ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ - ntuausers.ntua.gr/cvsapoun/2-plane trusses.pdf ·...

ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ

ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή

2. Παρουσίαση επίπεδου δικτυώματος

3. Διανύσματα ακραίων δράσεων στοιχείου επίπεδου

δικτυώματος

4. Διανύσματα ακραίων μετατοπίσεων στοιχείου επίπεδου


6. Τοπικό μητρώο στιβαρότητας στοιχείου επίπεδου


5. Μητρώο μετασχηματισμού στοιχείου επίπεδου δικτυώματος

7. Καθολικό μητρώο στιβαρότητας στοιχείου επίπεδου


2


Περιεχόμενα

8. Διανύσματα επικόμβιων δράσεων και μετατοπίσεων

επίπεδου δικτυώματος

9. Καθολικό μητρώο στιβαρότητας επίπεδου δικτυώματος

10. Τροποποίηση (αναδιάταξη) καθολικού μητρώου

στιβαρότητας επίπεδου δικτυώματος λόγω στήριξης –

Μητρώο αναδιάταξης

13. Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών επίπεδου δικτυώματος

3

11.Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας επίπεδου

δικτυώματος λόγω κεκλιμένης στήριξης – Ελαστική στήριξη

12. Επίπεδο δικτύωμα υποβαλλόμενο σε ενδιάμεσα φορτία


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

4


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι ραβδωτοί φορείς που αποτελούνται από ευθύγραμμες ράβδους,

των οποίων τα άκρα συνδέονται αρθρωτά σε κόμβους και

μεταφέρουν μόνο αξονικές δυνάμεις (εφελκυστικές ή θλιπτικές)

ονομάζονται δικτυώματα.

5

Τα δικτυώματα είναι συνήθως κατασκευασμένα από χάλυβα

(μεταλλικές κατασκευές), από αλουμίνιο (ελαφριές μεταλλικές

κατασκευές) ή από ξύλο (ξύλινες κατασκευές).


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στην περίπτωση κατά την οποία όλες οι ράβδοι δικτυώματος

βρίσκονται σε ένα επίπεδο και η φόρτιση του ανήκει στο επίπεδο

αυτό, το δικτύωμα αυτό αναφέρεται ως επίπεδο, ενώ σε αντίθετη

περίπτωση, ο φορέας ονομάζεται χωρικό δικτύωμα ή

χωροδικτύωμα.

6

Οι ράβδοι δικτυώματος καταπονούνται από ομοιόμορφες θλιπτικές ή

εφελκυστικές τάσεις και έτσι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την

κάλυψη μεγάλων ανοιγμάτων (>50 m).


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Για την ανάλυση των δικτυωμάτων εισάγονται οι ακόλουθες βασικές

απλοποιητικές παραδοχές:

7

• Η σύνδεση των ράβδων στους κόμβους του δικτυώματος θεωρείται

ως ιδανικά αρθρωτή (μηδενικές τριβές).

• Οι άξονες όλων των ράβδων του δικτυώματος θεωρούνται

ευθύγραμμοι.

• Οι άξονες όλων των ράβδων που συντρέχουν σε ένα κόμβο τέμνονται

προεκτεινόμενοι σε ένα σημείο σύνδεσης ('κεντρική' σύνδεση).


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Για την ανάλυση των δικτυωμάτων εισάγονται οι ακόλουθες βασικές

απλοποιητικές παραδοχές:

8

• Τα εξωτερικά φορτία συνίστανται αποκλειστικά σε δυνάμεις που

ενεργούν επί των κόμβων ή είναι παράλληλες με τους άξονες των

ράβδων.

• Οι ράβδοι του δικτυώματος θεωρούνται εγκαρσίως αφόρτιστες.

Στις περιπτώσεις φόρτισης δικτυώματος με σημαντικά εξωτερικά

εγκάρσια φορτία η αποκλειστική φόρτιση των κόμβων

επιτυγχάνεται με τη βοήθεια συστήματος τεγίδων – διαδοκίδων.


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι αποκλίσεις από τις παραδοχές του ιδανικού δικτυώματος μπορεί

οφείλονται στους εξής λόγους:

9

• Στους πραγματικούς κόμβους, ακόμη και αν αυτοί είναι εκ

κατασκευής αρθρωτοί, η τριβή στην άρθρωση δεν είναι

μηδενική. Πολύ περισσότερο, οι κόμβοι δεν μπορούν να

θεωρηθούν ως ιδανικές αρθρώσεις στις περιπτώσεις

συγκολλητών, κοχλιωτών ή ηλωτών συνδέσεων και ιδιαίτερα

όταν ένα δομικό στοιχείο δεν διακόπτεται στον κόμβο, αλλά είναι

συνεχές.


ΕΙΣΑΓΩΓΗ



10

• Πρόσθετη μικρή καμπτική ένταση αναπτύσσεται σε πολλές

περιπτώσεις λόγω της έκκεντρης σύνδεσης των ράβδων στους

κόμβους. Οι άξονες των συνδεόμενων στοιχείων δεν

συναντιούνται στο ίδιο σημείο, γεγονός που δεν λαμβάνεται

υπόψη στο απλοποιημένο προσομοίωμα του δικτυώματος.

Η απόκλιση αυτή αποφεύγεται στις περιπτώσεις βιομηχανοποιη-

μένων χωροδικτυωμάτων, των οποίων οι κόμβοι μπορούν να

θεωρηθούν ως κεντρικά τοποθετημένες ιδανικές αρθρώσεις.


ΕΙΣΑΓΩΓΗ



11

• Σε περιπτώσεις συνεχούς άνω ή κάτω πέλματος στο οποίο

παρουσιάζεται μεταβολή της διατομής (π.χ. λόγω ενίσχυσης

ενός τμήματος με συγκόλληση ή κοχλίωση πρόσθετων

ελασμάτων) εμφανίζεται μικρό άλμα στον κεντροβαρικό άξονα

των ράβδων που αποτελούν το πέλμα. Αυτό λαμβάνεται

απλοποιημένα υπόψη με τον καθορισμό ενός "μέσου"

ουδέτερου άξονα. Με τον τρόπο αυτόν η πρόσθετη καμπτική

ένταση λόγω της εκκεντρότητας διατηρείται σε χαμηλά (αμελητέα)

επίπεδα.


ΕΙΣΑΓΩΓΗ



12

• Τα μη κατακόρυφα δομικά στοιχεία (άνω και κάτω πέλμα,

διαγώνιες ράβδοι) σε αντίθεση με την παραδοχή περί

αποκλειστικά αξονικής φόρτισης φορτίζονται εγκάρσια

μεταξύ των κόμβων τους τουλάχιστον από το ίδιο βάρος τους,

αλλά ενδεχομένως (κυρίως τα πέλματα) και από εγκάρσια

εξωτερικά φορτία (συμβαίνει συχνά τεγίδες να στηρίζονται επάνω

σε ράβδο μεταξύ δύο κόμβων). Το ίδιο βάρος των ράβδων, αν

και είναι κατανεμημένο κατά το μήκος τους, είναι συνήθως τόσο

μικρό σε σχέση με τα φέροντα φορτία που επιτρέπει την

εφαρμογή του ισόποσα στα δύο άκρα ως συγκεντρωμένα φορτία,

όταν πρέπει να ληφθεί υπόψη.


ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

13



Τα μέλη του δικτυώματος είναι κατασκευασμένα από ομογενές και

ισότροπο υλικό ( ) και είναι διατομής ή

Α/2.

