제 11 장 전자파 해석

11-1 개요

1) 전자파

- 전기 및 자기의 흐름에서 발생하는 전자기 에너지

- 전기장과 자기장이 반복하면서 파도처럼 퍼져나감

2) 맥스웰

- 전자파 성질을 분석할 수 있는 기본 방정식 유도

- 전자파의 파동성 밝힘

- 전자파의 속도=진공 속에서 광속, 빛도 전자파의 일종

3) 헤르쯔(Hertz)

- 전자파의 존재 사실을 실험을 통해 검증

11-2 전류의 자계 현상

(1) 비오-사바르의 법칙(Biot-savart law)

- 전류에 의한 자계를 구하는데 중요한 법칙으로 1980년 프랑스의 비오(Biot)와 사바르(Savart)의 실험에 의해 발견 (실험식)

- 도선 주위의 자기장을 구하는 법칙

- 도선에 전류 I가 흐를 때, 미소구간 dl로부터 r[m] 떨어진 P점에서의 미소자계의 세기

[AT/m] ······ (11-1)

그림 11-1 비오-사바르의 법칙

(2) 암페어(Ampere)의 오른나사 법칙

- 오른나사의 진행 방향이 도선에서의 전류의 방향이면, 오른나사의 도는 방향이 자계의 방향

그림 11-2 전류의 자기현상

그림 11-3 전류에 의한 자계

(3) 암페어의 주회적분법칙(Ampere's circuital integrating law)

- 폐곡선 C에 대한 자계 H의 선적분은 이 폐곡선과 쇄교하는 전전류의 대수화와 같다.

(도선 C에 흐르는 전류에 의해 생성되는 자계 H의 총합은 도선에 흐르는 전류의 합과 같다.)

⋅ ; N : 턴수 ······ (11-2)

그림 11-4 암페어의 주회적분 법칙

(4) 렌츠의 법칙

- 전자유도에 의해 발생되는 기전력은 자속의 변화를 방해하려는 방향으로 전류를 흘려줌

- 쇄교 자속수가 감소하면, 이 감소를 방해하기 위해 (자속 증가) 그림 11-5와 같은 전류 방향

- 쇄교 자속수가 증가하면, 이 증가를 방해하기 위해 (자속 감소) 그림 11-5와 반대 전류 방향

······ (11-3)

그림 11-5 렌즈의 법칙

(5) 패러데이의 법칙

11-3 전도전류와 변위전류

(1) 전도전류(Conduction Current)

- 도체에서 자유전자의 이동으로 생기는 전류 (저항에 있는 회로)

- 전류의 크기는 옴의 법칙에 의해 결정되며, 비오-사바르 법칙에 의해 도체 주위에 자계 발생

······ (11-8)

······ (11-9)

(2) 변위전류(Displacement Current)

- 저항이 있는 회로에서는 자유전자의 이동에 의해 전도전류가 흐르지만, 콘덴서가 있는 회로에서 콘덴서 내의 절연물에 의해 자유전자는 이동하지 못함

- 전원전압이 시간에 따라 변화하는 동안, 콘덴서 전극 사이의 유전체 내에 존재하는 구속전자의 변위에 의해 변위전류 흐름

; 극판면적 S, 전속밀도 D ····· (11-10)

······ (11-11)

그림 11-6 변위전류

- 전도전류와 변위전류가 공존하는 경우, 암페어의 주회적분 법칙

⋅

······ (11-12)

- 용량리액턴스의 개념을 도입하면, 변위전류는

A ······ (11-13)

- 변위전류밀도는

······ (11-14)

- 따라서, 전도전류밀도와 변위전류밀도를 모두 고려한 전체 전류밀도는

······ (11-15)

간격 d인 두 개의 평행판 전극 사이에 유전율 ε의 유전체가 있을 때 전극 사이에

전압 Vmcosωt를 가하면 변위 전류밀도[A/m2]를 구하라.

