nto monotonico ou ciclico

7/23/2019 nto Monotonico Ou Ciclico

1/93

DIAGRAMAS MOMENTO CURVATURA

PARA

ELEMENTOS

ESTRUTURAIS

DE CONCRETO

ARMADO

SUBMETIDOS

CARREGAMENTO

MQNOTBMfCO OU

CCLICQ

FERNANDO RICARDO GAMBETTA SCHIRMBECK

Dissertao

apresentada

ao

corpo

docente

do

Curso

de

Ps Graduao em Engenharia Civil da

Escola

de

Engenharia

da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul como parte

dos

requisitos

para a obteno

do titulo

de

Mestre em Engenharia

C k v i 1

o r t o

Alegre

Julho d e 988


2/93

E s t a d l s s e r t a 8 o f o l j u l g a d a a d e q u a d a p a r a a o b t e n 8 0

t l t u l o

d e

MESTRE

EM

E N G E N H A R I A C I V I L a p r o v a d a em s u f o r m

d e P d s G r a d u a a o .

C u r s o d e P bs G r o em E n g Clvll

B BG EXAHL~APQBB~

1 . P a b l o G a s t o n H l g n o n

D Sc

p e l

C O P P E / U F R J

2 F r e n c l s c o d e P a u l a ~ l r n e s

L o p e s

G a s t a 1

Ph D p e l a M C S U / U S n

3 D a r l o

a u r o K l e l n

M . S C .

p e l a

G P G E G I U F R G S

4

A m d r l c o C a m p o s

F I l h o

D . S c . p e l a

U S P S g o

P a u l o


3/93

minha familia


4/93

A G R A D E C I M E N T O S

P r o f e s s o r

P a b l

G a s t o n

B

g n o n

p e l a d e d l

c a d a

o r t e n t a a o , p e l a

p a c i b n c l a e

p e l a a m i z a d e r e c e b i d a a o

l o n g a

d e s t e

t r a b a i

h o .

o P r o f e s s o r

J a r b a s

f l l l l t t t s k y , c o o r d e n a d o r d e s t e

c u r s o , e

n a

s u a p e s s o a a t o d o s

os

p r o f e s s o r e s ,

p e l a

a j u d a

d l s p e n s a d a .

o C o n s e t h o N a c i o n a l d e E n e r g l a N u c l e a r C N E N ) , ao

G O n 9 e l h O

N a c l o n a l de D a s e n v o l v l m e n t o

G l e n t t f l c o

e

f e c n o l b g t c o

C N P q )

e

b

C o o r d e n a o d o P e s s o a l d e

N f v e l

S u p e r l o r C A P E S ) , p e l o

a u x l l a f l n e n c e l r o .

h

u i i a n a Z a r t B o n l l h a ,

b l b l

l o g r a f i a .

o

c o l a b o r a 6 o .

o s

c o l e g a s f u n c l n 8 r l o s d e s t e

c u r s o p e l a

a m l z a d e

a p o i o

a t o d o s h q u e l e s q u e

d e

a l g u m a m a n e i r a a j u d a r a m

n a

r e a l l z a 8 o

d e s t e

t r a b a l h o .

p e l a e l a b o r a 8 0 d a

R o b e r t o B l s o t t o p e l o

I n c e n t i v o

e c o n s t a n t e


5/93

RESUMO

Este trabalho

tem por

objetivo desenvolver e

imglementar, computacionalmente, procedimentos numdricos

eficientes, aplicados determinaco do diagrama

momento-curvatura, correspondentes :

uma

seo

tipica,

em

vigas

de

concreto

armado,

submetida

2

carga monot8nica ou ciclica de curta durao;

um

ponto generico

da

superficie mdia

em placas de

concreto armado,

submetidas

h carga monotdnica de curta dura o.

Ainda. h

luz dos

resultados obtidos, v i s a tambdm

prog r

um modelo

simplificado

em

termos de resultantes de tensQes

e

deformaes

general i zadas .

Inicialmente,

descrito

um modelo l rnin r p r vigas,

no qual a carga aplicada

de forma

incremental

sendo

que para

cada

etapa,

as

equaes

de

equilibrio

no-lineares

so

resolvidas

de maneira

iterativa.

