Número áureo

El número áureo (también llamado número de oro,razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dora-da, media áurea, proporción áurea y divina propor-ción[2]) es un número irracional,[3] representado por laletra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayús-cula) en honor al escultor griego Fidias.La ecuación se expresa de la siguiente manera:

φ = 1+√5

2 ≈ 1, 61803398874988...

El número áureo surge de la división en dos de un segmento guar-dando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es alsegmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

También se representa con la letra griegaTau (Τ τ),[4] porser la primera letra de la raíz griega τομή, que significaacortar, aunque es más común encontrarlo representadocon la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con laletra griega alpha minúscula.[5]

Se trata de un número algebraico irracional (su repre-sentación decimal no tiene período) que posee muchaspropiedades interesantes y que fue descubierto en la an-tigüedad, no como una expresión aritmética, sino comorelación o proporción entre dos segmentos de una recta,es decir, una construcción geométrica. Esta proporciónse encuentra tanto en algunas figuras geométricas comoen la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algu-nos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón deun caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una desus propiedades aritméticas más curiosas es que su cua-drado (Φ2 = 2,61803398874988...) y su inverso (1/Φ =0,61803398874988...) tienen las mismas infinitas cifrasdecimales.Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetoscuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos in-cluso creen que posee una importancia mística. A lo largode la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño dediversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algu-nos de estos casos han sido cuestionados por los estudio-sos de las matemáticas y el arte.

1 Definición

El número áureo es el valor numérico de la proporciónque guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a máslargo que b), que cumplen la siguiente relación:

• La longitud total, suma de los dos segmentos a y b,es al segmento mayor a, lo que este segmento a esal menor b. Escrito como ecuación algebraica:

a+ba = a

b

Siendo el valor del número áureo φ el cociente: ϕ = a/bSurge al plantear el problema geométrico siguiente: par-tir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir lalongitud total entre la del segmento mayor, obtengamosel mismo resultado que al dividir la longitud del segmentomayor entre la del menor.

1.1 Cálculo del valor del número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

a+ba = a

b

Si φ = a/b entonces la ecuación queda:

1+φ−1 = φ, ⇒ φ+1 = φ2, ⇒φ2 − φ− 1 = 0

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

1+√5

2 =1.6180339887498948482045868343656381177203 . . .

que es el valor del número áureo, equivalente a la relacióna/b .

2 Historia del número áureo

Algunos autores sugieren que el número áureo se en-cuentra como proporción en varias estelas de Babiloniay Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no exis-te documentación histórica que indique que el númeroáureo fuera utilizado conscientemente por dichos artis-tas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una

1

2 2 HISTORIA DEL NÚMERO ÁUREO

estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosossi se tienen muchas medidas disponibles. Además, paraque se pueda afirmar que el número áureo está presente,las medidas deben tomarse desde puntos significativos delobjeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis quedefienden la presencia del número áureo. Por todas es-tas razones Mario Livio concluye que es muy improbableque los babilonios hayan descubierto el número áureo.[6]

2.1 Antigüedad

El primero en hacer un estudio formal del número áureofue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo definió de la si-guiente manera:

“Se dice que una recta ha sido cortada enextrema y media razón cuando la recta enteraes al segmento mayor como el segmento mayores al segmento menor”.Euclides Los Elementos Definición 3 del LibroSexto.

Euclides demostró también que este número no puede serdescrito como la razón de dos números enteros; es decir,es un número irracional.Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estu-diara el número áureo. Sin embargo, a veces se le atribuyeel desarrollo de teoremas relacionados con el número áu-reo debido a que el historiador griego Proclo escribió:

"Eudoxo... multiplicó el número de teore-mas relativos a la sección a los que Platón dioorigen”.Proclo en Un comentario sobre el Primer Librode los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή)como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIXesta interpretación ha sido motivo de gran controversiay muchos investigadores han llegado a la conclusión deque la palabra sección no tuvo nada que ver con el núme-ro áureo. No obstante, Platón consideró que los númerosirracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de par-ticular importancia y la llave de la física del cosmos. Estaopinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos ymatemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nú-mero áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y laestructura del cosmos, cosa que intentó usando los cincosólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto.En particular, combinó la idea de Empédocles sobre laexistencia de cuatro elementos básicos de la materia, conla teoría atómica de Demócrito. Para Platón, cada unode los sólidos correspondía a una de las partículas que

conformaban cada uno de los elementos: la tierra estabaasociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro,el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como untodo, estaba asociado con el dodecaedro.

2.2 Edad Moderna

En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Paciolipublicó De Divina Proportione (La Divina Proporción),donde plantea cinco razones por las que estima apropiadoconsiderar divino al número áureo:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del nú-mero áureo con la unicidad de Dios.

2. El hecho de que esté definido por tres segmentos derecta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.

3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmen-surabilidad del número áureo y la inconmensurabi-lidad de Dios son equivalentes.

4. La autosimilaridad asociada al número áureo; Pacio-li la compara con la omnipresencia e invariabilidadde Dios.

5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dioser al Universo a través de la quinta esencia, repre-sentada por el dodecaedro, el número áureo dio seral dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la me-dida con regla y compás de figuras planas y sólidas, dondedescribe cómo trazar con regla y compás la espiral áureabasada en la sección áurea, que se conoce como “espiralde Durero”.El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló unmodelo platónico del Sistema Solar utilizando los sólidosplatónicos, y se refirió al número áureo en términos gran-diosos:

“La geometría tiene dos grandes tesoros:uno es el teorema de Pitágoras; el otro, ladivisión de una línea entre el extremo y suproporcional. El primero lo podemos comparara una medida de oro; el segundo lo debemosdenominar una joya preciosa”.Johannes Kepler en Mysterium Cosmographi-cum (El misterio cósmico).

