nilson los as

TIPOS DE LOSAS En las construcciones de concreto reforzado las losas se utilizan para proporcionar superficies planas y útiles. Una losa de concreto reforzado es una amplia placa plana, generalmente horizontal, cuyas superficies superior e inferior son paralelas o casi paralelas entre sí. Puede estar apoyada en vigas de concreto reforzado (y se vacía por lo general en forma monolítica con estas vigas), en muros de marn- postería o de concreto reforzado, en elementos de acero estructural, en forma directa en columnas o en el terreno en forma continua.

Las losas se pueden apoyar sólo en dos lados opuestos, como en la figura 12.la, caso en que la acción estructural de la losa es fundamentalmente en una dirección, puesto que transmite las cargas en la dirección perpendicular a la de las vigas de apoyo. También es posible que haya vigas en los cuatro lados, como en la figura 12.lb, de modo que se obtiene una acción de losa en dos direcciones. Asimismo pueden suministrarse vigas intermedias, como aparece en la figura 12.1~. Si la relación entre la longitud y el ancho de un panel de losa es mayor que un valor alrededor de dos, la mayor parte de la carga se transmite en la dirección corta hacia las vigas de apoyo y se obtiene, en efecto, acción en una dirección, aunque se proporcionen apoyos en todos los lados.

En algunos casos, las losas de concreto se pueden apoyar directamente sobre columnas, como en la figura 12.ld, sin la utilización de vigas secundarias o principales. ~ s t a s losas se identifican como placasplanas y se utilizan a menudo cuando las luces no son muy largas y las cargas no son particularmente pesadas. La construcción del tipo losa plana, ilustrada en la figura 12.le, tampoco incluye vigas pero incorpora una región con un sobreespesor de losa en la vecindad de la columna y emplea con frecuencia columnas con forma acampanada en la parte superior; ambos son mecanismos para reducir los esfuerzos generados por cortante y flexión negativa alrededor de las columnas; por lo general se llaman paneles con ábacos o sobreespesores y capiteles de columna, respectivamente. En estrecha relación con la placa plana está la losa con viguetas en dos direcciones o losa reticular que ilustra la figura 12.lf. Con el fin de reducir la carga muerta de la construcción con losas macizas, se forman vacíos en un patrón rectilíneo mediante elementos de aligeramiento construidos en metal o en fibra de vidrio. Se obtiene así una construcción nervada en dos direcciones. Por lo general, los aligeramientos

366 DISENO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

(a) Losa en una dirección (b) Losa en dos direcciones

(c) Losa en una dirección

(e) Losa plana

- (u) Losa de placa plana

r i r i ' r i LJ LJ L J r~ n r i LJ L J,L J

r 1 LJ l

(17 Losa reticular

FIGURA 12.1 Tipos de losas estructurales.

se omiten cerca de las columnas de manera que se forme una losa maciza para resistir mejor los momentos y cortantes en estas áreas.

Además de los tipos de construcción apoyados en columnas que aparecen en la figura 12.1, muchas losas están apoyadas continuamente sobre el terreno, como en el caso de carreteras, pistas de aeropuerto y pisos de bodega. En tales casos, se proporciona por lo general una capa de piedra triturada o de grava bien compactada para asegurar un apoyo uniforme y permitir un drenaje adecuado del subsuelo.

LOSAS APOYADAS EN LOS BORDES 367

El acero de refuerzo de las losas se coloca principalmente en dirección paralela a las superficies de la losa. A menudo se utilizan barras de refuerzo rectas, aunque para losas continuas las barras inferiores se doblan a veces hacia arriba para proporcionar el refuerzo negativo sobre los apoyos. Comúnmente se utilizan mallas electrosoldadas de alambrón para losas sobre el terreno. Para el mayor refuerzo requerido algunasveces en losas de carretera o pistas de aeropuerto pueden utilizarse barras o mallas de varillas. Las losas también pueden preesforzarse utilizando torones de alta resistencia a la tensión.

Las losas de concreto reforzado de los tipos expuestos en la figura 12.1 se diseñan casi siempre para cargas que se suponen distribuidas de manera uniforme sobre la totalidad de uno de los paneles de la losa, limitadas por las vigas de apoyo o por los ejes entre centros de columnas. Las pequeñas cargas concentradas pueden absorberse mediante la acción en dos direcciones del refuerzo (acero a flexión en dos direcciones para sistemas de losa en dos direcciones o acero a flexión en una dirección más acero de repartición lateral para sistemas en una dirección). Por lo general, las grandes cargas concentradas requieren vigas de apoyo.

En este capítulo se analizarán las losas apoyadas en los bordes en una o en dos direcciones, como las que ilustran las figuras 12.la, b y c. Los sistemas en dos direcciones sin vigas, como los expuestos en las figuras 12.ld, e y f, al igual que las losas en dos direcciones apoyadas en los bordes (ver la figura 12.lb), se tratarán en el capítulo 13. En los capítulos 14 y 15 se introducirán métodos especiales basados en el análisis límite para estados de sobrecarga, aplicables a todos los tipos de losas.

DISENO DE LOSAS EN UNA DIRECCIÓN La acción estructural de una losa en una dirección puede visualizarse en términos de la deformación de la superficie cargada. La figura 12.2 ilustra una losa rectangular simplemente apoyada en la extensión de sus dos bordes largos opuestos y libre de cualquier soporte a lo largo de los dos bordes cortos. Si se aplica una carga uniformemente distribuida a la superficie, la forma deflectada será como la que indican las líneas sólidas. Las curvaturas y, en consecuencia, los momentos flectores son los mismos en todas las franjass que se extienden en la dirección corta entre los bordes apoyados, mientras que no se presenta curvatura y, por consiguiente, no existen momentos flectores para las franjas largas y paralelas a dichos bordes. La superficie que se forma es cilíndrica.

Para efectos de análisis y diseño, una franja unitaria de tal losa, cortada formando ángulos rectos con las vigas de apoyo, como lo indica la figura 12.3, puede considerarse como una viga rectangular con ancho unitario, con una altura h igual al espesor de la losa y una luz 1, igual a la distancia entre los bordes apoyados. Esta franja puede analizarse mediante los métodos que se utilizaron paravigas rectangulares, calculando los momentos flectores para la franja con ancho unitario. La carga por unidad de área sobre la losa se convierte en la carga por unidad de longitud sobre la franja de losa. Puesto que todas las cargas sobre la losa deben transmitirse a las dos vigas de soporte, se concluye que todo el

2 4 Apoyos simples FIGURA 12.2 únicamente a lo largo Forma deflectada de una losa en una dirección de los bordes largos y cargada uniformemente.


\ Refuerzo principal

FIGURA 12.3 Principio básico de la franja unitaria para el diseño a flexión.

refuerzo debe colocarse formando ángulos rectos con estas vigas, con excepción de algunas barras que deben ubicarse en la otra dirección para controlar el agrietamiento por retracción de fraguado y temperatura. Una losa en una dirección puede considerarse entonces como un conjunto de vigas rectangulares una junto a la otra.

Este análisis simplificado, que supone una relación de Poisson igual a cero, es ligeramente conservador. En realidad, la compresión por flexión en el concreto en la dirección de 1, generará una expansión lateral en la dirección de lb a menos que se restrinja el concreto a compresión. Para losas en una dirección, esta expansión lateral es resistida por las franjas adyacentes de la losa, que también tienden a expandirse. El resultado es un ligero fortalecimiento y rigidización en la dirección de la luz, pero este efecto es pequeño y puede despreciarse.

