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Nociones de LógicaTRANSCRIPT
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Unidad 2 Nociones básicas de lógica
Apunte de Cátedra
La lógica comprende el estudio de los métodos y principios utilizados para
distinguir el razonamiento correcto del incorrecto, pues no le interesa conocer
cómo se efectúa el proceso del razonamiento (inferencia de naturaleza
psicológica), sino la corrección de dicho proceso.
El estudio de la lógica permite estudiar la forma de razonar, identifica los
métodos de razonar que parecen correctos pero en realidad son incorrectos
(falacias) y, finalmente, suministra instrumentos simples para determinar la
corrección de los razonamientos. Cabe destacar que muchos de los resultados
obtenidos a partir de los análisis metateóricos filosóficos son imposibles de
comprender si no contamos con elementos, al menos básicos, de la lógica.
Justamente, en esta unidad nos abocaremos a su estudio.
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1. Lógicas deductivas e inductivas. Noción de validez
Un razonamiento es un conjunto de proposiciones (dos o más) en las que una de ellas, llamada
conclusión, se pretende que esté fundada en las otras, llamadas premisas. Las premisas brindan
los elementos de juicio sobre los cuales se afirma la conclusión.
Por ejemplo, si no podemos recordar quién escribió El sueño de los héroes, si Borges o Bioy
Casares, pero estamos seguros de que fue alguno de los dos, y alguno de nosotros recuerda que
Borges no escribió ninguna novela y sabemos que El sueño de los héroes es una novela, podemos
inferir con seguridad que lo tiene que haber escrito Bioy Casares.
Si simplificamos el razonamiento quitando algunas de los elementos que mencionamos, quedaría
algo así:
El sueño de los héroes fue escrito por Borges o por Bioy Casares
Borges no lo escribió
Por lo tanto, tiene que haber sido escrito por Bioy Casares
Llamaremos “proposiciones” a los elementos que aparecen relacionados de este modo particular
en el razonamiento. Se utiliza este término para nombrar lo que las oraciones expresan. Por
ejemplo, la oración “Borges escribió Ficciones” es distinta de la oración “Ficciones fue escrito por
Borges”. La primera está en voz activa mientras que la segunda está en voz pasiva. No nos
interesan aquí estas diferencias, sino algo que ambas oraciones tienen en común. Diremos que
ambas oraciones expresan la misma proposición.
Las proposiciones que dan apoyo a la conclusión son las “premisas” del razonamiento. Para
marcar cuál es la conclusión en lógica, se la escribe debajo de una raya (como en matemática se
escribe el resultado de una suma).
El sueño de los héroes fue escrito por Borges o por Bioy Casares
Borges no lo escribió
← Premisa 1
← Premisa 2
Por lo tanto tiene que haber sido escrito por Bioy Casares ← Conclusión
Existen distintos tipos de razonamientos, lo que hace que haya distintos tipos de lógicas. En el
caso del ejemplo que fue citado anteriormente, si las premisas son verdaderas la conclusión tiene
que ser verdadera. Es decir, si estamos seguros de que El sueño de los héroes fue escrito por
Borges o por Bioy Casares, y que no fue Borges, podemos inferir con total seguridad (deducir)
que lo escribió Bioy Casares. ¿Podrían ser verdaderas las premisas y falsa la conclusión?
Definitivamente no.
Si una de las premisas fuese falsa, la conclusión podría haber sido falsa. Por ejemplo, si El sueño
de los héroes hubiese sido escrito por Cortázar, la Premisa 1 sería falsa y la conclusión también.
Pero si ambas premisas son verdaderas, en este tipo de razonamientos, la conclusión tiene que
ser verdadera. Si alguna de las premisas es falsa, la conclusión podría ser verdadera o falsa.
A este tipo de razonamientos se los llama “deductivos”. Los razonamientos deductivos válidos se
caracterizan porque si sus premisas son verdaderas, la conclusión tiene que ser verdadera. Si
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alguna de las premisas es falsa, la conclusión puede ser verdadera o falsa.
