rastmo-mentes möglich ist. Dies ist naturgemäßmit der feldorien-tierten Regelung nicht möglich, da das Grundwellenmo-dell diesen Effekt nicht berücksichtigt. Weiterhin sind inAbbildung 2 die Ergebnisse der in Abschnitt 3.1 entwickel-ten Regelungsstrategie unter Vernachlässigung der Sätti-gung (magnetisch linear) dargestellt. Die Ergebnisse dermagnetisch linearen Regelungsstrategie für 𝜏∗ = 0Nmsind nahezu identisch mit jenen der magnetisch nichtli-nearen Regelungsstrategie. Dies liegt daran, dass für ge-ringe Momente und damit geringe Bestromungen der Spu-len nur ein geringer Einfluss der Sättigung des Materi-





als vorhanden ist. Betrachtet man jedoch höhere Momen-te, so weichen die magnetisch lineare Regelungsstrate-gieunddie feldorientierteRegelungsstrategie imVergleichzur magnetisch nichtlinearen Regelungsstrategie stärkervom Sollmoment ab.

Die Messergebnisse zeigen damit die Vorteile der vor-geschlagenen Regelungsstrategie. In [29] wurde anhandvon weiteren Messungen die Tauglichkeit der optimalennichtlinearen Momentenregelungsstrategie auch für dy-namische Vorgaben des Sollmoments und höhere Dreh-zahlen nachgewiesen. Weiterhin konnten die Vorteile beiVerwendung der vorgeschlagenen Regelungsstrategie ineiner überlagerten Drehzahlregelung aufgezeigt werden.

4 PSMmit OberflächenmagnetenDer zweite in diesem Beitrag betrachtete Motor ist einePSMmit 9 Spulen und 10 Oberflächenmagneten (Polpaar-zahl𝑝 = 5), siehe Abbildung 3. Die Spulen von jeweils dreiaufeinanderfolgenden Zähnen des Stators sind in Serie ge-schaltet und die resultierenden Spulen 𝑎, 𝑏 und 𝑐 sind inStern mit isoliertem Sternpunkt geschaltet. Man beachte,dass diese PSM im Vergleich zur PSM mit eingebettetenMagneten keine Symmetrie aufweist.

Wendet man die Modellierung mittels Reluktanznetz-werken nach Abschnitt 2 an und eliminiert man dieZwangsbedingungen für den verketteten Fluss zufolge dermagnetischen Verschaltung, so kann die PSM wiederumdurch (9)mit demMoment𝜏 aus (2) dargestelltwerden.DieBerücksichtigung der elektrischen Verschaltung der Spu-len gestaltet sich etwas aufwändiger als bei der PSM miteingebetteten Magneten in Abschnitt 3. Definiert man dieelektrische Verschaltungsmatrix V⊥ wie in Abschnitt 2.2,so kann der Vektor der Spulenströme i

𝑐in den unabhän-

gigen Anteil i𝐼𝑐und den nicht frei vorgebbaren Anteil i⊥

𝑐in

der Form

i𝑐= H𝐼

2i𝐼

𝑐+H⊥

2i⊥

𝑐(27)

aufgespaltet werden. Darin ist H2= [H𝐼

2,H⊥

2] = T

−1

2die

Inverse von T𝑇2= [V𝐼,V⊥], wobei V𝐼 aus Vektoren, die

orthogonal auf V⊥ stehen, aufgebaut ist. Aus der elektri-schen Verschaltung der Spulen resultiert damit unmittel-bar i⊥𝑐= 0. Führt mandie Ersatzgrößen 𝑖

𝑎= 𝑖𝑐1= −𝑖𝑐2= 𝑖𝑐3,

𝑖𝑏= 𝑖𝑐4= −𝑖𝑐5= 𝑖𝑐6und 𝑖𝑐= 𝑖𝑐7= −𝑖𝑐8= 𝑖𝑐9ein, so folgt aus

der elektrischen Verschaltung i⊥

𝑐= 𝑖𝑎+ 𝑖𝑏+ 𝑖𝑐= 0 und

i𝐼

𝑐= [𝑖𝑎, 𝑖𝑏]𝑇.

