МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ...
TRANSCRIPT
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ
РОБОЧА ПРОГРАМА,методичні вказівки та індивідуальні завдання
до вивчення дисципліни «Спеціальні розділи вищоїматематики» для студентів технічних спеціальностей
Частина 3
Дніпропетровськ НМетАУ 2011
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ
РОБОЧА ПРОГРАМА,методичні вказівки та індивідуальні завдання
до вивчення дисципліни «Спеціальні розділи вищоїматематики» для студентів технічних спеціальностей
Частина 3
Затверджено на засіданні Вченої ради
академії Протокол № 15 від 27.12.2010
Дніпропетровськ НМетАУ 2011
УДК 517 (07)Робоча програма, методичні вказівки та контрольні завдання до вивчення дисципліни «Спеціальні розділи вищої математики» для студентів технічних спеціальностей. Частина 3 /Укл.: А.В. Павленко, І.В. Пасічник, І.В. Щербина, О.А. Мельник. Дніпропетровськ: НМетАУ, 2011. 68 с.
Містить робочу програму дисципліни «Спеціальні розділи вищої математики», варіанти контрольних завдань, що виконуються студентами в процесі вивчення дисципліни, та методичні вказівки до вивчення кожного з розділів. Викладені довідкові матеріали до розділів «Теорія поверхонь другого порядку», «Елементи теорії поля», «Застосування подвійного інтеграла», «Інтеграл та перетворення Фур’є», «Рівняння математичної фізики» та «Варіаційне числення». Наведені рекомендації до вивчення дисципліни, що супроводжуються розв’язуванням відповідних прикладів та ілюстраціями, література, що рекомендується, питання до самоконтролю. Призначена для студентів технічних спеціальностей заочної форми навчання.
Укладачі: А.В. Павленко, д-р фіз.-мат. наук, проф. І.В. Пасічник, канд. техн. наук, доц. І.В. Щербина, канд. фіз.-мат. наук, доц. О.А. Мельник, асист.
Відповідальний за випуск А.В. Павленко, д-р фіз.-мат. наук, проф.
Рецензент Т.С. Кагадій, д-р фіз.-мат. наук, проф. (НГУ)
Підписано до друку 25.10.2011. Формат 60х84 1/16. Папір друк. Друк плоский.Облік.-вид. арк. 4,0. Умов. друк. арк. 3,95. Тираж 100 пр. Замовлення №
Національна металургійна академія України49600, м. Дніпропетровськ-5, пр. Гагаріна, 4
_______________________________Редакційно-видавничий відділ НМетАУ
ЗАГАЛЬНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПРИ ВИВЧЕННІ ДИСЦИПЛІНИ “ВИЩА МАТЕМАТИКА”
Основна форма навчання студента-заочника – самостійна робота над навчальним матеріалом, яка складається з таких елементів: вивчення матеріалу по підручнику, розв’язання задач, виконання контрольних робіт. На допомогу студентам академія організовує лекції та практичні заняття. Крім того, студент може розраховувати на усну консультацію викладача. Вказівки студенту також робляться в процесі рецензування контрольних робіт. Але студент повинен пам’ятати, що тільки при систематичній самостійній роботі допомога академії буде носити ефективний характер. Завершальний етап вивчення окремих частин дисципліни «Спеціальні розділи вищої математики» – це складання заліків та іспитів у відповідності до навчального плану.
Вивчаючи матеріал по підручнику, треба переходити до наступного питання тільки після правильного зрозуміння попереднього, виконуючи на папері усі обчислення (в тому числі і ті, що пропущені у підручнику).
Треба приділяти особливу увагу визначенню основних понять. Студент повинен розбирати приклади, які пояснюють такі визначення, та наводити аналогічні приклади самостійно.
При вивченні матеріалу за підручником корисно вести конспект, до якого записувати визначення, теореми, формули, рівняння і т.д. На полях конспекту відмічають питання, з якими треба звернутися до викладача.
Читання підручника повинно супроводжуватися розв’язанням задач, для чого рекомендується завести спеціальний зошит. Креслення можна виконувати від руки, але акуратно та відповідно даним умовам.
Якщо в процесі роботи по вивченню теоретичного матеріалу або при розв’язанні задач у студента виникають питання, відповіді на які він самостійно не може знайти (неясність термінів, формулювання теорем, розв’язок окремих задач), то він може звернутися до викладача за усною консультацією. В своїх запитаннях студент повинен точно вказати, в чому він зазнає ускладнень. Якщо це теоретичне питання, то треба вказати підручник, де розглянуто це питання та що він не розуміє. Якщо склалося скрутне становище при розв’язанні задачі, то треба вказати характер цього утруднення, навести припущення відносно плану розв’язку.
3
У процесі вивчення дисципліни студент повинен виконати контрольні роботи, головна мета яких – надати студенту допомогу в його роботі. Рецензії на ці роботи дозволяють студенту судити про ступінь засвоєння відповідного розділу дисципліни.
З кожної контрольної роботи студент виконує ті завдання, які мають відношення до його варіанта. Номер варіанта збігається з останньою цифрою номера залікової книжки або студентського квитка. Наприклад, номер залікової книжки – 007239, отже треба виконати задачі варіанта № 9. Якщо остання цифра “0”, то виконується варіант №10.
Не треба починати виконувати контрольне завдання, не розв’язавши достатньої кількості задач по матеріалу, що відповідає цьому завданню.
Виконувати контрольні завдання студент повинен самостійно, інакше він не придбає необхідних знань і буде непідготовленим до заліків або іспитів.
Кожну контрольну роботу треба присилати (приносити) в академію у заочний деканат в окремому зошиті, на обкладинці якого обов’язково позначено номер контрольної роботи, назва дисципліни, прізвище та ініціали студента, його шифр (номер залікової книжки), факультет та групу, де навчається даний студент, домашня адреса.
Усі контрольні роботи за даний семестр повинні подаватися на кафедру не пізніше як за 10 діб до початку екзаменаційної сесії.
Після перевірки контрольних робіт треба зробити усі виправлення і доповнення, на які вказав рецензент.
Без прорецензійованих та захищених контрольних робіт, де зроблені усі виправлення і доповнення, студент не допускається до заліків або іспитів.
4
Програма дисципліни «СПЕЦІАЛЬНІ РОЗДІЛИ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ»(10 семестр)
1. ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
1. Рівняння поверхні в декартовій прямокутній системі координат. Загальне рівняння поверхні другого порядку. 2. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку. 3. Дослідження поверхонь другого порядку методом паралельних перерізів. 4. Циліндричні поверхні. 5. Конічні поверхні. 6. Поверхні обертання.