Como consequ?ncia

proposta uma relao

momento-curvatura em termos de

resultantes.

fim de verificar a validade e aplicabilidade dos

mdtodos

e

os

algoritmos estudados e comparar-se

os

resultados

com dados

experimentais

e respostas

obtidas por

outros

pesqui-

sadores. apresentada

um sdrie da exemplos

num ricos.

continuao, aplicado o procedimento anterior para

modelos

de

laje,

livres

de

solicitaes

de membrana.

Finalmente

atravds de

um estudo garam6trico os diversos

fatores

que afetam

diagrama

momento-curvatura,

propbe-se uma relao

simplificada.


6/93

SUMMARY

The

objective

of

the

present

study is to develop an

efficient

numerical

procedure for

obtaining t he moment-curvature

rslationship

corresgondents:

a typical section

in

reinforced concrete

beams

under

cyclic or

monotonically short

term

loading;

a genewic

point

on the

average

reinforced

concrete

p l a t e s under monotonik short duratkon

loading.

On the baais

o

the

results indicated above simplified

model

s proposed

in

terms

o

seneralized stresses

and

deformations.

At first a

laminar

model agplicable

to

bearns

s described.

The

loads are incrementaly pplied and

at

each s l a g e

the

nonlinear

equilibrium equations a r e solved iterative manner. In

consesuence

it is

proposed moment-curvature relationshig

in

term o resultants.

Severa1 numerical examples

a r e

presented

in

orde r

to

verifu t he validity and asplicability

o the develoged

models. he

results obtained are

compared

t o

experimental

an

analytical

da t a obtained by o ther s investigators.

Next t h e grocedure prevously described is applied to

slabs

free of membrane s t r e s s e s .

Finally

through a

parametric

studu

o

the different

factows that affect

a moment-curvature

relationshhip a simplified diagram

s

progosed.


7/93

L INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1

eneralidades

..............

1.2

bjetivos

e metodologia

PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.1

Consideraes

gerais 4

2 2 R e l a ~ e s enso deformaco p r o concreto ..........

2.2.1

Compresso ........................

. . . . . . . .

............................

2 2 Trao

..I1

2.3

R e l a ~ o

enso deformao

p r o

ao

... 2

2 3 1 Modelo elasto pldstico 2

2 3 2 Modelo d e Agrawal . . . . . . 3

3

.

MODELOS

HISTERTICOS

PARA

S E E

DE

VIGA

EM

CONCRETO

ARMADO

.................. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

......1 Generalidades ......................

3.2 Modelos l rnin res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Procedimento p r obteno dos

diagramas momento curvatura

3 3

Modelo histertico

proposto .................

3 . 4 Comparaes entre

resultados

tebricos

experimentais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MODELOS MOMENTO CURVATURA

M LAJES

E

CONCRETO ARMADO

1

Considera~es

niciais

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Modelo

l rnin r

IV 3 2

. . . . . .

.2.1

Relaes de

geometria eguilibrio

34

4 2 2

Resultante d e tenses 3 8

4 . 2 . 3 Procedimento

numrico

4


8/93

4 3

omparaes

entre resultados tedricos

experimentais ....................................

4 3

4 . 4

Modelo proposto para laje

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

.

COMCLUSES

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 eneralidades

78

5 2

Concluses ........................................

7 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 1

onto

de

vista

tebrico

78

.2.2

Ponto de vista

computaciona1

80

5 2 3 Consideraes finais

REFERENCIAS BIBLTOGRAFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


9/93

LISTA DE SIMBOLOS

1. Letras romanas maisculas

drea da camada

d e

concreto

ci

drea

da seso

transversal

da

camada

da armadura

sj

E m6dulo

de deformaco

longitudinal do concreto, tangente

t

na origem

mbdulo

de deformao

longitudinal

do aco

tangente

na

origem

resultantes

normais na armadura

no plano u

v.

forca normal

N N esforo normal

por

unidade

de comprimento

na

seso

d

laje perpendicular as direes u e v respectivamente

momento

fletor

momento

fletor por

unidade

de

comprimento

na seo da

v

laje perpendicular

aos

eixos

u

e

v.

