ELEKTROMANYETİK TEORİ O. Çakır (AU)

XII. Ulusal Parçacık Hızlandırıcıları ve Dedektörleri Yaz Okulu, HTE Gölbaşı, 2-7 Temmuz 2018

İÇİNDEKİLER

DERS 1,2

§ Skaler çarpım, Vektörel çarpım

§ Gradyent, Diverjans

§ Çizgi / Yüzey / Hacim integrali

DERS 3,4

§ Maxwell denklemleri

§ EM Dalgalar,

§ Alanlar ve özellikleri

§ Dalga kılavuzları, rezonans yapıları

2O.Cakir

BİRİMLER, FİZİKSEL NİCELİKLERBirimler

o CGS (cm, gram, saniye)

o MKS (metre, kilogram, saniye)

o HL (!0=1, "0=1) +doğal birimler (c=1, ℏ=1)

Skaler nicelikler

o Bütün koordinat eksenlerinin dönmesiyle değişmeyen nicelik. Örnek: kütle, yük yoğunluğu, vb.

Vektörel nicelikler

o Birim vektörleri (i, j, k), vektörlerin yönlerini belirtir.

o Vektörler (vektör potansiyel %⃗, elektrik alan &, momentum '⃗, vb.)

O.Cakir 3

TEMEL ELEKTROMANYETİZMAElektromanyetizmanın en temel denklemleri olan Maxwell denklemleri, kaynakların oluşturduğualanları, uzay ve zamanla alanların değişimini ve birbirleriyle ilişkilerini ifade eder. Alanlarıniçinde olduğu fiziği anlamak için gerekli matematiksel bilgi de verilecektir.

§ Durgun yüklerà elektrik alan üretir

§ Hareketli yüklerà akım oluştururà hem elektrik alan hem de manyetik alan üretir

§ N ve S kutuplu mıknatısà manyetik alan üretir

+q

!

+q

!′(x,t)

# 4O.Cakir

ELEKTROMANYETİZMAElektromanyetik etkileşme, doğadaki temel etkileşmelerden biridir. Teknolojide uygulamaları,haberleşme teknikleri, optik, tıbbi görüntüleme, bilgisayar elektroniği, hızlandırıcılar, vb.oldukça fazladır.

5O.Cakir

18. yüzyılda önemli ilerlemelerden biri, büyük miktarda yükün depolanması ve üretilmesi,bataryalar için elektrokimyasal hücrelerin geliştirilmesi olmuştur. Volta (1800), Galvani(1790)’nin iki metal levhasını tuz çözeltisinde elektrik akımı elde etmesi keşfine ek olarakbataryayı keşfetmiştir. Bundan başka, Coulomb 1785’de yükler üzerinde etki eden kuvvetiölçmek için ‘burulma terazisi’ tasarlamıştı (F~q1q2/r2).Elektrikle ilgili çağdaş anlayış 1897’de Thomson tarafından elektronun keşfiyle ortaya çıktı.

William Gilbert (1600) tarafından durgun elektrik için bir isim‘elektrik’ ve ferromanyetizma olayları için ‘manyetik’ kelimesikullanılmıştı. İlk çalışmalardan biri olan kitap ’De Magnete’ dir.Pusula iğnesinin kuzey kutba yöneldiğini Dünya’nın manyetikkuvvet uygulayan dev bir mıknatıs olduğunu göstermiştir.

ELEKTROMANYETİZMAFarklı metal levhaları aralıklı koyarak küme oluşturulduğu için birikme ‘pile-up’ kelimesindenbatarya/pil gelmektedir.

Oersted 1820’de elektrik ve manyetik etkiler üzerine herkese açık bir derste, bir metal teliçindeki elektrik akımının pusula iğnesini saptırdığını göstermiştir. Biot ve Savart 1800’lerde buetkiyi kendi laboratuvarlarında oluşturmuşlardır. Faraday 1871’de elektromanyetikindüksiyonu keşfetmiştir.

Maxwell denklemlerini 1864 yılında yayınladı. Yerdeğiştirme akımının eklenmesiyle bulunandenklemler dalga çözümlerine sahiptir.