[풀이] 식(11-14)에서 변위 전류밀도

cos

sin

예제 11.1

11-4 맥스웰(MAXWELL)의 전자방정식

(1) 맥스웰의 제1전자 방정식

- 전도전류와 변위전류가 공존하는 경우 암페어의 주회적분법칙을 적용하면,

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

······ (11-16)

- 스토크의 정리를 이용하면(선적분→면적분),

⋅

∇×

······ (11-17)

∇×

······ (11-18)

- 전하의 이동이 없는 완전 유전체의 경우(도전율 ),

∇×

······ (11-19)

- 맥스웰 제1방정식: 전계의 시간적인 변화가 자계를 유도

(2) 맥스웰의 제2전자방정식

- 패러데이법칙: 자계의 시간적인 변화가 기전력을 발생

[V]

⋅ [V] ······ (11-20)

⋅ [wb/m2] ······ (11-21)

⋅

⋅ ······ (11-22)

- 스토크의 정리를 이용하면(선적분→면적분),

⋅

∇×

······ (11-23)

∇×

······ (11-24)

∇×

······ (11-25)

- 맥스웰 제2방정식: 자계의 시간적인 변화가 전계를 유도

(3) 기타 맥스웰의 전자방정식

1) 전계의 가우스법칙: 전속의 원천은 전하

- 폐곡면에서의 전속밀도의 총합은 폐곡면내의 전하의 총량과 같다.

div

or div ∇⋅ ······ (11-30)

2) 자계의 가우스법칙: 자속의 원천은 존재하지 않음

- 폐곡면내에서의 자계의 총합은 0

div B = 0 or ∇・B = 0 ······ (11-31)

정상 자계에서 H=jxy-kxz일 때 전류 밀도를 구하라.

[풀이] 맥스웰의 제1전자방정식인 식(11-19)를 이용하면

rot H = ∇×H

[A/m2]

예제 11.2

11-5 맥스웰(MAXWELL)의 파동방정식

(1) 자유공간에서의 파동방정식

① 전계의 파동방정식

×E = -∂B∂t

= -μ 0

∂H∂t

××E = -μ 0

∂∂t

(×H ) ······ (11-32)

(⋅E )- 2E = -μ 0

∂∂t (ε 0

∂E∂t ) ······ (11-33)

2E = μ 0ε 0

∂ 2E∂t2 ······ (11-34)

2E =1

v2

∂ 2E∂t2 ······ (11-35)

② 자계의 파동방정식

2H = μ 0ε 0

∂ 2H∂t2

······ (11-36)

2H =1

v2

∂ 2H∂t2

(2) 도전성을 가진 매질내의 파동방정식

① 전계의 파동방정식

××E = -μ∂∂t

(×H ) ······ (11-37)

(⋅E )- 2E = -μ∂∂t (σE + ε

∂E∂t ) ······ (11-38)

2E = μσ∂E∂t

+ με∂ 2E∂t2 ······ (11-39)

② 자계의 파동방정식

×H = σE + ε∂E∂t

××H = σ (×E ) +ε∂∂t

(×E ) ······ (11-40)

(⋅H )- 2H = σ (-μ ∂H∂t ) + ε

∂∂t (-μ ∂H

∂t )······ (11-41)

2H = μσ∂H∂t

+ με∂ 2H∂t2 ······ (11-42)

(3) 헤름홀쯔(Helmholtz)의 방정식

∂ 2E x

∂z 2 = kμ∂E x

∂t+ με

∂ 2E x

∂t2

······ (11-43)∂ 2Hy

∂z 2 = kμ∂Hy

∂t+ με

∂ 2Hy

∂t2

즉 E= E 0ejwt ······ (11-44)

∂E∂t

= jωE 0ejwt = jωE

∂ 2E∂t2 = j 2ω 2E 0e

jwt = - ω 2E

∂ 2E x

∂z 2 = ω 2εμ ( j kωε

-1)E x

······ (11-45)

∂ 2Hy

∂z 2 = ω 2εμ ( j kωε

-1)Hy

2E + ω 2εμ (1+kjωε ) E = 0

······ (11-46) 2H+ ω 2εμ (1+

kjωε )H = 0

2E + k2E = 0 ······ (11-47) 2H+ k2H = 0 ······ (11-48)

×E = kE + ω∂E∂t

= ( k+jω )E = jωε ( kjωε

+ 1) E

2E = jωkμ E

11-6 균일평면파(uniform plane wave)