M momento fletor de plastificao de uma seca de

concreto

armado

T-D

tenso def

ormao

2.

letra

romanas

mindsculas

largura da seo transversal

do

elemento

b

- largura da

eamada

i

f res i s tenc ia h compresso no concreto

c

resist@ncia caracteristica do

concreto

resistencia cilindrica

a

compresso do concreto

f

tenso

de

fissuraso

do

concreto

t

f

tenso de escoamento do ao

altura da s e ~ o

ransversal

do elemento


10/93

altura da

camada

coordenada referida

ao

baricentro da s e ~ o ransversal

- coordenada

central

da camada de

concreto

coordenada

c e n t r l da

camada de ao j

3 Letras gregas minasculas

ngulo

que

define

a posiao do

sistema

u v

frente

ao

sistema x y coincidente com as armaduras

E deformao especifica

u n i d l

E

deformaso

do

concreto

C

E deformaes especificas

componentes

do t e n s o r

i

cartesiano de deformaes infinitesimais (simtrico)

valores de E

'

j

no

baricentro

d

seo transversal

ij

E

C

deformao

de

compresso

igual

a

28.

associada

a

tenso

mxima

E

deformao

normal

na

direo do

eixo x e

na

g

p o s i ~ o

o baricentro

d a seo

transversal

V

deformaes

n s direes

u

e v

no baricentro

93

da

seo

transversal

deformao

do

ao

si

deformao normal na camada

EX

deformao normal na direo do

eixo

x

E

Y

deformao

d e

escoamento

do ao

D

tensao

normal

J

C

tenao

normal

de

compresso no concreto

tenso normal do concreta

n

camada

ci

tenso normal no

ao

tenso

normal da

armadura na camada

j

curvatura

x,,,?;

curvaturas nas direes dos

eixos

principais

u

e v.

i

taxa de armadura.


11/93

1. INTRODUAO

1.1 - Generalidades

As

estruturas em

concreto armado

devem

ser projetadas

para

t en d e r as

condices

de

segurana

se j a

em

relao

os

est dos

limites

tlltimos ou seja

r e f e ren tes aos estados limites

d e

utilizao. Em

qualquer

dos

casos

conveniente

fazer

uma

previso

acurada de

deslocamentos foras internas e

deformaes

d a

estrutura submetida 3s cargas de servio que

lhe

so

impostas.

Tais

cargas incluem

t n t o a

hislbria

de

c r g

ativa

qual a

estrutura es ta

submetida

incluindo

o

processo construtivo

quanto

aa cargas impostas pelas condies d o ambiente

no

qual e l a es t a

inserida.

Para descrever respos ta

em forma realfstica

a carga

Ultima

deve

ser

estimada

o

melhor

poasivel

sendo

desejdvel

a inda

ter um

p r e v i s o

do

comportamento cinemdtico e mecanico

da estrutura

durante

uma srie de carregamentos

atingindo

as

f a s e s

elstica e Ineldstica inclusive nas vizinhanas

do

colapso.

determinao

analtica

de deslocamentos foras

internas tenses

e deformaes em

estruturas de c o n c r e t o

armado

durante

t oda

sua histria de carga apresenta um

elevado g r a u

d e complexidade

em

Eun~ode vdrios fatores:

-

no-homegenidade do material;

-

mudana

continua d a topologia mecnica geomdtrica

do sistema

devida

as variaes

no

endurecimento e fissuraao

do concreto;

- relaes tenso-deformao no-lineares e

histergticas

dos materiais

componentes;

- variao das

propriedades

do concreto

com

o tempo;

deformaes d e v i d a s fluncia

retraco


12/93

m u d a n ~ a a

e temperatura;

efeitos da no-linearidade geomdtrica.

Decorrente d e s t a s dificuldaes resulta natural atacar

e s t e s problemas impondo algumas restries quan to

as cargas

geometria

e

propriedades

mecnicas

e

reol6gicas

dos

materiais

dos

materiais.

Dentro desta

dptica sero

abordados nos

cdpituloa a

seguir alguns casos particulares.

1.2 OBJETIVOS

E

METODOLOGIA

LI 1__ __

O presente estudo

tem

por objetivo desenvolver e imple-

mentar

computacionalmente. procedimentos num4ricos

eficientes

aplicados h determinao do diagrama

momento-curvatura

correspondentes

h:

uma

seo

tlpica

em

vigas

de

c o n c r e t o

armado,

submetida ca rga monot8nica ou ciclica

de

curta

durao;

um ponto

gen4rico

da

superficie d i a

em placas de

concreto

armado submetidas a

ca rga monotbnica de curta duraso.

Ainda

l u z

dos resultados obtidos visa tambem propor modelos

simplificados

em lermos de

resultantes de tenses e deformacoes

generalizadas.