La cuantía de acero en una losa puede determinarse dividiendo el área transversal de una barra por el área de concreto entre dos barras sucesivas, siendo esta última área el producto de la altura hasta el centro de las barras por la distancia entre ellas, centro a centro. La cuantía de acero también puede determinarse dividiendo el área promedio de acero por pie de ancho, por el área efectiva de concreto en una franja de un pie. El área promedio de acero por pie de ancho es igual al área de una barra multipli- cada por el número promedio de barras en una franja de un pie (12 dividido por el espaciamiento en pulgadas) y el área efectiva de concreto en una franja de un pie (o 12 pulg) es igual a 12 veces el espesor efectivo d.

Para ilustrar el último método para obtener la cuantía de acerop, se supone una losa de 5 pulg con un espesor efectivo de 4 pulg y con barras No. 4 espaciadas a 4 pulg centro a centro. La cantidad promedio de barras en una franja de 12 pulg de losa es 1214.5 = 2.7 barras y el área de acero promedio en una franja de 12 pulg es 2.7 x 0.20 = 0.54 pulg2. De ahí que,p = 0.54/(12 X 4) = 0.0112. Mediante el otro método

El espaciamiento necesario entre las barras para suministrar un área determinada de acero por pie de ancho se obtiene dividiendo entre 12 la cantidad de barras requerida para dar esta área. Por ejemplo, para proporcionar un área promedio de 0.46 pulg2/pie utilizando barras No. 4, se requieren 0.4610.20 = 2.3 barras por pie; las barras deben espaciarse a no más de 1212.3 = 5.2 pulg centro a centro. La determinación de las áreas de acero en losas para varias combinaciones de barras y de espaciamientos se facilita con la utilización de la tabla A.4 del apéndice A.

Los momentos y cortantes de diseño en losas en una dirección pueden encontrarse bien sea mediante análisis elásticos o por los mismos coeficientes utilizados anteriormente para vigas (ver el capítulo 11). Si la losa descansa libremente sobre sus apoyos, la longitud de la luz puede tomarse igual a la luz libre más el espesor de la losa, sin necesidad de exceder la distancia entre centros de apoyo, de acuerdo con el Código ACI 8.7.1. En general, en el análisis de losas continuas deben utilizarse las distancias centro a centro, pero se permite una reducción de los momentos negativos para tener en cuenta el ancho de los apoyos (ver el capítulo 11). Para losas con luces libres no mayores que 10 pies,


construidas integralmente con sus apoyos, el Código ACI 8.7.4 permite el análisis de losa continua apoyada sobre soportes de cuchilla tomando las longitudes de las luces iguales a las luces libres e ignorando por otra parte el ancho de las vigas. Si se utilizan los coeficientes de momento y de cortante, los cálculos deben basarse en las luces libres.

Las losas en una dirección se diseñan normalmente con cuantías de acero a tensión muy por debajo de los máximos valores admisibles de 0 . 7 5 ~ ~ . Las cuantías típicas de acero varían aproximadamente de 0.004 a 0.008. Esto es, en parte, por razones económicas porque el ahorro en acero asociado con un incremento del espesor efectivo compensa ampliamente el costo del concreto adicional y, también, porque losas muy delgadas con grandes cuantías de acero serían susceptibles de sufrir grandes deflexiones. Por tanto, el diseño a flexión puede iniciarse seleccionando una cuantía de acero relativamente baja, por ejemplo cerca de 0.20pb, haciendo que M, = @M,, en la ecuación (3.37) y resolviendo para el espesor efectivo requerido d, sabiendo que b = 12 pulg para la franja unitaria. Como opción, puede utilizarse la tabla A.6 o el gráfico A.l del apéndice A. La tabla A. 10 también es útil. Así, el área de acero que se requiere para la franja de 12 pulg, A, = pbd, se determina fácilmente.

El Código ACI 9.5.2 especifica los espesores mínimos de la tabla 12.1 para losas no preesforzadas construidas con concreto de peso normal (w, = 145 lb/pie3) y refuerzo grado 60, siempre y cuando la losa no soporte o no esté unida a una construcción que pueda dañarse por grandes deflexiones. Pueden utilizarse espesores menores si los cálculos de las deflexiones indican que no se producen efectos adversos. Para concretos de peso unitario w, en el intervalos de 90 a 120 lb/pie3, los valores tabulados deben multiplicarse por (1.65 - 0.005 w,), pero no menor que 1.09. Para refuerzo con esfuerzo de fluenciafy diferente de 60,000 lb/pulg2, los valores tabulados deben multiplicarse por (0.4 + fy/lOO,OOO). Las deflexiones de las losas pueden calcularse, cuando se requiera, con los mismos métodos que se utilizan para vigas (ver la sección 6.7).

Raras veces el cortante controlará el diseño de losas en una dirección, en particular cuando se utilizan cuantías bajas de acero a tensión. Se encontrará que la capacidad a cortante del concreto, $Vc, estará casi sin excepción muy por encima de la resistencia a cortante requerida V, para las cargas mayoradas.

El espesor total de la losa h se redondea por lo general hasta el siguiente de pulg para losas hasta de 6 pulg de espesor y hasta la siguiente pulg superior para losas de mayor espesor. La protección de concreto por debajo del refuerzo debe seguir los requisitos del Código ACI, 7.7.1,

3 que exigen un recubrimiento mínimo de 7 de pulg por debajo de la parte inferior del acero (ver la figura 3.10b). En una losa común puede suponerse una distancia de 1 pulg por debajo del centro del acero. El espaciamiento lateral de las barras, excepto para aquellas que se utilizan exclusiva- mente para controlar las grietas de retracción de fraguado y temperatura (ver la sección 12.3), no debe exceder tres veces el espesor h o 18 pulg, el que sea menor, de acuerdo con el Código ACI 7.6.5. En general, los tamaños de las barras deben seleccionarse de tal manera que el espaciamiento real no sea menor que aproximadamente 1.5 veces el espesor de la losa, para evitar costos excesivos en la fabricación y manejo de las barras. Asimismo, para reducir costos se utilizan a menudo barras rectas para el refuerzo de las losas, cortadas en los puntos permitidos según lo descrito para vigas en la sección 5.9.

TABLA 12.1 Espesores mínimos de h para losas en una dirección no preesforzadas

Simplemente apoyadas Un extremo continuo Los dos extremos continuos En voladizo


Tal como se anotó en la sección 2.10, el concreto se retrae a medida que la pasta de cemento se endurece. Es recomendable minimizar esta retracción de fraguado utilizando concretos con las mínimas cantidades posibles de agua y de cemento compatible con los otros requerimientos, tales como la resistencia y la trabajabilidad, y mediante un curado húmedo cuidadoso y de duración suficiente. Sin embargo, sin importar qué tantas precauciones se tomen, a menudo es inevitable cierta cantidad de retracción de fraguado. Si una losa con dimensiones moderadas descansa libremente sobre sus apoyos, puede contraerse para acomodar el acortamiento en su longitud producido por la retracción de fraguado. Sin embargo, las losas y otros elementos están por lo general rígida- mente unidos a otras partes de la estructura y no pueden contraerse libremente; esto genera esfuerzos de tensión conocidos como esfuerzos de retracción defraguado. Una disminución en la temperatura con respecto a la existente cuando la losa se funde, particularmente en estructuras sometidas a la intemperie como en los puentes, puede tener un efecto similar al de la retracción de fraguado. Es decir, la losa tiende a contraerse y, si está restringida para hacerlo, se generan esfuerzos internos de tensión.

miesto que el concreto es débil a tensión, es muy probable que estos esfuerzos de temperatura y de retracción de fraguado produzcan agrietamiento. Las grietas de esta naturaleza no son perjudiciales, siempre y cuando su tamaño se limite a lo que se conoce comogrietas capilares; esto puede lograrse colocando refuerzo en la losa para contrarrestar la contracción y para distribuir uniformemente las grietas. Amedida que el concreto tiende a contraerse, este refuerzo resiste la contracción y, en consecuencia, queda sometido a compresión. La retracción total en una losa reforzada de esta manera es menor que la de una losa sin refuerzo; además, cualesquiera que sean las grietas que se formen, éstas serán de menor ancho y estarán más uniformemente distribuidas gracias a la presencia del refuerzo.