Klasik elektromanyetizma, ışığın dalga görünümünü tanımlar, makroskopik sistemlerdeelektromanyetik olayları tanımlar.

Kuantum ve relativistik mekaniğin birleşiminde, Parçacık Fiziğinin standart modelini oluşturan üçtemel etkileşmeden biri ’kuantum elektrodinamiği (QED)’ olarak yer almaktadır. QED diğerteorilerin herbirinden daha çok kesin bir şekilde deneylerle sınanmıştır.

6O.Cakir

ELEKTROMANYETİZMAMakroskopik sistemler klasik teori ile doğru bir şekilde anlatılabilir.

Örnek 1: Bir makroskopik sistemde, enerji, yük ve alan şiddeti yeteri kadar büyüktür kibunların kuantumlanması (kesikli olması) önemini yitirir. Örneğin, I=1 A ‘lik akım taşıyan bir telinbir noktasından elektronların geçiş oranı, saniyede I/e=6x1018 dir. Burada akımın elektronlarcinsinden kesikliliği gözlenmez.

Örnek 2: Gücü P=1 kW olan !=1 MHz frekanslı bir radyo vericisinin dalga üretme oranı P/h!=1.5x1030 s-1 dir. Böylece fotonların sayısı çok büyük olduğundan radyo dalgasının ayrı ayrıfotonlardan oluştuğu gerçeğini gözlemek olası değildir.

Klasik alan, kuantum teorisi içinde alan şekillenimlerinin kuantum olasılık dağılımı üzerindenalınmış ortalama alan anlamındadır. QED’nin ortalama alanları Maxwell denklemlerinisağlarlar, böylece Maxwell klasik alan teorisi yüklü makroskopik sistemler ve dalgalar içinelektromanyetik olayların doğru bir anlatımını verir. Elektromanyetizma, atomik seviyedekuantum teorisini ve makroskopik limitte klasik teoriyi takip eder.

7O.Cakir

ELEKTROMANYETİZMA Yük korunumu: yalıtılmış bir sistemin

net yükü değişmez şeklinde ifade edilir.

Mekanik, bir cismin verilen bir kuvvetin etkisinde nasıl davranacağını söyler. Kinematik, klasik mekanikte cisimlerin veya sistemlerin hareketini tanımlayan dalıdır. Dinamik, fiziksel bir sistemin zamanla gelişimini açıklar. Kinetik, hareketi ve onun nedenlerini araştırır. Statik, denge durumundaki fiziksel sistemleri tanımlar.

Temel parçacıklar hem çok küçükhem de çok hızlı olduğundan Parçacık Fiziği kuantumlu alan teorisi (veya relativistikkuantum mekaniği) ile anlatılır.

Elektrodinamik konuları içinde klasik mekanikten özel relativite ile uyumlu bölgede çalışacağız.

Klasik Mekanik (Newton)

Kuantum Mekaniği (Bohr, Heisenberg, Schrödinger, vd.)

Özel relativite(Einstein)

Kuantumlu Alanlar Teorisi (Dirac, Pauli, Feynman, Schwinger, vd.)

Büyükàküçük

Yavaşàhızlı

Yük değişimi: +!q -!q

8O.Cakir

TEMEL PROBLEMS: Bir yerde elektrik yükleri topluluğu varken (bunlar hareket ediyor da olabilir) diğer biryerdeki yüklere ne olur?

C: Yükün etrafındaki uzayın elektrik ve manyetik alanlarla doldurulduğunu ve yüke kuvvet etkiettirdiğini, böylece alanların etkiyi (etkileşmeyi) bir yükten diğer yüke iletmiş olduğunu (veyaetkileşmeye aracılık ettiğini) söyleyebiliriz.

