apostila matematica notacao formulas simbolos
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GUIDG.COM – PG. 1 5/6/2011 – MAT: Notação Matemática, Símbolos Matemáticos. As principais notações utilizadas em Matemática: Dicionário, manual, tabela, conceitos, notação, números, formulário, fórmulas, operadores matemáticos, simbologia, símbolos, sinais, letras, abreviações, definições, teoremas, regras e etc. ESTE ARTIGO DEVE SER USADO COMO UM GUIA, NÃO UTILIZE COMO FONTE ÚNICA DE ESTUDOS.
Palavras e conceitos importantes:
Notação matemática: (1) é o conjunto de símbolos do qual o matemático utiliza para expressar, resumir, esclarecer e aplicar na resolução de um problema. (2) é uma linguagem cuja grafia e semântica se utiliza dos símbolos matemáticos e da lógica matemática, respectivamente. É com base nessa notação que são construídas as sentenças matemáticas (Wiki).
Notação científica / Notação exponencial: veja a definição completa na seção MEF (medidas físicas). É uma forma de escrever números astronômicos ou microscópicos, utilizando um número simples multiplicado por uma potência de base decimal. Ex: 990.000.000.000 = 9,9B1011 Ciência (do Latim scientia, significando "conhecimento”): Conjunto sistematicamente organizado de proposições evidentes ou aceitas, necessárias e universais, capaz de dar sobre seu objeto o conhecimento pelas causas. Matemática: ciência que tem por objetivo determinar as medidas, propriedades e relações de quantidades e grandezas. É a ciência do raciocínio lógico e abstrato. (Wiki), do grego µάθηµα (máthēma) que significa: ciência, conhecimento, aprendizagem; e µαθηµατικός, (mathēmatikós): apreciador do conhecimento. Número (Wiki): É um objeto da Matemática usado para descrever quantidade, ordem ou medida; É a relação entre a quantidade e a unidade (Newton). Calculus do latim: “pedra, pedrinha” (Onde começou a ser aplicado o processo de contagem, e as operações). Pela história as primeiras contagens do homem foram feitas com pedrinhas (tais que pudessem ser carregadas, a fim de expressar a quantidade que se tinha de alguma coisa). Cálculo: Efeito de calcular, resolver problemas matemáticos ou do mundo real, utilizando métodos matemáticos. O interessante neste ponto é o método de cálculo, pois é o procedimento matemático que nos ajuda a resolver problemas do cotidiano. Álgebra: Parte da matemática que ensina a calcular, generalizando e simplificando as questões aritméticas, por meio de letras de um ou mais alfabetos. A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-jabr significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas. E foi o título de um trabalho do matemático Al-Khowarizmi (considerado o fundador da álgebra como nós conhecemos hoje). Razão: A relação existente entre grandezas da mesma espécie. A palavra razão vem do latim “ratio” e significa divisão ou o quociente entre dois números A e B. Axioma: Definição admitida como verdadeira (verdade absoluta), que não necessita de provas. ...
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Na coluna “Notação”, “ou” será utilizado para variação do alvo.
Notação: Significado: Definição / Descrição:
α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, ξ, ο ,π, ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω
Alfabeto Grego
Utilizado na matemática, física e entre muitas outras áreas do conhecimento, o Alfabeto Grego. Na coluna à esquerda as letras minúsculas ao lado das maiúsculas á direita com seus respectivos nomes.
α Α Alfa ι Ι Iota ρ Ρ Rô β Β Beta κ Κ Kapa σ Σ Sigma γ Γ Gama λ Λ Lambda τ Τ Tau δ ∆ Delta µ Μ Mi υ Υ Ipsilon ε Ε Epsilon ν Ν Ni φ Φ Fi ζ Ζ Zeta ξ Ξ Csi χ Χ Qui η Η Eta ο Ο Ômicron ψ Ψ Psi θ Θ Theta π Π Pi ω Ω Omega
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
O sistema decimal. Algarismos
Indo-Arábicos
Algarismos ou dígitos são símbolos usados na representação de números inteiros ou reais em sistemas numerais posicionais. Utiliza-se estes dez símbolos, que chamamos de algarismos (por homenagem ao matemático Al-Khowarizmi) para representar quantidades, objetos... 0 para nenhuma unidade, 1 para uma unidade, 2 para duas unidades... É usado internacionalmente na ciência e na maioria dos países.
N Naturais
Conjuntos numéricos: N é o conjunto dos números naturais. São os números que vão de 0, 1, 2, 3 ... à +∞ (lê-se mais infinito). Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natural chamado sucessor, ou seja: N = 0,1,2,3,4, .... O antecessor de 1 é 0, e a definição é o número que antecede, isto é que vem antes (sinônimo: predecessor). O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais sem o zero, ou seja: N* = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...
Z Inteiros
O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números naturais acrescido dos seus opostos (os naturais negativos). É representado pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar "número". Z = ... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero: Z* = ... , -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ... O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros não negativos: Z+ = 0,1,2,3,4,... O símbolo Z@ é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-positivos: Z@= ..., -3, -2, -1, 0
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O símbolo Z+C
é usado para indicar o conjunto de números inteiros positivos:
Z+C
= 1,2,3,4,5, ...
O símbolo Z@C
é usado para indicar o conjunto de números negativos:
Z@C
= -1, -2, -3, -4, -5... Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z: N Z.
Q Racionais
Fração:ndffff= numerador
denominadorfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Fração: Número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. Numerador: o numero superior do traço que separa os termos da fração, indica quantas partes da unidade foram tomadas, enquanto o denominador indica em quantas partes foi dividida a mesma unidade. Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra inglesa Quotient , que significa Quociente, já que um número racional é um quociente de dois números inteiros. Quociente: Número que indica quantas vezes o divisor se contém no dividendo; resultado de uma divisão. Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica. Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.
Q = a
bffff| a 2 Z e b 2 Z
CT U
Lembre-se que não existe divisão por zero. Por quê? Zero é o que nos indica a ausência, o vazio, o nada. Logo se estamos dividindo por zero não estamos dividindo, e por isso a divisão não pode ser efetuada. Assim consideramos a inexistência da divisão por zero. O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem o zero:
QC = x 2 Q | x ≠ 0R S
O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não-negativos:
Q+ = x 2 Q | x ≥ 0R S
O símbolo Q- é usado para indicar o conjunto de números racionais não-positivos:
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Q@
= x 2 Q | x ≤ 0R S
O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos sem o zero:
Q+C = x 2 Q | x > 0R S
O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos sem o zero:
Q@
C = x 2 Q | x < 0R S
I ou ℑ Irracionais
Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional. O número irracional mais famoso é o PI ( π ).
ℜ ou R Reais
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R. Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero.
RC =R@ 0
P Q
O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não-negativos:
R+ = x2R | x ≥ 0R S
O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais não-positivos:
R@ = x2R | x ≤ 0R S
O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais positivos:
R+C = x2R | x > 0R S
O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais negativos:
R@C = x2R | x < 0R S
C ou C Complexos
Um número complexo é representado na forma: a + bi , sendo a a parte real e b a parte imaginária. A unidade imaginária é representada pela letra i , e significa a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = @1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww .
2, 3, 5, 7 ... Primos
Em N (naturais) Número Primo: (1) Aquele que só é divisível por si e pela unidade. (2) Número divisível por um e por ele mesmo. Observação: o número 1 não é primo nem composto, é o único número divisível apenas por um número, ele mesmo. O número 2 é o único primo
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par. As unidades comuns (isto é todo primo termina em) são: 1, 3, 7, 9. Até hoje não se sabe se existe uma regra, função ou lei de seqüência, que permita calcular qual o próximo número primo. Tabela dos 100 primeiros Números Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541 ... O último número primo calculado (por computador): 243.112.609 − 1 , este é o primo “Mersenne” de número 46 e tem 12.978.189 dígitos.
Compostos
Em N (naturais). Número composto: Aquele que é divisível por mais de dois números distintos.
Ø ou Vazio
Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio. C = ou C = Ø Ex: A=1,2,3 B=4,5,6
A B= ou A B= Ø Obs: representação errada de um conjunto vazio:
E = ∅P Q
Isto é, dessa forma o conjunto contém um elemento.