2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
1. Поверхні та лінії рівня. 2. Похідна за напрямом. 3. Градієнт скалярного поля і його властивості.
3. ЗАСТОСУВАННЯ ПОДВІЙНОГО ІНТЕГРАЛА ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ
1. Статичні моменти та центр мас системи матеріальних точок. 2. Обчислення координат центра мас плоскої платівки. 3. Моменти інерції платівки. 4. Паралельне перенесення та поворот осей координат.
4. ІНТЕГРАЛ ТА ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є
1. Інтеграл Фур’є. 2. Інтеграл Фур’є для парних і непарних функцій. 3. Перетворення Фур’є. 4. Інтеграл Фур’є в комплексній формі.
5
5. ВСТУП ДО ТЕОРІЇ РІВНЯНЬ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ
1. Класифікація диференціальних рівнянь другого порядку з частинними похідними 2. Приведення диференціальних рівнянь другого порядку з частинними похідними до канонічного вигляду 3. Класичні рівняння математичної фізики 4. Початкові і граничні умови. Постановка задачі математичної фізики і її коректність 5. Аналітичні методи розв’язування рівнянь математичної фізики 6. Розв’язування задачі Коші для рівнянь коливання струни методом Д’Аламбера 7. Розв’язування змішаної крайової задачі для хвильового рівняння методом поділу змінних (метод Фур’є) 8. Поширення тепла в стрижні: Моделі, які описуються рівнянням теплопровідності. Застосування методу Фур’є при розв’язуванні задачі про поширення тепла в стрижні скінченної
довжини. Поширення тепла в необмеженому стрижні.
6. ЕЛЕМЕНТИ ВАРІАЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ
1. Поняття про функціонал.2. Класичні задачі варіаційного числення.3. Варіація функції. Приріст і варіація функціоналу.4. Екстремум функціоналу.5. Задача на екстремум функціоналу з закріпленими кінцями. Диференціальне рівняння екстремалей (рівняння Ейлера).6. Зниження порядку рівняння Ейлера.
6
ЛІТЕРАТУРА
1. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. – М.: Наука, 1967. –
780 с.
2. Вища математика. Додаткові розділи: Конспект лекцій /В.Л. Копорулін,
І.В. Пасічник, Л.В. Моссаковська, І.В. Щербина. – Дніпропетровськ:
НМетАУ, 2010. – 83с.
3. Вища математика: Збірник задач. У 2-х ч., – Ч. 2 / П.П. Овчинников,
П.С. Кропив’янський, С.П. Полушкін та ін. – К.: Техніка, 2003. – 376 с.
4. Вища математика: основні означення, приклади і задачі: Навч. посібник. У 2-х
кн. Кн. 2 /І.П. Васильченко, В.Я. Данилов, А.І. Лобанов, Є.Ю. Таран – К.:
Либідь, 1994. – 280 с.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: Учеб. пособие для втузов. В 2-х ч. – М.: Высш. шк., 1999.– 416 с.
6. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001.
– 648 с.
7. Овчинников П.П., Михайленко В.М. Вища математика: Підручник. У 2-х ч. –
Ч.2. – К.: Техніка, 2004. – 792 с.
8. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы
/ Э.А. Вуколов, А.В.Ефимов, В.Н. Земсков и др. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1984. – 608 с.
9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:
Наука, 1972. – 736 с.
10. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. –
М.: Наука, 1969. – 424 с.
7
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ
Тема 1. ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Поверхні другого порядку в декартовій прямокутній системі координат
Поверхні розглядають як геометричне місце (множину) точок простору, що мають певну загальну властивість. Оскільки прямокутна система координат дозволяє встановити взаємно однозначне співвідношення між точками простору та їх координатами , , то рівняння поверхні має вигляд
за умови, що йому задовольняють координати тих і тільки тих точок, що належать поверхні. Таке рівняння називається загальним рівнянням даної поверхні у прямокутній системі координат . Змінні і називаються поточними координатами точок поверхні. Іноді це рівняння може бути записано як , тобто поверхня співпадає з графіком функції двох змінних .
Поверхні за їх рівняннями поділяються на алгебраїчні і неалгебраїчні (трансцендентні). Якщо ліва частина загального рівняння є многочлен степеня відносно , то відповідна поверхня називається алгебраїчною поверхнею -го порядку. Площина, наприклад, є алгебраїчною поверхнею першого порядку.
Тут ми будемо розглядати алгебраїчні поверхні другого порядку, тобто геометричні місця тих і тільки тих точок простору, координати яких у обраній прямокутній системі задовольняють загальному невиродженому алгебраїчному рівнянню другого степеня відносно змінних
.Дане рівняння називається загальним рівнянням алгебраїчної поверхні
другого порядку (у подальшому просто поверхні другого порядку).
8
Канонічні рівняння поверхонь другого порядку
Рівняння поверхні другого порядку може визначати так звану вироджену поверхню (порожню множину, точку, площину або пару площин.
Якщо ж поверхня є невиродженою, то її рівняння можна привести до одного з найпростіших або канонічних виглядів. Наведемо їх разом із назвами і виглядами поверхонь, які вони визначають.
1. Еліпсоїд (рис. 1).
2. Гіперболоїди
однопорожнинний (рис. 2),
двопорожнинний (рис. 3).
3. Конус другого порядку (рис. 4).
4. Параболоїди
еліптичний (рис. 5),
гіперболічний (рис. 6).
5. Циліндри другого порядку
еліптичний (рис. 7),
параболічний (рис. 8) .
гіперболічний (рис. 9),
9
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9
ТЕМА 2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Полем називається область простору, у кожній точці якої визначено значення деякої величини. Якщо кожній точці цієї області поставлено у відповідність певне число , то така залежність називається скалярним полем (або функцією точки). Прикладами скалярних полів є поле температури, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле електричного потенціалу тощо. Якщо функція не залежить від часу, то скалярне поле називають стаціонарним, а скалярне поле, яке змінюється з часом, - нестаціонарним. Якщо у просторі точка має певні координати , скалярне поле буде функцією цих координат:
O
x
z
y
10
. Якщо скалярна функція залежить тільки від двох змінних, наприклад,
і , то відповідне скалярне поле називають плоским; якщо ж функція залежить від трьох змінних , і , то скалярне поле називають
просторовим. Для характеристики швидкості зміни поля в заданому напрямі використовується поняття похідної за напрямом. Похідною функції в
точці за напрямом вектора називають границю відношення
при :
, де .