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o deoro, para referirse a este número lo hace el matemáticoalemán Martin Ohm, hermano del célebre físico GeorgSimon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libroDie Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puraselementales). Ohm escribe en una nota al pie:

3.1 Propiedades y representaciones 3

“Uno también acostumbra llamar a estadivisión de una línea arbitraria en dos partescomo éstas la sección dorada”.Martin Ohm en Die Reine Elementar Matema-tik (Las matemáticas puras elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el términoya era de uso común para la fecha, el hecho de que no loincluyera en su primera edición sugiere que el términopudo ganar popularidad alrededor de 1830.En los textos de matemáticas que trataban el tema, el sím-bolo habitual para representar el número áureo fue τ, delgriego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo,la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 elmatemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que ésta erala primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας).Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valorestético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya porentonces se le atribuía también al número áureo. MarkBarr y Schooling fueron responsables de los apéndicesmatemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodo-re Cook.

3 El número áureo en las matemá-ticas

3.1 Propiedades y representaciones

Ángulo de oro360◦

φ+ 1≈ 137,5◦

3.1.1 Propiedades aritméticas

• φ ≈ 1, 618033988749894848204586834365638117720309...es el único número real positivo tal que:

φ2 = φ+ 1

• φ posee además las siguientes propiedades:

φ− 1 =1

φ

φ3 =φ+ 1

φ− 1

• Las potencias del número áureo pueden expresarseen función de una suma de potencias de grados infe-riores del mismo número, establecida una verdaderasucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: Φn = Φn−1 + Φn−2

, cualquiera sea n un número entero. Este casoes una sucesión recurrente de orden k = 2, puesse recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la for-ma:

a1un+k−1 + a2un+k−2 + ...+ akun

donde ai es cualquier número real o complejoy k es un número natural menor o igual a n ymayor o igual a 1. En el caso anterior es k=2 ,a1=1 y a2=1 .

Pero podemos «saltar» la potencia inmediata-mente anterior y escribir:

Φn = Φn−2 + 2Φn−3 + Φn−4 . Aquí k=4 ,a1=0 , a2=1 , a3=2 y a4=1 .

Si anulamos las dos potencias inmediatamenteanteriores, también hay una fórmula recurrentede orden 6:

Φn = Φn−3 + 3Φn−4 + 3Φn−5 +Φn−6

En general:

Φn =

12k∑i=0

( 12k

i

)Φ

[n−

(12k + i

)]; k = 2j ∈ N , n ∈ N , i ∈ N

En resumen: cualquier potencia del número áu-reo puede ser considerada como el elemento deuna sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,...,2k; donde k es un número natural. En la fór-mula recurrente es posible que aparezcan po-tencias negativas de Φ , hecho totalmente co-rrecto. Además, una potencia negativa de Φcorresponde a una potencia positiva de su in-verso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el he-cho de que los coeficientes significativos seanlos del binomio, parecieran indicar que entreel número áureo y el número e hay un paren-tesco.

• El número áureo√5+12 es la unidad fundamental

«ε» del cuerpo de números algebraicos Q(√

5)y

la sección áurea√5−12 es su inversa, « ε−1 ». En

esta extensión el «emblemático» número irracional√2 cumple las siguientes igualdades:

√2 =

√5 + 1

2

√3−

√5 =

√5− 1

2

√3 +

√5

4 3 EL NÚMERO ÁUREO EN LAS MATEMÁTICAS

3.1.2 Representación mediante fracciones conti-nuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

φ = 1 + 1φ −→ φ = 1 +

11+ 1

1+ 11+ 1

1+...

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar yrestar es dividir. Es también la más simple de todas lasfracciones continuas y la que tiene la convergencia máslenta. Esa propiedad hace que además el número áureosea un número mal aproximable mediante racionales quede hecho alcanza el peor grado posible de aproximabili-dad mediante racionales.[7]

Por ello se dice que φ es el número más alejado de loracional o el número más irracional. Este es el motivopor el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

3.1.3 Representación mediante ecuaciones alge-braicas

φ(φ−1) = 1 −→ φ2−φ−1 = 0 −→φ = 1+

√5

2 , que surge de la ecuación definito-ria de un término cualquiera en la sucesión deFibonacci, a partir del tercero[8]

El número áureo√5+12 y la sección áurea

√5−12 son so-

luciones de las siguientes ecuaciones:

x2 −√5x+ 1 = 0

x3 − y3 − 4 = 0

x4 − x3 − x− 1 = 0

8x3 − 4x + 1 = 0 que da el valor de sen 18ºe ímplícitamente al número aúreo[9]

3.1.4 Inecuación algebraica

φ/2 >(4 -φ2)1/2/φ[10]

3.1.5 Representación trigonométrica

φ = 1 + 2 sin(π/10) = 1 + 2 sin 18◦

φ =1

2csc(π/10) = 1

2csc 18◦

φ = 2 cos(π/5) = 2 cos 36◦

φ =1

2sec 2

5π =

1

2sec 72◦

φ =sin(2π/5)sin(1π/5) =

sin(72◦)sin(36◦)

Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de unpentágono regular (distancia entre dos vértices no con-secutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otrasrelaciones similares en el pentagrama.

3.1.6 Representación mediante raíces anidadas

φ =√1 + φ −→ φ =

√1 +

√1 +

√1 +

√1 + · · ·

Esta fórmula como caso particular de una identidad gene-ral publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Univer-sidad de Oklahoma, en la revista American MathematicalMonthly, 1917.El teorema general dice:

La expresión limn→∞

√√√√a1 +

√a2 +

√a3 +

√a4 +

√· · ·+√

an

(donde ai = a ), es igual a la mayor de las raíces de laecuación: x2 − x− a = 0; o sea, 1+

√1+4a2 .

3.1.7 Relación con la sucesión de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F ,y al siguiente número de Fibonacci como F ₊ ₁, des-cubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón os-cila y es alternativamente menor y mayor que la razónáurea. Podemos también notar que la fracción continuaque describe al número áureo produce siempre númerosde Fibonacci a medida que aumenta el número de unosen la fracción. Por ejemplo: 3

2 = 1, 5 ; 85 = 1, 6 ; y

2113 = 1, 61538461... , lo que se acerca considerablemen-te al número áureo. Entonces se tiene que:

φ = 1 +1

1 + 11+ 1

1+ 11+...

