משוואות לינאריות

משוואות לינאריות

י העברת"היא משוואה שע במשתנים משוואה לינארית :הגדרה :פתיחת סורגיים וכינוס איברים דומים ניתן להביא לצורה הבאה, אגפים

.עבור מספרים כלשהם

1 2, , , nX X X

1 1 2 2 n na X a X X ba

1 2 ,, ,, na a ba

היא אוסף במשתנים מערכת משוואות לינאריות :הגדרה . משוואות לינאריות במשתנים אלה

1 2, , , nX X X

נקרא גם. המספרים נקראים מקדמי המערכת :הגדרה .המקדם החופשי

1 2 ,, ,, na a bab

מרחב הפתרונות

של משוואה לינארית הוא סדרה של פתרון :הגדרה -מספרים כך ש

1 2, , , nx x x

1 1 2 2 n na X a X X ba

של מערכת משוואות לינאריות הוא סדרה של מספרים שהיא פתרון :הגדרה . פתרון של כל המשוואות במערכת

1 1 2 2 n na x a x x ba

של מערכת משוואות לינאריות הוא אוסף כל מרחב הפתרונות :הגדרה .של המערכת הפתרונות

1 .יה-nסדרת מספרים נקראת גם :הגדרה 2, , , nx x x

מטריצת המקדמים

הגדרה: מטריצה היא טבלה )מערך דו-מימדי( של מספרים.

.mxnונסמן . n על m מסדרנאמר שהמטריצה היא , עמודות n-שורות ו mכאשר למטריצה

:דוגמאות

1 0.5 1

2 1 11

5 7 3

1 2 7 0.3 11

32 1 4 2 9

14 7 7 1 0.5

2 12 3 5 0

(3על 3מסדר ) 3x3מטריצה

(5על 4מסדר ) 5x4מטריצה

מטריצת המקדמים

של מערכת משוואות ( או המלאה)מטריצת המקדמים המורחבת :הגדרה המכילה n+1על mהיא מטריצה מסדר , נעלמים n-משוואות ב mלינאריות עם

.בסדר המתאים( כולל המקדמים החופשיים)את כל מקדמי המערכת .היא אותה מטריצה ללא העמודה האחרונההמקדמים המצומצמת מטריצת

כאשר יהיה ברור לאיזה מטריצה אנחנומטריצת המקדמים נאמר בקצרה

.מכוונים

:דוגמה, מטריצת המקדמים

381457

812511

371383

4321

432

4321

xxxx

xxx

xxxx :מערכת המשוואות

38

812

37

1457

5110

1383

3 8 13 7

0 11 5 12

7 5 14 8

:מטריצת המקדמים המלאה

:מטריצת המקדמים המצומצמת

:פתרון מערכת משוואות

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 8

3 12

4

x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 0 1

0 0 2

0 0 3

x x x

x x x

x x x

?האם אתם רואים מה הפתרון של המערכת הזו

?ושל זו

הרעיון של שיטת החילוץ של גאוס

דרוג המערכת:

נפעיל על המערכת פעולות מסויימות השומרות על מרחב הפתרונות.

בסוף נקבל מערכת שקל יחסית להבין מהו אוסף הפתרונות שלה.

מטריצת המקדמים המתאימה למערכת זו תהיה מטריצה מדורגת.

מטריצה מדורגת

אם מתקיימיםמטריצה מדורגת מטריצה תקרא (:מטריצה מדורגת)הגדרה :התנאים הבאים

.כל שורות האפסים מופיעות אחרי השורות שאינן אפסים1.

משמאל לאיבר הפותח בשורה שווה לאחד ונמצא שורה הפותח בכל האיבר 2.

.שמתחתיו

האיבר , שאינה שורת אפסים, בכל שורה של מטריצה (:איבר מוביל)הגדרה .איבר פותחאו איבר מובילששונה מאפס נקרא ( השמאלי ביותר)הראשון

.פותח-1או מוביל-1הוא נקרא גם 1-כאשר איבר זה שווה ל

מטריצה מדורגת קנונית

אם מטריצה מדורגת קנונית מטריצה תקרא (:מטריצה מדורגת קנונית)הגדרה :התנאים הבאים מתקיימים

.כל שורות האפסים מופיעות אחרי השורות שאינו אפסים1.

