notacao assintotica
DESCRIPTION
Descrição de Notação AssintóticaTRANSCRIPT
-
Notao AssintticaFREN L. SOUZA
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 1
-
Roteiro
1. Ordem de Crescimento
2. Notao Assinttica
3. Calculando a Complexidade
4. Bibliografia
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 2
-
Ordem de Crescimento
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 3
-
Abstraes simplificadores
Calcular a quantidade exata de operaes de um algoritmo muito trabalhoso e contm detalhes que no so to necessrios
At o momento simplificamos a anlise de algoritmos com Ignorando o custo real de cada instruo (usando constantes abstratas )
Ignoramos tambm esses custos constantes abstratos O tempo de execuo a2 + + para constantes , e que dependem dos custos
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 4
-
Ordem de crescimentoOrdem de crescimento o tempo de execuo que realmente interessa
Considera apenas o termo de mais alta ordemNa formula a2 + + , apenas o termo 2 selecionado, pois os de mais
baixa ordem so insignificantes para grandes valores de
Tambm ignoramos o coeficiente constante desse termo, ficando apenas 2, pois ele menos significativo na eficincia computacional
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 5
-
Eficincia
Consideramos um algoritmos mais eficiente quando seu tempo de execuo no pior caso apresenta ordem de crescimento menor que do outro algoritmo
Essa avaliao pode ser incorreta para entradas pequenas
Porm, para entradas grandes um algoritmo de complexidade 2
executar mais rapidamente que um de complexidade 3
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 6
-
Eficincia assinttica
Quando observamos tamanhos de entrada grandes o suficiente para tornar relevante apenas a ordem de crescimento do seu tempo de execuo, estamos estudando a eficincia assinttica dos algoritmos
Estamos preocupados em como o tempo de execuo do algoritmos aumenta com o tamanho da entrada
Em geral, um algoritmo assintoticamente mais eficiente ser a melhor escolha
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 7
-
Notao Assinttica
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 8
-
Etimologia A palavra assinttica etimologicamente significa o que no cai junto, o que no coincide
Uma assntota de uma funo um limitante do qual a funo se aproxima mas jamais atingeExemplo clssico exemplo o valor zero para a funo 1 medida que cresce, se aproxima cada vez mais de zero, mas nunca o
atinge
Por extenso, o campo da Assinttica engloba tudo o que diz respeito ao comportamento de funes quando os valores do domnio tendem ao infinito
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 9
-
Tipos de notao assinttica
Existem alguns tipos de notao assinttica usados para simplificar a anlise de algoritmos
Notaes , , , ,
Essas notaes so usadas em termos de funes
So convenientes para descrever a funo do tempo de execuo (), que em geral definida sobre tamanhos de entrada inteiros
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 10
-
Notao
Para uma dada funo , denotamos por (()) o conjunto de funes = : 1, 2 0 0 1() 2 0}
Como um conjunto, podemos escrever , para indicar que um membro de
Podemos expressar a mesma coisa com =
Dizemos que um limite assintoticamente restrito para , i.e. limita uma funo acima e abaixo
A notao (1) indica uma funo constante
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 11
-
Usando a definio formal paraMostrar que
2
2+ 3 = 2 para todo 0
Pela definio 12 2
2+ 3 2
2
Simplificando, a diviso por 2 produz 1 1
2+3
2
A desigualdade esquerda vlida para qualquer valor 1 com 1 1
2 O menor valor de
1
2+3
obtido fazendo =
A desigualdade direita vlida para qualquer valor 1 com 2 7
2 O maior valor de
1
2+3
obtido fazendo = 1
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 12
-
Notao
Para uma dada funo , denotamos por O(()) o conjunto de funes
= : 0 0 0}
Usamos a notao para dar um limite assinttico superior
Temos um limite sobre o tempo de execuo de um algoritmo em cada entrada
O Insertion Sort tem complexidade No pior caso (2)
No melhor caso ()
No geral O(2)
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 13
-
Notao
Para uma dada funo , denotamos por (()) o conjunto de funes = :
0 0 () () 0}
Usamos a notao para dar um limite assinttico inferior
Geralmente utilizado para indicar o melhor casoO melhor caso do Insertion Sort ()
O Insertion Sort fica entre () e O(2)
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 14
-
Notao
O limite da notao pode ou no ser assintoticamente restritoO limite 22 = (2) assintoticamente restrito
O limite 2 = 2 no assintoticamente restrito
Usamos a notao para denotar um limite superior que no assintoticamente restrito
Definimos o( ) como o conjunto = { : > 0, 0 > 0 0 < 0}
As notaes e so semelhantes, mas2 = (2)
22 (2)
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 15
-
Notao
Por analogia, a notao est para assim como a notao est para
Definimos (()) como = { : > 0, 0 > 0 0 < () 0}
As notaes e so semelhantes, mas 2
2 =
2
2 (2)
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 16
-
Calculando a Complexidade
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 17
-
O algoritmo Selection Sort
public static void selectionSort( int v[] ) {
for( int i=0; i
-
O algoritmo Selection Sort
public static void selectionSort( int v[] ) {
for( int i=0; i
-
Desenvolvendo
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 20
T n = =0
2
=+1
1
1 = =0
2
=1
1
1 = =0
2
)( 1
= 2 )( + 1
2 1 1
=2
2= ()
-
Provando que2
2
2= ()
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 21
2
2
2= 1, 2 0
0 12 2
2
2 2
2
1 1
21
2n, = 2 1
1
4
2 1
21
2n, = 2
1
2
,2
2
2= 1
1
4, 2 1
2 0 2
-
BibliografiaThomas, T. H.; Leiserson, C. E.; Rivest, R. L.;Stein, C. Algoritmos: teoria e prtica. Rio deJaneiro: Campus, 2012.
Szwarcfiter, Jayme. Grafos e AlgoritmosComputacionais, Campus, Rio de Janeiro, 1984.
Boaventura, P.O. Grafos Teoria, Modelos eAlgoritmos. 5a edio. Edgard Blucher, 2012.
EFREN L. SOUZA / TEORIA DOS GRAFOS / UFOPA IEG PC 22