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Mg. John Cubas Snchez
CLCULO VECTORIAL
Mdulo: 1 Unidad: 1 Semana: 1
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NMEROS REALES
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ORIENTACIONES
Para la presente unidad se recomienda.
Al finalizar la unidad realice un Mapa mental que resuma los contenidos aprendidos.
Identifique en que situaciones se puede aplicar las diferentes categoras de nmeros.
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CONTENIDOS TEMTICOS
Sistemas Numricos
Igualdades y desigualdades numricas
Intervalos
Propiedades de los nmeros reales
Ecuaciones e inecuaciones de primer grado
Ejercicios de aplicacin
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Los nmeros naturales son los que nos
sirven para contar:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ......., 100, 101, 102, ......}
Al conjunto de los nmeros naturales lo designaremos:
Es un conjunto perfectamente ordenado, es decir, elegidos dos nmeros
naturales cualesquiera, siempre uno es menor, mayor o igual que el otro.
Pueden representarse sobre una recta de la siguiente manera:
0 1 2 3 4 5 6 ...
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A veces para contar se requieren tambin nmeros
negativos: el saldo de una cuenta podra ser -234 euros,
los pulsadores de un ascensor pueden contener botones
que marquen -1 -2 indicando 1 o 2 stano, ...
Los nmeros enteros negativos junto con los nmeros
naturales forman el conjunto de los nmeros enteros,
que designaremos por:
Se pueden representar tambin sobre una recta del siguiente modo:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
Esta forma de ser representados supone el siguiente criterio de ordenacin:
Los naturales (enteros positivos) ya estaban ordenados
Todo entero positivo es mayor que uno negativo Si un n natural a es menor que otro b, entonces -a es mayor que -b
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Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y
nmeros decimales, por ejemplo cuando decimos que nos
corresponden 2/3 de una cantidad, o cuando algo nos cuesta
2,35 euros; es decir, nos permite repartir.
Las fracciones pueden convertirse a forma decimal (exacta,
peridica pura o peridica mixta) y viceversa.
stas forman los nmeros racionales, conjunto que
representaremos por:
Si en una fraccin el numerador es mltiplo del denominador,
dicha fraccin es un nmero entero, por tanto:
Tambin los nmero racionales pueden todos ser representados sobre una recta:
An cuando representsemos todos los nmeros racionales sobre la recta, quedaran
puntos de la recta sin cubrir, dicho de manera coloquial quedaran agujeros.
-5,9 -10/3 -3/2 2,2 6,7
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La expresin decimal es peridica mixta:
La expresin decimal es exacta: 25,24
9
La expresin decimal es peridica pura: ...666,13
5
...83333,26
17
Cuidado: algunas calculadoras
redondean
1. Nmeros racionales: paso de fraccin a decimal
5
3
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EJEMPLOS
Pasar a decimal 3/4 Pasar a decimal 14/11 Pasar a decimal 13/6
0,75
Decimal exacto
1,2727...
Decimal peridico puro 2,166...
Decimal peridico mixto
3, 0 4
20 0,75
0
3 4
= 0,75
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Partes de un nmero decimal peridico mixto
Perodo:
cuarto
bloque.
Perodo:
primer
bloque.
Anteperodo Parte entera
Notacin: reducimos la escritura.
x = 2 4 78 78 78 78 .
Todo nmero decimal peridico (por ejemplo 2,478787878 = 2,478) tiene tres partes:
x = 2,47878.... = 2,478
Observa que los nmeros decimales exactos y los nmeros enteros se pueden
considerar peridicos sin ms que agregar ceros a la derecha.
0,75 = 0,75000000... 3 = 3,000000...
Todo nmero racional se puede expresar siempre en forma decimal peridica.
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El decimal peridico 1,25000 = 1,25 es tambin un decimal exacto. Para pasarlo a fraccin
multiplicamos por 100 la igualdad x = 1,25, es
decir, 100x = 125, x = = 5
4
125
100
Cul es la forma fraccionaria de x = 1,333 [1]?
