제 6장 보의 응력 심화 주제) -...

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-1

Mechanic

제 6 장

6.1 소개

- 보의 곡

o 합성

o 경사

o 비대

o 얇은

o 탄소

o 비선

6.2 합성

- 한가지

- 재료 절

cs of Materials

장 보의 응

개

곡률/보의 수

성보

사 하중을 받는

대칭 보

은 두께의 보의

소성 굽힘

선형 굽힘

성보

이상의 재료

절감, 경량화

s, 7th ed., Jame

응력 (심화

수직응력/보의

는 보

의 전단응력

료로 제작된

es M. Gere &

화주제)

전단응력에

보

Barry J. Goo

대한 응용

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-2

Mechanic

변형률

5 장의 기

xy

( 2 1E E

1x E

2x E

중립축

단면에 작

11 x dA

1 1E y d

cs of Materials

률 및 응력

기본 가정 적

y y

1 이라고 가정

1 1E E y

2 2E E

축

작용하는 축력

22 xA dA

2 2dA E y d

s, 7th ed., Jame

용 : 단면은

정)

y (6-2a)

y (6-2b)

력의 합은 0

0A

0dA

es M. Gere &

변형후에도

)

)

0

(6-3)

Barry J. Goo

평면을 유지

dno

지함

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-3

Mechanic

2 축 대칭

모멘트

AM

M

1

수직응

식 (6-5)를

1x

Note: E

cs of Materials

칭인 단면의

트 - 곡률 관

21 1

x y dA

E y dA

1 1 2 2(E I E I

1 1 2 2

ME I E I

응력 (굽힘공식

를 식 (6-2)에

1

1 1 2 2

MyEE I E I

2 1E E 이면

s, 7th ed., Jame

경우 중립축

계식

11

22 2

x y dA

E y d

2 ) I

2

식)

에 대입하면,

2 x E

xMyI

es M. Gere &

축은 도심축과

22 x y dA

dA

1 2I I

2

1 1 2 2

MyEE I E I

Barry J. Goo

과 일치

(6-4)

(6-5)

(6-6a,b)

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-4

Mechanic

샌드위

두 재료의

E 부분이

( 0 으

식 (6.6)

여기서 I

top

- 두께가

averV

b

제한

선형 탄성

cs of Materials

위치 보의 굽

의 물성치 값

이 전체수직응

으로 가정)

1xM

31 12

bI h

bot1

2Mh

I

가 얇은 경우

aver c

Vbh

성에 한함. (콘

s, 7th ed., Jame

힘에 대한 근

값의 차이가 클

응력의 대부분

21

xMyI

3ch

ttom12

MhI

전단은 웨브

c c

Vbh G

콘크리트는 인

es M. Gere &

근사이론

클 때: ≫

분을 부담함.

0 (6-7)

(6-8)

(6-9

브가 전부 지지

(6-1

인장응력은 무

Barry J. Goo

.

)

)

a,b)

지함.

0a,b)

무시하므로 적

dno

적용 불가)

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-5

Mechanic

예제

문제

60M

목재 (①

풀이

중립축의

1y dA

2y dA

따라서 E

(1500 k

1h

cs of Materials

6-1

1 k-in, 1E

①)와 강철(②

의 위치를 를

1 1 1(y A h

2 2 (y A

1 1E y dA E

1ksi)( 3 inh

5.031 in , h

s, 7th ed., Jame

21,500 ksi, E

)에서의 최대

먼저 구한다

3 in)(4 in

16.25 in )h

2 2E y dA

2)(24 in ) (

2 6.5 inh

es M. Gere &

2 30,000 k

대/최소 인장/

다. 식 (6-3) 이

n 6 in) (h

)(4 in 0.5 i

0 에서

(30,000 ksi

1 1.469 ih

Barry J. Goo

ksi ,

/압축 응력은

이용

1 3 in)(24 h

1in) ( 6h

1i)( 6.25 ih

in

dno

은?

2in )

.25 in)(2 in

2in)(2 in )

제 6 장

2n )

0

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-6

제 6 장 보의 응력 (심화 주제)

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-7

3 2 41 1

1 (4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( 3 in) 171.0 in12

I h

3 2 42 2

1 (4 in)(0.5 in) (4 in)(0.5 in)( 0.25 in) 3.01 in12

I h

Check: 3 3 41 2 1 2

1 1(4 in) (4 in) 169.8 4.2 174.0 in3 3

I h h I I

1 11 4 4

1 1 2 2

(60 k-in)(5.031 in)(1500 ksi) 1310 psi(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )A

Mh EE I E I

2 11 4 4

1 1 2 2

( 0.5 in) (60 k-in)( 0.969 in)(1500 ksi) 251 psi(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )C

M h EE I E I

2 22 4 4

1 1 2 2

( ) (60 k-in)( 1.469 in)(30,000 ksi) 7620 psi(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )B

M h EE I E I

2 22 4 4

1 1 2 2

( 0.5 in) (60 k-in)( 0.969 in)(30,000 ksi) 5030 psi(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )C

M h EE I E I

Note: 2 1C C , 그러나 2 1 2 1/ / 20C C E E

Mechanic

예제

문제

3.0M

바깥층/중

(a) 일반이

(b) 샌드

으로 각각

풀이

(a) 일반이

1 (12bI

2 12bI

1 1E I E

바깥층:

cs of Materials

6-2

10 kN m, E

중간층의 최대

이론

위치보의 근

각 구하기

이론

3 3 2( )ch h

3 200 m12ch

2 2 (72 GE I

1 max( )

s, 7th ed., Jame

72 GPa, E

대 인장/압축

사이론

200 mm (112

mm (150 mm

GPa)(12.017

1

1 1 2 2

( / 2)(M h EE I E I

es M. Gere &

2 800 MPE

축응력을 다음

360 mm) (

3m) 56.250

6 410 mm )

