om treca cetvrta peta nedelja nastave 10

8/18/2019 OM Treca Cetvrta Peta Nedelja Nastave 10

1/28

30

Трећа, четврта и пета недеља наставе

UОСНОВНА НАПРЕЗАЊА

1. НАПРЕЗАЊЕ У ПОДУЖНОМ ПРАВЦУ

(АКСИЈАЛНО НАПРЕЗАЊЕ)

Ово је случај напрезања при којем се у попречном пресеку конструктивног елемента појављују само подужне силе. Линијски носач може бити оптерећен подужном силом (N – нормалном на попречни пресек ) која може бити константног, или променљивог интензитета дуж штапа (греде). Дакле,

разликују се два случаја: када је N = const и када је N ≠ const.

...................................................................................................................................

ПРЕСЕЧНЕ СИЛЕ

У општем случају, нападна величина у произвољном попречном пресеку (подужна сила) и попречни пресек штапа, су функције координате z у правцу осе штапа, односно:

N = N (z), A = A (z).

Дакле, подужна сила је различита од нуле, што се не може рећи и за остале пресечне величине, односно:

N ≠≠≠≠ 0, TBxB = TByB = MBxB = MByB = MBtB = 0. (1)

Да бисмо поставили једначине равнотеже за произвољни попречни пресек ,дефинисане изразима у претходном потпоглављу, поред основних претпоставки отпорности материјала које смо већ навели, увешћемо још три допунске претпоставке:


2/28

31

1. Претпоставка о напонима:

• σBzB ≠ 0.

• τBzxB = τBzyB = 0.

2. Претпоставка о деформацијама (претпоставка о равним попречним пресецима):

Пре деформације попречни пресеци су равни и управни на подужну осу штапа. После деформације, попречни пресеци остају равни и управни на подужну осу штапа.

Уопштено се може написати:

• ε B z B (x, y, z) = ε B z B (z) – деформација се мења по дужини z ,

• ε B z B (x, y) = const – за одређено z деформација је том попречном пресеку је константна,

• γ B

zx B

= γ B

zyB

= 0 – нема клизања у равнима zx и zy .

3. Веза напона и деформације Важи Хуков закон:

• σ B z B = Е ⋅ ε B z B,

• σ B z B (x, y, z) = Е ⋅ ε B z B (z) = σ B z B (z) – напон се мења од пресека до пресека по дужини z,

• σ B z B (x, y) = const – за одређено z напон је у том попречном пресеку је константан.

Услови равнотеже

Продискутоваћемо услове равнотеже за случај напрезања у подужном правцу, а Uу случајуU када је величина површине попречног пресека штапа,Uповршина А = const U:

1. 0==∫ A

x zx T dAτ ,

2. 0==∫ A

y zy T dAτ ,

3. ( ) z N dA A

z∫ =σ ,

4. 0==⋅∫ A

x z M dA y σ ,

5. 0==⋅− ∫ A

y z M dA x σ ,

6. ( ) 0==⋅−⋅∫ A

t zx zy M dA y x τ τ . (2)


3/28

32

Анализирајмо трећу, четврту и пету једначину.Размотримо прво трећу једначину равнотеже. Ако је:

( ) z z z σ σ = ,

онда је:

( ) ( ) z N dA z A

z =∫σ , (3)

па је према томе могуће одредити израз за нормални напон у произвољном попречном пресеку:

( ) ( )

A

z N z z =σ . (4)

Четврта и пета једначина нам дају услове под којима важи да су моменти једнаки нули.

00 =⇒==⋅=⋅∫ ∫ x A A

x z z z S S dA ydA y σ σ σ и

00 =⇒==⋅=⋅∫ ∫ y A A

y z z z S S dA xdA x σ σ σ . (5)

Ове две једначине нам показују да x и y осе морају бити тежишне осе попречног пресека, што наводи на закључак да подужна сила N мора да делује у тежишту попречног пресека штапа.

Посматрајмо сада штап Uпроменљивог попречног пресека А = А (z)U који је оптерећен затежућом силом N (на слици дата као сила интензитета F ).

Уочимо на удаљењу z од левог краја штапа елемент дужине dz . Издужење

елемента дужине dz под дејством затежуће силе биће ∆ (dz ).Из израза

( ) ( )

( ) z A

z N z z =σ , следи

( ) ( ) ( )

( ) z A E

z N

E

z z z z

⋅==

σ ε . (6)


4/28

33

Како је:

( ) ( ) dz zdzdz

dz z z z ⋅=∆⇒

∆= ε ε , онда је на дужини дела распона штапа z

могуће наћи издужење према обрасцу:

( )( )∫∫∫ ⋅

==∆=∆ z z

z

z

dz z A E

z N dzdz z

000

ε , (7)

а за цео штап дужине l , издужење штапа рачунамо према обрасцу:

( )( )∫∫∫ ⋅

==∆=∆ll

z

l

dz z A E

z N dzdzl

000

ε (8)

Ако је N = const, A = const, претходно изведени изрази се поједностављују:

A

N =σ ,

A E

N

⋅=ε ,

z A E

N z z ⋅

⋅=⋅=∆ ε ,

l A E

N ll ⋅

⋅=⋅=∆ ε . (9)

Величину ( Е ⋅ ⋅⋅ ⋅ А ) / l називамо подужна (аксијална) крутост.

