not2

2011-12 Bahar

ELN3402 Haberleşme 1-1

ELN 3402

Haberleşme

Tuncay ERTAŞ

Ders Notları-2

Ödev

)()()()( fGfGdgt

δττ 01+⇔∫

Tem

el B

ilgile

r

)()()( ffGfj

dg δπ

ττ22

+⇔∫ ∞−

Olduğunu gösteriniz.

İpucu: integralini, g(t) nin birim basamak ∫ ∞

tdg ττ )(

fonksiyonu u(t) ile konvolüsyonu olarak düşününüz.∫ ∞−

2011-12 Bahar


Ödev Çözümü

)(*)()()()( tutgdtugdgtt

=−=∫∫ ∞−∞−τττττ u(τ)

Tem

el B

ilgile

r

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⇔

⇔

)(21

21)(

)()()(*)(

ffj

fG

fUfGtutg

δπ

)(21

21)( f

fjfU δ

π+=

τ0

1

g(τ)

τ0 t

⎦⎣ 22 fj π

)(2

)0()(21)( fGfG

fjdg

tδ

πττ +⇔∫ ∞−

u(t- τ)0

g(τ)1

τt

Ödev

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Π=102

23)( tttx

Tem

el B

ilgile

r

⎠⎝⎠⎝ 102

Sinyalinin Fourier transformunu bulunuz.

2011-12 Bahar


Ödev Çözümü

⎞⎛⎞⎛ 2⎟⎞

⎜⎛ −

Π23 t

)(tx

4

Tem

el B

ilgile

r ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Π=102

23)( tttx⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π

223 t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π10t

t0-5 51 3

( ) ( )feffX fj 10sinc102sinc6)( 4 += − π( ) ( )feffX fj 10sinc102sinc6)( +=

Ödev

)(tg

sinyalinin Fourier transformunu bulunuz.)(tg p

Tem

el B

ilgile

r 1

t

4T

−4T T

)(tg p

T−

2011-12 Bahar


Ödev Çözümüg(t) sinyalinin Fourier transformu ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sinc

2)( TfTfG

1)(tg p )(tg

Tem

el B

ilgile

r

( ) ∑∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔

n ooop T

nfTnG

Ttg δ1

TT =0

1

t

2T

2T

−4T

−4T TT−

( ) ∑∞

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

np T

nfnfG δ2

sinc21

Bölüm I Sinyaller ve Sistemler

Tem

el B

ilgile

r • Spektral Yoğunluk• Öz ve Çapraz İlinti Fonksiyonları• Doğrusal Sistemler• Hilbert Transformu ve Özellikleri• Ön zarf, Kompleks Zarf• Bant Geçiren Sinyal ve Sistemler• Faz ve Gurup Gecikmesi

2011-12 Bahar


Enerji Spektral Yoğunluğu( ) dttgE

2

∫∞

∞−=

22

Tem

el B

ilgile

r ( ) ( ) dffGdttgE22

∫∫∞

∞−

∞

∞−== Rayleigh Enerji Teoremi

( ) ( ) 2fGfg =ψ Enerji Spektral Yoğunluğu (J/Hz)

Örnek ( )WtAtg 2sinc=)(

∫∫∞∞

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ fA 2

222 ∫∫ ∞−∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== df

Wfrect

WAdtWtsincAE

22)2( 222

WAdf

WA W

W 22

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−

Güç Spektral YoğunluğuGüç sinyalinin periyodik olduğunu farz edersek, ( )∫−=

2/

2/

2

0

0

0

1 T

T p dttgT

P

∫∞

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛2/ 211 T ntjn π

Tem

el B

ilgile

r

∑∫∞

⎟⎞

⎜⎛T nGdP

22/ 2 1)(1 0

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∗

∞

−∞=

∞

∞−

∞

−∞=∑∫∑

002

00

*

02

0

12exp1TnG

TnG

Tdt

Tntjtg

TnG

TP

nn

π

P l ü t i

( )∫ ∑−−∞=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2/

2/000

*

0

0

0

2exp11 T

Tn

p dtT

ntjTnG

Ttg

TP π

)(tg p

∑∫−∞=

− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

nT p T

nGT

dttgT

P0

20

2/0

1)(1 0

0

Güç Spektral Yoğunluğu (W/Hz)

Parseval güç teoremi

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

∞

−∞= 0

2

02

0

1Tnf

TnG

TfS

ngp δ

2011-12 Bahar


Öz İlinti FonksiyonuÖz ilinti fonksiyonu, bir sinyalin belli bir miktar geciktirilmiş hali ile kendisi arasındaki benzerlik veya uyumun bir ölçüsüdür.