Para losas en una dirección, el refuerzo suministrado para resistir los momentos flectores tiene el efecto conveniente de reducir la retracción de fraguado y de distribuir las grietas. Sin embargo, debido a que la contracción ocurre igualmente en todas las direcciones, es necesario proporcionar refuerzo especial para limitar la contracción por retracción de fraguado y temperatura en dirección perpendicular a la del refuerzo principal. Este acero adicional se conoce como refuerzo para temperatura o retracción de fraguado, o acero de repartición.

El refuerzo para los esfuerzos de retracción de fraguado y temperatura en dirección perpendicular a la del refuerzo principal, debe colocarse en cualquier losa estructural donde el refuerzo principal se coloca sólo en una dirección. El Código ACI 7.12.2 especifica las relaciones mínimas entre el área de refuerzo y el área bruta de concreto que aparecen en la tabla 12.2, pero de ningún modo las barras de refuerzo deben colocarse a un espaciamiento mayor que cinco veces el espesor de la losa o 18 pulg. De ninguna manera la cuantía de acero debe ser menor que 0.0014.

El acero exigido por el Código ACI para control de grietas de retracción de fraguado y temperatura también representa el refuerzo mínimo admisible en la dirección de la luz para losas en una dirección; las cuantías mínimas usuales para acero a flexión no son aplicables en este caso.

TABLA 12.2 Cuantías mínimas de refuerzo para temperatura y retracción en losas

Losas donde se utilicen barras conugadas grado 40 ó 50 0.0020 Losas donde se utilicen barras corrugadas grado 60 o mallas electrosoldadas de alambrón (liso o corrugado) 0.0018 Losas donde se utilice refuerzo con resistencia a la fluencia por encima 0.0018 x 60,000 de 60,000 lb/pulg2 medida a una deformación de fluencia de 0.35% fi,


Ejemplo 12.1. Diseno de una losa armada en una dirección. Una losa de concreto reforzado se constru- ye íntegramente con sus soportes y consta de dos vanos iguales, cada uno con luz libre de 15 pies. La carga viva de servicio es de 100 lb/pie2 y se especifica concreto de 4000 lb/pulg2 para utilizar con acero con esfuerzo de fluencia igual a 60,000 lb/pulg2. Diseñe la losa según las disposiciones del Código ACI.

Solución. Primero se estima el espesor de la losa con base en los espesores mínimos de la tabla 12.1: 1/28 = 15 x 12/28 = 6.43 pulg. Se utilizará un espesor tentativo de 6.50 pulg, para el cual el peso es 150 x 6.50112 = 81 lb/pie2. La carga viva especificada y la carga muerta calculada se multiplican por los factores de carga del Código ACI:

Carga muerta = 81 x 1.4 = 113 lb/pie2

Cargaviva = 100 x 1.7 = 170 lb/pie2

Total = 283 lb/pie2

En este caso, los momentos de diseño en las secciones críticas se encuentran utilizando los coeficientes de momento del ACI (ver la tabla 11.1):

En el apoyo interior: -M = x 0.283 x 152 = 7.06 klb-pie

En el centro de la luz: +M = $ x 0.283 x 152 = 4.53 klb-pie

En el apoyo exterior: -M = &X 0.283 x 152 = 2.65 klb-pie

La máxima cuantía de acero permitida por el Código ACI es, de acuerdo con la ecuación (3.29):

Si se utilizara en realidad este valor máximo de p, el espesor mínimo efectivo que se requeriría, controlado por el momento negativo en el apoyo interior, se encontraría a partir de la ecuación (3.37) y sería igual a:

Este valor es menor que el espesor efectivo de 6.50 - 1.00 = 5.50 pulg, que resulta de la aplicación de las restricciones del Código; en consecuencia, se adopta este último valor. En el apoyo interior, si la profundidad del bloque de esfuerzos es a = 1.00 pulg, el área de acero requerido por pie de ancho en la parte superior de la losa es [ecuación (3.36)]

Si se verifica el valor supuesto del espesor a con la ecuación (3.31) se obtiene

Un segundo ensayo se realiza con a = 0.46 pulg. Entonces

t Este espesor se puede encontrar más fácilmente utilizando el gráfico A.1 del apéndice A. Parap = p,,J4U/$bd2 = 1050 a partir de la cual, d = 2.75 pulg. También puede utilizarse la tabla A.6a.


a partir de lo cual a = 0.46 x 0.30/0.31 = 0.45 pulg. No es necesaria una revisión adicional. Para las otras secciones críticas a momento, será satisfactorio utilizar el mismo brazo de palanca para determinar las áreas de acero y

En el centro de la luz A, = 4e53 l 2 = o. 19 puig~ 0.90 x 60 X 5.27

En el apoyo exterior A, = 2.65 l 2 = 0.11 pulg2 0.90 X 60 X 5.27

El refuerzo mínimo es el requerido para control del agrietamiento por retracción de fraguado y temperatura. Éste es

para cada franja de 12 pulg. Esto exige un pequeño incremento en la cantidad de acero que se utiliza en el apoyo exterior.

La fuerza cortante mayorada a una distancia d de la cara del apoyo interior es

Mediante la ecuación (4.12b), la resistencia nominal a cortante de la losa de concreto es

Así, la resistencia de diseño de la losa de concreto, q5Vc = 0.85 X 8350 = 7100 lb, está muy por encima de la resistencia requerida a cortante de V, = 2310 lb.

Las áreas requeridas de acero a tensión pueden suministrarse en varias formas, pero cualquiera que sea la selección debe darse especial atención a la colocación real del acero durante la constmcción. La distribución debe ser tal que el acero pueda colocarse rápidamente con costos mínimos de mano de obra, aún cuando sea necesario un poco de acero adicional al calculado para alcanzar este fin.

En la figura 12.4 aparecen dos posibles distribuciones de acero. En la figura 12 .4~ se utilizan barras dobladas, mientras que en la figura 12.4b todas las barras son rectas.

En la distribución de la figura 12.4a, las barras No. 4 colocadas cada 10 pulg proporcionan 0.24 pulg2 de acero en el centro de la luz, ligeramente superior al necesario. Si las dos terceras partes de estas barras se doblan hacia arriba para conformar el refuerzo negativo sobre el apoyo interior, el espaciamiento promedio de estas barras dobladas en el apoyo interior será (10 + 20)/2 = 15 pulg. Puesto que un patrón idéntico de barras se dobla hacia arriba desde el otro lado del apoyo, el

Simetría con respecto al

#4 O 10" 2 dobladas, 1 recta

FIGURA 12.4 Ejemplo de diseño de una

(4 losa en una dirección.


espaciamiento efectivo de las barras No. 4 sobre el apoyo interior será de 7 3 pulg. Esta distribución satisface bastante bien el área exigida de acero de 0.30 pulg2 por pie de ancho de losa sobre el apoyo. Las mismas barras dobladas en el apoyo interior se doblarán hacia arriba para conformar el refuerzo negativo en el apoyo exterior, suministrando un refuerzo equivalente a barras No. 4 espaciadas a 15 pulg, o sea, 0. 16 pulg2 de acero.

Observe que no es necesario lograr un espaciamiento uniforme del refuerzo en las losas y que el acero suministrado se puede calcular en forma segura con base en un espaciamiento promedio como se hizo en el ejemplo. Sin embargo, debe darse especial atención para satisfacer los requisitos de espaciamiento, tanto mínimos como máximos, para el refuerzo principal.

La ubicación de los dobleces y de los puntos de corte que aparecen en la figura 12.4~ se obtuvo utilizando el gráfico A. 3 del apéndice A como se explicó en la sección 5.9 y la tabla A l 1 (ver también la figura 5.14).

