numeriŁno modeliranje meıanja v posodi z rushtonovim meıalom

Strojni�ki vestnik - Journal of Mechanical Engineering 51(2005)12, 798-809

798 Hriber�ek M. - Zadravec M.

Numerièno modeliranje me�anja v posodi z Rushtonovimme�alom

Numerical Modeling of Mixing in a Vessel with a Rushton Impeller

Matja� Hriber�ek - Matej Zadravec

Prispevek obravnava numerièno modeliranje me�anja newtonske tekoèine v me�alni posodi, v katerije name�èeno turbinsko Rushtonovo me�alo. Obravnavan je ustaljeni turbulentni tokovni re�im, opisan sèasovno povpreèenim Navier-Stokesovim sistemom enaèb. Numerièno re�evanje temelji na uporabidvoenaèbnega modela turbulence in metode konènih prostornin. Posebna pozornost je namenjenamodeliranju vrtenja me�ala ter izraèunu mehanske moèi za me�anje, kakor tudi nekaterim poenostavitvam,ki omogoèajo hitrej�i izraèun zahtevnih diskretnih modelov.© 2005 Strojni�ki vestnik. Vse pravice pridr�ane.(Kljuène besede: me�ala Rushtonova, modeliranje numerièno, tok turbulentni, razmere tokovne)

This paper presents numerical modeling of mixing a Newtonian fluid in a stirring vessel with aRushton impeller. The stationary turbulent flow is governed by the time-averaged Navier-Stokes equations.For the numerical approach, a two-equation turbulence model with the finite-volume method was used. Thefocus is on impeller rotation, a determination of the stirrer power and a simplification that can lead to fastersolving of complicated discreet models.© 2005 Journal of Mechanical Engineering. All rights reserved.(Keywords: Rushton impeller, numerical modeling, turbulent flow, flow conditions)

Strojni�ki vestnik - Journal of Mechanical Engineering 51(2005)12, 798-809UDK - UDC 66.063:532.5Strokovni èlanek - Speciality paper (1.04)

0 UVOD

Me�anje je eden najpogosteje uporabljanihpostopkov, lahko poteka samostojno ali kotspremljevalec drugih postopkov. Najpogostej�aoblika me�alne naprave v in�enirski praksi je me�alnaposoda. Poglavitna naloga me�anja je priprava invzdr�evanje èim bolj enakomerne porazdelitve toplotein snovi v napravi, kar omogoèa prisilno gibanjetekoèine, ki je posledica vnosa mehanske energijeprek vrtenja me�ala. Pri konstrukciji me�alne posodeje najpomembnej�i podatek potrebna moè za me�anje,saj je od nje odvisna izbira pogonskega sklopa,medtem ko je za doloèanje stopnje preme�anja inme�alnega èasa ter razmer pri prenosu toplote insnovi poglavitno poznavanje tokovnih razmer inmehanizmov me�anja.

�tudij me�anja je �e do nedavnega temeljilpredvsem na znanju in izku�njah, pridobljenih pripreizkusih na modelnih napravah. Kadar imamo navoljo ustrezno preizkusno opremo, je tak�en postopek

ustrezen, saj opazujemo dogajanje v dejanskemfizikalnem sistemu. �al ima modelno preizku�anje pravipomen tedaj, kadar ima in�enir na voljo ustreznemetode merilnega prenosa, ki mu omogoèijo prenosspoznanj z modelnega merila na industrijsko merilo.Podobnostna teorija, najpogosteje uporabljanpostopek v merilnem prenosu, je ena izmed mo�nosti,�al pogosto omejena z nasprotujoèimi si pravili, kar jeizrazito predvsem pri obravnavi lokalnega dogajanjav me�alni posodi ali me�anja veèfaznih sistemov.Glavni problem pri merilnem prenosu ni le spremembaizmer, paè pa sprememba tokovnih razmer v me�alniposodi, tako na makro (veliki vrtinci, glavne tokovnice)kakor tudi na mikro ravni, èesar podobnostna teorijaseveda ne more zajeti.

Turbinsko oziroma Rushtonovo me�alo jedobilo ime po J. H. Rushtonu, ki je prvi preuèevalpostopek me�anja z uporabo tega me�ala. Rushtonin drugi ([12] in [13]) je s preizkusom podal krivuljebrezrazse�nega Newtonovega �tevila v odvisnostiod Reynoldsovega �tevila za razliène tipe me�al.


