UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

NUCLEO DE INVESTIGADORES

HENRRY OROZCO(ING MATEMATICA)

LEONARDO GARCIA(ING DIS INDUSTRIAL)

9-03-2015

*

*Series de Fourier"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Henrry orozco

*

*La primera serie de Fourier de la historiaEuler 1744 escribe en una carta a un amigo:Es cierto?

Observemos que en t = 0 hay problemas /2 = 0 La clave est en el concepto de funcin peridica.

*

*Funciones PeridicasUna funcin peridica f(t) cumple que para todo valor de t:f(t) = f(t + T).Al valor mnimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la funcin.Observa que:f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1, 2, 3,...

Cuestin: Es f(t) = cte. una funcin peridica?

*

*Ejemplo: Cul es el periodo de la funcin

Si f(t) es peridica se debe cumplir:

Como cos(t + 2kp) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:T/3 = 2k1p y T/4 = 2k2p.Es decir:T = 6k1p = 8k2pcon k1 y k2 enteros.El valor mnimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24p.

*

*

Grfica de la funcinT

*

*Es la suma de dos funciones peridicas una funcin peridica?Depende. Consideremos la funcin:

f(t) = cos(w1t) + cos(w2t).

Para que sea peridica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: w1T = 2p m y w2T = 2p n.Es decir, que cumplan:

T = m/ (2p w1) = n/ (2p w2)

*

*Ejemplo: para la funcin cos(3t) + cos((p+3)t) tenemos que

Es peridica?

051015202530-2-1012

f(t)=cos(3t)+cos((3+)t)tf(t)

*

*Para que exista periodicidad w1/ w2 debe ser un nmero racional (n/m).

Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son peridicas:

f(t) = sen(nt), donde n es un entero.f(t) = sen2(2pt)f(t) = sen(t) + sen(t + p/2)f(t) = sen(w1t) + cos(w2t)f(t) = sen(2 t)

*

*Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2, es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo T < min(T1,T2)?

T1 = 5

T2 = 5

T = 2,5

*

*Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeo como queramos. Sea N un entero, y definamos:extendida peridicamente con T = 1:extendida peridicamente con T = 1:

*

*Puede una funcin f(t) cumplir la condicin f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?

*

*T = ?

*

*Cmo lo alcanz?Volvamos al resultado de Euler:Integrando trmino a trmino:Utilizando la frmula de Euler para cada trmino:Particularizamos t para encontrar C:

*

*Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

*

*(1) La funcin de Euler es peridica de periodo T = 2.

(2) La serie es una funcin impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.

(3) En el intervalo 0 < t < 2, la serie aproxima a (-t)/2.Pero no fuera del intervalo...

(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.

(5) La aproximacin no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos ltimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...

*

*Jeand'Alembert1717-1783Leonhard Euler1707-1783DanielBernouilli1700-1782Lagrange

*

*

Se necesita tambin como condicin inicial u(0,x)=f(x) para 0

*

*

*En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se bas en la superposicin de ondas y tom como solucin:

un(x,t) = sin(nx) cos(nt)

donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos.Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...

*

*Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)Por eso Bernouilli opt por tomar f(x) como:con una adecuada eleccin de los coeficientes an...

*

*Joseph FourierEn diciembre de 1807 Joseph Fourier present un sorprendente artculo a la Academia de Ciencias en Pars. En l afirmaba que cualquier funcin puede escribirse en forma de serie trigonomtrica semejante al ejemplo de Euler.Polmica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo as era simplemente imposible...Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830

*

*Fourier fue nombrado por Napolen secretario permanente del Instituto Egipcio.Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).

*

*Fourier bas su trabajo en el estudio fsico de la ecuacin del calor o de difusin:Describe cmo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.

Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlnticos, edad de la Tierra,...

*

*Dividiendo entre X(x)T(t):C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...

*

*La combinacin lineal de soluciones ser tambin solucin:Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an.

*

*Serie trigonomtrica de FourierAlgunas funciones peridicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonomtrica de Fourier

Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia fundamental.

