0圧縮性流れの数値解法

2012.9.25夏のターボセミナー 伊豆高原

東北大学大学院情報科学研究科

山 本 悟

0

講義の内容

・数値流体力学の歴史

・偏微分方程式の型の分類と特性の理論の適用

・１次元圧縮性オイラー方程式と特性の理論の適用

・流束分離と流束差分離

・リーマン解法とMUSCL補間

0

1950以前

FDM

Richardson(1910)Southwell(1940)Von Naumann andRichitmyer(1950)

Harlow and Welch(1965)

MAC法

Chorin(1968) Amsden and Harlow(1970)

Fractional-Step法 Simplified MAC法

AM

応用数学特性の理論（Courant and Hilbert 1937)

Lax and Friedrichs(1954)

Godunov(1959)Lax and Wendroff(1960)

MacCormack(1969)

1960 1970

非圧縮性粘性流れ

圧縮性非粘性流れ

0

1970 1975 1980

圧縮性非粘性流れ

非圧縮性粘性流れ

代数モデル

Baldwin and Lomax(1978)

Johns and Launder(1972)

Cebeci-Smith(1974)

k-εモデル

Launder and Spalding(1974)

非圧縮性乱流

MacCormackand Baldwin(1974)

人工粘性法

MｃDonald and Briley(1975)

近似因子化法

Beam and Warming(1978) 陰解法

圧縮性非粘性流れ

van Leer(1979)

MUSCL

∆形式近似因子化法

RANS DNS LES

0

1980 1985

陰解法

圧縮性非粘性流れ

Steger and Warming(1981)

van Leer(1982)

流束差分離法（Flux Difference Splitting)

流束分離法（Flux Vector Splitting)Roe(1981)

Enquist and Osher(1980)

近似リーマン解法

Woodward and Colella(1984)

高次精度リーマン解法

PPM

Harten(1983)

流束制限関数（Flux Limiter)

Yee, Davis, Roe, Sweby, Chakravarthｙ etc.

TVD

FVS

FDS

Implicit

Osher(1981)

Pulliam and Chaussee(1981)

対角化近似因子化法

0

TVD

1985 1995Harten(1987)

高次精度流束制限関数

ENO

FVS

FDS

Liou and Steffen(1992)

対流圧力分離法

AUSM

Yamamoto andDaiguji(1993)

Compact MUSCL

Implicit

Yoon and Jameson(1987)

LU-SGS

0

非圧縮性流れCFD

圧縮性流れCFD

複雑形状

反応・燃焼流

混相流

音波・ノイズ

乱流

希薄流 電磁場・プラズマ

流体構造連成

最適化

気象・海洋流

バイオ・マイクロ流体

前処理法

粒子法

Level Set法, CIP法 IB法LB法

Compact差分法

特異流体

相変化

乱流遷移

0

特性方程式の根（特性曲線の傾斜）で型を分類

２つの複素根 重根 ２つの実数根

楕円型（Elliptic)Laplace (Poisson) 方程式

放物型（Parabolic)熱伝導方程式

双曲型（Hyperbolic)波動方程式

楕円型方程式の差分解法Gauss-Seidel法、SOR法

放物型方程式の差分解法SOR法＋Crank-Nicolson法

双曲型方程式の差分解法特性曲線法

偏微分方程式の型の分類（Type of Partial Differential Equation(PDE)

圧縮性流れの数値解法

0

fCuBuAu yyxyxx 2

xup

yuq

yx

us

2

二階線形偏微分方程式（Second-order linear PDE)

特性の理論（Characteristic theory)に基づき式を変形

022

C

dxdyB

dxdyA and

ただし

これが成り立つためには

022

dxdyf

dxdqC

dxdy

dxdpAC

dxdyB

dxdyAs

0dxdyf

dxdqC

dxdy

dxdpA

0

022

C

dxdyB

dxdyA

特性方程式(Characteristic equation)

特性方程式の根

２つの異なる実根 双曲型（Hyperbolic)

重根 放物型（Parabolic)

２つの異なる複素根 楕円型（Elliptic)

根の符号による型の分類

2

A

ACBBdxdy

02 ACB

02 ACB

02 ACB

0

もう１つの方程式

0 fdxdqC

dxdpA

常微分方程式に帰着

0 2

f

dxdqC

dxdpA

AACBB

dxdy

0 2

f

dxdqC

dxdpA

AACBB

dxdy

0dxdyf

dxdqC

dxdy

dxdpA

0

x

y初期値

特性曲線とその勾配ならびに常微分方程式との関係

0

2

fdxdqC

dxdpA

AACBB

dxdy

0

2

fdxdqC

dxdpA

AACBB

dxdy

00 xt FQ

upepu

uF

euQ 2,

　

0 xt AQQ

QFA

uueueu

uuA 2 13 1

1 323010

23

2

1次元圧縮性オイラー方程式（1-D Compressible Euler Equations）

ヤコビ行列(Jacobian Matrix)

RTp 状態方程式（Equation of state)

線形化（Linearization)

0

ef

mff

ef

mff

ef

mff

A

333

222

111

3

2

1

2

2

21231,

fff

mmeme

mF

emQ

　

uu

01

fu

ヤコビ行列導出上の留意点

0AQF xxx AQAQF

upepu

u

eu

uueueuuu 2

23

2

2 13 11 323

010

xx AQF

ヤコビ行列の特質

オイラーの同次関係（Euler’s homogeneity relation)

ヤコビ行列は微分に影響されない！

0

0~~~ xt QAQ

xtxt AQQNQ~A~Q~

~u~u~

uQQ~N

201001

2

ucu

uA~,

puQ~

20000

　