1. Se multiplica en [1] por 10: 10x = 13,333
2. Se escribe el valor de x: x = 1,333
3. Se restan las dos igualdades: 10x x = 13,333 1,333
9x = 13 1
4. Se despeja x:
Decimal peridico puro
Decimal exacto
x = = = 12
9
13 1 9
4
3
1. Nmeros racionales: paso de decimal a fraccin
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Todo nmero decimal peridico se puede expresar siempre en forma
fraccionaria.
Decimal peridico mixto
Cul es la forma fraccionaria de x = 1,31818 [2]?
1. Se multiplica en [2] por 1.000: 1000x = 1318,1818 [3]
2. Se multiplica en [2] por 10
para obtener otro nmero con
la misma parte decimal: 10x = 13,1818 [4]
3. Se restan las dos
igualdades [3] [4]: 1000x 10x = 1318,1818 13,1818
990x = 1318 13
de donde x = = = 29 22
1318 13 990
1305
990
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Hay nmeros decimales que no son exactos, ni peridicos puros ni
peridicos mixtos. Por ejemplo, si con la calculadora calculamos:
Observamos que sus cifras decimales son infinitas y no siguen ninguna
periodicidad, no es por tanto un nmero racional.
Los nmeros con esa expresin decimal son los nmeros
irracionales, conjunto que representaremos por:
Todas las races no exactas son irracionales. El nmero p = 3,14159265358... es irracional. Existen otros muchos nmeros irracionales entre los que destaca el nmero de Oro o nmero Areo:
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I
..., 7414213562312
2
51
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LA RAZ CUADRADA DE 2
La raz cuadrada de 3, 5, 7, 11, .. , tambin son nmeros irracionales.
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EL NMERO p
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nmero de Euler e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135....
C = c ert
En matemtica financiera se
utiliza para calcular el
inters continuo
Habais imaginado alguna vez
que vuestros ahorros y vuestras
hipotecas estaban bajo el control
del nmero e?
Algunas frmulas en las
que aparece el nmero e
EL NMERO e
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El Partenn, mostrando los
rectngulos ureos usados
posiblemente en su
construccin.
Rectngulo cuyos lados estn
en proporcin urea.
Espiral de oro con un
rectngulo ureo
Con su conocido dibujo del
hombre de Vitrubio,
Leonardo da Vinci ilustr el
libro "La Divina Proporcin"
del matemtico Luca Pacioli,
editado en 1509.
EL NMERO UREO,
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Ahora si representsemos los irracionales sobre la misma recta que
habamos representado los racionales, ya quedaran cubiertos todos los
puntos de la misma.
A cada punto de la recta le corresponde un nmero real y viceversa, cada nmero real tiene su punto. Por esto diremos que los Nos reales son un
conjunto completo.
R Al conjunto formado por los racionales junto con los irracionales
lo llamaremos conjunto de los nmeros Reales y lo
denotaremos:
R = Q I N Z Q R
I R
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EL ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS DE NMEROS QUE
CONOCEMOS QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA:
5 0
12 1
125 .....
-3
-14
-6 -18
-1 .....
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I
2
3
61,
5
1
7
16
253,6312
,
2
p
e
3 5
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Mg. John Cubas Snchez 20
- 9 2,34 + 1 - 3
N
Z
Q
I
R
Complete la siguiente tabla
3 3 8
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Nmeros enteros (Z)
Nmeros Reales (R)
Nmeros irracionales (Q= I)
Nmeros Enteros
negativos Z-
Cero (0)
Nmeros Enteros
positivos Z+
= N0
Diagrama de los Conjuntos Numricos
Nmeros racionales (Q)
0, nn
m
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Identifique e indique cul de los siguientes nmeros es Q o I
688772935 7320508075 , 1 3
897932384 1415926535 , 3
3 , 0 ... 33333 , 0 3
1
0,75 4
3
p
Si el nmero es racional entonces su parte decimal correspondiente es finita o se repite peridicamente.
Si es Irracional tiene una expresin decimal infinita y no peridica.