14

8 22.1 10 /E kN m 210A cm

60o

2P P

5P

60o

4.5

kel

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

δ=2cm

Εξεταζόμενο δικτύωμα

Στοιχεία γεωμετρίας και

υλικού μελών


Σημείο εκκίνησης για την ανάλυση του επίπεδου δικτυώματος αποτελεί η

αρίθμηση των κόμβων και των μελών του. Επίσης, επιλέγεται το

δεξιόστροφο ορθογώνιο ως καθολικό σύστημα αξόνων, ως προς το

οποίο θα γίνει η ανάλυση του φορέα και ο υπολογισμός των κινηματικών

μεγεθών των κόμβων του και των αντιδράσεων των στηρίξεων του.

15

1

4

5

3

2

1x

2x

kel



Ακολούθως, εισάγεται τοπικό σύστημα αναφοράς για κάθε ένα από τα

στοιχεία που συνθέτουν το δικτύωμα. Για τον καθορισμό του συστήματος

αυτού, σε κάθε μέλος ορίζεται ως άξονας x1 αυτός που έχει διεύθυνση

εκείνη του μέλους και φορά από τον κόμβο με μικρότερο προς τον κόμβο

με μεγαλύτερο αύξοντα αριθμό.

16

1

4

5

3

2

1x

2x

kel



Τέλος, καθορίζονται οι βαθμοί ελευθερίας κίνησης των κόμβων του

(κινηματική αοριστία), όπου στο βήμα αυτό αμελείται ο τρόπος στήριξης

του δικτυώματος. Έτσι, γνωρίζοντας ότι κάθε κόμβος διαθέτει δύο

βαθμούς ελευθερίας κίνησης, οι βαθμοί ελευθερίας κίνησης του φορέα θα

είναι 2Ν, όπου Ν ο αριθμός των κόμβων (nodes) του δικτυώματος.

17

1

4

5

3

2

1x

2x

kel



ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

18


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

19

Τοπικό και

καθολικό

διάνυσμα

ακραίων

δράσεων

1x

2x

j

k

1 1

20

ij ijij

ij

F FA

F

1 1

20

ik ikik

ik

F FA

F

1 1

2

1 1

2

0

0

ij ij

ijij

i

ik ik ik

ik

F FA

FA

A F F

F

1

2

1

2

ij

ijij

i

ik ik

ik

F

AF

A

A F

F

αξονική και τέμνουσα δύναμη

στα άκρα του μέλους

1 1 2cos sinij ijij ij ijF F F

2 1 20 sin cosij ijij ij ijF F F

άκρου j

άκρου k

όλου του

στοιχείου


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ


20


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ


21

ik

1x

2x

j

k

ij

j'

k'

1

2

ijij

ij

uD

u

1

2

ikik

ik

uD

u

1

2

1

2

ij

ijij

i

ik ik

ik

u

Du

DD u

u

1

2

1

2

ij

ijij

i

ik ik

ik

u

Du

D

D u

u

Τοπικό και

καθολικό

διάνυσμα

ακραίων

μετατοπίσεων

άκρου j

άκρου k όλου του

στοιχείου


ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ


22

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 23

1x

2x

j

k



1 1 2cos sinij ijij ij ijF F F

2 1 20 sin cosij ijij ij ijF F F

ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ


1 11

2 2

cos sin

0 sin cos

ijij ij ijijijijij

PTij ijij ij

F FFA A

F F

cos sin

sin cos

ij ijijPT ij ij

όπου

Στο άκρο j

μέλους

επίπεδου



1x

2x

j

k



1 21 cos sinik ikik ik ikF F F

1 22 0 sin cosik ikik ik ikF F F



11 1

2 2

cos sin

0 sin cos

ikik ik ikikikik ik

PTik ik ik ik

F FFA A

F F

cos sin

sin cos

ik ikikPT ik ik

όπου

Παρομοίως

στο άκρο k

μέλους

επίπεδου



1x

2x

j

k



ή συνολικά και στα δύο

άκρα μέλους επίπεδου


Μητρώο

μετασχηματισμού

μέλους επίπεδου


11

2

1 1

2

cos sin 0 0

sin cos 0 00

0 0 cos sin

0 0 0 sin cos

0

0

ijij ijij

ij ijij iji

ik ik ik ikik

ik ik ik

ijijPT

ikikPT

FF

AF

AA F F

F

A

A

iiPT A


1x

2x

j

k

Ανάλυση δυνάμεων στα άκρα

του μέλους



cos sin

sin cos

ij ijijPT ij ij

όπου

Αντίστροφα,

στο άκρο j

(ή k) μέλους

επίπεδου


1 1 2cos sinij ij ijij ijF F F

2 1 2sin cosij ij ijij ijF F F

1 1

22

cos sin

sin cos

ij ijij ijTij ij ij

PTij ijij ij

F FA A

FF

1 Tij ijPT PT


1x

2x

j

k



και συνολικά και στα δύο

άκρα μέλους επίπεδου


Αντίστροφος

μετασχηματισμός

για μέλος

επίπεδου


0

0

ij Tij ijPT Ti i i

PTTik ikikPT

A A

A AAA

όπου

1 Ti iPT PT

cos sin 0 0

0sin cos 0 0

0 0 0 cos sin

0 0 sin cos

ij ij

ijij ijPT

iPT ik ik ik

PT

ik ik




‘Ομοια για τα διανύσματα

ακραίων μετατοπίσεων

θα ισχύει

Μητρώο




ik

1x

2x

j

k

ij

j'

k'

11

22

1 1

2 2

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

0

0

ijij ij ij

ij ijij ij iji

ik ik ik ik ik

ik ik ik ik

ijijPT

ikikPT

uu

Du u

DD u u

uu

D

D

iiPT D




ή αντίστροφα

Ανάστροφο

μητρώου




ik

1x

2x

j

k

ij

j'

k'

0

0

ij Tij ijPT Ti i i

PTTik ikikPT

D D

D DDD

1 Ti iPT PT


Εφαρμογή -ΜΗΤΡΩΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΜΕΛΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

30

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

iPT

Μόρφωση

μητρώων


μελών


ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


31


ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ


32

το τυχόν στοιχείο του τοπικού

μητρώου στιβαρότητας του μέλους i

δηλώνει την αναπτυσσόμενη τοπική

ακραία δράση κατά τον τοπικό

βαθμό ελευθερίας m όταν επιβληθεί

μοναδιαία και μοναδική ακραία

μετακίνηση κατά τον τοπικό βαθμό

ελευθερίας n του μέλους i , δηλαδή

με ταυτόχρονο μηδενισμό των

υπόλοιπων τοπικών βαθμών

ελευθερίας του μέλους.

imnk

ij iji ijj jk

i iik ikkj kk

A Dk k

k kA D

i i iA k D

1x

2x

j

k

11

21

31

41

0

0

k EA L

k

k EA L

k

11 12 13 1 14 21 1 2ij ij iji i i ik i ikF k u k u k u k u

11 12 13 141 11

21 22 23 242 2

31 32 33 341 11

41 42 43 442 2

0

0

ij iji i i iij

i i i iij ij

i i i iik ikik

i i i iik ik

k k k kF uF

k k k kF u

k k k kF uF

k k k kF u

Μόρφωση τοπικού μητρώου στιβαρότητας μέλους επίπεδου δικτυώματος

Μοναδιαία μετατόπιση στο άκρο j μέλους ε.δ.


ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ


33

το τυχόν στοιχείο του τοπικού


δηλώνει την αναπτυσσόμενη τοπική

ακραία δράση κατά τον τοπικό

βαθμό ελευθερίας m όταν επιβληθεί

μοναδιαία και μοναδική ακραία

μετακίνηση κατά τον τοπικό βαθμό

ελευθερίας n του μέλους i , δηλαδή

με ταυτόχρονο μηδενισμό των

υπόλοιπων τοπικών βαθμών

ελευθερίας του μέλους.

imnk

i i iA k D

Μόρφωση τοπικού μητρώου στιβαρότητας μέλους επίπεδου δικτυώματος

Μοναδιαία μετατόπιση στο άκρο k μέλους ε.δ.