¿Por qué este razonamiento es válido? Si uno intenta justificarlo sin apelar a la lógica termina
pensando algo así: si es una cosa o la otra, y no es la primera, tiene que ser la segunda. Es decir,
no es necesario apelar a la literatura argentina ni a ningún hecho particular, sino a la forma del
razonamiento. La forma de este razonamiento es la siguiente:
A o B
No A
B
Cualquier razonamiento que tenga esta forma es deductivo válido. Siempre que busquemos
ejemplos de esa forma con premisas verdaderas, la conclusión tendrá que ser verdadera. Si
sustituyen A o B de modo que alguna de las premisas resulte falsa, la conclusión puede resultar
verdadera o falsa. Se pueden encontrar ejemplos de premisas verdaderas y conclusión verdadera,
de alguna premisa falsa y conclusión verdadera, de premisas falsas y conclusión falsa. Nunca
encontrarán un ejemplo de esta forma con premisas verdaderas y conclusión falsa.
Un ejemplo de premisas falsas (alguna falsa) y conclusión verdadera podría ser el siguiente:
Borges era ciego o escribió Ficciones Borges no era ciego
← esta premisa es verdadera, si entendemos la “o”
como “y/o”
← esta premisa es falsa
Borges escribió Ficciones
← la conclusión es verdadera
Un ejemplo de premisas falsas (o alguna falsa) y conclusión falsa:
Colombia queda en Europa o en Asia No queda en Europa
← esta premisa es falsa
← esta premisa es verdadera
Queda en Asia
← la conclusión es falsa
Un razonamiento que no transmite la verdad de las premisas a la conclusión, es decir, que puede
tener premisas verdaderas y conclusión falsa, es inválido. Por ejemplo:
Colombia queda en América del sur o en Asia ← esta premisa es verdadera
Queda en Asia
← la conclusión es falsa
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En este razonamiento de una premisa sola, la premisa es verdadera y la conclusión es falsa. Su
forma es la siguiente:
A o B
B
y no garantiza la verdad. Si una forma de razonamiento a veces nos lleva de verdad a falsedad,
es inválida. Entonces, no es confiable.
El ejemplo de razonamiento sobre Borges y Bioy Casares, antes citado, entonces, es deductivo
válido. Recuerden que los razonamientos deductivos son aquellos en los que si las premisas son
verdaderas, la conclusión tiene que serlo sí o sí. Pero hay otro tipo de razonamientos muy útiles
que, sin embargo, no brindan un apoyo absoluto a la conclusión. Por ejemplo:
Galileo arrojó una piedra de un kilo de la torre de Pisa y cayó con una aceleración de 9,8 m/s2.
Galileo arrojó una pelota de madera de 500 gramos de la torre de Pisa y cayó con una aceleración
de 9,8 m/s2.
Galileo arrojó una pelota de madera de 800 gramos de la torre de Pisa y cayó con una aceleración
de 9,8 m/s2.
Galileo arrojó un perro de 1 kilo y medio desde la torre de Pisa y cayó con una aceleración de 9,8
m/s2.
(varios casos más)
Todos los objetos caen con una aceleración de 9,8 m/s2
Por un razonamiento del estilo, Galileo infirió esta conclusión (en realidad esto no es
históricamente correcto porque al carecer de relojes adecuados, Galileo debía hacer experimentos
más complejos, pero no nos importa para el ejemplo). El razonamiento mencionado no nos
permite deducir su conclusión. Pues en esta se habla de todos los objetos existentes y que
existirán, y Galileo habrá soltado un centenar. La inferencia que va de un conjunto pequeño de
casos a un conjunto infinito o enorme de casos no puede ser válida. Entonces, este razonamiento
no asegura que la conclusión sea verdadera, pero de todos modos parece un razonamiento
adecuado. Normalmente, en estos casos, se dice que lo que hace es incrementar la probabilidad
de la conclusión. Cuantos más casos se observen, más probable se volverá la conclusión, pero
nunca –a menos que se observen todos los casos (lo cual en el ejemplo dado es imposible)– tal
inferencia será completamente segura. A estos razonamientos se los llama no deductivos o
inductivos. Como estos razonamientos son inválidos, pues puede darse el caso de que premisas
verdaderas lleven a la falsedad, cuando son buenos se los llama “correctos”. La corrección de
estos depende de varios factores, por ejemplo, de la cantidad de casos observados. La lógica que
los estudia se llama “Lógica no deductiva”. Los razonamientos inductivos, a diferencia de los
deductivos, son ampliativos, agregan información en la conclusión que no estaba en las premisas.
