ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ...

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ

Μ. NεραντζάκηΑναπλ. Καθηγήτρια ΕΜΠ

ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ

1

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ

Ε.Ι. ΣαπουντζάκηςΚαθηγητής ΕΜΠ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

2


Τοπικό και καθολικό διάνυσμα ακραίων μετακινήσεων

{ }1

2

3

ij

ij ij

ij

u

D u

ϑ

=

{ }1

2

3

ik

ik ik

ik

uD u

ϑ

=

{ }{ }{ }

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ij iji

ik ik

ik

ik

u

uD

DD u

u

ϑ

ϑ

= =

{ } { }{ }

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ijij

iik ik

ik

ik

u

uD

DD u

u

ϑ

ϑ

= =

άκρου j

άκρου kόλου του στοιχείου

Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 3


Κάθε σημείο του άξονα του μέλους επίπεδου πλαισίου θα έχει:α) αξονική παραμόρφωση

β) εγκάρσια παραμόρφωση1 1 41( ) ( ) ( )ij iku x u x u x


2 3 2 5 3 62 3v( ) ( ) ( ) ( ) ( )ij ij ik ikx u x x u x x


1 1 41( ) ( ) ( )ij iku x u x u x

→ Συναρτήσεις σχήματος → εκφράζουν την αξονική παραμόρφωση για


1 4( ), ( )x x ij ik

11u = 1,u = 0ij ik

11u = 0,u = 1και

, αντίστοιχα.

α) αξονική παραμόρφωση

Οι παραπάνω συναρτήσεις σχήματος υπολογίζονται με διαδικασία όμοια με αυτή που ακολουθείται για την αξονική παραμόρφωση μέλους επίπεδου δικτυώματος.

1 1 ,x x L 4 ,x x L


→ Συναρτήσεις σχήματος →εκφράζουν την ελαστική γραμμή του στοιχείου για


2 3 5 6( ), ( ), ( ), ( )x x x x

, αντίστοιχα.

β) καμπτική παραμόρφωση

2 3 2 5 3 62 3v( ) ( ) ( ) ( ) ( )ij ij ik ikx u x x u x x

ij2u = 1 ij ik ik

2 33 = u = = 0 και§ij3 = 1 ij ik ik

2 32u = u = = 0και§ik2u = 1 ij ij ik

32 3u = = = 0 και§ik3 = 1 ij ij ik

22 3u = = u = 0και§



β) καμπτική παραμόρφωση

Επίλυση προβλήματος κάμψης (παραδοχή Bernoulli)

22

2 20

id xdEI x

dx dx

διπλή ολοκλήρωσηελαστική γραμμή

Για μέλος επίπεδου πλαισίου σταθερής διατομής:

3 2

1 2 3 43 2

ix x

x c c c x c

2

1 2 32

ix

x c c x c

2, 3, 5, 6i

Οι σταθερές c1, c2, c3, c4 υπολογίζονται από τις συνοριακές συνθήκες.


Έτσι, για την ψ2(x): 2 2 2 20 1 0 0 0 0L L , , ,

2 32 1 3 2 ,x x L


για την ψ3(x): 3 3 3 30 0 0 1 0 0L L , , ,

2 33 2 ,x L x L

για την ψ5(x): 5 5 5 50 0 0 0 1 0L L , , ,

2 35 3 2 ,x x L


και, για την ψ6(x): 6 6 6 60 0 0 0 0 1L L , , ,

2 36 ,x L x L


1

1u 2( )x

3( )x

5( )x

6( )x

2 1iju 2 1iku

3 1ik

3 1ij

Η ΑΡΧΗ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ




in in ina bW W W

Δυνατό Έργο Αξονικές Παραμορφώσεις

Καμπτικές Παραμορφώσεις

Επίπεδο Δικτύωμα √ XΕπίπεδο Πλαίσιο √ √

inaW

inbW

→ δυνατό έργο λόγω αξονικών παραμορφώσεων (axial)

