يسيو ياهdsp.ut.ac.ir/en/downloads/sc-fall2015/sc-lecture2-fuzzy1... · 2015-09-26 ·...

هادي ويسي[email protected]

فنون نويندانشکده علوم و -دانشگاه تهران

(مجموعه ها)فازی -مبانی رایانش نرم: درس

2H. Veisi ([email protected])

مفهوم فازيمجموعه کالسيکمجموعه فازي

تعاریفعملگرهابرش آلفاانواع عملگرها

مکمل اشتراک(t-norm) اجتماع(t-conorm)

ترکیب عملگرها



؟(جوانيمفهوم )سوال (انتهای جواني)ساله 35و ( کامال جوان)ساله 25، (ابتدای جواني)ساله 15برای سن های

ابهام و عدم شفافيت در متغيرهاي زباني و مسائل دنياي واقعي ،سرد، کم، پایین، خوب، زیبا ...

فازي(چند مقداری)دستگاه استنتاجي جدید / طرز تفکربا دنیای برای برطرف ساختن ناتواني منطق دومقداری و ریاضیات بسیار دقیق در برخورد

واقعي و نادقیق



گروهي از اشيا و افراد= مجموعهمجموعه دانشجویان سال اول مجموعه حروف فارسي

مجموعه افراد قدبلند کالس مجموعه افراد جوان

عضويت در مجموعه[مي دانیم ] عنصرa(رضا ) عضو مجموعهA(دانشجویان سال اول )نیست/هست

چگونه تعیین کنیم : عنصرa(رضا ) عضو مجموعهA(افراد قدبلند )نیست؟/هست عنصرa(رضا ) عضو مجموعهA(افراد جوان )نیست؟/هست

Aa Aa



مجموعه تُرد(Crisp)دو حالته هر عضو مانندa یا عضو مجموعه،A ( صفر یا یک)است یا نیستتعریف مجموعه

به صورت لیستبه صورت قانون

تابع مشخصه مجموعه(characteristic function)

},...,,{ 21 naaaA

)}(|{ xPxA

x هایي که هرx دارای مشخصهPاست

Ax

AxxA

for 0

for 1)(

}1,0{: XA

0 10 1 10



عملگرهاي مجموعه... مجموعهA زیرمجموعه(subset) مجموعهBاست مجموعهA مساوی با(equal ) مجموعهBاست مجموعهA نامساوی با(not equal ) مجموعهBاست مجموعهA زیرمجموعه مناسب(proper subset ) مجموعهBاست

مجموعهA شامل شده(included in ) مجموعهBاست مجموعه تواني(power set )A عبارتست از کلیه زیر مجموعه هایA: اندازه مجموعه(cardinality ) مجموعهA بیانگر تعداد عناصر مجموعهAاست=|A|

مثال

مکمل نسبي(relative complementary) مجموعهA نسبت بهB

BA

ABBABA and

BA

BA

BABABA and

)(AP

||2|)(| AA P

},|{ AxBxxAB



عملگرهاي مجموعه. . . اگرB مجموعه جهاني(X )باشد

مکمل(complementary) مجموعهA

(مکمل مجموعه تهی )

اجتماع(union) دو مجموعهA وB

حالت گسترش یافته

اشتراک(intersection) دو مجموعهA وBحالت گسترش یافته

دو مجموعهA وB مجزا(Disjoint )هستند اگر

AA

X

X

AAB

}or |{ BxAxxBA

} somefor |{ IiAxxA iiIi

} and |{ BxAxxBA

} allfor |{ IiAxxA iiIi

BA



عملگرهاي مجموعه. . . افراز(partition ) مجموعهA :

شکستن فضای مجموعه به زیرمجموعه های مجزا

جمع(Addition ) افراز مجموعهA

مثال

)(A



عملگرهاي مجموعه. . . پوشش(Cover ) روی مجموعهA

شکستن فضای مجموعه بهn (دارای همپوشانی)زیرمجموعه غیرمجزامشابه افراز اما برای مجموعه های غیرمجزا

شمول و طرد(Inclusion and Exclusion ) برای پوشش مجموعهA بهnزیرمجموعهتعداد اعضای مجموعه پوشش

تایی3تایی و 2برای حالت



عملگرهاي مجموعه. . . ضرب(Cartesian product ) مجموعهA وB :