Wie in Abschnitt 2.2 diskutiert und in [27, 28] imDetaildargestellt, impliziert die elektrische Verschaltung, dassder Teil ��𝐼

𝑐=H𝐼

2𝜓𝑐als Zustandgewähltwerdenkann,wäh-

rend der Teil ��⊥𝑐= H⊥

2𝜓𝑐als zusätzliche Lösung des nicht-

Abbildung 3: Schnitt durch die betrachtete PSM mitOberflächenmagneten [27].

linearen algebraischen Gleichungssystems (9c) resultiert.Verwendet man𝜓

𝑎= 𝜓𝑐1−𝜓𝑐2+𝜓𝑐3,𝜓𝑏= 𝜓𝑐4−𝜓𝑐5+𝜓𝑐6

und𝜓𝑐= 𝜓𝑐7−𝜓𝑐8+𝜓𝑐9, so ergibt sich ��𝐼

𝑐= [𝜓𝑎−𝜓𝑐, 𝜓𝑏−

𝜓𝑐]𝑇. Die transformierte Differentialgleichung (9a) errech-

net sich damit in der Formd

d𝑡��𝐼

𝑐= −R

𝐼

𝑐i𝐼

𝑐+ v𝐼

𝑐(28)

mit v𝐼𝑐= [𝑣𝑎−𝑣𝑐, 𝑣𝑏−𝑣𝑐]𝑇, wobei𝑣

𝑎= 𝑣𝑐1−𝑣𝑐2+𝑣𝑐3,𝑣𝑏= 𝑣𝑐4−

𝑣𝑐5+𝑣𝑐6und 𝑣

𝑐= 𝑣𝑐7−𝑣𝑐8+𝑣𝑐9die Anschlussspannungen

der PSM bezeichnen. Weiterhin ist R𝐼𝑐die transformierte

Widerstandsmatrix, die sich mit demWiderstand 𝑅𝑐einer

Einzelzahnspule zu

R𝐼

𝑐= [

6𝑅𝑐3𝑅𝑐

3𝑅𝑐6𝑅𝑐

] (29)

ergibt. Wie im Folgenden kurz zusammengefasst, kannfür denReglerentwurf dieursprünglicheFormulierungdesnichtlinearen algebraischen Gleichungssystems (9c) ver-wendet werden, womit die betrachtete PSM mit Oberflä-chenmagneten durch (28), (9c) und (2) beschrieben wird.Für einedetaillierteBeschreibungderModellierung sei auf[27] verwiesen.

4.1 Optimale Momentenregelung

Die Vorgehensweise der optimalen Momentenregelungaus Abschnitt 3.1 kann direkt auf die PSM mit Oberflä-chenmagnetenübertragenwerden.Dazuwerden imerstenSchritt die optimalen Ströme i

𝐼∗

𝑐als Lösung der Optimie-

rungsaufgabe

mini𝐼𝑐,u

𝑡𝑔

1

2( i𝐼

𝑐)𝑇

Q i𝐼

𝑐(30)





mit den nichtlinearen Gleichungsnebenbedingungen

𝑔 = 𝜏 ( i𝐼

𝑐, u𝑡𝑔) − 𝜏∗= 0 (31a)

h = [D𝑔G𝑐D𝑇

𝑐H𝐼

2,G𝑡+ D𝑔G𝑐D𝑇

𝑔] [

i𝐼

𝑐

u𝑡𝑔

] (31b)

