notas de clase-c2-antid-2015.pdf
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1
INTEGRACIÓN
ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA
ANTIDERIVADA
¿Cómo se puede emplear una tasa de inflación conocida para determinar precios futuros? ¿Cuál es la
velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo con aceleración conocida? ¿Cómo se puede usar la tasa a
la cual cambia la población para predecir niveles futuros de población? En todas estas situaciones se conoce
la derivada (tasa de cambio) de una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuación se presenta
la terminología que se usará en el proceso de obtención de una función a partir de su derivada.
Supongamos que se nos pide encontrar una función F cuya derivada sea
3( ) 4f x x
Por lo que sabemos de derivación, probablemente diríamos que
4( )F x x ya que 4 34
dx x
dx
Esto permite definir lo siguiente.
Definición:
Una función F es una antiderivada (o una primitiva) de f en un intervalo I si '( ) ( )F x f x para
todo x en I .
Observación
Decimos que F es una antiderivada de f y no que es la antiderivada de f . La razón es que, por
ejemplo,
4 4 41 2 1( ) , ( ) 3 y ( ) 54F x x F x x F x x
son, todas ellas, antiderivadas de 3( ) 4f x x . De hecho, para cualquier valor de la constante C ,
4( )F x x C es antiderivada de f .
Definición: Antiderivada general
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada general, G , de f en I
es de la forma
( ) ( )G x F x C , para todo x en I
donde C denota una constante.
Observación:
Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, sino
una familia dé funciones, que difieren entre sí en una constante.
El proceso de hallar todas las antiderivadas de ( )f x se denomina integración indefinida o antiderivación
y se denota por el símbolo , llamado signo de integración, la expresión ( )f x dx se lee la integral
indefinida de ( )f x con respecto a x .
INTEGRAL INDEFINIDA
Definición:
Si ( )F x es una antiderivada de ( )f x en un intervalo I , entonces a su antiderivada general
( ) ( )G x F x C se le denota por
( ) ( )f x dx F x C x I
Llamada la integral indefinida de ( )f x con respecto a x .
2
Propiedades
Sean ,f g funciones derivables y k constante, entonces:
a) ( ) ( )kf x dx k f x dx
b) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Sea ( )u u x una función diferenciable en
x , entonces:
1.
1
1
nn u
u du Cn
2. lndu
u Cu
3. u ue du e C
4. , 0 1ln
uu a
a du C a aa
5. 2 2
1arctan , 0
du uC a
a au a
6. 2 2
1ln 0
2
du u aC a
a u au a
7. 2 2
1ln 0
2
du u aC a
a u aa u
Integrales que contienen raíces cuadradas
8. 2 2
2 2ln 0
duu u a C a
u a
9. 2 2
2 2ln 0
duu u a C a
u a
10. 2 2
arcsin 0du u
C aaa u
11. 2 2
1arcsec 0
uduC a
a au u a
12.
22 2 2 2 2 2ln
2 2
u au a du u a u u a C
13.
22 2 2 2 2 2ln
2 2
u au a du u a u u a C
14.
22 2 2 2 arcsin
2 2
u a ua u du u a C
a
Integrales que contienen funciones
trigonométricas
15. sin cosudu u C
16. cos sinudu u C
17. tan ln cosudu u C
18. cot ln sinudu u C
19. sec ln sec tanudu u u C
20. csc ln csc cotudu u u C
21. csc ln csc cotudu u u C
22. 2sec tanudu u C
23. 2csc cotudu u C
24. sec tan secu udu u C
25. csc cot cscu udu u C
Integrales que contienen funciones hiperbólicas
26. sinh coshudu u C
27. cosh sinhudu u C
28. tanh ln coshudu u C
29. coth ln sinhudu u C
30. 2sech tanhudu u C
31. 2csch cothudu u C
32. sech tanh sechu udu u C
33. cosh coth cschu udu u C
3
Integrales que contienen funciones
trigonométricas inversas
34. 2arcsin arcsin 1udu u u u C
35. 2arccos arccos 1udu u u u C
36. 21
arctan arctan ln(1 )2
udu u u u C
37. 21
arccot arccot ln(1 )2
udu u u u C
38. 2arcsec arcsec ln 1udu u u u u C
39. 2arccsc arccsc ln 1udu u u u u C
Formulas útiles de integración
40.
11 ( )( )
1
nn ax b
ax b dx Ca n
41. 1ax b ax be dx e Ca
42. 1
lndx
ax b Cax b a
43. 1
sin( ) cos( )ax b dx ax b Ca
44. 1
cos( ) sin( )ax b dx ax b Ca
EJERCICIOS RESUELTOS
Halle las siguientes integrales
1) 2
3dx
x
Solución:
32 3
2 3
3 13 3
3
xdx x dx C x C C
x x
2) 33 2 5x x dx
Solución:
3 3 33 2 5 3 2 5 3 2 5x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx
4 24 23
3 2 5 54 2 4
x xx C x x x C
3) (2sin 3cos )x x dx
Solución:
(2sin 3cos ) 2sin 3cos 2cos 3sinx x dx xdx xdx x x C
4) 2(2 tan )θ dθ
Solución:
2 2(2 tan ) 2 tan 2 secθ dθ dθ θdθ θ θ C
5)
2 3 2
2
x xdx
x
Solución:
2 2 13 21
2 2
x xx xdx dx x dx
x x
2
2
xxdx dx x C
4
6) 23 5 2x x dx
Solución:
2 23 5 2 3 5 2x x dx x dx xdx dx
3 3/22 1/23 5 2 3 5 2
3 3 / 2
x xx dx x dx dx x C
3 3/22 52
3x x x C
7) 4
5 te dtt
Solución:
4 4 15 5 4 5 4ln 5t t t te dt dt e dt dt e dt t e C
t t t
8) /21 5
3
xe dxx x
Solución:
/2 /2
1/2
1 5 1 1 15
3 3
x xe dx dx dx e dxx xx x
1/21/2 /2 /21 1 1
ln 5 ln 5 23 1/ 2 3 1/ 2
x xxx x dx e x e
1/2 /21ln 10 2
3
xx x e
9) 3 1
22
xx
Solución:
3 3/2
1/2
1 12 2
2 2x dx x dx
x x
5/23/2 1/2 1/21 1
2 22 5 / 2 2
xx dx x dx dx x dx dx
1/25/2 5/2 1/22 2 2 4
2 25 3 1/ 2 5 3
xx x C x x x C
10) 2/31
( 1)3
x x dx
Solución:
2/3 1/3 2/3 1/3 2/31 1 1 1( 1)
3 3 3 3x x dx x x dx x dx x dx
4/3 1/34/3 1/31 1 1
3 4 / 3 3 1/ 3 4
x xC x x C
5
11)
3
2sin3
xex dx
Solución:
3 331
2sin 2sin 2 sin3 3 3
x xxe e
x dx dx xdx e dx xdx
331 1
2cos 2cos3 3 9
xxe
x C e x C
12) 0.02 0.13 4t te e dt
Solución:
0.02 0.13 0.15 0.02 0.15 0.024 4 4t t t t t te e dt e e dx e dt e dt
0.15 0.020.02 0.1520
4 40.15 3 0.02
t tt te e
e dt e C
0.15 0.0220200
3
t te e C
13) 2tan 3cosx x dx
Solución:
2 2 2tan 3cos tan 3cos sec 1 3cosx x dx xdx xdx x dx xdx
2sec 3 cos tan 2sinxdx dx xdx x x x C
14) 2
2sin 2x dxx
Solución:
2 2 1
2sin 2 2sin 2 2 2 sin 2x dx dx x dx dx x dxx x x
cos(2 )2ln 2 2ln cos(2 )
2
xx C x x C
15)
23 2 3z zdz
z
Solución:
2 23 2 3 3 2 3 33 2
z z z zdz dz z dz
z z z z z
3 13 2 3 2 3zdz dz dz zdz dz dz
z z
232 3ln
2z z z C
16) 1/2 2 2t t t dt
Solución:
1/2 2 3/2 1/2 1/2 3/2 1/2 1/22 2 2t t t dt t t t dt t dt t dt t dt
5/2 3/2 1/21/2 5/2 3/22 2
2 25 / 2 3 / 2 5 3 1/ 2
t t tt dt t t C
5/2 3/2 1/22 24
5 3t t t C
6
17) 3 2 12 5x x dx
x
Solución:
3 2 2 3 2 3 212 5 5 2 10 5 11 2x x dx x x x x dt x x x dt
x
3 2 3 25 11 2 5 11 2x dx x dx xdx x dx x dx xdx
4 3 25 11
4 3x x x C
18)
4 2
3
10 25
5
z zdz
z z
Solución:
2
2 24 2 2
3 2
5 510 25 5
5 5
z zz z zdz dz dz dz
z z zz z z z
25 5 15
2
zz dz zdz dz dz
z z z
2
5ln2
zz C
19)
4 2
2
20 3 15
5
x x xdx
x
Solución:
4 2 4 22
2 2 2 2
20 3 15 20 3 15 3 34
55 5 5 5
x x x x x xdx dx x dx
xx x x x
2 33 3 4 3 14 3
5 3 5x dx dx dx x x dx
x x
34 33ln
3 5x x x C
20) 2 5
2
xdx
x
Solución:
2 5 2 4 1 2 4 1 2( 2) 1
2 2 2 2 2 2
x x x xdx dx dx dx
x x x x x x
1 12 2 2 ln 2
2 2dx dx dx x x C
x x
21) 1
2 1
xdx
x
Solución:
Primera forma:
2 2 1(2 2)
1 1 2 2 1 2 2 3 32 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
xx
x x xdx dx dx dx dx
x x x x x
1 2 1 3 1 2 1 3 1 31
2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1
x xdx dx dx
x x x x
1 3 1 3 1 1 3
ln 2 1 ln 2 12 2 2 1 2 2 2 2 4
dxdx x x C x x C
x
7
Segunda forma:
Dividamos 1x entre 2 1x usando el método tradicional
1 2 1
1/ 2 1/ 2
3 / 2
x x
x
Recuerde que
D dD qd r
r q
Así
1 3 1 1 31 (2 1)
2 2 2 1 2 2(2 1)
xx x
x x
Entonces
1 1 3 1 3 1 3
2 1 2 2(2 1) 2 2(2 1) 2 2 2 1
x dxdx dx dx dx dx
x x x x
1 3 1 1 3
ln 2 1 ln 2 12 2 2 2 4
x x C x x C
22) 1
xdx
x
Solución:
1 1 1 1 11
1 1 1 1 1
x x xdx dx dx dx
x x x x x
1
ln 11
dx dx x x Cx
23) 2sinh 5cosh )x x dx
Solución:
2sinh 5cosh ) 2 sinh 5 cosh 2cosh 5sinhx x dx xdx xdx x x C
24) tan cot
sin
x xdx
x
Solución:
tan cot tan cotsec cot csc
sin sin sin
x x x xdx dx dx xdx x xdx
x x x
ln sec tan cscx x x C
25) 2
1 sin
cos
xdx
x
Solución:
2
2 2 2
1 sin 1 sin sin 1sec
cos coscos cos cos
x x xdx dx x dx
x xx x x
2 2sec tan sec sec tan secx x x dx xdx x xdx
tan secx x C
8
26)
2
2 2
xdx
x
Solución:
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 21
2 2 2 2 2
x x xdx dx dx dx
x x x x x
2 22
2 1 22 2 ln
2 2 2 22
dx xdx dx x x C
x xx
1 2ln
2 2
xx C
x
27) 2
2
(1 )
(1 )
xdx
x x
Solución:
2 2 2
2 2 2 2 2
(1 ) 2 1 1 2 1 2
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
x x x x xdx dx dx dx
xx x x x x x x x x
2
12 ln 2arctan
1
dxdx x x C
x x
28)
2
2
3 1
1
xdx
x
Solución:
2 2
2 2 2 2 2
3 1 3 13
1 1 1 1 1
x x dx dxdx dx dx
x x x x x
23arctan ln 1x x x C
29) 2 2
2
( 2)dx
x x
Solución:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
x x x xdx dx dx
x x x x x x x x
2 2 2 2 22
1 1 1 1
2 2 2
dx dxdx dx
xx x x x x
1 1arctan
2 2
xC
x
30) 2
2 2
2
( 4)
xdx
x x
Solución:
Expresemos 2 2x de la siguiente forma: )4(
2
1
2
12 222 xxx
Reemplazando esta última expresión en la integral original, se tiene,
2 22 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1( 4)
2 1 1 ( 4)2 2
2 2( 4) ( 4) ( 4) ( 4)
x xx x x
dx dx dx dxx x x x x x x x
2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 24 2
dx dx dxx dx
x x x
11 1 1 1 1arctan arctan
2 2 2 2 1 4 2 2
x x xC C
x
9
TÉCNICAS DE INTEGRACION
I. SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA O CAMBIO DE VARIABLE.
En esta sección estudiaremos una técnica para integrar funciones compuestas, la cual es el cambio de
variable.
PRIMITIVA DE UNA FUNCION COMPUESTA
Sea g una función compuesta cuyo recorrido es un intervalo I , y sea f una función continua en I .
Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I , entonces
( ) '( ) ( )f g x g x dx F g x C
Si ( )u g x , entonces '( )du g x dx y
( ) '( ) ( )f g x g x dx f u du F u C
ESTRATEGIA PARA EL CAMBIO DE VARIABLE
1. Elegir una sustitución ( )u g x . En general, conviene elegir la parte interna de alguna función
compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia.
2. Hallar '( )du g x dx .
3. Reescribir la integral dada en términos de u .
4. Hallar la resultante en u .
5. Sustituir u por ( )g x para obtener la primitiva en términos de x .
6. Verificar la respuesta por derivación (opcional).
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Hallar 2sin 3 cos3x xdx
Solución:
En primer lugar, sea sin3u x . Su diferencial es 3cos3du xdx . Ahora, puesto que cos3xdx
es parte de la integral dada, podemos escribir
cos33
duxdx
Finalmente sustituyendo u y 3
du en la integral dada se obtiene
2 2sin 3 cos3 integral en términos de 3
dux xdx u u
21
3u du
31primitiva en términos de
3 3
uC u
31
9u C
31
sin39
x C
31sin 3 primitiva en términos de
9x C x
10
2) Hallar 1 xe dx
Solución:
En primer lugar, sea 1u x . Su diferencial es du dx . Ahora, puesto que dx es parte de la
integral dada, podemos escribir
dx du
Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene
1 integral en términos de x ue dx e du u
ue du
primitiva en términos de ue C u
1 primitiva en términos de xe C x
3) Hallar ( )nax b dx
Solución:
Hágase el siguiente cambio de variable,
1u ax b du adx dx du
a
Reemplazando en la integral dada, se tiene
1 11 1 1 1 ( )( )
1 1
n nn n n u ax b
ax b dx u du u du C Ca a a n a n
4) Hallar ( )
dx
ax b
Solución:
Hágase el siguiente cambio de variable,
1u ax b du adx dx du
a
Reemplazando en la integral dada, se tiene
1 1 1 1 1ln ln
( )
dx dudu u C ax b C
ax b u a a u a a
5) Hallar ax be dx
Solución:
Hágase el siguiente cambio de variable,
1u ax b du adx dx du
a
Reemplazando en la integral dada, se tiene
1 1 1 1ax b u u u ax be dx e du e du e C e Ca a a a
6) Hallar sin( )ax b dx
Solución:
Hágase el siguiente cambio de variable,
1u ax b du adx dx du
a
Reemplazando en la integral dada, se tiene
1 1 1 1sin( ) sin sin cos cos( )ax b dx u du udu u C ax b C
a a a a
11
7) Hallar cos( )ax b dx
Solución:
Hágase el siguiente cambio de variable,
1u ax b du adx dx du
a
Reemplazando en la integral dada, se tiene
1 1 1 1cos( ) cos cos sin sin( )ax b dx u du udu u C ax b C
a a a a
8) Hallar 5
2 5x dx
Solución:
Por el ejercicio 3) se tiene,
6 6
5 1 (2 5) (2 5)2 5
2 6 12
x xx dx C C
9) Hallar 2 1x dx
Solución:
Por el ejercicio 3) se tiene,
1/2 1 3/21/2 1 (3 1) 1 (3 1)
3 1 (3 1)3 1/ 2 1 3 3 / 2
x xx dx x dx C C
3/22
(3 1)9
x C
10) Hallar cos(7 3)x dx
Solución:
Por el ejercicio 7) se tiene: 1
cos(7 3) sin(7 3)7
x dx x C
11) Hallar 2 1x x dx
Solución:
En primer lugar, sea 2 1u x . Su diferencial es 2du dx , de aquí 2
dudx . Como el integrando
contiene el factor x , hemos de expresar x en términos de u , así
12 1
2
uu x x
Ahora sustituyendo, se obtiene
1/2 3/2 1/21 1 12 1 1
2 2 4 4
u dux x dx u u u du u u du
5/2 3/2 5/2 3/21 1 2 1 2
4 5 / 2 3 / 2 4 5 4 3
u u u uC C
5/2 3/21 1
2 1 2 110 6
x x C
12) Hallar
4
5
2
1
xdx
x
Solución:
En primer lugar, sea 5 1u x . Su diferencial es
45du x dx . Ahora, puesto que dx es parte de
la integral dada, podemos escribir
45
dudx
x
12
Finalmente sustituyendo u y 45
du
x en la integral dada se obtiene
4 4
5
5 4
2 2 2 2 2ln ln 1
5 5 51 5
x x du dudx u C x C
u ux x
13) Hallar
2
23 5
xdx
x
Solución:
En primer lugar, sea 3 5u x . Su diferencial es
23du x dx . Ahora, puesto que 2x dx es parte
de la integral dada, podemos escribir
2
3
dux dx
Finalmente sustituyendo u y 3
du en la integral dada se obtiene
22 2
2 2 2 23 3
1 1 1 1
3 3 35 5
x du dudx x dx u du
u ux x
1
3
1 1 1 1 1
3 1 3 3 5
uC C C
u x
14) Hallar 3/4
2 3 1x x dx
Solución:
En primer lugar, sea 3 1u x . Su diferencial es
23du x dx . Ahora, puesto que 2x dx es parte
de la integral dada, podemos escribir
2
3
dux dx
Finalmente sustituyendo u y 3
du en la integral dada se obtiene
3/4 3/4
2 3 3 2 3/4 3/411 1
3 3
dux x dx x x dx u u du
7/4 7/4
7/4 31 4 41
3 7 / 4 21 21
uC u C x C
15) Hallar 323 1 x xx e dx
Solución:
En primer lugar, sea 3u x x . Su diferencial es 23 1du x dx .
Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene
3 3 32 23 1 3 1x x x x u u x xx e dx e x dx e du e C e C
16) Hallar 3 2
3
6 5
xdx
x x
Solución:
En primer lugar, sea 2 6 5u x x . Su diferencial es 2 6 2 3du x dx x dx . Ahora,
puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir
13
2 3
dudx
x
Finalmente sustituyendo u y 2 3
du
x en la integral dada se obtiene
1/3
3 33 2
3 3 1 1
2 3 2 26 5
x x du dudx u du
xu ux x
2/3 2/3
2/3 21 35 6 5
2 2 / 3 4
uC u C x x C
17) Hallar
2
2
3 3
2 6
xdx
x x
Solución:
En primer lugar, sea 2 2 6u x x . Su diferencial es 2 2 2 1du x dx x dx . Ahora,
puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir
2 1
dudx
x
Finalmente sustituyendo u y 2 1
du
x en la integral dada se obtiene
2
2 2 2 22 2
3 1 13 3 3 33
2 1 2 22 6 2 6
x xx du dudx dx u du
x uux x x x
1
2
3 3 1 3 1
4 1 4 4 2 6
uC C C
u x x
18) Hallar 3 4 3
xdx
x
Solución:
En primer lugar, sea 4 3u x , de donde 3du dx , de aquí 3
dudx . Como el integrando
contiene el factor x , hemos de expresar x en términos de u , así
44 3
3
uu x x
Ahora sustituyendo, se obtiene
3 3 3 3
4
4 1 43
3 3 94 3 3
u
x du u du udx du
x u u u
2/3 5/3
1/3 1/3 2/31 1 14 4 4
9 9 9 2 / 3 5 / 3
u uu u du u u du C
5/3
2/3 5/32/31 1 3 2 16 4 3 4 3
9 9 5 3 15
uu C x x C
19) Hallar
1
1dx
x x
Solución:
En primer lugar, sea 1u x . Su diferencial es 2
dxdu
x . Ahora, puesto que dx es parte de la
integral dada, podemos escribir
14
2dx xdu
Finalmente sustituyendo u y xdu en la integral dada se obtiene
1 12 2 2ln 2ln 1
1
dudx xdu u C x C
ux ux x
20) Hallar
2
2
2 ln( 1)
1
x xdx
x
Solución:
En primer lugar, sea 2ln( 1)u x . Su diferencial es
2
2
1
xdxdu
x
.
Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene
2
22 2
2
2 2
12 ln( 1) 2ln( 1)
2 21 1
xx x x udx x dx udu C C
x x
21) Hallar
2/3
2
1 11 dx
xx
Solución:
En primer lugar, sea 1
1ux
. Su diferencial es 2
dxdu
x . Ahora, puesto que dx es parte de la
integral dada, podemos escribir
2dx x du
Finalmente sustituyendo u y 2x du en la integral dada se obtiene
2/3
2/3 2 2/3
2 2
1 1 11 dx u x du u du
xx x
5/3
5/3
13 1
5 / 3 5
u xC C
22) Hallar 1/2
3 24x x dx
Solución:
En primer lugar, sea 24u x , de donde 2du xdx , de aquí
2
dudx
x .
Ahora sustituyendo, se obtiene
1/2 1/23 2 3 2 1/21
42 2
dux x dx x u x u du
x
Como el integrando contiene el factor 2x , debemos de expresar
2x en términos de u , así
2 24 4u x x u
Finalmente reemplazando 2x en la última integral, se tiene
1/2
3 2 2 1/2 1/2 1/21 1 14 4
2 2 2x x dx x u du u u du
1/2 3/21/2 3/21 1 2
4 82 1/ 2 3 / 2 2 3
u uC u u C
1/2 3/2
1/2 3/2 2 21 14 4 4 4
3 3u u C x x C
15
23) Hallar 3/2
1/3 2/3 1x x dx
Solución:
En primer lugar, sea 2/3 1u x , de donde
1/32
3du x dx , de aquí
1/33
2dx x du .
Ahora sustituyendo, se obtiene
3/2 3/21/3 2/3 1/3 1/3 1/3 3/2 1/3 2/3 3/23 3 3
12 2 2
x x dx x u x du x u x du x u du
Como el integrando contiene el factor 2/3x , debemos de expresar
2/3x en términos de u , así
2/3 2/31 1u x x u
Finalmente reemplazando 2/3x en la última integral, se tiene
3/2
1/3 2/3 2/3 3/2 3/2 5/2 3/23 3 31 1
2 2 2x x dx x u du u u du u u du
7/2 5/27/2 5/23 3 2 2
2 7 / 2 5 / 2 2 7 5
u uC u u C
7/2 5/2
7/2 5/2 2/3 2/33 3 3 31 1
7 5 7 5u u C x x C
24) Hallar 2
2 1x xe e dx
Solución:
En primer lugar, sea 1xu e , de donde xdu e dx , de aquí
xdx e du .
Ahora sustituyendo, se obtiene
2 22 2 21x x x x xe e dx e u e du e u du
Como el integrando contiene el factor
xe , debemos de expresar xe en términos de u , así
1 1x xu e e u
Finalmente reemplazando xe en la última integral, se tiene
2
2 2 2 3 21 1x x xe e dx e u du u u du u u du
4 3 4 31 1
1 14 3 4 3
x xu uC e e C
25) Hallar
2
1
x
x
edx
e
Solución:
En primer lugar, sea 1xu e , de donde xdu e dx , de aquí
xdx e du .
Ahora sustituyendo, se obtiene
2 2
1
x x xx
x
e e edx e du du
u ue
Como el integrando contiene el factor xe , debemos de expresar
xe en términos de u , así
1 1x xu e e u
Finalmente reemplazando xe en la última integral, se tiene
2 1 11
1
x x
x
e e udx du du du
u u ue
ln 1 ln 1x xu u C e e C
16
26) Hallar 2
(2ln 1)
(ln ln )
xdx
x x x
Solución:
En primer lugar, sea 2ln lnu x x . Su diferencial es
2ln 1 2ln 1x xdu dx dx
x x x
.
Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene
2 2
(2ln 1) 1 (2ln 1) 1
(ln ln ) (ln ln )
x xdx dx du
x ux x x x x
CxxCu )lnln(lnln 2
27) Hallar 2
sin 2
1 cos
xdx
x
Solución:
En primer lugar, sea 21 cosu x . Su diferencial es 2cos sindu x xdx , de aquí
2cos sinx xdx du .
Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene
2 2 2
sin 2 2sin cos 12sin cos
1 cos 1 cos 1 cos
x x xdx dx x xdx
x x x
21 1ln ln 1 cosdu du u C x C
u u
28) Hallar sin cosxa xdx
Solución:
En primer lugar, sea sinu x . Su diferencial es cosdu xdx .
Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene
sinsin cos
ln ln
u xx u a a
a xdx a du C Ca a
29) Hallar 2
3 2( )
t dt
a bt
Solución:
En primer lugar, sea 3u a bt . Su diferencial es
23du bt dt , de aquí 2
3
dut dt
b .
Finalmente sustituyendo u y 3
du
b en la integral dada se obtiene
22 2
2 2 23 3
1 1 1
3 3( )
t dt dut dx u du
b bua bt a bt
1 11 31 1 1
3 1 3 3
uC u C a bt C
b b b
30) Hallar
arctan
21
xedx
x
Solución:
Hágase el siguiente cambio de variable: 2
arctan1
dxu x du
x
Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene
17
arctanarctan
21
xu u xe
dx e du e C e Cx
II. INTEGRACIÓN POR PARTES
En esta sección estudiaremos una técnica muy importante de integración, llamada integración por partes.
Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es particularmente eficaz para
integrandos donde aparecen productos de funciones algébricas y trascendentes. Por ejemplo, funciona
muy bien para resolver integrales como
2ln , , sinx xx xdx x e dx e xdx
La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto
' 'd dv du
uv u v uv vudx dx dx
Donde u y v son funciones derivables de x . Si 'u y 'v son continuas, podemos integrar ambos lados
para llegar al resultado
' 'uv uv dx vu dx
udv vdu
Reescribiendo esta ecuación se obtiene el siguiente teorema.
TEOREMA:
Si u y v son funciones de x con derivadas continuas, entonces
udv uv vdu
Esta fórmula expresa la integral original en términos de otra integral. Dependiendo de la elección de u y
de dv , puede ocurrir que la segunda integral sea más fácil que la original. Como las elecciones de u y
de dv son críticas para la buena marcha del método, damos unas indicaciones sobre como proceder
ESTRATEGIA PARA INTEGRAR POR PARTES
1. Para el cálculo de la integral ( )f x dx , donde el integrando, ( )f x , es de la forma mostrada abajo,
se escoge u y dv como sigue:
a) Si ( ) ( ) ( );x xf x p x e u p x dv e dx
b) Si ( ) ( )ln( ) ln( ); ( )f x p x x u x dv p x dx
c) Si ( ) ( ) sin ,cos ( ); sin ,cosf x p x x x u p x dv x x dx
d) Si ( ) sin ,cos sin ,cos ;x xf x e x x u x x dv e dx
2. Intente tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica
de integración y como u el factor restante del integrando
3. Intente tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que u y
como dv el factor restante del integrando.