799Numerièno modeliranje me�anja - Numerical Modelling of the Mixing

Zaradi velike uporabnosti me�ala so bile izvedene�tevilne meritve tokovnega polja v okoliciRushtonovega me�ala. Wu in Patterson [10] terRanade in Joshi [11] so s pomoèjo laserskeDopplerjeve anemometrije (LDA) preuèevali tokovnerazmere v me�alnih posodah z Rushtonovimme�alom. Wu in Patterson [10] sta se v raziskaviosredotoèila na periodièno obna�anje toka v okolicime�ala zaradi prehoda lopatic me�ala glede napreostali del me�alne posode, ter ugotovila, da imato velik vpliv na turbulentne velièine toka. Rezultati,ki sta jih podala Ranade in Joshi [11], so bili podanis poudarkom na tokovnem polju v okolici me�ala,prav tako pa sta rezultate primerjala z �e do tedajopravljenimi preizkusi. Ugotovila sta, da premerme�alne posode nima velikega vpliva na tokovnodogajanje v neposredni okolici me�ala.

Raziskave, ki so jih opravili Van�t Riet in drugi([15] in [16]), so pokazale, da za vsako od lopaticRushtonovega me�ala nastaneta dva vrtinca. Pravtako pa je v teh èlankih zajeto turbulentno obna�anjetoka v okolici me�ala.

Na podroèju in�enirskih znanosti je v zadnjemdesetletju pri�lo do preboja raèunalni�kih simulacij zznanstvenega podroèja na podroèje in�enirstva, karvelja tako za raèunalni�ko mehaniko kakor tudi zaraèunalni�ko dinamiko tekoèin (RDT). Vzrok temu jebil hkraten pospe�en razvoj matematièno-fizikalnihin pribli�nih modelov ter hiter razvoj raèunalni�kehitrosti. Ker je me�anje predvsem problem dinamiketekoèin, je z razvojem raèunalni�ke dinamike tekoèin,ki omogoèa natanèen vpogled v tokovne razmere vme�alnih posodah, postopkovni in�enir tako dobil vroke (sicer zahtevno) orodje, ki v veliki merinadome�èa podobnostno teorijo. To je �e posebejpomembno v primeru obravnave tokov v posodah zveè me�ali, Ba�iè [2], in pri me�anju nenewtonskihtekoèin, Hriber�ek [7].

Harvey in Rogers [5] sta s pomoèjo Navier-Stokesovih enaèb izvedla izraèun tokovnega polja vme�alni posodi z Rushtonovim me�alom. Uporabilasta veèblokovno raèunsko mre�o. Primerjala sta dvaizraèuna, med katerima je bila razlika v modeliranjuvrtenja me�ala. V prvem primeru sta uporabila modelustaljenega sklopljenega izraèuna toka v rotirajoèemin mirujoèem obmoèju raèunske mre�e (legarotirajoèih delov glede na mirujoèe je ves èas enaka),v drugem primeru pa neustaljen sklopljen izraèuntoka v rotirajoèem in mirujoèem obmoèju raèunskemre�e (zajet je medsebojni vpliv in èasovnospreminjanje toka zaradi spreminjajoèe se medsebojne

lege mirujoèega in rotirajoèega obmoèja). Raziskavovpliva razliènih modelov za modeliranje rotirajoèegaobmoèja na tokovno polje v razliènih geometrijskihoblikah me�alnih posod so izvedli tudi Brucato indrugi [3].

Za overitev numeriènih izraèunov so potrebniprimerni preizkusi. Najugodnej�a primerjavanumeriènih in preizkusnih rezultatov je v primeru, koso numerièni in preizkusni model ter postopkovniparametri me�alne posode in postopka me�anja enaki.Ranade in Joshi [11] sta primerjala numeriènerezultate s preizkusnimi rezultati, dobljenimi zuporabo merilne metode LDA, medtem ko staprimerjavo numeriènih rezultatov z eksperimentalnimirezultati, dobljenimi z uporabo metode meritev hitrostis tehniko sledenja osemenjevalnih delcev (PIV),izvedla Lee in Yianneskis [8].

Namen prispevka je podati podroben opisnumeriènega modela laboratorijske me�alne posodez Rushtonovim me�alom s poudarkomnajpomembnej�ih matematièno-fizikalnih modelov.Poznavanje delovanja tak�nih modelov je lahkoodloèilno za natanènost rezultatov raèunalni�kesimulacije, obenem pa in�enirju - uporabniku ponujajotudi bolj�e razumevanje delovanja standardnihprogramov (CFX) oziroma uporabni�ko prirejenih zasimulacijo me�anja (CFX-Promixus [4]).

1 ZNAÈILNOSTI ME�ANJA V ME�ALNIHPOSODAH

Med mehanizme me�anja pri�tevamokonvekcijo, disperzijo in difuzijo. Konvekcija pomenigibanje skupka snovi in njegovo raztezanje,disperzija pa razbitje skupka snovi na manj�e dele,kar pospe�i postopek izenaèevanja lastnosti zmesi.Difuzija oziroma mikrome�anje pomenitaizenaèevanje na molekularni ravni, ki je najpoèasnej�iin v primeru homogenih sistemov tudi zadnjimehanizem me�anja. Z mehanskim me�anjemvplivamo na konvekcijo in disperzijo, medtem ko nadifuzijo nimamo vpliva.