Esto es lo interesante de estos, pero también es lo que los hace más débiles. Los razonamientos
deductivos, en cambio, son más fuertes pero a cambio de no agregar nueva información en la
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conclusión.
Recapitulando, existen dos tipos de razonamientos, aquellos en los que la conclusión es implicada
lógicamente por las premisas, es decir, que si sus premisas son verdaderas la conclusión
necesariamente es verdadera también; y aquellos no deductivos, que permiten inferir con cierta
probabilidad la conclusión, pero no de manera necesaria. En consecuencia, existen dos lógicas,
las deductivas, que estudian el primer tipo de razonamientos, y las no deductivas, que estudian el
segundo tipo.
Existen muchas lógicas deductivas (la más antigua de todas fue concebida por Aristóteles). Ahora
veremos una de ellas, la Lógica proposicional simbólica, que será útil para entender cuestiones
posteriores.
2. Lógica proposicional simbólica
La lógica proposicional simbólica es una de las lógicas deductivas que existen. Se llama
proposicional porque la unidad mínima de análisis es la proposición simple o atómica. No se
analizan con esta lógica la estructura interna de las proposiciones atómicas.
Hay dos tipos de proposiciones. Las compuestas (o moleculares) y las simples (o atómicas). Las
simples son las que no tienen conectivas mientras que las compuestas se forman a partir de
incluir conectivas en las simples. Los conectivos son, justamente, expresiones lógicas que
permiten formar proposiciones compuestas a partir de simples:
“Juan es morocho”, es una proposición simple.
“Juan es morocho y alto” es una proposición compuesta que se forma a partir de las proposiciones
“Juan es morocho” y “Juan es alto”, unidas con el conectivo “y”. También es un conectivo “no” por lo
cual, “Juan no es morocho”, es una proposición compuesta.
2.1. El lenguaje de la lógica proposicional simbólica
En la lógica proposicional simbólica la validez de los razonamientos depende justamente del
significado de los conectivos. De esta manera, es posible deducir de “Juan es morocho y alto”,
“Juan es morocho” pero no es posible deducirlo de “Juan es morocho o alto”. La única diferencia
radica en el conectivo. En el primer caso es una “y” y, en el segundo, una “o”. Ahora bien,
veamos algunos de los principales conectivos.
Conjunción
Lo más parecido a la conjunción lógica en el lenguaje natural (el que hablamos todos los días), es
la “y”. Pero, también, cumplen esta función el “pero” y el “sin embargo”.
Como el lenguaje natural, en general, es bastante ambiguo –no siempre que aparece una “y” en
el lenguaje natural funciona del mismo modo– en la lógica simbólica se reemplaza la “y” por un
símbolo menos ambiguo y se lo llama “conjunción”. Usaremos para la conjunción el símbolo: “.”.
Por medio de la conjunción se unen dos proposiciones. Por ejemplo, “A . B”.
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Lo que importa en la lógica simbólica es saber si los razonamientos son válidos o no, es decir, si
conservan o no la verdad. En otras palabras, si cuando tienen premisas verdaderas la conclusión
tiene que ser verdadera. Las conectivas se definen por lo que ocurre con el valor de verdad de la
proposición compuesta dado cierto valor de verdad de las proposiciones simples. Por ejemplo,
¿cuándo es verdadera la proposición “Llueve y hace frío”?
