nn ll n l - web.sgh.waw.plweb.sgh.waw.pl/~mkwas/mat/matebook.pdf · • rachunek różniczkowy...

Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 1 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

http://www.sgh.waw.pl

Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 2 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przedmowa

Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej.

Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje, twierdzenia, przykłady i zadania)

oraz z rozdziału jedenastego zawierającego rozwiązania i odpowiedzi do zadań.

Materiał zawarty w podręczniku w rozdziałach od drugiego do dziewiątego obejmuje program

wykładu z matematyki na pierwszym roku studiów w SGH. Przedstawione w nich są kolejno na-

stępujące tematy:

• własności funkcji rzeczywistych jednej zmiennej;

• ciągi i ich własności, granice ciągów;

• funkcje ciągłe;

• rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej;

• całki nieznaczone i oznaczone,

• elementy algebry liniowej,

• funkcje dwóch i wielu zmiennych.

Dwa rozdziały, pierwszy i dziesiąty, zawierają materiał wykraczający poza program wykładu z

matematyki. Adresowane są one do studentów wybierających wykłady z zastosowań matematyki

w różnych zagadnieniach ekonomicznych. Rozdział pierwszy zawiera elementy logiki i rachunku

zbiorów. Wprowadzone jest w nim również pojęcie relacji, w szczególności relacji porządku i relacji


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 3 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

równoważności oraz definicja odwzorowania jako relacji. W rozdziale dziesiątym przedstawione są

podstawy rachunku prawdopodobieństwa.

Elektroniczna forma podręcznika pozwala na łatwe odnalezienie odpowiednich definicji i twier-

dzeń. Kolorem niebieskim wyróżnione są aktywne linki (spis treści, skorowidz, odsyłacze w tekście).

Również łatwo można przejść, klikając na znak (?) przy numerze zadania, do strony zawierającej

rozwiązanie tego zadania.

Mamy nadzieję, że podręcznik ten ułatwi studentom poznanie i zrozumienie podstawowych

pojęć z matematyki wyższej oraz umożliwi lepsze przygotowanie się do kolokwiów i egzaminów z

tego przedmiotu.

Autorzy


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 4 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Spis treści

1 Elementy logiki i rachunku zbiorów, relacje i odwzorowania

(Maria Ekes, Jacek Kłopotowski) 9

1.1 Rachunek zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Rachunek zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Rachunek kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Odwzorowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Własności funkcji

(Monika Dędys) 35

2.1 Dziedzina, zbiór wartości, wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Funkcje różnowartościowe, funkcje na,

funkcje wzajemnie jednoznaczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Monotoniczność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 5 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

2.4 Ekstrema lokalne funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Obraz i przeciwobraz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6 Złożenie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.7 Funkcja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Ciągi liczbowe

(Maria Ekes) 61

3.1 Ciągi liczbowe i ich własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Zbieżność ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Granica i ciągłość funkcji

(Maria Ekes) 74

4.1 Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

(Maria Ekes, Jacek Kłopotowski) 84

5.1 Pierwsza pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2 Interpretacje pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.1 Interpretacja geometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.2 Interpretacja fizyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.3 Interpretacja ekonomiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3 Zastosowania pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 6 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

5.3.1 Obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3.2 Monotoniczność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3.3 Ekstrema lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3.4 Ekstrema globalne funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4 Druga pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5 Zastosowania drugiej pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5.1 Wyznaczanie ekstremów lokalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5.2 Wypukłość i wklęsłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5.3 Tempo zmian wartości funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5.4 Badanie przebiegu zmienności funkcji i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Całki

(Monika Dędys) 113

6.1 Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2 Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.3 Interpretacja geometryczna całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7 Przestrzeń liniowa Rn

(Jacek Kłopotowski) 130

7.1 Punkty i wektory w R2 i w R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.2 Struktura liniowa w przestrzeni Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.3 Liniowa niezależność, baza przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 7 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

8 Macierze


8.1 Określenie macierzy, działania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.2 Operacje elementarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.3 Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.4 Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.4.1 Rozwiązywanie układów równań za pomocą operacji elementarnych . . . . . . 176

8.4.2 Wzory Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

9 Funkcje wielu zmiennych

(Sławomir Dorosiewicz) 186

9.1 Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9.2 Uzupełnienie. Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.3 Pochodne cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.4 Uzupełnienie. Pochodne kierunkowe. Różniczkowalność funkcji . . . . . . . . . . . . . 203

9.5 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.6 Uzupełnienie. Ekstrema funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

10 Rachunek prawdopodobieństwa


10.1 Własności prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

10.2 Jednowymiarowe zmienne losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

10.2.1 Zmienne losowe o rozkładzie skokowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 8 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

10.2.2 Zmienne losowe o rozkładzie ciągłym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.2.3 Przybliżenia asymptotyczne rozkładu Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . 244

11 Rozwiązania i odpowiedzi 248

11.1 Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248









11.10Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 9 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 1

Elementy logiki i rachunku zbiorów,relacje i odwzorowania

1.1. Rachunek zdań

Zdaniem nazywamy w matematyce wypowiedź oznajmującą, dla której można jednoznacznie

stwierdzić, czy jest prawdziwa, czy fałszywa. Zdania oznaczamy małymi literami p, q, r, . . . . Jeśli

zdanie p jest prawdziwe, to mówimy, że ma wartość logiczną równą 1. Jeśli zdanie p jest fałszy-

we, to mówimy, że ma wartość logiczną równą 0. Korzystając z funktorów zdaniotwórczych ,

-,,,, (nazywanych odpowiednio: negacją, alternatywą, koniunkcją, implikacją, równoważno-

ścią) z danych zdań możemy tworzyć nowe zdania (nazywane zdaniami złożonymi).

Zdanie p, które czytamy nie p lub nieprawda, że p, nazywamy negacją albo zaprzeczeniem


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 10 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

zdania p; zdanie p - q, które czytamy p lub q, nazywamy alternatywą zdań p, q; zdanie p , q,

które czytamy p i q, nazywamy koniunkcją zdań p, q; zdanie p q które czytamy jeśli p, to q,

nazywamy implikacją zdań p, q; zdanie p q, które czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q albo p

jest równoważne q nazywamy równoważnością zdań p, q.

Zauważmy, że negacja jest funktorem jednoargumentowym, pozostałe funktory są dwuar-

gumentowe.

Reguły działania kwantyfikatorów określone są w poniższej tabeli (0 oznacza, że zdanie w na-

główku jest fałszywe, a 1 oznacza, że zdanie w nagłówku jest prawdziwe).

p q p p - q p , q p q p q

0 0 1 0 0 1 1

0 1 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 1 1 1

Z podanych reguł działania kwantyfikatorów wynika, że:

• negacja zmienia wartość logiczną zdania p na przeciwną,

• alternatywa p- q jest zdaniem prawdziwym wówczas, gdy co najmniej jedno ze zdań p, q jest

prawdziwe,

• koniunkcja p , q jest zdaniem prawdziwym tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są prawdziwe,

• implikacja p q jest zdaniem fałszywym tylko wtedy, gdy p jest zdaniem prawdziwym, a q

jest zdaniem fałszywym,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 11 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

• równoważność p q jest zdaniem prawdziwym wtedy, gdy oba zdania mają jednakową

wartość logiczną.

Definicja 1.1. Prawem rachunku zdań lub tautologią nazywamy takie zdanie złożone, które

jest zawsze prawdziwe bez względu na wartości logiczne zdań, z których jest utworzone.

Przykład 1.2. Udowodnimy, że zdanie złożone

p - q p , q(prawo de Morgana dla zaprzeczenia alternatywy) jest tautologią.

Rozwiązanie. W dowodzie wykorzystamy tak zwaną metodę zero-jedynkową. Wypiszemy w tabelce

zdania wchodzące w skład rozpatrywanego wyrażenia i zbadamy ich wartości logiczne w zależności

od wartości logicznych zdań p i q.

p q p - q p - q p q p , q p - q p , q0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 0 0 1

W ostatniej kolumnie otrzymaliśmy same jedynki, co oznacza, że rozważane zdanie jest prawem

rachunku zdań.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 12 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zadania

1.1. (?) Wykazać, że podane wyrażenia są prawami rachunku zdań:

a) p , q p - q – prawo de Morgana dla zaprzeczenia koniunkcji,

b) p q q p – prawo kontrapozycji,

c) p q p - q,d) p q , q p p q,e) p q , q r p r.

1.2. (?) Sprawdzić, czy podane wyrażenia są prawami rachunku zdań:

a) p , q p - q,b) p - q p , q,c) p p , q,d) p , q p - q.

1.3. (?) Dla jakich wartości logicznych p i q prawdziwe są zdania:

a) p q q, b) p q q p, c) p q p - q.1.4. (?) Zapisać zdanie równoważne zdaniu p - q używając funktorów i ,.

1.5. (?) Zapisać zdanie równoważne zdaniu p , q używając funktorów i -.

1.6. (?) Zapisać zdanie równoważne zdaniu p , q używając funktorów i .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 13 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

1.2. Rachunek zbiorów

Zbiory oznaczać będziemy dużymi literami A,B, . . . ,X, a ich elementy małymi literami a, b, . . . , x.

Zapis x >X oznacza, że x jest elementem zbioru X, w przeciwnym przypadku piszemy x ¶X. Zbiór

skończony złożony z n elementów x1, x2, . . . , xn zapisujemy w postaci x1, x2, . . . , xn. Zbiór, który

nie zawiera żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem g.

Specjalne oznaczenia przyjmiemy dla podanych niżej zbiorów liczbowych.

Symbolem N oznaczać będziemy zbiór wszystkich liczb naturalnych (przyjmujemy umowę,

że 0 nie jest liczbą naturalną), symbolem C – zbiór wszystkich liczb całkowitych , symbolem W– zbiór wszystkich liczb wymiernych , symbolem R – zbiór wszystkich liczb rzeczywistych .1

Zdefiniujemy dalej działania na zbiorach, wykorzystując określone w poprzednim paragrafie

funktory zdaniotwórcze.

Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x spełniony

jest warunek

x > A x > B.

Piszemy wówczas A ` B. W przeciwnym przypadku, jeśli A nie jest podzbiorem zbioru B, piszemy

A ~ B.

Mówimy, że zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x spełniony jest

warunek

x > A x > B.

1W literaturze stosuje się również inną symbolikę, zbiór wszystkich liczb całkowitych oznacza się przez Z, a zbiórwszystkich liczb wymiernych przez Q.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 14 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Piszemy wówczas A B. Zauważmy od razu, że A B A ` B ,B ` A.

Sumą zbiorów A, B nazywamy zbiór A 8B określony warunkiem

x > A 8B x > A - x > B,

to znaczy zbiór tych elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów A, B.

Częścią wspólną lub iloczynem zbiorów A, B nazywamy zbiór A 9B taki, że

x > A 9B x > A , x > B,

czyli zbiór tych elementów, które należą do obu zbiorów A, B.

Różnicą zbiorów A, B nazywamy zbiór A B określony warunkiem

x > A B x > A , x ¶ B,

a więc zbiór tych elementów zbioru A, które nie należą do zbioru B.

Na ogół rozpatrujemy podzbiory pewnego ustalonego, niepustego zbioru X. Zbiór X nazywamy

wówczas przestrzenią2, a różnicę X A, gdzie A ` X, nazywamy dopełnieniem zbioru A (w

przestrzeni X) i oznaczamy przez A.

Prawa rachunku zbiorów często dowodzimy korzystając z praw rachunku zdań.

Przykład 1.3. Wykażemy, że A 8B A9B

2używa się również nazwy uniwersum.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 15 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(prawo de Morgana dla dopełnienia sumy zbiorów).

Rozwiązanie. Korzystając z prawa de Morgana dla zaprzeczenia alternatywy, otrzymujemy

x > A 8B x ¶ A 8B x > A 8B x > A - x > B x > A , x > B x > A

, x > B x > A

9B

dla każdego elementu x, a zatem zbiory A 8B i A 9B są równe.

Zadania

1.7. (?) Wykazać, że A 9B A 8 B (prawo de Morgana dla dopełnienia iloczynu

zbiorów).

1.8. (?) Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A,B,C `X spełnione są warunki:

a) A 8A X, b) A 9A g, c) A B A 9B, d) A ` A 8B,

e) A B 8C A B 9 A C, f) A B 9C A B 8 A C,g) A ` B ,A ` C A ` B 9C, h) A ` C ,B ` C A 8B ` C.

1.3. Rachunek kwantyfikatorów

Definicja 1.4. Niech X x g. Funkcją zdaniową zmiennej x, gdzie x >X, nazywamy wyrażenie

ϕ x, które staje się zdaniem (prawdziwym lub fałszywym), gdy za zmienną x podstawimy nazwę


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 16 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

dowolnego elementu ze zbioru X. Zbiór X nazywamy zakresem zmienności funkcji zdaniowej ϕ x.Funkcję zdaniową zmiennej x zapisujemy w postaci ϕ x, x >X, a zbiór tych wszystkich elementów

x >X, dla których ϕ x jest zdaniem prawdziwym oznaczamy symbolem

x >X ϕ x .Przykład 1.5. Niech A `X, ϕ x x > A, wówczas x >X ϕ x A.

Przykład 1.6. Wyrażenie x21 @ 0, x > R, jest funkcją zdaniową. Podstawiając x 0 otrzymujemy

zdanie prawdziwe, a podstawiając x 1 otrzymujemy zdanie fałszywe. Łatwo można zauważyć, że

x > R x2 1 @ 0 1,1 .

Korzystając z funkcji zdaniowych możemy zapisać sumy, iloczyny i różnice podzbiorów ustalo-

nego zbioru X w postaci

A 8B x >X x > A - x > B ,A 9B x >X x > A , x > B ,A B x >X x > A - x ¶ B .

Z funkcji zdaniowych korzystamy często w sformułowaniach definicji i twierdzeń. Używamy

wówczas zwrotów

dla każdego x >X spełniony jest warunek ϕ x


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 17 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

oraz

istnieje x >X spełniający warunek ϕ x.Zdania te zapisujemy odpowiednio w postaci

x>Xϕ x oraz

x>Xϕ x. Symbol nazywamy

kwantyfikatorem ogólnym, a symbol nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym (lub

egzystencjalnym). Zdanie x>X

ϕ x jest prawdziwe wówczas, gdy

x >X ϕ x X,a zdanie

x>Xϕ x jest prawdziwe wówczas, gdy

x >X ϕ x x g.Uwaga. W literaturze często używa się innych oznaczeń, kwantyfikator ogólny oznacza się

symbolem ¦, a kwantyfikator egzystencjalny – symbolem §.

Przykład 1.7. Wykażemy, że

x>X

ϕ x x>X

ϕ x(prawo de Morgana zaprzeczenia kwantyfikatora ogólnego).

Rozwiązanie. Należy pokazać, że wartości logiczne zdań obu zdań x>X

ϕ x i x>X

ϕ x są

jednakowe. Zdanie x>X

ϕ x jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie x>X

ϕ x jest prawdziwe,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 18 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

tzn. wtedy, gdy x >X ϕ x X; wówczas

x >X ϕ x x >X ϕ x g,a więc zdanie

x>X ϕ x jest również fałszywe.

Zdanie x>X

ϕ x jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie x>X

ϕ x jest fałszywe, tzn.

wtedy, gdy x >X ϕ x xX; wówczas

x >X ϕ x x >X ϕ x x g,czyli zdanie

x>X ϕ x jest również prawdziwe.

Niech ϕ x, ψ x będą funkcjami zdaniowymi zmiennej x > X. Przez ψxϕ x oznaczamy

zdanie

x>X

ψ x ϕ x ,a przez

ψxϕ x – zdanie

x>X

ψ x , ϕ x .Niech X x g, I x g. Załóżmy, że dla każdego i > I jest określony zbiór Ai ` X. Zbiór tych

wszystkich zbiorów Ai nazywamy indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru X i oznaczamy

symbolem Aii>I .Definicja 1.8. Sumą uogólnioną indeksowanej rodziny Aii>I podzbiorów zbioru X nazywamy


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 19 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

zbiór

i>I

Ai x >X i>I

x > Ai¡.Iloczynem uogólnionym indeksowanej rodziny Aii>I podzbiorów zbioru X nazywamy zbiór

i>I

Ai x >X i>I

x > Ai¡.Z powyższej definicji wynika, że

x >i>I

Aii>I

x > Ai,

x >i>I

Aii>I

x > Ai,

suma uogólniona indeksowanej rodziny rodziny Aii>I jest zatem zbiorem tych elementów zbioru

X, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów Ai, a iloczyn uogólniony indeksowanej rodziny

rodziny Aii>I jest zbiorem tych elementów zbioru X, które należą do każdego zbioru Ai.

Przykład 1.9. Niech At x > R tx @ 1 dla każdej liczby rzeczywistej t. Wyznaczymy t>RAt oraz

t>RAt.

Rozwiązanie. Zauważmy, że A0 x > R 0x @ 1 R. Jeśli t A 0, to

At x > R tx @ 1 x > R x @ 1t ª, 1

t .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 20 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Jeśli t @ 0, to

At x > R tx @ 1 x > R x A 1t 1

t ,ª .Stąd wynika, że

t>RAt R,

t>RAt 0.

W szczególnym przypadku, gdy I N, zamiast n>N

An piszemyªn1

An, a zamiast n>N

An piszemyªn1

An.

Przykład 1.10. Jeśli An a 1n ,1

1nf dla n > N, to

ªn1

An `1,1 orazªn1

An 0.

Przykład 1.11. Wykażemy, że i>IAi

i>IA

i (prawo de Morgana dopełnienia sumy

uogólnionej ).

Rozwiązanie. Korzystając z prawa de Morgana zaprzeczenie kwantyfikatora ogólnego, otrzymu-

jemy

x > i>I

Ai x ¶i>I

Ai x >i>I

Aii>I

x > Aii>I

x > Aii>I

x > A

i x >i>I

A

i.

Zadania

1.9. (?) Udowodnić, że

x>X

ϕ x x>X

ϕ x(prawo de Morgana zaprzeczenia kwantyfikatora szczegółowego).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 21 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

1.10. (?) Udowodnić, że i>IAi

i>IA

i (prawo de Morgana dopełnienia iloczynu uogól-

nionego).

1.11. (?) Niech At x > R x2 @ t dla każdej liczby rzeczywistej t. Wyznaczyć t>RAt oraz

t>RAt.

1.12. (?) Wyznaczyćªn1

An iªn1

An, jeśli:

a) An a 1n ,

1nf, b) An 1

n ,1n, c) An a1n 1

n ,1 1nf.

1.4. Relacje

Niech X x g, Y x g. Symbolem x, y, gdzie x > X, y > Y , oznaczamy parę uporządkowaną

o poprzedniku x i następniku y.

Definicja 1.12. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór

X Y x, y x >X , y > Y .Przykład 1.13. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X 1,2,3 i Y a, b jest zbiór

X Y 1, a , 2, a , 3, a , 1, b , 2, b , 3, b .Definicja 1.14. Niech X x g, Y x g. Dowolny podzbiór ρ ` X Y nazywamy relacją określoną

w iloczynie kartezjańskim zbiorów X i Y . Jeśli X Y , to relację ρ ` X X nazywamy relacją


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 22 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

w zbiorze X. Mówimy, że element x jest w relacji z elementem y, jeśli x, y > ρ, piszemy wówczas

również xρy. Dziedziną relacji ρ nazywamy zbiór

Dρ x >X y>Y

x, y > ρ,przeciwdziedziną – zbiór

Pρ y > Y x>X

x, y > ρ.Relacją odwrotną do relacji ρ nazywamy relację ρ1 y, x > Y X x, y > ρ.

Przykład 1.15. Niech ρ 1,2 , 1,3 , 2,3 , 3,4 , 3,5 ` N N, wówczas

Dρ 1,2,3 , Pρ 2,3,4,5 , ρ1 2,1 , 3,1 , 3,2 , 4,3 , 5,3 .Zajmiemy się obecnie wybranymi relacjami określonymi w zbiorze X.

Definicja 1.16. Relację ρ `X X nazywamy:

a) zwrotną x>X

x,x > ρ,b) przeciwzwrotną

x>X x,x > ρ,

c) symetryczną x,y>X

x, y > ρ y, x > ρ ,d) przeciwsymetryczną

x,y>Xx, y > ρ y, x > ρ,

e) przechodnią x,y,z>X

x, y > ρ , y, z > ρ x, z > ρ ,f) antysymetryczną

x,y>Xx, y > ρ , y, x > ρ x y ,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 23 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

g) spójną x,y>X

x, y > ρ - y, x > ρ.Przykład 1.17. Określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych R relacja niewiększości B

jest zwrotna, przechodnia, antysymetryczna i spójna, a relacja mniejszości @ jest przeciwzwrotna,

przeciwsymetryczna i przechodnia.

Przykład 1.18. Określona w przestrzeni R2 relacja

<@@@@>x1

x2

=AAAA? B<@@@@> y1

y2

=AAAA? x1 B y1 , x2 B y2

jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, ale nie jest spójna.

Definicja 1.19. Relację ρ ` X X nazywamy częściowym porządkiem wtedy i tylko wtedy,

gdy ρ jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. Jeśli ponadto ρ jest spójna, to ρ nazywamy

porządkiem liniowym. Parę X,ρ nazywamy wówczas odpowiednio przestrzenią częściowo

(lub liniowo) uporządkowaną.

Definicja 1.20. Relację ρ `X X nazywamy nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko

wtedy, gdy ρ jest zwrotna, przechodnia i symetryczna. Jeśli xρy, to mówimy, że elementy x i y są

równoważne.

Definicja 1.21. Klasą abstrakcji o reprezentancie x >X relacji relacji równoważności ρ `X X

nazywamy zbiór xρ y >X xρy. Zbiór klas abstrakcji relacji równoważności ρ nazywamy

przestrzenią ilorazową i oznaczamy symbolem X~ρ.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 24 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 1.22. Rodzinę Aii>I niepustych i parami rozłącznych podzbiorów przestrzeni X taką,

że i>IAi X nazywamy podziałem zbioru X.

Twierdzenie 1.23. Jeśli ρ jest relacją równoważności w zbiorze X, to zbiór klas abstrakcji relacji

ρ jest podziałem zbioru X.

Przykład 1.24. W zbiorze wszystkich liczb naturalnych N określamy relację

nρk p>N

n k 2p.

Wykażemy, że ρ jest relacją równoważności i wyznaczymy klasy abstrakcji tej relacji.

Rozwiązanie. Relacja ρ jest oczywiście zwrotna i symetryczna, wykażemy, że jest również prze-

chodnia. Załóżmy, że nρk i kρm, tzn. n k 2p i k m 2q, gdzie p, q > N, wówczas

n m n k k m 2k 2 p q k ,przy czym p q k > N. Relacja ta ma dwie klasy abstrakcji:

1ρ 1,3,5, ... ,2ρ 2,4,6, ... .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 25 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zadania

1.13. (?) Wykazać, że jeśli niepusta relacja ρ `X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest

przeciwsymetryczna.

1.14. (?) Zbadać czy relacja ρ ` X X jest zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, przeciwsy-

metryczna, przechodnia, antysymetryczna, spójna, jeśli:

a) X N, kρn nSk, 3

b) X R,xρy SxS SyS,c) X R, xρy x @ y,

d) X R, xρy x y 2,

e) X R, xρy sgnx sgn y ,

f) X R, xρy x2 y2 1.

1.15. (?) Sprawdzić, czy określona w zbiorze 2R, relacja AρB A ` B jest:

a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem.

1.16. (?) W zbiorze R2 określamy relację

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? Sx1S Sx2S B Sy1S Sy2S .Sprawdzić, czy ρ jest:


3Zapis nSk oznacza, że liczba n jest dzielnikiem liczby k.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 26 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? x1 @ y1 - x1 y1 , x2 @ y2 - x1 y1 , x2 y2 .Sprawdzić, czy ρ jest:


1.18. (?) Niech f R2 R będzie dowolną funkcją. Sprawdzić, czy określona w zbiorze R2 relacja

xρy f x B f y jest:


1.19. (?) W zbiorze X a, b, c, d, e określona jest relacja

ρ a, a , b, b , b, c , c, c , c, b , d, d , d, e , e, d , e, e .Wykazać, że ρ jest relacją równoważności i podać podział na klasy abstrakcji.

1.20. (?) Sprawdzić, czy ρ `X X jest relacją równoważności, jeśli:

a) X N, kρn p>C

k n 3p,

b) X N, kρn p>N

k n 3p,

c) X R, xρy x2 y2,

d) X R, xρy sinx sin y,

e) X R2, xρy x21 x

22 y

21 y

22.

Jeśli ρ jest relacją równoważności, to podać podział na klasy abstrakcji.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 27 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

1.21. (?) Niech f R2 R będzie dowolną funkcją. Sprawdzić, czy określona w zbiorze R2 relacja

xρyfx fy jest relacją równoważności.


<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? k>C

x1 y1 k , x2 y2 k .a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności.

b) Wyznaczyć klasę abstrakcji<@@@@> 1

2

=AAAA?.


<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? x21 x

22 y

21 y

22.

a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności.

b) Podać ilustrację graficzną klasy abstrakcji<@@@@><@@@@> 1

1

=AAAA?=AAAA?.

1.24. (?) W zbiorze X R 0 określamy relację

xρy x y x 1y 0.



Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 28 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 12.

1.25. (?) W zbiorze R określamy relację

xρy k>C

x2 y2 k.


b) Wyznaczyć klasę abstrakcji º2.1.26. (?) W zbiorze W określamy relację

xρy k>C

x y k.


b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 12.

1.27. (?) W zbiorze R określamy relację

xρy w>W

x y w.


b) Wyznaczyć klasę abstrakcji º2.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 29 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

1.28. (?) W zbiorze N2 określamy relację

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? x1 y1 x2 y2.


b) Wyznaczyć klasę abstrakcji<@@@@><@@@@> 2

1

=AAAA?=AAAA?.


<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? x1 x22 y1 y22

.


b) Wyznaczyć klasę abstrakcji<@@@@><@@@@> 1

3

=AAAA?=AAAA?.


<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? sin x1 x2 sin y1 y2 .a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności.

b) Wyznaczyć klasę abstrakcji<@@@@><@@@@>

12π

12π

=AAAA?=AAAA?.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 30 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? cos x1 x2 cos y1 y2 .a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności.

b) Wyznaczyć klasę abstrakcji<@@@@><@@@@>

14π

14π

=AAAA?=AAAA?.

1.5. Odwzorowania

Definicja 1.25. Relację ρ `X Y nazywamy:

a) prawostronnie jednoznaczną wtedy i tylko wtedy, gdy

x>X

y1,y2>Y

x, y1 > ρ , x, y2 > ρ y1 y2,

b) lewostronnie jednoznaczną wtedy i tylko wtedy, gdy

x1,x2>X

y>Y

x1, y > ρ , x2, y > ρ x1 x2.

Definicja 1.26. Odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y (lub funkcją przekształcającą X w Y )

nazywamy prawostronnie jednoznaczną relację f ` X Y taką, że Df X. Zamiast f ` X Y

piszemy wówczas f X Y , a zamiast x, y > f piszemy y f x.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 31 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Jeśli f X Y jest odwzorowaniem i A ` X, to przez f SA oznaczamy odwzorowanie f SA

A Y określone wzorem f SA x f x dla x > A. Odwzorowanie f SA nazywamy obcięciem

odwzorowania f do zbioru A.

Definicja 1.27. Niech f X Y , A `X, B ` Y .

a) Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy zbiór

f A y > Y x>A

y f x f x x > A .b) Przeciwobrazem zbioru B przy odwzorowaniu f nazywamy zbiór

f1 B x >X y>B

y f x x >X f x > B .Definicja 1.28. Odwzorowanie f X Y nazywamy:

a) suriekcją lub odwzorowaniem zbioru X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy

y>Yx>X

y f x ,b) iniekcją lub odwzorowaniem różnowartościowym wtedy i tylko wtedy, gdy

x1,x2>X

x1 x x2 f x1 x f x2 ,c) bijekcją lub odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym wtedy i tylko wtedy, gdy f


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 32 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

jest suriekcją i iniekcją.

Uwagi:

1. Odwzorowanie f X Y jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy Pf Y , tzn., gdy f X Y .

2. Warunek na różnowartościowość odwzorowania f można zapisać w równoważnej postaci

x1,x2>X

f x1 f x2 x1 x2.

Twierdzenie 1.29. Jeśli f X Y jest bijekcją, to relacja odwrotna f1:

a) jest odwzorowaniem zbioru Y na zbiór X,

b) jest bijekcją.

Odwzorowanie f1 Y Y nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do odwzorowania f .

Związek między wartościami f i f1 można zapisać w postaci

x>X

y>Y

y f x x f1 y .Definicja 1.30. Złożeniem lub superpozycją odwzorowań

f X Y, g Y Z

nazywamy odwzorowanie g X f X Z określone wzorem g X f x g f x.Twierdzenie 1.31. Jeśli odwzorowania f X Y , g Y Z są suriekcjami, to gXf jest suriekcją.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 33 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 1.32. Jeśli odwzorowania f X Y , g Y Z są iniekcjami, to g X f jest iniekcją.

Twierdzenie 1.33. Jeśli odwzorowania f X Y , g Y Z są bijekcjami, to:

a) g X f jest bijekcją,

b) g X f1 f1 X g1.

Zadania

1.32. (?) Sprawdzić, czy relacja f jest odwzorowaniem:

a) f n, y > N W n 2y 3 0,

b) f n, k > N N n k 2,

c) f x, y > R2 x y,

d) f x, y > R2 x2 y2,

e) f x, y > R2 sinx sin y.

1.33. (?) Niech f R R, f x x SxS. Wyznaczyć f `1,1e, f R, f `1,2e, f1 0,f1 `0,ª.1.34. (?) Niech f R R, f x x2 x 2. Wyznaczyć f `2,1e, f R, f `2,0e, f1 0,f1 R.1.35. (?) Niech f R R, f x sinx. Wyznaczyć f a1

2π,12πf, f R, f1 0, f1 a0, 1

2f,f1 R.1.36. (?) Wyznaczyć złożenie g X f funkcji:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 34 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) f R R, f x 2x 1, g R R, g x x2;

b) f R R, f x ºx, g R R, g x x2.

1.37. (?) Wyznaczyć złożenie g X f i f X g funkcji f R 0 R, f x logx, g R R 0,

g x 100x.

1.38. (?) Zbadać różnowartościowość funkcji:

a) f R 1 R, f x xx1 ,

b) f 0,ª R, f x lnx2,

c) f R 0 R, f x arc tg 1x,

d) f `1,1e R, f x arc sinx arc cosx.

1.39. (?) Niech f R 12π,

12π, f x arc tg 3x 2.

a) Wykazać, że f jest bijekcją.

b) Wyznaczyć f1.

1.40. (?) Niech f R2 R2, f<@@@@>x1

x2

=AAAA?

<@@@@>x1 x2

x1 x2

=AAAA?.

a) Wykazać, że f jest bijekcją.

b) Wyznaczyć f1.

c) Wyznaczyć 4f R2, f1 y > R2 y1y2 B 0.

4Rn x > Rn xj C 0 dla j 1,2, ..., n.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 35 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 2

Własności funkcji

2.1. Dziedzina, zbiór wartości, wykres

Jak pamiętamy, w szkole definiowaliśmy pojęcie funkcji w następujący sposób. Jeżeli każdemu ele-

mentowi x zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element y zbioru Y, to mówimy, że w

zbiorze X określona jest funkcja f zmiennej x o wartościach ze zbioru Y. Bardziej formalnie, na

funkcję możemy patrzeć jako na pewien podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y (por. roz-

dział 1). Powtórzymy dla przypadku, gdy X,Y ` R sformułowane w rozdziale 1 definicje dotyczące

odwzorowań.

Definicja 2.1. Niech X,Y ` R, X x g,Y x g. Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy podzbiór

f zbioru X Y taki, że dla każdego x >X istnieje dokładnie jeden y > Y taki, że x, y > f .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 36 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Uwagi:

1. Zamiast x, y > f piszemy zwykle y fx.2. Funkcję nazywamy też przekształceniem lub odwzorowaniem . Mówimy, że funkcja f

przekształca (odwzorowuje) zbiór X w zbiór Y. Stosujemy przy tym zapisy:

f X Y, y fx;y fxdla x >X;

x( fxdla x >X.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji (oznaczamy go również symbolem Df ), a elementy x tego

zbioru argumentami funkcji. Z kolei y0 fx0 nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x0.

Mówimy też, że y0 jest wartością funkcji f w punkcie x0. Zbiór tych y > Y , dla których istnieje

x >X, takie że y fx nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez fX. Funkcję

f X Y , gdzie X,Y ` R, nazywamy funkcją rzeczywistą jednej zmiennej rzeczywistej .

Często, określając funkcję podaje się sam wzór y fx. Za dziedzinę funkcji przyjmujemy

wtedy zbiór tych wszystkich x, dla których wyrażenie fx jest dobrze określone.

Dla funkcji rzeczywistej jednej zmiennej możemy podać ilustrację graficzną wykresu funkcji, a

więc zbioru tych punktów x, y płaszczyzny kartezjańskiej, których współrzędne spełniają warunek

y fx dla x >X. Zważywszy na definicję 2.1, wykres funkcji utożsamiać możemy ze zbiorem f .

Na rysunkach 2.1-2.6 przypominamy wykresy wybranych funkcji znanych ze szkolnego kursu

matematyki.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 37 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 2.1: f R R, fx ax b

(a) f R R, fx x2 (b) f R R, fx x3

Rysunek 2.2: Wykresy wybranych funkcji


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 38 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) f R 0 R, fx 1x

(b) f `0,ª R, fx ºx


(a) f R R, fx ax (b) f 0,ª R, fx loga x



Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 39 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) f R R,fx sinx (b) f R R,fx cosx


(a) f R π2 kπ k > C, fx tgx (b) f R kπ k > C, fx ctgx



Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 40 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Wraz z funkcją f X R możemy rozważać funkcje:

y fx dla x >X,

y fx dla x > x x > R , x >X,y fx q dla x >X i q > R,

y fx p dla x > x x > R , x p >X.Łatwo zauważyć, że wykresy powyższych funkcji można otrzymać przekształcając w odpowiedni

sposób wykres funkcji f .

Tabela 2.1: Przekształcenia wykresu funkcji

przekształcenie v obraz wykresu funkcji f w przekształceniu v

symetria osiowa względem osi Oy y fxsymetria osiowa względem osi Ox y fx

translacja o wektor 0, q y fx qtranslacja o wektor p,0 y fx p

Przykład 2.2. Narysujemy wykres funkcji

g ª,4e R, gx Sº4 x 2S.Kolejne etapy rysowania wykresu przedstawiamy na rysunku 2.7. W pierwszym kroku wykres

funkcji f `0,ª R, fx ºx przekształcamy, stosując symetrię osiową względem osi 0y.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 41 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Otrzymujemy w ten sposób wykres funkcji y ºx, który przesuwamy o wektor 4,0. W wyniku

tego przesunięcia dostajemy wykres funkcji y »x 4, który znowu przesuwamy, tym razem o

wektor 0,2. Trzeba jeszcze zauważyć, że

ShxS ¢¦¤hx gdy hx C 0,

hx gdy hx @ 0.

Jeśli zatem część wykresu funkcji y º

4 x 2 znajdującą się pod osią 0x odbijemy symetrycznie

względem tej osi, to otrzymamy wykres funkcji g.

(a) Przekształcenia wykresu funkcjifx º

x(b) Przekształcenia wykresu funkcjifx 4 º

4 x

Rysunek 2.7: Kolejne etapy rysowania wykresu funkcji y Sº4 x 2S z przykładu 2.2


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 42 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

2.2. Funkcje różnowartościowe, funkcje na,

funkcje wzajemnie jednoznaczne

Definicja 2.3. Funkcję f X Y nazywamy różnowartościową lub iniekcją wtedy i tylko

wtedy, gdy

x1,x2>X

x1 x x2 fx1 x fx2 .Uwaga. Warunek z definicji jest równoważny następującemu warunkowi:

x1,x2>X

fx1 fx2 x1 x2 .Przykład 2.4. a) Funkcja f R R, fx x2 nie jest funkcją różnowartościową. Na przykład

f2 f2 4.

b) Funkcja g R R, gx 3x 1 jest różnowartościowa. Jeśli bowiem gx1 gx2, czyli

3x1 1 3x2 1, to oczywiście x1 x2.

Przypominamy, że jeśli mamy do dyspozycji wykres funkcji, to badanie różnowartościowości

sprowadza się do wyznaczania punktów przecięcia wykresu funkcji z prostymi równoległymi do osi

0x. Jeśli dla każdego a > R prosta o równaniu y a ma z wykresem funkcji co najwyżej jeden punkt

wspólny, to rozważana funkcja jest różnowartościowa. Patrz rysunek 2.8.

Przykład 2.5. Zbadamy, czy funkcja f R 2 R, fx xx2 jest różnowartościowa. Przy-

puśćmy, że fx1 fx2, czyli x1x12

x2x22 dla pewnych x1, x2 > R 2. Przekształcając ostatnią


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 43 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Funkcja nie jest różnowartościowa (b) Funkcja jest różnowartościowa

Rysunek 2.8: Pojęcie funkcji różnowartościowej. Przykład 2.4

równość, otrzymujemy

x1x2 2 x2x1 2 x1x2 2x1 x1x2 2x2 x1 x2.

A zatem f jest funkcją różnowartościową.

Definicja 2.6. Mówimy, że funkcja f X Y przekształca zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko

wtedy, gdy dla każdego y > Y istnieje x >X takie, że y fx.Uwaga. Funkcja f X Y przekształca zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

wartości funkcji f jest równy Y .

Funkcję, która przekształca zbiór X na zbiór Y będziemy nazywać krótko funkcją „na” albo

suriekcją .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 44 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 2.7. a) Funkcja f R R, fx x2 nie jest funkcją „na”. Na przykład, dla y 1 nie

istnieje x > R takie, że y fx, bowiem równanie x2 1 nie ma rozwiązania w zbiorze R.

b) Weźmy teraz pod uwagę funkcję g R `0,ª, gx x2. Zauważmy, że dla dowolnego y C 0

istnieje x > R takie, że y fx. Dla y A 0 mamy y x2 wtedy i tylko wtedy gdy x ºy lub

x ºy. Dla y 0 mamy x2 0, czyli x 0. A zatem funkcja g jest „na”.

Przykład 2.8. Funkcja g R R, gx 3x1 jest funkcją „na”. Dla dowolnego y > R znajdziemy

x > R takie, że y gx. Wystarczy zauważyć, że y 3x 1 wtedy i tylko wtedy, gdy x y13 .

Przykład 2.9. Zbadany czy funkcja f R 2 R, fx xx2 jest „na”. Weźmy dowolne y > R.

Szukamy x > R 2 takiego, że y xx2 . Przekształcając kolejno, mamy yx 2 x wtedy i tylko

wtedy, gdy yxx 2y, czyli y1x 2y. Zauważmy, że dla y 1 równanie jest sprzeczne (0x 2.A zatem funkcja f nie jest „na”.

Dodatkowo, biorąc pod uwagę to, że dla y x 1 równanie y1x 2y ma rozwiązanie, dochodzimy

do wniosku, że zbiór R 1 jest zbiorem wartości funkcji f .

Definicja 2.10. Funkcję f X Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją

wtedy i tylko wtedy, gdy f przekształca zbiór X na zbiór Y i jest różnowartościowa.

Przykład 2.11. W przykładach 2.4 i 2.8 pokazaliśmy, że funkcja g R R, gx 3x 1 jest

różnowartościowa i „na”. Jest zatem funkcją wzajemnie jednoznaczną.

2.3. Monotoniczność funkcji

Definicja 2.12. Niech f X Y , mówimy, że funkcja f jest:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 45 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Funkcja malejąca (b) Funkcja niemalejąca

Rysunek 2.9: Funkcje monotoniczne

rosnąca x1,x2>X

x1 @ x2 fx1 @ fx2 ;

malejąca x1,x2>X

x1 @ x2 fx1 A fx2 ;

niemalejąca x1,x2>X

x1 @ x2 fx1 B fx2 ;

nierosnąca x1,x2>X

x1 @ x2 fx1 C fx2;stała

x1,x2>X

fx1 fx2.Uwaga. Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia któryś z

powyższych warunków. W sytuacji, gdy któryś z powyższych warunków jest spełniony dla dowol-

nych x1 i x2 należących do pewnego przedziału zawartego w dziedzinie mówimy, że funkcja f jest

rosnąca (malejąca itp.) w tym przedziale.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 46 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 2.13. Niech f R 2 R, fx xx2 . Pokażemy, że funkcja f maleje w przedziale2,ª. Weźmy pod uwagę dowolne x1, x2 > 2,ª takie, że x1 @ x2. Oczywiście

fx2 fx1 x2

x2 2

x1

x1 2

2x1 x2x2 2x1 2 .Z nierówności x1 @ x2 wynika, że x1 x2 @ 0. Z kolei dla x1, x2 > 2,ª mamy x1 2 A 0 oraz

x2 2 A 0. A zatem 2x1x2x22x12 @ 0 i tym samym fx2 fx1 @ 0.

Zauważmy jeszcze, że dla x1, x2 > ª,2 takich, że x1 @ x2, mamy x1 2 @ 0 oraz x2 2 @ 0.

Tak więc fx2 fx1 @ 0 i funkcja f maleje także w przedziale.

Warto podkreślić, że funkcja f nie jest malejąca. Na przykład f1 13 , f4 2. A zatem

f1 @ f4 mimo, że 1 @ 4.

Własności funkcji f badaliśmy w przykładach 2.5 oraz 2.9. Oczywiście własności te można łatwo

odczytać z wykresu funkcji. Aby wykonać wykres (patrz rysunek 2.10) wystarczy zauważyć, że

fx x

x 2x 2 2x 2

2

x 2 1.

2.4. Ekstrema lokalne funkcji

Definicja 2.14. Niech funkcja f X Y , x0 >X.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 47 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 2.10: Wykres funkcji z przykładu 2.5, 2.9, 2.13.

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne

rA0

x>X9x0r,x0r

fx B fx0.Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne

rA0

x>X9x0r,x0r

fx C fx0.Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi .

Ilustrację ekstremów lokalnych przedstawia rysunek 2.11.

Uwaga. Jeśli dla każdego x >X 9 x0 r, x0 r x0 spełniona jest nierówność fx @ fx0,to mówimy o właściwym maksimum lokalnym. Podobnie definiujemy pojęcie właściwego minimum

lokalnego.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 48 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 2.11: Maksimum lokalne

Przykład 2.15. Funkcja f R R, fx 1 x2 ma w punkcie x0 0 maksimum lokalne (patrz

rysunek 2.12). Zauważmy, że w tym punkcie f ma jednocześnie wartość największą (tzn. fx0 Cfx dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f).

Funkcja g R R, gx S1 x2S ma również w punkcie x0 0 maksimum lokalne. Tym razem

gx0 nie jest największą wartością funkcji. Zauważmy jeszcze, że funkcja g ma w punktach x 1

oraz x 1 minima lokalne.

Przykład 2.16. Rozważmy funkcję f R R, fx ¢¦¤x 1 dla x A 0

x 1 dla x B 0

oraz funkcję g R R , gx ¢¦¤x 1 dla x C 0

x 1 dla x @ 0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 49 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Funkcja ma w punkcie x 0 maksi-mum lokalne i osiąga w tym punkcie war-tość największą

(b) Funkcja ma w punkcie x 0 mak-simum lokalne i nie ma w tym punkciewartości największej

Rysunek 2.12: Maksimum lokalne a największa wartość funkcji


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 50 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Funkcja ma w punkcie x 0 maksi-mum lokalne

(b) Funkcja ma w punkcie x 0 mini-mum lokalne

Rysunek 2.13: Ekstrema lokalne funkcji

Funkcja f ma w punkcie x0 0 maksimum lokalne. Funkcja g ma w punkcie x0 0 minimum

lokalne (patrz rysunek 2.13).

2.5. Obraz i przeciwobraz

Definicja 2.17. Niech f X Y oraz A `X. Obrazem zbioru A względem funkcji f nazywamy

zbiór

fA y > Y x>A

y fx.Definicja 2.18. Niech f X Y oraz B ` Y . Przeciwobrazem zbioru B względem funkcji f


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 51 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Obraz zbioru A (na zielono) (b) Przeciwobraz zbioru B (na zielono)

Rysunek 2.14: Obraz i przeciwobraz. Przykład 2.19

nazywamy zbiór

f1B x >X y>B

y fx.Uwaga. Mówimy też o obrazie (przeciwobrazie) zbioru wyznaczonym przez funkcję f lub o

obrazie (przeciwobrazie) zbioru przy odwzorowaniu f .

Przykład 2.19. Niech f R R, fx x2. Niech A `2,1 oraz B 1,4e. Wykorzystując

wykres funkcji f (patrz rysunek 2.14), łatwo zauważyć, że fA `0,4e oraz

f1B `2,1 8 1,2e.Przykład 2.20. Weźmy pod uwagę funkcję f R R określoną następująco:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 52 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Obraz zbioru A (na zielono) (b) Przeciwobraz zbioru B (na zielono)

Rysunek 2.15: Obraz i przeciwobraz. Przykład 2.20

fx ¢¦¤

3 Sx 2S dla x > ª,1 ,2 dla x > `1,1,

2x dla x > `1,ª.Wyznaczymy obraz zbioru A `4,1e oraz przeciwobraz B 1,1. Wykres funkcji f przedsta-

wiamy na rysunku 2.15. Na podstawie wykresu funkcji f łatwo stwierdzić, że fA `1,3e 8 12

oraz f1B 6,4 8 `1,ª.Przykład 2.21. Rozpatrujemy funkcję f R R, fx 1

x21 . Znajdziemy obraz zbioru A 2,1e. Zauważmy, że jeśli x > 2,1e, to x2 > `0,4 i tym samym x21 > `1,5. Dla y > `1,5 mamy1y > 1

5 ,1e. Ostatecznie fA 15 ,1e.

Wyznaczymy teraz przeciwobraz zbioru B `14 ,1. Szukamy rozwiązania nierówności 1

4 B fx @


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 53 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

1 dla x należących do dziedziny funkcji f (w naszym przypadku dla x > R). W kolejnych krokach

otrzymujemy: ¢¦¤1

x21 C 14

1x21 @ 1

¢¦¤x2 1 B 4

x2 1 A 1

¢¦¤x2 B 3

x2 A 0

¢¦¤x > `º3,

º3e

x x 0.

Ostatecznie fB `º3,º

3e 0.

2.6. Złożenie funkcji

Zajmiemy się teraz sytuacją, w której wartość jednej funkcji staje się argumentem drugiej funkcji.

Definicja 2.22. Niech f X Y oraz g Y Z, gdzie fY ` Y . Złożeniem funkcji f i g

nazywamy funkcję g X f X Z określoną wzorem:

g X f x gfx.Uwaga. Złożenie funkcji nazywamy także superpozycją funkcji.

Przykład 2.23. Weźmy pod uwagę funkcję f R R, fx cosx oraz g R R, gx x2.

Oczywiście zbiór wartości funkcji f zawiera się w dziedzinie funkcji g. Możemy zatem określić

złożenie funkcji f i g. Mamy g X f x gfx gcosx cosx2 dla x > R.Podobnie gR zawiera się w dziedzinie funkcji f. Tak więc możemy wyznaczyć funkcję f X g.

Mamy f X g x fgx fx2 cosx2 dla x > R.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 54 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 2.24. Niech funkcja f `0,ª R będzie określona wzorem fx ºx, zaś funkcja

g 2,ª R – wzorem gx log3x2. Biorąc pod uwagę to, że f`0,ª `0,ª ` 2,ª,mamy g X f x gfx log3fx 2 log3ºx 2dla x > `0,ª. Zauważmy też, że zbiór wartości funkcji g nie zawiera się w dziedzinie funkcji f ,

gdyż (g2,ª R,) i tym samym nie możemy określić złożenia funkcji f X g.

Oczywiście, gdybyśmy zamiast funkcji g, wzięli pod uwagę na przykład funkcję g `1,ª R,

gx log3x 2, to mielibyśmy

f X g x fgx flog3x 2 »log3x 2dla x > `1,ª.2.7. Funkcja odwrotna

Rozważania rozpoczniemy od przykładu.

Przykład 2.25. Weźmy pod uwagę funkcję f 1,2,3 1,3,5 określoną następująco, f1 5, f2 3 oraz f3 1. Oczywiście funkcja f jest różnowartościowa. Rozważmy funkcję g 1,3,5 1,2,3 określoną następująco: g1 3, g3 2 oraz g5 1. Zauważmy, że

fx y wtedy i tylko wtedy, gdy gy x dla x > 1,2,3 i y > 1,3,5. Niech teraz zx gfxdla x > 1,2,3. Oczywiście z1 g5 1 i ogólnie zx x dla x > 1,2,3. Łatwo sprawdzić, że

również fgy y dla y > 1,3,5.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 55 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 2.26. Niech f X Y . Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję g X Y

spełniającą następujący warunek:

x>X

y>Y

fx y gy x.Uwaga. Funkcję odwrotną do funkcji f oznaczamy przez f1.

Przykład 2.27. a) Weźmy pod uwagę funkcję f `0,ª`0,ª, fx x2 . Zauważmy, że dla

każdego x C 0 oraz y C 0 mamy: y x2 wtedy i tylko wtedy, gdy x ºy. A zatem funkcją

odwrotną do funkcji f jest funkcja przekształcająca zbiór `0,ª w zbiór `0,ª i określona wzorem

f1y ºy.

b) Rozważmy teraz funkcję g ª,0e`0,ª, gx x2. Dla każdego x B 0 oraz y C 0 mamy:

y x2 wtedy i tylko wtedy, gdy x ºy. W tym przypadku g1 `0,ª ª,0e , g1y ºy.

Twierdzenie 2.28. Funkcja f X Y ma funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcją

wzajemnie jednoznaczną.

Przykład 2.29. Funkcja f R `0,ª, fx x2 nie jest różnowartościowa. A zatem f nie ma

funkcji odwrotnej.

Przykład 2.30. Funkcja f R R, fx 2x2 jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wyznaczy-

my funkcję odwrotną do f . Dowolnemu y chcemy przyporządkować x takie, że y fx. Szukamy

zatem takiego x, że y 2x 2. Z tego równania wyznaczamy x 12y 1. Mamy f1 R R,

f1y 12y 1.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 56 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 2.16: Wykresy funkcji f i f1

Przykład 2.31. Funkcja f 0,ª R, fx log2 x jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Zauważmy, że y log2 x wtedy i tylko wtedy, gdy x 2y. A zatem f1 R 0,ª, f1y 2y.

Omówimy teraz związek między wykresem funkcji f i funkcji odwrotnej f1. Jeśli punkt o

współrzędnych a, b należy do wykresu funkcji f , to punkt o współrzędnych b, a należy do

wykresu funkcji f1. I na odwrót. A zatem wykresy funkcji f i f1 są symetryczne względem

prostej o równaniu y x (patrz rysunek 2.16).

Sformułujemy teraz najważniejsze własności funkcji odwrotnej.

Twierdzenie 2.32. Jeśli funkcja f X Y ma funkcję odwrotną f1 Y X, to:

a) f1 fx x dla x >X.b) f f1y y dla y > Y .c) Funkcja f1 ma funkcję odwrotną. Funkcją odwrotną do f1 jest funkcja f .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 57 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zadania

2.1. (?) Niech f R R, fx ¢¦¤x 23 1 dla x A 1º

1 x dla x B 1.a) Sprawdzić, czy f1 @ f2.b) Narysować wykres funkcji f .

c) Podać zbiór wartości funkcji f .

d) Czy f jest funkcją „na”?

e) Podać przedziały, w których funkcja f maleje.

f) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f .

2.2. (?) Niech f R R, fx ¢¦¤Slog2 x 2 S dla x C 2

x2 2x 1 dla x @ 2.a) Narysować wykres funkcji f .

b) Podać zbiór wartości funkcji f .

c) Dla jakich x > R funkcja przyjmuje wartości dodatnie?

d) Dla jakich x > R spełniona jest nierówność fx C 2?

e) Podać przedziały, w których funkcja rośnie.

f) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f .

2.3. (?) Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a) fx ºx 1 1ºx2

; b) fx ¼x1x2 ;

c)fx log3 2x1 1 ; d)fx log24x2log2x3log2x.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 58 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

2.4. (?) Sprawdzić, czy funkcja f jest różnowartościowa, „na”, wzajemnie jednoznaczna, gdy:

a)f R R, fx x3 2;

b) f R 2 R, fx x3x2 ;

c)f R `0,ª, fx »Sx 1S.2.5. (?) Niech f X Y , fx cosx. Podać przykład takich zbiorów X i Y , że:

a) funkcja f jest różnowartościowa i jest funkcją typu „na”;

b) funkcja f nie jest różnowartościowa i jest funkcją typu „na”;

c) funkcja f jest różnowartościowa i nie jest funkcją typu „na”;.

d) funkcja f nie jest różnowartościowa i nie jest funkcją typu „na”.

2.6. (?) Sprawdzić, czy funkcja f jest monotoniczna. Odpowiedź uzasadnić.

a)f R R, fx 2x 5;

b) f 13 ,ª R, fx log0,53x 1;

c) f ª,1e 8 `0,ª R, fx ºx2 x.

2.7. (?) Niech f X R oraz g X R . Czy funkcja f g X R,gdzie f gx fxgxjest:

a) różnowartościowa, jeśli funkcje f i g są różnowartościowe?

b) jest „na”, jeśli funkcje f i g są „na”?

c) rosnąca, jeśli funkcje f i g są rosnące?

2.8. (?) Wyznaczyć obraz zbioru A i przeciwobraz zbioru B wyznaczone przez funkcję f .

a) f 1,2, ...,10 N, fn 3n, A 2,3,4, B 6n n > N .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 59 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) f R R, fx x2 4x 5, A `0,3, B ª,2e.c) f R R, fx 1

3Sx1S, A ª,2, B `1

9 ,13e.

d) f R R, fx Sx2 9S, A `4,1 8 3,3º2), B 5,7e.e) f R R, fx Sx 1S SxS, A `3,2 8 `3,4, B 1,2.f) f R R, fx ¢¦¤

tgx dla x > 0, π2 8 π2 , πx w p.p.,

A 1, 23πe, B `º3,ª.

g) f R R, fx ¢¦¤3x dla x > 2,2elog2Sx 2S w p.p.,

A 6,6, B 0,1.h)*f 0, π R, fx log2sinx, A `1

4π,34πe, B `1,1e.

2.9. (?) Wyznaczyć, o ile to możliwe, funkcje f X g oraz g X f, gdy:

a) f R R, fx 2x 1, g R R, gx sinx cosx;

b) f R R, fx 11x2 , g ª,0 R, gx log3x;

c)f R R, fx 21x2 , g R R, gx ¢¦¤

3x 1 dla x @ 1

x2 dla x C 1.

2.10. (?) Niech f X Y oraz g Y Z. Czy g X f jest:

a) funkcją różnowartościową, jeśli funkcje f i g są różnowartościowe?

b) funkcją „na”, jeśli funkcje f i g są funkcjami „na”?

c) funkcją rosnącą, jeśli funkcje f i g są rosnące?

d) funkcją malejącą, jeśli funkcje f i g są malejące?

e) funkcją malejącą, jeśli funkcja f jest malejąca, zaś g rosnąca?