= limn→∞

Fn+1

Fn= ϕ

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemánJohannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes deque fuera demostrada por el matemático inglés RobertSimson.Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión adi-tiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Porejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios,por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 -10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocien-tes de términos sucesivos producen aproximaciones ra-cionales que se acercan asintóticamente por exceso y pordefecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 =1,613636...; 301/186 = 1,6182795.[11]

3.2 El número áureo en la geometría 5

Amediados del siglo XIX, el matemático francés JacquesPhilippe Marie Binet redescubrió una fórmula que apa-rentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y porotro matemático francés, Abraham de Moivre. La fór-mula permite encontrar el enésimo número de Fibonaccisin la necesidad de producir todos los números anteriores.La fórmula de Binet depende exclusivamente del númeroáureo:

Fn =1√5

[(1 +

√5

2

)n

−

(1−

√5

2

)n]=

1√5

[(ϕ)

n −(−1

ϕ

)n]

3.2 El número áureo en la geometría

φφ2

1

El tríangulo de Kepler:φ2 = φ+ 1

El número áureo y la sección áurea están presentes en to-dos los objetos geométricos regulares o semiregulares enlos que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos oque aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

• Relaciones entre las partes del pentágono.

• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado,pentáculo o pentagrama.

• Relaciones entre las partes del decágono.

• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del ico-saedro.

3.2.1 El rectángulo áureo de Euclides

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y ADestán en la proporción del número áureo. Euclides, en suproposición 2.11 de Los elementos, obtiene su construc-ción:

1

2

A B

CD

E

F

G

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadradoABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

GC =√5

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:

GE = GC =√5

con lo que resulta evidente que

AE = AG+GE = 1 +√5

de donde, finalmente,

AE

AD=

1 +√5

2= φ

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son se-mejantes, de modo que este último es asimismo unrectángulo áureo.

Generación de un rectángulo áureo a partir de otro.

6 3 EL NÚMERO ÁUREO EN LAS MATEMÁTICAS

Los segmentos coloreados del pentagrama poseen proporcionesáureas.

3.2.2 En el pentagrama

El número áureo tiene un papel muy importante en lospentágonos regulares y en los pentagramas. Cada inter-sección de partes de un segmento se interseca con otrosegmento en una razón áurea.El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cincoacutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón delado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocencomo los triángulos áureos.Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, seobserva que dentro del pentágono interior es posible di-bujar una nueva estrella, con una recursividad hasta elinfinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentá-gono por el exterior, que sería a su vez el pentágono inte-rior de una estrella más grande. Al medir la longitud totalde una de las cinco líneas del pentáculo interior, resultaigual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estre-lla mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces enque aparece el número áureo en el pentagrama es infinitoal añadir infinitos pentagramas.

3.2.3 El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido comoel teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pen-tágono regular mediante regla y compás. Aplicando es-te teorema, se forma un cuadrilátero al quitar uno de losvértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayormiden b, y los lados y la base menor miden a, resulta queb2 = a2 + ab lo que implica:

b

a=

(1 +√5)

2.

A B

C

D

b

a

a

abb

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Pto-lomeo en un pentágono regular.

3.2.4 Pentágono estrellado

Aparece el número de la justa razón entre los segmentosparciales de los lados de un pentágono estrellado.[12]

3.2.5 Trigonometría

El seno de 18º es la mitad del inverso del número de lajusta razón.[13]

• cos 36º es la mitad del número aúreo.[14]

• De igual modo 2cos 36º - 2 sen 18º = phi - 1/phi.

3.2.6 Relación con los sólidos platónicos

El número áureo está relacionado con los sólidos platóni-cos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyasdimensiones están dadas en términos del número áureo.Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por lossiguientes puntos:(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumeny su área total se pueden expresar también en términosdel número áureo:

A = 3√15 + 20φ · a2

7

Los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden con loscentros de las caras de un dodecaedro.

V =4 + 7φ

2· a3

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente ensus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureoscoinciden exactamente con los vértices de un icosaedro,y con los centros de las caras de un dodecaedro.El punto que los rectángulos tienen en común es el centrotanto del dodecaedro como del icosaedro.

3.3 Teoría de números

4 El número áureo en la Naturale-za

Concha de nautilus en espiral logarítmica.[15]

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados conla sección áurea y/o los números de Fibonacci:

• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de losábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión

que lleva su nombre para calcular el número de pa-res de conejos n meses después de que una primerapareja comienza a reproducirse (suponiendo que losconejos están aislados por muros, se empiezan a re-producir cuando tienen dos meses de edad, tardanun mes desde la fecundación hasta la aparición y ca-da camada es de dos conejos). Este es un problemamatemático puramente independiente de que seanconejos los involucrados. En realidad, el conejo co-mún europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos yvarias veces al año, aunque no cada mes, pese a quela preñez dura 32 días. El problema se halla en laspáginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fueel que llegó hasta nosotros, y parece que el plantea-miento recurrió a conejos como pudiera haber sidoa otros seres; es un soporte para hacer comprensibleuna incógnita, un acertijo matemático. El cocientede dos términos consecutivos de la sucesión de Fi-bonacci tiende a la sección áurea o al número áureosi la fracción resultante es propia o impropia, res-pectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesiónrecurrente de orden dos, según demostraron Barr ySchooling en la revista The Field del 14 de diciem-bre de 1912.[16]

• La disposición de los pétalos de las flores (el papeldel número áureo en la botánica recibe el nombre deLey de Ludwig).[17][18]

• La distribución de las hojas en un tallo. Ver:Sucesión de Fibonacci.[17]

• La relación entre las nervaduras de las hojas de losárboles.[19]

• La relación entre el grosor de las ramas principalesy el tronco, o entre las ramas principales y las secun-darias (el grosor de una equivale a Φ tomando comounidad la rama superior).[19]

• La cantidad de espirales de una piña (ocho y tre-ce espirales), flores o inflorescencias. Estos núme-ros son elementos de la sucesión de Fibonacci y elcociente de dos elementos consecutivos tiende al nú-mero áureo.[20][21]

• La distancia entre el ombligo y la planta de los piesde una persona, respecto a su altura total.[22]

