o niektórych kształtach linii rezonansowych stosowanych w erp

O niektórych kształtach linii rezonansowych stosowanych w

ERP

oraz o paru innych tematach przy tej okazji

Plan seminarium

• Podejście fenomenologiczne i stochastyczne do znajdywania kształtu linii

• Klasyczne kształty linii rezonansowych: Lorentz, Gauss, Voigt

• Statystyka i kształt linii Tsallis’a• Zastosowanie badania kształtu

linii do wyznaczania wymiarowości układu spinowego

Kształt linii rezonansowej – jak go otrzymać?

Kształt linii rezonansowej można otrzymać stosując dwa różne podejścia:

• Fenomenologiczne - rozwiązując równanie ruchu magnetyzacji, w którym zawarte są człony opisujące tłumienie (Bloch)

• Stochastyczne - rozważając modele stochastycznych fluktuacji częstotliwości rezonansowej (Kubo)

Kształt linii – podejście fenomenologiczne


• Równania Blocha


Dotyczy kształtów linii szerokich (np. FMR, SPR)

Berger, Bissey, Kliava (1)• Bloch-Bloembergen (1950, NMR→FMR)

Wady modelu:

•Zerowa absorpcja dla B=0

•Ujemna absorpcja dla B<0, kołowa polaryzacja,

Berger, Bissey, Kliava (2)

• Zmodyfikowany Bloch-Bloembergen

Garstens, Kaplan (1955)

•Relaksacja podłużna wzdłuż kierunku efektywnego pola magnetycznego


• Gilbert (1955)

Równanie ruchu powinno zawierać człon z szybkością relaksacji proporcjonalną do szybkości zmiany magnetyzacji


• Landau-Lifshitz (1935)Człon tłumiący zawiera szybkość relaksacji proporcjonalną do składnika precesyjnego M. Jest równoważne równaniom Gilberta dla małego tłumienia

Równania na podatność są takie same jak w przypadku zmodyfikowanego Blocha-Bloembergena

Berger, Bissey, Kliava (5)• Callen (1958)

Kształt linii - podejście stochastyczne (1)• Funkcja korelacji – G(τ)

Kształt linii - podejście stochastyczne (2)• Funkcja gęstości spektralnej J(ω)

Wniosek: maksymalny wkład do częstości ω jest wtedy, gdy c=1/ ω

a,b,c – malejący czas korelacji

Kształt linii - podejście stochastyczne (3)

• Stochastyczny model fluktuacji gaussowskich

•Funkcja relaksacji (t)

Dla takich fluktuacji gaussowskich funkcja korelacji wyraża się równaniem

gdzie funkcja () charakteryzuje fluktuacje lokalnego pola dipolowego modulowanego oddziaływaniem wymiennym

Kształt linii - podejście stochastyczne (4)

• Długi czas korelacji →kształt linii Gaussat<<c

• Krótki czas korelacji →kształt linii Loentzat>>c, funkcja zaniknie, zanim osiągniemy górną granicę całki t

•Przypadek ogólny

Origin: Lorentz

2500 3000 3500 40000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

y0=1000

w=300 Gsx

c=3300 Gs

A=4 241 150

Ab

sorp

cja

Pole magnetyczne [Gs]

Lorentz

FWHM=w=300 Gs

szerokosc nachyleniowa=w/sqrt(3)=173 Gs

w

Hendrik Antoon Lorentz(1853-1928)

Origin: Gauss

2500 3000 3500 40000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Ab

sorp

cja


w1

FWHM=w1=w*sqrt(ln(4))=353.2 Gs

y0=1000

w=300 Gsx

c=3300 Gs

A=3 383 948,7wszerokosc nachyleniowa=w=300 Gs

Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

Voigt

Woldemar Voigt (1850-1918)

Göttingen Universität Kształt Voigt’a V(x,σ,γ) jest konwolucją kształtu Gaussa G(x,σ)

i kształtu Lorentza L(x,γ)

Voigt, pseudo-Voigt

Origin: Voigt

2500 3000 3500 40000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

y0=1000

wL=300 Gs

wG=300 Gs

xc=3300 Gs

A=6 011 887,68

Ab

sorp

cja


Voigt

FWHM=486 Gs

Voigt: porównanie

2500 3000 3500 40000

3000

6000

9000

12000

15000

18000

21000V o igty

0=1 0 0 0

wL=1 -3 0 0 Gs

wG

=1 -3 0 0 Gs

xc=3 3 0 0 Gs

A =6 0 1 1 8 8 7 ,6 8

Abs

orpc

ja


wL=1 , w

G=3 0 0

wL=1 0 0 , w

G=3 0 0

wL=2 0 0 , w

G=3 0 0

wL=3 0 0 , w

G=3 0 0

wL=3 0 0 , w

G=2 0 0

wL=3 0 0 , w

G=1 0 0

wL=3 0 0 , w

G=1

Porównanie kształtów: Gauss vs. Lorentz vs. Voigt

2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 40000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Ab

so

rpc

ja


y0=1 0 0 0

xc=3 3 0 0 Gs

w=wL=w

G= 3 0 0 Gs

A =3 3 8 3 9 4 8 (Ga uss)A =4 2 4 1 1 5 0 (L o re ntz)A =6 0 1 1 8 8 7 (V o igt)

(3 3 0 0 Gs, 1 0 0 0 )

Porównanie kształtów: monokryształ YVO4

5055 5060 5065 5070 5075

0

10000

20000

30000

40000

50000A

bsor

pcja

[j. u

.]