توجه شود

حالت گسترش یافته



عملگرهاي مجموعه



محدب بودن(convex)

مجموعه : 1مثالA=[0,2]U[3,5] محدب نیست اگرr = 1, s = 4, λ=0.4 ، آنگاهλr+(1- λ)s=2.8 عضوAنیست

مجموعه هایي در فضای : 2مثالR2

محدب



کران باال و پايين(upper/lower bound) اگر عددی حقیقي مانندs وجود داشته باشد که به ازای همهx های عضوA داشته باشیم

x<s آنگاه ،s باالی کرانA است وA از باال بهsمحدود است

اگر عددی حقیقي مانندr وجود داشته باشد که به ازای همهx های عضوA داشته باشیمx>r آنگاه ،r کران پایینA است وA از پایین بهrمحدود است

supremum/infimum

برای مجموعهA ،که از باال محدود شده استs راsupremum گویند اگرs کران باالیA باشد و هیچ عدد کوچکتری ازs کران باالی ،A (کوچکترین کران باال)نباشد

برای مجموعهA ،که از پایین محدود شده استr راinfimum گویند اگرr کران(بزرگترین کران پایین)نباشد A، کران پایین rباشد و هیچ عدد بزرگتری از Aپایین



ايده به هر عضو مجموعه( مانندa ) میزان تعلق آن به مجموعهA در نظر ( بین صفر و یک)را

بگیریم

تابع عضويت(membership function) یک تابع مشخصه(characteristic function) (معموالً بین صفر و یک)مقادیر در بازه ای از اعدادمیزان عضویت هر عضو به مجموعه/بیانگر میزان درجه

مجموعه اي که با يک تابع عضويت تعريف مي شود: مجموعه فازي

]1,0[: XA

10 0.2 0.4 0.6 0.8 10



توابع عضويتP1=1

P2=10

P3=5 P4=2



توابع عضويت مثلثي(Triangular) ذوزنقه ای(Trapezoidal) گاوسي(Gaussian) زنگوله ای(Generalized bell)

0,,minmax),,;(

bc

xc

ab

axcbaxtri

0,,1,minmax),,,;(

cd

xd

ab

axdcbaxtrap

b

b

cxcbaxgbell

2

1

1),,;(

2

2

1

),,;(

cx

ecbaxgauss

برای استفاده و رسمMATLABدر



عضويت توابع( درMatlab. . . )

شکل رابطه دستور اسم

trimf(x,params) مثلثي

trapmf(x,[a b c d]) ذوزنقه ای

gaussmf(x,[sig c]) گاوسي



عضويت توابع( درMatlab. . . )


sigmf(x,[a c]) دسیگموی

smf(x,[a b]) S

zmf(x,[a b]) Z



عضويت توابع( درMatlab)


psigmf(x,[a1 c1 a2 c2]) د سیگمویترکیبي

gbellmf(x,params) زنگوله ای

pimf(x,[a b c d]) شبه پي



مفهوم جواني، ميان سالي و کهن سالي: مثال [0-80]بازه



درجه حرارت: مثال

فازی

کریسپ



حالت اصليمجموعه دانش آموزان : مثال(X = ){علي، احمد، بهنام، سینا، شبنم} باهوش”مجموعه فازی دانش آموزان“

{(0.4علی ،) ،(احمد0.8 ،) ،(بهنام0.6 ،) ،(سینا1 ،) ،(شبنم0.9 ،)}

نوع ديگر (در حالت گسسته)نمایش

0.9/ شبنم+ 1/سینا+ 0.6/ بهنام+ 0.8/احمد+ 0.4/علی

(در حالت پیوسته)نمایش



مجموعه فازي بازه اي(Interval-valued)مقدار تابع عضویت به ازای هر مقدار، یک بازه است نه یک مقدار

]),1,0([: XA

Power set



2مجموعه فازي نوع(type 2)مقدار تابع عضویت برای هر مقدار، خودش یک تابع عضویت است

نیاز به محاسبات باالعدم استفاده در کاربردهای واقعي



برشα(α-cut) و برش قويα(strong α-cut) از ( و مساوی)مقادیر بزرگ ترαبرای تابع عضویت

]1,0[



مجموعه پشتيبان(support )فازي مجموعه پشتیبان برای مجموعه فازیA در یک مجموعه جهانيX مجموعه ای کریسپ ،