У случају штапа степенастог попречног пресека укупне дужине l,

издужење штапа може се изразити као збир појединачних издужења сваког сегмента штапа

∑⋅

⋅=∆

ii

ii

A E

l N l . (10)

...................................................................................................................................


5/28

34

ПРОВЕРА И ДИМЕНЗИОНИСАЊЕ ПОДУЖНО НАПРЕГНУТИХ ШТАПОВА

• провера чврстоће

( )

( ) d z z A z N

σ σ ≤

=

maxmax , (11)

• провера крутости

( )( ) d z z A E

z N ε ε ≤

⋅=

max

max , (12)

• провера носивости

( ) ( ) d z A z N σ ⋅≤ , (13)

• димензионисање

( ) ( )

d

z N z A

σ ≥ , што се за константан попречни пресек ( А = const) своди на

d

N A

σ

max≥ . (14)

SAINT–VENANT– ов ПРИНЦИП И КОНЦЕНТРАЦИЈА НАПОНА

Изведени образац за σ B z B важи само за попречне пресеке довољно удаљене од места деловања концентрисане силе. Погледајмо неки реалан изглед конструктивног елемента који је оптерећен подужном силом.


6/28

35

Уочимо зону штапа блиску околини тачке уноса оптерећења.

Ако је тело оптерећено статички еквивалентним сиситемима сила ( једнаких главних вектора и главних момената), а димензије области деловања силе су мале у поређењу са димензијама тела, онда ће у пресецима довољно удаљеним од места деловања силе, расподела напона веома мало зависити од начина уношења силе.

Вратимо се сада нашем конструктивном елементу реалног изгледа.

Сен – Венанов принцип

Оваква разматрања су уобличена дефиницијом која се назива Сен -Венанов принцип: При удаљавању од тачке деловања силе, неравномерна расподела напона постепено тежи равномерној расподели.

Не постоји никакав општи теоријски доказ Сен – Венановог принципа, али је он потврђен многобројним експериментима.

При наглим променама димензија попречних пресека, мора се водити рачуна о концентрацији напона. Теоријска и експериментална истраживања показују да у зонама где долази до нагле промене димензија попречних пресека (као што су разни зарези, отвори различитих облика, места нагле закривљености, места контакта два елемента који међусобно делују један на други) долази до локалног повећања напона.


7/28

36

...................................................................................................................................

УТИЦАЈ ТЕМПЕРАТУРСКИХ РАЗЛИКА

Уколико се штап изложи само утицају неке промене температуре, доћи ће до промене његове дужине. Физичка карактеристика материјала којом се

приказује осетљивост материјала на промене температуре назива се температурски коефицијент (коефицијент линеарног термичког ширења),

који се обележава са αααα (αt).Експериментом је утврђено да је у том случају подужна деформација пропорционална промени температуре, односно

( ) T z z ∆⋅=α ε . (15)

Размотримо два случаја:1. Штап је ослоњен на једном крају, други крај је слободан, нема

механичких сила, односно ∆Т ≠ 0, а N = 0,2. Штап је ослоњен на једном крају, други крај је слободан, делују и

механичке силе, односно ∆T≠ 0 и N≠ 0.

• ∆∆∆∆Т ≠≠≠≠ 0, а N = 0

Дилатација штапа дефинисана је изразом (15).

Померања попречних пресека су:

T zdzT dz z

z z

z ∆⋅⋅=⋅∆⋅=⋅=∆ ∫∫ α α ε 00

(на произвољном месту),

T ldzT l

l

∆⋅⋅=⋅∆⋅=∆ ∫ α α 0

( на слободном крају). (16)


8/28

37

Коефицијент линеарног температурског издужења αααα [[[[КP-1

P]]]] за челик износи

α = 12 ⋅ 10 P6P K P-1P, а модул еластичности Е = 21000 kN/cm P2P.Овде треба приметити да при овом случају оптерећења не важи Хуков закон. Услед промене температуре долази само до појаве дилатација и не појављују се напони.

Коментар: У случају да је штап ослоњен на оба краја и изложен промени температуре, у ослонцима се појављују и механичке силе, а тиме и нормални напон. Тада проблем постаје статички неодређен и разматраће се касније.

