12

مجموعه های فازی. 2فصل

13

مقدمه

علمي به دنياي علم توسط پرفسور زاده در يك مقاله 1965هاي فازي در سال مجموعه

ها يك مدل رياضي براي نمايش ابهام و مفاهيم غير دقيق و دانش معرفي شد. اين مجموعه

در فرهنگ لغت به معناي مبهم، گنگ، نادقيق و پيچيده آمده Fuzzyكنند. كلمه ارائه مي

شود. در بعضي كتابها از كلمه است. در زبان فارسي از همان كلمه فازي استفاده مي

مشكك نيز استفاده شده است.

هاي شود. ابتدا مجموعههاي فازي مطرح ميدر اين فصل مفاهيم اساسي نظريه مجموعه

دهيم. عمليات روي با چند مثال مفهوم آنرا توضيح مي ، سپسكردهفازي را تعريف

هاي معمولي را مورد هاي فازي، برشها و برخي مفاهيم ديگر متناظر با مجموعهمجموعه

دهيم.بررسي قرار مي

مفهوم مجموعه فازي 2-1

د كنيم مانندر گفتگوهاي روزمره خود از كلمات و جملات مبهم زيادي استفاده مي

هوا خيلي گرم »و « سرعت ماشين زياد است»، «مريم جوان است»، «استعلي قد بلند »

اي هاين مفاهيم را در قالب مجموعه هاي كلاسيك نمي توان بيان كرد. مجموعه«. است

فازي ابزار مناسبي براي بيان اين مفاهيم مي باشند. البته در مثالهاي قبل، مجموعه افراد قد

كرد مشخصبه عنوان شبه مجموعه توان هاي معمولي نيز ميبلند را با استفاده از مجموعه

توان آنها را به دنياي واقعي نزديكتر كرد.هاي فازي ميولي با مجموعه

يك مجموعه معمولي يا قاطع، نمايش رياضي بصورت )(: xpx .دارد)(xp

خوش تعريف باشد مجموعه معين خواهد xp)(باشد. وقتي مي xبيانگر خاصيت عناصر

كه بصورت « 10مجموعه اعداد طبيعي بزرگتر از »بود. مانند 10: xNx نمايش

.شودداده مي

14

توان مجموعه را مشخص كرد. در واقع خوش تعريف نباشد، نمي xp)(اما اگر

خوش تعريف را ارائه xp)(توان د نمينزماني كه مفاهيم مبهم و غير دقيق مطرح شو

خيلي بزرگتر يك مفهوم « 10اعداد طبيعي خيلي بزرگتر از »گوييم كرد، مثلاً زماني كه مي

خوش تعريف آنرا نمايش داد. دراين نوع xp)(ا يك توان بباشد كه نميمبهم مي

توان اعضاء مجموعه را مشخص كرد. بعنوان نمونه ها بطور صريح و با قاطعيت نميمجموعه

باشد. را در نظر بگيريد، مفهوم قد بلند صريح و روشن نمي« افراد قد بلند»ديگر مجموعه

ام و كنيم داراي يك نوع ابهفتگوهاي خود استفاده ميمعمولاً اصطلاحات زباني كه در ك

دهيم. هاي فازي نمايش ميباشد. اين اصطلاحات زباني را با مجموعهپيچيدگي مي

: در جدول زير نام افراد و اندازة قد آنها برحسب سانتيمتر داده شده است. 1-2مثال

مجموعه افراد قد بلند را مشخص كنيد.

علي جواد محمد هنامب حامد امير حسين نام

181 192 175 165 212 195 205 قد

اقض است ولي با اغماض آنرا با تن مفهوم با خاصيت معين بودن مجموعه دراين

مجموعه يك اين دهيم. براي مشخص كردن نمايش مي )شبه مجموعه( مجموعه معمولي

دارند عضو 180بيشتر از گوييم، افرادي كه قد گيريم. مثلاً ميمعيار سنجش درنظر مي

باشند. با اين معيار مجموعه بصورت زير خواهد بود:مجموعه افراد قد بلند مي

=T}حسين ، امير ، حامد ، جواد ، علي{

χ𝑇(𝑥) = {

1 𝑥 = علي ، جواد ، حامد ، امير ، حسين

0 𝑥 = محمد ، بهنام

15

شود علي و حامد هر دو متعلق به مجموعه ديده مي Tهمانطور كه در مجموعه

باشد. فاصله قد علي تا معيار ما سانتيمتر مي 212و قد حامد 181باشند. ولي قد علي مي

باشد. سانتيمتر مي 32باشد در صورتي كه فاصله قد حامد تا معيار ، ( يك سانتيمتر مي180)

باشد. اين بلندي حامد خيلي بيشتر از ميزان قدبلندي علي مي دق تر ميزانبه عبارت ساده

توان نمايش داد.هاي معمولي نميتفاوت را با مجموعه

البته ممكن است يك نفر ديگر معيار ديگري را براي افراد قد بلند درنظر بگيريد مثلاً

195رگتر از و يك بازيكن بسكتبال معيار بز 175ممكن است يك خانم معيار بزرگتر از

را درنظر بگيرند.