• La cantidad de pétalos en las flores. Existen florescon 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89y 144.[20]

• La distribución de las hojas de la yuca y la disposi-ción de las hojas de las alcachofas.[20]

• La relación entre la distancia entre las espiras delinterior espiralado de cualquier caracol o de cefaló-podos como el nautilus. Hay por lo menos tres es-pirales logarítmicas más o menos asimilables a pro-porciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza

8 5 EL NÚMERO ÁUREO EN EL ARTE Y EN LA CULTURA

por la relación constante igual al número áureo en-tre los radiovectores de puntos situados en dos evo-lutas consecutivas en una misma dirección y senti-do. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, deScalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium tro-chleare, entre otras, siguen este tipo de espiral decrecimiento.[23][24] Se debe entender que en todaconsideración natural, aunque involucre a las cien-cias consideradas más matemáticamente desarrolla-das, como la Física, ninguna relación o constanteque tenga un número infinito de decimales puedellegar hasta el límite matemático, porque en esa es-cala no existiría ningún objeto físico. La partículaelemental más diminuta que se pueda imaginar esinfinitamente más grande que un punto en una recta.Las leyes observadas y descriptas matemáticamen-te en los organismos las cumplen transgrediéndolasorgánicamente.[25]

• Para que las hojas esparcidas de una planta (VerFilotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan elmáximo de insolación con la mínima interferenciaentre ellas, éstas deben crecer separadas en héliceascendente según un ángulo constante y teóricamen-te igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136276 726 855 462 662 132 999...” En la naturalezase medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º30' 28” en el mejor de los casos.[17]Para el cálculose considera iluminación vertical y el criterio mate-mático es que las proyecciones horizontales de unassobre otras no se recubran exactamente. Aunque lailuminación del Sol no es, en general, vertical y varíacon la latitud y las estaciones, esto garantiza el máxi-mo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fuedescubierto empíricamente por Church[17] y confir-mado matemáticamente por Weisner en 1875. Enla práctica no puede medirse con tanta precisión elángulo y las plantas lo reproducen “orgánicamente";o sea, con una pequeña desviación respecto al valorteórico. No todas las plantas se benefician con unmáximo de exposición solar o a la lluvia, por lo quese observan otros ángulos constantes diferentes delideal de 137.ª 30'. Puede encontrar una tabla en lapágina 26 del documento completo accesible en elenlace de la referencia.[21]

• En la cantidad de elementos constituyentes de lasespirales o dobles espirales de las inflorescencias,como en el caso del girasol, y en otros objetos or-gánicos como las piñas de los pinos se encuentrannúmeros pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.El cociente de dos números sucesivos de esta suce-sión tiende al número áureo.

• Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagona-les (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregu-lares. Sin embargo, las proporciones de dicho po-liedro irregular no involucran el número áureo. Enel mundo inorgánico no existe el pentágono regu-lar. Éste aparece (haciendo la salvedad de que con

un error orgánico; no podemos pretender exactitudmatemática al límite[26]) exclusivamente en los or-ganismos vivos.[27]

5 El número áureo en el arte y en lacultura

En la representación del Hombre de Vitruvio Leonardo da Vincino utiliza el número áureo, sino el sistema fraccionario

propuesto por Vitruvio

• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide deGizeh. La afirmación de Heródoto de que el cua-drado de la altura es igual a la superficie de una caraes posible únicamente si la semi-sección meridia-na de la pirámide es proporcional al triángulo rec-tángulo

(1,

√√5+12 ,

√5+12

), donde 1 represen-

ta proporcionalmente a la mitad de la base, la raízcuadrada del número áureo a la altura hasta el vér-tice (inexistente en la actualidad) y el número áureoo hipotenusa del triángulo a la apotema de la GranPirámide. Esta tesis ha sido defendida por los ma-temáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price(ver referencias), se apoya en la interpretación de unpasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) yresulta teóricamente con sentido, aunque una cons-trucción de semejante tamaño deba contener erroresinevitables a toda obra arquitectónica y a la misma

9

naturaleza de la tecnología humana, que en la prác-tica puede manejar únicamente números racionales.

Otros investigadores famosos se inclinan por la hipóte-sis de que los constructores intentaron una cuadratura delcírculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxi-mamucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construccióntal, aunque se conociera π con una aproximación grande,carecería completamente de interés geométrico.[28]

No obstante, con base en mediciones no es posible elegirentre una u otra pues la diferencia sobre el monumentoreal no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación que-da enmascarada por las incertidumbres de las medidas,los errores constructivos y, principalmente, porque la pi-rámide perdió el revestimiento en manos de los primerosconstructores de El Cairo. Para que esto quede más cla-ro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metrosequivale a 23 centímetros y en la altura está en el ordende la diferencia real que debería existir entre ambas po-sibilidades.

• La relación entre las partes, el techo y las columnasdel Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el pri-mer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Uni-versidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teetetode Platón para estudiar las proporciones relativas delas superficies, algo muy natural cuando se trata deobras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejan-tes se distinguen entre sí por el cociente de su ladomayor por el menor, número que basta para carac-terizar a estas figuras y que denominó módulo delrectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doblecuadradomódulo 2. Aquellos rectángulos cuyos mó-dulos son números enteros o racionales fueron deno-minados “estáticos” y los que poseen módulos irra-cionales euclidianos, o sea, expresables algebraica-mente como raíces de ecuaciones cuadráticas o re-ducibles a ellas, “dinámicos”. El doble cuadrado es ala vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadradade 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elementales aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadradade 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulola raíz cuadrada de 5.[29] Posteriormente Hambidgeestudió a los monumentos y templos griegos y llegóa encuadrar el frontón del Partenón en un rectángu-lo de módulo 4Φ−2

Φ+1 . Por medio de cuatro diagona-les suministra las principales proporciones verticalesy horizontales. Este rectángulo es descompuesto enseis de módulo

√5 y cuatro cuadrados.[30]