Ejercicio:
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Siempre entre dos nmeros reales hay otro nmero real; de ah que se asocie al conjunto de los nmeros reales con una recta. La recta est formada por infinitos puntos y cada punto representara un nmero real, de ah que a dicha recta suela llamrsele recta real o eje real.
La recta numrica real (R)
- -3 -2 -1 0 1 2 3
3 p2
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Orden de los nmeros reales Sean a y b cuales quiera dos nmeros
reales. Smbolo Definicin Se lee
a > b a - b es positivo. a es mayor que b
a < b a - b es negativo. a es menor que b
a b a - b es positivo o cero. a es mayor o igual b
a b a - b es negativo o cero. a es menor o igual b
Los smbolos >,
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Propiedad de tricotoma
Sean a y b cualesquiera dos nmeros
reales. Slo una de las siguientes expresiones es verdadera.
bababa o,,
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Es un subconjunto de nmeros reales sin huecos en su interior.
Intervalos acotados de nmeros reales: Sean a y b nmeros reales con a < b.
Notacin de intervalo
Tipo de intervalo
Notacin de desigualdades
Grfica
Los nmeros a y b son extremos de cada intervalo.
ba, Cerrado bxa a b
ba; Abierto bxa a b
ba; abierto Semi bxa a b
ba; abierto Semi bxa a b
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Intervalos NO acotados de nmeros reales:
Sean a y b nmeros reales.
Notacin de intervalo
Tipo de intervalo
Notacin de desigualdades
Grfica
Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b.
;a Cerrado ax
;a Abierto
Cerrado bx b;
Abierto bx
a
b;
ax a
b
b
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El intervalo cerrado [0, 2] contiene todos los puntos
comprendidos entre 0 y 2, incluidos los extremos 0 y 2.
El intervalo abierto (0, 2) contiene todos los puntos
comprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos 0 y 2.
El intervalo abierto a la derecha y cerrado a la izquierda
[0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y
2, incluido el 0 y excluido el 2.
El intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha
(0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y
2, incluido el 2 y excluido el 0.
Intervalo cerrado [0,2]
Intervalo abierto (0,2)
Intervalo abierto a la derecha
y cerrado a la izquierda [0,2)
Intervalo abierto a la izquierda
y cerrado a la derecha (0,2]
EJEMPLOS
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Los nmeros reales se utilizan para contar los elementos de un
conjunto (nmero cardinal). O para expresar la posicin u orden que
ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
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Mg. John Cubas Snchez 30
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Mg. John Cubas Snchez 31
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Ejercicios
1.-
2.-
5.-
4.-
3.-
Mg. John Cubas Snchez 32
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ECUACIONES Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen
valores conocidos o datos, y desconocidos o incgnitas,
relacionados mediante operaciones matemticas. Los
valores conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o
constantes; y tambin variables cuya magnitud se haya
establecido como resultado de otras operaciones.
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Ejemplo 1
Cul es la masa de una ficha de domin?
Mg. John Cubas Snchez 34
Si quitamos de cada lado de la balanza lo mismo,
la igualdad de peso debera mantenerse
Otra forma es representando lo que hay de cada lado
4 D + 3 = 1 D + 6
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Ejemplo 2
Cul es la masa de cada candado?
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Ejemplo 3
Cunto vale una lupa?
Mg. John Cubas Snchez 36
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OBSERVACIONES Una ecuacin es una igualdad en la cual participan
algunas cantidades desconocidas, en general
designadas por letras.
Las cantidades desconocidas se denominan incgnitas.
La palabra ecuacin proviene de aequare que en latn significa igualar.
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Ejemplo 4
Dentro de un ao la edad de Mariana ser el doble de la edad que tena un ao atrs. Cuntos aos tiene
Mariana?
X es la edad actual de Mariana
(X-1) es la edad que tena el ao pasado
(X+1) es la edad que tendr dentro de un ao
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2(X-1) = X+1
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Solucin de una ecuacin
Volviendo a la ecuacin de la edad de Mariana
vemos que reemplazando X por 3 se obtiene la
igualdad 4 = 4
Mg. John Cubas Snchez 39
2(X-1) = X+1
En este caso se dice que 3 es
solucin de la ecuacin
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ECUACIONES
Las ecuaciones reciben distinto nombre segn las operaciones que afectan a las incgnitas.