Якщо вектор утворює з координатними осями кути відповідно, то похідна поля в точці за напрямом вектора можна обчислити за формулою:
.
Переходячи до границі при , дістанемо формулу для обчислення похідної за напрямом
, де
, ,
.
z
yyO
M
x
1Ml
.x
11
Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції в точці , називають градієнтом функції в цій точці і
позначають . Отже, , або
.
Градієнт функції є вектор, який указує напрям найбільшого росту поля у даній точці та має модуль, що дорівнює швидкості цього росту.
ТЕМА 3. ЗАСТОСУВАННЯ ПОДВІЙНОГО ІНТЕГРАЛА ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ
Статичним моментом матеріальної точки відносно будь-якої осі називається добуток маси цієї точки на її відстань від цієї осі. При цьому для точок, що лежать по одну сторону від осі, відстань береться зі знаком «плюс», а по іншу – зі знаком «мінус».Статичним моментом системи матеріальних точок з масами називають суму статичних моментів усіх точок. Отже,
.
Розглянемо тонку плоску платівку. Припустимо, що платівка розташована у площині і займає область . Нехай густина платівки в кожній точці області
є функцією двох змінних . Маса такої платівки обчислюється за формулою:
. Якщо
платівка однорідна, то . Якщо її густина не вказана, то будемо вважати . Тоді:
,
.
12
Осьовим моментом інерції матеріальної точки називають добуток маси цієї точки на квадрат її відстані від осі, що розглядається: . Для точки
отримаємо . Формули для обчислення моментів інерції та платівки відносно координатних осей і
,
.
Момент інерції матеріальної точки масою відносно початку координат (полярний момент інерції) дорівнює ,
звідки , тобто . Формула для обчислення полярного моменту інерції платівки відносно початку координат має вигляд
.
У випадку симетрії платівки відносно деякої осі потрібно розглядати лише одну з симетричних частин платівки і подвоїти відповідні інтеграли. Відзначимо, що для симетричної відносно обох осей платівки .
Центром мас системи матеріальних точок називають таку точку, що, якщо
зосередити в ній усю масу системи , то статичний момент цієї точки
відносно будь-якої осі буде дорівнювати відповідному статичному моменту усієї системи. Якщо центр мас розташований у точці , то ,звідки знаходимо координати центра мас
.
Якщо область, яку займає однорідна платівка, симетрична відносно осі , то
, якщо вона симетрична відносно осі , то .
ТЕМА 4. ІНТЕГРАЛ ТА ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є
13
Інтеграл Фур’є
Нехай неперіодична кусково-монотонна функція задана на нескінченному проміжку і є абсолютно інтегровною на ньому, тобто
.Тоді для неї існує інтеграл Фур’є:
Якщо функція задана лише на проміжку , то її можна продовжити на
проміжок різними способами, зокрема парним або непарним.
Для парної функції інтеграл Фур’є має вигляд
.
Для непарної функції він набуває вигляд
.
Перетворення Фур’є
Нехай функція парна (або задана на проміжку і продовжена на всю числову вісь парним способом).
Позначимо
.
Тоді
.
Функція називається прямим косинус-перетворенням Фур’є, а функція , відповідно, оберненим косинус-перетворенням Фур’є функції
.Аналогічно для непарної функції (або при непарному продовженні)
дістанемо
14
- пряме синус-перетворення Фур’є, а
- обернене синус-перетворення Фур’є.
Зауваження. Інтеграл Фур’є в комплексній формі має вигляд
,
де
.
Функції та відповідно є прямим та оберненим перетвореннями Фур’є. Функції , і називають також спектральною щільністю функції .
ТЕМА 5. ВСТУП ДО ТЕОРІЇ РІВНЯНЬ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ
Загальні відомості
Математична фізика – розділ математики, в якому складаються та вивчаються математичні моделі фізичних процесів, основу яких становлять рівняння з частинними похідними.
Диференціальним рівнянням у частинних похідних називають рівняння, яке зв’язує невідому функцію, залежну від кількох незалежних змінних, самі ці змінні та частинні похідні від шуканої функції:
,
де – незалежні змінні, – невідома функція.Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком
похідної цього рівняння.
15
Розв’язком диференціального рівняння є функція , що задана в області зміни незалежних змінних , яка при підстановці в рівняння перетворює його в тотожність.
Квазілінійне (лінійне відносно старших похідних) рівняння другого порядку у частинних похідних має вигляд
,
де – задані функції.Якщо диференціальне рівняння є лінійним як відносно старших похідних, так
і відносно невідомої функції і її перших похідних, воно має назву лінійного рівняння.
Класифікація диференціальних рівнянь другого порядку з частинними похідними
Квазілінійне диференціальне рівняння другого порядку для функції двох незалежних змінних х і у має вигляд:
В залежності від знака виразу розрізняють наступні типи даного рівняння, а саме: гіперболічний тип, якщо у точці ; параболічний тип, якщо у точці ; еліптичний тип, якщо у точці .
Спрощення диференціального рівняння (зведення до канонічного вигляду) пов’язане із розв’язуванням звичайного диференціального рівняння, яке називають характеристичним:
Це рівняння є квадратним відносно і, у свою чергу, розпадається на два
рівняння:
і .
Існують наступні канонічні форми різних типів рівнянь:1) канонічна форма рівняння гіперболічного типу
16
або ;
2) канонічна форма рівняння параболічного типу
;
3) канонічна форма рівняння еліптичного типу
.
Приведення диференціального рівняння до канонічного вигляду фактично полягає у відшуканні перших інтегралів характеристичного рівняння за допомогою незалежної заміни змінних.
Приведення диференціальних рівнянь другого порядку з частинними похідними до канонічного вигляду
1. У випадку рівняння гіперболічного типу ( ) праві частини рівнянь
і дійсні та відмінні між собою. Їх загальні
інтеграли і ( та – довільні сталі). Введемо нові незалежні змінні та за формулами ; .
Така заміна приводить до канонічного вигляду рівняння
.
2. У випадку рівняння параболічного типу праві частини обох рівнянь для
співпадають ( ). Отже, маємо тільки один загальний інтеграл рівняння
. Введемо нові незалежні змінні та :,
де – довільна функція, незалежна з .Зауваження. Достатня умова незалежності функцій і :
Найчастіше обирають або .Заміна змінних приводить до канонічної форми
D).yx
yx
yx
, ( 0
17
.