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

i i i i

i ii ijj jk

i

i i i i i ikj kk

i i

E A E A

L Lk k

kk k E A E A

L L

Τοπικό μητρώο

στιβαρότητας μέλους

1x

2x

j

k

13

23

33

43

0

0

k EA L

k

k EA L

k


Εφαρμογή - ΤΟΠΙΚΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


34

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

i i i i

i ii ijj jk

i

i i i i i ikj kk

i i

E A E A

L Lk k

kk k E A E A

L L

Τοπικά μητρώα στιβαρότητας μελών

Στοιχεία γεωμετρίας

και υλικού μελών


ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


35


ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ


36

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας μέλους επίπεδου δικτυώματος

1 11 12 13 14 1

2 21 22 23 24 2

1 31 32 33 34 1

2 41 42 43 44 2

ij i i i i ij

ij i i i i ij

ik i i i i ik

ik i i i i ik

F k k k k u

F k k k k u

F k k k k u

F k k k k u

i iij ijjj jk

ik iki ikj kk

k kA D

A Dk k

i i iA k D

το τυχόν στοιχείο του καθολικού


δηλώνει την αναπτυσσόμενη καθολική

ακραία δράση κατά τον καθολικό βαθμό

ελευθερίας m όταν επιβληθεί μοναδιαία

και μοναδική ακραία μετακίνηση κατά

τον καθολικό βαθμό ελευθερίας n του

μέλους i, δηλαδή με ταυτόχρονο

μηδενισμό των υπόλοιπων τοπικών

βαθμών ελευθερίας του μέλους.

imnk

i ii i i i i iPT PTA k D A k D

Ti ii i i

PT PTA k D

Ti i i iPT PTk k


ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

37

• Κάθε μητρώο στιβαρότητας είναι συμμετρικό, δηλαδή . Η ιδιότητα

αυτή επιβεβαιώνεται από την αρχή της αμοιβαιότητας των έργων Betti-

Maxwell.

0mmk



38



Maxwell.

• Τα διαγώνια στοιχεία μητρώου στιβαρότητας είναι πάντα θετικά .

Επίσης, τα διαγώνια στοιχεία μητρώου στιβαρότητας είναι μη μηδενικά.

Κατ’ εξαίρεση το τοπικό μητρώο στιβαρότητας μέλους δικτυώματος και

πιθανόν αυτό του αντίστοιχου καθολικού, εμφανίζει μηδενικά στοιχεία σε

διαγώνιες θέσεις (δεν ορίζεται τέμνουσα δύναμη σε μέλος δικτυώματος).

0mmk

0mmk



39



Maxwell.

• Τα διαγώνια στοιχεία μητρώου στιβαρότητας είναι πάντα θετικά .

Επίσης, τα διαγώνια στοιχεία μητρώου στιβαρότητας είναι μη μηδενικά.

Κατ’ εξαίρεση το τοπικό μητρώο στιβαρότητας μέλους δικτυώματος και

πιθανόν αυτό του αντίστοιχου καθολικού, εμφανίζει μηδενικά στοιχεία σε

διαγώνιες θέσεις (δεν ορίζεται τέμνουσα δύναμη σε μέλος δικτυώματος).

• Η ορίζουσα μητρώου στιβαρότητας είναι μηδενική. Το φυσικό νόημα

της ιδιότητας αυτής γίνεται αντιληπτό από το γεγονός ότι κατά τη μόρφωση

του μητρώου στιβαρότητας του στοιχείου ή φορέα δεν έχει ληφθεί υπόψη ο

τρόπος στήριξης του (στερεό σώμα).

0mmk

0mmk


Εφαρμογή - ΚΑΘΟΛΙΚΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


40

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Καθολικά μητρώα στιβαρότητας μελών

1

0 0 0 0

0 46666.67 0 46666.67

0 0 0 0

0 46666.67 0 46666.67

k

1 2 3 4

1

2

3

4

2

0 0 0 0

0 46666.67 0 46666.67

0 0 0 0

0 46666.67 0 46666.67

k

5 6 7 8

5

6

7

8

3

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

k

1 2 5 6

1

2

5

6

4

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

k

3 4 7 8

3

4

7

8


Εφαρμογή - ΚΑΘΟΛΙΚΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


41

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

5

8623.90 7761.50 8623.90 7761.50

7761.50 6985.30 7761.50 6985.30

8623.90 7761.50 8623.90 7761.50

7761.50 6985.30 7761.50 6985.30

k

3 4 5 6

3

4

5

6

6

8623.90 7761.50 8623.90 7761.50

7761.50 6985.30 7761.50 6985.30

8623.90 7761.50 8623.90 7761.50

7761.50 6985.30 7761.50 6985.30

k

1 2 7 8

1

7

8

2

7

17248.00 15523.00 17248.00 15523.00

15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

17248.00 15523.00 17248.00 15523.00

15523.00 13971.0

k

7 8 9 10

7

8

9

10 0 15523.00 13971.00

8

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

k

5 6 9 10

5

6

9

10


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

42


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

43

Από τις μετατοπίσεις των κόμβων κάποιες είναι γνωστές και οι υπόλοιπες

άγνωστες, ανάλογα με το εάν οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας κόμβου είναι

δεσμευμένοι ή ελεύθεροι. Αντίστοιχα, υπάρχουν γνωστές δράσεις, που είναι τα

εξωτερικά φορτία των κόμβων και άγνωστες, που είναι οι αντιδράσεις στις

στηρίξεις τους.

(1)

11

(1) (1)

2 2

(2)(2) 31

(2)4

2

(N)(N) 2 11

2(N)

2

:::

N

N

PP

P P P

P PP

P PP

P PP

PP

(1)

11

(1) (1)

2 2

(2)(2) 31

(2)4

2

(N)(N) 2 11

2(N)

2

:::

N

N

Συνιστώσες των επικόμβιων δράσεων και επικόμβιων μετατοπίσεων των

Ν κόμβων δικτυώματος

Εναλλακτικές μορφές

γραφής διανυσμάτων


Εφαρμογή - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

44

60o

2P P

5P

60o

4.5

δ=2cm kel

EA

EA

EA EA

EA

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

kel

(1)

1

1(1)1

22(2) 2

13

3(2)

2 4

(3)51

(3)6 62

(4) 71

8(4)

29

(5)

110

(5)

2

0.866

0.5

0

0

2

4.330

2.5

P

PRP

PR

PP

R PP P P

P PP

P RP

PP

PPP

PPP P

P

P

(1)

1

1(1)

22(2)

13

(2)42 4

(3)551

(3) 662

7(4) 71

88(4)

299

(5)

1 1010(5)

2

0

0.02

0

Γραφή με άνω (αριθ-

μός κόμβου) και κάτω

(αριθμός καθολικού

άξονα) δείκτη


Εφαρμογή - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

45

60o

2P P

5P

60o

4.5

δ=2cm kel

EA

EA

EA EA

EA

(1)

1

1(1)1

22(2) 2

13

3(2)

2 4

(3)51

(3)6 62

(4) 71

8(4)

29

(5)

110

(5)

2

0.866

0.5

0

0

2

4.330

2.5

P

PRP

PR

PP

R PP P P

P PP

P RP

PP

PPP

PPP P

P

P

(1)

1

1(1)

22(2)

13

(2)42 4

(3)551

(3) 662

7(4) 71

88(4)

299

(5)

1 1010(5)

2

0

0.02

0

Γραφή με κάτω δείκτη

(βαθμός ελευθερίας

κίνησης δικτυώματος)

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

kel


ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


46


ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ


47

(1) (1)

11 12 1,

(2) (2)21 22 2,

(N) (N),1 ,2 ,

...

