Ю.Н. Каманин А.С. Труби А.В. Паничкин Р.А. Ределин

МЕХАНИКА ГРУНТОВ

О Р Л О В С К И Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы

У Н И В Е Р С И Т Е Тимени И.С. Тургенева

S« s

<

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ И.С. ТУРГЕНЕВА»

Ю.Н. Каманин, А. С. Трубин, А.В. Паничкин,Р.А. Ределин

МЕХАНИКА ГРУНТОВ

ОрёлОГУ имени И.С. Тургенева

2017

УДК [621.87+629.36.01](075.8) ББК 38.623я73

Печатается по решению редакционно-издательского совета

ОГУ имени И.С. Тургенева. Протокол № 6 от 22.02.2017 г.

М55

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор кафедры «Подъемно-транспортные,

строительные и дорожные машины» федерального государственного бюджетного

образовательного учреждения высшего образования «Орловский государственный университет имени И.С. Тургенева»

Л.С. Ушаков,

доктор технических наук, профессор, заместитель директора по научной работе ВНИИ социального развития села

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования

«Орловский аграрный университет имени Н.В. Парахина»И.В. Гальянов

М55 Механика грунтов: учебное пособие / Ю.Н. Каманин, А.С.Трубин, А.В. Паничкин, Р.А. Ределин. - Орёл: ОГУ имени И.С. Тургенева, 2017. - 135 с.

ISBN 978-5-9929-0504-5В учебном пособии рассматривается значение механики грунтов, да­

ются описания основных понятий теоретической и строительной меха­ники применительно к грунтам, а также характеристики работы грунта в сооружениях.

Предназначено студентам, обучающимся по направлению подготов­ки 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства» и род­ственным направлениям, при выполнении расчетно-графических работ, курсовых и дипломных проектов.

Может быть полезно инженерно-техническим работникам.

УДК [621.87+629.36.01](075.8) ББК 38.623я73

ISBN 978-5-9929-0504-5

© Каманин Ю.Н., Трубин А.С., Паничкин А.В., Ределин Р.А., 2017

© ОГУ имени И.С. Тургенева, 2017

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................ 51. МЕХАНИКА ГРУНТОВ И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕВ ГРУНТОВЕДЕНИИ............................................................................... 7

1.1. Механические схемы как идеализированные аналогииприродных процессов........................................................................... 71.2. Краткий обзор развития механических схем в применениик изучению грунтов............................................................................... 8

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГРУНТОВЕДЕНИИ..............................................................................15

2.1. Абсолютно твердые и деформируемые тела.............................. 152.2. Внешние силы, действующие на тела......................................... 172.3. Равновесие тел.............................................................................. 242.4. Внутренние силы.......................................................................... 292.5. Напряжения................................................................................... 322.6. Деформации.................................................................................. 34

3. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ГРУНТОВ.СПЛОШНЫЕ СИСТЕМЫ...................................................................... 41

3.1. Г ипотеза непрерывности материи...............................................413.2. Деформируемость сплошных систем..........................................433.3. Деформации от продольной силы и их зависимостьот внутренних сил................................................................................ 453.4. Упругость сплошных систем........................................................523.5. Модуль упругой деформации.......................................................533.6. Деформации по направлениям, не совпадающимс действием внешней силы..................................................................563.7. Боковой распор............................................................................. 593.8. Пластические деформации сплошных систем...........................653.9. Напряженное состояние сплошной системы..............................693.10. Прочность сплошных систем.....................................................783.11. Сложные случаи деформаций....................................................863.12. Деформация изгиба.....................................................................873.13. Напряжения изгиба..................................................................... 91

3

4. ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ГРУНТА В СООРУЖЕНИЯХ НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СХЕМ.ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ ГРУНТА КАК СПЛОШНОЙ СИСТЕМЫ. 102

4.1. Грунтовой массив как деформируемое полупространство .... 1024.2. Напряжения деформируемого полупространстваот действия сосредоточенной силы.................................................. 1044.3. Концентрация напряжений.........................................................1144.4. Применение теории поля напряжений к сложнымслучаям нагрузки................................................................................117

ЛИТЕРАТУРА........................................................................................134

4

ВВЕДЕНИЕ

Каждый, кто изучает грунты, неизбежно сталкивается с большой сложностью процессов их формирования и с чрезвычайным разнооб­разием свойств этих природных тел.

По учению основоположника русского почвоведения профессо­ра В.В. Докучаева, свойства природных грунтов представляют собой результат видоизменения их не только в ходе геологических процес­сов, но и в последующем взаимодействии с соприкасающейся средой. Поэтому к изучению грунтов необходимо подходить со строгим уче­том их индивидуальных особенностей.

Однако было бы неправильным, ориентируясь на необходимость индивидуальной характеристики каждого природного грунта, не ис­пользовать возможности рассмотрения некоторых общих зависимо­стей, вытекающих из применения к грунтам основных физических законов, имеющих всеобъемлющий характер и не исключающих из сферы своего действия ни одного материального тела, в том числе и грунта.

В числе основных физических законов, имеющих применение к грунтам, должны быть рассмотрены законы механики, которые по­зволяют сформулировать для грунтов некоторые общие зависимости, составляющие содержание дисциплины механики грунтов. Потреб­ность в использовании механики для истолкования ряда явлений, свя­занных с изменением состояния грунтов и в особенности с их пове­дением при передаче на них внешних нагрузок, вызвана строительной практикой. Возведение крупных сооружений, передающих на грунты весьма большие и сложные нагрузки, способствовало проникновению идей механики в область грунтоведения и формированию самостоя­тельной дисциплины, получившей наименование механики грунтов.

Механическим схемам грунтов не всегда отводится правильное место в науке. Во многих случаях им придается всеобъемлющее зна­чение, претендующее на точное совпадение их с природными грун­тами. Вследствие этого возникают идеи экспериментальной проверки абстрактных механических схем (например, несжимаемость грунто­вой массы и др.), или, наоборот, происходит развитие механических схем до степени полного противоречия их с опытными данными о природных грунтах (например, связь между реактивным давлением воды и высотой капиллярного поднятия и др.).

5

Конечно, в грунтах механические процессы составляют лишь одну, далеко не главную сторону их природы. Поэтому механические схемы в применении к грунтам всегда будут иметь значение прибли­женного метода моделирования природных явлений, причем разно­образие природных условий формирования и режима грунтов пред­ставляет собой неограниченное поле для нахождения в нем сферы обоснованного применения многих механических схем.

Применение механических схем, естественно, предполагает по­льзование соответствующим математическим аппаратом. Однако раз­витие математической стороны отдельных вопросов в рамках меха­ники грунтов происходит далеко не равномерно. В одних случаях ма­тематическая сторона чрезмерно развивается вследствие желания приспособить к практическому использованию еще недостаточно изученные физические законы. В других случаях математичес­кое оформление закономерностей ограничивается краткой ссылкой на эмпирические зависимости без указания границ и условий их при­менения.

6

1. МЕХАНИКА ГРУНТОВ И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ В ГРУНТОВЕДЕНИИ

1.1. Механические схемы как идеализированные аналогии природных процессов

В числе основных дисциплин естествознания, раскрывающих сущность природных процессов, видное место занимает механика, изучающая законы движения тел и составляющая один из разделов физики. Процессы, подчиняющиеся законам механики (такие процес­сы могут быть для простоты названы механическими), участвуют во всех явлениях внешнего мира, хотя не всегда играют одинаково важ­ную роль. Если обратиться, в частности, к грунтам, представляющим собой естественные образования современной коры выветривания, изучение которых составляет предмет науки грунтоведения, то в этой группе природных тел легко найти такие образования, которые в дан­ный момент обладают известным постоянством состава. Процессы, происходящие в таких грунтах, в значительной степени являются процессами движения и могут быть выражены с помощью общих за­конов механики. С другой стороны, легко указать грунты, продол­жающие изменять свой состав под действием различных физических, физико-химических, химических и биологических факторов, обога­щенные активными в этом смысле веществами и способные взаимо­действовать с другими телами на основе этой активности. В такого рода грунтах механические процессы имеют, конечно, меньшее зна­чение, и применение к этим грунтам законов механики может осве­тить только ограниченную, большей частью далеко не главную об­ласть взаимодействия этих грунтов с другими телами.

Однако какую бы роль ни играли механические процессы в ком­плексе явлений, происходящих в грунтах, эти явления подчиняются общим законам механики и могут быть изучены на основе использо­вания ее законов. Из этого можно видеть, что применение к грунтам законов механики заслуживает большого внимания. Оно является мощным средством познания природных явлений, имеющим приме­нение в той или иной мере для всех грунтов.

Ограничивая в механике грунтов свое изучение только теми природными характеристиками и свойствами грунта, которые могут быть связаны с применением законов механики, по необходимости

7

отвлекаемся от рассмотрения всех остальных свойств грунта. Это оз­начает, что в этом изучении фактически имеем дело уже не с природ­ным, действительно существующим грунтом, а с некоторой прибли­женной его схемой, отражающей действительные свойства грунта только в той мере, в какой соответствующий природный грунт под­чиняется законам механики. Такую приближенную схему, приспо­собленную к истолкованию природного явления с помощью законов механики, можно назвать механической схемой.

Изучение механических схем природных явлений является од­ной из форм абстрактного мышления, составляющего важную стадию процесса познания сущности этих явлений.

Естественно, что применение изученных таким образом абст­рактных механических схем к истолкованию конкретных природных явлений возможно лишь с соответствующими оговорками. Можно заранее сказать, что все расчеты, выполненные по этим схемам, не дадут полного совпадения с действительными явлениями. Однако приближенность совпадения расчетов с результатом опыта нисколько не опровергает значения механических схем, указывая только на недостаточность одной механической схемы для познания явления во всех его деталях.

Задача использования механических схем для изучения грунтов представляет собой содержание науки механики грунтов. Эта наука характерна тем методом, который применяется ею для изучения грунтов, и в этом отношении она развивается параллельно с другими отраслями более широкой научной области, представляемой грунто­ведением.

Таким образом, под механикой грунтов будем понимать науку, изучающую весьма сложные природные образования, называемые грунтами, с помощью механических схем.

1.2. Краткий обзор развития механических схем в применении к изучению грунтов

Необходимость применения механических схем при изучении строительных материалов возникла из потребностей строительной практики. Первоначальная практика строительства, опиравшаяся главным образом на опыт службы ранее возведенных сооружений, оказалась совершенно недостаточной при переходе к новым формам сооружений, к более сложной конструкции их частей и к использова­

8

нию новых, более совершенных материалов. Потребовалось форму­лирование общих законов работы материалов в различных частях со­оружений и оценки качества применяемых материалов с точки зрения их сопротивления всякого рода усилиям. При создании этих законов предполагалось, что каждый строительный материал может рассмат­риваться как непрерывная, совершенно однородная масса, из которой можно произвольно выделять куски любого размера, причем свойства материалов в куске любой величины остаются неизменными.

В действительности физические тела, являющиеся строитель­ными материалами, не имеют такой непрерывности свойств. Боль­шинство материалов имеет кристаллическое строение, во многих случаях усложненное присутствием в материале одновременно нескольких составных частей. Кроме того, строение самих кристал­лов не является непрерывным и определяется характером кристалли­ческой решетки. Таким образом, представление о материале как о системе, не имеющей никаких разрывов и нарушений однородно­сти, является грубо приближенным. Несмотря на свою приближен­ность, оно оказалось, однако, достаточным для обоснования общих законов сопротивления материалов, сохранивших свое значение и для современной теории сооружений.

Представление о материале как о сплошной системе явилось первой механической схемой, примененной к изучению строитель­ных материалов. Эту механическую схему, естественно, нельзя было применить к грунтам, природа которых явно не соответствует пред­ставлению о сплошных системах. Формирование грунтов из отдель­ных (частично видоизмененных и пересортированных) частиц горных пород само по себе исключало допущение о наличии однородных свойств в любой точке массива, сложенного из этих материалов. Оче­видно, что каждая частица грунта обладает сплошностью (хотя бы относительной) только внутри самой себя; в местах же прилегания к другим частицам отмечаются разрывы сплошности, образующие пустоты, и отсутствие жестких связей между соседними частицами.

Механической схемой, более правильно отражающей действи­тельную природу этих материалов, явилось представление о так на­зываемом сыпучем теле, состоящем из отдельных, малого размера, твердых частиц, свободно опирающихся друг на друга и не имеющих между собой никакой связи.

В применении к грунтам механическая схема сыпучего тела явилась исходной схемой, отражающей общие условия формирования

9

грунтов из отдельных частиц горных пород. В дальнейшем она была применена не только к грунтам, но и ко многим другим материалам, отличающимся природной сыпучестью (зерно, цемент, измельченный уголь и др.), и подверглась детальной теоретической разработке.

Однако в изучении конкретных грунтов она могла найти себе лишь ограниченное применение. Известно, что только очень немно­гие виды грунтов действительно обладают свойствами сыпучего тела. Поэтому схему сыпучего тела удалось достаточно обоснованно при­менить только в вопросах, связанных с использованием сыпучих пес­ков. Что касается других грунтов, то отнесение их к категории сыпу­чих тел противоречило действительным свойствам этих грунтов, в которых между отдельными частицами твердого материала сущест­вуют более или менее прочные связи, лишающие эти частицы легкой относительной подвижности, характерной для сыпучего тела.

Применение схемы сыпучего тела к таким грунтам производи­лось всегда с очень большой условностью. Приходилось просто- напросто пренебрегать существованием связей между частицами грунта, превращая его в своем воображении в сыпучее тело. Такой подход к вопросу находил себе известное оправдание в том, что пре­небрежение связью между отдельными частицами ухудшало условия работы грунта и, таким образом, вводило во все технические расчеты дополнительный запас прочности. С другой стороны, предполага­лось, что при малейших сдвигах частиц грунта друг относительно друга все существующие связи будут нарушены и грунт приблизится по своему состоянию к сыпучему телу. Этим обосновывалось до­вольно широкое применение схемы сыпучего тела к грунтам в пери­од, пока она являлась единственной схемой, в какой-то мере отра­жающей действительные свойства грунтов.

Специфические свойства грунта, вызванные наличием связей между частицами твердого вещества, определяются понятием сцепле­ния, которое и является отличительным признаком большинства природных грунтов по сравнению с сыпучими телами. Необходи­мость приблизиться к действительным свойствам грунтов, применяе­мых в качестве строительных материалов, привела к переработке тео­рии сыпучих тел путем введения в нее учета сцепления. Разработка теории материалов, обладающих сцеплением, способствовала, таким образом, созданию еще одной механической схемы, более полно от­ражающей природу грунтов, которые не могли быть уложены в схему сыпучего тела.

10

Существенным недостатком этой схемы в применении ее к грун­там явилась трактовка сцепления как свойства, неизменно присущего рассматриваемому материалу. Изучение же природы грунтов показа­ло, что сцепление отдельных частиц грунта между собой не является неизменным свойством каждого грунта, а возникает в процессе фор­мирования грунта путем взаимодействия твердых частиц между со­бой и со средой, участвующей в формировании, и что оно способно резко изменять свою величину в зависимости от условий, в которых находится грунт. Поэтому дальнейшее развитие механических схем грунтов оказалось связанным с изучением природы связей между частицами грунта с целью учета не только количественных характе­ристик этих связей, но и их изменяемости. Такой подход к вопросу о механических схемах грунтов явился принципиально новым и внес существенное качественное изменение в развитие соответствующего направления науки.

Ранее существовавшие механические схемы (сплошная система, сыпучее тело, скелетная система, обладающая сцеплением) ориенти­ровались главным образом на возможность простого использования теорий, разработанных в общем для материалов, весьма отличных от грунтов. Вопросы природы грунтов, внутренней их структуры, усло­вий формирования и режима работы не рассматривались и лишь в весьма общих чертах использовались при обосновании механиче­ских схем. На этой стадии применения механических схем к грунтам еще не делалось попыток обосновать путем ссылки на природу грун­та конкретную применимость той или иной схемы к его изучению, а вследствие этого не было возможности и выделить категории грун­тов, поддающиеся изучению с помощью той или иной механической схемы. Можно сказать, что период использования этих механических схем представлял собой попытки теоретиков инженерного дела овла­деть внешней стороной явлений, не основываясь на глубоком знании природы грунта как естественно-исторического образования.

Попытка отразить в механической схеме физические процессы, определяющие свойства грунта, представлена механической схемой, рассматривающей грунт как совокупность твердых частиц, пустоты между которыми полностью заполнены водой. Эта схема позволяла, пользуясь представлением о несжимаемости жидкости, теоретически выразить механические процессы, происходящие в пустотах при из­менении пористости грунта, и была развита профессором Н.М. Гер- севановым в стройную механическую теорию, которая значительно продвинула вперед научный уровень механики грунтов.

11

В процессе разработки и применения этой теории она подверга­лась, однако, новым видоизменениям. Прежде всего выводы, осно­ванные на простой оценке несжимаемости жидкости, заполняющей пустоты грунта в применении к большинству грунтов, недостаточны для суждения о взаимодействии между жидкостью и твердыми час­тицами грунтового скелета, в котором большое значение имеют явле­ния молекулярного притяжения (адсорбции) жидкости на поверхно­сти твердых частиц, существенным образом изменяющие как физи­ческие свойства самой жидкости, так и условия ее передвижения в пустотах.

Таким образом, оценка состава взаимодействующих в грунтах тел (жидкость и твердое вещество) и условий их взаимодействия, глубоко изученных выдающимися русскими учеными - почвоведом К.К. Гедройцем и грунтоведом М.М. Филатовым, внесла существен­ные изменения в представление о гидростатическом состоянии жид­кости, находящейся в пустотах грунта. В высокодисперсных грунтах учет явлений физико-химического взаимодействия пришлось распро­странить также и на непосредственное взаимодействие твердых час­тиц горной породы друг с другом. С другой стороны, была очевидна приближенность самой механической схемы, поскольку в природных условиях трудно представить себе абсолютно полное заполнение пус­тот жидкостью. Расхождения экспериментальных данных с выводами теории фиксировали степень неточности этой механической схемы в применении к различным грунтам и к разным природным условиям их работы.

Приближенность, связанную с неполным заполнением пустот грунта жидкостью, удалось учесть в новой, разработанной Н.М. Гер- севановым и В.Г. Булычевым, механической схеме, предполагающей лишь частичное заполнение пустот жидкостью, т. е. допускающей одновременное присутствие в пустотах грунта жидкости и газа.

Таким образом, в механику грунтов были введены новые меха­нические схемы, более широко учитывающие индивидуальные осо­бенности грунта и его состояния.

Однако применение какой-либо одной из перечисленных меха­нических схем к конкретным случаям использования грунтов про­должало встречать затруднения в том отношении, что грунты обычно не отличаются строгой однородностью и в одном и том же грунтовом массиве, даже если он сложен из однородного грунта, легко встретить отдельные участки, резко отличающиеся друг от друга по своему состоянию.

12

Отразить действительные свойства какого-либо грунтового мас­сива оказалось возможным только с помощью представления о грун­те как о совокупности отдельных элементарных объемов. Каждый из этих объемов характеризуется особыми показателями качества и под­дается комплексной характеристике только с помощью некоторых средних показателей, определяемых методами математической стати­стики. Это представление составило новую механическую схему грунта, введенную в грунтоведение и успешно развитую в дальней­шем профессором Г.И. Покровским.

Эта новая по качеству механическая схема, которую можно на­звать статистической схемой, с одной стороны, как бы обезличивала все ранее предложенные механические схемы, допуская их совмест­ное применение в виде некоторых обобщенных количественных по­казателей, а с другой — позволяла, пользуясь этими показателями, установить степень приближения той или иной механической схемы к точному решению отдельных задач для различных условий и раз­ных грунтов. Оказалось возможным, например, показать, что грунты с минимальным сцеплением (статистически) могут изучаться по схе­ме сыпучего тела; грунты, находящиеся в условиях стабильного ре­жима, более или менее удачно моделируются механической схемой скелетной системы, обладающей постоянным сцеплением; грунты, в которых сцепление достигает значительной величины, подчиняются законам сопротивления сплошных систем и т. д.

Впервые обоснованная русскими учеными Л.Н. Бернацким, М.М. Филатовым и Н.М. Герсевановым постановка вопроса о необ­ходимости при построении механических схем учитывать природу связей между твердыми частицами грунта переместила эту задачу из чисто инженерной области в область грунтоведения, занимающегося изучением грунта как природного образования во всех его разнооб­разных применениях. С этого времени получила свое начало механи­ка грунтов в ее современном понимании, как наука, изучающая при­родные грунты с помощью механических схем, и развитие самих ме­ханических схем получило новое направление приближения к при­родным свойствам и к действительным условиям работы грунтов.

Современный этап развития механики грунтов является резуль­татом совместной работы специалистов инженерной теории и общего грунтоведения. Развитие механики грунтов на данном этапе идет по линии выработки и усовершенствования таких механических схем,

13

которые лучше всего отражали бы данные о природе грунтов, пред­ставляемые грунтоведением, а также в наибольшей степени способ­ствовали бы решению практических задач строительства.

Как можно видеть из вышеизложенного, в распоряжение грун­товеда предоставляются довольно разнообразные механические схе­мы, способные с известными ограничениями представить прибли­женные модели природных грунтов. При этом нет оснований отда­вать заведомое предпочтение какой-либо одной механической схеме по сравнению с другими. Разнообразие явлений, происходящих в грунтах при различных условиях их естественного залегания и практического использования, представляет почти неограниченное поле для приближенного выражения этих явлений с помощью самых различных механических схем.

Задачами грунтоведа в данной области являются детальное оз­накомление со всеми применяемыми к грунтам механическими схе­мами, получение ориентировки в вопросе об условиях применения каждой из этих схем к природным грунтам и формулировка основных выводов по характеристике работы грунтов в сооружениях, получае­мых на основе приложения к ним механических схем.

14

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГРУНТОВЕДЕНИИ

2.1. Абсолютно твердые и деформируемые тела

Современная физика рассматривает все тела как состоящие из мельчайших частиц, сохраняющих свойства вещества, - молекул, в свою очередь представляющих собой закономерную систему ато­мов различных элементов с их сложным внутренним строением. Связь отдельных молекул между собой определяет строение физиче­ского тела. Эта связь может быть или строго закономерной, объеди­няя молекулы вещества в группы, закрепляя однообразный порядок их расположения в кристаллических решетках и образуя кристалли­ческую структуру вещества, или же беспорядочной, случайной, характеризующей собой аморфное строение вещества.

Физическое тело могло бы сохранять неизменным свое внутрен­нее строение только при условии, что имеющиеся связи между час­тицами вещества являются вполне (абсолютно) жесткими и ни при каких условиях не могут получить изменения. Это является условием постоянства взаимного расположения частиц вещества и строгого со­хранения первоначальной структуры. Такое физическое тело, если бы оно существовало в действительности, совершенно не могло бы из­менять свою форму, которая определяется взаимным расположением частиц. Если бы какая-то часть этого тела пришла в движение, то вследствие жесткости связей это движение передалось бы другим частям и стало бы общим для всего тела.

Физическое тело, обладающее абсолютно жесткими и неизме­няемыми внутренними связями, может быть охарактеризовано как абсолютно твердое. Абсолютно твердых тел в природе не существу­ет, так как все связи между частицами вещества в той или иной мере поддаются изменениям. Таким образом, понятие абсолютно твердого тела является идеализированной механической схемой, дающей воз­можность изучать движение тел, отвлекаясь от учета изменяемости внутренних связей. Это изучение имеет свое плодотворное развитие в рамках теоретической механики.

Несмотря на абстрактность данной схемы, изучение движения абсолютно твердых тел оказывается весьма полезным для решения

15

тех задач, в которых изменение формы в процессе движения является незначительным и может не приниматься во внимание. Это касается прежде всего некоторых очень твердых тел, обладающих незначи­тельной изменяемостью связей и мало отличающихся по свойствам от абсолютно твердых тел, и всех вообще тел, если они поставлены в условия, не допускающие значительных изменений формы.