Model: Voigt (red)Chi^2 /Do F = 5 1 7 6 1 0 6 .1 7 7 9 8R^2 = 0 .9 8 1 5 3 y0 -1 7 0 7 .8 2 4 3 2 ± 1 6 5 5 .0 1 0 4 9xc 5 0 5 7 .2 6 4 9 1 ± 9 .7 8 7 0 1A 4 0 4 2 2 0 .9 1 9 5 1 ± 2 0 0 5 0 2 .4 3 1 5 6wG 3 .6 7 6 6 1 ± 1 .1 3 0 3 5wL 3 .9 3 1 0 6 ± 1 .3 8 3 6

Model: Gauss (black)Chi^2 /Do F = 2 8 3 4 7 9 4 .5 0 5 9 6R^2 = 0 .9 8 9 6 8 y0 1 2 1 6 .5 5 0 4 9 ±2 8 9 .9 4 4 7 6xc 5 0 5 7 .3 4 3 4 6 ±0 .0 4 6 5 3w 4 .2 6 3 7 2 ±0 .1 0 8 8 2A 2 4 4 3 0 4 .1 5 1 9 1 ±5 7 8 0 .9 4 9 6 1

Model: Lorentz (blue)Chi^2 /Do F = 2 4 0 5 0 1 .2 0 8 7 4R^2 = 0 .9 9 9 1 2 y0 -1 3 0 7 .4 5 7 8 7 ±1 0 3 .3 1 8 2 4xc 5 0 5 7 .2 9 9 3 3 ±0 .0 1 1 6 1w 4 .6 1 4 9 7 ±0 .0 4 4 4 8A 3 7 2 1 6 8 .9 9 5 0 5 ±3 2 0 4 .2 8 4 3 7

Porównanie: monokryształ, różnica X3

5055 5060 5065 5070 5075 5080

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000Y

exp-Y

teor

et


Ga u ss

L o re n tz

Vo ig t

Porównanie kształtów: proszek TiC/C

3350 3360 3370 3380 3390 3400-100000

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

Abs

orbc

ja [j

.u.]


M o d e l : G a u s s (b la c k )

C h i ^2 /D o F = 7 0 ,7 E 6

R ^2 = 0 .9 9 8 9 2

y 0 7 4 0 6 .9 4 5 9 ± 5 8 3 .9 9 7 0 3

x c 3 3 7 5 .7 9 5 6 2 ± 0 .0 1 0 7

w 1 1 .8 8 4 6 ±0 .0 2 5 0 5

A 1 1 2 2 0 6 9 7 .3 9 3 9 2 ± 2 5 4 2 7 .9 7 6 3 9

M o d e l : L o r e n tz (b lu e )

C h i ^2 /D o F = 3 6 7 E 6

R ^2 = 0 .9 9 4 3 7

y 0 -7 4 7 2 4 .7 4 7 3 1 ± 2 0 0 8 .2 6 2 4 3

x c 3 3 7 5 .8 0 1 4 8 ± 0 .0 2 3 9 8

w 1 3 .7 0 7 9 1 ± 0 .1 0 3 9 5

A 1 8 8 4 4 9 8 7 .6 6 5 9 9 ± 1 4 5 0 1 1 .0 0 0 7 4

M o d e l : V o ig t (r e d )

C h i ^2 /D o F = 6 ,4 E 6

R ^2 = 0 .9 9 9 9

y 0 -1 7 9 9 0 .4 9 0 7 6 ±4 2 7 .4 5 6 6 6

x c 3 3 7 5 .7 6 8 8 7 ±0 .0 0 8 7 4

A 1 3 4 4 7 0 9 7 .1 8 1 2 4 ±3 5 9 1 9 .0 0 3 6 3

w G 1 1 .1 5 2 7 1 ±0 .0 4 7

w L 4 .8 0 3 0 3 ± 0 .0 7 1 6 8

Porównanie: proszek, różnica X13

3350 3360 3370 3380 3390 3400

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000Y

exp

-Yte

oret


Voigt

Lorentz

G auss

Kształt Tsallis’a

Contantino Tsallis (1943, Athens)

TSALLIS, C. 1988. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics. Journal of Statistical Physics, vol. 52, p. 479-487.