1

2

) (3.0 kN

Barry J. Goo

Pa

음의

3(150 mm)

6 410 mm

) (800 MP

N m)(80 mm910.200 N

dno

12.017

a)(56.250

2

m)(72 GPa)m

제 6 장

6 410 mm

6 410 mm )

19.0 MP

장 보의 응력 (

Pa

910.200 N

Pa

심화 주제)

age 06-8

2N m



중간층: 2

2 max 21 1 2 2

( / 2)( ) (3.0 kN m)(75 mm)(800 MPa)( ) 0.198 MPa910.200 N m

cM h EE I E I

Note: 1 max 2 max( ) /( ) 96 , since 1 2/ 90E E

(b) 샌드위치 보에 대한 근사이론

1 max 6 41

(3.0 kN m)(80 mm)( ) 20.0 MPa2 12.027 10 mmMh

I

Note: 근사해는 일반해의 값보다 큰 응력을 준다.

Mechanic

6.3 환산

- 한가지

- 이 등가

- 단일한

- 환산단

cs of Materials

산단면

재료로 구성

가단면을 환산

한 재료로 구성

단면에서 구한

s, 7th ed., Jame

성된 등가단면

산단면 이라

성된 보와 같

한 응력을 원래

es M. Gere &

면으로 환산하

부름.

같은 방법으로

래 보의 응력

Barry J. Goo

하여 계산

로 응력산정

력으로 변환하

dno

하여야 함.

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-10

Mechanic

중립축

- 중립축

- 모멘트

중립축은

1 1E y d

여기에 계

1y dA

②재

그 폭을

cs of Materials

축과 환산단면

축이 같은 위치

트-저항 능력이

은 식 (6-3)으로

2 2dA E y d

계수비 n E

2yn dA

료를 ①재료

을 n 배로 늘

s, 7th ed., Jame

면

치에 있어야

이 같아야 함

로 구해짐

0dA

2 1/E E 을 대

0

료로 바꾸는

려서 구성한

es M. Gere &

하며,

함.

입하면

는 대신

환산단면을

Barry J. Goo

(6-11)

(6-13)

의미함

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-11

Mechanic

모멘트

환산단면

x E

AM

E

여기에서

(M E

cs of Materials

트-곡률 관계

면은 재료 ①로

1E y

21 1

xAy dA

E y dA

서 1 2E n E 이

1 1 2 2 )E I E I

s, 7th ed., Jame

식

로만 구성되

1

21 2

x y dA

E y d

이므로 위 식

) 이 되어 식

es M. Gere &

어 있으므로

2

1 1(

x y dA

dA E I

식은

(6-4)와 같아

Barry J. Goo

로

1 2 )E nI

아진다.

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-12



수직응력

1xT

MyI

(6-15)

여기서 TI 는 환산단면의 중립축에 대한 관성모멘트임.

즉 2

1 2 1 21

TEI I nI I IE

(6-16)

(6-16)(6-15)

11

1 1 2 2x

MyEE I E I

(a)

재료 ①에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력과 동일

재료 ②에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력에 계수비 n 을 곱해야 함.

1 2

1 1 2 2 1 1 22

2x

T

MynE MyEE I E I E

My nII E I

(b)



일반적 유의사항

- 재료 ①을 재료 ②로 환산하는 것도 가능

- 재료 ①, ②모두를 다른 재료로 환산하는 것도 가능 (계산이 더 복잡해짐)

- 3 개 이상의 재료로 구성된 경우도 적용 가능.

Mechanic

예제

문제

60M

환산 단면

목재 (①

cs of Materials

6-3

1 k-in, 1E

면의 방법을

①)와 강철(②

s, 7th ed., Jame

21,500 ksi, E

이용하여

)에서의 최대

es M. Gere &

2 30,000 k

대/최소 인장/

Barry J. Goo

ksi ,

/압축 응력을

dno

을 구하기.

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-15



풀이

강철 (②)을 목재 (①)로 환산하기로 함. 계수비 2

1

30,000 ksi 201,500 ksi

EnE

강철부분의 폭을 20 배 하여 환산단면을 구성함.

3

1 2

(3 in)(4 in)(6 in) (6.25 in)(80 in)(0.5 in) 322.0 in 5.031 in(4 in)(6 in) (80 in)(0.5 in) 64.0 in

i i

i

y Ah

A

2 16.5 in 1.469 inh h

3 21

3 22

4 4 4

1 (4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( 3 in)121 (80 in)(0.5 in) (80 in)(0.5 in)( 0.25 in)

12 171.0 in 3.01 in 231.3 in

TI h

h

목재의 수직응력:

1 4

(60 k-in)(5.031 in) 1310 psi231.3 inA

T

MyI



1 4

(60 k-in)( 0.969 in) 251 psi231.3 inC

T

MyI

강철에서의 수직응력은 환산보의 응력에 계수비 n 을 곱하여 구한다.

2 4

(60 k-in)( 1.469 in) (20) 7620 psi231.3 inB

T

My nI

2 4

(60 k-in)( 0.969 in) (20) 5030 psi231.3 inC

T

My nI

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