∪∪∪∪ União
A U B Lê-se: "A união com B" Ex: A=5,7,10 , B=3,6,7,8 A B = 3,5,6,7,8,10
∩∩∩∩ Interseção
Lê-se como "A interseção B" Ex: A=1,3,5,7,8,10 B=2,3,6,7,8
A B=3,7,8
∈ Pertence
Indica relação de pertinência. Ex: 5 N . Significa que cinco pertence aos Naturais.
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∉ Não pertence
Ex: -1 N. Significa que o número -1 não pertence aos números Naturais.
⊂ Esta contido
Ex: N Z Significa que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
⊄ Não esta contido
Ex: R N Significa que o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais.
⊃ Contém
Ex: Z N, Significa que o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
| Tal que
Barra reta (vertical)
Ex: R+ = x 2 R | x ≥ 0R S
Leitura: Reais positivos são todos os “x pertencentes a R tais que x é maior ou igual a zero”.
\ Menos, sem
Barra para esquerda. Teoria dos conjuntos (Complemento teórico) A \ B, significa que é o conjunto que contém todos os elementos de A menos os elementos de B. Ex: A=1,2,3,4,5 e B=1,3,5 Então A \ B = 2,4 OBS: A barra pra direita ( / ) indica divisão.
→ Se, ... Então
se...então p: José vai ao mercado q: José vai fazer compras p q Se José vai ao mercado então ele vai fazer compras.
⇒ Implica
A: São Paulo é capital de um estado brasileiro B: São Paulo é uma cidade brasileira A B Ex: sendo verdadeira a afirmação que está antes dele, então também será verdadeira a afirmação à sua direita. Por exemplo, “São Paulo é capital de
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um estado brasileiro” implica que “São Paulo é uma cidade brasileira”. *Deve-se tomar cuidado na utilização deste sinal, para não aplica-lo desnecessariamente. Exemplos:
x2 + 2 = 4 [ x2 = 2 [ x =F 2pwwwwwwwwwwwwwwwww
(certo, usar em linha)
x2 + 2 = 4 [ F 2pwwwwwwwwwwwwwwwww
? (errado, quatro implica em...)
x2 + 2 = 4[ x = F 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww ? (errado, não pular a linha)
⇔ Se, e somente se
Se, e somente se. Ex: p: Maria vai para a praia q: Maria vai tirar notas boas p q Maria vai para a praia se, e somente se ela tirar notas boas.
9 e 9+
Existe e
Não existe
Indica existência.
9 x 2 Z | x > 3 Lê-se: Existe x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 3. (O “existe” pode aparecer ainda, como um “E” ao contrario e cortado, que representa inexistência.
Ex: 9+ x → B. (não existe x em B) Sendo B=0,1,2,3, e x = 9, não existe x no conjunto B.
... Período , a “reticência”
A aplicação, depende do caso: 1 - Pode representar o período de um numero racional ou irracional. (Período: parte que se repete). Ex: 1,222... (Neste caso indica que o período, é 2) 2 – Pode representar a continuidade de uma seqüência numérica, ou uma soma. 3 – Pode ocorrer mais aplicações. Ex: Seja o conjunto Z = ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... E isto indica que os números seguem indefinidamente para o infinito. Verifique a definição de infinito. Veja a definição do dicionário português:
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reticência : s. f. Omissão daquilo que se devia ou podia dizer; silêncio voluntário. S. f. pl. Pontos (...) que, na escrita, indicam aquela omissão.
∴∴∴∴ Portanto
Utilizado em expressões, equações, e etc. Especialmente quando for apresentar o resultado final de um cálculo. Exemplo em logaritmos: log
24 = x^ 2x = 4
2x = 42x = 22
# x = 2
∀∀∀∀ Para todo
É um A de cabeça para baixo. Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja". Ex: x > 0, x é positivo. Leitura: para todo x maior que zero, x é positivo.
( ) Parênteses - I
Por ordem de resolução é o primeiro a se resolver. O parênteses na matemática pode ter várias aplicações, vamos citar algumas: 1 – f(x) = 3x+2 Aqui está representando a função de 1ºgrau, ou função afim, o parênteses neste caso, guarda o espaço para valores que serão substituídos no lugar de “x”. Ex: supondo que x = 3/2 + 4 f(3/2+4) = 3(3/2 + 4) + 2 Para resolver você pode aplicar a propriedade distributiva, ou tirar o mínimo antes de multiplicar, os dois caminhos levam a mesma resposta. Substituindo f(x) por y. y = 3(11/2) + 2 = 33/2 + 2 = (33+4)/2 = 37/2 Pode também representar um intervalo aberto (igualmente o colchetes para fora). Veja: x tal que x, está entre 3 e 4, inclusive 3 e exclusive 4. Ou x2R | 3 ≤ x<4 . Ou [ 3 , 4 ) = [ 3 , 4 [ O parênteses aqui tem o mesmo papel que o colchetes para fora Ou seja representa um intervalo aberto, no qual os valores tendem a esse valor, mas não o atinge. Como se fosse o seu limite.
[ ] Colchetes - II Por ordem de resolução é o segundo a se resolver.
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Em funções/intervalos, representa inclusão; exemplo: [0;1] Entre 0 e 1. (inclusive o 0 e 1) 0 ≤ x ≤ 1 (Lê-se: x maior ou igual a zero e menor ou igual a 1) ]2;4] Entre 2 e 4. (exclusive 2 e inclusive 4) 2 < x ≤ 4 (Lê-se: x maior que dois e menor ou igual a 4) ]-6;2[ Entre -6 e 2. (exclusive -6 e exclusive 2) -6 < x < 2 (Lê-se: x maior que menos seis e menor que 2)
Chaves - III
Por ordem de resolução é o terceiro a se resolver. o conjunto de... Ex: a,b,c representa o conjunto composto por a, b e c.
+ Adição
Lê-se: "mais" Ex: 2+3 = 5 (Lê-se: dois mais três é igual a cinco). Significa que se somarmos 2 e 3 o resultado é 5.
± Mais ou Menos
Indicação de um valor “x” com duplo sinal. x =F 5 [ x1 = + 5 e x2 =@5 Isto é pode ser um ou pode ser outro, e ainda pode ser os dois, a conclusão é feita com a prova ou teste dos valores. Isto é melhor entendido no assunto equações de segundo grau e raízes de eq. de 2º grau. Quando delta é maior que zero, a equação de segundo grau apresenta duas raízes devido a presença do sinal “mais ou menos” contida na “fórmula para as raízes da equação de segundo grau” (fórmula atribuída à Báskara).
- Subtração
Lê-se como "menos" Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado é 2. O sinal - também denota um número negativo. Por exemplo: (-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado é -4.
* ou B ou . Multiplicação
Lê-se: "multiplicado" ou “vezes” Ex: 8*2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado é 16. 2*3 = 3*2 (Lê-se duas vezes três é igual a três vezes dois) Propriedade Comutativa: “A ordem dos fatores não altera o produto” 2 e 3 são fatores, 6 é o resultado da multiplicação, também chamado de produto. *Fator: Cada uma das quantidades que são objetos de uma multiplicação
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/ ou ÷ ou : Divisão
Lê-se: "dividido" Ex: Vamos representar a divisão: 6 por 2:
6 / 2 = 62fff= 6D2 = 6 :2
Todas essas notações significam que se dividirmos 6 por 2, o resultado é 3.
62fff= 3 . Neste caso temos uma fração (que é uma divisão).