18
EJERCICIOS RESUELTOS
Calcular las siguientes integrales
1) xxe dx
Solución:
Según la estrategia 1. a), se elige u y dv como sigue
x xx
du dxu x
v e dx edv e dx
Se sabe que
udv uv vdu
Así
x x x x xxe dx xe e dx xe e C
2) 2 lnx xdx
Solución:
Según la estrategia 1. b), se elige u y dv como sigue
2 32
ln( )
3
dxdu
u x x
dv x dx xv x dx
Se sabe que
udv uv vdu
Así
3 3 3 3 32 21
ln ln( ) ln( ) ln( )3 3 3 3 3 9
x x dx x x xx xdx x x x dx x C
x
3) sinx xdx
Solución:
Según la estrategia 1. c), se elige u y dv como sigue
sin cossin
du dxu x
v xdx xdv xdx
Se sabe que
udv uv vdu
Así
sin cos cos cos cos cos sinx xdx x x xdx x x xdx x x x C
4) cosxe xdx
Solución:
Según la estrategia 1. d), se elige u y dv como sigue
sincos
x xx
du xdxu x
v e dx edv e dx
Se sabe que
udv uv vdu
19
Así
cos cos( ) ( sin ) cos( ) sinx x x x xe xdx x e e xdx x e e xdx
Para la segunda integral del lado derecho, apliquemos nuevamente integración por partes, así
haciendo
cossin
x xx
du xdxu x
v e dx edv e dx
Se tiene
cos cos( ) sin cos( ) sin( ) cosx x x x x xe xdx x e e xdx x e x e e xdx
por lo tanto
cos cos cos( ) sin( )x x x xe xdx e xdx x e x e
2 cos cos( ) sin( )x x xe xdx x e x e
cos( ) sin( )cos
2
x xx x e x e
e xdx C
5) Hallar (1 ln )xe x x
dxx
Solución:
En primer lugar separemos las integrales, es decir
(1 ln )ln
x xxe x x e
dx dx e xdxx x
Para la segunda integral del lado derecho apliquemos la técnica de integración por partes. Elijamos
u y dv como sigue
1ln
xx x
du dxu xx
dv e dxv e dx e
Así,
(1 ln ) 1ln ln( )
x x xx x xe x x e e
dx dx e xdx dx x e e dxx x x x
ln( )xe x C
6) ln(sin )cosx xdx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
cosln(sin )
sincos
cos sin
xdu dxu x
xdv xdx
v xdx x
Se sabe que
udv uv vdu
Así
cosln(sin )cos ln(sin )sin sin ln(sin )sin cos
sin
xx xdx x x x dx x x xdx
x
sin ln(sin ) sinx x x C
20
7) 2 3(2 1) xx e dx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
2 32 3 2 3
22 1
2
xx x
du dxu x
edv e dx v e dx
Se sabe que
udv uv vdu
Así
2 3 2 3 2 32 3 2 3(2 1) (2 1) 2 (2 1)
2 2 2
x x xx xe e e
x e dx x dx x e dx
2 3 2 3
(2 1)2 2
x xe ex C
8) (3 2)ln(5 )x x dx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
2
ln(5 )
(3 2)(3 2) 3 2
2
dxdu
u x x
dv x dx xv x dx x
Se sabe que
udv uv vdu
Así
2 2
(3 2)ln(5 ) ln(5 ) 3 2 3 22 2
x x dxx x dx x x x
x
2
ln(5 ) 3 2 3 22 2
x xx x dx
2 23 3ln(5 ) 2 2
2 4
x xx x x C
9) ln(5 )x dx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
ln(5 )dx
duu xx
dv dxv dx x
Se sabe que
udv uv vdu
Así
ln(5 ) ln(5 ) ln(5 ) ln(5 )dx
x dx x x x x x dx x x x Cx
21
10) 2ln (5 )x dx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
2 2ln(5 )ln (5 )dx
du xu xx
dv dxv dx x
Se sabe que
udv uv vdu
Así
2 2 2ln (5 ) ln (5 ) 2ln(5) ln (5 ) 2 ln(5 )dx
x dx x x x x x x dxx
2ln (5 ) 2 ln(5 )x x x x x C
2ln (5 ) 2 ln(5 ) 2x x x x x C
11) 3(2 2 )ln( )x x x dx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
3 4 2 43 2
ln
(2 2 )(2 2 ) 2 2
4 2 2
dxdu
u x x
dv x x dx x x xv x x dx x
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
4 43 2 2(2 2 )ln( ) ln
2 2
x x dxx x x dx x x x
x
4 32 ln
2 2
x xx x x dx
4 4 22 ln
2 8 2
x x xx x C
12) 2( 3 1)sin( )x x x dx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
2 (2 3)3 1
sin cossin
du x dxu x x
v xdx xdv xdx
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)cos( ) ( cos )(2 3)x x x dx x x x x x dx
2( 3 1)cos( ) (2 3)cos (1)x x x x xdx
Para la segunda integral del lado derecho, (2 3)cosx xdx , apliquemos nuevamente integración
por partes, así haciendo
22 3
cos sincos
du dxu x
v xdx xdv xdx
22
y usando la fórmula de integración por partes, se tiene
(2 3)cos (2 3)sin sin (2 ) (2 3)sin 2 sinx xdx x x x dx x x xdx
(2 3)sin 2cos (2)x x x C
Reemplazando (2) en (1), resulta
2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)cos( ) (2 3)cosx x x dx x x x x xdx
2( 3 1)cos( ) (2 3)sin 2cosx x x x x x C
13) 2(2 3 2) xx x e dx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
2 (4 3)2 3 2x xx
du x dxu x x
v e dx edv e dx
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3) (1)x x xx x e dx x x e e x dx
Para la segunda integral del lado derecho, (4 3)xe x dx , apliquemos nuevamente integración por
partes, así haciendo
44 3
x xx
du dxu x
v e dx edv e dx
y usando la fórmula de integración por partes, se tiene
(4 3) (4 3) (4 ) (4 3) 4x x x x xe x dx x e e dx x e e dx
(4 3) 4 (2)x xx e e C
Reemplazando (2) en (1), resulta
2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3)x x xx x e dx x x e e x dx
2(2 3 2) (4 3) 4x x xx x e x e e C
2(2 3 2) (4 3) 4x x xx x e x e e C
14) xe dx
Solución:
Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
22mdm dx
m xm x
Se tiene
2 2x m me dx e mdm me dm
Aplique ahora integración por partes, así tomando u y dv como sigue
m mm
du dmu m
v e dx edv e dx
y usando la fórmula de integración por partes, se tiene
2 2 2 2 2 2x m m m m m x xe dx me dm me e dm me e C xe e C
23
15) 2ln( 1 )x x dx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
22ln( 1 )
1
dxdu
u x xx
dv dxv dx x
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2 2
2ln( 1 ) ln 1 (1)
1
dxx x dx x x x x
x
Para la segunda integral del lado derecho, 21
xdx
x , apliquemos la técnica del cambio de variable,
así haciendo
2 2
2
2 21
1
udu xdx xdx uduu x
u x
se tiene
2
21 (2)
1
xdx ududu u C x C
ux
Reemplazando (2) en (1), resulta
2 2
2ln( 1 ) ln 1
1
dxx x dx x x x x
x
2 2ln 1 1x x x x C
2 2ln 1 1x x x x C
16) arcsin xdx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
2arcsin1
dxduu x
xdv dx
v dx x
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2arcsin (arcsin ) (1)
1
dxxdx x x x
x
Para la segunda integral del lado derecho, 21
xdx
x , apliquemos la técnica del cambio de variable,
así haciendo
2 2
2
2 21
1
udu xdx xdx uduu x
u x
se tiene
2
21 (2)
1
xdx ududu u C x C
ux
24
Reemplazando (2) en (1), resulta
2
2arcsin (arcsin ) (arcsin ) 1
1
dxxdx x x x x x x C
x
2(arcsin ) 1x x x C
17) arctanx xdx
Solución:
Se elige u y dv como sigue
2
2
arctan 1
2
dxdu
u x x
dv xdx xv xdx
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2 2 2 2
2 2
1arctan (arctan ) (arctan )
2 2 2 21 1
x x dx x x dxx xdx x x
x x
2 2
2
1 1 1(arctan )
2 2 1
x xx dx
x
2 2
2 2
1 1 1(arctan )
2 2 1 1
x xx dx
x x
2
2
1 1(arctan ) 1
2 2 1
xx dx
x
2
2
1 1(arctan )
2 2 1
xx dx dx
x
2 1
(arctan ) arctan2 2
xx x x C
2 arctan(arctan )
2 2 2
x x xx C
18) arctan
2 3 2(1 )
xxedx
x
Solución:
Se elige u y dv como sigue
2 3 22
arctanarctanarctan
22
(1 )1
11
xxx
x dxu du
xx
eev dx edv dx
xx
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
arctanarctan arctan
2 3 2 2 3 22(1)
(1 ) (1 )1
xx xxe x dx
dx e ex xx
Para la segunda integral del lado derecho, arctan
2 3 2(1 )
xedx
x , aplique nuevamente la técnica de
integración por partes, así haciendo
25
2 3 22
arctanarctanarctan
22
1
(1 )1
11
xxx
xdxu du
xx
eev dx edv dx
xx
se tiene
arctanarctan arctan
2 3 2 2 3 22
1
(1 ) (1 )1
xx xe xdx
dx e ex xx
arctan arctan
2 3 22
1(2)
(1 )1
x x xdxe e
xx
Reemplazando (2) en (1), resulta
arctanarctan arctan
2 3 2 2 3 22(1 ) (1 )1
xx xxe x dx
dx e ex xx
arctan arctan arctan
2 3 22 2
1
(1 )1 1
x x xx xdxe e e
xx x
arctan arctan arctan
2 3 22 2
1
(1 )1 1
x x xx xdxe e e
xx x
por lo tanto
arctanarctan arctan
2 3 2 2 2
12
(1 ) 1 1
xx xxe x
dx e ex x x
arctanarctan arctan
2 3 2 2 2
1 1
2(1 ) 1 1
xx xxe x
dx e e Cx x x
19) 2
arctan
1
x xdx
x
Solución:
Se elige u y dv como sigue
2
22
2
arctan1
111
dxduu x
xx
dv dx xv dx xx
x
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2 2 2
22 2
arctan(arctan ) 1 1 (arctan ) 1
11 1
x x dx dxdx x x x x x
xx x
2 2(arctan ) 1 ln 1x x x x C
20) 2 3 2
arcsin
(1 )
xdx
x
Solución:
Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
2arcsin 1
sin
dxdt
t x x
x t
Y reemplazando en la integral dada, se tiene
2
2 3 2 2 2 1 2 2 2
arcsin arcsinsec
(1 ) (1 ) (1 ) 1 sin cos
x x dx t tdx dt dt t t dt
x x x t t
26
Ahora intégrese por partes 2sect t dt , para ello elija u y dv como sigue
22 sec tansec
du dtu t
v t dt tdv tdt
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2
2 3 2
arcsinsec tan tan tan ln sec
(1 )
xdx t t dt t t t dt t t x C
x
2 2
1arcsin ln
1 1
xx C
x x
21) 1 2
arcsin
(1 )
xdx
x
Solución:
Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
2 2t x x t dx tdt
y reemplazando en la integral dada, se tiene
2 1/2 2 1/2
arcsin arcsin2 2
(1 ) (1 )
t t ttdt dt
t t
Ahora intégrese esta última integral por partes, para ello elija u y dv como sigue
2
22 1/22 1/2
arcsin1
1(1 )(1 )
dtduu t
tt
dv dt tv dt tt
t
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2 2
2 1/2 2 1/2 2
arcsin arcsin2 2 2 arcsin 1 1
(1 ) (1 ) 1
t t t dttdt dt t t t
t t t
2 22 1 arcsin 2 2 1 arcsin 2t t dt t t t C
2 1 arcsin 2x x x C
22)
2
2
arctan
1
x xdx
x
Solución:
Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
2arctan 1
tan
dxdt
t x x
x t
Y reemplazando en la integral dada, se tiene
2
2 2
2
arctantan tan
1
x xdx t tdt t t dt
x
Ahora intégrese por partes 2tant t dt , para ello elija u y dv como sigue
22 tan tantan
du dtu t
v t dt t tdv tdt
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
22
2
arctantan (tan ) (tan )
1
x xdx t tdt t t t t t dt
x
27
22(tan ) tan tan ln sec
2
tt t t tdt tdt t t t t C
2
2 2 arctan(arctan ) arctan ln 1
2
xx x x x C
2
2arctanarctan ln 1
2
xx x x C
23) 3sec xdx
Solución:
Primero escriba la integral dada de la siguiente manera
3 2 2 2
2
sec sec sec (1 tan )sec sec tan sec
ln sec tan tan sec (1)
xdx x xdx x xdx xdx x xdx
x x x xdx
Ahora, intégrese por partes, 2tan secx xdx , para ello elija u y dv como sigue
2sectan
tan sec tan sec sec
du xdxu x
dv x xdx v x xdx x
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2 2 3tan sec tan sec sec sec tan sec sec (2)x xdx x x x xdx x x xdx
Reemplazando (2) en (1), se tiene
3 2sec ln sec tan tan secxdx x x x xdx 3ln sec tan tan sec secx x x x xdx
por lo tanto
32 sec ln sec tan tan secxdx x x x x
3 1sec ln sec tan tan sec
2xdx x x x x C
24)
2
2cos sin
x dxdx
x x x
Solución:
Primero escriba la integral dada de la siguiente manera
2 2
2 2 2
sin sin
sincos sin sin cos sin cos sin
x dx x xdx x x xdx
xx x x x x x x x x x
Ahora, elija u y dv como sigue
2
2 2
sin cos
sin sin
sin sin 1
cos sincos sin cos sin
x x xxdu dxu
x x
x xdx x xdxdv v
x x xx x x x x x
Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene
2
2 2
1 1 sin cos
sin cos sin cos sin sincos sin
x dx x x x xdx
x x x x x x x xx x x
2
1 cos sin
sin cos sin sin cos sin
x x x xdx
x x x x x x x x
2
2
1 1 1csc
sin cos sin sin cos sinsin
x xdx xdx
x x x x x x x xx
cot
sin cos sin
xx C
x x x x
28
25) 2
cos sin 1
(sin )
x x xdx
x x
Solución:
Por trigonometría se sabe que
2 2sin cos 1x x
Así, reemplazando en la integral se tiene
2 2
2 2
cos sin 1 cos sin sin cos
(sin ) (sin )
x x x x x x x xdx dx
x x x x
2 2
2
cos cos sin sin
(sin )
x x x x xdx
x x
2
cos (1 cos ) sin ( sin )
(sin )
x x x x xdx
x x
2 2
cos (1 cos ) sin ( sin )
(sin ) (sin )
x x x x xdx dx
x x x x
2 2
cos (cos 1) sin (sin )
(sin ) (sin )
x x x x xdx dx
x x x x
2
cos (cos 1) sin(1)
(sin )(sin )
x x xdx dx
x xx x
Ahora, intégrese por partes 2
cos (cos 1)
(sin )
x xdx
x x
, para ello elija u y dv como sigue
2 2
cos sin
cos 1 cos 1 1
sin(sin ) (sin )
u x du xdx
x xdv dx v dx
x xx x x x
Así aplicando la fórmula de integración por partes se tiene
2
cos (cos 1) 1 1cos ( sin )
sin sin(sin )
x xdx x xdx
x x x xx x
cos sin(2)
sin sin
x xdx
x x x x
Reemplazando (2) en (1), resulta
2 2
cos sin 1 cos (cos 1) sin
(sin )(sin ) (sin )
x x x x x xdx dx dx
x xx x x x
cos sin sin
sin sin (sin )
x x xdx dx
x x x x x x
cos sin sin
sin sin (sin )
x x xdx dx
x x x x x x
cos
sin
xC
x x
26) sin ln x dx
Solución:
Aplique primero un cambio de variable, así haciendo
ln t tt x x e dx e dt
y reemplazando en la integral dada, se tiene
sin ln sin (1)tx dx e tdt
Ahora intégrese esta última integral por partes, para ello elija u y dv como sigue
29
cossin
t tt
du t dtu t
v e dt edv e dt
Así aplicando la fórmula de integración por partes se tiene
sin sin( ) cost t te tdt t e e tdt
Para la segunda integral del lado derecho, aplíquese nuevamente integración por partes, así haciendo
sincos
t tt
du tdtu t
v e dt edv e dt
Se tiene
sin sin( ) cos sin( ) cos( ) sint t t t t te tdt t e e tdt t e t e e tdt
sin( ) cos( ) sint t tt e t e e tdt
así
1
sin sin( ) cos( ) (2)2
t t te tdt t e t e C
Reemplazando (2) en (1), se tiene
1
sin ln sin sin( ) cos( )2
t t tx dx e tdt t e t e C
ln ln1sin(ln ) cos(ln )
2
x xx e x e C
1
sin(ln ) cos(ln )2
x x x x C
sin(ln ) cos(ln )2
xx x C
METODO TABULAR
En problemas que exigen sucesivas integraciones por partes, conviene organizar el trabajo, como indica
el siguiente ejemplo. Este método funciona bien en integrales de los tipos ( ) ax bp x e dx
,
( )sin( )p x ax b dx y ( )cos( )p x ax b dx
Ejemplos:
Calcular las siguientes integrales
27) 2(2 3 2) xx x e dx
Solución:
Como de costumbre empiece haciendo 22 3 2u x x y
xdv e dx . A continuación elabore una
tabla de tres columnas como sigue.
Signos alternados u
y sus derivadas dv y sus
antiderivadas
22 3 2x x xe
4 3x xe
4 xe
0 xe
Derivar hasta obtener una derivada nula
La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos
productos siguiendo los signos alternados. Así
30
2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3) 4x x x xx x e dx x x e x e e C
2(2 1) xx x e C
NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 13 de esta sección, compare ambos
procedimientos.
28) 2( 3 1)sin( )x x x dx
Solución:
Como de costumbre empiece haciendo 2 3 1u x x y sindv xdx . A continuación elabore una
tabla de tres columnas como sigue.
Signos alternados u
y sus derivadas dv y sus
antiderivadas
2 3 1x x sin x
2 3x cos x
2 sin x
0 cos x
Derivar hasta obtener una derivada nula
La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos
productos siguiendo los signos alternados. Así
2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)( cos ) (2 3)( sin ) 2cosx x x dx x x x x x x C
2( 3 1)cos (2 3)sin 2cosx x x x x x C
NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 12 de esta sección, compare ambos
procedimientos.
29) 3(3 2 1)cos(2 )x x x dx
Solución:
Como de costumbre empiece haciendo 33 2 1u x x y cos2dv xdx . A continuación elabore
una tabla de tres columnas como sigue.
Signos alternados u
y sus derivadas dv y sus
antiderivadas
33 2 1x x cos2x
29 2x sin 2
2
x
18x cos2
4
x
18 sin 2
8
x
0 cos2
16
x
Derivar hasta obtener una derivada nula
La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos
productos siguiendo los signos alternados. Así
31
3 3 2sin 2 cos2(3 2 1)cos(2 ) (3 2 1) (9 2)
2 4
x xx x x dx x x x
sin 2 cos218 18
8 16
x xx C
3 23 2 1 9 2 9 9sin 2 cos2 sin 2 cos2
2 4 4 8
x x x xx x x x C
30) 4 3 2(2 2 ) xx x e dx
Solución:
Como de costumbre empiece haciendo 42 2u x x y
3 2xdv e dx . A continuación elabore una
tabla de tres columnas como sigue.
Signos alternados u
y sus derivadas dv y sus
antiderivadas
42 2x x
3 2xe
38 2x 3 2
3
xe
224x 3 2
9
xe
48x 3 2
27
xe
48 3 2
81
xe
0
3 2
243
xe
La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos
productos siguiendo los signos alternados. Así
3 2 3 2 3 24 3 2 4 3 2(2 2 ) (2 2 ) (8 2) 24
3 9 27
x x xx e e e
x x e dx x x x x
3 2 3 2
48 4881 243
x xe ex C
32
III. SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Ahora que sabemos cómo hallar integrales en las que aparecen potencias de las funciones trigonométricas,
podemos utilizar sustituciones trigonométricas para resolver integrales cuyos integrandos contengan los
radicales
2 2 2 2 2 2,a u a u y u a
El propósito de estas sustituciones (o cambio de variable trigonométrico) es eliminar los radicales. Eso se
consigue con las identidades pitagóricas
2 2 2 2 2 2cos 1 sin , sec 1 tan tan sec 1θ θ θ θ y θ θ
Por ejemplo, si 0a , hacemos sinu a θ , donde / 2 / 2π θ π . Entonces
2 2 2 2 2sina u a a θ
2 2(1 sin )a θ
2 2cosa θ
cosa θ
Ahora daremos un criterio para calcular estos tipos de integrales, para esto consideremos los siguientes
casos:
1. Primer caso: En integrales que contienen 2 2a u , hacer
sinu a θ
Así
2 2 cosa u a θ , donde
/ 2 / 2π θ π
2. Segundo caso: En integrales que contienen 2 2a u , hacer
tanu a θ
Así
2 2 seca u a θ , donde
/ 2 / 2π θ π
2 2u a , hacer 3. Tercer caso: En integrales que contienen
secu a θ
Así
2 2 tanu a a θ , donde
0 / 2θ π o / 2π θ π
Tomar el valor positivo si u a y el negativo si
u a
Nota: las restricciones sobre θ garantizan que la función que determina la sustitución es inyectiva. De
hecho, son los mismos intervalos sobre los que arcsin , arctan y arcsec están definidas
33
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Hallar 2 29
dx
x x
Solución:
En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración
expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que
2 2 29 3x x es de la forma 2 2a u . Por tanto, hacemos
la sustitución
sin 3sin sin3
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
3cosdx θdθ y 29 3cosx θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2 2 22 2
3cos cos 1
9(3sin ) (3cos ) 9sin cos sin9
dx θdθ θdθ dθ
θ θ θ θ θx x
221 1 1 9
csc cot9 9 9
xθdθ θ C C
x
29
9
xC
x
Nota: la
2adycente 9cot
opuesto
xθ
x
se obtuvo del triángulo dado arriba.
