niverzitet u niˇsu elektronski fakultet

UNIVERZITET U NI SU

ELEKTRONSKI FAKULTET

DIGITALNA OBRADA SIGNALA

Zbirka zadataka

NI S, 2020.

Sadrzaj

1 Izracunavanje inverzneZ transformacije 5

1.1 Razvoj u parcijalne razlomke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5

1.2 Definicioni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5

1.3 Beskonacno deljenje polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 8

2 Prenosna funkcija diskretnih sistema 13

3 Diskretna Furijeova transformacija 23

Literatura 37

Indeks pojmova 37

3

4 Sadrzaj

1

Izra cunavanje inverzneZ

transformacije

InverznaZ transformacija omogucava da se odredi signalf [n] krenuvsi od njegoveZ transformacijeF(z). Na raspolaganju su tri metode kojima se mogu odrediti odbirci signalaf [n].

1. Razvoj u parcijalne razlomke

2. Definicioni integral

3. Beskonacno deljenje polinoma

1.1 Razvoj u parcijalne razlomke

Na prethodnomcasu smo radili izracunavanje inverznez transformacije razvijanjem izraza u parcijalnerazlomke. Ocekujem da do kraja semestra zbirka bude gotova u celosti, dakle da se ubace i oblasti koje smovec presli nacasovima. Redovnocu na sajtu katedre postavljati materijal a najkasnije u utorak kako bi u sredubio dostupan za eventualna pitanja. Za konsultacijecu osim sredom od 12.00 do 14.00 biti dostupan i radnimdanima od 20.00 do 21.00 h. Moj skype nalog: goran.stancic13

1.2 Definicioni integral

Odbirci signala u vremenskom domenuf [n] se dobijaju konturnim integralom

f [n] =1

j2π

∮

CF(z)zn−1dz (1.1)

gdeC predstavlja zatvorenu konturu koja obuhvata sve polove podintegralne funkcije. Koriscenjem Kosijeveteoreme o ostacima izracunavanje integrala se svodi na sumiranje ostataka u polovima podintegralne funkcijetj.

f [n] = ∑k

Res[

F(z)zn−1]∣

∣

z=pk(1.2)

gde su sapk obelezeni polovi podintegralne funkcijeF(z)zn−1 a Res[

F(z)zn−1]

predstavljaju ostatke upolovimaz= pk.

5

6 1. Izracunavanje inverzneZ transformacije

Zadatak 21 Upotrebom definicionog integrala odrediti inverznuZ transformaciju izraza

F(z) =1+2z−1 +z−3

(1−z−1)(1−0.75z−1)(1.3)

Resenje

Mnozenjem brojioca i imenioca izraza (1.3) saz3 dobija se

F(z) =z3 +2z2 +1

z(z−1)(z−0.75)(1.4)

Primenom izraza (1.2) se dobija

f [n] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)zn−1

z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk= ∑

k

Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk(1.5)

Zanima nas da odredimo vrednosti svih odbiraka signlaf [n], tj. vrednosti f [0], f [1], f [2], . . . , odnosnovrednosti zan = 0,1,2, . . . .

Zan = 0 izraz (1.5) postaje

f [0] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)

z2(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk= Res

[ (z3 +2z2 +1)

z2(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0

+Res[ (z3 +2z2 +1)

z2(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +Res[(z3 +2z2 +1)

z2(z−1)(z−0.75)]∣

∣

z=0.75

(1.6)

Napomena: kada je pol dvostruk, kaosto je sada slucaj sa polom u koordinatnom pocetku (z= 0) razvojemu parcijalne razlomke javljaju se dvaclana oblika

r1

z2 +r2

z

Ostatak u polu koji treba izracunati za izraz (1.6) je vrednostr2. Ostatak u polur1 racuna se na osnovu izraza

r1 = limz→0

(z3 +2z2 +1)

(z−1)(z−0.75)(1.7)

Ovu vrednost nije neophodno izracunavati ali nam je ovaj izraz potreban za odred-ivanjer2 tj.

r2 = limz→0

ddz

{ (z3 +2z2 +1)

(z−1)(z−0.75)

}

= limz→0

(3z2 +4z)(z−1)(z−0.75)− (z3 +2z2 +1)[1· (z−0.75)+(z−1) ·1]

(z−1)2(z−0.75)2

=0(−1)(−0.75)− (0+0+1)[1· (−0.75)+(0−1) ·1]

(−1)2(−0.75)2 =289

(1.8)tako da prvi odbirak signalaf [n] ima vrednost

f [0] = r2 + limz→1

(z3 +2z2 +1)

z2(z−0.75)+ lim

z→0.75

(z3 +2z2 +1)

z2(z−1)

=289

+4

0.25+

0.753 +2·0.752 +10.752 · (−0.25)

= 1

(1.9)

Zan = 1 izraz (1.5) postaje

1.2. Definicioni integral 7

f [1] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)

z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk= Res

[ (z3 +2z2 +1)

z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0

+Res[ (z3 +2z2 +1)

z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +Res[(z3 +2z2 +1)

z(z−1)(z−0.75)]∣

∣

z=0.75

=[ (z3 +2z2 +1)

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0 +[ (z3 +2z2 +1)

z(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +[ (z3 +2z2 +1)

z(z−1)

]∣

∣

z=0.75

=1

(−1)(−0.75)+

40.25

+0.753 +2·0.752 +1

0.75(−0.25)=

43

+16− 16312

=154

(1.10)

Za n≥ 2 podintegralna funkcija ne poseduje pol uz= 0 tako da preostaju samo polovi uz= 1 i z= 0.75.Sada se odbirci signalaf [n] racunaju na osnovu izraza

f [n] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk

= Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0.75

= limz→1

[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−0.75)

]

+ limz→0.75

[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)

]

=4·1n−2

(0.25)+

(0.753 +2·0.752 +1)0.75n−2

−0.25= 16+

(163/64)0.75n

(−0.25)0.752 = 16− 1639

0.75n

(1.11)

Na ovaj nacin odred-eni su svi elementi signalaf [n] tj.

f [n] =

1 za n = 0

154

za n = 1

16− 1639

0.75n za n≥ 2

(1.12)

U nastavkucemo samo pokusati da dobijeni rezultat damo u kompaktnijem obliku. Vrednost izraza 16−1639 0.75n zan = 0 je 16− 163

9 = 16·9−1639 = 144−163

9 = −199 . Zan = 0 odbirak signalaf [n] ima vrednost 1= 9

9,tako da je izraz 16− 163

9 0.75n zan = 0 potrebno korigovati (1= −199 +korekci ja1) za vrednost28

9 .

Za n = 1 izraz 16− 1639 0.75n (koji vazi samo zan ≥ 2) ima vrednost 16− 163

934 = 29

12 a odbirak signalaf [n] iznosi 15

4 , tako da vrednost izraza (1.14) treba korigovati za vrednost 43 (dobijena iz jednacine 15

4 =2912 +korekci ja2).

Ovo nam omogucava da signalf [n] zapisemo u obliku

f [n] =289

δ [n]+43

δ [n−1]+16− 1639

0.75n za n = 0,1,2, . . . (1.13)

Ovako dobijen rezultat mozemo lako proveriti koriscenjem MATLABR©

-a.

syms z nFz=(zˆ3+2*zˆ2+1)/(z*(z-1)*(z-0.75))fn=iztrans(Fz)

na osnovucega se dobija


fn =(4*kroneckerDelta(n - 1, 0))/3 - (163*(3/4)ˆn)/9 +(28*kroneckerDelta(n, 0))/9 + 16

Na slici 1.1 je prikazano prvih 25 odbiraka signalaf [n].