3. У випадку рівняння еліптичного типу й праві частини обох
рівнянь для є комплексними. Тоді загальні інтеграли обох диференціальних
рівнянь є комплексні функції, спряжені між собою: ; .Введемо нові змінні за формулами
; .У результаті приходимо до канонічної форми рівняння еліптичного типу
.
Класичні рівняння математичної фізики
Найпростішими рівняннями кожного з розглянутих типів є
хвильове рівняння )(2
22
2
2consta
xu
atu
,
(гіперболічний тип);
рівняння теплопровідності ,
(параболічний тип);
рівняння Лапласа ,
(еліптичний тип).Ці рівняння називають класичними рівняннями математичної фізики.
Розподіл рівнянь з частинними похідними другого порядку на три типи пов’язаний з відмінністю фізичних процесів, які вони описують.
Початкові і граничні умови
Рівняння з частинними похідними мають нескінченну кількість розв’язків, які залежать від деяких довільних функцій. Для вилучення єдиного (частинного) розв’язку рівняння другого порядку, який би відповідав конкретному фізичному процесу, до рівняння необхідно приєднати додаткові умови двох типів, а саме початкові і граничні умови.
18
Початкова умова полягає у завданні значень функції та її частинної
похідної у початковий момент часу . Крайові або граничні умови
полягають у завданні шуканої функції на границі області визначення рівняння та його розв’язку.
Розрізняють три види крайових (граничних) задач.1. Задача Коші для рівнянь гіперболічного та параболічного типів –
задаються початкові умови, граничні умови відсутні. Область визначення рівняння – весь простір.
2. Крайова задача для рівнянь еліптичного типу – задаються граничні умови на межі області визначення невідомої функції, початкові умови відсутні.
3. Змішана задача для рівнянь гіперболічного та параболічного типів – задаються початкові та граничні умови.
Метод Фур’є (метод поділу змінних)
Метод Фур’є полягає у пошуку розв’язку рівняння у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить лише від однієї змінної. Цей метод особливо зручний для розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в яких невідомою є функція двох змінних , а саме для хвильового рівняння та рівняння теплопровідності. Частинний розв’язок рівняння відшукується у вигляді
. Задовольняючи граничні та початкові умови, можна знайти загальний розв’язок у вигляді тригонометричного ряду.
Розв’язок змішаної крайової задачідля рівняння коливань струни
Струною називають пружну гнучку (не чинить опору згинові) нерозтяжну нитку. Нехай така нитка натягнута між точками та осі декартової системи координат . Кінці нитки певним чином закріплені. Якщо таку нитку відхилити від прямолінійного стану в напрямі осі і відпустити, то внаслідок пружності вона почне коливатись. Припустимо, що її динамічне зміщення залишилось у площині . Форма і характер цих коливань залежить від величини і форми початкового відхилення, швидкості її точок у момент початку
19
коливань (початкові умови), характеру закріплень кінців струни (граничні умови). Позначимо через зміщення струни в точці (перерізі) в момент часу . Тоді рівняння
,
де – швидкість звуку в струні, є рівнянням вимушених поперечних коливань струни. Згідно з прийнятою класифікацією рівняння належить до гіперболічного типу.
У початковий момент ( ) струна має певну форму, яку їй надано, а її точки мають певну швидкість. Це означає, що шукана функція повинна задовольняти початковим умовам:
Якщо кінці струни нерухомі, то функція повинна задовольняти наступним граничним умовам:
Розв’язок рівняння коливань струни, отриманий методом Фур’є, має вигляд
,
де коефіцієнти ряда та обчислюються за формулами
,
.
Поширення тепла в стрижні скінченної довжини
Процес поширення теплоти в деякому тілі цілком визначений, якщо відома температура в довільній точці цього тіла в будь-який момент часу.
Рівняння теплопровідності
,
де – коефіцієнт температуропровідності, – коефіцієнт теплопровідності,
– теплоємність, – густина матеріалу стрижня описує процес поширення теплоти в теплоізольованому з боків однорідному стрижні завдовжки . Для вилучення
20
єдиного розв’язку до рівняння треба додати крайові умови. На відміну від рівняння гіперболічного типу початкові умови полягають лише в заданні функції
в початковий момент часу:, .
Граничні умови можуть бути різними залежно від температурного режиму на межі тіла. Розрізняють три основні типи граничних умов:
1. На кінці стрижня задана температура.
2. На кінці стрижня задано тепловий потік
.
3. На кінці стрижня задано теплообмін, наприклад, за законом Ньютона
,
де – координата межі стрижня ( або ), – коефіцієнт теплообміну, – температура середовища, що оточує стрижень.
Розв’язок рівняння теплопровідності при початковій умові та однорідних граничних умовах першого типу , що отримано за методом поділу змінних Фур’є, має вигляд:
,
.
Поширення тепла в необмеженому стрижні
Якщо стрижень вважається нескінченним, то впливом граничних умов, заданих на нескінченності, на температуру середньої частини стрижня можна знехтувати. Дістанемо задачу Коші: треба знайти розв’язок рівняння теплопровідності, який задовольняє початковій умові:
.Для отримання розв’язку застосовується метод перетворення Фур’є та умови
обмеженості розв’язку
21
.
Розв’язок задачі Коші має вигляд інтеграла Пуассона:
.
ТЕМА 6. ЕЛЕМЕНТИ ВАРІАЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ
Означення. Якщо кожній функції із класу D за деяким законом ставиться у відповідність певне числове значення змінної , то ця змінна називається функціоналом від однієї функціональної змінної і позначається
. У більшості варіаційних задач (або «задач на екстремум») об’єктом
дослідження є функціонал вигляду
,
областю визначення якого служить клас функцій , що визначені та неперервні разом з першою похідною на відрізку .
При дослідженні функціоналів на екстремум варіація функціонала відіграє роль, аналогічну тій, яку виконує при дослідженні функцій диференціал. Якщо варіація функції , тоді .
Різниця – приріст функціонала. Головна частина приросту, лінійна відносно , називається варіацією функціонала та позначається .
Варіацію (або першу варіацію функціонала ) можна знайти, користуючись другим означенням варіації функціонала: варіацією називається значення першої похідної функції при
.
Задача на екстремум функціонала з закріпленими кінцями.Диференціальне рівняння екстремалей (рівняння Ейлера)
22
Як відомо, необхідна умова екстремуму функції полягає у рівності нулю її диференціала. Аналогічно, для функціонала справедлива теорема (необхідна умова екстремуму в варіаційній формі):
Якщо функціонал має варіацію і досягає на деякій функції екстремуму, то його варіація на цій функції дорівнює нулю: .