...

: : :: :

...

N

N

N N N N

PK K K

P K K K

K K KP

11 12

21 22

nm nm

nmnm nm

K KK

K K

1 11 12 13 14 1,2 1 1,2

2 21 22 23 24 2,2 1 2,2

3 31 32 33 34 3,2 1 3,2

4 41 42 43 44 4,2 1 4,2

2 1 2 1,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1

2

...

...

...

...

: : : : : : :

...

N N

N N

N N

N N

N N N N N N N

N

P K K K K K K

P K K K K K K

P K K K K K K

P K K K K K K

P K K K K K K

P

1

2

3

4

2 1,2 2 1

2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2

:

...

N N N

N N N N N N N N NK K K K K K

P K

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα επίπεδου δικτυώματος

( )

( ) 1

( )

2

nn

n

PP

P

( )

( ) 1

( )

2

mm

m

Καθολικό

μητρώο

στιβαρό-

τητας

φορέα

1

4

5

3

2

1x

2x

2 1u




48

n2K

( ) (1) (2) ( ) (N)1 2 ,N... ...

n mn n nm nP K K K K

( )

( ) 1

( )

2

1

1

mm

m

( )

( ) 1

( )

2

0

0

kk

k

( ) 1

1

nnmP K

Στοιχεία καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα επίπεδου δικτυώματος

k=1,2,…,N , k m

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2




49

n7K

( ) (1) (2) ( ) (N)1 2 ,N... ...


( )

( ) 1

( )

2

1

1

mm

m

( )

( ) 1

( )

2

0

0

kk

k

( ) 1

1

nnmP K


k=1,2,…,N , k m

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2




50

n10K

( ) (1) (2) ( ) (N)1 2 ,N... ...


( )

( ) 1

( )

2

1

1

mm

m

( )

( ) 1

( )

2

0

0

kk

k

( ) 1

1

nnmP K


k=1,2,…,N , k m

(4) 6 (1) 4 (2) 2 (3)

2 4 6 7 (4) 7 (5)

kj kj kj

kk kk kk jj jk

P k k k

k k k k k




51

Διατύπωση μητρωικών εξισώσεων ισορροπίας που συνθέτουν το

καθολικό μητρώο στιβαρότητας φορέα επίπεδου δικτυώματος

(4) 2 (3) 2 (4) 4 (2) 4 (4)

6 (1) 6 (4) 7 (4) 7 (5)

kj kk kj kk

kj kk jj jk

P k k k k

k k k k

(4) 2 4 6 7

- - - - 0k k k j

P A A A A

2 2 2 2 2k j kkj kkA k D k D



7 7 7 7 7j j kjj jkA k D k D

(4)

(4) 71

(4)8

2

(4)

(4) 1

(4)

2

0

2

PP

PP

(4) 2 4 6 7k k k jD D D D

(5) 7 jD (3) 2 j

D (2) 4 jD (1) 6 j

D

2

7

6

4

4

k

k

k

j




52

H σύνθεση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του επίπεδου δικτυώματος

βασίζεται στις εξισώσεις ισορροπίας των κόμβων του (λαμβάνοντας υπόψη το

συμβιβαστό των μετατοπίσεων τους). Για τη σύνθεση αυτή ακολουθώνται τα πιο κάτω

βήματα

1) Για κάθε μέλος του δικτυώματος υπολογίζεται το καθολικό μητρώο στιβαρότητας με τη

βοήθεια της σχέσης ,

με τη μορφή

δηλαδή επιμερίζοντας το μητρώο αυτό σε 4 υπομητρώα (2X2).

2) Κάθε ένα από τα 4 προαναφερθέντα υπομητρώα του μέλους μεταφέρεται στο καθολικό

μητρώο στιβαρότητας της σχέσης

K

Ti i i iPT PTk k

i iij ijjj jk

ik iki ikj kk

k kA D

A Dk k

(1) (1)

11 12 1,

(2) (2)21 22 2,

(N) (N),1 ,2 ,

...

...

: : :: :

...

N

N

N N N N

PK K K

P K K K

K K KP

Βήματα σύνθεσης του καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα




53

2) Κάθε ένα από τα 4 προαναφερθέντα υπομητρώα του μέλους μεταφέρεται στο καθο-

λικό μητρώο στιβαρότητας της σχέσης

Βήματα σύνθεσης του καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα

ως

τo στη γραμμή με αύξοντα αριθμό τον αριθμό του κόμβου αρχής και στη

στήλη με αύξοντα αριθμό τον αριθμό του κόμβου αρχής του μέλους

το στη γραμμή με αύξοντα αριθμό τον αριθμό του κόμβου αρχής και στη

στήλη με αύξοντα αριθμό τον αριθμό του κόμβου πέρατος του μέλους κ.ο.κ.

ijjk

ijkk

3) Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να ολοκληρωθεί για όλα τα μέλη του

δικτυώματος, με την παρατήρηση ότι σε περίπτωση που στην ίδια θέση

καταλήγουν περισσότερα του ενός μητρώα, αυτά αθροίζονται.

(1) (1)

11 12 1,

(2) (2)21 22 2,

(N) (N),1 ,2 ,

...

...

: : :: :

...

N

N

N N N N

PK K K

P K K K

K K KP


Εφαρμογή - ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


54

1

1

1

2 3 451

2

3

6

5

3

4

3

1

1

6

4

0jk

ό

ό ό όόό

ό

ό

jj

jk

k

j

j

ό

ό

jk

j

k

k

j

j

j

jk

k

k

kk

k

kk

K

k

2

2

2

5

5

5

5

3

3

7

4

4

46

7

8

2

8

6

0

kk

jj

jk

k

j

jk

jj

k k

j

j

jk

kk

kj kkj

k

j

k

kk

k

k

j

jk

j

j

j

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

7 78 8

0 0 kj kkkj kkk kk k

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Σύνθεση στο

καθολικό μητρώο

στιβαρότητας του



Εφαρμογή - ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


55

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Καθολικό μητρώο

στιβαρότητας δικτυώματος

50623.90

7761.50 53651.97

0 0 50623.90

0 46666.67 7761.50 53651.97

42000.00 0 8623.90 7761.50 92623.90

0 0 7761.50 6985.30 7761.50 53651.97

8623.90 7761.50 42000.00 0 0 0 67871.90

7761.50 6985.30 0 0 0 46

K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

666.67 7761.50 67622.97

0 0 0 0 42000.00 0 17248.00 15523.00 59248.00

0 0 0 0 0 0 15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ)

ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ

ΣΤΗΡΙΞΗΣ – ΜΗΤΡΩΟ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ

56


ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ


57

H μεθοδολογία διαχωρισμού των γνωστών από τα άγνωστα μεγέθη στα διανύσματα

ολικών επικόμβιων δράσεων και ολικών επικόμβιων μετατοπίσεων επιτυγχάνεται με τη

μετάθεση στοιχείων στα διανύσματα αυτά ή όπως αλλιώς καλείται αναδιάταξη των

διανυσμάτων αυτών. Πιο συγκεκριμένα επιδιώκεται η αναδιάταξη των στοιχείων των

διανυσμάτων επικόμβιων δράσεων και επικόμβιων μετατοπίσεων, έτσι ώστε και στα δύο

διανύσματα να προηγούνται οι ελεύθεροι βαθμοί ελευθερίας (γνωστές επικόμβιες

δράσεις και άγνωστες επικόμβιες μετατοπίσεις) και να έπονται οι δεσμευμένοι βαθμοί

ελευθερίας (άγνωστες επικόμβιες δράσεις και γνωστές επικόμβιες μετατοπίσεις). Είναι

προφανές ότι η προαναφερθείσα αναδιάταξη θα έχει ως άμεσο αποτέλεσμα και την

απαιτούμενη τροποποίηση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του δικτυώματος.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 5 7 8 9 10 1 2 3 6

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6

Αρχική αρίθμηση β.ε.