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 60 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

2.11. (?) Niech f X Y oraz g Y Z. Funkcja gXf jest różnowartościowa. Czy z tego wynika,

że:

a) f jest funkcją różnowartościową?

b)g jest funkcją różnowartościową?

2.12. (?) Niech f X Y oraz g Y Z. Funkcja g X f jest funkcją „na”. Czy z tego wynika, że:

a) f jest funkcją „na”?

b) g jest funkcją „na”?

2.13. (?) Dana jest funkcja f X Y . Wyznaczyć zbiór Y taki, że f jest bijekcją, a następnie

znaleźć funkcję odwrotną do funkcji f , gdy:.a) f R Y , fx 3x 1;

b)f `1,ª Y , fx ºx 1;

c) f R Y , fx 5x2;

d) f 32 ,ª Y , fx log32x 3;

e) f `1,ª Y , fx x2 2x 3;

f) f ª,1e Y , fx x2 2x 3;

g) f R 2 Y , fx x4x2 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 61 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 3

Ciągi liczbowe

3.1. Ciągi liczbowe i ich własności

Definicja 3.1. Ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję a N R, gdzie N jest zbio-

rem liczb naturalnych, a R jest zbiorem liczb rzeczywistych. Wartość an an nazywamy n-tym

wyrazem ciągu . Ciąg oznaczamy symbolem an, a zbiór jego wyrazów – symbolem an.

Przykład 3.2. Ciąg o początkowych wyrazach 1,3,5,7,9, ...możemy zapisać za pomocą wzoru an

2n 1 i jest to ciąg liczb nieparzystych. Podobnie ciąg liczb parzystych 2,4,6,8,10, ... będzie dany

wzorem an 2n. Ciągi możemy także opisywać w sposób rekurencyjny, co oznacza, że wyznaczamy

wzór na n-ty wyraz ciągu, korzystając z wartości wyrazów poprzedzających oraz podając wartości

odpowiedniej liczby wyrazów początkowych, np. a1 1, a2 2, an2 2an an1 dla n C 3.

Wówczas kolejne wyrazy ciągu będą równe: a3 2 1 2 0, a4 2 2 0 4 i tak dalej.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 62 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Ważnym przykładem jest ciąg postaci an n! dla n > N 8 0 (jest to silnia kolejnych liczb

naturalnych). Jego wyrazy są równe odpowiednio a0 0! 1, a1 1! 1, a2 2! 1 2 2,

a3 3! 1 2 3 6 i ogólnie an n! 1 2 n 1 n. Zauważmy, że ciąg ten można zdefiniować

w sposób rekurencyjny następująco: a0 1, oraz an an1 n dla n > N.

Definicja 3.3. Mówimy, że an jest ciągiem:

a) rosnącym n>Nan1 A an,

b) niemalejącym n>Nan1 C an,

c) malejącym n>Nan1 @ an,

d) nierosnącym n>Nan1 B an,

e) stałym n>Nan1 an.

Ciąg mający jedną z tych własności nazywamy ciągiem monotonicznym . Zauważmy, że ciąg

monotoniczny charakteryzuje się tym, że różnica między jego kolejnymi wyrazami ma stały znak

(to znaczy jest stale niedodatnia, albo stale nieujemna).

Przykład 3.4. Sprawdzimy, czy ciąg o wyrazie ogólnym danym wzorem an n2 3n jest ciągiem

monotonicznym. W tym celu badamy znak różnicy

an1 an n 12 3n 1 n2

3n 2n 2 C 0


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 63 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

dla n > N. Różnica an1 an jest dodatnia dla wszystkich n naturalnych większych od 1, a dla

n 1 wynosi 0, co oznacza, że ciąg an jest niemalejący. Co więcej możemy stwierdzić, że ciąg andla n 2,3,4, ... jest ciągiem rosnącym.

Przykład 3.5. Ciąg an 1n nn42 nie jest monotoniczny, ponieważ jego wyrazy są na przemian

ujemne i dodatnie.

Definicja 3.6. Ciąg an nazywamy

a) arytmetycznym r>Rn>Nan1 an r,

b) geometrycznym q>R0 n>N

an1an

q.

Liczbę r w definicji ciągu arytmetycznego nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego, a liczbę

q w definicji ciągu geometrycznego nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Z definicji ciągu

arytmetycznego wynika, że jest on zawsze ciągiem monotonicznym – rosnącym dla r A 0, malejącym

dla r @ 0 i stałym dla r 0. Wartość n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego zależy od wartości jego

pierwszego wyrazu i od różnicy tego ciągu i daje się zapisać wzorem

an a1 n 1r dla n > N.

Wyrazy ciągu arytmetycznego spełniają zależność

an 12an1 an1


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 64 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

dla n A 1, czyli wyraz o numerze n jest średnią arytmetyczną jego wyrazów sąsiednich - poprzedza-

jącego an1 i następnego an1. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się

wzorem

Sn n

Qi1ai n

a1 an2

.

Dla ciągu geometrycznego można także zapisać wzór uzależniający wartość wyrazu an od war-

tości a1 i ilorazu q:

an a1qn1 dla n > N.

Wyrazy ciągu geometrycznego, w którym a1 A 0 i q A 0 spełniają warunek an ºan1 an1 dla

n A 1, czyli każdy wyraz ciągu geometrycznego o numerze większym od 1 jest średnią geometryczną

dwóch sąsiednich wyrazów. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest dana wzorem

Sn n

Qi1ai a1

1 qn

1 q.

Przykład 3.7. Sprawdźmy, czy ciąg an jest ciągiem arytmetycznym lub geometrycznym, jeśli

a) an 3n 2,

b) an 2 3n1

Dla ciągu z punktu a) mamy: an1 an 3n 1 2 3n 2 3, czyli jest to ciąg arytmetyczny

o różnicy r równej 3. W przypadku ciągu z punktu b) zachodzi: an1an

23n223n1 3, czyli jest to ciąg

geometryczny o ilorazie q równym 3. Zauważmy, że w obu przypadkach są to ciągi rosnące.

Definicja 3.8. Mówimy, że ciąg an jest:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 65 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) ograniczony z góry M>R

n>Nan BM ,

b) ograniczony z dołu m>R

n>Nan Cm,

c) ograniczony m,M>R

n>Nm B an BM .

Powyższe warunki interpretujemy w następujący sposób: ciąg jest ograniczony z góry, jeśli

wszystkie jego wyrazy są nie większe od pewnej liczby rzeczywistej M , ciąg jest ograniczony z

dołu, jeśli wszystkie jego wyrazy są nie mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej m oraz ciąg jest

ograniczony, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu, czyli wszystkie jego wyrazy należą do przedziału`m,Me, dla liczb rzeczywistych m,M takich, że m @M .

Przykład 3.9. Ciąg an n6n3 jest ciągiem ograniczonym. Zauważmy, że wyrazy tego ciągu można

zapisać w następujący sposób an n33n3 1 3

n3 . Ponieważ ciąg bn 3n3 jest ciągiem malejącym i

jego pierwszy wyraz jest równy 34 , ciąg an jest ograniczony z góry przez 7

4 . Widać też, że wszystkie

wyrazy ciągu an są większe od 1, zatem ciąg an) jest ograniczony z dołu przez liczbę 1.

Przykład 3.10. Zauważmy, że każdy ciąg niemalejący jest ograniczony z dołu przez swój pierwszy

wyraz, a każdy ciąg nierosnący jest ograniczony z góry przez swój pierwszy wyraz.

Zadania

3.1. (?) Ciąg an jest ciągiem arytmetycznym takim, że a1 2 oraz a6 a3 6. Podać wzór

ogólny ciągu an oraz obliczyć sumę jego pierwszych dziesięciu wyrazów.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 66 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

3.2. (?) Ciąg an jest ciągiem geometrycznym, którego pierwszy wyraz jest równy 2 oraz spełnio-

ny jest warunek a4a2

9. Podać wzór ogólny ciągu an oraz zbadać, czy ciąg ten jest monotoniczny.

3.3. (?) Obliczyć piąty wyraz ciągu 3x1 ,3x2 ,3x3 , . . . wiedząc, że jest to ciąg geometryczny oraz, że

x1 x2 x9 9 i x1 x8. Czy jest to ciąg ograniczony?

3.4. (?) Zbadać, czy poniższe ciągi są monotoniczne i ograniczone.

a) an 3n 4, b) bn 1n12n3n , c) cn 5n1

n2 , d) dn n n2, e) en 2n! 3.

3.5. (?) Sprawdzić, czy poniższe ciągi są ciągami geometrycznymi.

a) an 45n, b) bn n!

3n , c) 1n1n2 .

3.6. (?) Niech an 52n32n5n3n . Wykazać, że an 5n 3n oraz sprawdzić, czy an jest ciągiem

arytmetycznym oraz czy jest monotoniczny.

3.2. Zbieżność ciągów

Definicja 3.11. Mówimy, że liczba g > R jest granicą (właściwą) ciągu an wtedy i tylko

wtedy, gdy spełniony jest warunek

εA0

Nε>N

nANε

San gS @ ε.Warunek zbieżności oznacza, że w każdym otoczeniu granicy ciągu znajdują się prawie wszystkie

(czyli wszystkie za wyjątkiem skończonej liczby) wyrazy ciągu. Jeśli ciąg an ma granicę g > R, to


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 67 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

mówimy, że jest on zbieżny (do g) i zapisujemy to w następujący sposób limnª

an g, lub an g.

Jeżeli ciąg nie ma granicy, czyli nie istnieje liczba g spełniająca warunek podany w definicji 3.11,

to mówimy, że ciąg jest rozbieżny .

Przykład 3.12. Pokażemy, że ciąg z przykładu 3.9 jest zbieżny do 1. Weźmy dowolne ε A 0. Mamy

San 1S T 3n3 T 3

n3 @ ε n A 3ε 3.

Jeżeli zatem weźmiemy Nε 3ε 3 1, gdzie x oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej x, to

dla wszystkich n A Nε będzie spełniony warunek San 1S @ ε, dla dowolnego ε A 0. Oznacza to, że

liczba 1 jest granicą ciągu an.Przykład 3.13. Rozważmy ciąg an 1n. Łatwo stwierdzić, że ten ciąg nie ma granicy, czyli

jest ciągiem rozbieżnym. Jego wyrazy są na przemian równe 1 oraz 1, więc w dowolnym otoczeniu

liczby 1 znajdują się wszystkie wyrazy ciągu o numerach nieparzystych, a w dowolnym otoczeniu

liczby 1 znajdują się wszystkie wyrazy ciągu o numerach parzystych, ale w żadnym z tych przy-

padków nie są to prawie wszystkie wyrazy ciągu. Nie istnieje zatem żadna liczba rzeczywista g,

która spełnia warunek z definicji 3.11, czyli ciąg an jest rozbieżny.

Przykład 3.14. Jeżeli iloraz ciągu geometrycznego an spełnia warunek SqS @ 1, to ciąg sum

częściowych Sn Pni1 ai tego ciągu jest zbieżny do S Pª

i1 ai a11q . Warunek SqS @ 1 jest warunkiem

koniecznym i dostatecznym zbieżności ciągu sum częściowych ciągu geometrycznego.

Twierdzenie 3.15 (arytmetyka granic właściwych). Jeżeli an a i bn b, gdzie a, b > R, to

a) an bn a b,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 68 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) an bn a b,

c) anbn

ab , gdy b x 0,

d) SanS SaS.Twierdzenie 3.16 (wybrane własności granic).

a) 1n 0,

b) an 0 SaS @ 1,

c) nºn 1

d) an a , b A 0 ban ba,

e) an a , a A 0 , n>Nan A 0

p>Rapn ap.

Twierdzenie 3.17 (Twierdzenie o trzech ciągach). Jeśli spełnione są warunki

a) n>Ncn B an B bn,

b) limnª

cn limnª

bn g,

to limnª

an g.

Przykład 3.18. Pokażemy, że ciąg an 1n

3n jest zbieżny do 0. Zauważmy, że wszystkie wyrazy

ciągu spełniają nierówność

1

3n B an B1

3n .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 69 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Ciągi 13n oraz 1

3n są zbieżne do zera, zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach, ciąg an jest

także zbieżny do 0.

Twierdzenie 3.19. Ciąg zbieżny jest ograniczony.

Twierdzenie 3.20. Jeśli ciąg an jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.Przykład 3.21. Rozważmy ciąg postaci an 1 1

nn. Wykażemy, że jest to ciąg niemalejący

i ograniczony, a zatem zbieżny. Jego granicą jest liczba Eulera e 2.7182818... . W tym celu

skorzystamy z dwumianu Newtona. Zauważmy, że

an 1 1nn 1 1

n0

n 1n1

nn 1

2! 1n2

n!n!

1nn

1 1 1 1

n

2!

1 1n 1 n1

n

n!.

Podobnie

an1 1 1

n 1n1

1 1n 1

0

n 1 1n 1

1

n 1n

2! 1n 1

2

n 1!n 1! 1

n 1n1

1 1 1 1

n1

2!

1 1n1 1 n1

n1n!

1 1

n1 1 nn1n 1! .

Porównując kolejne wyrazy sum łatwo widać, że an B an1, czyli ciąg an jest niemalejący.

Wykażemy teraz, że jest on ograniczony z góry (jest ograniczony z dołu przez swój pierwszy wyraz


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 70 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

jako ciąg niemalejący). Zauważmy, że

an 1 1 1 1

n

2!

1 1n 1 n1

n

n!B 1 1

12!

13!

1n!

B 1 1 122

123

12n

1 1 1

2n1 1

2

B 1 1

1 12

3.

Wynika stąd, że ciąg an jest monotoniczny i ograniczony, a więc zbieżny.

Definicja 3.22. Mówimy, że ciąg an ma granicę niewłaściwą ª (odpowiednio ª) wtedy

i tylko wtedy, gdy

M>R

NM >N

nANM

an AM odpowiednio an @M.

Jeśli ciąg ma granicę niewłaściwą ª (ª), to mówimy, że jest rozbieżny do ª, (rozbieżny

do ª) i piszemy limnª

an ª lub an ª (odpowiednio limnª

an ª lub an ª ).

Przykład 3.23. Pokażemy, że ciąg an 3n 2n jest rozbieżny do ª. Weźmy dowolną liczbę

dodatnią M . Wówczas an AM 3n 2n AM . Zauważmy, że jeśli znajdziemy takie n, że 3n AM ,

to będziemy także mieć spełnioną nierówność 3n 2n A M. Z nierówności 3n A M wynika, że

n A log3M . Zatem dla n A NM , gdzie NM log3M 1 zachodzi an A M , czyli ciąg an jest

rozbieżny do ª.

Przykład 3.24. Każdy ciąg arytmetyczny o dodatniej różnicy jest to rozbieżny do ª, a każdy

ciąg arytmetyczny o ujemnej różnicy jest rozbieżny do ª. Każdy ciąg geometryczny o ilorazie


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 71 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

większym od 1 jest rozbieżny do ª, jeśli jego pierwszy wyraz jest dodatni oraz jest rozbieżny

doª, jeśli jego pierwszy wyraz jest ujemny.

Twierdzenie 3.25 (arytmetyka granic niewłaściwych). Niech an, bn będą ciągami licz-bowymi.

a) Jeśli an ª i bn ª, to an bn ª oraz an bn ª;

b) jeśli an ª i bn ª, to an bn ª oraz an bn ª;

c) jeśli an ª i bn ª, to an bn ª, bn an ª oraz an bn ª;

d) jeśli an a, gdzie a > R i bn ª, to an bn ª oraz anbn 0;

e) jeśli an a, gdzie a A 0 i bn ª, to an bn ª ;

f) jeśli an a, gdzie a @ 0 i bn ª, to an bn ª.

Istnieją także przypadki ciągów (złożonych z innych ciągów), których granicy nie da się określić,

znając granice ciągów składowych. Na przykład, jeśli ciągi an i bn są rozbieżne do ª, to nie je-

steśmy w stanie powiedzieć w przypadku ogólnym jaka będzie granica ilorazu tych ciągów anbn

, którą

możemy umownie zapisać jako ª

ª. Tego typu granice nazywamy wyrażeniami nieoznaczony-

mi , ich wartość zależy od konkretnych przypadków rozważanych ciągów. Poniżej przedstawiamy

listę wyrażeń nieoznaczonych (wypisane wartości rozumiemy zawsze jako umowne znaki, opisujące

granice rozważanych ciągów, a nie działania arytmetyczne).

• ªª lub ªª


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 72 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

•00

•ª

ª

• 0 ª

• 1ª

• ª0

• 00

Przykład 3.26. Obliczymy granicę ciągu an n23n1n27n3 . Granicą licznika jest ª, a granicą mia-

nownika jest ª, zatem mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym w granicy. Jednak jeśli

podzielimy licznik i mianownik ułamka przez n2 otrzymamy an 1 3n

1n2

1 7n

3n2

. Widać teraz, że granicą

licznika jest 1, a granicą mianownika jest 1, czyli limnª

an 1.

Twierdzenie 3.27. Jeśli ciąg an jest rozbieżny do ª lub do ª, to limnª

1 1anan e.

Zadania

3.7. (?) Obliczyć granicę ciągu:

a) 3n 5n2, b) n312n31 , c) 2n33n22

n23n2 , d) n22n41 , e) n14n24n14n24 , f)

ºnn1n23n2

ºn32 ,

g)ºn2 1

ºn2 3, h)

»n

ºn

»n

ºn, i) n22n5

2nn23 , j) 3n5n15n1 , k) 1

n2 Pnk1 k,

l) n3nn , m) 1 1

n2n3, n) n6

n42n1, o*)1 1n12n1

, p*) nº

2n 3 4n 7n,

q) sinnn1 , r*) an1

º2 an, a1 1.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 73 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

3.8. (?) Rozwiązać równanie 11x 1

1x2 1

1x3 1 2x.

3.9. (?) Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an 2 22 23 2n. Obliczyć limnª

anan1

.

3.10. (?) Wyznaczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an 510155n

n5 n5 .

3.11. (?) Dla jakich wartości parametru p > R granica ciągu an log2p21n2

n1 jest większa od 1?


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 74 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 4

Granica i ciągłość funkcji

4.1. Granica funkcji

Definicja 4.1. Punkt x0 > R nazywamy punktem skupienia zbioru X ` R wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje ciąg xn zbieżny do x0 o wyrazach należących do zbioru X x0. Punkt

x0 > X ` R nazywamy punktem izolowanym zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest on

punktem skupienia zbioru X.

Przykład 4.2. Niech X 2,1e 8 2,8. Wówczas zbiór punktów skupienia zbioru X to `2,1e,natomiast zbiór punktów izolowanych to 2,8.

Definicja 4.3 (Heinego zbieżności funkcji w punkcie). Niech x0 > R będzie punktem skupienia

zbioru X ` R oraz f będzie funkcją, której dziedziną jest zbiór X, czyli f X R. Mówimy, że


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 75 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

funkcja f ma granicę właściwą g w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciąguxn zbieżnego do x0 o wyrazach należących do zbioru X x0 zachodzi równość limnª

fxn g.

Jeśli g jest granicą funkcji f w punkcie x0, to piszemy limxx0

fx g.

Jeżeli zbiór X zawiera przedział a,ª (odpowiednio ª, a) dla pewnego a > R i dla każdego

ciągu xn rozbieżnego do ª (odpowiednio do ª ) o wyrazach należących do X zachodzi

limnª

fxn g,to mówimy, że funkcja f ma granicę właściwą w ª (odpowiednio w ª ) i piszemy lim

xªfx

g (odpowiednio limxª

fx g).

Jeżeli dla każdego ciągu xn zbieżnego do x0 o wyrazach należących do zbioru Xx0 zachodzi

równość

limnª

fxn ª odpowiednio limnª

fxn ª,to mówimy, że funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x0 i piszemy lim

xx0fx ª

(odpowiednio limxx0

fx ª).

Uwaga. Jeżeli w definicji Heinego założymy, że rozpatrujemy jedynie takie ciągi xn zbieżne

do x0, których wszystkie wyrazy należą do X i są mniejsze od x0 (odpowiednio są większe od

x0), to otrzymamy definicję granicy lewostronnej (odpowiednio prawostronnej ) w x0 , którą

oznaczamy w następujący sposób limxx0

fx (odpowiednio limxx0

fx).Przykład 4.4. Niech fx 2x1

4x23 . Obliczymy limx1

fx. Weźmy dowolny ciąg xn zbieżny do 1

o wyrazach różnych od 1. Mamy wtedy bn fxn 2xn14x2n3 . Ciąg bn jest ilorazem dwóch zbieżnych


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 76 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

ciągów, przy czym ciąg w liczniku jest zbieżny do 1 a ciąg w mianowniku jest zbieżny do 7. Wynika

stąd, że limnª

bn 17 , czyli lim

x1fx 1

7 .

Przykład 4.5. Obliczymy limxª

x21x22 . Weźmy dowolny ciąg xn rozbieżny do ª. Mamy wtedy

bn fxn x2n1x2n2 . Jeżeli podzielimy licznik i mianownik ciągu bn przez x2

n, dostaniemy bn 1 1

x2n1 2

x2n

.

Wyrażenia 1x2n

i 2x2n

są zbieżne do 0, gdyż ciąg x2n jest rozbieżny do ª. Wynika stąd, że lim

nªbn 1,

zatem limxª

x21x22 1.

Przykład 4.6. Obliczymy limx3

xx3 . Zauważmy, że mianownik tego wyrażenia dąży do 0 i jest

ujemny (rozważamy tylko ciągi zbieżne do 3 o wartościach mniejszych od 3). Granicę mianownika

możemy więc symbolicznie zapisać jako 0. Licznik jest zbieżny do 3, zatem nasza granica jest

postaci ” 30 ”, czyli dzielimy wyrażenie dodatnie przez ujemne dążące do 0, a to daje ª. Obliczając

w ten sam sposób granicę prawostronną dostaniemy ª.

Twierdzenie 4.7. Jeżeli limxx0

fx a oraz limxx0

fx b, gdzie a, b > R, toa) lim

xx0

fx gx a b;b) lim

xx0

fx gx a b;c) lim

xx0

fxgx a

b , jeśli gx ~ 0 w pewnym otoczeniu punktu x0 i b x 0.

Powyższe wzory są także prawdziwe dla granic jednostronnych oraz w przypadku, gdy zastąpimy

granicę w punkcie x0 przez granicę w ª lub w ª.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 77 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

4.2. Ciągłość funkcji

Definicja 4.8. Funkcję f X R, gdzie X ` R nazywamy ciągłą w punkcie x0 > X wtedy i

tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu xn zbieżnego do x0 o wyrazach w zbiorze X zachodzi

limnª

fxn fx0.Mówimy, że funkcja f X R jest ciągła w zbiorze X, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego

zbioru.

Jeżeli x0 jest punktem skupienia zbioru X, to warunek ciągłości w punkcie x0 jest równoważny

warunkowi limxx0

fx fx0. Jeżeli x0 jest punktem izolowanym zbioru X, to zbieżność ciąguxn ` X do tego punktu oznacza, że musi to być od pewnego miejsca ciąg stale równy x0. Zatem

dowolna funkcja jest ciągła w punktach izolowanych dziedziny.

Przykład 4.9. Niech f R R, fx x2 3. Wykażemy, że funkcja f jest ciągła w swojej

dziedzinie. Weźmy dowolny ciąg xn zbieżny do punktu x0. Mamy wówczas

limxx0

fx limnª

x2n 3 lim

nªx2n 3 x2

0 3 fx0.Wynika stąd, że granica funkcji f w dowolnym punkcie dziedziny jest równa jej wartości w tym

punkcie, a zatem funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 78 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 4.10. Dana jest funkcja f R R, określona wzorem

fx ¢¦¤»Sx 3S x x 3

1 x 3.

Zbadamy, czy funkcja f jest ciągła w punkcie x0 3. W tym celu obliczymy najpierw granice

jednostronne funkcji f w x0. Mamy więc:

limx3

fx limx3

»Sx 3S limx3

»x 3 0.

limx3

fx limx3

»Sx 3S limx3

ºx 3 0.

Wynika stąd, że limx3

fx 0. Zauważmy jednak, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie x0,

ponieważ nie jest spełniona równość limx3

fx f3, gdyż f3 1.

Przykład 4.11. Wielomiany, funkcje potęgowe, wykładnicze, wymierne, logarytmiczne i trygono-

metryczne są ciągłe w swoich dziedzinach.

Uwaga: Jeżeli obliczając granicę funkcji otrzymujemy jedno z wyrażeń nieoznaczonych, oma-

wianych na stronie 3.2, to musimy starać się tak je przekształcić, aby otrzymać wyrażenie, którego

granicę potrafimy obliczyć (podobnie jak w przypadku ciągów).

Twierdzenie 4.12 (działania na funkcjach ciągłych).

a) Jeżeli funkcje f X R, g X R są ciągłe w zbiorze X ` R, to funkcje f g, f g, f gsą ciągłe w zbiorze X.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 79 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) Jeśli funkcje f X R, g X R są ciągłe w zbiorze X ` R, to funkcja fg jest określona i

ciągła w zbiorze X x > R gx x 0.c) Jeżeli funkcja f X Y jest ciągła w zbiorze X ` R oraz funkcja g Y Z jest ciągła w

zbiorze Y ` R, to złożenie tych funkcji, czyli g X f X Z jest ciągła w zbiorze X.

Przykład 4.13. Funkcja h 0,ª R, hx log3 x2 3 jest ciągła jako złożenie ciągłych

funkcji f 0,ª R, fx log3 x oraz g R R, gy y2 3.

Definicja 4.14. Jeśli przynajmniej jedna z granic jednostronnych limxx0

fx, limxx0

fx jest niewła-

ściwa, to prostą o równaniu x x0 nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji f X R.Jeśli lim

xªfx c ( lim

xªfx c odpowiednio), gdzie c > R, to prostą o równaniu y c nazywamy

asymptotą poziomą wykresu funkcji f X R w ª (odpowiednio w ª). Jeżeli spełniony

jest warunek

limxª

fx ax b 0

lub

limxª

fx ax b 0,

gdzie a, b > R, a x 0, to prostą o równaniu y ax b nazywamy asymptotą ukośną wykresu

funkcji f X R odpowiednio w ª lub w ª.

Twierdzenie 4.15. Jeżeli granice:

a limxª

fxx

, b limxª

fx ax


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 80 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

odpowiednio:

a limxª

fxx

, b limxª

fx axistnieją i są właściwe, to prosta y ax b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w ª (odpo-

wiednio w ª).

Przykład 4.16. Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji fx x2

x1 dla x x 1. Sprawdzimy

najpierw, czy prosta o równaniu x 1 jest asymptotą pionową. Obliczając granice jednostronne

funkcji f w tym punkcie, otrzymujemy:

limx1

fx limx1

x2

x 1 ª

oraz

limx1

fx limx1

x2

x 1 ª,

podobnie jak w przykładzie 4.6. Ponieważ obie granice w punkcie x 1 są niewłaściwe, prosta

x 1 jest asymptotą pionową (obustronną) wykresu funkcji f. Obliczymy teraz granice funkcji f

w ª i w ª. Mamy więc

limxª

x2

x 1 limxª

x

1 1x

ª

1 ª.

Podobnie dostajemy, że limxª

x2

x1 ª. Wynika stąd, że wykres funkcji f nie ma asymptoty po-

ziomej w ª, ani w ª. W tej sytuacji powinniśmy jeszcze sprawdzić, czy wykres funkcji f ma


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 81 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

asymptotę ukośną. Obliczamy najpierw granicę

limxª

fxx

limxª

x2

x2 x limxª

11 1

x2

1.

Taki sam wynik otrzymamy wyznaczając granicę wyrażenia fxx w ª. Stąd otrzymujemy, że a 1.

Wyznaczamy teraz granicę

limxª

x2

x 1 x lim

xª

x2 x2 x

x 1 limxª

x

x 1 limxª

11 1

x

1.

Znowu łatwo zauważyć, że w ª otrzymamy tę samą granicę. Wynika stąd, że prosta y x1 jest

asymptotą ukośną wykresu funkcji f w ª oraz w ª.

Zadania

4.1. (?) Obliczyć granice funkcji

a) limx1

x3x2 , b) lim

x3x29x3 , c) lim

x1x22x1x3x , d) lim

x0x22x

32

3x32 5x2

ºx, e) lim

x2x22x2x2 ,

f) limx3

x33x2x6 , g) lim

xª

x32x24x2x24x3 , h) lim

xª

2x253x36x8 , i) lim

xª

4x43x22x32x46x11 ,

j) limxª

ºx2 5x ºx2 8x 14, k) lim

xªºx3 4x2 8

ºx3 x 2,

l) limx0

sin 3xx , m) lim

x0sin 2x

8x , n) limx0

sin 5xsin 9x , o) lim

x0e1x , p) lim

x0e1x ,

q) limxª

ex21, r) lim

xªlnx2 2, s) lim

xª

1lnx13 , t*) lim

x0x sin 1

x .

4.2. (?) Wykazać, że poniższe granice nie istnieją:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 82 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) limxª

sinx, b) limxª

cosx, c) limxπ4

sin 1xπ4

, d) limx1

Sx1Sx1 .

4.3. (?) Zbadać ciągłość funkcji:

a) fx ¢¦¤ x2 2 dla x B 0,

2x 1 dla x A 0

b) gx ¢¦¤x2 1 dla x B 0,

0 dla 0 @ x @ 1,

lnx dla x C 1

c) hx ¢¦¤ ln x 42 dla x ¶ `5; 5e ,x2 25 dla x > `5; 5e

4.4. (?) Dla jakich wartości parametrów a, b > R funkcja f jest ciągła?

a) fx ¢¦¤3x3 dla x B 2

ax b dla 2 @ x @ 31x2 2 dla x C 3

, b) fx ¢¦¤ºax 3 dla x B 3

e3x dla x A 3

4.5. (?) Wyznaczyć dziedzinę podanych funkcji oraz ich granice na krańcach dziedziny.

a) fx lnx2 4, b) gx ¼x21x3 , c) hx e 1

x432 , d) kx ln S2x 4S4.6. (?) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji:

a) fx 3x52x6 , b) gx ex41 1, c) hx ¼ 3Sx31S , d) kx 3x 4

x24 ,

e*) px sinxx

4.7. (?) Wiadomo, że limxx0

fx 3, limxx0

gx 0, limxx0

hx ª oraz limxx0

px ª. W tych

przypadkach, w których jest to możliwe, obliczyć następujące granice:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 83 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) limxx0

fxfxgx , b) lim

xx0

fxhxgxpx , c) lim

xx0

gxfxpx , d) lim

xx0efxgx, e) lim

xx0ehxpx,

f) limxx0

½Uhxpx U, g) limxx0

ln 2f2xp2x


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 84 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 5

Rachunek różniczkowy funkcji jednejzmiennej

5.1. Pierwsza pochodna funkcji

Definicja 5.1. Mówimy, że funkcja f a, b R jest różniczkowalna w punkcie x0 > a, bwtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica właściwa

f x0 limh0

fx0 h fx0h

.

Liczbę f x0 nazywamy pochodną funkcji w punkcie x0. Funkcję f określoną w tych punktach

x > a, b dla których istnieje f x nazywamy pochodną pierwszego rzędu lub pierwszą


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 85 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

pochodną funkcji f . Wyrażenie fx0hfx0h nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w

punkcie x0. Jeśli funkcja f a, b R ma pochodną w każdym punkcie x > a, b, to mówimy, że

funkcja f jest różniczkowalna w przedziale a, b.Twierdzenie 5.2. Jeśli funkcja f a, b R jest różniczkowalna w punkcie x0 > a, b, to f jestciągła w x0.

Przykład 5.3. Obliczymy pochodną funkcji fx x2 w dowolnym punkcie x > R.

Rozwiązanie.

f x limh0

fx h fxh

limh0

x h2 x2

h limh0

x h2 x2

h

limh0

x2 2xh h2 x2

h limh0

2xh h2

h limh0

2x h 2x.

Otrzymany wynik zapisujemy symbolicznie w postaci x2 2x.

Analogicznie do definicji pochodnej funkcji f w punkcie x0 określamy pochodne jednostronne

funkcji f w punkcie x0. Pochodną lewostronną funkcji f a, b R w punkcie x0 > a, bnazywamy granicę

f x0 lim

h0

fx0 h fx0h

,

a pochodną prawostronną – granicę

f x0 lim

h0

fx0 h fx0h

.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 86 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 5.4. Funkcja f a, b R jest różniczkowalna w punkcie x0 > a, b wtedy i tylkowtedy, gdy istnieją obie pochodne jednostronne i są równe.

Przykład 5.5. Pokażemy, że funkcja f R R, fx SxS nie jest różniczkowalna w punkcie x0 0.

Rozwiązanie. Obliczając pochodne jednostronne, otrzymujemy

f 0 lim

h0

f0 h f0h

limh0

ShSh

1,

f 0 lim

h0

f0 h f0h

limh0

ShSh

1.

Wynika stąd, że f 0 nie istnieje.

Pochodne funkcji obliczamy korzystając ze wzorów na pochodne funkcji elementarnych i z tzw.

reguł różniczkowania. Przedstawimy najpierw pochodne wybranych funkcji elementarnych:

Tabela 5.1: Pochodne wybranych funkcji elementarnych

C 0 – pochodna funkcji stałejxα αxα1 – pochodna funkcji potęgowejex ex – pochodna funkcji wykładniczej

lnx 1x

– pochodna funkcji logarytmicznejsinx cosx – pochodna funkcji sinuscosx sinx – pochodna funkcji cosinus

Przykład 5.6. Obliczymy pochodną funkcji fx ºx.

Rozwiązanie. f x ºx x 12 12x121 1

2x12 1

2ºx.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 87 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 5.7 (reguły różniczkowania). Jeśli f i g są funkcjami różniczkowalnymi, to:

a) cfx cf x – pochodna iloczynu funkcji przez stałą,b) fx gx f x gx – pochodna sumy (różnicy) funkcji,c) fxgx f xgx fxgx – pochodna iloczynu funkcji,d) fx

gx f xgx fxgxg2x – pochodna ilorazu funkcji,

e) gfx gfxf x – pochodna funkcji złożonej.Przykład 5.8. Korzystając z podanych wzorów i reguł różniczkowania obliczymy pochodne funk-

cji:

a) 3x2 2 sinx 3x2 2sinx 6x 2 cosx,

b) 4x5 cosx 4x5 cosx 4x5 cosx 20x4 4x5 sinx,

c) 12x2

x 1 12x2 x 1 12x2x 1x 12

24xx 1 12x2x 12

12x2 24xx 12

,

d) tgx sinxcosx

sinx cosx sinxcosxcos2 x

cosx cosx sinx sinx

cos2 x

cos2 x sin2 x

cos2 x

1cos2 x

,

e) ctgx cosxsinx

cosx sinx cosxsinxsin2 x

sinx sinx cosx cosx

cos2 x

sin2 x cos2 x

sin2 x

1sin2 x

,

f) ºx2 4 1

2ºx2 4

2x xºx2 4

.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 88 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

5.2. Interpretacje pochodnej

5.2.1. Interpretacja geometryczna

Prosta przechodząca przez leżące na wykresie funkcji y fx (patrz rysunek 5.1) punkty

A x0, f x0 , B x0 h, f x0 h ,ma równanie

y fx0 fx0 h fx0h

x x0.

xx x0 0+ h

y

y = f x ( )

x

x0+ hx

x0f

f (

(

)

)

Rysunek 5.1: Interpretacja geometryczna pochodnej


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 89 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x0 jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej

przechodzącej przez punkty A i B. Jeśli h dąży do 0, to punkt B dąży do punktu A i otrzymujemy

styczną do wykresu funkcji w punkcie x0, fx0. Różniczkowalność funkcji f w punkcie x0 jest

zatem równoważna warunkowi, że istnieje styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x0.

Styczna ta ma równanie

y fx0 f x0x x0,a więc pochodna f x0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej, tzn. f x0 tgα,

gdzie α jest miarą kąta, jaki tworzy styczna z osią 0x.

Przykład 5.9. Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji fx 2x5 3x2 w punkcie o

odciętej x0 1.

Rozwiązanie. Mamy f1 1, f x 10x4 6x oraz f 1 4. Wstawiając do wzoru na

styczną, otrzymujemy y 1 4x 1 y 4x 5.

5.2.2. Interpretacja fizyczna

Jeśli przyjmiemy, że ft, gdzie t C 0, oznacza długość drogi jaką przebył pewien obiekt od chwili

0 do chwili t, to różnica ft0 h ft0 jest równa długości przebytej drogi od chwili t0 do chwili

t0h. Iloraz różnicowy ft0hft0h jest zatem równy średniej prędkości rozważanego obiektu między

chwilami t0 i t0 h, a granica tego ilorazu (przy h 0) f t0 jest równa prędkości rozważanego

obiektu w chwili t0. Rozszerzając tę interpretację na inne funkcje różniczkowalne możemy przy-

jąć, że wartość pochodnej f x0 określa prędkość zmian wartości funkcji f w pewnym otoczeniu

punktu x0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 90 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

5.2.3. Interpretacja ekonomiczna

Wprost z definicji pochodnej wynika, że dla wartości h x 0 „bliskich” 0 mamy:

f x limh0

fx h fxh

fx h fx

h, .

czyli, że

f xh fx h fx.Zakładając, że wartości funkcji „nie zmieniają się zbyt szybko”, możemy podstawić h 1, otrzy-

mując

f x fx 1 fx.Wartość f x jest więc w przybliżeniu równa przyrostowi wartości funkcji w przypadku, gdy

wartość argumentu wzrośnie o jednostkę (licząc od początkowej wartości x). Wartość f x, zgodnie

z interpretacją fizyczną, może być uznana za miarę szybkości zmian wartości funkcji.

Przykład 5.10. Niech x oznacza wielkość produkcji w pewnym przedsiębiorstwie, a Kx całkowi-

ty koszt jej wytworzenia. Funkcję Kx, gdzie x C 0, nazywamy funkcją kosztów całkowitych ,

funkcję kpx Kxx , określoną dla x A 0, nazywamy funkcją kosztów przeciętnych , a funkcję

K x, x A 0 (o ile istnieje) nazywamy funkcją kosztów krańcowych .

Przykład 5.11. Załóżmy, że funkcja kosztów ma postać Kx 0,2x2 6x 200, x A 0. Wtedy

K x 0,4x 6 i w szczególności K 10 10 oznacza przybliżony wzrost kosztów w przypadku,

gdy wielkość produkcji wzrośnie z poziomu 10 do 11. Dokładna wartość jest równa K11K10 10,2.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 91 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 5.12. Współczynnikiem elastyczności funkcji f w punkcie x nazywamy liczbę

(jeśli istnieje)

Exf xf xfx .

Elastyczność dodatniej funkcji różniczkowalnej w punkcie x A 0 określa przybliżoną względną

zmianę wartości funkcji przy zmianie argumentu o 1% (przy początkowej wartości x). To znaczy,

jeśli argument x zmieni się o 1%, to wartość funkcji zmieni się w przybliżeniu o Ex0f %.

Przykład 5.13. Współczynnik elastyczności funkcji kosztów z przykładu 5.11 w punkcie x 10

jest równy około 0,36. Jeżeli więc wielkość produkcji x zwiększymy o 1% (z początkowego poziomu

x 10), to koszt wzrośnie w przybliżeniu o 0,36%.

Podobne zastosowanie ma pochodna w odniesieniu do innych funkcji występujących w ekono-

mii. I tak na przykład, z funkcji utargu całkowitego można uzyskać funkcję utargu krańcowego

i przeciętnego, z funkcji produkcji, funkcję produkcji krańcowej i przeciętnej itp.

5.3. Zastosowania pochodnej

Pochodną funkcji wykorzystujemy między innymi przy obliczaniu granic wyrażeń nieoznaczonych

oraz do badania monotoniczności funkcji i wyznaczania ekstremów lokalnych.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 92 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

5.3.1. Obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych

Twierdzenie 5.14 (Reguła de l’Hospitala). Jeśli funkcje f i g są określone i różniczkowalne

w przedziale x0 ε, x0 ε, gdzie ε A 0, gx ~ 0, gx ~ 0 dla x > x0 ε, x0 ε, x ~ x0,

limxx0

fx limxx0

gx 0

oraz istnieje granica limxx0

f xgx a, to

limxx0

fxgx lim

xx0

f xgx a.

Uwaga. Twierdzenie jest również prawdziwe, gdy:

a) x0 ª,

b) limxx0 fx limxx0 gx ª,

c) a ª.

Przykład 5.15. Obliczymy limxª

lnxx.

Rozwiązanie. Funkcje fx lnx i gx x spełniają warunki limxª lnx ª, limxª x ª,

ponadto

limxª

lnxx limxª

1x

1 limxª

1x 0,

zatem limxª

lnxx

0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 93 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Uwaga. Założenie twierdzenia de l’Hospitala o istnieniu granicy ilorazu pochodnych jest istotne.

Istnieją takie funkcje f i g, że istnieje granica ilorazu f~g, a nie istnieje granica ilorazu pochodnych

f ~g.Przykład 5.16. Rozważmy granicę

limx0

x2 sin 1x

sinx.

Grupując odpowiednio wyrażenia, otrzymujemy

limx0

x2 sin 1x

sinx limx0

x

sinxx sin

1x 1 0 0.

Nie istnieje jednak granica ilorazu pochodnych

limx0

x2 sin 1xsinx lim

x0

2x sin 1x cos 1

x

cosx,

ponieważ nie istnieje granica limx0

cos1x

.

5.3.2. Monotoniczność funkcji

Twierdzenie 5.17. Niech f a, b R będzie funkcją różniczkowalną.a) Funkcja f jest niemalejąca (odpowiednio nierosnąca) w przedziale a, b wtedy i tylko wtedy,

gdy f x C 0 (odpowiednio f x B 0) dla każdego x > a, b.b) Funkcja f jest stała w przedziale a, b wtedy i tylko wtedy, gdy f x 0 dla każdego x > a, b.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 94 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

c) Jeśli f x A 0 dla każdego x > a, b, to f rośnie w przedziale a, b.d) Jeśli f x @ 0 dla każdego x > a, b, to f maleje w przedziale a, b.

Przykład 5.18. Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji fx x3 5x2 3x 2.

Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór R, funkcja jest ciągła i różniczkowalna w swojej dzie-

dzinie, a jej pochodna jest równa

f x x3 5x2

3x 2 x3 5 x2 3 x 2 3x2 10x 3.

Badając znaki pochodnej, otrzymujemy

f x 0 x 13 - x 3,

f x A 0 x > ª, 13 8 3,ª ,

f x @ 0 x > 13 ,3 .

Wynika stąd, że funkcja f rośnie w przedziale ª, 13 i w przedziale 3,ª, a maleje w przedziale1

3 ,3.5.3.3. Ekstrema lokalne

W rozdziale 2 podana została definicja ekstremów lokalnych funkcji jednej zmiennej. Korzystając

z pochodnej funkcji możemy podać efektywną metodę wyznaczania ekstremów funkcji różniczko-

walnych.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 95 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 5.19 (warunek konieczny na ekstremum). Jeśli funkcja f a, b R jestróżniczkowalna i ma w punkcie x0 > a, b ekstremum lokalne, to f x0 0.

Punkty x, w których f x 0, nazywamy punktami podejrzanymi o ekstremum lub

punktami stacjonarnymi .

Twierdzenie 5.20 (warunek dostateczny na ekstremum). Niech f a, b R będzie funkcjąróżniczkowalną, x0 > a, b i f x0 0. Jeśli istnieje takie r A 0, że:

a) f x A 0 dla x > x0 r, x0 i f x @ 0 dla x > x0, x0 r, to funkcja f ma w punkcie x0

maksimum lokalne;

b) f x @ 0 dla x > x0 r, x0 i f x A 0 dla x > x0, x0 r, to funkcja f ma w punkcie x0

minimum lokalne;

c) f x C 0 dla x > x0 r, x0 r albo f x B 0 dla x > x0 r, x0 r, to funkcja f nie ma wpunkcie x0 ekstremum lokalnego.

Przykład 5.21. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji fx 3x5 5x3.

Rozwiązanie. Funkcja f określona jest na całej osi liczbowej, a jej pochodna f x 15x415x2

jest wielomianem czwartego stopnia. Badamy znak pochodnej rozkładając ją na na czynniki

15x4 15x2 15x2x2

1 15x2x 1x 1.Miejscami zerowymi pochodnej są punkty x1 1, x2 0, x3 1, przy czym x1, x3 są pierwiastka-

mi pojedynczymi, a x2 jest pierwiastkiem podwójnym. Znak pochodnej najłatwiej można zbadać

korzystając z jej wykresu (patrz rysunek 5.2).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 96 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 5.2: Wykres pochodnej f x 15x4 15x2

Otrzymane wyniki zapisujemy w tabeli postaci

x ª,1 1 1,0 0 0,1 1 1,ªf x 0 0 0

fx 2 0 2

Na podstawie tej tabeli możemy stwierdzić, że funkcja f ma w punkcie 1 maksimum lokalne, w

punkcie 1 ma minimum lokalne, w punkcie 0 (mimo, że pochodna jest równa 0) nie ma ekstremum

lokalnego.

5.3.4. Ekstrema globalne funkcji

Największą i najmniejszą wartość w przedziale domkniętym `a, be funkcja może przyjąć w punk-

tach, w których ma ekstrema lokalne lub na końcach przedziału. Stąd wynika metoda wyznaczania


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 97 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

wyznaczania ekstremów globalnych w przedziale `a, be funkcji różniczkowalnej y fx. Wyznacza-

my miejsca zerowe pochodnej (nie musimy sprawdzać, czy są to ekstrema lokalne) leżące wewnątrz

przedziału, a następnie obliczamy wartość funkcji w wyznaczonych punktach i na końcach prze-

działu. Z otrzymanych liczb wybieramy wartość największą i najmniejszą.

Przykład 5.22. Wyznaczymy największą i najmniejszą wartość funkcji

fx 2x3 9x2

24x

w przedziale `1,2e.Rozwiązanie. Mamy f x 6x2 18x 24 oraz

f x 0 x 1 - x 4.

Obliczając wartości funkcji w punktach 1, 1, 3 (4 ~> `1,2e) , otrzymujemy f1 31, f1 13,

f3 4. Największą wartość równą 31 funkcja osiąga w punkcie 1, a najmniejszą równą 13 w

punkcie 1. Odpowiedź zapisujemy w postaci

fmax maxx>`1,3e fx f1 31, fmin min

x>`1,3e fx f1 13.

Zadania

5.1. (?) Obliczyć pochodną funkcji:

a) fx x2 3x, b) fx 3ºx2, c) gx 3x2 sinx, d) fx 2x4 x cosx, e) fx x2

x 3,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 98 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

f) hx ºx

2x 5, g) ft 1

11 t2

, h) fx 3 x2

2x2, i ) hx ctgx, j) ft t3 sin t,

k) gz z 3z3 4z

, l) ht 1 sin t2 cos t

, ł) fy 2 sin y1 cos y

, m) fx x sinxx cosx

.

5.2. (?) Obliczyć pochodną funkcji złożonej:

a) fx ºx2 1, b) fx sin2 x, c) fx sinx2, d) gx 1ºx2 4

, e) ht t 35

t4,

f) hv cos1 v2, g) fx ºx 1x2

.

5.3. (?) Wyznaczyć dziedzinę funkcji określonej wzorem fx x 1x

. Zbadać, czy równanie

f x 2x

ma rozwiązanie.

5.4. (?) Wykazać, że pochodna funkcji określonej wzorem fx x sinx, x > R jest funkcją

nieparzystą.

5.5. (?) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji fx x2 3x w punkcie o odciętej x0 2.

5.6. (?) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji fx x 1x 4

w punkcie o odciętej x0 1.

5.7. (?) W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji fx 13x

3 2x 1 ma równanie

6x 3y 11 0?

5.8. (?) Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i stycz-

nej do wykresu funkcji fx x2 x.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 99 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

5.9. (?) Obliczyć granice:

a) limxª

3x4 2xx2 3x2 , b) limx0

xex

ex 1, c) lim

x0

2x 1x

, d) limx0

ex ex

sinx, e) lim

x0

ln 3xctgx

, f) limx0

xx,

g) limxª

x1ºx , h) lim

x 12ππ2 x tgx, i) lim

x01x

1tgx

, j) limxª

1 a

xx .

5.10. (?) Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:

a) fx x2 2x 5, b) ft 2t4 t2, c) fx x 1x

, d) fx 3x2 1x2 2

, e) fx 6 x2

2x2 1,

f) fx x 3x2 5

.

5.11. (?) Wyznaczyć b tak, aby funkcja określona wzorem fx cos2 x bx, x > R była funkcją

malejącą.

5.12. (?) Niech fx x2 a

x 1. Dla jakich a > R funkcja f :

a) jest przedziałami rosnąca,

b) ma ekstremum lokalne w punkcie x 2?

5.13. (?) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

a) fx 4x x2, b) fx x2 6x 5, c) fx 3x x 22, d) fx x 1x, e) fx 1

1 x2,

f) fx x

1 x2.

5.14. (?) Cena p, jaką uzyskuje się za jednostkę pewnego towaru zależy od wielkości dostawy x

według wzoru p 100

x2 100. Przy jakiej wielkości dostawy uzyska się największy utarg?


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 100 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

5.15. (?) W pewnym zakładzie produkcyjnym koszt całkowity wytworzenia x jednostek towaru

wyraża się wzorem Kx 2x3 50x 32, gdzie x C 0. Przy jakiej wielkości produkcji koszt

przypadający na jednostkę wytworzonego produktu jest najmniejszy?

5.16. (?) Wyznaczyć taką liczbę a, żeby funkcja fx 2x3 3ax 4 miała ekstremum lokalne

w punkcie x 1. Następnie zbadać, czy jest to maksimum czy minimum.

5.17. (?) Niech fx ax3 3x2 2, x > R. Dla jakich wartości parametru a > R funkcja f : a) ma

ekstremum lokalne w punkcie x 5, b) ma dokładnie jedno ekstremum lokalne?

5.18. (?) Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji fx xx 22 w przedziale`1,2e.5.19. (?) Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji fx x3 6x 2 w przedziale`2,3e.5.20. (?) Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji fx x 2

x 2 w przedziale `1; 4e.5.21. (?) Wydajność pracy pewnego robotnika zmienia się w ciągu 8-godzinnego dnia pracy i po t

godzinach osiąga wartość w 10012t9t24t3. O której godzinie jego wydajność jest największa,

jeżeli pracę rozpoczyna o godzinie siódmej?

5.4. Druga pochodna funkcji

Definicja 5.23. Pochodną drugiego rzędu lub drugą pochodną funkcji f a, b R nazywa-

my funkcję f f , o ile taka funkcja istnieje. Funkcję, która w każdym punkcie przedziału a, b


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 101 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

ma drugą pochodną, nazywamy funkcją dwukrotnie różniczkowalną , a jeśli f a, b Rjest funkcją ciągłą, to mówimy, że f jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły .

Przykład 5.24. Wyznaczymy drugą pochodną funkcji f R R, fx x3 cosx.

Rozwiązanie. f x 3x2 cosx x3 sinx oraz f x 6x cosx 6x2 sinx x3 cosx.

Przykład 5.25. Wykażemy, że nie istnieje f 0, gdzie f R R, fx xSxS.Rozwiązanie. Dla x A 0 funkcja f jest określona wzorem fx x2, zatem fx 2x; dla x @ 0

mamy fx x2, a więc w tym przypadku f x 2x. Pochodną w 0 obliczamy z korzystając z

definicji:

f 0 limh0

fh f0h

limh0

hShSh

limh0

ShS 0.

Ostatecznie mamy f x 2SxS, a ta funkcja nie jest różniczkowalna w x 0 (por. przykład 5.5).

5.5. Zastosowania drugiej pochodnej

5.5.1. Wyznaczanie ekstremów lokalnych

Drugą pochodną stosujemy do wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji, wyznaczania przedziałów

wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji f oraz do badania tempa zmian wartości funkcji.

Twierdzenie 5.26 (Warunek dostateczny na ekstremum). Niech f a, b R będzie funkcjądwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły, a x0 > a, b takim punktem, że f x0 0.

a) Jeśli f x0 A 0, to f ma w x0 minimum lokalne.

b) Jeśli f x0 @ 0, to f ma w x0 maksimum lokalne.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 102 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 5.27. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji fx x 4x .

Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór Df ª,0 8 0,ª. Pierwsza pochodna jest rów-

na f x 1 4x2 oraz f x 0 x 2 - x 2. Druga pochodna jest równa f x 8

x3 .

Ponadtof 2 1 @ 0, f 2 1 A 0. Funkcja f w punkcie x 2 ma maksimum lokalne, a w

punkcie x 2 ma minimum lokalne.

5.5.2. Wypukłość i wklęsłość funkcji

Definicja 5.28. Mówimy, że funkcja f a, b R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy speł-

niony jest warunek

f 1 tx1 tx2 B 1 t fx1 tfx2dla dowolnych x1, x2 > a, b, t > `0,1e. Jeśli ponadto f 1 tx1 tx2 @ 1 t fx1 tfx2 dla

t > 0,1, to mówimy, że funkcja f jest ściśle wypukła . Mówimy, że funkcja f a, b R jest

wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek

f 1 tx1 tx2 C 1 t fx1 tfx2dla dowolnych x1, x2 > a, b, t > `0,1e. Jeśli ponadto f 1 tx1 tx2 A 1 t fx1 tfx2 dla

t > 0,1, to mówimy, że funkcja f jest ściśle wklęsła .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 103 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 5.3: Wykres funkcji wypukłej

Warunek podany w definicji 5.28 oznacza, że dla dowolnych x1, x2 > a, b odcinek łączący

punkty x1, fx1, x2, fx2 w przestrzeni R2 (cięciwa wykresu funkcji f) funkcji wypukłej

(odpowiednio wklęsłej) leży na lub powyżej (odpowiednio leży na lub poniżej) wykresu funkcji

f (por. rys. 5.3). Bezpośrednio z definicji wynika również, że jeśli funkcja f jest wklęsła (ściśle

wklęsła), to funkcja f jest wypukła (ściśle wypukła) i na odwrót.

Definicja 5.29. Punkt x0, f x0, gdzie x0 > a, b, nazywamy punktem przegięcia wykresu

funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie r A 0, że w jednym z przedziałów x0 r, x0,x0, x0 r funkcja jest wypukła, a w drugim wklęsła.

Twierdzenie 5.30. Niech f a, b R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły.Wówczas:

a) funkcja f jest wypukła na a, b wtedy i tylko i wtedy, gdy f x C 0 dla każdego x > a, b;


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 104 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) funkcja f jest wklęsła na a, b wtedy i tylko i wtedy, gdy f x B 0 dla każdego x > a, b;c) jeśli f x A 0 (odpowiednio f x @ 0) dla każdego x > a, b, to funkcja f jest ściśle wypukła

(odpowiednio ściśle wklęsła) na a, b.Twierdzenie 5.31. Niech f a, b R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły,x0 > a, b. Jeśli x0, f x0 jest punktem przegięcia wykresu funkcji f , to f x0 0.