Glavni del me�alne posode je me�alo, ki jenamenjeno za prenos mehanske energije v kinetiènoenergijo tekoèine. Od oblike me�ala je odvisnotokovno polje v me�alni posodi. Pri vzdol�nemme�alu je smer èrpanja kapljevine na izstopu spodroèja me�ala vzporedna gredi me�ala. Pri preènemme�alu izstopa kapljevina pravokotno glede na gredme�ala. Pogosto ima me�alna posoda tik ob steniname�èeno doloèeno �tevilo tokovnih ovir, ki so



namenjene za prepreèitev gibanja glavnine kapljevinev smeri vrtenja me�ala. Eden od znakov tak�neganeza�elenega gibanja je sosredno zni�anje gladinekapljevine zaradi pojava velikega vrtinca v posodi.Poleg slab�ega me�anja lahko v tak�nih primerih pridedo prodora zraka v kapljevino, kar lahko pomembnovpliva na potek postopka v posodi.

2 RAÈUNALNI�KA DINAMIKA TEKOÈIN

Izhodi�èe raèunalni�kega modeliranjadinamike tekoèin je sistem ohranitvenih zakonovmase, gibalne kolièine, toplote in snovi v diferencialniobliki, ki velja za obravnavo zveznih teles (mehanikakontinuuma). Najbolj vsesplo�na oblika ohranitvenihzakonov so enaèbe Navier-Stokes, ki jih lahkouporabimo za opis laminarnega in turbulentnegatoka, stisljive in nestisljive ter newtonske innenewtonske tekoèine. Omejimo se na me�anjenewtonske tekoèine, za katero se sistem ohranitvenihzakonov v mirujoèem koordinatnem sistemu glasi:· ohranitev mase:

(1)

· ohranitev gibalne kolièine:

(2).

V primeru me�alne posode oz. naprav zrotirajoèimi deli najpogosteje uporabimo kombinacijozapisa gibanja tekoèine glede na mirujoèi koordinatnisistem in glede na rotirajoèi koordinatni sistem.Rotirajoèi koordinatni sistem se vrti s kotno hitrostjome�ala, uporabimo pa ga za opis gibanja tekoèine vneposredni okolici me�ala. Glede na to, da sekoordinatni sistem vrti, lahko re�ujemo ohranitveneenaèbe za relativno gibanje tekoèine glede na gibanjekoordinatnega sistema, enaèba ohranitve mase jetorej sedaj:

(3),

kjer je ur

relativna hitrost delca tekoèine.Tudi enaèbo ohranitve gibalne kolièine

zapi�emo za relativno gibanje tekoèine, vendar pamoramo sile, ki delujejo na delec tekoèine zaradigibajoèega koordinatnega sistema, ustreznomodelirati z dodatnimi viri gibalne kolièine F

i:

(4).

Dodatni viri gibalne kolièine Fi zajemajo Co-

riolis-ovo (Fcor

) in centrifugalno (Fcfg

) silo:· Coriolis-ova sila:

(5)

· centrifugalna sila:

(6).

Povezavo vrednosti hitrosti med obmoèjem, opisanimv rotirajoèem koordinatnem sistemu, in obmoèjem,opisanim v nepremiènem koordinatnem sistemu,opravimo na meji med obema obmoèjema, pri temupo�tevamo:

(7),

kjer so: ur

hitrost tekoèine v rotirajoèem sekoordinatnem sistemu, v

r

hitrost tekoèine vmirujoèem koordinatnem istemu, w kotna hitrostvrtenja me�ala in r

r

polo�ajni vektor.Preostale spremenljivke, tlak, temperatura in

koncentracija ne spremenijo vrednosti na vmesni mejimed obmoèjema. Dobljene vodilne enaèbe dinamiketoka re�imo z uporabo pribli�nih metod [6].

Najbolj raz�irjena pribli�na metoda v RDT jemetoda konènih prostornin. Integracija vodilnihenaèb poteka na nivoju konènih prostornin, ki jihdefiniramo v okolici vsake mre�ne toèke. Zbir vsehkonènih prostornin zavzame celotno prostornino, kijo definirajo meje raèunske mre�e. Pri izpeljavidiskretnega sistema algebrajskih enaèb se upo�tevapravilo ohranitve, kar pomeni, da je neto vtok vkonèno prostornino enak neto iztoku iz konèneprostornine, kar zagotavlja tudi globalno ohranitevnumeriène sheme.

3 MODELIRANJE ROTIRANJA ME�ALA

Uporaba rotirajoèega in mirujoèegakoordinatnega sistema je v RDT znana kot metodaveèkratnega koordinatnega sistema (VKS-MFR).Prav z uporabo te metode je mogoèe preuèevatitokovna dogajanja v me�alnih posodah oziroma vvseh napravah, ki so sestavljene iz rotorja in statorja.