• ∆∆∆∆T≠≠≠≠ 0 и N≠≠≠≠ 0

Ако је познато:

UA (z), N (z), ∆Т ≠ const U или UN = const, A = const, ∆Т =const

напон и дилатацију израчунавамо на следећи начин:

( )

( ) z A

z N z =σ ,

A

N =σ ,

( ) ( ) ( )

( ) T

z EA

z N T

E

z z z z ∆⋅+=∆⋅+= α α

σ ε , T

EA

N ∆⋅+= α ε ,

( )( )

dz

00

∫∫

∆⋅+=⋅=∆

z z

z T z EA

z N dz z α ε , T z z

EA

N z ∆⋅⋅+⋅=∆ α ,

( )

( ) dz00 ∫∫

∆⋅+=⋅=∆

ll

z T z EA

z N dzl α ε .(17) T ll EA

N l ∆⋅⋅+⋅=∆ α . (18)

...................................................................................................................................

Осим температурских разлика, подужно напрезање штапа могу да изазову и запреминске силе као што су:

- СОПСТВЕНА ТЕЖИНА (вертикални штап) и - ЦЕНТРИФУГАЛНА СИЛА.

Утицај сопствене тежине

За штап константног попречног пресека A (z) = A = const, укупна тежина штапа Q износи

Q = γ ⋅ A ⋅ l

де су:

- γ – специфична тежина материјала,- l – дужина штапа.


9/28

38

Напон и деформације се могу израчунати према изразима:

( ) ( )

−⋅=−⋅=

l

z

A

Q zl z z 1γ σ ,

( ) ( )

−⋅

⋅=−⋅=

l

z

A E

Q zl

E z z 1

γ ε ,

( )

−⋅⋅

⋅⋅

⋅=−=∆ ∫

l

z

l

z

A E

lQdz zl

E z

z

22

0

γ ,

22

l

A E

Q

A E

lQl ⋅

⋅=

⋅⋅

⋅=∆ . (19)

Последњу формулу можемо да прочитамо и на следећи начин: укупно издужење штапа дужине l од сопствене тежине, једнако је издужењу штапа дужине l /2 од оптерећења вредности Q (тежина целог штапа ) које делује на

крају штапа дужине l /2.

Утицај центрифугалне силе

Веома велики број машинских делова је током живота и рада неке конструкције, изложен дејству центрифугалних сила (запреминска сила). Као пример поменимо лопатицу турбине (попречног пресека А), при чему се коло

турбине обрће угаоном брзином ω.

Укупно издужење лопатице дужине l износи

E

ll

⋅

⋅⋅=∆

3

32ω ρ , (20)

где је ρ густина материјала.

Утицај сопствене тежине и центрифугалне силе је детаљно разматран у уџбенику.


10/28

39

ПОЈАМ СТАТИЧКЕ НЕОДРЕЂЕНОСТИ

Конструкција је статички одређена ако је све реакције веза (као и све силе у пресецима), дакле све статички непознате величине, могуће одредити из статичких услова равнотеже.

За неку конструкцију кажемо да је статички неодређена, ако је укупан број непознатих величина већи од броја расположивих статичких услова ( једначина) равнотеже. Односно, ако се уведу ознаке:

- n - број непознатих величина (отпори ослонаца, реакције веза)- s - број статичких услова равнотеже,

тада је k = n – s , где је - k - број сувишних (прекобројних) веза, односно k показује колико је

пута систем статички неодређен.

Значи, ако је за одређивање непознатих величина, осим статичких услова

равнотеже, неопходно поставити и k допунских услова, који произилазе из геометријских услова деформације посматране структуре, за систем кажемо да је статички неодређен.

.

..................................................................................................................................

План померања


11/28

40

НАПОНИ У КОСОМ ПРЕСЕКУ ПОДУЖНО НАПРЕГНУТОГ ШТАПА

Да би одредили напоне у неком произвољном косом пресеку штапа,уочићемо један коси попречни пресек подужно затегнутог штапа, који

припада равни одређеној нормалом n.

Напони у косом пресеку подужно напрегнутог штапа

Раздвојићемо штап по овом пресеку на два дела. На месту пресецања појавиће се унутрашње силе које представљају утицај уклоњеног дела на део који се посматра (види доњу слику). Те реалне унутрашње силе, сада имају улогу замишљених (фиктивних) спољашњих сила. Ако се цео систем претходно налазио у стању равнотеже, и овај новоформирани систем мора да се налази у стању равнотеже.