משמאל לאיבר הפותח בשורה שווה לאחד ונמצא האיבר הפותח בכל שורה 2.

.שמתחתיו

.מעל כל איבר פותח יש אפסים3.

:דוגמאות

מטריצה מדורגת

אך לא מדורגת קנונית

מטריצה מדורגת קנונית

0

4

2

5

0

0

9

1

0000

1000

0100

7061

0

4

2

5

0

0

9

1

0000

1000

0100

0061

הפעולות שנבצע על מטריצת :המקדמים

הכפלת שורה במספר שונה מאפס.

שינוי סדר השורות.

הוספת קבוע כפול שורה אחת לשורה אחרת.

.פעולות אלמנטריותנקרא לפעולות אלה

:פעולות אלמנטריות

על מטריצה היא אחת מהפעולות פעולה אלמנטרית (:פעולה אלמנטרית)הגדרה :הבאות

.מאפסהכפלת שורה במספר שונה 1.

.השורותסדר שינוי 2.

.קבוע כפול שורה אחת לשורה אחרתהוספת 3.

:החלפת שתי שורות

1

10

21

9

17

6

0

8

4

7

5

11

9

1

14

2

8

2

7

5

42 RR

21

10

1

9

0

6

17

8

5

7

4

11

14

1

9

2

7

2

8

5

:הכפלת שורה בסקלר שונה מאפס

335 RR

1

10

21

9

17

6

0

8

4

7

5

11

9

1

14

2

8

2

7

5

1

50

21

9

17

30

0

8

4

35

5

11

9

5

14

2

8

10

7

5

הוספת כפולה של שורה אחת

:לאחרת

1

10

21

9

17

6

0

8

4

7

5

11

9

1

14

2

8

2

7

5

1

10

1

9

17

6

12

8

4

7

19

11

9

1

16

2

8

2

3

5

232 2 RRR

:מרחב הפתרונות נשמר

.פעולות אלמטריות לא משנות את מרחב הפתרונות :משפט

... :הוכחה

:תהליך הדירוג

:kבאיטרציה ה

.iמהשורה ה-k נחפש את האבר ( מטה)והלאה

,(אם יש כמה נבחר אחד מהם)השמאלי ביותר שאינו אפס

,kנחליף בין השורה שלו והשורה ה , kאם אינו כבר בשורה ה

.kמוביל בשורה ה -1וכך נקבל – kונחלק בו את השורה ה

.iiי הסרת כפולות מתאימות של השורה ה "עk מהשורות

(אם רוצים להגיע למטריצה מדורגת קנונית, ומעליה)שמתחתיה

.kמוביל של השורה ה -1ל ( ומעל)נאפס את האברים שמתחת

Johann Carl Friedrich

Gauss

1777-1855

:דוגמה לדירוג

7

11

4

3

1

1

4

4

6

4

8

5

3

5

4

4

0

2

0

1

212 3 RRR

3

11

5

7

4

1

8

1

5

4

7

6

4

5

8

3

1

2

3

0

7

11

5

3

1

1

8

4

6

4

7

5

3

5

8

4

0

2

3

1

41 RR

7

5

4

3

1

7

4

4

6

6

8

5

3

3

4

4

0

0

0

1

313 2 RRR

:דוגמה לדירוג

7

5

1

3

1

7

1

4

6

6

2

5

3

3

1

4

0

0

0

1

22)4

1( RR

7

5

4

3

1

7

4

4

6

6

8

5

3

3

4

4

0

0

0

1

7

8

1

3

1

4

1

4

6

0

2

5

3

0

1

4

0

0

0

1

323 3 RRR

4

8

1

3

2

4

1

4

0

0

2

5

0

0

1

4

0

0

0

1

424 3 RRR

:דוגמה לדירוג

0

2

1

3

0

1

1

4

0

0

2

5

0

0

1

4

0

0

0

1

434 2 RRR

4

8

1

3

2

4

1

4

0

0

2

5

0

0

1

4

0

0

0

1

4

2

1

3

2