Функції, на яких варіація функціонала існує і дорівнює нулю, називаються стаціонарними функціями або допустимими екстремалями.
Поставимо таку задачу: знайти мінімум (максимум) функціонала
при крайових умовах , серед неперервно
диференційованих на відрізку функцій , де , , – відомі числа. Така задача має назву варіаційної задачі з закріпленими кінцями.
Допустимі екстремалі визначаються як розв’язки диференціального рівняння Ейлера:
.
Це рівняння можна подати у розгорнутому вигляді:
0"' ''''
'''
''' yFyFFF yyyyyxy .
Рівняння Ейлера є звичайним диференціальним рівнянням другого порядку, загальний розв'язок якого утворює двопараметричну сім’ю екстремалей
, з якої можна дістати частинний розв'язок за допомогою граничних умов .
23
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
Тема 1. Поверхні другого порядку
Література: [2], розділ 1, § 1 – 4; [6], глава 3, § 9; [7], глава 3, § 5; глава 4, § 9.
Розглядання цієї теми треба починати з повторення матеріалу на тему: «Аналітична геометрія на площині. Криві другого порядку», тому що у кожному перерізі поверхні другого порядку площиною матимемо криву.
Завдання контрольної роботи полягають в тому, щоб вміти записати канонічне рівняння будь-якої кривої, побудувати її, а також встановити вид поверхні другого порядку, та застосовуючи метод перерізів побудувати поверхню у Декартові системі координат .
Приклад 1.1. Записати рівняння кривої, що отримано у результаті перерізу поверхні площиною. Побудувати криву.
Розв’язання. Якщо з першого рівняння маємо . Це канонічне
рівняння гіперболи, дійсна на піввісь якої дорівнює , а уявна . Рівняння
асимптот у цьому випадку будуть .
Приклад 1.2. Методом перерізів побудувати поверхні:
а) ; б) .
24
Розв’язання. а) Дана поверхня є порожнинним гіперболоїдом. Для його побудови застосуємо метод перерізів.
Нехай . Отримаємо: . Це рівняння не описує жодну криву, як і
для .
Якщо .
Цьому рівнянню відповідають лише дві точки простору ; .
Якщо , де , у будь-якому такому перерізі отримаємо еліпс:
. Наприклад, при дістанемо , або .
Півосі цього еліпса відповідно дорівнюють ; .
Нехай . Отримаємо , або –канонічне рівняння
гіперболи з півосями: уявна та дійсна , фокуси якої розташовано на осі .
Нехай . Отримаємо , або –канонічне рівняння
гіперболи, що має дійсну піввісь , та уявну . Фокуси цієї гіперболи знаходяться на осі .
б) Маємо конус другого порядку, канонічне рівняння якого буде
.
Побудуємо цей конус методом перерізів.
Нехай . Маємо , , тобто у перерізі поверхні
площиною ми отримали дві прямі, рівняння яких відповідно мають вигляд: ; . Обидві прямі проходять через початок координат.
25
Нехай . Цьому рівнянню задовольняє лише точка
О(0;0;0). Якщо , то у такому перерізі отримаємо еліпс. Наприклад, при
дістанемо – еліпс з півосями ; , фокуси якого розташовано
на осі .
Нехай . Тоді отримаємо , тобто дві
прямі лінії: ; , що проходять через початок координат.Слід зауважити, що при будь-яких перерізах ; дістанемо
такі ж прямі що і при .
Тема 2. Елементи скалярного поля
Література: [2], розділ 2 § 1 – 4; [3], глава 3, § 9; [4], глава 4, § 9; [5], глава 3, § 9; [7], глава 3, § 5.
Для вивчення цього розділу студент повинен ознайомитись з означенням скалярного поля, поверхонь та ліній рівня, похідної за напрямком в даній точці, та градієнта скалярного поля. Щоб розв’язувати практичні задачі, треба повторити розділ «Векторна алгебра» та тему «Диференціальне числення функції багатьох змінних».
x
y
z
0
26
Приклад 2.1. Знайти похідну скалярного поля u у точці М за напрямком , що йде з М в А: , , .
Розв’язання. , де 222cos
zyx
x
lll
l
;
222cos
zyx
y
lll
l
; .
Координати вектора .
; ; .
; ;
; ;
; .
.
Приклад 2.2. Знайти кут між градієнтами скалярних полів та ),,( zyxv у
точці М, якщо ; ; .
Розв’язання. ;
;
222222MM ;coszyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababavgradugrad
.
Для того, щоб знайти частинні похідні функцій та перепишемо їх в зручному для диференціювання вигляді:
, ;
; ;
; ;
; .
27
; 22
242
M
xv
;
22
92
92
yy
yv
; ;
; .
; ;
; ;
22
463312
463
32292
4692
463
;cos MM
vgradugrad .
Тема 3. Застосування подвійного інтеграла при розв’язуванні деяких задач механіки
Література: [2], розділ 3 § 1 – 4; [6], глава 3, § 9; [7], глава 3, § 5; глава 4, § 9.
Для вивчення цієї теми потрібно повторити такі розділи математичного аналізу «Невизначений інтеграл», «Визначений інтеграл», «Подвійний інтеграл».Приклад 3.1. Обчислити момент інерції плівки, яку обмежено лініями ;
; відносно осей та . Вважати, що .Розв’язання. , де – область, яку займає платівка. Область
зображено на рисунку 3.1:
Рис. 3.1
xy 2
3 yx
1
1
0 2
2
43
3
x
y
0yD
28
.
.
.
Приклад 3.2. Визначити статичні моменти однорідної плоскої фігури, обмеженої лініями: ; ; відносно осей і .
Розв’язання. D
x dxdyyxyM ),( ; D
y dxdyyxxM ),( де – область, яку
займає фігура, .
; ;
;
;
;
29
;
;
.
;
;
–
1
0
2
0
21
0
2arcsin
21cossin1
21arccos
221
arcsincos
00sinydttty
yty
ytdttdy
tyty
30
;
.
Приклад 3.3. Знайти центр мас однорідної плоскої фігури, яку обмежено лініями: ; ; .
Розв’язання. ; ;
Рис. 3.3.Знайдемо точки перетину ліній:
тобто маємо дві точки: і .
3
2
3
2
23
2
136
13
6
3
2613
22
xdxdxxdxydydxm x
x
x
x
;
Обчислимо окремо невизначений інтеграл
;
;
133arcsin
213413913
23ln6
13arcsin
21313
21 3
2
3
2
3
2
2 xxxxm
31
.