Анализа напонског стања у косом пресеку затегнутог штапа

Потражимо услове равнотеже за овако изабрани елементарни део штапа:

∑ =−= 0cos :0 n ϕ σ σ z zni dAdA N ,∑ =−= 0sin :0 n ϕ σ z zni dAdAT . (1)

Вредности напона у косом пресеку добијамо у облику:

( )ϕ σ ϕ σ σ 2cos12

1cos

2 +== z zn ,

ϕ σ ϕ ϕ σ τ 2sin2

1cossin z zn =⋅= . (2)


12/28

41

Анализирајмо добијене једначине (2) и продискутујмо када ће ови напони имати највеће вредности:

( ) max 0 znn σ ϕ σ σ ===

24

max

znn

σ π ϕ τ τ =

== . (3)

Какве ће вредности имати нормални напони на месту где су смичући напони максимални и обрнуто? Види се:

24

zn

σ π σ =

,

( ) 00 =nτ . (4)

Уочимо један произвољно мали призматични елемент подужно напрегнутог штапа, у равни zy , чије су странице дефинисане ортовима нормала

n и,n, 4321 nn са одговарајућим нормалним напонима σ n1, σ n2 , σ n3 , σ n4 и

напонима смицања τ n1, τ n2 , τ n3 , τ n4 који делују дуж тих страна.

Стање равнотеже произвољног елемента подужно напрегнутог штапа

Користећи чињеницу да између углова које заклапају нормале in са осом z

штапа, постоје зависности: ϕ 1 = ϕ , ϕ 2 = ϕ + π ⁄ 2, ϕ 3 = ϕ + π , ϕ 4 = ϕ + 3π ⁄ 2,добијамо:

31 nn σ σ = и 42 nn σ σ = ,

τ τ τ τ τ =−==−= 4321 nnnn . (5)

Да би посматрани елемент био у стању равнотеже, неопходно је да буду задовољена два горе наведена услова.

Израз τ τ τ τ τ =−==−= 4321 nnnn назива се став о коњугованости напона

смицања.


13/28

42

РАВНО СТАЊЕ НАПОНА

Општи случај напрезања плочастог елемента оптерећеног у својој равни

Посматрани елемент је сведен на случај елемента оптерећеног у својој равни на затезање или притисак (напрезање у два правца), као и елемент оптерећен дуж својих ивица на смицање (чисто смицање). У случају да се

може увести претпоставка о равномерној расподели напона по дебљини овако дефинисаног елемента, одговарајуће напонско стање називамо равно стање напона.

НАПРЕЗАЊЕ У ДВА ПРАВЦА

• Анализа стања напона

Оставља се за касније.

• Анализа деформација

xε = E

xσ +

−

E

yσ ν

yε =

−

E

xσ ν + E

yσ

Односно, краће:

( )

( )

.0

,1

,1

=

+⋅−=

⋅−=

xy

y x y

y x x

E

E

γ

σ σ ν ε

σ ν σ ε

(6)

...................................................................................................................................


14/28

43

ЧИСТО СМИЦАЊЕ

• Анализа напона при чистом смицању

Аналогно анлизи напона у косом пресеку подужно напрегнутог штапа добијају се изрази:

1. ( ) ( ) ,0cossdAsincosdA :0 n =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=∑ ϕ ϕ τ ϕ ϕ τ σ indA N i 2. ( ) ( ) .0sinsdAcoscosdA :0 n =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=∑ ϕ ϕ τ ϕ ϕ τ indAT i (7)

Из ове две једначине следи:

ϕ τ ϕ ϕ τ σ 2sincossin2 ⋅−=⋅⋅⋅−=n ,

ϕ τ ϕ ϕ τ τ 2cossincos22 ⋅=−=n , (8)

Продискутујмо добијене једначине:

2

и0за:0 π

ϕ ϕ σ ===n ;

4

за :maxπ

ϕ τ σ m=±=n ;

4 за:0 π ϕ τ ±==n ;

2 и 0 за :max

π ϕ ϕ τ τ ==±=n .

При чистом смицању у равнима заокренутим за ϕ = ± π ⁄ 4, а у односу на уочени подужни правац, појавиће се само нормални напони који су

међусобно једнаки и интензитета τ . Уочава се по једном правцу затезање, а по другом притисак . Односно, у равнима највећег напона смицања нема нормалних напона. Овакво стање напрезања назива се чисто смицање.На основу израза (6), ако дуж x имамо затезање, а дуж y осе притисак , добија се:

( )

.0

,1

,

=

+=−=

=−=

xy

y x

y x

E

γ

ν σ

ε ε

σ σ σ

(9)

• Анализа деформација при чистом смицању

Уочимо један плочасти елемент квадратног облика који се налази у стању напрезања на чисто смицање.