→ δυνατό έργο λόγω καμπτικών παραμορφώσεων (bending)

1 1 41a ij ikx

uu x u x

x

1

2

31 4

1

2

3

[ 0 0 0 0]

ij

ij

ij

aik

ik

ik

u

u

x xu

u

N u


Όμοια με την περίπτωση του στοιχείου επίπεδου δικτυώματος, το έργο λόγω αξονικής παραμόρφωσης υπολογίζεται ως εξής:

in 0( )

La a a a

x x x xVW dV A x E dx V: ο όγκος του στοιχείου

όπου 1 40 0 0 0a x x N

και 1 2 31 2 3

Tij ij ij ik ik iku u u u uΕ.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 12

ax a N u

1

2

32 3 5 6

1

2

3

[0 0 ]

ij

ij

ij

bik

ik

ik

u

u

Ey x x x x Eyu

u

N u



bx by N u

Αντικαθιστώντας προκύπτει:

in 0( )

La T Ta aW EA x dx

u N N u (1)

Για το δυνατό έργο λόγω καμπτικών παραμορφώσεων:

inb b

x xVW dx

xM y EyuI


όπου 2 3 5 60 0b x x x x N

και 1 2 31 2 3

Tij ij ij ik ik iku u u u u


Αντικαθιστώντας και ολοκληρώνοντας ως προς τη διατομή προκύπτει:

in 0( )

Lb T T

b bW EI x dx u N N u (2)

(1) + (2):

in in in 0 0( ) ( )

L La b T T Ta a b bW W W EA x dx EI x dx

u N N N N u


15

όπου

Για το έργο των εξωτερικών δυνάμεων ισχύει:T

exW u f 1 2 3 1 2 3T ij ij ij ik ik ikF F M F F M

f

Εξισώνοντας (δWin = δWex):

1 111 14

2 222 23 25 26

3 32 33 35 36 3

41 441 1

52 53 55 562 2

62 63 65 663 3

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

ij ij

ij ij

ij ij

ik ik

ik ik

ik i

F uk kF uk k k k

M k k k k

k kF uk k k kF uk k k kM

k



16

1 111 14

2 222 23 25 26

3 32 33 35 36 3

41 441 1

52 53 55 562 2

62 63 65 663 3

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

ij ij

ij ij

ij ij

ik ik

ik ik

ik i

F uk kF uk k k k

M k k k k


k

0

L

ij i jk EA x x x dx , 1, 4i j



17

1 111 14

2 222 23 25 26

3 32 33 35 36 3

41 441 1

52 53 55 562 2

62 63 65 663 3

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

ij ij

ij ij

ij ij

ik ik

ik ik

ik i

F uk kF uk k k k

M k k k k


k

0

L

ij i jk EI x x x dx , 2, 3,5,6i j



18

1 111 14

2 222 23 25 26

3 32 33 35 36 3

41 441 1

52 53 55 562 2

62 63 65 663 3

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

ij ij

ij ij

ij ij

ik ik

ik ik

ik i

F uk kF uk k k k

M k k k k


k


iA


19

1 111 14

2 222 23 25 26

3 32 33 35 36 3

41 441 1

52 53 55 562 2

62 63 65 663 3

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

ij ij

ij ij

ij ij

ik ik

ik ik

ik i

F uk kF uk k k k

M k k k k


k


ik iA


20

1 111 14

2 222 23 25 26

3 32 33 35 36 3

41 441 1

52 53 55 562 2

62 63 65 663 3

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

ij ij

ij ij

ij ij

ik ik

ik ik

ik i

F uk kF uk k k k

M k k k k


k


ik iA iD


Τελικά,

i i iA k D Ε.Ι. Σαπουντζάκης – Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ – ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 21

1 111 14

2 222 23 25 26

3 32 33 35 36 3

41 441 1

52 53 55 562 2

62 63 65 663 3

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

ij ij

ij ij

ij ij

ik ik

ik ik

ik i

F uk kF uk k k k

M k k k k


k

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ...

Documents