;
dttdttdtxdx
txxdxdttxtx
dxxx9
4
214
9
23
2
2
21
21
2
432923`1
13
;
.
.
Отже, .
Тема 4. Інтеграл та перетворення Фур’є
Література: [2], розділ 4 § 1 – 4; [3], ч. 2, глава 3, § 9; [4], кн.. 2, глава 4, § 9; [5], глава 3, § 9; [7], глава 3, § 5.
Розглядання цієї теми треба починати з повторення теми «Функціональні ряди», зокрема розділу «Ряди Фур’є», оскільки інтеграл Фур’є є узагальненням ряду Фур’є у випадку розкладу на гармоніки неперіодичної функції, заданої на нескінченному проміжку.
Розглянемо приклади зображення інтегралом Фур’є заданих за умовою функцій.
32
Приклад 4.1. Зобразити інтегралом Фур’є функцію
Розв’язання. Ця функція задана на всій осі і кусково-монотонна на довільному скінченному відрізку , оскільки складається з двох неперервних частин і має один розрив першого роду при (рис. 4.1).
Рис. 4.1Функція абсолютно інтегровна, оскільки
.
Отже, задану функцію, враховуючи її непарність, можна зобразити інтегралом Фур’є:
.
Після інтегрування частинами знаходимо
,
звідки
1
1
y
х 0
33
.
Таким чином,
.
Синус – та косинус – перетворення Фур’є застосовуються до функцій, які задані лише на додатній частині осі Ох, якщо вони абсолютно інтегровані вздовж неї та задовольняють на будь-якому скінченому проміжку умовам Діріхлє. При цьому синус-перетворення продовжує функцію на від’ємну частину осі непарним чином, а косинус-перетворення – парним.
Приклад 4.2. Зобразити у вигляді інтеграла Фур’є функцію
,
продовживши її парним і непарним способами.Розв’язання. У разі парного продовження графік функції має вигляд
і за формулами , маємо:
, .
У точках розриву маємо
,
звідки одержуємо розривний множник Діріхлє у вигляді інтеграла Фур’є
У разі непарного продовження графік функції має вигляд
x
1
1
0 1
y
34
і за формулами , маємо:
, .
У точках розриву отримаємо
Приклад 4.3. Знайти косинус-перетворення Фур’є функції
Розв’язання. Знайдемо пряме косинус-перетворення Фур’є заданої функції
.
Отже, обернене косинус-перетворення Фур’є має вигляд
.
Приклад 4.4. Знайти синус-перетворення Фур’є функції
Розв’язання. У разі непарного продовження графік функції має вигляд
y
x11
11 0
x1
1
11 0 22 35
.
.
Тема 5. Вступ до теорії рівнянь математичної фізики
Література: [2], глава 4, § 1, 2, 4, 6; [3], ч. 2, глава 4, § 1 – 4; [4], кн. 2, глава 5, § 1 – 4, 6; [5], глава 6, § 1 – 4; [7], глава 5; [8], глава 17, § 1, 2; [9].
Розгляд цієї та наступної теми доцільно починати з повторення розділу математики «Звичайні диференціальні рівняння», а також правил диференцію-вання функції кількох змінних. Студент повинен, по-перше, засвоїти означення диференціального рівняння з частинними похідними, його порядку, загального та часткового розв’язку, по-друге, знаходити розв’язки найпростіших типів таких рівнянь. Далі треба вміти розпізнати тип квазілінійного рівняння другого порядку (еліптичний, параболічний, гіперболічний) та мати навички приведення рівняння до канонічного вигляду.
Для знаходження розв’язків одновимірного хвильового рівняння та рівняння теплопровідності треба, насамперед, засвоїти загальну схему методу розподілу змінних Фур’є при розв’язанні задач математичної фізики. Нарешті, треба вміти застосовувати отримані знання для розв’язування практичних задач.
Розглянемо приклади.
36
Приклад 5.1. Визначити порядок рівнянь та вказати, які з них є лінійними (однорідними й неоднорідними) і які нелінійними (квазілінійними).
а)
Найвищий порядок похідної, що входить до рівняння, третій: . Отже,
це рівняння третього порядку. Усі похідні і функція входять в рівняння лінійно. Отже, рівняння є лінійним. Оскільки , то рівняння є неоднорідним.
б)
У першому доданку є співмножник , отже, друга похідна входить до
рівняння нелінійно і рівняння є нелінійним.Приклад 5.2. Показати, що функція є розв’язком
диференціального рівняння .
Розв’язання. Знайдемо частинні похідні, які входять у рівняння:
; ; .
Підставимо знайдені похідні в рівняння:.
Таким чином, функція тотожньо задовольняє рівняння при всіх значеннях змінних і є частинним розв’язком цього рівняння.
Приклад 5.3. Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Розв’язання. Зінтегруємо рівняння за , вважаємо при цьому сталою величиною
,
де – довільна функція. Далі проінтегруємо за , вважаючи сталою величиною:
37
,
де , – довільні функції.
Приклад 5.4. Привести рівняння до канонічного вигляду
.
Розв’язання. Тут , , . Оскільки , то рівняння належить до еліптичного типу.
Характеристичне рівняння має вигляд
, або .
Його розв’язки . Відокремлюючи змінні , знайдемо дві
сім’ї уявних характеристик ; . Для приведення даного рівняння до канонічного вигляду зробимо заміну змінних: ; .
Знайдемо усі похідні, що входять до рівняння:
, ,
;
;
.
Підставимо ці вирази у вихідне рівняння
і одержимо канонічний вигляд рівняння .
Приклад 5.5. Привести рівняння до канонічного вигляду .
38
Розв’язання. Маємо , , , , тобто це рівняння гіперболічного типу на всій площині, крім осей координат.
Характеристичне рівняння має вигляд
або ,
звідки одержимо диференціальні рівняння характеристик ; . Після
відокремлення змінних маємо ; .Інтегруємо їх і одержуємо рівняння двох сімей характеристик , . Введемо нові змінні: , . Знайдемо усі похідні, що входять до рівняння, користуючись правилами диференціювання складеної функції кількох змінних:
;
;
;
.
Підставимо ці вирази у вихідне рівняння:
.
Після перетворення маємо
39
.
Оскільки , то рівняння набуває вигляду
.
Звідки остаточно
– канонічний вигляд рівняння.
Приклад 5.6. Привести до канонічного вигляду рівняння
.
Розв’язання. Тут , , . Оскільки , то рівняння належить до еліптичного типу.
Характеристичне рівняння має вигляд ,
звідки або ; .