Облик деформисаности елемента при чистом смицању


15/28

44

Подсетимо се да је:

( )ε ±⋅=

∆±⋅=∆± 11 d

d

d d d d ,

па можемо написати:

( )

( ) ε ε

ε

ε γ π

+

−=+⋅

−⋅===

− 1

1

1

1

'

''

2'

2''

24 d

d

d

d

d

d tg . (10)

Због претпоставке о малим деформацијама, промена правог угла за

величину γ је веома мала, па се може усвојити 22

γ γ ≈tg . Следи:

γ

γ

γ

γ

γ π

γ π

γ π

+

−≈

+

−=

⋅+

−=

−

2

2

21

21

241

24

24tg

tg

tgtg

tgtg

tg , (11)

односно:

γ

γ

ε

ε

+

−=

+

−

2

2

1

1, (12)

одакле следи да је угао клизања γ γγ γ :

ε γ ⋅= 2 . (13)

Применом израза (9) добија се веза

( ) γ γ

ν τ ⋅=

+⋅= G

E

12 , односно γ τ ⋅= G (14)

Величина ( ) [ ]2L /F 12 ν +⋅= E G се назива модул клизања. То је физичка

карактеристика материјала која повезује напон смицања и одговарајућу угаону деформацију.

• Проширење Хуковог закона (смичући напони)

Као и у случају везе између нормалног напона и одговарајуће линијске деформације, може се и експерименталним путем добити одговарајућа зависност између напона смицања и угла клизања (види израз 14), која се може представити дијаграмом.


16/28

45

ТЕХНИЧКО СМИЦАЊЕ

При конкретном прорачуну реалних конструкција ретко се појављује случај чистог смицања. Постоји, међутим, читав низ проблема када при истовременој појави напона смицања и нормалних напона, изазваних дејством спољашњих оптерећења, напони смицања имају примаран значај. У

тим случајевима могуће је упростити проблем уводећи појам техничког смицања. Ови се проблеми у највећем броју случајева појављују код

• заварених и

• закованих веза,које имају велику примену при изради челичних конструкција као што су:челични мостови, разне врсте дизалица, хале, стубови итд.

Заковане везе

Размотримо пример симетричне везе састављене од два спољашња и једног унутрашњег лима међусобно повезаних закивцима.

Пример симетричне заковане везе

Због мале дебљине лимова нормални напони изазвани моментом савијања биће занемарљиво мали у односу на напоне смицања изазване дејством поречних сила. У случају идеалног налегања лимова једног на други, може се са довољном тачношћу претпоставити да ће до попуштања везе, при критичном оптерећењу, доћи у равнима а-а и b-b. Ово значи да ће у тим равнима доћи до појаве смицања закивака. Овакав упрошћен начин посматрања захтева, такође, и увођење претпоставке о недеформабилности лимова.

Из услова равнотеже у правцу дејства затежуће силе, уводећи претпоставку

constzx ≈= τ τ добиће се средња вредност напона смицања

A

F

2=τ , где је

4

2d A

⋅= π

- површина попречног пресека закивка.

При повезивању више лимова у једну целину, срећемо се са појмом вишесечних закивака, који носе назив по броју површина изложених смицању. За случај закивака са већим бројем површина смицања (вишесечних), напон смицања може се одредити из:


17/28

46

Am

F

⋅=τ , где је m - број површина смицања.

Заковане везе се углавном остварују тако што се кроз отвор лима провлачи закивак са једном главом, а затим се пластичном деформацијом формира

друга глава.

Примери вишесечних закивака

Заварене везе

Следећи случај техничког смицања је случај заварених веза. Разматраће се случај лимова међусобно заварених који не леже у једној равни.

Случај заварене везе

Претпоставиће се да се заваривање врши дуж ивица лима на некој дужини l1 у правцу дејства оптерећења. Претпоставиће се такође идеалан случај вара чији је попречни пресек облика правоуглог троугла што у стварности може варирати од издубљеног до испупченог облика хипотенузе троугла.Висину троугла а називамо дебљина вара.Средњу вредност напона смицања добијамо из

∑==

isi

sr AF τ τ ,

где је ∑i

si A - укупна површина смицања за конкретни случај.

У оваквом приступу решавања проблема занемарен је утицај савијања изазван положајем лимова у две равни и концентрације напона изазване последицама процеса заваривања.


18/28

47

2. УВИЈАЊЕ (ТОРЗИЈА)

Код великог броја машинских конструкција могу се појавити и елементи облика штапа оптерећених моментима увијања.

У зависности од типа пресека могу се увести одређене претпоставке помоћу којих се може знатно упростити решавање проблема овог типа и добити обрасци погодни за инжењерску праксу, при чему они дају резултате који остају на страни сигурности.

Модел за прорачун

Код машинских конструкција највећи број елемената оптерећених на увијање су штапови кружног попречног пресека. Због тога ће овом проблему бити посвећена одговарајућа пажња.

У попречном пресеку штапа оптерећеног само на увијање, појавиће се само момент увијања, а остале пресечне величине су једнаке нули.