La respuesta es simple, cuando llueve y, además, hace frío. Si lloviera y no hiciese frío, o si no
ocurriera ninguna de las dos cosas, la proposición sería falsa. Esto es lo que define a la
conjunción pues una conjunción solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman
son verdaderas.
Se suele definir a las conectivas utilizando una tabla de verdad que dice justamente eso: ¿cuál es
el valor de verdad de la proposición compleja de acuerdo con el valor de verdad que asumen las
proposiciones simples que la compone?
Llamaremos “diccionario” al procedimiento por el cual asignamos a cada proposición atómica una
letra proposicional. Así la forma de la proposición “llueve y hace frío” en base a dicho diccionario
sería:
p: llueve
q: hace frío
Como puede advertirse se reemplazan las proposiciones simples con letras minúsculas de
imprenta: p, q, r, s. Entonces, en el ejemplo mencionado, la proposición se representa “p . q”.
La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:
p q p . q
v v v
v f f
f v f
f f f
En esta tabla, justamente, se dice que cuando p es verdadera y q es verdadera, p . q es
verdadera. Cuando p es verdadera y q falsa, p . q es falsa. Como se observa la tabla tiene solo
cuatro filas. Esto se debe a que dichas filas son todas las posibles combinaciones de verdaderos y
falsos cuando hay dos proposiciones: que las dos sean verdaderas, que las dos sean falsas o que
una sea verdadera y que la otra sea falsa o que la primera sea falsa y la segunda verdadera.
Disyunción inclusiva
Esta conectiva suele aparecer en lenguaje natural como “o” o “y/o”. El símbolo con que se
representa es “v”.
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La forma de “Llueve o hace frío”, según el diccionario, es:
p: llueve
q: hace frío
Y la proposición se representa p v q. La tabla de verdad de la disyunción inclusiva es:
p q p v q
v v v
v f v
f v v
f f f
Una disyunción inclusiva es falsa sólo si ambas proposiciones componentes son falsas.
Disyunción exclusiva
Esta conectiva suele aparecer en lenguaje natural como “o”. Su símbolo para representarla es
“w”. La tabla de verdad para esta conectiva es:
p q p w q
v v f
v f v
f v v
f f f
La disyunción exclusiva, como la inclusiva, puede aparecer como “o” en el lenguaje natural. Esto
es un buen ejemplo de la ambigüedad del lenguaje natural a la que nos habíamos referido.
La diferencia entre las dos disyunciones se encuentra en el caso en que ambos componentes son
verdaderos. En el caso de la inclusiva resulta verdadera, mientras que en el caso de la exclusiva
resulta falsa.
¿Cómo sabemos de qué manera simbolizar una “o” del lenguaje natural? Solo por el contexto.
Si en un menú en un restaurante dice:
“con el plato principal puede pedir de postre flan o ensalada de frutas”, claramente se trata de
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una disyunción exclusiva, pues puedo pedir una u otra, pero no ambas cosas.
Si leemos en el subte:
“este asiento está reservado para embarazadas o discapacitados”, ¿qué ocurre si sube alguien
que cumple con las dos condiciones? ¿Qué ocurre si sube una discapacitada embarazada? Por
supuesto tendrá derecho a sentarse. En este caso, la “o” debe entenderse como inclusiva.
En el derecho para evitar esta ambigüedad se usa “y/o” para la inclusiva y “o” para la exclusiva.
En lógica las simbolizamos con distintos conectivos.
De todos modos en los ejercicios de simbolización utilizaremos siempre la inclusiva para evitar
complicaciones.
Negación
Esta conectiva en lenguaje natural equivale a “no”, pero también a “es falso que”, “nunca”, “no se
da el caso que”, “no es cierto que”. El símbolo para representarla es “~”.
La forma de “No llueve” en símbolos es “~ p”.
Cabe destacar que la negación no une dos proposiciones, sino que se le agrega a una. Por tal
motivo, la tabla de verdad es más simple:
p ~ p
v f
f v
La negación lo que hace es invertir el valor de verdad de la proposición.