.هستندAاست که شامل درجه عضویت غیرصفر در Xاست که حاوی تمام عناصر مجموعه پشتیبان برای مجموعه فازیA برابر با برش قویα ازA برایα=0استS(A) or supp(A) = 0+A

مجموعه هسته(core )فازي معادل برشα ازA برایα=1 1است، یعنيA

ارتفاع(height )يک مجموعه فازي معادل بزرگ ترین درجه عضویت در مجموعهA(برای هر کدام از عناصر) اگرh(A) =1 باشد، مجموعهA را نرمال(normal )مي گویند اگرh(A) <1 باشد، مجموعهA را زیرنرمال(subnormal )مي گویند معادلsupremum برایα که

)(sup)( xAAhXx

A



مثالA(x)

X

.5

1

0Core

Crossover points

Support

- cut



مجموعه فازي محدب(Convex) تابع محدب(Convex)

برای دو نقطهx وy در دامنه و برای هر مقدارt [0,1]در

تابع مقعر(Concave)



مجموعه محدب و زيرنرمال

مجموعه غيرمحدب و نرمال



(و محدب)مجموعه نرمالبرش های آلفا محدب هستند



مکمل(complement)

(توابع دیگری نیز برای این کار وجود دارند)تابع مکمل استاندارد

نقطه تعادل

)(1)( xAxA

)()( xAxA



اجتماع و اشتراک (تعاریف دیگری نیز وجود دارند)تعریف استاندارد

اشتراک =t-norm و اجتماع =t-conorm

مي تواند نرمال بودن و محدب بودن را عوض کند

)],(),(max[))((

)],(),(min[))((

xBxAxBA

xBxAxBA



(جمع)اجتماع

(ضرب)اشتراک

)](),([max )( A xxx BBA

)](),([min )( A xxx BBA

1

x

)(xBA

)(xBA



مثال سه مجموعهA1, A2, A3نرمال هستند مجموعه هایB وCزیرنرمال هستند مجموعه هایB وCمحدب هستنددو مجموعه و محدب نیستند

21 AAB

32 AAC

CB CB



ويژگي هاي اجتماع و اشتراکبرقرار بودن تمام ویژگي های بیان شده برای مجموعه های کریسپ به غیر از

قانون تناقض(contradiction) قانون(excluded middle)

AA

U AA



زيرمجموعه مجموعهA زیرمجموعه مجموعهB اگر ) ( است

همچنین داریم

اندازه مجموعه(scalar cardinality)مثال

B A,any for and iff BBAABABA

)()( xBxA BA



ضرب دو مجموعه فازيA وB

ضرب يک عدد صحيح در يک مجموعه فازي



قضيه

ه برش آلفا و برش قوی آلفا همیشستند ه( نسبت به آلفا)نزولي نوایي

ا و اجتماع و اشتراک فازی، برش آلفحفظ مي کندبرش قوی آلفا را

ا را مکمل فازی، برش آلفا و برش قوی آلفحفظ نمي کند



قضيهاثبات



اثر عملگر مکمل بر برش آلفا و برش قوي آلفا



قضيهباشد، برش آلفا و Bزیرمجموعه Aاگر

برش قوی آلفا نیز همین طور هستند

باشد، برش آلفا و برشBمساوی Aاگر قوی آلفا نیز همین طور هستند



نمايش مجموعه فازي بر اساس برش آلفامثالنمایش بر اساس برش های آلفا

تعريف مجموعه فازيآنگاه

داریم

عناصری که عضو محموعه هستند0.2آلفا برش



(قضيه)نمايش مجموعه فازي بر اساس برش آلفا

مثال

برایα 0,1)ها در]

و



(قضيه)نمايش مجموعه فازي بر اساس برش قوي آلفا

(قضيه)نمايش مجموعه فازي بر اساس برش آلفا



مثال مجموعه سطحA

Xx x

AA 0

0 0

0



عملگرهاي استاندارد مجموعه هاي فازيمکملاشتراکاجتماعحالت توسعه داده شده مجموعه های کالسیک

عملگرهاي فوق مي توانند به صورت هاي ديگري نيز تعريف شوند اشتراک فازی راt-norms و اجتماع فازی راt-conorms(s-norm )مي گویند

هم توابع عضویت و هم عملگرها، وابسته به بافت(context-dependent )هستندبرای انسان، درختان: بلند بودنبرای تب بیمار، حرارت کوره آجرپزی: دمای باال