2) Hallar 2 3/2(9 )
dx
x
Solución:
Observemos primero que
2 3/2 32 2(9 )
3
dx dx
xx
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 23 x es de la forma
2 2a u
. Por tanto, hacemos la sustitución
sin 3sin sin3
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
3cosdx θdθ y 29 3cosx θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2 3/2 3 3 3 22
3cos 3cos 1
9(9 ) (3cos ) 27cos cos9
dx dx θdθ θdθ dθ
x θ θ θx
2
2
1 1 1sec tan
9 9 9 9
xθdθ θ C C
x
29 9
xC
x
Nota: la 2
adycentetan
opuesto 9
xθ
x
se obtuvo del triángulo dado arriba.
34
3) Hallar 24 1
dx
x
Solución:
Observemos primero que
2 2 24 1 (2 ) 1
dx dx
x x
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 2(2 ) 1x es de la forma
2 2u a . Por tanto, hacemos la sustitución
2tan 2 tan tan
1
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
22 secdx θdθ y 2 2(2 ) 1 secx θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
212
2 2 2
sec 1sec
sec 24 1 (2 ) 1
θdx dxdθ θdθ
θx x
21 1
ln sec tan ln 4 1 22 2
θ θ C x x C
4) Hallar 2 1
dx
x x
Solución:
En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración
expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que
2 2 21 1x x es de la forma 2 2u a . Por tanto,
hacemos la sustitución
sec sec sec1
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
sec tandx θ θdθ y 2tan 9θ x
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2
sec tanarcsec
(sec )(tan )1
dx θ θdθdθ θ C x C
θ θx x
5) Hallar 2 25
xdx
x
Solución:
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 2 225 5x x es de la
forma 2 2u a . Por tanto, hacemos la sustitución
35
sec 5sec sec5
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
5sec tandx θ θdθ y 25tan 25θ x
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2
2
5sec5sec tan 5 sec 5tan
5tan25
x θdx θ θdθ θdθ θ C
θx
2 25x C
6) Hallar
2 2u adu
u
Solución:
Hacemos la sustitución
sec secu
u a θ θa
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
sec tandu a θ θdθ y 2 2tana θ u a
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2 22tan
sec tan tansec
u a a θdu a θ θdθ a θdθ
u a θ
2 2(sec 1) sec tana θ dθ a θdθ a dθ a θ aθ C
2 2 arcsecu
u a a Ca
7) Hallar 2 216 9
dx
x x
Solución:
Observemos primero que
2 2 2 2 216 9 4 (3 )
dx dx
x x x x
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 24 (3 )x es de la forma
2 2a u . Por tanto, hacemos la sustitución
3tan 3 4 tan tan
4
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
23 4secdx θdθ y 2 24 (3 ) 4secx θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
243
242 2 2 2 23
sec
( tan ) (4sec )16 9 4 (3 )
θdx dxdθ
θ θx x x x
36
24 13 3
2 216 169 9
sec sec
tan (4sec ) tan
θ θdθ dθ
θ θ θ
2
2163
sec 3cot sec
16tan
θdθ θ θdθ
θ
2
2 2
3 cos 1 3 cos
16 cos 16sin sin
θ θdθ dθ
θθ θ
3 cos 1 3cot csc
16 sin sin 16
θdθ θ θdθ
θ θ
23 3 16 9csc
16 16 3
xθ C C
x
216 9
16
xC
x
Nota: la
2hipotenuza 16 9csc
opuesto 3
xθ
x
se obtuvo del triángulo dado arriba.
8) Hallar
2
2 1/2(16 )
xdx
x
Solución:
Observemos primero que
2 2
2 1/2 2 2(16 ) 4
x xdx dx
x x
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 24 x es de la forma
2 2a u
. Por tanto, hacemos la sustitución
tan 4 tan tan4
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
24secdx θdθ y 2 24 4secx θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2 2 22 2
2 1/2 2 2
(4 tan )4sec 16 tan sec
4sec(16 ) 4
x x θdx dx θdθ θ θdθ
θx x
2 316 (sec 1)sec 16 (sec sec )θ θdθ θ θ dθ
316 sec 16 secθdθ θdθ
116 tan sec ln tan sec 16ln tan sec
2θ θ θ θ θ θ C
8tan sec 8ln tan sec 16ln tan secθ θ θ θ θ θ C
8tan sec 8ln tan secθ θ θ θ C
2 216 168 8ln
4 4 4 4
x x x xC
37
2 216 168ln
2 4
x x x xC
9) Hallar 3 2 9
dx
x x
Solución:
En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración
expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que
2 2 29 3x x es de la forma 2 2u a . Por tanto, hacemos la sustitución
sec 3sec sec3
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
3sec tandx θ θdθ y 23tan 9θ x
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
3 3 23 2
3sec tan sec 1
27(3sec ) (3tan ) 27sec sec9
dx θ θdθ θ dθdθ
θ θ θ θx x
21 1 1 cos 2 1
cos (1 cos 2 )27 27 2 54
θθdθ dθ θ dθ
1 1 1 sin 2
cos 254 54 54 2
θdθ θdθ θ C
arcsec1 1 13
sin 2 2sin cos54 108 54 108
x
θ θ C θ θ C
2arcsec1 9 33
54 54
x
xC
x x
2
2
arcsec93
54 18
x
xC
x
10) Hallar
2 2u adu
u
Solución:
Hacemos la sustitución
tan tanu
u a θ θa
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
2secdu a θdθ y 2 2seca θ u a
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2 22 2sec sec
sec (tan 1)tan tan
u a a θ θdu a θdθ a θ dθ
u a θ θ
38
1
sec cossec tan secsintan
cos
θ θa θ θdθ a dθ a θ a dθθθ
θ
cos 1sec sec
cos sin sin
θa θ a dθ a θ a dθ
θ θ θ
sec csc sec ln csc cota θ a θdθ a θ a θ θ C
2 22 2 ln
u a au a a C
u u
2 22 2 ln
u a au a a C
u
11) Hallar
2 1xdu
x
Solución:
Observemos primero que
2 2 21 1x xdu du
x x
Fíjese ahora que este ejercicio es un caso particular del ejercicio anterior, en donde
u x y 1a
Entonces para calcular la integral dada, haremos uso de la fórmula que se ha conseguido en el
ejercicio anterior, así
2 2 22 21 1 1
1 lnx x
du x Cx x
22 1 1
1 lnx
x Cx
12) Hallar
2
24
xdx
x
Solución:
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 2 24 2x x es de la forma
2 2a u . Por tanto, hacemos la sustitución
sin 2sin sin2
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
2cosdx θdθ y 22cos 4θ x
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2 22
2
(2sin ) 1 cos 22cos 4sin 4
2cos 24
x θ θdx θdθ θdθ dθ
θx
sin 22 (1 cos 2 ) 2 2 cos 2 2 2
2
θθ dθ dθ θdθ θ C
22 sin 2 2 2sin cosθ θ C θ θ θ C
39
242arcsin 2
2 2 2
x x xC
242arcsin
2 2
x x xC
13) Hallar 2 2 5
xdx
x x
Solución:
Primero completemos cuadrados en la expresión del radicando, así
2 2 2 2 2 22 5 ( 1) 1 5 ( 1) 4 ( 1) 2x x x x x
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 2 22 5 ( 1) 2x x x es
de la forma 2 2u a . Por tanto, hacemos la sustitución
1tan 1 2 tan tan
2
xu a θ x θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
22secdx θdθ y 2 22sec ( 1) 2θ x
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2
2 2 2
2 tan 12sec
2sec2 5 ( 1) 2
x x θdx dx θdθ
θx x x
(2 tan 1)sec 2 tan sec secθ θdθ θ θdθ θdθ
2sec ln sec tanθ θ θ C
2 22 2 ( 1) 2 1
( 1) 2 ln2 2
x xx C
22 2 5 1
2 5 ln2
x x xx x C
14) Hallar
2 2
2
u adu
u
Solución:
Hacemos la sustitución
tan tanu
u a θ θa
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
2secdu a θdθ y 2 2seca θ u a
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2 22 2
2 2 2 2
sec secsec sec
( tan ) tan
u a a θ a θdu a θdθ a θdθ
u a θ a θ
40
2 2
2 2 2
sec secsec (tan 1)
tan tan
a θ θa θdθ θ dθ
a θ θ
2 2
2
1
sec cossec ln sec tantan sin
cos
θ θθdθ dθ θ θ dθθ θ
θ
2
2
cosln sec tan
cos sin
θθ θ dθ
θ θ
2
cosln sec tan
sin
θθ θ dθ
θ
cos 1ln sec tan
sin sin
θθ θ dθ
θ θ
ln sec tan cot cscθ θ θ θdθ
ln sec tan cscθ θ θ C
2 2 2 2
lnu a u u a
Ca a u
2 2 2 2
lnu a u u a
Ca u
15) Halle dxx
xx
22
2
)1(
Solución
Sea tanx ddx 2sec
Reemplazando en la integral se tiene:
ddx
x
xx 2
22
2
22
2
sec)1(tan
tantan
)1(
d2
22
2
sec)(sec
tantan
dd
22
2
sec
tan
sec
tan dd cossinsin 2
dd )2sin(2
1
2
)2cos(1c
4
)2cos(
4
)2sin(
2
c
2
sincos
2
cossin
2
22
Regresando a la variable inicial se tiene
cx
x
x
x
xxdx
x
xx
2
11
1
)1(22
arctan
)1(
22
222
2
cx
x
x
xxdx
x
xx
)1(2
1
)1(22
arctan
)1( 2
2
222
2
x
1
41
cx
xxxdx
x
xx
)1(2
1
2
arctan
)1( 2
2
22
2
42
IV. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Consideremos dos funciones polinómicas:
1
1 1 0( ) ...m mm mP x b x b x b x b
y 1
1 1 0( ) ...n nn nQ x a x a x a x a
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es decir:
( )
( )( )
P xR x
Q x
Esta técnica de integración se aplica en el cálculo de integrales de funciones racionales, es decir se
aplica para el cálculo de integrales de la forma,
( )
( )
P xdx
Q x
Para el cálculo de estos tipos de integrales existen dos casos y estos dependen de los grados de los
polinomios )(xP y )(xQ .
CASO 1: Grado( ( )) Grado( ( ))P x Q x
a) Cuando en la integral ( )
( )
P xdx
Q x , la función polinómica ( )Q x se descompone en factores todas
lineales y distintas, es decir:
1 2( ) ( )( ) ( )nQ x x b x b x b
A la función racional ( )
( )
P x
Q xse expresa como una suma de fracciones simples:
1 2
1 2 1 2
( ) ( ). . . .
( ) ( )( ). . . ( )
n
n n
AA AP x P x
Q x x b x b x b x b x b x b
Integrando en ambos lados se tiene
1 2
1 2
( ). . . .
( )
n
n
AA AP xdx dx
Q x x b x b x b
1 2
1 2
( )
( )
n
n
AA AP xdx dx dx dx
Q x x b x b x b
Donde: 1 2, ,..., nA A A son constantes que se van a determinar.
b) Cuando en la integral ( )
( )
P xdx
Q x , la función polinómica ( )Q x se descompone en factores
lineales algunas repetidas, suponiendo que x b es el factor lineal que se repite p veces, es decir:
1 1
veces
( ) ( )( )...( ) ( )...( ) ( ) ( )...( )pp n p n
p
Q x x b x b x b x b x b x b x b x b
43
A la función racional ( )
( )
P x
Q xse expresa como una suma de funciones simples.
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ). . . ( )pp n
P x P x
Q x x b x b x b
11 21 2
1
. . . .( ) ( ) ( )
p p n
pp n
A A AA A
x b x bx b x b x b
Integrando en ambos lados se tiene
11 21 2
1
( ). . . .
( ) ( ) ( ) ( )
p p n
pp n
A A AA AP xdx dx
Q x x b x bx b x b x b
Donde: 1 2, ,..., nA A A son constantes que se van a determinar.
c) Cuando en la integral ( )
( )
P xdx
Q x , la función polinómica ( )Q x se descompone en factores lineales
y cuadráticos irreducibles y ninguno se repite, es decir:
2 2 21 1 1 2 2 2 1( ) ( )...( )p p p p nQ x a x b x c a x b x c a x b x c x b x b
A la función racional ( )
( )
P x
Q xse expresa como una suma de funciones simples
2 2 21 1 1 2 2 2 1
( ) ( )
( ) ( ). . . ( )p p p p n
P x P x
Q x a x b x c a x b x c a x b x c x b x b
11 1 2 2
2 2 211 1 1 2 2 2
. . . .p p p n
p np p p
A x B A AA x B A x B
x b x ba x b x c a x b x c a x b x c
Integrando en ambos lados se tiene
11 1 2 22 2 2
11 1 1 2 2 2
( ). . . .
( )
p p p n
p np p p
A x B A AA x B A x BP xdx dx
Q x x b x ba x b x c a x b x c a x b x c
1 1 2 22 2 2
1 1 1 2 2 2
( )
( )
p p
p p p
A x BA x B A x BP xdx dx dx dx
Q x a x b x c a x b x c a x b x c
1
1
p n
p n
A Adx dx
x b x b
Donde: 1 2 1 2, ,..., , , , ,n pA A A B B B son constantes que se van a determinar.
11 21 2
1
( )
( ) ( ) ( ) ( )
p p n
pp n
A A AA AP xdx dx dx dx dx dx
Q x x b x bx b x b x b
44
d) Cuando en la integral ( )
( )
P xdx
Q x , la función polinómica ( )Q x se descompone en factores
lineales y cuadráticos irreducibles repetidos, es decir:
2 2 21
veces
( ) ( )...( )p n
p
Q x ax bx c ax bx c ax bx c x b x b
2
1( )...( )p
p nax bx c x b x b
A la función racional ( )
( )
P x
Q xse expresa como una suma de funciones simples
21
( ) ( )
( ) ( ). . . ( )p
p n
P x P x
Q x ax bx c x b x b
11 1 2 22 1 2 2 2
1
. . . .( ) ( ) ( )
p p p n
pp n
A x B A AA x B A x B
x b x bax bx c ax bx c ax bx c
Integrando en ambos lados se tiene
dx
bxa
A
bxa
A
cbxax
BxA
cbxax
BxAdx
xQ
xP
nn
n
pp
p
p
pp 11
1
22
11
)()(
)(
1 1 2 22 2 2 2
( )
( ) ( ) ( )
p p
p
A x BA x B A x BP xdx dx dx dx
Q x ax bx c ax bx c ax bx c
1
1
p n
p n
A Adx dx
x b x b
Donde: 1 2 1 2, ,..., , , , ,n pA A A B B B son constantes que se van a determinar.
Nota: Hay 2 formas para calcular las constantes de la descomposición de la función racional,
, , ,A B C . Una es la que ya se ha visto en el ejercicios anterior, llamada método
de los coeficientes, la cual consiste en agrupar los términos que tengan el mismo grado,
comparar con la expresión del lado izquierdo y establecer un sistema de ecuaciones, dando
como solución de este sistema los valores de , yA B C .