Tem

el B

ilgile

r Enerji Sinyalleri için: ( ) ( ) ( )∫∞

∞−−= dttgtgRg ττ *

( ) ( ) ( )∫∞

∞−+= dttgtgRg

*ττ

Özellikleri ( ) ( )ττ −= *gg RR

( ) ( )∫∞

∞−= dttgRg

20

( ) ( ) içinlarRR gg 'bütün ,0 ττ ≤

( ) ( )fR gg ψτ ⇔

Öz İlinti Fonksiyonu( ) ( ) ( )∫− −=

2/

2/

*

0

0

0

1 T

T ppgp dttgtgT

R ττ

Tem

el B

ilgile

r Güç Sinyalleri için (periyodik) Özellikleri:

( ) ( )ττ −= *gpgp RR

( ) ( )∫−=2/

2/

2

0

0

0

10T

T pgp dttgT

R

( ) ( )( ) ( ) içinlar bütünRR gpgp ',0 ττ ≤

( ) ( ) ,...2,1,0 =±= nnTRR gpgp ττ

( ) ( )fSR gpgp ⇔τ

2011-12 Bahar


Çapraz İlinti FonksiyonuBir sinyal ile, başka bir sinyalin belli bir miktar geciktirilmiş hali arasındaki benzerlik veya uyumun bir ölçüsüdür.

Tem

el B

ilgile

r Enerji Sinyalleri için: ( ) ( ) ( )dttgtgR ∫∞

∞−−= ττ *

2112

0)(12 =τR , eğer ( ) ( ) 021 =∫∞

∞−dttgtg *

( ) ( ) ( )dttgtgR ∫∞

∞−−= ττ *

1221

( ) ( ) ( )fGfGR *2112 ⇔τ

( ) ( )ττ −= *2112 RR ( ) ( )ττ 2112 RR ≠, dolayısı ile

Çapraz İlinti FonksiyonuGüç Sinyalleri (periyodik) için:

( ) ( ) ( ) dT

∫ *i 1

Tem

el B

ilgile

r

( ) ( ) ( ) dttgtgT

RTT ∫−∞→

−= ττ lim 2112 21

( ) ( ) ( ) dttgtgT

RT

T pp∫− −=2/

2/

*21

012

0

0

1 ττ

Sinyallerin periyodu aynı ise ( ) :0T

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔ ∑

∞

−∞= 00

*2

012

012

1Tnf

TnG

TnG

TR

nδτ

2011-12 Bahar


Doğrusal Sistemlerden İletimx(t)

ImpulsCevabı

h(t)y(t)

Tem

el B

ilgile

r

h(t) H( f )

Zaman ortamı Frekans ortamı

( ) ( ) ( )∫∞

∞−= dfftjfHth π2exp ( ) ( ) ( )∫

∞

∞−−= dtftjthfH π2exp

( ) ( ) ( )∫∞

∞−−= τττ dthxty ( ) ( ) ( )fXfHfY =

Genlik cevabı

( ) ( ) ( )[ ]fjfHfH βexp=

Faz cevabı

( ) ( ) ( )ffHf XY Ψ=Ψ 2 Giriş-ÇıkışEnerji Spektral Yoğunlukları

Doğrusal Sistemlerden İletim

|H( f )||H(0)| Alçak geçiren sistem

Bant genişliği=B Hz)0(H

Tem

el B

ilgile

r

B-B 0f

2

|H( f )|

0f

Bant geçiren sistemBant genişliği=2B Hz

|H(fc)|

2)( cfH

ff

Genlik cevabının sıfır frekanstaki değerinin sine düştüğü frekans aralığına 3dB bant genişliği denir.

2/1

2B

0 cfcf−

2011-12 Bahar


Bozulmasız İletim

( ) ( )ottxKty −= ( ) ( ) ( )oftjfXKfY π2−= exp

Tem

el B

ilgile

r ( ) ( )( ) )2( 0ftjK

fXfYfH π−== exp

Daha genel olarak,

( ) ( )[ ]ππ nftjKfH o ±−= 2exp

( ) KfH

SONUÇ: 2 şart sağlanmalıdır.