Lê-se: Seis sobre dois é igual à três.
ndffff Fração
Fração:ndffff= numerador
denominadorfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
; Leitura de frações:
1/1 = 1 = Um inteiro ½ = Um meio 1/3 = Um terço ¼ = Um quarto 1/5 = Um quinto 1/6 = Um sexto 1/7 = Um sétimo 1/8 = Um oitavo 1/9 = Um nono
1/11 = Um onze avos 1/12 = Um doze avos 1/13 = Um treze avos 1/14 = Um quatorze avos 1/15 = Um quinze avos 1/16 = Um dezesseis avos 1/17 = Um dezessete avos 1/18 = Um dezoito avos 1/19 = Um dezenove avos
1/10 = um dez avos 1/20 = um vinte avos 1/30 = um trinta avos 1/40 = um quarenta avos 1/50 = um cinqüenta avos 1/60 = um sessenta avos 1/70 = um setenta avos 1/80 = um oitenta avos 1/90 = um noventa avos 1/100 = um cem avos 1/1000 = um mil avos 1/10000 = um dez mil avos 1/100000 = um cem mil avos 1/1000000 = um milhão avos
= um décimo = um vigésimo = um trigésimo = um quadragésimo = um qüinquagésimo = um sexagésimo = um septuagésimo = um octogésimo = um nonagésimo = um centésimo = um milésimo = um décimo milésimo = um centésimo milésimo = um milionésimo
2/3 = dois terços 3/2 = três meios 4/5 = quatro quintos 5/4 = cinco quartos 6/7 = seis sétimos 7/8 = sete oitavos 8/9 = oito nonos 9/8 = nove oitavos
10/11 = dez onze avos, 10 sobre 11 13/20 = treze vinte avos, 13 sobre 20 60/7 = sessenta sétimos, 60 sobre 7 73/21 = setenta e três vinte e um avos π/e = pi sobre e n/m = n sobre m ...
A Fração é uma representação da divisão, isto é uma simplificação devido as divisões não exatas: Ex: Como expressar a divisão 2 por 3:
0,666666666... = 2/3 = 23fff= 2D3 = 2A
13fff
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Tipos de frações: Fração própria: n < d (numerador menor que o denominador, isto é a parte tomada dentro do inteiro). Fração imprópria : n > d (numerador maior que o denominador, isto é a parte tomada é maior que o inteiro). Fração aparente: n é múltiplo de d . Ex: 0/3 = 0 , 4/2 = 2 Fração equivalente: são frações que representam a mesma parte do inteiro. Ex: ½ = 2/4 = 3/6 = 4/8 Fração composta: quando n é uma fração e d é outra fração, tais que se apresentem na forma:
ndffff|n = e
ffffffe d= g
hffff, n
dffff=
effffff
gfffffff
hffffff= e
ffffffAhgffff
Portanto as frações do tipo ( e/f ) / ( g/h ) , são denominadas frações compostas. Simplifica-se aplicando a regra de multiplicação: “a primeira pela inversa da segunda”. Isto é: ( e/f ) / ( g/h ) = ( e.h )/( f.g )
indffff
Número Misto
Um número misto, é aquele que é constituído por uma parte inteira (i) mais a fração n/d. O número misto não é o produto i . n/d . Transformações: Ex, número misto para uma fração:
414ffff= 4 + 1
4ffff= 16
4fffffff+ 1
4ffff= 17
4fffffff
Lê-se: quatro e um quarto; quatro mais um quarto; ou quatro inteiros e um quarto; Quatro inteiros mais um quarto; Ex: fração para um número misto:
1913fffffff= 13
13fffffff+ 6
13fffffff= 1 + 6
13fffffff= 1
613fffffff
% Percentagem
ou Porcentagem
... 1%, 2%, 3% ... 100% ... Lê-se: Um por cento, dois por cento ... Do latim, Per Centum = a cada centena É definido como uma medida de razão de base cem (100). Isto é a proporção que o número a está para b (base), sendo a o numerador e b o denominador.
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abffff
Indicador de fração por cento (100). Porcentagem = Por cento, ou seja um número por 100 (Sobre 100, dividido por cem). 10% = 10/100 = 0,1 20% = 20/100 = 0,2
= Igual, Igualdade
Lê-se como "igual a" Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor. Por exemplo: 3+5 = 7+1
≠ Diferente
Ex: 13 ≠ 31 (13 é diferente de 31). Ex: x=5, y=2 Logo x ≠ y
=N Numericamente
igual
Este símbolo é empregado em casos particulares. Exemplo em física: Considere o gráfico abaixo de um movimento uniforme:
Neste caso dizemos que a área A do gráfico representa o deslocamento escalar ∆s do móvel, então:
∆s=N A =v + v0
2fffffffffffffffffff
A∆t
# Cerquilha
ou
Cardinal
Para o matemático: Cerquilha é o sinal que definimos como o símbolo de número. Isto é ele indica o número de algo. #1, #2 ... pode ser lido como: número um, número dois. Pode ser empregado na construção de tabelas, enumeração de exemplos, exercícios, ordem etc. Nome oficial: Octothorpe (Bell Labs) Este símbolo é muito comum e pouco valorizado, com isso adquiriu vários nomes e agora esta como um símbolo de multi-significado (ou seja, o significado depende do caso de aplicação). Alguns exemplos de nomes comuns. Ex: jogo-da-velha, chiqueirinho, tralha, cerquinha, e etc.
≈ ou Aproximadamente
ou
Aproximadamente igual
Tanto faz a utilização de um ou de outro, mas não confunda com Congruente. Usamos para arredondamento de um valor muito grande, periódico ou irracional. Alguns exemplos de aplicação:
π ≈ 3,14 ; e ≈ 2,72 ; 2pwwwwwwwwwwwwwwwww
≈ 1,41
3pwwwwwwwwwwwwwwwww
≈ 1,73 ;13fff≈ 1,3
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Não confundir com: t Congruente Para informações sobre como arredondar um valor corretamente veja o artigo: MEF: (1) Um curso de Medidas, Algarismos significativos, Notação científica e Unidades SI
~ Eqüipolente ;
Negação, (Lógica) ; Semelhança
(Trigonometria)
Depende o caso ou assunto. 1 - Em Álgebra Linear e Geometria Analítica: Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. A eqüipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD .
2 – Em lógica, podem ser os símbolos: ~ e :
Ex: p: Os alunos irão passear. ~p ou : p : Os alunos não irão passear. 3 – Veja o uso do til para a semelhança de triângulos (mais abaixo). 4 – Podem existir outras aplicações.
∧ e (Lógica)
Ex: p: Cláudia tem um cachorro q: Cláudia tem um gato p q Cláudia tem um cachorro e um gato.
∨ ou (Lógica)
Ex: p: José gosta de jogar futebol q: José gosta de jogar tênis p q José gosta de jogar futebol ou tênis.
≡ e a6 Equivalente ou Idêntico
Exemplos: 2/4 ≡ 1/2 Lê-se: “é equivalente à” ou “é idêntico à”.
x= 16 , y = 4 logo x ≡ y O sinal cortado significa “não equivalente” ou “não equivale”.
t Congruente à
Ângulos Congruentes: Dois segmentos de reta são chamados congruentes quando tiverem a mesma medida, na mesma unidade.
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Exemplo Os segmentos de reta e , da figura, têm medida 4 cm, portanto são
congruentes.
Indica-se:
< > Comparação
Desigualdade Estrita. É menor que, é maior que x < y significa que x é menor que y x > y significa que x é maior que y
≤ ≥ Comparação
Desigualdade não estrita. é menor ou igual a, é maior ou igual a x ≤ y significa: x é menor ou igual a y; x ≥ y significa: x é maior ou igual a y
x n = x A x A x…= y Potenciação
Definição dos termos da potenciação Lê-se: x elevado à enésima potência é igual ao produto de x, “n” vezes, que é igual a y.
x n = x A x A x … = y x = base n = expoente ou potência (determina o número de fatores) x.x.x... = produto de fatores (é determinado pelo expoente) y = produto (em alguns livros é definido como potência) Exemplos: …
@ 3` a@ 2 = 1
@ 3` a2
fffffffffffffffffff= 19fff
@ 2` a@ 1 = 1
@ 2` a1ffffffffffffffffff=@ 1
2fff
10 = 1
21 = 2
32 = 3A3 = 9…
Existem várias propriedades, consulte Propriedades da Potenciação.
x2 = n x ao quadrado é
igual a n
É comum alunos terem dúvidas nesse caso, por isso destacamos com um exemplo:
x² = 9 ? Aqui vem a seguinte pergunta, que número elevado ao quadrado é igual a nove? E você responde 3! (certo), mas esquece que pode ser (-3) também.
