1

Язык теории множеств Цермело – Френкеля (ZF)

Алфавит

• Переменные (по множествам) : a,b,...

• Предикатные символы: ·, =

• Логические связки: ¤, ª, #, ¢, °

• Кванторы: Á, Ú

• Скобки: ( , )

Формулы

• Атомарные: x·y, x=y (где x,y — переменные)

• Если Ä – формула, то ¤ Ä – формула

• Если Ä,´ – формула, то (Ä#´), (Ī´), (Ä¢´), (Ä°´) –

формулы

• Если Ä – формула, x — переменная, то ÁxÄ, ÚxÄ – формулы

FV(Ä) — множество параметров (свободных переменных) формулы Ä — определяется

по индукции:

• FV(x·y)=FV(x=y)={x,y}

• FV(¤ Ä)=FV(Ä )

• FV(Ä#´)= FV(Ī´)=

FV(Ä¢´)=FV(Ä°´)=FV(Ä)ÜFV(´)

• FV(ÁxÄ)= FV(ÚxÄ)=FV(Ä )-{x}

Логические аксиомы

• ´¢ (Ä¢´)

• (Ä¢´)¢ ( (Ä¢(´¢é)) ¢ (Ä¢ é))

• Ī´¢´

• Ī´¢Ä

• Ä¢(´¢(Ī´))

• Ä¢Ä#´

• ´¢Ä#´

• (Ä¢é)¢((´¢é)¢((Ä#´)¢é))

• (´¢Ä)¢((´¢¤Ä)¢¤´)

• ¤¤Ä¢Ä

• ÚxÄ(x)¢Ä(y)

• Ä(y)¢ÁxÄ(x)

2

• (Ä°´)¢((Ä¢´ª(´¢Ä))

• ((Ä¢´)ª(´¢Ä))¢(Ä°´)

• Úx x=x

• ÚxÚy(x=y¢y=x)

• ÚxÚy(x=yªy=z¢x=z)

• ÚxÚy(x=yªÄ(...x...)¢Ä(...y...))

Здесь Ä(y) получается из Ä(x) заменой всех вхождений параметра x на y (при этом не

должно быть кванторов по y)

Ä(...y...) получается из Ä(...x...) заменой одного вхождения параметра x на y (при

этом не должно быть кванторов по y)

Логические правила вывода

• Ä, Ä¢´ / ´

• Ä¢é / ÁxÄ¢é

• é¢Ä / é¢ÚxÄ

Здесь требуется, чтобы x не был параметром é

Аксиомы наивной теории множеств

Аксиома объемности: Úx Úy (Úz (z·x°z·y)¢ x=y)

Схема аксиом свертывания:

Úa1... ÚamÁyÚx(x·y°Ä(x,a1,...,am)),

где Ä(x,a1,...,am) – произвольная формула с параметрами x,a1,...,am (m³0)

Теорема Наивная теория противоречива (парадокс Рассела).

3

Аксиомы ZF

Аксиома объемности: ÚxÚy(Úz(z·x°z·y) ¢ x=y)

Аксиома пустого множества: ÁyÚx xãy

Аксиома пары: ÚxÚyÁzÚt (t·z ° t=x # t=y)

Аксиома объединения: ÚxÁyÚz (z·y ° Át (z·t ª t·x))

Аксиома степени: ÚxÁyÚz (z·y ° Út (t·z ¢ t·x))

Схема аксиом выделения:

Úa1...ÚamÚxÁyÚz(z·y° z·xªÄ(z,x,a1,...,am)),

где Ä(z,x,a1,...,am) – произвольная формула с параметрами z,x,a1,...,am (m³0)

Сокращенные обозначения

y= Ù := Úx xãy

x y := Úz (z·x¢z·y) (включение)

z={x,y} := Út (t·z ° t=x # t=y)

{x} := {x,x}

(x,y) := {{x},{x,y}} (упорядоченная пара)

Лемма (свойство упорядоченных пар).

(x,y)=(z,t) ¢ x=z ª y=t

Классы

Классы используются для сокращенной записи формул.