La otra forma es más práctica y consiste en dar valores a la variable x tal que anule a cada
factor que se obtuvo después del proceso de factorización (es decir es conveniente tomar
1x b , donde 1b son raíces de ( )Q x ), este valor, se remplaza en la expresión que se
tenga, tanto en la parte izquierda como derecha, y esto dará de forma directa los valores de
, , ,A B C , o también asignar valores pequeños como 0, 1, 2,...,etc .
45
Ejemplo:
En el caso:
2
3 2
4 9 1
1 1 22 2
x x A B C
x x xx x x
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)
( 1)( 1)( 2)
A x x B x x C x x
x x x
Los valores de x se sustituyen en la ecuación:
24 9 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x x A x x B x x C x x
Así,
Si 1 6 2 3x A A
Si 1 12 6 2x B B
Si 2 3 3 1x C C
Loa cuales son los mismos valores hallados en el ejercicio anterior con el método de los
coeficientes.
CASO 2: Grado( ( )) Grado( ( ))P x Q x
En este caso lo primero que se debe de hacer es realizar la división ( ) ( )P x Q x y esta división
transformará la expresión dada en otra equivalente en donde será posible aplicar el caso 1.
Es decir,
( ) ( )
( ) ( )
P x Q x
R x C x
( ) ( )( )
( ) ( )
P x R xC x
Q x Q x
( ) ( )( )
( ) ( )
P x R xdx C x dx
Q x Q x
( ) ( )( )
( ) ( )
P x R xdx C x dx dx
Q x Q x
Nota: La primera integral del lado derecho se calcula de forma directa ya que esta es un polinomio,
pero en la segunda integral es donde se debe de aplicar el caso 1 si es que esta no se puede
integrar de forma directa o usando un cambio de variable.
Ejemplo:
Halle
2
2
1
3 2
xI dx
x x
Solución:
Primero dividamos 2 2
2
0 1 3 2
3 2 1
3 1
x x x x
x x
x
2
2 2
1 3 21
3 2 3 2
x x
x x x x
Así
2
2 2 2
1 3 2 3 21
3 2 3 2 3 2
x x xI dx dx dx dx
x x x x x x
46
2
3 2(1)
3 2
xx dx
x x
Resolvamos la integral 2
3 2
3 2
xdx
x x
, usando fracciones parciales.
Separando en fracciones parciales el integrando, se tiene que
2
3 2 3 2 ( 1) ( 2)
( 2)( 1) 2 1 ( 2)( 1)3 2
x x A B A x B x
x x x x x xx x
Así, ara que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
3 2 ( 1) ( 2)x A x B x
3 2 2x Ax A Bx B
3 2 ( ) ( 2 )x A B x A B
De aquí, se tiene
3
2 2
A B
A B
Resolviendo, se tiene
4A y 1B
Por lo que
2
3 2 4 1
2 13 2
x
x xx x
Integrando en ambos lados, tenemos
2
3 2 4 1 4 1
2 1 2 13 2
xdx dx dx dx
x x x xx x
1 1
4 4ln 2 ln 12 1
dx dx x xx x
Reemplazando en (1), se tiene
2
2 2
1 3 24ln 2 ln 1
3 2 3 2
x xI dx x dx x x x C
x x x x
EJERCICIOS RESUELTOS
Aplique el método de fracciones parciales, para hallar las siguientes integrales:
1) 2 25
dxI
x
Solución:
Factoricemos la función polinómica del denominador 2 25 ( 5)( 5)x x x
Así, separando en fracciones parciales, se tiene que
2
1 1 ( 5) ( 5)
( 5)( 5) 5 5 ( 5)( 5)25
A B A x B x
x x x x x xx
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
1 ( 5) ( 5)A x B x
1 5 5Ax A Bx B
0 1 ( ) (5 5 )x A B x A B
De aquí, se tiene
0
5 5 1
A B
A B
Resolviendo, se tiene
1/10A y 1/10B
47
Por lo que
2
1 1/10 1/10
5 525 x xx
Integrando en ambos lados, tenemos
2
1 1/10 1/10 1/10 1/10 1 1
5 5 5 5 10 5 10 525
dx dxdx dx dx dx
x x x x x xx
1 1
ln 5 ln 510 10
x x C
2) 264
dxI
x
Solución:
Factoricemos la función polinómica del denominador 264 (8 )(8 )x x x
Así, separando en fracciones parciales, se tiene que
2
1 1 (8 ) (8 )
(8 )(8 ) 8 8 (8 )(8 )64
A B A x B x
x x x x x xx
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
1 (8 ) (8 )A x B x
1 8 8A Ax B Bx
0 1 ( ) (8 8 )x A B x A B
De aquí, se tiene
0
8 8 1
A B
A B
Resolviendo, se tiene
1/16A y 1/16B
Por lo que
2
1 1/16 1/16
8 864 x xx
Integrando en ambos lados, tenemos
2
1 1/16 1/16 1/16 1/16 1 1
8 8 8 8 16 8 16 864
dx dxdx dx dx dx
x x x x x xx
1 1
ln 8 ln 816 16
x x C
3) 2
1
3 2
xI dx
x x
Solución:
Factoricemos la función polinómica del denominador 2 3 2 ( 1)( 2)x x x x
Así, separando en fracciones parciales, se tiene que
2
1 1 ( 2) ( 1)
( 1)( 2) 1 2 ( 1)( 2)3 2
x x A B A x B x
x x x x x xx x
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
1 ( 2) ( 1)x A x B x
1 2x Ax A Bx B
1 ( ) ( 2 )x A B x A B
De aquí, se tiene
48
1
2 1
A B
A B
Resolviendo, se tiene
2A y 3B
Por lo que
2
1 2 3
1 23 2 x xx x
Integrando en ambos lados, tenemos
2
1 2 3 2 32 3
1 2 1 2 1 23 2
dx dxdx dx dx dx
x x x x x xx x
2ln 1 3ln 2x x C
4) 2
2 4
( 1)
xI dx
x
Solución:
Separando en fracciones parciales, se tiene que
2 2 2
2 4 ( 1)
1( 1) ( 1) ( 1)
x A B A x B
xx x x
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
2 4 ( 1)x A x B
2 4x Ax A B
De aquí, se tiene
2
4
A
A B
Resolviendo, se tiene
2A y 2B
Por lo que
2 2
2 4 2 2
1( 1) ( 1)
x
xx x
Integrando en ambos lados, tenemos
2 2 2 2
2 4 2 2 2 32 3
1 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x dx dxdx dx dx dx
x x xx x x x
12 ( 1)
2ln 1 3 ( 1) 2ln 1 31
xx x dx C x C
32ln 1
( 1)x C
x
5) Halle
2
3 2
4 9 1
2 2
x xdx
x x x
Solución
Factoricemos la función polinómica del denominador 3 2( ) 2 2 ( 1)( 1)( 2)Q x x x x x x x
Así, separando en fracciones parciales, se tiene que
2 2
3 2
4 9 1 4 9 1(1)
( 1)( 1)( 2) 1 1 22 2
x x x x A B C
x x x x x xx x x
49
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)
( 1)( 1)( 2)
A x x B x x C x x
x x x
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así 24 9 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x x A x x B x x C x x
Ordenando y agrupando
2 24 9 1 ( ) ( 3 ) 2 2x x A B C x A B x A B C
De aquí, se tiene
4
3 9
2 2 1
A B C
A B
A B C
Resolviendo, se tiene
3A , 2B y 1C
Reemplazando en (1), se tiene
2
3 2
4 9 1 3 2 1
1 1 22 2
x x
x x xx x x
Integrando en ambos lados, tenemos
2
3 2
4 9 1 3 2 1 3 2 1
1 1 2 1 1 212 2
x xdx dx dx dx dx
x x x x x xx x x
3ln 1 2ln 1 ln 2x x x c
3 2( 1) ( 1)ln
2
x xc
x
6) 2 2
4
( 1)( 2 3)
xI dx
x x x
Solución:
Separando en fracciones parciales, se tiene que
2 2
2 2 2 2 2 2
4 ( )( 2 3) ( )( 1)
( 1)( 2 3) 1 2 3 ( 1)( 2 3)
x Ax B Cx D Ax B x x Cx D x
x x x x x x x x x
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
3 2 2 3 24 2 2 2 3x Ax Ax Ax Bx Bx B Cx Cx Dx D
3 2 3 20 0 4 0 ( ) (2 ) (2 2 ) (3 )x x x A C x A B D x A B C x B D
De aquí, se tiene
0
2 0
2 2 4
3 0
A C
A B D
A B C
B D
Resolviendo, se tiene
1A , 1B , 1C y 3D
Por lo que
2 2 2 2
4 1 3
( 1)( 2 3) 1 2 3
x x x
x x x x x x
Integrando en ambos lados, tenemos
2 2 2 2 2 2
4 1 3 1 3
( 1)( 2 3) 1 2 3 1 2 3
x x x x xdx dx dx dx
x x x x x x x x x
50
2 2
1 3
1 2 3
x xdx dx
x x x
2 2 2
1 1 2
1 1 2 3
x xdx dx dx
x x x x
2
2 2
1 1 2ln 1 arctan
2 2 3 2 3
xx x dx dx
x x x x
2 2
2
1 1 2ln 1 arctan ln 2 3
2 2 ( 1) 1 3x x x x dx
x
2 2
22
1 1 2ln 1 arctan ln 2 3
2 2 ( 1) 2x x x x dx
x
2 21 1 1 1ln 1 arctan ln 2 3 arctan
2 2 2 2
xx x x x C
2 21 1 1 1ln 1 arctan ln 2 3 arctan
2 2 2 2
xx x x x C
7) 2 1
1
x xI dx
x
Solución:
Primero dividamos
2
2
1 1
1
x x x
x x x
2 1 1
1 1
x xx
x x
Así
2 21 1 1ln 1
1 1 1 2
x x xI dx x dx xdx dx x C
x x x
8) 2
2
( 1)
(2 1)( 1)
x xI dx
x x
Solución:
Separando en fracciones parciales, se tiene que
2 2
2 2 2
( 1) ( 1) ( )(2 1)
2 1(2 1)( 1) 1 (2 1)( 1)
x x A Bx C A x Bx C x
xx x x x x
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así 2 21 ( 1) ( )(2 1)x x A x Bx C x
2 2 21 2 2x x Ax A Bx Bx Cx C
2 21 ( 2 ) ( 2 ) ( )x x A B x B C x A C
De aquí, se tiene
2 1
2 1
1
A B
B C
A C
Resolviendo, se tiene
3
5A ,
1
5B y
2
5C
51
Por lo que
2
2 2
( 1) 3 / 5 1/ 5 2 / 5
2 1(2 1)( 1) 1
x x x
xx x x
Integrando en ambos lados, tenemos
2
2 2 2
( 1) 3 / 5 1/ 5 2 / 5 3 / 5 1/ 5 2 / 5
2 1 2 1(2 1)( 1) 1 1
x x x xdx dx dx dx
x xx x x x
2 2 2
3 1 1 2 3 1 2ln 2 1
5 2 1 5 5 51 1 1
x xdx dx x dx
x x x x
2 2
3 1 1 2ln 2 1
5 5 51 1
xx dx dx
x x
2
2
3 1 1 2 1ln 2 1 ln 1
5 5 2 5 1x x dx
x
23 1 2ln 2 1 ln 1 arctan
5 10 5x x x C
9) 2
3 2
9 25 10
4 5
x xI dx
x x x
Solución:
Separando en fracciones parciales, se tiene que
2 2
3 2
9 25 10 9 25 10(1)
( 5)( 1) 5 14 5
x x x x A B C
x x x x x xx x x
( 5)( 1) ( 1) ( 5)
( 5)( 1)
A x x Bx x Cx x
x x x
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales 29 25 10 ( 5)( 1) ( 1) ( 5)x x A x x Bx x Cx x
Así,
Si 25 9(0) 25(0) 10 (0 5)(0 1) (0)(0 1) (0)(0 5)x A B C
10 5 2A A
Si 21 9( 1) 25( 1) 10 ( 1 5)( 1 1) ( 1)( 1 1) ( 1)( 1 5)x A B C
24 6 4C C
Si 25 9(5) 25(5) 10 (5 5)(5 1) (5)(5 1) (5)(5 5)x A B C
90 30 3B B
Reemplazando en (1) se tiene
2
3 2
9 25 10 2 3 4
5 14 5
x x
x x xx x x
Integrando en ambos lados, tenemos
2
3 2
9 25 10 2 3 4 2 3 4
5 1 5 14 5
x xdx dx dx dx dx
x x x x x xx x x
2 3 45 1
dx dx dx
x x x
2ln 3ln 5 4ln 1x x x C
10) 2
2
2 25 33
( 1) ( 5)
x xI dx
x x
52
Solución:
Separando en fracciones parciales, se tiene que
2
2 2
2 25 33(1)
1 5( 1) ( 5) ( 1)
x x A B C
x xx x x
2
2
( 1)( 5) ( 5) ( 1)
( 1) ( 5)
A x x B x C x
x x
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así 2 22 25 33 ( 1)( 5) ( 5) ( 1)x x A x x B x C x
Calculemos los valores de , yA B C
Si 2 21 2( 1) 25( 1) 33 ( 1 1)( 1 5) ( 1 5) ( 1 1)x A B C
Si
Si
Reemplazando en (1) se tiene
Integrando en ambos lados, tenemos
11)
Solución
Separando en fracciones parciales, se tiene que
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así
Calculemos los valores de
Si
Si
Si
Reemplazando en (1) se tiene
6 6 1B B 2 25 2(5) 25(5) 33 (5 1)(5 5) (5 5) (5 1)x A B C
108 36 3C C 2 20 2(0) 25(0) 33 (0 1)(0 5) (0 5) (0 1)x A B C
33 5 5 3 6A A
2
2 2
2 25 33 6 1 3
1 5( 1) ( 5) ( 1)
x x
x xx x x
2
2 2 2
2 25 33 6 1 3 6 1 3
1 5 1 5( 1) ( 5) ( 1) ( 1)
x xdx dx dx dx dx
x x x xx x x x
26 ( 1) 31 5
dx dxx dx
x x
1( 1)6ln 1 3ln 5
1
xx x C
16ln 1 3ln 5
1x x C
x
2
(5 7)
( 3)( 2)
x dx
x x x
2
(5 7) (5 7)(1)
( 3)( 2)( 1) 3 2 1( 3)( 2)
x x A B C
x x x x x xx x x
( 2)( 1) ( 3)( 1) ( 3)( 2)
( 3)( 2)( 1)
A x x B x x C x x
x x x
5 7 ( 2)( 1) ( 3)( 1) ( 3)( 2)x A x x B x x C x x
, yA B C
1 5( 1) 7 ( 1 2)( 1 1) ( 1 3)( 1 1) ( 1 3)( 1 2)x A B C
12 12 1C C
2 5(2) 7 (2 2)(2 1) (2 3)(2 1) (2 3)(2 2)x A B C
3 3 1B B
3 5(3) 7 (3 2)(3 1) (3 3)(3 1) (3 3)(3 2)x A B C
8 4 2A A
2
(5 7) 2 1 1
3 2 1( 3)( 2)
x
x x xx x x
53
Integrando en ambos lados, tenemos
12)
Solución
Como , entonces la integral dada puede expresarse
como
Ahora calculamos las constantes
Igualando los numeradores se tiene
Ordenando y agrupando
Por identidad de polinomios se tiene:
Luego reemplazando los valores de en (1) se tiene
13)
Solución
Como: , entonces la
integral dada puede expresarse como
2
(5 7) 2 1 1 2 1 1
3 2 1 3 2 1( 3)( 2)
xdx dx dx dx dx
x x x x x xx x x
1 1 1
23 2 1
dx dx dxx x x
2ln 3 ln 2 ln 1x x x C
2( 3)ln
( 2)( 1)
xC
x x
3 26 7 3
dx
x x x
3 26 7 3 (2 3)(3 1)x x x x x x
3 2(1)
(2 3)(3 1) 2 3 3 16 7 3
dx dx A B Cdx
x x x x x xx x x
, yA B C
3 2
1 (2 3)(3 1) (3 1) (2 3)
2 3 3 1 (2 3)(3 1)6 7 3
A B C A x x Bx x Cx x
x x x x x xx x x
2 2 21 (6 7 3) (3 ) (2 3 )A x x B x x C x x
2 20 0 1 (6 3 2 ) ( 7 3 ) 3x x A B C x A B C x A
1
36 3 2 04
7 3 033
3 19
11
A
A B C
A B C B
A
C
, yA B C
3 2
1/ 3 4 / 33 9 /11 1 4 9
2 3 3 1 3 33 2 3 11 3 16 7 3
dx dx dx dxdx
x x x x x xx x x
1 2 3ln ln 3 3 ln 3 1
3 33 11x x x C
4 23 2
xdx
x x
4 2 2 23 2 ( 2)( 1) ( 2)( 2)( 1)( 1)x x x x x x x x
4 23 2 ( 2)( 2)( 1)( 1)
xdx xdx
x x x x x x
( ) (1)( 1) ( 1)( 2) ( 2)
A B C Ddx
x xx x
54
Ahora calculamos las constantes
Igualando los numeradores se tiene:
Por identidad de polinomios se tiene:
Luego reemplazando los valores de en (1), se tiene
14)
Solución
A la integral dada expresemos en la forma:
Ahora calculando las constantes
, , yA B C D
4 2 ( 1) ( 1)3 2 ( 2) ( 2)
x A B C D
x xx x x x
2 2 2 2( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)
( 2)( 2)( 1)( 1)
A x x B x x C x x D x x
x x x x
3 2 3 2 3 2 3 2( 2 2) ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)x A x x x B x x x C x x x D x x x
3 2( ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 2 2 2x A B C D x A B C D x A B C D x A B C D
01
2 2 0 2
2 2 1 1
22 2 2 2 0
A B C D
A BA B C D
A B C DC D
A B C D
, , yA B C D
4 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
( 1) ( 1)3 2 ( 2) 2
xdxdx dx dx dx
x xx x x x
1
2 ( 1) ( 1)( 2) 2
dx dx dx dx
x xx x
1ln 2 ln 2 ln 1 ln 1
2x x x x C
2
2
1 2ln
2 1
xC
x
2
2
(2 1)
( 1) ( 3)
x dx
x x
2
2 2
(2 1)(1)
1 3( 1) ( 3) ( 1)
x dx A B Cdx
x xx x x
, yA B C
2 2
2 2 2
(2 1) ( 1)( 3) ( 3) ( 1)
1 3( 1) ( 3) ( 1) ( 1) ( 3)
x A B C A x x B x C x
x xx x x x x
55
Igualando los numeradores se tiene:
Ordenando:
Ahora por identidad de polinomios se tiene:
Luego reemplazando los valores de en (1), se tiene
15) Use integración por fracciones parciales para calcular dxx
x
1
23
Solución
Factorizando el denominador y separando en fracciones parciales se tiene:
dxxx
CBxdx
x
Adx
xxx
xdx
x
x
11)1)(1(
2
1
2223
(1)
Calculemos las constantes A, B y C.