В существующих в природе физических телах, не обладающих абсолютной твердостью, внутренние связи могут получать под дейст­вием тех или иных причин временные или постоянные изменения. Изменяемость связей между частицами внутри тела дает возможность некоторого перемещения частиц друг относительно друга. Становит­ся возможным движение отдельных частей тела без полной передачи этого движения другим его частям.

Возможность движения отдельных частей тела с изменением их положения друг относительно друга выражает собой возможность изменения формы тел. Изменение формы тела под действием каких- либо причин называется деформацией. Тело, способное изменять свою форму, может быть названо деформируемым, в отличие от аб­солютно твердого тела, не обладающего такой способностью. Меха­ника деформируемых тел изучается соответствующими разделами строительной механики.

В зависимости от характера внутренних связей тела изменения формы могут быть более или менее значительными. Очевидно, что тела одних и тех же размеров под действием одних и тех же причин будут деформироваться по-разному, если они состоят из различных материалов. Поэтому способность тел деформироваться под действи­ем внешних причин определяется свойствами материала, из которого состоит данное тело, и выражает собой изменчивость внутренних связей в этом материале.

Причины, вызывающие изменение внутренних связей и дефор­мацию тел, могут быть весьма различны по характеру своего возник­новения. Однако, оценивая эти причины по результату их действия, можно охарактеризовать их общим понятием - внешние силы. Такое понимание вполне соответствует основным положениям механики (первый закон Ньютона), так как деформация тела возникает в про­цессе начавшегося движения отдельных его частей и должна быть поставлена в связь с силой, являющейся общей причиной возникно­вения любого движения.

16

2.2. Внешние силы, действующие на тела

Под силой в механике понимается физическая причина, выво­дящая тело из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения и заставляющая его двигаться с ускорением.

Основными положениями механики (второй закон Ньютона) оп­ределено количественное выражение действующей в любой момент силы как произведения массы тела на его ускорение:

p = r n - j = ^ j , (1)

где Р - действующая сила; т - масса тела;Q - вес тела;/ - ускорение;о - ускорение земного тяготения.Допуская для задач, входящих в область механики грунтов, по­

стоянство массы тела, можно видеть, что сила сообщает телу пропор­циональное ей ускорение. Поэтому по величине ускорения тела мож­но судить о величине силы, действующей на него в каждый момент времени.

Ускорение, а следовательно, и сила определяются своей величи­ной и направлением. Сила относится к числу таких величин, которые могут быть выражены графически с помощью условного отрезка прямой линии. Величина отрезка в выбранном масштабе равняется величине силы, а направление соответствует направлению ускорения, полученного телом под действием данной силы. Величины, поддаю­щиеся такому графическому выражению, называются векторными величинами, а выражающие их линейные отрезки - векторами. Сила, действующая на тело, может, таким образом, получить свое вектор­ное выражение.

Механика обычно, учитывая действие сил, отвлекается от их физической природы, оценивая только количественную сторону этого действия. Однако действующие в природе силы всегда являются ре­зультатом взаимодействия физических тел между собой и, таким об­разом, тоже определяются свойствами физических тел и слагающих их материалов.

17

В вопросах механики грунтов наиболее важным является дейст­вие веса самих грунтов и возводимых на них сооружений. Эта основ­ная категория действующих сил, определяемая земным тяготением, известна как силы тяжести, которые всегда приложены в центре тяжести тел и имеют направление к центру земли, т. е. для ограни­ченной площади, — параллельно друг другу вертикально вниз.

Внешние силы, действующие на поверхность тела, могут быть разделены на два вида: сосредоточенные и распределенные. Сосре­доточенными называются силы, действующие на очень малую часть поверхности тела, в пределе приближающуюся к безразмерной точке.

Рассматривая именно этот предельный случай и несколько от­влекаясь от действительных условий действия силы, требующих обя­зательного наличия какой-то, хотя бы минимальной по размеру, пло­щади передачи силы, можно ввести понятие точки приложения со­средоточенной силы. Вектор, выражающий сосредоточенную силу, должен иметь один из своих концов именно в той точке тела, к кото­рой приложена действующая сила. Таким образом, сосредоточенная сила при своем выражении с помощью вектора определяется тремя данными: величиной, направлением и точкой приложения.

Распределенные силы действуют на более или менее значитель­ную часть площади тела. Распределение силы по этой площади может быть самым различным. Представить себе характер этого распреде­ления можно, определяя элементарную часть силы dP, действующую на каждый бесконечно малый элемент площади dF и относя ее к еди­нице площади.

Полученная величина носит название интенсивности распреде­ления силы по площади:

РdF,-,,г , (2)

где р - интенсивность распределения силы;F - площадь распределения силы.

Элементарная сила, действующая на каждый бесконечно малый элемент площади, равна площади этого элемента, умноженной на ин­тенсивность распределения силы:

Учитывая малый размер элемента площади, можно допустить равномерное распределение элементарной силы по данной площади.

18

По этой же причине каждая элементарная сила может рассматривать­ся как сосредоточенная сила, приложенная к центру малой элемен­тарной площадки.

Общее представление о распределении силы по плоскости мо­жет быть получено с помощью построения геометрического тела, со­ставленного из бесконечно большого числа векторов, выражающих каждый интенсивность распределения силы в данной точке (рис. 1).

Рис. 1. Эпюра распределения силы

Над каждой элементарной площадкой располагается элементар­ный объем dV этого геометрического тела, численно равный элемен­тарной силе:

Следовательно, полный объем тела, представляющий собой сумму элементарных объемов, будет численно равен полной величи­не силы, распределенной по площади. Геометрическое тело, постро­енное указанным выше способом и выражающее изменение интен­сивности распределения силы по площади, называется эпюра распре­деления силы и широко используется для характеристики способа приложения распределенной силы.

Весьма распространенным случаем действия распределен­ной силы является равномерное распределение ее по плоскости. В этом случае интенсивность распределения оказывается постоянной и эпюра распределения приобретает форму цилиндра постоянной высоты (рис. 2).

Силы, имея векторное выражение, поддаются сложению и раз­ложению по общим правилам действий с векторными величинами.

19

Рис. 2. Эпюра равномерного распределения силы

Сложение сил производится известным способом построения векторного многоугольника, в котором все суммируемые векторы вычерчиваются последовательно друг за другом, образуя стороны многоугольника (рис. 3), а равнодействующий вектор R получается как замыкающая сторона многоугольника, имеющая в нем направле­ние, обратное направлению суммируемых векторов. Таким равнодей­ствующим вектором (силой) может быть заменена любая система сил, которая предварительно приводится к двум взаимно пересекаю­щимся силам или к двум параллельным силам, направленным в одну сторону.

Система сил не может быть заменена одной равнодействующей силой в том случае, если она предварительно приводится к двум си­лам, имеющим одну и ту же величину, параллельным друг другу и направленным в разные стороны (рис. 4). Такая система, известная в механике под названием пары сил, имеет равнодействующую, рав­ную нулю. Однако действие этой системы на абсолютно твердое тело, к которому она приложена, не является нулевым, так как пара сил,

20

увлекая различные части тела в противоположные стороны, вызывает вращение тела вокруг оси, перпендикулярной к плоскости пары.

Рис. 4. Пара сил

Вращательное действие пары сил зависит, с одной стороны, от величины сил, входящих в пару, а с другой - от расстояния между силами в паре, называемого плечом пары сил. Это действие выража­ется произведением величины силы на плечо пары, которое известно в механике как момент пары:

М = Р-а, (5)где М - момент пары;

а - плечо пары.Вращение тела получается также в тех случаях, когда одна из

точек тела закреплена (имеется точка опоры) и на тело действует си­ла, не проходящая через точку опоры (рис. 5). Очевидно, что данный случай ничем не отличается от случая действия пары сил, так как в закрепленной точке можно вообразить себе любую силу, в том чис­ле и силу, параллельную действующей силе и противоположную ей по направлению. Поэтому при наличии у тела точки опоры можно рассматривать расстояние любой силы от этой точки как плечо силы, а произведение силы на плечо как момент силы относительно точки опоры.

Рис. 5. Вращение тела вокруг точки опоры21

Понятие момента силы может быть отнесено, впрочем, не толь­ко к точке опоры, но и вообще к любой точке внутри тела или вне его, относительно которой желательно оценить вращающее действие данной силы. Следует также заметить, что вращение происходит в плоскости, проходящей через вектор силы и точку, относительно которой вычисляется момент, а осью вращения является прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к плоскости вра­щения (рис. 6).

Рис. 6. Плоскость и ось вращения

Момент силы относительно любой точки, лежащей на ее на­правлении, равняется нулю.

Практически на тело может действовать любая система произ­вольно расположенных сил. Для приведения такой произвольной сис­темы сил к небольшому числу составляющих удобнее всего пользо­ваться пространственной координатной системой, заменяя каждую силу тремя ее проекциями на оси координат и тремя моментами этой силы относительно каждой из осей координат (рис. 7). Далее, сумми­руя друг с другом все одноименные проекции и моменты, можно привести любую систему действующих сил к шести силовым воздей­ствиям:

1) сумма проекций всех сил на ось X (2 А');2)3)4)

сумма проекций всех сил на ось сумма проекций всех сил на ось

YZ

сумма моментов всех сил относительно оси X (2 М.);

22

5)6)

сумма моментов всех сил относительно оси Y (2 Му); сумма моментов всех сил относительно оси Z (2 М%).

Рис. 7. Проекция силы в пространственной системе координат

Система координат может быть выбрана совершенно произ­вольно, но для каждой системы координат силовое воздействие лю­бой системы сил может быть сформулировано в виде тех же шести составляющих, которые и могут считаться выразителями любой сис­темы сил в любой произвольно выбранной системе координат (рис. 8).

Механика изучает самые разнообразные системы сил, каждая из которых выражается шестью составляющими в пространственной системе координат. В механике грунтов, в частности, имеют распро­странение задачи, несколько ограниченные в отношении расположе­ния действующих сил и сводящиеся к решению задач механики не в пространственной, а в плоской системе координат. Такое реше­ние получается, например, при рассмотрении всех длинных сооруже­ний, однообразных по своему поперечному профилю (насыпи, выем­ки, плотины, подпорные стены и пр.), в которых изучение сил, дейст­вующих в одном поперечном сечении, вполне характеризует действие сил по всей длине сооружения. Для таких сооружений, с удобством исследуемых с помощью плоской задачи механики, достаточно при­

23

менение плоской системы координат, в которой любая система сил может быть приведена вместо шести к трем составляющим:

1) сумма проекций всех сил на ось X (2 А');2) сумма проекций всех сил на ось Z (2 Z);3) сумма моментов всех сил относительно оси Y (2 Му).В числе сил, подлежащих учету при рассмотрении силового воз­

действия на тело, особое место занимают так называемые силы инер­ции, выражающие собой стремление каждого тела сохранить режим своего движения. Сила инерции измеряется произведением массы те­ла на его ускорение и направлена в сторону, обратную ускорению.

Рис. 8. Проекция и моменты системы сил

При отсутствии ускорения сила инерции равна нулю. Таким об­разом, сила инерции является принадлежностью тела, движущегося с ускорением (с переменной скоростью).

2.3. Равновесие тел

Все сооружения, в том числе и их части, состоящие из грунта, находятся в равновесии. Это условие соответствует требованию це­лости и устойчивости всех сооружений. Нарушение равновесия вы­

24

звало бы разрушение сооружений. Тела находятся в равновесии тогда, когда все силы, действующие на эти тела, взаимно уравнове­шиваются.

Для исследования равновесия тел необходимо рассматривать не только внешние силы, которые непосредственно передаются на тело, являясь его рабочей нагрузкой, но также и те внешние силы, ко­торые возникают в опорных точках или на опорных площадках в ка­честве противодействия (реакции) давлению, передаваемому рабочей нагрузкой на опоры. Если первую категорию сил, составляющих ра­бочую нагрузку, можно назвать активными силами, то противодейст­вие этим силам, возникающее на опорах, составит систему реактив­ных сил.

С точки зрения воздействия на тело реактивные силы ничем не отличаются от активных. Они могут быть определены по величине и направлению исходя из условий равновесия тел, покоящихся на опорах. Эти реактивные силы известны как реакции опор. Они выра­жают собой действие опоры на тело. Поэтому для исследования рав­новесия тела все опоры должны быть заменены их реакциями, после чего исчезает всякое различие между реактивными и активными си­лами, действующими на тело. Реакция опоры равна по величине и противоположна по знаку тому воздействию, которое тело оказыва­ет на свою опору. Характер реакции опоры зависит от ее конст­рукции.

Различают три основных вида опор (рис. 9):1) шарнирно-подвижная, воспринимающая давление опираю­

щегося тела через свободно вращающийся шарнир и, кроме того, способная свободно продвигаться по опорной площадке с помощью подложенных шаровых катков. Такая опора, очевидно, может сопро­тивляться только действию силы, перпендикулярной к опорной пло­щадке, так как всякая другая сила или вращающий момент могут бес­препятственно вызвать перемещение опоры по направлению своего действия. Реакция этой опоры всегда перпендикулярна к опорной площадке и проходит через опорный шарнир;

2) шарнирно-неподвижная, в которой сохраняется опорный шарнир, но исключена возможность перемещения опоры по опорной площадке. Такая опора не может сопротивляться вращающему мо­менту вследствие наличия шарнира. Реакция ее может иметь любое направление, но обязательно проходит через опорный шарнир;

25

3) неподвижная (глухая заделка), исключающая возможность не только какого-либо перемещения опорной площадки, но и враще­ния опирающегося тела. В такой опоре опорный шарнир отсутствует, реакция может иметь любое направление и, кроме того, включать в себя вращающий момент, равный по величине и противоположный по знаку моменту, передаваемому телом на свою опору. Момент, входящий в состав опорной реакции, известен под названием реак­тивного опорного момента.

а - шарнирно-подвижная; б - шарнирно-неподвижная; в - неподвижная

Равновесие тел под действием произвольной системы внешних (активных и реактивных) сил может быть достигнуто в тех случаях, когда суммарное действие их по всем возможным направлениям бу­дет равно нулю. Если это условие хотя бы по одному из возможных направлений не будет соблюдено и по этому направлению будет су­ществовать сила, действие которой не равно нулю, тело не сможет сохранить равновесие и придет в движение под действием этой силы.

Имея в виду шесть возможных силовых воздействий, выражаю­щих результат действия любой системы внешних сил, необходимо для равновесия тела поставить условие, чтобы каждое из этих шести воздействий равнялось нулю. Таким образом, формулируются из­вестные в механике шесть условий равновесия тел:

1 ) Е * = 0; 4) 2 Мх = 0;2 ) БУ = 0; 5) Б Мг = 0; (6)3) Б 2= 0; 6)ЕМг=0.Эти условия сводятся к тому, что любое тело, находящееся

в равновесии, должно быть лишено возможности продвижения вдоль

26

любого из трех произвольно взятых взаимно перпендикулярных на­правлений (координатных осей), а также возможности поворота от­носительно любого из этих направлений.

Теоретически соблюдение условий равновесия не препятствует равномерному и прямолинейному движению тела, так как этот вид движения с точки зрения силового воздействия не отличается от со­стояния покоя. Однако этот случай интереса не представляет ввиду отсутствия в природе условий для такого движения и может не учи­тываться в практическом применении теории равновесия.

Некоторые из условий равновесия тела могут быть удовлетворе­ны соответствующим устройством опорных частей. В этом случае конструкция опор как бы ограничивает свободу перемещения тела, заведомо лишая его возможности следовать некоторым из шести ви­дов силовых воздействий. Для такого тела остается уже не шесть воз­можных перемещений, а меньшее их число, определяемое конструк­цией опорных частей. Возможность для тела по условиям опирания перемещаться по направлениям силовых воздействий определяется в механике понятием о степенях свободы.

Ничем не поддержанное тело, способное получить под действи­ем силы любое из шести возможных движений, рассматривается как неограниченно свободное тело, имеющее шесть степеней свободы.

Примеры тел, имеющих ограниченную свободу перемещений, представлены описанными выше конструкциями опорных частей.

Шарнирно-подвижная опора не позволяет телу перемещаться по направлению, перпендикулярному к опорной площади. Перемещения по двум другим направлениям возможны при обеспечении подвиж­ности с помощью шаровых катков. Вращение опоры возможно по всем направлениям вследствие наличия шарового шарнира. Таким образом, единственным, ограничивающим свободу, конструктивным условием является в этом случае невозможность перемещаться по перпендикуляру к площадке. Это соответствует автоматическому удовлетворению условия LZ = 0. В точке опирания на опору такой конструкции тело имеет пять степеней свободы.

В случае обеспечения подвижности опоры с помощью кругло­цилиндрических, а не шаровых катков становится невозможным так­же перемещение по поверхности покрытия в направлении образую­

27

щей круглоцилиндрического катка (LZ = 0 и LY = 0). В этом случае для опирающегося тела остается четыре степени свободы.

Шарнирно-неподвижная опора исключает какое бы то ни было перемещение по поверхности опирания (LZ = 0; LY = 0; ZX = 0), и свобода перемещения тела в месте опирания ограничивается вра­щением его в любом направлении с помощью шарового шарнира. Та­кое опирание предоставляет телу три степени свободы.

Неподвижная опора исключает все виды перемещения и враще­ния, и тело в месте опирания не имеет ни одной степени свободы.

При решении плоских задач, когда движение возможно только в плоскости, определяемой координатами X и Z, а ось Y располагается перпендикулярно к этой плоскости, автоматически выпадают из рас­смотрения все условия, связанные с выходом тела из плоскости XZ (LY = 0; Мх = 0; Mz = 0).

Таким образом, тела в случаях плоских задач не могут иметь больше трех степеней свободы (LX Ф 0; ZZ Ф 0; XM y Ф 0). В пло­ской задаче шарнирно-подвижная опора (LZ = 0) (в этом случае воз­можны только круглоцилиндрические катки) соответствует двум сте­пеням свободы. В подобной же задаче шарнирно-неподвижная опора (LZ = 0; LX = 0) соответствует одной степени свободы (XM y Ф 0).

Уравнения равновесия могут быть использованы и для рассмот­рения неравномерного движения тел. Для этого необходимо лишь представить себе движущееся тело остановившимся в любой момент движения.

Как указывалось выше, тело, движущееся с ускорением, отлича­ется от тела, находящегося в равновесии, только наличием силы инерции. Поэтому для мысленной остановки движущегося тела дос­таточно к действующим силам добавить еще одну, равную силе инерции, но обратную по направлению, или, как иногда выражаются, силу инерции с обратным знаком.

Такая дополненная система действующих сил соответствует уже мысленно остановленному (или равномерно движущемуся) телу и может анализироваться с помощью уравнений равновесия. В дейст­вительности движущееся тело не прекращает своего движения, и мысленно созданное равновесие только фиксирует одно из положе­

28

ний, через которые тело проходит в какое-то мгновение в процессе своего движения.

Положение движущегося тела, искусственно представленное в виде равновесного состояния, называется мгновенное равновесие.

2.4. Внутренние силы

Условия равновесия тел полностью распространяются и на от­дельные их части.

Методом исследования равновесия частей тела является мыс­ленное (воображаемое) разделение тела на отдельные части. Для это­го изучения следует разделить (рассечь) тело на две части и одну из них мысленно отбросить, заменив действие отброшенной части на оставшуюся некоторой новой системой сил, приложенных к остав­шейся части тела на поверхности воображаемого сечения.

Поскольку система сил, приложенных к воображаемому сече­нию, должна полностью заменить действие отброшенной части на ос­тавшуюся, эта замена не может изменить условия равновесия остав­шейся части, которая в действительности не отделяется от тела и со­храняет свое равновесие в его составе. Поэтому можно, введя в рас­смотрение силы, существующие на воображаемом сечении, приме­нить к оставшейся части тела общие условия равновесия.

Эти вновь вводимые в рассмотрение силы представляются как распределенные по воображаемому сечению. Однако они являются вполне реальными силами, действующими внутри тела и выражаю­щими связь между его частями, лежащими по одну и другую стороны воображаемого сечения. Эти силы приложены внутри действительно существующего тела и притом во всех его точках и по всем направ­лениям, так как воображаемое сечение можно провести через любую точку и по любой, совершенно произвольной поверхности. Поэтому такие силы получают название внутренних сил, в отличие от внеш­них сил, рассмотренных выше и выражающих собой действие других тел на данное тело.

Однако, применяя к телу метод воображаемых сечений и остав­ляя для рассмотрения условий равновесия только одну его часть, приходится эту оставшуюся часть рассматривать уже как отдельное тело, находящееся под действием своей системы сил, включая в эту систему и силы, приложенные к воображаемому сечению. Таким об­разом, по отношению к отдельно рассматриваемой части тела силы,

29

действующие на поверхности воображаемого сечения, являются уже внешними и могут быть с полным правом введены в уравнения рав­новесия наравне с другими внешними силами, действующими на эту часть тела. Проводя воображаемое сечение, как бы обнаруживаем существующие на нем внутренние силы и, относя их действие к од­ной какой-либо части тела, переводим их в категорию внешних сил, легко изучаемых методами теоретической механики.

Внутренние силы, выражая собой связь между отдельными час­тями тела, определяются, очевидно, физическими свойствами каждо­го тела. Внутренние силы в отдельных сечениях не остаются посто­янными, а изменяются при изменениях внешних сил, приложенных к телу. Вполне понятно, что равновесие одной какой-либо части тела было бы нарушено при приложении любой новой внешней силы, если бы внутренние силы оставались неизменными. Должно произойти какое-то изменение (приращение) внутренних сил для восстановле­ния условий равновесия.

Способность физического тела получать без нарушения внут­ренних связей приращения внутренних сил, необходимые для урав­новешивания передаваемых на него внешних сил, характеризует со­противление данного тела в тех или иных условиях его работы.

Строительная механика, занимаясь изучением действия внеш­них сил, интересуется главным образом состоянием тел под действи­ем внешних сил. Поэтому в механике принято не учитывать те внут­ренние силы, которые определяют связь между частями тела при от­сутствии внешних сил, так как эти силы не участвуют во взаимодей­ствии с внешними силами. Интерес представляют только те изме­нения (приращения) внутренних сил, которые возникают при прило­жении к телу внешних сил. Именно эти приращения и понимаются как внутренние силы. При отсутствии внешних сил эти внутренние силы принимаются равными нулю. Таким образом, понятие внутрен­них сил применяется в механике с некоторой условностью. На самом деле это будут не сами внутренние силы, а приращения внутренних сил, вызванные приложением новых внешних сил. В такой условной трактовке внутренние силы могут рассматриваться как реакции внешних сил, возникающие на поверхностях воображаемых сечений.

Воображаемое сечение, отделяющее одну часть тела от другой, есть поверхность раздела между этими частями. Взаимодействие час­тей, соприкасающихся по этой поверхности, является обоюдным и состоит, как всегда, из действия и равного ему противодействия.

30

Поэтому внутренние силы, принимаемые к учету на воображаемом сечении, могут иметь различное направление в зависимости от того, какая из двух отделяемых друг от друга частей используется для со­ставления уравнений равновесия (рис. 10). Величина внутренних сил, будет одна и та же, вне зависимости от того, какая из частей отбрасы­вается, а какая остается для исследования равновесия. Поэтому выбор одной из частей для дальнейшего расчета может быть вполне произ­вольным.

Рис. 10. Внутренние силы на воображаемом сечении

Изложенная трактовка понятия внутренних сил позволяет с ус­пехом использовать метод воображаемых сечений для определения величины внутренних сил в любой точке и на любой площадке внут­ри тела. Для этого необходимо лишь провести воображаемое сечение через исследуемую точку или площадку, отбросить одну из частей тела, а к другой применить уравнения равновесия, введя в них и неиз­вестные реактивные силы, приложенные к воображаемому сечению и равные внутренним силам. Решение уравнений равновесия дает воз­можность вычислить величину внутренних сил и их направление. Для применения уравнений равновесия приходится считать, что часть те­ла, исследуемая этим методом, после проведения воображаемого се­чения остается абсолютно твердой и не меняет больше своей формы.