GUIDG.COM – PG. 15
Portanto não cometa mais esse erro, existem dois números que elevados ao quadrado são iguais a nove. Isto é:
x2 = 9x2@9 = 0
então:x2@32 = 0diferença de quadrados:veja a forma fatorada:x + 3` a
x@3` a
= 0portanto x+ 3 = 0ou x@3 = 0x =@3oux = 3
Podendo ser escrita da seguinte forma:
3,3
39:
9:
:2
2
−=±=±=
=
±=
=
S
xentão
xexemplo
nxentão
nx
!!!! Fatorial , n fatorial (n!)
O Símbolo / Sinal de exclamação na matemática é definido como fatorial. Fatorial que vêm da palavra fator. A definição de n fatorial é a seguinte: n! = n.(n-1).(n-2)(n-3)...3.2.1 Definimos também: 0! = 1 1! = 1 Exemplos: Para n = 6, teríamos: n! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 4!=4.3.2.1 = 24
20!18!fffffffff= 20.19A18!
18!ffffffffffffffffffffffffffffffff= 20.19= 380
(n+2)! = (n+2).(n+1).(n).(n-1)(n-2)!
n + 1` a
!n@1` a
!fffffffffffffffffffffffff= n + 1
` aA n` aA n@1` a
!n@1` a
!fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= n + 1
` an = n2 + n
√ Radical
O símbolo radical deriva da letra r devido ao nome em latim radix quadratum (raiz quadrada), interpreta-se geometricamente como o lado do quadrado.
n x Lê-se: Raiz enésima de x. OBS: quando não houver número no índice esta será sempre quadrada, não existe em R raízes de índice par de números negativos. Existem em R raízes de índices impares de números negativos.
Ex: 416 += (Raiz quadrada de 16)
GUIDG.COM – PG. 16
273pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 3
@273pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=@3 (Raiz cúbica)
2164 += (Raiz quarta de 16) ...
r eipwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= z ( √ ) Radical (sinal) ( i ) Índice (fora) ( r ) Radicando (dentro) ( e ) Expoente de r ( z ) Raiz (resultado) Importante: A raiz quadrada de um número é sempre positiva.
|| 2 xx =
A segunda notação para raízes é a o expoente fracionário. Então
z= reifffff
Exemplo: A raiz quadrado de x ao cubo:
x3qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= x32fffff
A raiz quinta de x ao quadrado:
x25qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= x25fffff
Decoreba: para escrever corretamente, “quem esta por dentro esta por cima, e quem esta por fora esta por baixo”. (dentro da raiz, fora da raiz, por cima na fração (numerador), por baixo na fração (denominador).
log Logaritmo
Ex: log28 = 3 O logaritmo de 8 na base 2 é 3, pois elevando 2 ao expoente 3 obtemos 8. Nunca esqueça, se não tiver base no logarítmo, definimos como sendo na base 10.
ln (l) Logaritmo (n) neperiano
Logarítmo natural logen = y Logarítimo neperiano é o logarítmo cuja base é o numero "e". e = 2,718281828.... Ex: log e 8 = 2,079441542... porque e 2,079441542... = 8
GUIDG.COM – PG. 17
e Número de Euler
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287... Lê-se “número de Óilar” ou também: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial. Publicado em 1618 por John Napier.
γγγγ Constante de Euler-
Mascheroni
*letra grega “Gama” minúscula
À teoria dos números.
γγγγ = 0,577215664901532860606512090082402431... A sexta constante matemática importante, foi calculado com centenas de
casas decimais. Não se sabe se γ γ γ γ é um número irracional.
i Unidade imaginaria
i = @ 1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
i é utilizado para representar a raiz de menos um Consulte Números Complexos.
π Pi (Minúsculo) *letra grega
π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288...
O número π é definido como a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Mas este número tem outras personalidades. É também um número irracional e um número transcendente. Em trigonometria π = 180º Também é conhecido como constante de Arquimedes ou número de Ludoph.
2pwwwwwwwwwwwwwwwww Constante de
Pitágoras
*Raiz quadrada de dois.
2pwwwwwwwwwwwwwwwww
= 1.41421 35623 73095 04880 16887…
φ Número de Ouro
Letra grega Fi minúscula
À razão Áurea, Proporção Áurea.
φ =1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811...
GUIDG.COM – PG. 18
y = ax + b
ou
y = mx + n
Função do primeiro grau.
Ou
Equação da reta
Ou.
* Para melhor entender verifique a definição de função. Ex: y = 0,5x + 1 m é o coeficiente angular, e intercepta o eixo das abscissas (Ox). n é o coeficiente linear e intercepta o eixo das ordenadas (Oy).
Se n e m forem diferentes de zero chama-se função afim, Se n for igual a zero chama-se função linear. Se m for maior que zero a função é crescente. Se m for menor que zero a função é decrescente. Se f(x) = y = x, chama-se função identidade.
ax + by + c = 0 Equação geral da reta
GEOMETRIA ANALITICA
y = @ abfffffffffffx @ c
bffff
Equação reduzida
da reta
GEOMETRIA ANALITICA
ax2 + bx + c=0 e
x =@bF b2
@4acqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2afffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A equação de segundo grau
e a fórmula para
As Raízes da Equação de
Segundo Grau
Ocorre de escrevermos Báskara, mas o certo é Bhaskara. É apenas aqui no Brasil, que comum tornou-se atribuir créditos ao Matemático Bhaskara, e o método para extrair as raízes, como fórmula de Bhaskara. (Consulte a história). Essa fórmula se obtém quando fatora-se a equação de segundo grau, completa-se os quadrados e isola-se a variável (x). Viète também propôs outro método para extração das raízes (devem existir mais), mas essa é a forma mais fácil mesmo, e como na matemática trabalha-se repetidamente com equações de segundo grau, será fácil a memorização. Essa é a equação de segundo grau igualada à zero:
ax2 + bx + c=0 a, b, c são os coeficientes (também chamados de “parâmetros” ), e x a variável. E foi a partir dela que surgiu a fórmula, o problema consistia em achar os valores de x para os quais tornam a equação verdadeira, ou seja que valores de x tornam a equação nula. Publicamos um artigo demonstrando essa fórmula, verifique o índice de Matemática Básica.
GUIDG.COM – PG. 19
Pesquisa de Raízes Racionais
Raízes da equação polinomial quando o grau é maior que 2.
Este método é chamado Pesquisa de raízes, por que raramente na primeira tentativa se acha uma solução para o problema. No entanto ele sugere um caminho, resumimos a definição abaixo. (A) Raízes Racionais: Seja a função polinomial P(x) = 0 de grau n.
a0 xn + a1 xn + 1 +…+ an@ 2 x2 + an@ 1 x + an = 0
an ≠ 0 e a0 ≠ 0b c
As possíveis raízes são o(s) número(s) x = p/q (p e q números primos), onde p é divisor Inteiro de an (termo independente) e q é divisor Inteiro de a0
(coeficiente do termo de maior grau).
(B) Raízes Inteiras: Um caso particular é se an divisível por a0
, for
um número inteiro. Então obtemos sem tantas tentativas as raízes, que são os divisores inteiros de an . (Mas o teorema que abrange mais amplamente é o primeiro mesmo). Exemplo para (A):
Determinar em C as raízes da função polinomial: f (x) = 2x3 + x2 + x – 1 Solução. I ) 2x3 + x2 + x – 1 = 0 II) As raízes possíveis são x = p/q, onde p é divisor inteiro de -1 e q é divisor inteiro de 2 . III) D(-1) = ±1 = p D(2) = ±1, ±2 = q IV) Raízes possíveis: x = p/q ±1 , ±1/2 V) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio e testar as possíveis raízes.