O principal motivo que impulsionou o estudo

a

proposio

d e um relao momento-curvatura simplificada

foi a

possibilidade

concreta

de se agilizar

os

cdlculos dos momentos

a

partir de

curvaturas

calculadas previamente

por mtodos

numricos tais

como

o

de Elementos Finitos nos

casos de

vigas placas de

concreto

armado.

Inicialmente t descrito

um

modelo

iaminar

para vigas

no

qual

a

carga aplicada

de

forma incrernental sendo que

para

cada

etapa as

equaes

de

eguilibrio

no-lineares

sao

resolvidas

de maneira iterativa. A seo transversal do

elemento

d i v i d i d a

em

faixas simktricas

em relao o

plano de atuao

das cargas

exteriores permitindo

acompanhar

as

variaes da

largura

das

caracteristicas mecanicae levando

em

conta e q u a ~ e sconstiluti-

vas uniaxiais

de

cada material. As solicitaes

i n t e r n a s

s

avaliadas por uma

integraco nurngrica na espessura

empregando


13/93

para compatibilizar as deformaes hipdtese d s

sees

planas-

Dando seguimento

3

dissertao, proposto um modelo em

termos de resultantes, definindo-se uma

relao

momento-curvatura

segundo um esquema

trilinear

histergtico

onde aparecem

bem

definidos, os e s t d d i o s

I, I1

I13 s inclui a possibilidade

de

efetuar laos

histereticos

para descargas parciais.

i m e

verificar a

validade

aplicabilidade dos

mtodos e dos

algoritmos

estudados

comparar-se

os

resultados

com d dos experimentais e

respostas obtidas

por

outros pesqui-

sadores

apresentada uma

sgwie de exemplos num&ricos.

continuao.

aglicado

este

procedimento para

modelos de

laje, livres

de solicitaes

de

membrana, em que se

considera

influencia

d

orientaco

d

armadura

em

relato

s

curvaturas

principais o est do

d s

curvaturas principais

aplicadas, mas agora

para

cargas monot8nicas de curta durao.

Finalmente

com este tltimo modelo e atravs de um

estudo paramtrico

d

influencia dos diversos fatores sue afetam

a resposta como por

exemplo,

a orientao da

armadura

m

relaq o

s curvaturas principais. o est do d e aplicao das

curvaturas

principais

e

a

t x de

armadura,

prope-se

uma

relao

simplificada momento-curvatura para lajes, onforme

estabelecido

acf na.


14/93

2. PROPRIEDADES

OS

MATERIAIS

2.1 C o n a i d e r a ~ e ~erais

-------------

s

estruturas

em conc r e to armado submetidas a carresa-

mento cfclico so constitudas p r sees com armadura

,geralmente dupla

e

simdtrica,

e

se caracterizam

por

um

coagortarnento mecanico sumamente complexo.

O o pode

ser

considerado

um

material

homogneo

com propriedades, em

gera l

bem definidas. Pordm o concreto

um material

heterogneo e suas

propriedades dependem de muitos fatores

e

so de dificil defini-

o. Entretanto, num sentido macroscb~ico, ode-se consider-la

um material homogeneo se suas propriedades

s

definidas com

bases estatisticas.

Essa

h ipd t e s e 6 em geral, aceita para s

estruturas de Engenharia Civil

permite

e s t u d a r comportamento

d s peas como se fossem constitudas de

dois

materiais

homoqg-

neQS

As curvas tenso-deformao destes materiais,

adquirem

importncia primordial

na

obteno

d e resultados

analiticos

para

interpretar

o comportamento

d s

estruturas sob carga estdtica ou

dinamita

As

relaes

tenso-deformao gara concre to

e

ao quando submetidos carregamento alternado, apresentam

um

comportamento histergtico

e extremamente

no-linear.

curva

tensao-deformao do primeiro 6 diferente para t r a ~ o e

compresso. fissurao

do

concreto e perda

progressiva da

adergncia

entre o

o

e

o

concreto

so

alguns

dos

mais importantes f a t o r e s que contribuem gara

a no-linearidade

fisica do conjunto. Al m disso,

as

propriedades

do

concreto

dependem de sua idade

e das

condices

do ambiente, tais

como

temperatura

e

umidade, bem

como d h i s t d r i a de c a r g a .

O o para armadura ordindria, geralmente, assumido

como tendo uma relao tenso-deformaao

(relao

T-0)

aimdtrica

para trao

compresso,

sendo

que suas

propriedades


15/93

podem

ser consideradas independentes do tempo do

ambiente

para a

maioria

das aplicaes

em

Engenharia Civil.