+ D𝑔G𝑐D𝑇

𝑚u𝑡𝑚= 0

bestimmt. Die resultierenden optimalen Stromverläufei𝐼∗

𝑐für unterschiedliche Sollmomente 𝜏∗ von 0Nm bis

25Nm (ca. fünffaches Nennmoment) zeigen ein ausge-prägtes Grundwellenverhalten, sodass sie sich sehr gutdurch

i𝐼∗

𝑐≈ 𝑖∗(𝜏∗)T𝑐𝑖(𝜑) = 𝑖

∗[

cos (𝑝 (𝜑 − 𝜑0))

cos (𝑝 (𝜑 − 𝜑0) +2𝜋

3)] (32)

approximieren lassen. Der Winkel 𝜑0ergibt sich aus den

optimalen Stromverläufen zu 𝜑0= 40∘+ 18∘sign(𝜏

∗), sie-

he [28] für eine detaillierte Darstellung der Ergebnisse derOptimierungsaufgabe.

Im Vergleich zu der in Abschnitt 3 betrachteten PSMmit eingebetteten Magneten zeigt diese PSM mit Oberflä-chenmagneten damit ein für den Reglerentwurf angeneh-meres Verhalten, da die wesentlichen Größen der PSMdurch die entsprechende Grundwelle approximiert wer-den können. Man beachte aber, dass nach wie vor die ma-gnetische Sättigung einen maßgeblichen Einfluss auf dasVerhalten der PSM hat, was unter anderem durch den Zu-sammenhang zwischen der optimalen Amplitude 𝑖

∗ unddem resultierenden Moment 𝜏∗ in Abbildung 4 klar er-sichtlich ist. Die betrachtete PSM zeigt dabei, ausgehendvon einem nahezu linearen Zusammenhang zwischen 𝜏∗

und 𝑖∗ bei kleinen Strömen, ein zunehmend nichtlinea-

res Verhalten bei höheren Momenten. Wenngleich damitder Bereich des Nennmomentes von 5Nm näherungs-weise durch ein magnetisch lineares Modell approximiertwerden könnte, werden PSM der betrachteten Bauformdynamisch mit mehr als dem fünffachen Nennmomentbetrieben, wo diese Näherung nicht mehr gültig ist unddamit klassische Regelungsstrategien basierend auf dq0-Modellen häufig eine schlechte Regelgüte aufweisen.

Geht man im Weiteren von der optimalen Lösung i𝐼∗

𝑐

aus, so können die zugehörigen optimalen Verläufe derverketteten Flüsse ��𝐼∗

𝑐wiederum durch die Grundwellen

approximiert werden, d.h.

��𝐼∗

𝑐= ��∗[

sin (𝑝 (𝜑 − 𝛥𝜑∗))

sin (𝑝 (𝜑 − 𝛥𝜑∗+ 𝜑1))] . (33)

Im Vergleich zu den optimalen Strömen sind sowohl dieAmplitude ��∗ als auch die Phasenverschiebung 𝛥𝜑 nicht-lineare Funktionen des Sollmoments 𝜏∗ und damit der

Abbildung 4: Optimale Strom-Momentencharakteristik der PSM mitOberflächenmagneten.

Amplitude 𝑖∗, d.h. ��∗ = ��∗ ( 𝑖∗) und𝛥𝜑∗ = 𝛥𝜑∗ ( 𝑖∗). Die-

se optimalen Verläufe können für die spätere Implemen-tierung einfach in Form von Polynomen approximiert wer-den. Die Komponenten von ��𝐼∗

𝑐weisenweiterhin eine kon-

stante Phasenverschiebung von 𝜑1= 12∘ auf.