Момент увијања може бити:

• Концентрисани момент увијања: M t = const [[[[F⋅⋅⋅⋅L]]]], M t ≠≠≠≠ const [[[[F⋅⋅⋅⋅L]]]]

У литератури је уобичајено да се за позитивну вредност момента увијања узима момент увијања са смером супротним од кретања казаљке на часовнику, посматрано ка попречном пресеку штапа :

Конвенција предзнака момента увијања у попречном пресеку штапа

• Непрекидни (континуални) момент увијања: m = dM / dz [[[[F⋅⋅⋅⋅L / L]]]]

Под непрекидним моментом увијања подразумевамо такво оптерећење које се може свести на непрекидну расподелу момента увијања по јединици


19/28

48

дужине штапа. Момент увијања може бити равномерно расподељен по дужини штапа m t = const. , или се може мењати по неком закону m t = m t (z).

Пример непрекидне расподеле момента увијања дуж осе штапа

Проблем увијања се обавезно јавља код машинских конструкција које преносе снагу обртањем око своје подужне осе. Елемент облика штапа који преноси снагу обртањем, при чему се његово оптерећење остварује само моментима увијања, назива се лако трансмисионо вратило.

Елемент штапа који се обрће, али притом не преноси снагу, већ је излo жен само савијању, назива се осовина.

Подсетимо се: снагa коју преноси лако трансмисионо вратило, се може израчунати из израза за обртни момент:

[ ] [ ]

][1−⋅

=srad

W P Nm M t

ω , [ ] [ ] ][ 1−⋅⋅= srad Nm M W P t ω .

Угаона брзина:

][min30

][2]sec[111 −−− ⋅=⋅⋅=⋅ nsnrad

π π ω .

Учестаност обртања:

π

ω

⋅

⋅=

−−

2

][][

11 srad sn , односно ][

30][min

11 −− ⋅⋅= srad n ω π

.

...............................................................................................................

Пресечне силе

При разматрању оптерећења на увијање, у попречном пресеку је присутан само момент увијања

0≠= t z M M , 0=== y x T T N , 0== y x M M .

УВИЈАЊЕ ШТАПОВА КРУЖНОГ ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА

У току даљег разматрања ограничићемо се на основне претпоставке отпорности материјала изнете у уводном делу.

Уочимо један штап кружног попречног пресека оптерећен моментом увијања М. Да би се дошло до закључка о понашању штапа приликом увијања,


20/28

49

поставимо једну правоугаону мрежу по површини штапа и посматрајмо њену деформацију под дејством тог момента увијања:

Штап кружног попречног пресека оптерећен моментом увијања

Експериментима је показано да ће приликом увијања штапа доћи само до

померања изводница ( ' AA у 'AA' ), па ће деформација бити дефинисана

неким углом γ γγ γ , која за изводницу ' AA износи γ γγ γ R . При овоме дужина изводнице остаје приближно иста пре и после дејства момента увијања .

1. Претпоставка о напонима

- Ако је 0z ≠τ , онда је и 0zx ≠τ и 0zy ≠τ , а 0z =σ ,

- ρ τ ⊥z

Да бисмо размотрили природу ове врсте напрезања издвојимо део штапа произвољне дужине (слика која следи), оптерећеног на увијање, а затим из тог дела штапа издвојимо један елементарни цилиндар дужине dz , зида мале дебљине dr , на удаљењу r од осе штапа.

Под дејством момента увијања појавиће се на попречном пресеку, како је претпостављено, напони смицања које ћемо, на удаљену r од осе штапа,

обележити са τ ττ τ r.

2. Претпоставка о деформацијама

- попречни пресеци остају равни и управни на осу штапа и после дејства момента увијања, што значи да приликом увијања штапа долази само до обртања попречних пресека око његове осе,

- дужине свих изводница приближно остају исте пре и после дејстава момента увијања.


21/28

50

Анализа напонског стања штапа оптерећеног на увијање

Према ставу о коњугованости напона смицања, дуж одговарајућих изводница појавиће се напони смицања једнаки по интензитету напонима смицања у попречном пресеку, усмерени ка пресечној ивици, или од ње .

Одавде се може закључити да угао γ није ништа друго, до већ претходно дефинисани угао клизања за случај чистог смицања.

3. Претпоставка - везе напона и деформација

Важи проширени Хуков закон

r r Gτ ⋅= , односно R R G γ τ ⋅= . (1)

................................................................................................................

ЈЕДНАЧИНЕ РАВНОТЕЖЕ

Посматрајмо стање равнотеже за неки произвољни попречни пресек штапа који се налази на удаљењу z , у правцу осе штапа, од неке референтне тачке,при чему је у општем случају A= A (z ).

Размотримо једначине равнотеже. Трећа, четврта и пета једначина су аутоматски задовољене због почетне претпоставке о одсуству нормалних напона по попречном пресеку штапа, тако да нам за даље разматрање остају само:

1. 0==∫ A

x zx T dAτ ,

2. 0==∫ A

y zy T dAτ ,

6. ( )∫ ∫ =⋅=⋅−⋅ A A

t z zx zy M dAdA y x τ ρ τ τ . (2)


22/28

51

Веза између угла увијања и угла клизања

Дужина лука ( )dzd BB ρ θ ρ ==1

( ) θ ρ θ

ρ ρ γ ′⋅==dz

d , (3)

при чему је

dz

d θ θ =′ - релативни угао увијања (релативни угао заокретања).