La distribución de la figura 12.46 utiliza únicamente barras rectas. Aunque esto es satisfactorio según el Código ACI (puesto que los esfuerzos cortantes no exceden dos tercios del valor permitido), los cortes de las barras positivas y negativas más cortas, como se ilustra, producen una situación no conveniente en los extremos de estas barras, donde se presentarán concentraciones de esfuerzos en el concreto. El diseño se mejoraría si las barras negativas se cortaran a 3 pies desde la cara del apoyo interior, en vez de 2 pies 6 pulg como aparece, y si el acero positivo se cortara a 2 pies 2 pulg, en lugar de 2 pies 11 pulg. Esto generaría un traslapo de las barras recortadas positivas y negativas aproximadamente igual a 2d. En la figura 5 . 1 5 ~ se sugiere una distribución algo más simple que también sería satisfactoria.

El área exigida de acero que debe colocarse en dirección perpendicular a la del refuerzo principal para propósitos de control de grietas por temperatura y retracción de fraguado es 0.14 pulg2. Éste se proporcionará mediante barras No. 4 espaciadas a 16 pulg, colocadas directamente encima del refuerzo principal en la región de momento positivo y debajo del acero principal en la zona de momento negativo.

COMPORTAMIENTO DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES APOYADAS EN LOS BORDES

Las losas expuestas en las secciones 12.2 y 12.3 se deforman bajo carga conformando una superficie cilíndrica. En estos casos la principal acción estructural es en una dirección, perpendicular a los apoyos en dos bordes opuestos de un panel rectangular. Sin embargo, en muchos casos, las losas rectangulares tienen tales proporciones, y están sostenidas de tal manera, que se obtiene una acción en dos direcciones. Cuando se aplica la carga, estas losas se deflectan conformando una superficie en forma de plato en vez de una en forma cilíndrica. Esto significa que en cualquier punto la losa tiene curvatura en las dos direcciones principales y puesto que los momentos flectores son proporcionales a las curvaturas, tam- bién existen momentos en ambas direcciones. Para resistir estos momentos, la losa debe reforzarse en las dos direcciones, al menos por dos capas de barras perpendiculares con respecto a los dos pares de bordes. La losa debe diseñarse para tomar una parte proporcional de la carga en cada dirección.

Los tipos de construcción en concreto reforzado que se caracterizan por una acción en dos direcciones incluyen losas soportadas por muros ovigas en todos los lados (ver la figura 12.1b), placas planas (ver la figura 12.ld), losas planas (ver la figura 12.le) y losas reticulares (ver la figura 12.lf).

El tipo más simple de losa con acción en dos direcciones es el que representa la figura 12.lb, donde la losa o el panel de losa, está soportado a lo largo de sus cuatro bordes por vigas monolíticas de concreto relativamente altas y rígidas, por muros o por vigas principales de acero. Si las vigas de borde en concreto son de poca altura o se omiten del todo, como en el caso de las placas y losas planas, las deformaciones del sistema de piso a lo largo de los ejes entre columnas alteran en forma significativa la distribución de los momentos en el panel mismo de la losa (ver la referencia 12.1). Los sistemas en dos direcciones de este tipo se analizan de manera separada en el capítulo 13. La presente discusión se refiere al primer tipo, en el cual los soportes de borde son bastante rígidos de manera que se puede considerar que éstos no ceden bajo la carga.

Este tipo de losa se ilustra en la figura 12.5a. Para visualizar su comportamiento a flexión es conveniente pensar que está conformada por dos conjuntos de franjas paralelas en cada una de las dos


Apoyos simples a lo largo de todos los cuatro bordes

(a) (4 FIGURA 12.5 Losa en dos direcciones sobre apoyos de borde simples: ( a ) flexión de la franja central de la losa; (b) modelo reticular de la losa.

direcciones, que se interceptan entre sí. Evidentemente, parte de la carga es tomada por uno de estos conjuntos de franjas y se transmite a'un par de soportes de borde, y el resto de la carga la toma el otro conjunto.

La figura 12.5a presenta las dos franjas centrales de una placa rectangular con luz corta 1, y luz larga lb. Si la carga uniforme es w por pie cuadrado de losa, cada una de las dos franjas actúa casi como una viga simple cargada de manera uniforme por la parte de la carga w que le corresponde. Puesto que estas franjas imaginarias son en realidad parte de la misma losa monolítica, sus deflexiones en los puntos de intersección deben ser las mismas. Si se igualan las deflexiones en el centro de la franja corta y de la larga, se obtiene

donde w, es la fracción de la carga w que se transmite en dirección corta, y wb es la fracción que se transmite en dirección larga. En consecuencia,

Se observa que la mayor fracción de carga se transmite en la dirección corta y que la relación entre las dos porciones de la carga total es inversamente proporcional a la relación de las luces elevada a la cuarta potencia.

Este resultado es aproximado puesto que el comportamiento real de una losa es más complejo que el de las dos franjas que se interceptan. Con base en la figura 12.5b, que presenta un modelo de losa conformado por dos conjuntos de tres franjas cada uno, se puede lograr una mejor interpretación del comportamiento de la losa misma. Se observa que las dos franjas centralessl y lI se deflectan de manera similar a la de la figura 12.5~. Sin embargo, las franjas extremas s2 y l2 no sólo se deflectan sino que también se tuercen. Considere por ejemplo una de las intersecciones de s2 con l2 Se advierte que, en el punto de intersección, el borde exterior de la franja l2 está más elevado que el borde interior, mientras que en el extremo cercano de la franja l2 los dos bordes se encuentran a la misma altura; la franja está sometida a torsión. Este alabeo produce esfuerzos y momentos de torsión que son más pronunciados cerca de las esquinas. En consecuencia, la carga total de la losa es tomada no sólo por los momentos flectores en las dos direcciones, sino también por los momentos de torsión. Por esta razón, los momentos flectores en losas elásticas son menores que los que resultarían del cálculo que supone un conjunto de franjas desconectadas y cargadas con wa y wb. Por ejemplo, para una losa cuadrada simplemente


apoyada,.^, = wb = w12. Si únicamente estuviera presente la flexión, el momento máximo para cada franja sería

La teoría exacta de flexión de placas elásticas demuestra que, en realidad, el momento máximo de esta losa cuadrada es apenas 0.048 wp, así que en este caso los momentos de torsión alivian los momentos flectores en casi el 25 por ciento.

Los mayores momentos ocurren donde la curvatura es más aguda. En la figura 12.5b se observa que esto ocurre para el centro de la luz de la franja cortasl. Suponga que la carga se incrementa hasta que esta sección se ve sobreesforzada, de manera que el acero en el centro de la franjasl esté en fluencia. Si la franja fuera una viga aislada, esta condición significaría la falla; sin embargo, al considerar la losa como un todo se observa que no se presentará una falla inmediata. Las franjas vecinas (tanto las paralelas como las perpendiculares asl), al ser en realidad monolíticas con ella, van a tomar la fracción de cualquier carga adicional que la franja S, no pueda soportar, hasta que ellas a su vez empiecen a fluir. Esta redistribución inelástica continuará hasta que, en un área relativamente grande de la porción central de la losa, todos los aceros en ambas direcciones estén en fluencia; solamente entonces se presentará la falla de toda la losa. A partir de este razonamiento, demostrado con ensayos, se concluye que las losas no necesitan diseñarse para el máximo momento absoluto en cada una de las dos direcciones (como el valor de 0.048 wp en el ejemplo del párrafo anterior), sino únicamente para un momento promedio menor en cada una de las dos direcciones en la porción central de la losa. Por ejemplo, uno de los métodos analíticos de uso general permite diseñar la anterior losa cuadrada para un momento de 0.036 wp. En comparación con el momento máximo elástico real de 0.048 wp, se observa que se logra una reducción del 25 por ciento en el momento gracias a la redistribución inelástica.