Za povezavo vrednosti hitrosti med rotirajoèimin mirujoèim delom moramo uporabiti ustreznointerpolacijsko metodo. Ena izmed mo�nosti je metodaposplo�ene vmesne povr�ine mre�e (PVPM-GGI) [1].Metoda PVPM pove�e mre�e razliènih obmoèij na

0vÑ× =r

r

0uÑ× =r

r

2corF uw= - × ´r

( )cfgF rw w= - ´ ´r

u v rw= -r r r

( )1i

i j i i

j i

v pv v v g

t x xn

r¶ ¶ ¶

+ = - + D +¶ ¶ ¶

( )1i

i j i i i

j i

u pu u u g F

t x xn

r¶ ¶ ¶

+ = - + D + +¶ ¶ ¶



Drseèi vmesni prerezmed rotirajoèo in

mirujoèo prostorninotekoèine

njihovih stiènih ploskvah. V splo�nem je mogoèe zmetodo PVPM povezati mre�e, pri katerih ni skladnostivozli�è elementov, tipov elementov, velikosti in oblikestiènih povr�in, oziroma uporabimo razliène modelefizike toka po celotni stièni ploskvi.

V na�em preraèunu me�alne posode je bilauporabljena sestavljena mre�a s pomoèjo tekoèe-tekoèega drseèega vmesnega prereza. Tak tipdrseèega vmesnega prereza se uporablja v modelih,v katerih je opazna sprememba lege enega odobmoèij mre�e, ki ju povezuje tak drseèi vmesniprerez. V na�em preraèunu me�alne posode je bil nadrseèem vmesnem prerezu uporabljen modelzamrznjen rotor [1]. Pri uporabi tega modela se legaenega od obmoèij spreminja, toda relativna usmeritevkomponent prek drseèega vmesnega prereza jenespremenljiva. Obe obmoèji mre�e sta povezani tako,da ima vsaka doloèeno relativno lego skozi preraèunproblema, medsebojni premik pa je doloèen sspremembo obmoèja po drseèem vmesnem prerezumed mre�ama.

Za modeliranje geometrijske oblike modelame�alne posode je bil uporabljen programski paketANSYS Workbench 8.1, ki zdru�uje orodja zamodeliranje in mre�enje geometrijske oblike modela.Modeliranje geometrijske oblike me�alne posode seje izvajalo z uporabo mer laboratorijskega modelame�alne posode, izdelanega z namenomeksperimentalne analize tokovnih razmer v me�alniposodi (sl. 1, 2). Na� primer je bil sestavljen iz dvehloèenih geometrijskih oblik, ki sta sestavljali celoto

oziroma podroèje, katerega zapolni tekoèina v me�alniposodi (sl. 3).

Geometrijsko obliko obeh modelov sestavljajoploskve, ki morajo dajati zakljuèeno prostornino. Zaradiosnosimetriène geometrijske oblike me�alne posode jebilo treba modelirati le polovico me�alne posode. Zmodeliranjem le polovice me�alne posode se zmanj�a�tevilo elementov in s tem tudi èas preraèuna, medtemko ostane natanènost preraèuna enaka.

Pri modeliranju geometrijske oblike modelovso bile pregrade in lopatice rotorja modelirane spredpisano debelino in ne le kot tanke povr�ine, karbistveno vpliva na natanènost opisa geometrijefizikalnega problema. Mre�i mirujoèe in rotirajoèeprostornine tekoèine sta prikazani na sliki 4. Ko semre�i obeh sestavita, dobimo mre�o, ki ima 757.845elementov in 157.341 vozli�è, ki so razliènih oblik:· tetraedrov je 701.123,· prizm je 55.389,· piramid je 1.333.

Simulacijo postopka me�anja smo izvedli kotèasovno odvisno, celoten èas simulacije pa je zna�al4 sekunde, po preteku katerega so hitrosti in tlaki vtekoèini dosegli ustaljene vrednosti. V zaèetkusimulacije se rotirajoèe obmoèje vrti s 120 vrt/min,medtem ko v mirujoèem delu ni nobenega gibanjatekoèine. V naslednjem trenutku se zaène gibanjetekoèine prena�ati iz rotirajoèega dela tekoèineoziroma vrteèega se rotorja na celotno prostorninotekoèine. Preraèun ohranitvenih enaèb se je izvajal vèasovnih korakih 0,01 sekunde, v katerih se pri vrtilni

Sl. 1. Geometrijska oblika modela me�alne posode z uporabljenimi merami za mirujoèo prostorninotekoèine (mere v mm)



Drseèi vmesni prerezmed rotirajoèo in

mirujoèo prostorninotekoèine

frekvenci rotorja 120 vrt/min ta premakne za 1/50vrtljaja oziroma 7,2 °C. Izveden je bil �e preraèun privrtilni frekvenci rotorja 1200 vrt/min. Preraèunohranitvenih enaèb se je v tem primeru izvajal vèasovnih korakih 0,005 sekunde, kjer se pri vrtilnifrekvenci rotorja 1200 vrt/min rotor premakne za 1/10vrtljaja oziroma 36 °C.

