números realesia

Mg. John Cubas Snchez

CLCULO VECTORIAL

Mdulo: 1 Unidad: 1 Semana: 1

NMEROS REALES

Mg. John Cubas Snchez 2

ORIENTACIONES

Para la presente unidad se recomienda.

Al finalizar la unidad realice un Mapa mental que resuma los contenidos aprendidos.

Identifique en que situaciones se puede aplicar las diferentes categoras de nmeros.


CONTENIDOS TEMTICOS

Sistemas Numricos

Igualdades y desigualdades numricas

Intervalos

Propiedades de los nmeros reales

Ecuaciones e inecuaciones de primer grado

Ejercicios de aplicacin


Los nmeros naturales son los que nos

sirven para contar:

N = {0, 1, 2, 3, 4, ......., 100, 101, 102, ......}

Al conjunto de los nmeros naturales lo designaremos:

Es un conjunto perfectamente ordenado, es decir, elegidos dos nmeros

naturales cualesquiera, siempre uno es menor, mayor o igual que el otro.

Pueden representarse sobre una recta de la siguiente manera:

0 1 2 3 4 5 6 ...


A veces para contar se requieren tambin nmeros

negativos: el saldo de una cuenta podra ser -234 euros,

los pulsadores de un ascensor pueden contener botones

que marquen -1 -2 indicando 1 o 2 stano, ...

Los nmeros enteros negativos junto con los nmeros

naturales forman el conjunto de los nmeros enteros,

que designaremos por:

Se pueden representar tambin sobre una recta del siguiente modo:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

Esta forma de ser representados supone el siguiente criterio de ordenacin:

Los naturales (enteros positivos) ya estaban ordenados

Todo entero positivo es mayor que uno negativo Si un n natural a es menor que otro b, entonces -a es mayor que -b


Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y

nmeros decimales, por ejemplo cuando decimos que nos

corresponden 2/3 de una cantidad, o cuando algo nos cuesta

2,35 euros; es decir, nos permite repartir.

Las fracciones pueden convertirse a forma decimal (exacta,

peridica pura o peridica mixta) y viceversa.

stas forman los nmeros racionales, conjunto que

representaremos por:

Si en una fraccin el numerador es mltiplo del denominador,

dicha fraccin es un nmero entero, por tanto:

Tambin los nmero racionales pueden todos ser representados sobre una recta:

An cuando representsemos todos los nmeros racionales sobre la recta, quedaran

puntos de la recta sin cubrir, dicho de manera coloquial quedaran agujeros.

-5,9 -10/3 -3/2 2,2 6,7


La expresin decimal es peridica mixta:

La expresin decimal es exacta: 25,24

9

La expresin decimal es peridica pura: ...666,13

5

...83333,26

17

Cuidado: algunas calculadoras

redondean

1. Nmeros racionales: paso de fraccin a decimal

5

3


EJEMPLOS

Pasar a decimal 3/4 Pasar a decimal 14/11 Pasar a decimal 13/6

0,75

Decimal exacto

1,2727...

Decimal peridico puro 2,166...

Decimal peridico mixto

3, 0 4

20 0,75

0

3 4

= 0,75


Partes de un nmero decimal peridico mixto

Perodo:

cuarto

bloque.

Perodo:

primer

bloque.

Anteperodo Parte entera

Notacin: reducimos la escritura.

x = 2 4 78 78 78 78 .

Todo nmero decimal peridico (por ejemplo 2,478787878 = 2,478) tiene tres partes:

x = 2,47878.... = 2,478

Observa que los nmeros decimales exactos y los nmeros enteros se pueden

considerar peridicos sin ms que agregar ceros a la derecha.

0,75 = 0,75000000... 3 = 3,000000...

Todo nmero racional se puede expresar siempre en forma decimal peridica.


El decimal peridico 1,25000 = 1,25 es tambin un decimal exacto. Para pasarlo a fraccin

multiplicamos por 100 la igualdad x = 1,25, es

decir, 100x = 125, x = = 5

4

125

100

Cul es la forma fraccionaria de x = 1,333 [1]?

1. Se multiplica en [1] por 10: 10x = 13,333

2. Se escribe el valor de x: x = 1,333

3. Se restan las dos igualdades: 10x x = 13,333 1,333

9x = 13 1

4. Se despeja x:

Decimal peridico puro

Decimal exacto

x = = = 12

9

13 1 9

4

3

1. Nmeros racionales: paso de decimal a fraccin


Todo nmero decimal peridico se puede expresar siempre en forma

fraccionaria.

Decimal peridico mixto

Cul es la forma fraccionaria de x = 1,31818 [2]?