Τελική αρίθμηση β.ε.


ΜΟΡΦΩΣΗ ΜΗΤΡΩΟΥ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ

58

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0 0

6

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ύ

ί

( free )

έ

ί

(sup ported )

1

2

3

4

5

6

7

8

0 9

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10

mP V P

m V

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6

Μητρώο

αναδιάταξης


Τροποποιημένα

(λόγω αναδιάταξης)

διανύσματα

επικόμβιων δράσεων

και μετατοπίσεων



ΑΝΑΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ

ΔΡΑΣΕΩΝ

59

mP V P

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6

Τροποποιημένο (λόγω

αναδιάταξης) διάνυσμα



4

5

7

8

9

10

1

2

3

6

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1

1

1

1

1

1

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

01

0

0 0 0

1

P

P

P

P

P

P

ύ

ί

( free )

έ

ί

(sup po

P

P

P

P

rted )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0 0 0 0

0 0 0 01

1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

TmP V P


ΑΝΑΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

60

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6



επικόμβιων μετατοπίσεων


m V

4

5

7

8

9

10

1

2

3

6

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1

1

1

1

1

1

1

1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

ύ

ί

( free )

έ

ί

(sup ported )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0 0 0 0

0 0 0 01

1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

TmV


ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ) ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

61

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6

T Tm mV P K V

Tm mP V K V

m m mP K

T

mK V K V

Είναι προφανές ότι η προαναφερθείσα αναδιάταξη θα έχει ως άμεσο αποτέλεσμα και

την απαιτούμενη τροποποίηση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του

δικτυώματος.

TmV

TmP V P

P K

T

V V I

Τροποποιημένο

(αναδιατεταγμένο)

καθολικό μητρώο

στιβαρότητας


ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ) ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

62

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6

m m mP K

Τροποποιημένη

(αναδιατεταγμένη)

μητρωική εξίσωση

ισορροπίας

f fff fs

sf sss s

P K K

K KP

2f sN N N

f ff f fs sP K K

s sf f ss sP K K

1

f ff f fs sK P K

πλήθος ελεύθερων και δεσμευμένων

βαθμών ελευθερίας

s sf f ss sP K K

Επίλυση –

Επικόμβιες μετατοπίσεις κατά

τους ελεύθερους και επικόβιες

δράσεις (αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.


Εφαρμογή - ΑΝΑΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

63

mP V P





TmP V P

4

5

7

8

9

10

11

22

33

66

0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

4 330 0 0 0 0 0 0 0 0 1 02 5 0 0 0 0

0 866

f

s

P . P

P

P

PP

P . PP. P

P PR

PR

PR . P

PR

P

1

2

3

6

0 866

0 5

0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 3300 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 5

R

R

R . P

. P

R

P

. P

. P

60o

2P P

5P

60o

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6



ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

64



επικόμβιων μετατοπίσεων


44

55

77

88

99

1010

1

2

3

6

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 00

0 02

0

0

f

s

.

4

5

7

8

9

10

0

0 02

0

0

0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

.

m V

TmV

60o

2P P

5P

60o

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6


Εφαρμογή - ΑΝΑΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ

ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

65

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6

Τροποποιημένο (λόγω αναδιάταξης)

καθολικό μητρώο στιβαρότητας


ff fs

Tm

sf ss

K K

K V K VK K

53651.97

7761.50 92623.90

0 0 67871.90

0 0 7761.50 67622.97

0 42000.00 17248.00 15523.00 59248.00

0 0 15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

0 42000.00 8623.90 7761.50 0 0 50623.90

46666.67 0 7761.50 6985.30 0 0 77

4 5 7 8 9 10 1 2 3 6

61.50 53651.97

7761.50 8623.90 42000.00 0 0 0 0 0 50623.90

6985.30 7761.50 0 46666.67 0 0 0 0 7761.50 53651.97

4

5

7

8

9

10

1

2

3

6


Εφαρμογή - ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


66

2

7

8 3

5

6

4

1

1

4

5

3

2

1

2

3

4

7

8

9

10

5 6

(2)

24

(3)

15

(4)7 1

(4)8

2

(5)91

10 (5)

2

0.0178

0.0026

0.0027

0.0023

0.0024

0.0032

f

1

2

3

6

222.8936

207.5021

227.2236

211.5021

R P

R P

PR

PR

Επίλυση –

Επικόμβιες μετατοπίσεις κατά τους

ελεύθερους και επικόβιες δράσεις

(αντιδράσεις) κατά τους


1

f ff f fs sK P K

s sf f ss sP K K


ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ ΚΕΚΛΙΜΕΝΗΣ

ΣΤΗΡΙΞΗΣ – ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΤΗΡΙΞΗ

67


ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΜΗΤΡΩΟΥ

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ

ΚΕΚΛΙΜΕΝΗΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ – ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΤΗΡΙΞΗ

68

Για τους καθολικούς

β.ε. 3’ και 4’ θα ισχύει Για τον κόμβο του δικτυώματος ο

οποίος φέρει κεκλιμένη στήριξη

απαιτείται τροποποίηση του

καθολικού συστήματος αξόνων

έτσι ώστε να μπορεί να ληφθεί

υπόψη η προαναφερθείσα στήριξη.

Η εν λόγω τροποποίηση θα πρέπει

να προηγηθεί της αναδιάταξης που

περιγράφηκε ήδη, μια και όπως

προαναφέρθηκε η μόρφωση του

μητρώου αναδιάταξης υιοθετώντας

το αρχικό καθολικό σύστημα

αξόνων είναι αδύνατη.

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

3 άγνωστη

γνωστή

άγνωστη

γνωστή

4

3P

4P





69

kel

( )

( ) 2 11

( )22

nn n

nn

P PP

P P

( )2 1( ) 1

( )

22

nnn

n

n

PP

P

P P

( )

( ) 2 11

( )22

nn n

nn

( )2 1( ) 1

( )

22

nnn

n

n

Αρχικό και τελικό καθολικό σύστημα αξόνων στον κόμβο (n) επίπεδου

δικτυώματος στηριζόμενου σε ακλόνητη ή ελαστική κεκλιμένη κύλιση

συνιστώσες

επικόμβιων

μετατοπίσεων κόμβου

(n) στο αρχικό και το

τροποποιημένο

σύστημα αξόνων

συνιστώσες επικόμβιων δράσεων κόμβου (n) στο

αρχικό και το τροποποιημένο σύστημα αξόνων





70

kel

Σχέσεις μετασχηματισμού συνιστωσών επικόμβιων δράσεων ή επικόμβιων


συνιστώσες επικόμβιων μετατοπίσεων συνιστώσες επικόμβιων δράσεων ( ) ( ) ( )

1 11

( ) ( ) ( )

2 22

cos sin

sin cos

n n nn nn

n n nn n

P P Pr

P P P

( ) ( ) ( )

1 11

( ) ( ) ( )

2 22

cos sin

sin cos

n n nn nn

n n nn nr

( ) ( )( )

1 1 1

( ) ( )( )

2 2 2

cos sin

sin cos

n nn n nT

n

n nn n n

P PPr

P PP

( ) ( )( )

1 1 1

( ) ( )( )