VI) Verifica-se que 1/2 é raiz do polinômio, e a função polinomial é dividida sem resto, assim re-escrevemos P(x): P(x) = (2x²+2x+2)(x-1/2) VII) Com o Método para extração das raízes da eq. De segundo grau temos o conjunto solução, com duas raízes imaginárias:
Exemplo para (B): Determinar as raízes:
GUIDG.COM – PG. 20
f (x) =2x³-11x²+17x-6=0 De acordo com o teorema B, as raízes possíveis, já que -6 é divisível por 2, são apenas os divisores inteiros de -6. D(-6) = ±1, ±2, ±3, ±6 Pesquisando as raízes pelo dispositivo de Briot-Ruffini:
Vemos que 2 é raiz, simplificando a função: f (x) = (x – 2) (2x2 – 7x + 3) S = 1/2, 2, 3 Logo notamos também que existe outra raiz inteira, 3. E aqui se esclarece que se utilizarmos o teorema A, a raiz já seria sugerida, no entanto o conjunto das raízes possíveis aumentaria de oito raízes possíveis para doze. Utilizando o método A, o conjunto das raízes possíveis é: x = p/q= -½, ½ , ±1, ±3/2, -2, 2, 3, -3, ±6 Portanto esteja consciente de utilizar o método adequado.~ Teorema Auxiliar: O Teorema de Bolzano sugere duas implicações e resumimos abaixo omitindo a demonstração: Considere a função polinomial de coeficientes Reais: f x` a
a0 xn + a1 xn + 1 +…+ an@ 2 x2 + an@1 x + an
E dois números tais que a < b , f (a) . f (b) ≠ 0 1 – Se f (a) . f (b) < 0 , Então em f (x) existe um número impar de raízes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for três, então uma ou três raízes). 2- Se f (a) . f (b) > 0 , Então em f (x) não existe, ou existe um número par de raízes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for seis, então não existem raízes, ou há duas, ou quatro ou seis raízes). Este teorema resolve questões de análise, por exemplo: Analise a função polinomial e verifique quantas raízes há no intervalo (0, 1). f(x) = x5 – 2x2 + 3x +1 . Solução: Pelo teorema P(0).P(1) > 0 , então não há raízes, ou há duas, ou quatro raízes no intervalo dado. (isto porque o polinômio é de quinto grau).
Produtos Notáveis
1) Quadrado da soma ou diferença de dois termos:
a + b` a2 = a2 + 2ab + b2
a@ b` a2 = a2@ 2ab + b2
GUIDG.COM – PG. 21
2) Diferença de Quadrados:
a2@ b2 = a + b` a
A a@ b` a
3) Cubo da soma ou diferença de dois termos:
a + b` a3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
a@ b` a3 = a3@ 3a2 b + 3ab2
@ b3
4) Soma ou diferença de Cubos:
a3 + b3 = a + b` a
A a2@ ab + b2b c
a3@ b3 = a@ b` a
A a2 + ab + b2b c
Binômio de Newton
Não se assuste com a seguinte fórmula, pois ela é muito simples, e foi desenvolvida com a intenção de facilitar o cálculo. A forma x + a
` an8 n> 1 2 Z , é expandida da seguinte
maneira e aplicável a todas as formas demonstradas anteriormente em Produtos notáveis.
x + a` an = xn + n
1!fffffA xn@ 1Aa +
nA n@1` a
2!ffffffffffffffffffffffffffffff
A xn@ 2A a2 + …
…+nA n@1` a
A n@2` a
3!ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A xn@ 3Aa3 + …
… +n n@1` a
n@2` a
…2n@1` a
!ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A x Aan@ 1 + an
Procedimento, para o lado direito da igualdade: 1 – o primeiro termo (x) é sempre elevado ao expoente n. 2 – o segundo termo, é o expoente vezes x elevado a uma unidade a menos que o n inicial. Multiplique isso por a. 3 – o terceiro é o produto de n pelo expoente de x do segundo termo, ou seja: n e (n – 1). Divida isso pelo número de termos escritos, ou seja, dois. Multiplique por x elevado a duas unidades reduzidas do n inicial. Multiplique por a elevado a uma unidade a mais que a do segundo termo. A dica é memorizar os passos, deduzir os produtos notáveis (que possam ser) pelo Binômio de Newton, e por último demonstrar a fórmula até o quarto termo. Depois disso é repetição.
PA Progressão Aritmética
PA, Progressão Aritmética. É uma seqüência numérica, tal que o termo posterior é o termo anterior mais a razão.
PA = a1 , a2 , a3 , … ,an
P Q
A Razão de uma PA r é a razão, numa PA determina-se fazendo a diferença do termo posterior pelo termo anterior, isto é:
GUIDG.COM – PG. 22
r = a2@a1 Termo geral de uma PA: an = a1 + n@1
` ar
Formula de recorrência: Termo qualquer, sendo n ≠ m : an = am + n@m
` ar
Exemplo: Determinar r sendo a4 = 25 e a10 = 43 : an = am + n@m
` ar [ a10 = a4 + 10@4
` ar
43 = 25 + 6r6r = 18 [ r = 3
Conseqüência: A soma dos extremos de uma PA é sempre um número constante. Considere a PA = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 então:
a1 = 2, a2 = 4, … a9 = 18a1 + a9 = a2 + a8 = a3 + a7 = a4 + a6 = a5 + a5
2 + 18 = 4 + 16 = 6 + 14 = 8 + 12 = 10 + 10 = 20
Termo médio, Média aritmética:
Sendo a1 , a2 , a3 uma PA então:
a2 =a1 + a3
2ffffffffffffffffffff
[ an =an@ 1 + an + 1
2ffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Soma dos termos da PA: Sendo a1 e an entãoasomados n termosdaPA:
Sn =a1 + an
b c
n
2ffffffffffffffffffffffffffffffff
PG Progressão Geométrica
PG, Progressão Geométrica. É uma seqüência numérica, tal que o termo posterior é o termo anterior vezes a razão. Ex: PG = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... é uma PQ de razão 2. q é a razão, e obtém-se dividindo o termo posterior pelo anterior.
q = an
an@ 1
ffffffffffffff
Termo geral: an = a1Aq
n@ 1 Termo qualquer: an = amAqn@m Termo médio, Média Geométrica:
GUIDG.COM – PG. 23
Seja a PG: … , an@ 1 , an , an + 1 , …` a
an
` a2 = an@ 1
` aA an + 1
` a
an
` a=F an@ 1
` aA an + 1
` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Isto é: o termo do meio é a raiz quadrada do produto: termo anterior vezes termo posterior (depende o sinal da seqüência também). Soma dos termos da PG:
Sn = a1Aqn@1q@1ffffffffffffffffffff g
ou Sn = a1A1@qn
1@qffffffffffffffffffff g
Apesar da troca de sinal, as duas fórmulas são iguais. Soma dos termos da PG, quando -1 < q < 1 , e n → +∞ . Isto é a soma dos termos de uma Progressão Geométrica Convergente.
Sn =a1
1@qffffffffffffffff
Ex: Qual o valor da soma s= 1 + 12fff+ 1
4ffff+ 1
8fff+ … ?
q =12ffff
1ffff= 1
2fff , S1 = 1
1@ 12ffff
ffffffffffffffff=11fff
2fff= 2
ABffffffffff
Segmento de reta
Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a figura (*) constituída por eles e por todos os pontos que estão entre eles. Exemplo: O segmento de reta determinado por A e B é representado por AB
ffffffffff ,
dizemos que A e B são suas extremidades, e representamos por AB a
medida de .
ABjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
ou ujjjjjjjjk
Vetor
Geometria Analítica, Álgebra Linear. Vetor, verifique a definição formal. Segmento de reta orientado.
ujjjjjjjjk= ABjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= B@A
Ex: se A x1 ,y1 ,z1
` ae B x2 ,y2 ,z2
` a
então ABjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= B@A = x2@ x1 , y2@ y1 ,z2@ z1
` a
GUIDG.COM – PG. 24
< ujjjjjjjjk, vjjjjjjjjk> Produto escalar
Geometria Analítica, Álgebra Linear. Esta notação implica que devemos multiplicar as coordenadas do vetor u pelas de v, e então obter o produto escalar. Também representasse por:
ujjjjjjjjkA vjjjjjjjjk Exemplo: ujjjjjjjjk= 1,2,3b c
e vjjjjjjjjk= 4,5,6b c
então < ujjjjjjjjk, vjjjjjjjjk> = ujjjjjjjjkA vjjjjjjjjk= 1,2,3b c
A 4,5,6b c
= 4 + 10 + 18` a
= 32
d P,πb c
Distância de um ponto a um Plano
d P,πb c
=ax0 + by
0+ cz0 + d
LLL
MMM
a2 + b2 + c2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
a,b,csão ascoordenadasdovetor normal do planox0 ,y0 ,z0 são as cordenadas do ponto qualquer
d =@ax1@ by1@cz1 onde x1 ,y1 ,z1
` asão as coordenadas
de umponto pertencente ao planoA
Ex: A distância entre o ponto P(-4,2,5) ao plano π : 2x + y + 2z + 8 = 0
d P,πb c
=2 @ 4` a
+ 1 2` a
+ 2 5` a
+ 8LLL
MMM
22 + 12 + 22qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
d P,πb c
= 4uc
d P1 ,P2
b c
Distância entre dois
pontos
GEOMETRIA ANALÍTICA Utilizando como base o teorema de Pitágoras, pode-se calcular a facilmente a distancia entre dois pontos no plano cartesiano. seja: P1 x1 , y1 ,z1
` ae P2 x2 ,y2 ,z2
` a
então a distância d P1 ,P2
b c
=|P1P2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk|
d P1 ,P2
b c
= x2@x1
` a2+ y2@y1
` a2+ z2@z1
` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Ou seja a distância é o módulo do vetor P1,P2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
Ex. A distância entre P(7,3,4) e Q(1,0,6)
d P,Qb c
= 1@7` a2+ 0@3
` a2+ 6@4` a2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 49pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=7 u.c.
u.c. : unidades de comprimento
GUIDG.COM – PG. 25
Xi = m
n
f i` a
Notação Sigma
“Somatório" *Σ letra grega
Sigma maiúscula
Xi = m
n
f i` a
= f m` a
+ f m + 1` a
+ f m + 2` a
+ …f n` a
i é o índice da soma (é um símbolo arbitrário, pode assumir o valor de qualquer letra) m é o limite inferior n é o limite superior f (i) é a função
Ex: Xk = 1
5
k2 =12 + 22 + 32 + 42 + 52
Π
Produto, Produtório.
(Aritmética) *letra grega
Pi Maiúsculo
Produto em, até, de...
| x | Módulo / Valor absoluto de x
|-5| = 5 Lê-se: o módulo de menos cinco é igual à cinco. Significa geometricamente a distancia do valor de x até zero. (veja a definição de módulo para mais informações).
|x| = x` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
|9|= 9` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= 9
Definição: O módulo de x é x se x for maior ou igual a zero ou o módulo de x é -(x) se x for menor que zero. Definição em linguagem matemática:
|x| = x, se x≥ 0@ x, se x<0
V
||x|| Norma de / comprimento de
Análise funcional. (verificar definição e teoria) ||x|| é a norma do elemento x de um espaço vetorial Ex: || x + y || ≤ ||x || + || y ||
⊥ Perpendicular ou
Ortogonal
Retas Perpendiculares
Se r e s, são retas perpendiculares indicamos por r ⊥ s . Lê-se: r é perpendicular à s . Ou r é ortogonal à s . Retas perpendiculares / ortogonais são aquelas que possuem um único ponto em comum e formam entre si um ângulo de 90º.
GUIDG.COM – PG. 26
∟ ou Ângulo reto
90º
Representa em geometria e trigonometria, ou em geral. A formação de um ângulo de noventa graus (90º) entre duas retas ou planos, independente se a primeira(o) estiver disposta(o) de forma horizontal, vertical ou diagonal. Um ângulo reto é a metade de um ângulo raso.
// Paralelo
Retas paralelas
Se r e s são duas retas paralelas indicamos por r // s. Lê-se: r é paralela(o) à s . Retas paralelas são aquelas que não possuem ponto em comum, ou seja não se cruzam, não são concorrentes.
Ângulo raso Ângulo raso
Um ângulo raso mede 180º, e é a metade do ângulo de uma volta completa (360º).
Raso: Adj.: De superfície plana; liso.
Ângulo agudo Ângulo agudo
É o ângulo cuja medida esta entre 0º e 90º. Ou o mesmo que 0º < x < 90º Agudo: Adj.: Terminado em gume ou em ponta. (gume: lado afiado de um instrumento cortante)
Ângulo obtuso Ângulo obtuso
É aquele cuja medida situa-se entre 90º e 180º. Ou o mesmo que 90º < x < 180º Obtuso: Adj.:Que não é aguçado ou agudo; que não é bicudo; arredondado, rombo.
Ângulos complementares
Ângulos complementares
São aqueles cujas medidas somam 90º, e diz-se que um é o complemento do outro. Ex: 34º é o complemento de 56º e vice-versa, pois 34º + 56º = 90º Complemento: s. m. 1. Ato ou efeito de completar.
Ângulos suplementares
Ângulos suplementares
São aqueles cujas medidas somam 180º e diz-se que um é o suplemento do outro. Ex: 48º é o suplemento de 132º e vice-versa, pois 48º + 132º = 180º Suplemento: s. m. Aquilo que serve para suprir qualquer falta.
Ângulo de depressão
Ângulo de depressão
É o ângulo que se forma abaixo da linha horizontal. Neste caso o ângulo alfa "α"
GUIDG.COM – PG. 27
Ângulo de elevação Ângulo de elevação
É o ângulo que se forma acima da linha horizontal. Neste caso o ângulo alfa "α"
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um angulo
Bissetriz de um ângulo – é a semi-reta que partindo do vértice, determina dois ângulos congruentes ( ou seja, de mesma medida).
Obs: todo ângulo possui uma única bissetriz
º Grau
Indicação para ângulos e coordenadas em geometria / trigonometria, temperatura em graus Celsius e etc. Tempo: 1 grau é igual a 60 minutos que é igual a 3600 segundos. 1º = 60’ = 3600”
MAT: Por definição, 1 grau é o arco equivalente a (um trezentos e sessenta avos) da circunferência, ou seja, em um arco de volta completa, ou de uma volta, cabem 360° (graus).
‘ Minuto
Indicação abreviada de minuto. Ex: 1’ = 60” (Um minuto igual a sessenta segundos).
“ Segundo
Indicação abreviada de segundo. Ex: 20 segundos = 20”
gr Grado
Definimos como 1 grado o arco equivalente a da circunferência, isto é, em uma circunferência ou arco de uma volta cabem 400 gr (grados). Esse sistema não é tão eficaz quanto ao sistema grau, por isso caiu em desuso.
GUIDG.COM – PG. 28
rad Radiano
(1) Um radiano é o arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência onde tal arco foi determinado. (2) Um radiano é o comprimento de arco cujo medida é igual a do raio da circunferência que ele compõe.
arc Arco AB / AB&
Definimos como arco de circunferência cada uma das partes em que ela é dividida por dois de seus pontos.
: Um Arco é representado dessa forma, e lê-se: Arco AB Se dois pontos coincidem, há portanto dois arcos, um é o arco nulo, e outro é o arco de uma volta. Atenção: Não confundir com segmento de reta.
sin ou sen e cos
Seno e Co-seno
Muitas pessoas tem dificuldade com trigonometria, por não entender o significado das abreviações sen, cos, tg, etc. esses termos representam medidas, que se projeta em algum eixo. Por exemplo o seno de um ponto P(x,y) é dado pela relação abaixo, e significa uma medida.
sen α` a
= catetoopostohipotenusafffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
cos α` a
= catetoadjacentehipotenusa
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Função Trigonométrica:
GUIDG.COM – PG. 29
Definição geométrica de “sen” e “cos”: Tomemos uma circunferência de raio 1 e um ponto A da mesma, considere o sistema de coordenadas da figura acima. Dado um número real x, seja Px o ponto da circunferência correspondente a x, então: cos x = abscissa de Px ; sen x = ordenada de Px ; Portanto Px = (cos x, sen x) Obs: o símbolo da função seno é sen, então deveríamos escrever sen(x), e da mesma forma para cos x, cos(x). A omissão dos parênteses é tradicional, e serve para aliviar a notação. Contudo não vá pensar que sen x, é um produto de sen por x. E isso não tem sentido, pois sen e cos é uma correspondência (função) e não um número:
sen x não é produto de sen por x; cos x não é produto de cos por x.
co-x Co-razão x
O complemento de x
Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações co-seno, co-tangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do complemento. Por exemplo, co-seno de 22° tem valor idêntico ao seno de 68° (complementar de 22°).
Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento desse ângulo.
Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de razão, podemos dizer que
co-razão x = razão (90º - x)
Exemplos:
Iasen
π3fffffd e
= cosπ2fffff@
π3fffffd e
= cos3π @2π
6fffffffffffffffffffffffffff g
= cosπ6fffffd e
IIasen 37º` a
= cos 90º@37º` a
= cos 53º` a
Com base no triângulo apresentado na figura A, conclui-se que:
sen = cos e sen = cos
tg = cotg tg = cotg
GUIDG.COM – PG. 30
sec = cossec sec = cossec
tan ou tg Tangente
tg = (co: cateto Oposto)/(ca: cateto adjacente) = co/ca
tg x = senxcosxffffffffffffff=
cohfffffffff
cahfffffffffffffffff= co
hfffffffA
hcafffffff= co
cafffffff
Interpretação geométrica no ciclo trigonométrico:
cot ou cotg Co-tangente
cotx = cosxsen xffffffffffffffff= 1
tg xffffffffffff
Sabendo as três primeiras “sen, cos e tg”, o resto não fica difícil de memorizar veja: Quando aparecer “Co” pode se para memorização interpretar como: “inverso de”. Tg é sen sobre cos, então cotg é o inverso de tg, e fica cos sobre sen. Geometricamente:
sec Secante
secx = 1cosxfffffffffffffff
“Secante lembra Seno, mas é um sobre cosseno”
Geometricamente
csc ou cossec Co-secante
cscx = 1senxffffffffffffffff
“Co-secante lembra cosseno, mas é um sobre seno”
GUIDG.COM – PG. 31
Interpretação
geométrica das funções
trigonométricas no ciclo trigonométrico
sinh ou senh Seno hiperbólico
Definimos a seguinte função exponencial como Seno hiperbólico, e suas demais conseqüentes abaixo.
f:RQR , sinh x` a
= ex@e@ x
2ffffffffffffffffffffffffff
cosh Co-seno hiperbólico
f:RQ 1, +1B c
, cosh x` a
= ex + e@ x
2fffffffffffffffffffffffff
tanh ou tgh Tangente hiperbólica
f:RQ @1, 1b c
,sinh x` a
cosh x` a
ffffffffffffffffffffffff= tgh x` a
= ex@e@ x
ex + e@ xffffffffffffffffffffffffff
coth ou cotgh Co-tangente hiperbólica
f:RCQ @1 ,@1b c
S 1, +1b cD E
,
1tgh x` a
fffffffffffffffffffff= coth x` a
= ex + e@ x
ex@e@ xffffffffffffffffffffffffff
sech Secante hiperbólica
f:RQ 0, 1b c
,1
cosh x` a
ffffffffffffffffffffffff= sech x` a
= 2ex + e@ xfffffffffffffffffffffffff
csch ou cossech Co-secante hiperbólica
f:RCQR
C,
1sinh x` a
ffffffffffffffffffffff= csch x` a
= 2ex@e@ xffffffffffffffffffffffffff
Relações Hiperbólicas
Aqui está uma analogia às relações trigonométricas, onde alguns casos também são verificados nas funções hiperbólicas. Abaixo estão algumas identidades: 1) cosh2 x@sinh2 x = 1
GUIDG.COM – PG. 32
2) sinh @ x` a
=@ sinh x` a
3) cosh @ x
` a= cosh x
` a
4) coshx + sinhx = ex 5) coshx@ sinhx = e@ x 6) sech2 x = 1@ tgh2 x
7) @csch2 x = 1@coth2 x
csch2 x = coth2 x@1
X\
Z
8) sinh x + y
` a= sinhxA coshy + sinhyA coshx
9) cosh x + y
` a= coshxA coshy + sinhxA sinhy
10) sinh 2x
` a= sinh x + x
` a= 2A sinhxA coshx
11)
cosh 2x` a
= cosh x + x` a
= cosh2 x + sinh2 x
= 2Asinh2 x + 1
= 2Acosh2 x@1
X^^^\
^^^Z
12) sinh2 x = coshx@12
fffffffffffffffffffffffffffff
13) cosh2 x = coshx + 12
fffffffffffffffffffffffffffff
Relações Trigonométricas Relação
fundamental
Partindo da figura A e da relação de Pitágoras: a² = b² + c² (dividindo por a²) 1 = (b/a)² + (c/a)² Tomando em relação ao Ângulo B. Sabemos que sen² x = (c.o./h)² = (b/a)² e cos² x = (ca/h)² = (c/a)²
sen2 x + cos2 x = 1 Outras relações:
sec2 x = 1 + tg2 x mas cosx≠ 0
cossec2 x = 1 + cotg2 x mas senx≠ 0
GUIDG.COM – PG. 33
Relações Trigonométricas
Em senos
Algumas fórmulas que podem ser úteis na vida dos estudantes de cálculo. Quando aparece: cos a cos b , isto implica que estamos multiplicando o co-seno de a pelo co-seno de b, e isto se aplica a todas as fórmulas apenas mudando as funções em sen, cos, tg, etc. 1: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b 2: sen(a – b) = sen a cos b – cos a sen b “Decoreba” para 1 e 2: Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a co-seno b, seno b co-seno a. Sinais iguais 3: sen(2a) = sen (a +a) = sen a cos a + sen a cos a sen(2a) = 2 sen a cos a
4: sena senb=@12fffcos a+ b
` a@cos a@b
` aB C
5: sena cos b= 12fffsen a+ b
` a+ sen a@b
` aB C
Não recomendo a memorização, mas você deve saber que existem essas relações, saber aplicar e ter em mãos quando for necessário.
Relações Trigonométricas
Em co-senos
1: cos(a + b) = cos a cos b – sen a sen b 2: cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen b “Decoreba” para 1 e 2: coça-coça, senta-senta.Sinais contrários. 3a: cos(2a) = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a cos(2a) = cos²a – sen²a 3b: cos(2a) = 1 – 2sen²a 3c: cos (2a) = 2cos² a – 1 OBS: 3b e 3c são obtidas por substituição da relação fundamental. E a partir dessas duas relações pode-se chegar a outras por manipulação algébrica.
4: cos a cos b= 12fffcos a+ b
` a+ cos a@b
` aB C
Relações Trigonométricas
Em tangente
1: tg a + b` a
=sen a + b` a
cos a + b` a
ffffffffffffffffffffffffffffffffff
tg a + b` a
= tga + tgb1@ tgaA tgbffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
^ cos a + b` a
≠ 0
2: tg a@b` a
=sen a@b` a
cos a@b` a
ffffffffffffffffffffffffffffffffff
tg a@b` a
= tga@ tgb1 + tgaA tgbfffffffffffffffffffffffffffffffffffff
^ cos a@b` a
≠ 0
3: tg 2a` a
= 2tga1@ tg2 affffffffffffffffffffffffffff
^ cos 2a` a
≠ 0
GUIDG.COM – PG. 34
Relações Trigonométricas
Em metades.
1: sen2 a2ffffd e
= 1@cosa2
ffffffffffffffffffffffffffff
2: cos2 a2ffffd e
= 1 + cosa2
fffffffffffffffffffffffffff
3: tg2 a2ffffd e
= 1@cosa1 + cosaffffffffffffffffffffffffffff
^ cosa≠@1
Relações Trigonométricas
Soma e diferença de senos
1: senp+ senq= 2senp + q
2fffffffffffffffffd e
A cosp@q
2fffffffffffffffffd e
2: senp@senq= 2senp@q
2fffffffffffffffffd e
A cosp + q
2fffffffffffffffffd e
Relações Trigonométricas
Soma e diferença de co-senos
1: cos p+ cos q= 2cosp + q
2fffffffffffffffffd e
A cosp@q
2fffffffffffffffffd e
2: cos p@cos q=@2senp + q
2fffffffffffffffffd e
A senp@q
2fffffffffffffffffd e
Relações Trigonométricas para qualquer
triângulo
Lei dos senos.