Внутренние силы, определяемые свойствами материала, из ко­торого состоит тело, по своей природе являются объемными силами и распределены по всему объему тела. Отнесение этих сил к поверх-

31

ности воображаемого сечения является также условностью, дающей возможность дать количественное выражение внутренним силам, несколько отвлекаясь от точной трактовки их физической природы.

2.5. Напряжения

Внутренняя сила, приложенная к поверхности любого вообра­жаемого сечения тела, носит в механике название усилия. Она урав­новешивает действие внешних сил, приложенных к одной из частей тела.

Усилие, как это видно из его определения, является вообще си­лой, распределенной по сечению. Интенсивность распределения уси­лия по сечению может быть выражена для любой бесконечно малой площадки. Эта интенсивность носит название напряжения и выража­ется отношением части усилия, передаваемого по бесконечно малой площади, к величине этой площади:

где о - напряжение;(7)

Р - усилие.Имея в виду бесконечно малую величину площади dF, можно

отнести полученную величину напряжения к одной геометрической точке и пользоваться далее несколько условным понятием напряже­ния в точке по направлению воображаемого сечения. Строго говоря, напряжение получается только путем отнесения усилия к некоторой площади и поэтому для геометрической точки может быть вычислено только как предел отношения силы к площади ее распределения, по­лучаемый при бесконечном уменьшении этой площади.

Напряжение, вычисленное таким образом для какой-либо точки воображаемого сечения, является лишь одним из возможных число­вых выражений напряжения в данной точке. Легко видеть, что одна и та же точка может войти в состав любого из многих воображаемых сечений (I — I; II — II;... N — N;...), проходящих через эту точку (рис. 11). В то же время внутреннее усилие, вычисленное для каждого из воображаемых сечений, будет отличаться от других, и, следовательно, напряжение в точке будет получать каждый раз но­вое числовое значение. Таким образом, понятие напряжения в точке не может быть отнесено к какому-либо одному из сечений, проведен­

32

ных через геометрическую точку. Оно является объемным понятием и должно охватывать все возможные числовые значения напряжений, определяемых для различных сечений, проходящих через данную точку.

Рис. 11. Различные сечения, проходящие через исследуемую точку

Определяя положение любого сечения углами а, в и у наклона его к координатным плоскостям, можно отметить, что напряжение в точке является функцией направления сечения:

■V = Ф(а, в, у).Ограничиваясь рассмотрением плоской задачи, т. е. считая, что

сечение всегда перпендикулярно к координатной плоскости XZ(y=и учитывая, что в этом случае углы а и в связаны между собой урав­нением

„ л« + Р =

можно выразить напряжение в точке как функцию одного из углов, образуемых воображаемым сечением с координатными плоскос­тями ZY или XY:

'■г = Ж ).

33

2.6. Деформации

Внутренние силы выражают усилия, передаваемые связям, су­ществующим между частицами материала. Поэтому изменение (при­ращение) внутренних сил, вызванное действием внешних сил, влечет за собой изменение состояния связей между частицами.

Связь между соседними частицами материала, независимо от ее физической природы, может быть схематически представлена в виде пружин, связывающих примыкающие друг к другу частицы в их про­странственном расположении. В целях разъяснения качественной стороны этой связи достаточно рассмотреть две соседние частицы в одном плоском сечении (рис. 12).

Натяжение пружин, связывающих соседние частицы, останется неизменным до тех пор, пока к телу не будут приложены какие-то внешние силы, которые вызовут в каждой точке внутри тела соответ­ствующую реакцию в форме внутренних сил (точнее, в форме при­ращений внутренних сил), которая и явится причиной изменения на­тяжения пружины. Воображаемое сечение тела, разъединяющее со­седние частицы, рассекает пружину и заставляет для сохранения рав­новесия заменить потерянное натяжение пружины новой силой, равной ранее существовавшей внутренней силе. Именно эта вновь приложенная сила входит в уравнения равновесия при определении внутренних сил методом воображаемых сечений.

Изменение натяжения пружин, связывающих соседние части материала, влечет за собой дополнительное растяжение или сокраще­ние пружин, смотря по знаку приращения внутренних сил. При этом происходит перемещение соседних частиц с изменением их взаимно­го положения. Сумма таких изменений по всему объему тела дает на­рушение его формы, т. е. создает деформацию.

34

Деформация, т. е. изменение формы физического тела, является внешним проявлением изменения связей между частицами материи и свидетельствует о наличии в теле внутренних сил, вызванных, в свою очередь, какими-то внешними воздействиями. Поэтому коли­чественный учет деформаций является первым необходимым шагом для непосредственного суждения о характере и величине действую­щих в теле внутренних сил.

В простых случаях, когда характер и величина внутренних сил могут быть определены теоретически с помощью метода воображае­мых сечений, данные о деформациях дают возможность составить суждение о качестве материала, характере его внутренних связей и о способности его сопротивляться внутренним силам. В более сложных случаях, не поддающихся теоретическому решению в отно­шении внутренних сил, данные о деформациях позволяют судить о действующих внутренних силах, пользуясь ранее полученными данными о качестве деформируемого материала.

Характер деформации тела зависит от того, какие внутренние силы вызывают эту деформацию. Известно, что любая система дейст­вующих сил может быть приведена к шести силовым воздействиям, ориентированным по системе пространственных прямоугольных ко­ординат. По этим же отдельным силовым воздействиям могут быть классифицированы отдельные элементарные виды деформаций, ко­торые в общем случае могут сочетаться друг с другом, образуя слож­ные деформации.

Если представить себе на воображаемом плоском сечении тела начало координат в центре этого сечения (при сложном очертании сечения за центр его принимается центр тяжести соответствующей геометрической фигуры), одну из осей координат (например, ось Z) направить по перпендикуляру к площади сечения, а две другие оси (Y и X) расположить в плоскости сечения, придерживаясь по воз­можности осей симметрии этого сечения, то получится система коор­динат (рис. 13), в которой легко можно выделить следующие простые виды деформаций:

1. Деформация силой, направленной перпендикулярно к сечению. Этот вид деформации возникает тогда, когда внутренние силы приво­дятся к одной равнодействующей, направленной перпендикулярно к сечению, т. е. вдоль оси Z. Все остальные силовые воздействия в этом случае равны нулю (рис. 14).

35

Очевидно, что такая сила способна вызвать перемещение частиц материала только по своему направлению, т. е. или раздвинуть их, или, наоборот, сблизить, в зависимости от направления продольной силы. Если эта сила действует по направлению к воображаемому се­чению и стремится сблизить между собой частицы материала, то имеет место деформация сжатия. Если перпендикулярная к сечению сила действует в обратном направлении, т. е. стремится раздвинуть частицы материала, то возникает деформация растяжения.

Рис. 13. Система координат на воображаемом сечении тела

Рис. 14. Деформация продольной силой

36

Эти два вида деформации не имеют принципиального отличия друг от друга и различаются лишь направлением действующей силы. Имея в виду, что изменение любого направления действующей силы на прямо противоположное обозначается в механике переменой знака силы, можно утверждать, что деформации растяжения и сжатия отли­чаются друг от друга только знаком. Любую из этих деформаций можно считать положительной, но тогда другой из них нужно припи­сывать отрицательный знак.

2. Деформация силой, лежащей в плоскости сечения. Этот вид деформации соответствует такой системе внутренних сил, которая приводится к одной равнодействующей, лежащей в плоскости сече­ния. Эта равнодействующая может дать проекции только на те оси координат, которые расположены в этой плоскости сечения, т.е. на оси Y и X. Остальные четыре силовых воздействия (2 Z, 2 2 МY,Ц М?) в этом случае равны нулю (рис. 15).

Рис. 15. Деформация силой, лежащей в плоскости сечения (сдвиг)

Очевидно, что сила, лежащая в плоскости сечения, не может ни раздвинуть, ни сблизить частицы материала, прилегающие к вообра­жаемому сечению. Она может только сместить эти частицы друг от­носительно друга в направлении действия силы. Такая деформация называется деформация сдвига.

3 . Деформация моментом, действующим в плоскости сечения. Этот вид деформации возникает в тех случаях, когда все внутренние силы приводятся к одной паре сил, действующей в плоскости вооб­

37

ражаемого сечения и, следовательно, вызывающей вращение тела во­круг оси, перпендикулярной к этому сечению, т. е. оси Z. Все осталь­ные силовые воздействия (2 У; 2 У; 2У;2М у ,2 Му) равны нулю. Вращение происходит под действием момента этой пары, выражаю­щего сумму моментов всех внутренних сил относительно оси Z, т.е. 2 Mz (рис. 16).

гI1\\1

„--л^ 1Д

г

---------------\\

\ \ '

\ J

Рис. 16. Деформация моментом, лежащим в плоскости сечения (кручение)

Такой вращающий момент может только сместить слой частиц материала, прилегающий к данному сечению относительно соседнего с ними слоя частиц, и вызвать, таким образом, деформацию, извест­ную как деформация кручения.

4 . Деформация моментом, действующим в плоскости, перпен­дикулярной к сечению. Этот вид деформации возникает под действи­ем такой системы внутренних сил, которая приводится к одной паре сил, действующей в плоскости, перпендикулярной к воображаемому сечению, и, следовательно, вызывающей вращение тела вокруг оси, лежащей в плоскости этого сечения. Вращение происходит под дей­ствием момента этой пары, выражающего сумму моментов всех дей­ствующих сил относительно координатных осей, лежащих в плоско­сти сечения, т. е. осей У и Х ( 2 Му , 2 Му). Остальные четыре силовых воздействия (2 X; 2 У; 2 У, 2 Mz) в этом случае равны нулю (рис. 17).

Действующий момент может только повернуть воображаемое сечение, выводя его из первоначальной плоскости, и, таким образом, перекосить друг относительно друга соседние сечения, сделав их не­параллельными друг другу. При этом продольная ось тела, ранее сов­

38

падавшая с координатной осью Z и проходившая через центры парал­лельных друг другу сечений, искривляется. Такая деформация назы­вается деформацией изгиба.

Рис. 17. Деформация моментом, лежащим в плоскости, перпендикулярной к сечению (изгиб)

Из перечисленных четырех видов простых деформаций не все имеют одинаково важное значение для изучения грунтов. Естествен­но, что грунт, воспринимающий в основании сооружения нагрузку от его веса, работает главным образом в условиях сжатия. Этот вид де­формации наиболее отвечает и природе грунта, обладающего сопро­тивлением сжатию в значительно большей мере, чем сопротивлением растяжению. Существенное значение для грунта имеет также дефор­мация сдвига, определяющая собой прочность грунта в условиях его равновесия. Эти два вида деформации являются основными для изу­чения грунтов методами механики.

Деформация изгиба имеет значение для грунта лишь как сопут­ствующая основным видам деформаций в некоторых сложных случа­ях сопротивления. В необходимой мере этот вид деформации все же находится в поле зрения грунтоведов, пользующихся механикой для

39

изучения грунтов. Что касается деформации кручения, то этот вид деформации вообще не является ведущим в вопросах строительства и в развитии механики грунтов не используется.

Любая деформация тела требует затраты механической энергии. Как видно из приведенного выше подробного рассмотрения природы деформаций, они возникают под действием внутренних сил (точнее, их приращений), явившихся реакцией на изменение системы внеш­них сил. Внутренние силы приложены к отдельным элементам вооб­ражаемых сечений и вызывают перемещения этих элементов (мате­риальных частиц) друг относительно друга. Таким образом, в процес­се деформации имеется налицо действующая сила (усилие) и пере­мещение точки приложения этой силы, которое является внешним выражением совершаемой механической работы. Энергия, затрачи­ваемая на выполнение этой работы, может быть выражена количест­венно как сумма произведений из действующих усилий на перемеще­ния, получаемые точками приложения этих усилий.

Энергия, затрачиваемая на совершение деформаций, концентри­руется внутри деформированного тела, которое становится поглоти­телем механической энергии, передаваемой телу внешними силами. Эта энергия может концентрироваться в нем в виде запаса потенци­альной энергии, способной освободиться при прекращении действия сил и вызвать обратное перемещение всех материальных частиц, по­лучивших взаимное смещение при деформации, или же может расхо­доваться на изменение внутренней структуры тела и характера связей между его частицами. В последнем случае материальные частицы те­ла после прекращения действия сил не возвращаются на свои старые места, и тело получает измененные физические свойства.

В первом случае деформация рассматривается как временное явление, отмечаемое только до тех пор, пока продолжают действо­вать внешние силы. Во втором случае деформация становится посто­янной принадлежностью тела и сопровождается заметным изменени­ем его внутренней структуры.

В первом случае деформацию принято называть упругой или об­ратимой, а во втором случае - остаточной или необратимой.

40

3. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ГРУНТОВ.СПЛОШНЫЕ СИСТЕМЫ

3.1. Гипотеза непрерывности материи

Грунты, состоящие из твердых частиц, тем или иным образом связанных между собой, не представляют собой сплошное однород­ное тело. Сплошность твердого вещества в грунтах прерывается на границах твердых частиц.

Однако прерывность сплошности может быть отмечена и в твер­дых телах. Жесткие кристаллические решетки и структурные связи определяют собой закономерность расположения отдельных матери­альных частиц в твердом теле. Таким образом, понятие о твердом те­ле устанавливается главным образом неизменностью структурных связей этого тела.

В тех случаях, когда грунт обладает достаточно прочными свя­зями между отдельными частицами грунтового скелета, которые не разрушаются и не видоизменяются от возникающих в грунте внут­ренних сил, его внутреннее строение определяется неизменностью структурных связей, и к нему может быть применена механическая схема, принятая для твердого тела, также с известной условностью.

Неизменность связей между индивидуальными материальными частицами позволяет считать свойства тела равномерно присущими всем элементарным объемам тела, вне зависимости от того, попадает этот элемент внутрь твердого вещества или же оказывается в проме­жутке между твердыми частицами, фактически не занятом твердым веществом. При этом тела, обладающие неизменяемыми структур­ными связями, рассматриваются как системы, состоящие сплошь, без каких-либо разрывов, из массы вещества, прерывающегося только на поверхности тела. Такое представление о строении тела называется гипотезой непрерывности материи. Гипотеза непрерывности мате­рии как бы обезличивает физическое строение каждого тела, выражая его в виде условной схемы, лишь приближенно выражающей дейст­вительное строение.

Таким образом, представление о сплошной системе, вытекаю­щее из применения гипотезы непрерывности материи, является в ука­занном выше смысле механической схемой твердого тела. Эта общая механическая схема имеет известное значение и в механике грунтов,

41

в применении, например, к высокосвязным, затвердевшим грунтам, а также ко всем вообще грунтам, почему-либо сохраняющим, хотя бы временно, неизменность своей внутренней структуры.

Гипотеза непрерывности материи открывает большие возмож­ности для исследования тел методами механики. Без этой гипотезы изучение внутренних сил было бы практически невозможно, так как потребовало бы индивидуального рассмотрения равновесия каждой материальной частицы. Принятие представления о сплошной системе в качестве механической схемы грунта дает возможность считать внутренние силы сплошным образом распределенными между всеми точками грунтового массива и по любому его сечению, отвлекаясь от фактической сложности передачи сил между отдельными материаль­ными частицами.

Непрерывность материи, лежащая в основе представления о сплошной системе, позволяет в ходе исследования мысленно разде­лять сплошную систему на отдельные, в частности очень малые части (элементарные объемы), придавая этим частицам любую форму и считая их примыкающими друг к другу вплотную, без каких-либо разрывов.

По сравнению с действительными материальными частицами, составляющими физическое строение грунта, малые частицы, услов­но выделяемые из сплошной системы, отличаются следующими осо­бенностями:

- произвольным размером;- плотным прилеганием соседних частиц друг к другу и непо­

средственным взаимодействием их друг с другом на поверхности прилегания;

- произвольностью формы, которая может быть выбрана в соот­ветствии с особенностями каждой задачи.

Наиболее распространенным является выделение в сплошной системе элементарного параллелепипеда, вырезанного тремя парами плоскостей, параллельных трем координатным плоскостям (рис. 18).

Размеры такого элемента при бесконечном их уменьшении вы­ражаются бесконечно малыми приращениями трех координат, т.е. дифференциалами этих координат (dx, dy, dz).

42

Рис. 18. Элементарная частица материала

Гипотеза непрерывности материи применяется для исследова­ния внутренних сил в твердых телах с достаточной степенью точно­сти. Для тех грунтов, которые по своим свойствам или по условиям работы приближаются к твердым телам, пользование механической схемой сплошной системы оказывается весьма плодотворным.

3.2. Деформируемость сплошных систем

Сплошная система обладает известной консервативностью фор­мы. Изменение формы тела, т. е. его деформация, возможно только при изменении системы сил, действующих на тело. При постоянстве действующих сил нет никаких оснований к изменению устойчивой формы тела.

При изменении формы сплошной системы принцип непрерыв­ности материи полностью сохраняет свою силу, и отдельные выде­ленные в нем материальные частицы продолжают иметь плотное со­прикосновение друг с другом. Поэтому изменение формы тела (де­формация) возможно только за счет деформации самих этих частиц.

Способность условных материальных частиц сплошного тела деформироваться может быть представлена простой механической моделью, включающей в себя несколько пружин, растягивающихся или сжимающихся при изменении внутренних сил (рис. 19), без на­рушения контакта с соседними частицами. Силы, вызывающие рас­тяжение или сжатие пружин, символизируют собой действующие в данной точке внутренние силы (вернее, их приращения).

43

При изменениях формы сплошного тела все его точки должны как-то переместиться и занять новое положение в пространстве. В числе этих точек перемещаются и точки приложения сил, дейст­вующих на тело.

Рис. 19. Модель деформируемой частицы, соответствующая гипотезе непрерывности материи

Таким образом, деформированное тело будет находиться под действием измененной системы сил по сравнению с системой сил, действовавшей на тело в начале деформации. Эти изменения могут считаться незначительными, так как в устойчивых грунтовых масси­вах возможны только малые деформации, которые не влияют сущест­венно на перемещения точек приложения действующих сил. Учиты­вая это, допустимо не принимать во внимание перемещения точек приложения сил и условно считать размещение внешних сил, прило­женных к сплошному телу, неизменяющимся при его деформации. Эта явная условность оказывается в то же время весьма полезной для упрощения математического выражения действия внешних сил.

Деформация тела вообще выражается в перемещении отдельных материальных частиц тела друг относительно друга. По отношению ко всему сплошному массиву деформация выражается в изменении его линейных размеров.

Направление перемещения отдельных частиц при деформации может быть различным. Для возможности однообразного численного выражения отдельных деформаций, имеющих различные направле­ния, и в случае надобности сложения их между собой можно отно­сить все деформации к пространственной системе координат, выра­жая их в виде деформаций, происходящих по направлению каждой из

44

трех координатных осей (Ах, AY, Az ). В более простом случае - при действии системы сил, лежащей в одной координатной плоскости aZ, - задача решается в плоской системе координат с помощью разложе­ния деформации по направлениям двух координатных осей (Ах, Ах).

Переход от первоначального к деформированному состоянию сплошной системы не происходит мгновенно. Некоторое время час­тицы тела находятся в движении, перемещаясь с какими-то скоростя­ми к своим новым положениям. Таким образом, деформацию тела можно рассматривать не только как результат перемещения матери­альных частиц, выраженный изменением линейных размеров тела, но и как процесс изменения формы тела в течение известного времени.

Исследование хода деформаций во времени имеет важное зна­чение для материалов, медленно меняющих свою форму под действи­ем вновь приложенной системы сил. Грунты, деформация которых связана с насильственным перемещением частиц грунтового скелета, относятся именно к медленно деформируемым материалам, для кото­рых влияние времени хода деформации может быть весьма значи­тельным.

3.3. Деформации от продольной силы и их зависимость от внутренних сил

Сила, действующая вдоль оси тела, вызывает деформацию рас­тяжения или сжатия, в зависимости от того, в какую сторону направ­лена эта сила. Для грунтов обычной является деформация сжатия, создаваемая весом вышележащих слоев грунта и сооружений. Однако в грунтах, анализируемых с помощью механической схемы сплошно­го строения, явления растяжения нельзя считать совершенно исклю­ченными, поскольку сюда относятся грунты с прочными связями ме­жду частицами. Кроме того, рассмотрение теоретической стороны действия продольной силы, как указано ниже, более полно прослежи­вается на примере растяжения.

При продольной деформации деформируемые тела приходится захватывать по концам какими-то захватными приспособлениями. При этом деформируемое тело можно представить себе состоящим как бы из отдельных столбиков (волокон), каждый из которых де­формируется (сжимается или растягивается) той частью общего уси­лия, которая приходится на поперечное сечение этого столбика (во­локна).

45

Отдельные волокна тела деформируются неодинаково. Если, на­пример, для случая растяжения представить себе, что на поверхности деформируемого тела заранее нанесены линии, перпендикулярные к оси тела и обозначающие отдельные сечения тела, то после растя­жения эти сечения не только раздвинутся вследствие растяжения всего тела, но и исказятся из-за того, что передача усилия по кон­цам происходит не по всему сечению, а только через захватные устройства (рис. 2 0 ).

Рис. 20. Состояние тела до и после растяжения

Искажение сечений, перпендикулярных к оси, особенно сильно чувствуется в концевых частях деформируемого тела и быстро осла­бевает при удалении от концов. Среднее сечение, равноотстоящее от концов, совсем не получит искажения, так как влияние концевых час­тей в этом месте взаимно компенсируется.

Если исключить из рассмотрения концевые части тела, находя­щиеся под сильным влиянием захватных устройств, то можно выде­лить такую среднюю часть тела L, в которой поперечные сечения почти не получают искажения при растяжении.

46

Если сосредоточить внимание только на этой средней части те­ла, считая концевые части как бы принадлежностями захватных уст­ройств, то можно будет принять, что в пределах средней части все волокна тела растягиваются одинаково и, следовательно, деформация каждого из них происходит под действием одного и того же элемен­тарного усилия. Этот вывод соответствует допущению о том, что усилие, действующее по сечению, перпендикулярному к линии дей­ствия силы, распределяется по площади этого сечения равномерно. Все последующие рассуждения отнесены потому только к длине средней части деформируемого тела и предполагают равномерное распределение усилия по площади F поперечного сечения, перпенди­кулярного к линии действия силы.

При равномерном распределении усилия по сечению напряже­ние должно быть принято постоянным и равным усилию, приходя­щемуся на единицу площади сечения:

Р

Как видно из этого определения, напряжение выражается в еди­ницах силы, приходящейся на единицу площади поперечного сече­ния. В обычно используемой в этих случаях технической системе единиц сила выражается в килограммах (кг), а площадь - в квадрат­ных сантиметрах (см2).

Все продольные волокна тела, имеющего размер L по направле­нию продольной силы и деформируемого продольной силой Р, рав­номерно распределенной по площади поперечного сечения, получают одно и то же изменение своей длины, и такое же изменение длины получит все тело. В случае растяжения его первоначальная длина L

гпревращается в большую длину (L + X), а в случае сжатия - в мень­шую длину (L — X) (рис. 21).

Величина X выражает собой линейную деформацию тела, изме­ряемую по направлению действующей силы. Эта деформация может быть измерена непосредственно и будет иметь различную величину для тел разной длины, но состоящих из одного и того же материала и деформируемых одним и тем же силовым воздействием. Такая де­формация носит название абсолютной деформации и измеряется в единицах длины (см).