Twierdzenie 5.32. Niech f a, b R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły,x0 > a, b, f x0 0. Jeśli istnieje takie r A 0, że w jednym z przedziałów x0 r, x0, x0, x0 rmamy f x B 0, a w drugim f x C 0, to x0, f x0 jest punktem przegięcia wykresu funkcji f .Przykład 5.33. Niech fx xex. Wyznaczmy przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f oraz

punkty przegięcia jej wykresu.

Rozwiązanie. Dziedziną funkcji f jest zbiór R. Pierwsza i druga pochodna jest odpowiednio

równa:

f x ex xex, f x 2ex xex.

Mamy:

f x 0 x 2,

f x A 0 x A 2,

f x @ 0 x @ 2.

Stąd wynika, że f jest wypukła w przedziale 2,ª, wklęsła w przedziale ª,2, a punkt 2,2e2jest punktem przegięcia wykresu funkcji.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 105 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

5.5.3. Tempo zmian wartości funkcji

W tym paragrafie przedstawimy zastosowanie pierwszej i drugiej pochodnej do badania tempa

zmian wartości funkcji. Rozważmy na początku funkcję liniową fx axb, która jest jednocześnie

wypukła i wklęsła. Jeśli a 0, to funkcja jest stała (jej wartości nie zmieniają się). Jeśli a A 0, to

funkcja jest rosnąca, ale tempo zmian jej wartości jest stałe (jednakowym przyrostom argumentów

odpowiadają jednakowe przyrosty wartości funkcji). W ostatnim przypadku, gdy a @ 0, funkcja

jest malejąca, ale również tempo zmian wartości jest stałe (jednakowym przyrostom argumentów

odpowiadają jednakowe spadki wartości funkcji).

Zajmijmy się teraz funkcjami nieliniowym.

Definicja 5.34. Niech f a, b R.a) Jeśli funkcja f jest rosnąca i ściśle wypukła, to mówimy, że funkcja f rośnie coraz szybciej

w przedziale a, b.b) Jeśli funkcja f jest rosnąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że funkcja f rośnie coraz wolniej

w przedziale a, b.c) Jeśli funkcja f jest malejąca i ściśle wypukła, to mówimy, że funkcja f maleje coraz wolniej

w przedziale a, b.d) Jeśli funkcja f jest malejąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że funkcja f maleje coraz szybciej

w przedziale a, b.Twierdzenie 5.35. Niech f a, b R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły.a) Jeśli f x A 0 i f x A 0 dla każdego x > a, b, to funkcja f rośnie coraz szybciej w

przedziale a, b.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 106 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Funkcja rośnie coraz szybciej (b) Funkcja rośnie coraz wolniej

Rysunek 5.4: Tempo zmian funkcji rosnącej

b) Jeśli f x A 0 i f x @ 0 dla każdego x > a, b, to funkcja f rośnie coraz wolniej w przedzialea, b.c) Jeśli f x @ 0 i f x A 0 dla każdego x > a, b, to funkcja f maleje coraz wolniej w

przedziale a, b.d) Jeśli f x @ 0 i f x @ 0 dla każdego x > a, b, to funkcja f maleje coraz szybciej w

przedziale a, b.Przykład 5.36. Zbadamy tempo zmian wartości funkcji f 0,2π R, fx sinx.

Rozwiązanie. Mamy f x cosx, f x sinx, oraz

f x 0 cosx 0 , x >Df x 12π - x

32π,

f x 0 sinx 0 , x >Df x π.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 107 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Funkcja maleje coraz wolniej (b) Funkcja maleje coraz szybciej

Rysunek 5.5: Tempo zmian funkcji malejącej

Ponadto

f x A 0 cosx A 0 x > 0, 12π - 3

2π,2π ,f x @ 0 cosx @ 0 x > 1

2π,32π ,

f x A 0 sinx A 0 x > π,2π,f x @ 0 sinx @ 0 x > 0, π.

Zestawiamy znaki pochodnych w tabeli.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 108 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

x 0, 12π 1

2π 12π,π π π, 3

2π 32π 3

2π,2πf x 0 0

f x 0

fx ¼ 1 ¿ 0 Ç 1 Ä

Wynika stąd, że funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale 0, 12π, maleje coraz szybciej w

przedziale 12π,π, maleje coraz wolniej w przedziale π, 3

2π, rośnie coraz szybciej w przedziale32π,2π.

5.5.4. Badanie przebiegu zmienności funkcji i

W tym paragrafie omówimy badanie przebiegu zmienności funkcji i szkicowanie jej wykresu.

Badanie funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągły przeprowadzamy według następu-

jącego schematu:

• wyznaczamy dziedzinę funkcji oraz (jeśli istnieją) punkty w których wykres funkcji przecina

osie układu współrzędnych, tzn. wartość f0 i rozwiązania równania fx 0;

• obliczamy granice funkcji na końcach przedziałów określoności i wyznaczamy równania asymp-

tot;

• wyznaczamy pierwszą pochodną i badamy jej znaki;

• wyznaczamy drugą pochodną i badamy jej znaki;

• w tabeli zestawiamy znaki pochodnych i zaznaczamy tempo zmian wartości funkcji;


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 109 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

• na podstawie tabeli szkicujemy wykres funkcji.

Przykład 5.37. Zbadamy przebieg zmienności funkcji f x x2 12x 4

.

Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór Df ª,2 8 2,ª. Obliczając f0 i rozwiązując

równanie fx 0, otrzymujemy f0 14 , fx 0 x 1 - x 1, zatem wykres przecina osie

układu współrzędnych w punktach 0,14, 1,0, 1,0.

Obliczamy granice na końcach przedziałów określoności. W ª mamy

limxª

fx limxª

x2 12x 4

limxª

x2 12x 4

limxª

x2 1 1x2

x 2 4x lim

xª

x 1 1x22 4

x ª.

Podobnie limxª

fx ª. Nie istnieje zatem asymptota pozioma. Sprawdzamy, czy istnieje asymp-

tota ukośna y ax b. W ª mamy

a limxª

fxx

limxª

1x

x2 12x 4

12,

b limxª

fx ax limxª

x2 12x 4

12x 1.

Analogiczne wartości granic otrzymujemy w ª. Prosta y 12x1 jest asymptotą ukośną zarówno

w ª i w ª.

Obliczamy granice jednostronne w punkcie x 2 .

limx2

fx ª, limx2

fx ª.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 110 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Prosta x 2 jest asymptotą pionową wykresu funkcji.

Pierwsza pochodna funkcji jest równa

f x 12x2 4x 1x 22 .

Badając jej znaki otrzymujemy

f x 0 x 2 º

3 - x 2 º

3,

f x A 0 x > ª,2 º

3 8 2 º

3,ª ,f x @ 0 x > 2

º3,2 8 2,2

º3 .

Druga pochodna funkcji jest równa

f x 3x 23 .

Druga pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie, ponadto

f x A 0 x > 2,ª .f x @ 0 x > ª,2 .

Tabelka przebiegu zmienności funkcji.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 111 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 5.6: Wykres funkcji f x x212x4

x ª . . . 2 º

3 . . . 2 . . . 2 º

3 . . . ª

f x 0 0

f x

fx ª ¼ 2 º

3max

¿ ª ª Ç 2 º

3min

Ä ª

Wykres funkcji przedstawiony jest na rysunku 5.6.

Zadania

5.22. (?) Wyznaczyć pochodną drugiego rzędu funkcji f i obliczyć jej wartość w punkcie x0:

a) fx x3 2x2 4xºx 1

x4 3, x0 1, b) fx lnxx , x0

1e , c)fx ex22x, x0 0,

d) fx x21ex , x0 0.

5.23. (?) Wyznaczyć przedział, w którym funkcja fx 3x

x3 :


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 112 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) maleje coraz szybciej, b) rośnie coraz wolniej.

5.24. (?) Wyznaczyć przedział, w którym funkcja fx º4 x2:

a) rośnie coraz szybciej, b) rośnie coraz wolniej, c) maleje coraz szybciej, d) maleje

coraz wolniej.

5.25. (?) Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji:

a) fx x2e2x, b) fx x21x , c) fx x lnx2, d) fx º

xlnx .

5.26. (?) Zbadać tempo zmian wartości funkcji:

a) fx e1x

x , b) gx º2x2 3 , c) hx x 3x2 , d) px cosx.

5.27. * (?) Zbadać, dla jakich wartości parametrów α,β, γ > R funkcja fx xα βx γ jest

wklęsła, a dla jakich wypukła w przedziale 0,ª. Czy istnieją takie wartości parametrów, przy

których funkcja rośnie coraz wolniej w przedziale 0,ª?5.28. * (?) Zbadać tempo zmian wartości funkcji fx eax eax w zależności od wartości

parametru a > R 0.

5.29. (?) Zbadać przebieg zmienności funkcji f :

a) fx x122x , b) fx 1

1ex , c) fx xlnx , d) fx xex2 .

5.30. * (?) Dla funkcji z zadania 5.29 wyznaczyć f1,ª, f1ª,0, fDf.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 113 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 6

CAŁKI

6.1. Całka nieoznaczona

Mając daną funkcję f wyznaczaliśmy jej pochodną (o ile taka istniała). Obecnie zajmiemy się nieco

innym, w pewnym sensie odwrotnym działaniem. Dla danej funkcji f będziemy poszukiwać funkcji,

której pochodną jest funkcja f .

Definicja 6.1. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w (niepustym) przedziale

I a, b wtedy i tylko wtedy, gdy F x fx dla każdego x > I.

Uwaga. Możemy również definiować funkcję pierwotną funkcji f w przedziale domkniętym`a, be i w dowolnym innym przedziale, żądając dodatkowo aby F

a fa oraz F

b fb..

Przykład 6.2. Funkcją pierwotną funkcji fx 3x2 w dowolnym przedziale I jest na przykład


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 114 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

funkcja F x x3, ale też funkcja F x x35. Ogólnie, każda funkcja postaci F x x3C, gdzie

C jest pewną stałą należącą do zbioru R, jest funkcją pierwotną funkcji f w dowolnym przedziale

I . Dla każdego x > R mamy bowiem Fx x3 C x3 0 3x2.

Przykład 6.3. Funkcją pierwotną funkcji fx sinx 3 w dowolnym przedziale I jest funkcja

F x cosx 3x C, gdzie C > R.

Przykład 6.4. Funkcją pierwotną funkcji fx 1x w dowolnym przedziale I ` 0,ª jest funkcja

F x lnx C, gdzie C > R. Zauważmy również, że lnx 1x 1

x . A zatem funkcja

F x lnx C jest funkcją pierwotną funkcji fx 1x w dowolnym przedziale I ` ª,0.

Łatwo zauważyć, że jeśli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f, to również funkcja F C,

gdzie C > R, jest funkcją pierwotną funkcji f . Pojawia się pytanie, czy wszystkie funkcje pierwotne

funkcji f są tej postaci.

Twierdzenie 6.5. Niech funkcja F będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I. Wtedy:

a) Dla każdego C > R funkcja G F C jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I.

b) Jeśli G jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I, to istnieje C > R takie, że G F C.

A zatem wyznaczając jedną funkcję pierwotną danej funkcji, znajdujemy wszystkie funkcje pier-

wotne tej funkcji. Operację wyznaczania funkcji pierwotnych nazywamy całkowaniem, zaś rodzinę

wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji całką nieoznaczoną.

Definicja 6.6. Całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale I nazywamy rodzinę wszystkich

funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale I.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 115 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Uwaga. Całkę nieoznaczoną oznaczamy przez R fxdx.

Mamy zatem:

S fxdx F x C F x fx.Poniżej przedstawiamy przydatne wzory, które wynikają wprost ze wzorów na pochodne wy-

branych funkcji.

R xadx 1a1x

a1 c, a ~ 1

R 1xdx ln SxS C

R axdx 1lnaa

x C

R exdx ex CR cosxdx sinx C

R sinxdx cosx C

Przykład 6.7. R 3x2dx x3 C, gdyż x3 3x2.

Przykład 6.8. R x2dx 13x

2 C, gdyż 13x

3 13x3 x2.

Przykład 6.9. R 1xdx lnSxS C w każdym przedziale, do którego nie należy 0, gdyż lnSxS

lnx 1x dla x A 0 oraz lnSxS lnx 1

x dla x @ 0.

Przykład 6.10. R tg2x 1dx R sin2 xcos2 x 1dx R sin2 xcos2 x

cos2 x dx R 1cos2 xdx tgx C.

Twierdzenie 6.11. Jeśli funkcje f i g mają funkcje pierwotne w przedziale I, to funkcje f g,

af , gdzie a > R, mają funkcje pierwotne w tym przedziale, przy czym:a) R afxdx a R fxdx;

b) R fx gxdx R fxdx R gxdx.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 116 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 6.12. R 5xdx 5 R xdx 5 x22 C 52x

2 C.

Przykład 6.13. R 3ºxdx 3 R x 12dx 3 1

121

x121C 6

ºx C.

Przykład 6.14. R x4 sinxdx R x4dx R sinxdx 15x

5 cosx C.

Przykład 6.15. R x31x1 dx R x1x2x1

x1 R x2 x 1dx R x2dx R xdx R 1dx

13x

3 12x

2 x C.

Twierdzenie 6.16. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale I (otwartym lub domkniętym), to f

ma funkcję pierwotną w tym przedziale.

Uwaga. Całkowanie jest na ogół przedsięwzięciem znacznie trudniejszym od wyznaczania po-

chodnej. Co więcej, istnieją funkcje ciągłe, których funkcje pierwotne nie są funkcjami elementar-

nymi. Do takich funkcji należy między innymi funkcja fx ex2 .Obecnie przedstawimy twierdzenie, które w wielu wypadkach ułatwia całkowanie.

Twierdzenie 6.17. (Twierdzenie o całkowaniu przez części) Jeśli funkcje f i g mają w

przedziale I ciągłe pochodne f i g, to

S fxgxdx fxgx S f xgxdx.Uwaga. Teza twierdzenia wynika bezpośrednio ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji.

Przykład 6.18. R xexdx R xexdx xex R xexdx xex R exdx xex ex C.

Czasem wygodniej wykonywać rachunki, wypisując wszystkie kroki pośrednie. Na przykład

można to zrobić w następującej postaci.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 117 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

R xexdx

¢¦¤ fx x f x 1

gx ex gx ex£§¥ xex R 1exdx xex ex C.

Przykład 6.19. R x sinxdx R x cosxdx x cosx R x cosxdx x cosx R cosxdx

x cosx sinx C.

Przykład 6.20. R lnxºxdx R lnx2ºxdx 2

ºxlnx R 2

ºxlnxdx 2

ºxlnx R 2

ºx 1

xdx

2ºxlnx 2 R 1º

xdx 2

ºxlnx 4

ºx C.

Przykład 6.21. R lnxdx R x lnxdx xlnx R xlnxdx xlnx R x 1xdx xlnx R 1dx

xlnx x C.

Innym ważnym twierdzeniem ułatwiającym całkowanie jest twierdzenie związane ze wzorem na

pochodną funkcji złożonej.

Twierdzenie 6.22. (Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie) Jeśli funkcja g ma w

przedziale I ciągłą pochodną g, zaś funkcja f ma w przedziale gI funkcję pierwotną F, toS fgxgxdx F gx C

w przedziale I.

Zauważmy, że R ftdt F t C. Tym samym wzór możemy zapisać w następującej postaci:

R fgxgxdx R ftdt, gdzie t gx. Innymi słowy stosujemy podstawienie t gx i

obliczanie całki sprowadzamy do wyznaczenia R ftdt.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 118 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 6.23. Znajdziemy całkę nieoznaczoną funkcji hx 2xx2 110. Zauważmy, że we

wzorze funkcji h występuje funkcja gx x2 1 wraz ze swoja pochodną gx 2x. Przyjmując

dodatkowo, że fx x10, mamy fgx x2 110. Tak więc hx fgxgx. Funkcja

F x 111x

11 jest funkcją pierwotną funkcji f w dowolnym przedziale I. Mamy zatem F gx 111x2 111 i tym samym R 2xx2 110dx 1

11x2 111 C.

Wykorzystując notację t gx oraz dt gxdx, powyższe rachunki możemy przedstawić w

nieco bardziej zwartej postaci.

R 2xx2 110dx

¢¦¤ t x2 1

dt 2xdx

£§¥ R t10dt 111t

11 C 111x2 111 C.

Przykład 6.24. R cos5x 2dx ¢¦¤t 5x 2

dt 5dx15dt dx

£§¥ R 1

5 cos tdt 15 sin t C 1

5 sin5x 2 C.

Przykład 6.25. R x2ex3dx

¢¦¤

t x3

dt 3x2dx13dt x

2dx

£§¥ R 1

3etdt 1

3et C 1

3ex3 C.

Przykład 6.26. R tgxdx R sinxcosxdx

¢¦¤

t cosx

dt sinxdx

dt sinxdx

£§¥ R 1

tdt lnStS C lnS cosxS C.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 119 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

6.2. Całka oznaczona

Definicja 6.27. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale à, be. Całką oznaczoną funkcji f

w przedziale à, be nazywamy liczbę

Sb

afxdx F b F a,

gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale à, be.Uwaga. Liczbę a nazywamy dolną granicą całkowania, liczbę b zaś górną granicą całkowania. W

dalszych rozważaniach będziemy posługiwać się następującym oznaczeniem: F xba F bF a.Przykład 6.28. R 1

2x2 4dx 13x

3 4x1

2 1

3 13 4 1 1

3 23 4 2 15.

Przykład 6.29. Wyznaczymy całkę R 10 xe

xdx. Po zastosowaniu twierdzenia o całkowaniu przez

części (patrz przykład 6.18) otrzymujemy R xexdx xex ex C. A zatem R 10 xe

xdx xex ex10 1 e1 e1 0 e0 e0 1.

Łatwo pokazać, że całka oznaczona ma następujące własności.

Twierdzenie 6.30. Jeśli funkcje f i g są ciągłe w przedziale à, be, to:a) R ba αfxdx α R ba fxdx dla dowolnego α > R ;b) R ba fx gxdx R ba fxdx R ba gxdx;c)R ba fxdx R ca fxdx R bc fxdx dla dowolnego c > a, b.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 120 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

6.3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Poznamy teraz jedno z ważnych zastosowań całki oznaczonej.

Weźmy pod uwagę funkcję f ciągłą w przedziale à, be taką, że fx C 0 dla x > à, be. Rozważamy

zbiór A x, y x > R , y > R , x > à, be , 0 B y B fx. Interpretację geometryczną zbioru A

przedstawia rysunek 6.1. Można udowodnić, że pole powierzchni zbioru A (oznaczane dalej przezSAS ) jest równe R ba fxdx.

Rysunek 6.1: Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Wykorzystując powyższy fakt, możemy także wyznaczać pole powierzchni B zbioru ograniczo-

nego prostymi o równaniach x a i x b, osią 0x oraz wykresem funkcji f, która w przedziale à, bejest ciągła i niedodatnia. Odbijając wykres funkcji f symetrycznie względem osi 0x, otrzymujemy

wykres funkcji g f , która w przedziale à, be jest ciągła i nieujemna (patrz rysunek 6.2). Łatwo

zauważyć, że SBS R ba gxdx R ba fxdx R ba fxdx.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 121 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 6.2: Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Przykład 6.31. Obliczymy pole powierzchni zbioru A ograniczonego wykresem funkcji fx

x2 2x 2, osią 0x oraz prostymi o równaniach x 1 i x 2 (patrz rysunek 6.3). Zauważmy,

że w przedziale `1,2e funkcja f jest nieujemna i ciągła. Mamy zatem SAS R 21x2 2x 2dx x33 x2 2x2

1 6.

Rysunek 6.3: Interpretacja geometryczna całki. Przykład 6.31


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 122 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 6.32. Wyznaczymy pole zbioru A ograniczonego wykresem funkcji fx cosx, osią

0x oraz prostymi o równaniach x 12π i x 5

4π. Zbiór A znajduje się na rysunku 6.4.

Rysunek 6.4: Interpretacja geometryczna całki z przykładu 6.32

Zauważmy, że fx B 0 dla x > `12π,

54πe. Mamy zatem

SAS R 54π12π

cosxdx sinx 54π12π

sin 54π sin 1

2π º2

2 1 º2

2 1.

Przykład 6.33. Obliczymy pole powierzchni zbioru A ograniczonego wykresami funkcji fx x21 i gx 1

2x2 1

2x3 oraz prostymi o równaniach x 3 i x 3. Zbiór A został przedstawiony

na rysunku 6.5a.

Pole powierzchni tego zbioru można na przykład obliczyć, wyznaczając pola powierzchni na-


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 123 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

stępujących zbiorów (patrz rysunek 6.5a):

A1 x, y x > R , y C 0 , x > `3,1e , 12x

2

12x 3 B y B x2

1 ,A2 x, y x > R , y B 0 , x > `2,3e , 1

2x2

12x 3 B y B x2

1 ,A3 x, y x > R , y C 0 , x > `1,3e , y B x2

1 .Mamy kolejno:

SA1S S 1

3x2

1dx S 2

11

2x2

12x 3dx,

SA2S S 3

21

2x2

12x 3dx S 1

1x2

1dx ,SA3S S 3

1x2

1dx.Ostatecznie SAS SA1S SA2S SA3S.

Możemy też postąpić w nieco inny sposób. Zauważmy mianowicie, że przesuwając wykresy obu

funkcji o wektor v 0,m otrzymujemy zbiór, którego pole powierzchni jest równe SAS (patrz

rysunek 6.5). Rzędna wierzchołka paraboli o równaniu y 12x

2 12x 3 jest równa

258 . Dla m C 25

8

mamy zatem 12x

2 12x 3 m C 0 dla x > R. W szczególności dla x > `3,3e mamy fx m C

0 oraz gx m C 0. Wystarczy teraz obliczyć pole powierzchni zbioru B (patrz rysunek 6.5b)

ograniczonego wykresami funkcji y fx m, y gx m oraz prostymi o równaniach x 3 i

x 3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 124 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Zbiór A (b) Zbiór B


Oczywiście

SBS S 3

3fx mdx S 3

3fx mdx S 3

3fx m gx mdx

S3

3fx gxdx S 3

3x2

1 12x

2

12x 3dx S 3

31

2x2

12x 2

16x

3

14x

2 2x3

3 21.

Okazuje się, że postępowanie opisane w przykładzie 6.33 daje się uogólnić. Można pokazać, że

dla funkcji f ciągłej w przedziale à, be istnieje takie m > R, że fxm C 0 dla x > R. Spostrzeżenie

to prowadzi do następującego twierdzenia.

Twierdzenie 6.34. Jeśli funkcje f i g są ciągłe w przedziale à, be oraz fx C gx dla x > à, be,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 125 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

to pole powierzchni zbioru A ograniczonego wykresami funkcji y fx i y gx oraz prostymi orównaniach x a i x b jest równe

SAS S b

afx gxdx.

Na rysunku 6.6 przedstawiamy interpretację geometryczną zbioru A.

Rysunek 6.6: Interpretacja geometryczna całki. Twierdzenie 6.34

Przykład 6.35. Wyznaczymy pole powierzchni zbioru A ograniczonego wykresami fx 2 sinx

1, gx sinx 12 oraz prostymi o równaniach x π i x π. Oczywiście 2 sinx1 C sinx 1

2 wtedy

i tylko wtedy, gdy sinx C 32 . A zatem dla każdego x > R, a w szczególności dla x > `π,πe mamy

fx C gx. Tak więc

SAS S π

π2 sinx 1 sinx

12dx S π

πsinx

32dx cosx

32xπ

π

3π.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 126 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Dodatkowo interpretację zbioru A zamieszczono na rysunku 6.7.


Przykład 6.36. Wyznaczymy pole powierzchni zbioru A ograniczonego parabolą o równaniu y

x2 2x 5 oraz prostymi o równaniach y 2x 1 i y x 1 (patrz rysunek 6.8).

SAS S 0

22x 1 x2

2x 5dx S 4

0x 1 x2

2x 5dx S

0

2x2

4dx S 4

0x2

3x 4dx 163

563 24.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 127 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 6.8: Interpretacja geometryczna całki.Przykład 6.36

Zadania

6.1. (?) Sprawdzić, czy funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f w dowolnym przedziale a, b,gdy:

a) fx 4x3 x 5, F x x4 12x

2 5x 5, a, b ` R;

b) fx x2lnx, F x x3

3 lnx x3

9 2, a, b ` 0,ª;c) fx ex, F x ex 1, a, b ` R;

d) fx 2x5 4ºx 1, F x 1

3x6 4

54»x 15 3, a, b ` 1,ª.

6.2. (?) Znaleźć taką funkcję pierwotną funkcji f , do której wykresu należy punkt x0, y0.a) fx 3x2 x, x0, y0 1,0;b) fx 2 sinx 1, x0, y0 π,2.

6.3. (?) Wyznaczyć całki:

a)R 2x 1dx; b)R x5 2ºx 5dx; c)R sinx cosxdx; d)R x 2x 3dx;


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 128 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

e)R x41x21dx; f)R 4

ºxx 3dx; g)R x34 3

ºx1ºx

dx; h)*R 2ctg2x 3dx;

i)R e2x1ex dx; j)R 2x1 4xdx.

6.4. (?) Stosując wór na całkowanie przez części, wyznaczyć całki:

a)R x cosxdx; b)R xexdx; c)R xlnxdx; d) R x2 sinxdx;

e)R lnxx2 dx; f)R ºx 3lnxdx; g)R x2exdx; h)*R ex cosxdx.

6.5. (?) Stosując wór na całkowanie przez podstawienie, wyznaczyć całki:

a)R xx21dx; b)R

º3x 5dx; c)R xex2dx; d)R ln2x

x dx;

e)R xlnx1dx; f)R ctgxdx; g)R sinºxº

xdx; h)R exex

exexdx;

i)R sin3 xdx; j)R 6x24ºx32x

dx.

6.6. * (?) Wyznaczyć R fxdx dwiema metodami: stosując wzór na całkowanie przez części oraz

korzystając ze wzoru na całkowanie przez podstawienie.

a)fx sinx cosx;

b)fx cos2 x;

c)fx lnxx .

6.7. (?) Wyznaczyć całki:

a)R xº

2x 5dx; b)R x3ºxdx; c)R x 1e3xdx; d)R 3

x1dx;

e)R x1x1dx; f)R 1

x3 e1xdx; g)R sin2 x cos3 xdx; h)R x cos3x 2dx;

i)R ºxlnxdx; j)R tg4x4cos2 x dx; k)*R log3x 1dx.

6.8. (?) Obliczyć:

a)R 312x 1dx; b) R

π4π sin 2xdx; c)R 2

0x2

x31 ; d)R 01 xe

xdx;


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 129 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

e)R 11 S2x 1Sdx; f)R π3 fxdx, gdzie fx ¢¦¤

x 1 dla x B 0

cosx dla x A 0;

g)R 32 S1 x2Sdx; h)*R e1

exS lnxSdx.

6.9. (?) Wyznaczyć funkcję g 1,ª R, gt R t1 fxdx, gdy fx Sx 1S.6.10. (?) Wyznaczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego:

a) parabolą o równaniu y x2 3x 4 i prostą o równaniu y 2x 2;

b) parabolami o równaniach y x2 oraz y2 x;

c) parabolami o równaniach y 3x2 2x 2 oraz y x2 2x 6;

d) wykresem funkcji y lnx, styczną do wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej x0 e oraz

prostą o równaniu y 0.

6.11. (?) Wyznaczyć pole powierzchni zbioru A, gdy:

a) A x, y x > R , y > R , x > `1,2e , 0 B y B eSxS ;

b) A x, y x > `0,ª , y > R ,x2

2 B y Bºx , xy B 1 ;

c) A x, y x > `0,ª , y > R ,x2

2 B y Bºx , xy C 1 ;

d)A x, y y > R , x > `π6 , π3 e , 0 B y B tgx , y B ctgx .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 130 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 7

Przestrzeń liniowa Rn

7.1. Punkty i wektory w R2 i w R3

Rysując na płaszczyźnie dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe, o jednakowych długościach

odcinków jednostkowych, przecinające się w punkcie 0; otrzymujemy kartezjański układ współ-

rzędnych. Każdy punkt a płaszczyzny ma wówczas jednoznaczne przedstawienie w postaci pary

liczb xa i ya, gdzie xa jest rzutem prostopadłym punktu a na pierwszą oś (oznaczaną 0x), a ya

– rzutem prostopadłym na drugą oś (oznaczaną 0y). Liczby xa i ya nazywamy współrzędnymi

punktu a i będziemy dalej pisali a

<@@@@>xaya=AAAA?1. Płaszczyznę z wprowadzonym kartezjańskim układem

współrzędnych możemy zatem utożsamić ze zbiorem wszystkich par liczb rzeczywistych x i y. Zbiór

1Elementy przestrzeni Rn będziemy zapisywali w postaci pionowych kolumn.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 131 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

tych par oznaczamy symbolem R2 i naszywamy przestrzenią dwuwymiarową .

Odległością dwóch punktów a,b > R2 nazywamy liczbę określoną wzorem2

d a,b ¼xa xb2 ya yb2

.

Definicja 7.1. Prostą w przestrzeni R2 nazywamy zbiór punktów<@@@@>xy

=AAAA? > R2 takich, że axby c,

gdzie co najmniej jedna z liczb a, b jest różna od zera.

Równanie ax by c nazywamy równaniem prostej w postaci ogólnej . Jeśli prosta nie jest

prostopadła do osi 0x, to można jej równanie zapisać również w postaci kierunkowej y mx c,

gdzie liczbę m nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej . Prosta prostopadła do osi

0x ma równanie x x0.

Dwa różne punkty a,b > R2 wyznaczają jednoznacznie prostą przechodzącą przez punkty a i

b. Zbiór punktów tej prostej leżących między punktami a i b nazywamy odcinkiem łączącym

punkty a i b i punkty te nazywamy końcami odcinka. Odcinek zorientowany, w którym punkt a

uznajemy za początek, a punkt b za koniec, nazywamy wektorem związanym o początku w

punkcie a i końcu w punkcie b. Oznaczamy go symbolemÐÐa,b. Liczbę

UÐÐa,bU ¼xa xb2 ya yb2

równą odległości punktów a i b nazywamy długością wektora związanego. Współrzędnymi

2Wynika on z twierdzenia Pitagorasa.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 132 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

albo składowymi (odpowiednio pierwszą i drugą) wektora związanegoÐÐa,b, gdzie a

<@@@@>xaya=AAAA?,

b

<@@@@>xbyb=AAAA?, nazywamy liczby xbxa i ybya. Współrzędne wektora zapisujemy w postaci

<@@@@>xb xayb ya

=AAAA?.

Tak zapisany ciąg dwuwyrazowy nazywamy wektorem swobodnym wyznaczonym przez wektor

związanyÐÐa,b. Każdy wektor związany wyznacza jednoznacznie wektor swobodny. Na odwrót, dany

wektor swobodny v

<@@@@>xy=AAAA? i ustalony punkt a

<@@@@>xaya=AAAA? wyznacza jednoznacznie wektor związany

ÐÐa,b,

gdzie b

<@@@@>xa xya y

=AAAA?. Mówimy wówczas, że wektorÐÐa,b otrzymujemy zaczepiając wektor swobodny

v w punkcie a.

Zaczepiając wektor swobodny v

<@@@@>xy=AAAA? w początku układu współrzędnych, czyli w punkcie

0

<@@@@> 0

0

=AAAA?, otrzymujemy wektorÐÐ0,b, gdzie punkt b ma takie same współrzędne jak wektor v.

Możemy zatem utożsamiać punkty przestrzeni R2 z wektorami swobodnymi. Dalej wektorem w R2

będziemy nazywali dwuelementowy ciąg liczb rzeczywistych zapisanych w postaci<@@@@>xy

=AAAA?. Możemy

ten ciąg interpretować jako punkt przestrzeni lub jako wektor swobodny, będziemy więc używali

również nazwy punkt.

Na wektorach w przestrzeni R2 określamy dwa działania: działanie mnożenia wektora przez

liczbę rzeczywistą i działanie dodawanie dwóch wektorów.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 133 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Iloczyn wektora przez liczbę (b) Suma wektorów

Rysunek 7.1: Działania na wektorach

Definicja 7.2. Iloczynem wektora v

<@@@@>xy=AAAA? przez liczbę α nazywamy wektor αv

<@@@@>αxαy=AAAA?.

Sumą wektorów v

<@@@@>x1

y1

=AAAA? i w

<@@@@>x2

y2

=AAAA? nazywamy wektor v w

<@@@@>x1 x2

y1 y2

=AAAA? .Wprowadzone działania mają prostą interpretację geometryczną (por. rysunek 7.1).

Jeśli wektor a

<@@@@>xaya=AAAA? potraktujemy jako punkt, zaś wektor v

<@@@@>xvyv=AAAA? jako wektor swobodny,

to sumę a tv

<@@@@>xa txvya tyv

=AAAA?, gdzie t > R, możemy potraktować jako punkt otrzymany z punktu a

przez przesunięcie o wektor tv. Dla różnych wartości parametru t otrzymujemy zatem różne punkty

leżące na prostej przechodzącej przez punkt a i równoległej do wektora v (por. rysunek 7.2).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 134 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 7.2: Prosta przechodząca przez punkt a i równoległa do wektora v

Układ¢¦¤x xa txv,y ya tyv,

t > R, nazywamy równaniem parametrycznym prostej przechodzą-

cej przez punkt a i równoległej do wektora v.

Rozważmy teraz prostą przechodzącą przez dwa różne punkty a

<@@@@>xaya=AAAA?, b

<@@@@>xbyb=AAAA? . Wektor

związanyÐÐa,b leży na tej prostej, a zatem jest ona równoległa do wektora b a

<@@@@>xb xayb ya

=AAAA?, w

konsekwencji jej równanie parametryczne można zapisać w postaci¢¦¤x xa t xb xa ,y ya t yb ya , t > R,

czyli symbolicznie w postaci w a t b a, t > R, gdzie w

<@@@@>xy=AAAA? albo w postaci w 1 ta

tb, t > R. Jeśli zakres zmienności parametru t ograniczymy do przedziału `0,1e, to otrzymamy

odcinek łączący punkty a i b. Równanie w 1 ta tb, t > `0,1e nazywamy równaniem


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 135 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

parametrycznym odcinka łączącego punkty a i b.

Każda prosta dzieli płaszczyznę na dwie części nazywane półpłaszczyznami. Półpłaszczyzny

(odpowiednio z brzegiem lub bez brzegu) określone są przez nierówności otrzymane z równania

prostej przez zastąpienie znaku równości znakiem nierówności (odpowiednio nieostrej lub ostrej).

Półpłaszczyzny określone nierównością liniową (pierwszego stopnia) zaznaczamy w układzie współ-

rzędnych rysując najpierw jej brzeg będący linią prostą, a następnie sprawdzamy, wybierając dowol-

ny punkt nie leżący na otrzymanej prostej, czy jego współrzędne spełniają wyjściową nierówność.

Jeśli tak, to szukanym zbiorem jest półpłaszczyzna jest zawierająca wybrany przez nas punkt; jeśli

nie, to szukanym zbiorem jest półpłaszczyzna leżąca po drugiej stronie prostej.

Podobnie można wprowadzić kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni otrzymując prze-

strzeń trójwymiarową R3 złożoną z wektorów

<@@@@@@>x

y

z

=AAAAAA? , gdzie x, y, z > R. Nie będziemy powtarzali tych

określeń, gdyż sformułujemy je później ogólnie w przestrzeni Rn. Zwróćmy tylko uwagą na różnice

między określeniem prostej w R2 i w R3.

Definicja 7.3. Płaszczyzną w przestrzeni R3 nazywamy nazywamy zbiór punktów

<@@@@@@>x

y

z

=AAAAAA? > R3,

takich że ax by cz d, gdzie co najmniej jedna z liczb a, b, c jest różna od zera. Równanie

ax by cz d nazywamy równaniem płaszczyzny w R3.

Prostą w przestrzeni R3 możemy określić jako część wspólną dwóch płaszczyzn, które nie są

równoległe, lub za pomocą równania parametrycznego.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 136 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 7.4. Wyznaczymy równanie parametryczne prostej będącej częścią wspólną dwóch

płaszczyzn o równaniach 2x 3y z 2 i x 2y z 1.

Zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań

¢¦¤ 2x 3y z 2,

x 2y z 1.

Dodając stronami, otrzymujemy xy 3, a stąd mamy y 3x. Wstawiamy otrzymaną zależność

do pierwszego równania otrzymując

2x 33 x z 2 z 7 x.

Rozwiązanie układu możemy zapisać w postaci¢¦¤ y 3 x,

z 7 x,gdzie y i z są zmiennymi zależnymi, a

x jest zmienną niezależną, tzn. x może przybierać dowolne wartości rzeczywiste. Podstawmy x t

, gdzie t > R, wówczas y 3 t, z 7 t. Układ

¢¦¤x t,

y 3 t,

z 7 t,

t > R jest równaniem parametrycznym

prostej leżącej w podanych płaszczyznach.

Zadania

7.1. (?) Sprawdzić, czy punkty a

<@@@@@@>1

1

3

=AAAAAA? ,b

<@@@@@@>2

1

0

=AAAAAA? ,c

<@@@@@@>0

1

3

=AAAAAA? leżą na jednej prostej.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 137 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

7.2. (?) Wyznaczyć równanie parametryczne prostej w R3 leżącej w płaszczyznach o równaniach

2x y z 2, x 3y z 1.

7.3. (?) Wyznaczyć równanie parametryczne prostej w R3 leżącej w płaszczyznach o równaniach

2x 3y z 1, 2x y z 3. Sprawdzić, czy punkt a

<@@@@@@>2

1

0

=AAAAAA? leży na tej prostej.

7.4. (?) Zbadać wzajemne położenie prostej przechodzącej przez punkty a,b > R3 i płaszczyzny

3x y z 3, jeśli:

a) a

<@@@@@@>1

0

2

=AAAAAA? ,b

<@@@@@@>2

1

1

=AAAAAA?; b) a

<@@@@@@>0

5

2

=AAAAAA? ,b

<@@@@@@>2

1

4

=AAAAAA?; c) a

<@@@@@@>2

1

1

=AAAAAA? ,b

<@@@@@@>2

1

1

=AAAAAA? .7.5. (?) Punkt c należy do odcinka a,b o długości 9. Wyznaczyć współrzędne punktu b, jeśli

a

<@@@@@@>1

3

1

=AAAAAA? ,c

<@@@@@@>0

1

1

=AAAAAA?.

7.2. Struktura liniowa w przestrzeni Rn

W tym paragrafie zajmiemy się wektorami w przestrzeni Rn. Elementy przestrzeni Rn, n-wyrazowe

ciągi liczb rzeczywistych, zapisywać będziemy w postaci pionowych kolumn i nazywać wektora-

mi lub punktami. Wektory oznaczać będziemy małymi pogrubionymi literami, a ich współrzędne


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 138 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

niepogrubionymi, tzn. będziemy pisali

a

<@@@@@@@@@>a1

a2

an

=AAAAAAAAA?,b

<@@@@@@@@@>b1

b2

bn

=AAAAAAAAA?, . . . ,x

<@@@@@@@@@>x1

x2

xn

=AAAAAAAAA?.

Zbiór Rn nazywać będziemy n-wymiarową przestrzenią wektorową .

Definicja 7.5. Zbiór H x > Rn a1x1 a2x2 anxn b , gdzie co najmniej jedna z liczb

a1, a2, . . . , an jest różna od zera, nazywamy hiperpłaszczyzną . Równanie a1x1a2x2anxn b

nazywamy równaniem hiperpłaszczyzny .

Zauważmy, że dla n 1 równanie hiperpłaszczyzny ma postać ax b, gdzie a ~ 0, zatem jest to

punkt x ba na osi liczbowej. Dla n 2 hiperpłaszczyzna jest prostą w przestrzeni R2. Dla n 3

hiperpłaszczyzna jest płaszczyzną w przestrzeni R3.

Każda hiperpłaszczyzna dzieli przestrzeń Rn na dwie części nazywane półprzestrzeniami .

Definicja 7.6. Odległością punktów a,b > Rn nazywamy liczbę

da,b ¼a1 b12 a1 b12

an bn2.

Na wektorach w przestrzeni Rn, analogicznie jak w przestrzeni R2, określamy dwa działania:

działanie mnożenia wektora przez liczbę rzeczywistą i działanie dodawanie dwóch wektorów.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 139 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 7.7. Iloczynem wektora x

<@@@@@@@@@>x1

x2

xn

=AAAAAAAAA?przez liczbę α nazywamy wektor αx

<@@@@@@@@@>αx1

αx2

αxn

=AAAAAAAAA?.

Sumą wektorów x

<@@@@@@@@@>x1

x2

xn

=AAAAAAAAA?i y

<@@@@@@@@@>y1

y2

yn

=AAAAAAAAA?nazywamy wektor xy

<@@@@@@@@@>x1 y1

x2 y2

xn yn

=AAAAAAAAA?. Przestrzeń Rn z tak

określonymi działaniami nazywamy przestrzenią liniową .

Wektor x

<@@@@@@@@@>x1

x2

xn

=AAAAAAAAA?nazywamy wektorem przeciwnym do wektora x. Wektor 0

<@@@@@@@@@>0

0

0

=AAAAAAAAA?nazywamy wektorem zerowym .

Korzystając z wprowadzonych działań możemy zdefiniować prostą w przestrzeni Rn.

Definicja 7.8. Niech a,b > Rn, a ~ b. Prostą w przestrzeni Rn nazywamy zbiór

L 1 ta tb t > R .Równanie x 1 ta tb, t > R nazywamy równaniem parametrycznym prostej przecho-

dzącej przez punkty a i b.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 140 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 7.9. Odcinkiem o końcach a i b nazywamy zbiór

a,b 1 ta tb t > `0,1e .Równanie x 1 ta tb, t > `0,1e nazywamy równaniem parametrycznym odcinka o

końcach a i b.

Zadania

7.6. (?) Wykonać działania:

a) 2

<@@@@@@>1

0

2

=AAAAAA? 3

<@@@@@@>1

2

2

=AAAAAA?; b) 2

<@@@@@@>1

2

3

=AAAAAA? 4

<@@@@@@>2

1

1

=AAAAAA?; c)

<@@@@@@>1

2

1

=AAAAAA? 2

<@@@@@@>1

0

1

=AAAAAA? 2

<@@@@@@>1

4

1

=AAAAAA?.

7.7. (?) Wykonać działania:

a) 3

<@@@@@@@@@>1

0

3

1

=AAAAAAAAA?

<@@@@@@@@@>1

2

1

2

=AAAAAAAAA?; b) 2

<@@@@@@@@@>0

1

1

2

=AAAAAAAAA? 3

<@@@@@@@@@>2

0

2

2

=AAAAAAAAA?.

7.8. (?) Wyznaczyć równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkty a, b. Sprawdzić,

czy punkt x leży na tej prostej, jeśli:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 141 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) a

<@@@@@@@@@>1

1

2

0

=AAAAAAAAA?, b

<@@@@@@@@@>0

2

2

1

=AAAAAAAAA?, x

<@@@@@@@@@>1

5

2

2

=AAAAAAAAA?;

b) a

<@@@@@@@@@>2

1

1

1

=AAAAAAAAA?, b

<@@@@@@@@@>1

2

3

1

=AAAAAAAAA?, x

<@@@@@@@@@>1

1

0

1

=AAAAAAAAA?.

7.9. (?) Wyznaczyć równanie parametryczne odcinka łączącego punkty a i b, sprawdzić, czy

punkt x leży na tym odcinku, jeśli:

a) a

<@@@@@@@@@>2

0

2

1

=AAAAAAAAA?, b

<@@@@@@@@@>1

1

0

3

=AAAAAAAAA?, x

<@@@@@@@@@>1134313

=AAAAAAAAA?; b) a

<@@@@@@@@@>1

2

4

0

=AAAAAAAAA?, b

<@@@@@@@@@>2

1

1

1

=AAAAAAAAA?, x

<@@@@@@@@@>3

4

6

2

=AAAAAAAAA?.

7.10. (?) Wykazać, że jeśli punkt c > Rn należy do odcinka a,b ` Rn, to

d a,c d c,b d a,b .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 142 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

7.3. Liniowa niezależność, baza przestrzeni

Definicja 7.10. Niech v1,v2, ...,vk > Rn, α1, α2, ..., αk > R. Wektor

x α1v1 α2v2 ... αkvk

nazywamy kombinacją liniową wektorów v1,v2, ...,vk. Liczby α1, α2, ..., αk nazywamy współ-

czynnikami kombinacji liniowej.

Przykład 7.11. Wektor

x 2

<@@@@@@>1

2

3

=AAAAAA? 3

<@@@@@@>2

3

0

=AAAAAA? <@@@@@@>

1

2

1

=AAAAAA? <@@@@@@>

7

15

5

=AAAAAA?jest kombinacją liniową wektorów

<@@@@@@>1

2

3

=AAAAAA? ,<@@@@@@>

2

3

0

=AAAAAA? ,<@@@@@@>

1

2

1

=AAAAAA? o współczynnikach odpowiednio 2, 3, 1.

Definicja 7.12. Mówimy, że wektory v1,v2, . . . ,vk > Rn tworzą układ liniowo niezależny lub że

są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb α1, α2, ..., αk > R z warunku

α1v1 α2v2 ... αkvk 0

wynika, że każda z liczb α1, α2, ..., αk jest równa zeru. W przeciwnym przypadku mówimy, że wek-

tory v1,v2, ...,vk > Rn tworzą układ liniowo zależny lub że są liniowo zależne .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 143 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 7.13. Zbadamy liniową niezależność wektorów

v1

<@@@@@@>1

2

0

=AAAAAA? ,v2

<@@@@@@>1

1

1

=AAAAAA? ,v3

<@@@@@@>0

3

2

=AAAAAA?w przestrzeni liniowej R3.

Rozwiązanie. Warunek α1v1 α2v2 α3v3 0 jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy liczby

α1, α2, α3 są rozwiązaniem układu ¢¦¤

α1 α2 0,

2α1 α2 3α3 0,

α2 2α3 0.

Jedynym rozwiązaniem tego układu są liczby α1 α2 α3 0, a zatem wektory v1,v2,v3 są liniowo

niezależne.

Przykład 7.14. Zbadamy liniową niezależność wektorów

v1

<@@@@@@>1

1

2

=AAAAAA? ,v2

<@@@@@@>1

1

1

=AAAAAA? ,v3

<@@@@@@>0

2

3

=AAAAAA?w przestrzeni liniowej R3.

Rozwiązanie. Analogicznie jak w przykładzie 7.13 warunek α1v1α2v2α3v3 0 jest spełniony


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 144 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

wtedy i tylko wtedy, gdy liczby α1, α2, α3 spełniają układ równań

¢¦¤

α1 α2 0,

α1 α2 2α3 0,

2α1 α2 3α3 0.

Z pierwszego równania wynika, że α1 α2. Podstawiając α2 zamiast α1 w drugim i w trzecim

równaniu, otrzymujemy ¢¦¤

α1 α2

2α2 2α3 0

3α2 3α3 0

¢¦¤α1 α2,

α3 α2.

A zatem warunek α1v1 α2v2 α3v3 0 jest spełniony dla liczb α1, α2, α3 takich, że α1 α2,

α3 α2, gdzie α2 może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą. W szczególności dla α2 1

mamy α1 1 oraz α3 1. Istnieją zatem takie niezerowe skalary α1, α2, α3, że α1v1α2v2α3v3 0.

Oznacza to, że wektory v1,v2,v3 są liniowo zależne. Zauważmy ponadto, że spełniony jest warunek

v1 v2 v3 0, który jest równoważny warunkowi v3 v1 v2, czyli wektor v3 jest kombinacją

liniową wektorów v1,v2.

Twierdzenie 7.15. Niech A będzie co najmniej dwuelementowym podzbiorem przestrzeni liniowej

Rn. Wektory ze zbioru A są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest kombinacją

liniową innych wektorów należących do A.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 145 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 7.16. Jeśli A v1,v2, . . . ,vk ` Rn, gdzie k A n, to wektory v1,v2, . . . ,vk są liniowo

zależne.

Jak wynika z twierdzenia 7.16 w przestrzeni Rn co najwyżej n wektorów tworzy układ liniowo

niezależny.

Definicja 7.17. Zbiór B v1,v2, . . . ,vn, gdzie wektory v1,v2, . . . ,vn są liniowo niezależne,

nazywamy bazą przestrzeni przestrzeni liniowej Rn.

Twierdzenie 7.18. Jeśli zbiór B v1,v2, . . . ,vn jest bazą przestrzeni Rn, to każdy wektor x > Rn

ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej

x α1v1 α2v2 ... αnvn.

Przykład 7.19. Wektory v1

<@@@@@@>1

2

0

=AAAAAA? ,v2

<@@@@@@>1

1

1

=AAAAAA? ,v3

<@@@@@@>0

3

2

=AAAAAA? z przykładu 7.13 są liniowo niezależne,

zbiór B v1,v2,v3 jest zatem bazą przestrzeni R3. Wyznaczymy współczynniki kombinacji

liniowej α1v1 αv2 α3v3 x, gdzie x

<@@@@@@>1

4

1

=AAAAAA? .

Rozwiązanie. Równanie wektorowe α1

<@@@@@@>1

2

0

=AAAAAA? α2

<@@@@@@>1

1

1

=AAAAAA? α3

<@@@@@@>0

3

2

=AAAAAA?

<@@@@@@>1

4

1

=AAAAAA? zapisujemy w postaci


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 146 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

układu trzech równań ¢¦¤α1 α2 1,

2α1 α2 3α3 4,

α2 2α3 1,

o trzech niewiadomych α1, α2, α3. Z pierwszego równania wyznaczamy α1 1 α2 i wstawiamy

do drugiego i trzeciego równania otrzymując układ

¢¦¤ 2 1 α2 α2 3α3 4

α2 2α3 1

¢¦¤ 3α2 3α3 6

α2 2α3 1

¢¦¤ α2 α3 2,

α2 2α3 1.

Odejmując od pierwszego równania drugie, otrzymujemy α3 1, stąd α2 3, α1 2.

Definicja 7.20. Wektory e1

<@@@@@@@@@>1

0

0

=AAAAAAAAA?,e1

<@@@@@@@@@>0

1

0

=AAAAAAAAA?, . . . ,en

<@@@@@@@@@>0

0

1

=AAAAAAAAA?nazywamy wektorami jednostko-

wymi albo wersorami osi .

Wektory jednostkowe są liniowo niezależne, zbiór B e1,e2, . . . ,en jest zatem bazą przestrzeni

Rn, a każdy wektor x > Rn ma jednoznaczne przedstawienie w postaci

<@@@@@@@@@>x1

x2

xn

=AAAAAAAAA? x1

<@@@@@@@@@>1

0

0

=AAAAAAAAA? x2

<@@@@@@@@@>0

1

0

=AAAAAAAAA? xn

<@@@@@@@@@>0

0

1

=AAAAAAAAA?.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 147 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zadania

7.11. (?) Zbadać liniową niezależność wektorów:

a)

<@@@@@@>1

1

2

=AAAAAA? ,<@@@@@@>

1

1

2

=AAAAAA? ; b)

<@@@@@@>1

2

3

=AAAAAA? ,<@@@@@@>

0

1

2

=AAAAAA? ,<@@@@@@>

2

1

0

=AAAAAA?; c)

<@@@@@@>1

2

1

=AAAAAA? ,<@@@@@@>

2

1

2

=AAAAAA? ,<@@@@@@>

3

3

3

=AAAAAA? ,<@@@@@@>

1

1

1

=AAAAAA?;

d)

<@@@@@@@@@>1

0

2

1

=AAAAAAAAA?,

<@@@@@@@@@>0

1

1

2

=AAAAAAAAA?,

<@@@@@@@@@>1

1

1

3

=AAAAAAAAA?; e)

<@@@@@@@@@>1

0

0

0

=AAAAAAAAA?,

<@@@@@@@@@>1

1

0

0

=AAAAAAAAA?,

<@@@@@@@@@>1

1

1

0

=AAAAAAAAA?,

<@@@@@@@@@>1

1

1

1

=AAAAAAAAA?.

7.12. (?) Udowodnić, że jeśli wektory a,b,c > Rn, są liniowo niezależne, to wektory x 2abc,

y a b c, z a c też są liniowo niezależne.

7.13. (?) Wykazać, że wektory v1

<@@@@@@>1

0

0

=AAAAAA? ,v2

<@@@@@@>1

1

0

=AAAAAA? ,v3

<@@@@@@>1

1

1

=AAAAAA? tworzą bazę przestrzeni R3. Przed-

stawić wektor x

<@@@@@@>1

2

2

=AAAAAA? w postaci kombinacji liniowej tych wektorów.

7.14. (?) Wykazać, że wektory v1

<@@@@@@>1

0

1

=AAAAAA? ,v2

<@@@@@@>1

2

1

=AAAAAA? ,v3

<@@@@@@>1

1

0

=AAAAAA? tworzą bazę przestrzeni R3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 148 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przedstawić wektor x

<@@@@@@>1

2

1

=AAAAAA? w postaci kombinacji liniowej tych wektorów.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 149 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 8

Macierze

8.1. Określenie macierzy, działania na macierzach

Definicja 8.1. Podwójnie indeksowany ciąg aij liczb rzeczywistych, gdzie i 1,2, ...,m,

j 1,2, ..., n, zapisany w postaci prostokątnej tablicy<@@@@@@@@@>a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

am1 am2 . . . amn

=AAAAAAAAA?,

nazywamy macierzą o wymiarach m n. Liczby aij > R nazywamy elementami macierzy.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 150 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Wektor poziomy ai1, . . . , ain nazywamy i-tym wierszem macierzy, wektor pionowy

<@@@@@@>a1j

amj

=AAAAAA? na-

zywamy j-tą kolumną macierzy.

Macierze o wymiarach m n oznaczamy również dużymi pogrubionymi literami Amn, Bmn,

Cmn,... lub A, B, C,... pomijając oznaczenie wymiarów macierzy. Jeśli A jest macierzą utworzoną

z elementów aij, to piszemy także A aij. W szczególnym przypadku, gdy m n, macierz A

nazywamy macierzą kwadratową stopnia n. Ciąg elementów a11, a22, ..., ann nazywamy wówczas

główną przekątną macierzy A.

Macierz kwadratową A aij stopnia n nazywamy macierzą diagonalną, jeśli aij 0 dla

i x j, tzn., gdy wszystkie wyrazy poza główną przekątną są równe zeru1. Macierz diagonalną taką,

że aii 1 dla i 1,2, ..., n, nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkową stopnia n

oznaczać będziemy dalej symbolem I. Macierz kwadratową A nazywamy macierzą trójkątną

górną, jeśli aij 0 dla i A j, to znaczy, jeśli wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są

równe zeru. Macierz kwadratową A nazywamy macierzą trójkątną dolną, jeśli aij 0 dla i @ j,

to znaczy, jeśli wszystkie elementy powyżej głównej przekątnej są równe zeru.

Definicja 8.2. Dwie macierze A aij, B bij, gdzie aij, bij > R, nazywamy równymi wtedy

i tylko wtedy, gdy macierze A, B mają jednakowe wymiary m n oraz aij bij dla i 1,2, ...,m,

j 1,2, ..., n. Piszemy wówczas A B.