2 2 2

cos sin

sin cos

n nn n nT

n

n nn n nr

cos sin

sin cos

n nn

n nr

1 Tn nr r





71

Ένταξη των σχέσεων μετασχηματισμού σε αντίστοιχες σχέσεις που περιλαμβά-

νουν το σύνολο των δράσεων ή των μετατοπίσεων των κόμβων του δικτυώματος

(1)

1

(1)

2

(1) (

( ) ( )

1

( )

2

2)

1

(2) (2)

2

(N)

( )

1

( )

2

1 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0

0 1 0 0 ... 0 0 ... 0 0

0 0 1 0 ... 0 0 ... 0 0

0 0 0 1 ... 0

: :

:

:

N

N

n n

n

P

P

P P

P P

P

P

P P

P

P

(1)

1

(1)

2

(2)

1

(2)

2

( )

1

( )

2

( )

1

( )

2

0 ... 0 0

: : : : : : : : : :

0 0 0 0 ... ... 0 0

0 0 0 0 ... ... 0 0

: : : : : : : : : :

0 0 0 0 .

cos si

.. 0 0 ... 1 0

0 0 0 0 ... 0 0 ... 0 1

n

sin cos

n

n

n n

n

N

N

n

P

P

P

P

P

P

P

P

nmP R P

nm R

T

nmP R P

T

nmR

ή πιο συνοπτικά

Αντίστροφες σχέσεις

nR

μητρώο

περιστροφής

(μετασχηματισμού)

όπου





72

kel

Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας λόγω κεκλιμένης στήριξης

nmP R P

nm R

T

nmP R P

T

nmR

Σχέσεις μετασχηματισμού

Αντίστροφες σχέσεις P K

T Tn n

m mR P K R

T

n nm mP R K R

Tn n

mK R K R

Tmm m

T Tn n

K V K V

V R K R V

Τροποποιημένο καθολικό μητρώο

στιβαρότητας

Ακολουθεί αναδιάταξη του

μητρώου στιβαρότητας

(2η τροποποίηση)



ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΛΟΓΩ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

73

kel

Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας λόγω ελαστικής στήριξης

Τροποποιημένη εξίσωση ισορροπίας

(1)

111 12 13 14 1,2 1 1,2 1,2 1 1,2(1)

221 22 23 24 2,2 1 2,2 2,2 1 2,2

(2)

1 31 32 33 34 3,2 1 3,2

(2)

2

( )

1

( )

2

( )

1

( )

2

... ...

... ...

... ...

:

:

n n N N

n n N N

n n

n

n

N

N

PK K K K K K K K

PK K K K K K K K

P K K K K K K K

P

P

P

P

P

3,2 1 3,2

41 42 43 44 4,2 1 4,2 4,2 1 4,2

2 1,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 1 2 1,2

2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2 ,2 1 2 ,2

2 1

... ...

: : : : : : : : :

... ...

... ...

: : : : : : : : :

N N

n n N N

n n n n n n n n n N n N


N

K

K K K K K K K K

K K K K K K K K

K K K K K K K K

K

(1)

1

(1)

2

(2)

1

(2)

2

( )

1

( )

2

,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 1 2 1,2 ( )

12 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2 ,2 1 2 ,2

( )

2

:

:

... ...

... ...

n

n

N N N N n N n N N N N N

N N N N N n N n N N N NN

K K K K K K K

K K K K K K K K

0

0

0

0

:

0

1

:

0

0

elk

0 0 0 0 0 1 0 0T

elP K k

ή πιο αναλυτικά




74

kel

Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας λόγω ελαστικής στήριξης

Τροποποιημένη εξίσωση ισορροπίας

(1)

111 12 13 14 1,2 1 1,2 1,2 1 1,2(1)

221 22 23 24 2,2 1 2,2 2,2 1 2,2

(2)

1 31 32 33 34 3,2 1 3

( )

,2

(2)

2

( )

1

( )

1

(

2

2

)

... ...

... ...

... ...

:

:

n n N N

n n N N

n n

n

N

N

n

PK K K K K K K K

PK K K K K K K K

P K K K K K K

P

P

P

K

P

P

3,2 1 3,2

41 42 43 44 4,2 1 4,2 4,2 1 4,2

2 1,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 1 2 1,2

2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2 ,2 1 2 ,2

... ...

: : : : : : : : :

... ...

... ...

: : : : : : : : :

N N

n n N N


n n n n n n n n n N n Nel

K

K K K K K K K K

K K K K K K K K

K K K K K K K Kk

K

(1)

1

(1)

2

(2)

1

(2)

2

( )

1

2 1,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 1 2 1,2 ( )

12 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2 ,2 1 2 ,2

( )

2

( )

2

:

:

... ...

... ...

n

N N N N N n N n N N N N N

N N N N N n N n N N N

n

NN

K K K K K K K

K K K K K K K K

και επομένως


Εφαρμογή - ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΜΗΤΡΩΟΥ


75

Τροποποίηση υπομητρώου

(3,3) καθολικού μητρώου

στιβαρότητας δικτυώματος

λόγω ελαστικής στήριξης

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

5

5 533

2

2 211 12

221

3,3

8 811 1

22

34

54

3 333 34

34

2

83 21

3

3

8

5 6

5

6

0 0

0 el

k jk jkjj k

k k

K

k k

k

kkk

k k

k k

k

k

k

k

k

k

822

5344

244 elkkkk




76

Τροποποιημένο καθολικό

μητρώο στιβαρότητας

δικτυώματος λόγω ελαστικής

στήριξης (1η τροποποίηση)

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

50623.90

7761.50 53651.97

0 0 50623.90

0 46666.67 7761.50 53651.97

42000.00 0 8623.90 7761.5

83651.97

0 92623.90

0 0 7761.50 6985.30 7761.50

8623.90 7761.50 42000.00 0 0 0 67871.90

7761.50 6985.30 0 0 0 4

mK

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6666.67 7761.50 67622.97

0 0 0 0 42000.00 0 17248.00 15523.00 59248.00

0 0 0 0 0 0 15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΛΟΓΩ ΛΟΞΗΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

77

Μητρώο περιστροφής (μετασχηματισμού)

των επικόμβιων δράσεων ή των επικόμβιων

μετατοπίσεων του κόμβου 2

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

2 cos30 sin 30

sin 30 cos30

o o

o or

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

cos30 s

0 0 0

1

1

1

1

1

1

1

1

in 30

sin 30 cos3

0

0

o o

o o

RΈνταξη μητρώου περιστροφής

(μετασχηματισμού) του κόμβου 2

σε μητρώο περιστροφής του

συνόλου του δικτυώματος



ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΛΟΓΩ ΛΟΞΗΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

78

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Τροποποιημένο καθολικό

μητρώο στιβαρότητας

δικτυώματος λόγω λοξής

στήριξης (2η τροποποίηση)

50623.90 7761.50 0 0 42000.00 0 8623.90 7761.50 0 0

7761.50 53651.97 0 023333.34 40413.34

23333.34 44657.23 2569.25 3587.55

776

322

1.50 6

8.81 36372

40413.34 2

985.