*

*a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ... b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...

*

*Cmo calcular los coeficientes de la serie?Dada una funcin peridica f(t), cmo se obtiene su serie de Fourier?

Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

*

*OrtogonalidadSe dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:

*

*Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo 1 < t < 1, ya que:

Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo p < t

*Ortogonalidad de senos y cosenosAunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2:

{1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),..., sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...}

con w0= 2p/T.

*

*Vamos a verificarlo probndolo a pares:

1.- f(t) = 1 vs. cos(mw0t):

Ya que m es un entero.w0= 2p/T

*

*2.- f(t) = 1 vs. sen(mw0t):

3.- cos(mw0t) vs. cos(nw0t):cos A cos B = [cos(A+B)+cos(A-B)]cos2q = (1+cos2q)w0= 2p/T

*

*4.- sen(mw0t) vs. sen(nw0t):

5.- sen(mw0t) vs. cos(nw0t):sen A sen B = [-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A = (1-cos2q)sen A cos B = [sen(A+B)+sen(A-B)]

*

*Cmo calcular los coeficientes de la serie?Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),..., sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...}con w0= 2p/T, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:

*

*Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mw0t) e integrando de T/2 a T/2, obtenemos:00, si m 00, si m 0T/2, si m = n

*

*Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0 que debemos tratar a parte:0T, si m = 00, si m 0T/2, si m = n

*

*Similarmente, multiplicando por sen(mw0t) e integrando de T/2 a T/2, obtenemos:

000, si m 0T/2, si m = n

*

*Un ejemplo histricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la funcin de onda cuadrada de periodo T:

La expresin para f(t) en T/2< t < T/2 es:1f(t)t. . . -T/2 0 T/2 T . . .-1w0= 2p/T

*

*Coeficiente a0:

*

*Coeficientes an:

*

*Coeficientes bn:

*

*Finalmente, la serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armnicos 3, 5 y 7, as como la suma parcial de estos primeros cuatro trminos de la serie para w0 = p (w0= 2p/T), es decir, T = 2:

*

*Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

*

*Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde est definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no slo se da en el intervalo de T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:

de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,

con el mismo resultado.

*

*Habamos calculado los coeficientes para:Si los calculamos para la misma funcin desplazadatienen que ser los mismos:1f(t)t. . . -T/2 0 T/2 T . . .-11f(t)t. . . -T/2 0 T/2 T . . .-1Repite los clculos y comprubalo.

*

*De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la funcin, ser lo mismo:1f(t)t. . . t0 t0 +T . . .-1

*

*Ejercicio: encontrar la serie de Fourier parala funcin con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tena razn.

*

*Calcula la serie de Fourier de la funcin peridica:

La serie es la propia funcin...

*

*Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) est definida slo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende peridicamente, con periodo T igual al intervalo de definicin. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una funcin. La serie de Fourier extender peridicamente los patrones siguientes:ttExtensin parExtensin impar

*

*Funciones Pares e ImparesUna funcin (peridica o no) se dice funcin par (o con simetra par) si su grfica es simtrica respecto al eje vertical, es decir, la funcin f(t) es par si f(t) = f(-t)

f(t)

t

*

*En forma similar, una funcin f(t) se dice funcin impar (o con simetra impar), si su grfica es simtrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente:-f(t) = f(-t)

f(t)

t

*

*Ejemplo: Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).

Solucin:Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es funcin impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es funcin par.

*

*Ejemplo: La funcin h(t) = f(1+t2) es par o impar? (f es una funcin arbitraria).

Solucin:Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t),finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es funcin par, sin importar como sea f(t).

*

*Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares:

h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2) + 1h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2).

*

*Si f (x) es par:

a-a

*

*Si f (x) es impar:

*

* Como la funcin sen(nw0t) es una funcin impar para todo n y la funcin cos(nw0t) es una funcin par para todo n, es de esperar que:

Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendr trminos seno, por lo tanto

bn= 0 para todo n.

Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendr trminos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.

*

*Por ejemplo, la seal cuadrada, que hemos analizado:

Es una funcin impar, por ello su serie de Fourier no contiene trminos coseno:

*

*P2. Septiembre 2005a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funcionesRespuesta.f(x) = |sen(x)|, x [-,], 2 peridicaFuncin par desarrollo en cosenos, bn = 0

*

*

*

*f(x) = |cos(x)|, x [-,], 2 peridicaFuncin par desarrollo en cosenos, bn = 0

*

*

*

*Onda triangular (Triangle Wave)

*

*Right Triangular Wave

*

*Saw Tooth Wave

*

*Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier paracon periodo T = 2 (frecuencia fundamental 0 = 1) y un nmero real no entero, es:

*

*Observa que si tomamos t = 0 entonces:y con = 1/2.

*

*O que si tomamos t = entonces:Es correcto el resultado?

*

*Que la integral traspase los sumatorios en la deduccin de las frmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qu es convergencia uniforme.

Sea la serie infinita:

y definamos sus sumas parciales como:Convergencia uniforme

*

*Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:Observemos que en general N depender de y del punto x (convergencia puntual).Si N solo depende de , pero no de x, decimos quela convergencia es uniforme.

Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:

*

*(1) Si cada trmino un(x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces:

(a) f(x) es tambin continua en (a, b).

(b) (2) Si cada trmino un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:

*

*Cmo probar la convergencia uniforme de una serie?

(1) Encontrar una expresin "cerrada" para Sk(x) y aplicar la definicin o

(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:

Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)| Mn y adems

*

*Ejemplo:

*

*Condiciones de DirichletCondiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias.

(1) f(x) tiene un nmero finito de discontinuidades en un periodo.

(2) f(x) tiene un nmero finito de mximos y mnimos en un periodo.

(3)

*

*Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a:

si x es un punto de discontinuidad.

*

*

Desarrollaen serie de Fourier:

*

*

*

*

La funcin f es continua en (, ) excepto en x = 0. As su serie de Fourier converge en x = 0 a:La serie es una extensin peridica de la funcin f. Las discontinuidades en x = 0, 2, 4, convergen a:

*

*

Secuencia de sumas parciales y su representacin grfica

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcinde modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1].Respuesta.Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L-peridica.Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) ade modo que: 1. sea continua en [-L,L].2. sea continua a trozos en [-L,L].

*

*La continuidad se consigue con la extensin par de f (f = -2t es continua en [-L,L] ) con L = 1.

Re (z)Im (z)

1-1

*

*

*

*P2. Septiembre 2006(4 puntos)Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcin

f(x) = x2- x , con f(x) = f(x + 2)Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-,]Basndose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la serie numrica A partir del desarrollo de Fourier de la funcin f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcin

g(x) = x(x2 2)- x , con g(x) = g(x + 2)

*

*Respuesta.f(x) = x2, x [-,], 2 peridica

Funcin par desarrollo en cosenos, bn = 0:

*

*

*

*2. 3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:

*

*4.

*

*Fenmeno de GibbsSi la serie de Fourier para una funcin f(t) se trunca para lograr una aproximacin en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos ms armnicos, el sumatorio se aproximar ms a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armnicos.

Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*Fenmeno de Gibbs

*

*Fenmeno de Gibbs

*

*

*Outline:Central Scientific Problem Artificial IntelligenceMachine Learning: DefinitionSpecificsRequirementsExisting Solutions and their limitationsMultiresolution Approximation: LimitationOur Approach. Results. Binarization. Plans.

*Forma compleja de la serie de FourierConsideremos la serie de Fourier para una funcin peridica f(t), con periodo T = 2p/w0.

Es posible obtener una forma alternativa usando las frmulas de Euler:

*

*Sustituyendo:

Y usando el hecho de que 1/i = -i:

Y definiendo:

*

*A la expresin obtenida

se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:

Para n = 0, 1, 2, 3, ...Demostrarlo.Formaun conjunto ortogonal?