{x | Ä(x)} — класс всех множеств x, для которых верна формула Ä(x)

y·{x | Ä(x)} := Ä(y)

{x | Ä(x)}= {x | ´(x)} := Úx(Ä(x)° ´(x))

y={x | Ä(x)}:= Úx(Ä(x)°x·y)

(класс) X – множество := Áy(y=X)

X - собственный класс := ¤Áy(y=X)

V := {x | x=x} (универсальный класс)

Для записи классов применяются также обычные булевы операции:

XÛY := {z | z·Xªz·Y}

XÜY := {z | z·X#z·Y}

X-Y := {z | z·XªzãY} -X := {z | zãX}

Сокращенная запись некоторых аксиом ZF

Аксиома пустого множества: {x | x­x} - множество

4

Аксиома пары: { t | t=x # t=y} - множество

Аксиома объединения: {z | Át (z·t ª t·x) } - множество

Аксиома степени: {z | zîx} - множество

Схема аксиом выделения: если x- множество, Y- класс, то x ÛY- множество

Сокращенные обозначения:

Æ x := { z | Át (z·t ª t·x) } (объединение множества x)

ú X := { z | Út ( t·X¢ z·t) } (пересечение класса X)

P (x ) := { z | zîx} (множество всех подмножеств x)

xÜy := Æ {x ,y}

x + := xÜ{x}

0 := Ù

1 := {0 } (=0 + )

2 := {0 ,1} (=1 + )

Аксиома бесконечности: Áa (Ù·aª Úx (x·a ¢ x + ·a))

Натуральные числа

Пусть

Ind := {a | Ù·aªÚx (x·a ¢ x + ·a)} (класс всех

индуктивных множеств)

По аксиоме бесконечности, Ind ­ Ù, и тогда получаем множество натуральных чисел

¿ := ú Ind

Теорема 2.5 (аксиомы Пеано для ¿)

( 1 ) 0 ·¿

( 2 ) n ·¿ ¢ n + ·¿

( 3 ) n ·¿ ¢ n + ­0

( 4 ) m + =n + ¢ m=n

( 5 ) Úx (xî¿ ª 0 ·x ªÚn (n ·x ¢ n + ·x) ¢ x=¿)

5

Отношения и функции

Определение AB:={(x,y)|x·A ª y·B}

(или подробнее: AB:={z | ÁxÁy(z=(x,y)ªx·A ªy·B)})

Теорема 2.11 ÚaÚb ab – множество.

Доказательство. abî P(P(aÜb)).

Определение (Класс) R — отношение : = RîVV (т.е. R состоит из пар).

Если R — отношение, то

Dom(R):= {x | Áy (x,y)·R} - область определения, или первая проекция; другое

обозначение: pr1(R)

Rg(R):= {x | Áx (x,y)·R} - область значений, или вторая проекция; другое

обозначение: pr2(R)

R-1:= {(y,x) | (x,y)·R} – обратное отношение

R[A]= {y | Áx(x·Aª(x,y)·R)} – образ класса относительно R

Теорема 2.12 Если r — отношение, то Dom(r), Rg(r) – множества.

Доказательство. Dom(r), Rg(r)îÆÆr.

Сокращенные обозначения:

Á!x Ä(x):=Áx(Ä(x)ªÚy(Ä(y)¢x=y))

Áx·A Ä(x):= Áx(x·AªÄ(x))

Úx·A Ä(x):= Úx(x·A¢Ä(x))

Определение

(Класс) F — функция : = F — отношение ªÚx·Dom(F) Á!y (x,y)·F

Если F — функция, то пишем y=F(x) вместо (x,y)·F.

F— функция из A в B (обозначение F :A -¢B)

: = F — функция ª Dom(F)=AªRg(F)îB

Лемма Если F:a -¢b , то F – множество.

Лемма Если f — функция, то f[A] – множество.

Схема аксиом подстановки: Если класс F — функция, то F[a] – множество.

6

Аксиома регулярности (фундирования): Úx ­ Ù Áa·x aÛx = Ù

(всякое непустое множество имеет ·-минимальный элемент)

Ординалы

Определение A - транзитивный класс, если ÚxÚy(x·yªy·A¢x·A)

или: Úx(x·A¢xA).

Определение ·A:= {(x,y)|x·yªx·Aªy·A} (отношение принадлежности на

классе A)

Определение - ординал, если - транзитивное множество, · - строгий полный

порядок на .

Последнее означает:

(1) Úx· xx

(2) Úx· x транзитивно

(3) Úx (x x ­ Ù ¢ Áa·x b·x (a=b a·b))

Обозначения

On обозначает класс всех ординалов

< := ·

Лемма 3.2 (1) ·On¢+·On

(2) ¿·On

Лемма 3.3 On – транзитивный класс

Лемма 3.4 < – строгий порядок на On

Лемма 3.5 Если X On, X­Ù, то X имеет минимальный элемент (относительно <),

т.е. < – строгий полный порядок на On.

Теорема 3.6 (Принцип трансфинитной индукции)

Ú(Ú< ()¢())¢Ú ()

Лемма 3.7 ° $

Лемма 3.8 Если X On, X­Ù, то úX - наименьший элемент X.