Verwendet man diese Zwischenergebnisse in (28), sokann aus

d

d𝑡��𝐼∗

𝑐=𝜕��𝐼∗

𝑐

𝜕 𝑖∗

d

d𝑡

𝑖∗+𝜕��𝐼∗

𝑐

𝜕𝜑𝜔 = −R

𝐼

𝑐i𝐼∗

𝑐+ v𝐼∗

𝑐(34)

direkt der zugehörige Vektor der optimalen Spannungenv𝐼∗

𝑐ermittelt werden. Für die Erweiterung der optimalen

(flachheitsbasierten) Vorsteuerung um einen Trajektori-enfolgeregler wird die Stellgröße v𝐼

𝑐als Summe der Vor-

steuerung v𝐼∗𝑐

und des Regleranteils v𝐼𝑐𝑐

angesetzt, vgl.Abschnitt 3.1. Der Trajektorienfolgefehler der verkettetenFlüsse kann durch Verwendung von

��𝐼

𝑐− ��𝐼∗

𝑐≈𝜕��𝐼∗

𝑐

𝜕 i𝐼∗𝑐

e𝐼

𝑖= L𝐼

𝑐e𝐼

𝑖(35)

als Funktion der transformierten differentiellen Induktivi-tätsmatrix L𝐼

𝑐und des Stromfehlers e𝐼

𝑖= i𝐼

𝑐− i𝐼∗

𝑐approxi-

miert werden. Damit wird die Dynamik des Stromfehlersmit (34) und (28) in der Form

L𝐼

𝑐

d

d𝑡e𝐼

𝑖= −(

𝜕L𝐼

𝑐

𝜕 𝑖∗

d

d𝑡

𝑖∗+𝜕L𝐼

𝑐

𝜕𝜑𝜔) e𝐼

𝑖− R𝐼

𝑐e𝐼

𝑖+ v𝐼𝑐

𝑐(36)

beschrieben. Wählt man in Analogie zu (25) einen Reglerder Form

v𝐼𝑐

𝑐=(

𝜕L𝐼

𝑐

𝜕 𝑖∗

d

d𝑡

𝑖∗+𝜕L𝐼

𝑐

𝜕𝜑𝜔) e𝐼

𝑖+ R𝐼

𝑐e𝐼

𝑖

+ L𝐼

𝑐(−𝜆1e𝐼

𝑖− 𝜆0

𝑡

∫

0

e𝐼

𝑖d𝑡) (37)





mit positiven Reglerkoeffizienten 𝜆1, 𝜆0> 0, so ist die re-

sultierende Dynamik des Stromfehlers exponentiell sta-bil. Für die betrachtete PSM gilt, dass 𝜕L𝐼

𝑐/𝜕 𝑖∗ und 𝜕L𝐼

𝑐/𝜕𝜑

klein sind, weswegen unter der Annahme, dass e𝐼𝑖eben-

falls klein ist, für die praktischeAnwendungwiederumeinvereinfachtes Stellgesetz der Form

v𝐼𝑐

𝑐= R𝐼

𝑐e𝐼

𝑖+ L𝐼

𝑐(−𝜆1e𝐼

𝑖− 𝜆0

𝑡

∫

0

e𝐼

𝑖d𝑡) (38)

zu nahezu gleichen Ergebnissen wie (37) führt. Man be-achte, dass die transformierte differentielle Induktivitäts-matrix L𝐼

𝑐in (38) noch immer eine nichtlineare Funktion

der optimalen Stromamplitude 𝑖∗ bzw. des optimalen Mo-

ments 𝜏∗ ist, womit sich hier ebenfalls der Einfluss derma-gnetischen Sättigung zeigt.

Zusammenfassend zeigen die Ergebnisse dieses Ab-schnittes, dass ausgehend von der relativ allgemeinenoptimalen Momentenregelungsstrategie aus Abschnitt 3.1

Abbildung 5: Vergleich der nichtlinearen Regelungsstrategie mit der feldorientierten Regelung (dq0) für einen Umkehrversuch mit 25Nm:(a) Momente, (b) Drehzahlen, (c), (e) Ströme und Spannungen der nichtlinearen Regelungsstrategie, (d), (f) Ströme und Spannungen derfeldorientierten Regelung.

eine vereinfachte Regelungsstrategie für die betrachtetePSMmit Oberflächenmagneten ermittelt werden kann, dadie wesentlichen Größen dieses Motors sehr gut durch diezugehörige Grundwelle approximiert werden können.