47

Чтобы отвлечься от размеров деформируемого тела и выразить деформацию в величинах, характеризующих деформируемость сплошной системы в массивах любого размера, можно отнести ли­нейную деформацию к единице первоначального размера тела, введя понятие относительной деформации, выражаемой отвлеченным числом:

■5 = р (9)Как напряжения, так и относительные деформации тела вызваны

одной и той же физической причиной. 1 аковой является продольное усилие, передаваемое телу при действии внешних растягивающих или сжимающих сил. Тесная связь между напряжением и относи­тельной деформацией является, таким образом, очевидной.

Рис. 21. Абсолютная деформация растяжения и сжатия

Характер этой связи может быть выяснен только эксперимен­тально, из наблюдения количественных соотношений в телах, дефор­мируемых продольной силой. Для грунтов основной интерес пред­ставляют малые относительные деформации, встречающиеся практи­чески в условиях передачи нагрузок на устойчивые грунтовые мас­сивы.

48

Зависимость между напряжением и относительной деформацией сплошных систем при действии на них продольной силы оказалась для малых деформаций весьма простой: относительная деформация прямо пропорциональна напряжению:

а = Е - 8 , ( 10)

где Е - коэффициент пропорциональности.Эта закономерность была найдена для твердых тел опытным пу­

тем еще в XVI веке английским ученым Р. Гуком и известна под на­званием закона Гука, который, несмотря на ряд последующих уточ­нений, сохраняет свое значение до настоящего времени для получе­ния приближенного представления о деформируемости сплошных тел.

Закон Гука оказывается достаточным только для небольших де­формаций. Для каждого материала опытным путем может быть уста­новлено предельное напряжение, за которым зависимость между на­пряжением и относительной деформацией выражается более сложной функцией, чем прямая пропорциональность. Предельное напряжение, допускающее применение закона Гука, известно под именем предела пропорциональности. Для материалов, обладающих незначительной прочностью связей между твердыми частицами (к таким материа­лам относятся и грунты), предел пропорциональности сравнительно невысок.

Выражаемая законом Гука прямая пропорциональность между напряжением <т и относительной деформацией 8 может характеризо­ваться постоянным значением коэффициента пропорциональности Е только в том случае, если нарастание напряжения будет идти очень медленно. В противном случае соотношение между о и 8 нарушается в сторону отставания деформации. Это объясняется тем, что при де­формации, являющейся следствием напряжения, происходит некото­рая перегруппировка материальных частиц тела, которая требует из­вестного времени для своего завершения. При быстром росте напря­жения перегруппировка частиц не успевает завершиться, и деформа­ция все время остается незаконченной. Не успевшая завершиться в процессе роста напряжения перегруппировка частиц в дальнейшем все же заканчивается, и тело получает всю ту деформацию, которая соответствует возникшему в нем напряжению. Но это завершение деформации происходит уже тогда, когда быстрый рост напряжений

49

прекращается и частицы тела получают возможность закончить свою перегруппировку. Деформация, происходящая после прекращения быстрого роста напряжений, носит название последействия напря­жений. Этим термином подчеркивается запоздалый характер дефор­мации по отношению к нарастающим напряжениям.

Ход деформации тела при нарастании напряжения лучше всего может быть прослежен путем построения так называемой диаграммы деформаций (рис. 2 2 ).

Рис. 22. Деформация растяжения и сжатия в пределах пропорциональности

Эта диаграмма строится в прямоугольных координатах, причем на одной из осей координат (например, на ординате) откладываются в выбранном масштабе величины относительных деформаций 8, а надругой (абсциссе) - величины напряжений <х, вызвавших эти дефор­мации. Деформация материала, следующего закону Гука, выразится на этой диаграмме прямой линией, соответствующей зависи­мости (10) и продолжающейся до значения а, равного пределу про­порциональности <хр.

При отставании деформаций вследствие быстрого роста напря­жений прямая линия становится наклоненной более круто по отно­шению к оси деформаций. Разность ординат между прямой, выра­жающей закон Гука, и прямой, построенной для случаев быстрого

50

роста напряжений, характеризует отставание деформаций в любой момент роста напряжений. Последействие напряжения при быстром его возрастании выразится на этой диаграмме участком прямой ли­нии, проведенной параллельно оси деформаций на уровне стабилизи­ровавшегося напряжения.

Несмотря на достаточность закона Гука для практического при­менения к большинству материалов, у некоторых материалов, обла­дающих неоднородной структурой, отмечаются при эксперименти­ровании отклонения от этого закона даже при малых деформациях.

Следует отметить, что эти отклонения могут быть охвачены бо­лее общим законом, чем закон Гука, показывающим степенную зави­симость между напряжением и относительной деформацией. В принятых ранее обозначениях этот закон выражается следующим образом:

■Г" = Е *0 . (11)При т=1 этот закон превращается в закон Гука (10).Таким образом, отличие показателя степени т от единицы пред­

ставляет собой отклонение данного материала от точного следования закону Гука. Это отклонение возможно как в ту, так и в другую сторону. В неоднородных материалах, приближающихся по своейгструктуре к грунтам, этот показатель всегда оказывается большим единицы.

Рис. 23. Деформация материалов, отклоняющихся от закона Г ука

51

На диаграмме деформаций процесс деформации, соответствую­щий уравнению (11), представится уже не прямой, а кривой ли­нией (рис. 23). Для материалов, у которых т > 1 , напряжения растут быстрее, чем относительные деформации, и кривая образует выпук­лость в сторону оси напряжений (для гранита, например, т = 1,13). Для материалов, у которых ш < 1, кривая имеет выпуклость в сторо­ну оси деформаций, так как в этом случае рост напряжений замедля­ется по сравнению с ростом относительной деформации.

3.4. Упругость сплошных систем

Перемещения материальных частиц в сплошной системе, имею­щие своим результатом деформацию тела, возникают при приложе­нии внешних сил. Естественно ожидать, что при удалении внешних сил, вызвавших деформацию, частицы сплошного тела снова встанут на свои прежние места, деформация исчезнет и тело приобретет свою первоначальную форму.

Это предположение оправдывается лишь частично, так как вос­становление формы тела требует не только удаления силы, но и не­изменности внутренних связей, условно выраженных натяжением пружины в модели частицы. Известно, что растянутая пружина воз­вращается к первоначальному состоянию только в том случае, если она не была перегружена, т.е. если приложенная нагрузка не измени­ла свойств пружины. Это соображение касается и внутренних связей сплошной системы. Свойство тела восстанавливать свою форму при удалении деформирующих сил называется упругостью.

Каждое тело, рассматриваемое как сплошная система, обладает упругостью в той мере, в какой это свойство обеспечивается упруго­стью внутренних связей. Внутренние связи тела, как всякие деформи­руемые связи (пружины), имеют свою предельную нагрузку. При де­формации сплошной системы только те связи сохраняют полностью свою упругость, которые испытывают нагрузку не свыше предель­ной. Учитывая, что в деформируемой сплошной системе некоторая часть внутренних связей может при перенапряжении потерять свою упругость, следует сделать вывод, что полученная телом деформация частично будет возвращена при удалении внешних сил, а частично останется невозвращенной.

52

Таким образом, деформация сплошной системы может быть разделена на две части:

1) обратимая, или упругая, часть деформации, исчезающая при удалении внешних сил;

2 ) необратимая, или остаточная, часть деформации, сохра­няющаяся после удаления внешних сил и выражающая собой проис­шедшее изменение свойств тела.

При малых напряжениях подавляющая часть внутренних связей остается неперенапряженной, и деформация является почти полно­стью упругой.

Напряжение, при котором начинается накопление в теле оста­точных деформаций, называется пределом упругости.

Для практических целей обычно допускают, что сплошная сис­тема обладает полной упругостью при малых напряжениях, не превы­шающих предела пропорциональности. Это подтверждается и опыт­ными данными об упругих деформациях твердых тел.

3.5. Модуль упругой деформации

Коэффициент пропорциональности Е, входящий в уравнение Гука, имеет определенное значение для каждого твердого тела. Его можно считать показателем качества любого материала, рассматри­ваемого по схеме сплошной системы, с точки зрения его деформи­руемости в пределах пропорциональности.

Коэффициент пропорциональности Е получил название модуля упругой деформации материала и может быть применен к грунтам, рассматриваемым по схеме сплошной системы. Это название отража­ет связь закона Гука с явлениями упругости и численное совпадение с пределом пропорциональности. Вообще же эта связь не является решающей. Коэффициент пропорциональности Е используется для выражения деформируемости материала и в тех обычных для грунтов случаях, когда свойство упругости не проявляется, так как выражае­мая этим модулем пропорциональность напряжений и относительных деформаций имеет значение и при отсутствии упругости.

Из закона Гука (10) следует:

аЕ = ~ ( 12)

53

т. е. модуль упругой деформации выражается отношением напряже­ния а к относительной деформации 5. Так как числитель этого отно­шения измеряется в единицах напряжения, а знаменатель - отвлечен­ное число, то модуль упругой деформации выражает собой некоторое напряжение.

Формальную трактовку модуля упругой деформации как напря­жения можно получить из уравнения (12), учитывая, что Е= а при

s = - =1Lили, что то же, при

А= L.При этом длина тела после деформации должна была бы рав­

няться L + А = 2L, т. е. напряжение, равное модулю упругой деформа­ции, способно как бы растянуть тело вдвое.

Такая трактовка дает чисто математическое пояснение вопроса и не имеет физического смысла, так как известно, что закон Гука оп­ределяет деформацию тела только для небольших напряжений, не превышающих предела пропорциональности. Растяжение любого тела, а тем более грунта, вдвое практически без разрушения материа­ла произведено быть не может. Кроме того, при столь значительных деформациях нельзя пользоваться допущением о равномерном рас­пределении усилия по сечению.

Формальный характер этой трактовки становится особенно яс­ным при приложении ее к случаю сжатия тела. В этом случае при А = L длина тела после деформации составила бы L — А = 0, т. е. тело должно было бы расплющиться до нулевой толщины, что явно невозможно.

На диаграмме модуль упругой деформации может получить удобное геометрическое выражение (рис. 24). Если прямую, выра­жающую закон Гука, принять за гипотенузу прямоугольного тре­угольника, построенного на координатах любой точки этой прямой (<т и б), то отношение представит собой тангенс угла наклона прямойк оси деформаций (угловой коэффициент прямой), который и может быть принят за геометрическое выражение модуля упругой дефор­мации:

E = ~s = tga. (13)Пользуясь понятием модуля упругой деформации как постоян­

ного показателя качества деформируемого материала, можно дать за-54

кону Гука более удобное выражение, пригодное для решения практи­ческих задач о деформациях, происходящих в пределах пропорцио­нальности.

Рис. 24. Геометрическое выражение модуля упругой деформации

В общем уравнении, выражающем закон Гука, можно заменить напряжение через усилие, равное продольной силе, деленное на пло­щадь поперечного сечения тела (о- = -), а относительную деформа­цию - через абсолютную деформацию и первоначальную длину тела (б = 7). При этом уравнение, выражающее закон Гука, примет вид

F= E 1

L ’или

P-L

E-F' (14)Выраженный в таком виде закон Гука можно применить к реше­

нию следующих практических задач, касающихся использования грунтов, поддающихся рассмотрению по механической схеме сплош­ной системы (конечно, в пределах пропорциональности):

1) Определение абсолютной деформации Я грунтового массива известных размеров (L, F) при известном качестве грунта Е и придействии на него заданной, равномерно распределенной продольной силы Р.

55

2) Определение поперечных размеров F, которые необходимо придать грунтовому массиву, имеющему определенный размер L по направлению действия силы, состоящему из грунта известного каче­ства Е, для того чтобы при деформации его равномерно распределен­ной продольной силой Р получить заранее заданную абсолютную де­формацию X.

3) Определение такого размера грунтового массива L по на­правлению действия силы при известных его поперечных размерах F и определенном качестве грунта Е, которая гарантировала бы полу­чение заданной абсолютной деформации X при действии равномернораспределенной продольной силы Р.

4) Определение равномерно распределенной продольной силы Р, которая может быть приложена к грунтовому массиву известных размеров (L, F), состоящему из грунта определенного качества Е, чтобы получить заданную абсолютную деформацию X этого массива.

5) Подбор качества грунта Е, из которого должен состоять грун­товой массив заданных размеров L, F, чтобы при действии на него определенной, равномерно распределенной продольной силы Р полу­чить заданную абсолютную деформацию 3.

3.6. Деформации по направлениям, не совпадающим с действием внешней силы

Наблюдая деформацию сплошных тел при действии продольной силы, легко заметить, что деформация касается не только продольно­го размера, совпадающего с направлением силы (эта деформация в пределах пропорциональности определена законом Гука), но и по­перечных размеров.

Изменение поперечных размеров может быть названо попереч­ной деформацией в противоположность продольной деформации, из­меряемой по направлению действующей силы. С физической сторо­ны поперечная деформация объясняется тем, что при начавшемся смещении частиц материала в направлении действующей силы в про­тиводействие этому смещению вовлекаются связи, существующие между частицами и по другим направлениям. Поперечная деформа­ция всегда имеет обратный знак по отношению к продольной дефор­мации: при действии сжимающей продольной силы в поперечном на­

56

правлении происходит расширение тела, при действии растяги­вающей силы происходит, наоборот, сжатие его в поперечном направлении.

Поперечная деформация, аналогично продольной, может быть выражена как в абсолютных величинах приращения всего линейного размера, так и в относительных величинах, рассчитанных на погон­ную единицу этого размера. Экспериментально найдено (Пуассон), что по абсолютной величине относительная поперечная дефор­мация бп0п пропорциональна относительной продольной деформации:

£поп =/*■£• (15)Соответствующий коэффициент пропорциональности д может

быть назван коэффициентом поперечной деформации. Он характе­ризует собой инерцию сплошной системы по отношению к изменени­ям объема и является вторым (после модуля упругой деформации) показателем качества системы в отношении ее деформируемости.

Суждение о величине коэффициента поперечной деформации может быть вынесено из рассмотрения объемных изменений сплош­ного тела при действии на него продольной силы (эти объемные из­менения могут быть условно названы объемной деформацией).

Тело, имеющее размер а в направлении продольной силы и раз­меры b и с в поперечном сечении (считая его прямоугольным), де­формируясь под действием продольной силы (сжимающей или растя­гивающей), изменяет как продольный, так и поперечные размеры (аб­солютные деформации Аа, Аь, Ас) и получает некоторое изменениеобъема (рис. 25). При этом каждая единица линейного размера в про­дольном направлении получает приращение, равное относительной деформации 5 (положительной или отрицательной), каждая единицаразмера в поперечном сечении - приращение ^поп = ц ■ 8 с противо­положным знаком.

Первоначальный объем тела V0 = abc после деформации полу­чит измененный объем:

V = а(1+ 8)Ъс(\ -MS)2 =V„(1+ 5)(1 (16)или после преобразований:

V ’ = V0 ( l - 2 f t S + 8 + f t 2S 2 - 2 f i 8 2+ f i 28 3).

57

В этом выражении можно отбросить последние три члена в скобках на том основании, что относительная деформация является обычно малой величиной и члены, содержащие высшие степени этой величины, оказывают ничтожное влияние на сумму, тем более члены входят в сумму с одинаковым знаком. Тогда

Рис. 25. Продольная и поперечная деформации при сжатии

Происшедшее при деформации изменение объема к единице первоначального объема (относительная объемная деформация) будет равно:

v'~vrj (17)

Исследование уравнения (17) показывает, что при ц = 0,5 объем­ная деформация превращается в нуль, т. е. тело не получает никакого изменения объема; при ц = 0 относительная объемная деформацияравна относительной продольной деформации 8, т. е. тело не по­лучает никакой поперечной деформации и изменение его объема обу­словливается исключительно продольной деформацией.

Очевидно, что коэффициент поперечной деформации ц никогда не может быть больше 0,5, так как при этом относительная объемная

58

деформация оказалась бы меньше единицы, т. е. при растяжении про­изошло бы уменьшение, а при сжатии - увеличение объема, что про­тиворечит физической природе происходящей деформации. Равным образом ц не может иметь значения меньше нуля, так как это означа­ло бы, что поперечная деформация имеет знак, совпадающий со зна­ком продольной деформации.

Таким образом, численные значения коэффициента поперечной деформации находятся для всех материалов в пределах 0 < ц. < 0,5. Для большинства материалов, в том числе и для связных грунтов, этот коэффициент колеблется в значительно более узких пре­делах: ОД5 < ц < 0,33.

3.7. Боковой распор

Оценка деформируемости сплошных систем в поперечном на­правлении с помощью коэффициента поперечной деформации пред­полагает отсутствие каких-либо ограничений для поперечной дефор­мации. В случае сжатия возможность бокового расширения может быть легко ограничена путем заключения сжимаемого материала в жесткую обойму, плотно охватывающую своими стенками боковые поверхности сжимаемого тела (рис. 26).

Сжимающая сила

Рис. 26. Боковой распор на стенки жесткой обоймы

При отсутствии боковых ограничений сжатие происходит со свободным поперечным расширением. При наличии стенок, охваты­вающих боковую поверхность материала, сжатие происходит с огра­ниченной возможностью поперечного расширения, а при абсолютной жесткости этих стенок - в условиях невозможности поперечного (бо­кового) расширения.

59

Для сильно деформируемых материалов, к числу которых отно­сятся грунты, сжатие в жестких стенках является весьма расп­ространенным видом деформации как для лабораторных условий (уплотнение грунтов в лабораторных формах), так и для производст­венных (сжатие грунта, помещенного между ограждающими стенка­ми или прилегающими массивами грунта). При этом деформируе­мость грунта оказывается настолько превышающей деформируемость стенок, что стенки могут быть приняты за абсолютно жесткие, и весь процесс сжатия может рассматриваться как происходящий в условиях невозможности поперечного расширения.

Жесткие стенки, исключающие возможность поперечного рас­ширения грунта при сжатии, испытывают давление со стороны сжи­маемого грунта, который стремится получить свойственную ему по­перечную деформацию. Это давление распирает стенки в направ­лении, перпендикулярном к линии действия сжимающей силы, созда­вая боковой распор. Как и любое другое силовое воздействие, боко­вой распор может быть отнесен к единице площади стенки и выражен в единицах напряжения.

Жесткие стенки в данном случае являются как бы опорными по­верхностями для сжимаемого материала. Эти опорные поверхности, как и любые опоры, передают на грунт реактивную силу, равную бо­ковому распору по величине и противоположную ему по направле­нию. Поэтому грунт, сжимаемый в жестких стенках, фактически находится под сжимающим действием не только продольной силы, но и реакций бокового распора, действующих в поперечном направ­лении (рис. 27).

Рис. 27. Поперечное сжатие реакцией бокового распора

60

В отношении величины бокового распора можно высказать сле­дующие соображения. Боковой распор является следствием невоз­можности поперечной деформации, которая должна была бы соста­вить известную долю от продольной деформации, являющейся, в свою очередь, пропорциональной продольному напряжению со­гласно закону Гука. Очевидно поэтому, что боковой распор пропор­ционален продольной сжимающей силе, составляя некоторую часть этой силы.

Напряжение бокового распора (сгр) может быть, таким образом, выражено равенством

(18)Коэффициент пропорциональности < может быть назван коэф­

фициентом бокового распора. Он представляет собой отношение на­пряжения бокового распора к сжимающему напряжению:

. (18')£ГКоэффициент бокового распора тесно связан с коэффициентом

поперечной деформации //, поскольку оба эти коэффициента выра­жают одно и то же свойство поперечной деформируемости мате­риала.

Связь между этими двумя коэффициентами можно исследовать, рассматривая сжатие тела в замкнутых со всех сторон стенках. При­нимая, что стенки образуют собой прямоугольную обойму, можно все действующие силы отнести к пространственной системе прямоуголь­ных координат, направив одну из осей (Z) по линии действия про­дольной силы, а две другие (X и Y) - по двум взаимно перпендику­лярным линиям действия реакций бокового распора (рис. 28).

Рассматривая сжатие тела в жестких боковых стенках как одно­временное сжатие тремя взаимно перпендикулярными силами, воз­можно представить себе ту относительную деформацию, которую сжимаемое таким образом тело получило бы по одному (любому) из боковых направлений (X или Y) в случае отсутствия жестких стенок (свободное поперечное расширение). При этом реакция бокового распора, действующая по направлению определяемой деформации (допустим, по направлению координатной оси X), должна рассматри­ваться как продольная сжимающая сила, дающая продольную дефор­мацию, а две другие силы - как сжимающая сила, действующая по

61

оси Z, и реакция бокового распора, действующая по оси Y, - как пер­пендикулярные силы, способные вызвать по направлению оси X только поперечную деформацию.

Рис. 28. Напряжения тела, сжимаемого в жестких стенках (пространственный случай)

Суммарная относительная деформация по оси X выразится сум­мой деформаций, вызываемых всеми тремя действующими силами, причем поперечные деформации от перпендикулярных сил Z и Y вой­дут в сумму с отрицательным знаком в виде соответствующих про­дольных деформаций, умноженных на коэффициент поперечной деформации ц:

S = Sx - tiSy - t(19)Здесь продольные напряжения и соответствующие им от­

носительные деформации по координатным осям обозначены буквами а и б с индексами, выражающими название координатнойоси, к которой относится данное обозначение.

Каждая продольная относительная деформация (6Х, 8У, 62) мо­жет быть выражена через соответствующее напряжение с помощью закона Гука подстановкой:

Кроме того, надо учесть, что ох = ау = ioz , так как оба эти на­пряжения выражают собой один и тот же боковой распор, создавае­мый внешним напряжением oz .

62

Суммарную относительную деформацию по оси X можно, таким образом, выразить как функцию одного лишь напряжения az в видесуммы

3 = — — У''Е ' (19')Е' Е

Эта относительная деформация, рассчитанная в предположении отсутствия боковых стенок и свободного поперечного расширения, в действительности произойти не может, так как этому препятствует наличие жестких стенок, перпендикулярных к координатной оси X. Поэтому, приравнивая выражение (19') нулю и сокращая все члены на общий множитель у , не равный нулю, можно получить уравнение,

вскрывающее связь между коэффициентом бокового распора i и ко­эффициентом поперечной деформации д:

5- М - / < = 0. (20)Из этого уравнения

4= 777 (20')или

И = 777. (20")Эти зависимости показывают, что между понятиями коэффици­

ента бокового распора f и коэффициента поперечной деформации ц. принципиального различия не существует. Для выражения деформи­руемости грунта в поперечном направлении может быть с одинако­вым правом применен любой из этих коэффициентов, между которы­ми существует однозначная количественная связь. Для грунтов, по самому характеру своего использования сжимаемых, почти всегда в боковых стенках пользование коэффициентом бокового распора яв­ляется общепринятым и логически более обоснованным. Величина <fколеблется в общем от нуля до единицы или чаще от 0,17 до 0,5.

Кстати, рассмотренная выше задача об исследовании бокового распора при сжатии тела в жестких боковых стенках является одним из простых примеров решения статически неопределимой системы. В этом случае статическая неопределимость создана наличием жест­ких стенок, ограничивающих свободу перемещения в поперечных направлениях. При решении задачи реакции этих стенок, как «лиш­ние неизвестные», были первоначально отброшены для превращения

63

системы в статически определимую, а затем снова введены путем на­ложения ограничения на поперечную деформацию.

Тело, сжимаемое в условиях невозможности поперечного рас­ширения, уже не будет следовать закону Гука в его первоначальной форме, предполагающей свободное поперечное расширение. Однако пропорциональная зависимость между продольным напряжением и относительной деформацией, происходящей по направлению дей­ствия сжимающей силы, может быть выведена и для этого случая.