1. Se multiplica en [2] por 1.000: 1000x = 1318,1818 [3]

2. Se multiplica en [2] por 10

para obtener otro nmero con

la misma parte decimal: 10x = 13,1818 [4]

3. Se restan las dos

igualdades [3] [4]: 1000x 10x = 1318,1818 13,1818

990x = 1318 13

de donde x = = = 29 22

1318 13 990

1305

990


Hay nmeros decimales que no son exactos, ni peridicos puros ni

peridicos mixtos. Por ejemplo, si con la calculadora calculamos:

Observamos que sus cifras decimales son infinitas y no siguen ninguna

periodicidad, no es por tanto un nmero racional.

Los nmeros con esa expresin decimal son los nmeros

irracionales, conjunto que representaremos por:

Todas las races no exactas son irracionales. El nmero p = 3,14159265358... es irracional. Existen otros muchos nmeros irracionales entre los que destaca el nmero de Oro o nmero Areo:


I

..., 7414213562312

2

51

LA RAZ CUADRADA DE 2

La raz cuadrada de 3, 5, 7, 11, .. , tambin son nmeros irracionales.


EL NMERO p


nmero de Euler e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135....

C = c ert

En matemtica financiera se

utiliza para calcular el

inters continuo

Habais imaginado alguna vez

que vuestros ahorros y vuestras

hipotecas estaban bajo el control

del nmero e?

Algunas frmulas en las

que aparece el nmero e

EL NMERO e


El Partenn, mostrando los

rectngulos ureos usados

posiblemente en su

construccin.

Rectngulo cuyos lados estn

en proporcin urea.

Espiral de oro con un

rectngulo ureo

Con su conocido dibujo del

hombre de Vitrubio,

Leonardo da Vinci ilustr el

libro "La Divina Proporcin"

del matemtico Luca Pacioli,

editado en 1509.

EL NMERO UREO,



Ahora si representsemos los irracionales sobre la misma recta que

habamos representado los racionales, ya quedaran cubiertos todos los

puntos de la misma.

A cada punto de la recta le corresponde un nmero real y viceversa, cada nmero real tiene su punto. Por esto diremos que los Nos reales son un

conjunto completo.

R Al conjunto formado por los racionales junto con los irracionales

lo llamaremos conjunto de los nmeros Reales y lo

denotaremos:

R = Q I N Z Q R

I R

EL ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS DE NMEROS QUE

CONOCEMOS QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA:

5 0

12 1

125 .....

-3

-14

-6 -18

-1 .....


I

2

3

61,

5

1

7

16

253,6312

,

2

p

e

3 5


- 9 2,34 + 1 - 3

N

Z

Q

I

R

Complete la siguiente tabla

3 3 8


Nmeros enteros (Z)

Nmeros Reales (R)

Nmeros irracionales (Q= I)

Nmeros Enteros

negativos Z-

Cero (0)

Nmeros Enteros

positivos Z+

= N0

Diagrama de los Conjuntos Numricos

Nmeros racionales (Q)

0, nn

m


Identifique e indique cul de los siguientes nmeros es Q o I

688772935 7320508075 , 1 3

897932384 1415926535 , 3

3 , 0 ... 33333 , 0 3

1

0,75 4

3

p

Si el nmero es racional entonces su parte decimal correspondiente es finita o se repite peridicamente.

Si es Irracional tiene una expresin decimal infinita y no peridica.

Ejercicio:


Siempre entre dos nmeros reales hay otro nmero real; de ah que se asocie al conjunto de los nmeros reales con una recta. La recta est formada por infinitos puntos y cada punto representara un nmero real, de ah que a dicha recta suela llamrsele recta real o eje real.

La recta numrica real (R)

- -3 -2 -1 0 1 2 3

3 p2

Orden de los nmeros reales Sean a y b cuales quiera dos nmeros

reales. Smbolo Definicin Se lee

a > b a - b es positivo. a es mayor que b

a < b a - b es negativo. a es menor que b

a b a - b es positivo o cero. a es mayor o igual b

a b a - b es negativo o cero. a es menor o igual b

Los smbolos >,

Propiedad de tricotoma

Sean a y b cualesquiera dos nmeros

reales. Slo una de las siguientes expresiones es verdadera.

bababa o,,



Es un subconjunto de nmeros reales sin huecos en su interior.

Intervalos acotados de nmeros reales: Sean a y b nmeros reales con a < b.

Notacin de intervalo

Tipo de intervalo

Notacin de desigualdades

Grfica

Los nmeros a y b son extremos de cada intervalo.

ba, Cerrado bxa a b

ba; Abierto bxa a b

ba; abierto Semi bxa a b

ba; abierto Semi bxa a b


Intervalos NO acotados de nmeros reales:

Sean a y b nmeros reales.