Na doloèenih povr�inah modela je trebazaradi uporabe simetrije modela me�alne posodepredpisati periodiène robne pogoje. Model me�alneposode je vkljuèeval tudi preraèun proste gladine,kar je zahtevalo podatke zaèetnih pogojev zaprostorninski dele� vode, prostorninski dele� zrakain tlak glede na vi�ino posode. Podani konvergenènikriterij je bil za oba primera preraèuna 10-6, kar dajezadostno natanènost rezultatov. Medij, ki je bil

uporabljen pri postopku me�anja v me�alni posodi,je bila voda. Snovske lastnosti vode so bile vzete pritemperaturi 20 °C (r = 998 kg/m3; n = 1,01·10-6 m2/s).

4 MODELIRANJE TURBULENTNEGA TOKA VME�ALNI POSODI

Tokovno polje v napravi je odvisno od veèdejavnikov, predvsem od snovskih lastnosti, hitrostivrtenja me�ala oziroma hitrosti toka tekoèine ter izmernaprave. Pogosto se dogaja, da je v bli�ini me�alatok turbulenten, ob stenah me�alne posodelaminaren, vmes pa obstaja �e obmoèje prehoda medlaminarnim in turbulentnim tokom.

Pri me�anju malo viskoznih tekoèin potekame�anje najpogosteje v podroèju turbulentnega toka.

Sl. 2. Geometrijska oblika modela me�alne posode z uporabljenimi merami za rotirajoèo prostorninotekoèine (mere v mm)

Sl. 3. Model me�alne posode mirujoèe prostornine tekoèine (levo) ter model me�alne posode rotirajoèe seprostornine tekoèine (desno)



Zanj so znaèilna prostorska nakljuèna nihanjavrednosti spremenljivk tokovnega polja, torejhitrosti, tlaka, temperature in koncentracije.Znaèilnost turbulence je tako vedno anizotropnostin nehomogenost. Ker je obravnava turbulence naravni anizotropnosti in nehomogenosti, mogoèa le vobliki neposredne numeriène simulacije v okviruraèunalni�ke dinamike tekoèin ali uporabe natanènihin obèutljivih merilnih tehnik, na primer Laser-Dopplerjevih anemometrov, je treba za in�enirskoanalizo vpeljati doloèene poenostavitve.

Najpogostej�i naèin obravnave turbulence jevpeljava predpostavke o izotropnosti inhomogenosti turbulentnih velièin. V primeruhomogenosti turbulence vpeljemo predpostavko, dase v vseh toèkah obmoèja pojavljajo enaka èasovnopovpreèena odstopanja oziroma enake lastnostiturbulentnega tokovnega polja. Predpostavka oizotropnosti turbulence v neki toèki pomeni enakpotek odstopanj v vseh smereh okoli izbrane toèke.Najintenzivnej�e je turbulentno tokovno polje vneposredni bli�ini me�ala. V tem podroèju lahkouporabimo predpostavko o homogenosti inizotropnosti turbulentnega polja, torej je uporabamodelov na podlagi turbulentne viskoznostiprimerna. Z razdelitvijo spremenljivk toka na èasovnopovpreène vrednosti in odstopanje od teh vrednosti(oscilirajoèi del), lahko enaèbo ohranitve gibalnekolièine zapi�emo v obliki, podobni zapisu za

laminarni tok, tokrat za èasovno povpreène vrednosti

iv :

(8).

Enaèba ohranitve gibalne kolièineturbulentnega toka (8) se razlikuje od enaèbeohranitve gibalne kolièine laminarnega toka (4) zaèlen ´ ´i jv vr , ki se imenuje èlen Reynoldsovih oziromaturbulentnih napetosti in opisuje medsebojni vplivsprememb hitrosti:

(9).

V zgornji enaèbi smo vpeljali turbulentnoviskoznost Tn , ki z viskoznostjo n pomeni dejanskoviskoznost:

(10).

Vpeljava turbulentne viskoznosti, oz.gradientnega modela opisa Reynoldsovih napetosti,je ugodna z raèunskega vidika, saj moramo doloèitisamo vrednost turbulentne viskoznosti, natanènostmodela pa je v veliki meri odvisna od naèina izraèunaturbulentne viskoznosti.