El mayor momento en la losa se presenta en el centro de la luz de la franja cortasl de la figura 12.5b. Es evidente que la curvatura, y por tanto el momento, en cualquier punto de la franja cortas2 es menor que en el sitio correspondiente de la franjasl. En consecuencia, se presenta una variación del momento de la luz corta en la dirección larga de la luz; esta variación se ilustra cualitativamente en la figura 12.6. El diagrama de momentos de la luz corta de la figura 12.6~ es válido sólo a lo largo de la franja central en 1-1. Para otras secciones, el valor del momento máximo es menor, como aparece. Las otras ordenadas de momento se reducen en forma proporcional. De igual modo, el diagrama de momentos de la luz larga de la figura 12.6b es aplicable únicamente en la línea central longitudinal de la losa; para otros sitios las ordenadas se reducen de acuerdo con la variación presentada. Estasvariacio- nes en el momento máximo a través del ancho y del largo de una losa rectangular se tienen en cuenta en forma aproximada en la mayor parte de los métodos prácticos de diseño que se realizan para un momento reducido en la cuarta parte exterior de la luz de la losa en cada dirección.

Debe observarse que sólo las losas con relaciones de lados menores que aproximadamente dos necesitan tratarse como losas en dos direcciones. A partir de la ecuación (b) anterior, se aprecia que, para una losa de estas proporciones, la fracción de la carga transmitida en la dirección larga es apenas del orden de un dieciseisavo de la transmitida en la dirección corta. Esta losa actúa casi como si se extendiera únicamente en la dirección corta. En consecuencia, los paneles de losas rectangulares con una relación de lados de dos o más pueden reforzarse para acción en una dirección, con el acero principal en dirección perpendicular a los bordes largos. Por supuesto, debe suministrarse acero para retracción de fraguado y temperatura en la dirección larga, y refuerzo auxiliar sobre y en dirección perpendicular a las vigas de apoyo cortas y en las esquinas de la losa para controlar el agrietamiento (ver la sección 12.5).

ANÁLISIS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS COEFICIENTES La determinación precisa de momentos en losas en dos direcciones, con varias condiciones de continuidad en los bordes soportados, es matemáticamente muy compleja y no es adecuada para la práctica


FIGURA 12.6 Momentos y variaciones de los momentos en una losa cargada uniformemente con apoyos simples en los cuatro lados.

de diseño. Por esta razón se han adoptado varios métodos simplificados para determinar momentos, cortantes y reacciones para este tipo de losas.

Con respecto al Código ACI de 1995, todos los sistemas de losas de concreto reforzado en dos direcciones que incluyen losas apoyadas en los bordes, losas y placas planas, deben analizarse y diseñar- se de acuerdo con un método unificado que se presenta en detalle en el siguiente capítulo. Sin embargo, la complejidad de este método generalizado, en particular para sistemas que no cumplen los requisitos que permiten realizar el análisis mediante el "método de diseño directo" del Código actual, ha llevado a muchos ingenieros a continuar utilizando el método de diseño del Código ACI de 1963 (ver la referencia 12.2) para el caso especial de losas en dos direcciones, apoyadas en vigas de borde relativamente altas y rígidas, en los cuatro lados de cada uno de los paneles de la losa.

En este capítulo se presentará el método 3 del Código ACI de 1963. Desarrollado originalmente por Marcus (ver la referencia 12.3) y utilizado ampliamente en Europa, fue introducido en los Estados Unidos por Rogers (ver la referencia 12.4). Desde 1963 se utiliza en forma amplia para losas apoyadas en los bordes por muros, vigas de acero o vigas monolíticas de concreto, cuya altura total no sea menor que aproximadamente tres veces el espesor de la losa. Aunque no formó parte del Código ACI de 1977 o de versiones posteriores, se permite su uso continuo bajo la disposición del Código actual (Código ACI 13.5.1) con relación a que un sistema de losa puede diseñarse utilizando cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y de compatibilidad geométrica, siempre y cuando se de- muestre que la resistencia de diseño en cada sección es por lo menos igual a la resistencia requerida, y que se cumplen los requisitos de funcionalidad.

El método utiliza tablas de coeficientes de momento que cubrenvarias condiciones. Estos coeficientes se basan en análisis elásticos pero también tienen en cuenta la redistribución inelástica. En consecuencia, el momento de diseño en cada dirección es menor en cierta cantidad que el momento máximo elástico en esa dirección. Los momentos en las franjas centrales en las dos direcciones se calculan a partir de


donde Ca , Cb = coeficientes de momento tabulados w = carga uniforme, lb/pie2

la, lb = longitud de la luz libre en las direcciones corta y larga, respectivamente

El método establece que cada panel debe dividirse, en ambas direcciones, en una franja central cuyo ancho es la mitad del ancho del panel y en dos franjas de borde o franjas de columna con un ancho igual a un cuarto del ancho del panel (ver la figura 12.7). Tal como se analizó anteriormente y se ilustró en las figuras 12.6~~ y b, los momentos en las dos direcciones son mayores en la porción central de la losa que en las regiones cercanas a los bordes. Por tanto, el método establece que toda la franja central se diseña para el momento de diseño total tabulado. Para las franjas de borde, este momento se supone que disminuye desde su valor máximo en el borde de la franja central, hasta un tercio de su valor en el borde del panel. Esta distribución se indica en la figura 12.7 para los momentos M, en dirección de la luz corta. La variación lateral de los momentos Mb en la dirección de la luz larga es similar.

Hasta ahora, el análisis se ha restringido a un panel individual simplemente apoyado en los cuatro lados. En la figura 12.8 se presenta una situación real, en la cual un sistema de vigas soporta una losa en dos direcciones. Se observa que algunos de los paneles, como el A, tienen dos bordes exteriores discontinuos, mientras que los demás son continuos con sus vecinos. El panel B tiene un borde discontinuo y tres bordes continuos; el panel interior C tiene todos los bordes continuos y así sucesivamente. En un borde continuo de losa se generan momentos negativos de manera similar al caso de los apoyos interiores de vigas continuas. También, la magnitud de los momentos positivos depende de las condiciones de continuidad en todos los cuatro bordes.

De acuerdo con esto, la tabla 12.3 da coeficientes de momento C, para momentos negativos en bordes continuos. Los detalles de las tablas se explican por sí mismos. Los máximos momentos negativos de borde se obtienen cuando dos paneles adyacentes a un borde particular sostienen la totalidad de la carga muerta y viva; de ahí que el momento se calcula para esta carga total. Los momentos negativos en bordes discontinuos se suponen iguales a un tercio de los momentos positivos para la misma direc- ción. Estos momentos deben tenerse en cuenta en el diseño puesto que la rigidez torsional de la viga de borde o del muro de apoyo suministra en general un grado de restricción en los bordes discontinuos.

Para los momentospositivos se va a presentar, si acaso, muy poca rotación en los bordes continuos cuando la carga muerta actúa sola porque las cargas en los dos paneles adyacentes tienden a producir rotaciones opuestas que se cancelan entre sí o se balancean aproximadamente. Para esta condición, los bordes continuos pueden considerarse empotrados y los coeficientes apropiados para los momentos positivos ocasionados por carga muerta se determinan mediante la tabla 12.4. Por otra

Variación de M,

FIGURA 12.7 Variación de los momentos a través del ancho de las secciones críticas supuestas para el diseño.


TABLA 12.3 Coeficientes para momentos negativos en losasa

Ma,neg = ' a ,negw' j

donde w = carga muerta más viva uniforme total

a Un borde achurado indica que la losa continúa a través o se encuentra empotrada en el apoyo; un borde sin marcas indica un apoyo donde la resistencia torsional es despreciable.