Лемма 4.1 (1) + - наименьший среди ординалов >, т.е. > ° ³+

(2) - наибольший среди ординалов <+, т.е. ² ° <+

7

Обозначение min X – наименьший элемент (непустого) класса ординалов X.

Лемма 4.2 Если x On, то Æ x = sup x, т.е.

Æ x = min { | Ú·x ²}.

Определение Ординал - предельный, если не существует такого ординала , что =

+

Лемма 4.3 (1) Æ +=.

(2) Если - предельный, то Æ=.

Теорема 4.4 On — собственный класс.

Трансфинитная рекурсия

Определение Пусть F – функция, X – класс. Ограничением (или сужением) F на X

называется множество F|X := {(a,b) ·F | a ·X} (= FÛ (XV) ).

Очевидно, что F|X – функция.

Лемма 4.5 Если F – функция, x – множество, то F|x – множество.

Теорема 4.6 (о трансфинитной рекурсии) Пусть G : V -¢ V – произвольная функция.

Тогда существует единственная функция F : On -¢ V, такая что Ú F() =

G(F|).

Комментарий. В языке ZF нет кванторов по классам. Поэтому формально

теорема о рекурсии записывается в ZF в виде схемы, которая получается следующим

образом. Функция G задается некоторой формулой ©(x,y). По ней явно строится

формула Ä(x,y), задающая некоторый класс F (вид этой формулы получается из

неформального доказательства теоремы). Теорема утверждает:

(1) F – функция.

(2) Если формула Ä1(x,y) задает функцию F1: On -¢ V, такую что Ú F1()

= G(F1|), то F= F1.

Варианты теоремы о рекурсии

Задача 19 (Теорема о рекурсии с параметром). Пусть G: VV -¢ V – функция-класс.

Тогда существует единственная функция F: VOn -¢ V, такая что

ÚÚx F(x,) = G(x,F|).

8

Задача 20 Даны функции H0: V -¢ V, H1: VV -¢ V. Тогда существует

единственная функция F: VOn -¢ V, такая что для любого x и для любого

·On

• F(x,0) = H0(x)

• F(x, +) = H1(x,F(x, ))

• F(x, ) = Æ F[{x} ], если - предельный ординал.

Определение Сложение, умножение и возведение в степень для ординалов определяются

с помощью рекурсии.

1. Пусть

• F(x,0) = x

• F(x, +) = F(x, )+

• F(x, ) = Æ F[{x} ], если - предельный ординал.

Тогда F(,) называется суммой ординалов и и обозначается (+).

2. Пусть

• F(x,0) = 0

• F(x, +) = F(x, )+

• F(x, ) = Æ F[{x} ], если - предельный ординал.

Тогда F(,) называется произведением ординалов и и обозначается (É ).

3. Пусть

• F(x,0) = 1

• F(x, +) = F(x, ) É

• F(x, ) = Æ F[{x} ], если - предельный ординал.

Тогда F(,) называется –й степенью ординала и обозначается .

Вполне упорядоченные множества

Определение Реляционной системой называется пара (a,r), где r – отношение на a.

Изоморфизм реляционных систем f: (a,r) × (a',r') – это биекция f: a -¢ a',

такая что

ÚxÚy (x r y ° f(x) r' f(y))

Реляционные системы изоморфны (обозначение: (a,r) × (a',r')), если такое f

существует.

9

Легко видеть, что если ², ²' – отношения линейного порядка, то f – изоморфизм,

(a, ²) на (a', ²'), если f – биекция и ÚxÚy (x < y ¢ f(x) < ' f(y)) (т.е. f

строго возрастает).

Лемма 5.1 Пусть ·On, f: -¢ - строго возрастающая функция. Тогда Úx

f(x) ³ x.

Определение Пусть (p, ²) – упорядоченное множество, x·p. Тогда

x := {y·p | y < x} - начальный отрезок p (до x).

Само множество p - тоже считается своим начальным отрезком ("несобственным").

Лемма 5.2 Никакое вполне упорядоченное множество не изоморфно своему собственному

начальному отрезку.

Теорема 5.3 Пусть , ·On, (,·) × (,·). Тогда = .

Теорема 5.4 ("теорема счета") Пусть (p, ²) – вполне упорядоченное множество. Тогда

существует единственный ординал , такой что (p,<) × (,·).

Доказательство (набросок). Единственность следует из 6.2. Для доказательства

существования рассмотрим все начальные отрезки p, изоморфные ординалам. Назовем их

хорошими.