ل هاي معمولي قابباشد كه با مجموعهمفهوم قد بلندي داراي يك ابهام و عدم دقت مي

لندي پذيرد. ويژگي قد بهاي فازي به راحتي انجام ميباشد. اين كار با مجموعهنمايش نمي

باشد. مجموعه زير را درنظر بگيريد:بندي ميقابل درجه

علي جواد محمد بهنام حامد امير حسين نامميزان

عضويت0.9 0.6 1 0 0 0.5 0.1

Tعلي({ = 0.1جواد( ) 0.5حامد( ) 1امير( ) 0.6حسين( ) 0.9})~

قدبلند 0.1كند يعني علي به ميزان اعداد مقابل هر نام ميزان قد بلندي را مشخص مي

متعلق به مجموعه 0.1قد بلند است. يا به عبارت ديگر علي به ميزان 0.6است و امير به ميزان

T متعلق به 0.6باشد و امير به ميزان ميT باشد.مي

Tدر مجموعه قرار دارد كه بيانگر ميزان 1و0، مقابل هر عضو يك عددي بين ~

هاي فازي، د. در مجموعهباشباشد. اين نوع مجموعه همان مجموعه فازي ميعضويت مي

16

ن اي ،باشد. براي هر عضوبندي نيز مييك خاصيت مبهمي وجود دارد كه قابل درجه

شود كه در واقع همان ميزان عضويت بندي ميدرجه 1و0خاصيت بصورت عددي بين

( مد 0بودن )ن( و عضو 1هاي معمولي فقط عضو بودن )باشد در حالي كه در مجموعهمي

نظر است.

ن با توجه به درک افراد از اي مفاهيم مبهم افرادمختلف برداشتهاي مختلفي دارنددر

ناقضي با ت تفاوت كه اين مفاهيم و نوع استفاده از آنها، ميزان عضويتها مشخص مي شوند.

فازي ندارد زيرا با توجه به موقعيت زماني و مكاني و فردي و... مفهوم مفهوم مجموعه

ساله بين افرادي كه همه 30ري خواهد بود. بعنوان مثال يك فرد مبهم داراي معناي ديگ

باشد ولي همين شخص بين افرادي كه سن باشند جوان ميسال به بالا مي 50داراي سن

سرعت »د گويباشد. يا بعنوان مثال ديگر وقتي يك پليس ميدارند جوان نمي 25تا 18بين

باشد ولي وقتي در يك مي 120بالاتر از اگر دريك آزادراه باشد منظور سرعت« بالاست

مد نظر است. 60باشد سرعت بالاتر از خيابان درون شهري مي

تعريف مجموعه فازي 2-2

هاي معمولي روش همانطور كه در فصل قبل گفته شد يكي از روشهاي نمايش مجموعه

شد.يتابع نشانگر يا تابع عضويت بود دراين روش تابع عضويتي بصورت زير تعريف م

χ𝐴: 𝑈 ⟶ {0,1}

𝜒𝐴(𝑥) = {

1 𝑥 ∈ 𝐴0 𝑥 ∉ 𝐴

هاي شود ولي در مجموعهنمايش داده مي 0و عدم عضويت با عدد 1عضو بودن با عدد

فازي اين ميزان عضويتها اعدادي بين صفر و يك خواهد بود.

Xتعريف شده روي �̃�فازي مجموعه مرجع باشد. مجموعه X: فرض كنيد 1-2تعريف

𝜇و ميزان عضويت xعبارت است از اعضاي 𝐴(𝑥) .عضويت تابع 𝜇𝐴(𝑥) ازX به

17

كند. به عبارت را مشخص مي Aدر مجموعه xباشد و ميزان عضويت عناصر [ مي1,0]

ديگر:

�̃� = {(𝑥, 𝜇𝐴(𝑥)): 𝜇𝐴(𝑥): 𝑋 ⟶ [0,1]} ر از بزرگت: فرض كنيد مجموعه مرجع اعداد طبيعي باشند مجموعه اعداد خيلي 2-2مثال

دهيم:را بصورت زير نمايش مي 10�̃� = {(11 , 0.1)(12 , 0.2) (13 , 0.3). . (19 , 0.9)(20 , 1)… }

باشد، بدين معني كه ميزان خيلي بزرگتر از مي Aمتعلق به 3.0با ميزان عضويت 13عدد

باشند، يعني ميزان مي 1و... داراي ميزان عضويت 21و 20باشد. اعداد مي 3.0بودن آن 10

باشد.مي 1بودن آنها 10گتر از بزر

: با توجه به اطلاعات جدول زير مجموعه افراد جوان را مشخص كنيد.3-2مثال

علي جواد محمد بهنام حامد امير حسين رضا نام

23 25 55 31 19 18 47 15 سن

، آنگاه :در نظر بگيريم 1را 25تا 20افراد داراي سن ميزان جوان بودن فرض كنيد

A({=علي 1جواد( ) 1محمد( ) 0حامد() 6.0امير() 4.0حسين() 3.0رضا() 1.0})~

باشد.و محمد صفر مي 4.0ميزان جوان بودن امير در مجموعه فوق

1-2شکل

18

مجموعه مرجع باشد. مجموعه اعداد X{=1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8: فرض كنيد }4-2مثال