Lei dos senos:
A medida de um lado (x) é igual ao dobro do raio (2R) vezes o seno do ângulo oposto ao
lado (X^ ):
( x = 2RsenX^ ). Ou também:
a
senA^fffffffffffffffff= b
senB^ffffffffffffffff= c
senC^ffffffffffffffff= 2R
Obs: O Triângulo não precisa ser eqüilátero (ter os lados iguais).
Relações Trigonométricas para qualquer
triângulo
Lei dos co-senos.
Lei dos co-senos:
a2 = b2 + c2@2bcA cos A^
b2 = a2 + c2@2acA cos B^
c2 = a2 + b2@2abA cosC^
Mais informações consulte a teoria.
a2 = b2 + c2 Teorema de Pitágoras
Consulte trigonometria. Relação trigonométrica de Pitágoras para o Triangulo Retângulo (T.R. é aquele que possui um ângulo de noventa graus ou ângulo reto). a, b e c são as medidas dos catetos. Cateto: Cada um dos lados do ângulo reto no triângulo retângulo. Adjacente: próximo, vizinho, ao lado. Hipotenusa: em geometria, é o nome do lado do triangulo que esta oposto ao ângulo reto.
GUIDG.COM – PG. 35
A hipotenusa ao quadrado (a²) é igual (=) a soma dos quadrados dos catetos (b² + c²). CO = cateto oposto ao ângulo CA = cateto adjacente ao ângulo Outras relações:
Altura h: a.h = b.c h² = m.n Projeções m e n: b² = a.n c² = a.m
Existem controvérsias quanto a atribuição da fórmula à Pitágoras, pelo fato dele próprio não ter deixado nada por escrito, o que se tem são relatos de outros estudiosos daquela época, que podem ser alterações do trabalho original, de qualquer forma conhecemos esse teorema e assim nos lembramos por “teorema de Pitágoras”.
Polígonos regulares Tabela de polígonos
Polígonos (figuras geométricas com n número de lados iguais). Obs: Polígono regular é todo polígono convexo que tem os lados congruentes e os ângulos coincidentes (ângulos iguais). Número de lados, Polígono: 3 - Tri angulo 4 - Quadrilátero 5 - Pentágono 6 - Hexágono 7 - Heptágono 8 – Octógono 10 - Decágono 11 - Undecágono 12 - Dodecágono 15 - Pentadecágono 20 – Icoságono
d =nA n@ 3` a
2fffffffffffffffffffffffffffff
Número de diagonais.
Polígonos
A diagonal é a reta que liga vértices não consecutivos: O número de diagonais (d) é dado por:
d =nA n@ 3` a
2fffffffffffffffffffffffffffff
(n) é o número de lados do polígono.
Para este polígono temos 5 lados, e substituindo na fórmula temos o número de diagonais que é 5. Mas nem sempre o número de lados é igual
GUIDG.COM – PG. 36
ao número de diagonais. As diagonais desde pentágono são as retas coloridas.
Si = n@ 2` a
A 180º
Soma de ângulos internos.
Polígonos
Essa fórmula determina a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, mas não necessariamente regular.
Si = n@ 2` a
A 180º
i^
Ângulo interno
Em polígonos regulares, como todos os ângulos são coincidentes, podemos calcular cada ângulo interno utilizando a formula da soma de ângulos internos (Si ) dividida pelo número de lados (n) do polígono.
i^ =Si
nffffff[ i^ =
n@ 2` a
A 180ºn
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
ABBCffffffffff= DE
EFffffffffff Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas (a, b, c) determina, sobre duas transversais
quaisquer, que segmentos de uma (ABBCffffffffff
) são proporcionais aos segmentos
correspondentes da outra (DEEFffffffffff
).
a // b // c entãoABBCffffffffff= DE
EFffffffffff
∆∆∆∆ABC ~ ∆∆∆∆DEF Semelhança de
triângulos
O til (~) neste caso pode ser lido como “é semelhante”
Os triângulos são semelhantes se as seguintes condições forem verificadas: 1 – Os ângulos internos correspondentes são iguais. 2 – A razão entre os lados homólogos forem proporcionais. Homólogo: lados, ângulos, diagonais, vértices e outros elementos que se correspondem ordenadamente. Então, em linguagem matemática resumimos:
GUIDG.COM – PG. 37
∆ABC~∆DEF ^
A^ = D^
B^ = E^
C^ = F^
X^^\
^^Z
eadffff= b
effff= c
ffff= k
Decorrência:
No Triângulo ABC, se PQ
ffffffffff // BCffffffffff
, então ∆∆∆∆APQ ~ ∆∆∆∆ABC
∞ Infinito
É um "oito deitado" e representa o infinito. Este símbolo foi criado pelo matemático Inglês John Wallis (1616-1703) para representar a "aritmética Infinitorum". Infinito não é um número, é um conceito, pode ser visto como aquilo que esta acima de todos os números, e que contém todos e além. xQ1 Quando dizemos que x tende ao infinito, queremos dizer que ele cresce sempre, sem ter um limite, independente do sinal, positivo ou negativo, cresce nos dois sentidos simultaneamente. xQ +1 Se for dito que x tende a mais infinito, então ele cresce sempre, somente na parte positiva.
∝ Proporcional à À definir.
f :AQB Função de A em B
f = função : = de A = Conjunto de saída (Domínio) → = em B = Conjunto de chegada (Contra-domínio) Lê-se: “ f de A em B ”. Ou interpretasse como associação, “Se associa ao elemento”. Exemplo de utilização em funções: f : R→ R x→y | y = a.x + b, a≠0 Lê-se: F de R em R, associa a cada x o elemento y igual à “a” vezes “x” mais “b” com “a” diferente de zero.
f x` a
Função de x
Consulte a teoria de Funções: Lê-se: “ f” de “x” Exemplo: f(x) = ax + b (Lê-se: “f” de “x” é igual a “ax” mais “b” ) Essa é uma função de primeiro grau, ou também chamada de função afim quando b for diferente de zero.
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Podendo variar entre f, f, F ... e não se restringindo à x, podendo ser y, z, t, e qualquer outra letra.
lim Limite
Verificar tabela de limites no índice de Calculo Dif. E integral. Ex:
Indica que 3 é o limite da função 2x+1 quando x tende a 1.
f . Derivada
f ’ é a notação para a derivada de uma função, outras notações também são usadas freqüentemente:
Se y é uma função de x y = f x` a
b c
, então a derivada de x é indicada por:
f . x` a
= dydxffffffff= Dx y
A definição:
f . x` a
= lim∆xQ 0
f x + ∆x` a
@ f x` a
∆xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
∂ , lê-se: partial d (d parcial), partial differential (derivada parcial). Quando trata-se de uma função de várias variáveis, o símbolo de derivação muda. Ex: seja u = f(x,y,z) então a derivada é indicada em relação a que variável quer-se derivar a função:
∂u∂xffffffff, ∂u
∂yffffffff, ∂u
∂zffffffff
que indicam a derivada da função f em relação à x, à y , à
z , respectivamente. Existem outros casos de aplicação.
∫ Integral
∫ , S de Soma.
O símbolo da integral é um S estilizado (e não um I como pode se pensar), pelo fato da integral ser uma soma (Cálculo 2). Inicialmente a integral é vista como a inversa da derivada, a Anti-derivada (cálculo 1), e depois ela recebe uma nova cara, que é a soma de infinitésimos para o cálculo de áreas e volumes, verifique as noções intuitivas e a definição formal por um livro. Existem várias regras de integração. Exemplo de uma das regras:
Lê-se: A integral de seno de x dx é "menos" cosseno de x"mais" a constante. Verifique a Tabela de integrais imediatas no site. (para o cálculo 1)
Omitimos a bibliografia. Encontrou erro? Faça sua sugestão, entre em contato pelo menu (?) SOBRE O SITE em www.guidg.hd1.com.br