При действии по оси Z напряжения az относительная деформа­ция по этой оси должна быть определена с учетом действия не только продольной деформации от напряжения а2, но и поперечных дефор­маций от напряжений бокового распора, действующих по двум коор­динатным осям X и Y, перпендикулярным к оси Z. Соответствующая суммарная деформация по направлению оси Z выразится суммой

S= Sz - (л(бх + <5у) (2 1 )или, подставляя

5, ах. г. О7* ** 7 ’ 4

° z

Е

1 @х Оу Jz И /< =

.Е \ 1 + S )

(2 1 ')

Выражая пропорциональность найденной деформации сжи­мающему напряжению ог с помощью нового коэффициента пропор­циональности Ер, получим

07 Е ^р Е

(2 2 )

откуда легко найти значение нового коэффициента пропорциональ ности:

^ m i+f-2 7 (23)

Полученный коэффициент Е? иногда используется вместо моду­ля упругой деформации Е для непосредственного применения закона Гука к случаям сжатия в жестких стенках. Это толкование коэффици­ента Е? содержит в себе значительную условность, вследствие чегоего следует считать условным модулем упругой деформации для тел, сжимаемых в жестких стенках. В действительности, как видно из уравнения (23), этот коэффициент является комплексным показате­

64

лем деформируемости материала, включающим в себя не только мо­дуль упругой деформации, но одновременно и коэффициент бокового распора.

3.8. Пластические деформации сплошных систем

Как уже указывалось, деформации сплошных систем являются упругими при напряжениях не выше предела пропорциональности (предела упругости).

При дальнейшем росте напряжений (выше предела упругости) характер деформаций резко изменяется (рис. 29).

Рис. 29. Диаграмма относительной деформации материала за пределами пропорциональности

На диаграмме деформаций после некоторой точки А, отделяю­щей прямолинейный участок диаграммы, выражающий закон 1 ука, отмечается переходный участок более сложного очертания АВ, в ко­тором диаграмма имеет выпуклость в сторону оси напряжений, сви­детельствующую о том, что пропорциональность между напряже­ниями и относительной деформацией нарушается в сторону более ин­тенсивного нарастания деформаций. При этом внутренние связи в ма­териале видоизменяются, и материал начинает постепенно приобре­тать иные свойства деформируемости. Применительно к принятой выше схеме строения условной материальной частицы это может быть объяснено перенапряжением пружин, моделирующих внутрен­ние связи, и потерей ими своей первоначальной упругости.

Вслед за переходным участком АВ на диаграмме деформаций появляется участок, почти параллельный оси деформаций, свидетель­

65

ствующий о том, что нарастание деформаций происходит при мини­мальном росте напряжений. Это состояние материала называется пластическим состоянием или состоянием текучести материала. Точка В на диаграмме деформаций, обозначающая переход материала к пластическому состоянию, носит название критической точки. Со­ответствующая этой точке относительная деформация может быть названа критической деформацией.

При пластическом состоянии сплошной системы в ней происхо­дят значительные изменения характера внутренних связей между ма­териальными частицами, перегруппировка материальных частиц и создание нового строения сплошной системы. В этом состоянии деформация материала напоминает течение жидкости под постоян­ным давлением.

Будучи напряжена выше критической точки, сплошная система уже не обладает полной упругостью. При удалении деформирующей силы такое тело не возвращается к своему первоначальному состоя­нию ввиду того, что его структура, а следовательно, и свойства под­верглись изменению. Опыты приложения к материалу, отвечающему схеме сплошной системы, замкнутых циклов приложения и удаления силы, деформирующей материал выше критической точки (например, до точки D), показывают, что обратная ветвь кривой деформации представляет в этом случае прямую линию, параллельную началь­ному участку диаграммы деформаций, выражающему действие закона Гука (рис. 30).

Рис. 30. Диаграмма относительной деформации материала за пределами пропорциональности

при повторном погружении

Эта обратная прямолинейная ветвь заканчивается в точке С, от­деляющей на оси деформаций упругую деформацию от остаточной.

66

Остаточная деформация, являющаяся принадлежностью пластическо­го состояния, носит также название пластической деформации. Таким образом, в результате напряжения за критическую точку первона­чальный материал как бы заменяется новым материалом с изменен­ными свойствами, выражаемым на диаграмме точкой С.

Повторный цикл приложения силы, начатый через некоторое время от точки С, дает новую прямолинейную ветвь диаграммы, сов­падающую с обратной ветвью предыдущего цикла до точки D. В этих пределах измененный материал является упругим и следует закону Гука. Конечная точка D нового прямолинейного участка является как бы критической точкой для измененного материала.

Доведенный новым приложением силы до этой точки, материал возвращается к структуре, отвечающей пластическому состоянию, и пластическая деформация (течение материала) возобновляется. Та­ким образом, замкнутый цикл нарастания и удаления силы имеет своим результатом повышение критической точки материала. Модуль упругой деформации, выражаемый наклоном прямолинейного участ­ка к оси деформаций, остается при этом для сплошных систем почти неизменным, несмотря на некоторое изменение структуры материала.

Повышение критической точки происходит в сплошной системе за счет уменьшения величины деформаций, соответствующих одним и тем же напряжениям, что является признаком повышения хрупко­сти материала.

Физическую сторону изменений, происходящих в материале при переходе через критическую точку, можно представить себе так. Вполне сформировавшиеся связи между материальными частицами, дающие возможность применить к изучению этого материала меха­ническую схему сплошной системы, остаются неизменными до тех пор, пока напряжение этих связей не превышает критической точки. При этом материальные частицы меняют свое расположение лишь временно, в небольших пределах, и возвращение к первоначальному строению материала происходит без затруднений. При переходе на­пряжения за критическую точку связи между частицами меняют свой характер (аналогично вытянутым пружинам), материальные частицы приобретают более легкую подвижность, но при удалении силы под­вижность частиц исчезает, частицы закрепляются в смещенном со­стоянии и уже не могут возвратиться на свои прежние места, образуя измененное строение материала.

67

В материалах неоднородной структуры, состоящих из матери­альных частиц, обладающих различными пределами упругости и модулями упругой деформации, распределение усилия по сечениюгне является равномерным. Большую часть усилия принимают на себягструктурные элементы, обладающие большим модулем упругой деформации.

В том случае, когда два взаимно связанных структурных эле­мента в процессе их совместной деформации S напрягаются выше критической точки или один из них переходит через критическую точку, а другой остается в пределах упругости, получая соответст­венно напряжения су и а2, исчезновение деформации при удалении деформирующей силы стремится пойти по двум разным обратным ветвям диаграммы деформации (I и II) и дать в конечном счете раз­личную остаточную деформацию (рис. 31).

Рис. 31. Остаточные напряжения в неоднородных материалах

В то же время при сохранении прочной связи между разнород­ными структурными элементами сплошной системы остаточные де­формации не могут быть разными, и неоднородный материал получа­ет фактически какую-то общую, осредненную остаточную деформа­цию (Уср. При этом ни один из взаимно связанных структурных эле­ментов не получит остаточной деформации, которая точно соответ­

68

ствует его ненагруженному состоянию, и в каждом из этих элементов будет сохранено напряжение о-! и а2, соответствующее избытку илинедостатку остаточной деформации. Это напряжение, сохраняющееся в отдельных структурных элементах неоднородных сплошных систем даже при полном удалении деформирующей силы, действовавшей на весь структурный комплекс сплошного тела, может быть названо ос­таточным напряжением.

Разность остаточных напряжений в соседних структурных эле­ментах воспринимается внутренними связями, которые, таким обра­зом, все время находятся в натяжении.

Накопление остаточных напряжений в массе неоднородного ма­териала при многочисленных повторных циклах деформации и рас­шатывание связей между структурными элементами, испытывающи­ми различные остаточные напряжения, могут рассматриваться как основные физические причины усиленного проявления в этих мате­риалах явлений усталости.

3.9. Напряженное состояние сплошной системы

При действии на тело сжимающей (или растягивающей) силы по одному направлению количественным выражением напряженного со­стояния обычно служит напряжение, рассчитываемое для сечения, перпендикулярного к направлению действия внешней силы. Для об­щей характеристики напряжения этого явно недостаточно, так как внутренние силы действуют в виде натяжения связей любой матери­альной частицы со всеми соседними частицами сплошной системы. Кроме того, при действии на тело не одной, а нескольких сил затруд­нительно придавать решающее значение напряжениям на сечении, перпендикулярном к направлению действия одной какой-либо силы, поскольку это сечение может занимать различное положение относи­тельно направления каждой из остальных сил. Это заставляет произ­вести более полное исследование напряженного состояния материала в точке, имея в виду сравнение напряжений на всех возможных сече­ниях, которые могут быть проведены через эту точку.

Простейшим случаем является сжатие (или растяжение) мате­риала силами, действующими по одному направлению. Ограни­чиваясь для этого случая сначала рассмотрением сечений, перпенди­кулярных к одной из координатных плоскостей (например, плос­кости XZ), можно упростить исследование, сведя его к решению пло-

69

ской задачи механики. Начало координат при этом можно поместить в той точке, в которой имеется в виду исследовать напряженное со­стояние, а одну из координатных осей (например, ось Z) направить по линии действия сжимающей или растягивающей силы (рис. 32).

Рис. 32. Наклонное сечение в сжатом теле

Напряжение, действующее в равномерно напряженном сечении, перпендикулярном к сжимающей или растягивающей силе, уже изу­ченное выше, равно:

На любом другом, произвольно взятом сечении, наклоненном к перпендикулярному сечению под некоторым углом а, напряжениебудет иметь другую величину, поскольку усилие распределяется уже

г ^ _не на площадь F, а на большую площадь Fa:

аF

со; а'Напряжение на этой наклонной площади оа будет равно:

(24)

р р. (25)

Напряжение <тл может быть выражено в векторной форме с по­мощью вектора, построенного в выбранном масштабе напряжений,

70

приложенного к исследуемой точке и направленного по ходу своего действия. Вектор напряжений выражает внутренние силы, действую­щие по сечению, и, поскольку внутренние силы представляют собой силы взаимодействия частей тела, разделяемых сечением, он может быть начерчен в любую сторону, в зависимости от того, какая часть оставлена для дальнейшего исследования (рис. 33). Такой вектор на­пряжений может быть построен и для любого более сложного случая деформации. В этих случаях вектор будет выражать сумму напряже­ний, передаваемых на данное сечение всеми действующими силами, и потому может быть назван суммарным вектором напряжений. В простейшем случае действия одной сжимающей или растягиваю­щей силы суммарный вектор напряжения (как видно из рис. 33) отклоняется от перпендикуляра (от нормали) к наклонному сечению на угол а.

Рис. 33. Суммарный вектор напряжений и его разложение на нормальное и касательное напряжения

Действие суммарного вектора на наклонное сечение может быть выяснено путем разложения суммарного вектора напряжений оа надве составляющие по правилу параллелограмма. Составляющий век­тор напряжений, направленный перпендикулярно (нормально) к на­клонному сечению, выражает собой сопротивление внутренних сил

71

отрыву верхней части тела от нижнеи. Составляющий вектор, прохо­дящий касательно к сечению, выражает сопротивление внутренних сил сдвигу верхней части тела по нижней.

Таким образом, действие любого наклонного к сечению суммар­ного вектора напряжений может быть выражено эквивалентным дей­ствием двух различных напряжений, имеющих постоянную ориенти­ровку по отношению к рассматриваемому сечению. Одно из них, на­правленное перпендикулярно (по нормали) к сечению, называется нормальным напряжением ; второе, лежащее в плоскости сечения,- касательным или тангенциальным напряжением т.

Величина нормального и касательного действия одной силы легко определяется геометрически из прямоугольных треугольников, составляющих параллелограмм векторов напряжений:

- нормальное напряжение

.г, = ,т.. coso' = ocosor; (26)- касательное напряжение

г = о.,, sin а = о cos ir sin гг = — sin 2гг. (27)

Подставляя в уравнения (26) и (27) различные значения угла о, можно составить представление о напряженном состоянии в точке по любому направлению.

При а = 0, т.е. на площадке, перпендикулярной к действующе­му усилию (cos а = 1; sin а = 0 ):

(а„ )0 = а; (г)0 = 0,что соответствует рассмотренному ранее простейшему случаю учета напряжений.

При а = -, когда сечение направлено параллельно действую­щему усилию и отделяет друг от друга продольные волокна материа­ла (cos а = 0 ; sin а = 1):

т. е. между продольными волокнами материала никакого взаимодей­ствия не возникает, и каждое из этих волокон работает самостоя­тельно.

72

Нормальное напряжение ап приобретает наибольшее значение при cos а = 1, т. е. когда а = 0 (см. рассмотренный ранее случай на­пряжений в сечении, перпендикулярном к продольной силе). В этом сечении г0 = 0 .

Касательное напряжение т приобретает наибольшее значение при sm 2а = I, т. е. при 2а = - и а =

2 4

Соответствующее (наибольшее) значение касательного напря­жения из уравнения (27):

_ _ а

Направление и характер действия нормальных и касательных напряжений можно особенно ясно видеть, если выделить в сжи­маемом или растягиваемом теле двумя бесконечно близкими друг к другу наклонными параллельными сечениями тонкий слой мате­риала и отбросить остальные части тела, заменив их действие на вы­деленный наклонный слой векторами нормальных и касательных на­пряжений (рис. 34). При этом легко видеть, что нормальные напря­жения стремятся сблизить или раздвинуть соседние сечения, а каса­тельные напряжения - сдвинуть их друг относительно друга по направлению самих сечений.

Рис. 34. Внутренние напряжения в бесконечно тонком слое

По уравнениям (26) и (27) легко можно переходить от одного наклонного сечения к другому, меняя в них лишь величину угла а.

73

Интересен, в частности, переход от любого наклонного сечения к другому, перпендикулярному к нему сечению. Для этого перехода нужно в формулы (26) и (27) вместо угла а, определяющего наклонсечения I—I, подставить угол у + а, определяющий наклон перпен­дикулярного к нему сечения II—II (рис. 35). Так как

sin ( а cos о ; cos (г+«) = - sisrn o',то нормальное напряжение на этом новом сечении будет:

ап — ( j c o s ' (i ,а касательное:

т' = - sin 2 Г— ч- o') = - s in (л +2 \2 / 2 = — - Sill 2

Очевидно, что во всех случаях

(26')

(27')

(28)t г -|- т' = 0 ’

т. е. сумма нормальных напряжений в точке на любых двух взаимно перпендикулярных сечениях постоянна и равна наибольшему нор­мальному напряжению, имеющему место в сечении, перпендикуляр­ном к направлению продольной силы, а сумма касательных напряже­ний на этих же сечениях равна нулю.

Рис. 35. Напряжения на взаимно перпендикулярных площадках

74

Пользуясь формулами (26) и (27) и (26') и (27'), легко можно вы­разить напряжение на любом сечении для случая одновременного действия на тело двух взаимно перпендикулярных сил. Если, напри­мер, представить себе приложенной к телу, кроме уже знакомой про­дольной силы, действующей по направлению координатной оси Z, еще другую силу, действующую по направлению координатной оси X, то напряжение на любом наклонном сечении выразится суммой напряжений, вызываемых на ней каждой из действующих сил в от­дельности. При этом напряжения, вызванные силой, действующей по направлению оси Z, выразятся, как обычно, формулами (26) и (27), а напряжения, вызванные силой, действующей по направлению оси X, - формулами (26’) и (27’), так как перпендикуляр к этой силе образует с исследуемым наклонным сечением угол а.

Продольные силы, действующие по направлению координатных осей Z и X, количественно определяются напряжением, вызываемым каждой из этих сил на сечении, перпендикулярном к ее направлению. Обозначая эти напряжения соответственно через oz и ах, можновыразить напряжения, действующие на любом наклонном сечении (рис. 36):

- нормальное напряжение= ,-.j_ cos“ cr -ь o. siirtr; (29)

- касательное напряжениеfOT -7■ _ _ О" у . _ СХ т О" -у. . _ , _ _ ч

. (30)2 2 2 v 7

Рис. 36. Действие двух взаимно перпендикулярных напряжений

75

Полученные выражения для нормальных и касательных напря­жений очень важны, так как они могут быть применены к общему случаю действия на тело любого числа разнообразно направленных сил, лежащих в плоскости координатных осей ZX.

Известно, что любую силу, действующую в плоскости, можно представить в виде двух проекций ее на оси любой прямоугольной системы координат Z и X и момента этой силы относительно начала координат (оси У). Выбрав начало координат на направлении равно­действующей всех сил, можно избавиться от необходимости учиты­вать вращающий момент и выразить каждую силу в виде двух ее про­екций на координатные оси Z и X.

Суммируя далее все проекции на каждую из двух координатных осей, можно любую систему сил заменить действием двух сил, пред­ставляющих собой суммы проекций всех сил на координатные оси Z и Х.

Из формулы (30) очевидно, что наибольшее касательное напря­жение всегда будет возникать при sin 2 а= 1, т. е. при

Что касается нормального напряжения, то для выяснения угла, соответствующего его наибольшему значению, необходимо проана­лизировать функцию уравнения (29) общим математическим мето­дом, составив уравнение —- = 0 и решив его относительно Неизвест­на'НО ГО от.

d acos а * sin ос + sin гг * cos о' - 0 ,

или(,г_ — ,-.г. )sin о' *coso' = ' ~ ' " sin2а = г = 0 . (31)

Из уравнения (31), прежде всего, видно, что критическое нор­мальное напряжение возникает в том сечении, для которого касатель­ное напряжение равно нулю.

Решение уравнения (31) относительно а указывает, что нор­мальное напряжение имеет два критических значения:

От = причем (о-„) = <7Х,а 2 = 0 , причем (сгл) = а2.

В обоих случаях касательное напряжение равно нулю.

76

Наибольшее нормальное напряжение получится в сечении, пер­пендикулярном к тому из действующих напряжений (о, или а, ), ко­торое само является наибольшим.

Принципиальная сторона этих рассуждений может быть с пол­ным основанием перенесена и на более сложный, пространственный случай, когда система действующих сил не ограничивается силами, лежащими в одной координатной плоскости ZX. В этом случае каж­дая сила проецируется уже не на две, а на три координатные оси, сум­мирование проекций дает три суммы (2 Z, 2 У, 2 -Ю и тело находится под действием трех взаимно перпендикулярных напряжений (az, <jv и о-,) (рис. 37).

Рис. 3 7. Действие трех взаимно перпендикулярных напряжений

Положение каждого сечения в данном случае определяется те­лесными углами наклона его по отношению к двум координатным плоскостям (XZ и YZ). Соответственно, более сложными становятся и формулы для вычисления нормальных и касательных напряжений. Этот случай является наиболее общим случаем напряженного состоя­ния материала в условиях сжатия (или растяжения). К нему приво­дится действие на тело любой системы сил, не содержащей в себе вращающих моментов.

Из анализа напряженного состояния сплошной системы под действием любых сжимающих (или растягивающих) сил видно, что в каждом теле найдены такие нормальные напряжения, которые яв­ляются критическими (наибольшими или наименьшими) по отноше­нию к нормальным напряжениям, действующим на близких сечениях. Из уравнения (31) видно, что таких напряжений в плоской задаче все­гда может быть найдено два и что оба эти напряжения относятся

77

к двум взаимно перпендикулярным сечениям. В пространственной задаче таких напряжений оказывается три, и действуют они на трех взаимно перпендикулярных сечениях. Эти напряжения имеют боль­шое значение в теории напряженного состояния и называются глав­ные напряжения.

На сечениях, соответствующих главным напряжениям, касате­льные напряжения равны нулю, что и служит основным признаком для нахождения сечений, находящихся под действием главных на­пряжений. Главные напряжения обозначены как az или а, , так какнаправления осей координат совпадают с направлением главных на­пряжений.

При <тг=ах уравнение (31) превращается в тождество, касатель­ные напряжения становятся равными нулю при любом значении угла <х и за главные напряжения может быть принята любая пара нормальных напряжений, действующих на взаимно перпендикуляр­ных сечениях. В этом случае все нормальные напряжения при любом угле а равны между собой, так как при oz=ox

2 I - 2 .

3.10. Прочность сплошных систем

Деформации сплошных систем заключаются в перегруппировке материальных частиц без нарушения общего представления о сплош­ности структуры материала. Некоторое изменение характера внут­ренних связей при переходе к пластическим деформациям не нару­шает представления сплошности. Способность сплошной системы сохранять свою сплошность при деформациях характеризует ее проч­ность. Сплошность сохраняется до тех пор, пока не нарушается це­лость связей, существующих между материальными частицами сплошной системы.

При продолжающемся повышении напряжения связи между ма­териальными частицами не могут безгранично сохраняться, причем объединенные этими связями материальные частицы начинают отде­ляться друг от друга, и сплошная система перестает существовать. Этот момент следует считать моментом разрушения сплошной сис­темы.

78

Напряжение, соответствующее моменту разрушения при про­дольном действии силы, носит название предела прочности. На диа­грамме относительных деформаций сжатия (или растяжения) предел прочности выражается наибольшей ординатой, предшествующей мо­менту разрушения (рис. 38). Переход от пластических деформаций к моменту разрушения происходит при некотором повышении сопро­тивляемости материала, определяемой окончанием формирования его новой структуры. Этот переход у материалов, обладающих прочной структурой, происходит с образованием перелома кривой в конце пе­риода текучести, а у других - с менее прочной структурой - путем постепенного нарастания пластических деформаций.

Рис. 38. Предел прочности материала

Разрушение сплошной системы не сопровождается однов­ременным нарушением связей во всей ее массе. Всегда обнаружива­ется наиболее слабая точка, в которой нарушение связей происходит раньше всего. При этом усилие, передаваемое через начавшие разру­шаться связи, переходит на соседние связи, которые оказываются пе­регруженными и, в свою очередь, быстро разрушаются. Таким обра­зом, разрушение происходит в наиболее слабом месте сплошной сис­темы.

В случае разрушения материала путем растяжения начавшееся где-то нарушение одних и перегрузка других связей выражается в об­разовании местного сужения (так называемой шейки), на котором и сосредоточивается вся последующая часть деформации вплоть до

79

момента разрушения. После появления первых признаков разрушения оно продолжается без существенного роста растягивающего усилия.

Разрушение материала путем сжатия, принципиально отличаю­щееся от растяжения только знаком действующего усилия, имеет в то же время следующие особенности, существенно влияющие на харак­тер разрушения:

1) Сжатию не могут быть подвергнуты тела большой длины во избежание искривления их при сжатии. Это не позволяет рассчиты­вать на равномерное распределение усилия по сечению и делает воз­можным перенапряжение материала в отдельных точках уже в на­чальный период деформации.

2) Нарушение связи между двумя материальными точками мо­жет еще не вызвать потери сопротивления, так как нормальное уси­лие при сжатии передается от частицы к частице путем непосредст­венного прилегания, независимо от наличия между ними механиче­ских связей.

3) Поперечная деформация сжимаемого тела, выражающаяся в увеличении площади его поперечного сечения, уменьшает напря­жение при одном и том же усилии, вследствие чего для разрушения требуется постоянное увеличение усилия.

4) Сжатие тела между сближающимися плоскостями пресса за­жимает неподвижно его концевые части, лишая их возможности сво­бодно следовать закону поперечной деформации. Поэтому попереч­ная деформация тела сосредоточивается только в средней части тела, причем тело перед разрушением приобретает форму бочки (рис. 39).

Рис. 39. «Бочка» при сжатии

Все эти особенности, естественно, затрудняют фиксацию мо­мента начала разрушения. Поэтому для тех материалов, которые

80

не могут быть испытаны на растяжение (сюда относятся все хрупкие материалы с неоднородной структурой, в том числе и грунты), предел прочности на сжатие приходится определять с известной условно­стью, фиксируя момент полного разрушения и относя соответствую­щее усилие к первоначальной (неискаженной) площади поперечного сечения.

Наблюдение за характером разрушения материала при сжатии показывает, что процесс разрушения связан с действием касательных напряжений.

Это видно из того, что разрушение происходит путем выкалы­вания боковых частей по наклонным поверхностям (рис. 40).