( ) KfH =

( ) ππβ nftf o ±−= 2

İletimde iki tür bozulma olabilir: 1. Genlik bozulması2. Faz bozulması

İdeal Alçak Geçiren Süzgeç|H( f )|

K Eğim= 02 tπ−)( fβ)( fβ

Tem

el B

ilgile

r fB-B

B-B 0

B-B

0

-nπff

( ) ( )⎩⎨⎧

>≤≤−−

=Bf

BfBftjfH

,0,2exp 0π

; K=1, n=0

H( f ) nin ters dönüşümü alınırsah(t)

( ) ( )[ ]∫− −=B

Bdfttfjth 02exp π

( ) ( )[ ]( ) ))(2(22sin

00

0 ttBBtt

ttBth −=−−

= sincππ

( f ) ş

1/B

0 t

2B Nedensel değil!

0t

2011-12 Bahar


Örnek|H( f )|

K

B

)( fβ 1x(t)Giriş sinyali

Tem

el B

ilgile

r

fB-B

B-B 0

f-T/2 T/2

t

( ) ( ) ( )∫∞

∞−−= τττ dthxty

y(t) y(t) y(t)

0t

B=2/T

t0

B=1/T

t0

B=1/4T

Hilbert Transformu(HT)

∧

)(ˆ)( tgtg ⇔(Ters HT)

Tem

el B

ilgile

r ( ) ( ) τττ

πd

tgtg ∫

∞

∞−

∧

−=

1( ) ( ) τττ

πd

tgtg ∫

∞

∞−

∧

−−=

1

ttgtg

π1

⊗= )()(ˆ)(tg )/(1)( tth π= )(ˆ tg

)( fG )sgn()( fjfH −= )(ˆ fG ( ) ( ) ( )fGfjfG sgn−=∧

f

H( f )nin açısı

090o

-90o

)( f )g ()( fjf )( f ( ) ( ) ( )ffjf g

2011-12 Bahar


Örnek( ) ( )tftg cπ2cos=

Tem

el B

ilgile

r ( ) ( ) ( )fGfjfG sgn−=∧

( ) ( )[ ] ( )fffffjcc sgn

2++−−= δδ

( ) ( )[ ]

)2(21

tf

ffffj

c

cc

π

δδ

sin=

+−−=

∧

Aynı şekilde, ( ) ( )tftg cπ2sin= ( ) ( )tftg cπ2cos−=∧

için

Hilbert Transformunun Özellikleri

nin spektral yoğunlukları aynıdır)(tg )(ˆ tgve•

Tem

el B

ilgile

r

nin spektral yoğunlukları aynıdır)(tg )(tgve•aynı öz ilinti fonksiyonuna sahiptir)(tg )(ˆ tgve•

nin Hilbert Transformu dir)(tg−)(ˆ tg•

birbirine diktir (ortogonal))(tg )(ˆ tgve•)(g)(g

2011-12 Bahar


Ön Zarf

( ) ( ) ( )tgjtgtg∧

+ += G(0)

|G( f )|

Tem

el B

ilgile

r 0 W-W f

( ) ( ) ( )[ ] ( )fGfjjfGfG sgn−+=+

( )( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<=>

=+

0,00,00,2

ffGffG

fG0 W

f

2G(0))( fG+

( ) ( ) ( )∫∞

+ =0

2exp2 dfftjfGtg π

Bant Geçiren Sinyallerde ZarfDar bantlı bir g(t) sinyalinin ön zarfının temel bant şekli

Kompleks Zarf olarak adlandırılır. Dolayısı ile,)(~ tg

Tem

el B

ilgile

r

p y ,)(g

( ) ( ) ( )tfjtgtg cπ2exp~=+ veya ( ) ( ) ( )tfjtgtg cπ2exp~ −= +

{ })(Re)( tgtg += olduğundan

( ) ( ) ( )[ ]tfjtgtg cπ2exp~Re=

( ) ( ) ( )tjgtgtg sc +=~

)(tgc : Eş fazlı bileşen)(tgs : Dik fazlı bileşen

Gerçel değerlialçakgeçiren( ) ( ) ( )jggg sc

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftgtftgtg cscc ππ 2sin2cos −=

( ) ( ) ( )[ ]tjtatg φexp~ = ( ) ( ) ( )[ ]ttftatg c φπ += 2cos

a(t): zarf veya doğal zarf

Kanonik form

2011-12 Bahar


Eş ve Dik Fazlı BileşenlerTe

mel

Bilg

iler AGS

90o faz kaydırıcı

X AGS

X

( )tf cπ2cos

( )tf cπ2sin

)(tg

)(21 tgc

)(21 tg s−

90o fazkaydırıcı

X

X

+

)(tg c

)(tg s

( )tfcπ2cos

( )tfcπ2sin

)(tg

2 s

Örnekler

G(0)G( f ) 2G(0)