را مشخص كنيد. 5نزديك

پيشنهاد مي شود. با توجه به تعريف مجموعه فازي، اين مجموعه بصورت زير

({4.0 8()6.0 7()8.0 6()1 5()8.0 4()6.0 3()4.0 2()2.0 1=})A~

𝑋: مثال قبل را براي 5-2مثال = ℝ .حل كنيد

ي باشد، بدين معنباشد. اين مجموعه پيوسته ميدر اينجا مجموعه مرجع اعداد حقيقي مي

2باشند. بطور مثال كه اعضا آن بصورت جداگانه مشخص نمي ∈ ℝ ولي اولين عدد

5پس براي مشخص كردن اعداد حقيقي نزديك چه عددي است؟ 2حقيقي بعد از

مشخص كرد دراين نوع مجموعه ازيك توان براي هر عضو جداگانه ميزان عضويت نمي

كنيم.تابع عضويت پيوسته استفاده مي

𝜇𝐴(𝑥) =

{

𝑥−3

2 3 < 𝑥 ≤ 5

7−𝑥

2 5 < 𝑥 < 7

0 𝑜. 𝑤

5: مجموعه اعداد نزدیک 2-2 شکل

كافي است اين عدد را تابع عضويت قرار 4در اين مثال براي محاسبه ميزان عضويت عدد

ميزان عضويت را بدست آوريم.داده و

5.02

34)4(

A

19

ن آ . تابع عضويت غير خطي در نظر گرفته شده استتابع عضويت خطي در مثال قبل

بصورت زير است.2)5(1

1)(

xxA

5 نزدیک اعداد فازی مجموعه: 3-2 شکل

هاي فازينمايش مجموعه 2-3

ميزان عضويتهاي مربوطه هر دو بايد مشخص باشند. در دريك مجموعه فازي، عضوها و

شود. اگر مجموعه مرجع حالت كلي مجموعه فازي بصورت زوج مرتبي نمايش داده مي

تي كه شود ودر صورميزان عضويت آن در يك پرانتز نوشته مي و گسسته باشد هر عضو

ع مشخص ك تابتابع عضويت آن بصورت يمجموعه فازي با مجموعه مرجع پيوسته باشد

شود. بنابراين:مي

1,0::))(,(~

XxxA AA دهيم.نمايش مي �̃�را با نماد Aمجموعه فازي

عبارتند از:هاي فازي نمايش مجموعه متداول براي روشهاي

گسسته باشد. Xالف( مجموعه مرجع

فرض كنيد nxxxX ,..., 21 :در اينصورت

نمايش با نماد سيگما:

20

i

iAn

in

nAAA

x

xAor

x

x

x

x

x

xA

)(~)(...

)()(~

12

2

1

1

باشد.در اينجا نماد + براي بيان اجتماع مي

اينمايش مجموعه

n

nAAA

x

x

x

x

x

xA

)(,...,

)(,

)(~

2

2

1

1

ه كنيم. شماره هر آرايها استفاده ميبراي نمايش مجموعه فازي گسسته در رايانه از آرايه

باشد.بيانگر يك عضو مي

پيوسته باشد. Xب( مجموعه مرجع

x

xA A )(~

وقتي مجموعه مرجع گسسته باشد را بصورت زير 5: مجموعه اعداد نزديك 6-2مثال

دهيم:نمايش مي

8

4.0

7

6.0

6

8.0

5

1

4

8.0

3

6.0

2

4.0

1

2.0~A

وقتي مجموعه مرجع اعداد حقيقي باشند آنگاه:

x

x

x

xA

2/)7(2/)3(~7,55,3

اده عضويت نمايش دلتي كه مجموعه مرجع گسسته نباشد فقط همان تابع امعمولاً در ح

شود.مي

، 750، 500، 350، 280، 200، 150: يك شركت ساختماني زمينهاي با مساحت 7-2مثال

طبقه بسازد. 4واحدي 8خواهد يك دستگاه آپارتمان متر مربع دارد.اين شركت مي 1200

21

يك مجموعه فازي براي مجموعه زمينهاي مناسب براي ساخت اين آپارتمان پيشنهاد

دهيد.

1200

0

750

0

500

3.0

350

7.0

280

1

200

1

150

8.0~A

هاي : در يك كوره حرارتي براي كنترل سيستم حرارتي نياز به مدلسازي مجموعه8-2مثال

باشد. اگر مجموعه مرجع حرارت كم، حرارت زياد، حرارت متوسط مي

450,50x معمولي و مجموعه فازي ها را بصورت مجموعهباشد. اين مجموعه

مشخص كنيد.

هاي معمولي:الف( با استفاده از مجموعه

450,250Hزياد : 250,100Mمتوسط: 100,50Lكم :

4-2شكل

باشد مي Lدر 9/99باشد. مثلاً عدد بندي در مرزها قابل اعتماد نميدر اين نمايش تقسيم

درجه سلسيوس درجه 9/99باشد بدين معني كه درجه حرارت مي Mدر 100لي عدد و.

باشد.سيوس متوسط ميدرجه حرارت سل 100باشد ولي درجه حرارت حرارت كم مي

ب( مجموعه فازي:

هاي فازي بصورت زير هاي درجه حرارت كم، متوسط و زياد با روش مجموعهمجموعه

باشد.مي

22

مجموعه هاي فازي كم ، متوسط و زياد: 5-2 شکل

400240

160

240

4001

)(x

x

x

xH

26020060

260

2001501

1509060

90

)(

xx

x

xx

xM

12070

50

120

701

)(x

x

x

xL

متعلق باشد هم به Lدر روش مجموعه فازي يك عضو ممكن است هم به مجموعه

Lمتعلق به 4.0با ميزان عضويت 100عضويتهاي متفاوت . مثلا البته با ميزان Mمجموعه

100باشد. بدين معني كه درجه حرارت مي Mمتعلق به 6/1با ميزان عضويت باشد و مي

ميزان، فوق هايباشد. با توابع عضويتكم مي 4.0متوسط است به ميزان 6/1به ميزان

بر ميزان متوسط بودن آن غالب است. 100كم بودن

23

پردازش يك سيستم فازي معمولاً چند مجموعه فازي همزمان مورد نياز است كهدر

گيرد.با همديگر انجام مي آنها روي

فازي براي ميزان عضويت مجموعه xA)(در اين كتاب از اين به بعد به جاي قرارداد:

AازxA~

كنيم.استفاده مي )(,

عنوان توان مدلسازي كرد. بدر برخي از موارد مفاهيم مبهم را با مجموعه فازي نيز نمي نكته:

كرد. چرا كه مفهوم زيبا بودن قابل توان مشخص مثال مجموعه كبوترهاي زيبا را نمي

باشد.بندي نميدرجه

هاي فازي از لحاظ شكل تابع عضويتانواع مجموعه 2-4

اي، شبه در مثالهاي قبل شكلهاي مختلفي از توابع عضويت مانند مثلثي، ذوزنقه، زنگوله

نديبذوزنقه و... مورد استفاده قرار گرفت. در اين قسمت انواع آنها را دريك دسته

دهيم.مشخص مورد بررسي قرار مي

گونه مجموعه فازي 2-4-1

د يابيافزايش م و شده منحني تابع عضويت از مقدار صفر شروع ،در اين نوع مجموعه فازي

،برسد، سپس از آن نقطه به بعد ( كمتر يا مساوي يك حداكثر خود )مقداريتا به مقدار

اي و هاي فازي مثلثي و ذوزنقهكند تا به مقدار صفر برسد. مجموعهشروع به كاهش مي

هاي فازي براي مدلسازي باشند. از اين نوع مجموعهاي شكل جزء اين دسته ميزنگوله

شود.مفاهيم نزديك، تقريباً، حول وحوش، متوسط استفاده مي

24

گونه پی فازی مجموعه 7-2شکل

[ باشد در اينصورت 0، 20كنيد مجموعه مرجع، مجموعه نمرات در بازه ]: فرض 9-2مثال

توان بصورت زير نمايش داد.را مي 10مجموعه نمرات متوسط و نمره تقريباً

8-2 شکل

توان نوشت چون كافي است معادلات مياي را به سادگي تابع عضويت مثلثي و ذوزنقه

خطها را بدست آورد.

bxmmb

xb

mxaam

ax

xM )(

مثلثی فازی مجموعه 9-2 شکل

25

amكه درآن را پهناي باند چپ وmb باشند.را پهناي باند راست مي

هاي فازي كه ميزان عضويت ماكزيمم فقط در يك نقطه تابع عضويت مثلثي براي مجموعه

هايي كه گيرد و تابع عضويت ذوزنقه براي مجموعهافتد مورد استفاده قرار مياتفاق مي

گيرد.ميباشد مورد استفاده قرار ميزان عضويت ماكزيمم در يك بازه مي

bxnnb

xb

nxm

mxaam

ax

xN 1)(

ای ذوزنقه فازی مجموعه 10-2 شکل

شود. تابع اي حاصل ميغيرخطي باشد همان شكل زنگوله ، گونه𝜋وقتي تابع عضويت

ك اعداد حقيقي نزدي»بعنوان مثال مي باشد. ابع كسري يا نمايي ت ، 2عضويت آن درجه

a »توان با توابع عضويت زير نمايش داد:را مي

e k

ax

xA

2)(

)(

2)(1

1)(

axxA

گونه Zمجموعه فازي 2-4-2

ميزان باشد، سپسدر اين نوع مجموعه فازي عضويت در يك نقطه يا يك بازه حداكثر مي

يابد تا به مقدار صفر برسد. از اين نوع مجموعه فازي براي مدلسازي عضويت كاهش مي

گونه شبه ذوزنقه zفازي شود. در واقع مجموعهمفاهيم كم، پايين، كوتاه، بد و... استفاده مي

ت.يا شبه مثلثي اس

26

گونه Z فازی مجموعه 11-2 شکل

باشد.گونه ميzيك مجموعه فازي : مجموعه فازي نمرات بد9-2مثال

1210

2

12

1001

)(x

x

x

xB

2-12 شکل

گونه Sمجموعه فازي 2-4-3

به يابدعضويت از ميزان صفر شروع شده و افزايش ميدر اين نوع مجموعه فازي تابع

هاي فازي مدلسازي ميزان حداكثر در يك نقطه يا يك بازه برسد. از اين نوع مجموعه

شود.مفاهيم زياد، بالا، خوب، بلند و... استفاده مي

27

2-13 شکل

باشد.گونه مي S: مجموعه نمرات خوب يك مجموعه فازي 10-2مثال

1816

2

16

20181

)(x

x

x

xG

گونه Vمجموعه فازي 2-4-4

د تا يابدر اين نوع مجموعه فازي تابع عضويت از ميزان حداكثر شروع شده و كاهش مي

يابد تا به مقدار حداكثر برسد. از اين نوعبه مقدار صفر برسد سپس دوباره افزايش مي

شود.و نه بد استفاده مي مجموعه فازي براي مدلسازي مفهوم نه خوب

گونه Vمجموعه 16-2شكل

: مجموعه نمرات نه خوب نه بد.11-2مثال

15-2شکل

28

201010

10

10010

10

)(

xx

xx

xV

هاي[ مجموعه0، 20: براي مفاهيم مجموعه نمرات خوب، بد، متوسط دربازه ]1-2تمرين

بنويسيد. 2فازي با تابع عضويت درجه

باشند.گونه مي Zگونه و Sگونه تركيباتي از Vگونه و 𝜋هاي نكته: مجموعه

چند تعريف مقدماتي 2-5

نرمال، محدب، ارتفاع مانند مجموعه هاي فازيدر اين بخش مفاهيم ديگري از مجموعه

كنيم.تعريف ميرا مجموعه فازي و...