*

*Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la funcin ya tratada:

Solucin 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonomtrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y

*

*Podemos calcular los coeficientes cn:

Entonces la serie compleja de Fourier queda:

*

*Solucin 2. Tambin podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:

*

*Como w0T = 2p y adems:

que coincide con el resultado ya obtenido.

*

*Calcular la serie de Fourier de la funcin de Heaviside:n 0

*

*

n imparn imparn imparn impar

*

*

*

*

*

*

*

*La funcin impulso o delta de DiracSe trata de una "funcin generalizada". Podemos pensar en la delta de Dirac como el lmite de una serie de funciones:

tf1(t)

*

*Propiedades de la funcin d

*

*Calcular la serie de Fourier de d(x):

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*Los coeficientes cn son nmeros complejos, y tambin se pueden escribir en forma polar:

Observemos que,

Donde ,para todo n 0.

Y para n = 0, c0 es un nmero real:

*

*Espectros de frecuencia discretaDada una funcin peridica f(t), le corresponde una y slo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto nico de coeficientes cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la funcin en el dominio del tiempo.

*

*Espectros de frecuencia discretaEjemplo. Para la funcin ya analizada:

Encontramos que:

Por lo tanto:

*

*A la grfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).

A la grfica del ngulo de fase fn de los coeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t).

Como n slo toma valores enteros, la frecuencia angular w = nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son grficas discretas.

*

*El espectro de amplitud se muestra a continuacin

Observacin: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = nmero de armnico = mltiplo de w0).

*

*El espectro de magnitud de una f(t) real, es una funcin PAR por lo que la grfica para n 0 contiene toda la informacin acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de magnitud.El espectro de fase de una f(t) real, es una funcin IMPAR por lo que la grfica para n 0 contiene toda la informacin acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de fase.

*

*Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de trminos:ancos(nw0t) + bnsen(nw0t)

se pueden expresar como:

Donde lo nico que hemos hecho es multiplicar y dividir por:

*

*Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en funcin del coseno:

anbn

qn

*

*Si adems definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:

Con: Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y qn, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:

*

*Componentes y armnicosHemos visto que, bajo ciertas condiciones, una funcin f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: wn = nw0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: cn cos(nw0t + qn) se le llama el ensimo armnico de f(t).

Al primer armnico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t).

A la frecuencia w0= 2p f0 = 2p / T se le llama frecuencia angular fundamental.

*

*Ejemplo: La funcin Como vimos, tiene un periodo T = 24p, por lo tanto su frecuencia fundamental es w0 = 2p/T = 1/12 rad/s.O como w0= 2pf0, f0 = 1/T = 1/ 24p Hz. Su componente fundamental (n = 1) ser: c0 cos(w0t + q0) = 0 cos(t/12).

Tercer armnico:cos(3t/12) = cos(t/4)Cuarto armnico:cos(4t/12) = cos(t/3)

*

*

*

*Ejercicio:

*

*Potencia y Teorema de ParsevalEl promedio o valor medio de una seal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectngulo que tenga la misma rea que el rea bajo la curva de f(t)1f(t)t

*

*De acuerdo a lo anterior, si la funcin peridica f(t) representa una seal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo est dada por:

Si f(t) es peridica, tambin lo ser [f(t)]2 y el promedio en un periodo ser el promedio en cualquier otro periodo.

*

*El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la funcin peridica f(t):

O bien, en trminos de los coeficientes an, bn:

*

*Teorema o identidad de Parseval

*

*Ejemplo. Calcular el valor cuadrtico medio de la funcin f(t):

Solucin. Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo

*

*La serie numrica obtenida converge a

Por lo tanto,

Como era de esperar.

*

*

*

*1.

*

*2.3.

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*Outline:Central Scientific Problem Artificial IntelligenceMachine Learning: DefinitionSpecificsRequirementsExisting Solutions and their limitationsMultiresolution Approximation: LimitationOur Approach. Results. Binarization. Plans.

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*