569.25 59614.05 1

30 0 0

0 0 0 0

0 1033

mmK

1 2 3' 4' 5 6 7 8 9 10

0 0 0

42000.00 0 92623.90 7761.50 0 0 42000.00 0

0 0 7761.50 83651.97 0 46666.67 0 0

8623.90

.41 9930.02 21000

3587.55 11033.41

3228.81 9930.02

367761.50 0 0 67871.90 7761.50 17248.00 15523.00

7761.50 6985.30

372 2 000

0

1

0 0

46666.67 7761.50 67622.97 15523.00 13971.00

0 0 0 0 42000.00 0 17248.00 15523.00 59248.00 15523.00

0 0 0 0 0 0 15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

1

2

3'

4'

5

6

7

8

9

10


Εφαρμογή - ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΟΛΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

79

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Τροποποιημένο διάνυσμα ολικών επικόμβιων

δράσεων λόγω λοξής και ελαστικής στήριξης

60o

2P P

5P

60o

4.5

δ=2cm kel

EA

EA

EA EA

EA

(1)

1

1(1)1

22

2

(3)51

(4) 71

8(4)

29

(5)

110

(2)

13

(2)

2

(3)6

2

)

44

(5

2

0

0

2

4.330

2.

0

5

m

P

PRP

PR

P PP

PP

PPP P

PPP

P

PP

PP

P

P

R

P

P


Εφαρμογή - ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ


80

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Τροποποιημένο διάνυσμα ολικών επικόμβιων

μετατοπίσεων λόγω λοξής και ελαστικής στήριξης

60o

2P P

5P

60o

4.5

δ=2cm kel

EA

EA

EA EA

EA

(1)

1

1(1)

22

(3)551

7(4) 71

88(4)

299

(5)

1 1010(5

(2)

1 3

)

3(2)

2 4

(3)

2

662

0

0.02

0

m


Εφαρμογή - ΜΟΡΦΩΣΗ ΜΗΤΡΩΟΥ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ

81

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

60o

2P P

5P

60o

4.5

δ=2cm kel

EA

EA

EA EA

EA

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1

1

1

1

1

1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

1

1

1

4

1

ύ

ί

( free )

έ

ί

(sup ported )

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0 0 9

0 0 0 0 0 0 0 01 0 10

Μητρώο αναδιάταξης δικτυώματος

mm mP V P mm mV

Τροποποιημένα (λόγω αναδιάταξης)

διανύσματα επικόμβιων δράσεων και

μετατοπίσεων δικτυώματος




82

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

60o

2P P

5P

60o

4.5

δ=2cm kel

EA

EA

EA EA

EA

mm mP V P mm mV

Τροποποιημένα (λόγω αναδιάταξης) διανύσματα

επικόμβιων δράσεων και μετατοπίσεων δικτυώματος

3

5

6

7

8

9

10

11

22

44

0

0

0

2

4.330

2.5

f

s

PP

P

P

P

P PP

PP PP

PR

PR

PR

P

3 3

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

1

2

4

0

0.02

0

f

s


Εφαρμογή - ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

83

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Τροποποιημένο (λόγω αναδιάταξης) καθολικό

μητρώο στιβαρότητας δικτυώματος

44657.23 -3587.55 3228.81 36372 0 0 0 0 23333.34 2569.25

-3587.55 92623.90 7761.50 0 0 42000.00 0 42000.00 0 11033.41

3228.81 7761.50 83651.97 0

ff fsT

mm m

sf ss

K K

K V K VK K

3' 5 6 7 8 9 10 1 2 4'

46666.67 0 0 0 0 9930.02

36372 0 0 67871.90 7761.50 17248.00 15523.00 8623.90 7761.50 21000

0 0 46666.67 7761.50 67622.97 15523.00 13971.00 7761.50 6985.30 0

0 42000.00 0 17248.00 15523.00 59248.00 15523.00 0 0 0

0 0 0 15523.

00 13971.00 15523.00 13971.00 0 0 0

0 42000.00 0 8623.90 7761.50 0 0 50623.90 7761.50 0

23333.34 0 0 7761.50 6985.30 0 0 7761.50 53651.97 40413.34

2569.25 11033.41 9930.02 21000 0 0 0 0 40413.34 59614.05

3'

5

6

7

8

9

10

1

2

4'


Εφαρμογή - ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


84

Επίλυση –





1

f ff f fs sK P K

s sf f ss sP K K

(2)

13

(3)

15(3)

6 2

(4)7 1

(4)8

2

(5)9

110 (5)

2

0.0334

0.0020

0.0036

0.0277

0.0044

0.0021

0.0326

f

1

2

4

131.33

110.18

255.73

s

R P

P R P

PR

(3) (3)2 6 2elR R k

1

4

5

3

2

1x

2x

kel


ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ

ΥΠΟΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΣΕ ΕΝΔΙΑΜΕΣΑ

ΦΟΡΤΙΑ

85

60o

2P P

5P

4.5

kel

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

60o

2

1 3

4

5

- -

-

-

-

-

-

-

-

-


ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ ΥΠΟΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΣΕ

ΕΝΔΙΑΜΕΣΑ ΦΟΡΤΙΑ

86

Επαλληλία «παγιωμένου» και «ισοδύναμου» φορέα

Αρχικός φορέας

60o

2P P

5P

4.5

δ=2cm kel

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

60o

2

1 3

4

5

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

1

2

3

4

5

+

=

Παγιωμένος φορέας Ισοδύναμος φορέας

30oT

0 15oT

( )

( ) 1

( )2

nn

n

SS

S

( )

( ) 1

( )2

0

0

nn

n

Δράσεις

παγίωσης

Παγιωμένοι

κόμβοι

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

1

2

3

4

5

Παγιωμένος φορέας




87

Επαλληλία «παγιωμένου» και «ισοδύναμου» φορέα

60o

2P P

5P

4.5

kel

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

60o

2

1 3

4

5

- -

-

-

-

-

-

-

-

-

+

Ισοδύναμος φορέας

• οι άγνωστες επικόμβιες μετατοπίσεις του πραγματικού φορέα ταυτίζονται με αυτές

του ισοδύναμου (μια και οι αντίστοιχες του παγιωμένου φορέα είναι μηδενικές)

• οι άγνωστες αντιδράσεις του πραγματικού φορέα ταυτίζονται με αυτές του

ισοδύναμου

• οι άγνωστες εσωτερικές δράσεις των μελών του πραγματικού φορέα προκύπτουν

ως επαλληλία των αντίστοιχων δράσεων τόσο του παγιωμένου όσο και του

ισοδύναμου φορέα.




88

Υπολογισμός δράσεων παγίωσης

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

1

2

3

4

5


2

2 1 2 2

22

kTk k k

r PT rk

FA A

F

4

4 1 4 4

42

kTk k k

r PT rk

FA A

F

6

6 1 6 6

62

kTk k k

r PT rk

FA A

F

7

7 1 7 7

7

2

jTj j j

r rPTj

FA A

F

(4) 2 4 6 70

k k k jr r r rS A A A A

Κόμβος 4

Καθολικές ακραίες δράσεις

μελών κόμβου 4

Εξίσωση ισορροπίας κόμβου 4

2

7

6

4

4

4 4r

kr

kA A 4 4kk

r rA A

6krA

6krA

2 2r

kr

kA A

7 jrA

4 k

k

k

j

6krA

6krA

7 jrA

7 jrA

7 jrA

1x

2x

2 2kkr rA A

(4)

1S

(4)

2S




89

Υπολογισμός δράσεων παγίωσης

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

1

2

3

4

5


(4) 2 4 6 7

0k k k j

r r r rS A A A A

Κόμβος 4

Εξίσωση ισορροπίας κόμβου 4

οι δράσεις παγίωσης σε κάθε

κόμβο του παγιωμένου φορέα

του δικτυώματος είναι ίσες με το

άθροισμα των καθολικών

ακραίων δράσεων των άκρων

των μελών που καταλήγουν

στον κόμβο αυτόν.