FIGURA 12.8 Planta de una losa de piso típica en dos direcciones con vigas en los ejes de columnas.

Caso 7

0.071

0.067

0.062

0.057

0.051

0.044

0.038

0.031

0.024

0.019

0.014

Relación m=L

lb

1.00 'a.neg

'b,neg

0.95 ' 4 ~

'b,neg

0.90 'a,neg

'b,neg

0.85 'a,neg

'b,neg

0.80 'a,neg

'b,neg

0.75 '4n.g

'b,neg

0.70 'a2%-

có,neg

0.65 ' a m

'b,neg

0.60 'a,neg

cb,neg

0.55 ' a w

'b,neg

0.50 '=,n=g

cb,neg

Caso 5

0 ~ 1 7 a o c l o i l u 0.075

0.079

0.080

0.082

0.083

0.085

0.086

0.087

0.088

0.089

0.090

Caso6

0.071

0.075

0.079

0.083

0.086

0.088

0.091

0.093

0.095

0.096

0.097

Caso 8

0.033 0.061

0.038 0.056

0.043 0.052

0.049 0.046

0.055 0.041

0.061 0.036

0.068 0.029

0.074 0.024

0.080 0.018

0.085 0.014

0.089 0.010

Caso 1 Caso 9

0.061 0.033

0.065 0.029

0.068 0.025

0.072 0.021

0.075 0.017

0.078 0.014

0.081 0.011

0.083 0.008

0.085 0.006

0.086 0.005

0.088 0.003

Caso2

0.045 0.045

0.050 0.041

0.055 0.037

0.060 0.031

0.065 0.027

0.069 0.022

0.074 0.017

0.077 0.014

0.081 0.010

0.084 0.007

0.086 0.006

Caso3

0.076

0.072

0.070

0.065

0.061

0.056

0.050

0.043

0.035

0.028

0.022

Caso 4

0.050 0.050

0.055 0.045

0.060 0.040

0.066 0.034

0.071 0.029

0.076 0.024

0.081 0.019

0.085 0.015

0.089 0.011

0.092 0.008

0.094 0.006


TABLA 12.4 Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta en losas"

Migos ,d l = 'a,dlw'; donde w = carga muerta uniforme total

" Un borde achurado indica que la losa continúa a través o se encuentra empotrada en el apoyo; un borde sin marcas indica un apoyo donde la resistencia torsionai es despreciable.

parte, los máximos momentospositivos generadospor caiga viva se obtienen cuando la carga viva se coloca únicamente en el panel particular y no en los paneles adyacentes. En este caso sí se presentaría algo de rotación en todos los bordes continuos. Como aproximación se supone que existe un 50 por ciento de restricción para calcular estos momentos ocasionados por carga viva. Los coeficientes correspondientes se determinan en la tabla 12.5. Finalmente, para calcular los cortantes en la losay las cargas en las vigas de apoyo, la tabla 12.6 presenta las fracciones de la carga total Wque se transmiten en cada una de las direcciones.

Relación

lb

' , ,dr

C b , d l

0.95 Cb,d ,

0.90 ' a , d l

' b , d l

0.85 ' a s d i

' b , d i

0.80 'a ,dr

' b , d l

0.75 ' b , d l

0.70 E,;:: 0.65

Cb,dl

0.60 C a , d l ' b , d l

0.55 ' a 2 d l

' b , d ~

0.50 ' a , d l

' , , , I

REFUERZO PARA LOSAS EN DOS DIRECCIONES APOYADAS EN LOS BORDES En forma consistente con los supuestos del análisis de losas en dos direcciones y apoyadas en los bordes, el refuerzo principal a flexión se coloca en un patrón ortogonal con barras paralelas y perpendiculares a los

Caso2

0.018 0.018

0.020 0.016

0.022 0.014

0.024 0.012

0.026 0.011

0.028 0.009

0.030 0.007

0.032 0.006

0.034 0.004

0.035 0.003

0.037 0.002

Caso 1

0.036 0.036

0.040 0.033

0.045 0.029

0.050 0.026

0.056 0.023

0.061 0.019

0.068 0.016

0.074 0.013

0.081 0.010

0.088 0.008

0.095 0.006

Caso3

0.018 0.027

0.021 0.025

0.025 0.024

0.029 0.022

0.034 0.020

0.040 0.018

0.046 0.016

0.054 0.014

0.062 0.011

0.071 0.009

0.080 0.007

Caso4

0.027 0.027

0.030 0.024

0.033 0.022

0.036 0.019

0.039 0.016

0.043 0.013

0.046 0.011

0.050 0.009

0.053 0.007

0.056 0.005

0.059 0.004

Caso5

0 ~ 7 ~ 1 u o o a c i 0.027 0.018

0.028 0.015

0.029 0.013

0.031 0.011

0.032 0.009

0.033 0.007

0.035 0.005

0.036 0.004

0.037 0.003

0.038 0.002

0.039 0.001

Caso 6

0.033 0.027

0.036 0.024

0.039 0.021

0.042 0.017

0.045 0.015

0.048 0.012

0.051 0.009

0.054 0.007

0.056 0.006

0.058 0.004

0.061 0.003

Caso7

0.027 0.033

0.031 0.031

0.035 0.028

0.040 0.025

0.045 0.022

0.051 0.020

0.058 0.017

0.065 0.014

0.073 0.012

0.081 0.009

0.089 0.007

Caso8

0.020 0.023

0.022 0.021

0.025 0.019

0.029 0.017

0.032 0.015

0.036 0.013

0.040 0.011

0.044 0.009

0.048 0.007

0.052 0.005

0.056 0.004

Caso9

0.023 0.020

0.024 0.017

0.026 0.015

0.028 0.013

0.029 0.010

0.031 0.007

0.033 0.006

0.034 0.005

0.036 0.004

0.037 0.003

0.038 0.002


TABLA 12.5 Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva en losas"

M n , p o s , ~ ~ = Ca,llw'?

donde w = carga viva uniforme total Mb,pos,ll = cb,llwli


bordes apoyados. Como el acero positivo se coloca en dos capas, la altura efectiva d para la capa superior es menor que la de la capa inferior en un diámetro de barra. Puesto que los momentos en la dirección larga son los más pequeños, resulta económico colocar el acero en esa dirección por encima de las barras en la dirección corta. Este problema no se presenta para el refuem negativo perpendicular a las vigas de apoyo en los bordes, excepto en las esquinas donde los momentos son pequeños.

Para las losas en dos direcciones pueden utilizarse barras rectas, cortadas cuando ya no sean necesarias, o barras dobladas; pero la economía en la fabricación y en la colocación favorecerá generalmente la utilización de barras rectas en toda la losa. La localización precisa de los puntos de inflexión (o líneas de infiexión) no se puede determinar fácilmente porque depende de la relación de luces, de la proporción entre la carga viva y la muerta, y de las condiciones de continuidad en los bordes. Los puntos estándares de corte y doblamiento de las barras en vigas, resumidos en la figura 5.15, pueden utilizarse igualmente para losas apoyadas en los bordes.