Apresenta-se, a seguir, vdrios modelos matemticos

i d e a f i z a d o ~ para representar

a a

r e l a ~ G e a

tenso-deforma~o

histerdticas destes

materiais,

sendo posteriormente utilizados

na

analise d e

vigas

e

lajes de

concreto

armado submetidas

a

carregamento cfclico monot6nic0, respectivamente.

2 2

Relaes

tenso-deformao para

o concre to

- - - - - - - -

- - - - - -

s modelos matemdticos idealizadas

para representar

a

re lao

tenso-deformao

hister&tica

e

no-linear

do concreto

so diferentes

gara

compresso

para trao.

Nesta

descrio,

adota se sinal positivo para

compres-

so

negativo

para

trao nos modelos

do concreto.

s cu rva s idealizadas pa r a

compresso

gara

t r a o

sZo descritas separadamente.

Como

exemplo da

evoluo

das

idealizaes

para

representar

a

curva

tenso-deformao

o concreto,

nas

figuras

2 . l . a 2.l.b

2.l.c mostram-se

tres diferentes

modelas

analiticos,

o

de v i a m i 5

o

de Park Kent

o

de

Blakeley p a r k 3

respectivamente.

Es t a s relaces

a p r e ~ e n t a m ma

curva tenso-deformao ABCD,

que caracteriza o

camgortamento

Para uma

sequencia monotbnica

d e

incrementos

de

deformao

denominada de curva esqueleto , a

qual

definida

or regies,

e

acrescida

d e

laos histerticos pa ra

representar

os decrescimos posteriores

incrementos

de

deformaco.


16/93

FIGURA 2.1. ~ e l d ~ e s-D

para o

concreto na c o m p r e ~ ~ o

Modelo

1:

Vlana;

b

Modelo

:

Park

e

Kent;

Modelo

: Blakeley

e

Park


17/93

seguir,

s e r o

descritas

conjuntamente as

r e g r s

g e r i s

que

regem

es t e s

modelos,

as

r e g r a s

particulares

de

cada

modelo, sendo

que

cada

um

foi dividido

em

t r s regies I. I1

e 111

Regra I carga na

Regio I

definida pela equa3o

da

gardbo-

la seguinte:

onde E

-

deformao

do

concreto; tenso

na

con-

-

c r e t o ; f

resistgncia

cilndrica

h

compresso

em

2

N/mm 0 0 0 2

deformao

do concreto

associa-

t

da

a tensao mdxirn d e compresso-

Regra 2 relao tenso-deformao,

p a r a

incrementos

de

d e f o r -

mao

n

regio

11,

define-se

para modelo 1

como

um

reta com

tenso

c o n s t a n t e e

igual a

f . Para o modelo

2

toma-se

a

equao d a reta


18/93

Regra

3 .

onde

que

6

o termo

do

confinamento e

serd desprezado, por conter

informaes

no sempre

disgoniveis.

Os incrementos de

deformao

na

Regio

111,

para

os

modelos 2 e

3

se produzem aob tenso constante

e

igual

a

I

Regra 4 A

descarga

e posterior recarqa de

pontos

pertencentes

Regi30

1, e

tambdm

3 Regio

11

do

modelo

1, s

efe-

tuam

com

um

rigidez

definida

pelo mddulo de deformao

longitudinal do

concreto

tangente na

origem,

que

C

segundo

2.13

resulta

Regra

5

ara decrescimos de deformao nas Regies

11

e 111,

no modelo 2

a tenso diminui 3 4 d a

tenso atingida

na

curva esqueleto

e

depois

varia

linearmente

com

inclinaao

igual

a 0 2 5 No modelo

3 a

tenso diminui

metade

C

e

depois

seque

com inclinao igual

a

0 , 5 E F sendo

f t o r d e

correo,

F

definido par

C

cm

c0

F = ,

8 -

------ --------

. para E c E c E

C

E E C 0

2 0 ~

20c

C


19/93

F = 0 1

para > E

C C 2 c

onde

deformao na

Regio

111

constante

e

igual

dada por

2 . 9 )

.