Aفرض كنيد ~

باشد. xيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع

A)ارتفاع مجموعه فازي(: به بيشترين مقدار تابع عضويت مجموعه فازي 2-2تعريف ~

(شود و آنرا با نماد ارتفاع آن مجموعه فازي گفته مي~

(Ahgt دهيم.نمايش مي

Aموعه فازي نرمال(: مجموعه فازي )مج 3-2تعريف را نرمال گوييم هرگاه ~

1)~

( Ahgt گاه مجموعه فازي اعضايي از مجموعه مرجع گاه مجموعه فازي(: تكيه)تكيه 4-2تعريف

(باشد و با باشند كه ميزان عضويت آنها بزرگتر از صفر ميمي~

(ASUPP نمايش داده

. شودمي 0)(:)~

( xAXxASUPP

1اي كه ميزان عضويت آن گذر يا معبر(: به نقطه)نقطه 5-2تعريف

2باشد نقطه گذر مي

شود.گفته مي

29

A)عدد اصلي(: به مجموع ميزان عضويتهاي مجموعه فازي 6-2تعريف عدد اصلي آن ~

dxxAA شود.گفته ميXx

)(~

يا

Xx

xAA )(~

هاي معمولي به تعداد عضوهاي يك مجموعه عدد اصلي آن مجموعه يا به در مجموعه

شود.عبارت ديگر به تعداد يكهاي تابع عضويت يا جمع مقدارهاي تابع عضويت گفته مي

Aعدد اصلي نسبي: عدد اصلي نسبي مجموعه فازي ~

عبارت است از:

X

AA

~~

A: )مجموعه فازي محدب(: مجموعه فازي 7-2تعريف

~ محدب است هرگاه

1,0,, 21 Xxx ))(),(min())1(( 2121 xAxAxxA

نامحدب b محدب a:17-2شكل

توان تعريف كرد كه در هاي تراز نيز ميهاي محدب را با استفاده از مجموعهمجموعه

هاي فازي با تابع عضويت مثلثي و بخشهاي بعدي به آن اشاره خواهيم كرد. مجموعه

باشند. اي محدب ميذوزنقه

كند )مجموعه سطح(: به ميزان عضويتهايي كه يك مجموعه فازي اختيار مي 8-2تعريف

شود.وعه سطح گفته ميمجم

XxxAA )(:

30

12)افراز فازي(: فرض كنيد 9-2تعريف

~,

~,...

~AAAn هاي فازي روي مجموعهX باشند

بطوريكه :

n

i

i xA1

1)( Xx

12در اينصورت

~,

~,...

~AAAn را افزار فازي مجموعه مرجعX .گويند

، 15، ...، 45} : مجموعه فازي جوان با تابع عضويت زير را درنظر بگيريد.12-2مثال

10 ،5 =}X

45

0

40

3.0

35

5.0

30

9.0

25

1

20

9.0

15

4.0

10

2.0

5

0~Y

باشند وباشند بنابراين نرمال ميمي 1مجموعه داراي ارتفاع

10} 15, 20, 25, 30, 35, {40,)~

( YSUPP Y نقطه گذر

باشد و عدد اصلي، عدد اصلي نسبي و مجموعه سطح آن مي 35عدد ~

باشند.بصورت زير مي

2.4=3.0+5.0+9.0+1+9.0+4.0+2.0+0=Y~ 48.0

9

2.4~Y

{1 ،9.0 ،5.0 ،4.0 ،3.0 ،2.0 ،0=}A

12هاي فازي مجموعه مرجع باشد، مجموعه X{=1، 2، 3، 4، 5: اگر }13-2مثال

~,

~AA

باشند.مي Xافزار فازي

4

0

3

3.0

2

6.0

1

12 A

4

1

3

7.0

2

4.0

1

0~1 A

با تابع عضويت « پنجاعداد نزديك »: مجموعه فازي 14-2مثال 2)5(1

1)(

xxA

باشد.يك مجموعه فازي نرمال و محدب مي

31

18-2 شکل

هاي فازياعمال روي مجموعه 2-6

را تعريف ي فازي مثل اجتماع، اشتراک، متممهادر اين بخش اعمال روي مجموعه

هاي معمولي با نمايش تابع نشانگر به كنيم. عملهاي اجتماع و اشتراک مجموعهمي

رت وهاي فازي نيز اعمال به همين صند. براي مجموعهدگيري تبديل شنيممماكزيمم و مي

هاي فازي با تابع عضويت سروكار داريم.باشند چون در مجموعهمي

AB: فرض كنيد 10-2تعريف ~

,~

باشند آنگاه Xهاي فازي روي مجموعه

اجتماع -الف

(𝐴 ∪ 𝐵)(𝑥) = max{𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥)}

19-2 شکل

32

اشتراک -ب

(𝐴 ∩ 𝐵)(𝑥) = min {𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥)}

20-2 شکل

متمم -ج

(𝐴′)(𝑥) = 1 − 𝐴(𝑥)

21-2 شکل

Aرابطه زيرمجموعه: -دBرا زيرمجموعه ~

گويند هرگاه ~

)()( xBxA Xx

33

AB: فرض كنيد 15-2مثال ~

,~

{ باشند. اجتماع 1، 2، 3، 4، 5هاي فازي روي }مجموعه

و اشتراک آنها را بدست آوريد.