Relación m=L

l b

' a , l.oo CbJl

0.95 cb,ii

0.90 c b ~ ~

0.85 cbfi

o'8o C b ,

0.75 c b ~

o.70 Cb,

C a p o-6s CbJl

0.60 2; 0.55

cb,l~

0.50 c b , ~ ~

Caso 7

0.032 0.035

0.036 0.032

0.040 0.029

0.045 0.026

0.051 0.023

0.056 0.020

0.063 0.017

0.070 0.014

0.077 0.011

0.085 0.009

0.092 0.007

Caso 8

0.028 0.030

0.031 0.027

0.035 0.024

0.040 0.022

0.044 0.019

0.049 0.016

0.054 0.014

0.059 0.011

0.065 0.009

0.070 0.007

0.076 0.005

Caso 1

0.036 0.036

0.040 0.033

0.045 0.029

0.050 0.026

0.056 0.023

0.061 0.019

0.068 0.016

0.074 0.013

0.081 0.010

0.088 0.008

0.095 0.006

Caso4

0.032 0.032

0.035 0.029

0.039 0.026

0.043 0.023

0.048 0.020

0.052 0.016

0.057 0.014

0.062 0.011

0.067 0.009

0.072 0.007

0.077 0.005

Caso 9

0.030 0.028

0.032 0.025

0.036 0.022

0.039 0.020

0.042 0.017

0.046 0.013

0.050 0.011

0.054 0.009

0.059 0.007

0.063 0.006

0.067 0.004

Caso2

0.027 0.027

0.030 0.025

0.034 0.022

0.037 0.019

0.041 0.017

0.045 0.014

0.049 0.012

0.053 0.010

0.058 0.007

0.062 0.006

0.066 0.004

Caso5

n u I t C 1 7 l s D a m 0.032 0.027

0.034 0.024

0.037 0.021

0.041 0.019

0.044 0.016

0.047 0.013

0.051 0.011

0.055 0.009

0.059 0.007

0.063 0.005

0.067 0.004

Caso3

0.027 0.032

0.031 0.029

0.035 0.027

0.040 0.024

0.045 0.022

0.051 0.019

0.057 0.016

0.064 0.014

0.071 0.011

0.080 0.009

0.088 0.007

Caso6

0.035 0.032

0.038 0.029

0.042 0.025

0.046 0.022

0.051 0.019

0.055 0.016

0.060 0.013

0.064 0.010

0.068 0.008

0.073 0.006

0.078 0.005


TABLA 12.6 Relación de la carga W que se transmite en las direcciones la y 1, para calcular el cortante en la losa y las cargas en los apoyos"


De acuerdo con el Código ACI 13.3.1, el refuerzo mínimo en cada una de las direcciones de losas en dos direcciones es el necesario para el control de grietas de retracción de fraguado y temperatura, como está dado en la tabla 12.2. Para sistemas en dos direcciones, el espaciamiento del refuerzo a flexión en las secciones críticas no debe exceder dos veces el espesor de la losa h.

Los momentos torsionales analizados en la sección 12.4 tienen importancia únicamente en las esquinas exteriores de un sistema de losa en dos direcciones, donde tienden a agrietar la losa en la parte inferior a lo largo de la diagonal del panel, y en la parte superior en dirección perpendicular a la diagonal del panel. Debe proporcionarse refuerzo especial tanto en la parte superior como en la inferior de las esquinas exteriores de la losa, a lo largo de una distancia en cada dirección igual a un quinto de la luz larga del panel de esquina medida desde la esquina como aparece en la figura 12.9. El d t m ~ o en la parte superior de la losa debe ser paralelo a la diagonal desde la esquina-tras que el de la parte inferior debe ubicarse en forma perpendicular a la diagonal. Ccrmo alternativa, las dos filas de acero pueden colocarse en dos bandas p a r a l l a d o s de la losa. En cualquier caso, de acuerdo con el Código ACI

Relación

*=L 1,

Va 1.00 wb

0.95 wa wb

0.90 wa

wb

0.85 wa

wb

0.80 wa

wb

wa 0.75 wb

wa 0.70 wb

wa 0.65 wb

wa 0.60 wb

0.55 wa wb

0.50 wa

wb

Caso2

0.50 0.50

0.55 0.45

0.60 0.40

0.66 0.34

0.71 0.29

0.76 0.24

0.81 0.19

0.85 0.15

0.89 0.11

0.92 0.08

0.94 0.06

Caso 1

0.50 0.50

0.55 0.45

0.60 0.40

0.66 0.34

0.71 0.29

0.76 0.24

0.81 0.19

0.85 0.15

0.89 0.11

0.92 0.08

0.94 0.06

Caso3

0.17 0.83

0.20 0.80

0.23 0.77

0.28 0.72

0.33 0.67

0.39 0.61

0.45 0.55

0.53 0.47

0.61 0.39

0.69 0.31

0.76 0.24

Caso4

0.50 0.50

0.55 0.45

0.60 0.40

0.66 0.34

0.71 0.29

0.76 0.24

0.81 0.19

0.85 0.15

0.89 0.11

0.92 0.08

0.94 0.06

Caso5

I I t I ~ ~ O ~ ~ 0.83 0.17

0.86 0.14

0.88 0.12

0.90 0.10

0.92 0.08

0.94 0.06

0.95 0.05

0.96 0.04

0.97 0.03

0.98 0.02

0.99 0.01

Caso 6

0.71 0.29

0.75 0.25

0.79 0.21

0.83 0.17

0.86 0.14

0.88 0.12

0.91 0.09

0.93 0.07

0.95 0.05

0.96 0.04

0.97 0.03

Caso7

0.29 0.71

0.33 0.67

0.38 0.62

0.43 0.57

0.49 0.51

0.56 0.44

0.62 0.38

0.69 0.31

0.76 0.24

0.81 0.19

0.86 0.14

Caso8

0.33 0.67

0.38 0.62

0.43 0.57

0.49 0.51

0.55 0.45

0.61 0.39

0.68 0.32

0.74 0.26

0.80 0.20

0.85 0.15

0.89 0.11

Caso9

0.67 0.33

0.71 0.29

0.75 0.25

0.79 0.21

0.83 0.17

0.86 0.14

0.89 0.11

0.92 0.08

0.94 0.06

0.95 0.05

0.97 0.03


Barras inferiores

FIGURA 12.9 Refuerzo especial en las esquinas exteriores de una losa en dos direcciones apoyada en vigas.

1 = Luz libre mayor

13.3.6, los refuerzos positivo y negativo deben tener un tamaño y un espaciamiento equivalentes a los exigidos para el máximo momento positivo en el panel.

Ejemplo 12.2. Diseño de una losa en dos direcciones apoyada en los bordes. Un piso monolítico de concreto reforzado se compone de vanos rectangulares que miden 21 X 26 pies, como se ilustra en la figura 12.10. En todos los ejes de columnas se proporcionan vigas de 12 pulg de ancho y 24 pulg de altura; así que las luces libres para los paneles de losa en dos direcciones son 20 x 25 pies. El piso debe diseñarse para soportar una carga viva de servicio de 137 lb/pie2 distribuida uniformemente sobre su superficie, adicional a su peso , utilizando concreto con resistencia fi = 3000 lb/pulg2 y refuerzo con f = 60,000 lb/pulg2. Determine el espesor requerido para la losa y el refuerzo para el Y panel de esquina mostrado.

Solución. El espesor mínimo de losas de este tipo se toma usualmente igual a veces el perímetro

del panel:

h = 2(20 + 25) x & = 6 pulg

Este espesor se seleccionará como espesor tentativo. La carga muerta correspondiente es 4 x 150 = 75 lb/pie2. Así que, las cargas mayoradas de diseño son

. ............................. . .................... 2 4 ~ .... t El FIGURA 12.10

Ejemplo de una losa armada en dos direcciones y apoyada en los bordes: (a) planta parcial del piso; (b) sección

(b) transversal típica.