1~ NANA

非保存形への変換(Transform to nonconservative form)

非保存形の未知変数(初期変数, Primitive variables)と非保存形のヤコビ行列

非保存形への変換行列

保存形と非保存形ヤコビ行列の関係

~120001

2

1

uuuN 1~

00~

IA 00

100

2

ucu

u

0 cucuu

cuu ,

特性条件（固有値）の導出(Derivation of eigenvalues)

ヤコビ行列の固有値（特性速度、Characteristic speeds）

u 流跡線

cu ２つの圧縮波ucu cu

0

cucuu 321 , ,

0~ IA kk

kk

k A ~

kkkk

kkk

ucu

u

3212

321 0

000

非保存形の左固有ベクトルの導出(Derivation of nonconservative left eigenvalues)

0

c

cc

L~

110110

101

33

32

31

23

22

21

13

12

11

cucu

u

3

2

1

L~A~L~ 11 NANL~L~A~

NL~L~NA 11

固有値、固有ベクトル、ヤコビ行列の関係

22021210221

~ 1

cc

ccL

0

0 xt Q~A~Q~L~

QLW ~~

0 xt WW

cpucpu

cp

pu

ccc

Q~L~W

2

110110

101

特性変数の導出(Derivation of characteristic variables)

特性変数からなる方程式系の導出

0

01

21

2

01

21

2

0

cux

cucut

cux

cucut

xsu

ts

0 xt WW

エントロピーとリーマン変数を未知変数とする独立した方程式系(Equations of Entropy and Riemann variables)

0 0 0

dtdw

xw

dtdx

twww xt

熱力学の関係式を駆使

特性速度を勾配に持つ特性曲線上で成り立つ独立した３つの常微分方程式！

12

cu リーマン変数 リーマン不変量(Riemann invariant)

0

x

t

.

1

consts

udtdx

.1

2

2

constcu

cudtdx

初期値

特性曲線とその勾配ならびに特性変数との関係

.1

2

3

constcu

cudtdx

0 xFFQ jjt 2121

NQLLNQAF

FFF~~ 11

3

2

1

00

00

00

2kkk

特性の理論に基づく流束分離式の導出(Derivation of Flux-vector Splitting Form based on Characteristic Theory)

1j j 1j

2/1j2/1j

0

3212

1

2

1

22

11

cuHcu

cuHcu

uuF

peH

) 0 ( 21 jjj FFF

流束分離式(Flux-vector Splitting Form)

Steger and Warming(1981)

たとえば超音速流れ（ ）の場合

) 0 ( 1121

jjj FFF

1j j 1j

2/1j2/1j

0 0, ,0 cucuu

2/1jF 2/1jF 1jF jF

0

流束差分離式(Flux-difference Splitting Form)

x

QAQAxFQ jj

t

2/12/1jjj QQQ 12/1

WRWLWLNQLLNQNLLNQA

~ ~~~ ~~

1

111111

3

2

12

~~

www

cpucpu

cpQLW

0

kkk

k rw

www

rrrrrrrrr

WR

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

kkk

k rwQA

33

32

31

23

22

21

13

12

11

111 ~

rrrrrrrrr

LNLR

x

rwrw

xFQ j

kkk

kj

kkk

k

t

2/12/1

流束差分離式(つづき)

01

~jQ

jQ~

1~

jQ

リーマン問題（Riemann Problem)

区分的領域の境界で１次元衝撃波管問題を解く

LQ~

RQ~

x1j j 1j

2/1j2/1j

0

Roe 近似リーマン解法(Roe’s Approximate Riemann Solver) Roe(1981)

2/2/~~

2/~~~,~2/~~2/

kkk

kRL

LRRLRLj

rwQFQF

QQQQAQFQFF

jj 1

jj

jj uuu

1

1 jj

jj HHH

1

1

2/~ 22 uHc

Roe平均

0

MUSCL補間(Monotone Upstream-centered Scheme for Conservation Laws)

van Leer(1979)

2/32/11

2/12/1

~4

1~4

1~~

~4

1~4

1~~

jjjR

jjjL

QkQkQQ

QkQkQQ

:1k 2nd-order fully upwind :3/1k 3rd-order biased upwind

*2/3

*2/11

*2/1

*2/1

~~261~~

~2~61~~

jjjR

jjjL

QQQQ

QQQQ

Compact MUSCL Yamamoto and Daiguji (1993)

2/32/12/12/13

2/13

2/1*

2/1

~~2~~

~61~~

jjjj

jjj

QQQQ

QQQ

0

重要な補足事項

・２独立変数の特性の理論は１次元圧縮性オイラー方程式にのみ厳密

・多次元圧縮性オイラー方程式に厳密な特性の理論を適用した例は皆無

・圧縮性ナビエ・ストークス方程式は双曲型方程式ではない

・特性の理論は等エントロピー流れを仮定

・エントロピー変化を考慮しないと膨張扇（Expansion fan）が膨張波(Expansion shock)になる

・Steger-Warmingの流束分離式は超音速領域で特性の理論に忠実

・リーマン解法は圧縮性流れに含まれる波動である流跡線と圧縮波を分解するための方法

・２次精度以上のMUSCL補間では不連続面(衝撃波、接触不連続面)で数値振動する

・１次精度上流差分は単調関数

・ ・・・

時間切れ つづく

詳しくは大宮司久明著 数値流体力学大全 第１６章 圧縮性流れの解法 – １次元Euler方程式http://www.caero.mech.tohoku.ac.jp/publicData/Daiguji/もしくはGoogleで 「数値流体力学大全」を検索