Tipos de ecuaciones Algebraicas
Trascendentes
La incgnita est afectada por relaciones trigonomtricas, logartmicas, etc.
Mg. John Cubas Snchez 40
Este curso
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ECUACIONES
Ecuacin Algebraica
Racional Irracional
Entera Fraccionaria
Mg. John Cubas Snchez 41
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Ecuaciones Algebraicas
Si tiene una sola cantidad desconocida diremos que es una ecuacin con una incgnita.
Si la incgnita est afectada por las operaciones de suma, resta, producto, potencia o cociente se llama
ecuacin algebraica racional
Mg. John Cubas Snchez 42
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Ecuacin algebraica racional
Una ecuacin algebraica racional es entera si la incgnita no est en ningn
denominador
Ejemplos:
0)1)(15( xx
32
13
x
x
Mg. John Cubas Snchez 43
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Ecuacin algebraica racional
Una ecuacin algebraica racional es fraccionaria si la incgnita est en algn
denominador.
Ejemplo 31
132
x
x
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Ecuacin algebraica irracional
Si la incgnita aparece en un radicando se dice que es una ecuacin algebraica irracional
Ejemplo 51 x
Mg. John Cubas Snchez 45
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Solucin de una ecuacin
Una solucin de una ecuacin algebraica con una incgnita x es un nmero x0 tal que, al reemplazar x
por x0 en la ecuacin, sta se transforma en una
identidad numrica.
Resolver una ecuacin significa determinar si tiene solucin y en tal caso hallar todas las soluciones.
Mg. John Cubas Snchez 46
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Solucin de una ecuacin
Ejemplos:
a) 3x-9 = 0 tiene solucin x0=3
b) 2x + 1 = 2x no tiene solucin
c) (x-1)(x+1) = 0 tiene solucin,
son x1 = 1 y x2 = -1
Mg. John Cubas Snchez 47
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Resolucin de una ecuacin
Ejemplo
Mg. John Cubas Snchez 48
nica solucin
Tratemos de
generalizar el mtodo
para aplicarlo a otras
ecuaciones
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si admiten las mismas soluciones.
Cmo se obtienen dos ecuaciones equivalentes?
Sumando o restando a ambos lados de la ecuacin la misma expresin.
Multiplicando ambos miembros de la ecuacin por un nmero distinto de cero
Mg. John Cubas Snchez 49
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Ejemplo: Resolver 2x+4 = 12
Restar 4 a ambos lados de la igualdad
2 X + 4 - 4 = 12 4
2 X = 8
Multiplicar ambos miembros por 1/2
4
82
12
2
1
x
)x(
Mg. John Cubas Snchez 50
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Ejercicios
Resolver utilizando ecuaciones equivalentes:
a) 3 x2 = 5 x2 + 6 x
b) x3 - 4 x2 = 6 6 x2 + x3
Mg. John Cubas Snchez 51
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Ecuaciones lineales con una incgnita
Dados dos nmeros a y b, una ecuacin con una incgnita se dice lineal si es de la forma:
a x + b = 0
La solucin se obtiene sumando a ambos lados b y multiplicando a ambos lados por 1/a (si a0)
x = -b/a
Mg. John Cubas Snchez 52
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Cuntas soluciones tiene una
ecuacin lineal?
Mg. John Cubas Snchez 53
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Ejercicios
a) 10 3x = x - 2
b) a x = 3 ( x a )
c) x + 3 = - 2 x + x + 7
d)
Mg. John Cubas Snchez 54
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Ejercicios
Mg. John Cubas Snchez 55
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1.- Una modista desea cortar una cinta de 213 cm de longitud en tres
tramos. Si cada tramo debe tener 2 cm ms que el anterior, cmo
debe hacer los cortes?
2.- Un cable que mide 60 cm se corta en 4 tramos, y cada tramo sucesivo
tiene el doble de longitud que el anterior. Hallar la longitud del tramo
ms largo.