20c

Regra 6. A recarga a partir do nivel atingido na regra 5 se

produz com um incremento de tenso, sem variar a

defor-

mao,

at

o valor

igual

a

3 4

da t en so mdxima atingida

no ciclo. Continuando, segue com inclinao igual

a

0,25E

c

para

o

modelo

2

e

no

modelo

segue

sem'

variar

td

o

valor

correspondente na r e t a

superior,

definida

por uma

inclinao igual a E F Prosseguindo, atrav4s de

C

incrementos

sucessivos de

deformao, atinge-se a rndxirna

t enso o c i c l o pon to G).

FIGURA

2 2

Relaes

T D p a r a

concreto

submetido a

carga ciclica


20/93

L

A figura

2 2 mostra

curva determinada analitica-

mente pelo modelo

3 e a

reposta experimental obtidas para

ensaios sobre corpos

cilindricos de

concreto,

com

f igual

2 . C

a

2 5 8 5

N/mm submetido

d

carga

e

descarga. Comparando

ambas

curvas,

se verifica que ocorre uma pequena diferena nos laos

d e hi s teres e

devido principalmente. a

maior r i g i d e z

no incio

d descarga. Para os fins propostos

e a

luz dos resultados

posteriores,

considerou-se

satisfatdria a

representa~o

os

l a ~ o s

ara

o concreto, porque a influencia

no comportamento

do

conjunto

4 pequena frente

ao

dominante efeito histeretico

do

ao

FIGURA

2.3

- Relaes T D para o concreto-na trao:

a Modelo 4 :

usual, fis sur a~a o

rusca

b) Modelo

: Vebo e

Galhi

modificada

c Modelo

:

Vebo e

Galhi modificado.


21/93

2.2.2

Trao

s

relaces tenso-deformao, idealizadas para

repre-

s en tar

a trasa na

flexo do

concreto,

so mostrados

n s

figuras

2.3.a

(Relaao

usual ,

2 . 3 . b

e

2 . 3 . c

(Relaces

14

modificadas de Vebo Galhi , denominadas

respectivamente

como modelos

4

e 6 Eates

diagramas

dependem

apenas

o

conhecimento

da resistsncia

cilindrica h

compresso,

f'

, sendo

C

a

pa r t i r delea,

calculados mbdulo

de

deformao longitudinal

tenso de fissurao,

que definem o s parametros dos

modelos.

ponto

de

origem das relaes T-D

de t r a o K ,

corresponde

nas

curvas d e compresso ao ponto no qual a tenso

igual

a

zero.

seguir, sero

descritas

em

forma

con jun t a as regras

referentes estes

modelos,

citando

s

excesses para

cada modelo.

Regra

I. descarga

se

verifica

com

inclinao igual

ao

mddulo

de d e f o r m a ~ o ongitudinal,

E ,

at atingir

a tenso

de

.

L

fissuraco,

f'

,

dada po r :

t

1/2 2

f'

=

0,625

Ef 1

N/mm

-

partir

d a i ocorre

a

fissurao, e

a

tenso:

Vale

zero, para o

modelo 4

Segue com inclinao

negativa

igual a

0,SE

at

C

atingir

a t e n s o

zero,

para o modelo

5 .

Igual

ao modelo

a t d

atingir a t en so

0 , 5 f Y . Apds,

t

segue

com declividade negativa igual a O,O5E at

C

alcanar

a

tenso nula,

para o

modelo

6

Para

es t es

3

modelos,

as

t e n s e s aps atingirem

o

valor zero, permanecem

nulas para

decrscimos

da

Resra

2. Se a concreto

no

fissurou,

a

recarga

se

f z

com

in-

clinazo

igual a

E

a t e

chegar

h zona d e compresso. Se

fissurou,

a recarga 6 definida pel reta

que

passa gelos

pontas de

inicio

de recarga,

J, d e incio de descarga,


22/93

K ate cheg r h zona de

compresso.

Deve-se

salientar

que o s modelos s e

no

pretendem

representar

relaso T-D em um ensaio de trao uniaxial

mas

sim introduzir numa formulaco continua para Elexo d e

concreto

armado

colaborao

da

trao

no

concreto entre

fissuras

qu um

enbmeno discreto.

2 . 3 Relao

tenso-deformao p r

o ao

I f I I

2.3.1.

-Modelo clasto-gldstico

As regras d r e l a ~ o mostrada na figura 2 . 4 so

as seguintes

Regra 1.

