números racionales. 8° · 2017. 2. 21. · números racionales. 8° 1 el conjunto de los números...
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Sarita Melissa Cubero Solano
Colegio Nocturno de Turrialba Enrrique Menzel
Números Racionales. 8° Departamento de Matemática
Lic. Sarita Melissa Cubero Solano
Nombre del estudiante: _________________________________________
Números Racionales. 8°
1
El conjunto de los números Racionalesi
El conjunto denotado por ℚ conℚ = 𝑎
𝑏 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ , 𝑏 ≠ 0 . Este es un conjunto infinito, ordenado y
discreto. Este contiene al conjunto de los Números Naturales (ℕ) y el de los Números Enteros ( ℤ).
El conjunto de los números racionales: ℚ
El conjunto de los números racionales se representa simbólicamente por ℚ y está formado por los números de
la forma: 𝑎
𝑏 donde 𝑎 y 𝑏 son números enteros con (𝑏 ≠ 0)
Tenemos pues: ℚ = … ,−3
2, … , −1, … ,
−1
2, … ,0, … ,
4
3, … ,
3
2, … ,2, …
También podemos expresar el conjunto de los números racionales Q por notación por comprensión de la
siguiente forma: ℚ = 𝑎
𝑏; 𝑎 ∈ ℚ, 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ≠ 0 y ℚ = ℚ+ ∪ 0 ∪ ℚ−
Características del Conjunto de los Números racionales . Infinito: pues no tienen ni primer ni último elemento y la cantidad de elementos, no es contable.
Denso o continuo: púes entre dos números racionales cualesquiera distintos, siempre es posible encontrar
otro número real.
Ejemplo:
Nombre algunos números reales entre los indicados en cada caso.
a. 2 y 3 b. 1
7 y 0,16 c.
−5
9 y
1
6
Ordenado:El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ℕ, ℤ , es un conjunto
totalmente ordenado. Por tanto cualquier número que se encuentre a la derecha de otro, en la recta numérica
es mayor y viceversa. Además para cuales quiera 𝑎 y 𝑏, se cumple la ley siguiente:
Recuerde que todo número entero es racional y por tanto se puede expresar como una fracción.
Ejemplo:
5 =15
3=
25
5=
25
1 …
Números Racionales. 8°
2
Ley de tricotomía
Sea 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ con 𝑎 ≠ 𝑏 entonces se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones
𝑎 < 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏 𝑜 𝑎 > 𝑏
Ejemplo:
Ubique en la recta numérica los números siguientes:
a. 1 b. -1 c. 0,2 d. 0,01 e. 1
4 f.
3
7
Opuesto de un número racional
Para cada n ∈ ℝ existe otro número real que llamaremos opuesto de n y lo denotaremos –n. El número real
y su opuesto se representan en la recta numérica a la misma distancia de cero, en sentidos opuestos y por
tanto tienen signos contrarios. Además se cumple que − −𝑛 = 𝑛.
Ejemplo:
a. −6 ⟶__. b.
7
2⟶___.
c. 𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑚 > 0 →___- d. 𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑑 < 0 →_____. Valor absoluto de un número racional
Es la distancia que existe entre un número y el cero. Siempre es positivo o cero y se escribe entre barras.
Ejemplo:
a. −3 = b. 0 = c. 4 = d. − −3 =
Clasificación de las fracciones:
Fracción propia: números racionales fraccionarios positivos cuyo denominador sea mayor que el numerador .
Ejemplo: 1
2
Fracción impropia: Los números racionales fraccionarios positivos, cuyo denominador sea menor que el
numerador .
Ejemplo:5
3
Fracciones unitarias: Los números racionales fraccionarios, cuyo denominador sea igual que el numerador.
Ejemplo:7
7
−𝑛 𝑛 0
Números Racionales. 8°
3
Número mixto:La suma de un número entero c y una fracción propia. Se denota como
𝑐𝑎
𝑏 con 𝑎 < 𝑏
Ejemplo: 31
7
Fracción irreducible o canónica:Los números racionales fraccionarios, cuyo numerador y denominador solo
tienen como m.c.d igual a 1.