ويژگي هاي عملگرهاي استانداردتنها عملگرهایي که برش آلفا و برش قوی آلفا را حفظ مي کنندضعیف ترین اشتراک فازی=اشتراک استاندارد فازی

برای هر مجموعه فازی، بزرگ ترین مجموعه فازی را تولید می کند( از میان تمامt-normها)

قوی ترین اجتماع فازی=اجتماع استاندارد فازی برای هر مجموعه فازی، کوچک ترین مجموعه فازی را تولید می کند( از میان تمامt-conormها)

وندترکیب خطای عملوندها مي ش/عملگرهای استاندارد به صورت ذاتي مانع گسترش اگر هرکدام از توابع عضویتA(x) وB(x) دارای خطایe باشند، آنگاه بیشترین مقدار خطا برای

.خواهد بودeمکمل، اشتراک و یا اجتماع آنها، همان



تابع : تعريفc روي مجموعه فازيA(x)

همه توابع مکمل بايد شرايط دو اصل زير را داشته باشند چارچوب اصولي(axiomatic skeleton )مکمل

توابعي که اصول فوق را دارند، کلي ترین توابع مکمل هستند

دو اصل ديگر براي تابع مکمل



قضيه

( injective)تابعي که هم یک به یک باشد( surjective)هم پوشا

هرازایبه-YبردبهXدامنهازدرxنقطهیکحداقل،برددرyنقطه

f(x)=yکهداردوجوددامنه

کییک به تابع

تابع پوشا



ساختار تودرتو براي مکمل هاي فازي

c(A)=1-A



فقط اصل اول و دوم را دارد: مثال



فقط اصل سوم دارد و اصل چهار ندارد: مثال

داریم :c(0.33)=0.75

اما :c(0.75) = 0.15 ~= 0.33



چهار اصل را دارد: مثال

کالس سوگنو(Sugeno)

برایλ=0

مکمل استاندارد فازی

د مکمل استاندارفازی



چهار اصل را دارد: مثال

کالس یاگر(Yager)

برایw=1


د مکمل استاندارفازی



ويژگي هاي مشترک. . . نقطه تعادل(Equilibrium :) نقطه ای کهc(a) = a

ec

ec

c(a) > a

c(a) < a

c(a)

a

)(

)( assumption From

)()( )(

)()( c2 Axiomby

Assume

aca

aac

aeaceec

ecac

ea

ccc

c

c



ويژگي هاي مشترک. . .

unique. is 3.2, Theorem From

exists) ( mequilibriu is then 0Let

,)(such that oneleast at ],1,1[

theorem valueteintermedia theFrom

continuous is

]1,1[ where)(Let

11)1( ,10)0( c1 AxiomBy

a

aab

baacab

c

bbaac

cc

The intermediate value theorem:

If the function y = f(x) is continuous on the interval [a, b], and u is a number between f(a) and f(b), then there is a c∈[a, b] such that f(c) = u.



نقطه دوگان(Dual point) با فرض داشتن تابع مکمل فازیc و مقدار حقیقي به عنوان درجه عضویت، آنگاه

به ازای هر مقدار عضویتي مانند که برای آن داشته باشیم

.نقطه دوگان نامیده مي شود برای هر تابع مکمل فازیc و درجه عضویتa ،حداکثر یک نقطه دوگان وجود دارد.

]1,0[a

]1,0[ad

)()( acaddc aa

نقطه دوگان برای هر مقدار involutiveبرای مکمل هایدرجه عضویت با مکمل شده آن نقطه برابر است



مولدهاي صعودي(increasing generators. . . )

تولید مکمل های فازی با این توابعمثال

مولد مکمل استانداردمولد مکمل سوگنو

مولد مکمل یاگر

تولید مکمل استاندارد

g-1(a)=a1/w



مولدهاي صعودي(increasing generators. . . ) تابع مولد زیر با دو پارامتر

تابع مکمل فازی را نتیجه مي دهد تابع فوق به ازایw=1معادل مکمل سوگنو است تابع فوق به ازایλ=0معادل مکمل یاگر است

تابع مولد–مثال دیگر

مکمل فازی معادل



مولدهاي نزولي(decreasing generators)