5

1

4

8.0

3

5.0

2

2.0

1

0~B

5

3.0

4

7.0

3

1

2

7.0

1

3.0~A

حل:

5

3.0

4

7.0

3

5.0

2

2.0

1

0~~ BA

5

1

4

8/0

3

1

2

7/0

1

3/0~~ BA

AB: فرض كنيد 16-2مثال ~

,~

اعداد »و « اعداد حقيقي نزديك صفر»هاي فازي مجموعه

با توابع عضويت « 2حقيقي نزديك 22 1

1)(,

)2(1

1)(

xxA

xxB

دست آوريد.باشند. اجتماع و اشتراک دو مجموعه را به

22-2شکل

34

minآوريم سپس قبل و بعد از نقطه برخورد ابتدا نقطه برخوردهاي دو تابع را بدست مي

كنيم.توابع را مشخص مي maxو

1)2(1

1

1

1)()(

22

x

xxxBxA

مي باشد قبل و بعد از اين نقطه ماكزيمم گيري و مي نيمم گيري انجام 1پس نقطه برخورد

مي دهيم:

(𝐴 ∪ 𝐵)(𝑥) = {max {

1

1+𝑥2,

1

1+(𝑥−2)2} 𝑥 ≤ 1

max {1

1+𝑥2,

1

1+(𝑥−2)2} 𝑥 > 1

پس

(𝐴 ∪ 𝐵)(𝑥) = {

1

1+𝑥2 𝑥 ≤ 1

1

1+(𝑥−2)2 𝑥 > 1

و همچنين براي اشتراک داريم:

(𝐴 ∩ 𝐵)(𝑥) = {min {

1

1+𝑥2,

1

1+(𝑥−2)2} 𝑥 ≤ 1

min {1

1+𝑥2,

1

1+(𝑥−2)2} 𝑥 > 1

لذا

(𝐴 ∩ 𝐵)(𝑥) = {

1

1+𝑥2 𝑥 > 1

1

1+(𝑥−2)2 𝑥 ≤ 1

A: فرض كنيد 17-2مثال Bو 1اعداد فازي بزرگتر از ~

1اعداد فازي خيلي بزرگتر از ~

با توابع عضويت 11 )1(1

1)(,

)1(101

1)(

xxA

xxB آنگاه دباشن

35

ABنشان دهيد -الف~~

ب- A .را بدست آوريد

)()(واضح است كه -الف xAxB Rx پسAB~~

-ب1)1(1

11)(

xxA

iAيك مجموعه انديس باشد و Iاگر -توجه~ ،Ii هاي فازي روي مجموعهX باشند

آنگاه

Ii

IixAA ii

)(min و

Ii

IixAA ii

)(max

ثالهاي باشد. در مگيري فازي ميدر تصميمهاي فازي يكي از كاربردهاي اشتراک مجموعه

زير اين موضوع را توضيح مي دهيم.

1200، 750، 350، 280، 200، 150: يك شركت ساختماني زمينهايي با مساحت 18-2مثال

واحدي انتخاب 8خواهد از بين آنها يك زمين مناسب براي آپارتمان متر مربع دارد. مي

23-2شکل

36

هاي فازي مربوط بصورت زير باشد اگر مجموعه باشد.كند، بطوريكه آن زمين بزرگ هم

انتخاب بهينه كدام است.

1200

1

750

1

500

8.0

350

6.0

280

3.0

200

1.0

150

0~L زمينهاي بزرگ

1200

0

750

0

500

3.0

350

7.0

280

1

200

1

150

8.0~S زمينهاي مناسب

آپارتمان

حل: زمين مورد نظر بايد هر دو خاصيت را داشته باشد پس بايد اشتراک دو مجموعه را

محاسبه كنيم.

1200

0

750

0

500

3.0

350

7.0

280

3.0

200

1.0

150

0~~ SL

كنيم كه بيشترين مقدار عضويت را فازي حاصل آن زميني را انتخاب مي حال در مجموعه

متر مربع باشد. 350داشته باشد پس انتخاب بهينه

خواهد از بين بازيكنان قد بلند خود بازيكني انتخاب كند : يك مربي واليبال مي19-2مثال

هاي فازي زير بازيكن با چه قديسانتيمتر باشد با توجه به مجموعه 195نزديك كه قد او

را بايد انتخاب كند.

x= 196 جواب:

24-2شکل

37

Gدر حالت كلي اگر Cمجموعه هدف باشد بطوريكه داراي محدوديت ~

باشد آنگاه ~

CGD~~~

اي از گويند و انتخاب بهينه آن نقطه را فضاي تصميمDباشد كه مي~

بيشترين ميزان عضويت را دارد.