A

carga e descarga na

Regio

I eldstica

linear

com

inclinao igual o

mddulo tangente

inicial .

s

Regra 2 : A

carga

na

Regio

I1 se verifica com inclinao

igual

FIGURA

2 4 Relao T-D elastopldstica


23/93

Regra

3 descarga, a

partir

da Regio 11, s produz com incli-

nao igual da regra 1

at

o pon to L

interseco

des ta

com a reta da

Regio 11, de

sinal oposto h

tenso

mdxirna

atingida

no incio

do c i c l o . Depois segue com

inclinao

igual a

O,OOSES.

Regra 4

recarga desde a tensao atingida na regra

6

com in

clinao de f in ida

pelo

mddulo tangente inicial.

2.3.2. Modelo de Agrawal

Esta

relao tenso deforma301

descreve o

compor-

mento d a s armaduras submetidas a

carregamentos

ciclicos possui

o

c i c l o

tpico

mostrado

n

ieura

2 5 s

regras sSa s

seguintes:

FIGURA 2 5 Relao

T D

para ao .


24/93

Regra

1.

Ma Regio

I

a carga e

de s c a r g a

elstica e linear om

rigidez definida pelo mddulo tangente inicial, E

.

s

Regra

2

carga

na

Regio

11

se verifica com inclinaco

igual

S

egra 3 A descarga a

partir

da tenso

mdxima

atingida

na regra

2

ponto

J,

se e f e tua com inclinao

igual a

da Regio

I

a t

atingir

tenso de sinal oposto.

tenso

3.

f definida pelo ponto de interseco

d r e t a

anterior

1

com a

curva correspondente

equao

2.11),

conforme a

figura 2 6 O

trecho

curvo, que se segue

a

partir

da

ten-

so

f

tem

a equao

1

onde o sinal

positivo corresponde

h

tenses de trao e

FIGURA 2 6

-

Ponto d e i n t e r s e o

correspondente a

tenso f

tenso

f

calculada com a

deformao

igual

1


25/93

0 00065. Para os aos com tenso de escoamento

diferentes multiplica-se o

coeficiente

6 895 d

L

equao 12-11] par f 363 N/mm 1

Y

Regra

4 .

A

recarga

partir

d

t e n s o

atingida

na

regra

3

se

tenso

f no foi atingida origina uma reta com inclina-

1

o correspondente

o

mddula

de

deformao

longitudinal

a t

h tenso mdxima neste c i c l o retomando

curva

sm

de

carga

anterior. e for

atingida tenso

f .

a

recarga passa

a ser controlada de

forma

semelhante a

regra 3


26/93

3 .

MODELOS HISTERgTTCOS P R

SECOES DE VIGA

EM

CONCRETO

ARMADO

3 - 1 -

Generalidades

-------------

predio do comportamento d e vigas

d e

concreto

armado, submetidas

a

carregamento cfclic muito importante

coma

ponto

e

partida

para

estudo da

resposta

dinamita

d e

estruturas d e concreto

armado

solicitadas por

aes de

vento

sismo

ou

impacto.

Este

problema

extremamente

complicado

por

diversos

fatores

que o influenciam tais

como abertura e

fechamento e fissuras

variaes na aderncia

entre o

concreto e

o

ao flu?ncia do concreto efeito

de

Bauschinger

no

ao

h i s t d r i a

d e carga,

laos de h i s t e r e s e

e

plastificao local.

s

cargas

consideradas ne s te

capitulo

variam apenas

quase-estaticamente

e s e r o

descritos modelos

hlstergticos

para

elementos d e

viga de

concreto

armado obtendo-se as

r e s p o s t a s

em

termos d e

resultantes d e

tenses

e

deformaes generalizadas

So

apresentados

modelos larninares

com as diferentes

relaes

tenso-deformao para o

a o e o concreto

descritos

o

capitulo

anterior

sendo

tambgrn

proposto

um

diagrama momento-curvatura

simplificada.

Posteriormente compara-se

os

resu l tados analiticos des t es

modelos

com as respostas experimentais

de ensaios

em

visas

de

conc r e t o

armado submetida a carga e descarga.

3 . 2 - Modelos Larninares

---- ------------

3.2.1 - Procedimento para

obteno

dos diagramas

-------- ----I-----------------------

momento-curvatura.

Considerando como

exemplo tipico

uma

viga em flexo


27/93

carregada no

seu

plano de simetria, cuja

seso

transversal

simtrica

mostra-se

na figura 3 1 e onde por

simplicidade,

adotou-se seo

retangular.