4.2 Messergebnisse

Die Güte der entworfenen Momentenregelungsstrategiefür die PSM mit Oberflächenmagneten wird anhand vonMessergebnissen an einem Prüfstand analysiert. Der Prüf-stand besteht aus einer PSMdie direkt eine Schwungschei-be antreibt. Um den Einfluss der magnetischen Sättigungauf die Regelgüte zu untersuchen, werden im WeiterenMessungen mit Sollmomenten 𝜏

∗, die wesentlich überdem Nennmoment von ca. 5Nm liegen, durchgeführt.Man beachte, dass der Motor thermisch nicht für einenlängeren Betrieb mit Momenten größer demNennmomentausgelegt ist. Daher ist es im Gegensatz zu Abschnitt 3.2





nicht möglich die Genauigkeit der Momentenregelung mitHilfe eines Lastmotors und einer Messwelle bei geringenDrehzahlen von 4 U/min zu vermessen. In der für die Mes-sung einer Umdrehung desMotors benötigten Zeit würdendie Temperaturen des Motors die zulässigen Grenzen beiWeitem überschreiten. Eine Erhöhung der Drehzahl desLastmotors ist jedoch aufgrund der resultierenden mecha-nischen Vibrationen nicht zielführend.

Aus diesem Grund werden in diesem Abschnitt Mes-sungen eines Umkehrversuchs dargestellt, bei dem derMotor zuerst mit 25 Nm auf ca. 1500U/min beschleunigt,anschließend mit −25Nm abgebremst und auf −1500U/minbeschleunigt und schließlichwiederummit 25Nmbis zum Stillstand abgebremst wird, siehe Abbildung 5(a) und (b). In dieser Abbildung sind die Ergebnisse dervorgeschlagenen Momentenregelungsstrategie (nichtline-ar) jenen einer klassischen feldorientierten Regelung ge-genübergestellt. Man erkennt eine sehr hoheMomentenre-gelgüte mit geringen Abweichungen vom Sollwert für dienichtlineare Regelungsstrategie über den gesamten Dreh-zahlbereich. Die feldorientierte Regelung zeigt hingegenein sehr schlechtes Ergebnis mit Momentenfluktuationenvon bis zu 5Nm. Diese Fehler resultieren direkt aus denFehlern in der Regelung des Stromes, siehe Abbildung 5(d) und (f). Offensichtlich führt hier die Vernachlässigungder magnetischen Sättigung zu einem nahezu instabilenVerhalten der feldorientierten Regelung. Im Vergleich da-zu zeigen die Verläufe der Ströme und Stellgrößen dermit der nichtlinearen Regelung betriebenen PSM in Abbil-dung 5 (c) und (e) eine ausgezeichnete Regelgüte.

5 ZusammenfassungIn diesem Beitrag wurde eine optimale flachheitsbasier-te Momentenregelungsstrategie für PSM mit ausgepräg-ter magnetischer Sättigung und nicht sinusförmigen cha-rakteristischen Größen vorgestellt. Die Basis dieser Rege-lungsstrategie bildet die Beschreibung der Motoren durchReluktanzmodelle, welche die systematische Berücksich-tigung dieser Effekte erlauben. Die vorgeschlagene Metho-dikwurdeanzwei BauformenvonPSMangewandtundan-hand von Messergebnissen an einem Prüfstand validiert.Der Vergleich der Ergebnisse mit jenen einer feldorientier-ten Regelung zeigt eine wesentliche Verbesserung der Re-gelgüte.

In der in diesem Beitrag beschriebenen Regelungs-strategie wurde die Beschränkung der Stellgrößen, d.h.der Spannungen nicht berücksichtigt. Daher beschäftigensich die aktuellen Forschungsarbeiten mit einer Erweite-rung der Ergebnisse auf den Feldschwächbetrieb, wobei

für die PSMmit Oberflächenmagneten bereits erste Ergeb-nisse vorhanden sind. Weiterhin bietet sich eine Erweite-rung der Methoden auf andere Motorkonstruktionen wieSynchronreluktanzmotoren oder Asynchronmotoren an.Schließlichwird aktuell dieAnwendungderReluktanzmo-dellierung von elektrischen Motoren in einer modellprä-diktiven Regelung untersucht.