Como dato adicional para indicar la complejidad del tra-tamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron des-cubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templotiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieranefectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelasy perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exac-tos, por las propiedades de la visión humana el conjuntose vería más ancho arriba que en la base, sus columnas

se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fun-damenta el techo sobre las columnas se vería como unaespecie de catenaria, con los extremos del edificio apa-rentemente más altos que el centro. Los constructores hi-cieron la construcción compensando estos efectos de ilu-sión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a loselementos involucrados. Así las columnas exteriores, enambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro enun ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las queestán en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundosde arco. La línea que formarían los dinteles entre colum-nas y que constituye la base del triángulo que corona eledificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos dearco con el vértice más elevado que los extremos. De es-ta forma, y con otras correcciones que no se mencionanaquí, se logra que cualquier observador que se sitúe enlos tres puntos principales de vista vea todo el conjuntoparalelo, uniforme y recto.[31]

• Estudios como los del dr. Fechner han demostradoque la percepción de la belleza radica en la propor-ción áurea. Por ende, aquello que matemáticamen-te más se aproxime a fi, se percibirá como más be-llo y perfecto. Ésta noción de belleza y perfecciónes aplicable a estructuras arquitectónicas, pinturas,partituras musicales, fractales y personas.[32]

• En el cuadro Leda atómica, de Salvador Dalí, hechoen colaboración con el matemático rumano MatilaGhyka.[33][34][35]

• En las estructuras y tiempos de las películas "El aco-razado Potemkin" e “Iván el Terrible” de Serguéi Ei-senstein.[36][35]

• En los violines, la ubicación de las efes o eses (los“oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el nú-mero áureo.[cita requerida]

• El número áureo aparece en las relaciones entre al-tura y ancho de los objetos y personas que aparecenen las obras de Miguel Ángel, Durero y LeonardoDa Vinci, entre otros.

• Es necesario desmentir la expandida aseveración deque el número áureo aparece en la conocida repre-sentación del hombre de Vitruvio de Leonardo daVinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue es-trictamente las proporciones fraccionarias del cuer-po humano que Vitruvio describe en su libro De ar-chitectura; concretamente en el Capítulo I del LibroTercero, “El origen de las medidas del Templo”.

• En las estructuras formales de las sonatas deWolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfo-nía de Ludwig van Beethoven[cita requerida], en obrasde Franz Schubert[cita requerida] y Claude Debussy[cita requerida](estos compositores probablemente com-pusieron estas relaciones de manera inconsciente,basándose en equilibrios de masas sonoras).[37]

10 7 REFERENCIAS

• En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El códi-go Da Vinci aparece una versión desordenada de losprimeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21,1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada porel curador del museo del Louvre, Jacques Saunière.En las pp. 121 a 123 explica algunas de las aparicio-nes del número phi (1,618) en la naturaleza y el serhumano. Menciona que las distancias entre nuestrocuerpo son proporcionales entre si, como las de lapierna al muslo, el brazo al antebrazo, etc.

• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisiónNUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio dela matemática Charlie Eppes menciona que el nú-mero fi se encuentra en la estructura de los cristales,en la espiral de las galaxias y en la concha del Nau-tilus.

• En el episodio de Mentes Criminales “Obra maes-tra” (Cuarta temporada, episodio 8), los crímenesdel profesor Rothschild siguen una sucesión de Fi-bonacci; en la primera zona, mató a una víctima; enla segunda, a otra; en la tercera, a dos; en la cuarta,a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las lo-calizaciones también se disponen según una espiraláurea, de fuera hacia dentro: el sitio donde estabansecuestrados los niños estaba justo en el centro. Has-ta eligió a sus doce primeras víctimas según cuántose acercaran las relaciones entre sus rasgos facialesal número áureo: buscaba que fueran los “especíme-nes más perfectos de ser humano”.

• El arte Póvera fue un movimiento artístico italianode los años 1960, muchas de cuyas obras se basanen esta sucesión.[cita requerida]

• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos/Pi,el orden del caos, el personaje central, el matemá-tico Max Cohen, explica la relación que hay entrelos números de Fibonacci y la sección áurea, aunquedenominándola incorrectamente Theta (θ) en vez dePhi (Φ).

• El número phi aparece en la película de Disney “Do-nald en el país de las matemáticas”.[38]

6 Véase también• Triángulo de Kepler

• Número π

• Espiral logarítmica

• Estrella mágica

• Sucesión de Fibonacci

• Composición áurea

• Pitágoras

• Luca Pacioli

• Matila Ghyka

• Roger Penrose

• Decágono regular

• Rectángulo cordobés

7 Referencias[1] Fernando Corbalán (2010). La proporción áurea. RBA

Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1.

[2] Luca Pacioli, De Divina Proportione (De la divina propor-ción, escrito entre 1496 y 1498.

[3] Este número es irracional, aunque es algebraico de segun-do grado por ser raíz de una ecuación cuadrática y tambiénconstructible mediante regla y compás, y existen numero-sas aproximaciones racionales con mayor o menor error.En el año 2008 se obtuvieron cien mil millones de cifrasdecimales correctas. (Ver: http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Al igualque ocurre con la raíz cuadrada de dos, es posible cons-truir un segmento idealmente exacto con regla no gradua-da de un solo borde y longitud indefinida y un compás deabertura variable.

[4] Proporción Áurea en WolframMathWorld

[5] N.N. Vorobiov:Lecciones de matemáticas populares. Nú-meros de Fibonnacci, Editorial Mir, Moscú (1974)

[6] Mario Livio (2002). The Golden Ratio. Broadway Books.ISBN 0-7679-0816-3.Mario Livio (2009). La ProporciónÁurea. La historia de phi, el número más sorprendente delmundo. Editorial Ariel S. A. ISBN 978-84-394-4495-X.

[7] Bad approximable numbers inWolframMathWorld

[8] Vorobiov: Op. cit.

[9] Vavilov: Problemas de matemática. editorial mir, moscú

[10] Adaptación de un problema inserto en “Problemas Ma-temáticos” de Litvinenko y Mordkóvich.Editorial Mir,Moscú ( 1984)

[11] Trabajo presentado porMark Barr y Shooling en la revistaThe Field del 14 de diciembre de 1912.