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

12

14

16

f[n]

n

Sl. 1.1: Signalf [n], prvih 25 odbiraka

1.3 Beskonacno deljenje polinoma

Zadatak 31 Metodom beskonacnog deljenja polinoma odrediti prva 4clana signalaf [n] cija Z transfor-macija ima vrednost

F(z) =1+z−1 +2z−2 +3z−3

(1−0.25z−1)(1−0.5z−1)(1−0.75z−1)(1.14)

Resenje:

Pre nego se pristupi deljenju polinoma neophodno je pomnoziti brojilac i imenilac saz3, cime se dobija

F(z) =z3 +z2 +2z+3

(z−0.25)(z−0.5)(z−0.75)(1.15)

a potom srediti imenilac kako bi se dobili polinomi po promenljivoj z sa elementima koji su pored-ani uopadajucem redosledu stepena. U tu svrhu mozemo iskoristiti MATLAB

R©koristeci naredbe

syms zImenilac=collect((z-0.25)*(z-0.5)*(z-0.75))

sto kao rezultat daje

Imenilac =

zˆ3 - (3*zˆ2)/2 + (11*z)/16 - 3/32

1.3. Beskonacno deljenje polinoma 9

a na osnovucega izraz (1.15) postaje

F(z) =z3 +z2 +2z+3

z3− 32z2 + 11

16z− 332

(1.16)

a cijim se deljenjem dobija prviclan signalaf [n].

(z3+z2 +2z+3) : (z3− 32

z2 +1116

z+332

) = 1+52z2 + 21

16z+ 9932

z3− 32z2 + 11

16z+ 332

−z3 +32

z2− 1116

z+332

52

z2 +2116

z+9932

(1.17)

Za deljenje polinoma moze biti iskoriscen MATLABR©

. Polinomi se unose kao vektori, tj. nizovi brojevakoji odgovaraju koeficijentima polinoma gde se podrazumevada suclanovi uneseni po opadajucoj vrednostistepena. U konkretnom slucaju

brojilac=[1 1 2 3 ]imenilac=[1 -3/2 11/16 -3/32]

Polinome delmo naredbomdeconv i kao rezultat se dobija kolicnik r i ostatak deljenjaq

[r,q]=deconv(brojilac, imenilac)

sto kao rezutat daje

r =

1

q =

0 2.5000 1.3125 3.0938

U nastavku delimo brojilac i imenilac iz izraza (1.17)

(52

z2 +2116

z+9932

) : (z3− 32

z2 +1116

z+332

) =52

z−1 +8116z+ 44

32 + 1564z−1

z3− 32z2 + 11

16z+ 332

−52

z2 +154

z− 5532

+1564

z−1

8116

z+4432

+1564

z−1

(1.18)

U narednom koraku delimo brojilac i imenilac iz izraza (1.18)


(8116

z+4432

+1564

z−1) : (z3− 32

z2 +1116

z+332

) =8116

z−2 +28732 − 831

256z−1 + 243512z−2

z3− 32z2 + 11

16z+ 332

−8116

z+24332

− 891256

z−1 +243512

z−2

28732

− 831256

z−1 +243512

z−2

(1.19)

S obzirom na opisanu proceduru icinjenice da deljenje izvodimo saz3 u narednom koraku bi se dobiokolicnik 287

32 z−3. Uzevsi u obzir sve prethodne izraze zakljucujemo da je

F(z) = 1+52

z−1 +8116

z−2 +28732

z−3 +Naredniostatakdel jen ja

z3− 32z2 + 11

16z+ 332

(1.20)

Na osnovu izraza (1.20) zakljucujemo da je

f [0] = 1, f [1] =52, f [2] =

8116

, f [3] =28732

, . . .

s obzirom daz−1 ima fizicki smisao i odgovara kasnjenju signala za jedan period odabiranja. Slicno, clanBz−2 predstavlja odbirak amplitudeB koji kasni za dva perioda odabiranja (taktna intervala) u odnosu naprvi odbirak koji je obelezen kao f [0]. Uostalom, do istog zakljucka se dolazi i krenuvsi od definicijeZ

transformacije

F(z) =∞

∑n=0

f [n]z−n = f [0]+ f [1]z−1 + f [2]z−2 + . . .

Upored-ivanjem ovog izraza sa izrazom (1.20) lako se uocavaju vrednosti odbirakaf [0], f [1], . . .

Signal f [n] u MATLABR©

-u moze biti odred-en i naredbomdimpulse, ciji su ulazni argumenti koeficijentipolinoma iz brojioca i imenioca kao i duzina signala. Prvih 20 odbiraka signalaf [n] bice odred-eni naredbama

brojilac=[1 1 2 3]imenilac=[1 -3/2 11/16 -3/32]fn=dimpulse(brojilac,imenilac,20)dimpulse(brojilac,imenilac,20)

Ovako odred-en signalf [n] prikazan je na slici 1.2. (Naredbadimpulse sluzi za odred-ivanje prvihn clanovaipulsnog odziva sistemacija je prenosna funkcija data preko polinoma.)

Ova metoda, za razliku od opisane prethodne dve nije prakticna odnosno pogodna za odred-ivanje vre-dnosti signala u vremenskom domenu na osnovu poznateZ transformacije jer je za odred-ivanjen-tog clananeophodno odrediti svihn−1 prethodnih a svi se dobijaju deljenjem dva polinoma.

Najvaznije osobine tri opisane metode date su u tabeli 1.1.

1.3. Beskonacno deljenje polinoma 11

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

2

4

6

8

10

12

Impulse Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Sl. 1.2: Signalf [n], prvih 20 odbiraka

Tab. 1.1: Osobine metoda za izracunavanje inverzneZ transformacije

Metod Prednosti Mane

Razvoj na ♥ Dobro poznata z Neophodno je daF(z) budeparcijalne razlomke ♥ Moze se koristiti MATLAB

R©racionalna funkcija

naredbaresidueDefinicioni ♥ Moze se koristiti z Zahteva poznavanje

integral i kadaF(z) nije racionalna funkcija teoreme o ostacimaBeskonacno deljenje ♥ Korisna kada se trazi z F(z) mora da bude

polinoma mali broj odbiraka racionalna funkcija♥ Korisna kada inverznaZ transformacija z Deljenje moze biti beskonacno

nema resenje u zatvorenom obliku♥ Moze se koristiti MATLAB

R©

naredbadimpulse

2

Prenosna funkcija diskretnih sistema

Diskretni sistem prikazan na slici 2.1

x[n] y[n]H(z)

Sl. 2.1: Blok dijagram diskretnog sistema

moze biti opisandiferencnomjednacinom

y[n]+b1y[n−1]+b2y[n−2]+b3y[n−3] · · ·+bky[n−k]

= a0x[n]+a1x[n−1]+a2x[n−2]+a3x[n−3]+ · · ·+akx[n−k](2.1)

gdeai i bi predstavljaju konstantne koeficijente. Prethodni izraz moze biti dat u kompaktnijoj formi ako izraz(2.1) napisemo u obliku

y[n] = a0x[n]+a1x[n−1]+a2x[n−2]+a3x[n−3]+ · · ·+akx[n−k]

−(

b1y[n−1]+b2y[n−2]+b3y[n−3] · · ·+bky[n−k]) (2.2)

odnosno

y[n] =k

∑i=0

aix[n− i]−k

∑i=1

biy[n− i] (2.3)

Dakle, u opstem slucajun-ti odbirak izlaznog signalay[n[ (koji se pojavljuje u trenutkunT, gde jeT periododmeravanja ulaznog signala, na vremenskoj osi na kojoj smonultim trenutkom proglasili poziciju kada sepojavio prvi odbirak ulaznog signala) zavisi od vrednosti prisutne na ulazu tj. odx[n] ali i od k vrednosti kojesu bile prisutne kako na ulazu sistema (x[n−1], . . . ,x[n−k]) tako i na izlazu sistema (y[n−1], . . . ,y[n−k]). Ovoukazuje nacinjenicu da je i kod softverske i kod hardverske realizacije diskretnog sistem neophodno nekakosacuvatik poslednjih odbiraka ulaznog i izlaznog signala. Kod softverske realizacijece biti neophodno da serezervise memorija duzine 2k za ove potrebe a kad je u pitanju hardverska realizacija za toce biti iskoriscenadva pomeracka n-tobitna (eng. shift) registra duzine k, gden ukazuje na broj bitova koji je predvid-en zapredstavljanje koeficijenataai i bi . Na osnovu izraza (2.3) uocavamo da se najnoviji izlazni odbirak oznacensay[n] dobija samo na osnovu operacija mnozenja i sabiranja nad odbircima ulaznog i izlaznog signala.