Рис. 40. Характер разрушения хрупких материалов при сжатии

Прочность сжимаемого или растягиваемого материала вполне определяется пределом пропорциональности и пределом прочности в случае деформации тела одной продольной силой. Большей частью, однако, деформации происходят в условиях действия более сложной системы сил, когда напряженное состояние создается в результате суммирования напряжений от двух или трех взаимно перпендикуляр­ных усилий. В этих случаях понятия о пределе пропорциональности, критической точке и пределе прочности не могут быть приложены непосредственно, так как поведение материала зависит не только от величины каждого из главных напряжений (егг, сгу и стл.), но и от соот­ношений между ними. Не представляется возможным в этих случаях также построение диаграммы деформаций, так как деформация уже не является функцией одного независимого переменного.

Суждение о прочности такой сплошной системы может быть получено лишь косвенно, из данных испытаний материала на сжатие

81

(или растяжение) одной продольной силой, с переносом этих данных на более сложные случаи деформаций. Этот перенос будет возможен только в том случае, если будет принята некоторая гипотеза прочно­сти материала, допускающая применение этого понятия ко всем воз­можным случаям действия сил.

Разнообразие материалов, подвергающихся деформациям, и зат­руднительность экспериментального исследования внутренних про­цессов, связанных с деформациями и разрушением сплошных систем, не позволяют до сего времени считать какую-либо одну гипотезу прочности настолько проверенной, чтобы довести ее до уровня тео­рии, охватывающей все материалы и все случаи напряженного со­стояния. Из большого числа существующих гипотез прочности за­служивают рассмотрения три основные гипотезы, применение кото­рых в известных случаях имеет значение для грунтов, отличающихся, при трактовке их как сплошных систем, в общем незначительной прочностью связей между частицами и неоднородной структурой.

Гипотеза наибольших нормальных напряжений предполагает, что прочность сплошной системы определяется наибольшей величи­ной нормальных напряжений, действующих на нее в момент разру­шения и во всех случаях, когда наибольшие нормальные напряжения одинаковы, системы одного и того же качества могут считаться рав­нопрочными. Эта гипотеза в ее общей формулировке легко опровер­гается опытом. Известно, например, что введение относительно не­больших боковых сжимающих усилий увеличивает прочность сжи­маемого материала, ограничивая его поперечную деформацию. В то же время наибольшее нормальное напряжение остается без измене­ния, так как наличие поперечного усилия не оказывает влияния на ве­личину этого усилия.

Гипотеза наибольших нормальных напряжений может быть от­части использована для сравнительного рассмотрения влияния раз­личных условий деформации при постоянном соотношении между главными напряжениями. Сжатие грунтов при наличии бокового рас­пора представляет собой именно такой случай постоянного соотно­шения главных напряжений.

Гипотеза деформаций предполагает, что прочность сплошной системы определяется той деформацией, которая возникает в ней в момент разрушения при действии любой системы сил, и что во всех случаях, когда материал получает одну и ту же деформацию, он мо­жет считаться равнопрочным.

82

Эта гипотеза лучше согласуется с данными опыта. Боковые уси­лия, согласно этой гипотезе, не остаются без влияния на прочность

Т Т w W С*материала. Например, тело, сжимаемое одной силон, действующей пор

направлению координатной оси Z (напряжение о = -), и тело, сжи­маемое по трем взаимно перпендикулярным направлениям (главные напряжения az , ау и <х,), могут считаться равнопрочными только приусловии равенства деформаций по направлению оси Z. В пределах пропорциональности это требование выражается следующим услови­ем (согласно закону Гука):

или

,г = ,т_ - {,, + ,г. }. (32)Очевидно, что если

(о-, 4 - а у ) > О,

т. е. если сумма поперечных напряжений имеет тот же знак, что и продольные напряжения (оу), то

О- О,т.е. материал в состоянии нести большее напряжение, сохраняя ту же прочность.

Для грунтов эта гипотеза может иметь значение при сравни­тельной оценке условий прочности. В частности, применение этой гипотезы при повторных нагрузках, когда накопление деформации происходит постепенно за счет ее неупругой (остаточной) части.

Гипотеза наибольших касательных напряжений, наиболее ши­роко подтвержденная опытом, предполагает, что прочность сплош­ной системы определяется наибольшей величиной возникающих в момент разрушения касательных напряжений и что материал может считаться равнопрочным только в тех случаях, когда величина на­пряжений оказывается в нем одинаковой.

Касательное напряжение, как известно, определяется по фор­муле

2

83

Наибольшие значения эти напряжения получают при а0 = -' 4При этом необходимо предположить, что oz является наибольшим, a (Jr наименьшим из трех действующих главных напряжений:

<Т- =' Г..В противном случае разность {о2 - ох ) не будет наибольшей

и должна быть заменена разностью других главных напряжений.Тело, сжимаемое одной продольной силой (az= a; <jv = ах = 0),

имеет наибольшее касательное напряжение

Тело, сжимаемое тремя взаимно перпендикулярными напряже­ниями (az , а,- и о ), имеет наибольшее касательное напряжение

2

Условие равнопрочности материала, выражаемое по данной ги­потезе равенством наибольших касательных напряжений, записыва­ется следующим образом:

или2

| J , Jr |J ■ •Очевидно, что при ах > 0, т. е. при знаке наименьшего бокового

напряжения, одинаковом со знаком продольных напряжений oz,• Т- ■■ о.

т. е. материал может вынести большее напряжение, сохраняя ту же прочность.

Условия прочности грунтов, рассматриваемых как сплошные системы, удовлетворительно объясняются гипотезой наибольших ка­сательных напряжений. Явления, наблюдаемые при разрушении сплошных систем (выкрашивающиеся бока при сжатии), также сви­детельствуют о решающей роли касательных напряжений.

С точки зрения этой гипотезы некоторое суждение о прочности материала может быть выведено из рассмотрения эллипса напряже­ний и кругового графика, дающих комплексное представление о на­пряженном состоянии.

84

Разность главных напряжений (од - од), определяющая величи­ну наибольших касательных напряжений, отражается на форме эл­липса напряжений. Меньшую прочность (при однозначном эллипсе) имеют тела, напряженное состояние которых выражается эллипсом с большой разностью между полуосями (сплющенный эллипс). Более прочны тела, напряженное состояние которых выражается эллипсом, приближающимся по форме к кругу (малая разность между полуося­ми). При превращении эллипса напряжений в круг (равенство глав­ных напряжений) тело должно иметь бесконечно большую проч­ность, так как касательные напряжения полностью отсутствуют.

Последний вывод представляется вполне обоснованным для случая равномерного всестороннего сжатия (од = ау = од ),

но применение его к аналогичному случаю растяжения (всесторонне­го), когда разрушение является вполне вероятным, показывает, что разрушение может происходить и без участия касательных напряже­ний. Это свидетельствует о том, что гипотеза наибольших касатель­ных напряжений уже не является универсальной и не исключает необходимости применения в известных случаях других гипотез прочности.

На круговом графике разность главных напряжений (од — од)выражает собой диаметр круга. Поэтому те случаи, в которых напря­женное состояние материала выражается круговым графиком боль­шего диаметра, являются более опасными с точки зрения прочности материала.

Какая бы гипотеза прочности ни была применена, материал в сооружениях никогда не должен быть доведен до разрушения и да­же до сколько-нибудь значительных деформаций. Напряжения, кото­рые признаются безопасными для целости материала как сплошной системы и могут быть свободно допущены в сооружениях, называют­ся допускаемые напряжения. Обычно допускаемое напряжение на­значается исходя из деформируемости материала при простом сжатии (или растяжении, если в сооружении используется сопротивление этому виду деформаций) и находится в пределах пропорционально­сти (с известным запасом). Впрочем, для грунтов, как легко деформи­руемых материалов, работающих в условиях стационарных нагрузок, этот предел может быть и превышен.

Остановившись на некотором значении допускаемого напряже­ния при простом сжатии г, можно перейти к назначению безопасных

85

нагрузок для любых конкретных случаев, пользуясь соответствую­щей гипотезой прочности и переходными формулами (31) и (32).

Таким же способом можно перейти к назначению допускаемых напряжений для случая чистого сдвига гг, имея в виду, что это соот­ветствует деформации тела двумя взаимно перпендикулярными на­пряжениями (<т2 и ох ), причем ох = — az= т.

Гипотеза напряжений в данном случае применена быть не мо­жет, поскольку она совершенно не учитывает боковых напряжений.

По гипотезе деформаций, подставляя в формулу (31) значения— f, (Ту — 0 , Oz — @х ~ П?

можно получитьг= I,

илиг

Это значение в зависимости от величины коэффициента попе­речной деформации колеблется от тг = г (для ц = 0 ) до тг = 0,67г(для /( = 0,5).

При среднем значении ц = -.

По гипотезе наибольших касательных напряжений допускаемое напряжение сдвига получится независимым от коэффициента попе­речной деформации путем подстановки в формулу (32) значений

О f , (Jx (JZ Г, .

При этой подстановкег = 2 г„

илиг;. = 0,5,''.

Ввиду большего запаса, содержащегося в последнем соотноше­нии, оно обычно используется при практическом назначении допус­каемых напряжений на сдвиг.

3.11. Сложные случаи деформаций

Рассмотренные выше деформации сжатия и сдвига являются ос­новными видами деформаций, которым подвергаются грунты в есте­

86

ственном залегании или при использовании их в сооружениях. Де­формации, связанные с вращающим действием сил (кручение и из­гиб), в грунтах не встречаются. Возможны, однако, случаи, когда оп­ределенный вид вращающего действия возникает попутно, вслед­ствие некоторых особенностей приложения основных сил, в резуль­тате чего приходится иметь дело с совместным проявлением различ­ных видов деформаций.

В этих случаях решение задачи производится методом расчле­нения сложных деформаций на элементарные их виды. При этом происходит разделение действующих сил на группы, соответст­вующие элементарным видам деформаций.

Для каждого элементарного вида деформаций могут быть рас­считаны напряжения, возникающие в различных сечениях тела. Пользуясь принятым в механике принципом независимости действия сил, можно затем перейти к суммированию напряжений, возникаю­щих от различных силовых воздействий, и по результатам суммиро­вания судить о напряженном состоянии материала в действительных условиях его работы.

В условиях передачи нагрузок на грунты большей частью анали­зируются весьма протяженные объекты (естественные и искусствен­ные склоны, насыпи, русла водотоков и пр.), в которых условия рав­новесия оказываются одинаковыми в различных поперечных сечени­ях. Вращательные движения возможны в этом случае только в плос­кости поперечного сечения, причем результатом этого движения является искажение сечения в его собственной плоскости, т. е. де­формация изгиба.

Таким образом, деформация изгиба хотя и не встречается в грунтах в чистом виде, но может играть заметную роль в сложных деформациях грунтовых сооружений и потому заслуживает рассмот­рения с теоретической стороны.

Следует также отметить, что теория изгиба имеет значение и для ряда вспомогательных сооружений, связанных с использованием грунтов (устройство перемычек, крепление стен котлованов и пр.).

3.12. Деформация изгиба

Всякое вращающее действие, как известно, вызывается вра­щающим моментом. В случае изгиба вращающий момент М действу­ет в плоскости оси тела и, естественно, вызывает искривление всех

87

волокон, параллельных оси. При этом искривление отдельных воло­кон происходит не независимо друг от друга, поскольку все волокна образуют сплошную систему, связаны между собой и совместно вос­принимают вращающий момент. При совместном искривлении всех волокон они не могут сохранить свою прежнюю длину и получают изменение длины в виде удлинения отдельных волокон.

Описанный характер деформации изгиба приводит к мысли о том, что волокна, лежащие ближе к выпуклой стороне изогнутого тела, оказываются в результате деформации изгиба растянутыми, а волокна, лежащие ближе к вогнутой стороне изогнутого тела, - сжа­тыми. Напряжения этих двух групп волокон имеют, естественно, раз­личные знаки.

При наличии сплошной связи между волокнами изгибаемого те­ла переход от сжатых волокон к растянутым возможен только путем изменения знака напряжения, т. е. путем перехода напряжения через нуль (рис. 41). Очевидно, что в месте изменения знака напряжений существует один переходный слой волокон, который не испытывает никаких напряжений. Этот слой как бы не участвует в изменении длин, являясь лишь пограничным между растянутыми и сжатыми волокнами. Поэтому он называется нейтральный слой.

Рис. 41. Сжатая и растянутая зоны при изгибе

Существование зоны сжатых волокон в изгибаемом теле может быть прослежено на простом опыте. Последний заключается в уст­ройстве прорезей в вогнутой части изгибаемого тела с последующей забивкой их пробками из того же материала (рис. 42). При этом во­локна после забивки прорезей могут передавать только напряжения сжатия, а никак не напряжения растяжения. Опыт показывает, что устройство прорезей описанного типа не нарушает общей сопротив­ляемости тела изгибу, что и убеждает в существовании в нем зоны сжатых волокон.

88

В теле, испытывающем деформацию изгиба, возникают не толь­ко деформации растяжения и сжатия отдельных волокон, но и дефор­мации сдвига. Об этом свидетельствует тот факт, что волокна мате­риала, не теряя связи друг с другом, получают различные по величине продольные деформации (растяжения или сжатия).

Рис. 42. Опыт, доказывающий наличие сжатой зоны при изгибе

При этом некоторое смещение волокон друг относительно друга является необходимым, если только сама деформация изгиба не вызвана поворотом концов тела приложенными извне момен­тами (рис. 43).

Рис. 43. Гипотеза плоских сечений при чистом изгибе

В последнем случае различие продольных напряжений в сосед­них волокнах уравновешивается приложенными на концах момента­ми, и смещения волокон друг относительно друга (сдвигов) не проис­ходит. Подобный случай изгиба, при котором деформация ограничи­вается растяжением и сжатием волокон без каких-либо деформаций сдвига, носит название чистого изгиба.

При деформации чистого изгиба концевые сечения повора­чиваются, сохраняя свою плоскую форму, под действием внешних вращающих моментов. Естественно заключить, что при отсутствии сдвигов волокон все поперечные сечения также остаются плоскими и только наклоняются друг относительно друга в соответствии с по­

89

воротом концевых сечений. Это заключение называется гипотезой плоских сечений, являющейся принадлежностью чистого изгиба.

В других случаях изгиба, когда сдвиг волокон друг относитель­но друга не исключен, поперечные сечения не могут оставаться пло­скими и искривляются в направлении сдвигов (рис. 44). Это искрив­ление будет равно нулю на крайних слоях волокон, не имеющих сна­ружи соседних слоев, и будет наибольшим у нейтрального слоя, у ко­торого происходит перемена знака продольного напряжения.

Рис. 44. Искривление поперечного сечения при наличии касательных напряжений

Значение деформаций сдвига волокон легко видеть, наблюдая деформацию пакета досок по сравнению с деформацией целого бруса (рис. 45).

Рис. 45. Изгиб пакета досок и целого бруса

90

В пакете досок сделанные пропилы уничтожают связь между соседними волокнами, сдвиги оказываются возможными и легко на­блюдаются со стороны по смещению концов досок и искажению по­перечных сечений. В целом брусе связь между соседними волокнами остается ненарушенной, сдвиги волокон ограничиваются деформи­руемостью этих связей и выражаются лишь в небольшом искривле­нии поперечных сечений, почти не замечаемом со стороны.

3.13. Напряжения изгиба

Известно, что деформация изгиба происходит в тех случаях, ко­гда система действующих сил при их суммировании приводится не только к равнодействующей силе, но и к вращающему моменту, дей­ствующему в плоскости, проходящей через ось деформируемого тела. В связи с этим внутренние силы, действующие на каком-либо вооб­ражаемом сечении внутри тела, и уравновешивающие действия внешних сил должны приводиться к двум силовым воздействиям - равнодействующей силе и вращающему моменту.

Наличие этих двух видов внутренних сил наглядно обнаружи­вается из рассмотрения какого-либо сечения изгибаемого тела. Про­ще всего представить себе это тело лежащим на двух опорах А и В и нагруженным вертикальной силой Р (рис. 46). Действие опор А и В при этом заменяется реактивными силами RA и RB.

Рис. 46. Балка на двух опорах

В любом вертикальном сечении, проведенном на расстоянии х от левой опоры и находящемся в промежутке до точки приложения вертикальной силы, можно, не меняя условий равновесия, приложить любую систему взаимно уравновешивающих сил. Если, в частности, приложить к центру этого сечения две вертикальные силы, равные каждая реактивной силе RA, но направленные в противоположные

91

стороны, то равновесие конструкции (балки) не нарушится. Эти вновь приложенные силы можно рассмотреть совместно с силой RA и убе­диться, что сила Ra вместе с той из вновь приложенных сил, которая направлена вниз, образует пару сил с моментом

м , = RAа оставшаяся сила, направленная вверх, представляет собой дейст­вующую в данном сечении равнодействующую силу

Qx = Ra-Применяя такое рассуждение к любому сечению балки, можно

заметить, что в каждом сечении действуют:1) момент внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения,

стремящийся повернуть сечение по своему направлению;2 ) равнодействующая сила, лежащая в плоскости сечения (по­

перек оси) и стремящаяся перерезать продольные волокна тела.Момент, действующий в сечении изгибаемого тела, носит на­

звание изгибающего момента М. Равнодействующая сила, лежащая в плоскости сечения изгибаемого тела, называется поперечная или перерезывающая сила Q.

Изгибающий момент равен в общем случае сумме моментов всех внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения относитель­но центра этого сечения.

Поперечная сила равна сумме всех внешних сил, лежащих по одну сторону от данного сечения.

Изгибающий момент и поперечная сила, созданные внешними силами, лежащими по одну сторону сечения, уравновешиваются из­гибающим моментом и поперечной силой обратного направления, созданными внешними силами, лежащими с другой стороны сечения. Поэтому расчет величины изгибающего момента и поперечной силы может вестись как с одной, так и с другой стороны сечения. Необхо­димо лишь иметь в виду разницу знаков, получаемую при переходе от одного конца конструкции к другому.

Применяя к изгибаемой конструкции принцип воображаемых сечений, можно вычислить для любого сечения момент внутренних сил, который, очевидно, будет равен изгибающему моменту, и равно­действующую внутренних сил, которая будет равна поперечной силе.

92

Для любого сечения с абсциссой х (рис. 47) изгибающий момент может быть в общем виде выражен равенством

(My)x = ZPa, (33)где Р - общее обозначение всех сил (P j, Р2, Р3 и т. д., включая опорные реакции);

а - общее обозначение плеч этих сил относительно рассматри­ваемого сечения (а1, а2, а3 и т. д.).

Поперечная сила для этого же сечения выражается равенством

Qx = Е р. (34)

Рис. 4 7. Переход к бесконечно близкому сечению в балке на двух опорах

Если сечение с абсциссой х переместить несколько дальше и дать абсциссе бесконечно малое приращение dx, то все плечи мо­ментов сил также получат приращение dx, и для сечения с абсциссой (х +dx) изгибающий момент будет равен:

(Му\ х + dx) = (Му)х+ dM= 2 Р (а + dx). (33')В то же время поперечная сила Qx остается без изменений

(предполагается, что на участке приращения абсциссы dx не прило­жено никаких сил).

Происшедшее при смещении сечения приращение изгибающего момента dM оказывается равным:

dM — (Му\ х + jX) — (Му)х - 2или, принимая во внимание (34):

dM = Qx *dx,

93

откудаd М

d х Qx (35)Таким образом, поперечная сила может рассматриваться как

производная функция изгибающего момента по длине балки.Основываясь на общем правиле нахождения критических значе­

ний функции, можно утверждать, что критические значения изги­бающего момента (наибольшие и наименьшие) возникают в тех точ­ках по длине балки, в которых поперечная сила (производная функ­ция) переходит через нуль (меняет знак).

Переменное значение изгибающего момента и поперечной силы по длине балки может быть выражено построением так называемых эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов представляют собой условные чертежи, на которых значения переменных величин отложены в условном масштабе поперек линейного масштаба длины балки. Построение та­ких эпюр с помощью уравнений (33) и (34) всегда представляется возможным.

Для примера на рис. 48 показаны эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки на двух опорах, нагруженной двумя оди­наковыми силами на свешивающихся концах.

Рис. 48. Эпюра моментов и поперечных сил для симметричной консольной балки

В этом случае средняя часть балки изгибается постоянным изги­бающим моментом и, как это следует из уравнения (35), не находится

94

под действием поперечных сил. Это соответствует рассмотренному выше случаю отсутствия в изгибаемом теле деформации сдвига, т.е. случаю чистого изгиба. Чистый изгиб, таким образом, может быть охарактеризован как деформация, происходящая под действием постоянного изгибающего момента (М = const) и при отсутствии по­перечных сил (Q = 0).

Деформация чистого изгиба, как указано выше, заключается в искривлении оси изгибаемого тела с продольной деформацией про­дольных волокон и с перекашиванием поперечных сечений, сохра­няющих свою плоскую форму. Исходя из этого определения, можно представить себе некоторую часть изгибаемого тела, ограниченную двумя произвольно взятыми поперечными сечениями I—I и II—II и имеющую длину L (рис. 49), изогнутой постоянным изгибающим моментом (чистый изгиб).

Рис. 49. Деформация чистого изгиба

При этом волокна нейтрального слоя сохранят свою первона­чальную длину, но получат искривление и превратятся из прямых в кривые, которые при небольшой длине рассматриваемой части тела можно принять за дугу круга радиусом р. Концевые поперечные се­чения рассматриваемой части тела, сохраняя перпендикулярность к изогнутому нейтральному слою, устанавливаются по радиусам дуги круга и образуют друг с другом угол а, являющийся центральным уг­лом этой дуги. Угол а выражает, таким образом, угловой перекос од­ного из концевых сечений II—II относительно своего первоначально-

95

го положения (если принять, что первое концевое сечение I—I закре­плено и не поворачивается). Длина изогнутого тела L при этом может быть представлена как дуга круга радиусом р, соответствующая цен­тральному углу а (дуга равна радиусу, умноженному на угол, выра­женный в радианах):

L= p-a. (36)

Все остальные волокна (кроме волокон нейтрального слоя) по­лучают продольную деформацию (растяжения или сжатия) различной величины. Для любого из волокон, отстоящего на расстоянии z от нейтрального слоя, абсолютная продольная деформация 1 может быть, в свою очередь, выражена как дуга круга, описанного радиу­сом z, соответствующая центральному углу а\

Х = z а. (37)Из выражений (36) и (37) легко вывести значение относительной

деформации данного волокна 8 :

■ (38)i оПредполагая, что деформации волокон происходят в пределах

пропорциональности, можно применить закон Гука для нахождения напряжения в данном волокне:

®х = (39)

Напряженное состояние волокон, отстоящих на расстоянии z отнейтрального слоя, создает элементарное усилие, равное

= <т.Ez

Р(40)

где - площадь поперечного сечения волокон, отстоящих на рас­стоянии 2 от нейтрального слоя (рис. 50).

Такие элементарные усилия могут быть подсчитаны для всех волокон, перерезаемых поперечным сечением.

Вращение поперечного сечения происходит за счет вращающего действия этих элементарных усилий, причем осью вращения является

96

нейтральный слои, на котором никаких деформации и смещении не отмечается. Плечом действия каждого элементарного усилия dP яв­ляется расстояние волокна до нейтральной оси (оси вращения) z.

Рис. 50. Элементарная площадка в сечении изгибаемого тела

Соответствующий элементарный момент с учетом формулы (40) равен:

Т . (41)= ZР

Сумма (интеграл) этих элементарных моментов, взятая по всему поперечному сечению, составит полный момент внутренних сил М, который является реакцией внешнего воздействия, выраженной изги­бающим моментом, т. е. равен ему по величине, но противоположен по знаку. Поэтому

или, вынося за знак интеграла постоянные величины Е й р,

(42)

. (42')

Определяя из этого выражения значение кривизны изогнутойоси:

1 _ м Р E f F z ~ dF

(43)

и подставляя это значение в общую формулу для напряжения (39), получим

MzfF г-dF

(44)

97

Интеграл )f z: dF представляет собой чисто геометрическуювеличину, в которую входят только элементы площади поперечного сечения и расстояния волокон до нейтральной оси. В связи с этим можно отметить, что полученное значение напряжения изгиба совер­шенно не связано с качеством материала и зависит только от внешних сил и геометрических величин, наподобие ранее рассмотренных вы­ражений для напряжений растяжения и сжатия.