Elektromanyetik alanın kaynağı yüktür. Yükün özellikleri ise

a) Çeşitlilik: pozitif (+) ve negatif (-)

b) Yük korunur: evrenin toplam yükü sabittir (global yük korunumu), yerel yük korunumu ifadeeden yasa süreklilik denklemidir.

c) Yük kuantumludur: QED içinde parçacıkların yükleri temel bir birimin tam katları halindedir,parçacık fiziğinde en küçük yük birimi d-kuark yükünün büyüklüğü |e|/3’dür. Serbestgözlenebilen parçacıkların yükleri ise |e| elektron yükünün tam katları şeklinde verilir.

+q

!+q’

!’#⃗#⃗’

9O.Cakir

SKALER ÇARPIMq İki vektörün ("⃗ = "$% + "'( + ")* ve + = +$% + +'( + +)*) skaler çarpımı

"⃗. + = "$+$ + "'+' + ")+) = "-+- (tekrarlananindislerüzerindentoplamvar)

"⃗. + = |"⃗||+|BCDE

Örnek: "⃗ vektörünün tanımlanan özelliği "⃗F = G"⃗ eşitliği ile verilir. Burada R dönme matrisidir ve ortogonal özelliklidir, GH = GIJ. Şimdi böyle bir ifadeye bakalım "⃗F. +F =

G"⃗ . G+ = ("$ "' "))GHG+$+'+)

= "⃗. +

Vektörlerin büyüklükleri ve aralarındaki açı koordinatların dönmesi altında değişmez kaldığından "⃗. + değişmez kalır. Geometrik anlamı "⃗ = "K"K.

O.Cakir 10

VEKTÖREL ÇARPIMq İki vektörün ("⃗ = "$% + "'( + ")* ve + = +$% + +'( + +)*) vektörel çarpımı

"⃗×+ = "'+) − ")+' % − "$+) − ")+$ ( + ("$+' − "'+$)*

"⃗×+ =

% ( *

"$ "' ")+$ +' +)

("⃗×+)0= 1023"2+3 (tekrarlananindislerüzerindentoplamvar)

BuradaLevi-Civita tensörü

1023 = K

+1 , 1NOP = 1OPN = 1PNO−1 , 1NPO = 1ONP = 1PON0 , 1003 = 1022 = 1033

Ödev: "⃗×+ ′ vektör özelliğini R dönüşümü yaparak gösteriniz.O.Cakir 11

VEKTÖREL ÇARPIM ÖZDEŞLİKLERİq Örnek: "⃗. $×&⃗ = "⃗×$ . &⃗ olduğunu gösterelim.

İndisli gösterimde "⃗. ( = ")() ve ("⃗×$))= ,)-."-$. olduğundan

"⃗. $×&⃗ = ") $×&⃗ ) = ,)-.")$-&. elde edilir.

Eşitliğin ikinci tarafı "⃗×$ . &⃗ = "⃗×$ /&/ = ,/01"0$1&/ = ,01/"0$1&/ elde edilir.

q Örnek: "⃗× $×&⃗ = $ "⃗. &⃗ − &⃗ "⃗. $ olduğunu gösterelim.

İndisli gösterimde "⃗× $×&⃗ ) = ,)-."- $×&⃗ . = ,)-."-,./0$/&0 = ,)-.,./0"-$/&0,

burada Levi-Civita tensörlerinin çarpımını hesaplayalım:

,)-.,/01 = 3456)/ 6)0 6)16-/ 6-0 6-16./ 6.0 6.1

= 6)/ 6-06.1 − 6-16.0 − 6)0 6-/6.1 − 6-16./ + 6)1(6-/6.0 − 6-06./)O.Cakir 12

,)-.,./0 = 6)/6-0 − 6)06-/"⃗× $×&⃗ ) = "0$)&0 − "/$/&)

= $)"0&0 − &)"/$/= $ "⃗. &⃗ − &⃗ "⃗. $

,)-.,)01 = 6-06.1 − 6-16.0,)-.,)-1 = 26.1,)-.,)-. = 6

BİR SKALER FONKSİYONUN GRADYENTİSkaler: bütün koordinat eksenlerinin dönmesi ile değişmeyen bir niceliktir. Örnek: yük yoğunluğu !(x)(koordinata bağlı fakat skaler bir fonksiyondur).