111
223
xx
CBx
x
A
x
x
)1)(1(
)1)(()1(
1
22
2
3
xxx
xCBxxxA
x
x
)1)(()1(2 2 xCBxxxAx
Asignando valores a la variable x se tiene:
3
1311 AAx
3
5
3
12
3
1220 CCCAx
)2)(3
5(
3
13)2)((31 BCBAx
3
1
3
10
3
132
3
102
3
13 BBB
2 2 22 1 ( 2 3) ( 3) ( 2 1)x A x x B x C x x
2 22 1 ( ) ( 2 2 ) 3 3x A C x A B C x A B C
13
1623
2 2 04
3 3 119
16
A
A C
A B C B
A B C
C
, yA B C
2
2 2 2
2 1 13 /16 3 / 4 19 /16 13 3 19
1 3 16 1 4 16 3( 1) ( 3) ( 1) ( 1)
x dx dx dx dxdx
x x x xx x x x
13 3 19ln 1 ln 3
16 4( 1) 16x x C
x
56
Luego en (1)
dxxx
x
dxx
dxx
x
1
3
5
3
1
1
3
1
1
223
dxxx
xdx
xdx
x
x
1
5
3
1
1
1
3
1
1
223
dxxx
xxdx
x
x
1
102
6
11ln
3
1
1
223
dxxx
xxdx
x
x
1
912
6
11ln
3
1
1
223
dxxx
dxxx
xxdx
x
x
1
9
6
1
1
12
6
11ln
3
1
1
2223
dx
x
xxxdxx
x
4
3
2
1
1
2
31ln
6
11ln
3
1
1
22
2
3
dx
x
xxxdxx
x
22
2
3
2
3
2
1
1
2
31ln
6
11ln
3
1
1
2
cxxxdxx
x
2
3
2
1x
Arctan
2
3
1
2
31ln
6
11ln
3
1
1
2 2
3
cx
xxxdxx
x
3
12Arctan
3
31ln
6
11ln
3
1
1
2 2
3
c
xxxxdx
x
x
3
12Arctan31ln
6
11ln
3
1
1
2 2
3
57
APLICACIONES DE LOS PROBEMAS CON VALOR INICIAL
1) Se ha determinado que la población ( )P t de una cierta colonia de bacterias, t horas después de
iniciar la observación, tiene un razón de cambio
0.1 0.03200 150t tdPe e
dt
Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la población 12 horas
después?
Solución:
La población ( )P t se encuentra antiderivando dP
dt como se muestra a continuación:
0.1 0.03( ) (200 150 )t tdPP t dt e e dt
dt
0.1 0.03200 150
0.1 0.03
t te ec
0.1 0.032000 5000t te e c
Como la población es de 200000 cuando 0t , se tiene que
0 0(0) 200000 2000 5000P e e c
200000 3000 c
203000c
Así,
0.1 0.03( ) 2000 5000 203000t tP t e e
Entonces, después de 12 horas, la población es
0.1(12) 0.03(12)(12) 2000 5000 203000
206152
P e e
2) Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se consumirán e un periodo
de 5 meses a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes. Si los costos de almacenamiento son 1
centavo por kilogramo al mes, ¿cuánto pagará el minorista en costos de almacenamiento durante los
próximos 5 meses?
Solución:
Sea ( )S t el costo total de almacenamiento (en dólares) durante t meses. Como el arroz se consume
a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes, el número de kilogramos de arroz almacenado
después de t meses es de 10000 2000t . Por tanto, como los costos de almacenamiento son 1
centavo por kilogramo al mes, la tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo
es
costo mensual número de0.01(10000 2000 )
por kilogramo kilogramos
dSt
dt
Se deduce que ( )S t es una antiderivada de
0.01(10000 2000 ) 100 20t t
Es decir,
2( ) (100 20 ) 100 10dS
S t dt t dt t t cdt
Para alguna constante c . Para determinar c , se usa el hecho de que cuando llega el cargamento
(cuando 0t ) no hay costo, por lo que
20 100(0) 10(0) 0c c
58
De aquí,
2( ) 100 10S t t t
Y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será
2(5) 100(5) 10(5) $250S
3) Un automóvil viaja en línea recta a 45 millas por hora (66 pies por segundo) en el instante en el que
el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar un accidente. Si los frenos proporcionan
una desaceleración constante de 22 pies/s2, ¿qué distancia recorre el automóvil antes de detenerse por
completo?
Solución:
Sea ( )s t la distancia recorrida por el automóvil en t segundos después de aplicar los frenos. Como
el automóvil desacelera a 222pies/s , se tiene que ( ) 22a t ; es decir,
( ) 22dv
a tdt
Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento t está dada por
1( ) 22 22v t dt t C
Para calcular 1C , observe que 66v cuando 0t , de modo que
1 166 (0) 22(0) 66v C C
Por lo que la velocidad en el momento t es ( ) 22 66v t t .
A continuación, para encontrar la distancia ( )s t , se inicia con el hecho de que
( ) 22 66ds
v t tdt
E integrando se tiene que
22( ) ( 22 66) 11 66s t t dt t t C
Como (0) 0s , se deduce que 2 0C y
2( ) 11 66s t t t
Finalmente, para encontrar la distancia a la que se detiene el automóvil, éste se detiene cuando
( ) 0v t , lo cual sucede cuando
( ) 22 66 0v t t
Resolviendo esta ecuación, se obtiene que el automóvil se detiene después de 3 segundos de
desaceleración, y en ese tiempo ha recorrido
2(3) 11(3) 66(3) 99piess
4) CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha estimado que dentro de t meses la población ( )P t
de una cierta ciudad cambiará a razón de 2/3'( ) 4 5P t t personas por mes. Si la población actual
es de 10000, ¿cuál será la población dentro de 8 meses?
Solución:
La población ( )P t se encuentra antiderivando dP
dt como se muestra a continuación:
5/32/3 5/3( ) (4 5 ) 4 5 4 3
5 / 3
dP tP t dt t dt t C t t C
dt
Como la población es de 10000 cuando 0t , se tiene que
5/3
(0) 10000 4 0 3 0P C 10000C
59
Así,
5/3( ) 4 3 10000P t t t
Entonces, después de 8 meses, la población es
5/3
(8) 4 8 3 8 10000 10128P
5) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el tiempo que le toma
memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )M t el número de aspectos que puede memorizar en t
minutos. Su tasa de aprendizaje se determina como
2'( ) 0.4 0.005M t t t
a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos?
b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 minutos (del tiempo
10t al 20t )?
Solución:
El número de aspectos ( )M t que puede memorizar Tony, se encuentra antiderivando dM
dt como se
muestra a continuación:
3 22( ) ( 0.005 0.4 ) 0.005 0.4
3 2
dM t tM t dt t t dt C
dt
3 20.005
0.23
t t C
Como ( )M t es 0 cuando 0t (pues al inicio de la prueba aún no ha memorizada ningún aspecto
de la lista dada), se tiene que
0 (0)M
3 20.005
0 0 0.2 03
C
0C
Así,
3 20.005( ) 0.2
3M t t t
a) Después de los primeros 10 minutos, el número de aspectos que ha memorizado es
3 20.005
(10) 10 0.2 10 18.333
M
b) El número de aspectos adicionales que puede memorizar en los siguientes 10 minutos es
Δ (20) (10)M M M
3 2 3 20.005 0.005
20 0.2 20 10 0.2 103 3
66.66 18.33 48.33
6) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será 1/2'( ) 200R q q
dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q unidades. Se ha determinado que el costo
marginal correspondiente es de 0.4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es
$2000 cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando
el nivel de producción sea de 36 unidades?
Solución:
Recuerde que
utilidad marginal ingreso marginal costo marginal
Así, si
60
'( ) utilidad marginalP q
'( ) ingreso marginalR q
'( ) costo marginalC q
Entonces
1/2'( ) '( ) '( ) 200 0.4P q R q C q q q
Por otro lado, recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad ( )P x . Entonces,
1/2200 0.4dP
q qdq
y por tanto, ( )P q debe ser la antiderivada de dP
dq, así
1/2 2
1/2( ) 200 0.4 200 0.41/ 2 2
dP q qP q q q dq k
dq
1/2 2400 0.2q q k
para alguna constante k .
El valor de k se determina por el hecho de que (25) 2000P . Así,
2000 (25)P
1/2 2
2000 400 25 0.2 25 k
125k
De aquí, la función utilidad es
1/2 2( ) 400 0.2 125P x q q
y la utilidad cuando el nivel de producción sea de 36 unidades es
1/2 2
(36) 400 36 0.2 36 125
$2265.8
P
7) TERAPIA CONTRA EL CANCER. Un nuevo procedimiento médico se aplica a un tumor
canceroso que tiene un volumen de 30 cm3, y t días después se determina que el volumen cambia a
la tasa
0.006 3'( ) 0.15 0.09 cm /díatV t e
a) Determine una fórmula del volumen del tumor después de t días.
b) ¿Cuál es el volumen luego de 60 días? ¿Cuál es después de 120 días?
c) A fin que el procedimiento sea exitoso, no deberán transcurrir más de 90 días para que el tumor
comience a disminuir. Con base en este criterio, ¿tiene éxito el procedimiento?
Solución:
El volumen ( )V t del tumor canceroso, se encuentra antiderivando dV
dt como se muestra a
continuación:
0.006 0.0060.09( ) (0.15 0.09 ) 0.15
0.006
t tdVV t dt e dt t e C
dt
0.0060.15 15 tt e C
Como el volumen del tumor es 330cmV cuando 0t , se tiene que
30 (0)V
0.006 030 0.15 0 15e C
45C
61
Así,
a) La fórmula del volumen del tumor es
0.006( ) 0.15 15 45tV t t e
b) El volumen del tumor luego de 60 días es
0.006 60(60) 0.15 60 15 45V e
332.5cm
El volumen del tumor luego de 120 días es
0.006 120(120) 0.15 120 15 45V e
332.18cm
c) El volumen del tumor luego de 90 días es
0.006 90(90) 0.15 90 15 45V e
332.75cm
Por lo tanto el procedimiento no es exitoso ya que el tumor no ha disminuido, más bien ha
aumentado 32.75cm con respecto al volumen inicial.
8) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para
que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la temperatura de la carne era de -4°C, y t horas
más tarde se incrementaba a una tasa de
0.35 o'( ) 7 C/htT t e
a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t horas.
b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas?
c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a 10°C. ¿Cuánto tiempo
transcurre hasta que se descongela la carne?
Solución:
La temperatura ( )T t de la carne en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando dT
dt como se
muestra a continuación:
0.35 0.357( ) (7 )
0.35
t tdTT t dt e dt e C
dt
0.3520 te C
Como la temperatura de la carne es o4 CT cuando 0t , se tiene que
4 (0)T
0.35 04 20e C
16C
Así,
a) La fórmula para la temperatura de la carne es
0.35( ) 20 16tT t e
b) La temperatura de la carne después de 2 horas es
0.35 2(2) 20 16 6.068T e C
c) Para encontrar el tiempo que tiene que transcurrir para que la carne se descongele, resolvamos
la siguiente ecuación
0.35( ) 20 16 10tT t e
0.3520 6te
0.35 3
10
te
62
0.35 3ln ln
10
te
30.35 ln ln
10t e
30.35 ln
10t
3ln
10
0.35t
3.4399hrst
9) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol crece de tal
forma que su altura ( )h t después de t años cambia a una razón de
2/3'( ) 0.2 pies/añoh t t t
Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años?
Solución:
La altura ( )h t de un árbol en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando dh
dt como se muestra
a continuación:
5/3 3/22/3( ) (0.2 ) 0.2
5 / 3 3 / 2
dh t th t dt t t dt C
dt
5/3 3/22
0.123
t t C
Como la altura del árbol es 2h cuando 0t , se tiene que
2 (0)h
5/3 3/22
2 0.12 0 03
C
2C
De aquí,
5/3 3/22( ) 0.12 2
3h t t t
y la altura del árbol dentro de 27 años es
5/3 3/22
(27) 0.12 27 27 2 124.69m3
h
10) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de
cierto bien es 2'( ) 3 24 48C q q q dólares por unidad. Si el costo de producción de 10 unidades
es de $5000, ¿cuál es el costo de producción de 30 unidades?
Solución:
Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total ( )C q . Entonces,
23 24 48dC
q qdq
y por tanto, ( )C q debe ser la antiderivada de dC
dq, así
2 3 224( ) (3 24 48) 48
2
dCC q q q dq q q q k
dq
3 212 48q q q k
para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión
con la función del costo C )
El valor de k se determina por el hecho de que (10) 5000C . En particular,
63
5000 (10)C
3 2
5000 10 12 10 48 10 k
4720k
De aquí, la función del costo total es
3 2( ) 12 48 4720C q q q q
y el costo de producción de 30 unidades es
3 2
(30) 30 12 30 48 30 4720 $22360C
11) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q unidades de cierto
artículo es 2'( ) 4 1.2R q q q dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la producción de 20
unidades es de $30000, ¿cuál será el ingreso esperado por la producción de 40 unidades?
Solución:
Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función del ingreso ( )R q . Entonces,
24 1.2dR
q qdq
y por tanto, ( )R q debe ser la antiderivada de dR
dq, así
2 3 2 3 21.2 4( ) ( 1.2 4 ) 0.4 2
3 2
dRR q q q dq q q C q q C
dq
para alguna constante C .