Полученные напряжения относятся к растяжению или сжатию волокон материала и с точки зрения деформации растяжения и сжа­тия являются нормальными напряжениями этих волокон, действую­щими по сечению, перпендикулярному к оси изгибаемого тела. По­этому они должны быть названы нормальными напряжениями изгиба.

Геометрической величине, выраженной интегралом Г z2 dF,обычно дается своеобразная трактовка, основанная на аналогии его с физическим понятием момента инерции. Произведение массы фи­зического тела на квадрат расстояния центра тяжести его до оси враще­ния, как известно, носит название момента инерции тела I. Для тела, со­стоящего из элементарных масс dm, момент инерции выражается ин­тегралом элементарных моментов, взятых по всей массе тела:

/= z2 dm, (45)где z - расстояние каждой элементарной массы до оси вращения.

Интеграл § z 2 dF отличается от интеграла уравнения (45) толь­ко тем, что в него вместо элементарных масс dm введены элементар­ные площадки dF и весь интеграл отнесен не к массе тела, а к площади его поперечного сечения. При этом «осью вращения» служит линия нейтрального слоя в поперечном сечении тела (так на­зываемая нейтральная линия) (рис. 51), от которой отсчитываются ординаты z отдельных волокон.

Используя это внешнее сходство, можно ввести условное поня­тие момента инерции площади поперечного сечения:

/ = j F z 2 dF. (46)Введение этого понятия позволяет перенести в данную область

разработанную в механике теорию моментов инерции и тем облег­чить получение численных значений величин. Момент инерции пло-

98

4 2 2щади представляет собой величину, измеряемую в см (см х см ). Это наименование является чисто условным (так же как и само понятие о моменте инерции площадей) и физического смысла не имеет.

Рис. 51. Вычисление момента инерции прямоугольного сечения

Пользуясь вновь введенным понятием момента инерции попе­речного сечения относительно нейтральной линии, можно формулу для подсчета нормальных напряжений изгиба представить в следую­щем виде:

аXМ г

I ' (44')Для простых по форме поперечных сечений момент инерции

подсчитывается довольно легко. Так, например, для прямоугольного сечения шириной b и высотой h элементарную площадку dF удобно выразить в виде узкой полосы, занимающей всю ширину сечения b, имеющей бесконечно малый размер по высоте dz и отстоящей на рас­стояние z от нейтральной линии.

Площадь этой полосы составит величину dF = bdz, а элементар­ный момент инерции ее

dI = z2bdz. (47)Произведя суммирование (интегрирование) этих элементарных

моментов инерции по всей площади сечения, получим полный мо­мент инерции 1п прямоугольного сечения:

In = j; (48)

99

Вынося постоянную величину b за знак интеграла и произведя интегрирование, получим:

In = ъ Ь г z 2 j . _= ъ12

(49)

Для более сложных по форме сечений можно пользоваться зара­нее вычисленными табличными данными.

Из формулы (44') видно, что нормальные напряжения изгиба возрастают по мере удаления от нейтральной линии. Наиболее уда­ленное волокно явится в то же время и наиболее напряженным. Наи­большее нормальное напряжение изгиба в этом волокне составит:

М2(J, та Л’tv. ах (50)Ввиду большого значения именно этого напряжения для удобст­

ва пользования формулой (50) введено еще одно условное понятие, представляющее собой момент инерции I, деленный на расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленного волокна zmax. Это услов­ное понятие назвали момент сопротивления поперечного сечения

W =T !— . (51)

Пользуясь этим понятием, формулу (50) можно переписать в бо­лее удобном виде:

С;171 ЯЛ'МТУ'

Для рассмотренного выше прямоугольного речения

>тахhm

1п =Ыг12

(52)

и, следовательно,

Wn =Ыг

■тлд’ (53)

Момент сопротивления представляет собой величину, измеряе-3 4мую в условных единицах см (см /см).

Полученная формула нормальных напряжений (44') изгиба пока­зывает, что усилие распределяется по сечению далеко не равномерно.

100

Для получения представления о распределении нормального усилия изгиба по сечению можно построить для него эпюру напряжений.

Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения, как видно из формулы (44'), представляет собой прямую линию, пересекающую поперечное сечение у нейтрального слоя (рис. 52).

У краев поперечного сечения это напряжение приобретает наи­большую величину, выражаемую уравнением (52).

м

НС.

Рис. 52. Эпюра нормальных напряжений изгиба по высоте сечения

101

4. ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ГРУНТАВ СООРУЖЕНИЯХ НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СХЕМ. ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ ГРУНТА КАК СПЛОШНОЙ СИСТЕМЫ

4.1. Грунтовой массив как деформируемое полупространство

Равномерное напряжение материала, свойственное случаям сжа­тия равномерно распределенной нагрузкой, действующей по направ­лению, перпендикулярному к одной из граней сжимаемого тела, не является характерным для грунта, который, залегая большим мас­сивом, обычно подвергается нагрузке, размещенной на ограниченной площади.

Допуская, что в передаче усилий внутри грунтового массива участвует значительная толща грунта, не ограниченная никакими фи­зическими границами, можно представить этот массив как бесконеч­но распространенный объем грунта, ограниченный сверху горизон­тальной плоскостью приложения силы.

Геометрическое представление о бесконечно распространенном объеме, ограниченном одной (в данном случае горизонтальной) плос­костью, разделяющей все пространство на две части, характери­зуется термином полупространство (рис. 53).

Грунт овое полупроотронотво

Рис. 53. Грунтовое полупространство

Нагрузка, передаваемая на единственную поверхность полупро­странства, может иметь любой характер. В частности, вполне воз­можно представить себе бесконечно распространенную равномерную нагрузку, действующую перпендикулярно к ограничивающей плос­кости (в данном случае вертикально). Однако этот случай не пред­ставляет интереса для исследования напряжений, поскольку здесь распространение усилия может происходить только в вертикальном направлении, вызывая равномерное сжатие грунта. В этом отношении данный случай не отличается от случая сжатия грунта в жестких стенках (при невозможности боковой деформации). Передаваемые на грунты постоянные нагрузки (фундаменты отдельных сооружений) имеют чаще малые размеры в плане.

102

В случае погружения подошвы фундамента сооружения на некоторую глубину грунтовой массив также можно рассматривать как полупространство, поверхность которого совпадает по уровню с подошвой фундамента. В этом случае в пределах сооружения на­грузка представляется сравнительно сильно нагруженным фундамен­том, а на остальной поверхности полупространства - весом грунта, лежащего выше уровня подошвы фундамента (рис. 54).

Рис. 54. Подошва фундамента

Нагрузку, размещенную на поверхности полупространства, не за­нятой основным грузом (фундаментом), иногда называют пригрузкой. Таким образом, задача о напряженном состоянии грунта должна быть рассмотрена как задача о напряжениях полупространства под дейст­вием сложной системы сил, состоящей из равномерно распределен­ной нагрузки, и отдельных сил, распределенных по малым площадям давления.

Установившееся напряженное поле свойственно грунтовому массиву, в котором деформации являются закончившимися. В этом случае, как известно, напряжение грунтового скелета будет соот­ветствовать полному напряжению, создаваемому внешней нагрузкой, а грунтовая вода (или гидроаэростатическая смесь), находящаяся в пустотах скелета, не испытывает никаких напряжений, так как име­ет сообщение с пустотами остальных частей полупространства, иг­рающими по отношению к нагруженной части роль наружного водо­ема. Поэтому учитываемые в этом случае напряжения грунта факти­чески являются напряжениями грунтового скелета (система Р).

Равновесие грунтового массива в установившемся поле напря­жений выражается стабильностью размещения грунтовых частиц в массе скелета, которая эквивалентна наличию неизменяемых связей между частицами.

103

Неизменяемость связей в данном случае определяется неизме­няемостью установившегося напряженного поля, вследствие которой не находятся причины для нового изменения связей. Несмотря на то, что такая неизменяемость связей является условной, так как она свойственна только данному полю напряжений и может быть нару­шена при любом его изменении, это служит достаточным основанием для решения данной задачи в применении ко всем грунтам с помо­щью механической схемы сплошной системы, основанной на призна­нии факта неизменяемости связей.

Особенностью применения этой механической схемы к грунтам является лишь необходимость считаться с различным состоянием внутренних связей, создаваемых в разных грунтах действием одного и того же поля напряжений. Естественно, что состояние связей будет каждый раз определяться той деформацией, которую грунтовый ске­лет должен будет получить в данном поле напряжений. Эта деформа­ция будет индивидуальной для каждого грунта. При учете деформи­руемости необходимо, таким образом, допустить произвольную зако­номерность деформации, не ограничиваясь общей гипотезой линей­ной деформируемости (законом Гука), принятой для большинства задач общей теории сплошных систем. Конечно, линейная деформи­руемость некоторых грунтов не исключается, но рассматривается лишь как одно из частных решений общей задачи о поле напряжений грунта.

4.2. Напряжения деформируемого полупространства от действия сосредоточенной силы

Предельным случаем напряженного состояния полупространст­ва при нагрузке его малой площадью является действие сосредото­ченной силы. Этот случай соответствует предельному уменьшению линейных размеров передающей давление площади при сохранении общей величины нагрузки. Исследование напряжений полупростран­ства от действия сосредоточенной силы представляет собой про­странственную задачу механики. Эта задача проще всего решается путем рассмотрения напряжений в сечении полупространства одной из плоскостей, проходящих через сосредоточенную силу, - меридио­нальной - с распространением этого решения далее на другие пло­ские сечения, находящиеся в тех же условиях.

В сечении полупространства плоскостью чертежа (рис. 55) на­чало координат совмещено с точкой приложения силы Р и коорди­

104

натная ось Z направлена вертикально вглубь полупространства, по продолжению сосредоточенной силы. Положение любой точки этого меридионального сечения определяется по системе полярных координат длиной радиуса-вектора R и углом его наклона к полярной оси а.

Рис. 55. Распространение энергетического луча в полупространстве, нагруженном сосредоточенной силой

Напряжения от действия сосредоточенной силы на поверхность полупространства могут рассматриваться как конечный результат со­средоточенного энергетического воздействия, передавшего механи­ческую энергию из точки приложения силы, как энергетического центра, вглубь полупространства. При этом механическая энергия распространяется по радиально расходящимся лучам, которые при условии полной однородности материала полупространства сохраня­ют на всем своем пути прямолинейное направление. Любой прямоли­нейный луч, направление которого определено углом его наклона к полярной оси Z, с физической стороны представляется в виде эле­ментарного энергетического пучка, распространяющегося в части по­лупространства, заключающейся внутри некоторого малого телесного угла, соответствующего в плоском сечении элементарному углу da. В сечениях этого энергетического пучка сферическими поверхностя­ми различных радиусов, проведенными из точки приложения силы, получается постепенное рассеяние выраженного этим пучком эле­

105

ментарного усилия dP при увеличении радиуса сферической поверх­ности. Каждое сечение энергетического пучка может быть выражено как площадь dF основания элементарного конуса с высотой R (радиус сферической поверхности) и углом при вершине dev.

dF = -R 2 (da)2.4

Распределение элементарного усилия, передаваемого энергети­ческим пучком по поверхности dF, составит:

йрd F

4 dF , (54)JTB4£ifr,l-где aR -нормальное напряжение на площади dF, направленное по ра­диусу сферической (вернее, полусферической) поверхности (так на­зываемое радиальное напряжение).

Отношение радиальных напряжений (54), действующих на раз­личных сечениях одного и того же энергетического пучка, выразится как

(55)

где R] и R2 - расстояния точек, лежащих на направлении одного луча, от точки приложения силы.

Это отношение сохраняется для точек любого луча, проведенно­го в полупространстве из точки приложения силы, и, следовательно, будет постоянным для всех соответствующих друг другу точек сфе­рических сечений с радиусами Rj и R2.

Что касается абсолютной величины радиальных напряжений, то для точек одного и того же сферического сечения (радиуса R) эти на­пряжения будут меняться в зависимости от их глубины от поверхно­сти полупространства (эта глубина выражается координатой z, отсчи­тываемой по направлению полярной оси). Для точек, лежащих на по­верхности полупространства (z = 0 ), радиальное напряжение равно нулю, так как в этих точках оно направлено перпендикулярно к внешней силе. Радиальное напряжение возрастает при переходе к более глубоким точкам того же сферического сечения и достигает максимума в наиболее глубокой точке, лежащей непосредственно на направлении внешней силы (a = 0;z = R).

Не связывая себя никакими предварительными допущениями о деформируемости материала полупространства, зависимость между

106

радиальным напряжением и глубиной для точек одного и того же сферического сечения можно выразить степенной функцией вида

<.>к = azn, (56)где а и n - параметры данной функции.

Параметр а может считаться постоянным только для одного ка­кого-либо сферического сечения и находится в обратной зависимости от радиуса этого сечения, так как при увеличении радиуса полусферы напряжение становится более равномерным (напряжение в наиболее глубокой точке затухает, и поэтому меньший интервал нарастания напряжений в точках полусферы распределяется по большей глуби­не). Кроме того, напряжение во всех случаях нарастает пропорцио­нально внешней силе, с сохранением всех остальных зависимостей. Поэтому параметр а может быть выражен новой зависимостью:

ЬРа = —, R' (57)где v - показатель степени влияния радиуса полусферы (удаления от точки приложения силы);

Ь - постоянный коэффициент пропорциональности (посколькувсе остальные влияния - внешняя сила, глубина и радиус - уже учте­ны отдельно).

Подставляя значения а из (57) в (56), получим более полное вы­ражение радиального напряжения:

bFzu~ R ~ ,

(58)отражающее в общем виде все основные зависимости.

Применяя далее уравнение (58) к точкам, расположенным на продолжении линии действия внешней силы (z = R), можно получить формулу радиальных напряжений для всех точек вертикального энер­гетического луча (вертикального радиуса):

. (58')Отношение радиальных напряжений в двух точках верти­

кального луча, отстоящих от точки приложения силы на расстояниях R] и R2, согласно уравнению (58') равно:

, , JR !z=Fl

('aR'z=R1 1

R \ ~ n R v- п- (59)

107

Это же отношение ранее выражено формулой (55), пригодной для всех радиальных направлений, не исключая и вертикального.

Сравнивая уравнения (55) и (59), легко убедиться, что

V - п= 2,и, используя уравнение (58), получить новое общее выражение для радиального напряжения:

b F z V-2R

или, учитывая, что - = coso (рис. 56):

Ь Р со <,v-;

R-

(60)

(60')

Рис. 56. Воображаемое полусферическое сечение полупространства, нагруженного

сосредоточенной силой

Вошедший в формулу (60) коэффициент пропорциональности b может быть найден путем применения к данному случаю общего ме­тода определения внутренних сил с помощью воображаемых сечений. Поскольку в данном случае объектом изучения являются радиальные напряжения, воображаемое сечение полупространства следует про­вести по полусферической поверхности, описанной из точки прило­жения сосредоточенной силы радиусом R. Вырезанная этим сечением полусфера с приложенной в центре сосредоточенной силой может рассматриваться как та из частей полупространства, равновесие кото­рой в дальнейшем подлежит рассмотрению. Вторая часть, состав­ляющая все остальное полупространство, отбрасывается и не участ­

108

вует в дальнейших рассуждениях. Действие отброшенной части на оставшуюся выражается реактивными радиальными напряжениями, распределенными по всей поверхности полусферы и равными по ве­личине, но противоположными по знаку напряжениям, выражаемым формулой (60').

Элементарное усилие, действующее на бесконечно малую часть поверхности полусферы, равняется:

За бесконечно малую часть поверхности полусферы dF в этом рассуждении следует принять площадь, все точки которой имеют од­но и то же радиальное напряжение. Такой площадью является по­верхность шарового пояса, образованного вращением вокруг поляр­ной оси основания энергетического луча, заключенного внутри эле­ментарного угла da и наклоненного под углом а к оси вращения Z.Эта элементарная площадь выражается длиной окружности 2nRsina, представляющей длину сечения шарового пояса, умноженную на ши­рину пояса, равную длине дуги Ra ветствующей центральному углу d(

Таким образом,

очерченной радиусом R и соот-

>2sinoи, подставляя значение dF в уравнение (61) и используя уравне­ние (60'):

cosv 2 a sincr . ( е йУсловием равновесия вырезанной полусферы является равенст­

во нулю суммы проекции всех приложенных к ней сил на любую ось, в частности на направление полярной оси Z.

Приложенные к вырезанной полусфере силы состоят из:1) внешней силы Р;2) элементарных сил dP, распределенных по поверхности полу­

сферического сечения.Суммируя проекции элементарных сил dP по всей поверхности

полусферы F и приравнивая эту сумму внешней силе Р с учетом на­правления сил Р и dP, можно получить уравнение равновесия:

cos а = Р

109

или, используя для подстановки значения aR из уравнения (60') и dF и сокращая на Р,

= 1- (62) , можно найти интеграл,

JT гг

1 1 c o s ’" ac o s " a s i n c r d i а = c o s " a r i c o s o = -

J J V0 0

и представить уравнение (62) в форме

JTF cos v " 1 a since

Заменяя далее siucr da через (-< входящий в уравнение (62):

1V (62')

откудаь V

2к (63)Используя уравнение (63) для подстановки в (60'), можно полу­

чить окончательную формулу радиального напряжения в любой точ­ке полупространства:

V Р с о У - 2 а2ttR- (64)

Для любой координатной плоскости формулу радиального на­пряжения можно также выразить в прямоугольных координатах, под-

2. f------------------------------------ —

ставив в формулу (64) значения - = coso и R = vz: -ь ;с: .R

Тогда

/ ■---=■:------ эу .2П{ \£~ +Х~ I(64')

Ограничиваясь рассмотрением напряженного состояния грунта, находящегося непосредственно в сфере действия каждого энергети­ческого луча, и пренебрегая при этом ограничением бокового расши­рения, создаваемым примыканием друг к другу соседних энерге­тических лучей, можно выразить напряженное состояние в точке по любому направлению, пользуясь общими формулами перехода к на­клонным сечениям при простом сжатии.

110

В любом сечении I—I (рис. 57) будем иметь нормальное напря­жение:

ап = cTRco$z ft

и касательное напряжение:

-II_п 'Р _ VI_О *р _2 л vPcos ~ a co zr ft vPz _cos_/j

2,тй" / ■--^2лг1, v'z- iV + 2(65)

Г sin fi cos fi vPcos' ~ a s i n (3 c o s (3

2,t P 3

vPzV "Slliy? COS/?,

2, 1̂ vz - + i(66)

где /> - угол, составленный данным сечением с направлением сече­ния, перпендикулярного к радиальному напряжению. При этом ради­альное напряжение ог7 является единственным главным напряжением,так как при простом сжатии остальные два главных напряжения рав­ны нулю.

Рис. 57. Нормальные и касательные напряжения в точке полупространства

Для характеристики поля напряжений, вызванного в грунтовом полумассиве сосредоточенной внешней силой, интерес представляют также напряжения, возникающие в сечениях, перпендикулярных или параллельных внешней силе, т. е. в случае действия вертикальной силы - на горизонтальных и вертикальных сечениях (рис. 58).

Для горизонтального сечения, перпендикулярного к оси Z, (3Z= а(по перпендикулярности сторон). Поэтому, согласно формуле (65), нормальное напряжение на горизонтальном сечении:

о- i/Pcos v .гг

ZttR3v P z ■

2лч \ z ~ + x ~r\ v+2 (67)

i l l

Для вертикального сечения, перпендикулярного к оси X,

.Отсюда нормальное напряжение на этом сечении равно:

а-. v P c o s v “a s m - аи "Э п

vP z '

2 7Г1 V 2 “ +Х~ .1r\VH-2 (68)Уч(здесь sin а заменен отношением -).R

Рис. 58. Напряжения на вертикальном и горизонтальном сечениях в точке полупространства

Касательные напряжения на этих двух взаимно перпендикуляр­ных площадках имеют одну и ту же величину [формула (66)] и отли­чаются только знаками:

vPcosv ■ '"a sin a7 JZ л JZ

271R *

v P z V i .v

2 лг1 v'z- + ir\V+2- (69)

Напряжения в точках грунтового полупространства от действия сосредоточенной силы, выраженные формулами (64) - (69), могут быть найдены для любого грунта, так как при выводе этих формул не наложено никакого ограничения на закономерность деформации грунтов под нагрузкой.

Качество грунта, слагающего деформируемое полупространст­во, в этих формулах выражается параметром v. В частности, для грун-

112

та, обладающего линейной деформируемостью, эти формулы совпа­дают с аналогичными формулами теории упругости, выведенными исходя из применимости закона Гука, при условии подстановки v = 3.

Эти формулы известны в теории упругости под названием фор­мул Буссинеска и имеют вид:

- для радиального напряжения

(°r) e -3 P co s° а

2 л R 2

3 P z

2 Л I v' + х(70)

для нормального напряжения в любом сечении

( ° J sП _ •J _

3 F co s rt'cos- р 3 P z c o s “ /j

2 л R - Г.352 л: l, v' z - + л:" i

для касательного напряжения в любом сечении, - ЗР co s a sfn /? co s /? 3 P z s i n /? co s ДU )е — 2 л R - г '—

2лг1, v'z- + |3 5

(71)

(72)

для нормального напряжения в горизонтальном сечении

Oz )=3 P c o s J .ГГ

■п2,тР-ЗР^

2 л I V z - +:: - I(73)

для нормального напряжения в вертикальном сечении3 Р co s a s i n J а

2 л R 2

3 Pzx~2 к \ v'z - + r - I

. s? (74)

- для касательного напряжения в вертикальном и горизонталь­ном сечениях

3P c o s -1 ct sin а

2лR23 P z - А'

2 7Г1 V 'Z - + .V- .1(75)

По сравнению с ранее выведенными формулами формулы (70) - (75) характеризуют частный случай напряженного состояния полупро­странства, соответствующий условию v = 3.

Числовое значение коэффициента v = 3, входящего в числитель дробных выражений (70) - (75) и участвующего в формировании показателей степени, выражает линейную деформируемость, что и объясняет кажущуюся независимость выражаемых этими формула­ми напряжений от качества деформируемого материала.

113

4.3. Концентрация напряжений

Все формулы, выражающие напряжение грунтового массива, рассматриваемого как полупространство, указывают на быстрое зату­хание напряжений при удалении в сторону от точки приложения си­лы. С другой стороны, из этих же формул видно, что напряжение вблизи полярной оси (х = 0) увеличивается для материалов с большим значением v.

Ввиду того что объем эпюры нормальных напряжений в гори­зонтальном сечении всегда остается постоянным и равным внешней силе Р, очевидно, что повышенное напряжение в точках, лежащих вблизи от полярной оси, может возникнуть только в том случае, если оно компенсируется более быстрым затуханием напряжений при уда­лении в сторону. Таким образом, величина v может служить для ха­рактеристики способности материала получать более высокие напря­жения непосредственно под грузом, как бы оттягивая их от боковых частей массива. При большем значении v явление такой «концентра­ции» напряжений будет проявляться сильнее. Поэтому величину vможно назвать коэффициентом концентрации напряжений и исполь­зовать этот коэффициент как показатель качества материала при ре­шении задач о распределении напряжений в полупространстве.