G+( f )

Al k i ö f

Tem

el B

ilgile

r

0 W-Wf

G(0)

0 Wf

Alçak geçiren ön zarf

Bant geçiren ön zarf

f

G( f )G( fc )

f

2G( fc )

G+( f )

f0

2W

-fc fc 0f

fc

)(~ fG

0 Wf

-W

)(2 cfGKompleks zarf

2011-12 Bahar


Örnek

( ) ( )tftrectAtg cπ2cos⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= , ( )

( )[ ]⎪⎨

⎧ >−≈

0,2

AT

fffTAT

fGcsinc

Tem

el B

ilgile

r

( ) ( )fT

g c⎟⎠

⎜⎝

( )( )[ ]⎪

⎩

⎨<+ 0,

2fffTATfG

csinc

( )[ ]⎩⎨⎧

≤>−

=+ 000sinc

)(ffffTAT

fG c ( ) ( )tfjTtrectAtg cπ2exp⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+

( ) ⎟⎞

⎜⎛ ttAt~f

1( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

TrectAtg

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

TtrectAtgta ~t

g(t)A

T

cf1>>Tfc

Zarflar HakkındaÖn Zarf

Alçak veya bant geçiren olabilir

( ) ( ) ( )tgjtgtg∧

+ +=

Tem

el B

ilgile

r

Alçak veya bant geçiren olabilirKompleks değerlidir

Kompleks ZarfGenellikle kompleks değerlidirAlçak geçiren bir sinyaldirÖn zarfın ötelenmiş bir versiyonudur

( ) ( ) ( )tfjtgtg cπ2exp~ −= +

Doğal ZarfKompleks veya ön zarfın genliğidirHer zaman gerçel değerli ve alçak geçirendir

( ) ( ) ( )tgtgta +== ~

2011-12 Bahar


Bant Geçiren SistemlerBant geçiren sistemler de, bant geçiren sinyaller gibi kanonik formda veya kompleks zarf cinsinden temsil edilirler

Tem

el B

ilgile

r

formda veya kompleks zarf cinsinden temsil edilirler.

( ) ( ) ( ) ( )tfthtfthth cscc ππ 2sin)(2cos −=

( ) ( ) ( )tjhthth sc +=~

( ) ( ) ( )[ ]tfjthth cπ2exp~Re=

B t i bi i t i b t i bi i l b

( )ty( )tx h(t)

Bant geçiren bir sistemin, bant geçiren bir sinyale cevabı

( ) ( ) ( )∫∞

∞−−= τττ dtxhty

Bant Geçiren Sistemlerveya daha basit olarak kompleks zarfları kullanıp,

Tem

el B

ilgile

r ( )ty~( )tx~ ( )th~

( ) ( ) ( )txthty ~~21~ ⊗=

çıkış ç ş

şeklinde kolayca bulunur.

( ) ( ) ( )[ ]tfjtyty cπ2exp~Re21

=

2011-12 Bahar


Örnekİdeal bant geçiren süzgecin RF darbesine cevabını bulunuz.

x(t) cf1

A)(~ tx |H( f )|

2B

Tem

el B

ilgile

r t

A

T

-T/2 T/2t f

12B

cfcf−

0 f

)( fβ

( ) ( )tfTtrectAtx cπ2cos⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

TtrectAtx~

-2A

2A

0

y(t)

t

⎠⎝T

( ) ( )⎩⎨⎧

><<−−

=Bf

BfBftjfH o

,,exp~

022 π

( ) ( )[ ]ottBBth −= 24~ sinc

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= oo tTtBSitTtBSiAty

22

222 ππ

π~

( ) ( )tftyty cπ2cos)(~=

Gurup ve Faz GecikmesiFazı doğrusal olmayan bir sistem düşününüz.

( ) ( )[ ]fjKfH βexp=

)( fβ

Tem

el B

ilgile

r

( ) ( )[ ]fjf βp

( )c

cp f

fπ

βτ2

−=

( )cff

g ff

=∂−=

βπ

τ21

Faz gecikmesi

Gurup gecikmesi

( ) ( )[ ]pcgc tftxKty τπτ −−= 2)( cos( ) ( ) ( )tftxtx cc π2cos=

( )ty( )tx H( f )

not2

Documents