Notacin de intervalo

Tipo de intervalo

Notacin de desigualdades

Grfica

Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b.

;a Cerrado ax

;a Abierto

Cerrado bx b;

Abierto bx

a

b;

ax a

b

b

El intervalo cerrado [0, 2] contiene todos los puntos

comprendidos entre 0 y 2, incluidos los extremos 0 y 2.

El intervalo abierto (0, 2) contiene todos los puntos

comprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos 0 y 2.

El intervalo abierto a la derecha y cerrado a la izquierda

[0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y

2, incluido el 0 y excluido el 2.

El intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha

(0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y

2, incluido el 2 y excluido el 0.

Intervalo cerrado [0,2]

Intervalo abierto (0,2)

Intervalo abierto a la derecha

y cerrado a la izquierda [0,2)

Intervalo abierto a la izquierda

y cerrado a la derecha (0,2]

EJEMPLOS


Los nmeros reales se utilizan para contar los elementos de un

conjunto (nmero cardinal). O para expresar la posicin u orden que

ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES


Ejercicios

1.-

2.-

5.-

4.-

3.-


ECUACIONES Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones

algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen

valores conocidos o datos, y desconocidos o incgnitas,

relacionados mediante operaciones matemticas. Los

valores conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o

constantes; y tambin variables cuya magnitud se haya

establecido como resultado de otras operaciones.


Ejemplo 1

Cul es la masa de una ficha de domin?


Si quitamos de cada lado de la balanza lo mismo,

la igualdad de peso debera mantenerse

Otra forma es representando lo que hay de cada lado

4 D + 3 = 1 D + 6

Ejemplo 2

Cul es la masa de cada candado?


Ejemplo 3

Cunto vale una lupa?


OBSERVACIONES Una ecuacin es una igualdad en la cual participan

algunas cantidades desconocidas, en general

designadas por letras.

Las cantidades desconocidas se denominan incgnitas.

La palabra ecuacin proviene de aequare que en latn significa igualar.


Ejemplo 4

Dentro de un ao la edad de Mariana ser el doble de la edad que tena un ao atrs. Cuntos aos tiene

Mariana?

X es la edad actual de Mariana

(X-1) es la edad que tena el ao pasado

(X+1) es la edad que tendr dentro de un ao


2(X-1) = X+1

Solucin de una ecuacin

Volviendo a la ecuacin de la edad de Mariana

vemos que reemplazando X por 3 se obtiene la

igualdad 4 = 4


2(X-1) = X+1

En este caso se dice que 3 es

solucin de la ecuacin

ECUACIONES

Las ecuaciones reciben distinto nombre segn las operaciones que afectan a las incgnitas.

Tipos de ecuaciones Algebraicas

Trascendentes

La incgnita est afectada por relaciones trigonomtricas, logartmicas, etc.


Este curso

ECUACIONES

Ecuacin Algebraica

Racional Irracional

Entera Fraccionaria


Ecuaciones Algebraicas

Si tiene una sola cantidad desconocida diremos que es una ecuacin con una incgnita.

Si la incgnita est afectada por las operaciones de suma, resta, producto, potencia o cociente se llama

ecuacin algebraica racional


Ecuacin algebraica racional

Una ecuacin algebraica racional es entera si la incgnita no est en ningn

denominador

Ejemplos:

0)1)(15( xx

32

13

x

x


Ecuacin algebraica racional

Una ecuacin algebraica racional es fraccionaria si la incgnita est en algn

denominador.

Ejemplo 31

132

x

x


Ecuacin algebraica irracional

Si la incgnita aparece en un radicando se dice que es una ecuacin algebraica irracional

Ejemplo 51 x



Una solucin de una ecuacin algebraica con una incgnita x es un nmero x0 tal que, al reemplazar x

por x0 en la ecuacin, sta se transforma en una

identidad numrica.

Resolver una ecuacin significa determinar si tiene solucin y en tal caso hallar todas las soluciones.



Ejemplos:

a) 3x-9 = 0 tiene solucin x0=3

b) 2x + 1 = 2x no tiene solucin

c) (x-1)(x+1) = 0 tiene solucin,

son x1 = 1 y x2 = -1


Resolucin de una ecuacin

Ejemplo


nica solucin

Tratemos de

generalizar el mtodo

para aplicarlo a otras

ecuaciones

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si admiten las mismas soluciones.

Cmo se obtienen dos ecuaciones equivalentes?

Sumando o restando a ambos lados de la ecuacin la misma expresin.