Gradyent: skaler fonksiyonun kısmi türevlerini alan bir işlemcidir. ∇# sonucu bir vektör ifadedir, i,j ve k birimvektörler olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanır:

∇# =%&

%'( +

%&

%*++ %&

%,-

Soru: ∇# nin bir vektör olduğunu gösteriniz. Cevap: Koordinatların dönmesiyle bileşenlerin nasıl değiştiğinebakalım. Koordinatların dönüşümü .′ = 0. (açıkça .1

2 = 013.3 veya tersi .1 = 045 16 .6′) ile yapılır.(∇#)1 =

%&

%'9ve dönüşmüş bileşen (∇#)′1 =

%&

%'92=

%&

%':

%':%'92

= 045 31(∇#)3 = 013(∇#)3 , böylece sonucunvektör olduğu gösterilir.

Yorum: Sonsuz küçük bir yerdeğiştirme dx alalım, bu durumda f(x) değişimine bakalım:

# . + ;. − # . = ;# = ;.%&

%'+ ;=

%&

%*+ ;>

%&

%,è ?@ = ?A. (C@) bu ifade (∇#) in koordinattan

bağımsız tanımını verir. Burada ;# = ;.⃗ |∇#|FGHI yazılabilir, I=0 da df en büyük olur. (J@) ise f(x) in enbüyük artma yönünü gösterir.

13O.Cakir

?@=?A. (C@)

BİR SKALER FONKSİYONUN GRADYENTİ

14O.Cakir

Fiziksel Yorum:Skaler alana gradyentuygulanması (∇") yerel eğimi belirler. Burada,– basınç çizgileri (izobarlar)– gradyent büyük (steep) burada çizgiler birbirine yakın (basıncın hızlı değişimi)– gradyent küçük (shallow) burada çizgiler birbirinden uzak (basıncın yavaş değişimi)

BİR VEKTÖR FONKSİYONUN DİVERJANSIVektör: dönüşüm altında üç bileşeni değişebilen niceliktir. Örnek: elektrik alan vektörü.

Bir vektör fonksiyonun diverjansı (ıraksama) (∇. %⃗), bu %⃗(') fonksiyonunun ıraksamasının, yani '⃗den dışarı doğru yayılmasının bir ölçüsüdür. Sonuçta skaler bir fonksiyon olur.

∇. %⃗ = )*+),+ )*.

)/+ )*0

)1

Örnek: %⃗ ‘nin akısını hesaplayalım. 2 kenar uzunluklu bir küpün yüzeylerinden geçen akı

∮45 %⃗. 67⃗ = [%9 ' +:;<=

− %9 ' − :;<=]2= = )*<

),<2@ = (∇. %⃗)2@

(∇. %⃗) = limD→F

GD ∮5 %⃗. 67⃗ (koordinat seçiminden bağımsız tanım)

böylece ∇. %⃗ ’nin, sonsuz küçük kapalı bir yüzeyde birim hacim başına düşen akıya eşit olduğu ifade edilir.

2

22

'⃗ + HI2/2

15O.Cakir

(∇. %⃗) = lim

D→F

1MN5%⃗. 67⃗

BİR VEKTÖR FONKSİYONUN DİVERJANSI

O.Cakir 16

...

BİR VEKTÖR FONKSİYONUN ROTASYONELİBir vektör fonksiyonun rotasyoneli, bu fonksiyonun "⃗ noktası etrafında yaptığı dolanım,girdaplanma ölçüsüdür.

∇×%⃗ =

' ( )**+

**,

**-

%+ %, %-

= ' *./*,− *.1

*-− ( *./

*+− *.2

*-+ )(*.1

*+− *.2

*,)

∇×%⃗ 6 = 7689*.:*+;

(indislerle gösterim)

Rotasyonelin koordinat seçiminden bağımsız tanımı

<=. ∇×%⃗ = limB→D

EB ∮ %⃗. GH⃗ ile verilir.