Condicional
En el lenguaje natural, el condicional equivale a “si […] entonces […]”; y el símbolo para
representarlos es “→”.
Esta conectiva es peculiar, pues no es lo mismo decir:
“Si le cortaron la cabeza, entonces está muerto”
a decir,
“Si está muerto, entonces le cortaron la cabeza”
Se notará que la primera es verdadera, sin dudas; mientras que la segunda no lo es
necesariamente, pues se puede estar muerto con la cabeza en su lugar.
Por esta razón, es importante distinguir la proposición que aparece antes del condicional de la
que aparece después. Llamamos a la primera “antecedente” y a la segunda “consecuente”.
En “p → q”, p es el antecedente y q el consecuente.
¿Qué se quiere decir con la proposición “Si le cortaron la cabeza, entonces está muerto”?
Básicamente significa que no puede ocurrir que le corten la cabeza y siga vivo. Es decir, que no
puede ocurrir que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Por este motivo, en el
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ejemplo, la tabla de verdad es la siguiente:
p q p q
v v v
v f f
f v v
f f v
A continuación, todas las oraciones expresan la misma proposición:
“Si llueve entonces hace frío”.
“Si llueve, hace frío”.
“Hace frío si llueve”.
¿Cómo sabemos cuál es el antecedente y cuál el consecuente? El antecedente es el que está
después del “si” (no siempre el que aparece primero en lenguaje natural).
Con este diccionario:
p: llueve
q: hace frío
La forma proposicional de todas las oraciones anteriores sería p → q.
Bicondicional
En lenguaje natural, el bicondicional no es utilizado frecuentemente. En matemática suele
aparecer como “si y solo si” y sirve para dar definiciones. El símbolo es “↔”.
La tabla de verdad de esta conectiva, se representa de la siguiente manera:
p q p ↔ q
v v v
v f f
f v f
f f v
Si la forma de la proposición es:
“Una figura es un triángulo si y solo si posee tres lados”
al utilizar el siguiente diccionario:
p: La figura es un triángulo
q: La figura tiene tres lados
la proposición se representaría p ↔ q.
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2.2. Extracción de las formas proposicionales
Para probar la validez de los razonamientos, es necesario aprender a reconocer las formas de
razonamientos en el lenguaje natural. El primer paso, consiste en extraer la forma de las
proposiciones que conforman el razonamiento. Esta tarea puede ser bastante complicada pero
nos manejaremos con ejemplos sencillos.
Comencemos con algunos casos de negación, utilizando el mismo diccionario:
p: llueve
q. hace frío
r: hay nubes
La tabla que se presenta a continuación extrae, para las siguientes proposiciones, sus formas
proposicionales. Analicemos cada una de ellas.
Proposición Forma
1 No llueve y hace frío ~p . q
2 No es cierto que llueva y haga frío ~ (p . q)
3 Ni llueve ni hace frío ~ p . ~ q
4 Si llueve y hay nubes, entonces hace frío (p . r) → q
5 Llueve y si hace frío entonces hay nubes p . (q → r)
6 Llueve, hace frío y hay nubes (p . q) . r o p . (q . r)
7 Llueve, hace frío o hay nubes (p v q) v r o p v (q v r)
8 Llueve o hace frío, pero hay nubes ( p v q ) . r
9 Llueve o no, pero hace frío ( p v ~ p ) . q
Observen que el significado cambia rotundamente en todos los casos de acuerdo con la colocación
de los paréntesis, excepto en el sexto y en el séptimo. Cuando hay varias conjunciones (“.”) o
disyunciones (“v”) seguidas, es posible asociar con paréntesis de diversos modos sin modificar el
valor de verdad de la proposición compuesta. No se da la misma situación con combinaciones de
conjunciones y disyunciones.