13

14 2. Prenosna funkcija diskretnih sistema

Dakle za hardversku realzicaiju bilo kog diskretnog sistema dovoljno je iskoristiti sabirace, mnozace imemorijske elemente (pomeracki registarce prakticno igrati ulogu elementa za kasnjenje jer on u sebicuvauvekk poslednjih odbiraka signala, koji se pomeraju za jedno mesto pri pojavi svakog taktnog impulsa aciji jerazmak upravo jednak periodi odabiranja signala, tj. ceo sistem radi na frekvencijiFs (frekvencija odabiranja,eng.Sampling frequency)).

Ako pretpostavimo da su svi pocetni uslovi jednaki nuli, tj. da jex[i] = 0 i y[i] = 0 zai < 0, izracunavanjemZ transformacije leve i desne strane izraza (2.3), uzimajuci u obzir osobinuZ transformacije

f [n−m] ⇔ z−mF(z)

dobija se

Y(z)+b1z−1Y(z)+b2z−2Y(z)+b3z−3Y(z) · · ·+bkz−kY(z)

= a0X(z)+a1z−1X(z)+a2z−2X(z)+a3z−3X(z)+ · · ·+akz−kX(z)

(2.4)

Izvlacenjem ispred zagradaX(z) i Y(z)

Y(z)[

1+b1z−1 +b2z−2 +b3z−3 · · ·+bkz−k]

= X(z)[

a0 +a1z−1 +a2z−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k]

(2.5)

dolazimo do veze izmed-u Z transformacija izlaznog i ulaznog signala sistema

Y(z) =a0 +a1z−1 +a2z−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k

1+b1z−1 +b2z−2 +b3z−3 · · ·+bkz−k X(z) (2.6)

U prethodnom izrazu racionalna funkcija dva polinoma po promenljivoj z predstavlja prenosnu funkciju si-stema

H(z) =N(z)D(z)

=a0 +a1z−1 +a2z−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k

1+b1z−1 +b2z−2 +b3z−3 · · ·+bkz−k (2.7)

odnosno dolazimo do ocekivane veze

Y(z) = H(z)X(z) (2.8)

Dakle,Z transformacija izlaznog signala se dobija mnozenjem prenosne funkcije sistema iZ transformacijeulaznog signala. Vrednost izlaznog signala u vremenskom domenuy[n] dobijamo inverznomZ transforma-cijom nadY(z).

Impulsni odziv diskretnog sistemah[n] se dobija na izlazu sistema ako je na njegovom ulazu prisutanjedinicni impuls (Dirakov impuls)x[n] = δ [n]. Kako je

Z {δ [n]} =∞

∑n=0

δ [n]z−n = 1 (2.9)

na osnovu izraza (2.8) je

Y(z) = H(z)X(z) = H(z) ·1 = H(z) (2.10)

odnosno, impulsni odziv diskretnog sistema se moze dobiti inverznomZ transformacijom prenosne funkcijesistema

y[n] = h[n] = Z−1{H(z)

}

(2.11)

15

Zadatak 31 Diferencna jednacina koja daje vezu izmed-u odbiraka ulaznog i izlaznog signala diskretnogsistema, data je izrazom

y[n]−0.5y[n−1]+0.125y[n−2] = x[n]+x[n−1] (2.12)

Izracunati

a) Prenosnu funkciju sistemaH(z)

b) Diskretni impulsni odziv sistemah[n]

c) Odziv ovog sistema ako se na njegovom ulazu nalazi jedinicna funkcija (Hevisajdova funkcija)u0[n]

Resenje:

a) NalazenjemZ transformacije leve i desne strane izraza (2.12)

Y(z)−0.5z−1Y(z)+0.125z−2Y(z) = X(z)+z−1X(z) (2.13)

odnosno

Y(z)[

1−0.5z−1 +0.125z−2] = X(z)[

1+z−1] (2.14)

dolazi se do prenosne funkcije diskretnog sistema

H(z) =Y(z)X(z)

=1+z−1

1−0.5z−1 +0.125z−2 =z2 +z

z2−0.5z+0.125(2.15)

b) Da bi se odredio impulsni odziv sistemah[n[ potrebno je izracunati inverznuZ transformaciju izraza(2.15). Koristicemo postupak razvoja u parcijalne razlomke kod kog se ne razvija sama funkcijaH(z) vec

H(z)z

=Y(z)X(z)

=z+1

z2−0.5z+0.125(2.16)

Kako je polinom u brojiocu nizeg reda od polinoma u imeniocu, moze se odmah pristupiti razvoju ove funkcije.Polinom u imeniocu ima nule (sto su polovi prenosne funkcije)

z1,2 =0.5±

√0.52−4·0.125

2=

0.5±√

0.25−0.52

=0.5± j0.5

2= 0.25± j0.25

pa mozemo pisati

H(z)z

=r1

z−z1+

r2

z−z2=

r1

z− (0.25+ j0.25)+

r2

z− (0.25− j0.25)

Ostaci u polovima imaju vrednost

r1 = limz→0.25+ j0.25

z+1z− (0.25− j0.25)

=0.25+ j0.25+1

0.25+ j0.25− (0.25− j0.25)=

1.25+ j0.25j0.5

= 0.5− j2.5

dok ser2 izracunava iz izraza

r2 = limz→0.25− j0.25

z+1z− (0.25+ j0.25)

koji nije neophodno dovesti do kraja s obzirom da konjugovano kompleksni polovi imaju konjugovano kom-pleksne ostatke, tj.r2 = r∗1 = 0.5+ j2.5, cime smo dosli do identiteta


H(z)z

=0.5− j2.5

z−0.25− j0.25+

0.5+ j2.5z−0.25+ j0.25

Uzevsi u obzir da stepena funkcija imaZ transformaciju

anu0[n] ⇔ zz−a

za|z| > a, inverznaZ transformacija nas dovodi do vrednosti impulsnog odziva

h[n] = (0.5− j2.5)(0.25+ j0.25)n +(0.5+ j2.5)(0.25− j0.25)n

= (0.5− j2.5)(0.25√

2ejπ/4)n +(0.5+ j2.5)(0.25√

2e− jπ/4)n

= 0.5[(0.25√

2)nejnπ/4]+0.5[(0.25√

2)ne− jnπ/4]

− j2.5[(0.25√

2)nejnπ/4]+ j2.5[(0.25√

2)ne− jnπ/4]

= 0.5[(0.25√

2)n(ejnπ/4 +e− jnπ/4)]− j2.5[(0.25√

2)n(ejnπ/4−e− jnπ/4)]

(2.17)

koji ima vrednost

h[n] =(

√2

4

)n(cos(nπ/4)+5sin(nπ/4))) (2.18)