O.Cakir 17

<=. ∇×%⃗

= limB→

D

1JK %⃗

. GH⃗

2B VEKTÖR FONKSİYONUN DİVERJANS VE ROTASYONELİ

O.Cakir 18

∇ " $⃗ = 0, ∇×$⃗ ≠ 0 ∇ " $⃗ ≠ 0, ∇×$⃗ = 0

ELEKTROMANYETİZMADA İNTEGRAL İFADELERElektromanyetizmada çoğunlukla üç tür integral ile karşılaşılır. Bunlar, çizgi integrali, yüzeyintegrali ve hacim integralidir.

Stokes Teoremi: Kapalı bir C eğrisi çevresinde bir vektör fonksiyonun dolanımının, C ilesınırlandırılmış herhangi bir S yüzeyinden geçen rotasyonelin akısına eşit olduğunu ifade eder.

∮" $⃗. &'⃗ = ∫* ∇×$⃗ . &-⃗ (eşitliğin sağ tarafı akı ifadesidir)

Örnek: $⃗ .⃗ = .⃗ için ∇. $⃗ ve ∇×$⃗ ifadelerini hesaplayınız.

∇. $⃗ = 1 + 1 + 1 = 3. Üç-boyutta r yarıçaplı bir küreden geçen akı ∮ $⃗. &-⃗ = 2- = 24425 ve∫∇. $⃗&6. = 37 = 4426. Burada ∫* ∇×$⃗ . &-⃗ = ∮" $⃗. &'⃗, ayrıca problemde $⃗ ⊥ &'⃗ alınır.

19O.Cakir

CS

ELEKTROMANYETİZMADA İNTEGRAL İFADELERGauss Teoremi: kapalı bir S yüzeyinden dışarı doğru olan bir vektör niceliğin akısı kapalı Vhacmi üzerinden diverjansının integraline eşit olduğunu ifade eder.

∮" $⃗. &'⃗ = ∫* ∇. $⃗ &,- (eşitliğin sol tarafı akı ifadesidir)

20O.Cakir

SV

İç yüzeylerdeki akı integralleri birbirini yok eder.

Elektrik alan için Gauss Yasası:Bir V hacmini çevreleyen S yüzeyi içinde q1, q2,.. yükleri bulunmaktadır, yüzeyden geçen elektrik akısı

."/ 0 12&' = .

*∇. / &,- = .

*

345&6

7 = ."/ 0 12&' =8

9

:;45= <45

• Yüklerin hacim içinde nasıl dağıldığından bağımsız• Parçacıkların hareketli veya sabit olmasından bağımsız• Parçacıkların vakumda veya malzeme içinde olmasından

bağımsız

ALIŞTIRMALARS1. f(z)=Cz skaler fonksiyonunun gradyentini hesaplayınız ve bunun geometrik yorumunuyapınız.

C1. Skaler fonksiyonun gradyenti ∇" # = %%& ' +

%%) * +

%%+ , -# = -, (z-ekseni yönünde

sabit bir fonksiyon elde edilir). Gradyent fonksiyonun en büyük artma yönünü gösterir, böyleceartma z-ekseni yönündedir. Fonksiyonun gradyenti büyüklüğü bu yönde fonksiyonun eğimidir,bunun değeri ise C sabitidir.

S2. /⃗(1) = -1' vektör fonksiyonunun diverjansını hesaplayınız, ve geometrik yorumunu yapınız.C2. Vektör fonksiyonun diverjansı ∇. /⃗ = %

%& ' +%%) * +

%%+ , . -1' = - (sabit).

Burada ∇. /⃗, C>0 için bir x noktasını çevreleyen yüzeydendışarıya (sağa) doğru /⃗ nin net akısı olarak tanımlanır.O.Cakir 21

x

y /⃗(1)

yüzey

ALIŞTIRMALARS3. "⃗($) = '$( vektör fonksiyonunun rotasyonelini hesaplayınız ve sonucun geometrikyorumunu yapınız.

C3. Vektör fonksiyonun rotasyoneli ∇×"⃗ = ++, - +

++/ ( +

++0 1 × '$( = '1 (sabit).