En todos los casos, como primer paso, antes de extraer una forma, hay que confeccionar el
diccionario donde se indique cómo se utilizará cada letra proposicional. Allí también aparecerán
las proposiciones simples, nunca se anotará una conectiva. La disposición de las letras que
simbolizan las formas proposicionales puede variar de acuerdo con el diccionario que se haya
elegido.
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2.3. Extracción de las formas de los razonamientos
Los razonamientos son conjuntos de proposiciones. La tarea es parecida a la que ya realizamos
en relación con las proposiciones: se confecciona el diccionario, identificando las proposiciones
atómicas, luego se extraen las formas de las proposiciones y, finalmente, se determina cuál
funciona como conclusión y cuál como premisa. Existen ciertos indicadores de lo que funciona
como conclusión y como premisa. Por ejemplo, las expresiones “por lo tanto”, ”en consecuencia”,
”por consiguiente”, se encuentran precedidas por premisas que anteceden a la conclusión.
Otras expresiones como “dado que”, ”ya que” o ”porque” funcionan del modo inverso,
encontrándose antes que ellas la conclusión y, después, las premisas. Veamos en un ejemplo:
“Si la Argentina se encuentra en América del Sur, entonces se encuentra en el hemisferio sur. Por lo
tanto, la Argentina se encuentra en el hemisferio sur, dado que se encuentra en América del Sur.”
Confeccionamos el siguiente diccionario:
p: la Argentina se encuentra en América del Sur
q: la Argentina se encuentra en el hemisferio sur
La conclusión se encuentra subrayada, por lo cual dicha proposición irá debajo de la raya. La
forma del razonamiento es la siguiente:
p → q
p
q
2.4. Tablas de verdad con más de una conectiva
Del mismo modo que podemos averiguar el valor de verdad de la proposición p . q cuando p es
verdadera y q es falsa, utilizando la tabla de verdad que define la conjunción, se puede averiguar
el valor de verdad de las proposiciones más complejas usando dichas tablas. Será necesario
entonces prestar atención a la presencia y ubicación de los paréntesis.
En el ejemplo que se analizó para determinar la extracción de las formas proposicionales, noten
que la proposición “Llueve o hace frío, y no hay nubes” es distinta a la proposición “Llueve, o
hace frío y no hay nubes”.
Al utilizar el siguiente diccionario:
p: llueve
q: hace frío
r: hay nubes
la proposición “Llueve o hace frío, y no hay nubes”, toma esta forma proposicional
(p v q) . ~ r
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Mientras que la proposición “Llueve, o hace frío y no hay nubes”, toma esta otra forma
p v (q . ~ r)
Ahora bien, para confeccionar la tabla de verdad de ”(p v q) . ~ r”, se seguirán tres pasos, que
mencionamos a continuación.
Primer paso
Se busca la cantidad de proposiciones simples que aparecen. En el ejemplo que se está
analizando hay tres: p, q y r.
No importa si alguna proposición aparece dos o tres veces. La tarea consiste en identificar esas
proposiciones simples o atómicas independientemente de su cantidad de apariciones (por
ejemplo, en la proposición “p . ~ p” aparece solo una proposición simple: “p”).
Segundo paso
Si hay solo una proposición, la tabla de verdad tendrá únicamente 2 filas; si aparecen dos
proposiciones, tendrá 4 filas; si aparecen tres tendrá 8; si aparecen 4, tendrá 16, y así
sucesivamente. La regla para determinar la cantidad de filas necesarias es la siguiente: 2n en
donde n es la cantidad de proposiciones simples que aparecen.
Una vez que se haya realizado la tabla, se distribuyen los valores de verdad tal como se muestra
en los cuadros de abajo (el objetivo es encontrar fácilmente todas las combinaciones posibles).
Tablas de verdad para una, dos y tres proposiciones simples, respectivamente:
p
v
f
Una proposición simple:
p q
v v
v f
f v
f f
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Dos proposiciones simples:
p q r
v v v
v v f
v f v
v f f
f v v
f v f
f f v
f f f
Tres proposiciones simples:
Tercer paso
Se comienza, al igual que en matemática, dando prioridad a los paréntesis, luego a los corchetes
y luego a las llaves (si los hubiera) y, por último, al resto de la forma proposicional.