2

7

6

4

4

4 4r

kr

kA A 4 4kk

r rA A

6krA

6krA

2 2r

kr

kA A

7 jrA

4 k

k

k

j

6krA

6krA

7 jrA

7 jrA

7 jrA

1x

2x

2 2kkr rA A

(4)

1S

(4)

2S

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

1

2

3

4

5


Εφαρμογή - ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ ΥΠΟΒΑΛΛΟΜΕΝΟ

ΣΕ ΕΝΔΙΑΜΕΣΑ ΦΟΡΤΙΑ

90

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Τοπικές ακραίες

δράσεις μελών

1x

2x

j

k

Μέλη του παγιωμένου φορέα,

υποβαλλόμενα σε κεντροβα-

ρική θερμοκρασιακή φόρτιση

5 5 515

5

5 5 551

15.75

0 00

15.75

000

jcj

r

r k kr c

T E AFA

AA T E AF

6 6 616

6

6 6 661

15.75

0 00

15.75

000

jcj

r

r k kr c

T E AFA

AA T E AF

30oT

0 15oT




91

1

4

5

3

2

1x

2x

kel


υποβαλλόμενα σε αλλαγή

μήκους

1x

2x

j

k

1

1 1 1 1 111

21

1 1 1 1 111

/ 933.33

0 00

933.33/

000

j

jcmr

r k kr

E A LFA

AA E A LF

6

6 6 6 6 616

2sin(41.987)6

6 6 6 6 661

/ 208.83

0 00

208.83/

000

j

jcmr

r k kr

E A LFA

AA E A LF

Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Τοπικές ακραίες


4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

1

2

3

4

5

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

1

2

3

4

5




92

1

4

5

3

2

1x

2x

kel


υποβαλλόμενα σε ενδιάμεση

φόρτιση

30oT

0 15oT

Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Καθολικές ακραίες


1

933.33

0

933.33

0

rA

5

15.75

0

15.75

0

rA

6

15.75 208.83 193.08

0 0

15.75 208.83 193.08

0 0

rA

1 1 1

0

933.33

0

933.33

T

r PT rA A

5 5 5

11.7069

10.5362

11.7069

10.5362

T

r PT rA A

6 6 6

143.51

129.16

143.51

129.16

T

r PT rA A

Τοπικές ακραίες δράσεις

Καθολικές ακραίες δράσεις

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

1

2

3

4

5




93

1

4

5

3

2

1x

2x

kel



φόρτιση

30oT

0 15oT Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Υπολογισμός

δράσεων παγίωσης

1 1 3 6 143.51

1062.49

j j jr r rS A A A

2 1 4 5 11.7069

922.79

k j jr r rS A A A

3 2 3 5 8 11.7069

10.5362

j k k jr r r rS A A A A

4 2 4 6 7 143.51

129.16

k k k jr r r rS A A A A

5 7 8 0.0

0.0

k kr rS A A

4.5

δ=2cm

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

1

2

3

4

5




94

1

4

5

3

2

1x

2x

kel



φόρτιση

30oT

0 15oT Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Υπολογισμός

δράσεων παγίωσης -Τροποποίηση δράσεων

παγίωσης λόγω κεκλιμένης στήριξης στον

κόμβο 2

(2) (2)3 11

(2) (2)4 22

cos30 sin 30

sin 30 cos30

cos30 sin 30 11.7069 471.53

922.79 793.31sin 30 cos30

o o

o o

o o

o o

S SS

S SS

2 1 4 5 11.7069

922.79

k j jr r rS A A A

Αρχικές δ.π.

Τροποποιημένες δ.π.




95

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Διάνυσμα επικόμβιων δράσεων

Τροποποιημένα και αναδιατεταγμένα

διανύσματα επικόμβιων μετατοπίσεων

και δράσεων δικτυώματος

11

12

22'

50 471.53 421.53

11.7069 11.7069

10.5362 10.5362

143.51 143.51

100 129.16

167.24

185.82

143.51

1062.49

793.31

nodal

f

mm mm mms

P

P P SP

P

P

P

11

12

22'

229.16

167.24

185.82

143.51

1062.49

793.31

P

P

P

60o

2P P

5P

4.5

kel

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

60o

2

1 3

4

5

- -

-

-

-

-

-

-

-

-




96

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Διάνυσμα επικόμβιων


Τροποποιημένα και αναδιατεταγμένα

διανύσματα επικόμβιων μετατοπίσεων

και δράσεων δικτυώματος

(2)(2)1'1'

(3)(3)11

(3)(3)22

(4)(4)11

(4)(4)22

(5)(5)11

(5)(5)22

(1)1

(1)2

(2)2

0

0

0

f

mm

s

έχει τεθεί μηδενικό

παρά την

κατακόρυφη

υποχώρηση της

στήριξης του κόμβου

1 του δικτυώματος,

μια και η φόρτιση

αυτή έχει ήδη ληφθεί

υπόψη στον

παγιωμένο φορέα

60o

2P P

5P

4.5

kel

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

60o

2

1 3

4

5

- -

-

-

-

-

-

-

-

-




97

Επίλυση –





1

f ff f fs sK P K

s sf f ss sP K K

(3) (3)2 6 2elR R k

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

(2)

1

(3)

1

(3)

2

(4)

1

(4)

2

(5)

1

(5)

2

0.0169

0.0095

0.0077

0.0089

0.0131

0.0184

0.0371

f

(1)1

(1)2

(2)2

434.91

508.52

621.94

s

P

P P

P




98

Μόρφωση διανύσματος επικόμβιων μετατοπίσεων

κατά τους ελεύθερους β.ε.

1

4

5

3

2

1x

2x

kel

(2)(2)

1 1

(2)(2)

2 2

cos sin

sin cos

cos30 sin 30 0.0169 0.0146

0 0.00845sin 30 cos30

n n

n n

o o

o o

(1)

1

1(1)

22(2)

13

(2)

2 4

(3)51

(3)6

2

(4) 71

8(4)

29

(5)

110

(5)

2

0

0

0.0146

0.00845

0.0095

0.0077

0.0089

0.0131

0.0184

0.0371

Τροποποίηση μετατοπίσεων στον κόμβο 2

λόγω κεκλιμένης στήριξης

Διάνυσμα

επικόμβιων



ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΕΛΩΝ


99


1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Υπολογισμός εσωτερικών εντατικών μεγεθών

μελών δικτυώματος

60o

2P P

5P

60o

4.5

δ=2cm kel

EA

EA

EA EA

EA

ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΕΛΩΝ


i i i irA A k D

ii i i ir PTA A k D

Tο καθολικό μητρώο ακραίων

μετατοπίσεων μπορεί να

μορφωθεί γνωρίζοντας από την

επίλυση της σχέσης στιβαρότητας

το μητρώο των καθολικών

επικόμβιων μετατοπίσεων του

δικτυώματος και λαμβάνοντας

από αυτό τα κατάλληλα στοιχεία

ανάλογα με τους κόμβους άκρων

του μέλους i .

iD


1

4

5

3

2

1x

2x

kel

Υπολογισμός εσωτερικών εντατικών μεγεθών μελών δικτυώματος

Εφαρμογή - ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ


11

11

538.9966

538.9966

j

k

F

F

21

21

252.00

252.00

j

k

F

F

4

1

41

239.40

239.40

j

k

F

F

31

31

399.00

399.00

j

k

F

F

51

51

35.59

35.59

j

k

F

F

61

61

46.9695

46.9695

j

k

F

F

81

81

415.3334

415.3334

j

k

F

F

71

71

280.7707

280.7707

j

k

F

F

-399.00 -415.33

239.40

60o

2P P

5P

4.5

δ=2cm kel

EA

EA

EA EA

EA

5.0 5.0

60o

2

1 3

4

5

Αξονικές δυνάμεις μελών

επίπεδου δικτυώματος

ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ - ntuausers.ntua.gr/cvsapoun/2-plane trusses.pdf ·...

Documents