∇×"⃗, x noktası etrafında "⃗ nin dolanımını tanımlar, halkanın sağındaki akış, sol taraftakiakıştan daha büyüktür, halka etrafında net dolanım elde edilir.

S4. Bir 2($) fonksiyonunun gradyentinin diverjansını alınız.C4. Bu işlemde laplasyen ∇3 elde edilir. ∇. ∇2 = ∇32 = +56

+,5 ++56+/5 +

+56+05

elde edilir.

O.Cakir 22

x

y "⃗($)

halka

COULOMB YASASIAralarındaki uzaklık r olan iki noktasal yüklü parçacık arasındaki kuvvet

a) herbir yükün büyüklüğü ile doğru orantılıdır

b) aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır

c) yükleri birleştiren doğru boyunca yönelmiştir

d) zıt işaretli yükler için kuvvet çekicidir, aynı işaretli yükler için kuvvet iticidir.

Yüklü parçacığa çevresindeki diğer yüklü parçacıklar tarafından etki eden kuvvetlerin vektörel toplamı net kuvveti verir (toplanabilirlik ilkesi vardır).

Şekildeki gibi "⃗# konumundaki q1 yüküne, diğer "⃗$ konumundaki q2 yükü tarafından etki eden kuvvet

%⃗ = '(1(2("⃗# − "⃗$)/|"⃗# − "⃗$|3 = '(1(2 ∆2" /|"⃗# − "⃗$|2ve son terimde ∆"⃗ = |∆"⃗|∆2" ile verilir.

Burada ' = #3456

ve 78 = 8.854×10?#$ C2/N.m2 alınır.

O.Cakir 23

"⃗$

"⃗#

q2

q1

∆"⃗

%⃗

ELEKTROSTATİK POTANSİYELElektrik alan ! bir skaler elektrostatik potansiyelden çıkarılabilir, ! = −∇% ve elektrik alanın diverjansı ∇. ! = −∇2% = ()*

(+) +()*(-)+

()*(.) =

/(+,-,.)34

∇2% = /(+,-,.)34

şeklinde yazılabilir.

Örnek: Yük verildiğinde skaler potansiyeli hesaplayabiliriz, elektrik alanı bulabiliriz.

%(5) = 678349

! = −∇% 5 = 67834

: 9⃗9<Burada daha gerçekçi bir yük dağılımı şöyle olabilir:

O.Cakir 24

AMPER YASASIAkımlar magnetik alan oluşturur, akım yoğunluğu !(#)verildiğinde manyetik alanı hesaplayabiliriz.

∇×' = )*,⃗veya integral formu

∫. ∇×' . 01⃗ = )* ∫. ,⃗. 01⃗ = )*2Biot-Savart yasasından

' = 3456 ∮ 2

8⃗×9:⃗8; = 34<

=68 >?

O.Cakir 25

Not: Zamanla değişen elektrik alanı damagnetik alan üretebilir (Maxwellyerdeğiştirme akımı)

∇×' = )*,⃗0 = @*)*ABAC

MAXWELL DENKLEMLERİVakumda Maxwell denklemleri (mikroskopikdenklemler)

∇ " # =%

&'

∇ " ( = 0

∇×# = −,-

,.

∇×( = /0(3⃗ + 50,6

,.)

O.Cakir 26

Malzeme içinde Maxwell denklemleri (makroskopik denklemler)

∇ " 8 = 9

∇ " ( = 0

∇×# = −,-

,.

∇×: = (3⃗ +,;

,.)

Malzemeiçinde:8 = 5H50# = 50#+ I( = /H/0: = /0:+ J

bağıl geçirgenlik

Vakumda:8 = 50# ve ( = /0:

Integral form

VAKUMDA ELEKTROMANYETİK DALGALARMaxwell denklemlerinin önemli bir başarısı da elektromanyetik dalgaları tahmin etmesidir.