هاي مجموعه هاي فازيويژگي 2-7

ABCفرض كنيد ~

,~

,~

باشد. در اينصورت به Xهاي فازي روي مجموعه مرجع مجموعه

هاي فازي اثبات كرد.راي مجموعهتوان خواص زير را براحتي مي

AAA قانون خودتواني -1~~~

AAA~~~

ABBA قانون جابجائي -2

~~~~

ABBA~~~~

( پذيريقانون شركت -3

~~(

~~)

~~( CBACBA

CBACBA~

)~~

()~~

(~

پذيريقانون توزيع -4

)~~

()~~

()~~

(~

CABACBA

)~~

()~~

()~~

(~

CABACBA قانون متمم مضاعف -5

AA~

)~

(

BABA قانون دمورگان -6 ~~

)~~

(

BABA ~~

)~~

( :بصورت زير است تابع عضويت آن نمايشكنيم ب را اثبات مي -3بعنوان مثال قانون

))()(()))((( xCBAxCBA

38

يا

)}()},(),(max{max{)}}(),(max),(max xCxBxAxCxBxA افتد.حالت اتفاق مي 8اثبات: براي اثبات

)()()(حالت اول: اگر xCxBxA :در اينصورت

)()(),(max{){()},(),(max{max{

)()}(),(max{)}}(),(max{),(max{

xCxCxAxCxBxA

xCxCxAxCxBxA

)()()(حالت دوم: xBxCxA آنگاه

)()(),(max{){()},(),(max{max{

)()}(),(max{)}}(),(max{),(max{

xBxCxBxCxBxA

xBxBxAxCxBxA

شود كه اثبات آنها را به عهده خواننده قبل اثبات ميبقيه حالتها نيز مشابه دو حالت

گذاريم.مي

باشد.هاي فازي قوانين زير برقرار نمياما براي مجموعه

XAA قانون شمول-1 ))((1 يا ~~ xAA

قانون طرد -2 AA~

))((0 يا xAA

هاي فازي درست توان نشان داد كه دو قانون بالا براي مجموعهميبا يك مثال نقض

باشد.نمي

و x{=1، 2، 3، 4، 5: فرض كنيد: }20-2مثال 5

1

4

8.0

3

6.0

2

4.0

1

2.0~A

پس 5

0

4

2.0

3

4.0

2

6.0

1

8.0~A

5

0

4

2.0

3

4.0

2

4.0

1

2.0~~AA و

XAA 5

1

4

8.0

3

6.0

2

6.0

1

8.0~~

39

با اعمال اشتراک و اجتماع Xهاي فازي تعريف شده روي بنابراين مجموعه تمام مجموعه

اً طلاحصباشد زيرا قوانين طرد و شمول را ندارند. او متمم تعريف شده يك جبربول نمي

باشند.هاي فازي يك شبه جبربول ميگويند مجموعهمي

MATLABنويسي هاي فازي با برنامهمحاسبه اعمال روي مجموعه 2-8

نويسي رياضي را دارد. در اين قسمت با يك برنامه قابليتهاي برنامه MATLABنرم افزار

هاي فازي را در حالت گسسته محاسبه ساده اعمال اجتماع و اشتراک و متمم مجموعه

يا فازي گسسته در رايانه بصورت يك آرايه كنيم. همانطور كه قبلاً گفته شد مجموعهمي

باشد.سازي مييك ماتريس يك بعدي قابل ذخيره

باشد:برنامه بصورت زير مي

% Enter two matrix A=input('Enter the first matrix'),' B=input('Enter the second matrix'),' Option=input('enter the option '),' % Option 1 union % Option 2 intersection % Option 3 complement If(option==1) U=max(A/B),' Forint F('unions is '),' Print F (u),' End If (option==2) I=min (A/B),' F print F('Intersection is'),' Print F(I) End If(option==3)

40

Op=input ('Enter whether to find complement for first set or second set'),' If(op==1) [min]=size(u),' C=ones(m)-u,' Else C=ones(m)-v,' End print f('complement is') Print f(c) i End

حال اگر 21-2مثال 4

1

3

7.0

2

5.0

1

2.0~A و

4

4.0

3

6.0

2

8.0

1

1~B باشند و بعنوان ورودي برنامه درنظر گرفته شوند بعد از

اجرا داريم:

Enter the first matrix [0.2, 0.5, 0.7, 1] Enter the second matrix [1, 0.8, 0.6, 0.4] Enter the option 1 Union is [1,0.8, 0.7,1]

اي بنويسيد كه قانون دمورگان را براي برنامه MATLABتمرين: با استفاده از نرم افزار

مثال بالا بررسي نمايد:

برش -αهاي تراز يا مجموعه 2-9

فازي را مورد بررسي هاي توان بعضي از خواص مجموعهبرشها مي -αبا استفاده از

هاي معمولي هاي فازي و مجموعهبه نوعي رابطه بين مجموعه ،هاي ترازقرارداد. مجموعه

كند.را بيان مي

41

A: فرض كنيد 11-2تعريف ~

باشد آنگاه: Xيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع

)(: xAXxA راα- برش ضعيف و

)(: xAXxA راα- برش قوي مجموعه فازيA كنيم.تعريف مي ~