Mg. John Cubas Snchez 56
EJERCICIOS
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3.- Asfaltar una calle cost $33.000.000. Los vecinos pagaron el doble de
lo que aport la Municipalidad, mientras que la Provincia contribuy
con las dos terceras partes del aporte Municipal. Cunto dinero
pusieron los vecinos?
Mg. John Cubas Snchez 57
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4.-Se quieren separar 77 gramos de oro en dos partes de tal manera que la mayor tenga 19,5 gramos ms que la menor Cuntos gramos debe contener cada parte?
5.-Hallar un nmero sabiendo que si a su triplo se le resta uno se obtiene lo mismo que si a su tercera parte se le suma uno.
6.-Cul es el nmero cuyo doble supera en 15 a su mitad?
Mg. John Cubas Snchez 58
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7.-Cinco amigos quieren compartir por igual el costo de un proyecto. Una vez que calculan cunto tiene que poner cada uno , dos amigos ms se ofrecen a participar , con lo que el costo por persona se redujo a 8 mil soles. Cul es el costo del proyecto?
8.- Se compran 25 metros de tela por cierta cantidad de dinero . Si el metro hubiera costado 16 soles menos, se habra podido comprar 8 metros ms.
Cul es el precio de un metro de tela ?
Mg. John Cubas Snchez 59
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9.- Martn sali a recorrer, en forma sucesiva, varios negocios de su barrio y le fue proponiendo a sus dueos lo siguiente:
En una librera propuso: Prsteme tanto dinero como el que tengo ahora en mi billetera y gastar 100$.
En una perfumera y en un restaurante propone lo mismo. Al volver a su casa comenta: Me qued sin un centavo!
Cunto dinero tena Martn al entrar a la librera?
Mg. John Cubas Snchez 60
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< menor que 2x 1 < 7
menor o igual que 2x 1 7
> mayor que 2x 1 > 7
mayor o igual que 2x 1 7
Mg. John Cubas Snchez 61
INECUACIONES
Una inecuacin es una desigualdad algebraica en la que sus dos
miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
La solucin de una inecuacin es el conjunto de valores de la variable que
verifica la inecuacin.
-
Podemos expresar la solucin de la inecuacin
mediante:
1. Una representacin grfica.
2. Un intervalo.
Mg. John Cubas Snchez 62
a).- 2x 1 < 7
2x < 8 x < 4
(-, 4)
b). - 2x 1 7 2x 8 x 4 [4, )
-
c).- 2x 1 > 7 2x > 8
x > 4
(4, )
d).- 2x 1 7 2x 8
x 4
(-, 4]
Mg. John Cubas Snchez 63
-
Si a los dos miembros de una inecuacin se les suma o se les resta un mismo nmero, la inecuacin resultante es equivalente a la
dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 4 < 5 4 3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero positivo, la inecuacin resultante es
equivalente a la dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero negativo, la inecuacin resultante
cambia de sentido y es equivalente a la dada.
x < 5 (x) (1) > 5 (1) x > 5
Mg. John Cubas Snchez 64
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INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Mg. John Cubas Snchez 65
Consideramos la siguiente ecuacin :
1 Quitar corchetes.
2 Quitar parntesis.
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
MCM (2, 3, 12) = 12
-
3 Quitar denominadores.
4 Agrupar los trminos en x a un lado de la desigualdad y los
trminos independientes en el otro.
5 Efectuar las operaciones
6 Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiar el sentido de la desigualdad.
7 Despejamos la incgnita.
De forma grfica: Como un intervalo:
[3, +)
Mg. John Cubas Snchez 66
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Resolver las inecuaciones de primer grado
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Mg. John Cubas Snchez 67
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CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE
INVESTIGACIN SUGERIDAS
- Todo nmero racional puede ser expresado en
forma fraccionaria.
- Ningn nmero irracional puede ser expresado en
forma fraccionaria.
- Los nmeros reales comprende un conjunto infinito
de nmeros.
- No todos los infinitos son iguales.
Mg. John Cubas Snchez 68
-
GRACIAS
Mg. John Cubas Snchez 69