Na macierzach określamy, podobnie jak na wektorach w przestrzeni liniowej Rn, działanie do-

dawania macierzy i działanie mnożenia macierzy przez liczby rzeczywiste.1Wyrazy na głównej przekątnej też mogą być równe zeru


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 151 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 8.3. Sumą macierzy A aij, B bij o jednakowych wymiarach m n nazywamy

macierz AB aij bij. Iloczynem macierzy A aij przez liczbę α > R nazywamy macierz

αA αaij.Przykład 8.4. Sumą macierzy A

<@@@@>1 3 2

2 0 4

=AAAA? i B

<@@@@> 2 3 1

1 2 7

=AAAA? jest macierz A B

<@@@@> 1 0 3

1 2 11

=AAAA?.

Iloczynem macierzy A przez liczbę 1 jest macierz A

<@@@@> 1 3 2

2 0 4

=AAAA?.

Definicja 8.5. Macierzą transponowaną macierzy A aij o wymiarach m n nazywamy

macierz AT αji o wymiarach nm, gdzie αji aij dla i 1,2, ...,m, j 1,2, ..., n. Przekształcenie

macierzy A na macierz AT nazywamy transpozycją macierzy A. Mówimy, że macierz A jest

symetryczna (odpowiednio antysymetryczna), jeśli AT A (AT A).

Macierz transponowana powstaje przez zamianę i-tego wiersza (i 1,2, ...,m) macierzy A na

i-tą kolumnę macierzy AT .

Przykład 8.6. Jeśli A

<@@@@> 2 0 4

1 6 1

=AAAA?, to AT

<@@@@@@>2 1

0 6

4 1

=AAAAAA?.

Na macierzach określamy również działanie mnożenia dwóch macierzy przez siebie.

Definicja 8.7. Iloczynem macierzy Amn aij i Bnp bjk nazywamy macierz C AB cik o wymiarach m p, gdzie

cik ai1b1k ai2b2k ainbnk.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 152 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Iloczyn AB dwóch macierzy A i B jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn

macierz A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Zauważmy również, że liczba wierszy macierzy

C AB jest równa liczbie wierszy macierzy A, a liczba kolumn jest równa liczbie kolumn macierzy

B. Związek między wymiarami macierzy A, B, AB możemy zapisać symbolicznie w postaci

Amn Bnp ABmp.

Przykład 8.8. Wyznaczymy iloczyn AB, gdzie A

<@@@@> 1 2 3

2 0 4

=AAAA? ,B

<@@@@@@>2 2 0

1 3 4

0 1 1

=AAAAAA? .Rozwiązanie.

AB

<@@@@> 1 2 3

2 0 4

=AAAA?<@@@@@@>

2 2 0

1 3 4

0 1 1

=AAAAAA?

<@@@@> 1 2 2 1 3 0 1 2 2 3 3 1 1 0 2 4 3 12 2 0 1 4 0 2 2 0 3 4 1 2 0 0 4 4 1

=AAAA?

<@@@@> 4 7 5

4 8 4

=AAAA? .Twierdzenie 8.9 (Własności działań na macierzach). Jeśli wymiary macierzy A,B,C,I są

tak dobrane, że wykonalne są poniższe działania, to:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 153 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) A B B A, g) AB C AB AC,

b) A B C A B C, h) A BC AC BC,

c) AT T A, i) ABC ABC,d) A BT AT BT , j) ABT BTAT ,

e) αAT αAT , k) AI A,

f) AαB αAB, l) IA A.

Przykład 8.10. Pokażemy, że działanie mnożenia macierzy nie jest przemienne. Niech A

<@@@@>1 2

1 3

=AAAA?,

B

<@@@@> 2 1

0 1

=AAAA?. Mamy wówczas AB

<@@@@>2 3

2 2

=AAAA? oraz BA

<@@@@>1 7

1 3

=AAAA?.

Definicja 8.11. Jeśli macierze kwadratowe A i B jednakowego stopnia n spełniają warunek AB

BA, to mówimy, że są przemienne .

Dowolną macierz A o wymiarach m n możemy zapisać w postaci kolumnowej

A a1,a2, ...,an,gdzie kolumny aj (j 1,2, ..., n) są wektorami z przestrzeni liniowej Rm. Na przykład macierz

jednostkowa I ma postać kolumnową I e1,e2, ...,en. Jeśli macierz B zapiszemy w postaci ko-


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 154 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

lumnowej B b1,b2, ...,bp, wówczas iloczyn macierzy A i B można zapisać w postaci

AB Ab1,Ab2, ...,Abp,gdzie Abk (k 1,2, ..., p) jest iloczynem macierzy A i wektora (macierzy jednokolumnowej) bk.

Definicja 8.12. Rzędem macierzy A a1,a2, ...,an nazywamy maksymalną liczbę liniowo

niezależnych kolumn tej macierzy. Rząd macierzy A oznaczamy symbolem rzA.

Twierdzenie 8.13. Jeśli macierz A ma wymiary m n, to rzA B minm,n.Przykład 8.14. Macierz A

<@@@@>1 0 3

2 1 4

=AAAA? ma rząd równy 2, gdyż pierwsza i druga kolumna są liniowo

niezależne, a trzy kolumny są liniowo zależne jako wektory z przestrzeni dwuwymiarowej.

Twierdzenie 8.15 (Własności rzędu macierzy). Dla dowolnych macierzy Amn, Bnp speł-

nione są warunki:

a) rzAT rzA,

b) rzA rz ATA rz AAT ,c) rz AB B minrzA, rzB.

Definicja 8.16. Macierz kwadratową A stopnia n nazywamy nieosobliwą wtedy i tylko wtedy,

gdy rzA n. W przeciwnym przypadku A nazywamy macierzą osobliwą.

Definicja 8.17. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierz B nazywamy macierzą

odwrotną do macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy

AB BA I.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 155 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Macierz odwrotną do macierzy A oznaczać będziemy dalej przez A1.

Twierdzenie 8.18. Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ma-

cierz odwrotna A1.

Twierdzenie 8.19. Jeśli macierz A jest nieosobliwa, to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna

A1, która także jest nieosobliwa oraz A11 A.

Twierdzenie 8.20. Jeśli macierz A jest nieosobliwa, to macierz AT jest nieosobliwa oraz AT 1 A1T .Twierdzenie 8.21. Jeśli macierze A i B są nieosobliwe, to macierz AB jest nieosobliwa orazAB1 B1A1.

Zadania

8.1. (?) Dane są macierze:

A

<@@@@>1 2 2

0 1 4

=AAAA? ,B

<@@@@@@>1 3 2

2 1 4

0 2 2

=AAAAAA? ,C

<@@@@>3 2 0 1

2 4 1 3

=AAAA? .Wykonać każde z następujących działań lub uzasadnić, że nie jest to możliwe:

a) AB A, b) 2B ATA, c) BAT 3A, d) ATA CTC.

8.2. (?) Wykazać, że jeśli macierze A i B są przemienne (por. definicja 8.11), to:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 156 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) A BA B A2 B2; b) A B2 A2 2AB B2,

gdzie A2 A A.

8.3. (?) Podać wymiary macierzy A,B,C tak, aby wykonalne było działanie 5ABACB. Rozłożyć

to wyrażenie na czynniki.

8.4. (?) Wykazać, że dla dowolnej macierzy A istnieją macierze ATA oraz AAT . Wykazać, że

macierze ATA i AAT są symetryczne.

8.5. (?) Wyznaczyć rząd macierzy:

a)<@@@@>1 2 2

2 1 1

=AAAA?,

b)

<@@@@@@>2 1 1

1 2 3

1 3 2

=AAAAAA?,

c)

<@@@@@@>2 1 3 1

2 3 5 1

0 2 2 2

=AAAAAA?.

8.2. Operacje elementarne

W tym paragrafie przedstawimy efektywną metodę obliczania rzędu macierzy i wyznaczania ma-

cierzy odwrotnej.

Definicja 8.22. Niech A będzie macierzą o wymiarach m n, gdzie m C 2.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 157 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) Operacją elementarną pierwszego typu na macierzy A nazywamy zamianę miejscami

dwóch wierszy macierzy A.

b) Operacją elementarną drugiego typu na macierzy A nazywamy pomnożenie pewnego

wiersza macierzy A przez skalar różny od zera.

c) Operacją elementarną trzeciego typu na macierzy A nazywamy dodanie do pewnego

wiersza macierzy A innego wiersza tej macierzy pomnożonego przez skalar różny od zera.

Podobnie można określić operacje elementarne na kolumnach macierzy, ale stosować je będziemy

tylko przy obliczaniu wyznacznika macierzy.

Definicja 8.23. Macierz B nazywamy równoważną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy ma-

cierz B otrzymujemy z A przez wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach

macierzy A. Piszemy wówczas A B.

Twierdzenie 8.24. Jeśli A B, to rzB rzA.

Wyznaczając za pomocą operacji elementarnych rząd macierzy przekształcamy wybrane ko-

lumny na wektory jednostkowe. Maksymalna liczba różnych wektorów jednostkowych jest równa

rzędowi macierzy.

Przykład 8.25. Wyznaczymy rząd macierzy A

<@@@@@@>1 2 2 4

3 1 1 3

2 1 3 1

=AAAAAA? .Rozwiązanie. Stosując operacje elementarne, wybieramy najpierw kolumnę, którą będziemy

zamieniali na wektor jednostkowy, a następnie wybieramy wiersz, w którym (w wybranej kolumnie)


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 158 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

będzie liczba 1. W rozważanym przykładzie przekształcać będziemy najpierw kolumnę trzecią, a

następnie drugą. Wykonywaną operację elementarną zapisujemy przed otrzymaną w wyniku tej

operacji macierzą na wysokości przekształcanego wiersza.

A

<@@@@@@>1 2 2 4

3 1 1 3

2 1 3 1

=AAAAAA? w1 2w2

w3 3w2

<@@@@@@>7 4 0 10

3 1 1 3

7 4 0 10

=AAAAAA? w3 w1

<@@@@@@>7 4 0 10

3 1 1 3

0 0 0 0

=AAAAAA?

14w1

<@@@@@@>

74 1 0 10

4

3 1 1 3

0 0 0 0

=AAAAAA? w2 w1

<@@@@@@@>

74 1 0 10

4

54 0 1

12

0 0 0 0

=AAAAAAA? B.

Ponieważ rząd macierzy B jest równy 2, zatem rząd macierzy A jest również równy 2. Zauważmy

ponadto, że kolumny macierzy B b1,b2,b3,b4 spełniają warunki

b1 74b2

54b3 oraz b4

104 b2

12b3.

Te same zależności spełnione są również dla kolumn macierzy A a1,a2,a3,a4, to znaczy

a1 74a2

54a3 i a4

104 a2

12a3.

Twierdzenie 8.26. Jeśli w macierzy A a1,a2, ...,an kolumny aj1 ,aj2 , ...,ajk tworzą maksymal-

ny układ wektorów liniowo niezależnych, to istnieje taka macierz B b1,b2, ...,bn równoważnamacierzy A, że kolumny bj1 ,bj2 , ...,bjk są różnymi wektorami jednostkowymi.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 159 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 8.27. Niech B będzie taką macierzą równoważną macierzy A, że kolumny aj1 ,aj2 , ...,ajkmacierzy A tworzące maksymalny układ liniowo niezależny zostały przekształcone na wektory

jednostkowe. Macierz B nazywamy postacią bazową macierzy A względem kolumn j1, j2, ..., jk.

W przykładzie 8.25 macierz A sprowadziliśmy do postaci bazowej względem kolumny drugiej

i trzeciej. Macierz tę można oczywiście sprowadzić również do postaci bazowej względem kolumny

pierwszej i drugiej lub do postaci bazowej względem kolumny pierwszej i trzeciej.

Operacje elementarne stosujemy także do wyznaczania macierzy odwrotnej. Korzystamy wów-

czas z następującego twierdzenia.

Twierdzenie 8.28. Macierz kwadratowa A stopnia n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy

A I, gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia n. Ponadto, operacje elementarne, które prze-

kształcają macierz A na macierz jednostkową I przekształcają jednocześnie macierz I na macierz

A1.

Przykład 8.29. Wyznaczymy, stosując operacje elementarne, macierz odwrotną do macierzy

A

<@@@@@@>1 1 2

2 3 1

2 3 1

=AAAAAA? .Rozwiązanie. Przekształcać będziemy macierz ASI w taki sposób, aby macierz A zamienić na

macierz jednostkową.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 160 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

ASI <@@@@@@>1 1 2

2 3 1

2 3 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR1 0 0

0 1 0

0 0 1

=AAAAAA? w2 2w1

w3 2w1

<@@@@@@>1 1 2

0 1 5

0 1 3


2 1 0

2 0 1

=AAAAAA? w1 w2

w3 w2

<@@@@@@>1 0 7

0 1 5

0 0 2


2 1 0

0 1 1

=AAAAAA?

12w3

<@@@@@@>1 0 7

0 1 5

0 0 1


2 1 0

0 12

12

=AAAAAA? w1 7w3

w2 5w3

<@@@@@@@>1 0 0

0 1 0

0 0 1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR3

52

72

2 32

52

0 12

12

=AAAAAAA?.

Stąd wynika, że A1

<@@@@@@@>3

52

72

2 32

52

0 12

12

=AAAAAAA?.

Zadania

8.6. (?) Wyznaczyć, korzystając z operacji elementarnych, rząd macierzy:

a)<@@@@> 1 2

2 1

=AAAA?, b)

<@@@@@@>1 1

2 0

3 1

=AAAAAA? , c)

<@@@@@@>1 1 1

2 1 1

3 0 2

=AAAAAA?, d)

<@@@@@@>1 2 1 3 0

2 1 1 2 1

1 3 2 1 1

=AAAAAA?, e)

<@@@@@@@@@>1 2 0

0 2 3

1 2 0

1 0 2

=AAAAAAAAA?.

8.7. (?) Wyznaczyć macierz odwrotną A1, jeśli:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 161 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) A

<@@@@@@>1 2 0

1 3 0

1 2 1

=AAAAAA?, b) A

<@@@@@@>2 1 1

1 3 2

3 4 1

=AAAAAA? c) A

<@@@@@@>2 1 0

1 2 2

0 1 0

=AAAAAA? , d) A

<@@@@@@@@@>1 1 2 2

0 1 1 3

0 0 1 4

0 0 0 5

=AAAAAAAAA?.

8.8. (?) Wykazać, że macierz A jest nieosobliwa i rozwiązać równanie macierzowe:

a) AX B, gdzie A

<@@@@@@>1 1 2

1 1 2

2 0 1

=AAAAAA?, B

<@@@@@@>1 2 1 3

0 1 2 0

2 1 3 1

=AAAAAA?;

b) AX A I, gdzie A

<@@@@@@>2 1 0

0 1 2

3 1 0

=AAAAAA?;

c) AXA1AT B AT , gdzie A

<@@@@@@>1 2 4

0 2 7

1 1 0

=AAAAAA?, B

<@@@@@@>2 1 5

2 0 3

1 4 2

=AAAAAA?.

8.3. Wyznacznik macierzy

W tym paragrafie podamy definicję wyznacznika kwadratowej i podamy jego najważniejsze własno-

ści. Definicję sformułujemy w postaci rekurencyjnej, tzn., określimy wyznacznik macierzy stopnia

n 1, a wyznacznik macierzy stopnia n, gdzie n A 1, zdefiniujemy przez wyznaczniki macierzy

stopnia n 1.

Niech A aij będzie macierzą kwadratową stopnia n, gdzie n A 1. Przez Aij oznaczamy

macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersz oraz j-tej kolumny.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 162 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 8.30. Wyznacznikiem macierzy nazywamy taką funkcję oznaczaną symbolem det

określoną na zbiorze wszystkich macierzy kwadratowych, że:

a) jeśli A jest macierzą stopnia 1, tzn. A a, to detA a;

b) jeśli A aij jest macierzą stopnia n, gdzie n A 1, to

detA 111a11 detA11 121

a21 detA21 1n1an1 detAn1.

Wyznacznik macierzy (stopnia n A 1) oznaczamy również symbolem SAS.Przykład 8.31. Obliczymy wyznacznik macierzy stopnia drugiego

A

<@@@@> a11 a12

a21 a22

=AAAA? .Rozwiązanie. Bezpośrednio z definicji 8.30 otrzymujemy

det<@@@@> a11 a12

a21 a22

=AAAA? 111a11detA11 121

a21 detA21 a11a22 a21a12.

Otrzymany wzór łatwo można zapamiętać, wyznacznik macierzy stopnia drugiego otrzymujemy

odejmując od iloczynów wyrazów na głównej przekątnej iloczyn wyrazów na drugiej przekątnej.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 163 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 8.32. Obliczymy wyznacznik macierzy stopnia trzeciego

A

<@@@@@@>a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=AAAAAA? .Rozwiązanie. Zgodnie z definicją 8.30 mamy

det

<@@@@@@>a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=AAAAAA? 111a11detA11 112

a21 detA21 113a31 detA31

a11 det<@@@@> a22 a23

a32 a33

=AAAA? a21 det<@@@@> a12 a13

a32 a33

=AAAA? a31 det<@@@@> a12 a13

a22 a23

=AAAA? a11 a22a33 a32a23 a21 a12a33 a32a13 a31 a12a23 a22a13 a11a22a33 a11a32a23 a21a12a33 a21a32a13 a31a12a23 a31a22a13.

Ten wzór raczej trudno zapamiętać, ale dla macierzy stopnia trzeciego istnieje prosta reguła, na-

zywana schematem Sarrusa, umożliwiająca obliczanie wyznacznika. Po prawej stronie macierzy

dopisujemy kolumnę pierwszą i drugą, a następnie tworzymy iloczyny ze znakami według przed-

stawionego poniżej schematu. Dodając otrzymane iloczyny z odpowiednimi znakami, dostajemy

wyznacznik macierzy.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 164 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

RRRRRRRRRRRRRRRRRa11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

RRRRRRRRRRRRRRRRRa11 a12

a21 a22

a31 a32

Przykład 8.33. Obliczymy wyznacznik stopnia trzeciego


0 2 4

1 5 3

RRRRRRRRRRRRRRRRR .Rozwiązanie. Stosując schemat Sarrusa, otrzymujemy


0 2 4

1 5 3

RRRRRRRRRRRRRRRRR2 1

0 2

1 5

2 2 3 1 4 1 3 0 5 3 2 1 2 4 5 1 0 3 12 4 6 40 54.

Schemat Sarrusa można stosować tylko do obliczania wyznaczników stopnia trzeciego. Wyznacz-

niki wyższych stopni obliczamy, stosując na ogół tzw. rozwinięcia Laplace’a.

Twierdzenie 8.34 (Rozwinięcia Laplace’a). Jeśli A jest macierzą stopnia n C 2, to:

a) detA 11ja1j detA1j12j

a2j detA2j1nj anj detAnj (rozwinięcie względem

j-tej kolumny),

b) detA 1i1ai1 detAi1 1i2

ai2 detA12 1in ain detAin (rozwinięcie względem

i-tego wiersza).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 165 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zauważmy, że wzór podany w definicji 8.30 jest rozwinięciem Laplace’a względem pierwszej

kolumny.

Przykład 8.35. Obliczymy wyznacznik macierzy A stopnia czwartego, gdzie

A

<@@@@@@@@@>1 0 3 2

2 3 0 4

3 0 2 1

0 3 2 1

=AAAAAAAAA?.

Rozwiązanie. Stosując rozwinięcie Laplace’a, wybieramy ten wiersz lub kolumnę macierzy A, w

której jest najwięcej zer i względem tego wiersza lub tej kolumny rozwijamy wyznacznik. W roz-

ważanym przypadku najwięcej zer jest w kolumnie drugiej, zastosujemy więc rozwinięcie Laplace’a

względem tej kolumny.

Zgodnie z punktem a) twierdzenia 8.34, mamy

detA 112 0


3 2 1

0 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR 122 3 RRRRRRRRRRRRRRRRR

1 3 2

3 2 1

0 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR 132

0


2 0 4

0 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR 142 3


2 0 4

3 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR .Zauważmy, że w otrzymanym rozwinięciu składniki pierwszy i trzeci są równe zeru, a zatem musimy


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 166 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

obliczyć tylko dwa wyznaczniki stopnia trzeciego. Stosując schemat Sarrusa, mamy odpowiednio


3 2 1

0 2 1


3 2

0 2

2 12 2 9 7,


2 0 4

3 2 1


2 0

3 2

36 8 8 6 14.

Stąd detA 3 7 3 14 63.

Przedstawimy poniżej najważniejsze własności wyznaczników.

Twierdzenie 8.36. Niech A aij będzie macierzą kwadratową stopnia n.a) detAT detA.

b) Jeśli macierz A ma kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer, to detA 0.

c) Jeśli A jest macierzą trójkątną górną lub trójkątną dolną, lub macierzą diagonalną, to detA

a11a22...ann.

d) det

<@@@@@@@@@>1 0 0

0 1 0

0 0 1

=AAAAAAAAA? 1.

e) Jeśli A jest macierzą otrzymaną z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn

(dwóch wierszy), to det A detA.

f) Jeśli w macierzy A dwie kolumny (dwa wiersze) są identyczne, to detA 0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 167 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 8.37 (Cauchy’ego). Jeśli A i B są macierzami kwadratowymi stopnia n, to

detAB detAdetB.

Twierdzenie 8.38. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n, a j taką liczbą naturalną, że

1 B j B n.

a) Jeśli A a1, ..., αaj, ...,an, to detA αdet a1, ...,aj, ...,an.b) Jeśli A a1, ...,aj aj , ...,an, to detA deta1, ...,aj, ...,an deta1, ...,aj , ...,an.Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe również dla wierszy macierzy (por. podpunkt a) twier-

dzenia 8.36). Wynika stąd na podstawie podpunktu f) twierdzenia 8.36, że wykonywane na macierzy

A operacje elementarne trzeciego typu nie zmieniają wartości wyznacznika detA. Otrzymujemy

stąd dodatkową regułę pozwalającą uprościć obliczanie wyznacznika za pomocą rozwinięcia La-

place’a. Stosując najpierw operacje elementarne trzeciego typu (które możemy w tym przypadku

wykonywać również na kolumnach macierzy), sprowadzamy macierz A do postaci, w której pewna

kolumna lub pewien wiersz mają co najwyżej jeden element różny od zera. Wówczas rozwinięcie

Laplace’a względem tej kolumny lub tego wiersza ma co najwyżej jeden składnik różny od zera.

Przykład 8.39. Obliczymy wyznacznik macierzy A z przykładu 8.35.

Rozwiązanie. Dodając najpierw wiersz czwarty do wiersza drugiego, a następnie rozwijając


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 168 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

wyznacznik względem drugiej kolumny, otrzymujemy

detA

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR1 0 3 2

2 3 0 4

3 0 2 1

0 3 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRw2 w4


2 0 2 3

3 0 2 1

0 3 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

142 3


2 2 3

3 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR 3 2 27 8 12 6 6 63.

Operacje elementarne stosowaliśmy do badania rzędu macierzy i do wyznaczania macierzy od-

wrotnej. Podobne zastosowania ma również wyznacznik macierzy. Przedstawimy najpierw metodę

badania rzędu macierzy za pomocą wyznacznika, a następnie omówimy metodę wyznaczania ma-

cierzy odwrotnej.

Definicja 8.40. Niech A będzie macierzą o wymiarach m n, a B macierzą kwadratową stopnia

k otrzymaną z macierzy A przez skreślenie m k wierszy i n k kolumn. Wyznacznik detB

nazywamy minorem stopnia k macierzy A. Jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to każdy

minor otrzymany przez skreślenie n k wierszy i n k kolumn o tych samych numerach, gdzie

k 1,2, ..., n, nazywamy minorem głównym stopnia k macierzy A.

Twierdzenie 8.41. Rząd macierzy A o wymiarach m n jest równy k wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje różny od zera minor stopnia k macierzy A i każdy minor stopnia większego od k jest równy

zeru.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 169 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 8.42. Macierz A

<@@@@@@>1 2 2 2

1 2 2 2

1 1 1 1

=AAAAAA? ma rząd równy 2, gdyż skreślając trzeci wiersz oraz

trzecią i czwartą kolumnę, otrzymujemy minor stopnia 2 różny od zera, a każdy minor stopnia 3

jest równy zeru, bo ma dwie identyczne kolumny.

Twierdzenie 8.43. Macierz kwadratowa A stopnia n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy

detA x 0.

Definicja 8.44. Niech A aij będzie macierzą kwadratową stopnia n, gdzie n C 2. Dopełnie-

niem algebraicznym elementu aij nazywamy liczbę

dij 1ij detAij.

Macierz AD dij nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych lub macierzą dołączoną

macierzy A.

Twierdzenie 8.45. Jeśli macierz A jest nieosobliwa, to A1 1detA ADT .

Przykład 8.46. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy

A

<@@@@@@>1 2 0

2 4 1

3 2 0

=AAAAAA? .Rozwiązanie. Obliczając wyznacznik macierzy A, otrzymujemy detA 8, a zatem macierz A jest


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 170 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

nieosobliwa i istnieje macierz odwrotna. Wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy

A.

d11 111RRRRRRRRRRR 4 1

2 0

RRRRRRRRRRR 2,


3 0

RRRRRRRRRRR 3,


3 2

RRRRRRRRRRR 8,


2 0

RRRRRRRRRRR 0,

d22 122RRRRRRRRRRR1 0

3 0

RRRRRRRRRRR 0,


3 2

RRRRRRRRRRR 8,


4 1

RRRRRRRRRRR 2,


2 1

RRRRRRRRRRR 1,


2 4

RRRRRRRRRRR 8.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 171 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Macierz dopełnień algebraicznych macierzy A jest więc równa

AD

<@@@@@@>2 3 8

0 0 8

2 1 8

=AAAAAA? .Stąd mamy

A1 18

<@@@@@@>2 0 2

3 0 1

8 8 8

=AAAAAA? <@@@@@@@>

14 0

14

38 0

18

1 1 1

=AAAAAAA?.

Przedstawiona metoda wyznaczania macierzy odwrotnej za pomocą dopełnień algebraicznych

jest mało efektywna. Na przykład dla macierzy stopnia czwartego należy obliczyć 17 wyznaczników

(jeden stopnia czwartego i szesnaście stopnia trzeciego). Porównując tę metodę z przedstawioną

wcześniej metodą odwracania macierzy za pomocą operacji elementarnych, można stwierdzić, że

dla macierzy stopnia trzeciego obie metody wymagają wykonania porównywalnej liczby działań

algebraicznych. W przypadku macierzy wyższych stopni metoda operacji elementarnych jest o

wiele szybsza. Jednakże dla macierzy stopnia drugiego z twierdzenia 8.45 otrzymujemy łatwy do

zapamiętania wzór na macierz odwrotną. Jeśli macierz A

<@@@@> a11 a12

a21 a22

=AAAA? jest nieosobliwa, tzn. detA

a11a22 a12a21 x 0, to <@@@@> a11 a12

a21 a22

=AAAA?1

1

a11a22 a12a21

<@@@@> a22 a12

a21 a11

=AAAA? .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 172 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

A więc macierz odwrotną do macierzy nieosobliwej stopnia drugiego otrzymujemy zamieniając miej-

scami elementy na głównej przekątnej, zmieniając znaki pozostałych elementów i dzieląc wszystkie

elementy przez wyznacznik macierzy.

Przykład 8.47.<@@@@>1 3

4 2

=AAAA?1

110

<@@@@> 2 3

4 1

=AAAA? <@@@@> 0,2 0,3

0,4 0,1

=AAAA?.

Twierdzenie 8.48. Jeśli macierz A jest nieosobliwa, to

detA1 1

detA.

Zadania

8.9. (?) Obliczyć wyznacznik:

a)<@@@@>1 2

3 0

=AAAA? b)RRRRRRRRRRR cosα sinα

sinα cosα

RRRRRRRRRRR, c)


2 3 1

3 1 2

RRRRRRRRRRRRRRRRR, d)RRRRRRRRRRR 2 x x

3 1

RRRRRRRRRRR, e)

RRRRRRRRRRRRRRRRR2x 0 1

x x 2

1 x 2 x

RRRRRRRRRRRRRRRRR, f)

RRRRRRRRRRRRRRRRRx y x y

y x y x

x y x y

RRRRRRRRRRRRRRRRR, g)


1 2 1 0

1 1 3 2

1 2 1 2

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR, h)


1 2 1 1

1 1 3 1

1 1 1 4

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR, i)


1 x x x

1 x x2 x2

1 x x2 x3

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR.

8.10. (?) Wykazać, że jeśli A jest macierzą stopnia n, to detαA αn det A.

8.11. (?) Wykazać, że jeśli A jest macierzą nieosobliwą stopnia n, to:

a) detA1 1detA , b) detAD detAn1, c) detATA A 0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 173 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

8.12. (?) Obliczyć det3ATBAB1B, jeśli A i B są macierzami stopnia 3 o wyznacznikach

detA 1, detB 2.

8.13. (?) Obliczyć

det 2A1BT ABT B1T ,jeśli:A

<@@@@@@>1 2 1

0 2 3

0 2 1

=AAAAAA?, B

<@@@@@@>1 1 0

0 2 3

2 3 1

=AAAAAA?.

8.14. (?) Wyznaczyć, w zależności od wartości parametru m > R, rząd macierzy:

a) A

<@@@@> 3 m

m 3

=AAAA?, b) B

<@@@@@@>1 m 1

m 1 m

2 2 2

=AAAAAA?, c) C

<@@@@@@>1 m 1

m 1 m

1 2 1

=AAAAAA?, d) D

<@@@@@@>m m 1

m2 1 m

2 2 1

=AAAAAA?, e) E

<@@@@@@>1 1 m

1 1 m

1 m m2

=AAAAAA?.

8.15. (?) Wyznaczyć, korzystając z dopełnień algebraicznych, macierz odwrotną do macierzy:

a)<@@@@> 1 3

4 2

=AAAA?, b)<@@@@> 2 1

1 2

=AAAA?, c)

<@@@@@@>1 2 0

1 3 2

2 1 0

=AAAAAA?, d)

<@@@@@@>1 2 2

0 1 0

0 2 1

=AAAAAA?, e)

<@@@@@@@@@>1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

=AAAAAAAAA?.

8.16. (?) Niech P będzie macierzą nieosobliwą. Wykazać, że jeśli B P1AP, to detA detB.

8.17. (?) Obliczyć deta1 a3,a1 a2,2a2 a3, jeśli deta1,a2,a3 2.

8.18. (?) Wykazać, że dete1,a2,a3, deta1,e2,a3, deta1,a2,e3 są minorami głównymi stopnia

2 macierzy A a1,a2,a3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 174 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

8.4. Układy równań liniowych

Definicja 8.49. Układ równań

¢¦¨¤

a11x1 a12x2 ... a1nxn b1,

a21x1 a22x2 ... a2nxn b2,

..................................................

am1x1 am2x2 ... amnxn bm,

gdzie aij, bi > R dla i 1,2, ...,m, j 1,2, ..., n, nazywamy układem m równań liniowych o n

niewiadomych zapisanym w postaci skalarnej. Macierz A aij o wymiarach mn utworzoną ze

współczynników przy niewiadomych x1, x2, ..., xn nazywamy macierzą podstawową układu, wek-

tor b b1, b2, ..., bmT utworzony z liczb stojących po prawej stronie każdego równania nazywamy

wektorem wyrazów wolnych, x x1, x2, ..., xnT nazywamy wektorem niewiadomych. Do-

łączając do macierzy A kolumnę b otrzymujemy macierz o wymiarach mn1, którą oznaczamy

symbolicznie ASb, nazywaną macierzą rozszerzoną układu.

Układ równań możemy zapisać również w postaci wektorowej

x1a1 x2a2 ... xnan b,

gdzie aj oznacza j-tą (j 1,2, ..., n) kolumnę macierzy A lub w postaci macierzowej

Ax b.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 175 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Formułując własności układu równań, będziemy najczęściej używali zapisu w postaci macierzowej.

Definicja 8.50. Układ równań Ax 0 nazywamy układem jednorodnym, układ równań Ax

b, gdzie b x 0, nazywamy układem niejednorodnym.

Definicja 8.51. Rozwiązaniem układu równań Ax b nazywamy dowolny wektor Âx > Rn

taki, że AÂx b.

Dowolny układ jednorodny ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie, jest nim wektor 0.

Układ niejednorodny może nie mieć rozwiązań (mówimy wówczas, że jest sprzeczny), może mieć

dokładnie jedno rozwiązanie lub nieskończenie wiele rozwiązań (w obu tych przypadkach układ

nazywamy niesprzecznym). Warunek konieczny i dostateczny na to, aby układ równań liniowych

miał rozwiązanie podaje poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 8.52 (Kroneckera-Capelli). Układ równań Ax b ma rozwiązanie wtedy i tylko

wtedy, gdy rz ASb rzA.

Wniosek 8.53. Jeśli macierz A o wymiarach m n ma rząd równy m, to układ równań Ax b

ma rozwiązanie.

Niech Xb x > Rn Ax b oznacza zbiór rozwiązań układu Ax b. Jeśli b 0, to zbiór

X0 x > Rn Ax 0 nazywamy przestrzenią zerową macierzy A.

Twierdzenie 8.54. Jeśli Âx jest rozwiązaniem układu niejednorodnego Ax b, to dowolne rozwią-

zanie x tego układu można zapisać w postaci x Âx x0, gdzie x0 >X0.

Tezę twierdzenia 8.54 często formułuje się następująco. Rozwiązanie ogólne układu niejedno-

rodnego jest sumą rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego i rozwiązania ogólnego układu

jednorodnego.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 176 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zadania

8.19. (?) Wykazać, że każdy układ Ax 0, gdzie macierz A ma wymiary m n i m @ n, ma

niezerowe rozwiązanie.

8.20. (?) Sprawdzić, czy układ równań jest niesprzeczny:

a)¢¦¤ 2x1 3x2 x3 1,

x1 2x2 2x3 3;

b)

¢¦¤

x1 2x2 x3 2,

2x1 x2 2x3 4,

x1 3x2 3x3 1.

8.4.1. Rozwiązywanie układów równań za pomocą operacji elementar-

nych

Przedstawimy algorytm wyznaczania w skończonej liczbie kroków rozwiązania układu równań lub

pozwalający stwierdzić, że układ jest sprzeczny. W algorytmie tym wykorzystuje się operacje ele-

mentarne wykonywane na wierszach macierzy.

Definicja 8.55. Układy równań Ax b i Cx d nazywamy równoważnymi wtedy i tylko

wtedy, gdy ASb CSd.Twierdzenie 8.56. Jeśli układy Ax b i Cx d są równoważne, to mają identyczne zbiory

rozwiązań.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 177 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozwiązywanie metodą operacji elementarnych niesprzecznego układu równań Ax b, gdzie

macierz A ma rząd równy k, polega na przekształceniu macierzy rozszerzonej układu ASb do po-

staci bazowej CSd względem liniowo niezależnych kolumn aj1 ,aj2 , ...,ajk macierzy A. Korzystając

z otrzymanego układu równoważnego Cx d (nazywanego również postacią bazową układu

Ax b), każdą z niewiadomych xjl l 1,2, ..., k wyznaczamy jako zmienną zależną od pozosta-

łych niewiadomych (zmiennych niezależnych) xj różnych od xj1 , xj2 , ..., xjk .

Jeśli układ równań jest sprzeczny, to przekształcając macierz rozszerzoną ASb do postaci

bazowej CSd względem liniowo niezależnych kolumn macierzy A otrzymujemy układ równoważny,

który ma co najmniej jedno sprzeczne równanie postaci 0x1 0x2 ... 0xn d, gdzie d x 0.

Przykład 8.57. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne układu równań w R4

¢¦¤

3x1 x2 x3 2x4 2,

x1 2x2 2x3 3x4 1,

4x1 x2 x3 5x4 3.

Rozwiązanie. Wyznaczamy macierz rozszerzoną układu i sprowadzamy ją do postaci bazowej

ASb <@@@@@@>3 1 1 2 2

1 2 2 3 1

4 1 1 5 3

=AAAAAA? w2 2w1

w3 w1

<@@@@@@>3 1 1 2 2

7 0 0 7 5

7 0 0 7 5

=AAAAAA?

w3 w2

<@@@@@@>3 1 1 2 2

7 0 0 7 5

0 0 0 0 0

=AAAAAA? 17w2

<@@@@@@>3 1 1 2 2

1 0 0 1 57

0 0 0 0 0

=AAAAAA? w1 3w2

<@@@@@@>0 1 1 1

17

1 0 0 1 57

0 0 0 0 0

=AAAAAA? .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 178 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zapisujemy w postaci skalarnej układ o macierzy rozszerzonej otrzymanej po wykonaniu ostatniej

operacji elementarnej (trzecie równanie możemy pominąć, gdyż jest ono równaniem tożsamościo-

wym 0 0) ¢¦¤x2 x3 x4 17 ,

x1 x4 57 .

Macierz układu ma postać bazową względem kolumny pierwszej i drugiej i możemy jednoznacznie

wyznaczyć zmienne x1, x2 w zależności od zmiennych x3, x4, otrzymując

¢¦¤x2 17 x3 x4,

x1 57 x4.

Zauważmy, że zmienne x3 i x4 mogą przybierać dowolne wartości rzeczywiste. Podstawiając x3 α,

x4 β, gdzie α,β > R, rozwiązanie układu zapisujemy w postaci

¢¦¨¤x1

57 β,

x2 17 α β,

x3 α,

x4 β.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 179 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zapisując z kolei rozwiązanie w postaci wektorowej, otrzymujemy

x

<@@@@@@@@@>x1

x2

x3

x4

=AAAAAAAAA?

<@@@@@@@@@>

57 β

17 α β

α

β

=AAAAAAAAA?

<@@@@@@@@@>

57

17

0

0

=AAAAAAAAA? α

<@@@@@@@@@>0

1

1

0

=AAAAAAAAA? β

<@@@@@@@@@>1

1

0

1

=AAAAAAAAA?,

gdzie α,β > R. Jak łatwo można sprawdzić, wektor 57

17 0 0T jest szczególnym rozwiązaniem

układu niejednorodnego, a kombinacja liniowa

α

<@@@@@@@@@>0

1

1

0

=AAAAAAAAA? β

<@@@@@@@@@>1

1

0

1

=AAAAAAAAA?przedstawia rozwiązanie ogólne układu jednorodnego (tzn. każdy wektor z przestrzeni zerowej ma-

cierzy układu można zapisać w takiej postaci przy odpowiednim wyborze α i β).

Przykład 8.58. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne układu równań:

¢¦¤

2x1 x2 x3 2,

x1 2x2 x3 1,

x1 3x2 2x3 2.

Rozwiązanie. Analogicznie, jak w poprzednim przykładzie, wyznaczamy macierz rozszerzoną


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 180 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

układu i sprowadzamy ją do postaci bazowej

<@@@@@@>2 1 1 2

1 2 1 1

1 3 2 2

=AAAAAA? w1 2w3

w2 w3

<@@@@@@>0 5 3 2

0 5 3 3

1 3 2 2

=AAAAAA? w1 w2

<@@@@@@>0 0 0 1

0 5 3 3

1 3 2 2

=AAAAAA? .W tym miejscu możemy już przerwać obliczenia, gdyż pierwszy wiersz otrzymanej macierzy rozsze-

rzonej wyznacza sprzeczne równanie 0 1. Stąd wynika, że układ równań jest sprzeczny. Czytelnik

może łatwo sprawdzić, że rzA 2, rz ASb 3.

Definicja 8.59. Niech Cx d będzie postacią bazową układu Ax b względem kolumn aj1 ,aj2 , ...,

ajk macierzy A. Zmienne xj1 , xj2 , ..., xjk nazywamy wówczas zmiennymi bazowymi, a pozostałe

zmienne nazywamy zmiennymi niebazowymi. Rozwiązanie szczególne Âx układu Ax b, w

którym zmienne niebazowe są równe zeru nazywamy rozwiązaniem bazowym.

Podział zmiennych na zmienne bazowe i niebazowe zależy oczywiście od tego, do jakiej postaci

bazowej sprowadziliśmy wyjściowy układ równań Ax b. Dla różnych postaci bazowych układu

mamy różne układy zmiennych bazowych i niebazowych, a w konsekwencji także na ogół różne

rozwiązania bazowe. Identyczna jest jednak liczba zmiennych bazowych dla każdej postaci bazowej

układu, gdyż jest ona równa rzędowi macierzy A.

Przykład 8.60. Wyznaczymy dwa rozwiązania bazowe układu równań z przykładu 8.57.

Rozwiązanie. Jedno z rozwiązań bazowych otrzymujemy natychmiast, przyjmując α 0, β 0.

Mamy zatem x1 57

17 0 0 T . Aby wyznaczyć inne rozwiązania bazowe, możemy sprowadzić


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 181 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

układ do postaci bazowej względem na przykład kolumny pierwszej i trzeciej macierzy A. Można

również wykorzystać w tym celu rozwiązanie ogólne układu. Ponieważ liczba zmiennych bazowych

w każdym rozwiązaniu bazowym jest równa 2, więc również liczba zmiennych niebazowych jest stała

i w każdym rozwiązaniu bazowym jest równa 2 (liczba zmiennych niebazowych liczba zmiennych

rząd macierzy A). A zatem, w każdym rozwiązaniu bazowym co najmniej dwie zmienne będą

miały wartość równą zeru. Wyznaczymy rozwiązanie bazowe, w którym x2 0 i x4 0. Korzystając

z rozwiązania ogólnego, otrzymujemy układ dwóch równań względem α i β

¢¦¤17 α β 0

β 0

¢¦¤α 17 ,

β 0.

Drugim rozwiązaniem bazowym jest więc wektor x2 57 0 1

7 0 T .

Na zakończenie zauważmy, że nie istnieje rozwiązanie bazowe, w którym x1 0 i x4 0. Odpo-

wiedni układ równań względem parametrów jest wówczas sprzeczny. Jest to spowodowane faktem,

iż druga i trzecia kolumna macierzy A są liniowo zależne, a zatem x2 i x3 nie mogą być zmiennymi

bazowymi.

Zadania

8.21. (?) Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań i wszystkie rozwiązania bazowe:

a)¢¦¤ 2x1 x2 3x3 1,

x1 3x2 x3 2;


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 182 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b)

¢¦¤x1 x2 2x3 1,

2x1 x2 2x3 2,

x1 2x2 1.

8.22. (?) Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań i dwa różne rozwiązania bazowe:

a)

¢¦¤

3x1 2x2 x3 3x4 1,

x1 3x2 x3 2x4 3,

x1 2x3 x4 2;

b)

¢¦¤x1 3x2 x3 2x4 2,

x1 2x2 x3 x4 3,

x2 3x4 5;

c)

¢¦¨¤

2x1 x2 x3 1,

x1 2x2 x3 0,

x1 3x2 1,

3x1 x2 2x3 1.

8.4.2. Wzory Cramera

W poprzednim paragrafie przedstawiliśmy metodę rozwiązywania dowolnego układu równań za

pomocą operacji elementarnych. W szczególnym przypadku, gdy macierz A układu Ax b jest

kwadratowa (a więc liczba równań jest równa liczbie niewiadomych) i nieosobliwa, rozwiązanie

układu możemy również wyznaczyć korzystając z wyznaczników.

Definicja 8.61. Jeśli macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa, to układ równań Ax b nazywamy

układem Cramera.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 183 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 8.62. Układ Cramera Ax b ma dokładnie jedno rozwiązanie Âx A1b, gdzie A1

jest macierzą odwrotną do macierzy A.

Twierdzenie 8.63 (Wzory Cramera). Jeśli macierz A a1,a2, ...,an jest nieosobliwa, toskładowe Âxj rozwiązania układu równań Ax b są postaci:

Âxj deta1,a2, ...,aj1,b,aj1, ...,andetA

dla j 1,2, ..., n.

Wzory Cramera z twierdzenia 8.63 zapisujemy zwykle w postaci xj Wj

W , gdzie W detA,

Wj deta1,a2, ...,aj1,b,aj1, ...,an dla j 1,2, ..., n. Wyznacznik W nazywamy wówczas wy-

znacznikiem głównym układu Ax b.

Przykład 8.64. Wyznaczymy rozwiązanie układu równań:

¢¦¤

3x1 x2 x3 2,

2x1 2x3 4,

x1 x2 x3 1.

Rozwiązanie. Macierz układu A

<@@@@@@>3 1 1

2 0 2

1 1 1

=AAAAAA?. Obliczając jej wyznacznik, otrzymujemy

W detA 0 2 2 0 6 2 8.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 184 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Układ równań jest zatem układem Cramera. Mamy następnie

W1 det

<@@@@@@>2 1 1

4 0 2

1 1 1

=AAAAAA? 2 4 4 4 2,

W2 det

<@@@@@@>3 2 1

2 4 2

1 1 1

=AAAAAA? 12 4 2 4 6 4 4,

W3 det

<@@@@@@>3 1 2

2 0 4

1 1 1

=AAAAAA? 4 4 12 2 14.

Stąd otrzymujemy

x1 W1W 2

8 14 , x2

W2W 4

8 12 , x3

W3W 14

8 74 .

Zadania

8.23. (?) Rozwiązać układ równań:

a)¢¦¤ 2x1 x2 2,

x1 3x2 2;b)

¢¦¤ 2x1 x2 1,

x1 x2 2;c)

¢¦¤

2x1 x2 3x3 1,

x1 2x2 x3 2,

x1 x2 2x3 1;

d)

¢¦¨¤x1 x2 x3 x4 1,

x2 x3 x4 1,

x1 x3 2,

x3 x4 2.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 185 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

8.24. (?) Dla jakich k > R układ równań:

a)¢¦¤ kx 2y k,

2x ky k;b)

¢¦¤kx1 x2 3x3 1,

x1 kx2 x3 1,

x1 x2 x3 k;

c)

¢¦¤

kx1 x2 x3 1,

x1 kx2 kx3 2,

2x1 x2 kx3 1.ma rozwiązania. Wyznaczyć te rozwiązania.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 186 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 9

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

9.1. Pojęcia wstępne

Będziemy rozważali funkcje określone na podzbiorach przestrzeni Rk. Przypomnijmy, że

Rk R . . . R´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶k czynników

x1, x2, . . . , xk i

xi > R¡ .Elementy tego zbioru będziemy nazywali punktami lub – w zależności od kontekstu – wektorami.

Niech x > Rk będzie dowolnie wybranym punktem. Każdy ze zbiorów

Kx, ε x > Rk

k

Qi1xi xi2 @ ε2¡ ,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 187 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

gdzie ε A 0, nazywamy kulą o środku x i promieniu ε. Zbiory te będziemy także nazywali otocze-

niami punktu x.

Punkt x nazywamy punktem wewnętrznym zbioru X, jeśli Kx, ε `X dla pewnego ε A 0.

Jeśli każdy punkt zbioru X jest jego punktem wewnętrznym, to X nazywamy zbiorem otwartym .

Definicja 9.1. Niech X będzie niepustym podzbiorem Rk. Odwzorowanie f X R nazywamy

funkcją rzeczywistą k zmiennych (lub krótko funkcją). Zbiór X nazywamy dziedziną tej

funkcji, a dowolny element x >X – argumentem tej funkcji.

Jeśli będzie podane jedynie wyrażenie fx1, . . . , xk, to za dziedzinę tej funkcji przyjmiemy

maksymalny podzbiór przestrzeni Rk złożony z tych elementów, dla których wspomniane wyrażenie

jest dobrze określone.

W dalszej części niniejszego rozdziału skupimy uwagę przede wszystkim na funkcjach dwóch

zmiennych (k 2).

Przykład 9.2. a) Dziedziną funkcji f x1, x2 x21 x

22 jest zbiór R2.

b) Funkcja f x1, x2 »x21 x2 jest określona na zbiorze x1, x2 > R2x2 B x2

1.

c) Dziedziną funkcji fx1, x2 1 2»x2

1 x22

»x2

2 x21 jest zbiór x1, x2 > R2 Sx2S Sx1S.

Definicja 9.3. Zbiór x, fx >X Rx >X nazywamy wykresem funkcji f X R. War-

stwicą (poziomicą, izokwantą) funkcji f , odpowiadającą wartości z > R, nazywamy zbiór

Wz x >X fx z .Zbiór fX fxx >X nazywamy zbiorem wartości funkcji f .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 188 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Warstwica jest więc zbiorem wszystkich tych argumentów dla których wartość funkcji jest rów-

na z.

x1

x2

y

y = x21 + x2

2

y = z

Wz :x21 + x2

2 = z

Rysunek 9.1: Wykres i warstwica funkcji z przykładu 9.2 a)

Przykład 9.4. Wyznaczymy warstwice i zbiory wartości funkcji z przykładu 9.2.

9.2) Warstwica funkcji fx x21 x

22 odpowiadająca wartości z @ 0 jest zbiorem pustym. Dalej

mamyW0 0,0, a jeśli z A 0, to zbiórWz jest okręgiem o środku w punkcie (0,0) i promieniuºz.

Funkcja przyjmuje dowolne wartości nieujemne – jej zbiorem wartości jest więc przedział `0,ª.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 189 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Pewne wyobrażenie na temat relacji pomiędzy wykresem funkcji, jego przekrojami i warstwicami

daje rys. ??.

9.2) Dla z C 0 zbiór Wz jest określony równaniem x2 x21 z

2, określającym parabolę. Jeśli

z @ 0, to Wz g. Zbiór wartości funkcji jest identyczny jak w podpunkcie 9.2).

9.2) Dla x > X mamy fx 1, dlatego jedyną niepustą warstwicą funkcji jest W1. Zbiór ten

jest identyczny z dziedziną funkcji. Zbiór wartości funkcji jest równy 1.

1

b) c)

x1x1x2x2

yy

Rysunek 9.2: Wykresy funkcji z przykładu 9.2 (b,c)

Zadania

9.1. (?) Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a) fx1, x2 ºx1 ºx23,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 190 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) fx1, x2 »x41 x

42 x

21x

22,

c) fx1, x2 lnx1x2x1

x1x2x1x2

,

d) fx1, x2 ¼ 1x1

1x2

,

e) fx1, x2 ¼ex212x22 1x1x2.

9.2. (?) Wyznaczyć zbiór wartości funkcji:

a) fx1, x2 ex21x22 ,

b) fx1, x2 2Sx1x2S 1x21x

22,

c) fx1, x2 x21 x

222 x2

1 x22 2.

9.3. (?) Wyznaczyć warstwice funkcji f odpowiadające podanej wartości z0:

a) f x1, x2 3x1 2x2, z0 f1,0;b) f x1, x2 1

4x21

14x

22, z0 f2,2;

c) f x1, x2 lnx1x2, z0 1, z0 0;

d) f x1, x2 x2ex1 1, z0 2, z0 1;

e) fx1, x2 x2x1

, z0 1, z0 0.

9.4. (?) Naszkicować przebieg warstwic („mapę warstwic”) funkcji:

a) fx1, x2 3ºx1x2,

b) fx1, x2 x21 x

22,

c) fx1, x2 x2~x1,

d) fx1, x2 minx1, x2,e) fx1, x2 maxx1 2,0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 191 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

9.2. Uzupełnienie. Ciągłość funkcji

Zasadnicza definicja tego podrozdziału jest uogólnieniem określenia ciągłości sformułowanego dla

funkcji jednej zmiennej. Rozważania rozpoczniemy jednak od pojęcia ciągu punktów przestrzeni

Rk.

Definicja 9.5. NiechX ` Rk będzie niepustym zbiorem. Ciągiem punktów zbioru X nazywamy

odwzorowanie xNX. Element xn xn >X nazywamy n-tym wyrazem ciągu .

Ciąg o którym mowa w ostatniej definicji będziemy oznaczali przez xn, bądź xn, n > N. Od-

powiada mu k ciągów liczbowych x1n , x2n ,. . . , xkn tak, że:

xn x1n , x2n , . . . , x

kn , n > N.

Zbieżność tych ciągów pozwala w naturalny sposób zdefiniować zbieżność ciągu xn.Definicja 9.6. Mówimy, że ciąg xn jest zbieżny do punktu x x1, . . . , xk > Rk, co zapisujemy

w postaci limnª

xn x (lub xn x), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i 1, . . . , k ciąg xin jest

zbieżny do xi. Ciąg xn nazywamy zbieżnym , jeśli jest zbieżny do pewnego punktu przestrzeni

Rk.

Przykład 9.7. Zbadamy zbieżność kilku ciągów przestrzeni R2.

a) Ciąg n1n , 1

2n , n > N, jest zbieżny do punktu 1,0.b) Ciąg n1

n ,2n , n > N, nie jest zbieżny.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 192 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 9.8. Mówimy, że funkcja f X R jest ciągła w punkcie x >X wtedy i tylko wtedy,

gdy dla każdego, zbieżnego do x, ciągu xn elementów zbioru X, ciąg fxn jest zbieżny do

fx, czyli

xn

n>Nxn >X , lim

nªxn x lim

nªfxn fx . (9.1)

Jeśli f jest ciągła w każdym punkcie X, to mówimy po prostu, że f jest ciągła .

Przykład 9.9. a) Pokażemy, że funkcja

fx1, x2 ¢¦¤x1x2x21x

22

dla x1, x2 x 0,0 ,0 dla x1, x2 0,0 ,

nie jest ciągła w punkcie 0,0. W tym celu rozpatrzmy ciąg xn 1n ,

1n, n > N. Jest on zbieżny do

punktu 0,0. Dalej mamy limnª

fxn 12 x f0,0, zatem nie jest spełniony warunek 9.1. Funkcja

f nie jest więc ciągła w rozważanym punkcie.

b) Zbadamy ciągłość funkcji

fx1, x2 ¢¦¤x21x2x21x

22

dla x1, x2 x 0,0,0 dla x1, x2 0,0,

w punkcie x 0,0. Zauważmy przede wszystkim, że Sfx1, x2S B Sx2S. Niech xn x1,n, x2,n,n > N, będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do 0,0. Oznacza to, że każdy z ciągów x1,n orazx2,n jest zbieżny do 0. Ponieważ 0 B SfxnS B Sx2,nS, więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 193 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

że ciąg SfxnS dąży do 0 f0,0, a zatem także do zera zbieżny jest ciąg fxn. Spełniony jest

zatem warunek 9.1, więc funkcja f jest ciągła w punkcie 0,0.Poniżej przypominamy własności funkcji ciągłych.

Twierdzenie 9.10 (własności funkcji ciągłych). a) Suma, iloczyn, iloraz, złożenie funkcji

ciągłych są funkcjami ciągłymi (tam, gdzie są określone).

b) Wielomiany, funkcje wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne są ciągłe.

Przykład 9.11. a) Funkcje f1x x1, f2x x2 są ciągłe. Z ostatniego twierdzenia wynika, że

wszystkie wielomiany są ciągłe. Także ich ilorazy, czyli funkcje wymierne są ciągłe tam, gdzie są

określone. Tym samym obie funkcje z przykładu 9.9 są ciągłe na zbiorze R2 0,0. Jak poka-

zaliśmy, funkcja z podpunktu 9.9) jest ciągła także w punkcie 0,0; ostatecznie więc wspomniana

funkcja jest ciągła na całej swojej dziedzinie, tj. na R2.

b) Z twierdzenia 9.10 wynika bezpośrednio, że funkcja fx1, x2 x21x

32

1¼

1x21x22

sinx1 x2 jest

ciągła na R2.