Danksagung: Die Autoren bedanken sich bei der FirmaBernecker&Rainer Industrie Elektronik GmbH für die fi-nanzielle Unterstützung der Forschungsarbeiten.

Symbolverzeichnis𝜓𝑐

verkettete Flüsse der Spulen𝛥𝜑 Relativwinkel der optimalen verketteten Flüsse𝑖 Amplitude der Spulenströme𝜆0, 𝜆1

ReglerkoeffizientenD InzidenzmatrixD𝑇 = [D𝑇

𝑐,D𝑇

𝑚,D𝑇

𝑔]

G𝑐

Permeanzmatrix des KobaumsG𝑡

Permeanzmatrix des Baumsi𝑐

SpulenströmeL𝐼

𝑐transformierte Induktivitätsmatrix

R𝑐

Widerstandsmatrix der Spulen R𝑐= diag(𝑅

𝑐)

T1

Transformationsmatrixu𝑡

magn. Spannungen der Baumelementeu𝑡𝑔

magn. Spannungen der Permeanzen des Baumsu𝑡𝑚

magn. Spannungen der PermanentmagneteV⊥ elektr. Verschaltungsmatrixv𝑐

Spulenspannungenv∗

𝑐Vorsteuerungsanteil der Spulenspannung

v𝑐

𝑐Regleranteil der Spulenspannung

𝜏 Drehmoment𝜑 Drehwinkel des Rotors𝜑0

Relativwinkel der optimalen Ströme𝑝 Polpaarzahl𝑇𝑠

Abtastzeit des Reglers

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AutoreninformationenDr.Ing. Wolfgang KemmetmüllerInstitut für Automatisierungs- undRegelungstechnik, Technische UniversitätWien, Gusshausstrasse 27–29, 1040 [email protected]

Wolfgang Kemmetmüller ist Assistenzprofessor am Institut fürAutomatisierungs- und Regelungstechnik der TU Wien. Die For-schungsgebiete umfassen die physikalisch basierte Modellierungund nichtlineare Regelung von mechatronischen Systememmiteinem Schwerpunkt auf elektrohydraulischen und elektromagneti-schen Aktoren.





Dipl.-Ing. David FaustnerInstitut für Automatisierungs- undRegelungstechnik, Technische UniversitätWien, Gusshausstrasse 27–29, 1040 [email protected]

David Faustner studierte Elektrotechnik an der TU Wien undist seit 2011 wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut fürAutomatisierungs- und Regelungstechnik der TU Wien. Sein For-schungsgebiet umfasst die physikalisch basierte Modellierung undnichtlineare Regelung von elektrischen Maschinen.

Univ.Prof. Dr.techn. Andreas KugiInstitut für Automatisierungs- undRegelungstechnik, Technische UniversitätWien, Gusshausstrasse 27–29, 1040 [email protected]

Andreas Kugi ist Vorstand des Instituts für Automatisierungs- undRegelungstechnik an der TU Wien. Seine Forschungsgebiete um-fassen die physikalisch basierte Modellierung und Regelung von(nichtlinearen) mechatronischen Systemen, differentialgeometri-sche und optimierungsbasierte Methoden der nichtlinearen Re-gelungstechnik sowie die Regelung von Systemen mit verteiltenParametern. Er ist an einer Vielzahl von Industrieprojekten betei-ligt, im Speziellen im Bereich der Automatisierung im Stahlbereich.Prof. Kugi ist Editor-in Chief des IFAC Journals Control EngineeringPractice und wirkliches Mitglied der österreichischen Akademie derWissenschaften.




optimale nichtlineare regelung von permanenterregten ... · gen des aktors häug nicht der gesamte...

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