تولید مکمل های فازی با این توابع

مثالمولد مکمل استاندارد

مولد مکمل یاگر



اشتراک دو مجموعه فازيA وB

چارچوب اصولي(axiomatic skeleton )اشتراک

سایر نیازمندی های عملگر اشتراک

تاشتراک فازی جابجایي پذیر اس

Archimedeanاشتراک فازی



قضيه

چند نمونه اشتراک فازي

داریم

i( a, a) = a

Drastic



مثال...

i(a,b)=ai(a,b)=b



مثال



نمونه عملگرهاي اشتراک فازي کالس یاگر(Yager)



تابع مولد نزولي ( شبه معکوس)معکوس. . . نزولي تابع مولدf : به [0,1]تابعي ازR که پیوسته و اکیداً نزولي است وf(1)=0

از تابعي : معکوسR [0,1]به

f(a)f(-1)(a)



تابع مولد نزولي ( شبه معکوس)معکوسمثال

داریم



تابع مولد صعودي( شبه معکوس)معکوس صعودی تابع مولدg : به [0,1]تابعي ازR و پیوسته و اکیداً صعودی است کهg(0)=0

تابعي از : شبه معکوسR [0,1]به

مثال

داریم



مولد صعودي و تابع مولد نزوليرابطه تابع



قضيه مشخصه سازي اشتراک فازي. . .

ساخت توابعt-normبا استفاده از مولدهای نزولي



( . . .مثال)قضيه مشخصه سازي اشتراک فازياشتراک فازی : مثالSchweizer



( . . .مثال)قضيه مشخصه سازي اشتراک فازياشتراک فازی : مثالYager



( مثال)قضيه مشخصه سازي اشتراک فازياشتراک فازی : مثالFrank



اجتماع روي دو مجموعهA وB

چارچوب اصولي(axiomatic skeleton )اجتماع

سایر نیازمندی های عملگر اجتماع

ز مشابه اصول اشتراک به جدر مرزها

Archimedeanاجتماع فازی



قضيه

نمونه توابع اجتماع فازي

داريم

u( a, a) = a

Drastic



مثال...



مثال



قضيه مشخصه سازي اجتماع فازي. . .

ساخت توابعt-conormبا استفاده از مولدهای صعودی



قضيه مشخصه سازي اجتماع فازي. . .اجتماع فازی : مثالSchweizer



قضيه مشخصه سازي اجتماع فازياجتماع فازی : مثالYager

اجتماع فازی : مثالFrank



کالس ياگر(Yager. . . )

Drastic

اجتماع استانداردفازی



کالس ياگر(Yager )



(دوگان)قانون دمورگانحالت کالسیک

حالت فازی اشتراک فازیi و اجتماع فازیu نسبت به مکمل فازیcدوگان هم هستند اگر و فقط اگر

فقط تعدادی از ترکیب های مختلف اشتراک، اجتماع و مکمل فازی شرایط دوگان بودن را دارندسه تایی های دوگان: مثال




عملگرهاي تجميع دیل کرده و به یک مجموعه فازی تبترکیبعملگرهایي که چند مجموعه فازی را با هم

مي کنند

اجتماع، اشتراک، میانگین: مثال



اصول مورد نياز عملگرهاي تجميع

اجتماع و اشتراک فازی عملگرهای تجمیع هستنند اما به غیر از اجتماع و اشتراکرا ندارندh5، بقیه اصل (minو max)استاندارد فازی



براي عملگرهاي تجميعيh که اصولh2(يکنوا صعودي ) وh5

(idempotent )را دارند، داريم

عملگرهاي تجميعيidempotentرا عملگرهاي ميانگين مي گويند میانگین های گسترش یافته(generalized means)

عملگرهایي که بین اجتماع و اشتراک استاندارد قرار دارند



ميانگين هاي گسترش يافته(generalized means)

کران پایین

کران باال

میانگین حسابي(arithmetic)

میانگین هارمونیک(harmonic )



ميانگين گيري وزن دار ترتيبي: دسته ديگري از عملگرهاي تجميعيordered weighted averaging (OWA)

مثال



ميانگين گيري وزن دار ترتيبي ارضا کردن پنج اصلh1 تاh5و نامساوی

کران پایین

کران باال

میانگین حسابي

يسيو ياهdsp.ut.ac.ir/en/downloads/sc-fall2015/sc-lecture2-fuzzy1... · 2015-09-26 ·...

Documents