Zadania

9.5. (?) Zbadać ciągłość funkcji:

a) fx1, x2 ¢¦¤x21x

22

x21x22x1x22 dla x1, x2 x 0,0,

0 dla x1, x2 0,0,b) fx1, x2 ¢¦¤

x1x22

x21x42

dla x1, x2 x 0,0,0 dla x1, x2 0,0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 194 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

9.6. (?) Dla jakiej wartości parametru m > R funkcja

fx1, x2 ¢¦¤sinx31x21x

22

dla x1, x2 x 0,0,m dla x1, x2 0,0,

jest ciągła?

9.3. Pochodne cząstkowe

Niech f X R, gdzie X ` Rk, będzie daną funkcją, x x1, x2, . . . , xk > X – ustalonym punktem

wewnętrznym zbioru X.

Definicja 9.12. Pochodną cząstkową (pierwszego rzędu) funkcji f w punkcie x względem

zmiennej x1 nazywamy liczbę (o ile ta istnieje):

∂f

∂x1x lim

t0

fx1 t, x2, . . . , xk fx1, x2, . . . , xkt

. (9.2)

Analogicznie definiujemy pochodną cząstkową względem drugiej zmiennej:

∂f

∂x2x lim

t0

fx1, x2 t, . . . , xk fx1, x2, . . . , xkt

, (9.3)


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 195 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

i kolejnych zmiennych, aż do xk:

∂f

∂xkx lim

t0

fx1, x2, . . . , xk t fx1, x2, . . . , xkt

. (9.4)

Powyższe pochodne zapisywane są także w postaci odpowiednio f x1x, f x2x, . . . , f xkx.Zwykle (choć jednak z pewnymi wyjątkami) będziemy stosowali właśnie te ostatnie oznaczenia.

Przykład 9.13. W wybranych punktach x > R2 wyznaczymy bezpośrednio z definicji pochodne

cząstkowe funkcji fx1, x2 »Sx1x2S.a) Niech x 0,0. Mamy

f x10,0 limt0

ft,0 f0,0t

limt0

ºt 0 0t

0.

Podobnie można pokazać, że f x20,0 0.

b) W punkcie x 0,1 granica

limt0

ft,1 f0,1t

limt0

»StSt

nie istnieje. Tym samym nie istnieje więc pochodna f x10,1. Natomiast

f x20,1 limt0

f0,1 t f0,1t

0.

Zauważmy, że ze wzorów 9.2-9.4 wynika, że obliczanie pochodnej cząstkowej względem danej


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 196 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

zmiennej polega na różniczkowaniu danej funkcji względem tej zmiennej i traktowaniu pozostałych

zmiennych jak stałych. W rachunkach można więc często wykorzystać wcześniej przytoczone wzory

rachunku różniczkowego. W wielu przypadkach pozwala to łatwo wyznaczyć stosowne pochodne.

Pokazuje to kolejny przykład.

Przykład 9.14. Pochodne cząstkowe funkcji fx1, x2 3x1x22 5x1x2 x2

2 2x1 są równe

f x1x 3x22 5x2 2, f x2x 6x1x2 5x1 2x2. (9.5)

Przeciwnik zbytnich ułatwień mógłby i w tym przypadku skorzystać bezpośrednio z definicji 9.12:

f x1x1, x2 limt0

fx1 t, x2 fx1, x2t

limt0

3x1 tx22 5x1 tx2 x2

2 2x1 t 3x1x22 5x1x2 x2

2 2x1t

3x22 5x2 2

i, w analogiczny sposób, potwierdzić prawdziwość drugiego ze wzorów 9.5.

Przy pomocy pochodnych cząstkowych można badać monotoniczność względem poszczegól-

nych zmiennych. Analogicznie jak to miało miejsce w przypadku funkcji jednej zmiennej, można

interpretować wartości pochodnych jako prędkości zmian wartości funkcji w wyniku zmian warto-

ści odpowiednich zmiennych. Znaki pochodnych cząstkowych informują o typie monotoniczności.

Pokazuje to kolejny przykład.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 197 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 9.15. Rozważmy funkcję z ostatniego przykładu i zbadajmy, w otoczeniu punktu x 1,2, jej monotoniczność ze względu na każdą ze zmiennych. Podstawiając współrzędne punktu

x do 9.5, otrzymujemy f x1x 4 A 0. Tym samym f jest, przy ustalonej wartości x2 2, rosnącą

funkcją zmiennej x1 w otoczeniu x1 1 (innymi słowy, funkcja fx1,2 jest rosnąca w otoczeniu

x1 1). Podobnie, ponieważ f x2x 3 @ 0, więc przy ustalonym x1 1, wzrost wartości x2

w otoczeniu punktu x2 2 powoduje spadek wartości funkcji (tj. funkcja f1, x2 jest rosnąca

w otoczeniu x2 2).

Definicja 9.16. Załóżmy, że w punkcie x > X ` Rk istnieją wszystkie pochodne cząstkowe pierw-

szego rzędu funkcji f X R. Wektor o składowych

f x1x, . . . , f xkxnazywamy gradientem funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem ©fx, gradfx lub f x.

Wartości pochodnych cząstkowych stanowią przybliżenie przyrostów wartości funkcji. Ze wzo-

rów 9.2-9.4, po podstawieniu t 1, wynika, że

f x1x fx1 1, x2, . . . , xk fx1, x2, . . . , xk,f x2x fx1, x2 1, . . . , xk fx1, x2, . . . , xk,. . . . . . . . .

f xkx fx1, x2, . . . , xk 1 fx1, x2, . . . , xk. (9.6)

Przybliżenie jest zwykle tym lepsze, im „mniej gwałtownie” zmieniają się wartości funkcji w oto-


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 198 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

czeniu punktu x. Miernikiem względnych zmian wartości funkcji są jej elastyczności.

Definicja 9.17. Elastycznością cząstkową funkcji f X R w punkcie x >X względem i-tej

zmiennej nazywamy liczbę (przy założeniu, że istnieje):

Exifx xi fxixfx . (9.7)

Załóżmy dodatkowo, że współrzędne punktu x są dodatnie oraz fx A 0. Analogicznie jak

w przypadku funkcji jednej zmiennej, wielkość 9.7 określa przybliżony procentowy przyrost wartości

funkcji f w przypadku, gdy wartość zmiennej xi zwiększy się o 1% (względem wartości xi), przy

niezmiennych wartościach pozostałych zmiennych (równych xj, gdzie j x i).

Przykład 9.18. Wielkość produkcji pewnej firmy jest równa

fx1, x2 100x21 20x1x2 10x2

2,

gdzie x1, x2 oznaczają – wyrażone liczbami dodatnimi – ilości zaangażowanych czynników (np.

pracy i kapitału). Różniczkując, otrzymujemy f x1 200x1 20x2 oraz f x2 20x1 20x2. Jeśli na-

kłady czynników produkcji wynoszą na przykład x 3,5, to f x13,5 700 oraz f x23,5 160.

Wielkości te są równe w przybliżeniu przyrostom f4,5 f3,5 oraz f3,6 f3,5. Ponieważ

rzeczywiste wielkości tych przyrostów są równe odpowiednio 800 oraz 170, względny błąd przy-

bliżenia jest równy 100/800 oraz 10/170, a więc 12,5% oraz około 6%). Elastyczności cząstkowe


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 199 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

funkcji f są równe

Ex1f3,5 3f x13,5~f3,5 1.448 . . . , Ex2f3,5 5f x23,5~f3,5 0.551 . . . .

Jeśli wartość x1, początkowo równa 3, wzrośnie o 1% (przy ustalonej wartości x2 5), to wartość

funkcji wzrośnie w przybliżeniu o około 1,45% w porównaniu z wartością f3,5 1450. Analogiczną

interpretację można nadać drugiej z wyliczonych elastyczności.

Definicja 9.19. Przypuśćmy, że w każdym punkcie pewnego otoczenia punktu x > Rk, istnieje

pochodna cząstkowa ∂f∂xi

. Jeśli w punkcie x istnieje pochodna cząstkowa ∂∂xj

∂f∂xi

, to nazywamy

ją pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji f w punkcie x, względem zmiennych xi, xji oznaczamy symbolem

∂2f

∂xj∂xix lub f xixjx. (9.8)

Jeśli i x j, to pochodne 9.8 nazywamy pochodnymi mieszanymi . W przypadku, gdy i j

stosujemy oznaczenia∂2f

∂x2i

x lub f xixix.Jeśli istnieją pochodne cząstkowe rzędu 2 względem wszystkich par zmiennych, to często wy-

godnie posługiwać się macierzą

f x f xi,xjxkk . (9.9)


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 200 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

nazywaną macierzą pochodnych cząstkowych drugiego rzędu lub hesjanem funkcji.

Przykład 9.20. Znajdziemy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji z przykładu 9.14. Wy-

znaczyliśmy tam pochodne cząstkowe rzędu pierwszego. Kontynuując, otrzymujemy:

f x1,x1 ∂2f

∂x21

∂

∂x1 ∂f∂x1

0, f x2,x1 ∂2f

∂x2∂x1

∂

∂x2 ∂f∂x1

6x2 5,

f x1,x2 ∂2f

∂x1∂x2

∂

∂x1 ∂f∂x2

6x2 5, f x2,x2 ∂2f

∂x22

∂

∂x2 ∂f∂x2

6x1 2.

Macierz 9.9 w punkcie x > R2 ma postać:

f x <@@@@> f

x1,x1x f x1,x2xf x2,x1x f x2,x2x

=AAAA? <@@@@> 0 6x2 5

6x2 5 6x1 2

=AAAA? .Na przykład w punkcie x 1,2 mamy:

f 1,2 <@@@@> 0 7

7 8

=AAAA? .Twierdzenie 9.21 (Schwarza). Jeśli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x ciągłe1 mie-

szane pochodne cząstkowe drugiego rzędu: f xi,xj oraz f

xj ,xigdzie i x j, to są one tam równe.

Pochodne cząstkowe rzędu B 2 są stosowane miedzy innymi do badania tempa zmian wartości

funkcji.1o ciągłości funkcji piszemy w Dodatku 9.2


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 201 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 9.22. Rozważmy funkcję f R2 R, fx1, x2 x21x

32 2x1x2 2x1 i punkt x 1,1.

Mamy f x11,1 2 @ 0 oraz f x1,x11,1 2 A 0. Oznacza to, że przy ustalonej wartości x2

1, przy wzroście wartości x1 w otoczeniu x1 1, wartości funkcji maleją coraz wolniej. Dalej,

f x21,1 5 A 0 oraz f x2,x21,1 6 A 0. Tym samym wartości funkcji f1, x2 rosną coraz

szybciej w otoczeniu punktu x2 1.

Zadania

9.7. (?) Wyznaczyć bezpośrednio z definicji pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f

w punkcie x, jeśli:

a) fx1, x2 x41 4x2, x 0,1,

b) fx1, x2 2x1x22 4x2, x 1,1,

c) fx1, x2 Sx1S 2x2, x 0,1,d) fx1, x2 x1Sx2S, x 0,0.

9.8. (?) Zbadać, czy w punkcie 0,0 istnieją pochodne cząstkowe funkcji f określonej następująco:

a) fx1, x2 2 jeśli x1 0 lub x2 0, w pozostałych przypadkach fx1, x2 x21 x2.

b) fx1, x2 1 jeśli x2 x31, x1 A 0, w pozostałych przypadkach fx1, x2 0.

c) fx1, x2 »x21 x

22

»x2

2 x21.

9.9. (?) Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:

a) fx1, x2 x31x2 2x1x2

ºx1 x2,

b) fx1, x2 lnx1 lnx2,c) fx1, x2 x1ex1x2 ,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 202 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

d) fx1, x2 2x1 x2 cosx1.

9.10. (?) Wyznaczyć elastyczności cząstkowe podanych funkcji. Zmienne i parametry przyjmują

wartości dodatnie.

a) fx1, x2 xα1 xβ2 ,

b) fx1, x2 x21 x

22,

c) fx1, x2 xk1 xk21~k.9.11. (?) Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu 2 funkcji z zadania 9.9.

9.12. (?) Niech fx1, x2 x1x2x21x

22

dla x1, x2 x 0,0. Dodatkowo f0,0 0. Zbadać istnienie

pochodnej cząstkowej f x1,x20,0.9.13. (?) Sprawdzić, czy prawdziwe są zdania:

a) Funkcja fx1, x2 ln ex1 ex2 spełnia równanie f x1 f

x2 1.

b) Funkcja fx1, x2 ln x21 x

22 spełnia równanie f x1,x1 f

x2,x2 0.

9.14. (?) Znaleźć pochodne mieszane drugiego rzędu funkcji f w punkcie 0,0, jeśli:

fx1, x2 ¢¦¤x1x2x21x

22

x21x22

dla x1, x2 x 0,0,0 dla x1, x2 0,0.

Czy wynik „kłóci się” z twierdzeniem Schwarza?


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 203 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

9.4. Uzupełnienie.

Pochodne kierunkowe. Różniczkowalność funkcji

Definicja 9.23. Pochodną kierunkową funkcji f X R w punkcie x >X w kierunku wektora

h > Rk nazywamy liczbę (jeśli istnieje)

©hfx limt0

fx t h fxt

. (9.10)

x1

x2

y

(x, f(x))

y = f(x)

hx

α

Rysunek 9.3: Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie x w kierunku wektora h (o długościjednostkowej) jest równa tgα


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 204 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 9.24. Obliczmy pochodną kierunkową funkcji fx1, x2 x1x222 w punkcie x 1,1

w kierunku wektora h 2,1. Mamy x th 1 2t,1 t i dlatego

©hfx limt0

f1 2t,1 t f1,1t

limt0

1 2t1 t2 2 3t

4.

Możemy teraz zgrabnie wprowadzić pochodne cząstkowe.

Definicja 9.25. Niech ei będzie i-tym wektorem jednostkowym w Rk. Jeśli istnieje pochodna

kierunkowa ©eifx, to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f w punkcie x względem

zmiennej xi (przypomnijmy, że oznaczamy ją symbolem ∂f∂xi

x lub f xix).Zgodnie z definicją:

∂f

∂xix ©eifx lim

t0

f x1, . . . , xi t, . . . , xn f x1, . . . , xi . . . , xnt

. (9.11)

Definicja 9.26. Wektor h > Rk nazywamy wektorem wzrostu wartości funkcji f X Rw punkcie x >X wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek

εA0

t>0,ε fx th A fx. (9.12)

Definiując wektor spadku wartości funkcji f w punkcie x należy w formule 9.12 zmienić zwrot

nierówności na przeciwny.

Twierdzenie 9.27. Załóżmy, że istnieje pochodna kierunkowa ©hfx. Jeśli ©hfx A 0 (odpo-

wiednio ©hfx @ 0), to h jest wektorem wzrostu (odpowiednio spadku) wartości f w punkcie x. Na


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 205 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

odwrót: jeśli h jest wektorem wzrostu (odpowiednio spadku) wartości f w punkcie x, to ©hfx C 0

(odpowiednio ©hfx B 0).

x1

x2

y

ww

s

s

(x, f(x))

x

y = f(x)

Rysunek 9.4: Wektory wzrostu (w) i spadku (s) wartości funkcji f w punkcie x

Definicja 9.28. Niech X ` Rk, będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja f X R jest

różniczkowalna w sposób ciągły na zbiorze A `X wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze tym są ciągłe

wszystkie pochodne cząstkowe f x1 , . . . , f xk . Jeśli A X, to mówimy, że f jest różniczkowalna w


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 206 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

sposób ciągły. Macierz

f x f x1x, . . . , f xkxnazywamy macierzą pochodnej funkcji f w punkcie x.

Twierdzenie 9.29. Suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji różniczkowalnych w sposób

ciągły, tam gdzie istnieje, jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły.

Przykład 9.30. Z ostatniego twierdzenia łatwo wynikają następujące fakty.

a) Dla dowolnego i 1, . . . , k, funkcja fix xi jest różniczkowalna w sposób ciągły. Podobnie

dowolna funkcja wielomianowa.

b) Funkcja fx1, x2 ln2 x21 sin2 x2 jest różniczkowalna w sposób ciągły.

Twierdzenie 9.31. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w sposób ciągły w otoczeniu punktu x, to

f jest ciągła w tym punkcie. Ponadto dla dowolnego wektora h > Rk istnieje pochodna kierunkowa

©hfx i jest równa©hfx f x h. (9.13)

Przykład 9.32. Przy pomocy twierdzenia 9.27 potwierdzimy wyniki uzyskane w przykładzie 9.14.

Mamy f x 4,3. Dla c A 0 otrzymujemy ©c,0fx 4,3 c,0 4c A 0, zatem każdy

z wektorów c,0 jest kierunkiem wzrostu wartości f w punkcie x (przy okazji warto zauważyć,

że ©c,0fx 4,3 c,0 4c @ 0, więc – zgodnie z intuicją – wektory c,0 wyznaczają


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 207 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

kierunek spadku wartości rozważanej funkcji). Ponieważ ©0,cfx 4,3 0, c 3c @ 0, więc

każdy z wektorów 0, c jest wektorem spadku wartości f w punkcie x.

Przykład 9.33. Zauważmy przede wszystkim, iż wzór 9.13 oznacza, że pochodna kierunkowa

©hfx zależy liniowo od współrzędnych wektora h: dla każdego α > R mamy ©αhfx α©hfxoraz ©h1h2fx ©h1fx ©h2fx. Spostrzeżenia te często są pomocne przy badaniu różnicz-

kowalności funkcji. Aby zilustrować te uwagi, zbadajmy, czy funkcja

fx1, x2 ¢¦¤x21x2x21x

22

dla x1, x2 x 0,0,0 dla x1, x2 0,0.

jest różniczkowalna w punkcie 0,0. W punkcie tym pochodna w kierunku niezerowego wektora

h h1, h2 jest równa

©hf0,0 limt0

fth1, th2 f0,0t

limt0

h21h2t3

h1t2h2t2 0

t

h21h2

h21 h

22. (9.14)

Jeśli h 0,0, to oczywiście ©hf0,0 0. Funkcja f ma zatem w punkcie 0,0 pochodną

w kierunku dowolnego wektora h > R2, jednak zależność ©hf0,0 od h nie jest liniowa. Rzeczy-

wiście z formuły 9.14 wynika na przykład, iż ©1,0f0,0 ©0,1f0,0 0, ale ©1,1f0,0

12 x ©1,0f0,0 ©0,1f0,0, czyli pochodna kierunkowa nie jest liniową funkcją wektora h.

W konsekwencji, funkcja f nie jest więc różniczkowalna w punkcie 0,0.Na zakończenie niniejszego podrozdziału uogólnimy definicję 9.19 na przypadek pochodnych

cząstkowych dowolnych rzędów .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 208 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 9.34. Niech m C 1 będzie dowolną liczbą naturalną. Pochodną cząstkową rzędu m

względem zmiennych xim , . . . , xi1 określamy następująco:

∂mf

∂xim∂xim1 . . . ∂xi1x ∂

∂xim ∂

∂xim1

. . . ∂f∂xi1

x , (9.15)

przy założeniu, że wyrażenie po prawej stronie jest dobrze określone.

W sposób naturalny różniczkowalność w sposób ciągły rozszerza się także na przypadek po-

chodnych wyższych rzędów.

Definicja 9.35. Niech m będzie dowolną liczbą naturalną.

a) Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe m-tego rzędu funkcji f są ciągłe w każdym punkcie zbioru

(otwartego) A, to mówimy, że funkcja f jest m-krotnie różniczkowalna w sposób ciągły na

zbiorze A (inaczej mówiąc f jest klasy Cm na A). Jeśli A pokrywa się z dziedziną funkcji, to

mówimy, że f jest m-krotnie różniczkowalna w sposób ciągły.

b) Jeśli f jest m-krotnie różniczkowalna dla dowolnego m > N, to powiemy, że funkcja ta jest

nieskończenie wiele razy różniczkowalna (inaczej: klasy Cª).

Przykład 9.36. Wszystkie funkcje rozważane w przykładzie 9.30 są klasy Cª.

9.15. (?) Obliczyć pochodną kierunkową ©hfx, jeśli:

a) fx1, x2 x21 3x1x2 2x2

2 x1 x2, x 1,2, h 3,2,b) fx1, x2 ex1 sinx2, x 1, π2 , h 1,1,c) fx1, x2 »Sx1x2S, x 0,0, h 1,1.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 209 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

9.16. (?) Sprawdzić, że funkcja fx1, x2 »Sx1x2S, ma w otoczeniu punktu x 0,0 pochodne

cząstkowe rzędu pierwszego, ale nie są one ciągłe w tym punkcie.

9.17. (?) Wykazać, że poniższe funkcje są różniczkowalne w sposób ciągły:

a) fx1, x2 x21 5x3

2 4x1x2 10,

b) fx1, x2 ln 2 »x2

1 x22 1,

c) fx1, x2 sincosx1 cosx2,d) fx1, x2 x1

2sinx2.

9.18. (?) Zbadać, czy wektor h jest wektorem wzrostu (ewentualnie spadku) wartości funkcji f

w punkcie x, jeśli:

a) fx x21x2 x3

2, x 1,1, h 0,2,b) fx lnx2

1 2x22, x 0,1, h 1,3,

c) fx ¢¦¤x21x

22

x1x2dla x1 x2 x 0,

0 dla x1 x2 0,x 0,1, h 2,3,

d) funkcja identyczna jak w (c), tylko x 0,0, h 1,1,e) funkcja identyczna jak w (c), tylko x 0,0, h 1,1.

9.5. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Definicja 9.37. Mówimy, że funkcja f X R ma minimum lokalne w punkcie x >X wtedy i

tylko wtedy, gdy

rA0

x>Kx,r9X fx C fx.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 210 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Jeśli dla każdego x > X zachodzi fx C fx, to mówimy, że f ma w punkcie x minimum

globalne (inaczej, osiąga swoją najmniejszą wartość).

Funkcja f ma maksimum lokalne (globalne) w punkcie x > X wtedy i tylko wtedy, gdy

funkcja f ma w tym punkcie minimum lokalne (globalne).

Podobnie jak miało to miejsce w przypadku funkcji jednej zmiennej, minima i maksima funkcji

określane są mianem jej ekstremów.

x1

x2

a

bc

y

Rysunek 9.5: Funkcja, której fragmenty wykresu przedstawione są na rysunku, ma: minimum lo-kalne w punkcie a, maksimum lokalne – w punkcie b. W punkcie c funkcja nie ma ekstremum


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 211 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 9.38. a) Funkcja fx1, x2 x21 x

22, x1, x2 > R2, ma minimum globalne w punkcie0,0. Dla każdego x1, x2 > R2 zachodzi bowiem fx1, x2 C f0,0.

b) Funkcja fx1, x2 eSx1x2S, x1, x2 > R2, ma maksimum globalne w każdym punkcie, którego

współrzędne spełniają warunek x1 x2 0.

Wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji różniczkowalnych znacznie się upraszcza. Przyto-

czymy stosowne twierdzenia dla przypadku funkcji dwóch zmiennych. Uogólnienia na przypadek

większej liczby zmiennych można znaleźć w dalszej części rozdziału.

Twierdzenie 9.39 (Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji). Jeśli

zbiór X ` R2 jest niepusty i otwarty, funkcja f X R ma pochodne cząstkowe rzędu 1 w otoczeniupunktu x i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to

f x1x 0, f x2x 0. (9.16)

Warunek podany w twierdzeniu 9.39 nazywamy również warunkiem pierwszego rzędu ist-

nienia ekstremum .

Rozwiązania układu 9.16 nazywamy punktami stacjonarnymi (lub punktami krytycz-

nymi) funkcji f .

Łatwo zauważyć, iż warunek zerowania się pochodnych, sformułowany w twierdzeniu 9.39 nie

wystarcza do istnienia ekstremum (podobnie zresztą, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej).

Istotnie, na przykład dla funkcji fx1, x2 x1x2 i punktu 0,0 warunek 9.16 jest spełniony, nato-

miast funkcja ta nie ma w tym punkcie ekstremum – w każdym otoczeniu punktu 0,0 przyjmuje

zarówno wartości dodatnie jak i ujemne, a więc większe oraz mniejsze od f0,0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 212 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przed sformułowaniem kolejnego twierdzenia wygodnie jest wprowadzić krótsze oznaczenie dla

wyznacznika macierzy drugiej pochodnej (por. 9.9):

W x det f x <@@@@> f

x1,x1x f x1,x2xf x2,x1x f x2,x2x

=AAAA? .Twierdzenie 9.40 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji.).

Załóżmy, że funkcja f X R jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły w otoczeniu pewnego

punktu x, który spełnia warunek 9.16. Wówczas:

a) Jeśli f x1,x1x A 0 oraz W x A 0, to f ma w x minimum lokalne.

b) Jeśli f x1,x1x @ 0 oraz W x A 0, to f ma w x maksimum lokalne.

c) Jeśli W x @ 0, to f nie ma ekstremum w punkcie x.

Czytelnik zechce zauważyć, że pierwsze z nierówności z podpunktów a) i b) można zastąpić

odpowiednio przez f x2,x2x A 0 oraz f x2,x2x @ 0.

Przykład 9.41. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji fx1, x2 x41 2x2

2 4x1x2. Współrzędne

punktów stacjonarnych spełniają układ równań

f x1 4x31 4x2 0, f x2 4x2 4x1 0,

skąd wynika, że funkcja f ma trzy punkty stacjonarne:

a 0,0, b 1,1, c 1,1.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 213 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Macierz drugiej pochodnej analizowanej funkcji ma postać: f x1, x2 <@@@@> 12x21 4

4 4

=AAAA? .Macierze drugiej pochodnej f w punktach stacjonarnych są równe:

f a <@@@@> 0 4

4 4

=AAAA? , f b f c <@@@@> 12 4

4 4

=AAAA? .Mamy kolejno: W a det f a @ 0, zatem w punkcie a funkcja f nie ma ekstremum; f x1,x1b f x1,x1c A 0 oraz W b W c A 0, czyli w punktach b i c funkcja f ma minima lokalne.

Przykład 9.42. Twierdzenie 9.40 nie rozwiązuje problemu w sytuacji, gdy f x1,x1x 0 lub

W x 0. W takim przypadku funkcja f może, choć nie musi, mieć w punkcie x ekstremum.

Aby to pokazać, przeanalizujemy dwie niezbyt skomplikowane funkcje.

a) Niech fx1, x2 x211 x2

2. Funkcja f jest różniczkowalna na R2; jej punkty stacjonarne to0, c, gdzie c > R. W rozważanym przypadku mamy jednak W 0, c 0, więc twierdzenie 9.40

nie jest specjalnie pomocne. Łatwo jednak zauważyć, iż w każdym przypadku mamy fx1, x2 C0 f0, c, a więc funkcja f ma minima (globalne) we wszystkich swoich punktach stacjonarnych.

b) Nietrudno sprawdzić, że punkt x 0,0 jest jedynym punktem stacjonarnym funkcji

fx1, x2 x21x1x4

2. Ostatnie twierdzenie także i w tym przypadku nie rozstrzyga, czy w rozważa-

nym punkcie funkcja ma ekstremum. Tym razem jednak w dowolnym otoczeniu punktu x istnieją

zarówno punkty, w których wartość funkcji jest mniejsza, jak i większa od wartości f0,0 0.

W punkcie (0,0) funkcja f nie ma zatem ekstremum.

Na zakończenie rozważmy krótko problem wyznaczania ekstremów globalnych – największych

i najmniejszych wartości funkcji. W ogólności problem jest skomplikowany, jednak w prostych


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 214 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

przypadkach – a tylko takie będą stanowiły przedmiot naszych rozważań – stosunkowo łatwo znaleźć

rozwiązanie.

Definicja 9.43. Mówimy, że największa wartość funkcji na zbiorze jest równa m wtedy i

tylko wtedy, gdy fx B m dla każdego x > A oraz fx m dla pewnego x > A. O punkcie x

mówimy, że f osiąga tam swoją największą wartość na zbiorze

Definiując najmniejszą wartość funkcji na zbiorze wystarczy zmienić zwrot podanej

nierówności na przeciwny.

Przykład 9.44. a) Wyznaczymy największą i najmniejszą wartość funkcji fx1, x2 x1 x2

na kole X, określonym nierównością x21 x

22 B 2. Warstwice funkcji f są prostymi o równaniach

x1 x2 c, gdzie c > R jest wartością funkcji. Szukając największej wartości f na zbiorze X należy

wyznaczyć warstwicę mającą co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem X i odpowiadającą

możliwie największej wartości funkcji. Analogicznie w przypadku minimum. Łatwo zauważyć, że

im „wyżej”(„niżej”) położona warstwica, tym odpowiada większej (mniejszej) wartości funkcji.

Tym samym największa wartość f na X jest równa f1,1 2, najmniejsza zaś f1,1 2

(por. rys. ?? (a)).

b) Najmniejsza wartość funkcji fx1, x2 x21x

22 na zbiorze X x1, x2 > R2x1x2 2 jest

równa f1,1 2, największej wartości funkcja nie osiąga – funkcja jest nieograniczona z góry na

tym zbiorze (por. rys. ?? (b)).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 215 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) (b)

x1x1

x2 x2x2

(-1,-1)

(1,1)(1,1)

Rysunek 9.6: Rysunki do przykładu 9.44. Warstwice funkcji oznaczono kolorem czerwonym, strzał-kami oznaczono (przykładowe) kierunki wzrostu wartości funkcji


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 216 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zadania

9.19. (?) Sprawdzić, czy funkcja fx1, x2 12x

41 x

22 2x1x2 2 ma ekstrema w punktach: 0,0,2,2, 1,1, 2,1, 1,1.

9.20. (?) Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji:

a) fx1, x2 3x21 3x1x2 x2

2 15x1,

b) fx1, x2 2x21 3x1x2 3x2

2 2x1 x2 1,

c) fx1, x2 x21 x1x2 x2

2 6x1 4x2 5,

d) fx1, x2 x31 x

32 3ax1x2, gdzie a > R jest parametrem,

e) fx1, x2 x41 4x1x2 x4

2 2x21 2x2

2 8,

f) fx1, x2 4x1x2 1x1

1x2

, gdzie x1 x 0, x2 x 0,

g) fx1, x2 x1x2 lnx21 x

22, x1, x2 x 0,0.

9.21. (?) Dobrać stałe a, b > R tak, aby liczba R 10 x2 ax b2dx, była możliwie najmniejsza.

Znaleźć najmniejszą wartość tej całki.

9.22. (?) Dane jest n C 2 punktów xi, yi takich, że przynajmniej dwie spośród liczb x1, x2, . . . , xn,

są różne. Dobrać stałe a i b tak, aby suma Pni1axi b yi2 była najmniejsza.

9.23. (?) Niech f X R będzie dowolną funkcją. Wykazać, że jeśli gR R jest funkcją rosnącą,

to g X f ma maksimum (minimum) lokalne w punkcie x > X wtedy i tylko wtedy, gdy f ma w x

maksimum (minimum) lokalne.

9.24. (?) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f na zbiorze X, jeśli:

a) fx1, x2 x21 x

22 2x1 2x2, X x1, x2 > R2x1 x2 B 3, x1 C 0, x2 C 0,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 217 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) fx1, x2 x21 x

22, X x1, x2 > R2x2

1 x22 B 1,

c) fx x21 3x2, X x > R2x1 2x2 B 2, x1 C 0, x2 C 0,

d) fx x1 x2, X x > R2x21 x

22 B 4, x1 C 0,

e) fx x21 2x2

2, X x > Rx21 x

22 B 9,

f) fx x1 2x2, X x > Rx1 C 0, x2 C 0, x1 x2 B 2.

9.25. (?) Właściciel psa może kupić dwa rodzaje A i B, gotowych pokarmów zawierających

miedzy innymi dwa ważne dla życia mikroelementy: (m1) i (m2). Zawartość tych składników oraz

cena 1kg pokarmu podane są w tablicy. Pies może zjeść w ciągu dnia nie więcej niż 2 kg pokarmu.

Należy ustalić wielkość dziennej konsumpcji obu pokarmów tak, aby ich łączny koszt był możliwie

najmniejszy, pies zaś otrzymał co najmniej 15mg i 30mg odpowiednio m1 oraz m2.

PokarmZawartość mg~kg

Cena, zł/kgm1 m2

A 10 30 12B 15 20 15

Czy odpowiedź zmieniłaby się, gdyby: a) doliczyć VAT (22% ceny każdego pokarmu); b) cena

pokarmu B spadła o 1zł?

9.6. Uzupełnienie. Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Podamy obecnie warunki istnienia ekstremów dla funkcji f X R, gdzie X ` Rk. Dla k 2 są

one identyczne ze sformułowanymi poprzednio.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 218 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 9.45 (Warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeśli zbiór X ` Rk jest

niepusty i otwarty, funkcja f X R jest różniczkowalna w otoczeniu punktu x > X i ma w tym

punkcie ekstremum lokalne, to

f xix 0 dla każdego i 1, . . . , k. (9.17)

Dla kwadratowej macierzy A aijkk oraz liczby p 1, . . . , k, oznaczamy

DpA detaiji,j1,...,p.

W wersji bardziej rozwiniętej:

D1A deta11,D2A det<@@@@> a11 a12

a21 a22

=AAAA? ,D3A det

<@@@@@@>a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=AAAAAA? , . . . ,DkA detA. (9.18)

Twierdzenie 9.46 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum). Załóżmy, że funkcja

f X R jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły w otoczeniu pewnego punktu x, który

spełnia warunek 9.17. Wówczas:

a) Jeśli Dp f x1,x1x A 0 dla wszystkich p 1, . . . , k, to f ma w x minimum lokalne.

b) Jeśli 1pDp f x1,x1x A 0 (a więc Dp f x1,x1x są dodatnie dla parzystych p i ujemnedla p nieparzystych), to f ma w x maksimum lokalne.

c) Jeśli Dp f x1,x1x jest ujemne dla pewnego parzystego p lub istnieją liczby nieparzyste p, qdla których Dp f x oraz Dq f x mają różne znaki, to f nie ma ekstremum w punkcie x.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 219 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Przykład 9.47. Rozważmy funkcję (a właściwie ich rodzinę indeksowaną parametrem a o warto-

ściach rzeczywistych):

fx1, x2, x3 x12 ax2

2 3x3

2 4x1x2 2x3 6x1 3x2.

Funkcja jest klasy C2 (nawet Cª), zatem poszukując jej ekstremów lokalnych możemy skorzystać

z dwóch ostatnich twierdzeń. Punkty stacjonarne spełniają układ równań

f x1 2x1 4x2 6 0, f x2 2ax2 4x1 3 0, f x3 6x3 2 0.

Macierz M drugiej pochodnej f ma postać:

M

<@@@@@@>2 4 0

4 2a 0

0 0 6

=AAAAAA? ,stąd, zgodnie z 9.18, mamy:

D1M 2, D2M det<@@@@> 2 4

4 2a

=AAAA? , D3M detM 64a 16.Wyniki te pozwalają na sformułowanie kilku faktów:

a) Jeżeli a 5 funkcja ma jeden punkt stacjonarny 18, 152 ,

13. W rozważanym przypadku

mamy D1M 2 A 0, D2M 4 A 0, D3M 24 A 0, funkcja ma więc minimum.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 220 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) Jeśli a 1 funkcja ma jeden punkt stacjonarny, jeśli natomiast a 4 nie ma takiego punktu.

W obu przypadkach nie ma ekstremum.

c) Dla każdego a wartość D1M jest dodatnia. Funkcja nie ma więc maksimów.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 221 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 10

Rachunek prawdopodobieństwa

10.1. Własności prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zdarzeń, które zależą od przypadku, czyli

tak zwanych zdarzeń losowych. Przykładem takich zdarzeń są wyniki rzutu monetą lub wyniki

rzutu kostką do gry. Wynik doświadczenia nazywamy zdarzeniem elementarnym i oznaczamy

symbolem ω. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych oznaczamy symbolem Ω. Zdarzeniami

losowymi nazywamy wyróżnione podzbiory zbioru Ω. Jeśli Ω jest zbiorem skończonym, to możemy

przyjąć, że każdy podzbiór zbioru Ω jest zdarzeniem losowym. W ogólnym przypadku o zdarzeniach

losowych zakładamy, że należą do rodziny M spełniającej warunki:

a) Ω >M,

b) A >M A >M,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 222 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

c) n>N

An >M A1 8A2 8 ... >M.

W rachunku prawdopodobieństwa zbiór Ω nazywamy zdarzeniem pewnym, a zbiór g nazy-

wamy zdarzeniem niemożliwym. Jeśli ω > A, to mówimy, że zdarzenie elementarne ω sprzyja

zajściu zdarzenia losowego A. Jeśli A ` B, to mówimy, że zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B.

Sumę zbiorów A8B nazywamy alternatywą zdarzeń A, B, a iloczyn zbiorów A9B – koniunk-

cją zdarzeń A, B. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A Ω A.

Mówimy, że zdarzenia A i B są rozłączne , jeśli A 9B g.

Niech A1,A2, . . . będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń losowych, zdarzenie A A1 8A2 8 . . .,

które zachodzi wówczas, gdy zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A1,A2, . . ., nazywamy również

alternatywą zdarzeń A1,A2, . . .. Podobnie zdarzenie A A1 9A2 9 . . ., które zachodzi wówczas, gdy

zachodzi każde że zdarzeń A1,A2, . . ., nazywamy koniunkcją zdarzeń A1,A2, . . ..

Definicja 10.1. Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a M rodziną zdarzeń losowych.

Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P M R spełniającą warunki:

a) P A C 0 dla każdego A >M;

b) P Ω 1;

c) jeśli zdarzenia losowe An >M, gdzie n 1,2, ..., są parami rozłączne, to

P A1 8A2 8A3 8 . . . P A1 P A2 P A3 Przykład 10.2 (klasyczna definicja prawdopodobieństwa). Jeśli Ω ω1, ω2, ..., ωn, M jest rodzi-

ną wszystkich podzbiorów zbioru Ω, to funkcja P M R określona wzorem P A

A

Ω, gdzie

A


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 223 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

oznacza liczbę elementów zbioru A, a

Ω liczbę elementów zbioru Ω, jest prawdopodobieństwem.

Przykład 10.3. Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych Ω jest nieskończony, to zdarzeniami losowymi

nie muszą być wszystkie podzbiory zbioru Ω. Przykładem prawdopodobieństwa określonego na

rodzinie podzbiorów zbioru nieskończonego jest tak zwane prawdopodobieństwo geometryczne.

Załóżmy, że Ω jest podzbiorem przestrzeni Rn (gdzie n 1,2,3 o skończonej dodatniej mierze

(odpowiednio: długości, polu powierzchni, objętości), prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A `

Ω określamy wówczas wzorem

P A SASSΩS ,gdzie SAS oznacza miarę zbioru A, zaś SΩS – miarę zbioru Ω.

Twierdzenie 10.4. Niech P M R będzie prawdopodobieństwem, wówczas:a) P g 0;

b) jeśli zdarzenia losowe A1,A2, ...,Ak są parami rozłączne, to

P A1 8A2 8 ... 8Ak k

Qj1P Aj;

c) P A 1 P A;d) jeśli A ` B, to P B A P B P A oraz P A B P B;e) P A 8B P A P B P A 9B.

Definicja 10.5. Mówimy, że zdarzenia losowe A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

P A 9B P AP B.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 224 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

W przeciwnym przypadku mówimy, że zdarzenia A i B są zależne .

Definicja 10.6. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło

zdarzenie B, gdzie P B A 0, nazywamy liczbę

P ASB P A 9BP B .

Twierdzenie 10.7 (wzór na prawdopodobieństwo całkowite). Jeśli zdarzenia losowe B1, B2, ...,

Bn spełniają warunki:

a) B1 8B2 8 ... 8Bn Ω;

b) P Bk A 0 dla k 1,2, ..., n;

c) Bj 9Bk g dla k, j 1,2, ..., n, k x j; to dla dowolnego zdarzenia losowego A

P A n

Qk1P ASBkP Bk.

Twierdzenie 10.8 (wzór Bayesa). Jeśli zdarzenia losowe B1,B2, ...,Bn spełniają założenia po-

przedniego twierdzenia oraz P A A 0, to dla dowolnego j 1,2, ..., n

P Bj SA P ASBjP BjnPk1P ASBkP Bk .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 225 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zadania

10.1. (?) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w trzykrotnym rzucie monetą symetryczną

otrzymamy:

a) dokładnie dwa orły,

b) co najmniej dwa orły,

c) wszystkie wyniki identyczne.

10.2. (?) Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Wyznaczyć zbiór zdarzeń elementarnych. Obliczyć

prawdopodobieństwo zdarzenia:

a) suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 5,

b) suma wyrzuconych oczek jest nieparzysta,

c) suma wyrzuconych oczek jest równa 6 lub 10.

10.3. (?) Rzucamy raz sześcioma kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że

na każdej kostce wypadnie inna liczba oczek?

10.4. (?) Wykazać, że:

a) dla dowolnych zdarzeń losowych A,B,C

P A 8B 8C P A P B P C P A 9B P A 9C P B 9C P A 9B 9C,

b) jeśli P A 1 i P B 1, to P A 9B 1,

c) jeśli P A P B A 1, to A 9B x g.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 226 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

10.5. (?) Z przedziału o długości a wybieramy losowo punkt x. Obliczyć prawdopodobieństwo

zdarzenia, że odległość wybranego punktu od środka przedziału jest mniejsza od 14a.

10.6. (?) Z przedziału `0,1e wybrano losowo dwa punkty x i y. Wyznaczyć prawdopodobieństwo

zdarzenia, że y B 12x.

10.7. (?) Z przedziału `0,1e wybrano losowo dwa punkty x i y. Wyznaczyć prawdopodobieństwo

zdarzenia, że xy @ 13 .

10.8. (?) Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwiastki równania

x2 2bx c 0

są rzeczywiste, jeśli liczby b i c zostały wybrane losowo z przedziału `0,1e .10.9. (?) Z przedziału `0,1e wybrano losowo dwa punkty x i y. W zależności od wartości parametru

a > R wyznaczyć F a P x y B a. Obliczyć pochodną funkcji F a. Narysować wykres funkcji

F a i fa F a.10.10. (?) Niech A i B będą niezależnymi zdarzeniami losowymi takimi, że P A 1

4 , P B 15 .

Obliczyć:

a) P A 9B,b) P A 8B,c) P A B.

10.11. (?) Udowodnić, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to niezależne są również zdarzenia:


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 227 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) A i B,

b) A i B.

10.12. (?) Udowodnić, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne oraz A 8 B Ω, to P A 1 lub

P B 1.

10.13. (?) Rzucamy raz dwiema kostkami do gry. Niech A oznacza zdarzenie: suma liczby wy-

rzuconych oczek jest mniejsza od 6, B – zdarzenie: suma liczby wyrzuconych oczek jest parzysta.

Zbadać niezależność zdarzeń A i B.

10.14. (?) Rzucamy trzykrotnie monetą. Niech A oznacza zdarzenie: otrzymane wyniki nie są

identyczne, B – zdarzenie: co najwyżej jedna reszka. Zbadać niezależność zdarzeń A i B.

10.15. (?) Rzucamy dwukrotnie kostką sześcienną. Niech A oznacza zdarzenie: wśród wyrzuconej

liczby oczek jest co najmniej jedna szóstka, B – zdarzenie: wśród wyrzuconej liczby oczek jest co

najwyżej jedna liczba parzysta. Zbadać, czy zdarzenia A i B są niezależne.

10.16. (?) Z urny zawierającej 3 kule białe i 5 czarnych losujemy dwa razy bez zwracania jedną

kulę. Niech A oznacza zdarzenie: pierwsza wylosowana kula jest biała, B – zdarzenie: wylosowane

kule mają różne kolory. Zbadać niezależność zdarzeń A i B.

10.17. (?) W pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych i 4 czarne, w drugiej 3 białe i 2 czarne.

Losujemy jedną kulę z pierwszej urny i nie oglądając jej wkładamy do drugiej urny. Następnie

losujemy jedną kulę z drugiej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania z drugiej urny kuli

czarnej.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 228 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

10.18. (?) Rozpatrzmy doświadczenie opisane w zadaniu 10.17. Obliczyć prawdopodobieństwo

zdarzenia, że z pierwszej urny wylosowaliśmy kulę białą, jeśli wiadomo, że z drugiej otrzymaliśmy

kulę czarną.

10.2. Jednowymiarowe zmienne losowe

Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a M rodziną zdarzeń losowych.

Definicja 10.9. Funkcję X Ω R nazywamy jednowymiarową zmienną losową wtedy i

tylko wtedy, gdy zbiór ω > Ω Xw B x jest zdarzeniem losowym dla każdego x > R.

Twierdzenie 10.10. Jeśli X Ω R jest jednowymiarową zmienną losową, to dla dowolnych liczbrzeczywistych a, b zbiory

ω > Ω Xw @ b, ω > Ω Xw A b, ω > Ω Xw b,ω > Ω a @Xw B b,ω > Ω a @Xw @ b, ω > Ω a BXw @ b, ω > Ω a BXw B bsą zdarzeniami losowymi.

Przyjmujemy umowę, że opuszczać będziemy dalej symbole Ω i ω. Na przykład zamiastω > Ω a @ Xw @ b będziemy pisali a @ X @ b, a zamiast ω > Ω Xw b będziemy

pisali X b.

Definicja 10.11. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F R R określoną


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 229 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

wzorem

F x P X B x.Twierdzenie 10.12. Jeśli F R R jest dystrybuantą zmiennej losowej X, to:a) lim

xªF x 0, lim

xªF x 1.

b) F jest funkcją niemalejącą.

c) F jest funkcją prawostronnie ciągłą.

O dystrybuancie F zmiennej losowej X mówimy, że wyznacza rozkład prawdopodobieństwa

zmiennej losowej X.

10.2.1. Zmienne losowe o rozkładzie skokowym

Definicja 10.13. Mówimy, że zmienna X ma rozkład skokowy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje

skończony lub przeliczalny1 zbiór S x1, x2, ... ` R taki, że

a) xk>S

P X xk A 0,

b) PkP X xk 1.

Jeśli X ma rozkład skokowy, to jej dystrybuanta spełnia warunek pk P X xk

F xk F xk 0, dla każdego xk > S, gdzie F xk 0 oznacza granicę lewostronną funkcji

F w punkcie xk.

1Zbiór nazywamy przeliczalnym, jeśli ze wszystkich jego elementów można utworzyć ciąg. Na przykład zbiór liczbnaturalnych lub zbiór liczb parzystych jest przeliczalny.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 230 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 10.14. Funkcję p S R określoną wzorem pxk P X xk nazywamy funkcją

prawdopodobieństwa zmiennej X.

Jeśli S jest zbiorem skończonym, to funkcję prawdopodobieństwa zmiennej X zapisujemy często

w tabeli postacixk x1 x2 ... xn

pk p1 p2 ... pn,

gdzie pk pxk dla k 1,2, ..., n. O funkcji prawdopodobieństwa p mówimy, że wyznacza rozkład

prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

Definicja 10.15. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobieństwa

p S R, pxk pk nazywamy liczbę

EX Qxk>S

xkpk.

Twierdzenie 10.16. (własności wartości oczekiwanej)

a) Jeśli istnieje EX, to EaX b aEX b, dla każdego a, b > R.b) Jeśli istnieją wartości oczekiwane EX1, EX2, to E X1 X2 EX1 EX2.

Twierdzenie 10.17. Jeśli Y h X, gdzie h jest funkcją przedziałami ciągłą, a zmienna X marozkład o funkcji prawdopodobieństwa pxk pk, to

Eh X Qxk>S

h xkpk.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 231 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 10.18. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę

D2X EX EX2.

Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy liczbę

DX ºD2X.

Twierdzenie 10.19. Jeśli istnieje wariancja D2X, to:

a) D2X EX2 EX2,

b) D2aX a2D2X, dla każdego a > R.c) D2X a D2X, dla każdego a > R.

Wartość oczekiwaną EX nazywamy momentem zwykłym pierwszego rzędu, wartość ocze-

kiwaną E X2 nazywamy momentem zwykłym drugiego rzędu, a wariancję D2X nazywamy

momentem centralnym drugiego rzędu.

Wybrane rozkłady skokowe

Definicja 10.20. Mówimy, że zmienna losowa X Ω R ma rozkład jednopunktowy w punkcie

x0 > R wtedy i tylko wtedy, gdy

P X x0 1.

W rozkładzie jednopunktowym momenty zmiennej X są równe EX x0, D2X 0.2

2Jest to jedyny rozkład o wariancji równej zeru.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 232 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Definicja 10.21. Mówimy, że zmienna losowa X Ω R ma rozkład zero-jedynkowy z para-

metrem p > 0,1 wtedy i tylko wtedy, gdy

P X 1 p,P X 0 q,gdzie q 1 p. Dla rozkładu zero-jedynkowego mamy EX p, D2X pq.

Definicja 10.22. Mówimy, że zmienna losowa X Ω R ma rozkład równomierny skoncen-

trowany w punktach x1, x2, ..., xn wtedy i tylko wtedy, gdy

P X xi 1n dla i 1,2, ..., n.

Momenty zmienne X są równe EX 1n

nPi1xi, D2X 1

n

nPi1x2i 1

n

nPi1xi2

.

Definicja 10.23. Mówimy, że zmienna losowa X Ω R ma rozkład Bernoulliego z parame-

trami p > 0,1, n > N wtedy i tylko wtedy, gdy

P X k nkpkqnk,gdzie k 0,1, ..., n, q 1 p. W rozkładzie Bernoulliego momenty są równe EX np, D2X npq.

Definicja 10.24. Mówimy, że zmienna losowa X Ω R ma rozkład geometryczny z parame-

trem p > 0,1 wtedy i tylko wtedy, gdy

P X k qk1p,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 233 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

gdzie k 1,2, ..., q 1 p. Momenty zmiennej X są równe EX 1p , D2X

qp2 .

Definicja 10.25. Mówimy, że zmienna losowa X Ω R ma rozkład Poissona z parametrem

λ A 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

P X k λk

k! eλ,

gdzie k 0,1, ... . Dla rozkładu Poissona mamy EX λ, D2X λ.

Zadania

10.19. (?) Niech X oznacza liczbę orłów w dwukrotnym rzucie monetą symetryczną.

a) Wyznaczyć rozkład zmiennej X.

b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X i narysować jej wykres.

c) Obliczyć EX i D2X.

10.20. (?) Niech X oznacza liczbę orłów w trzykrotnym rzucie monetą symetryczną.


b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X.


10.21. (?) Niech X oznacza liczbę oczek wyrzuconych w jednokrotnym rzucie kostką do gry.


b) Obliczyć EX i D2X.

10.22. (?) Zmienna losowa X ma rozkład określony tabelką


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 234 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

xk 2 0 1

pk14

12

14

.

a) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X.

b) Obliczyć P X2 B 1 .10.23. (?) Zmienna losowa X ma rozkład określony tabelką

xk 1 0 1 2

pk15

25

15

15

.

a) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X i naszkicować jej wykres.


c) Obliczyć P X2 C 1.10.24. (?) Zmienna losowa X ma dystrybuantę określoną wzorem

F x ¢¨¦¨¤

0 dla x @ 2,15 dla 2 B x @ 1,25 dla 1 B x @ 2,

1 dla x C 2.



c) Obliczyć P 3X B 2.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 235 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

10.25. (?) Na egzaminie z rachunku prawdopodobieństwa trzech studentów otrzymało ocenę 2,

dziesięciu – ocenę 3, pięciu – ocenę 4 i dwóch – ocenę 5. Niech X oznacza ocenę uzyskaną przez

wybranego losowo z tej grupy jednego studenta.

a) Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X.

b) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrany losowo student otrzymał ocenę co naj-

mniej 4.


10.26. (?) W sklepie znajduję się 1000 butelek wody mineralnej „Czysty zdrój”, 1500 butelek

wody mineralnej „Kaskada zdrowia” i 2500 butelek wody mineralnej „Górski potok”. Jedna butelka

wody „Czysty zdrój” kosztuje 1 zł, jedna butelka wody „Kaskada zdrowia” kosztuje 2 zł, a jedna

butelka wody „Górski potok” kosztuje 3 zł. Niech X oznacza cenę wybranej losowo jednej butelki

wody mineralnej.



10.27. (?) Z talii 52 kart wybieramy losowo 2 karty. Niech X oznacza liczbę pików wśród tych 2

kart.


b) Wyznaczyć rozkład zmiennej Y X 1.

c) Sprawdzić, czy zmienne X i Y X 1 mają taką samą wariancję.

10.28. (?) Rzucamy kostką do gry tak długo, aż wyrzucimy 5 lub 6 oczek. Niech X oznacza liczbę

wykonanych rzutów.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 236 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


b) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wykonamy co najmniej 5 rzutów.

10.29. (?) Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy skoncentrowany w punkcie x0 3.

a) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X i narysować jej wykres.

b) Wyznaczyć EX i D2X.

10.30. (?) Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p.

a) Obliczyć EX i D2X.

b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X i narysować jej wykres dla p 13 .

10.31. (?) Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego z parametrami p 14 , n 3.

a) Obliczyć wartości P X k dla k 0,1,2,3.


10.32. (?) Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania w ośmiu rzutach monetą symetryczną:

a) dokładnie 3 orłów,

b) co najmniej 3 orłów,

c) co najwyżej 3 orłów.

10.33. (?) Rzucamy sześć razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania nie

mniej niż 5 oczek:

a) dokładnie jeden raz,

b) dokładnie dwa razy,

c) przynajmniej jeden raz.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 237 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

10.2.2. Zmienne losowe o rozkładzie ciągłym

Definicja 10.26. Mówimy, że zmienna losowa X o dystrybuancie F ma rozkład ciągły wtedy

i tylko wtedy, gdy istnieje taka nieujemna funkcja f R R, że dla każdego x > R spełniony jest

warunek

F x x

Sª

ftdt.Funkcję f nazywamy funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

Jeśli zmienna X ma rozkład ciągły, to jej dystrybuanta jest funkcją ciągłą.

Twierdzenie 10.27. Jeśli f R R jest funkcją gęstości zmiennej losowej X, to:a) fx C 0 w każdym punkcie x > R;b) F x fx w każdym punkcie ciągłości x > R funkcji f ;c) P a @ X @ b P a B X B b P a @ X B b P a B X @ b b

Rafxdx dla dowolnych liczb

a, b > R, a @ b.d)

ª

Rª

fxdx 1.

Podobnie, jak dla rozkładów skokowych, określamy momenty zmiennych losowych o rozkładach

ciągłych.

Definicja 10.28. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o funkcji gęstości f R Rnazywamy liczbę

EX

ª

Sª

xf xdx.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 238 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 10.29. Jeśli Y h X, gdzie h jest funkcją przedziałami ciągłą, a zmienna X marozkład o funkcji gęstości f , to

Eh X ª

Sª

h x f xdx.Definicja 10.30. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę

D2X EX EX2.

Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy liczbę

DX ºD2X.

Twierdzenie 10.31. Jeśli istnieje wariancja D2X, to:

a) D2X EX2 EX2,

b) D2aX a2D2X, dla każdego a > R.c) D2X a D2X, dla każdego a > R.

Analogicznie, jak w rozkładach skokowych, wartość oczekiwaną EX nazywamy momentem

zwykłym pierwszego rzędu, wartość oczekiwaną E X2 nazywamy momentem zwykłym

drugiego rzędu, a wariancję D2X nazywamy momentem centralnym drugiego rzędu


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 239 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Wybrane rozkłady ciągłe

Definicja 10.32. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale à, bewtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja gęstości jest określona wzorem

fx ¢¦¤1ba dla x > à, be ,0 dla x ¶ à, be .