Dakle zan = 0 dobija se prvi odbirak

h[0] =(

√2

4

)0(cos(0)+5sin(0))) = 1

zan = 1

h[1] =(

√2

4

)1(cos(π/4)+5sin(π/4))) =

√2

4(

√2

2+5

√2

2) =

32

i tako dalje. Vrednosti nizah[n] lako se odred-uju i prikazuju uz pomoc MATLABR©

-a

n=0:19;hn=(sqrt(2)/4).ˆn.*(cos(n*pi/4)+5*sin(n*pi/4))

sto daje

hn =

Columns 1 through 7

1.0000 1.5000 0.6250 0.1250 -0.0156 -0.0234 -0.0098

Columns 8 through 14

-0.0020 0.0002 0.0004 0.0002 0.0000 -0.0000 -0.0000

Columns 15 through 20

-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

17

Napomena: U MATLABR©

-u sa∗ i ˆ su obelezene operacije mnozenja i stepenovanja, respektivno. Oveoperacije su predvid-ene za rad sa matricama, dok su promenljive specijalan slucaj matrice dimezija 1× 1.Ukoliko nije rec o matricnom mnozenju, vec zelimo da pomnozimo svakiclan vektoraa = [a(1),a(2),a(3)]odgovarajucim clanom vektorab = [b(1),b(2),b(3)] (koji moraju biti iste duzine), kao rezultat se dobija novivektor iste duzine ciji su elementia. ∗ b = [a(1) ∗ b(1),a(2) ∗ b(2),a(3) ∗ b(3)]. U sva tri slucaja rec je ovektorima, koji su specijalni slucaj matrice koja poseduje samo jednu vrstu i duzinu 3. Da je u izrazimakoriscen znak ; umesto zareza, elemnti sva tri vektora bi imali identicne vrednosti ali bi predstavljali specijalnislucaj matrice koja poseduje samo jednu kolonu.

Impulsni odzivh[n] je prikazan na slici 2.2.

0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

n

h[n]

Impulsni odziv

Sl. 2.2: Impulsni odziv diskretnog sistema

Treba uociti da prenosna funkcija sistema poseduje i brojilac i imenilac, dakle rec je o rekurzivnom filtru(eng.Infinite Impulse Response-IIR), odnosno impulsni odziv sistema (izlaz kada je na ulazu Dirakov impuls)je beskonacno dug. Sa slike 2.2 se moze pogresno zakljuciti da je impulsni odziv sistema jednak nuli vec zan = 10 a u stvari njegova vrednost jeh[10] = 3.6621e−04.

Da bi bolje shvatili ocemu je rec, prikazacemo vrednosti zadnjih 9 odbiraka (h[11] doh[19]).

>> hn(11:19)

ans =

1.0e-03 *

Columns 1 through 7

0.1526 0.0305 -0.0038 -0.0057 -0.0024 -0.0005 0.0001

Columns 8 through 9

0.0001 0.0000

I odavde se moze pogresno zakljuciti da jeh[19] jednak nuli a u stvari njegova vrednost jeh[19] =3.7253e-08.

Problem odred-ivanja ostataka u polovima moze lako biti resen upotrebom naredberesidue u MATLABR©

-u

brojilac=[0 1 1];


imenilac=[1 -0.5 0.125];[r,p]=residue(brojilac,imenilac)

sto daje kao rezultat polove smestene u vektorp i odgovarajuce ostatke u vektorur

r =

0.5000 - 2.5000i0.5000 + 2.5000i

p =

0.2500 + 0.2500i0.2500 - 0.2500i

c) S obzirom na vezuY(z) = H(z)X(z), uz poznavanje inverzneZ transformacije jedinicne funkcijeu0[n]

u0[n] ⇔ zz−1

zakljucujemo da je

Y(z) =z2 +z

z2−0.5z+0.125· zz−1

=z(z2 +z)

(z2−0.5z+0.125)(z−1)

tj.

Y(z)z

=z2 +z

(z2−0.5z+0.125)(z−1)(2.19)

Izlaz sistemacemo odrediti uz pomoc MATLABR©

-a, tj. naredberesidue, za koju su nam potrebni koeficijentipolinoma u brojiocu i imeniocu. Koeficijenti imeniocace biti takod-e odred-eni u MATLAB

R©-u koriscenjem

paketa za simbolicku analizu.

syms zBrojilac=(zˆ2-0.5*z+0.125)*(z-1)collect(Brojilac)

daje kao rezultat

zˆ3 - (3*zˆ2)/2 + (5*z)/8 - 1/8

odnosno

Y(z)z

=z2 +z

z3− (3/2)z2 +(5/8)z−1/8(2.20)

Sada odred-ujemo polove i ostake u polovima

num=[0 1 1 0]den=[1 -3/2 5/8 -1/8][r,p]=residue(num,den)

i oni iznose

19

r =

3.2000 + 0.0000i-1.1000 + 0.3000i-1.1000 - 0.3000i

p =

1.0000 + 0.0000i0.2500 + 0.2500i0.2500 - 0.2500i

Dakle, moze se pisati

Y(z)z

=z2 +z

z3− (3/2)z2 +(5/8)z−1/8=

3.2z−1

+−1.1+ j0.3

z−0.25− j0.25+

−1.1− j0.3z−0.25+ j0.25

(2.21)

sto daje

Y(z) =3.2zz−1

+(−1.1+ j0.3)zz−0.25− j0.25

+(−1.1− j0.3)zz−0.25+ j0.25

=3.2zz−1

+(−1.1+ j0.3)z

z−0.25√

2ejπ/4+

(−1.1− j0.3)z

z−0.25√

2e− jπ/4

(2.22)

S obzirom na vezu

anu0[n] ⇔ zz−a

za|z| > a za odziv sistema kada je na ulazu Hevisajdova funkcija, dobija se

y[n] = 3.2+(−1.1+ j0.3)(0.25√

2ejπ/4)n +(−1.1− j0.3)(0.25√

2e− jπ/4)n

= 3.2−1.1[(0.25√

2)n(ejnπ/4 +e− jnπ/4)]+ j0.3[(0.25√

2)n(ejnπ/4−e− jnπ/4)]

odnosno

y[n] = 3.2−2.2(

√2

4

)ncos(nπ/4)−0.6

(

√2

4

)nsin(nπ/4)

= 3.2−(

√2

4

)n(2.2cos(nπ/4)+0.6sin(nπ/4))

(2.23)

Odziv sistemay[n] prikazan je na slici 2.3

Na slici 2.4 dati su ulazni (Dirakov signalδ [n] i jedinicna funkcijau0[n] i izlazni signali (Impulsni odzivh[n] i odziv y[n]). Naredbomsubplot(abc), koja ima tri argumentaa, b i c, se bira gde sezeljeni signalprikazuje. Parametara ukazuje na to na koliko se delova slika deli po vertikali,b ukazuje na koliko se delovaslika deli po horizontali, dokc govori o tome na kojoj oda∗b podslikace biti prikazan signal.

brojilac=[ 1 1 0];imenilac=[1 -0.5 0.125];dirak=[1 zeros(1,19)];hevisajd=ones(1,20); n=[0:19];imp_odz=filter(brojilac,imenilac,dirak);odziv=filter(brojilac,imenilac,hevisajd);


0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

n

y[n]

Odziv sistema

Sl. 2.3: Odziv diskretnog sistema na jedinicnu funkcijuu0[n[

figure subplot(221)stem(n,dirak,’r’)gridylabel(’\delta [n]’)subplot(223)stem(n,imp_odz,’k’)gridylabel(’h[n]’)xlabel(’n’)subplot(222)stem(n,hevisajd,’g’)gridylabel(’u_0[n]’)subplot(224)stem(n,odziv,’b’)gridxlabel(’n’)ylabel(’y[n]’)

Naredbazeros(a,b) formira matricu saa vrsta i b kolona ispunjenu nulama. Naredba je iskoriscenaza formiranje Dirakovog impulsa, gde je samo prviclan jednak jedinici. Slican je efekat naredbeones(a,b)samosto se matrica popunjava jedinicama tako da je ova naredba pogodna za formiranje Hevisajdove funkcije.Naredbom filter(a,b,ul) se odred-uje izlaz sistemacija je prenosna funkcija data koli’v cnikom polinomaa i b,kada je na ulazu sistema prisutan signal smesten u vektoruul. Duzina izlaznog signala jednaka je duziniulaznog signala. Kako je cilj bio odrediti prvih 20 odbirakaizlaznog signala, formirali smo ulazni signal isteduzine.