Se completa la tabla de verdad, utilizando las definiciones de las conectivas para analizar, en
primer lugar, los paréntesis más internos.
En la siguiente proposición que se presenta como ejemplo, se mostrará el procedimiento para
completar la tabla de verdad paso a paso. La proposición que se trabajará es “(p v q) . ~ r”.
Primero, distribuimos los valores de verdad tal como mencionamos en el segundo paso.
p q r (p v q) . ~ r
v v v
v v f
v f v
v f f
f v v
f v f
f f v
f f f
Después, debemos resolver:
las negaciones de proposiciones atómicas (“~ p”; “~ q”);
las proposiciones contenidas por los paréntesis más internos (“(p . q)”; “(p v q)”;
“(p→q)”).
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En la tabla de abajo, observamos que la primera casilla a completar está marcada con un círculo.
Corresponde al valor de verdad de p v q cuando p es verdadero y q es verdadera. Si buscamos en
la tabla de verdad de la disyunción inclusiva, veremos que le corresponde verdadero. Lo mismo
ocurre en las últimas filas. Solo son falsas las dos últimas en las que ambas proposiciones son
falsas (marcadas con un cuadrado).
Ahora vamos a resolver la negación de r. Recuerden que la negación invierte el valor de verdad.
Si r es verdadero, ~ r es falso y viceversa.
p q r (p v q) . ~ r
v v v
f
v v f v v
v f v v f
v f f v v
f v v v f
f v f v v
f f v
f
f f f v
Luego, una vez que resolvimos las negaciones de las proposiciones simples o atómicas y las
proposiciones complejas de solo un conectivo, es posible pasar a las otras.
Observemos que no se podría haber solucionado la conjunción sin antes haber resuelto la
disyunción y la negación.
Para resolver el primer valor de la tabla de verdad, será necesario detectar cuáles son las
proposiciones a las que prestaremos nuestra atención. Al averiguar el valor de la proposición
general en la primera fila, marcada con un círculo, fíjense que las proposiciones que están en
conjunción son, por un lado, “p v q” y, por el otro, “~ r”. El valor de verdad de dichas
proposiciones en esa fila se encuentra con cuadrados. ¿Qué ocurre cuando una de las
proposiciones de una conjunción es falsa (en este caso “~ r” es falsa)? La conjunción también es
falsa.
Como verán, el resultado de la tabla de verdad está en mayúsculas. Se encuentra debajo del
conectivo principal de la proposición, es decir, aquel que se encuentra fuera de todo paréntesis.
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p q r (p v q) . ~ r
v v v
v v f v V v
v f v v F f
v f f v V v
f v v v F f
f v f v V v
f f v f F f
f f f f F v
2.5. Tautología, contradicción y contingencia
¿Para qué sirve hacer una tabla de verdad? Para distinguir entre verdades o falsedades lógicas y
proposiciones contingentes. La proposición “En Las Leñas está nevando” ¿es verdadera o falsa?
Para averiguar su valor de verdad hay que buscar la información en el diario o llamar por teléfono
a algún lado. Pero qué pasa con la proposición “En Las Leñas o está nevando o no está nevando”.
¿Podría ser falsa? No, y para saber esto es necesario observar su forma. Veamos qué ocurre si
hacemos la tabla de verdad, utilizando el siguiente diccionario:
p: Está nevando en las Leñas
cuya forma proposicional es “p v ~ p”.
Su tabla de verdad es:
P p v ~ p
v V f
f V v
El resultado de la tabla de verdad en este caso es siempre verdadero (indicado con letras
mayúsculas). Es decir, asuman el valor que asuman las proposiciones simples, la proposición
general siempre será verdadera.
