Nivel de Fermi JCQS 1 / 4

3 Nivel o energía de Fermi 3.1 Niveles de energía respecto al vacío Para el átomo de hidrógeno libre en el modelo Bohr, en la energía (E) esta cuantizada de acuerdo al número de la orbita (n):

En = - 0

2

2a

eke

2

1

n = - 2

606.13

n

eV para n = 1, 2 , 3 , 4 , …..

La energía mínima requerida para ionizar el átomo (esto es para liberar completamente un electrón en el estado base de la influencia del protón) recibe el nombre de energía de ionización. La energía de ionización para el hidrogeno en el estado base, de acuerdo con el calculo de Bohr es de -13.6 eV respecto al un nivel de vacío. Para un cristal de semiconductor como hemos visto tenemos bandas de energía (banda de valencia banda de conducción, banda prohibida o gap), estos niveles de energía con respecto a nivel de vacío muestran la afinidad electrónica y función de trabajo y nivel de Fermi.

Figura 3.1 Diagrama de energía respecto al nivel de vacío. - Nivel de vacío: Nivel de referencia, nivel de energía a la cual un electrón se ha liberado del material, es decir, no ligado a la estructura cristalina. - Afinidad electrónica: Energía que un electrón en la banda de conducción debe ganar para convertirse en un electrón libre. Parámetro constante para cada semiconductor. - Función de trabajo: Energía mínima con la que el electrón se enlaza al cristal. Variable con la concentración de impurezas. - Nivel de Fermi: Nivel de energía con probabilidad ½. Para semiconductores intrínsecos el nivel de Fermi esta ubicado aproximadamente a la mitad de la banda prohibida. Para semiconductores intrínsecos cambia de posición según el tipo de impureza.

Nivel de Fermi JCQS 2 / 4

Elemento semiconductor Si Ge GaAs

Afinidad electrónica χ (V) 4.05 4 4.07

Tabla 3.1 Afinidad electrónica de algunos semiconductores.

Para un cristal de silicio intrínseco se tienen los siguientes valores: - Afinidad electrónica: χ = 4.05 V La energía correspondiente es Uχ = q χ = (1.602 x 10

- 19 C) (4.05 V)

Uχ = 6.4881 x 10

- 19 J = 4.05 eV

- Band gap a 300° K , Eg = 1.12 eV - Nivel Fermi respecto a la banda de conducción o de valencia: EFC = EFV = (EC – EV) / 2 = Eg / 2 = 0.56 eV. - Función de trabajo qΦ: Afinidad electrónica más nivel de Fermi respecto a la banda de conducción. UΦ = Uχ + EFC = 4.05 eV + 0.56 eV = 4.61 eV (En la grafica Uχ = Energía de la Afinidad Electrónica, UΦ = Energía de la Función de Trabajo) Ejemplo 3 -1 Se tiene una muestra de silicio intrínseco a 300° K, a) ¿Cuál es la longitud de onda incidente sobre la muestra que permita a los electrones que están en la banda de valencia ir al estado de conducción? La energía del estado de valencia al de conducción es Eg = 1.12 eV La energía esta relacionada con la frecuencia E = h f , y la frecuencia con la longitud de onda

λ = f

c, siendo h = 4.135 x 10

-15 eV s , constante de Planck , c = 3 x 10

8 m/s velocidad de la luz.

Obtenemos λC = Eg

ch = )12.1(

)/103()10135.4( 815

eV

smxseVx −

λC = 1.107 x 10

-6 m = 1107 nm , esto corresponde a una luz infrarroja.

b) ¿Cuál es lo longitud de onda para separar un electrón del cristal? Usando el procedimiento anterior con la energía de la función de trabajo del silicio, UΦ = 4.61 eV

Nivel de Fermi JCQS 3 / 4

Obtenemos λ = Φch

= )61.4(

)/103()10135.4( 815

eV

smxseVx −

λ = 0.269 x 10

-6 m = 269 nm , esto corresponde a una luz ultravioleta.

Nivel de Fermi para materiales dopados. Para un semiconductor de tipo N, el nivel de Fermi se sitúa cada vez más cerca del nivel mínimo Ec de la banda de conducción a medida que la concentración de impurezas dadoras

aumente, es decir el nivel de Fermi dopado se sitúa por encima del nivel de Fermi intrínseco (Ei), tenemos:

EFi = kB T ln ( ND / ni ) Para un semiconductor de tipo P, el nivel de Fermi se aproxima al nivel superior Ev de la banda de valencia conforme la concentración de impurezas aceptoras aumenta, es decir el nivel de

Fermi dopado se sitúa por debajo del nivel de Fermi intrínseco (Ei), tenemos:

EFi = kBT ln ( NA / ni ) Ejemplo. 3 - 2 Se tiene que la concentración intrínseca del silicio a 300° K es de 3.606 x 10 9 cm -3 y un gap de 1.12 eV, la afinidad electrónica del silicio es 4.05 V. Determinar el nivel de Fermi al dopar el silicio con arsénico con una concentración 1 x 10

16 cm

-3 y la función de trabajo para esta situación, hacer

un diagrama de bandas respecto al nivel de vació mostrando ED, EC, EV, Ei, EFi, Uχ, UΦ

ni = 3.606 x 10 9 cm -3 Eg = 1.12 eV χ = 4.05 V

Nivel de Fermi JCQS 4 / 4

ND = 1 x 1016

cm-3

, por ser el boro pentavalente La afinidad electrónica se mide en volts, χ = 4.05 V, para convertir a energía: Uχ = qχ = (1.602 x 10

- 19 C) (4.05 V) = 6.488 x 10

-19 J = 4.05 eV

Primeramente el la energía de ionización del arsénico (As) es ED = 0.054 eV por debajo del nivel de conducción (figura 2.12, ), el nivel de Fermi intrínseco esta a la mitad de band gap

Ei.= Eg / 2 = (1.12 eV) / 2 = 0.56 eV respecto a la banda de conducción o de valencia. El nivel de Fermi EF se acerca a la banda de conducción y está por encima del nivel de Fermi

intrínseco Ei.

Usando EFi = kB T ln ( ND / ni ) EFi = (8.6173324 × 10 - 5 eV/K) (300° K) ln ( 1 x 10

16 cm

-3 / 3.606 x 10 9 cm -3 ) EFi = ( 0.0258 eV ) ( 14.835 ) = 0.383 eV UΦ = Uχ + EFi = 4.228 eV