21

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

δ [n

]

0 5 10 15 20−0.5

0

0.5

1

1.5

h[n]

n

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u 0[n]

0 5 10 15 200

1

2

3

4

n

y[n]

Sl. 2.4: Odziv diskretnog sistema na jedinicni impulsδ [n] i jedinicnu funkcijuu0[n[

3

Diskretna Furijeova transformacija

Na slici 3.1 prikazana je funkcijay(t) = t2−4t +4.

−4 −2 0 2 4 6 80

5

10

15

20

25

t

y(t)

Sl. 3.1: Signaly(t) = t2−4t +4

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)

Sl. 3.2: Signalx(t)

Posmatrajmo periodicni signalxp(t), osnovne periodeT = 4, koji je nastao periodicnim ponavljanjemodsecka paraboley(t) na intervalu[0,4] a koji je prikazan na slici 3.2, definisan sa

xp(t +kT) = t2−4t +4 za 0< t < 4 i k∈ Z

Periodicna funkcija moze biti data preko Furijeovog reda

xp(t) =+∞

∑k=−∞

Ckejkω0t (3.1)

gde je

ω0 = 2π f0 =2πT

=2π4

=π2

[rads

]

KoeficijenteCk izracunavamo na osnovu izraza

Ck =1T

∫ T

0x(t)e− jkω0t =

14

∫ 4

0(t2−3t +4)e− jk π

2 t (3.2)

23

24 3. Diskretna Furijeova transformacija

Na slici 3.2 su prikazani amplitudski fazni spektar signalaza −30 < k < 30. Nac osi je k redni brojharmonika. Slucajuk = 0 odgovara koeficijentC0 = 1.333,sto je ujedno srednja vrednost signalaxp(t). Kakoperioda signala iznosiT = 4 sekunde, osnovni harmonik ima frekvencijuf0 = 1/4 = 0.25 Hz, sto odgovarakruznoj ucestanosti odω0 = 2π f0 ≈ 1.7rad/s i na grafiku njemu odgovarak = 1. Cetvrtom harmonikuk = 4odgovara frekvencijak f0 = 1 Hz. Jednakost periodicne analogne funkcije bez prekida (data funkcijax(t) jeneprekidna) i njenog Furijeovog reda vazi samo za slucaj kadak→ ∞.

−30 −20 −10 0 10 20 300

0.5

1

1.5

k

Am

plitu

dski

spe

ktar

−30 −20 −10 0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1

k

Faz

ni s

pekt

ar

|Ck|

ϕ{Ck}

Sl. 3.3: Amplitudski i fazni spektar signalaxp(t)

Furijeov red se sastoji od sume sinusnih i kosinusnih funkcija (predstavljenih preko kompleksne eksponen-cijalne funkcije) koje su i same neprekidne, tako da ako je funkcijaxp(t) periodicna ali sa prisutnim prekidima,cak i zak→ ∞ Furijeov red nece biti identican saxp(t). U ovakvim slucajevima je prisutan Gibsov fenomen.

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)Furijeov red

Sl. 3.4: Signalxp(t) dat na osnovnoj periodi i njegova aproksi-macija xa30(t) dobijena skracivanjem Furijeovog redazadrzavanjem prvih 30 harmonika

Kod prikazivanja spektra nax osi je frekvencija, nezavisno od toga da li na konkretnom grafiku stoji indeksk, sama frekvencijaf data u hercima ili kruzna ucestanostω0 data u radijanima u sekundi. Spektar analognogperiodicnog signala je diskretan (poseduje komponente samo na frekvencijama harmonika) sa komponentamana frekvencijamaf = 0 (DC komponenta),f = f0, f = 2 f0, f = 3 f0, itd. sve do beskonacnosti. Spektarneprekidnog periodicnog signala je bogatiji na niskim frekvencijama (komponente koje se znacajno razlikujuod nule su na niskim frekvencijama) i u konkretnom slucaju uocavamo da (slika 3.3) su komponente spektraCk zak≥ 10 zanemarljive.

Dakle, jos jednom da naglasimo, tek beskonacno dug Furijeov red je identican samoj periodicnoj neprekid-

25

noj funkciji xp(t). Odsecanjem reda na konacnu duzinu N dobija se nova funkcijaxaN(t) koja manje ili viseuspesno aproksimira polaznu funkcijuxp(t) zavisno od vrednostiN tj. da li su izostavljene komponente spektra(Furijeovog reda) znacajno razlicite od nule.

Sa slike (3.4) se uocava dobro poklapanje funkcijexp(t), koja je na slici prikazana samo na osnovnojperiodi a naravno da se periodicno ponavlja na intervalu[−∞,+∞] , sa funkcijomxa30. Bez izvod-enja dokazanavescemocinjenicu da jexaN najbolja srednjekvadratna aproksimacija funkcijexp(t) za datoN.

Na slici 3.5 prikazane su aproksimacione funkcijexaN, za razlicite duzine Furijeovog reda.

−2 0 2 4 6 8 10−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

N=3N=6N=9

t

x aN

Sl. 3.5: Aproksimacione funkcijexaN(t) zaN = 3,6 i 9.

Na slici 3.6 je prikazano odstupanje aproksimacione funkcije dobijene skracivanjem Furijeovog reda od”idealne” funkcijexp(t).

−2 0 2 4 6 8 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N=3N=6N=9

t

x p(t

)−

x aN

Sl. 3.6: Greska aproksimacije funkcijexp(t) zaN = 3,6 i 9.

Da bi grafik greske bio uocljiviji na slici 3.7 je prikaza greska na osnovnoj periodi signala. Sa grafika seuocava znacajno smanjivanje greske aproksimacije za malo povecanje duzine Furijeovog reda. ZaN > 10 ovajefekat bi bio znacajno manji jer su na tom delu spektra komponente vec bliske nuli. U konkretnom primeruvidimo da se umesto beskonacne sume prostoperiodicnih funkcija (koja je identicna posmatranom signalu)signal uspesno mo ze predstaviti i sumom samo prvih desetak harmonika.

U praksi signale najcesce prikupljamo na nekom senzoru. Neka je zacetiri sekunde pristigao signal oblikakao na slici 3.8.

Pre merenjat < 0) i po zavrsenom merenjut > 4) ne posedujemo informaciju o signalu (neka je rec o


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N=3N=6N=9

t

x p(t

)−

x aN

Sl. 3.7: Greska aproksimacije funkcijexp(t) zaN = 3,6 i 9.

−2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)

Sl. 3.8: Signalx(t) - neperiodican

pojavi koja je neponovljiva, npr. neka je u pitanju signal zemljotresa zabelezen na seizmografu). Da bi videlispektar ovog signala koristili bi vec opisani matematicki aparat i dobili bi identicni rezultat kao i sa signalomxp(t). U ovom slucaju na osnovnoj periodi 0≤ t ≤ 4, imali bi poklapanje Furijeovog reda i funkcijex(t) zak→ ∞. Med-utim zat < 0 i t > 4 signalx(t) ima vrednost jednaku nuli dok Furijeov red daje funkciju koja seperiodicno ponavlja, kaosto je prikazano na slici 3.9.

