NUEVO TETRAEDRO – ( 3 )

Ya hemos visto que en un tetraedro ( regular en este caso ) , se pueden inscribir varios Paraboloides Hiperbólicos , cuádricas doblemente regladas . Si consideramos este tetraedro inscrito en un cubo , representado por sus aristas , los elementos geométricos de esa figura , limitada por las aristas del tetraedro que forman un cuadrilátero alabeado, pueden ser fácilmente definidos . En la lámina adjunta , están representados todos y la superficie , para su mejor visión , se ha representado en franjas m definidas por una familia de sus hipérbolas principales ,

En las otras láminas se han representado las diversas posiciones conjuntas de los paraboloides en el tetraedro , en conjunto .

Todos estos paraboloides , dividen al volumen del tetraedro en partes iguales . Cada una de ellas es la mitad del volumen del tetraedro , que sabemos que es un tercio de la del cubo en que está incluido . Entre si estos paraboloides , también fragmentan sus correspondiente mitades , de maneras equilibradas . Estas porciones çtienen tambien unas relaciones simples entre si . Podría por tanto suponerse como un completo conjunto de medidas de volúmenes y áreas .

Desde el punto de vista de alojar a superficies ( porciones ) de cuadricas conocidas , podría hacerse un completo análisis , al igual que del Paraboloide presentado . Hiperboloides , paraboloides , esfera , elipsoides .... quedarían alojados en estas simples formas , de manera que sus propiedades se relacionasen entre sí .

Vamos a presentar algunas de ellas . Realmente la esencia completa del tetraedro NO quedaría completada , si simplemente no lo hiciéramos .

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El cubo ó hexaedro , que envuelve al tetraedro ( uno de los dos ) ,envuelve también a otras cuádricas ( porciones de cuádricas ) : Estas formas relacionada con el cubo origen , también se relacionan con el tetraedro .

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Par mejor observar estas relaciones , vamos a tomar el cubo de arista 2 .

El cubo es cortado por el paraboloide hiperbólico , en dos partes iguales , pero invertidas . Si el volumen del cubo es 8 ( 2x2x2 ) , su mitad es 4 ( 2 x 2 ) .Si giramos la diagonal de una cara AB , alrededor del eje 1-2 , se formará una Hiperboloide reglado de revolución ( hiperbólico ) cuádrica doblemente reglada . La porción de este limitada por las dos bases superior e inferior del cubo , tendrá un volumen que será de CINCO veces , el de la esfera inscrita en el cubo . Si interceptamos el volumen común al hiperboloide y al cubo , también estará relacionado . Como a su vez el volumen de la esfera inscrita es 4/3 de Pi ... todos estos volumen están relacionados con el famoso valor de Pi = 3,141592..... .

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Vemos pues que todas estas formas , hasta ahora poco estudiadas ó lo han sido individualmente , están relacionadas entre si y por consiguiente con el tetraedro inscrito en el cubo , que por cierto tiene un volumen igual a UN TERCIO del cubo , es decir 8/3 .

Creo que es evidente que no podemos estudiar , estas formas básicas INDEPENDIENTEMENTE , sino dentro de su contexto de relaciones ,... cosa por hacer analíticamente .

Si queremos utilizar estas formas y sus propiedades , para el diseño ó nuestro quehacer geométrico , queda evidenciada la necesidad de estos análisis , al menos métricos .El mundo de los poliedros ( regulares ó no ) y el de las superficies cuádricas , así lo evidencian .

Observaras , querido lector , que nuestras láminas , van tornandose mas complejas ,

más hermosas y más sugerentes ..... es parte de nuestras intenciones .

Sigamos con nuestro querido TETRAEDRO , aunque siempre lo relacionaremos con estas formas anunciadas .

Ya sabemos que el tetraedro inscrito en un cubo ( hay dos ), tiene de volumen el tercio del cubo ( una tercera parte ) . Si este lo dividimos por el paraboloide definido por sus cuatro vértices , queda dividido en dos partes de igual volumen invertidas , es decir UN SEXTO .

Las cuatro esquinas restantes y opuestas dos a dos e iguales , tienen un volumen igual a UN SEXTO también .....

UNA CURIOSA MANERA DE DIVIDIR UN CUBO EN SEIS PARTES DE IGUAL VOLUMEN A UN SEXTO DEL CUBO .

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Esta curiosa división , aparece representada en la próxima amina . Curioso .. Verdad .

en esta otra lámina , se representan el tetraedro y la esfera inscritos en el cubo y sus operaciones boolenas de suma , resta e intersección . Hermosas formas también .

Podríamos encontrar fácilmente relaciones entre ellas y el cubo y por desontado con los otros poliedros .

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Las cuatro partes iguales de la segunda figura , son independientes , ya que la esfera es tangente a las aristas del tetraedro en sus puntos medios . Más relaciones ......

Busca relaciones fácilmente lector y quedarás sorprendido , naturalmente con el ordenador y programa ... Rhino es increíble .Hasta el momento solo hemos utilizado algunas propiedades métricas . Despues utilizaremos propiedades proyectivas .

Pero ...... y los Puntos de Control de estas figuras y formas .

En esta lámina vemos figuras aparentemente iguales ó relacionadas .Vemos TRES iguales y dos parecidas . Si las numeramos del 1.. al 5 , la 1 , 2 y 5 ... PARECEN LA MISMA . Y LA 3 Y 4 , COMPLEMENTARIAS .

Pasemos a la siguiente lámina :

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En ella se han sacado los puntos de control . Ninguna de ellas es igual , aunque existan ciertas familiaridades .SI APLICARAMOS TRANSFORMACIONES , QUE AFECTAN A ESOS PUNTOS DE CONTROL , LAS FIGURAS SE DEFORMARÍAN , DANDO COMO RESULTADO FORMAS MUY DIFERENTES , ya que los PCs no son los mismos .

En una teoría ya no “ MÉTRICA “ de conformaciones , estas propiedades son MUY IMPORTANTES Y DEBERÍAN SER CONSIDERADAS .

En un determinado momento , nuestro tetraedro y su formas derivadas , serán deformados y el lector podrá ver una nueva teoria del diseño , además de las ya conocidas métricas .

Ver para creer ... querido lector .

Y nos parecía pobre y obsoleto .... para diseñar ..... Hasta pronto .....

Manuel Hidalgo HerreraArquitecto y Geómetra .

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