Ejemplo:3
5
Fracción nula: Los números racionales de la forma 𝑎
𝑏con 𝑎 = 0 ∧ y𝑏 ≠ 0.
Ejemplo:0
9
Recuerde: Cualquier expresión cuyo denominador sea igual a cero, se encuentra indefinida.
Práctica
1) Representación gráfica de las fracciones
2) Escribe un ejemplo para fracción: unitaria, impropia, nula, propia y un número mixto.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
Números Racionales. 8°
4
3) Determine cuales expresiones son números racionales
3,56 5,67862… 1
2
0 - 5 −5
2
3,11111… 0,2345
4) Determine el opuesto de cada número
-4 2 -9,32 9 0 −6
2
6 −8
2
5) Determine el opuesto dado para cada caso
−3 − −4 4 + 1 0 −4 − 5 7 + 8 4 − −5
6) Simplifica o reduce las siguientes fracciones a la forma irreducible
a) )154
66
18
54 b)
40
144 c)
750
1000 d e)
3780
840 f)
4212
25272
7) Escribe >; < o =
a
d
) ...... ........ .......
) ...... ....... .........
3
4 b) -
1
7 c) -
4
8
e) -3
12 f)
1
2
8
5
14
5
20
40
11
13
5
12
9
15
1
7
Conversiones en ℚ
De número mixto a fracción impropia
Para pasar de un número mixto a una fracción impropia, se mantiene el mismo denominador y el nuevo
numerador se obtiene, de multiplicar la parte entera por el denominador y sumarle el numerador.
a c b ac
b b
Ejemplo:2 3 5 2
53 3
De fracción impropia a número mixto
Para pasar de una fracción impropia a un número mixto, se divide el numerador entre el denominador, donde el
cociente es la parte entera del número mixto, el residuo es el numerador y se mantiene el mismo denominador.
a rc
b b
Ejemplo:7 2
15 5
Números Racionales. 8°
5
De notación fraccionaria a decimal
Para pasar de un número racional fraccionario a notación decimal se divide el numerador entre el denominador,
hasta que el residuo de cero o hasta determinar si el número tiene periodo o no.
Ejemplo:7
3 = 2,333…= 2,3
Tipos de expansión decimal
Decimal finita: La expansión decimal finita es aquella en la que se puede contar la cantidad de decimales que
posee un número.
Ejemplo:1
0,52
Decimal infinito periódico: La expansión decimal infinita es aquella en la que no se puede contar la cantidad
de decimales que posee un número y se puede presentar dos casos:
Caso#1 Pura: La expansión decimal periódica es aquella en la que se repite infinitamente la parte decimal de
un número.
Ejemplo:
222,4 2,4444444...
9
20,66... 0,6
3
Caso#2 Mixta: La expansión decimal periódica mixta es aquella, en la que la parte decimal del número, posee
período (cifras que se repiten infinitamente) y ante período (cifras entre el periodo y la coma).
Ejemplo:
70,23
30
193,16
6
4191,269
330
De notación decimal a fraccionaria
Para pasar de un número decimal a notación fraccionaria se debe primero analizar cual expansión decimal
presenta el número que se desea convertir, ya que para cada caso la conversión es diferente. Veamos los
posibles casos:
Caso #1: De notación decimal finita a fraccionaria
Tomamos todas las cifras del número, tanto la parte entera como la decimal, y lo establecemos como el
numerador de la fracción y por denominador una potencia de 10n
, donde n representa la cantidad de
decimales que posee el número.
Números Racionales. 8°
6
Ejemplo 2
206 206 1032,06
10 100 50
Caso#2: De notación decimal periódica pura a fraccionaria
Para hallar la fracción deseada, se toma como numerador la diferencia de el número dado sin coma y la parte de
este número que no es período, y como denominador tantos nueves como dígitos tenga el período.
Ejemplo: a)
21 70,21
99 33
b)
121 1 120 401,21
99 99 33
Caso #3: De notación decimal periódica mixta a fraccionaria
Para hallar la fracción deseada, se toma como numerador la diferencia del número dado sin coma y la parte de
este que no contiene el periodo, y como denominador tantos nueves como dígitos tenga el periodo y tantos ceros
como dígitos tenga el anteperíodo.