KoeficijentiCk u opisanom primeru su odred-eni programom koji je prilozen u nastavku. Pomocu njega sunacrtane i slike 3.3 i 3.4 zaN = 30. Iza znaka procenat u MATLAB

R©-u sledi komentar.

t=sym(’t’)%definise simbolicku promenljivu tN=3; %duzina Furijeovog redaT=4;%periodak=[-N:N]’;% vektor indeksa koeficijenata C_k. ’ na kraju go vori% o transponovanju vektora tj. k je vektor kolonapom=-j*2*pi/T;%pomocna promenljiva da ubrza izracunavan je ...C_ksym=(1/T)*int((tˆ2-4*t+4)*exp(-pom*k*t),t,0,T);% Paket za simbolickuanalizu omogucava izracunavanje integrala.Prvi argument je%funkcija koja se integrali ,integrali se po promenljivoj t -drugi%argument, integral je odredjeni sa granicama integraljen ja 0 i T.C_k=double(C_ksym);% Simbolicke vrednosti smestene u vek tor C_sym se%pretvaraju u brojne vrednosti u formatu double precision

27

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)xaN(t)

Sl. 3.9: Signalx(t) - neperiodican

C_k=C_k’;% U formuli za C_ksym figurise vektor k koji je kolo na, tako%da je i vektor C_ksym kolona. Ovde ga transponujemo da posta ne vektor%vrstafigure %crtanje spektra

subplot(211)stem(k,abs(C_k))gridxlabel(’k’,’Fontsize’,13);ylabel(’Amplitudski spektar’,’Fontsize’,13);legend(’Ckf’)subplot(212)stem(k,angle(C_k))legend(’Ckf’) gridxlabel(’k’,’Fontsize’,13);

ylabel(’Fazni spektar’,’Fontsize’,13);t=[-1:0.01:9]; %vreme, na ovom opsegu cemo crtati signalematrica=exp(-pom*k*t);%pomocna matrica za crtanje signa laf_apr=C_k*mat;% aproksimacija funkcije konacnim Furijeo vim redom duzine% N za svaku vrednost t, izracunava f_apr(t)figure % crtanje signala i njegove aproksimacije

plot(t2,yt2,’r’,’LineWidth’,4)hold on % zadrzava istu sliku da bi naredna naredba crtanja (p lot) novi%signal prikazala na istoj slici.Aktivna je dok se ne pojavi hold offplot(t,f_apr,’k’,’LineWidth’,2)gridlegend(’x(t)’,’Furijeov red’)

xlabel(’t’,’Fontsize’,13);axis([-1 9 -0.1 4.3]);%Matlab sam bira granice za x i y osu osi m ako se%ne zahteva naredbom axis drugacije.Slika ce prikazati sig nale od -1 do% 9 po x osi, na opsegu od -0.1 do 4.3 po y osi

Kao dodatak komentarima prilozenim u samom programu navescemo vrednosti koriscenih promenljivihza slucaj N = 3. Vektork je matrica kolona

k =


-3-2-1

0123

Na pocetku programa se odred-uju koeficijentiCk kao simbolicke vrednosti. Kako u izracuanavanju figurisevektork i ovaj ce biti matrica kolona

C_ksym =

8/(9*piˆ2)2/piˆ28/piˆ2

4/38/piˆ22/piˆ2

8/(9*piˆ2)

U opstem slucaju koeficijentiCk su kompleksni brojevi ali konkretno slucaju rec je ocisto realnim vredno-stimasto ukazuje na prisutnost samo kosinusnog reda jer je posmatrana funkcija parna (sinusni red je prisutankadaCk poseduje i imaginarni deo).

U narednom koraku se ove simbolike vrednosti pretvaraju u brojne (izracunaju se prikazani izrazi) ismesatju u vektorCk, koji posle transponovanja (postaje matrica vrsta) ima vrednost

C_k =

0.0901 0.2026 0.8106 1.3333 0.8106 0.2026 0.0901

Prva 3clana odgovaraju koeficijentimaCk zak = −3,−2,−1, centralniclan vrednosti 1.3333 jeC0, uvekrealne vrednosti i odgovara srednjoj vednosti signala a poslednja 3clana su koeficijentiCk zak = 1,2,3. Danapomenemo da vazi da jeCk = C∗

−k, tj. med-usobno su konjugovano kompleksni. U datom primeru su svikoeficijent realni pa suCk i C−k med-usobno identicni.

Da bi nacrtali aproksimacionu funkciju neophodno je izracunati vrednost Furijeovog reda za svaku vred-nostt. U datom primeru vektort je vrsta sa 1001clanom jer su granice -1 i 9 a korak 0.01. Prakticno za svakuvrednostt treba odrediti vrednost

xa(t) =N

∑k=−N

Ckejkω0t (3.3)

Vidimo da za izracunavanje jedne vrednosti signalaxa(t) treba sumirati proizvod odgovarajucih clanova 2vektora,Ck i Bk = ejkω0t = Bk,t , konkretno na osnovu (3.3) je

xa(t1) = C−3B−3,t1 +C−2B−2,t1 +C−1B−1,t1 + · · ·+C3B3,t1

xa(t2) = C−3B−3,t2 +C−2B−2,t2 +C−1B−1,t2 + · · ·+C3B3,t2

. . .

xa(ti) = C−3B−3,ti +C−2B−2,ti +C−1B−1,ti + · · ·+C3B3,ti

. . .

xa(t1001) = C−3B−3,t1001+C−2B−2,t1001+C−1B−1,t1001+ · · ·+C3B3,t1001

(3.4)

29

Cilj je izbe ’ci upotrebufor petlji sto u slucaju MATLABR©

-a znacajno ubrzava izvrsavanje programa iiskoristiti njegovu mogunost lake manipulacije nad matricama.

Proizvod matrice vrste i matrice kolone je konstanta tj.

[C1 C2 C3] ·

B1

B2

B3

= C1B1 +C2B2 +C3B3 (3.5)

Koeficijenti Ck se koriste pri izracunavanju svake vrednosti signalaxa(t) (za svakot). Da bi dobili vrednostfunkcije xa za sve vrednosti vektorat, vektor vrstuCk pomnozicemo matricomcija se svaka kolona odnosi najednu vrednostti . Prakticno mnozimo 2 matrice

C(1×N) ∗Matrica(N×1001) = x(1×1001)

Na osnovu izraza (3.3) racuna se

[

C−N C−N+1 . . . CN−1 CN]

·

ej(−N)ω0t1 ej(−N)ω0t2 . . . ej(−N)ω0t1001

ej(−N+1)ω0t1 ej(−N+1)ω0t2 . . . ej(−N+1)ω0t1001

ej(−N+2)ω0t1 ej(−N+2)ω0t2 . . . ej(−N+2)ω0t1001

......

...ej(N−1)ω0t1 ej(N−1)ω0t2 . . . ej(N−1)ω0t1001

ej(N)ω0t1 ej(N)ω0t2 . . . ej(N)ω0t1001

(3.6)

Matrica iz izraza (3.6) odgovara promenljivoj Matrica u prilozenom kodu MATLABR©

programa. Dakle, kaorezultat ovog mnozenja dobija se vektor (matrica vrsta) duzine 1001, u programu obelezen saf apr a kojiodgovara aproksimacionoj funkcijixa(t),

Kako je formirana matricaMatrica ? Najjednostavniji pristup, primenjen u programu, svodi senamnozenje matrice kolone (vektork u programu) matricom vrstom (vektort) tj.

k · t =

−N−N+1

...N−1

N

2N+1×1

·[

t1 t2 . . . t1000 t1001]

1×1001 (3.7)

Rezultat ovog matricnog mnozenja je matrica

(−N)t1 (−N)t2 . . . (−N)t1001

(−N+1)t1 (−N+1)t2 . . . (−N+1)t1001

(−N+2)t1 (−N+2)t2 . . . (−N+2)t1001...

......

(N−1)t1 (N−1)t2 . . . (N−1)t1001

(N)t1 (N)t2 . . . (N)t1001

2N+1×1001

(3.8)

koja pomnozena sajω0 predstavlja argument eksponencijalne funkcije i omogucava formiranje matrice izizraza (3.6).