α- تواند. با استفاده از آن ميباشمجموعة صريح مي يك مجموعه فازي خود يك برش

هاي فازي گسترش داد.هاي معمولي را به مجموعهبعضي از مفاهيم مجموعه

Aبرش مجموعه -α: 23-2 شکل~

A: فرض مجموعه فازي 22-2مثال و α=2.0برشهاي آنرا به ازا -αبصورت زير باشد ~

7.0 =α .بدست آوريد

8

2.0

7

4.0

6

6.0

5

8.0

4

1

3

8.0

2

6.0

1

4.0~A

حل:

𝐴0.2 = {𝑥: 𝐴(𝑥) ≥ 0.2 } = {1,2,3,4,5,6,7,8} 𝐴0.7 = {𝑥: 𝐴(𝑥) ≥ 0.7 } = {3,4,5}

Aفازي : فرض كنيد مجموعه23-2مثال با تابع 1و مجموعه اعداد حقيقي نزديك ~

برش آنرا بدست آوريد. -α عضويت زير باشد

42

11

1,11

111

111

1:

)1(1

1:)(:

)1(1

1)(

2

2

xRx

xRxxARxA

xxA

را بدست آورد. Aتوان به ازاء هر مقدار داده شده مي αحال با جايگذاري مقدار

𝐴0.1آنگاه α=0.1فرض كنيد = [−2 , 4]

A)اصل تجزيه(: فرض كنيد 1-2قضيه باشد Xيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع ~

برشهاي اين مجموعه فازي براي -A αو 1,0 باشد در اينصورت

))(,min()( sup1,0

xxA A

كه درآن A تابع عضويت مجموعه صريحA و)(xA همان تابع عضويت مجموعه

Aفازي ~

باشد.مي

داريم. Xxباشد بنابراين براي هر مي 1و0بين xA)(اثبات: مقدار تابع عضويت

𝑠𝑢𝑝α∈[0,1]

{min (𝛼, 𝜒𝐴𝛼(𝑥))} =

max [ supα∈[0,A(x)]

{min (𝛼, 𝜒𝐴𝛼(𝑥))} , supα∈[A(x),1]

{min (𝛼, 𝜒𝐴𝛼(𝑥))} ] =

max [ supα∈[0,A(x)]

{min(𝛼, 1)} , supα∈[A(x),1]

{min(𝛼, 0)} ] =

sup𝛼≤𝐴(𝑥)

𝑋 = 𝐴(𝑥)

دهند:ياصل تجزيه را بصورت زير نيز نمايش م

43

AA~~

]1,0[

)min,)((كه درآن ~

xA A باشد.مي

اصل تجریه 24-2 شکل

A: فرض كنيد24-2مثال ~

برشهاي زير -αبا X{=1، 2، 3، 4يك مجموعه فازي روي }

باشد. مجموعه فازي مربوطه را بدست آوريد.

2,18.0 A 3,2,17.0A 4,3,2,14.0 A 21 A

با توجه به اصل تجزيه داريم:

4

4.0,

3

7.0,

2

1,

1

8.0

4

0,

3

0,

2

1,

1

01

4

0,

3

0,

2

1,

1

18.0

4

0,

3

1,

2

1,

1

17.0

4

1,

3

1,

2

1,

1

14.0

~1

~8.0

~7.0

~4.0

]1,0[

~18.07.04.0

~AAAAA A

44

باشد كه در زير اين برشها تعريف مجموعه فازي محدب مي -αيكي از كاربردهاي

آوريم.تعريف را مي

A: فرض كنيد 12-2تعريف ~

باشد. اين Xيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع

برشهاي آن محدب باشد. -αمجموعه فازي را محدب گوييم. هرگاه تمام

α- باشند لذا منظور از محدب بودن هاي معمولي ميبرشها مجموعهα- برشها همان

باشد.فصل اول مي تعريف

A: مجموعه فازي 25-2مثال ~

ابع عضويت زير يك مجموعه فازي محدب است زير با ت

برشهاي آن محدب است. -αهمه

𝐴(𝑥) = {2𝑥 − 5 2.5 < 𝑥 ≤ 37 − 2𝑥 3 < 𝑥 < 3.5

α- باشدبرش مجموعه فازي بصورت زير مي

2

7,

2

5 A

A يك بازه پيوسته رويR هايي چنين بازه در فصل اول ثابت كرديم باشد كهمي

هاي پيوسته باشند آنگاه برشها بازه -αتر اگر همه باشند. به عبارت سادهمحدب مي

برشي با چند زير بازه از هم -αباشد.و در صورتي كه مجموعه فازي متناظر محدب مي

جدا وجود داشته باشد مجموعه فازي نامحدب است )شكل زير(

45

25-2 شکل

A: )عدد اصلي فازي( فرض كنيد 13-2تعريفيك مجموعه فازي روي مجموعه مرجع ~

Aفازي باشد عدد اصلي فازي مجموعه Xمتناهي شود.بصورت زير تعريف مي ~

nAAnnAF

:sup,:),(~

مجموعه مرجع باشد كه اعداد بيانگر تعداد X{=1، 2، 3، 4، 5: فرض كنيد }26-2مثال

Aباشد. مجموعه فازي اتاقهاي خواب يك منزل آپارتماني مي~

آپارتمانهاي »بيانگر

با ميزان عضويتهاي داده شده است.« نفره 3مناسب براي خانواده

5

2.0

4

6.0

3

1

2

1

1

5.0~A

باشند.برشهاي اين مجموعه فازي بصورت زير مي

5

4

3

2

2.0

5.0

6.0

1

A

A

A

A

5,4,3,2,1

5,3,2,1

4,3,2

3,2

2.0

5.0

6.0

1

A

A

A

A

با توجه به تعريف داريم:

5

2.0

4

5.0

3

6.0

2

1~

FA

46

عضو وجود دارد كه ميزان عضويت 3بدين معني است كه A( 3) 0.6=گوييم وقتي مي

باشد.مي 6.0آن بزرگتر و مساوي با