Multiplicando ambos miembros de la ecuacin por un nmero distinto de cero


Ejemplo: Resolver 2x+4 = 12

Restar 4 a ambos lados de la igualdad

2 X + 4 - 4 = 12 4

2 X = 8

Multiplicar ambos miembros por 1/2

4

82

12

2

1

x

)x(


Ejercicios

Resolver utilizando ecuaciones equivalentes:

a) 3 x2 = 5 x2 + 6 x

b) x3 - 4 x2 = 6 6 x2 + x3


Ecuaciones lineales con una incgnita

Dados dos nmeros a y b, una ecuacin con una incgnita se dice lineal si es de la forma:

a x + b = 0

La solucin se obtiene sumando a ambos lados b y multiplicando a ambos lados por 1/a (si a0)

x = -b/a


Cuntas soluciones tiene una

ecuacin lineal?


Ejercicios

a) 10 3x = x - 2

b) a x = 3 ( x a )

c) x + 3 = - 2 x + x + 7

d)


Ejercicios


1.- Una modista desea cortar una cinta de 213 cm de longitud en tres

tramos. Si cada tramo debe tener 2 cm ms que el anterior, cmo

debe hacer los cortes?

2.- Un cable que mide 60 cm se corta en 4 tramos, y cada tramo sucesivo

tiene el doble de longitud que el anterior. Hallar la longitud del tramo

ms largo.


EJERCICIOS

3.- Asfaltar una calle cost $33.000.000. Los vecinos pagaron el doble de

lo que aport la Municipalidad, mientras que la Provincia contribuy

con las dos terceras partes del aporte Municipal. Cunto dinero

pusieron los vecinos?


4.-Se quieren separar 77 gramos de oro en dos partes de tal manera que la mayor tenga 19,5 gramos ms que la menor Cuntos gramos debe contener cada parte?

5.-Hallar un nmero sabiendo que si a su triplo se le resta uno se obtiene lo mismo que si a su tercera parte se le suma uno.

6.-Cul es el nmero cuyo doble supera en 15 a su mitad?


7.-Cinco amigos quieren compartir por igual el costo de un proyecto. Una vez que calculan cunto tiene que poner cada uno , dos amigos ms se ofrecen a participar , con lo que el costo por persona se redujo a 8 mil soles. Cul es el costo del proyecto?

8.- Se compran 25 metros de tela por cierta cantidad de dinero . Si el metro hubiera costado 16 soles menos, se habra podido comprar 8 metros ms.

Cul es el precio de un metro de tela ?


9.- Martn sali a recorrer, en forma sucesiva, varios negocios de su barrio y le fue proponiendo a sus dueos lo siguiente:

En una librera propuso: Prsteme tanto dinero como el que tengo ahora en mi billetera y gastar 100$.

En una perfumera y en un restaurante propone lo mismo. Al volver a su casa comenta: Me qued sin un centavo!

Cunto dinero tena Martn al entrar a la librera?


< menor que 2x 1 < 7

menor o igual que 2x 1 7

> mayor que 2x 1 > 7

mayor o igual que 2x 1 7


INECUACIONES

Una inecuacin es una desigualdad algebraica en la que sus dos

miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

La solucin de una inecuacin es el conjunto de valores de la variable que

verifica la inecuacin.

Podemos expresar la solucin de la inecuacin

mediante:

1. Una representacin grfica.

2. Un intervalo.


a).- 2x 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-, 4)

b). - 2x 1 7 2x 8 x 4 [4, )

c).- 2x 1 > 7 2x > 8

x > 4

(4, )

d).- 2x 1 7 2x 8

x 4

(-, 4]


Si a los dos miembros de una inecuacin se les suma o se les resta un mismo nmero, la inecuacin resultante es equivalente a la

dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 4 < 5 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero positivo, la inecuacin resultante es

equivalente a la dada.

2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3

Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero negativo, la inecuacin resultante

cambia de sentido y es equivalente a la dada.

x < 5 (x) (1) > 5 (1) x > 5


INECUACIONES DE PRIMER GRADO


Consideramos la siguiente ecuacin :

1 Quitar corchetes.

2 Quitar parntesis.

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

MCM (2, 3, 12) = 12

3 Quitar denominadores.

4 Agrupar los trminos en x a un lado de la desigualdad y los

trminos independientes en el otro.

5 Efectuar las operaciones

6 Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiar el sentido de la desigualdad.

7 Despejamos la incgnita.

De forma grfica: Como un intervalo:

[3, +)


Resolver las inecuaciones de primer grado

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-


CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE

INVESTIGACIN SUGERIDAS

- Todo nmero racional puede ser expresado en

forma fraccionaria.

- Ningn nmero irracional puede ser expresado en

forma fraccionaria.

- Los nmeros reales comprende un conjunto infinito

de nmeros.

- No todos los infinitos son iguales.


GRACIAS


números realesia

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