Pretpostavimo sada da je analogni signal prikazan na slici 3.8 odabran frekvencijomFs. Odbirici se navremenskoj osi nalaze na med-usobnom rastojanjuTs = 1/Fs i ima ih ukupnoN, kaosto je dato na slici 3.10.

Vazi da jexd[k] = x((k−1)Ts) za vektore date u MATLABR©

-u. U MATLABR©

-u vektori imaju indeks kojikrece od jedinice (nizx imaclanovex[1],x[2], . . . ,x[N]) a prvi trenutak kada se krece analiza signala je obelzen


0 1 2 3 4

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 Ts

2Ts

3Ts

5Ts

NTs

ab

t

Sl. 3.10: Analogni signalx(t) a) i diskretni signalxd[n] dobijen nje-govim odabiranjem b)

kao nulti. U izrazimacemo za odbirke signalax koristiti oznakex[0],x[1], . . . ,x[N−1] (ima ih ukupnoN) aoni ce u programima biti dati kaox(1),x(2), . . . ,x(N). Pri analizi spektra analognog signala koristili smo izraz3.2

Ck =1T

∫ T

0x(t)e− jkω0t (3.9)

Sada kada posedujemo odbirke signalax(t) iskoristicemo izraz 3.9 uz malo prilagod-avanje istog. Podsetimosecinjenice dace odgovarajucu Furijeov red dati periodicnu funkciju koja se poklapa sa polaznom funkcijomna osnovnoj periodi. Za takav pristup je osnovna periodaT = 4s a na ovom intervalu je smesteno ukupnoNodbiraka, odnosno moze se reci da jeT = NTs. Kako je dobijen diskretni signal u izrazu (3.9) integralce bitizamenjen sumom tako da se dobija

1NTs

N−1

∑i=0

xd[i]e− jkω0(iTs) =

1NTs

N−1

∑i=0

xd[i]e− jk 2π

NTs(iTs) (3.10)

uzevsi u obzir da je diskretizovana vremenska osa pa je sadt zamenjeno saiTs, gde jei ceo broj. KoeficijentimaCk koji odgovaraju analognom signalu odgovaraju koeficijentick

ck =1N

N−1

∑i=0

xd[i]e− jki 2π

N (3.11)

Izraz je nastao na osnovu (3.10) eliminacijomTs ispred sume jer je perioda (T u sekundama, kod analognogsignala) diskretnog signala data celim brojemN posle koga se signal ponavlja. Dakle mozemo reci da na nekinacin koeficijentick ukazuju na spektralni sadrzaj signalaxd.

Po definiciji koeficijenti diskretne Furijeove transformacije signalax dobijaju se iz izraza

Xm =N−1

∑n=0

x[n]e− jmn2πN ,m= 0,1,2, . . . ,N−1 (3.12)

i vidimo da odgovaraju skaliranim vrednostima koeficijenata ck pomnozenim saN - duzinom sekvence. In-verzna diskretna Furijeova transformacija omogucava rekonstrukciju signala iz frekvencijskog domena

x[n] =1N

N−1

∑m=0

x[m]ejmn2πN ,n = 0,1,2, . . . ,N−1 (3.13)

31

Treba primetiti daclan e− jmn2πN (ovo je formula koja predstavlja kompleksne brojeve koji senalaze na je-

dinicnom krugu, jer je moduo uvek jednak jedinici a pod uglom 2πmn/N u odnosu na pozitivni deox ose) sesvodi na cos(mn2π

N )+ j sin(mn2πN ), gde sum,n i N celi brojevi. Sinusna i kosinusna funkcija su periodicne sa

periodom 2π. Najmanji korak je 2π/N tako da na jedinicnom krugu (ugao se krece od 0 do 2π) postoji tacnoNekvidistantnih razlicitih vredosti. Analizom preslikavanjas ravni uz ravan videli smo da se frekvencijska osa( jω osa) preslikava tacno na jedinicni krug. Tacnije odsecak jω ose koji odgovara frekvencijama[−Fs/2,Fs/2]se preslikava na ceo jedinicni krug. Uobicajeno je da se analogni signal najpre filtrira niskofrekventnim fil-trom kako bi se ogranicio spektar signala. U narednom koraku se radi analogno digitalna konverzija pricemufrekvencija odabiranja treba da bude bar dvostruko veca od maksimalne frekvencije u spektru signala. Uzravni, tacki ω = 0 iz s ravni odgovara tacka z = ej0 = 1, dok se tacka ωs/2 = 2π fs/2 = π fs preslikava uz= ejπ =−1. Diskretna Furijeova transformacija se u MATLAB

R©-u izracunava naredbomfft. Naziv je nastao

od izrazaFastFourier Transformtj. rece je o brzoj Furijeovoj transformaciji. Brza Furijeova transformacijanije neka nova transformacija, vec je rec o brzom algoritmu za izracunavanje diskretne Furijeove transforma-cije. Izracunavanje se svodi na upotrebu mnozenja i sabiranja te lako moze biti implementirano na bilo komprocesoru.

Zadatak 41 Izracunati diskretnu Furijeovu transformaciju signalax = {1,2,3,−2,0,4,1} i nacrtati ampli-tudski i fazni spektar.

Resenje:

Signalx ima duzinuN = 7, gde jex[0] = 1,x[1] = 2, . . . ,x[6] = 1. Na osnovu izraza (3.12) zam= 0 dobijaseclanX0

X0 =N−1

∑n=0

x[n]e− jmn2πN =

6

∑n=0

x[n]e− j0 = x[0]+x[1]+x[2]+ · · ·+x[6]

= 1+2+3+(−2)+0+4+1 = 9

(3.14)

Bez obzira na duzinuN i vrednosticlanova nizax, X0 se uvek dobija kao prosta suma svihclanova nizax, takoda je uvek rec o realnoj vrednosti a koja je srazmerna vrednosti DC komponente signalax.

Zam= 1 se dobija

X1 =6

∑n=0

x[n]e− jn 2π7 = x[0]e− j0 +x[1]e− j 2π

7 +x[2]e− j22π7 + · · ·+x[6]e− j62π

7

= 1+2(cos(2π7

− j sin(2π7

))+3(cos(4π7

)− j sin(4π7

))

−2(cos(6π7

)− j sin(6π7

))+4(cos(10π

7− j sin(

10π7

))+(cos(12π

7)− j sin(

12π7

))

= 1+2(0.6235− j0.7818)+3(−0.2225− j0.9749)−2(−0.9010− j0.4339)

+4(−0.2225+ j0.9749)+(0.6235+ j0.7818)

= 3.1148+ j1.0609

(3.15)

Zam= 2

X2 =6

∑n=0

x[n]e− j2n2π7 = x[0]e− j0 +x[1]e− j 4π

7 +x[2]e− j 8π7 + · · ·+x[6]e− j 24π

7

= 1+2(−0.2225− j0.9749)+3(−0.9010+ j0.4339)−2(0.6235+ j0.7818)

+4(−0.9010− j0.4339)+(−0.2225+ j0.9749)

= −7.2213− j2.9725

(3.16)

Zam= 3


X3 =6

∑n=0

x[n]e− j3n2π7 = e− j0 +2e− j 6π

7 +3e− j 12π7

+(−2)e− j 18π7 +4e− j 30π

7 +e− j 36π7

= 1+2(−0.9010− j0.4339)+3(0.6235+ j0.7818)−2(−0.2225− j0.9749)

+4(0.6235− j0.7818)+(−0.9010+ j0.4339)

= 3.1066+ j0.7341

(3.17)

Zam= 4

X4 =6

∑n=0

x[n]e− j4n2π7 = e− j0 +2e− j 8π

7 +3e− j 16π7

+(−2)e− j 24π7 +4e− j 40π

7 +e− j 48π7

= 1+2(−0.9010+ j0.4339)+3(0.6235− j0.7818)−2(−0.2225+ j0.9749)