Тада из Хуковог закона следи:

( ) ( ) ( ) zGG z z θ ρ ρ γ ρ τ ′⋅⋅=⋅=, . (4)

Релативни угао увијања θθθθ′′′′((((z))))

Пођимо од претпоставке да је ( ) ρ τ , z z z = . Из шесте једначине равнотеже:

( ) ( ) z M dA z A

t z∫ =⋅ ρ τ ρ , , (5)

заменом једначине (4) у једначину (5), добиће се:

( ) ( ) z M dA zG t A

=′⋅ ∫2

ρ θ .

Ако се присетимо да је 02

I dA

A

=∫ ρ - поларни момент инерције који

представља геометријску карактеристику штапа кружног попречног пресека за случај увијања, тада релативни угао увијања у неком пресеку можемо да напишемо као:

( ) ( )( ) z I G

z M z t

0⋅=′θ , (6)

односно његову максималну вредност:

( )

( )max0

max

⋅=′

z I G

z M t θ .


23/28

52

Ако је M t (z) = M t = const , онда је

G ⋅ I 0 (z) = G ⋅ I 0 = const , па је

( ) const I G

M z t =

⋅=′=′

0

θ θ , односно

0

maxmax

I G M t

⋅=′θ , максимални релативни угао увијања попречног

пресека.

Угао увијања θ θθ θ ((((z ))))

Пођемо ли од везе

( ) ( )

( )

( )dz

zd

z I G

z M z t

θ θ =

⋅=′

0

,

можемо написати

( ) ( ) ( )

( )dz

z I G

z M dz z zd t

0⋅=′= θ θ ,

одакле следи да је угао увијања у произвољном пресеку штапа:

( ) ( ) ( )

( )dz

z I G

z M dz z z

zt

z

∫∫ ⋅=′=

0 00

θ θ ,

а за крај штапа:

( ) ( ) ( )( )

dz z I G

z M dz zl z

l t l

∫∫ ⋅=′==

0 00

θ θ . (7)

Ако је M t (z) = M t = const и G ⋅ I 0 (z) = G ⋅ I 0 = const , онда је:

( ) const I G

M z t =

⋅=′=′

0

θ θ ,

( ) z I G

M z z t

⋅⋅

=⋅′=0

θ θ ,

( ) l I G

M ll z t ⋅⋅

=⋅′==0

θ θ [rad], (8)

а величина (G⋅⋅⋅⋅ I0) / l се назива увојна (торзиона) крутост....................................................................................................................................


24/28

53

Напон смицања τ ττ τ z

Водећи рачуна о вези (3) можемо написати израз за напон смицања за штап променљивог попречног пресека у облику

( ) ( )

( )

( ) z I G

z M

G zG z

t

z z0, ⋅⋅⋅=′⋅⋅== ρ θ ρ ρ τ τ ,

што коначно даје израз

( ) ( )

( ) ρ ρ τ ⋅=

z I

z M z t z

0

, . (напомена: 0 ≤≤≤≤ ρ ρρ ρ ≤≤≤≤ R (или r) ) (9)

Из овог израза следи да је напон смицања линеарна функција у односу на полупречник .

Слика 5.8 Расподела напона смицања по попречном пресеку

Ради једноставнијег начина писања у даљем тексту ће се уместо ознаке за

напон смицања τ ττ τ r користити ознака τ ττ τ .

( ) ( )

( )max

0max ρ τ ⋅=

z I

z M z t , (10)

где је

( ) ( )( ) zW

r

z I z I 0

0

max

0 == ρ

[cm3] - поларни отпорни момент . (11)

.

У произвољном пресеку штапа, напон смицања ће бити

( )

( )

( ) zW

z M

z t

0max =τ . (12)

Напон смицања има највеће вредности на месту на коме је однос ( )

( ) zW

z M t

0

највећи:


25/28

54

( )

( )max0

max

=

zW

z M t τ .

Ако је : I 0 (z) = I 0 = const , онда је W 0 (z) = const , па је

0

max

maxW

M t =τ .

..................................................................................................................................

• Провера чврстоће

( ) ( )

( ) d t

zW

z M z τ τ ≤

=

max0max , за ( ) z A A = , односно (13)

d t

W

M τ ≤

0

max, за const A = .