Najpreprostej�i diferencialni model napodlagi turbulentne viskoznosti, ki upo�teva prenosturbulentnih velièin v toku, je model k-e in njegoveizvedenke. Osnova modela k-e je izraèun dveh

Sl. 4. Mre�a mirujoèe prostornine tekoèine (levo) in rotirajoèe prostornine tekoèine (desno)

2´ ´

3ji

i j ij T

j i

vvv v k

x xr r d rn

æ öé ù¶¶= + +ç ÷ê úç ÷¶ ¶ê úë ûè ø

eff Tn n n= +

( ) ( )1´ ´i

i j i i j i i

j i j

v pv v v v v g F

t x x xn

r¶ ¶ ¶ ¶

+ = - + D + - + +¶ ¶ ¶ ¶



karakteristiènih velièin turbulentnega polja,turbulentne kinetiène energije k in njenega raztrosae, ki ju doloèimo z re�itvijo dveh prenosnih enaèb:

(11)

(12).

�tevila C1e = 1,44, C

2e = 1,92, sk = 1 in s

å = 1,3

so empiriène stalnice, doloèene za primer popolnomarazvitega turbulentnega toka, medtem ko je èlen P

k

nastanek turbulentne kinetiène energije. Modeliranjeturbulentnega toka ob trdnih stenah je bila izvedenaz uporabo zidnih funkcij [1].

Na podlagi izraèuna teh velièin izraèunamovrednost turbulentne viskoznosti:

(13),

kjer je Cm = 0,09. Iz izraza (13) je razvidno, dapredpostavlja model k-e homogenost, saj uporabimoenak izraz povsod v raèunskem obmoèju, inizotropnost, saj je turbulentna viskoznost skalar intorej ni odvisna od smeri opazovanja.

5 MOÈ ZA ME�ANJE IN PRETOÈNO �TEVILO

Tokovne razmere v me�alni posodi smopreraèunali s programskim paketom CFX 5.7.Uporabljeni so bili �tirje vzporedno vezaniraèunalniki Pentium 4 (2,4GHz) z 1GbRam delovnegapomnilnika. Pregled rezultatov je bil izveden sprogramskim paketom CFX-Post, ki je delprogramskega paketa CFX 5.7. Simulacija tokovnihrazmer v me�alni posodi prvega primera se je odvijalapri vrtilni frekvenci rotorja 120 vrt/min. Reynoldsovo�tevilo za ta primer je enako:

(14).

V drugem primeru se je rotor vrtel z vrtilnofrekvenco 1200 vrt/min. Reynoldsovo �tevilo za taprimer pa je:

(15).

Me�anje v me�alni posodi zahteva najmanj�omoè za pogon me�ala P

p. Moè P

p dobimo na temelju

se�tevka mehanske moèi za vrtenje me�ala P in moèi

Pizg

, potrebne za premagovanje izgub pri prenosumoèi med pogonskim strojem in me�alom, kamorpri�tevamo izgube v le�ajih, sklopki in tesnilih:

(16).

Moè za me�anje je mogoèe izraèunati z znanimvrtilnim momentom iz enaèbe:

(17).

Moè za me�anje je zmno�ek vrtilnegamomenta in vrtilne frekvence. Vrtilni moment na diskuz lopaticami je v paketu CFX mogoèe prebrati spomoèjo funkcije Calculator [1], ki je vgrajena vprogramski paket CFX-Post. Prebrana vrednostvrtilnega momenta na disku z lopaticami za prvi indrugi primer preraèuna sta:

(18)

in

(19).

Moèi za me�anje, ki sledita iz enaèbe (17), statako:

(20)

in

(21).

Z uporabo izraèunanih moèi za me�anjeizraèunamo brezrazse�ni �tevili moèi oz. Newtonovi�tevili, ki sta podani z enaèbama:

(22)

in

(23).

Izraèunani Newtonovi �tevili primerjamo spreizkusno dobljenimi vrednostmi. Preizkusna vrednost�tevila moèi je za prvi primer N

e120,eksp = 4,29 [17] in za

drugi primer Ne1200,eksp

= 6,22 [13]. Tako je odstopanjenumerièno izraèunane vrednosti od preizkusnodobljenih vrednosti brezrazse�nega �tevila moèi vprvem primeru 6% in v drugem primeru 3%.

Poleg �tevila moèi je pomemben podatek tudipretoèno �tevilo, ki je podano z enaèbo:

(24).

( ) Ti k

i i k i

k kv k P

t x x x

nn e

s

é ùæ ö¶ ¶ ¶ ¶+ = + + -ê úç ÷¶ ¶ ¶ ¶è øë û

( )2

1 2T

i k

i i i

v C P Ct x x x k k

e ee

ne e e ee n

s

é ùæ ö¶ ¶ ¶ ¶+ = + + +ê úç ÷¶ ¶ ¶ ¶è øë û

2

T

kCmn

e=

2120

120Re 2653n d

n×

= =

21200

1200Re 26526n d

n×

= =

p izgP P P= +

2 ðP M M nw= × = ×

4120 1,6779 10 NmM -= ×

21200 2,6782 10 NmM -= ×

3120 120 1202 2,1085 10 WP M np -= × = ×

1200 1200 12002 3,3656 WP M np= × =

120

120120 3 5

4,02P

Nen dr

= =× ×

1200

12001200 3 5

6, 4P

Nen dr

= =× ×

3Q

QN

n d=

×



V enaèbi za pretoèno �tevilo se pojavi pretoktekoèine Q, ki ga prispeva lopatica rotorja (sl.5).Povpreèna masna pretoka tekoèine na izstopnipovr�ini iz lopatice sta enaka:

(25)

in

(26).