+4(0.6235+ j0.7818)+(−0.9010− j0.4339)

= 3.1066− j0.7341

(3.18)

Zam= 5

X5 =6

∑n=0

x[n]e− j5n2π7 = e− j0 +2e− j 10π

7 +3e− j 20π7

+(−2)e− j 30π7 +4e− j 50π

7 +e− j 60π7

= 1+2(−0.2225+ j0.9749)+3(−0.9010− j0.4339)−2(0.6235− j0.7818)

+4(−0.9010+ j0.4339)+(−0.2225− j0.9749)

= 3.1066− j0.7341

(3.19)

Poslednjiclan zam= 6 ima vrednost

X6 =6

∑n=0

x[n]e− j6n2π7 = e− j0 +2e− j 12π

7 +3e− j 24π7

+(−2)e− j 36π7 +4e− j 60π

7 +e− j 72π7

= 1+2(0.6235+ j0.7818)+3(−0.2225+ j0.9749)−2(−0.9010+ j0.4339)

+4(−0.2225− j0.9749)+(0.6235− j0.7818)

= 3.1148− j1.0609

(3.20)

Svi koeficijenti diskretne Furijeove transformacije su dati u tabeli3.1.

Amplitudski i fazni spektar prokazani su na slikama 3.11 i 3.12, respektivno.

Da objasnimo dobijeni rezultat. Poznato je da je spektar periodicnog analognog signala diskretan. Nagrafiku spektra nax osi se nalazi frekvencija (predstavljena rednim brojem harmonika). Razmak izmed-u dvesusedne komponente diskretnog spektra iznosiω0 = 2π f0 = 2π/T, gdeT predstavlja periodu signala. Spektarje diskretan ali poseduje beskonacno puno harmonika tj. na grafiku se frekvecijska osa prostire od 0 do∞,nezavisno od togasto je spektar bogatiji nan niskim frekvencijama tj. iznad neke frekvencije komponentespektra (harmonici) imaju vrednost blisku nuli. Aperiodicni analogni signal moze da se posmatra kao speci-jalni slucaj periodicnog signalacija periodaT → ∞. U tom slucaju razmak izmed-u dva harmonikaω0 = 2π/Ttezi nuli tako da aperiodicni signal ima kontinualni spektar.

Kada je u pitanju diskretni signal, posmatranjem izraza za diskretnu Furijeovu transformaciju (3.12),vidimo da je spektar diskretan jer se na frekvencijskoj osi (koja je se sada nalazi na jedinicnom krugu) ko-

33

Tab. 3.1: Koeficijenti diskretne Furijeove transformacijeXk

k Xk |Xk| ]{Xk}[rad]

0 9+j0 9 01 3.1148 + j1.0609 3.2905 0.32832 -7.2213 - j2.9725 7.8092 -2.75113 3.1066 + j0.7341 3.1921 0.23214 3.1066 - 0.7341 3.1921 -0.23215 -7.2213 + 2.9725 7.8092 2.75116 3.1148 - 1.0609 3.2905 -0.3283

−3 −2 −1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

k

|X|

Sl. 3.11: Amplitudski spektar signalax

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

k

]{X}

[ra

d]

Sl. 3.12: Fazni spektar signalax

riste samo tacke koje su pod uglom koji je celobrojni umnozak vrednosti 2π/N gdeN predstvalja duzinu nizax, kako je prikazano na slici 3.13.


−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W00

W01

W02

W03

W04

W05

W06

Sl. 3.13:

Zato je najbolje pre izracunavanja diskretne Furijeove transformacije nizax duzineN, izracunati sve vre-dnostiWi j (ima ihN). U konkretnom slucaju one iznose

W00 = 1+ j0W01 = 0.6235− j0.7818W02 = −0.2225− j0.9749W03 = −0.9010− j0.4339W04 = −0.9010+ j0.4339W05 = −0.2225+ j0.9749W06 = 0.6235+ j0.7818

(3.21)

i pored-ane su na jedinicnom krugu u smeru kazaljke nacasovniku (negativni smer) jer je argument eksponen-cijalne funkcije negativan. Izraz (3.12) napisacemo u funkciji promenljiveWi j kao

Xm =N−1

∑n=0

x[n]e− jmn2πN =

N−1

∑n=0

x[n]Wmn ,m= 0,1,2, . . . ,N−1 (3.22)

tako da se zam= 0 dobija

X0 =N−1

∑n=0

x[n]Wmn = x[0]W00+x[1]W01+x[2]W02+x[3]W03+x[4]W04+x[5]W05+x[6]W06 (3.23)

gde je ugao izmed-u dva susedna parametraW vrednosti 2π/7, kao na slici 3.13.

X1 se odred-uje na osnovu sledeceg izraza

X1 =N−1

∑n=0


a vrednostiW parametara su prikazane na slici 3.14. Dakle opet koristimoistih 7 vrednosti samo je ugaoizmed-u dve susedne vrednosti sada 4π/7.

Slicno je

X2 =N−1

∑n=0


35

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W10

W14

W11

W15

W12

W16

W13

Sl. 3.14:

a slika 3.15 pokazuje pozicijuW parametara

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W20

W25

W23

W21

W26

W24

W22

Sl. 3.15:

Gornja polovina jedinicnog kruga odgovara pozitivnim frekvencijama a donja polovina negativnim. Kadaje duzina niza kao u ovom primeru neparan brojN, s obzirom da je prva tacka uvek na lokazijiz = 1 , stoodgovara frekvenciji 0, ostaje po(N− 1)/2 tacaka na pozitivnim tj na negativnim frekvencijama. Realninizovi imaju amplitudski spektar koji je parna funkcijasto je posledicacinjenice da suX1 = X∗

6 , X2 = X∗5 i

X3 = X∗4 komponenete na frekvencijama suprotnog znaka med-usobno konjugovano kompleksne. Dakle, treba

izracunatiX0 koji opisuje DC komponentu i jos (N−1)/2 komponenti koje opisuju pozitivne frekvencije akomponente na negativnim frekvencijama imaju konjugovanokompleksne vrednosti.

Dakle, diskretni signal ima diskretni spektar odred-en brzom Furijeovom transformacijom. Za razliku odspektra periodicnog analognog signala koji ima beskonacnom komponenti spektar diskretnog signala duzzineN ima tacno (N + 1)/2 komponneti (ukljucujuci i DC komponentu). Sa slika 3.13, 3.14 i 3.15 vidimo dane posedujemo informaciju (kada je nizx neparne duzine) o komponenti signala na frekvencijiFs/2 jer njojodgovara ugaoπ, tj. u z ravni se nalazi na lokacijiz= −1 a nijednaWi j tacka se ne nalazi na toj lokaciji.


Drugim recima, spektar diskretnog signala ima komponente na frekvencijama iz opsega[0,Fs/2]. Brojkomponenti na ovom opsegu je fiksiran na(N + 1)/2. Dakle frekvencijska rezolucija (razmak izmed-u dvesusedne komponente) zavisi od duzine nizaN. Za vece N treba izracunati vise komponentiXk, sto zahtevaizracunavanje vise mnozenja i sabiranja ali sa druge strane dobijamo bolju informaciju o spektru signala (navise frekvencija znamo kakav je sadrzaj tj. povecali smo frekvencijsku rezoluciju). U praksi se desava da signalkoji prikupljamo sa senzora ima ograniceno trajanje (npr. zemljotres) a samim tim za fiksiranu frekvencijuodabiranja posedujemo ogranicen broj odbiraka a taj broj definise frekvencijsku rezoluciju. Jedini nacin dapovecamo frekvencijsku rezoluciju je da nizx prosirimo nazeljenu duzinu nulama i da za tu prosirenu verzijuniza izracunamo diskretnu Furijeovu transformaciju.

Literatura

37

niverzitet u niˇsu elektronski fakultet

Documents