Statystyka Tsallis’a (1)• Entropia

– (1865) Clausius, makroskopowa, dS=δQ/T– (1872-7) Boltzmann, mikroskopowa, entropia

Boltzmanna-Gibbsa

Uogólnienie statystyki Boltzmanna-Gibbsa

- (1988) Tsallis

Addytywność jest słuszna dla układu, który składa się z niezależnych (kwaziniezależnych) części – oddziaływują siłami krótkozasięgowymi lub w przypadku układu kwantowego słabo splątanego.

Statystyka Tsallis’a (2)

• Nieaddytywna entropia

Dla układów składających się z części silnie skorelowanych (oddziaływania dalekozasięgowe, kwantowo silnie splątane)

Statystyka Tsallis’a (3)• Nieekstensywna mechanika statystyczna

Tsallis (4)

Tsallis -zastosowanie w ERP

Tsallis: różne parametry q

2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

500

1000

1500

2000A

bsor

pcja


xc=3300 Gs

w=300 GsA=2000

q=5,5q=2,5q=2q=1,5q=1

Tsallis: różne parametry q

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-6

-4

-2

0

2

4

6

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-6

-4

-2

0

2

4

6

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-6

-4

-2

0

2

4

6

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-6

-4

-2

0

2

4

6

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-6

-4

-2

0

2

4

6

q=1,5

xc=3300 Gs

w=300 GsA=2000

q=5,5

q=2,5

q=1,0

q=2,0

Abs

orpc

ja


Tsallis:q=1=Gauss

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

A Gauss fit of F1_A Lorentz fit of F1_A

Ab

sorp

cja


q=1.001

Tsallis:q=2=Lorentz

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35A

bso

rpcj

a


B Lorentz fit of F2_B Gauss fit of F2_B

q=2.001

Tsallis

2000 2500 3000 3500 4000 4500

-0,002

0,000

0,002

Po

cho

dn

a a

bso

rpcj

i


dY/dB=[(2q- 1-1)/(q-1)]*(2/(w 2))*(Br-x)*[1+(2 q- 1-1)*((x-B

r)/w) 2] - q /( q- 1)

q=3.5q=1.1q=1.5

q=1.9

Br=3300 Gs

w=300 Gs

Tsallis: proszek

3350 3360 3370 3380 3390 3400-100000

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000Model: tsallisChi^2/DoF = 4008850.44063R^2 = 0.99994 P1 1.18848 ±0.00225P2 3375.77721 ±0.0068P3 6.8247 ±0.00415P4 772391.29377 ±414.37852

Ab

sorp

cja


Tsallis: proszek, różnica X 45

3350 3360 3370 3380 3390 3400

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

3350 3360 3370 3380 3390 3400

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

Ye

xp-Y

teo

ret


Voigt

Lorentz

Gauss

Tsallis

Tsallis: monokryształ

5055 5060 5065 5070 50750

10000

20000

30000

40000

50000 Model: tsallisChi^2/DoF = 220563.89239R^2 = 0.9992 P1 1.70079 ±0.02441P2 5057.33386 ±1.70077P3 2.27296 ±0.01918P4 49881.80544 ±3331.38797

Abs

orp

cja


Tsallis: monokryształ

5055 5060 5065 5070 5075 5080

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

5055 5060 5065 5070 5075 5080-11000

-10000

-9000

-8000

-7000

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Yex

p-Yte

oret


Gauss

Lorentz

Voigt

Tsallis

Kształt linii a wymiar

Mo, Jiang, Ke (2)

0 2 4 6 8 100,0

0,5

1,0

1,5

2,0

funk

cja

kore

lacj

i

czas

n=0n=0,5n=1n=1,5n=2n=2,5n=3

=C -n/2 C=1

Funkcja korelacji ()

Funkcja relaksacji φ(t)(zanik poprzecznej magnetyzacji)

Mo, Jiang, Ke (3)

0 1 2 30,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Fun

kcja

re

laks

acj

i

Czas

n=0n=0.5n=1n=1.5n=2

n=2, B(0,2)=complex infinityn=3, B(-1/2,2)=-4

Mo, Jiang, Ke (4) – wykresy kształtu

Wykres kształtu dla Tsallis'a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

35

q=3

q=1

q=2

q=1.5

Y(H

0)/Y

(H)

[(H-H0)/H

1/2]2

3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 50000

500

1000

1500

2000

Abs

orpc

ja


q=3q=2q=1,5q=1

EPR układów spinowych 1D

EPR układów spinowych 2D

Dla układu 3D: (1+3cos2θ)

Wpływ dyspersji na kształ linii (1)

Wpływ dyspersji na kształ linii (2)

Wnioski:• W fitowaniu linii EPR czasami warto

spróbować kształtu Voigta lubTsallisa

• Wykres kształtu pomoże zobrazować zmiany kształtu linii rezonansowej

• Kształt linii może być zdeformowany przez dodatek dyspersji

• Kształt linii silnie zależy od konkretnych mechanizmów relaksacji spinowej → porównać z materiałami z podobnej klasy magnetyków

o niektórych kształtach linii rezonansowych stosowanych w erp

Documents