A este tipo de proposiciones se las llama “tautologías” o “verdades lógicas”. Cuando todos los
resultados son falsos, como en el caso de “p . ~ p” la proposición es una “contradicción” o
“falsedad lógica”. Sabemos que la proposición es falsa por su propia forma. Cuando algunos son
verdaderos y otros falsos, se trata de una “contingencia”. Esto ocurre con la proposición
“(p v q) . ~ r” que analizamos más arriba. En este caso, no es posible saber su valor de verdad
por su forma. Esto sucede con la proposición ”En Las leñas está nevando”.
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La tabla de verdad de una proposición simple es siempre una contingencia:
p
v
f
p: En Las leñas nieva
2.6. Prueba de validez de razonamientos por condicional asociado
La segunda función de las tablas de verdad es que nos brindan un método para establecer la
validez de los razonamientos. El condicional asociado de un razonamiento es el condicional que
tiene como antecedente la conjunción de las premisas y como consecuente, la conclusión.
A continuación, se presentan algunos ejemplos de formas de razonamientos y sus condicionales
asociados.
Forma del razonamiento Condicional asociado
p q
p
q
[(p q) . p] q
p q
q r
p r
[(p q) . (q r)] (p r)
p v q ~p
q
[(p v q) . ~p] q
p ~q ~ q r
p
r
{[(p ~q) . (~ q r)] . p} r
Para poner tres o más premisas en conjunción (p, q y r) cualquier
combinación de paréntesis es correcta: “(p . q) . r” o “p . (q . r)”.
Una vez armado el condicional asociado se hace su tabla de verdad. Si el condicional asociado
resulta ser una tautología, entonces el razonamiento es válido. En cualquier otro caso es inválido.
Los cuatro ejemplos que les brindamos en el cuadro anterior, son formas de razonamientos
válidas. Los condicionales asociados son todos tautológicos.
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2.7. Nombres de razonamientos y falacias formales
Para finalizar, recordemos que algunas formas de razonamientos válidos e inválidos son utilizadas
con tanta frecuencia que se les ha dado un nombre. No son los únicos razonamientos válidos e
inválidos, ya que existen infinitos razonamientos, pero estos, por diferentes motivos (que
veremos más adelante) son muy útiles, motivo por el cual es necesario nombrarlos para hacer
referencia a ellos fácilmente.
Razonamientos válidos
Nombre Forma Ejemplos
Modus
ponens
A B
A
B
Si le cortan la cabeza se
muere.
Le cortan la cabeza, por lo
tanto se muere.
A y B pueden ser reemplazados por cualquier proposición
compuesta o simple.
p q
p
q
es el más simple, pero también son Modus ponens los
siguientes razonamientos:
~p ~q
~p
~q
(p . q) r
(p . q)
r
entre otros.
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Modus tollens
A B
~ B
~ A
Si le cortan la cabeza, se muere.
No está muerto, por lo tanto, no le
cortaron la cabeza.
p q
~ q
~ p
~ p q
~ q
P
Las negaciones se pueden acumular.
La doble negación se puede simplificar por lo que esta
forma también es un Modus tollens:
~ p q
~ q
p
(p . q) (r v s)
~ (r v s)
~ ( p . q )
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Falacias formales
Las falacias son razonamientos que parecen válidos pero son inválidos. Las siguientes son falacias
formales. A continuación, mostramos algunos ejemplos.
Falacia de negación del antecedente
A B
~ A
~ B
Si le cortan la cabeza, se muere.
No le cortaron la cabeza, por lo
tanto, no está muerto.
(Observen que podría estar
muerto por otros motivos, que a
alguien no le hayan cortado la
cabeza no quiere decir que esté
vivo)
p → q
~ p
~ q
~ p q
~ ~ p
~ q
~ p q
p
~ q
(p . q) (r v s)
~ (p . q)
~ (r v s)
Falacia de afirmación del consecuente
A B
B
A
Si le cortan la cabeza se muere.
Está muerto, por lo tanto, le
cortaron la cabeza.
(Claramente podría estar muerto
por algún otro motivo)
p q
q
p
~p ~q
~q
~p
(p . q) r
r
(p . q)