Из основной формулы нормальных напряжений на горизонталь­ном сечении видно, что в точках, лежащих на одном и том же энерге­тическом луче, отношение напряжений в двух различных грунтах бу­дет равно:

a l _ v 1 P c osV l fr v 2 P c o s ,''-a-

2ttR2 2ttR2Vi ,.— cosa"1v 2

(76)

В частности, для точки, лежащей на вертикали, проходящей че­рез точку приложения силы (о = 0 ; cos сг=1):

б*z-иv- (76')

Одно и то же напряжение (oz = const) создается для каждого из грунтов в разных точках на любом энергетическом луче при соблю­дении условия

114

т.е. из уравнения (76), или

HiR

COSV j_ - V'2

2(77)

В частности, для вертикального энергетического луча (R z; а = 0 )

(77')

Коэффициент концентрации напряжений для грунтов зависит от их состояния. Грунты, обладающие прочными связями между части­цами и сохраняющие неизменное расположение частиц при деформа­ции, имеют деформируемость, близкую к линейной, и для них коэф­фициент концентрации напряжений весьма близок к v = 3. В такомположении находятся, например, связные глины, для которых коэффициент концентрации напряжений обычно колеблется в пре­делах: 3 < < 4.

Г рунты, лишенные связности, легче деформируются и обладают большим коэффициентом концентрации напряжений. К таким грун­там относятся увлажненные глины и в особенности сыпучие пески. Для этих грунтов 4 < v < 6 .

Коэффициент концентрации напряжений для грунтов может быть определен путем подбора, по результатам непосредственного измерения напряжения в известных точках массива, после подстанов­ки этих значений в формулу (67).

Влияние концентрации напряжений, очевидно, будет наиболее ощутимо в точках, лежащих непосредственно под точкой приложения силы (z = R; х = 0). В этих точках изменение коэффициента концен­трации напряжений с 1Д до v2 вызвало бы изменение напряженияс ( ^ ) о = ДО (<JZ )

V - Р

27.2- 272-Отношение напряжений

/ \ / *[ (JZ ' Q _ v 2

■■ i[(JZ }0 V 1

(78)

в этих точках, как можно видеть, постоянно и не зависит от глубины.

115

В более отдаленных точках (х ф 0) изменение напряжения про-V - Р zизойдет с о ~ — / .--^ \ V 2.2щ до ог =

2 лг1 v'z- + .vj )напряжений в этих точках будет иметь общий вид:

vi+: Отношение

ui. < I V-т = = -С 7 V ( 1 у - '

1 Д+?). д- (79)

Задавшись некоторой нормой допустимых отклонений отноше­ния т от единицы (например, т = 1 ± 0 ,1), можно выделить в полу­пространстве зоны «нулевой» концентрации напряжения, в пределах которых напряжение практически могло бы рассчитываться по лю­бому из двух сопоставляемых коэффициентов концентрации.

Этим способом можно пользоваться для приближенных расче­тов более простой и более изученной в отношении частных решений формулой Буссинеска. Принимая v2 = 3, 1Д = v, можно уравне­нию (79) придать вид, отвечающий этой частной задаче:

m =а''CJ.-

3v

1 3г?_iiг COS Й

/ ■----- З , - 1 V| ; l IV I

3—v (80)

ГЧ _ _Зоны «нулевой» концентрации напряжений, построенные по формуле (80), имеют вид секторов, ограниченных прямыми:

г3-VIVfflcosa = ■

v'. Положение этих зон в координатном поле изменяется

при изменении коэффициента концентрации напряжений. Пользова­ние индивидуальным коэффициентом концентрации напряжений для каждого грунта имеет смысл только для точек, лежащих вне «нуле­вых» зон концентрации напряжений. Для точек, лежащих внутри этой зоны, вполне возможно вести расчет напряжений для всех грунтов по формуле Буссинеска.

Зоны «нулевой» концентрации напряжений, как видно из фор­мулы (80), могут распространяться на точки, лежащие непосредст­венно под точкой приложения силы (на координатной оси Z), только в том случае, если коэффициент концентрации напряжений (vx = v)очень мало отличается от v2 = 3.

116

В остальных случаях зоны малой концентрации охватывают симметричные участки координатного поля, лежащие в стороне от координатной оси Z (рис. 59).

Зонарассеяниянапряжения

Зонарассеяниянапряжения

Зона концент рации напряжения

Рис. 59. Зоны малой («нулевой») концентрации напряжений

4.4. Применение теории поля напряжений к сложным случаям нагрузки

Теория поля напряжений грунтового полупространства, возни­кающих от приложенной к поверхности полупространства сосредо­точенной силы, является лишь исходной теорией для учета напряже­ний, вызванных более сложными нагрузками, которые всегда имеют место в практических случаях. Переход от сосредоточенной силы к более сложным нагрузкам не встречает принципиальных затрудне­ний. К этой задаче может быть применен общепринятый в механике принцип независимости действия сил, позволяющий выразить общее напряжение как сумму напряжений, вызываемых каждой из дейст­вующих сил в отдельности.

При суммировании напряжений по принципу независимости действия сил с успехом может быть применен метод так называемых линий (поверхностей) влияния. Линией (поверхностью) влияния в дан­ном случае можно назвать график, вычерченный на уровне глубины исследуемой точки z и выражающий изменение исследуемого напря­жения в точке при перемещении силы, равной единице, по поверхно­

117

сти полупространства. Каждая ордината линии (поверхности) влия­ния выражает напряжение в одной и той же рассматриваемой точке в случае установки груза, равного единице, над этой ординатой.

При перемещении силы по поверхности полупространства вме­сте с силой перемещается также и начало координат, совмещаемое с точкой приложения силы. Координата z (глубина точки) остается при этом неизменной (z = const), а координата х (расстояние рассмат­риваемой точки до точки приложения силы, измеряемое по поверхно­сти полупространства), изменяется таким же образом, как это было бы при последовательном переходе к различным точкам, лежащим на одной глубине (на одном горизонтальном сечении) при наличии не­подвижной сосредоточенной силы, равной единице. Таким образом, линия (поверхность) влияния напряжений для точки, лежащей на глу­бине z, по своему очертанию должна в точности повторять (в сме­щенном виде) эпюру напряжений, возникающих на горизонтальном сечении (z = const) от силы Р = 1, приложенной непосредственно над рассматриваемой точкой (рис. 60).

Рис. 60. Линия влияния напряжения в точке и эпюра напряжений от нагрузки, равной единице

При наличии построенной линии (поверхности) влияния для ка­кой-либо точки напряжение в ней от любой сосредоточенной силы может быть подсчитано путем умножения ординаты S линии влия­ния, расположенной под точкой приложения силы, на величину этой силы, так как сама ордината выражает напряжение от силы, равной единице. При действии на полупространство в данной меридиональ­ной плоскости нескольких сосредоточенных сил (Pj, Р2, Р3,...) напря­

118

жение в точке будет равно сумме произведений соответствующих ординат линии влияния (Sj, S2, S3,...) на величины действующих сил (рис. 61).

Рис. 61. Расчет напряжения от системы сил по линии влияния

При действии системы сосредоточенных сил, лежащих в раз­личных меридиональных сечениях полупространства, аналогичный расчет мог бы быть проведен по построенным для каждого сечения отдельным линиям влияния. Однако ввиду полной аналогичности всех линий влияния, которые фактически представляют собой диа­метральные сечения одной осесимметричной «поверхности влияния», в построении отдельных линий влияния нет необходимости. Полный расчет напряжения можно сделать по любой из плоских линий влия­ния, перенеся в ее плоскость все силы, приложенные к поверхности полупространства. При этом необходимо лишь сохранить неизмен­ным горизонтальные расстояния точек приложения этих сил х до рас­сматриваемой точки, иными словами, производить перенос по ок­ружностям, очерченным радиусами х1, х2, х3, ... из центра, лежащего на поверхности полупространства, непосредственно над рассматри­ваемой точкой (рис. 62). С учетом этого замечания напряжение от действия системы сосредоточенных сил подсчитывается по общей формуле

а = PLSL + P2S2 + Р,5, +- - = I PS. (81)

Действие распределенной нагрузки, занимающей некоторую площадь на поверхности полупространства, учитывается по интен­сивности этой нагрузки р. В общем случае интенсивность нагрузки может быть переменной, представляя собой некоторую функцию ко­ординат точек загруженной поверхности (рис. 63):

Р = f(x,y)- (82)

119

ЛинияРасположение сило плане

напряжения дточке А

-Плосткостьлинии влияния

Рис. 62. Перенос пространственной системы сил в одно вертикальное сечение

Рис. 63. Действие распределенной нагрузки на поверхности полупространства

Площадь, загруженную распределенной нагрузкой, можно мыс­ленно разделить на бесконечно малые элементы dF и учесть усилие, приложенное к каждому такому элементу, в виде элементарной со­средоточенной силы dP:

Элементарная сосредоточенная сила способна вызвать в любой точке полупространства напряжение, определяемое выведенными ра­

120

нее формулами, представляющее собой бесконечно малую часть do общего напряжения, вызванного в этой точке всей распределенной нагрузкой.

Такой дифференциал может быть вычислен для любого из рас­смотренных видов напряжений. Например, для наиболее важного ви­да напряжений - нормального напряжения в горизонтальном сечении дифференциал напряжения выразится применением формулы (65) к элементарной сосредоточенной силе (83). При этом

где х и z (в плоской прямоугольной системе координат) и соот­ветственно а и]? (в плоской полярной системе координат) представ­ляют собой координаты изучаемой точки полупространства, изме­ренные при совмещении начала координат с точкой приложения эле­ментарного усилия, или координаты точки приложения элементарно­го усилия, измеренные при проведении оси ординат через изучаемую точку полупространства (разницу знаков координат а: и а здесь мож­но не учитывать, поскольку она не сказывается на результате опреде­ления напряжения).

Полное напряжение получится путем интегрирования диффе­ренциала напряжении do по всей загруженной площади t . В частно­сти, для нормального напряжения в горизонтальном сечении из урав­нения (84) легко получить (в прямоугольных координатах)

Координата z принята постоянной, так как решение касается од­ной точки, лежащей на определенной глубине от поверхности полу­пространства. Аналогичные формулы можно получить для всех дру­гих видов напряжений.

Для расчета напряжений от распределенной нагрузки может быть также использована линия влияния. Напряжение do от элемен­тарной сосредоточенной силы dP по общему правилу (см. выше) оп­ределяется умножением этой силы на соответствующую ей ординату линии влияния S (рис. 64):

(84)

(85)

Sdp

121

или с использованием формулы (83):

= pSdF. (86)

Рис. 64. Расчет напряжения от элементарной нагрузкипо линии влияния

Из рис. 64 можно видеть, что элементарное напряжение, выра­женное формулой (86), равняется интенсивности нагрузки р, умно­женной на ту часть площади линии (или объема поверхности) влияния, которая соответствует элементарной загруженной пло­щади (SdF).

Полная величина напряжения в точке, возникающей при загруз­ке некоторой площади на поверхности полупространства, может быть найдена путем интегрирования по этой площади элементарных про­изведений, составленных по типу уравнения (86):

В наиболее часто встречающемся случае, когда распределенная нагрузка является равномерной, ее интенсивность (р = const) можно вынести за знак интеграла, и суммирование получится при умноже­нии интенсивности нагрузки р на объем поверхности влияния, соот­ветствующий загруженной части полупространства:

(87)

(87')

122

В случае плоской задачи (загрузка полупространства в плоско­сти, проходящей через заданную точку):

dF = dxи

а Г Л-'-= J ■J х I

или для равномерно распределенной нагрузкиг?.- .о~=р Jx - Sd*,

(88)

(88 ')

т.е. в любой точке меридионального сечения напряжение может быть вычислено путем умножения постоянной интенсивности нагрузки р на часть площади линии влияния, соответствующую загруженнойдлине ( f * 2 Sdx) (рис. 65).

Рис. 65. Расчет напряжения от равномерно распределенной нагрузкипо линии влияния

Пользуясь общими формулами, в дальнейшем видоизменив их применительно к использованию теории линий влияния, можно по­лучить формулы для определения напряжений при любых случаях действия распределенных нагрузок.

В общем случае при нагрузке полупространства распределенной нагрузкой из некоторой площади (рис. 66) интенсивность нагрузки на

123

каждой элементарной площадке dF может быть представлена как функция координат, определяющих положение элементарной пло­щадки на поверхности полупространства [р = f ( x , y ) \ а элементар­ная нагрузка, действующая на эту площадку, - как сосредоточенная сила (dP = pdF), которая создает в интересующей нас точке по сече­нию, определяемому любым углом (3 наклона этого сеченияк направлению одного из главных напряжений, элементарные напряжения.

Рис. 66. Действие элементарного усилия от распределенной нагрузки на наклонное сечение

Эти напряжения (в плоских полярных координатах) будут равны:

а) элементарное нормальное напряжение

v f c o s - a c o s - j

Z ttR -

б) элементарное касательное напряжение

или, подставляя

Vj ,v - 2 a sin /? cos /?

(89)

z■:н

124

а) элементарное нормальное напряжениеvFz v — _COS'

2 jrfPб) элементарное касательное напряжение (89')

v P Zv ■ ' S i n ^ C O S ^

2 Л"

Полные напряжения в данной точке по сечению, определяемому углом /?, являются результатом интегрирования дифференциалов (89)и (89') по всей загруженной площади:

а) полное нормальное напряжение

JF danYZV — 2

2 Л ■j;_pcos-^

f f v

б) касательное напряжение

Гvzp— z ^ sin. ^ co s Д

(90)

В формулах (90) расстояние точки от каждой элементарной площадки давления (R) меняется в зависимости от положения этой площадки на поверхности полупространства и потому является (ана­логично интенсивности нагрузки) функцией координат х и у:

RФормула для вычисления любых напряжений в точке получит

после подстановки функцийр и R общий вид:

о (90')

где А - множитель, выражающий влияние наклона сечения, для кото­рого рассчитываются напряжения (угла /?).

оИз формулы (90) видно, что А = cos /? для нормальных напря­

жений и А = sin /? cos /? для касательных напряжений.В более простом случае действия равномерно распределенной

нагрузки

р = f(x, у) = const

125

формула (90') получает более простой вид:

о- = ------ -JFv z v ~ р г A d F

2п (90")

Решение интегралов (90') и (90") для конкретных случаев дейст­вия нагрузок представляет большей частью значительные трудности и может быть с большим удобством выполнено приближенно, путем применения теории линий влияния.

Несколько более простое решение получается в плоской задаче о напряжениях, вызванных равномерно распределенной нагрузкой. Это решение представляет интерес также и для выяснения направле­ния главных напряжений. В этом случае предполагается, что вся на­грузка лежит в вертикальной плоскости, проходящей через рассмат­риваемую точку и, следовательно, распределена вдоль по прямой ли­нии, проходящей по поверхности полупространства непосредственно над рассматриваемой точкой (рис. 67). На каждый бесконечно малый отрезок загруженной прямой dx приходится элементарное усилие

dP = pdx,где р - интенсивность нагрузки (линейная).

Рис. 67. Условия постановки плоской задачи о напряжениях от равномерно распределенной

нагрузки

126

Линейный элемент dx можно выразить геометрически, рассмат­ривая малый прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой яв­ляется dx, а катетом - дуга круга, очерченного радиусом R из рас­сматриваемой точки А, стягивающая элементарный угол da. Из этого треугольника

и, следовательно,C O S а

О О-dP =р——da = p — da. (91)

c o s a z

Пользуясь общими формулами, легко составить формулы эле­ментарных напряжений от силы dP в точке, действующих по любому сечению, наклоненному под углом /? к направлению одного из глав­ных напряжений:

а) элементарное нормальное напряжение

v Pz 7 - 3 у _cos- р

б) элементарное касательное напряжение (92)

^ _ v P z v J sin ft cos ft ^

Рассматривая, в частности, наиболее распространенный и важ­ный случай равномерно распределенной нагрузки (р = const), можно вычислить полные напряжения после интегрирования выра­жений (92) в пределах от од до а 2 :

а) полное нормальное напряжение

vz ' 3р г а 2 cos- рГя

б) полное касательное напряжение2 ,т

(93)

VZ 3 р г ОГ2 Si'll Р c o s р

2тт ■ гJ агде од и а 2 - углы с вертикалью, выражающие направление радиу­сов-векторов («лучей зрения»), проведенных из рассматриваемой точки в концы загруженного участка.

127

Угол /? наклона сечения к направлению одного из главных на­пряжений является в данном случае переменным, так как все диффе­ренциальные значения напряжений относятся к одному и тому же се­чению, а направления главных напряжений меняются при переносе точки приложения элементарной силы в различные точки загружен­ного участка.

Главные напряжения, согласно их определению, будут иметь место по тем направлениям, для которых касательные напряжения равны нулю (г = 0). С этой точки зрения выражение (93) для каса­тельных напряжений может быть проанализировано применением к нему условия

так как величина Rv существенно положительна, не зависит от угланаклона данной цели, может быть исключена из интегрального выра­жения.

Положение наклонного сечения, проходящего через точку, мо­жет быть определено не только переменным углом , но также и по­стоянным углом х, составленным этим сечением с верти­калью (рис. 68).

(94)

Рис. 68. Ориентировка произвольного сечения, проходящего через точку

Тогда угол можно выразить через углы а и %:

128

Подставляя это значение угла /? в выражение (94), можно полу­чить условие равенства нулю касательных напряжений в более удоб­ной форме:

а 2

О

или после«1

интегрирования, путем замены на

c o s- 1, а — ^ со̂ 1 i4fr -I — х ) — c o s - а - — )

2

откуда

cos2 (ад - х) = cos2 (а2 - у) и a i - х = ± (а 2 - X)- (95)Из двух знаков уравнения (95) знак «минус» дает возможность

определить угол у, т. е. найти направления главных напряжений. Признаке «плюс» искомое неизвестное (угол у) исключается из уравнения и остается условие од = а 2, выражающее параллельность «лучей зре­ния», что может соответствовать двум случаям:

а) исследуемая точка бесконечно удалена от загруженной пло­щади, напряжение в ней вообще затухает, и потому вопрос о направ­лении главных напряжений теряет свой смысл;

б) исследуемая точка лежит на поверхности полупространства, вне пределов нагруженной площадки, и напряжение в ней заведомо равно нулю.

Принимая для определения у по уравнению (95) знак «минус», можно получить

а1 + а-X = — (96)

Найденный угол у, определяющий положение площадки с касса-тельными напряжениями, равными нулю, одновременно выражает наклон к вертикали направления наибольшего главного напряжения, действующего по перпендикуляру к этой площадке, т. е. большой оси эллипса напряжений. Из геометрического соотношения углов ад, а2и у (рис. 69) видно, что направление наибольшего главного напряже­ния (большая ось эллипса напряжений) проходит по биссектрисе уг­

129

ла, составленного «лучами зрения», проведенными из исследуемой точки к концам загруженного участка.

Рис. 69. Направление главных напряжений в точке при равномерной загрузке в одном сечении полупространства

Пользуясь этим заключением, легко представить себе общую картину напряженного поля полупространства от действия равномер­но распределенной нагрузки в виде системы эллипсов напряжений, ориентированных своими большими осями по направлению биссек­трис углов, образованных крайними «лучами зрения» (рис. 70).

Рис. 70. Эллипсоиды напряжений в точках полупространства, загруженного равномерно распределенной нагрузкой

Полученные формулы напряжений в различных точках полу­пространства от действия сосредоточенных и распределенных нагру­

130

зок и пользование методом линий влияния дают возможность вычис­лить суммарные напряжения в точках и построить обобщенные ха­рактеристики напряженного поля для любых сколь угодно сложных сочетаний этих нагрузок. Поле напряжения при этом может быть выражено сложной системой изолиний, причем влияние отдельных нагрузок будет ослабевать по мере удаления от точек их приложе­ния (рис. 71).

Рис. 71. Изолинии напряжений полупространства при сложной нагрузке

При неравномерной интенсивности распределенной нагрузки вычисление напряжений по формулам представляет значительные трудности и может быть произведено приближенным методом. Для этой цели всю неравномерно загруженную площадь можно привести приближенно к несколько более правильной форме, разбив ее на не­большие квадраты одинакового конечного размера (а х а = а ) и до­пустив равномерную интенсивность нагрузки (р = const) в пределах каждого квадрата (рис. 72).

Тогда в каждом квадрате распределенную нагрузку можно заме­нить малой сосредоточенной силой АР, приложенной в центре этогоквадрата, причем

АР=ра2. (97)Напряжение Да, вызванное этой силой в рассматриваемой точке

полупространства, легко вычисляется по одной из формул путем под­становки в них значения сосредоточенной силы (97).

131

Рис. 72. Разбивка загруженной площади на элементы для приближенного подсчета

напряжений

Полученные малые конечные напряжения А о от сил (97), дейст­вующих в различных квадратах, подлежат далее суммированию по всей загруженной площади для получения полного напряжения, при­чем глубина точки z, естественно, является постоянной величиной. Например, при вычислении нормальных напряжений oz, действую­щих по горизонтальным сечениям, напряжение в какой-либо точке полупространства А от силы АР составит:

2 v у р а z{ ■ л j v . V - 2 '

2,т[ v z ~ +.V- I(98)

Путем деления числителя и знаменателя этой дроби на z +:можно придать ей другой вид, более удобный для дальнейшего сум­мирования:

(98')

132

Суммируя эти частные напряжения по всей загруженной площа­ди, легко вычислить полное напряжение:

0~z = Zсг

2 ttz ~

V

1 +© 'V-2' (99)

В этом виде формула напряжений содержит единственное пере-I хменное х только в виде отношения + которое является одинаковым

z

для всех точек, лежащих на направлениях двух прямолинейных лу­чей, выходящих из точки приложения каждой силы АР в обе стороны,под одним и тем же углом. Поэтому для всех этих точек можно вы­делить как постоянную величину дробь

K =v

и придать формуле (99) вид

(100)

<h (99')Для расчетных значений коэффициента К, выражающего в виде

простой дроби совокупное влияние качества материала v и боковогоW ^ /—отклонения силы от рассматриваемой точки легко могут быть со­

ставлены таблицы. Таким образом, вычисление напряжений сводится к суммированию произведений рК и умножению полученной суммы

W и ^на постоянный для данной точки множитель —2 7TZ-Техника такого вычисления еще больше упрощается для случая

равномерного распределения нагрузки (р = const). В этом случае

0“ аZ ttz ■

■! а , (99")и работа вычисления напряжений сводится к простому суммирова­нию табличных величин Ат с последующим умножением этой суммы

~ я2рна постоянный множитель — -27TZ-

133

ЛИТЕРАТУРА

1. Орнатский, Н.В. Механика грунтов / Н.В. Орнатский. - М.: Изд-во Московского университета, 1950. - 421 с.

2. Абуханов, А.З. Механика грунтов / А.З. Абуханов. - Ростов-на- Дону: Феникс, 2006. - 352 с.

3. Герсеванов, Н.М. Теоретические основы механики грунтов и их практические применения / Н.М. Герсеванов, Д.Е. Польшин. - М.: Стройиздат, 1948.

4. Мащенко, А.В. Специальные разделы механики грунтов и ме­ханики скальных грунтов / А.В. Мащенко, А.Б. Пономарев, Е.Н. Сыч- кина. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. - 176 с.

5. Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.: Изд. АН СССР, 1946.

6 . Филоненко-Бородич, М.М. Теория упругости / М.М. Филонен- ко-Бородич. - М.: Гостехиздат, 1947.

7. Швец, А.Б. Справочник по механике и динамике грунтов / А.Б. Швец, Л.К. Гинзбург, В.М. Гольдштейн. - К.: Будiвельник, 1987. - 232 с.

134

Учебное издание

Каманин Юрий Николаевич Трубин Алексей Сергеевич

Паничкин Антон Валерьевич Ределин Руслан Андреевич

МЕХАНИКА ГРУНТОВ

Учебное пособие

Редактор Т.Д. Васильева Технический редактор Т.П. Прокудина

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Орловский государственный университет имени И.С. Тургенева»

Подписано к печати 11.09.2017 г. Формат 60x90 1/16.Усл. печ. л. 8,4. Тираж 100 экз.

Заказ №

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе ОГУ имени И.С. Тургенева

302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95.