Ejemplo:
1315 13 1302 651 2171,315
990 990 495 165
1. Expresa los siguientes decimales infinitos como fracción común.
14,0 ; 245,0 ; 50,4 ; 362,6
2. Suma las siguientes cantidades:
a) 3,003,0 b) 16,061,0 c) 02,54012,0 d) 06,060,0
3. Ordena de mayor a menor.
a. 03,0 ; 3,0 ; 30,0
b. 015,0 ; 15,0 ; 51,0
c. 0225,0 ; 522,0 ; 252,0 ; 225,0
4. Expresa en forma de fracción:
a) 0,25 b) 3,5 c) 0,7 d) 0,02 e) 1,37 f) 1,2 g) 3,2
h) 0,02 i) 0,4 j) 1,43 k) 0,05 l) 5,05 m) 20,045
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Operaciones en ℚ
Suma
Para sumar dos números racionales de igual signo, se suman sus valores absolutos y se mantiene en el
resultado, el signo que posee los números.
Ejemplo:
a) 7 9 13
2 3 2 b)
4 2 22
5 3 15
Resta
Para restar dos # racionales, se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo, ie la operación resta se pasa a suma y
al sustraendo se le cambia de signo.
Ejemplo:
a) 1 13
7 0,5 72 2
b)1 2 17 15 44
2 37 5 5 7 35
Multiplicación
Para multiplicar dos número enteros se multiplican los valores absolutos de cada uno de los factores; el producto será:
Positivo: si ambos números enteros poseen igual signo.
Cero: si uno o ambos de los números enteros es cero.
Negativo: si ambos números enteros poseen diferente signo.
Es decir, podemos analizar el signo del resultado mediante la ley de signos
Definición: Sean ,a b Z con b ≠ 0, a≠ 0 y a
Qb , entonces el recíproco de
a
b es el número
b
a, el cual es
también un número racional.
Ejemplo:
a) 3 1 3
8 2 16 b)
1 2 2
7 5 35
División
Sean ,a c
b d dos números racionales, tales que b, c, d ≠ 0, entonces :
a c a d
b d b c y el signo del cociente se
determina según la ley de signos.
Ejemplo:
a) 4 5 4 2 8
3 2 3 5 15 b)
1 2 1 5 5
7 5 7 2 14
- suma - = - + suma + = +
a – b = a + -b a: minuendo y b: sustraendo
Números Racionales. 8°
8
Resuelve:
a. 10
2
5
2
f) 4
3
3
5 =
b) 6
3
2
1 g)
3
2
5
2 =
c)
6
3
6
1
h) 3
2
9
7
=
Números Racionales. 8°
9
d)
2
5
8
4
i) 4
1
4
3
=
e)
2
2
8
1
k) 5
3
7
8
=
Resuelva las divisiones siguientes
7
8:
5
3 =
3
8:
12
5 =
5
2:
7
4 = 8:
7
6 =
5
18:
9
10 =
8
5:12 =
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Problemas con fracciones
1. Un comerciante compra mercaderías por valor de $870. Ha vendido las dos terceras partes de lo que
compró realizando un beneficio igual a los dos quintos del precio de la compra. ¿Cuánto cobró por las
mercaderías vendidas?
2. ¿A qué es igual el cociente de un número fraccionario por su numerador?
3. Una deuda más dos quintos de la misma alcanzan $14.000.
¿A cuánto asciende la deuda?
4. Una modista emplea metros para hacer un vestido. ¿Cuántos vestidos pueden hacer con 52 metros de
género?
5. Dos señoras salen de compras llevando entre las dos $494. La primera gasta los tres séptimos de lo que
llevaba también, quedando ambas con la misma suma de dinero. ¿Cuánto dinero tenía cada una?
6. Un terreno se remata dividido en 16 lotes iguales; se presentaron solamente 3 interesados; el primero
adquirió un cuarto del terreno total, el segundo un medio y el tercero la octava parte. ¿Cuántos lotes
adquirió cada uno?.¿Cuántos lotes quedaron sin vender?.
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Potencias : Estas leyes de potencias se aplican en todo el conjunto de los números reales.