(1) 균일평면파

그림 균일 평면파

∂ 2E x

∂x2 +∂ 2E x

∂y2 +∂ 2E x

∂z 2 + k2E x = 0 ······ (11-49)

∂ 2E x

∂z 2 + k2E x= 0 ······ (11-50)

E x = Ae- jkz+Be+ jkz ······ (11-51)

E x = Ae j(wt- kz) + Be j( wt+ kz) ······ (11-52)

( ∂E z

∂y-

∂E y

∂z ) i + ( ∂E x

∂z-

∂E z

∂x ) j + ( ∂E y

∂x-

∂Ex

∂y ) k = -μ∂∂t (Hx i + Hy j + Hzk )

······ (11-53)

-∂E x

∂zi +

∂E x

∂zj = -μ

∂∂t

Hy j ······ (11-54)

∂E x

∂z= -μ

∂∂t

Hy

= - jωμHy ······ (11-55)

Hy = -1jωμ

∂E x

∂z······ (11-56)

Hy = σωμ

Ae j(wt-kz) - Be j (wt+ kz) ······ (11-57)

ω t- kz = 일정 ······ (11-58)

ωdt- kdz = 0 ······ (11-59)

dzdt

= ωk

= vp ······ (11-60)

ω t+ kz = 일정 ······ (11-61)

dzdt

= - ωk

= - vp＜0 ······ (11-62)

(2) 고유임피던스

η 0 = Z 0 =EH

=E2

x+E2y

H2x+H2

y

=μ 0

ε 0

= 120π≒ 377 [Ω]

······ (11-63)

η= Z =EH

= με

=μ 0

ε 0

μ s

ε s

= 120πμ s

ε s······ (11-64)

그림 11-8 한 순간에서의 평면파

평면전자파의 세기가 E=Emsin (ωt- ωz

v )로 표시될 때 수중에서의 자계

의 세기 및 전파속도를 구하여라. (단, 물의 비유전율은 80, 비투자율은 1 로 한다.)

[풀이] 식(11-64)에 의하여

η=Em

Hm

=με

= 120πμ r

ε r

≒42[Ω]

이므로, H는

예제 11.3

Hm = ηEm = 42Em

즉, 수중에서 자계의 세기는

H = Hm sin (ωt- ωzv )

=42Emsin (ωt- ωzv ) [A/m]

한편, 수중의 전파속도 v는

v=1

εμ=

1

ε 0ε rμ 0μ r

=3×10 8

80= 3.5×10 7[m/s]

이다.

(3) 파장

2E = ε 0μ 0

∂ 2E∂t2

∂ 2E∂z 2 = - ω 2εμ E ······ (11-65)

E = E 0 cos (ωt- ω εμ z)

= E 0 cos (ωt1 -ωzv ) ······ (11-66)

E = E 0 cos (ω t1 -ωzv )

ωzv

= 2n π (여기서 n = 1, 2, 3, ……… )

λ=vf

······ (11-67)

λ=3×10 8

f[m] (진공일 때)

어떤 TV방송의 전자파의 주파수를 190[MHz]의 평면파로 보고 μs=1, εs

= 64인 물 속에서의 파장[m]을 구하여라.

[풀이] 파장 λ=v/f식에서

λ=3×10 8×

11×64

190×10 6 ≒0.196≒0.20

11-7 매질 내의 평면파

(1) 전송계수(propagation constant)

2E = - ω 2με eE

예제 11.4

∂ 2E x

∂z 2 = - ω 2με eE x = γ 2E x ······ (11-68)

E x = E 1ejwt- γz + E 2e

jwt+ γz

γ= α+ jβ ······ (11-69)

E x= E 1ejwtE- γz = E 1e

jwte - ( α+ j β )z = (E 1ejwt)e - αze - jβz

······ (11-70)

(2) 도전성이 무시될 수 있는 유전체 내의 평면파

×H = σ E + ε∂ E∂t

= (σ+ jωε ) E

= jω(1 + σjωε ) E

= jωε eE ······ (11-71)

ε e = jωε (1 + σjωε ) = ε (1 - j tan δ) ······ (11-72)