Assumem-se

as seguintes

hipdteses:

1) A formula30

estd

inserida no marco da MecBnlca

do

continuo.

Desta

forma

os

efeitos

da

fissurao,

escorregamento

d

armadura e d e toda

qualquer

f on t e

localizada

de descontinuidade do campo de deslocamentos

consideram-se dispersas

em orma continua

nas vizinhanas

d a zona afetada, de

modo

que as deformaes generalizadas

dias

so

comgatfveis e continuas.

Deste

modo o eixo

mdio, originalmente

reto, se

deforma

segundo um curva

que

verifica

as

condies de

i n t regab i

dade .

11

As

sees

transversais planas

permanecem planas e normais

o eixo deformado apds a deformao;

TII)

A uma distacia do baricentro

da

seo

transversal,

as deformacies lonuidutinais

das

armaduras so iguais

s

deforma~es ongitudinais m6dias do concreto circundante.

IV) A formulao fica restrita aes de curta durao, no

sendo

levados em considera30 fluencia, retrao

e

fontes

de auto-defornaso;

V

Ae

deformaes transversais

foram desprezadas.

FIGURA

3.1

Discretizao d

seo

transversal

d

visa


28/93

A Elexo ocorre no

plano de simetria

x-z sendo

que o

eixo x s

situa na

direo

longitudinal

a

s o transversal

subdividida

na

direo z conforme a

figura

3 . 1 em camadas

l i 1,2, ..... n de r e a A coorden d s

centrais,

z

si

ci

referidas ao baricentro d a seao de concreto. Os niveis das

camadas de armadura longitudinal so deno t ado s por

z

sj

j = 1,2, . . . . .

n: .

A drea da seco transversal da

rm dur

6 definida por A

sj

De acordo com

a higdtese I, as deformaes normais

longitudinais, E em

cada

c m d podem

s r

calculadas

a

partir

X

do conhecimento da deformao E

no

baricentro d a s o trans-

g

versal

da

viga

-ponto

G da

figura

3 . 1

da curvatura m d i a

gela expresso

onde = coordenada baricentrica do nivel considerado.

As tenses n s camadas d e concreto de

rm dur

so

calculadas atraves das deformases normais, obti das anteriormen-

te, e das relaes tenso-deformao assumidas.

A distribui~o de

tenses

longitudinais, na seo

normal, pode s e r reduzida h um sistema estaticamente equivalente

de soliciiaes internas, N -M que depende do centro d e reduo .

Tomando

como centro

o

Ponto G em

termos

as eforma6es

generalizadas

E

x

resultam

os valores

da resultante N

aplicada em 1 momento do bindrio associado

M

dados

por

N = Z A a E , x + ~ b .. o E , x

sj

s j i i c i

g

j l

i l


29/93

onde

u tenso normal

nas

camadas

de

armadura;

s

b =

largura

da camada

de

concreto; h =

espessura

ra

da

camada

de

concreto;

= tenso normal

na camada de

C

concreto; drea

d a armadura

na camada

j; z

= coordenada

~j

sj

central da armadura; z = coordenada central das

camadas

de

c1

concreto

Devido ao

acoplamento

funcional das varidveis cinemdti-

cas

E

X

com as

ffsicas M-N. decorrente da no-linearidade das

euuasoes

constitutivas os diagramas

momento-curvatura alm de

dependerem

do

centro de

reduo se apresentam na

forma de uma

familia

de curvas onde cada

componente

corresponde

a

um nvel

constante

de esforo normal. Em

particular

no caso de peas

submetidas

a

flexo simples

e

N - O

Para

a obteno

dos

diagramas momento-curvatura aplica-

s

um

processo

comgutacional

do tipo

incremental-iterativo

conforme

as figuras

3 2

3 . 3 partindo

do

estado

natural

onde

as deformaaes

generalizadas

e resultantes de t en se s so nulas.

Nos modelos

larninares

o se

adota

nenhuma

limitao para as deformaes

dltimas

do concreto

e

do

ao

ruptura

determinada gela instabilidade

numgrica

que

acorre

no

processo iterativo.


30/93

Entrado e

D o d o s

mcreioento

nu

Curvatura

Arb i t ra se u Valor paro

a

Defor rnacdo

Colculo ia uma novo

\

FIGURA 3 2

ia

rama e bloco

do modelo

laminar para o

emento d e v i g a

Gdlculo

doa Qeformaes

e fmnies

Normais

nto monotonico ou ciclico

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