Розв’язки цих рівнянь мають вигляд ; . Зробимо заміну змінних: ; .
Знайдемо усі похідні, що входять до вихідного рівняння, користуючись наступними формулами:
, ,
,
,
.
Враховуючи, що ; ; ;
; ; ; , одержимо:
; ;
40
; .
Підставимо ці вирази у вихідне рівняння:
і одержимо
канонічний вигляд рівняння .
Приклад 5.7. Привести до канонічного вигляду рівняння
.
Розв’язання. Тут , , . Оскільки , це рівняння належить до параболічного типу на всій площині.
Характеристичне рівняння має вигляд
, або .
У рівнянні поділимо змінні: , звідки .
Зробимо заміну змінних: ; . При такому виборі заміни якобіан
. Знайдемо за формулами (приклад 6) усі похідні, що входять до
рівняння:
, ,
, , .
Значення похідних підставимо у рівняння:
.
Звівши подібні члени, дістанемо канонічний вигляд рівняння
.
Надалі розглянемо застосування методу Фур’є для розв’язування одновимірних хвильового рівняння та рівняння теплопровідності.Приклад 5.8. Однорідна струна довжиною закріплена на кінцях і . У точці струна відтягнута на відстань від положення рівноваги і в момент
41
відпускається без початкової швидкості. Визначити – відхилення струни для будь-якого моменту часу.
Розв’язання. Початкові умови мають вигляд:
Кутовий коефіцієнт прямої ОА дорівнює , отже рівняння цієї прямої
. Пряма АВ проходить через точки і . Застосовуючи відповідне
рівняння прямої, що проходить через дві точки: , одержимо рівняння
прямої АВ у вигляді:
.
Отже,
.
Знайдемо коефіцієнти na ( , оскільки 0)( x ):
.
Інтегруючи частинами, одержимо .
;
42
;
.
Отже,
.
Приклад 5.9. Знайти закон розподілу температури в однорідному ізотропному стрижні , якщо на кінцях його підтримується нульова
температура, а початкова температура задається функцією .
Розв’язання. Закон розподілу температури стрижня описується рівнянням
теплопровідності при початковій умові та граничних умовах
.Розв’язок будемо шукати у вигляді
.
Знайдемо коефіцієнти :
(якщо ).
Нехай :
.
Отже, розв’язок рівняння має вигляд
43
.
Тема 6. Елементи варіаційного числення
Література: [2], глава 6, § 1 –7; [3], ч. 2, глава 7, § 6; [5], глава 10, § 1 – 3; [7], глава 7, § 5 – 7; [8], глава 2, 3; [10], глава 16, § 6.
Починаючи вивчення цього розділу, студент повинен ознайомитися з визначенням функціонала, варіації функції та приросту функціонала, варіацій функціонала та його екстремума. Далі він повинен навчитися складати та розв’язувати диференціальне рівняння екстремалей (рівняння Ейлера), що необхідно для розв’язання задачі на екстремум функціонала з закріпленими кінцями.
У більшості варіаційних задач об’єктом дослідження на екстремум є
функціонал вигляду .
Розглянемо приклади, у яких треба обчислити функціонал при заданих значеннях аргумента.
Приклад 6.1. .
Розв’язання.
Приклад 6.2.
Розв’язання.
44
Приклад 6.3. Знайти варіацію функціонала користуючись:
а) першим означенням; б) другим означенням варіації.Розв’язання. а) Знайдемо приріст функціонала :
За першим означенням .
б) У відповідності з другим означенням варіації функціонала маємо:
.
Приклад 6.4. Знайти варіацію функціонала .
Розв’язання. Знайдемо приріст функціонала :
.
Розвинемо функцію в ряд Тейлора в околі точки :
плюс члени вищого порядку малості
відносно і . Тоді .
Відповідно .
Користуючись одержаною формулою, розв’яжемо наступний приклад.
Приклад 6.5. Знайти варіацію функціонала .
45
Розв’язання. .
; ;
.
Приклад 6.6. Знайти екстремалі функціонала
Розв'язання. Знайдемо усі похідні, що входять до рівняння Ейлера:
. Тоді рівняння Ейлера набуває
вигляду: Розв'яжемо одержане рівняння:
Отже, екстремалями є функції: де і — довільні сталі.
Знайдемо конкретні значення і із крайових умов:.
Отже, допустима екстремаль є .Доречно розглянути окремі (частинні) випадки, у яких розв’язання рівняння
Ейлера може у значній мірі спрощуватися.1. Підінтегральна функція не залежить від . У цьому
випадку і рівняння Ейлера набирає вигляду
. Воно не є диференціальним рівнянням, тому лише у виключних випадках матиме розв'язок.
Приклад 6.7. Знайти екстремалі функціонала
.
Розв’язання. ,
46
Рівняння Ейлера: , а його розв’язок . Ця рівність задовольняє першій
крайовій умові , але не задовольняє умові .
Отже, варіаційна задача не має розв’язку.2. Якщо не залежить від , то . Рівняння Ейлера
набирає вигляду , тобто .
Приклад 6.8. Знайти екстремалі функціонала
.
Розв’язання. ,
Рівняння Ейлера має вигляд , звідки .
Тоді . Загальний розв’язок цього рівняння
.
Довільні сталі знайдемо із крайових умов:
Отже, допустима екстремаль
3. Якщо не залежить від , то і рівняння Ейлера
має вигляд .Це рівняння інтегрується в загальному вигляді.
Приклад 6.9. Знайти екстремалі функціонала
Розв’язання. Знайдемо усі похідні, що входять до рівняння Ейлера:
Тоді рівняння
Ейлера набуває вигляду
47
Розв'яжемо одержане рівняння: і екстремалями служать функції де — довільні сталі.
Знайдемо конкретні значення з крайових умов:
Отже, допустима екстремаль .4. Функція лінійно залежить від , тобто
. Тоді рівняння Ейлера має вигляд , воно не є
диференціальним рівнянням відносно шуканої функції і, як правило, не має
розв’язків, що задовольняють заданим крайовим умовам. Якщо ж , то
підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції двох змінних. У цьому випадку значення функціонала не залежить від шляху інтегрування. Отже, функціонал має постійне значення на всіх допустимих кривих, і варіаційна задача позбувається змісту.
Приклад 6.10. Знайти екстремалі функціонала
Розв’язання. , тобто
, і .
Вираз є повним диференціалом, звідки інтеграл не залежить від шляху інтегрування:
.
Функціонал має постійне значення на всіх кривих, що проходять через точки та , і варіаційна задача не має змісту.