γ= α+ jβ= -ω 2με = jω με

α= 0

β= ω μεγ= jβ

······ (11-73)

β= ωv

=2π fv

=2πλ

······ (11-74)

9375[MHz]의 균일평면파가 μs=1, ξs=256인 폴리스티렌 내에서 전파되고 있

다. 전계의 크기가 20[V/m]이고, 매질은 무손실인 경우, 다음을 구하시오.(1) 위상정수 (2) 파장 (3) 전파속도 (4) 고유임피던스 (5) 전파정수 (6) 자계의 크기

[풀이] (1) 위상정수는

β= ω με = 2πf μ sε sε 0μ 0

= 2π×9375×10 6 2.56μ 0ε 0 = 314 [rad/m]

(2) 파장은

λ=2πβ

=2π314

= 0.02 [m]

이다.(3) 전파속도

v=ωβ

=2π×9375×10 6

314≒1.88×10 8 [m/s]

이며,(4) 고유 임피던스는 매질의 경우이므로

Z = Z 0

μ s

ε s

= 120π1

2.56= 235.6[Ω]

예제 11.5

이며,(5) 전파정수는 무손실이므로 α=0이다. 따라서

γ= α+ jβ= 0 + j314 = j314 [m-1]

이며,(6) 자계의 세기는 전계의 크기를 고유임피던스로 나누면 되므로, 만일 전계의 크기가

Em[V/m]이라면

Hm =Em

Z=

20235.6

= ≒0.085 = 85×10-3 [A/m]

(3) 손실이 있는 유전체 내의 평면파

2E = - ω 2με eE = -ω 2με ( σjωε + 1) = jωμ (σ+ jωε) E = γ 2E ······ (11-75)

γ= ± jωμ( σ+ jωε ) = jω με 1 + σjωε

······ (11-76)

(1+x) n = 1 + nx+n(n-1)

2!x2 +

n(n-1) (n-2)3!

x3 + ⋯

γ= jω με [1 - j σ2ωε

+18 ( σ

2ωε )2

+ ⋯] = α+ jβ

α= jω με ( -j σ2ωε ) = σ

2με

······ (11-77)

β= ω με [1 +18 ( σωε )

2

] ≒ω με

Z = με e

=jωμ

k+ jωε= μ

ε1

1 - j (k/ωε)=

EH

······ (11-78)

Z = με 1-

38 ( kωε )

2

+ jk

2ωε ······ (11-79)

Z =

4π×10-7

1

36π×10 9 = 14400π 2 = 120π

≒ 367 [Ω]

비유전율 εs=2.25 및 도전도 σ=10-4[/m]를 갖는 비자성체에 대해 주 파 수

2.5[MHz]에서 다음을 구하시오.(1) 탄젠트 손실 (2) 감쇠정수 (3) 위상정수

[풀이] (1) 탄젠트 손실은 σ/ωε이므로

tanθ= σωε

= σ2π fε 0ε s

=10-4

2π×2.5×10 6×2.25×8.855×10-12 ≒ 0.32

이며, (2) 감쇠정수는 식(11-77)로부터

예제 11.6

α= σ2

με

= σ2

μ 0

ε 0

μ s

ε s

= σ2

Z 0

μ s

ε s

=10-4

2×377

12.25

≒0.013

이며, (3) 위상정수도 식(11-77)로부터

β= ω με = 2π f μ 0μ sε 0ε s

= 2π×2.5×10 6 2.25μ 0ε 0 ≒0.079

이다. (4) 완전 도체 내의 평면파

γ= jωμσ

γ= ωμσ ( cos π4

+jsin π4 )

= ωμσ2

+ j ωμσ2

α= β= ωμσ2

= π fμσ ······ (11-80)

δ=1

π fμσ=

1α

=1β

[m] ······ (11-81)

R =

l2πa σδ

······ (11-82)

동선에 10[KHz] 및 10[MHz]의 교류를 흘릴 때 침투깊이 δ를 구하여라.