[12] Bruño: Geometría superior

[13] Se calcula partiendo de seno y coseno de 36º

[14] Se halla usando los respectivos valores de los dos datos

[15] Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life.Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo IV: “FlatSpirals in Shells”.

[16] N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega (1974). Núme-ros de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 pági-nas.

11

[17] Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life.Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo V: “Bo-tany: The Meaning of Spiral Leaf Arrangements”, página81 en adelante.

[18] http://www.archive.org/stream/cu31924028937179#page/n10/mode/1up (Libro on line, Biblioteca delCongreso de Estados Unidos de América)

[19] Artículo publicado por Astroseti: “Las espirales de Fi-bonacci podrían estar relacionadas con la tensión “26/04/2007 (Probablemente, también con el principio demínima acción): “Zexian Cao y sus colegas de la Acade-mia de Ciencias China usaron la ingeniería de tensión pa-ra crear microestructuras de distintas formas de sólo 12μm de longitud con un núcleo de plata y una cáscara deSiO2. Descubrieron que si se establecían las cáscaras enformas esféricas durante el enfriamiento, se formaban enellas patrones de tensión triangulares. Por otra parte, si seestablecían en formas cónicas, aparecían patrones de ten-sión en espiral. Estos patrones espirales eran “espirales deFibonacci” – esto es, espirales que tienen sus dimensio-nes gobernadas por las series de Fibonacci.” “El equipode Cao no cree que las espirales de Fibonacci se formenpor accidente, sin embargo – creen que su causa puedeestar relacionada con un delicado problema planteado porel físico J. J. Thomson en 1904. Thomson preguntó cómoun conjunto de cargas se organizaría a sí mismo en unaesfera conductora para minimizar su energía. Los físicoshan calculado ya que las cargas tomarían patrones triangu-lares – similares a las microestructuras esféricas de Cao.Debido a esto, el equipo de Cao piensa que las espiralesde Fibonacci en las microestructuras cónicas debe ser laconfiguración equivalente de energía mínima (y por tan-to tensión mínima) para un cono, aunque no han llevadoa cabo cálculos por sí mismos.” “Los biólogos han sos-pechado desde hace tiempo que las ramas de los árbolesy otras ocurrencias de la serie de Fibonacci en la natu-raleza son simples reacciones para la minimización de latensión, pero hasta ahora no se había encontrado ningunaprueba concreta. «Nuestro experimento usando materia-les puramente inorgánicos proporciona la prueba para esteprincipio», comenta Cao a Physics Web.”

[20] "[...] la flor de un girasol está formada por pequeñas es-tructuras que se encuentran alineadas de tal forma queproducen hileras dispuestas en espiral, algunas de ellasabren sus brazos en el sentido de las agujas del reloj ylas restantes en la dirección contraria. Si las contamos ve-remos que siempre habrá 13 espirales que se abren ha-cia la derecha por 21 que se abren a la izquierda (13/21).Este hecho puede parecer banal, pero adquiere relevan-cia cuando se repite esta cuenta con girasoles de diferen-tes tamaños y con otras flores como las margaritas y losmirasoles; pues encontramos que algunas tienen 21/34,otras 34/55 y que incluso las hay de 55/89. [...]" Mira-montes, Pedro (abril-junio 1996). «"La geometría de lasformas vivas"». E Journal, Universidad Autónoma de Mé-xico (42).

[21] “Los números de Fibonacci en Botánica ocurren con granregularidad. En 1968, Brousseau usó 4290 piñas de diezespecies de pinos encontrados en California, de las cualessolo 74 piñas (1.7 por ciento) se desvió de los números de

Fibonacci. En 1992, Jean R.V. en su artículo “Model tex-ting in phyllotaxis” publicó que de 12.750 observacionesen 650 especies encontradas en la literatura de Botánicade los últimos 150 años, la sucesión de Fibonaci apare-cía en más del 92 por ciento de todos los posibles casosde plantas con disposición espiral de sus elementos. Entrelos 12.750 casos, la sucesión de Lucas (Edouard A. Lucas,1842- 1891) se encontró en un dos por ciento. Coxeter lla-ma a la apariencia de los números de Fibonacci: “Fasci-nante tendencia”. Otros se refieren a la prevalencia de Fi-bonacci como: “El misterio de la Filotaxis” o “La obsesióno pesadilla de los botánicos.” La disposición de las esca-mas de las piñas, frutos de diferentes especies de pinos, seorganiza en torno a dos espirales de escamas: una dextró-gira y otra levógira. Se ha constatado empíricamente queen un número muy elevado de estas especies, son númerosconsecutivos de la sucesión de Fibonacci. Otros ejemplosson las tortas de girasol, las cabezuelas de las margaritas,etc. Las hojas de la mayor parte de plantas de tallo alto,están colocadas alrededor del mismo pudiendo ser recorri-das siguiendo una espiral (figura 13). Mas concretamente,en Filotaxis se verifica la llamada ley de divergencia: “pa-ra cada especie de plantas el ángulo que forman dos hojasconsecutivas, llamado ángulo de divergencia, es constan-te”.” (Página 23 en adelante) Reyes Iglesias, Encarnación(2009). «"Arte y Naturaleza en clave geométrica"». Uni-versidad de Valladolid.

[22] LA RAZÓN AUREA - Ministerio de Educación de Es-paña

[23] Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en laNaturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Ai-res, Capítulo V: “Del Crecimiento Armonioso”, páginas118 a 144.

[24] D'Arcy Wentworth Thompson (1917). “On Growth andForm”. Cambridge University Press. D'Arcy WentworthThompson (1992). “On Growth and Form”. Dover edi-tion, 1116 páginas. D'Arcy Thompson (1980). “Sobre elCrecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume, Ma-drid.Existen ediciones de unas 300 páginas, una recientede Cambridge.

[25] Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencio-nado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka.