Предположим сначала, что не все отрезки хороши. Пусть x – наименьший плохой.

Для y<x отрезок y – хороший; пусть f(y) - тот единственный ординал, который ему

изоморфен. Получаем функцию f: x -¢ On. Тогда

(1) y < z < x ¢ f(y) < f(z)

Действительно, если g: z × f(z), то g переводит

y в

g(y) . Поэтому

f(y)=g(y)·f(z), т.е. f(y) < f(z).

(2) Rg(f) ·On.

Действительно, если = min (On-Rg(f)), то можно видеть, что

< ¢ ·Rg(f)

> ¢ ãRg(f)

Отсюда следует, что Rg(f)=.

Итак, f: x × , т.е.

x – хороший. Противоречие.

Значит, все отрезки хороши, и, аналогично предыдущему, можно построить

изоморфизм f между p и некоторым ординалом. È

10

Теорема 5.5 (Кантор). Для вполне упорядоченных множеств p и q справедливо ровно

одно из трех утверждений:

(1) p и q изоморфны;

(2) p изоморфно собственному начальному отрезку q;

(3) q изоморфно собственному начальному отрезку p.

Мощности. Конечность и счетность

Определение xy := существует биекция x на y.

xøy:= существует инъекция x в y

x÷y:= xøy ª x­y

Определение |x|:={y| xy} (мощность x).

Лемма 5.6 (1) — отношение эквивалентности на V.

(2) xøy ª yøz ¢ xøz

(3) xx' ª yy' ª xøy ¢ x'øy'

Эта лемма позволяет корректно определить

|x|²|y| := xøy

Определение x конечно := Án·¿ xn

Лемма 6.1 n·¿ ª xn ª a·x ¢ x\{a} (n-1)

Теорема 6.2 (принцип Дирихле) m, n ·¿ ª mn ¢ m=n

Обозначение: |x|=n := xn

Теорема 6.3 n·¿ ª |x|=n ª yx ¢ Ám²n |y|=m

Определение Множество D-конечно, если оно не равномощно никакому собственному

подмножеству; в противном случае оно называется D-бесконечным

Лемма 6.4 a конечно ¢ a D-конечно

Лемма 6.5 Для конечных множеств

xy |x|=|y|; xøy |x||y| (как натуральные числа).

Лемма 6.6 x,y конечны, xy = ¢ |xÜy|=|x|+|y| (+ - сложение ординалов)

Теорема 6.7 x, y конечны ¢ xÜy конечно

Теорема 6.8 x, y конечны ¢ xy конечно, |xy|=|x|É |y| (É - умножение

ординалов)

Определение x счетно := x¿

Лемма 6.14 x счетно ¢ x бесконечно

x счетно ª yx ¢ x конечно или счетно

11

Лемма 7.2 x, y счетны ¢ xÜy счетно

x, y счетны ¢ xy счетно

Теорема 7.3 (Кантор) x ÷ P (x)

Доказательство. Инъекция x в P (x) строится легко. Если существует биекция

f: x -¢ P (x) , то рассмотрим m = { y | yãf(y) }. Тогда получаем, что

m·m и mãm. È

Теорема 7.4 (Кантор - Бернштейн) a ø b ª b ø a ¢ ab

Кардиналы

Теорема 7.5 (Хартогс) Úu Á·On ( |ø u ª ø P (P (uu)))

Определение H (u) := min{ | ·On ª |ø u} (число Хартогса множества u)

Определение k – кардинал := k·On ª Ú (<k ¢ ÷k)

Card обозначает класс всех кардиналов.

Лемма 7.6 H (u)·Card

Лемма 7.7 ·On ¢ H (u)= min{k | k·Card ª <k}

Обозначение H (k) для кардинала k обозначают также через k+. Ординал, следующий

за k, в этом случае обозначается (k+1).

Определение Если f — произвольная функция, Dom(f) = a, то f называется также

семейством с множеством индексов a (или a-семейством) и обозначается (fi)i·a

(при этом fi обозначает f(i)). В таком случае используется обозначение {fi | i·a} для

Rg(f); соответственно, Æ Rg (f) обозначается Æ{fi | i·a} (а также Æi·a

fi );

аналогично – для ú.

Если ·On, то -семейство называется -последовательностью и обозначается

(f)< .

Аналогично можно рассматривать семейства, у которых множествами индексов

служат классы.

Лемма 7.8 Пусть — предельный ординал, (k)< — строго возрастающая

-последовательность кардиналов, k = Æ{k | <}. Тогда k — кардинал и

Ú(< ¢ k <k).