Momenty zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym są równe EX ab2 , D2X

ab212 .

Definicja 10.33. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami λ A 0, s A 0

wtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja gęstości jest dana wzorem

fx ¢¦¤λs

Γsxs1eλx dla x A 0,

0 dla x B 0,

gdzie tak zwana funkcja gamma jest postaci Γ s ª

R0ts1etdt dla s A 0. Momenty w rozkładzie

gamma są równe EX sλ , D2X s

λ2 .

Przyjmując w rozkładzie gamma s 1 otrzymujemy rozkład wykładniczy.

Definicja 10.34. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ A 0

wtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja gęstości jest określona wzorem

fx ¢¦¤λeλx dla x A 0,

0 dla x B 0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 240 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zmienna losowa X o rozkładzie wykładniczym ma momenty EX 1λ , D2X 1

λ2 .

Przyjmując z kolei w rozkładzie gamma λ 12 i s n

2 otrzymujemy rozkład chi-kwadrat.

Definicja 10.35. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach

swobody wtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja gęstości jest dana wzorem

fx ¢¦¤1

2n~2Γn~2xn~21ex~2 dla x A 0,

0 dla x B 0.

Mamy wówczas EX n, D2X 2n.

Definicja 10.36. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m > R,σ A 0, wtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja gęstości jest określona wzorem

fx 1

σº

2πe

xm22σ2 .

Zmienna losowa X o rozkładzie normalnym ma momenty EX m, D2X σ2. Jeśli m 0 σ 1, to

mówimy, że zmienna X ma rozkład standaryzowany .

Rozkład normalny z parametrami m > R, σ A 0 oznaczamy symbolicznie Nm,σ. Nie może-

my podać wzoru na dystrybuantę zmiennej X o rozkładzie Nm,σ umożliwiającego efektywne

obliczanie wartości tej dystrybuanty, gdyż całka z funkcji gęstości nie jest funkcją elementarną.

Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego N0,1 podane są w tablicach. Tablice te podają

wartości dystrybuanty F x dla nieujemnych argumentów x. Jeśli x @ 0, to wartość dystrybuanty

F x obliczamy na podstawie wzoru F x 1F x, który wynika z parzystości funkcji gęstości.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 241 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Twierdzenie 10.37. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład Nm,σ, to zmienna losowa Y X m

σma rozkład N0,1.Zadania

10.34. (?) Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości

fx ¢¦¤ c dla x > `0,2e ,0 dla x ¶ `0,2e .

a) Wyznaczyć stałą c.


c) Narysować wykresy funkcji f i F .

d) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia 1 @X @ 13 .

10.35. (?) Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale `a, be .a) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X.


10.36. (?) Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale `1,3e . Wyznaczyć funkcję

gęstości zmiennej Y X 2.

10.37. (?) Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale `1,1e . Wyznaczyć funkcję

gęstości zmiennej Y X2.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 242 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


fx ¢¦¤ cx dla x > `0,2e ,0 dla x ¶ `0,2e .



c) Narysować wykresy funkcji f i F .

d) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia 1 @X @ 12 .


fx ¢¦¤ c x x2 dla x > `0,1e ,

0 dla x ¶ `0,1e .a) Wyznaczyć stałą c.


c) Obliczyć P X @ 12 .


fx ¢¦¤ c sinx dla x > `0, πe ,0 dla x ¶ `0, πe .



Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 243 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


c) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia 12π @X @ 3

4π.

d) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X.

10.41. (?) Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości:

fx ¢¦¤ c cosx dla x > a12π; 1

2πf ,0 dla x ¶ a1

2π; 12πf .




fx ¢¦¤ 0 dla x B 2cx2 dla x A 2.



c) Sprawdzić czy istnieje EX.

10.43. (?) Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie określonej wzorem

F x ¢¦¤ 0 dla x @ 0,

1 e2x dla x C 0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 244 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) Obliczyć P 1 @X @ 52 .

b) Wyznaczyć funkcję gęstości zmiennej X.

c) Wyznaczyć EX i D2X.

10.44. (?) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ 3.

a) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia P 12 @X B 2.

b) Wyznaczyć funkcję gęstości zmiennej Y 3X.

10.45. (?) Zmienna losowa X ma rozkład N1,3. Wyznaczyć za pomocą dystrybuanty rozkładu

N0,1 wartości prawdopodobieństw:

a) P 1 @X @ 3,b) P 0 @X @ 1,c) P SX EX S C 3σ.

10.2.3. Przybliżenia asymptotyczne rozkładu Bernoulliego

Twierdzenie 10.38 (lokalne de Moivre’a-Laplace’a). Niech Xn będzie ciągiem zmiennych losowych

o rozkładach Bernoulliego z parametrami n, p p jest stałe dla każdego n, kn będzie ciągiem nie-ujemnych liczb całkowitych rozbieżnym do ª takim, że ciąg xn

knnpºnpq jest ograniczony. Wówczas

limnª

ºnpq P Xn kn 1º2πe12x2n 1.

Jeśli X ma rozkład Bernoulliego z parametrami n, p, to przybliżoną wartość P X k możemy


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 245 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

obliczać, korzystając z twierdzenia lokalnego de Moivre’a-Laplace’a, według wzoru

P X k 1ºnpq

fxk,gdzie xk

knpºnpq , fx 1º

2πe12x2

jest funkcją gęstości rozkładu N0,1.Twierdzenie 10.39 (integralne de Moivre’a-Laplace’a). Niech Xn będzie ciągiem zmiennych lo-

sowych o rozkładach Bernoulliego z parametrami n, p (p jest stałe dla każdego n. Dla dowolnychliczb a @ b

limnª

P a @ Xn npºnpq

@ b F b F a,gdzie F x 1º

2π

x

Rª

e12 t2dt.

Jeśli X ma rozkład Bernoulliego z parametrami n, p, to przybliżoną wartość prawdopodo-

bieństwa P k1 @ X @ k2 możemy obliczać, korzystając z twierdzenia integralnego de Moivre’a-

Laplace’a, według wzoru

P k1 @X @ k2 P k1npºnpq @

Xnpºnpq @

k2npºnpq F k2npº

npq F k1npºnpq ,

gdzie F x 1º2π

x

Rª

e12 t2dt.

Twierdzenie 10.40 (Poissona). Niech Xn będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach Ber-


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 246 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

noulliego z parametrami n, pn. Jeśli limnª

npn λ A 0, to

limnª

P Xn k λkk!eλ.

Z twierdzenia Poissona otrzymujemy wzór przybliżony P X k λk

k! eλ, gdzie λ np.

Zadania

10.46. (?) Wyznaczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa otrzymania w 100 rzutach mo-

netą:

a) 45 orłów, b) 50 orłów, c) 60 orłów.

10.47. (?) Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w 10000 rzutów mo-

netą otrzymamy orła 4950 razy.

10.48. (?) Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w 18000 rzutów kostką

do gry trzymamy 3 oczka 2950 razy.

10.49. (?) Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa otrzymania w 10000 rzutów monetą

liczby orłów zawartej między 4950 i 5100.

10.50. (?) Rzucamy 100 razy monetą symetryczną. Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobień-

stwa zdarzenia, że liczba otrzymanych orłów będzie zawarta między liczbami 40 i 60.

10.51. (?) Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w 180 rzutach kostką

otrzymamy 3 oczka co najmniej 40 razy.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 247 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

10.52. (?) Ze zbioru liczb 1,2, ...,200 losujemy 10000 razy ze zwracaniem po jednej liczbie. Wy-

znaczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że:

a) liczb parzystych otrzymamy o 200 więcej niż nieparzystych,

b) liczb parzystych otrzymamy co najmniej o 200 więcej niż nieparzystych.

10.53. (?) Z urny zawierającej 1 kulę białą i 49 czarnych losujemy ze zwracaniem 50 razy jedną

kulę. Wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej dwa razy kuli białej.

10.54. (?) Z partii towaru zawierającej 5% sztuk wadliwych pobrano próbkę liczącą 60 sztuk.

Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że:

a) w próbce nie będzie ani jednej sztuki wadliwej,

b) w próbce będą co najmniej 3 sztuki wadliwe.

10.55. (?) W książce liczącej 120 stron znajduje się 48 błędów. Obliczyć przybliżoną wartość

prawdopodobieństwa, że na 50 stronie znajdują się co najmniej 2 błędy.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 248 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rozdział 11

Rozwiązania i odpowiedzi

11.1. Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału 1

1.1. a) Zadanie rozwiążemy analogicznie do przykładu 1.2 (dla skrócenia zapisu całe wyrażenie

w ostatniej kolumnie zastąpimy symbolem w.p q p , q p , q p q p - q w

0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0 0 1

.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 249 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b)

p q p q p q q p w

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 1 1

.

c)

p q p q p p - q w

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1

1 1 1 0 1 1

.

d)

p q p q q p p q , q p p q w

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1

.

e) Zadanie można rozwiązać, tak jak poprzednie podpunkty, metodą zero-jedynkową, ale wy-

każemy, że zdanie jest tautologią metodą nie wprost. Załóżmy, że rozważane zdanie jest fałszywe,

tzn. że zdanie p r jest fałszywe, a zdanie p q , q r jest prawdziwe. Zdanie p r jest

fałszywe wówczas, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie r – fałszywe. Zdanie p q,q r jest

prawdziwe, gdy oba zdania p q, q r są prawdziwe. Skoro p jest zdaniem prawdziwym i p q

jest zdaniem prawdziwym, to q jest zdaniem prawdziwym. Stąd, ponieważ q r jest zdaniem

prawdziwym, wynika, że r jest zdaniem prawdziwym. Otrzymaliśmy sprzeczność, a zatem badane


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 250 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

wyrażenie jest tautologią.

1.2. a) Jest tautologią.

b) Nie jest tautologią, jeśli jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe, to zdaniep - q p , q jest fałszywe.

c) Nie jest tautologią.

d) Jest tautologią.

1.3. a) Jest fałszywe tylko w przypadku, gdy w p 0 i w q 0.

b) Jest prawdziwe, gdy wartości logiczne zdań p, q są jednakowe.

c) Jest prawdziwe, jeśli w p 0 i w q 1, albo w p 1 i w q 1.

1.4. p - q p , q.1.5. p , q p - q.1.6. p , q p q.1.7. Korzystając z prawa de Morgana dla zaprzeczenia koniunkcji, otrzymujemy

x > A 9B x ¶ A 9B x > A 9B x > A , x > B x > A - x > B x > A

- x > B x > A

8B

dla każdego elementu x, a zatem zbiory A 9B i A 8B są równe.

1.8. a) Zauważmy, że jeśli weźmiemy dowolny element x >X, to zdanie x > A - x > A, równo-

ważne zdaniu x > A - x ¶ A, jest prawdziwe, zatem A 8A X.

b) Nie istnieje taki x > X, dla którego zdanie x > A , x ¶ A ma wartość logiczną 1, zatem

A 9A g.

c) x > A B x > A , x ¶ B x > A , x > B x > A 9B.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 251 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

d) x > A x > A - x > B x > A 8B.

e) Korzystając z prawa de Morgana, otrzymujemy

x > A B 8C x > A , x ¶ B 8C x > A , x ¶ B , x ¶ C x > A , x ¶ B , x > A , x ¶ C x > A B 9 A C .

f) Podobnie jak w podpunkcie e), mamy

x > A B 9C x > A , x ¶ B 9C x > A , x ¶ B - x ¶ C x > A , x ¶ B - x > A , x ¶ C x > A B 8 A C .

g) Zauważmy, że

x > A x > B , x > A x > C x > A x > B , x > C x > A x > B 9C ,

czyli A ` B ,A ` C A ` B 9C.

h) Mamy

x > A x > C , x > B x > C x > A - x > B x > C x > A 8B x > C ,czyli A ` C ,B ` C A 8B ` C.

1.9. Możemy powtórzyć rozumowanie z rozwiązania przykładu 1.7, ale wykorzystamy udowod-


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 252 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

niony tam wzór i skorzystamy z prawa p p. Zastępując we wzorze

x>X

ϕ x x>X

ϕ xfunkcję zdaniową ϕ x przez funkcję ϕ x, otrzymujemy

x>X ϕ x

x>Xϕ x. Stąd mamy

x>X

ϕ x x>X

ϕ x ,czyli

x>X ϕ x

x>Xϕ x.

1.10. Podstawiając we wzorze i>IAi

i>IA

i zbiór A

i zamiast zbioru Ai, otrzymujemy

i>IA

i i>IA

i i>IAi. Stąd wynika, że

i>IA

i i>IAi.

1.11. Zauważmy, że At ¢¦¤ g dla t B 0,ºt,ºt dla t A 0.

Zatem t>RAt R,

t>RAt g.

1.12. a)ªn1

An `1,1e, ªn1

An 0.

b)ªn1

An 1,1, ªn1

An 0.

c)ªn1

An a23 ,2f, ª

n1An g.

1.13. Załóżmy, że relacja ρ jest przeciwzwrotna i przechodnia oraz, że nie jest przeciwsymetrycz-

na (dowód nie wprost). Istnieją zatem takie elementy x, y > X, że x, y > ρ , y, x > ρ. Wówczas

z przechodniości mamy x, y > ρ , y, x > ρ x,x > ρ, co jest sprzeczne z przeciwzwrotnością.

Zatem relacja ρ jest przeciwsymetryczna.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 253 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

1.14. a) Jest zwrotna, bo kSk dla każdego k > N; nie jest symetryczna, bo np. 3S6, ale nieprawda,

że 6S3; jest antysymetryczna, bo jeśli k jest podzielne przez n i n jest podzielne przez k, to n k;

jest przechodnia, bo jeśli nSk i mSn, to mSk (k l1n, n l2m, gdzie l1, l2 > N, to k l1l2m); nie jest

spójna, bo np. nie jest prawdą, że 12S5 lub 5S12.

b) Jest zwrotna (dla każdego x > R zachodzi SxS SxS), symetryczna

xρy SxS SyS SyS SxS yρx,

przechodnia

xρy , yρz SxS SyS , SyS SzS SxS SzS xρz,

nie jest antysymetryczna i nie jest spójna.

c) Jest przeciwzwrotna (dla każdego x > R nieprawda, że x @ x), przeciwsymetryczna (jeśli

x @ y, to nieprawda, że y @ x), antysymetryczna (ponieważ jest przeciwsymetryczna, poprzednik w

implikacji opisującej warunek antysymetrii jest zawsze fałszywy, a więc implikacja jest prawdziwa),

przechodnia

xρy , yρz x @ y , y @ z x @ z xρz,

nie jest spójna, ponieważ nie jest zwrotna (jeśli weźmiemy x y, to nieprawda, że xρy oraz nie-

prawda, że yρx).

d) Jest przeciwzwrotna (dla każdego x > R nieprawda, że x x 2), przeciwsymetryczna (jeśli

x y 2, to nieprawda, że y x 2), antysymetryczna (patrz punkt b), nie jest przechodnia ani

spójna.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 254 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

e) Jest zwrotna (dla każdego x > R zachodzi sgnx sgnx), symetryczna

xρy sgnx sgn y sgn y sgnx yρx

i przechodnia

xρy , yρz sgnx sgn y , sgn y sgn z sgnx sgn z xρz,

nie jest antysymetryczna i nie jest spójna.

f) Nie jest zwrotna, ani przeciwzwrotna, jest symetryczna, nie jest antysymetryczna, nie jest

przechodnia, nie jest spójna.

1.15. a) Relacja zawierania zbiorów jest zwrotna (dla każdego zbioru A ` R zachodzi A ` A),

antysymetryczna (jeśli A ` B i B ` A, to A B) i przechodnia (A ` B ,B ` C A ` C). Jest to

zatem częściowy porządek.

b) Relacja zawierania zbiorów nie jest spójna, na przykład mamy `0,2e ` `1,3e oraz `1,3e ` `0,2e, zatem nie jest to porządek liniowy.

1.16. Relacja ρ jest zwrotna, gdyż Sx1S Sx2S B Sx1S Sx2S dla dowolnego x > R2, przechodnia,

ponieważ z warunku Sx1S Sx2S B Sy1S Sy2S , Sy1S Sy2S B Sz1S Sz2Swynika, że Sx1S Sx2S B Sz1S Sz2S, ale nie jest antysymetryczna, bo na przykład

<@@@@>1

2

=AAAA?ρ<@@@@>2

1

=AAAA? ,<@@@@>2

1

=AAAA?ρ<@@@@>1

2

=AAAA? ,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 255 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

ale<@@@@>2

1

=AAAA? x<@@@@>1

2

=AAAA?. Nie jest to więc częściowy porządek, a zatem nie jest to także porządek liniowy.

1.17. a) Relacja ρ jest zwrotna, bo dla każdego x > R2 mamy xρx na mocy trzeciego czło-

nu alternatywy. Jest to relacja przechodnia, aby to wykazać, rozpatrzymy następujące przypadki

(zakładamy, że<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? ,<@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA?):

1) x1 @ y1 , y1 @ z1 - y1 z1 , y2 @ z2 - y1 z1 , y2 z2, mamy wówczas x1 @ z1 i stąd<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA?;

2) x1 y1 , x2 @ y2 - x1 y1 , x2 y2 , y1 @ z1, wtedy x1 @ z1, a zatem<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA?;

3) x1 y1 , x2 @ y2 , y1 z1 , y2 @ z2 - y1 z1 , y2 z2, wówczas x1 z1 , x2 @ z2, czyli<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA?;

4) x1 y1 , x2 y2 , y1 z1 , y2 z2, wówczas x1 z1 , x2 z2, a więc<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA?.

Relacja ta jest antysymetryczna, warunek

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? ,<@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@>x1

x2

=AAAA? ,jest spełniony tylko wówczas, gdy x1 y1 , x2 y2, czyli, gdy

<@@@@>x1

x2

=AAAA? <@@@@> y1

y2

=AAAA?. Jest to więc porządek


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 256 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

liniowy.

b) Relacja ρ jest spójna – dowolne wektory<@@@@>x1

x2

=AAAA? ,<@@@@> y1

y2

=AAAA? > R2, spełniają warunek

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? -<@@@@> y1

y

=AAAA?ρ<@@@@>x1

x2

=AAAA? ,zatem porządek ten jest liniowy. Relacja ρ jest nazywana porządkiem leksykograficznym.

1.18. Relacja ρ jest zwrotna, bo dla dowolnej funkcji f R2 R i dla dowolnego x > R2 zachodzi

f x B f x, jest przechodnia, bo

x,y,z>R2

f x B f y , f y B f z f x B f z xρz.

Nie jest to relacja antysymetryczna, bo

xρy , yρx f x B f y,f y B f x f x f y ,

ale nie wynika stąd, że x y. Relacja ρ nie jest więc ani porządkiem częściowym, ani liniowym.

1.19. Relacja jest zwrotna, bo należą do niej pary a, a , b, b , c, c , d, d ,e, e. Jest syme-

tryczna, gdyż należą do niej b, c , c, b , d, e , e, d. Jest także przechodnia. Klasami abstrakcji

są zbiory: aρ a, bρ b, c, dρ d, e.

1.20. a) Relacja ρ jest zwrotna, kk 0 3 0, dla każdego naturalnego k; jest symetryczna, jeśli

kn 3p, to nk 3p 3p; jest przechodnia, jeśli kn 3p i nl 3q, to kl 3pq. Klasami


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 257 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

abstrakcji tej relacji są zbiory: 1ρ 1,4,7,10, ..., 2ρ 2,5,8,11, ..., 3ρ 3,6,9,12, ....

b) Nie jest to relacją równoważności, bo nie jest zwrotna – np. 2ρ2.

c) Relacja ρ jest zwrotna, bo x2 x2 dla każdej liczby x > R; jest symetryczna, gdyż x2

y2 y2 x2 dla dowolnych x, y > R; jest przechodnia, ponieważ x2 y2 , y2 z2 x2 z2

dla dowolnych x, y, z > R, zatem ρ jest relacją równoważności. Jej klasy abstrakcji są następujące:0ρ 0, xρ x,x dla wszystkich x x 0.

d) Jest to relacja równoważności (patrz rozwiązanie podpunktu c). Jej klasy abstrakcji to:0ρ kπ, k > C, xρ x 2kπ, k > C dla wszystkich x x 0.

e) Jest to relacja równoważności (patrz rozwiązanie podpunktu c). Jej klasy abstrakcji to:<@@@@><@@@@> 0

0

=AAAA?=AAAA?ρ

¢¦¤<@@@@> 0

0

=AAAA?£§¥,<@@@@><@@@@>xy

=AAAA?=AAAA?ρ

¢¦¤<@@@@> uw

=AAAA? > R2 u2 w2 x2 y2£§¥ dla x2 y2 x 0 (czyli jest to zbiór zawie-

rający punkt<@@@@> 0

0

=AAAA? oraz okręgi o środku w tym punkcie i promieniu»x2 y2).

1.21. Jest to relacja zwrotna i przechodnia (patrz rozwiązanie zadania 1.18). Jest ona także

symetryczna: xρy fx fy fy fx yρx. Zatem ρ jest relacją równoważności.

1.22. a) Relacja ρ jest zwrotna, gdyż x1 x1 x2 x2 0 > C; jest symetryczna, ponieważ

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? x1 y1 k , x2 y2 k y1 x1 k , y2 x2 k <@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@>x1

x2

=AAAA? ,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 258 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

gdzie k,k > C; jest przechodnia, jeśli<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? i<@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA?, to

x1 y1 k1 , x2 y2 k1 , y1 z1 k2 , y2 z2 k2 x1 z1 k1 k2 , x2 z2 k1 k2,

gdzie k1, k2, k1 k2 > C, czyli<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA?.

b)<@@@@> 1

2

=AAAA? ¢¦¤<@@@@> k

k 1

=AAAA? k > C£§¥ .

1.23. a) Wynika z zadania 1.21 dla funkcji f R2 R, f x x21 x

22.

b)<@@@@><@@@@> 1

1

=AAAA?=AAAA?

¢¦¤<@@@@>x1

x2

=AAAA? > R2 x21 x

22 0 Sx1S Sx2S£§¥, czyli jest to zbiór zawierający punkt

<@@@@> 0

0

=AAAA?oraz wierzchołki kwadratów o środku w punkcie

<@@@@> 0

0

=AAAA? i bokach równoległych do osi układu współ-

rzędnych.

1.24. a) Relacja ρ jest zwrotna, ponieważ x x x 1x 0, jest symetryczna, gdyż jeśli xρy,

to

x y x 1y 0 x y - x 1

y y x - y 1x y x y 1

x 0

dla x, y > R 0, czyli yρx. Jest to także relacja przechodnia – w celu wykazania tego faktu

rozpatrzmy następujące przypadki (zakładamy, że xρy , yρz ):


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 259 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

1) x y 0 , y z 0 x z 0 xρz,

2) x y 0 , y 1z 0 x 1

z 0 xρz,

3) x 1y 0 , y z 0 x 1

z 0 xρz,

4) x 1y 0 , y 1

z 0 x z 0 xρz.

b) 12 1

2 ,2.

1.25. a) Relacja ρ jest zwrotna, ponieważ x2 x2 0 > C, czyli xρx dla każdego x > R, jest

symetryczna, gdyż x2 y2 k y2 x2 k, gdzie k,k > C, czyli xρy yρx; jest również

przechodnia, bo jeśli xρy i yρz to

x2 y2 k1 , y

2 z2 k2 x2

z2 k1 k2,

gdzie k1, k2, k1 k2 > C, a więc xρz.

b) º2 ºk 2,ºk 2;k > C.

1.26. a) Relacja ρ jest zwrotna, symetryczna i przechodnia (patrz rozwiązanie zadania 1.25).

b) 12 2k1

2 ;k > C.1.27. a) Relacja ρ jest zwrotna, symetryczna i przechodnia (patrz rozwiązanie zadania 1.25).

b) º2 w º

2;w >W.

1.28. a) Relacja ρ jest zwrotna, ponieważ x1 x1 x2 x2 dla każdego x > N2, czyli xρx; jest

symetryczna, bo

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? x1 y1 x2 y2 y1 x1 y2 x2

<@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@>x1

x2

=AAAA? ;


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 260 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

jest przechodnia, gdyż

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? ,<@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA? x1 y1 x2 y2 , y1 z1 y2 z2

x1 z1 x2 z2

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA? .b)

<@@@@><@@@@> 2

1

=AAAA?=AAAA?

¢¦¤<@@@@> 1 n

n

=AAAA? n > N£§¥ .

1.29. a) Relacja ρ jest zwrotna, ponieważ x1 x22 x1 x22 dla x > R2; jest symetryczna,

ponieważ

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? x1 x22 y1 y22

y1 y22 x1 x22

<@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@>x1

x2

=AAAA? ;

jest przechodnia, gdyż z warunku

x1 x22 y1 y22

, y1 y22 z1 z22

x1 x22 z1 z22

wynika, że<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? ,<@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA?<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA? .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 261 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b)<@@@@><@@@@> 1

3

=AAAA?=AAAA?

¢¦¤<@@@@>x1

x2

=AAAA? > R2 Sx1 x2S 4£§¥.

1.30. a) Jest to relacja zwrotna sin x1 x2 sin x1 x2 dla x > R2, symetryczna

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? sin x1 x2 sin y1 y2 sin y1 y2 sin x1 x2 <@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@>x1

x2

=AAAA?i przechodnia

<@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> y1

y2

=AAAA? ,<@@@@> y1

y2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA? sin x1 x2 sin y1 y2 , sin y1 y2 sin z1 z2 sin x1 x2 sin z1 z2 <@@@@>x1

x2

=AAAA?ρ<@@@@> z1

z2

=AAAA? .

b)<@@@@><@@@@>

12π

12π

=AAAA?=AAAA?

¢¦¤<@@@@>x kπx

=AAAA? x > R , k > C£§¥.

1.31. a) Patrz rozwiązanie zadania 1.30.

b)<@@@@><@@@@>

14π

14π

=AAAA?=AAAA?

¢¦¤<@@@@>x

2k12 π

x

=AAAA? x > R , k > C£§¥.

1.32. a) Z warunku n 2y 3 0 wynika, że para n, y > f wtedy i tylko wtedy, gdy y n32 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 262 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zatem dla każdego n > N mamy

n, y1 > f , n, y2 > f y1 y2 n3

2 >W,

więc f jest odwzorowaniem.

b) Dla n A 2 nie istnieje k > N takie, że n k 2, zatem f nie jest odwzorowaniem (Df x N).

c) Jest to odwzorowanie.

d) Nie jest odwzorowaniem, np. 1,1 > f , 1,1 > f .

e) Nie jest odwzorowaniem, np. 0,0 > f , 0, π > f .

1.33. Zauważmy, że fx ¢¦¤ 2x dla x C 0,

0 dla x @ 0.Stąd f `1,1e `0,2e, f `1,2e `2,4e, f1 0 ª,0e, f1 `0,ª ª,ª.1.34. Funkcję f można zapisać w postaci fx x 2x 1. Wierzchołek paraboli będącej

wykresem funkcji f ma współrzędne 12 ,

94, a punkty przecięcia z osią 0x to 2,0 i 1,0.

Zatem f `2,1e a94 ,0f, f R a9

4 ,ª, f `2,0e a94 ,0f, f1 0 2,1, f1 R R.

1.35. f a12π,

12πf `1,1e, f R `1,1e, f1 0 kπ k > C,

f1 a0, 12f

k>Ca2kπ, 1

6π 2kπf 8 a56π 2kπ,2 k 1πf, f1 R R.

1.36. a) g X f R R, g X f x 2x 12.

b) g X f R R, g X f x x.

1.37. g X f R 0 R 0, g X f x x2, f X g R R, f X g x 2x.

1.38. a) Jeśli f x1 fx2, to

x1

x1 1

x2

x2 1 x1x2 x1 x1x2 x2 x1 x2,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 263 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

czyli f jest różnowartościowa.

b) Funkcja f jest złożeniem dwóch iniekcji: g 0,ª R, gx x2 i h R R, hx lnx,

f h X g, czyli jest iniekcją.

c) Jest iniekcją jako złożenie dwóch iniekcji.

d) Nie jest iniekcją – jest to funkcja stała, fx π2 dla każdego x > `1,1e.

1.39. a) Funkcja f jest bijekcją, ponieważ jest złożeniem dwóch bijekcji, tzn. f h X g, gdzie

g R R, gx 3x 2 i h R a12π,

12πf , hx arc tgx.

b) y arc tg3x 2 tg y 3x 2 x tg y 2

3, czyli f1 a1

2π,12πf R,

f1x 13 tgx 2.

1.40. a) Wykażemy najpierw, że f jest iniekcją. Załóżmy, że f<@@@@>x1

x2

=AAAA? f

<@@@@>x

1

x2

=AAAA?, wówczas

mamy <@@@@>x1 x2

x1 x2

=AAAA? <@@@@>x

1 x

2

x1 x

2

=AAAA?¢¦¤x1 x2 x1 x

2,

x1 x2 x1 x

2.

Dodając stronami, dostajemy 2x1 2x1, czyli x1 x1, a odejmując stronami, dostajemy 2x2 2x2,

czyli x2 x2, stąd<@@@@>x1

x2

=AAAA? <@@@@>x

1

x2

=AAAA?. Wykażemy teraz, że f jest suriekcją. Z warunku

f<@@@@>x1

x2

=AAAA?

<@@@@> y1

y2

=AAAA?<@@@@>x1 x2

x1 x2

=AAAA? <@@@@> y1

y2

=AAAA?¢¦¤x1 x2 y1,

x1 x2 y2,

wynika, że x1 12y1

12y2, x2 1

2y1 12y2, tak więc dla każdego y > R2 istnieje taki x > R2, że

y f x.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 264 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Warto zwrócić uwagę, że z wyprowadzonych dla x1 i x2 wzorów wynika również, że f jest

iniekcją, gdyż te wzory jednoznacznie określają x1 i x2 w zależności od y1 i y2.

b) Z rozwiązania podpunktu a) wynika, że

f1 R2

R2, f1 <@@@@> y1

y2

=AAAA?

<@@@@>12y1

12y2

12y1

12y2

=AAAA? .Uwaga. Podpunkty a) i b) zadania można łatwo rozwiązać, jeśli zauważymy, że odwzorowanie

f jest przekształceniem liniowym o nieosobliwej macierzy<@@@@> 1 1

1 1

=AAAA?.

c) Ponieważ x1 C 0, oraz x2 C 0, więc wykorzystując przekształcenie odwrotne uzyskujemy12y1 y2 C 0 i 1

2y1 y2 C 0, czyli

f R2 ¢¦¤

<@@@@> y1

y2

=AAAA? > R2 y1 B y2 B y1

£§¥ .Jeśli y1y2 B 0, to wykorzystując wzór przekształcenia mamy x1 x2x1 x2 B 0, czyli x2

1 x22 B 0.

Stąd f1 y > R2 y1y2 B 0 ¢¦¤<@@@@>x1

x2

=AAAA? > R2 Sx1S B Sx2S£§¥ .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 265 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 11.1: Wykres funkcji z zadania 2.1


2.1 a) f1 »1 1 º2, f2 2 23 1 1, a zatem f1 A f2.b) Wykres funkcji przedstawiony jest na rysunku 11.1.

c) fX `0,ª.d)f X Y , gdzie X R i Y R. fX x Y . Funkcja f nie jest „na”.

e) Funkcja maleje w przedziale ª,1.f) Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie x 1.

2.2 a) Wykres funkcji przedstawiony jest na rysunku 11.2.

b) fX R.

c) fx A 0

¢¦¤x B 2

x2 2x 1 A 0lub

¢¦¤x A 2Slog2 x 2 S A 0


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 266 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 11.2: Wykres funkcji z zadania 2.2

x > º2 1,º

2 1 lub

¢¦¤x A 2

log2x 2 x 0 x > º2 1,

º2 1 8 2,3 8 3,ª.

d)fx A 0

¢¦¤x B 2

x2 2x 1 B 2lub

¢¦¤x A 2Slog2 x 2 S B 2

x B 2 lub

¢¦¤x A 2

2 Blog2 x 2 B 2 x > ª,2e 8 `9

4 ,6e.e) Funkcja f rośnie w przedziałach: ª,1, 2,ª.f) Funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie x 1, zaś minima lokalne w punktach x 2 i

x 3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 267 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

2.3 a)

¢¦¤x 1 C 0

x 2 C 0ºx 2 x 0

¢¦¤x C 1

x A 2 x C 1.

b)

¢¦¤x1x2 C 0

x 2 x 0

¢¦¤x 1x 2 C 0

x x 2 x > ª,2 8 `1,ª.

c) 2x1 1 A 0 x 1 A 0 x A 1.

d)

¢¦¤

4 x2 A 0

x A 0log2x3 log2x x 0

¢¦¤2 x2 x A 0

x A 0

log2x log2x2 1 x 0

¢¨¦¨¤

x > 2,2x A 0

log2x x 0

log2x x 1

log2x x 1

x > 0,2 12 ,1 .

2.4 Wnioskować możemy na podstawie wykresów funkcji

a) f jest różnowartościowa, „na”, a więc wzajemnie jednoznaczna.

b) f jest różnowartościowa, nie jest „na”, a więc nie jest wzajemnie jednoznaczna.

c) f jest „na”, nie jest różnowartościowa, a więc nie jest wzajemnie jednoznaczna.

2.5 a) Na przykład X `0, πe, Y `1,1e. b) Na przykład X `π2 , π2 e, Y `0,1e.c) Na przykład X `0, πe, Y R. d) Na przykład X R, Y R.2.6 a) f jest funkcją malejącą. Dla x1, x2 > R mamy bowiem x1 @ x2 2x1 A 2x2

2x1 5 A 2x2 5.

b) f jest funkcją malejącą. Dla x1, x2 > 13 ,ª takich, że x1 @ x2 mamy 3x11 @ 3x21. A stąd,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 268 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

zważywszy na to, że y log0,5x jest funkcją malejącą, otrzymujemy log0,53x1 1 A log0,53x2 1.c) f nie jest funkcją monotoniczną. Wystarczy na przykład zauważyć, że f2 º2, f1 0

oraz f1 º2.

Dodatkowo możemy pokazać, że f maleje w przedziale ª,1e i rośnie w przedziale `0,ª.Zauważmy, że y x2 x x 1

22 14 maleje w przedziale ª,1

2 i rośnie w przedziale 12 ,ª.

Tak więc dla x1, x2 >ª,1e takich, że x1 @ x2 mamy x21 x1 A x2

2 x2. Pamiętając o tym, że

y ºx jest funkcją rosnącą otrzymujemy

»x2

1 x1 A»x2

2 x2. Z kolei x1, x2 >`0,ª takich, że

x1 @ x2 mamy x21 x1 @ x2

2 x2. Stąd»x2

1 x1 @»x2

2 x2.

2.7 a) Nie. Funkcja fg nie musi być różnowartościowa. Na przykład funkcje f R R, fx xoraz g R R, gx x są funkcjami różnowartościowymi. Funkcja f gx x x 0 nie

jest różnowartościowa.

b) Nie. Przykład jak w podpunkcie a).

c) Tak. Weźmy pod uwagę x1 @ x2. Funkcje f i g są rosnące, a zatem fx1 @ fx2 oraz gx1 @gx2. Stąd mamy fx1 gx1 @ fx2 gx1 @ fx2 gx2.

2.8 a) fA 6,9,12, f1B 2,4,6,8,10.b) fA `5,1e, f1B ª,1e 8 `3,ª.c) fA 0,1e, f1B `1,0e 8 `2,3e.d) fA `0,9e, f1B `4,

º14 8 2,

º2e 8 `º2,2 8 º14,4e.

e) fA `5,7e, f1B `0,1e 8 12 ,

32 .

f) fA `º3,ª, f1B `π3 , π2 8 `π,ª.g) fA ª,6e, f1B 0, 1

3 8 3,4.h) Jeśli x > `1

4π,34πe, to sinx > `º2

2 ,1e i tym samym log2sinx > `12 ,0e. fA `1

2 ,0e.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 269 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

¢¦¤x > 0, πlog2sinx B 1

log2sinx C 1

¢¦¤x > 0, πsinx B 2

sinx C 12

¢¦¤x > 0, πsinx C 1

2

x > `16π,

56πe. f1B `1

6π,56πe.

2.9 a) g X f R R, g X fx gfx g2x 1 sin2x 1 cos2x 1.f X g R R, f X gx fgx fsinx cosx 2sinx cosx 1.

b) Sprawdzamy, czy spełniony jest warunek fR ` ª,0. Łatwo zauważyć, że fx 11x2 C 0

dla x > R. A zatem zbiór wartości funkcji f nie zawiera się w dziedzinie funkcji g i tym samym nie

możemy określić g X f ,

f X g ª,0 R,f X gx fgx flog3x 11log3x2 .

c) Zauważmy, że 21x2 @ 1 x2 A 1 x > ª,1 8 1,ª. Tak, więc g X f R R,

gfx ¢¦¤6

1x2 1 dla x > ª,1 8 1,ª41x22 dla x > `1,1e.

f X g R R, f X gx fgx ¢¦¤2

13x12 dla x @ 12

1x4 dlax C 1.2.10 a)Tak. Jeśli gfx1 gfx2, to, zważywszy na to, że g jest funkcją różnowartościową,

mamy fx1 fx2. A skoro f jest funkcją różnowartościową, to x1 x2.

b) Tak. Weźmy pod uwagę dowolne z > Z. Chcemy pokazać, że istnieje takie x >X, że gfx z. Funkcja g odwzorowuje zbiór Y na zbiór Z. A zatem istnieje y > Y takie, że gy z. Funkcja

f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Tak więc istnieje x > X takie, że fx y i jednocześnie

gfx gy z.c) Tak. Jeśli x1 @ x2, to fx1 @ fx2. A stąd wynika, że gfx1 @ gfx2.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 270 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

d) Nie. Jeśli x1 @ x2, to fx1 A fx2. A stąd wynika, że gfx1 @ gfx2.e) Tak. Jeśli x1 @ x2, to fx1 A fx2. A stąd wynika, że gfx1 A gfx2.2.11 a) Tak. Przypuśćmy, że f nie jest różnowartościowa. A zatem istnieją x1, x2 >X, takie, że

x1 x x2 i fx1 fx2. Wtedy mamy x1 x x2 i gfx1 gfx2. A stąd wynika, że g X f nie

jest różnowartościowa.

b) Nie. Na przykład f R R, fx 2x oraz g R R, gx x2. Wtedy gfx 22x.

2.12 a) Nie. f R R, fx 2x 1 oraz g R `0,ª, gx x2. Wtedy gfx 2x 12.

b)Tak. Jeśli g nie jest „na” , to istnieje z > Z dla którego nie istnieje y > Y , że gy z. Tym

samym nie istnieje takie x >X, że gfx z, a więc g X f nie jest funkcją „na”.

2.13 a)Y R, f1y 13y

13 .

b) Y `0,ª,f1y y2 1.

c) Y `0,ª,f1y log5x 2.

d) Y R, f1y 3y32 .

e)Y `2,ª, f1y ºy 2 1.

f) Y `2,ª, f1y ºy 2 1.

g) Y R 1, f1y 2y4y1 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 271 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


3.1. W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi dwoma wyrazami jest stała, czyli an1

an r dla n > N. Wynika stąd, że różnica a6 a3 3r, zatem r 2. Ponieważ a1 2, wzór ogólny

ciągu an jest następujący:

an a1 n 1r 2 2n 1 4 2n.

Suma jego pierwszych dziesięciu wyrazów będzie równa S10 10a1a10

2 70.

3.2. W ciągu geometrycznym iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały, czyli an1an q dla n > N.

Wynika stąd, że a4a2

q2, czyli q 3 lub q 3. Mamy zatem dwa rozwiązania an 2 3n1 lub

an 2 1n13n1. Pierwszy ciąg jest ciągiem rosnącym, a drugi nie jest monotoniczny, ponieważ

jego wyrazy są na przemian ujemne i dodatnie.

3.3. Z warunków zadania wynika, że 3xn13xn 3xn1xn const dla n > N. Oznacza to, że ciąg xn

jest ciągiem arytmetycznym, który spełnia warunki 9 2x1 8r 18 , 2x1 7r 0. Rozwiązanie

układu równań wynosi x1 7 , r 2, czyli xn 9 2n. Piąty wyraz ciągu 3x1 ,3x2 ,3x3 , . . . jest

zatem równy 31 13 , ciąg ten jest ograniczony z dołu przez 0, a z góry przez pierwszy wyraz równy

37 2187.

3.4. a) Ciąg an jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 3, ponieważ an1 an 3n 3 4 3n 4 3, a zatem jest ciągiem malejącym, rozbieżnym do ª (a więc nieograniczonym z

dołu), ograniczonym z góry przez swój pierwszy wyraz a1 7.

b) Ciąg bn nie jest monotoniczny, jako ciąg naprzemienny (wyraz na przemian dodatnie i

ujemne), jest ograniczony z góry przez pierwszy wyraz b1 15 i z dołu przez swój drugi wyraz


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 272 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a2 113 .

c) cn 5 11n2 , więc cn jest rosnący i ograniczony z góry przez 5 a z dołu przez c1

43 .

d) Ciąg dn jest malejący, ograniczony z góry przez d1 0, nieograniczony z dołu.

e) Ciąg en jest rosnący, ograniczony z dołu przez e1 5, nieograniczony z góry.

3.5. a) an1an

4

5n1

45

n 45 , zatem an jest ciągiem geometrycznym o ilorazie równym q 4

5 i

pierwszym wyrazie równym 45 .

b) bn1bn

n1!3n3n

3nn!

n1n!3n3n

3nn!

n1nn1 n, czyli iloraz kolejnych wyrazów ciągu bn nie jest

stały, zatem nie jest to ciąg geometryczny.

c) Ciąg cn nie jest geometryczny.

3.6. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia mamy an 5n3n5n3n

5n3n 5n 3n. Sprawdzi-

my, czy an jest ciągiem arytmetycznym, obliczając różnicę kolejnych wyrazów

an1 an 5n1 3n1

5n 3n 5 5n 5n 3 3n 3n 4 5n 2 3n.

Różnica nie jest stała (zależy od n), zatem nie jest to ciąg arytmetyczny. Różnica an1 an jest

zawsze dodatnia, zatem jest to ciąg rosnący.

3.7.

a) limnª

3n n2 limnª

n3 n ª ª ª.

b) limnª

n312n31 lim

nª

1 1n3

2 1n3

12 , ponieważ 1

n3 0.

c) limnª

2n33n22n23n2 lim

nª

2n3 2n2

1 3n2n2

ª

1 ª.

d) limnª

n22n41 lim

nª

1n2

2n4

1 1n4

01 0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 273 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Uwaga : Ciągi z punktów a) - c) są wyrażeniami wymiernymi ze względu na n, czyli ułamkami,

których licznik i mianownik są wielomianami ze względu na n. Granice tych wyrażeń są typu ª

ª, a

obliczamy je dzieląc licznik i mianownik przez n w najwyższej potędze z mianownika (w podpunkcie

a) dzieliliśmy przez n3, w b) przez n2a w c) przez n4). Łatwo zauważyć, że jeśli stopień licznika

i mianownika jest taki sam, to granicą jest iloraz współczynnika przy n w najwyższej potędze z

licznika i współczynnika przy n w najwyższej potędze z mianownika. Jeśli stopień licznika jest niższy

od stopnia mianownika, to granicą ciągu jest 0, a jeśli stopień licznika jest wyższy niż mianownika,

to granica jest niewłaściwa, a jej znak zależy od znaków współczynników przy n w najwyższej

potędze z licznika i z mianownika.

e) limnª

n14n24n14n24 0, ponieważ stopień licznika jest równy 3 (n4 się redukuje), a stopień

mianownika wynosi 4.

f) limnª

ºnn1n23n2

ºn32 lim

nª

ºnn3n23n3º

n72n4 limnª

ºn7n59n39nº

n72n4 limnª

¼n7n59n39n

n72n4 º

1 1.

g) limnª

ºn2 1

ºn2 3 lim

nª

n21n23ºn21

ºn23

limnª

2ºn21

ºn23

2ª

0. W pierwszym przekształ-

ceniu pomnożyliśmy nasz ciąg przez 1 zapisane w postaciºn21

ºn23º

n21ºn23

i skorzystaliśmy ze wzoru

skróconego mnożenia.

h) limnª

»n

ºn

»n

ºn lim

nª

2ºn»

nºn

»n

ºn limnª

2¼1 1º

n

¼11 1º

n

211 1.

i) limnª

n22n52nn23 lim

nª

n22n5n23

12n 1 0 0.

j) limnª

3n5n15n1 lim

nª

3n

5n 115n 5

limnª

35 n115n 5

15 .

k) limnª

1n2 Pn

k1 k limnª

12nn1n2 1

2 . W pierwszym przekształceniu korzystamy ze wzoru na sumę

n wyrazów ciągu arytmetycznego.

l) limnª

n3nn lim

nª1 3

n n lim

nª1 3

n n3 3

e3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 274 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

m) limnª

1 1n2n3

limnª

1 1n2n2

1 1n2

limnª

1 1n2n21

1 1n2 e1 1 e1

n) limnª

n6n42n1

limnª

1 6n

1 4n

2n

1 6n

1 4n

1

limnª

1 6nn6

1 4nn4 8

12

1 6n

1 4n

1

e12

e8 1 e4.

o*) limnª

1 1n12n1 limnª

1 1n1 1 1n1n1

limnª

1 1n1n1 1 1n1n1 lim

nª1 1n1n11

1 1n1n1 e1 e 1.

p*) Granicę tego ciągu obliczymy, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach. Zauważmy, że dla

wszystkich n spełnione są nierówności:

nº

7n B nº

2n 3 4n 7n B nº

5 7n.

Lewa strona ograniczenia jest ciągiem stałym, równym 7, natomiast

limnª

nº

5 7n limnª

7 nº

5 limnª

7 51n 7 1 7.

Stąd limnª

nº

2n 3 4n 7n 7.

q) Korzystamy z twierdzenia o trzech ciągach. Zauważmy, że ciąg sinnn1 spełnia następujące

nierówności dla każdego n > N:1n 1

Bsinnn 1

B1

n 1,

i oba ciągi ograniczające są zbieżne do 0. Wynika stąd, że limnª

sinnn1 0.

r*) Najpierw wykażemy, za pomocą indukcji matematycznej, że ciąg an jest monotoniczny i


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 275 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

ograniczony, a zatem jest zbieżny, co wynika z twierdzenia 3.20. Zauważmy, że zachodzi nierówność

a2 B a1 ponieważ a1 1, a2 º

3. Wykażemy zatem, że ciąg an jest rosnący, pokazując, że jeśli

an1 C an, to an2 C an1 dla n C 2. Mamy:

an2 º

2 an1 Cº

2 an an1,

(nierówność wynika z założenia indukcyjnego), czyli rozważany ciąg jest rosnący, a więc ograniczony

z dołu przez a1 1. Wykażemy teraz, że ciąg an jest ograniczony z góry przez 2. Pierwszy wyraz

spełnia ograniczenie, więc pokażemy, że jeśli an B 2, to an1 B 2. Zatem:

an1 º

2 an Bº

2 2 2.

Ciąg an jest więc ciągiem zbieżnym. Jego granicę obliczymy, korzystając z rekurencyjnego wzoru

na n-ty wyraz ciągu. Zauważmy, że:

limnª

an limnª

º2 an,

stąd wynika, że granica g ciągu an spełnia równanie:

g »

2 g.

Rozwiązując równanie dostajemy g2 2 g g2 g 2 0. Pierwiastki tego równania, to g1 1

oraz g2 2. Ponieważ wyrazy ciągu są dodatnie, jego granicą jest g2 2.

3.8. Lewa strona równania jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. Aby była ona


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 276 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

zbieżna, iloraz tego ciągu q 11x musi spełniać warunek T 1

1x T @ 1, stąd wynika, że x @ 0 - x A 2.

Dla takich x lewa strona równania może być zapisana jako11x

1 11x

1x . Musimy zatem rozwiązać

równanie 1x 1 2x. To równanie ma dwa rozwiązania x1

12 , x2 1, z których tylko x1 1

spełnia warunki x @ 0 - x A 2. Rozwiązaniem równania jest zatem x 1.

3.9. Ciąg an jest ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego o ilorazie 2 i pierwszym wyrazie

równym 2. Zatem

an 212n12 2 2n 1 .

Stąd limnª

anan1

limnª

22n122n11 lim

nª

2n12n11 lim

nª

12

12n1

1 12n1

12 .

3.10. Po przekształceniu licznika w pierwszym składniku sumy (używamy wzoru na sumę ciągu

arytmetycznego) dostajemy

an 5 1 nn

2n 10n

5

25 25n2 10n 2n2

10n 50

23n2 10n 2510n 50

.

Stąd otrzymujemy limnª

23n210n2510n50 ª.

3.11. Obliczamy granicę ciągu an:

limnª

log2p21n2n1 lim

nª

n log2p212n1 lim

nª

log2p21 2n

1 1n

log2p2 1.

Mamy zatem rozwiązać nierówność log2p21 A 1. Rozwiązując tę nierówność dostajemy warunek

p2 1 A 21, czyli p2 1 A 2. Zatem otrzymujemy p2 A 1, czyli p A 1 lub p @ 1. Wynika stąd, że

granica ciągu an log2p21n2

n1 jest większa od 1 dla p > ª,1 8 1,ª.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 277 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


4.1. a) Funkcja fx x3x2 jest ciągła w punkcie x 1, zatem lim

x1x3x2 f1 4.

b) Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy: limx3

x29x3 lim

x3

x3x3x3

limx3

x 3 6.

c) limx1

x22x1x3x2 lim

x1

x12x2x1 lim

x1x1x2 0.

d) limx0

x22x32

3x32 5x3

ºx limx0

x32

ºx2

35x2 0 23 0.

e) limx2

x22x2x2 6

0 ª.

f) Mianownik ma dwa miejsca zerowe x0 2 i x1 3 oraz dodatni współczynnik przy x2, a

zatem jeśli x dąży do 3 z lewej strony, to mianownik przyjmuje wartości ujemne, a licznik jest

równy 30. Stąd limx3

x33x2x6 ª.

g) Aby obliczyć granicę limxª

x32x24x2x24x3 podzielimy licznik i mianownik ułamka przez x w

najwyższej potędze z mianownika, czyli w tym przypadku przez x2. Mamy więc

limxª

x32x24x2x24x3 lim

xª

x2 4x2

1 4x3x2

ª,

ponieważ licznik przekształconego wyrażenia jest rozbieżny do ª, a mianownik jest zbieżny do 1.

h) limxª

2x253x36x8 lim

xª

2x5x3

3 6x28x3

03 0

i) limxª

4x43x22x32x46x11 lim

xª

4 3x22x33x4

2 6x311x4

42 2

Uwaga: W przykładach g), h) oraz i) mieliśmy funkcje wymierne, czyli ułamki, w których

liczniku i mianowniku występowały wielomiany. Granicę w nieskończoności wyrażenia tego typu

oblicza się analogicznie jak w przypadku ciągów i wnioski są takie same jak w uwadze 11.3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 278 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

j) Analogicznie do rozwiązania podpunktu g) zadania 3.1 mamy

limxª

ºx2 5x ºx2 8x 14 lim

xª

x25xx28x14ºx25x

ºx28x14

limxª

3x14ºx25x

ºx28x14

limxª

3 14x¼

1 5x

¼1 8

x14x2

311

32 .

k) limxª

ºx3 4x2 8 ºx3 x 2 lim

xª

x34x28x3x2ºx34x28

ºx3x2

limxª

4x2x6ºx34x28

ºx3x2

limxª

4ºx 1º

x6»x3¼

1 4x8x3

¼1 1

x22x3

ª

2 ª.

l) Korzystamy tu z faktu, że limx0

sinxx 1. Zauważmy, że: lim

x0sin 3xx lim

x03 sin 3x

3x limy0

3 sinyy 3, gdzie

y 3x.

m) limx0

sin 2x8x lim

x02 sin 2x

2x 18 1

4

n) limx0

sin 5xsin 9x lim

x0sin 5x

5x9x

sin 9x59 5

9

o) Zauważmy, że wykładnik rozważanego wyrażenia jest rozbieżny do ª, a więc mamy

limx0

e1x 0.

p) limx0

e1x ª.

q) limxª

ex21 0

r) limxª

lnx2 2 ªs) lim

xª

1lnx13

1ª 0

t*) Zauważmy, że wartość bezwzględną rozważanej funkcji można ograniczyć w następujący

sposób:

0 B Vx sin1xV B SxS ,

ponieważ Tsin 1xT B 1. Oba ograniczenia (górne i dolne) są zbieżne do 0 przy x 0, a więc z

twierdzenia o trzech ciągach mamylimx0

Tx sin 1xT 0, czyli lim

x0x sin 1

x 0. Możemy także obliczyć


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 279 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

granicę tej funkcji korzystając z faktu, że jeśli mamy iloczyn funkcji f g, z których jedna jest

ograniczona, a druga zbieżna do 0 w pewnym punkcie, to iloczyn f g też jest zbieżny do 0 w tym

punkcie. W naszym przypadku funkcja fx x jest zbieżna do 0 przy x 0, a funkcja gx sin 1x

jest ograniczona, ponieważ 1 B sin 1x B 1.

4.2. a) Wskażemy dwa ciągi xn i yn rozbieżne do ª takie, że limnª

sin xn x limnª

sin yn.Niech xn 2nπ oraz yn π

2 2nπ. Wówczas

limnª

sin xn limnª

sin 2nπ 0,

natomiast

limnª

sin yn limnª

sin π2 2nπ 1.

Wynika stąd, że granica limxª

sinx nie istnieje.

b) Analogicznie jak w podpunkcie a) weźmy xn 2nπ oraz yn π2 2nπ. Otrzymujemy

wtedy:

limnª

cos xn limnª

cos2nπ 1,

natomiast

limnª

cos xn limnª

cosπ2 2nπ 0,

czyli limxª

cosx nie istnieje.

c) Weźmy xn π4 1

2nπ oraz yn π4 1

π4 2nπ . Wówczas lim

nªxn lim

nªyn 0 oraz lim

nªsin 1

xnπ4

limnª

sin 1π4

12nπ

π4 limnª

sin 2nπ 0, natomiast limnª

sin 1yn

π4 limnª

sin 1π4

1π4 2nπ

π4

limnª

sinπ4 2nπ º2

2 , czyli limxπ4

sin 1xπ4

nie istnieje.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 280 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

d) Obliczymy granice jednostronne wyrażenia Sx1Sx1 w punkcie x0 1. Mamy: lim

x1Sx1Sx1 lim

x1x1x1

1, natomiast limx1

Sx1Sx1 lim

x1x1x1 1. Wynika stąd, że granica lim

x1

Sx1Sx1 nie istnieje.

4.3. a) Należy zbadać ciągłość funkcji f w punkcie x 0 (wszędzie poza tym punktem jest ona

ciągła; dla x @ 0 jest to funkcja kwadratowa, a dla x A 0 - liniowa). Wartość funkcji f w punkcie

x 0 wynosi f0 02 2 2 i jest ona równa granicy prawostronnej funkcji f w tym punkcie.