[풀이] 침투깊이 δ는 식(11-81)에서

δ=1

π fσμ

(1) 동선의 10[KHz]인 경우, σ= 5.8×10 7이므로

예제 11.7

δ=1

π fσμ=

1

π×10 4×5.8×10 7×4π×10-7

= 6.6×10-4[m]

이고(2) 동선의 10[MHz]인 경우, σ= 5.8×10 7이므로

δ=1

π fσμ=

1

π×10 7×5.8×10 7×4π×10-7

= 2.09×10-5[m]

이다.

11-8 Poynting벡터

We =

12E⋅D =

12ε E 2 [J/m3] ······ (11-83)

Wm =12B⋅H =

12μH 2 [J/m3] ······ (11-84)

W= We + Wm =12ε E 2 +

12μH 2 =

12

(εE 2+μH 2)

······ (11-85)

H = εμE ······ (11-86)

W=12 (ε μ

εE H+ μ

εμE H) = εμE H [J/m3] ······ (11-87)

P = Wv = εμ E H [J/m3] × 1

εμ[m/s]

= E H [W/m2] ······ (11-88)

P = E ×H [W/m2] ······ (11-89)

| P | = EH =E 2

120π[W/m2] ······ (11-90)

P= ⌠⌡s

P⋅n d s [W] = ⌠⌡s(E×H )⋅n d s [W] ······ (11-91)

P = ⌠⌡s

Pp⋅d S = ⌠⌡s

E 2

120π= ⌠⌡s

E 2

120πd S

=E 2

120π4π r 2

E =30Pr

≒ 5.5Pr

[V/m] ······ (11-92)

지구는 태양으로부터 평균 1[kW/m2]의 방사열을 받고 있다. 지구 표면에서의 전계의 세기와 자계의 세기를 각각 구하시오.

[풀이] Poynting 전력

P = E⋅H =ε 0

μ 0

E 2 =E 2

Z 0

가 된다. 따라서, ① 전계의 세기 E는

E = Z 0P = 377×10 3 = 614 [V/m]

이 되므로 ② 자계의 세기 H는

H =ε 0

μ 0

E =EZ 0

=614377

≒1.63 [A/m]

가 된다.

예제 11.8

10[kW]의 전력을 전자파의 형태로 사방에 균일하게 방사하는 전원이 있다. 전원으로부터 1[km] 거리인 곳에서의 전계의 세기[V/m]를 구하라.

[풀이] 1[km]되는 점에서 수직 단위 면적당 받는 전력은

P = E⋅H =WS

=W

4π r 2 [W/m2]이며

H =ε 0

μ 0

E =E

120π

이므로

P =E 2

120π=

W4π r 2 에서

E =120πW4π r 2 =

120×10×10 3

4×(1×10 3) 2 ≒0.548 [V/m]

이다.

11-9 전자파의 반사와 투과

(1) 전자파의 경계조건

예제 11.9

그림 11-9 경계면 양측에서의 E

⌠⌡E⋅d l = -

∂∂t⌠⌡s

B⋅dS = 0

⌠⌡E⋅d l = ⌠

⌡E t1 d l -⌠⌡E t2d l = 0

E t1 = E t2 ······ (11-93)

⌠⌡H⋅d l = ⌠

⌡s( J+ ∂D

∂t )⋅dS = 0 = ⌠⌡Ht1 d l-

⌠⌡Ht2 d l

Ht1 = Ht2 ······ (11-94)

E t1 = 0, E t2 = 0 ······ (11-95)

⌠⌡H⋅d l = ⌠

⌡Ht1dl -⌠⌡Ht2⋅dl = ⌠

⌡K⋅dl

Ht1=K, Ht2 = 0 ······ (11-96)

(2) 균일평면파가 경계면에 수직으로 입사하는 경우

E t1 = E t2 H t1 = Ht2 ······ (11-97)

그림 경계면에 입사된 균일평면파

그림 평면파의 반사와 투과

입사파 → E+1 ×H+

1 = R+1 [W/m2]

반사파 → E-1 ×H-

1 = R-1 [W/m2] ······ (11-98)

투과파 → E+2 ×H+

2 = R+2 [W/m2]

E+1 ×E-

1 = E+2

H+1 ×H-

1 = H2+ ······ (11-99)