(∇×$) = − (()(*)denklemini ele alalım. Her iki tarafa rotasyonel uygulayalım

∇× ∇×$ = ∇ ∇. $ − ∇2$è ∇2$ = (

(* ∇×- = ./0/ (12(*1

∇2- = 341(1)(*1 = ./0/ (

1)(*1

Bu denklemlerin çözümünden

O.Cakir 27

EM Dalgalar:* EM dalgaların hızı c= 5/k (vakumda)• $ ⊥ - ⊥ 7 --> 7×$0=5-0

SINIR KOŞULLARIElektromanyetik dalgalar, farklı ! ve " yesahip iki ortam arasındaki sınırdangeçerken, bazı sınır koşulları sağlanmasıgerekir. Yüzey yüklerinin olmadığınıvarsayarsak, ve ∇×% = 0 alarak % alanınenine bileşenleri sınırda ( %() = %(* ) olur,benzer şekilde ∇. , = - olduğundan ,alanının normal bileşeni sürekli olmalı (,.) =,.* ). Benzer sebeplerden dolayı magnetikalanlar için sınır koşulları ∇×/ = 1⃗ den(/() = /(*) ve ∇. 2 = 0 dan (2.) = 2.*).

O.Cakir 28

Elektrik alanlar için sınır koşulları

Manyetik alanlar için sınır koşulları

Kırılma indisi 3 = !"

DALGA KILAVUZLARI, REZONANS YAPILARIHızlandırıcı Fiziğinde ve teknolojilerinde özel ilgi alanı, elektromanyetik dalgaların dalgakılavuzları ve kaviteler içinde yayılmasıdır. Bu davranış sınır koşulları ile belirlenir.Dalga kılavuzları (wave guides): dalgalar bir yönde ilerleyecek şekilde 2 boyuttasınırlandırılmıştır (sağdaki şekil).

Kaviteler (cavities): kaviteler elektromanyetik dalgalar için 3 boyutlu depo olarak görülebilir(soldaki şekil). Dalga fonksiyonları içerde tanımlanmıştır, böylece fiziksel boyutlar uyumlumaksimum dalga boyunu belirler. Bu durum,kavite duvarlarında sınır koşulları nedeniyle gerçekleşir.Dikdörtgen bir kavite için elektrik alan bileşenleri:

O.Cakir 29

Kavite(cavity)

Dalga kılavuzu (wave guide)

DALGA KILAVUZLARI, REZONANS YAPILARI

O.Cakir 30

Kavite(cavity)

Dalga kılavuzu (wave guide)

Kavite için manyetik alan bileşenleri (∇×# = −&'&( )

ifadesinden hesaplanabilir:

Kavite için sonuçlar:

• Alanlar iletken sınırlarında sıfır (0) olmalı

• )*+ + )-+ + ).+ = /010

• )* = 2*34 , )- = 2-3

5 , ). = 2.31

Dalga kılavuzu:

• )*+ + )-+ = /010

• )* = 2*34 , )- = 2-3

5

Burada mx, my, mztamsayılar, mod numaralarına karşı gelir.

DALGA KILAVUZLARI, REZONANS YAPILARI

O.Cakir 31

Kavite(cavity)

Dalga kılavuzu (wave guide)

Kavite için dalga sayısı ifadeleri, yarım dalgaboyunun kavite boyutlarına uyduğu söylenebilir.

Kaviteye uyan modlar !" =

$% , !

" =$& , !

" =$'.)

alınır. Dalganın sınırda sahip olduğu nodlarabaktığımızda, sadece ilk 2 dalgaboyu bu koşulusağlar.

İzin verilen modlar:

* = +/2 , * = 2+ alınır.

DALGA KILAVUZLARI, REZONANS YAPILARI

O.Cakir 32

Kavite(cavity)

Dalga kılavuzu (wave guide)

Dalga kılavuzunda çözümler:

Sınırlarda dalga olmamalı,koşullardan sonra:

• !"# + !%# + !&# = ()*)

• !" = +",- , !% = +%,

.

Kesilim frekansı hesaplayalım: !&# = ()*) − !"

# − !%#

Kayıpsız aktarım için !& reel olmalı, ()

*) < !"# + !%#12 = 3c/a (kesilim frekansı)

+

O.Cakir 33