Iz enaèbe (24) se tako preraèunata pretoèni�tevili:

(27)

in

(28).

Izraèunani pretoèni �tevili sta primerljivi zpreizkusno ugotovljenimi vrednostmi za Rushtonovome�alo [10]. V osnovi pretoènih �tevil lahko tudiocenimo èas preme�anja tekoèine [9] oz. èashomogenizacije:

(29).

Za prvi primer zna�a èas preme�anja pribli�no60 sekund, medtem ko je èas preme�anja v drugemprimeru nekako 6 sekund. Natanèen izraèun èasahomogeniziranja je mogoè tudi v okviru izraèunaRDT, vendar pa je za to potrebno izraèunati dodatnoprenosno enaèbo za neko izbrano sestavino.

6 TOKOVNE RAZMERE

Pri analizi tokovnih razmer v me�alni posodi zRushtonovim me�alom je znano, da je njegovotokovno polje preèno. Na sliki 6 so prikazane tirnicedelcev v tokovnem polju v me�alni posodi, ki imajoznaèilno preèni potek. V tokovnem polju je mogoèezaslediti dva globalna vrtinca, enega nad in enegapod ravnino rotorja.

Vektorji tokovnega polja pri razliènih vrtilnihfrekvencah, iz katerih je razvidna smer gibanja tokatekoèine, so prikazani na sliki 7. Vektorji hitrostnegapolja so na izstopu iz lopatice usmerjeni navzgor, karse ujema z eksperimentalno dobljenimi rezultati [8].Usmerjenost hitrostnih vektorjev navzgor se zoddaljevanjem od roba lopatice zmanj�uje, nadoloèeni oddaljenosti od roba lopatice se vektorjiporavnajo v vodoravni smeri oziroma se usmerijonavzdol.

Najveèje hitrosti tekoèine se pojavijo naizstopnem robu lopatice. Hitrostna profila naizstopnem robu lopatice sta prikazana na sliki 8.Hitrostni profil na izstopnem robu lopaticeRushtonovega me�ala ima obliko parabole.

S slike 9 je razvidno vrtinèenje toka zapregradami, kar pospe�i me�anje toka tekoèine inprepreèi neza�eleno kro�enje toka tekoèine po oboduposode, seveda pa poveèa potrebno me�alno moè.

Rezultat preraèuna RDT je tudi tlaèno polje vme�alni posodi. Slika 10 prikazuje tlaèno polje v

Sl. 5. Povr�ina, na kateri je izraèunan povpreèni pretok tekoèine Q.

5 3120 8,634 10 m / sQ -= ×

4 31200 7,777 10 m / sQ -= ×

120120 3

120

0,881Q

QN

n d= =

×

12001200 3

1200

0,792Q

QN

n d= =

×

3

5m

Q

Vt

N n d

×=

× ×



preènem prerezu me�alne posode na vi�ini 36,6 mm.Najveèji tlaki se pojavijo v okolici robov lopatice.Prièakovati je bilo, da bodo tlaki v drugem primeru ,ko je vrtilna frekvenca dosti veèja kakor v prvemprimeru, veèji. S slik je razvidno, da je porazdelitev

tlaènega polja v drugem primeru podobna kakor vprvem primeru, le da so vrednosti tlakov v drugemprimeru veèje.

Turbulenca je najizrazitej�a v okolici lopaticRushtonovega me�ala in se z oddaljevanjem od teh

Sl. 6. Prosta gladina vode v me�alni posodi (levo) in tirnice delcev v radialnem tokovnem polju me�alneposode z Rushtonovim me�alom (desno) pri 120 vrt/min

Sl. 7. Vektorji tokovnega polja v me�alni posodi z Rushtonovim me�alom pri 120 vrt/min (levo) in pri1200 vrt/min (desno)



zmanj�uje. S slike 11 so razvidne vrednostiturbulentne kinetiène energije na sredini vi�inelopatice (z/D = 0,3). Najveèje vrednosti turbulentnekinetiène energije se pojavijo na vrhu lopatic in zalopaticami, kjer se pojavljajo vrtinci. V prvem primeru,kjer je vrtilna frekvenca rotorja manj�a, se pojavijotudi manj�e vrednosti turbulentne kinetiène energijekakor v drugem primeru, ko je vrtilna frekvenca veèja.