[26] En cualquier ser orgánico o inorgánico sus partes consti-tuyentes (moléculas, átomos, células) son objetos que tie-nen dimensiones; el punto geométrico no. Por esa razón,cuando se sostiene que se verifica una proporción esta noserá jamás un número iracional con infinitos decimales,pues ello implicaría que las partes que forman al obje-to en cuestión no tuvieran dimensiones como los puntosgeométricos. Tendremos forzosamente un intervalo de in-certidumbre, del que podremos indicar por lo menos dosracionales que lo limitan. Explicado de otra forma: si unacélula está en el borde de un ser y decimos que otra par-te está situada en proporción áurea con ese borde, ¿Desdedónde tenemos que medir para que haya infinitos decima-les exactos? Esa célula no es un cuerpo rígido, se deforma,los bordes no son líneas perfectas. En la práctica la mayo-ría de los decimales infinitos del número áureo no tendránrazón de aparecer debido a la incertidumbre de la medida.

12 9 ENLACES EXTERNOS

[27] Ghyka, Matila. “Estética de las Proporciones en la Natu-raleza y en las Artes”, Capítulo V: “Del Crecimiento Ar-monioso"; obra citada.

[28] “Lógicamente, la tesis de la sección áurea parecería másprobable, porque de ella emana una construcción riguro-sa, elegante y sencilla del triángulo meridiano, mientrasque en la otra hipótesis, aún suponiendo conocido con unaaproximación muy grande el valor de π, la construcciónsería puramente empírica y desprovista de verdadero in-terés geométrico” [Es notable, además, que aunque los an-tiguos no sabían de la trascendencia de π, estaban comple-tamente conscientes de la carencia de exactitud de algunosintentos de cuadratura del círculo] Matila Ghyka (1953).Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Ar-tes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: “LaPirámide de Keops”, página 222.

[29] Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). “Dynamic SymmetryThe Greek Vase”. Yale University Press, New Haven.JayHambidge (22 de agosto de 2007). Dynamic SymmetryThe greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6.

[30] Jay Hambidge (1924). “The Parthenon and Other Greektemples, their Dynamic Symmetry”. Yale University Press,New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esaedición, tanto nuevos como usados y a la venta a apro-ximadamente $ (USA) 250.

[31] Banister; Fletcher. “A History of Architecture”. B. T. Bas-ford, Londres.

[32] The golden ratio and aesthetics, by Mario Livio.

[33] http://www.educacion.gob.es/exterior/ad/es/publicaciones/Aula_Abierta2_Belleza.pdf, página86.

[34] J. L. Ferrier, Dalí, Leda atómica, París: Denöel, Gonthier,1980.

[35] Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Filoso-fía. “Aspectos Estéticos de la Divina proporción. Memo-ria para optar al grado de Doctor”, Araceli Casans Artea-ga, Madrid, 2001, ISBN: 84-669-1867-1. http://eprints.ucm.es/tesis/fsl/ucm-t25388.pdf

[36] S. M. Eisenstein, La nueva etapa del contrapunto del mon-taje, en contracampo, nro. 29, año IV, abril-junio 1982,página 42.

[37] Por ejemplo, la sonata Nº 1 de Mozart para piano subdi-vide su primer movimiento en 38 y 62 compases. El co-ciente, 62/38 = 1,6315, difiere en menos de un 1% de laproporción áurea. Lo mismo puede decirse de su segundomovimiento, que con 28 y 46 compases en sus dos seccio-nes principales arrojan una proporción 46/28 = 1,6428,también muy cercana a φ. La sonata Nº 2 subdivide elprimer movimiento en 56 y 88 compases, cuyo cocientees 88/56 = 1,5714, también bastante próximo a la relaciónáurea. Aunque desde luego no toda la música se seccionade esta manera, es uno de los posibles principios para laorganización del tiempo en la música. Otro es la simetría,según el cual las secciones tienen igual duración. Curio-samente, la simetría funciona mejor en el corto plazo (a

nivel de frases o motivos), mientras que la relación áu-rea domina las grandes extensiones. Se ha argumentadoque en tiempos considerables el ser humano es incapaz depercibir objetivamente la duración, pero es posible que síexista una percepción inconsciente de la estructura gene-ral. "La música de las esferas: de Pitágoras a Xena-kis... y más acá", Apuntes para el coloquio del Depar-tamento de Matemática, Federico Miyara, páginas 14 y15. http://www.sectormatematica.cl/musica/esferas.pdf

[38] http://www.youtube.com/watch?v=jZjYLbZh_mo&feature=related

8 Bibliografía

En orden cronológico:

• Jarolimek (Viena, 1890). Der MathematischenSchlüssel zu der Pyramide des Cheops.

• Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: EinDenkmal Mathematischer Erkenntnis. Múnich: Ol-denburg.

• Cook, Theodore Andrea (1979; obra original:1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover.ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5.

• Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. TresCantos: Ediciones Akal, S. A. ISBN 978-84-7600-787-7.

• Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. Barcelo-na: Poseidón, S.L. ISBN 978-84-85083-11-4.

• Ghyka, Matila (2006). El Número de Oro. I Los rit-mos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, S.L. ISBN 978-84-455-0275-4.

• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea.RBA Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1.

9 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Número áureo. Commons

• Weisstein, Eric W. «GoldenRatio». En Weisstein,Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Matematicasvisuales.com. «La proporción áurea»(en español). Consultado el 16 de abril de 2015.

• Langarita Felipe, Ignacio A. «El número de oro» (enespañol). Consultado el 16 de abril de 2015.

13

• Paniagua Sánchez, Juan Ángel. «El número áureoo Phi» (en español). Castor.es. Consultado el 16 deabril de 2015.

• De Castro P., Carlos Armando. «Sucesiones áureas:Parte I.» (en español). Consultado el 16 de abril de2015.

• De Castro P., Carlos Armando. «Sucesiones áureas:Parte II.» (en español). Consultado el 16 de abril de2015.

• Tomasini, María Cecilia. «El número y lo sagradoen el arte» (en español). Consultado el 16 de abrilde 2015.

• Knott, Ron (9 de diciembre de 2011). «The Goldensection ratio: Phi» (en inglés). Archivado desde eloriginal el 28 de noviembre de 2015. Consultado el16 de abril de 2015.