1

1

4

0

0

2

5

0

0

1

4

0

0

0

1

3341 RR

:דוגמה לדירוג

0

2

1

11

0

1

1

0

0

0

2

5

0

0

1

4

0

0

0

1

131 4 RRR

0

2

1

3

0

1

1

4

0

0

2

5

0

0

1

4

0

0

0

1

0

2

3

11

0

1

0

0

0

0

2

5

0

0

1

4

0

0

0

1

232 RRR

0

2

3

1

0

1

0

0

0

0

2

3

0

0

1

0

0

0

0

1

121 4 RRR

שימוש בדירוג לפתרון מערכת :משוואות לינאריות

מדרגים את מטריצת המקדמים המלאה עד שמטריצת המקדמים (.קנונית)המצומצמת מדורגת

כלומר שורה )אם בשלב כלשהו של הדירוג התקבלה שורת סתירה .אז אין למערכת פתרון( ( 0 0... 0 |= 0)מהצורה

נקבל בסיום תהליך הדירוג תיאור נח של קבוצת , בכל מקרה אחר .הפתרונות של המערכת

:דוגמה לשימוש בדירוג (:Rמעל )נתבונן במערכת המשוואות הבאה

:שמטריצת המקדמים שלה היא

5

13

11

7

3

11

5

7

4541

1452

8783

1630

53454

1311452

1158783

7763

54321

54321

54321

5432

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

:דוגמה לשימוש בדירוג :בתום תהליך דירוג נקבל את המטריצה המדורגת קנונית

:שמייצגת את מערכת המשוואות הליניאריות

:ולאחר העברת אגפים

54

532

531

25

324

31

xx

xxx

xxx

00

52

432

13

54

532

531

xx

xxx

xxx

0

5

4

1

0

2

3

1

0000

1000

0210

0301

קבלנו שערכי הנעלמים

ים הפותחים-1שבעמודות שלהם נמצאים ה

(נעלמים קשוריםשייקראו )

י הנעלמים האחרים"נקבעים לחלוטין ע

(נעלמים חופשייםשייקראו )

להם ניתן לתת כל ערכים שנרצה

54

532

531

25

324

31

xx

xxx

xxx

0

5

4

1

0

2

3

1

0000

1000

0210

0301

:דוגמה לשימוש בדירוג

s,tלכל בחירה של ערכים ממשיים , כך

(בהתאמה) x3,x5עבור הנעלמים החופשיים

:נקבעים ערכי הנעלמים הקשורים

ולפיכך הפתרונות של מערכת המשוואות

הם כל הוקטורים מהצורה

ממשיים t,sעבור כל

tsxxx 3131 531

:דוגמה לשימוש בדירוג

tsxxx 324324 532

txx 2525 54

ts

ts

324

31

t

t

s

25

סיכום -מערכת משוואות לינאריות

למערכת אין פתרון, אם במהלך הדירוג התקבלה שורת סתירה.

אם לא התקבלה שורת סתירה למערכת יש לפחות פתרון אחד.

הפתרון הוא יחיד אם ורק אם אין משתנים חופשיים.

כתלות בערכי המשתנים )לאחר דירוג קנוני ניתן לתאר במפורש .את מרחב כל הפתרונות של המערכת( החופשיים

(.לא קנוני)מספיק דירוג , לצורך קביעת מספר הפתרונות בלבד

:גודל מרחב הפתרונות/אופי

:תיאור מרחב הפתרונות

מערכת הומוגנית

אם כל המשתניםהומוגנית מערכת משוואות לינאריות נקראת :הגדרה

:אם כל המשוואות הן מהצורה, כלומר. החופשיים בה שווים לאפס

1 1 2 2 0n na x a x xa

.וקטור האפס, למערכת הומוגנית יש תמיד לפחות פתרון אחד :הערה

.הפתרון הטריוויאליזה נקרא גם פתרון