Sl. 9. Tokovnice v preènem prerezu me�alne posode na vi�ini Hb = 36,6 mm pri 1200vrt/min

Sl. 8. Profil absolutnih hitrosti na izstopnem robu iz lopatice Rushtonovega me�ala pri 120 vrt/min (levo)in pri 1200vrt/min (desno)

7 SKLEPI

Numerièno modeliranje me�anja vme�alni posodi z Rushtonovim me�alom je biloizvedeno z uporabo metode VKS indvoenaèbnega modela turbulence. Izraèunani sobili hitrostni profili na izstopnem robu iz lopatice,znaèilno tokovno polje me�ala, me�alna moè,



pretoèno �tevilo me�ala, tlaène razmere v okolicime�ala in porazdelitev turbulentne kinetièneenergije. Rezultati se zelo dobro ujemajo zpreizkusnimi izsledki [9], [10], [13] in [14].

Predstavljen pribli�ni model je torej moè uporabitiza modeliranje tokovnega polja v me�alni posodipoljubne velikosti, kar je poglavitna prednostuporabe metod RDT.

Sl. 10. Tlaèno polje v preènem prerezu me�alne posode na vi�ini Hb = 36,6mm pri 120 vrt/min (levo) in pri

1200 vrt/min (desno)

Sl. 11. Turbulentna kinetièna energija k v okolici me�ala na vi�ini Hb = 36,6 mm pri 120 vrt/min (levo) in

pri 1200 vrt/min (desno)



8 LITERATURA

[1] ANSYS-CFX-5.7 (2004) AEA Technology.[2] Ba�iè S., Hriber�ek M., �kerget L. (2002) CFD based determination of mixing power of beet sugar molasses

- water mixture. CHISA 2002, Praga.[3] Brucato A., Ciofalo M., Grisaf F., Micale G. (1998) Numerical prediction of fow felds in bafed stirred

vessels: A comparison of alternative modelling approaches. Chem. Engng. Sci., 53(21), 1998, 3653-3684.[4] CFX-ProMixus (2001) AEA Technology.[5] Harvey III A. D. Rogers S. E. (1996) Steady and unsteady computation of impeller-stirreed reactors.

AICHE Journal, 42(10), 1996, 2701-2712.[6] Hriber�ek M. (2005) Procesna tehnika I. del: Osnove, me�anje, su�enje. Univerza v Mariboru, Fakulteta

za strojni�tvo, Maribor.[7] Hriber�ek M., Ba�iè S., Mauèec J. (2003) CFD based determination of mixing power of beet sugar malesses-

water mixture. Proceedings of 6th Italian conference on Chemical and Process engineering. (ChemicalEngineering transactions, vol. 3) , str. 1529-1534. ICheaP 6, 8.-11. June, Pisa, Italy.

[8] Lee K. C., Yianneskis M. (1998) Turbulence properties of the impeller stream of a Rushton turbine. AICHEJournal, 44(1), 1998, 13-24.

[9] Nienow A.W. (1998) Hydrodynamics of stirred bioreactors. Applied Mechanics Review., 51, 1998, 3-32.[10] Wu H., Patterson G.K. (1989) Laser-doppler measurements of turbulent fow parameters in a stirred tank.

Chem. Engng. Sci., 44, 1989, 2207-2221.[11] Ranade V.V., Joshi J.B. (1990) Flow generated by a disc turbine (Part I, Part II). Trans. IChemE., 68(Part A),

1990, 19-50.[12] Rushton J.H., Costich E.W., Everett H.J. (1950) Power characteristic of mixing impellers � Part I. Chem.

Eng. Prog., 46(8), 1950, 395-404.[13] Rushton J.H., Costich E.W., Everett H.J. (1950) Power characteristic of mixing impellers � Part II. Chem.

Eng. Prog., 46(9), 1950, 467-476.[14] Rutherford K., Lee K.C., Mahmoudi S.M.S., Yianneskis M. (1996) Hydrodynamic characteristics of dual

Rushton impeller stirred vessels. AIChE Journal, 42(2), 1996, 332-346.[15] Van�t Riet K., Smith John M. (1975) The trailing vortex system produced by Rushton turbine agitators.

Che. Eng. Sci., 30, 1975, 1093-1105.[16] Van�t Riet K., Bruijn W., Smith John M. (1976) Real and pseudo-turbulence in the discharge stream from

a Rushton turbine. Che. Eng. Sci., 31, 1976, 407-412.[17] Zlokarnik M. (2001) Stirring - Theory and practice. Springer, New York.

Naslov avtorjev: prof.dr. Matja� Hriber�ekMatej ZadravecUniverza v MariboruFakulteta za strojni�tvoSmetanova 172000 [email protected]@uni-mb.si

Prejeto: 28.4.2005

Sprejeto: 16.11.2005

Odprto za diskusijo: 1 letoReceived: Accepted: Open for discussion: 1 year

numeriŁno modeliranje meıanja v posodi z rushtonovim meıalom

Documents