El valor de C se determina por el hecho de que (20) 30000R . En particular,
30000 (20)R
3 2
30000 0.4 20 2 20 C 32400C
De aquí, el ingreso total es
3 2( ) 0.4 2 32400R q q q
y el ingreso por la producción de 40 unidades es
3 2
(40) 0.4 40 2 40 32400 $10000R
12) UTILIDAD MARGINAL. La utilidad marginal de un bien es '( ) 100 2P q q cuando se
producen q unidades. Cuando se producen 10 unidades, la utilidad es de $700.
a) Determine la función utilidad.
b) ¿Qué nivel de producción q da como resultado la utilidad máxima? ¿cuál es la utilidad máxima?
Solución:
a) Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad ( )P q . Entonces,
100 2dP
qdq
y por tanto, ( )P q debe ser la antiderivada de dP
dq, así
2 22( ) ( 2 100) 100 100
2
dPP q q dq q q C q q C
dq
para alguna constante C .
El valor de C se determina por el hecho de que (10) 700P . En particular,
700 (10)P
2
700 10 100 10 C
64
200C
De aquí, la función utilidad es
2( ) 100 200P q q q
b) Para determinar el nivel de producción q que proporciona la utilidad máxima, se debe de igualar
la utilidad marginal a cero y resolver la ecuación para q , es decir
'( ) 0 100 2 0 50P q q q
Para verificar si justamente el valor hallado proporciona la utilidad máxima se hace uso del
criterio de la segunda derivada, así necesitamos calcular la segundo derivada y reemplazar
50q en ella, si el valor de la segunda derivada es negativa entonces 50q sería el nivel de
producción que proporciona la máxima ganancia. En efecto
''( ) 2P q
Podemos notar que la segunda derivada es negativa para cualquier valor de q , e particular para
50q . Por lo tanto el nivel de producción que maximiza la utilidad es 50q y la utilidad
máxima es
2
(50) 50 100 50 200
2500 5000 200
$2300
P
13) La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es 2'( ) 4 6 3P x x x
, y la “utilidad” cuando ningún artículo se vende es de -$40. Encuentra la función de utilidad.
Solución:
Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad ( )P x . Entonces,
2 6 43dP
xdx
x
y por tanto, ( )P x debe ser la antiderivada de dP
dx, así
2 3 2 3 23 6( ) ( 4) 4 3 4
3 23 6
dPP x dx x x x C x x x C
dxx x
para alguna constante C .
El valor de C se determina por el hecho de que (0) 40P . En particular,
40 (0)P
3 2
40 0 3 0 4 0 C
40C
De aquí, la función utilidad es
3 2( ) 3 4 40P x x x x
14) Si el costo marginal mensual de un producto es '( ) 2 110 2800C x x x , Encuentre la función
del costo total, si el costo fijo es de $5000.
Solución:
Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total ( )C q . Entonces,
2 110 2800dC
x xdx
y por tanto, ( )C x debe ser la antiderivada de dC
dx, así
65
32 2110
( ) ( ) 28003 2
110 2800dC x
C x dx x x kdx
x x
3255 2800
3
xx x k
para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión
con la función del costo C )
El valor de k se determina por el hecho de que Costo fijo (0) 5000C . En particular,
5000 (0)C
320
5000 55 0 2800 03
k
5000k
De aquí, la función del costo total es
32( ) 55 2800 5000
3
xC x x x
15) Si el ingreso marginal mensual por un producto es '( ) 1,5 30R x x , Encuentre la función del
ingreso total.
Solución:
Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso ( )R x . Entonces,
1.5 30dR
xdx
y por tanto, ( )R x debe ser la antiderivada de dR
dx, así
2 21.5( ) ( 1.5 30) 30 0.75 30
2
dRR x x dx x x C x x C
dx
para alguna constante C .
El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0R . En particular,
0 (0)R
2
0 0.75 0 30 0 C
0C
De aquí, la función del ingreso es
2( ) 0.75 30R x x x
16) La Dewitt Company ha encontrado que la razón de cambio de su costo promedio de su producto es
de 2
1 100'( )
4C x
x , donde x es el número de unidades y el costo se da en dólares. El costo promedio
de producir 20 unidades es de 40 dólares.
a) Encuentre la función de costo promedio del producto.
b) Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto.
Solución:
a) Recuerde que la razón de cambio del costo promedio es la derivada de la función del costo
promedio ( )C x . Entonces,
2
1 100
4
dC
dx x
66
y por tanto, ( )C x debe ser la antiderivada de dC
dx, así
2 2
1 100 1 100( )
4 4
dCC x dx dx dx
dq x x
121
100 1004 4 1
x xx x dx k
100
4
xk
x
para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar
confusión con la función del costo promedio C )
El valor de k se determina por el hecho de que (20) 40C . En particular,
40 (20)C
20 10040
4 20k
30k
De aquí, la función del costo promedio es
100( ) 30
4
xC x
x
b) El costo promedio de 100 unidades es
100 100(100) 30 $56
4 100C
17) Se estima que el precio p (dólares) de cada unidad de un cierto artículo cambia a una tasa de
2
135
9
dp x
dx x
Donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el número de unidades compradas a
ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades ( 4x ) cuando el precio es de $30 por unidad.
a) Determine la función de la demanda
b) ¿A qué precio se demandaran 300 unidades? ¿A qué precio no se demandara ninguna unidad?
c) ¿cuántas unidades se demandaran a un precio $20 por unidad?
Solución:
a) El precio por unidad demandada ( )p x se determina integrando '( )p x con respecto a x . Para
efectuar esta integración, se emplea la sustitución
2 19 , 2 ,
2u x du xdx xdx du ,
y se obtiene
1/21/2
1/22
135 135 1 135 135( )
2 2 2 1/ 29
x up x dx du u du C
ux
2135 9 x C
Como 30p cuando 4x , se tiene que
(4) 30p
2135 9 4 30C
30 135 25 705C
Por tanto
67
2( ) 135 9 705p x x
b) Cuando se demandan 300 unidades, 3x y el precio correspondiente es
2(3) 135 9 3 705 $132.24p por unidad
No se demanda ninguna unidad cuando 0x y el precio correspondiente es
2(0) 135 9 0 705 $300p por unidad
c) Para determinar el número de unidades demandadas a un precio unitario de $20 , se necesita
resolver la ecuación
2135 9 705 20x
2135 9 685x
2 6859
135x
29 25.75x
2 16.75x
4.09x
Es decir, se demandaran aproximadamente 409 unidades cuando el precio sea de $20 por
unidad.
18) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de x años este crecía a una
tasa de
2
11
1x
metros por año. Después de 2 años el árbol alcanzó una altura de 5 metros. ¿Qué
altura tenía cuando se trasplantó?
Solución:
La altura del árbol, ( )h x , se determina integrando
2
1'( ) 1
1h x
x
con respecto a x . Así
2 2 2
1( ) '( ) 1
1 1 1
dx dxh x h x dx dx dx x
x x x
Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución (al segundo miembro del lado derecho)
1,u x du dx ,
y se obtiene
12
2 2( )
11
dx du uh x x x x u du x C
x u
1 1
1x C x C
u x
El valor de C se determina por el hecho de que (2) 5h . Así,
5 (2)h1
5 22 1
C
15 2
3C
55
3C
10
3C
De aquí,
1 10( )
1 3h x x
x
Por lo tanto, la atura del árbol cuando este se trasplantó es
1 10 10 7(0) 0 1
0 1 3 3 3h m
68
19) VENTAS AL MENUDEO. En cierta sección del país, se estima que dentro de t semanas, el precio
del pollo crecerá a una tasa de '( ) 3 1p t t centavos por kilogramo por semana. Si actualmente
el pollo cuesta $3 por kilogramo, ¿cuánto costará dentro de 8 semanas?
Solución:
El precio del pollo , ( )p x , se determina integrando '( ) 3 1p t t con respecto a t . Así
( ) '( ) 3 1p t p t dt t dt
Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución
1 ,u t du dt
y se obtiene
3/21/2( ) 3 1 3 3 3
3 / 2
up t t dt u dt u du C
3/23/22 2 1u C t C
Por dato del problema, 300p (pues el precio está dado en centavos) cuando 0t , así se tiene
300 (0)p
3/2300 2 0 1 C 300 2 C 298C
De aquí,
3/2
( ) 2 1 298p t t
Por lo tanto, el precio del pollo después de 8 semanas es
3/2 3/2
(8) 2 8 1 298 2 9 298 2 27 298
352centavos $3.52
p
20) INGRESO. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se estima que será 20.01'( ) 50 3.5 xR x xe dólares por unidad, donde ( )R x es el ingreso en dólares.
a) Determine ( )R x , suponiendo que (0) 0R .
b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?
Solución:
a) El ingreso ( )R x se determina integrando '( )R x con respecto a x . Así
2 20.01 0.01( ) '( ) 50 3.5 50 3.5x xR x R x dx xe dx dx xe dx
20.0150 3.5 xx xe dx
Para integrar el segundo miembro del lado derecho, se emplea la sustitución
20.01 , 0.020.02
duu x du xdx xdx ,
y se obtiene
2 2
2
0.01 0.01
0.01
( ) 50 3.5 50 3.5 50 3.50.02
3.550 50 175 50 175
0.02
x x u
u u x
duR x x xe dx x e xdx x e
x e du x e C x e C
El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0R . Así,
0 (0)R 2
0.01 00 50 0 175e C
0 175 C 175C
Por tanto 20.01( ) 50 175 175xR x x e
69
b) El ingreso por la venta de 1000 unidades es
2
0.01 1000(1000) 50 1000 175 175
$50175
R e
21) CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una forma
aproximadamente circular, con radio ( )R t pies, t minutos después del inicio del derrame. E radio
crece a una tasa de
21'( ) pies/min
0.07 5R t
t
a) Determine una expresión para el radio ( )R t , suponiendo que 0R cuando 0t .
b) ¿Cuál es el área 2A πR del derrame después de 1 hora?
Solución:
a) El radio ( )R t se determina integrando '( )R t con respecto a t . Así
21( ) '( )
0.07 5R t R t dt dt
t
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
0.07 5, 0.070.07
duu t du dt dt ,
y se obtiene
21 1 21( ) 21
0.07 5 0.07 0.07
300ln 300ln 0.07 5
du duR t dt
t u u
u C t C
El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0R . Así,
0 (0)R 0 300ln 0.07 0 5 C 0 300ln 5 C 482.83C
Por tanto
( ) 300ln 0.07 5 482.83R t t
b) La función área es
22
( ) ( ) 300ln 0.07 5 482.83A t π R t π t
Así el área del derrame después de una hora (60 minutos) es
2
(60) 300ln 0.07 60 5 482.83A π
24144581.89 pies
22) CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentración ( )C t en miligramos por
centímetro cúbico (mg/cm3) de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente es de
0.5mg/cm3 inmediatamente después de una inyección y t minutos más tarde disminuye a la tasa de
0.01
20.01
0.01'( )
1
t
t
eC t
e
mg/cm3 por minuto.
Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05 mg/cm3.
a) Determine una expresión para ( )C t .
b) ¿Cuál es la concentración después de 1 hora?
Solución:
a) El concentración ( )C t se determina integrando '( )C t con respecto a t . Así
70
0.01
20.01
0.01( ) '( )
1
t
t
eC t C t dt dt
e
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
0.01 0.01, 0.01t tu e du e dt ,
y se obtiene
0.010.01
2 2 20.01 0.01
12
0.01
0.01 1 1( ) 0.01
1 1
1 1
1 1
tt
t t
t
eC t dt e dt du
ue e
uu du C C C
u e
Por dato del problema, 0.5C cuando 0t , así se tiene
0.5 (0)R 0.01 0
10.5
1C
e
10.5
2C 0C
Por tanto
0.01
1( )
1tC t
e
b) La concentración después de una hora (60 minutos) es
3
0.01 60
1(60) 0.354 mg/cm
1C
e
23) VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de t años, el valor ( )V t de una hectárea de tierra
cultivable crecerá a una tasa de
3
4
0.4'( )
0.2 8000
tV t
t
dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea.
a) Determine ( )V t
b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años?
Solución:
a) El valor ( )V t se determina integrando '( )V t con respecto a t . Así
3
4
0.4( ) '( )
0.2 8000
tV t V t dt dt
t
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
4 3 30.2 8000, 0.8 ,0.8
duu t du t dt t dt ,
y se obtiene
33
4 4
0.4 1 1( ) 0.4 0.4
0.80.2 8000 0.2 8000
t duV t dt t dt
ut t
1/21/2 1/20.4 1 1
0.8 2 2 1/ 2
du uu du C u C
u
40.2 8000t C
Por dato del problema, 500V cuando 0t , así se tiene
500 (0)V
4500 0.2 0 8000 C
500 8000 C 410.55C
71
Por tanto
4( ) 0.2 8000 410.55V t t
b) El valor de la tierra dentro de 10 años será
4
(10) 0.2 10 8000 410.55 $510.55V
24) CONTAMINACION DEL AIRE. En cierto suburbio de Lima, el nivel de ozono ( )L t a las 7:00
a.m. es de 0.25 partes por millón (ppm). Una predicción del clima anticipa que el nivel de ozono t
horas más tarde cambiará a una tasa de 2
0.24 0.03'( )
36 16
tL t
t t
partes por millón por hora (ppm/h).
a) Exprese el nivel de ozono ( )L t como una función de t .
b) ¿Cuándo ocurre el nivel máximo de ozono? ¿Cuál es el nivel máximo?
Solución:
a) El nivel de ozono ( )L t se determina integrando '( )L t con respecto a t . Así
2
0.24 0.03( ) '( )
36 16
tL t L t dt dt
t t
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
236 16 , 16 2 2(8 ) , (8 )2
duu t t du t dt t dt t dt ,
y se obtiene
2 2 2
0.24 0.03 0.03(8 ) 1( ) 0.03 8
36 16 36 16 36 16
t tL t dt dt t dt
t t t t t t
1/21/2 1/21 0.03 0.03
0.03 0.032 2 2 1/ 2
du uu du C u C
u
20.03 36 16t t C
Por dato del problema, 0.25L cuando 0t (pues las 7:00 a.m. es la hora de inicio), así se
tiene
0.25 (0)L
2
0.25 0.03 36 16 0 0 C
0.25 0.03 36 C
0.07C
Por tanto
2( ) 0.03 36 16 0.07L t t t
b) Para determinar cuando ocurre el nivel máximo de ozono, se debe de igualar la tasa de variación
de ozono a cero, es decir
2
0.24 0.03 0.24'( ) 0 0 0.24 0.03 0 8
0.0336 16
tL t t t
t t
Para verificar si justamente el valor hallado proporciona el nivel máximo de ozono, se hace uso
del criterio de la segunda derivada, así necesitamos calcular la segunda derivada de ( )L t y
reemplazar 8t en ella, si el valor de la segunda derivada es negativa entonces en 8t se
alcanza el nivel máximo de ozono y este nivel máximo se determina reemplazando 8t en
( )L t . En efecto
72
32
3''( )
16 36
L t
t t
Reemplazando 8t en ''( )L t , se tiene
3
2
3''(8) 0.003
8 16 8 36
L
Por lo tanto el nivel máximo de ozono ocurre cuando 8t , es decir a las 3 p.m. Así el nivel
máximo de ozono es
2
(8) 0.06 36 16 8 8 0.11 0.49 ppmL
25) OFERTA. El propietario de una cadena de comida rápida determina que si se ofertan x miles de
unidades de una nueva comida el precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por
2
'( )3
xp x
x
dólares por unidad, donde ( )p x es el precio (en dólares) por unidad a la cual todas las x unidades
se venderán. Actualmente, se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20 por unidad.
a) Determine la función de oferta ( )p x (precio).
b) Si se ofertan 10000 alimentos a restaurantes en la cadena, ¿Qué precio unitario se deberá cobrar
para que se vendan todas las unidades?