Natomiast granica lewostronna funkcji f w punkcie x 0 jest równa limx0

2x 1 1. Zatem granica

funkcji f w punkcie x 0 nie istnieje, czyli funkcja ta nie jest ciągła w x 0.

b) Ciągła w R 0, nieciągła w x 0.

c) Ciągła w R 5, nieciągła w x 5.

4.4 a) Należy tak dobrać wartości parametrów a i b, aby funkcja f była ciągła w punktach

x 2 oraz x 3 (poza tymi punktami jest ciągła, gdyż jest to na odpowiednich przedziałach

funkcja wykładnicza, liniowa oraz wymierna). Wartość funkcji f w punkcie x 2 wynosi 3, a

jej granica prawostronna w tym punkcie jest równa limx2

ax b 2a b, czyli musi być spełnione

równanie 2a b 3. W punkcie 3 wartość funkcji f jest równa f3 1, czyli drugi warunek

na parametry dostajemy z równości limx3

ax b f3 1, czyli 3a b 1. Rozwiązujemy układ

równań ¢¦¤2a b 3

3a b 1

i dostajemy a 25 , b 11

5 .

b) Funkcja f będzie ciągła, jeśli spełniony będzie warunekº

3a 3 1. Stąd otrzymujemy

równość 3a 2, czyli a 23 . Należy jeszcze zauważyć, że dziedzina funkcji gx ¼

23x 3, która

jest równa aª, 92f zawiera przedział `ª,3e na którym funkcja f jest zadana wzorem

¼

23x 3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 281 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

4.5. a) Dziedziną funkcji logarytmicznej są liczby dodatnie, więc rozwiązujemy nierówność

x2 4 A 0 i otrzymujemy Df ª,2 8 2,ª. Obliczamy zatem następujące granice:

limxª

lnx2 4 ª, limx2

lnx2 4 ª, limx2

lnx2 4 ª, limxª

lnx2 4 ª.

b) Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być dodatnie oraz mianownik ułamka musi być różny od

0. Musimy zatem rozwiązać nierówność x21x3 C 0 oraz x x 3. Otrzymujemy stąd Dg 3,1e 8`1,ª. Obliczamy granice:

limx3

¼x21x3

¼90 ª, lim

x1

¼x21x3 f1 0, lim

x1

¼x21x3 f1 0,

limxª

¼x21x3 ª.

c) Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych, więc jedynym ograniczeniem

na dziedzinę funkcji h jest warunek x4 32 x 0, czyli x x 2 4º

2 oraz x x 2 4º

2. Dziedzina funkcji h

jest więc następująca: Dh ª,2 4º

2 8 2 4º

2,2 4º

2 8 2 4º2,ª. Obliczamy granice:

limxª

e1

x432 e0 1,

limx2 4

º2

e1

x432 ª (wykładnik dąży do ª czyli wartość funkcji dąży do ª),

limx2 4

º2

e1

x432 0, (wykładnik dąży do ª czyli wartość funkcji dąży do 0),

limx2 4

º2

e1

x432 0, limx2 4

º2

e1

x432 ª, limxª

e1

x432 e0 1.

d) Wartość bezwzględna dowolnego wyrażenia jest nieujemna, więc musimy jedynie zapewnić, żeS2x 4S x 0, czyli x x 2. Wynika stąd, żeDk ª,282,ª. Obliczając poszczególne granice,

korzystając z własności funkcji logarytmicznej otrzymujemy: limxª

ln S2x 4S ª, limx2

ln S2x 4S ª lim

x2ln S2x 4S, lim

xªln S2x 4S ª.

4.6. a) Ponieważ z dziedziny funkcji f wyłączamy x 3, sprawdzamy, czy prosta o równaniu

x 3 jest asymptotą pionową wykresu funkcji f . Mamy: limx3

3x52x6 ª oraz lim

x33x52x6 ª.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 282 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zatem prosta x 3 jest asymptotą pionową wykresu funkcji f . Obliczamy teraz granice funkcji

f w nieskończoności: limxª

3x52x6 3

2 limxª

3x52x6 , ponieważ w liczniku i mianowniku mamy funkcję

liniową. Stąd prosta y 32 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f w ª i w ª.

b) Dziedziną funkcji g jest zbiór liczb rzeczywistych, więc wykres g nie ma asymptot pionowych.

Sprawdzamy, czy ma on asymptoty poziome: limxª

ex41 1 1 limxª

ex41 1, ponieważ

wykładnik funkcji g w obu przypadkach dąży do ª.

c) Dziedziną funkcji h jest zbiór Dh ª,1 8 1,ª, więc obliczamy:

limx1

¼3Sx31S ª lim

x1

¼3Sx31S . Stąd prosta x 1 jest asymptotą pionową wykresu funkcji h.

Obliczamy teraz granice: limxª

¼3Sx31S 0 lim

xª

¼3Sx31S , czyli prosta y 0 jest asymptotą poziomą

wykresu funkcji h w ª i w ª.

d) Dk ª,2 8 2,2 8 2,ª, limx2

3x 4x24 lim

x23x 4

x24 ª,

limx2

3x 4x24 lim

x23x 4

x24 ª, czyli proste x 2 oraz x 2 są asymptotami pio-

nowymi wykresu funkcji k. Obliczamy teraz: limxª

3x 4x24 ª, ponieważ lim

xª3x ª oraz

limxª

4x24 0. Analogicznie lim

xª3x 4

x24 ª. Zatem wykres funkcji k nie ma asymptot pozio-

mych. Sprawdzamy więc, czy istnieje asymptota ukośna wykresu k. Obliczamy

limxª

kxx lim

xª3 4

x34x 3 limxª

3 4x34x.

Stąd mamy a 3 i obliczamy

limxª

kx 3x limxª

3x 4x24 3x lim

xª

4x24 0 lim

xªkx 3x ,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 283 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

czyli b 0 i prosta y 3x jest asymptotą ukośną wykresu funkcji k w ª i w ª.

e*) Dp R 0, ale ponieważ limx0

sinxx 1, funkcja p nie ma asymptoty pionowej. Obliczamy

teraz granice p w nieskończoności. Zauważmy, że podobnie jak w zadaniu 3.7 w podpunkcie t*)

możemy skorzystać z ograniczenia 0 B T sinxx T B T 1x T. Obie funkcje ograniczające są zbieżne do 0 przy

x ª oraz przy x ª, zatem prosta y 0 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji p w ª

oraz w ª.

4.7. a) limxx0

fxfxgx 3

30 1,

b) limxx0

fxhxgxpx ª

ª, wyrażenie nieoznaczone,

c) limxx0

gxfxpx 0

ª 0,

d) limxx0

efxgx e0 1,

e) limxx0

ehxpx eª 0,

f) limxx0

½Uhxpx U »ª

ª, wyrażenie nieoznaczone,

g) limxx0

ln 2f2xp2x ln 2

ª ª.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 284 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


5.1. a) f x 2x3, b) f x 23 3ºx, c) gx 6x sinx3x2 cosx, d) f x 8x3cosxx sinx,

e) f x x2 6xx 32 , f) hx 12

2x 5ºx 2x 52 , g) f t 2t1 t22 , h) f x 3x3,

i) hx 1sin2 x

, j) f t 3t2 sin t t3 cos t, k) gz 2z3 9z2 12

z2 z2 42 ,

l) ht 2 cos t sin t 14 4 cos t cos2 t

, ł) f y 21 cos y

, m) f x sinx cosx x2 cosx xx2 2x cosx cos2 x

.

5.2. a) f x xºx2 1

; b) f x 2 sinx cosx sin 2x; c) f x 2x cosx2;d) gx xºx2 43 ; e) ht t 34 t 12

t5; f) hv 2v sin 1 v2;

g) f x 12

3x 4

x3ºx 1

.

5.3. Df ª,0 8 0,ª; tak x1 º

2 1, x2 1 º

2.

5.4. f x sinx x cosx, x > R. Ponieważ

f x sinx x cosx f x,więc funkcja f jest nieparzysta.

5.5. y x 4.

5.6. y 59x

19 .

5.7. x 2.

5.8. y x.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 285 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

5.9. (?)a) 3, b) 1, c) ln 2, d) 2, e) 0, f) 1, g) 1, h) 1, i) 0, j) ea.

5.10. a) Df R, funkcja f maleje w przedziale ª,1, rośnie w przedziale 1,ª;b) Df R, funkcja f maleje w przedziale ª,1

2 i w przedziale 0, 12, rośnie w przedziale1

2 ,0 i w przedziale 12 ,ª;

c) Df R0, funkcja f rośnie w przedziale ª,1 i w przedziale 1,ª, maleje w przedziale1,0 i w przedziale 0,1;d) funkcja f jest malejąca w przedziale ª,0, rosnąca w przedziale 0,ª;e) funkcja f jest rosnąca w przedziale ª,0, malejąca w przedziale 0,ª;f) Df ª,º58º5,

º58º5,ª. Funkcja f maleje w przedziałach ª,5, 1,

º5,º5,ª, rośnie w przedziałach 5,

º5, º5,1.

5.11. b > `1,ª.5.12. a) dla a C 1, b) a 0.

5.13. a) maksimum lokalne w punkcie x 2; b) minimum lokalne w punkcie x 3; c) maksimum

lokalne w punkcie x 23 , minimum lokalne w punkcie x 2; d) maksimum lokalne w punkcie x 1,

minimum lokalne w punkcie x 1; e) maksimum lokalne w punkcie x 0; f) minimum lokalne w

punkcie x 1, maksimum lokalne w punkcie x 1.

5.14. Wyznaczamy maksimum funkcji ux xp 100xx2 100

, x > 0,ª; xmax 10.

5.15. Wyznaczamy minimum funkcji kx 2x2 50 32x2

, x > 0,ª; xmin 2.

5.16. a 2, maksimum.

5.17.

a) a 25 , b) a 0.

5.18. fmin f1 9, fmax f23 32

27 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 286 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

5.19. fmin fº2 4º

2 2, fmax f3 7.

5.20. fmin fº2 2º

2 2, fmax f4 212 .

5.21. O godzinie dziewiątej.

5.22. a) f x 3x2 4x 6ºx 4

x5 , f”x 6x 4 3ºx

20x6 , f”1 15.

b) f x 1lnxx2 , f”x 2 lnx3

x3 , f”1e 5e3.

c) f x 2x 1ex22x, f”x 2ex22x 2x 12ex22x 2ex22x2x2 4x 3, f”0 6.

d) f x x12ex , f”x ex2x1x12

e2x x24x3ex , f”0 3.

5.23. a) Po pierwsze należy zauważyć, że dziedzina funkcji f ma postać Df ª,080,ª.Następnie obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji f i badamy znaki tych pochodnych. Mamy

więc f x 3x2

13 oraz f”x 6

x3 . Zauważmy, że pierwsza pochodna funkcji f jest ujemna

w dziedzinie, czyli funkcja f jest malejąca w przedziale ª,0 oraz jest malejąca w przedziale0,ª. Druga pochodna jest ujemna w przedziale ª,0, czyli funkcja f w tym przedziale maleje

coraz szybciej.

b) Nie istnieje przedział, w którym funkcja f rośnie coraz wolniej.

5.24. Df `2,2e, f x xº4x2

, f”x º4x2 x2»

4x2

4x2 44x2º4x2.

a) nie istnieje b) 2,0 c) 0,2 d) nie istnieje

5.25. a) f x e2xx2x,f”x e2xx24x2, zatem funkcja jest wypukła w przedziałachª,2 º2, 2 º2,ª, ponieważ w tych przedziałach zachodzi f”x A 0. Funkcja jest wklęsła

w przedziale 2 º2,2 º

2, gdyż w tym przedziale zachodzi f”x @ 0.Punktami przegięcia

wykresu funkcji są x1 2 º

2oraz x2 2 º

2.

b) Df R 0. Zauważmy, że funkcję f można zapisać w następujący sposób: fx x 1x .

Mamy zatem f x 1 1x2 , f”x 2

x3 . Wynika stąd, że funkcja f jest wypukła w przedziale


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 287 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

0,ª oraz wklęsła w przedziale ª,0. Funkcja f nie ma punktów przegięcia.

c) Df R 0, f x lnx2 2, f x 2x . Funkcja jest zatem wypukła w przedziale 0,ª i

wklęsła w przedziale ª,0. Funkcja nie ma punktów przegięcia.

d)Df 0,181,ª, f x 12

lnx2ºx ln2 x

, f x 14

8ln2 xºx3 ln3 x. Rozwiązaniami równania 1

48ln2 xºx3 ln3 x

0 są punkty x1 e2º

2, x2 e2º

2. Nierówność 14

8ln2 xºx3 ln3 xA 0 jest spełniona dla 0 @ x @ e2

º2 oraz

dla 1 @ x @ e2º

2, natomiast nierówność 14

8ln2 xºx3 ln3 x@ 0 jest spełniona dla e2

º2 @ x @ 1 oraz dla

x A e2º

2. Stąd f jest wypukła w przedziałach 0, e2º

2 oraz 1, e2º

2, a wklęsła w przedziałache2º

2,1 oraz e2º

2,ª. Punkty przegięcia wykresu funkcji f to x1 e2º

2, x2 e2º

2.

5.26. a) Df R 0, f x e1xx1x3 , f x e 1x 4x12x2

x5 . Zbadamy znaki obu pochodnych.

Po pierwsze mamy:

e1xx 1x3

0 x 1.

Nierówność f x A 0 jest zatem spełniona dla x > 1,0, natomiast nierówność f x @ 0 zachodzi

dla x > ª,1 8 0,ª. Podobnie dla f” mamy:

f”x 0 e1x

4x 1 2x2

x5 0 x 1

12

º2 - x 1

12

º2.

Nierówność e1x

4x12x2x5 A 0 jest spełniona dla 1 1

2

º2 @ x @ 1 1

2

º2 oraz dla x A 0, natomiast

nierówność e1x

4x12x2x5 @ 0 zachodzi dla x @ 1 1

2

º2 oraz dla 1 1

2

º2 @ x @ 0. Wyniki dotyczące

znaków pochodnych są przedstawione w tabeli 11.1.

Funkcja f rośnie coraz szybciej w przedziale 1,1 12

º2, rośnie coraz wolniej w przedziale1 1

2

º2,0 , maleje coraz wolniej w przedziałach 1 1

2

º2,1 oraz 0,ª i maleje coraz


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 288 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Tabela 11.1: Znaki pochodnych funkcji fx e1x

x

x ª . . . 1 12

º2 . . . 1 . . . 1 1

2

º2 . . . 0 . . . ª

f x 0

f x 0 0

fx ¿ 0.11234pp

Ç e1min

Ä 0.32609pp

¼ Ç

Tabela 11.2: Znaki pochodnych funkcji gx º2x2 3

x ª . . . 0 . . . ª

f x

f x

f x Çº

3min

Ä

szybciej w przedziale ª,1 12

º2.

b) Dg R, g x 2x»2x23 , g x 6

»2x233 . Widać zatem, że f x A 0 x A 0 oraz

f x @ 0 x @ 0, natomiast druga pochodna funkcji f jest zawsze dodatnia. Stąd f maleje coraz

wolniej w przedziale ª,0 i rośnie coraz szybciej w przedziale 0,ª.c) Dh R 2, h x x24x1x22 , h x 62x3 . Miejsca zerowe pierwszej pochodnej to

x1 2 º

3, x2 2 º

3. Funkcja h jest rosnąca w przedziałach ª,2 º3, 2 º3,ª,a malejąca w przedziałach 2 º3,2, 2,2 º3. Druga pochodna jest dodatnia w przedziale2,ª i ujemna w przedziale ª,2. Wyniki są zestawione w tabeli 11.3.

Funkcja h rośnie coraz wolniej w przedziale ª,2 º3, maleje coraz szybciej w przedzia-

le 2 º3,2, maleje coraz wolniej w przedziale 2,2 º3 i rośnie coraz szybciej w przedziale


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 289 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Tabela 11.3: Znaki pochodnych funkcji hx x 3x2

x ª . . . 2 º

3 . . . 2 . . . 2 º

3 . . . ª

f x 0 X 0

f x X

f x ¼ 2 2º

3max

¿ X Ç 2 2º

3min

Ä

2 º3,ª.d)Dp R, px sinx, p”x cosx.Mamy więc px A 0 dla x > 2k 1π,2kπ , k > C,

px @ 0 dla x > 2kπ, 2k 1π , k > C, p”x A 0 dla x > π2 2kπ, 32π 2kπ , k > C oraz

p”x @ 0 dla x > π2 2kπ, π2 2kπ , k > C . Funkcja p rośnie coraz wolniej w przedziałach

postaci π2 2kπ,2kπ, maleje coraz szybciej w przedziałach postaci 2kπ, π2 2kπ, maleje coraz

wolniej w przedziałach postaci π2 2kπ, 2k 1πi rośnie coraz szybciej w przedziałach postaci2k 1π, 32π 2kπ, gdzie k > C.

5.27. Obliczając pochodne, otrzymujemy f x αxα1β, f x α2xα2αxα2 α2 αxα2.

Zajmujemy się przedziałem 0,ª, a więc aby druga pochodna była dodatnia w tym przedziale

(funkcja f była wypukła), musi być spełniony warunek α2 α A 0, natomiast aby funkcja była

wklęsła w tym przedziale, musi zachodzić α2 α @ 0. Wynika stąd, że funkcja f jest wypukła w

przedziale 0,ª dla α > ª,0 8 1,ª i dowolnych wartości parametrów β, γ, natomiast f

jest wklęsła w przedziale 0,ª dla α > 0,1 i dowolnych wartości parametrów β, γ. Jeśli α 0

lub α 1, to funkcja f jest liniowa i jest jednocześnie wklęsła i wypukła. Aby funkcja rosła coraz

wolniej w przedziale 0,ª, musi zachodzić αxα1 β A 0 oraz α2 αxα2 @ 0 dla x A 0. Z

poprzedniej części zadania wiemy, że druga pochodna funkcji f jest ujemna na przedziale 0,ª


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 290 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

dla α > 0,1. Widać zatem, że wyrażenie αxα1 jest w tym przypadku dodatnie, wystarczy zatem

wziąć β A 0, aby nasze warunki były spełnione, czyli aby funkcji f rosła coraz wolniej na przedziale0,ª. Stąd przy α > 0,1, β > 0,ª oraz γ > R funkcja f rośnie coraz wolniej na przedziale0,ª.5.28. f x aeax 1 e2ax, f x a2eax 1 e2ax. Niezależnie od wartości parametru a

rozwiązaniem równania aeax 1 e2ax 0 jest x 0. Także niezależnie od wartości parametru a

mamy f x A 0 dla x A 0 oraz f x @ 0 dla x @ 0. Druga pochodna funkcji f jest zawsze dodatnia,

niezależnie od wartości parametru a. Stąd mamy wniosek, że funkcja f maleje coraz wolniej na

przedziale ª,0 oraz rośnie coraz szybciej na przedziale 0,ª.5.29.

a) Df ª,0 8 0,ª. Rozpoczynamy od obliczenia granic funkcji na krańcach dziedziny:

limxª

f x ª, limx0

f x ª, limx0

f x ª, limxª

f x ª. Wynika stąd, że funkcja f ma

asymptotę pionową obustronną x 0 oraz nie ma asymptot poziomych. Sprawdzamy, czy istnieje

asymptota ukośna wykresu funkcji f.

a limxª

fxx 1

2 limxª

fxx , b lim

xªf x 1

2x 1 limxª

f x 12x.

Zatem prosta o równaniu y 12x1 jest asymptotą ukośną wykresu f w ª i w ª. Obliczając

pierwszą pochodną otrzymujemy: f x 12 x 1 x1

x2 12

12x2 . Jej miejsca zerowe, to x1 1, x2

1. Pierwsza pochodna jest dodatnia dla x > ª,18 1,ª, jest ujemna dla x > 1,08 0,1.Ekstrema lokalne funkcji f to x1 1 i jest to maksimum lokalne oraz x2 1 i jest to minimum

lokalne. Druga pochodna f jest równa f x 1x3 i jest ujemna dla x @ 0 i dodatnia dla x A 0 (nie

ma punktów przegięcia). Funkcja f jest wklęsła na przedziale ª,0, i wypukła na przedziale0,ª. Wynika stąd, że f rośnie coraz wolniej w przedziale ª,1, maleje coraz szybciej w


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 291 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Tabela 11.4: Przebieg zmienności funkcji fx x122x

x ª . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . . ª

f x 0 0

f x

f x ª ¼ 0max

¿ ª ª Ç 2min

Ä ª

-1

0

1

2

3

-4 -2 2 4x

Rysunek 11.3: Wykres funkcji fx x122x

1,0, maleje coraz wolniej w (0,1) i rośnie coraz szybciej w 1,ª. Wyniki są podsumowane w

tabeli 11.4; dalej prezentujemy szkic wykresu funkcji f.

b) Df ª,0 8 0,ª, limxª

f x 1, limx0

f x ª, limx0

f x ª limxª

fx 0.

Wynika stąd, że prosta x 0 jest asymptotą pionową (obustronną) wykresu f , prosta y 1 jest

asymptotą poziomą wykresu f w ª oraz prosta y 0 jest asymptotą poziomą wykresu f w ª.

Pierwsza pochodna funkcji f ma postać f x exex12 . Widać, że jest ona dodatnia w dziedzinie

funkcji f,zatem f nie ma ekstremów lokalnych i jest rosnąca w przedziałach ª,0, 0,ª. Druga


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 292 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Tabela 11.5: Przebieg zmienności funkcji fx 11ex

x ª . . . 0 . . . ª

f x

f x

fx 1 Ä ª ª ¼ 0

Rysunek 11.4: Wykres funkcji fx 11ex

pochodna f jest dana wzorem f x ex ex1ex13 . Jest ona ujemna dla x A 0 oraz dodatnia dla

x @ 0, czyli funkcja f jest wypukła na przedziale ª,0 i wklęsła na przedziale 0,ª. Stąd

funkcja rośnie coraz szybciej w przedziale ª,0 i rośnie coraz wolniej w przedziale 0,ª.c) Df 0,1 8 1,ª, lim

x0f x 0, lim

x1f x ª, lim

x1f x ª lim

xªfx ª.

Zatem prosta x 1 jest asymptotą pionową wykresu funkcji f . Asymptoty poziomej w ª nie ma.

Asymptota ukośna w ª także nie istnieje, ponieważ a limxª

fxx 0, ale b nie istnieje (granica f

w nieskończoności jest niewłaściwa).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 293 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Tabela 11.6: Przebieg zmienności funkcji fx xlnx

x 0 . . . 1 . . . e . . . e2 . . . ª

f x 0

f x 0

fx 0 ¿ ª ª Ç emin

Ä12e

2

pp¼ ª

Pierwsza pochodna funkcji jest równa f x lnx1ln2 x

, więc jej miejsce zerowe to x e. Pochodna

f jest dodatnia w przedziale e,ª, czyli funkcja jest rosnąca w tym przedziale, natomiast f jest

ujemna dla x > 0,1 8 1, e, czyli funkcja f maleje w przedziałach 0,1 oraz 1, e. W punkcie

x e funkcja f ma minimum lokalne. Druga pochodna f wyraża się wzorem f x lnx2xln3 x .

Druga pochodna jest dodatnia dla x > 1, e2, czyli w tym przedzialef jet wypukła, natomiast

funkcja f jest wklęsła w przedziałach 0,1 oraz e2,ª. Punkt x e2jest punktem przegięcia

wykresu funkcji f . Podsumowując wyniki dotyczące pierwszej i drugiej pochodnej stwierdzamy, że

funkcja f maleje coraz szybciej w przedziale 0,1 maleje coraz wolniej w przedziale (1, e), rośnie

coraz szybciej w przedziale e, e2 i rośnie coraz wolniej w przedziale e2,ª.d) Df R, lim

xªfx 0, lim

xªfx 0 . Wynika stąd, że prosta y 0 jest asymptotą pozio-

mą funkcji f w ª i w ª. Pierwsza pochodna f jest dana wzorem f x ex21 2x2. Jej

miejsca zerowe to x1 12

º2, x2 1

2

º2 . Funkcja f rośnie w przedziale 1

2

º2, 1

2

º2, maleje w

przedziałach ª,12

º2 oraz 1

2

º2,ª, Punkt x1 jest minimum lokalnym funkcji f , a punkt

x2 jest maksimum lokalnym funkcji f. Druga pochodna f wynosi f x 2xex22x2 3. Miejsca

zerowe drugiej pochodnej to: x1 12

º6, x2 0 oraz x3

12

º6 (wszystkie są punktami przegięcia

wykresu funkcji f). Funkcja f jest wypukła w przedziałach: 12

º6,0, 1

2

º6,ª, jest wklęsła


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 294 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

-2

0

2

4

6

1 2 3 4 5x

Rysunek 11.5: Wykres funkcji fx xlnx

Tabela 11.7: Przebieg zmienności funkcji fx xex2x ª . . .

12

º6 . . .

12

º2 . . . 0 . . . 1

2

º2 . . . 1

2

º6 . . . ª

f x 0 0

f x 0 0 0

fx 0 ¿ 12e

¼6e

pp

Ç 12

¼2e

min

Ä 0pp

¼12

¼2e

max

¿12e

¼6e

pp

Ç 0

w przedziałach: ª,12

º6, 0, 1

2

º6. Tempo zmian wartości funkcji f jest następujące: maleje

coraz szybciej w ª,12

º6, 1

2

º2, 1

2

º6, maleje coraz wolniej w 1

2

º6,1

2

º2, 1

2

º6,ª,

rośnie coraz szybciej w 12

º2,0 i rośnie coraz wolniej w 0, 1

2

º2.

Zauważmy dodatkowo, że funkcja f spełnia równanie fx fx dla wszystkich x > R, czyli

jest funkcją nieparzystą (jej wykres jest symetryczny względem punktu 0,0).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 295 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-4 -2 2 4x

Rysunek 11.6: Wykres funkcji f x xex2Zauważmy dodatkowo, że funkcja f spełnia równanie fx fx dla wszystkich x > R, czyli

jest funkcją nieparzystą (jej wykres jest symetryczny względem punktu 0,0).5.30. a) Funkcja fx x12

2x jest rosnąca w przedziale 1,ª oraz limxª

f x ª, zatem

f1,ª f1,ª 2,ª. Przeciwobraz zbioru ª,0 przy funkcji f to zbiór wszystkich

x > Df takich, że fx @ 0. W tym przypadku f1ª,0 ª,0. Zbiór fDf, to zbiór

wartości funkcji. Dla fx x122x jest to fDf ª,0e 8 `2,ª.

b) Funkcja fx 11ex jest rosnąca w przedziale 1,ª oraz lim

xªfx 0, zatem f1,ª 1

1e ,0; f1ª,0 ª,0; fDf ª,0 8 1,ª.c) Funkcja fx x

lnx maleje w przedziale 1, e i rośnie w przedziale e,ª. Dodatkowo

limx1

f x ª oraz fe e, zatem f1,ª e,ª. Ponadto f1ª,0 0,1; fDf ª,0 8 `e,ª.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 296 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

d) Funkcja fx xex2jest malejąca w przedziale 1,ª oraz limxª

fx 0, czyli f1,ª 0, 1e; f1ª,0 ª,0, fDf b1

2

º2e

12 , 1

2

º2e

12 g.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 297 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


6.1. Wystarczy sprawdzić, czy F x fx dla x > a, b (patrz definicja 6.1).

a) Tak. b)Tak. c)Nie, ex ex. d)Tak.

6.2. a) F x x3 x2

2 C, F 1 0, czyli 13 1212 C 0. Stąd C 1

2 .

b) F x 2cosx x C. C π.

6.3 a) R 2x 1dx x2 x C.

b)R x5 2ºx 5dx 1

6x6 4

3x32 5x C.

c) R sinx cosxdx cosx sinx C.

d)R x 2x 3dx R x2 x 6dx 13x

3 12x

2 6x C.

e) R x41x21dx R x2 1dx 1

3x3 x C.

f) R 4ºxx 3dx R x 54 3x

14dx 4

9x94

125 x

54 C.

g) R x34 3ºx1ºx

dx R x 52 4x16 x

12dx 2

7x72

245 x

56 2x

12 C.

h) R 2ctg2x 3dx R 2ctg2x 1 1 R 2 cos2 xsin2 x 1 1dx R 2 1

sin2 x 1dx 2ctgx x C.

i) R e2x1ex dx=R ex exdx ex ex C.

j) R 2x1 4xdx R 2x 2xdx 2xln 2

2xln 2 C.

6.4. Stosujemy oznaczenia z twierdzenia 6.17.

a) cosx x sinx C. Wskazówka: fx x, gx cosx.

b) 1 x ex C.R xexdx

¢¦¤ fx x fx 1

gx ex gx ex

£§¥ xex R exdx xex ex C.c) 1

2x2 lnx 1

4x2 C. Wskazówka: fx lnx, gx x.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 298 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

d) x2 cosx 2 cosx 2x sinx C. Wskazówka: fx x2, gx sinx, całkujemy przez części

dwukrotnie.

e) lnxx

1x . Wskazówka: fx lnx, gx 1

x2 .

f) 23x32 lnx 4

9x32 3x lnx 3x C. Wskazówka: fx lnx, gx ºx 3.

R ºx 3lnxdx ¢¦¤ fx lnx f x 1x

gx ºx 3 gx 23x32 3x

£§¥ 23x32 3x lnx R 2

3x12 3dx

23x32 3x lnx 4

9x32 3x C.

g) x2 2x 2 ex C. Wskazówka: fx x2, gx ex, całkujemy przez części dwukrotnie.

h ) 12ex cosx 1

2ex sinx C. Wskazówka: fx cosx, gx ex, całkujemy przez części dwu-

krotnie.

6.5. a) 12 ln x2 1 C. Wskazówka: podstawienie t x2 1.

b) 29 3x 53~2

C. Wskazówka: podstawienie t 3x 5.

c) 12ex2 C. Wskazówka: podstawienie t x2.

d) 13 lnx3

C. Wskazówka: podstawienie t lnx.

e) ln S lnxS C. Wskazówka: podstawienie t lnx.

R xlnx1dx R 1x lnxdx

¢¦¤ t lnx

dt 1xdx

£§¥ R 1tdt ln StS C ln S lnxS C.

f) ln S sinxS C; wskazówka: podstawienie t sinx, porównaj przykład 6.26;

g) 2 cosºx C. Wskazówka: podstawienie t

ºx.

R sinºxº

xdx

¢¦¤ t ºx

dt 12ºxdx

£§¥ R 2 sin tdt 2 cos t C 2 cosºx C.

h) ln ex ex C. Wskazówka: podstawienie t ex ex.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 299 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

R exex

exexdx

¢¦¤ t ex ex

dt ex exdx£§¥ R 1

tdt ln StS C ln ex ex C.i) 1

3 cosx3 cosx C. Wskazówka: podstawienie t cosx.

R sin3 xdx R 1 cos2 x sinxdx

¢¦¤ t cosx

dt sinxdx

£§¥ R 1 t2dt 13t

3 t C 13 cosx3

cosx C.

j) 4ºx3 2x C. Wskazówka: podstawienie t x3 2x.

6.6. a) Całkowanie przez części:

R sinx cosxdx ¢¦¤ fx sinx f x cosx

gx cosx gx sinx

£§¥ sin2 x R sinx cosxdx. Mamy zatem

R sinx cosxdx sin2 x R sinx cosxdx. Stąd R sinx cosxdx 12 sin2 x C.

Całkowanie przez podstawienie. Korzystając ze wzoru sin 2x 2 sinx cosx, mamy:

R sinx cosxdx R 12 sin 2xdx

¢¦¤ t 2x

dt 2dx

£§¥ R 14 sin tdt

14 cos t C 1

4 cos 2x C 14cos2 x sin2 x 1

41 2 sin2 x C.b) Całkowanie przez części: R cos2 xdx

¢¦¤ fx cosx fx sinx

gx cosx gx sinx

£§¥

cosx sinx R sin2 xdx cosx sinx R 1 cos2 xdx cosx sinx x R cos2 xdx.

Mamy zatem R cos2 xdx cosx sinx x R cos2 xdx. Stąd R cos2 xdx 12 cosx sinx 1

2x C.

Całkowanie przez podstawienie. Korzystamy ze wzoru cos 2x cos2 x sin2 x.

R cos2 xdx R cos 2x12 dx R cos 2x

2 dx+R 12dx=

¢¦¤ t 2x

dt 2dx

£§¥ R 14 cos tdt R 1

2dx


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 300 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

14 sin 2x 1

2x C 12 cosx sinx 1

2x C.‘

c) Całkowanie przez części R lnxx dx

¢¦¤ fx lnx f x 1x

gx 1x gx lnx

£§¥ lnx2R lnx

x dx. Stąd R lnxx dx

12 lnx2

C.

Całkowanie przez podstawienie:

R lnxx dx

¢¦¤ t lnx

dt 1xdx

£§¥ R tdt 12t

2 C 12 lnx2

C.

6.7. a) 110 2x 5 52 5

6 2x 5 32 C. R xº2x 5dx

¢¦¨¤t 2x 5

dt 2dx

x t52

12dt dx

£§¨¥ R 1

4 t 5ºtdt 1

4 R t 32 5t12dt 1

10t52

56t32 C 1

10 2x 5 52 56 2x 5 32 C.

b) 23

ºx 9 x C. Wskazówka: funkcję podcałkową przedstawić w postaci sumy.

c) 19 2 3x e3x C. Wskazówka: zastosować twierdzenie 6.17.

d) 3 ln Sx 1S C. Wskazówka: zastosować twierdzenie 6.22.

e) x 2 ln Sx 1S C. Wskazówka: R x1x1dx R 1 2

x1dx;

f) 1 1x e 1x C.

R 1x3 e

1xdx

¢¦¤ t 1x

dt 1x2dx

£§¥ R tetdt. Dalej całkujemy przez części ( patrz przykład 6.18).

g) 13 sin3 x 1

5 sin5 x C. Wskazówka:

R sin2 x cos3 xdx R sin2 x 1 sin2 x cosxdx ¢¦¤ t sinx

dt cosxdx

£§¥ R t21 t2dt R t2 t4dt.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 301 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

h) 13x sin 3x 2 1

9 cos 3x 2 C.R x cos3x 2dx

¢¦¤ fx x f x 1

gx cos3x 2 gx 13 sin3x 2

£§¥ 13x sin 3x 2 R 1

3 sin3x 2dx 1

3x sin 3x 2 19 cos 3x 2 C.

i) 23x

3~2 lnx 49x

3~2 C. Wskazówka: zastosować twierdzenie 6.17.

j) 15tg5x 4tgx C. Zastosować twierdzenie 6.22.

k) x log3x 1 xln 3

lnx1ln 3 C. Wskazówka: zastosować twierdzenie 6.17.

6.8. a)R 312x 1dx 12.

b) Rπ4π sin 2xdx 1

2 cos 2xπ4π

12 .

c)R 20

x2

x31 13 ln Sx3 1S2

0 1

3 ln 9.

d)R 01 xe

xdx xex ex01 2e1 1, patrz przykład 6.18.

e) R 11 S2x 1Sdx R 121 S2x 1Sdx R 1

12S2x 1Sdx R 121 2x 1dx R 1

122x 1dx 9

4 14 10

4 .

f) R π3 fxdx R 03x 1dx R π0 cosxdx 3

2 0 32 .

g) R 32 S1 x2Sdx=R 1

2 x2 1dx R 111 x2dx R 3

1 x2 1dx=43

43

203 28

3 .

h)R e1exS lnxSdx R 1

1ex lnxdx R e1 x lnxdx 1

4 34e

2 14

14e

2 . Wskazówka: skorzystać z

twierdzenia 6.17.

6.9. gt ¢¦¤R t1 x 1dx dla t > 1,1eR 11 x 1dx R t1 x 1dx dla t A 1.

Stąd gt ¢¦¤t2

2 t 32 dla t > 1,1e.

t2

2 t 52 dla t A 1.

6.10. Stosujemy twierdzenie 6.34. Patrz rysunek 11.7.

a) SAS R 23 2x 2 x2 3x 4dx 125

6 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 302 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b)SAS R 10 ºx x2dx 1

3 .

c)SAS R 21 x2 2x 6 3x2 2x 2dx 18.

d) Styczna ma równanie y 1ex. Od pola powierzchni trójkąta o wierzchołkach 0,0, e,1 oraze,0 odejmujemy pole powierzchni zbioru ograniczonego wykresem funkcji y lnx oraz prostymi

o równaniach y 0 oraz x e. Mamy SAS e2 R e1 lnxdx= e

2 1.

6.11. Stosujemy twierdzenie 6.34. Patrz rysunek 11.8 (a 3º

2, b 3º

4).

a) SAS R 01 e

xdx R 20 e

xdx e e2 2.

b) SAS R 10 ºx x2

2 dx R 3º21 1

x x2

2 dx 12 1

3 ln 2 16 1

3 13 ln 2.

c) SAS R 3º21 ºx 1

xdx R 3º4

3º2 ºx x2

2 dx 23º2 1 1

3 ln 2 1 23

º2 1

3 13 ln 2.

d) SAS R π4π6

tgxdx Rπ3π4

ctgxdx ln 3 ln 2.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 303 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) (b)

(c) (d)

Rysunek 11.7: Rysunki do zadania 6.10


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 304 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) (b)

(c) (d)

Rysunek 11.8: Rysunki do zadania 6.11


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 305 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


7.1. Wyznaczymy równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkty a i b, a następ-

nie sprawdzimy, czy współrzędne punktu c spełniają to równanie. Szukana prosta ma równanie

parametryczne w 1 ta tb, t > R, czyli równanie

¢¦¤x 1 t 2t

y 1 t 1 tz 1 t3

¢¦¤x 1 t,

y 1 2t,

z 3 3t,

gdzie t > R. Wstawiając współrzędne punktu c, otrzymujemy układ

¢¦¤

0 1 t,

1 1 2t,

3 3 3t,

, który jest sprzecz-

ny. Punkty nie leżą na jednej prostej.

7.2. x 45t 1, y 3

5t, z t, t > R.

7.3. x t 2, y t 1, z t, t > R. Rozwiązując układ

¢¦¤t 2 2,

t 1 1,

t 0,

otrzymujemy t 0, zatem

punkt a leży na prostej.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 306 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

7.4. a) Prosta przechodząca przez punkty a

<@@@@@@>1

0

2

=AAAAAA? ,b

<@@@@@@>2

1

1

=AAAAAA? ma równanie parametryczne

<@@@@@@>x

y

z

=AAAAAA? 1 t<@@@@@@>

1

0

2

=AAAAAA? t<@@@@@@>

2

1

1

=AAAAAA?¢¦¤x 1 t,

y t,

z 2 3t,

gdzie t > R. Wstawiając do równania płaszczyzny otrzymane wyrażenia, otrzymujemy

3x y z 3 3 1 t t 2 3t 3 t 27 .

Prosta przebija płaszczyznę w punkcie o współrzędnych x 97 , y

27 , z

87 .

b) Prosta przechodząca przez punkty a

<@@@@@@>0

5

2

=AAAAAA? ,b

<@@@@@@>2

1

4

=AAAAAA? ma równanie parametryczne

¢¦¤x 2t,

y 5 4t,

z 2 2t,gdzie t > R. Stąd mamy

3x1 x2 x3 3 3 2t 5 4t 2 2t 3 3 3.

Otrzymane równanie jest spełnione tożsamościowo dla każdego t > R, co oznacza, że prosta leży na

płaszczyźnie.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 307 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

c) Prosta ma równanie parametryczne

¢¦¤x 2,

y 1 2t,

z 1 2t,

gdzie t > R. Wstawiając do równania płasz-

czyzny, otrzymujemy

3x1 x2 x3 3 6 1 2t 1 2t 3 6 3.

Równanie jest sprzeczne, prosta w żadnym punkcie nie przebija płaszczyzny, jest do niej zatem

równoległa.

7.5. Z założenia istnieje taka liczba t > 0,1, że

c 1 ta tb tb c 1 ta b 1tc

1tt a,

czyli xb 1t 1, yb 2

t 3, zb 2t 1. Obliczając odległość da,b, otrzymujemy

da,b ¾1 1t 12

3 2t 32

1 2t 12

3StS .

Z warunków 3StS 9 i t > 0,1 wynika, że t 13 , zatem b

<@@@@@@>2

3

5

=AAAAAA?.

7.6. a)

<@@@@@@>1

6

2

=AAAAAA?, b)

<@@@@@@>6

8

10

=AAAAAA?, c)

<@@@@@@>1

6

3

=AAAAAA?.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 308 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

7.7. a)

<@@@@@@@@@>4

2

8

1

=AAAAAAAAA?, b)

<@@@@@@@@@>6

2

4

2

=AAAAAAAAA?.

7.8. a) Prosta ma równanie parametryczne

x 1 t<@@@@@@@@@>

1

1

2

0

=AAAAAAAAA? t

<@@@@@@@@@>0

2

2

1

=AAAAAAAAA?

<@@@@@@@@@>1 t

1 3t

2

t

=AAAAAAAAA?,

gdzie t > R. Rozwiązując układ równań

¢¦¨¤

1 t 1,

1 3t 5,

2 2,

t 2,

otrzymujemy t 2. Punkt leży na prostej.

b) Prosta ma równanie parametryczne

x 1 t<@@@@@@@@@>

2

1

1

1

=AAAAAAAAA? t

<@@@@@@@@@>1

2

3

1

=AAAAAAAAA?

<@@@@@@@@@>2 3t

1 t

1 2t

1 2t

=AAAAAAAAA?,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 309 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

gdzie t > R. Układ równań

¢¦¨¤

2 3t 1,

1 t 1,

1 2t 0,

1 2t 1,

jest sprzeczny, zatem punkt nie leży na prostej.

7.9. a) Odcinek ma równanie parametryczne

1 t<@@@@@@@@@>

2

0

2

1

=AAAAAAAAA? t

<@@@@@@@@@>1

1

0

3

=AAAAAAAAA?

<@@@@@@@@@>2 3t

t

2 2t

1 4t

=AAAAAAAAA?,

gdzie t > `0,1e. Rozwiązując układ równań

¢¦¨¤

2 3t 1,

t 13 ,

2 2t 43 ,

1 4t 13 ,

otrzymujemy t 13 . Punkt x leży na

odcinku.

b) Odcinek ma równanie parametryczne

x 1 t<@@@@@@@@@>

1

2

4

0

=AAAAAAAAA? t

<@@@@@@@@@>2

1

1

1

=AAAAAAAAA?

<@@@@@@@@@>1 t

2 3t

4 5t

t

=AAAAAAAAA?,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 310 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

gdzie t > `0,1e. Układ równań

¢¦¨¤

1 t 3,

2 3t 4,

4 5t 6,

t 2,

ma rozwiązanie t 2, które nie należy do przedziału

`0,1e. Punkt x leży na odcinku.

7.10. Z założenia punkt c ma współrzędne cj 1 taj tbj dla j 1,2 . . . , n, gdzie t > `0,1e.Stąd otrzymujemy

da,c d c,b ¿ÁÁÀ n

Qj1

aj cj2

¿ÁÁÀ n

Qj1

cj bj2

¿ÁÁÀ n

Qj1

aj 1 taj tbj2

¿ÁÁÀ n

Qj1

1 taj tbj bj2

¿ÁÁÀ n

Qj1

taj tbj2

¿ÁÁÀ n

Qj1

1 taj 1 t bj2

¿ÁÁÀt2n

Qj1

aj bj2

¿ÁÁÀ1 t2n

Qj1

aj bj2

StS¿ÁÁÀ n

Qj1

aj bj2 S1 tS¿ÁÁÀ n

Qj1

aj bj2

t

¿ÁÁÀ n

Qj1

aj bj2 1 t¿ÁÁÀ n

Qj1

aj bj2

¿ÁÁÀ n

Qj1

aj bj2 da,b.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 311 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

7.11. a) Liniowo niezależne.

b) Liniowo niezależne.

c) Liniowo zależne, bo liczba wektorów jest większa od wymiaru przestrzeni (por. twierdzenie

7.16).

d) Liniowo zależne, trzeci wektor jest sumą pierwszego i drugiego.

e) Liniowo niezależne.

7.12. Rozważmy równanie wektorowe αx βy γz 0 równoważne równaniu

α 2a b c βa b c γ a c 0.

Po przekształceniu otrzymujemy równanie

2α β γa α βb α β γc 0.

Ponieważ wektory a,b,c są liniowo niezależne, więc liczby α,β, γ spełnią układ równań

¢¦¤

2α β γ 0,

α β 0,

α β γ 0.

Jedynym rozwiązaniem tego układu są liczby α 0, β 0, γ 0, czyli wektory x,y,z są liniowo

niezależne.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 312 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

7.13. Układ równań ¢¦¤α1 α2 α3 0,

α2 α3 0,

α3 0,

ma tylko zerowe rozwiązania, co oznacza, że wektory v1,v2, v3 są liniowo niezależne, tworzą zatem

bazę przestrzeni R3. Rozwiązując układ

¢¦¤α1 α2 α3 1,

α2 α3 2,

α3 2,

otrzymujemy α1 3, α2 0, α3 2, a więc x 3v1 0v2 2v3.

7.14. Wektory v1,v2,v3 są liniowo niezależne, tworzą zatem bazę przestrzeni R3. Rozwiązaniem

układu

¢¦¤α1 α2 α3 1,

2α2 α3 2,

α1 α2 1,

są liczby α1 1, α2 2, α3 2, zatem x v1 2v2 2v3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 313 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


8.1. a) Macierz A ma wymiary 2 3, macierz B ma wymiary 3 3. Iloczyn AB istnieje, bo

liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Macierz AB ma wymiary 2 3,

określona jest zatem różnica AB A

<@@@@>4 7 0

2 8 16

=AAAA?.

b) Macierz ATA ma wymiary 3 3, istnieje zatem różnica 2B ATA

<@@@@@@>1 4 6

2 3 8

2 4 24

=AAAAAA? .c) Istnieje iloczyn BAT , ale ma wymiary 3 2, suma BAT

3A jest nieokreślona.

d) Macierz ATA ma wymiary 33, macierz CTC ma wymiary 44. Różnica ATA CTC jest

nieokreślona.

8.2. a) Korzystając z własności działań na macierzach i z warunku AB BA, otrzymujemyA BA B AA B BA B AA AB BA BB A2 O B2 A2 B2.

b) Podobnie jak w podpunkcie a) mamy A B2 A BA B A2 AB BA B2

A2 2AB B2.

8.3. Załóżmy, że macierz A ma wymiary m n, wówczas z warunku, że istnieje iloczyn AB

wynika, że macierz B ma wymiary n k. Z kolei z warunku, że istnieją iloczyny AC i CB wynika,

że macierz C ma wymiary n n. Rozkładając na czynniki, otrzymujemy

5AB ACB A 5B CB A 5I CB.

8.4. Jeśli macierz A ma wymiary m n, to macierz AT ma wymiary n m. Istnieje zatem

iloczyn ATA, gdyż liczba kolumn macierzy AT jest równa liczbie wierszy macierzy A. Z własności

transpozycji wynika, że ATAT AT AT T ATA, macierz ATA jest zatem symetryczna.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 314 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Dowód dla iloczynu AAT jest podobny.

8.5. a) 2, b) 2, c) 2 (wyznaczanie rzędu z definicji jest na ogół dość żmudnym zajęciem, efektywna

metoda badania rzędu macierzy przedstawiona jest w następnym paragrafie).

8.6. a)<@@@@> 1 2

2 1

=AAAA? w2 2w1

<@@@@> 1 2

0 5

=AAAA? 15

<@@@@> 1 2

0 1

=AAAA? w1 2w2<@@@@> 1 0

0 1

=AAAA?, rząd jest równy 2.

b) 2.

c)

<@@@@@@>1 1 1

2 1 1

3 0 2

=AAAAAA? w2 w1

<@@@@@@>1 1 1

1 0 2

3 0 2

=AAAAAA?

w1 w2

w3 3w2

<@@@@@@>0 1 1

1 0 2

0 0 8

=AAAAAA?

18w3

<@@@@@@>0 1 1

1 0 2

0 0 1

=AAAAAA?

w1 w3

w2 2w3

<@@@@@@>0 1 0

1 0 0

0 0 1

=AAAAAA? ,rząd jest równy 3.

d) 2.

e) 3.

8.7. a) Przekształcać będziemy, podobnie jak w przykładzie 8.29, macierz ASI <@@@@@@>1 2 0

1 3 0

1 2 1


0 1 0

0 0 1

=AAAAAA?.

Stosując operacje elementarne, otrzymujemy

ASI <@@@@@@>1 2 0

1 3 0

1 2 1


0 1 0

0 0 1

=AAAAAA? w1 w2

w3 w2

<@@@@@@>0 5 0

1 3 0

0 1 1


0 1 0

0 1 1

=AAAAAA? 15w1

<@@@@@@>0 1 0

1 3 0

0 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR15

15 0

0 1 0

0 1 1

=AAAAAA? w2 3w1

w3 w1

<@@@@@@>0 1 0

1 0 0

0 0 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR15

15 0

35

25 0

15

45 1

=AAAAAA? w2

w1

<@@@@@@>1 0 0

0 1 0

0 0 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

35

25 0

15

15 0

15

45 1

=AAAAAA? ,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 315 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

zatem A1

<@@@@@@>

35

25 0

15

15 0

15

45 1

=AAAAAA?.

b) Stosując operacje elementarne, otrzymujemy

ASI <@@@@@@>2 1 1

1 3 2

3 4 1


0 1 0

0 0 1

=AAAAAA? w1 2w2

w3 3w2

<@@@@@@>0 5 5

1 3 2

0 5 5


0 1 0

0 3 1

=AAAAAA? w1 w3

<@@@@@@>0 0 0

1 3 2

0 5 5


0 1 0

0 3 1

=AAAAAA? .W tym miejscu możemy już przerwać obliczenia. Rząd macierzy A jest mniejszy od 3 (jest równy

2), A jest macierzą osobliwą i A1 nie istnieje.

c) A1

<@@@@@@>12 0 1

2

0 0 114

12

54

=AAAAAA?.

d) A1

<@@@@@@@@@>1 1 1 1

0 1 1 15

0 0 1 45

0 0 0 15

=AAAAAAAAA?.

8.8 a) Stosując operacje elementarne, otrzymujemy A1

<@@@@@@>12

12 0

52

32 2

1 1 1

=AAAAAA?. Zauważmy, że


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 316 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

AX BX A1B, zatem X

<@@@@@@>12

12 0

52

32 2

1 1 1

=AAAAAA?<@@@@@@>

1 2 1 3

0 1 2 0

2 1 3 1

=AAAAAA? <@@@@@@>

12

32

12

32

132

92

112

112

3 2 2 2

=AAAAAA? .b) A1

<@@@@@@>15 0

15

35 0 2

5

310

12

15

=AAAAAA?. Ponadto AX A IAX I AX A1 I AX A1 I,

więc X

<@@@@@@>15 0

15

35 0 2

5

310

12

15

=AAAAAA? <@@@@@@>

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=AAAAAA? <@@@@@@>

45 0

15

35 1 2

5

310

12

65

=AAAAAA?.

c) A1

<@@@@@@>7 4 6

7 4 7

2 1 2

=AAAAAA?, ponadto AXA1AT BAT AXA1

BT2AX A1BTA

2A,

zatem

X

<@@@@@@>7 4 6

7 4 7

2 1 2

=AAAAAA?<@@@@@@>

2 1 5

2 0 3

1 4 2

=AAAAAA?T <@@@@@@>

1 2 4

0 2 7

1 1 0

=AAAAAA? 2

<@@@@@@>1 2 4

0 2 7

1 1 0

=AAAAAA? <@@@@@@>

39 89 196

40 103 243

13 30 66

=AAAAAA? .8.9. a) 6, b) sin2α cos2α 1, c) 18, d) 2 2x, e) 2x3 x2 7x, f) 2x3 2y3, g) 22, h) 6,

i) x6 3x5 3x4 x3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 317 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

8.10. Jeśli A a1,a2, ...,an, to korzystając z własności wyznaczników, otrzymujemy

detαA det αa1, αa2, ..., αan αdet a1, αa2, ..., αan α2 det a1,a2, ..., αan ... αn det a1,a2, ...,an αn detA.

8.11. a) Ze wzoru A1A I wynika, że det A1A det I, czyli, że detA1 detA 1. Dzieląc

obie strony przez detA otrzymujemy wzór detA1 1detA .

b) Ponieważ A1 1detA ADT , więc detA1 1

detAn det ADT . Stąd mamy

1detA 1detAn detAD

detAn1 detAD.

c) det ATA detAT detA detAdetA detA2A 0.

8.12. Korzystając z własności wyznaczników, otrzymujemy

det3ATBAB1B 33 detAT detBdetAB1 detB

27 detAdetB 1detAdetB detB 27 detB 54.

8.13. Wyznaczniki macierzy A i B są odpowiednio równe detA 8, detB 17, zatem

det 2A1BT ABT B1T 23 1detA detBdetAdetB 1

detB 8 17 136.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 318 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

8.14. a) rzA

¢¦¤ 2 dla m x 3,

1 dla m 3.b) Dla każdego m > R rząd macierzy B jest mniejszy od 3, bo kolumny pierwsza i trzecia są

równe. Dla m 1 wszystkie kolumny są jednakowe i w tym przypadku rzB 1. Jeśli m x 1, to

macierz B ma minor stopnia 2 różny od zera (np.RRRRRRRRRRR 1 m

2 2

RRRRRRRRRRR 2 2m) i jej rząd jest równy 2.

c) rzC

¢¦¤ 3 dla m x 0 ,m x 2,

2 dla m 0 -m 3.

d) rzD

¢¦¤ 3 dla m x 2 ,m x 1 ,m x 1,

2 dla m 2 -m 1 -m 1.

e) rzE

¢¦¤ 2 dla m x 1,

1 dla m 1.

8.15. a)<@@@@>

15

310

25

110

=AAAA?, b)<@@@@>

25

15

15

25

=AAAA?, c)

<@@@@@@>

15 0 2

525 0 1

5710

12

110

=AAAAAA?. d)

<@@@@@@>1 2 2

0 1 0

0 2 1

=AAAAAA?, e)

<@@@@@@@@@>1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

=AAAAAAAAA?(tutaj metoda

operacji elementarnych jest o wiele lepsza).

8.16. detB det P1AP detP1 detAdetP 1detP detAdetP detA.

8.17. Operacje elementarne trzeciego typu, tzn. operacje polegające na dodaniu do pewnego

wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez skalar, nie zmieniają wartości


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 319 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

wyznacznika, więc

det a1 a3,a1 a2,2a2 a3 det a1,a1 a2,2a2 a3 . det a1,a2,2a2 a3 det a1,a2,a3 2.

8.18. Niech A

<@@@@@@>a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=AAAAAA?. Wykażemy, że dete1,a2,a3 jest minorem głównym stopnia

drugiego. Korzystając z rozwinięcia Laplace’a względem pierwszej kolumny, otrzymujemy

dete1,a2,a3 det

<@@@@@@>1 a12 a13

0 a22 a23

0 a32 a33

=AAAAAA? 111 det<@@@@> a22 a23

a32 a33

=AAAA? det<@@@@> a22 a23

a32 a33

=AAAA? .Dowód w pozostałych przypadkach jest analogiczny.