• Провера крутости

( ) ( )

( ) d t

z I G

z M z θ θ ′≤

⋅=′

max0max . (14)

• Провера носивости (одређивање дозвољеног оптерећења)

( ) ( ) d t zW z M τ ⋅≤ 0 - према дозвољеном напону смицања, (15)

( ) ( ) d t z I G z M θ ′⋅⋅≤ 0 - према дозвољеном углу увијања.

• Димензионисање

( ) ( )

d

t z M zW τ

≥0 ,d

t M W

τ

max0 ≥ - према дозвољеном напону смицања, (16)

( ) ( )

d

t

G

z M z I

θ ′⋅≥0 ,

d

t

G

M I

θ ′⋅≥

max

0 - према дозвољеном углу увијања. (17)

...................................................................................................................................


26/28

55

Димензионисање према дозвољеном напону смицања

У овом случају мора бити задовољен услов да напон смицања ни у једној тачки оптерећеног штапа не сме прећи дозвољену вредност.

( )

( )

( ) d t

zW

z M

z τ τ ≤=0

max .

а) Кружни попречни пресек

За кружни попречни пресек поларни отпорни момент је

( ) ( )

( )( ) ( )

d

t z M zd

zd

z I zW

τ

π ≥

⋅==

162

30

0 ,

па је:

( ) ( ) ( )

33516

d

t

d

t z M z M zd τ τ π

τ ≈≥ [cm]. (18)

б) Прстенасти попречни пресек

За прстенасти попречни пресек поларни момент инерције се може изразити као:

( )4

4

0 132 ψ π

−= d

I ,

а поларни отпорни момент:

( )43

00 1

162ψ

π −==

d

d

I W ,

где је dd0=ψ однос унутрашњег и спољашњег пречника прстена, па је

( ) ( )

( )( )

( )3 43 4 15

1

16

ψ τ ψ τ π τ −≈−≥ d

t

d

t z M z M

zd [cm]. (19)


27/28

56

Димензионисање према дозвољеном углу увијања

Услов да специфични угао увијања не пређе дозвољену вредност је

( ) ( )

( ) d t

z I G

z M z θ θ ′≤

⋅=′

0max

а) Кружни попречни пресек

За кружни попречни пресек поларни момент инерције је

( ) ( ) ( )

d

t

G

z M zd z I

θ

π

′⋅≥

⋅=

32

4

0 ,

па је:

( ) ( )

4][

32

cmrad G

z M zd

d

t

θ π θ ′⋅⋅

≥′ [cm]. (20)

Врло често се дозвољени угао увијања изражава у °/ m . Пошто се у образац

за димензионисање дозвољени угао увијања уноси у rad / cm, морају °/ m да

се претворе у rad / cm на следећи начин:

100180 ⋅⋅

′=

′

π θ θ

mcm

rad

d

o

б) Прстенасти попречни пресек

( ) ( )

( )4

41][

32

ψ θ π θ

−⋅′⋅⋅≥′

cmrad G

z M zd

d

t [cm]. (21)

Од конструктора се очекује да изврши проверу пречника за оба случаја димензионисања и усвоји пречник који задовољава оба услова.

За доношење правилне одлуке о меродавном пресеку мора се знати распоред нападног момента увијања дуж целог штапа, односно неопходно је одредити опасни пресек штапа код кога је за случај штапа променљивог или

степенастог попречног пресека однос ( )

( ) z A

z M t такав да задовољи оба

критеријума везана за димензионисање. У општем случају то не мора бити пресек у коме нападни момент увијања има највећу вредност јер се може десити да однос мањег момента и мањег попречног пресека буде критичнији него однос већег момента и већег пресека.


28/28

УШТЕДА У МАТЕРИЈАЛУ КОРИШЋЕЊЕМ ВРАТИЛА

КРУЖНО - ПРСТЕНАСТОГ ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА

За случај два вратила од истог материјала оптерећена истим моментом

увијања, али тако да је једно вратило пуног а друго прстенастог попречног пресека, поставља се питање које од ова два вратила треба уградити у неку конструкцију.

Вратило пуног и прстенастог попречног пресека оптерећено истим моментом увијања

Ово питање се логично намеће анализом распореда напона смицања по попречном пресеку вратила. Из израза за напон смицања (5.10) следи да ће

вредност напона смицања на оси вратила ( ρ ρρ ρ = 0) бити једнака нули, а да ће

се највећи напони смицања појавити за сва влакна по ободу вратила ρ ρρ ρ = R .

У том случају можемо цео попречни пресек поделити на две зоне:

- зону доброг искоришћења материјала која се налази ближе ободу и у којој су напони смицања блиски његовој највећој вредности,

- зону слабог искоришћења материјала која покрива зону око осе вратила,где су вредности напона смицања блиски нули.

Уштеда у материјалу заменом вратила пуног попречног пресека вратилом прстенастог попречног пресека може се добити на једноставан начин.

Зоне доброг и лошег искоришћења материјала

om treca cetvrta peta nedelja nastave 10

Documents