48
Завдання до контрольної роботи
Завдання 1
Записати рівняння кривої, яку отримано у результаті перерізу поверхні площиною. Побудувати криву.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
Завдання 2
Методом перерізів побудувати поверхню:
2.1. .
2.2. .
2.3. .
2.4. .
49
2.5. .
2.6. .
2.7. .
2.8. .
2.9. .
2.10. .
Завдання 3
Визначити центр мас платівки, яку обмежено лініями:
3.1. .
3.2. .
3.3. .
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8. .
3.9.
3.10. .
Завдання 450
а) Знайти похідну скалярного поля у точці за напрямом вектора .б) Знайти кут між градієнтами поля у точках та .
4.1. а) ; б) .
4.2. а) ; б) .
4.3. а) ; б) .
4.4. а) ;
б) .
4.5. а) ;
б) .
4.6. а) ; б) .
4.7. а) ; б) .
4.8. а) ;
б) .
4.9. а) ,
б) .
4.10. а) ; б) .
Завдання 5
У варіантах, що є парними числами, знайти косинус-перетворення Фур’є,
51
непарними – синус-перетворення Фур’є.
5.1. .
5.2. .
5.3. .
5.4. .
5.5. .
5.6. .
5.7. .
5.8. .
5.9. .
5.10. .
Завдання 6
Показати, що функція є розв’язком заданого диференціального рівняння з частинними похідними. За яких умов функція є інтегралом цього рівняння ?
6.1. .
6.2. .
6.3. .
52
6.4. .
6.5. .
Знайти загальний розв’язок рівняння:
6.6. .
6.7. .
6.8. .
6.9. .
6.10. .
Завдання 7
Привести рівняння до канонічного вигляду:
7.1. .
7.2. .
7.3. .
7.4. .
7.5. .
7.6. .
53
7.7. .
7.8. .
7.9. .
7.10. .
Завдання 8
8.1. Струна, що закріплена на кінцях і , має в початковий момент
форму параболи . Визначити, застосовуючи метод Фур’є,
зміщення точок струни від осі абсцис, якщо початкові швидкості дорівнюють нулю.
8.2. Струна, що закріплена на кінцях і , має в початковий момент форму, що визначається функцією . Визначити, застосовуючи метод Фур’є, зміщення точок струни від осі абсцис, якщо початкові швидкості дорівнюють нулю.
8.3. Знайти закон розподілу температури в однорідному ізотропному стрижні , якщо його кінці теплоізольовані , а початкова температура всередині стрижня задана функцією .
8.4. Знайти закон розподілу температури в однорідному ізотропному стрижні , якщо на кінцях його підтримується нульова температура, а початкова температура всередині стрижня задана функцією:
8.5. Знайти методом розподілу змінних розв’язок рівняння теплопровідності
, який задовольняє початкову умову
та однорідні граничні умови.
54
8.6. Знайти закон розподілу температури в однорідному ізотропному стрижні , якщо на кінцях його підтримується нульова температура, а початкова температура всередині стрижня задана функцією .
8.7. Знайти методом розподілу змінних розв’язок хвильового рівняння
, який задовольняє початкову умову та однорідні граничні умови .
8.8. Струна, що закріплена на кінцях та , має в початковий момент форму ламаної , де . Знайти форму струни для будь-якого моменту часу, якщо початкові швидкості дорівнюють нулю.
8.9. Струна закріплена у точках і . Початкові відхилення точок дорівнюють нулю. В початковий момент часу ударом молоточка у точці
їй надається початкова швидкість:
,
де ширина молоточка. Знайти форму струни для будь-якого часу.
8.10. Струна, закріплена у точках і . Початкові відхилення точок дорівнюють нулю. В початковий момент часу їй надається початкова швидкість . Знайти форму струни для будь-якого часу.
Завдання 9.
Знайти варіацію для заданого функціонала, користуючись першим або другим означенням.
9.1. .
9.2. .
9.3. .
55
9.4. .
9.5. .
9.6. .
9.7. .
9.8. .
9.9. .
9.10. .
Завдання 10.
Знайти допустимі екстремалі функціонала:
10.1. а) ;
б) .
10.2. а) ;
б) .
10.3. а) ;
б) .
56
10.4. а) ;
б) .
10.5. а) ;
б) .
10.6. а) ;
б) .
10.7. а) ;
б) .
10.8. а) ;
б) .
10.9. а) ;
б) .
10.10. а) ;
б) .
57
ЗМІСТ
ЗАГАЛЬНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУПРИ ВИВЧЕННІ ДИСЦИПЛІНИ “ВИЩА МАТЕМАТИКА»………………… 3ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ «СПЕЦІАЛЬНІ РОЗДІЛИ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ»………………………………………………………………….. 5ЛІТЕРАТУРА………………………………………………………………………. 7ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ………………………………………………………. 8 ТЕМА 1. Поверхні другого порядку…………………………………….. 8 ТЕМА 2. Елементи теорії скалярного поля……………………………… 10 ТЕМА 3. Застосування подвійного інтеграла при розв’язуванні задач механіки………………………………………………….. 12 ТЕМА 4. Інтеграл та перетворення Фур’є………………………………. 14 ТЕМА 5. Вступ до теорії рівнянь математичної фізики………………… 16
ТЕМА 6. Елементи варіаційного числення……………………………… 24КОНТРОЛЬНА РОБОТА………………………………………………………….. 26 ТЕМА 1. Поверхні другого порядку…………………………………….. 26 ТЕМА 2. Елементи скалярного поля……………………………………. 29 ТЕМА 3. Застосування подвійного інтеграла при розв’язуванні деяких задач механіки…………………………………………. 31 ТЕМА 4. Інтеграл та перетворення Фур’є……………………………….. ТЕМА 5. Вступ до теорії рівнянь математичної фізики………………. 40 ТЕМА 6. Елементи варіаційного числення……………………………… 50ЗАВДАННЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ……………………………………… 56 ЗАВДАННЯ 1………………………………………………………………. 56 ЗАВДАННЯ 2……………………………………………………………… 57 ЗАВДАННЯ 3……………………………………………………………… 57 ЗАВДАННЯ 4……………………………………………………………… 59
58
ЗАВДАННЯ 5……………………………………………………………… 60 ЗАВДАННЯ 6……………………………………………………………… 61 ЗАВДАННЯ 7……………………………………………………………… 62 ЗАВДАННЯ 8……………………………………………………………… 63 ЗАВДАННЯ 9……………………………………………………………… 65 ЗАВДАННЯ 10. …………………………………………………………… 66
59