η 1=μ 1

ε 1

=E 1

H 1

, η 2=μ 2

ε 2

=E 2

H 2

E+1 = η 1H

+1 , E-

1 = η 1H-1 , E+

2 = η 2H+2 ······ (11-100)

E 1++ E 1

-= E 2+

1η 1

E+1 -

1η 1

E 1 =1η 2

E+2 ······ (11-101)

Γ=E-

1

E+1

=η 2 - η 1

η 2+ η 1

······ (11-102)

1 +E-

1

E+1

=E+

2

E+1

······ (11-103)

1 +η 2 - η 1

η 2+ η 1

= T (투과계수) ······ (11-104)

T =E+

2

E+1

=2η 2

η 1+ η 2

······ (11-105)

SWR = ρ=|E max |

|E min |=

1 + Γ1 - Γ

······ (11-106)

입사전력 R+1 = E+

1 H+1 =

1η 1

E+ 21 [W/m2] ······ (11-107)

R-1 = E-

1 H-1 =

1η 1

E- 21 =

1η 1

Γ 2E+ 21 [W/m2] ······ (11-108)

R r =R-

1

R+1

= Γ 2 = ( η 2-η 1

η 1+η 2)2

······ (11-109)

R+2 = E+

2 + H+2 =

4η 2

(η 1+η 2)2 E+ 2

1 [W/m2] ······ (11-110)

R t =R+

2

R+1

=4η 1η 2

(η 1 + η 2)2 ······ (11-111)

그림 11-12와 같이 ε1, μ1의 매질을 진행하는 전자파 E1, H1이 ε2, μ2 의 매질과

경계면에 직각으로 입사할 때 투과파 E2, H2와 반사파 E3, H3 를 구하시오.

그림

[풀이] 경계면의 양측에서 전계와 자계와의 절선 성분은 각각 같으므로

E 1 + E 3 = E 2

H1 - H3 = H2

EH =με 또는 μH = εE이므로

ε 1 E 1 = μ 1 H1

ε 2 E 2 = μ 2 H2

ε 1 E 3 = μ 1 H3

예제 11.10

투과파

E 2 =

2μ 2

ε 2

μ 1

ε 1

+μ 2

ε 2

E 1 , H2 =

2μ 1

ε 1

μ 1

ε 1

+μ 2

ε 2

H1

반사파

E 3 =

μ 2

ε 2

-μ 1

ε 1

μ 1

ε 1

+μ 2

ε 2

E 1 , H3 =

μ 2

ε 2

-μ 1

ε 1

μ 1

ε 1

+μ 2

ε 2

H1

공기에서 유리(εr=5)간의 경계면에 수직입사하는 평면파 전계 진폭이 100 [V/m]일 때, 반사 및 투과에 대한 전계 및 전력을 구하라.

[풀이] ① 공기(I)과 유리(II)의 고유임피던스는 각각

η 1 =μ 0

ε 0

= 377 [Ω], η 2 = 37715

= 168.5 [Ω]

이므로 반사계수는 식(11-102)에서

Γ=η 2 - η 1

η 2+ η 1

= - 0.384 = - 38.4%

예제 11.11

가 되고, 투과계수는 식(11-105)에서

T =2η 2

η 1+η 2

= 0.616=61.6%

이다. 따라서 반사 및 투과 전계의 진폭은

E (반사) = Γ×100 = 38.4 [V/m]

E ( 투과) = T×100 = 61.6 [V/m]

가 된다.

② 입사전력에 대한 반사율은 식(11-109)에서

R r = Γ 2 = ( η 2-η 1

η 1+η 2)2

= 14.7%

이고, 투과율은 식(11-111)에서

R t =4η 1η 2

(η 1 + η 2)2 = 85.3%

가 된다.

③ 입사전력은 전계 및 자계의 실효치를 취하여

R+1 =

E+m

2⋅

H+m

2=

12

1η 1

E+2m

=12

1377

×(100) 2 = 13.3 [W/m 2 ]

되므로 반사전력과 투과전력은 다음과 같다.

R-1 = 13.3×0.147 ≒ 2 [W/m 2]

R-2 = 13.3×0.854 = 11.3 [W/m 2]