14 10 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS

10 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

10.1 Texto• Número áureo Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo?oldid=87703108 Colaboradores:Youssefsan, Era-

los, Pino, Joseaperez, Oblongo, Sabbut, Moriel, Bluenote, JorgeGG, Cdlfd, Angus, Meredhit, Vivero, Zwobot, Rosarino, Uaxuctum~eswiki,Dodo, Ascánder, Sms, SimónK, Xgarciaf, Sefer, Tano4595, Ramjar, Galio, Lopezmts, Lew XXI, Joselarrucea, Leonbloy, Chalisimo5,Xenoforme, CarlosGarcia, Arkady, Toad32767, Txuspe, Desatonao, Elsenyor, Papix, Renabot, Ronaldo16, Yurik, Petronas, Vester, Yrit-hinnd, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Strigoiul, Kelden, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, EvolvE, Alhen, Superzerocool, Chobot,Caiserbot, Deprieto, Yrbot, Amadís, FlaBot, Varano, Vitamine, BOTijo, YurikBot, Mortadelo2005, Icvav, GermanX, Lin linao, Unaiaia,JAGT, Gaijin, KnightRider, The Photographer, YoaR, Gothmog, Santiperez, Heliocrono, Eskimbot, Varusso, Banfield, CHV, Götz, Jo-sé., Swazmo, Maldoror, Carlos Alberto Carcagno, Lasneyx, Jarke, Filipo, Covi, Alexlm78, Miguel303xm, Sigmanexus6, VictorSanchez2,Faelomx, Tamorlan, Kn, BOTpolicia, CEM-bot, Goliardo, Cokepe, Laura Fiorucci, Gonmator, Mrsyme, Saul ip, JMCC1, -jem-, Salva-dor alc, Marianov, Evaristor, Retama, Eli22, Baiji, Man77, Roberpl, Davius, Rastrojo, Antur, Gafotas, Dorieo, Montgomery, FrancoGG,Ggenellina, Thijs!bot, Srengel, Tortillovsky, Smartlink, Diosa, Davidfase~eswiki, Yeza, Zupez zeta, Isha, Kim FOR sure, Hanjin, Mpei-nadopa, Rrmsjp, Tuliopa, VanKleinen, Kved, Integral triple, Lecuona, Robertollefi, Homo logos, Muro de Aguas, CommonsDelinker,TXiKiBoT, Mephystovals, Humberto, Netito777, Gregoriobart, Rei-bot, Algarabia, Fixertool, Nioger, Chabbot, Pólux, Demonacho, Jtico,Azcarlos2, Castorpuntoes, Escale, VolkovBot, Technopat, The Bear That Wasn't, Queninosta, Tláloc, Libertad y Saber, Manuribadeo, Mat-drodes, Jiacontrerasp, Synthebot, Mrexcel, Reolgovi, Lucien leGrey, Luis1970, Tatvs, Vatelys, Matias111, IIM 78, Muro Bot, YonaBot,Srbanana, Mjollnir1984, SieBot, Mushii, Ctrl Z, Mignog, PaintBot, Ensada, Obelix83, Cobalttempest, OLM, RASECZENITRAM, Lean-drodiazezequiel, Drinibot, Novellón, Bigsus-bot, BOTarate, Barmes, Mel 23, Inri, Urbtecto~eswiki, Caronte.Rules, Manwë, Correogsk,Greek, BuenaGente, Tirithel, Mutari, **JDP**, Javierito92, HUB, Antón Francho, Nicop, Icabezud, Quijav, Makete, Eduardosalg, Veon,Neodop, Botellín, Leonpolanco, Charly genio, Botito777, LordT, Juan Mayordomo, Paporrubio, Frei sein, Raulshc, Açipni-Lovrij, Mi-ke.lifeguard, Damian cf, Kadellar, Ponchi182, Andrew diaz, UA31, Shalbat, Hermzz, AVBOT, LucienBOT, Gizbot, MastiBot, Geronime,Matematico2008, Angel GN, MarcoAurelio, Desde el planeta de los simios, Ialad, Ambil, Diegusjaimes, DumZiBoT, MelancholieBot,Arjuno3, Gallo Pinto, Raúl González Molina, Saloca, Madalberta, Andreasmperu, Luckas-bot, Piccard, Nallimbot, Roinpa, FariBOT,Jotterbot, Jesam, Yodigo, Yonidebot, Jamercues, Aacugna, GerGhiotti, Xaero476, Wikirom, ArthurBot, Clone2, SuperBraulio13, Xq-bot, Simeón el Loco, Jkbw, Rubinbot, Dreitmen, Santi Gomà, Ricardogpn, Kismalac, Torrente, C90182, Artlejandra, Botarel, Firulillo,D'ohBot, TiriBOT, MAfotBOT, Gusbelluwiki, Llsalcedo, Hprmedina, TobeBot, RedBot, Marsal20, Enrique Cordero, Jerowiki, TorQueAstur, PatruBOT, CVBOT, Frankwillis, Pincho76, Humbefa, AstroF7, Almamora, Proferichardperez, Foundling, Miss Manzana, Edslov,Afrasiab, EmausBot, Savh, ZéroBot, Hulp, Africanus, Negyek, Grillitus, Rubpe19, Wisho mayor Junior, Cencina~eswiki, Jcaraballo, WakaWaka, WikitanvirBot, Dactilos, Lawaya, Hiperfelix, Rufflos, Miguelectronico, Correogskmaya, Abián, MerlIwBot, Vagobot, EspaisNT,MetroBot, Invadibot, Alexandroverdugo, Óscar Becerril, Gabriela Ruellan, Jonhrafe, Acratta, Ovidio Santana Salvador, LlamaAl, Elvi-sor, Santga, Campo estético, Helmy oved, Facuman8, Remalbi2012, RosenJax, YFdyh-bot, ProfesorFavalli, Syum90, Legobot, Addbot,Balles2601, Pcarrilloalvarez, JacobRodrigues, Manoletito, Arstempo, Qhcd3967, Master-gelo, Ineditable, Jarould, Egis57, Faraones 2,2,Crystallizedcarbon, Sfr570, Juan Antonio León Ruiz, Tropicalkitty y Anónimos: 711

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