Определение On-семейство (алеф) определяется по трансфинитной рекурсии:

12

0 := ¿,

+1 := H (),

:= Æ{ | <}, если — предельный ординал.

Лемма 8.1 (1) — кардинал

(2) < ¢ <

(3) { | ·On} — собственный класс

(4) k — бесконечный кардинал ¢ Á k=

Простейшая кардинальная арифметика

Определение xy := (x{0})Ü(y{1}) (сумма множеств)

Лемма Пусть x x', y y'. Тогда

x y x ' y '

x y x ' y '

xy (x ' )

y '

Благодаря этому, можно корректно определить операции над мощностями:

| x |+ |y | := |x y |

| x | É | y | := |x y|

| x || y |

:= |xy|

Теорема 8.6 (Гессенберг) Если k – бесконечный кардинал, то kk k

Если k – кардинал, часто вместо |k| пишут просто k. Тогда 11.2 можно записать в

виде: kÉk = k

Теорема 8.7 (Основная теорема кардинальной арифметики)

Если k,l·Card, k³l>0 и k³0, то kÉl = k+l = k

Аксиома выбора

Определение Пусть x­Ù ª Ùãx .

f - функция выбора на x := f - функция ª Dom( f )=x ª Úy·x

f (y )·y

Аксиома выбора (AC) x­Ù ª Ùãx ¢ Áf ( f - функция выбора на x)

Лемма 11.4 x конечно ª x­Ù ª Ùãx ¢ Áf ( f - функция выбора на x)

Доказательство – индукцией по |x|.

Варианты аксиомы выбора (леммы 11.5-11.7)

(AC ' ) x­Ù ª Ùãx ¢ Ás Úy·x |sÛy|=1

13

(AC'') Если (x i ) i · a - непустое семейство непустых множеств, то существует

семейство

(u i ) i · a такое что Úi·a u i·x i

Определение Все такие (u i ) i · a образуют множество, которое называется

декартовым произведением семейства (x i ) i · a и обозначается ¸{x i | i·a} .

Таким образом, (AC'') утверждает, что произведение непустого семейства

непустых множеств – непусто.

Определение Пусть f : x¢y – сюръекция. Тогда s : y¢x называется сечением f,

если

Úb·y f (s (b) )=b

Лемма 11.8

(1) (AC) ° всякая сюръекция обладает сечением.

(2) (AC) ¢ если существует сюръекция x на y, то y ø x.

Определение Цепью в (частично) упорядоченном множестве (x,²) называется непустое

подмножество aîx , любые два элемента которого сравнимы (по ²). Подмножество

aîx называется ограниченным сверху, если Áy·x Úz·a z²y .

Теорема Цермело Любое множество можно вполне упорядочить.

Лемма Цорна Если в упорядоченном множестве (x,²), всякая цепь ограничена

сверху, то (x,²) имеет максимальный элемент.

Теорема сравнения ÚxÚy (x ø y # y ø x) .

1. Аксиома выбора ¢ Теорема Цермело

2. Аксиома выбора ¢ Лемма Цорна

3. Теорема Цермело ¢ Теорема сравнения

4. Теорема сравнения ¢ Теорема Цермело

Конечность по Дедекинду

Лемма (1) a D-бесконечно ¿ ø a

(2) a D-конечно и вполне упорядочено ¢ a конечно

Континуум-гипотеза и теорема Серпинского

Лемма 2a – P (a)

Обобщенная континнум-гипотеза (GCH): для любого кардинала k, 2k – k+

14

Лемма k+ ø 22

k2

ø 222

2k

.

Лемма |z||x|+|y| = |z||x| |z||y|

Лемма 10.4 x D-бесконечно ¢ 2x 2x

2x 2x

x

Определение P nx определяем по индукции: P 0x := P 0x, P n+1x := P (P nx).

Лемма 10.5 x D-бесконечно ¢ P nx P nx

P nx (при n³1)

Лемма 10.6 x D-бесконечно ª y ø 2x ¢ x y ø 2x

Введем обозначение x ø* y := существует сюръекция y на x.

Лемма 10.7 xÜy = z z ¢ z ø* x # z ø y

Лемма 10.8 xÜy z z ¢ z ø* x # z ø y

Лемма 10.9 x y 2 x x ¢ 2x ø y

Лемма 10.10 Примем GCH. Тогда

x x

x ª y ø 2x ¢ x ø y # y ø x

Лемма 10.11 (основная) Примем GCH. Тогда

x x

x ª y ø 2x ¢ x ø y # y ø x

Теорема 10.12 (Серпинский) GCH ¢ AC.