Solución:
a) El precio ( )p x se determina integrando '( )p x con respecto a x . Así
2
( ) '( )3
xp x p x dx dx
x
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
3, ,u x du dx
y se obtiene
2 2
( )3
x xp x dx du
x u
Como el integrando contiene el factor x , debemos de expresar x en términos de u , así
3 3u x x u Finalmente reemplazando 3u en la última integral, se tiene
2
2 2 2
1
3 1 3 1 3( ) ln 3
3 3ln 3 ln ln 3
1 3
up x du du du du u u du
u uu u u
uu C u C x C
u x
Por dato del problema, 2.20p cuando 5x , así se tiene
2.20 (5)p 3
5 ln 5 35 3
C
3
5 ln 88
C 2.545C
Por tanto,
3
( ) ln 3 2.5453
p x xx
b) El precio que se debe cobrar par que se vendan 10000 ( 10x ) alimentos es
3
(10) ln 10 3 2.54510 3
p
34.5$
73
26) DEMANDA. El gerente de una zapatería determina que el precio p (dólares) por cada par de zapatos
deportivos de cierta marca popular, cambia a una tasa de
3/2
2
300'( )
9
xp x
x
cuando los consumidores demandan x (miles) de pares. Cuando el precio es de $75 por par, son
demandados 4000 pares ( 4x ).
a) Determine la función de demanda ( )p x (precio).
b) ¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? ¿A qué pecio no se demandarán
zapatos deportivos?
c) ¿Cuántos pares se demandarán a un precio de $90 por par?
Solución:
a) El precio ( )p x se determina integrando '( )p x con respecto a x . Así
3/2
2
300( ) '( )
9
xp x p x dx dx
x
Para realizar a integración, se emplea la sustitución
2 9, 2 ,2
duu x du xdx xdx
y se obtiene
3/2 3/2 3/2
2 2
1/23/2
2
300 1 1( ) 300 300
29 9
300 300150 150
1/ 2 9
x dup x dx xdx
ux x
uu du C C C
u x
Por dato del problema, 75p cuando 4x , así se tiene
75 (4)p
2
30075
4 9
C
30075
25C 15C
Por tanto
2
300( ) 15
9p x
x
b) Para que se demanden 500 pares de zapatos ( 0.5x ), el precio que se debe cobrar es
2
300(0.5) 15 $113.64
0.5 9
p
Para que ningún par de zapatos se demande ( 0x ), el precio que se debe cobrar es
2
300(0) 15 $115
0 9
p
c) Para encontrar la cantidad de pares de zapatos que se demandaran a un precio de 90, resolvemos
la siguiente ecuación
)(90 xp 159
30090
2
x 9
30075
2
x 75
30092 x
22 9 4x 2 7x 7 2.646x
74
Por lo tanto, la cantidad de pares de zapatos que se demandaran a este precio será
aproximadamente 2646
27) Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado con una tasa
de variación que se puede aproximar por la función xxexS 2.04000)(' juegos por semana, en
donde x es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S, como
una función de x. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas?
Solución
La función de ventas se obtiene integrando la función de la variación de las ventas. Es decir:
dxxedxxedxxSxS xx 2.02.0 40004000)(')(
Utilizando la técnica de integración por partes se tiene:
dxduxu
x
xxx ev
edxevdxedv 2.0
2.02.02.0 5
2.0
Entonces se tiene:
vduvuxS 4000)(
dxexexS xx 2.02.0 554000)(
cexexS xx 2.02.0 2554000)(
La cantidad de juegos que se venden en las cuatro primeras semanas.
ceeceeSS )0(2.0)0(2.0)4(2.0)4(2.0 25)0(5400025)4(54000)0()4(
78.1912010000025204000)0()4( 8.08.0 ceeSS juguetes por semana
Por lo tanto, las ventas totales de juguetes en las cuatro primeras semanas es de 19121.
28) Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por
2)20(
)20ln(5000)('
x
xxC , en donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $
2000, determine la función de costo.
Solución
La función costo se obtiene integrando la función costo marginal. Es decir:
dx
x
xdx
x
xdxxCxC
22 )20(
)20ln(5000
)20(
)20ln(5000)(')(
Utilizando la técnica de integración por partes se tiene:
dxx
duxu20
1)20ln(
75
20
1
)20(
1
)20(
122
xvdx
xvdxe
xdv
Luego tenemos:
vduuvxC 5000)(
dx
xxx
xxC
)20(
1
)20(
1
20
)20ln(5000)(
dx
xx
xxC
2)20(
1
20
)20ln(5000)(
c
xx
xxC
20
1
20
)20ln(5000)(
Por dato, los costos fijos ascienden a $ 2000. Es decir, x=0 y C=2000
c
200
1
200
)200ln(50002000
6,0c
Por lo tanto, la función costo es:
6,0
20
1
20
)20ln(5000)(
xx
xxC
29) Durante el desarrollo de una epidemia a la razón de llegada de casos nuevos a cierto hospital
es igual a ttetC 1,05)(' , donde t está medido en días, t=0 es el inicio de la epidemia.
¿Cuántos casos ha tratado en total el hospital cuando t =5 y cuando t=10?
Solución
El número de casos se obtendrá integrando la función ttetC 1,05)(' , es decir:
dttedttCC t1,05)('
Utilizando la técnica de integración por partes se tiene:
dtdutu
t
ttt e
edtevdtedv 1,0
1,01,01,0 10
1,0
Luego tenemos:
][5)( vduuvtC
]1010[5)( 1,01,0
dtetetC tt
76
]1,0
1010[5)(,01
1,0 ce
tetCt
t
cetetC tt 1,01,0 50050)(
Por dato se sabe que cuando t=0, la llegada de casos nuevos es cero.
Entonces reemplazando en la integral indefinida tenemos:
cee )0(1,0)0(1,0 500)0(500
500c
Entonces la función costo es:
50050050)( 1,01,0 tt etetC
Por lo tanto, el número de casos tratado en el hospital cuando t =5 y cuando t=10 son:
45500500)5(0)5( )5(1,0)5(1,0 eeC
132500500)5(50)5( )5(1,0)5(1,0 eeC
30) El ingreso marginal de una empresa por su producto es 20/)20(10)(' xexxI ; donde x es el
número de unidades producidas y vendidas. Determine la función de ingreso.
Solución
dxexdxxIxI x 20/)20(10)(')(
Utilizando la técnica de integración por partes se tiene:
dxduxu 20
20/20/20/ 20 xxx edxevdxedv
Luego tenemos:
vduuvxI )(
dxeexxI xx )1)(20()20()( 20/20/
dxeexxI xx 20/20/ 20)20()(
ceexxI xx )20(20)20()( 20/20/
ceexxI xx 20/20/ 400)20()(
Para calcular la constante de integración se debe razonar de la siguiente forma. Si la cantidad
producida y vendida es cero, entonces el ingreso es cero. E decir: I(0)=0.
ceeI 20/020/0 400)020()0(
c 200
20c
Por lo tanto, la función ingreso es:
20400)20()( 20/20/ xx eexxI
20)420()( 20/ xexxI
31) La razón de cambio del ingreso en dólares por la venta de x unidades de calculadoras de escritorio es
2
1000'( )
25R x
x
. Encuentre el ingreso total por la venta de las primeras 20 calculadoras.
Solución:
La función ingreso, ( )R x , se halla integrando la razón de cambio del ingreso, '( )R x , así
77
2
1000( ) '( )
25R x R x dx dx
x
Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico.
Hagamos
5tan tan5
xx θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
25secdx θdθ y 2 25sec 5θ x
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2
2
1000 1000( ) 5sec 1000 sec
5sec25R x dx θdθ θdθ
θx
1000ln sec tanθ θ C
2 251000ln
5 5
x xC
Bien se sabe, que cuando no se vende ninguna calculadora, el ingreso es cero, así
(0) 0R 2 20 5 0
1000ln 05 5
C
1000ln 1 0C 0C
Por lo tanto, la función ingreso es
2 25( ) 1000ln
5 5
x xR x
Así, el ingreso por las 20 primeras calculadoras es
2 220 5 20( ) 1000ln 2.09
5 5R x
32) La razón (en horas por artículo) a la que un trabajador, en cierto trabajo, produce x ésimo artículos
es 2'( ) 16h x x . ¿Cuál es el número total de horas que tardará este trabajador en producir los
primeros 7 artículos?
Solución:
La expresión para el número de horas, ( )h x , en función al número de artículos producidos, se halla
integrando '( )h x , así
2( ) '( ) 16h x h x dx x dx
Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico.
Hagamos
4 tan tan4
xx θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
24secdx θdθ y 2 24sec 4θ x
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2 2 3( ) 16 (4sec )4sec 16 sech x x dx θ θdθ θdθ
78
116 sec tan ln sec tan
2θ θ θ θ C
8 sec tan ln sec tanθ θ θ θ C
2 2 2 24 48 ln
4 4 4 4
x x x xC
2 2 2 24 48 ln
16 4
x x x xC
Se sabe que cuando aún no se ha producido ningún artículo, no se ha empleado ningún tiempo, así
(0) 0h 2 2 2 20 0 4 0 4 0
8 ln 016 4
C
8ln 1 0C
0C
Por lo tanto, la expresión para el número de horas es
2 2 2 24 4( ) 8 ln
16 4
x x x xh x
Así, el número total de horas que tardará este trabajador en producir los primeros 7 artículos es
2 2 2 27 7 4 7 4 7( ) 8 ln 38.83hrs
16 4h x
33) La empresa dedicada a la extracción de minerales "Buenaventura", en Junta de Gerentes decidió
aumentar sus operaciones mineras, para de esta forma continuar con el incremento proyectado en la
demanda de países europeos de oro, plata, cobre, entre otros. Los planes contemplan el incremento
de la producción anual de estos (minerales) en:
216 x
Millones de toneladas métricas por año, durante los próximos 5 años. La producción anual actual es
de 15 millones de toneladas métricas.
En la Junta de Gerentes se pide determinar una función que describa la producción total de minerales
en la empresa al final de x años.
Solución:
La función que describe la producción total de minerales, ( )P x , se halla integrando 216 x , así
2( ) 16P x x dx
Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico.
Hagamos
4sin sin4
xx θ θ
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos
4cosdx θdθ y 216 4cosx θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2 2( ) 16 (4cos )4cos 16 cosP x x dx θ θdθ θdθ
79
1 cos 2 1 cos 2
16 162 2 2
θ θdθ dθ
1 cos 2
16 16 8 8 cos 22 2
θdθ dθ dθ θdθ
sin 2 sin cos8 8 8 4
2 2
θ θ θθ C θ C
8 2sin cosθ θ θ C
2168arcsin 2
4 4 4
x x xC
2168arcsin
4 8
x x xC
Por dato del problema, la producción anual actual es de 15 millones de toneladas métricas, así
(0) 15P
20 0 16 08arcsin 15
4 8C
15C
Por lo tanto, la expresión para la producción total de minerales es
216( ) 8arcsin 15
4 8
x x xh x
34) Se estima que dentro de x años, el valor de un acre de tierra cultivable aumentará a razón de:
dólares por año. En la actualidad el acre de tierra cuesta US$500. ¿Cuánto
costará el acre de tierra en 10 años?
Solución:
Para calcular el costo de acre en función del número de años, hay que integrar con respecto
a , así
Para calcular esta última integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales, así
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, por lo que
Calculemos ahora las constantes y
Si
Si
Reemplazando estos valores en (2), se tiene
Integrando en ambos lados, se tiene
2
2 1'( )
3 27
xV x
x
'( )V x
x
2 2 2
2 1 2 1 1 2 1( ) '( ) (1)
93 27 3( 9) 9
x x xV x V x dx dx dx dx
x x x
2
2 1 2 1(2)
( 3)( 3) 3 39
x x A B
x x x xx
( 3) ( 3)
( 3)( 3)
A x B x
x x
2 1 ( 3) ( 3)x A x B x
A B
53 5 6
6x B B
73 7 6
6x A A
2
2 1 7 / 6 5 / 6
3 39
x
x xx
80
Reemplazando en (1), se tiene
Además, por dato del problema
Por lo tanto
Así, el costo del acre de tierra después de 10 años es,
dólares
35) Suponga que la función del costo marginal para el producto de un fabricante está dada por:
, donde C es el costo total en dólares cuando se producen q unidades.
Si los costos fijos son de 10 000 dólares, encuentre el costo total de producir 50 unidades.
Solución:
Para calcular el costo total, hay que integrar con respecto a , así
Para calcular esta integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales. Como el grao del
numerador es igual al grado del denominador, entonces lo que primero que se debe de hacer es dividir
estos polinomios, así
Así
2
2 1 7 / 6 5 / 6 7 / 6 5 / 6 7 1 5 1
3 3 3 3 6 3 6 39
xdx dx dx dx dx dx
x x x x x xx
7 5ln 3 ln 3
6 6x x
2
1 2 1 1 7 5 7 5( ) ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
9 9 6 6 54 549
xV x dx x x C x x C
x
(0) 500V
7 5ln 0 3 ln 0 3 500
54 54C
7 5ln 3 ln 3 500
54 54C
499.7558C
7 5( ) ln 3 ln 3 499.7558
54 54V x x x
7 5(10) ln 10 3 ln 10 3 499.7558 500.245
54 54V
2
2
100 4998 50
50 1
dC q q
dq q q
dC
dqq
2
2
100 4998 50( )
50 1
dC q qC q dq dq
dq q q
2 2
2
100 4998 50 50 1
100 5000 100 100
2 50
q q q q
q q
q
2
2 2
100 4998 50 2 50100
50 1 50 1
q q q
q q q q
2
2 2 2
100 4998 50 2 50 2 50( ) 100 100
50 1 50 1 50 1
q q q qC q dq dq dq dq
q q q q q q
81
Para calcular esta última integral, usemos la técnica de cambio de variable.
Así haciendo
Por lo que
Reemplazando este resultado en (1), se tiene
Además, por dato del problema
Por lo tanto
Así, el costo total de producir 50 unidades es,
36) El propietario de la cadena de perros calientes estima que el precio en dólares de su nuevo producto,
salchichas, cambia a razón de: cuando se ofrecen x miles de salchicha por
compra. Si el precio actual es $ 2,25 por salchicha. ¿A qué precio se ofrecerá 4 000 salchichas
adicionales?
Solución:
Para calcular precio, hay que integrar con respecto a , así
Para calcular esta integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales, así
Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, por lo que
Calculemos ahora las constantes y
Si
Si
Si
Reemplazando estos valores en (1), se tiene
Integrando en ambos lados, se tiene
2
2 50100 (1)
50 1
qq dq
q q
2 50 1 (2 50)u q q du q dq
2
2 2
2 50 1 1(2 50) ln ln 50 1
50 1 50 1
qdq q dq du u q q
uq q q q
2( ) 100 ln 50 1C q q q q C
(0) 10000C
2100(0) ln (0) 50(0) 1 10000C
10000C
2( ) 100 ln 50 1 10000C q q q q
2(50) 100(50) ln (50) 50(50) 1 10000 15000C
2
30'( )
( 1)( 3)
xP x
x x
'( )P x x
2
30( ) '( )
( 1)( 3)
xP x P x dx dx
x x
2 2
30(1)
1 3( 1)( 3) ( 3)
x A B C
x xx x x
2
2
( 3) ( 1)( 3) ( 1)
( 1)( 3)
A x B x x C x
x x
230 ( 3) ( 1)( 3) ( 1)x A x B x x C x
A B
3 90 2 45x C C
151 30 4
2x A A
15 150 0 9 3 0 9 3 45
2 2x A B C B B
2 2
30 15 / 2 15 / 2 45
1 3( 1)( 3) ( 3)
x
x xx x x
82
Así
Además, por dato del problema
Por lo tanto
Así, el precio a la que se ofertarán 4000 salchichas adicionales es
2 2 2
30 15 / 2 15 / 2 45 15 / 2 15 / 2 45
1 3 1 3( 1)( 3) ( 3) ( 3)
xdx dx dx dx dx
x x x xx x x x
215 1 15 145 ( 3)
2 1 2 3dx dx x dx
x x
115 15 ( 3)ln 1 ln 3 45
2 2 1
xx x C
15 15 45ln 1 ln 3
2 2 3x x C
x
15 15 45( ) ln 1 ln 3
2 2 3P x x x C
x
(0) 2.25P
15 15 45ln 0 1 ln 0 3 2.25
2 2 0 3C
15ln 3 15 2.25
2C
9.01C
15 15 45( ) ln 1 ln 3 9.01
2 2 3P x x x
x
15 15 45(4) ln 4 1 ln 4 3 9.01 $5.1
2 2 4 3P