Recuerde: ...
na a a a a a
b b b b b b
n veces Ley de signos para las potencias:
#par
positivo positivo #impar
positivo positivo
#par
negatico positivo #impar
negativo negativo
Es decir:
Si n IR a) ,n nb b si n es par b) ,
n nb b si n es par
Leyes de potencia
Sea a IR , 0b , ,n m IR
Exponente cero
0
1a
Exponente uno
1
a a
Multiplicación de potencias de igual base
n m n m
a a a
Potencia de una potencia
n
m n ma a
Exponente fraccionario
, ,n
nmma a n m Z
Potencia de una fracción n n
n
a a
b b
Potencia de un producto
n n na b a b
Exponente negativo
, 0
nna b
nb a
1. Completa el cuadro siguiente
Expresión 92 5𝑥2 4𝑥 2 32
4𝑥
9
2
3
7
2
4𝑥 2
Base
Exponente
Coeficiente
2. Escriba en forma de potencias (forma abreviada) las siguientes expresiones
7 ∙ 7 = 0 ∙ 0 = 2 ∙ 2 ∙ 𝑏 = 15 ∙ 15 =
4 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 6 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 25 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 25 = 32 ∙ 𝑚 ∙ 32 =
11 ∙ 11 ∙ 11 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 = 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 21 ∙ 21 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 =
5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 7 ∙ 7 ∙ 2 ∙ 2 = 3 ∙ 𝑥 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 𝑥 ∙ 3 = 𝑎 ∙ 65 ∙ 𝑎 ∙ 9 =
Números Racionales. 8°
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3. Escriba en forma desarrollada (como un producto) las potencias siguientes
a. 72 b. 12 c. (𝑥𝑦3)4 d. 06
e. 3(5)3 f. 3𝑥2 g. (1)9 h. (8)4
i. 112 j. (𝑎𝑏)8 k. 1214 l. 5𝑚𝑛5
4. Exprese cada una de las expresiones siguientes con exponentes sin signo (-).
9
1
3
1
3
13
2
2
2
𝑎−2= 𝑎𝑏5 −3=
8−3= 𝑎𝑏−3=
3
2 −3
=
1−562= 𝑐𝑚−56=
𝑎
𝑐𝑏 −4
=
5. Hallar las siguientes potencias:
2-1-4
345
23
10
1
11
3
7
2
2
12
88
57
11
5
8
3
5
3
7
6
3
2
5
4
2233
0123222
-
2.
6. Aplica las propiedades de potenciación y resuelve
24324
474314
3
7
8
5
8
5
8
5)
9
2
9
2
9
2
2
3
2
3
2
3
d)
b) a)
c
Números Racionales. 8°
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Simplificación de radicales
Si 𝑛 y 𝑘 tienen divisores en común, éstos pueden simplificarse con la ley del exponente fraccionario, ie
: :n n dk k dx x
con , 2n IN n “d ” un divisor de “n ” y “k ”.
Ejemplo:
a. 4 4 4:42 2 2 b.
3 9 9:3 33 3 3 27
1) Calcula, si existen, las siguientes raíces y completa los espacios vacíos.
24
4
2
3
64
9
81
16)
.4
1.................64)
porque d) porque
porque b) ....... porque 3
c
a
2) Calcula las siguientes raíces
121
25
81
1)
361000
1.
100
16) 43 d)
1 c) b) 3 ca
3) Resuelve las siguientes raíces aplicando las propiedades de radicación
8
1
2
1
5
9
25
3
5
2
2
5
3
4
9
23333 d) c) : b) a)
Operaciones combinadas de números racionales
Para resolver operaciones combinadas en ℝ , debe tomar en cuenta la prioridad de las operaciones
aritméticas, para esto considere la ley de prioridad de operaciones.
Paréntesis
Potencias Radicales
Multiplicaciones
Divisiones
Sumas
Restas
Nota : En caso de haber dos operaciones de la misma prioridad, se resuelve la que aparezca primero de
izquierda a derecha
Ejemplo:
12
123
2
22:2
11
2
121
4
31)
2
1:23
8
711
4
1)
b
a
i http://www.ditutor.com/numeros_racionales/numeros_racionales.html