8.19. Rząd macierzy A może być równy co najwyżej m, zatem kolumny macierzy A, których jest

n, gdzie n A m, tworzą układ liniowo zależny. Oznacza to, że istnieje liniowa kombinacja kolumn

macierzy A o niezerowych współczynnikach, która jest równa wektorowi zerowemu. Współczynniki

tej kombinacji stanowią różne od zera rozwiązanie układu Ax 0.

8.20. a) Rząd macierzy współczynników układu A

<@@@@> 2 3 1

1 2 2

=AAAA? jest równy 2, rząd macierzy

rozszerzonej ASb <@@@@> 2 3 1

1 2 2

RRRRRRRRRRR 1

3

=AAAA? również jest równy 2, układ jest niesprzeczny.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 320 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) Rząd macierzy współczynników układu A

<@@@@@@>1 2 1

2 1 2

1 3 3

=AAAAAA? jest równy 2, rząd macierzy rozsze-

rzonej ASb <@@@@@@>1 2 1

2 1 2

1 3 3

RRRRRRRRRRRRRRRRR2

4

1

=AAAAAA? jest równy 3, układ jest sprzeczny.

8.21. a) Rozwiążemy układ za pomocą operacji elementarnych na wierszach macierzy rozsze-

rzonej układu.

A Sb <@@@@> 2 1 3

1 3 1

RRRRRRRRRRR 1

2

=AAAA? w2 3w1

<@@@@> 2 1 3

7 0 8

RRRRRRRRRRR 1

1

=AAAA? 18w2

<@@@@> 2 1 3

78 0 1

RRRRRRRRRRR 1

18

=AAAA? w1 3w2<@@@@>

58 1 0

78 0 1

RRRRRRRRRRR58

18

=AAAA? .Rozwiązanie ogólne układu jest zatem postaci

¢¦¤x1 t,

x2 58

58t,

x3 18

78t,

gdzie t > R. Rozwiązaniem bazowym odpowiadającym otrzymanej postaci bazowej jest wektor

x1 0 58

18 T . Pozostałe rozwiązania bazowe wyznaczymy korzystając z rozwiązania ogólnego.

Rozwiązanie bazowe, w którym zmienna x2 jest zmienną niebazową spełnia warunek x2 0, czyli58

58t 0, zatem t 1. Uzyskujemy więc kolejne rozwiązanie bazowe x2 1 0 1 T . Ostatnim

rozwiązaniem bazowym, w którym zmienna x3 jest zmienną niebazową (czyli x3 0, a więc t 17),


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 321 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

jest wektor x3 17

57 0 T .

b) Rozwiązanie ogólne układu jest postaci

x 1 0 0 T t 4 2 3 T ,gdzie t > R. Układ ma dwa różne rozwiązania bazowe 1 0 0 T oraz 0 1

2 34 T .

8.22. a) Stosując operacje elementarne, otrzymujemy

A Sb <@@@@@@>3 2 1 3

1 3 1 2

1 0 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR1

3

2

=AAAAAA? w1 3w3

w2 w3

<@@@@@@>0 2 7 0

0 3 3 3

1 0 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR5

5

2

=AAAAAA? 1

3w2

<@@@@@@>0 2 7 0

0 1 1 1

1 0 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR5

53

2

=AAAAAA? 12w1

w3 w2

<@@@@@@>0 1

72 0

0 1 1 1

1 1 1 0

RRRRRRRRRRRRRRRRR

525313

=AAAAAA? w2 w1

w3 w1

<@@@@@@>0 1

72 0

0 0 52 1

1 0 92 0

RRRRRRRRRRRRRRRRR

52

56

176

=AAAAAA? .Rozwiązanie ogólne ma postać ¢

¦¨¤x1

176

92t,

x2 52

72t,

x3 t,

x4 56

52t,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 322 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

gdzie t > R. Rozwiązaniami bazowymi są wektory

x1 176

52 0

56 T ,x2 4

3 43

13 0 T ,x3 8

21 0 57

2021 T ,x4 0

827

1727

2027 T .

b) Rozwiązanie ogólne układu równań ma postać

¢¦¨¤x1 13 t 7s,

x2 5 3s,

x3 t,

x4 s,

gdzie t, s > R. Rozwiązaniami bazowymi są między innymi wektory

x1 13 5 0 0 T ,x2 0 5 13 0 T .c) Rozwiązanie ogólne układu ma postać

¢¦¤x1 1 3t,

x2 t,

x3 1 5t

dla t > R. Rozwiązaniami bazowymi są wektory

x1 1 0 1 T ,x2 0 13

23 T ,x3 2

5 15 0 T .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 323 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

8.23. a) W

RRRRRRRRRRR 2 1

1 3

RRRRRRRRRRR 7, W1

RRRRRRRRRRR 2 1

2 3

RRRRRRRRRRR 4, W2

RRRRRRRRRRR 2 2

1 2

RRRRRRRRRRR 6, x1 W1W 4

7 , x2 W2W 6

7 .

b) x1 1, x2 1.

c) W


1 2 1

1 1 2

RRRRRRRRRRRRRRRRR 10, W1


2 2 1

1 1 2



1 2 1

1 1 2



1 2 2

1 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR 6,

x1 1, x2 65 , x3

35 .

d) Stosując operacje elementarne trzeciego typu, otrzymujemy

W


0 1 1 1

1 0 1 0

0 0 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

w1 w3RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR0 1 2 1

0 1 1 1

1 0 1 0

0 0 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR 131


1 1 1

0 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

w2 w1


1 1 1

0 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR RRRRRRRRRRRRRRRRR1 2 1

0 3 2

0 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR 111RRRRRRRRRRR 3 2

1 1

RRRRRRRRRRR 5.

Podobnie obliczamy W1 4, W2 3,W3 6, W4 4. Zatem x1 45 , x2

35 , x3

65 , x4

45 .

8.24. a) Wyznacznik główny układu jest równy W

RRRRRRRRRRR k 2

2 k

RRRRRRRRRRR k2 4. Dla k ~ 2 układ jest

układem Cramera, ponadto W1

RRRRRRRRRRR k 2

k k

RRRRRRRRRRR k2 2k, W2

RRRRRRRRRRR k k2 k

RRRRRRRRRRR k2 2k, zatem x k22kk24 k

k2 ,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 324 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

y k22kk24 k

k2 . Dla k 2 mamy układ niesprzeczny¢¦¤ 2x 2y 2,

2x 2y 2,tzn. zmienne spełniają warunek

xy 1; jego rozwiązanie można zapisać w postaci x t, y 1t, gdzie t > R. Dla k 2 otrzymany

układ¢¦¤2x 2y 2,

2x 2y 2,jest sprzeczny (dodając stronami otrzymujemy sprzeczne równanie 0 4).

b) W

RRRRRRRRRRRRRRRRRk 1 3

1 k 1

1 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR k2 4k 3, W ~ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy k ~ 1 i k ~ 3. W tym przypadku

układ ma rozwiązanie x1 3k1k3 , x2 1, x3

kk22k3 . Jeśli k 1, to układ

¢¦¤x1 x2 3x3 1,

x1 x2 x3 1,

x1 x2 x3 1,

ma rozwiązanie (wyznaczamy je korzystając z operacji elementarnych) x1 1 t, x2 t, x3 0,

gdzie t > R. Dla k 3 otrzymujemy układ

¢¦¤

3x1 x2 3x3 1,

x1 3x2 x3 1,

x1 x2 x3 3.

Korzystając z operacji elementarnych możemy wykazać, że jest on sprzeczny.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 325 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

c) W k3 k2 k 1, W ~ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy k ~ 1. Układ ma wówczas rozwiązanie

x1 k2k21 , x2

k2k3k2k3k1 , x3

4k4k2k2k3k1 .

Dla k 1 lub k 1 układ jest sprzeczny, gdyż w obu przypadkach rzA 2, rz ASb 3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 326 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


9.1. a) x1, x2 > R2 x1 C 0, x2 C 0.

b) Ponieważ x41 x

42 x

21x

22 x2

1 x222 x2

1x22 C 0, więc dziedziną funkcji jest zbiór R2.

c) x1, x2 > R2x1 x2 A 0, x1 x 0.

d) Dziedzina jest określona nierównością 1x1

1x2

C 0, tj. x1 A 0, x2 A 0 albo x1x2 @ 0, x1 x2 B 0.

e) Ponieważ ex212x22 1 B 0, więc dziedzina jest określona warunkiem x1x2 B 0.

9.2. a) 0,1e.b) `3,ª. Wskazówka. Po podstawieniu t Sx1x2S (t może przyjmować wszystkie wartości do-

datnie), problem sprowadza się do wyznaczenia zbioru wartości gt 2t t2, gdzie t A 0, co

można łatwo uczynić metodami analizy funkcji jednej zmiennej. 9.2) ª,9~4e. Wskazówka. War-

to zastosować podstawienie t x21 x

22 C 0 i zastosować analogiczne receptury, jak w poprzednim

podpunkcie.

9.3. a) Prosta o równaniu 3x1 2x2 3.

b) Okrąg o środku w punkcie (0,0) i promieniu 2º

2.

c) Zbiorami W0, W1 są hiperbole o równaniach odpowiednio x1x2 1 oraz x1x2 e1.

d) W2, W1 określone są odpowiednio równaniami x2 ex1 , x2 0.

e) Zbiór W1 jest określony warunkami x2 x1, x1 x 0, zaś W0 – warunkami x2 0, x1 x 0.

9.4. a) Warstwica Wz, gdzie z > R, jest określona równaniem x1x2 z3. Mapę warstwic pokazano

na rys. 11.9 a).

b) Por. rys. do 11.9 b).

c) Zbiór Wz jest określony warunkami x2 zx1, x1 x 0, zob. rys. 11.9 c).

d) Rozwiązując równanie minx1, x2 z otrzymujemy układ warunków: x1 B x2, x1 z lub x1 C


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 327 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

x2, x2 z. Zbiór Wz tworzą dwie prostopadłe półproste o wspólnym początku z, z, por. rys. 11.9

d).

(a) (b) (c)

(d) (e)

x1x1

x1x1x1

x2x2

x2x2x2

Rysunek 11.9: Mapy warstwic funkcji z zadania 9.4

e) Dla z @ 0 mamy Wz g. Zbiór W0 jest półpłaszczyzną określoną warunkiem x1 B 2, zaś dla

z A 0 warstwica Wz jest prostą o równaniu x1 2 z, por. rys. do zadania 11.9 e).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 328 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

9.5. Obie funkcje nie są ciągłe w punkcie 0,0. W innych punktach dziedziny są ciągłe.

9.6. Dla m 0. Warto zauważyć, że z nierówności S sinxS B SxS (Czytelnikowi proponujemy

jej wykazanie) wynika, że dla każdego x1, x2 > R2 0,0 mamy Sfx1, x2S B Sx1S. Dla każdego

ciągu xn o wyrazach różnych od 0,0 i zbieżnego do 0,0 mamy więc limnª

fxn 0. Warunkiem

ciągłości funkcji jest więc m f0,0 0.

9.7. a) f x1x 0, f x2x 4. b) f x1x 2, f x2x 0. c) f x1x nie istnieje, f x2x 2.

d) f x1x f x2x 0.

9.8. a) f x10,0 f x20,0 0. b) Wynik identyczny jak w a). c) Pochodne nie istnieją.

Wskazówka: wyznaczyć dziedzinę funkcji.

9.9. Wszystkie pochodne cząstkowe istnieją. Czytelnikowi proponujemy wyznaczenie obszarów

ich określoności.

a) f x1 3x21x2 2x2

12ºx1

, f x2 x31 2x1 1.

b) f x1 1

x1lnx2, f x2

1x2x1lnx2 .

c) f x1 ex1x21 x1x2, f x2 x21 ex1x2 .

d) f x1 2 x2 sinx1, f x2 cosx1.

9.10. a) Ex1fx1, x2 α, Ex2fx1, x2 β; b) Exifx1, x2 2x2ix21x

22

dla i 1,2; c) Exifx1, x2 xi~fx1, x2k dla i 1,2.

9.11. Rozszerzając wyniki uzyskane w zadaniu 9.9, otrzymujemy:

a) f x1,x1 6x1x2 1~4x3~21 , f x1,x2 f

x2,x1 3x21 2, f x2,x2 0;

b) f x1,x1 x1 lnx22, f x1,x2 f

x2,x1 1x1lnx22x2 , f x2,x2

1x22x1lnx2 1

x22x1lnx22 ;c) f x1,x1 x2ex1x22 x1x2, f x1,x2 f x2,x1 x1ex1x22 x1x2, f x2,x2 x3

1ex1x2 ;


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 329 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

d) f x1,x1 x2 cosx1, f x1,x2 f x2,x1 sinx1, f x2,x2 0.

9.12. Przede wszystkim zauważmy, że wprost z definicji wynika, że f x20,0 0. W pozostałych

punktach mamy

f x2x1, x2 x1x21 x

22x2

1 x222

.

Ponieważ

limt0

f x2t,0 f x20,0t

ª,

zatem pochodna cząstkowa f x1,x20,0 nie istnieje.

9.13. a) Tak, na zbiorze R2. b) Tak, na R2 0.0.

9.14. W punkcie x1, x2 x 0,0 pochodne cząstkowe rzędu pierwszego są równe:

f x1x1, x2 x2x2

1 x22

x21 x

22 2x1x2

2x1x22x2

1 x222

f x2x1, x2 x1x2

1 x22

x21 x

22 2x1x2

2x2x21x2

1 x222

;

w punkcie 0,0 obie pochodne mają natomiast wartość 0. Otrzymujemy stąd

f x1,x20,0 limt0

f x2t,0 f x20,0t

1,

f x2,x10,0 limt0

f x10, t f x10,0t

1.

Pochodne mieszane są więc różne. Czytelnikowi pozostawiamy sprawdzenie, że pochodne mieszane

drugiego rzędu funkcji f nie są ciągłe w punkcie 0,0 – nie są więc spełnione założenia twierdzenia


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 330 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Schwarza, a zatem wynik nie pozostaje w sprzeczności z tym twierdzeniem.

9.15. a) Funkcja jest różniczkowalna w sposób ciągły, przy czym f x 2x1 3x2 1, 3x1

4x2 1 , a więc f 1,2 9,10. Z twierdzenia 9.31 otrzymujemy ©hf1,2 9 3 10 2 47.

b) ©hfx f xh e.

c) Pochodna ©hfx nie istnieje, bowiem nie istnieje granica limt0

ft,tf0,0t lim

t0

StSt .

9.16. Rozważmy pochodną cząstkową względem np. zmiennej x1. W przykładzie 9.13 pokazali-

śmy, że f x10,0 0. Ciąg xn 1n ,

1n jest oczywiście zbieżny do punktu 0,0. Tymczasem prosty

rachunek pokazuje, że dla dowolnego n > N mamy

f x1xn limt0

f 1n t,

1n f 1

n ,1n

t limt0

¼S 1n t 1

n S 1n

t

12,

czyli limnª

f x1xn 12 x f x10,0 0. Tym samym pochodna f x1 nie jest ciągła w punkcie 0,0.

Przypadek pochodnej f x2 może być rozpatrzony analogicznie.

9.17. Bezpośrednim rachunkiem łatwo przekonać się, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu

każdej z rozważanych funkcji są ciągłe.

9.18. h jest wektorem: a) spadku, b) wzrostu, c) spadku, d) wzrostu, e) ani wzrostu, ani spadku.

9.19. Spośród podanych punktów funkcja ma ekstremum (minimum) jedynie w 1,1.9.20. a) Istnieje jeden punkt stacjonarny 10

7 ,157 , ale funkcja nie ma ekstremów lokalnych.

b) Maksimum lokalne w punkcie 1,23.

c) Minimum lokalne w 83 ,

23.

d) Warto rozważyć osobno przypadki a 0 i a x 0. W pierwszym brak ekstremów, w drugim

jedno ekstremum w punkcie a,a: minimum dla a @ 0, zaś maksimum dla a A 0.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 331 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

e) Punkty stacjonarne: x0 0,0, x1 º2,º

2 oraz x2 º2,º

2. W pierwszym funkcja

nie ma ekstremum, w dwóch kolejnych ma minima lokalne.

f) Minimum lokalne 13º4, 13º4.

g) Obliczając pochodne cząstkowe funkcji f łatwo zauważyć, że współrzędne punktów stacjo-

narnych spełniają układ równań:

x2 ln x21 x

22 2x2

1x2

x21 x

22 0, x1 ln x2

1 x22 2x2

2x1

x21 x

22 0. (11.1)

Załóżmy najpierw, że x1 x 0 i x2 x 0. Mnożąc pierwsze równanie przez x1, a drugie przez x2

i odejmując stronami, otrzymujemy po krótkich przekształceniach Sx1S Sx2S. Rozpatrując kolejno

przypadki x1 x2 i x1 x2 otrzymujemy z 11.1 współrzędne punktów stacjonarnych:

x1 1º2e,

1º2e ,x2 1º

2e,1º2e ,x3 1º

2e,1º2e ,x4 1º

2e,

1º2e .

Przypadki x1 0, x2 x 0 oraz x1 x 0, x2 0 oraz równania 11.1 prowadzą do kolejnych punktów

stacjonarnych:

x5 0,1, x6 1,0, x7 0,1, x8 1,0.Badając określoność macierzy drugiej pochodnej funkcji f w znalezionych punktach, łatwo można

wykazać, że w punktach x1 i x2 istnieje minimum lokalne funkcji f , a w punktach x3 i x4 lokalne

maksimum, w pozostałych zaś punktach funkcja nie ma ekstremum.

9.21. Ponieważ R 10 x2 ax b2dx 1

5 b2 1

3 a2 2

3 b 12 a ab, więc wyrażenie to ma

najmniejszą wartość, równą 1180 , dla a 1 i b 1

6 . Łatwo podać interpretację rozważanego proble-


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 332 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

mu, na przykład w kontekście przybliżenia funkcji kwadratowej funkcjami typu axb. Naturalnym

kryterium jest dążenie do minimalizacji, odpowiednio określonego, błędu przybliżenia. Czytelnika

zachęcamy, aby myśli te uściślił.

9.22. W oczywisty sposób zadanie sprowadza się do wyznaczenia minimum funkcji

f R2 R, fa, b n

Qi1axi b yi2.

Współrzędne jej punktu stacjonarnego a, b spełniają układ równań:

an

Qi1x2i b

n

Qi1xi

n

Qi1xiyi, a

n

Qi1xi bn

n

Qi1yi. (11.2)

Funkcja ma dokładnie jeden punkt stacjonarny a, b o współrzędnych:

a

n nPi1xiyi

nPi1xi

nPi1yi

n nPi1x2i nP

i1xi2 , b

1n

n

Qi1yi a

1n

n

Qi1xi,

w którym

f a, b <@@@@@@>nPi1x2i

nPi1xi

nPi1xi n

=AAAAAA? .Przy uczynionych założeniach, z podpunktu a) twierdzenia 9.40 łatwo wydedukować, że funkcja f

osiąga minimum lokalne dla stałych a, b o wartościach 11.2. Istotnie, skoro wśród liczb x1, . . . , xn


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 333 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

przynajmniej dwie są różne, to co najmniej jedna jest różna od 0, więcnPi1x2i A 0. Dalej zauważmy,

że dla każdego t > R wyrażenienPi1xi t2 jest dodatnie (dlaczego?). Stąd

0 @

n

Qi1xi t2 nt2 2t

n

Qi1xi

n

Qi1x2i .

Mamy do czynienia z trójmianem kwadratowym (względem t) przyjmującym zawsze wartości do-

datnie. Koniecznym i wystarczającym tego warunkiem jest ujemna wartość wyróżnika, ∆, tego

trójmianu. Otrzymujemy stąd nierówność

∆ 4 n

Q1xi2

4nn

Q1x2i @ 0,

która jest równoważna detf a, b A 0. Intuicyjnie wydaje się oczywiste, że funkcja f osiąga dla

wyznaczonych wartości parametrów swoją najmniejszą wartość. Czytelnikowi proponujemy podanie

stosownej argumentacji.

9.23. Wskazówka. Załóżmy, że f ma w punkcie x maksimum lokalne. Zauważmy, że jeśli funkcja

g jest rosnąca, to nierówność fx B fx jest równoważna nierówności g fx B g fx. Teza

wynika bezpośrednio z definicji maksimum lokalnego. Przypadek minimum f można rozważyć

analogicznie.

9.24. Największa i najmniejsza wartość funkcji są równe kolejno:

a) f0,3 15 oraz f1,0 1.

b) f1,0 f1,0 1, f0,1 f0,1 1.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 334 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

c) f2,0 4, f0,1 3;

e) fº2,º

2 2º

2, f0,2 2;

f) f0,3 f0,3 18, f0,0 0.

g) f0,2 4 i f0,0 0.

9.25. Niech x1, x2 oznaczają (wyrażone w kg.) zakupione i skonsumowane dzienne porcje odpo-

wiednio pokarmu A,B. Ich łączny koszt wynosi 12x115x2 zł. Parę x1, x2 można uznać za dzienną

dietę psa. Musi ona spełniać opisane w zadaniu warunki: dzienna konsumpcja nie przekracza 2kg.

(czyli x1x2 B 2). Zawartość (w mg.) mikroelementów m1 oraz m2 wynosi odpowiednio 10x115x2

oraz 30x1 20x2. Stąd otrzymujemy warunki 10x1 15x2 C 15 oraz 30x1 20x2 C 30. Oczywisty

sens mają warunki nieujemności x1 C 0, x2 C 0. Zadanie sprowadza się do znalezienia maksymalnej

wartości funkcji fx1, x2 12x1 15x2 na zbiorze określonym powyższymi warunkami. Rozwiąza-

niem jest x1, x2 35 ,

35. Minimalna wartość f , czyli minimalny koszt dziennej diety psa wynosi

f35 ,

35 81

5 , czyli 16,20 zł.

a) Uwzględnienie podatku VAT prowadzi do zwiększenia kosztów o 22%, co odpowiada za-

daniu wyznaczenia minimum funkcji 1,22fx1, x2 przy identycznych jak poprzednio warunkach

ograniczających. Rozwiązanie nie zmieni się, wzrośnie jedynie koszt utrzymania.

b) Efekt spadku ceny pokarmu B uwzględniamy wyznaczając minimum funkcji kosztu. Tym

razem jest ona równa gx1, x2 12x1 14x2. Czytelnika prosimy, aby sprawdził, że rozwiązanie

nie zmieni się.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 335 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


10.1. a) Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór

Ω O,O,O , O,O,R , O,R,O , R,O,O , R,R,O , R,O,R , O,R,R , R,R,Roraz

Ω 8. Zbiorem zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia, że otrzymamy dokładnie dwa orły

jest zbiór

A O,O,R , O,R,O , R,O,O ,zatem P A 3

8 .

b) B O,O,O , O,O,R , O,R,O , R,O,O, P B 12 .

c) C O,O,O , R,R,R, P C 14 .

10.2. a) Zbiór zdarzeń elementarnych Ω k,n k,n > 1,2, . . . ,6,

Ω 36. Zbiór zdarzeń

sprzyjających A 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 3,1 ,

A 6. Stąd P A 16 .

b) 12 .

c) Niech A1 oznacza zdarzenie: suma wyrzuconych oczek jest równa 6, a A2 – zdarzenie suma

wyrzuconych oczek jest równa 10. Wówczas rozpatrywane zdarzenie A jest alternatywą rozłącz-

nych zdarzeń A1 i A2, tzn. A A1 8 A2. Zauważmy, że A1 1,5 , 2,4 , 3,3 , 4,2 , 5,1,

A2 4,6 , 5,5 , 6,4, zatem

P A P A1 8A2 P A1 P A2 536

336 8

36 29 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 336 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

10.3. Zdarzeniami elementarnymi są są 6-cio elementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru

6-cio elementowego, zatem

Ω 66. Zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbiór A wszystkich 6-cio

elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-cio elementowego,

A 666 6!. StądP A

6!66

5!65

5324 .

10.4. a) Skorzystamy ze wzoru na sumę dwóch zdarzeń losowych (por. twierdzenie.10.4).

P A 8B 8C P A 8 B 8C P A P B 8C P A 9 B 8C P A P B P C P B 9C P A 9 B 8C P A P B P C P B 9C P A 9B 8 A 8C P A P B P C P B 9C P A 9B P A 8C P A 9B 9C .

b) Z warunku 1 P A B P A 8B B 1 wynika, że P A 8B 1, zatem

P A 9B P A P B P A 8B 1.

c) Z prawa kontrapozycji p q q p (por. rachunek zdań) wynika, że rozważane zdanie

jest równoważne zdaniu: jeśli A9B g, to P AP B B 1, którego dowód jest natychmiastowy,

gdyż P A 8B B 1.

10.5. Skorzystamy z prawdopodobieństwa geometrycznego. Możemy przyjąć, że zbiorem zda-

rzeń elementarnych jest przedział `0, ae o długości a, a zbiorem zdarzeń sprzyjających – przedziała14a,

34af o długości 1

2a. Zatem szukane prawdopodobieństwo jest równe 12 .

10.6. Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór wszystkich takich par x, y, że x, y > `0,1e,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 337 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

czyli Ω `0,1e `0,1e. Zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbiór A x, y > Ω y B 12x (por.

rysunek 11.10). Mamy SΩS 1, SAS 14 , zatem P A 1

4 .

Rysunek 11.10: Ilustracja do rozwiązania zadania 10.6

10.7. Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór Ω `0,1e `0,1e, SΩS 1. Zbiorem zdarzeń

sprzyjających jest zbiór A x, y > Ω x 0 - x A 0 , y @ 13x (por. rysunek 11.11).

Mamy SΩS 1, A 13 1 R 1

13

13xdx

13

13 ln 3, zatem P A 1

3 13 ln 3.

10.8. Równanie ma rzeczywiste pierwiastki wówczas, gdy jego wyróżnik ∆ 4b2 4c jest

nieujemny. Stąd otrzymujemy warunek c B b2. Skorzystamy z prawdopodobieństwa geometrycznego.

Mamy Ω b, c b, c > `0,1e, SΩS 1, A b, c > Ω c B b2, SAS 13 , zatem P A 1

3 .

10.9. a) F a ¢¦¨¤

0 dla a @ 0,12a

2 dla 0 B a @ 1,

1 12 2 a2 dla 1 B a @ 2,

1 dla a C 2.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 338 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


b) fa ¢¦¨¤

0 dla a @ 0,

a dla 0 B a @ 1,

2 a dla 1 B a @ 2,

0 dla a C 2.c) Wykresy funkcji przedstawione są na rysunku 11.12.

10.10. a) P A 9B P AP B 14

15

120 .

b) P A 8B P A P B P A 9B 14

15

120 2

5 .

c) P A B P A P A 9B 14

120

15 .

10.11. a) Ponieważ A 8A Ω, więc A 9B 8 A 9B Ω 9B B. Stąd otrzymujemy

P A 9B P A9B P B P AP B P A

9B P B P A

9B P B P AP B P A9B 1 P AP B

P A9B 1 P AP B P A

9B P AP B.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 339 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Wykres funkcji y F a (b) Wykres funkcji y fa


b) Wynika bezpośrednio z podpunktu a).

10.12. Z danych zadania wynika, że

P A P B P AP B 1,

zatem 1 P A P B1 P A, czyli 1 P A P B1 P A 0. Stąd otrzymujemy1 P A 1 P B 0, co kończy dowód.

10.13. Zbiór zdarzeń elementarnych Ω k,n k,n > 1,2, . . .6,

Ω 36,

A 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 4,1 ,

A 10, P A 1036 . B jest zbiorem takich par k,n > Ω, że albo obie liczby k,n są parzyste, albo

obie nieparzyste, P B 12 . Cześć wspólna A 9B 1,1 , 1,3 , 2,2 , 3,1, P A 9B 4

36

19 . Zdarzenia A i B są zatem zależne, gdyż P A 9B ~ P AP B.10.14. Zbadamy niezależność zdarzeń A – otrzymane wyniki są identyczne i B. Wyznaczając


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 340 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

zbiór zdarzeń elementarnych łatwo można zauważyć, że P A 14 , P B 1

2 , A9B O,O,O,

P A 9B 18 . Zdarzenia są niezależne, gdyż P A 9B P AP B.

10.15. Wystarczy zbadać niezależność zdarzeń A: wśród wyrzuconej liczby oczek nie ma ani

jednej szóstki, B: obie wyrzucone liczby oczek są parzyste. Wówczas A9B oznacza zdarzenie: obie

wyrzucone liczby oczek są parzyste i mniejsze od szóstki. Mamy zatem P A 9B 436 , P A 25

36 ,

P B 936 . Łatwo można sprawdzić, że 4

36 x 2536

936 . Zdarzenia A i B są więc zależne.

10.16. Zdarzenie A zachodzi wówczas, gdy druga wylosowana kula jest biała lub czarna, zatem

P A 38

27

38

57 3

8 . Zdarzenie B zachodzi wówczas, gdy pierwsza wylosowana kula jest biała,

a druga czarna lub, gdy pierwsza jest czarna, a druga – biała, stąd P B 38

57

58

37 15

28 .

Koniunkcja A9B oznacza zdarzenie: pierwsza wylosowana kula jest biała, a druga – czarna, zatem

P A 9B 38

57

1556 . Zdarzenia A i B są zależne.

10.17. Skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Niech A oznacza zdarzenie:

kula wylosowana z drugiej urny jest czarna, B1 – zdarzenie: z pierwszej urny wylosowaliśmy kulę

białą, a B2 – zdarzenie: z pierwszej urny wylosowaliśmy kulę czarną. Mamy wówczas

P A P ASB1P B1 P ASB2P B2 26

59

36

49

1127 .

10.18. Korzystamy ze wzoru Bayesa.

P B1SA P ASB1P B1P ASB1P B1 P ASB2P B2 5

271127

511 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 341 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Rysunek 11.13: Wykres dystrybuanty

10.19. a)xk 0 1 2

pk14

12

14

.

b) F x ¢¨¦¨¤

0 dla x @ 0,14 dla 0 B x @ 1,34 dla 1 B x @ 2,

1 dla x C 2.

Wykres funkcji przedstawiony jest na rysunku 11.13.

c) EX 0 14 1 1

2 2 14 1, EX2 02 1

4 12 12 22 1

4 32 , D2X E X2 EX2

32 1 1

2 .

10.20. a)xk 0 1 2 3

pk18

38

38

18

.

b) F x ¢¨¦¨¤

0 dla x @ 0,18 dla 0 B x @ 1,12 dla 1 B x @ 2,78 dla 2 B x @ 3,

1 dla x C 3.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 342 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


c) EX 0 18 1 3

8 2 38 3 1

8 32 , EX2 02 1

8 12 38 22 3

8 32 18 3, D2X E X2EX2

3 322

34 .

10.21. a) P X k 16 dla k 1,2, . . . ,6.

b) EX 72 , D2X 35

12 .

10.22. a) F x ¢¦¨¤

0 dla x @ 2,14 dla 2 B x @ 0,34 dla 0 B x @ 1,

1 dla x C 1.b) P X2 B 1 P X 0 -X 1 P X 0 P X 1 3

4 .

10.23. a) F x ¢¨¦¨¤


1 dla x C 2.Wykres dystrybuanty przedstawiony jest na rysunku 11.14.

b) EX 1 15 0 2

5 1 15 2 1

5 25 , EX

2 12

15 02 2

5 12 15 22 1

5 65 , D

2X 65 2

52 26

25 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 343 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

c) P X2 C 1 1 P X2 @ 1 P X 0 25 .

10.24. a)xk 2 1 2

pk15

15

35

.

b) EX 2 15 1 1

5 2 35 1, EX2 22

15 12 1

5 22 35

175 , D2X 17

5 12 125 .

c) P 3X B 2 P X B 23 F 2

3 15 .

10.25. a)xk 2 3 4 5

pk320

1020

520

220

b) P X C 4 P X 4 -X 5 P X 4 P X 5 720 .

c) EX 3310 , D2X 71

100 .

10.26. a)xk 1 2 3

pk15

310

12

.

b) F x ¢¨¦¨¤

0 dla x @ 1,15 dla 1 B x @ 2,12 dla 2 B x @ 3,

1 dla x C 3.

10.27. a)xk 0 1 2

pk1934

1334

117

.

b)yk 1 0 1

pk1934

1334

117

.

c) EX 0 1934 1 13

34 2 117 1

2 , EX2 02 1934 12 13

34 22 117 21

34 , D2X 2134 1

22 25

68 ,

EY 1 1934 0 13

34 1 117

12 , EY 2 12

1934 02 13

34 12 117 21

34 , D2Y 2134 1

22 25

68 .

Wariancje są jednakowe (wynika to z twierdzenia 10.19).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 344 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


10.28. a) Zmienna X ma rozkład geometryczny z parametrem p 13 , P X k 1

3 23k1

,

gdzie k 1,2, . . ..

b) P X C 5 1 P X @ 5 1 13

13

23

13 2

32

13 2

33 1 6581 16

81 .

10.29. a) F x ¢¦¤ 0 dla x @ 3,

1 dla x C 3.Wykres funkcji na rysunku 11.15.

b) EX 3, D2X 0.

10.30. a) EX 0 q 1 p, gdzie q 1 p, EX2 p, D2X p p2 p 1 p pq.b) F x

¢¦¤

0 dla x @ 0,23 dla 0 B x @ 1,

1 dla x C 1.Wykres dystrybuanty na rysunku 11.16.

10.31. a) P X 0 30 1

40 343

2764 , P X 1 3

1 141 3

42 27

64 , P X 2 32 1

42 341

964 , P X 3 3

3 143 3

40 1

64 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 345 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec


b) F x ¢¨¦¨¤


1 dla x C 3.10.32. Niech X oznacza liczbę otrzymanych orłów. Zmienna X ma rozkład Bernoulliego z

parametrami p 12 , n 8.

a) P X 3 83 1

28 7

32 .

b) P X C 3 1 P X @ 3 1 P X 0 P X 1 P X 2 1 8

0 128

81 1

28 8

2 128 219

256 .

c) P X B 3 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 8

0 128

81 1

28 8

2 128

83 1

28 93

256 .

10.33. Niech X oznacza liczbę sukcesów. Zmienna X ma rozkład Bernoulliego z parametrami

p 13 , n 6.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 346 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

a) P X 1 61 1

31 235

64243 .

b) P X 2 62 1

32 234

80243 .

c) P X C 1 1 P X 0 1 60 1

30 236

665729 .

10.34. a) Korzystając z własności całki niewłaściwej, otrzymujemy

Sª

ª

fxdx S 0

ª

fxdx S 2

0fxdx S ª

2fxdx S 2

0fxdx S 2

0cdx 2c.

Z warunku R ªª fxdx=1 wynika, że c 12 .

b) Jeśli x @ 0, to F x R xª ftdt R xª 0dt 0.

Dla 0 B x @ 2 mamy

Sx

ª

ftdt S 0

ª

ftdt S x

0ftdt S 0

ª

0dt Sx

0ftdt S x

0

12dt

12x.

Zaś dla x C 2 mamy

Sx

ª

ftdt S 0

ª

ftdt S 2

0ftdt S x

2ftdt S 2

0

12dt 1.

Ostatecznie F x ¢¦¤

0 dla x @ 0,12x dla 0 B x @ 2,

1 dla x C 2.c) Wykresy na rysunku 11.17.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 347 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Wykres funkcji gęstości (b) Wykres dystrybuanty

Rysunek 11.17: Wykresy funkcji z rozwiązania zadania 10.34

d) P 1 @X @ 13 F 1

2 F 1 12

13 0 1

6 .

10.35. a) Funkcja gęstości jest określona wzorem

fx ¢¦¤1

b adla x > à, be ,

0 dla x ¶ à, be .Dla x @ a mamy F x R xª ftdt R xª 0dt 0. Dla a > à, b mamy

F x S x

ª

ftdt S a

ª

0dt Sx

a

1b a

dt x a

b a.

Jeśli x C b, to

F x S x

ª

ftdt S a

ª

0dt Sb

a

1b a

dt Sª

b0dt 1.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 348 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Ostatecznie

F x ¢¦¤

0 dla x @ a,xaba dla a B x @ b,

1 dla x C b.

b) Momenty są odpowiednio równe

EX Sª

ª

xfxdx S b

ax

1b a

dx 1

b a

12x2b

a

12

1b a

b2 a2 b a

2,

EX2 Sª

ª

x2fxdx S b

ax2 1b a

dx 1

b a

13x3b

a

13

1b a

b3 a3 1

3b2

ab a2 ,D2X

12b2

ab a2 12b a2

112

b a2.

10.36. Wyznaczymy dystrybuantę zmiennej Y , a następnie obliczymy jej pochodną otrzymując

funkcję gęstości. Zmienna X ma dystrybuantę

F x ¢¦¤

0 dla x @ 1,x1

4 dla 1 B x @ 3,

1 dla x C 3.

Niech G y P Y B y będzie dystrybuantą zmiennej Y . Mamy

G y P X 2 B y P X B y 2 F y 2 ,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 349 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

zatem

Gy ¢¦¤

0 dla y @ 1,y1

4 dla 1 B y @ 5,

1 dla y C 5.

Funkcja G y jest różniczkowalna poza punktami y 1 i y 5 (w tych punktach funkcja gęsto-

ści gy nie jest ciągła). Zmienna Y ma rozkład jednostajny w przedziale `1,5e o funkcji gęstości

fx ¢¦¤14 dla x > `1,5e ,0 dla x ~> `1,5e .

10.37. Dystrybuanta zmiennej Y jest określona wzorem Gy P Y B y P X2 B y. Roz-

ważmy następujące przypadki. Jeśli y B 0, to Gy 0. Dla y A 0 mamy

G y P ºy BX Bºy F ºy F ºy ,

gdzie F x jest dystrybuantą zmiennej X. Jeśli y > 0,1e, to ºy > `1,0, w konsekwencji

F ºy F ºy 12ºy 1 1

2ºy 1 ºy.

Jeśli y A 1, to ºy @ 1, wówczas F ºy F ºy 1. Ostatecznie

G y ¢¦¤

0 dla y @ 0,ºy dla 0 B y @ 1,

1 dla y C 1.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 350 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

(a) Wykres funkcji gęstości (b) Wykres dystrybuanty

Rysunek 11.18: Wykresy funkcji z rozwiązania zdania 10.38

Różniczkując, poza punktami y 0 i y 1, funkcję Gy otrzymamy funkcję gęstości gy zmiennej

Y (w punktach y 0 i y 1 możemy przyjąć gy 0). Reasumując gy ¢¦¤1

2ºy dla y > 0,1 ,

0 dla y ~> 0,1 .10.38. a) c 1

2 .

b) fx ¢¦¤

0 dla x @ 0,14x

2 dla 0 B x @ 2,

1 dla x C 2.c) Wykresy funkcji na rysunku 11.18.

d) P 1 @X @ 12 F 1

2 F 1 116 0 1

16 .

10.39. a) c 6.

b) F x ¢¦¤

0 dla x @ 0,

3x2 2x3 dla 0 B x @ 1,

1 dla x C 1.c) P X @ 1

2 F 12 1

2 .

10.40. a) Ponieważπ

R0c sinxdx 2c, więc c 1

2 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 351 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) Momenty zmiennej X są równe

EX

π

S0

12x sinxdx 1

2π,

EX2

π

S0

12x

2 sinxdx 12π

2 2,

D2X 12π

2 2 1

2π2 1

4π2 2.

c) P 12π @X @ 3

4π R 34ππ2

12 sinxdx 1

4

º2.

d) F x ¢¦¤

0 dla x @ 0,12

12 cosx dla 0 B x @ π,

1 dla x C π.

10.41. a) c 12 .

b) EX 0, D2X 14π

2 2.

10.42. a) c 2.

b) F x ¢¦¤ 0 dla x @ 2,

1 2x dla x C 2.

c) Całkując, otrzymujemy

EX Sª

22x

1x2dx S

ª

22

1xdx 2 lnxª2 ª.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 352 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Całka jest rozbieżna, EX nie istnieje.

10.43. a) P 1 @X @ 52 F 5

2 F 1 1 e5 1 e2 e2 e5.

b) fx ¢¦¤ 0 dla x B 0

2e2x dla x A 0.c) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ 2, zatem EX 1

λ 12 ,

D2X 1λ2

14 .

10.44. a) Zmienna X ma funkcję gęstości fx ¢¦¤ 0 dla x B 0,

3e3x dla x A 0i dystrybuantę

F x ¢¦¤ 0 dla x B 0,

1 e3x dla x A 0.

Stąd P 12 @X B 2 F 2 F 1

2 1 e6 0 1 e6.

b) Niech Gy P Y B y będzie dystrybuantą zmiennej Y . Dla y B 0 mamy

Gy P 3X B y P X B 13y F 1

3y 0.

Dla y A 0 mamy Gy F 13y 1 ey. Funkcja gęstości zmiennej Y jest określona wzorem

gy ¢¦¤ 0 dla y B 0,

ey dla y A 0.Zmienna Y ma rozkład wykładniczy z parametrem λ 1.

10.45. Niech F x oznacza dystrybuantę rozkładu N0,1. Zauważmy, że na podstawie twier-

dzenia 10.37 zmienna Y X 1

3ma rozkład N0,1.

a) P 1 @X @ 3 P 113 @ X1

3 @ 313 F 2

3 F 23 2F 2

3 1.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 353 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

b) P 0 @X @ 1 F 0 F 13 1

2 1 F 13 F 1

3 12 .

c) P SX EX S C 3σ 1 P SX EX S @ 3σ 1 P SX 1S @ 9 1 P 9 @X 1 @ 9 1 P 3 @ X1

3 @ 3 1 F 3 F 3 2 2F 3.10.46. Oznaczmy przezX liczbę otrzymanych orłów. Zmienna losowaX ma rozkład Bernoulliego

z parametrami n 100, p 12 .

a) Korzystamy z twierdzenia lokalnego de Moivre’a-Laplace’a (tw. 10.38). Mamy np 50, npq

25,ºnpq 5, x45

45505 1,

P X 45 15

1º2πe12 1

5º

2πe

(wartość numeryczną można wyznaczyć korzystając z kalkulatora lub tablic statystycznych).

b) P X 50 15

1º2πe0 1

5º

2π.

c) P X 60 15

1º2πe2.

10.47. Niech X oznacza liczbę otrzymanych orłów. Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego

z parametrami n 10000, p 12 . Korzystamy z twierdzenia 10.38. Mamy np 5000, npq 2500,º

npq 50, x4950 49505000

50 1, a więc P X 4950 150

1º2πe12 .

10.48. 150

1º2πe12 .

10.49. Oznaczmy przezX liczbę otrzymanych orłów. Zmienna losowaX ma rozkład Bernoulliego

z parametrami n 10000, p 12 . Skorzystamy z twierdzenia integralnego de Moivre’a-Laplace’a (tw.


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 354 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

10.39). Mamy np 5000,ºnpq 50, a więc

P 4950 @X @ 5100 P 4950500050 @ X5000

50 @ 5100500050 P 1 @ X5000

50 @ 2 P 1 @ X5000

50 @ 2 F 2 F 1 F 2 F 1 1,

gdzie F oznacza dystrybuantę rozkładu N0,1.10.50. 2F 2 1, gdzie F oznacza dystrybuantę rozkładu N0,1.10.51. Niech X oznacza liczbę sukcesów. Zmienna X ma rozkład Bernoulliego z parametrami

n 180, p 16 .

P X C 40 1 P k @ 40 1 P X305 @ 2 1 F 2 ,

gdzie F jest dystrybuantą rozkładu N0,1.10.52. a) Korzystamy z twierdzenia lokalnego de Moivre’a-Laplace’a dla n 10000, p 1

2 , q 12 .

Oznaczmy przez X liczbę wylosowanych liczb parzystych, wówczas

X 200 10000 XX 5100,

xk knpºnpq 2.

Stąd P X 5100 150º

2πe2.

b) Korzystamy z twierdzenia integralnego de Moivre’a-Laplace’a. Przyjmując oznaczenia takie,


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 355 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

jak w podpunkcie a), otrzymujemy

P X 200 C 10000 X P X C 5100 1 P X @ 5100 1 P X5000

50 @ 2 1 F 2 .10.53. Niech X oznacza liczbę wylosowanych kul białych. Zmienna losowa X ma rozkład Berno-

ulliego z parametrami n 50, p 150 . Stosując twierdzenie Poissona (twierdzenie 10.40), gdzie λ n

p

50 150 1, otrzymujemy

P X C 2 1 P X B 1 1 P X 0 P X 1 1 10

0! e1

111! e

1 1 2e1.

10.54. Niech X oznacza liczbę sztuk wadliwych w pobranej próbce. Przyjmujemy, że zmienna lo-

sowa X ma rozkład Bernoulliego (jeśli pobrana próbka jest mała w stosunku do całej partii towaru,

to można przyjąć takie założenie) z parametrami n 60, p 120 . Szacujemy prawdopodobieństwa

zdarzeń korzystając z twierdzenia Poissona, gdzie λ np 3.

a) P X 0 300! e

3 e3.

b) P X C 3 1 P X B 2 1 P X 0 P X 1 P X 2 1 30

0! e3 31

1! e3 32

2! e3 1 17

2 e3.

10.55. Niech X oznacza liczbę błędów na ustalonej stronie (numer strony jest nieistotny).


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 356 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego z parametrami n 48, p 1120 . Korzystamy z twier-

dzenia Poissona, gdzie λ 48120

25 , stąd

P X C 2 1 P X @ 2 1 P X 0 P X 1 1 1 2

5 e25 1 7

5e

25 .


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 357 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

Skorowidz

alternatywa zdarzeń, 222

asymptota

pionowa, 79

pozioma, 79

ukośna, 79

baza

przestrzeni liniowej, 145

bijekcją, 44

bijekcja, 31

całka

nieoznaczona, 114

oznaczona, 119

- interpretacja geometryczna, 120

ciąg

arytmetyczny, 63

geometryczny, 63

liczbowy, 61

malejący, 62

monotoniczny, 62

niemalejący, 62

nierosnący, 62

ograniczony, 65

z dołu, 65

z góry, 65

rosnący, 62

rozbieżny, 67

do nieskończoności, 70

stały, 62

zbieżny, 67

ciągłość funkcji

w punkcie, 77

w zbiorze, 77


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 358 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

częściowy porządek, 23

długość wektora, 131

dopełnienie algebraiczne, 169

druga pochodna, 100

dystrybuanta, 228

ekstremum funkcji, 209

ekstremum lokalne, 47

elastyczność cząstkowa funkcji, 198

elastyczność funkcji, 91

element

macierzy, 149

funkcja, 30, 35

m-krotnie różniczkowalna, 208

ściśle wklęsła, 102

ściśle wypukła, 102

ciągła, 192

ciągła w punkcie, 192

dwukrotnie różniczkowalna, 101

w sposób ciągły, 101

dziedzina, 36

gęstości, 237

gamma, 239

kosztów całkowitych, 90

kosztów krańcowych, 90

kosztów przeciętnych, 90

malejąca, 45

malejąca coraz szybciej, 105

malejąca coraz wolniej, 105

monotoniczna, 45

na, 43

niemalejąca, 45

nierosnąca, 45

odwrotna, 55

prawdopodobieństwa, 230

różniczkowalna, 85

w sposób ciągły, 205

różniczkowalna w punkcie, 84

różnowartościowa, 42

rosnąca, 45

rosnąca coraz szybciej, 105

rosnąca coraz wolniej, 105

rzeczywista jednej zmiennej, 36

stała, 45


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 359 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

wklęsła, 102

wypukła, 102

złożona, 53

zbiór wartości, 36

funkcja

wzajemnie jednoznaczna, 44

funkcja pierwotna, 113

funkcja rzeczywista

k-zmiennych, 187

funkcja zdaniowa, 15

funktor, 9

alternatywa, 10

dwuargumentowy, 10

implikacja, 10

jednoargumentowy, 10

koniunkcja, 10

negacja, 9

równoważność, 10

zdaniotwórczy, 9

główna przekątna macierzy, 150

gradient funkcji, 197

granica

ciągu, 66

lewo- i prawostronna funkcji

w punkcie, 75

niewłaściwa, 70

niewłaściwa funkcji

w punkcie, 75

właściwa funkcji

w nieskończoności, 75

w punkcie, 75

hesjan, 200

hiperpłaszczyzna, 138

iloczyn macierzy, 151

iloczyn macierzy przez liczbę, 151

iloczyn wektora przez liczbę, 133, 139

iloraz ciągu geometrycznego, 63

iloraz różnicowy, 85

iniekcja, 31, 42

kartezjański układ współrzędnych, 130

klasa abstrakcji, 23

kolumna macierzy, 150

kombinacja


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 360 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

liniowa, 142

koniunkcja zdarzeń, 222

kwantyfikator, 17

egzystencjalny, 17

ogólny, 17

szczegółowy, 17

liczba Eulera, 69

macierz, 149

antysymetryczna, 151

diagonalna, 150

dołączona, 169

dopełnień algebraicznych, 169

jednostkowa, 150

kwadratowa, 150

nieosobliwa, 154

odwrotna, 154

osobliwa, 154

pochodnej, 206

pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, 200

podstawowa, 174

postać kolumnowa, 153

równoważna, 157

rozszerzona, 174

symetryczna, 151

trójkątna dolna, 150

trójkątna górna, 150

transponowana, 151

macierze

równe, 150

macierze przemienne, 153

maksimum lokalne, 47

maksimum lokalne funkcji, 210

minimum lokalne, 47

minimum lokalne funkcji, 209

minor, 168

główny, 168

moment

centralny drugiego rzędu, 231, 238

zwykły drugiego rzędu, 231, 238

zwykły pierwszego rzędu, 231, 238

obraz zbioru, 31, 50

odchylenie standardowe, 231, 238

odcinek, 131

odległość, 131, 138


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 361 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

odwzorowanie, 30, 36

obcięcie, 31

odwrotne, 32

różnowartościowe, 31

wzajemnie jednoznacznym, 31

zbioru na zbiór, 31

operacja elementarna

drugiego typu, 157

pierwszego typu, 157

trzeciego typu, 157

otoczenie punktu, 187

półpłaszczyzna, 135

półprzestrzeń, 138

płaszczyzna, 135

para uporządkowana, 21

pierwsza pochodna, 85

pochodna

cząstkowa, 204

drugiego rzędu, 199

cząstkowa rzędu m, 208

funkcji w punkcie, 84

kierunkowa, 203

lewostronna funkcji, 85

prawostronna funkcji, 85

pochodna funkcji

drugiego rzędu, 100

pierwszego rzędu, 84

pochodne

mieszanymi, 199

podzbiór, 13

podział zbioru, 24

porządek liniowy, 23

postać bazowa

macierzy, 159

układu równań, 177

prawdopodobieństwo, 222

geometryczne, 223

warunkowe, 224

prawo de Morgana, 11

dopełnienie iloczynu uogólnionego, 21

dopełnienie iloczynu zbiorów, 15

dopełnienie sumy uogólnionej, 20

dopełnienie sumy zbiorów, 15

zaprzeczenie alternatywy, 11


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 362 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

zaprzeczenie koniunkcji, 12

zaprzeczenie kwantyfikatora ogólnego, 17

prawo rachunku zdań, 11

prosta, 131

przeciwobraz zbioru, 31, 50

przekształcenie, 36

przestrzeń, 14

częściowo uporządkowana, 23

dwuwymiarowa, 131

ilorazowa, 23

liniową, 139

liniowo uporządkowana, 23

wektorowa, 138

zerowa macierzy, 175

punkt

izolowany, 74

podejrzany o ekstremum, 95

przegięcia wykresu funkcji, 103

skupienia, 74

stacjonarny, 95

stacjonarny funkcji, 211

wewnętrzny, 187

różnica ciągu arytmetycznego, 63

równanie

hiperpłaszczyzny, 138

kierunkowe prostej, 131

ogólne prostej, 131

płaszczyzny, 135

parametryczne odcinka, 135, 140

parametryczne prostej, 134, 139

relacja, 21

antysymetryczna, 22

dziedziną, 22

lewostronnie jednoznaczna, 30

odwrotna, 22

prawostronnie jednoznaczna, 30

przechodnia, 22

przeciwdziedzina, 22

przeciwsymetryczna, 22

przeciwzwrotna, 22

równoważności, 23

spójna, 23

symetryczna, 22

zwrotna, 22


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 363 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

rozkład

Bernoulliego, 232

chi-kwadrat, 240

ciągły, 237

gamma, 239

geometryczny, 232

jednopunktowy, 231

jednostajny, 239

normalny, 240

Poissona, 233

prawdopodobieństwa, 229

równomierny, 232

skokowy, 229

standaryzowany, 240

wykładniczy, 239

zero-jedynkowy, 232

rozwiązanie

bazowe, 180

układu, 175

rozwinięcie Laplace’a, 164

rząd

macierzy, 154

schemat Sarrusa, 163

silnia, 62

składowe wektora, 132

suma macierzy, 151

suma wektorów, 133, 139

superpozycja, 53

superpozycja odwzorowań, 32

suriekcja, 31, 43

tautologia, 11

prawo kontrapozycji, 12

transpozycja, 151

twierdzenie

Cauchy’ego, 167

Kroneckera-Capelli, 175

o całkowaniu przez części, 116

o całkowaniu przez podstawienie, 117

Schwarza, 200

układ

liniowo niezależny, 142

liniowo zależny, 142

układ Cramera, 182

układ równań


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 364 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

jednorodny, 175

niejednorodny, 175

niesprzeczny, 175

postać macierzowa, 174

postać skalarna, 174

postać wektorowa, 174

równoważny, 176

sprzeczny, 175

wariancja, 231, 238

warstwica funkcji, 187

wartość logiczna, 9

wartość oczekiwana, 230, 237

wektor

jednostkowy, 146

niewiadomych, 174

przeciwny, 139

spadku wartości funkcji, 204

swobodny, 132

wyrazów wolnych, 174

wzrostu wartości funkcji, 204

zerowy, 139

związany, 131

wektory

liniowo niezależne, 142

liniowo zależne, 142

wersor osi, 146

wiersz macierzy, 150

współczynnik

kierunkowy prostej, 131

kombinacji liniowej, 142

współrzędne

punktu, 130

wektora, 132

wykres funkcji, 187

wyrażenia nieoznaczone, 71

wyraz ciągu, 61

wyznacznik

główny układu, 183

wyznacznik macierzy, 162

wzory Cramera, 183

złożenie odwzorowań, 32

zbiór, 13

dopełnienie, 14

liczb całkowitych, 13


Strona główna

Strona tytułowa

Spis treści

NN LL

N L

Strona 365 z 365

Powrót

Pełny ekran

Zamknij

Koniec

liczb naturalnych, 13

liczb rzeczywistych, 13

liczb wymiernych, 13

otwarty, 187

pusty, 13

skończony, 13

zbiory, 13

część wspólną, 14

iloczyn, 14

iloczyn kartezjański, 21

iloczyn uogólniony, 19

indeksowana rodzina podzbiorów, 18

różnica, 14

równe, 13

suma, 14

suma uogólniona, 18

zdanie, 9

złożone, 9

zdarzenia

niezależne, 223

rozłączne, 222

zależne, 224

zdarzenie

elementarne, 221

losowe, 221

niemożliwe, 222

pewne, 222

przeciwne, 222

zmienna

bazowa, 180

losowa jednowymiarowa, 228

niebazowa, 180


nn ll n l - web.sgh.waw.plweb.sgh.waw.pl/~mkwas/mat/matebook.pdf · • rachunek różniczkowy...

Documents