Cargaviva = 1.7 x 137 = 233 1b/pie2

Carga muerta = 1.4 x 75 = 105 1b/pie2

Carga total = 338 1b/pie2

Con una relación de los lados del panel m = la /lb = 20125 = 0.8, los cálculos del momento para las franjas centrales de la losa son los siguientes:

Momentos negativos en bordes continuos (tabla 12.3)

Ma,neg = 0.071 x 338 x 202 = 9600 lb-pie = 115,000 lb-pulg Mb,neg = 0.029 x 338 x 252 = 6130 lb-pie = 73,400 lb-pulg

Momentos positivos (tablas 12.4 y 12.5)

Ma,pos,dl = 0.039 x 105 x 202 = 1638 lb-pie = 19,700 lb-pulg Ma,pos,ll = 0.048 x 233 x 202 = 4470 lb-pie = 53,700 lb-pulg Ma,pos, tot = 73,400 lb-pulg

Mb,pos,dl = 0.016 x 105 x 252 = 1050 lb-pie = 12,600 lb-pulg Mb,pos,ll = 0.020 x 233 x 252 = 2910 lb-pie = 35,000 lb-pulg Mb,pos, tot = 47,600 lb-pulg

Momentos negativos en bordes discontinuos (113 x momentos positivos)

Ma,neg = 5(73,400) = 24,500 lb-pulg

Mb,neg = +(47,600) = 15,900 lb-pulg

El refuerzo requerido en lasfranjas centrales se seleccionará con la ayuda del gráfico A.l del apéndice A.

Dirección corta

1. Centro de la luz

A, = 0.0048 X 12 X 5 = 0.288 pulg2/pie. A partir de la tabla A.4 del apéndice A se seleccionan barras No. 4 con un espaciamiento de 7 pulg, obteniéndose un valor de A, = 0.34 pulg2/pie.

2. Borde continuo

A, = 0.0078 x 12 X 5 = 0.468 pulg2/pie. Si dos de cada tres barras positivas se doblan hacia arriba y se hace lo mismo para el panel adyacente, el área de acero para momento negativo

4 suministrado en el borde continuo será igual a 3 del acero para momento positivo en la luz, o 4 sea A, = 7 x 0.34 = 0.453 pulg2/pie. Se observa que este valor es tres por ciento menor que la

cantidad necesaria de 0.468. Por otro lado, el acero para momento positivo proporcionado de 0.34 pulg2/pie, representa casi el 15 por ciento más de la cantidad requerida. Como se analizó en la sección 11.9e, el Código ACI permite cierta cantidad de redistribución inelástica dentro de unos límites estrictamente especificados. Para este caso, el acero negativo suministrado es suficiente para apenas el 97 por ciento del momento calculado, pero el acero positivo permite que se resista en forma aproximada el 115 por ciento del momento calculado. Esto satisface de sobra las condiciones del Código ACI para la redistribución inelástica de momentos. Este caso ilustra cómo tal redistribución de momentos puede utilizarse para obtener una distribución de acero más simple y económica.

t Observe que este valor de r, el máximo requerido para toda la losa, es aproximadamente igual a la mitad del valor máximo permitido de 0.75 pb = 0.0160; esto indica que se hubiera podido emplear una losa más delgada. Sin embargo, la utilización del mínimo espesor posible hubiera requerido un aumento en el área de acero a tensión, lo cual sería menos económico. Además, una losa más delgada produciría deflexiones considerables no deseadas. El espesor tentativo de 6 pulg se mantendrá para el diseño final.


3. Borde discontinuo. El momento negativo en el borde discontinuo es igual a un tercio del momento positivo en la luz; sería apropiado doblar hacia arriba una de cada tres barras, desde la parte inferior, para suministrar el acero a momento negativo en el borde discontinuo. Sin embargo, esto generaría un espaciamiento de 21 pulg, que es mayor que el máximo espaciamiento de 2h = 12 pulg permitido por el Código ACI. De ahí que, para el borde discontinuo, se doblarán hacia arriba dos de cada tres barras del acero inferior.

Dirección larga

1. En el centro de la luz

(El acero para el momento positivo en dirección larga se coloca encima de aquél para la dirección corta. Ésta es la razón para utilizar d = 4.5 pulg para el acero del momento positivo en dirección larga y d = 5 pulg en los demás sitios.) A, = 0.0038 x 12 x 4.5 = 0.205 pulg2/pie. A partir de la tabla A.4 del apéndice A, se seleccionan barras No. 3 espaciadas a 6 pulg, y se obtiene un valor de A, = 0.22 pulg2/pie.

2. Borde continuo

A, = 0.0048 x 12 x 5 = 0.288 pulg2/pie. De nuevo, doblando hacia arriba dos de cada tres barras 4 inferiores de los dos paneles adyacentes al borde continuo, se tiene en el borde unA, = 7 x 0.22

= 0.29 pulg2/pie. 3. Borde discontinuo. Por las razones analizadas en relación con la dirección corta, se doblarán

hacia arriba dos de cada tres barras inferiores en este borde.

Las selecciones anteriores de acero se refieren a las franjas centrales en las dos direcciones. Para las franjas de columna se supone que los momentos disminuyen linealmente a partir del valor total calculado en el borde interior de la franja de columna, hasta un tercio de este valor en el borde de la viga de soporte. Para simplificar la colocación del acero se utilizará un espaciamiento uniforme en las franjas de columna. Los momentos promedio en las franjas de columna son iguales a dos tercios de los momentos correspondientes en-las franjas centrales; según esto, el-acero adecuado para esta franja de columna se suministrará si el espaciamiento de este acero es $ del utilizado en la franja central. Deben verificarse las limitaciones en cuanto a espaciamientos máximos.

Los puntos de doblamiento para las barras se localizarán como se sugiere en la figura 5.15, es decir, a 114 de la cara de la viga de apoyo en los extremos continuos y a 117 de la misma en los extremos discontinuos. Las distancias correspondientes de la cara de la viga a los puntos de doblamiento son 5 pies O pulg y 2 pies 10 pulg para las barras positivas en dirección corta, y 6 pies 3 pulg y 3 pies 7 pulg para las barras positivas en dirección larga, para los extremos continuo y discontinuo respectivamente. Las barras negativas traídas de los paneles adyacentes se cortarán a 113 de la cara del apoyo, a 6 pies 8 pulg para las barras negativas en dirección corta y a 8 pies 4 pulg para las barras negativas en dirección larga. En los bordes exteriores, las barras negativas se prolongarán tanto como sea posible dentro de las vigas de apoyo y luego se doblarán 90" hacia abajo formando un gancho para proporcionar anclaje.

En la esquina exterior del panel se utilizarán barras NO. 4 espaciadas a 8 pulg, paralelas a la diagonal de la losa en la parte superior y perpendiculares a la diagonal en la parte inferior, de acuerdo con la figura 12.9. Esto suministrará un área de 0.29 pulg2/pie en cada dirección, igual a la requerida para el momento flector máximo positivo en el panel. Este refuerzo se llevará hasta un punto a 2515 = 5 pies desde la esquina, con longitudes que varían como se indica en la figura 12.9.

Las reacciones de la losa se calculan con la tabla 12.6, la cual indica que el 71 por ciento de la carga se transmite en dirección corta y el 29 por ciento en dirección larga. Puesto que la carga total sobre el panel es 20 x 25 x 338 = 169,000 lb, la carga por pie sobre la viga larga es (0.71 x 169,000)/ (2 x 25) = 2400 lblpie y sobre la viga corta es (0.29 x 169,000)/(2 x 20) = 1220 lblpie. El cortante que debe transmitir la losa a dichas vigas es numéricamente igual a estas cargas sobre las vigas, reducidas a una sección crítica que se localiza a una distanciad desde la cara de la viga. La resistencia a cortante de la losa es

muy por encima de la resistencia a cortante requerida para las cargas mayoradas.


CONTROL DE DEFLEXIONES Las losas apoyadas en los bordes son en general delgadas con relación a su luz y pueden presentar grandes deflexiones, aún cuando se cumplan los requisitos de resistencia, a menos que se impongan algunos límites en el diseño para evitar esto. La forma más sencilla de controlar las deflexiones consiste en imponer una relación mínima espesor-luz. El Código ACI de 1963, que introdujo el método de análisis por coeficientes descrito en la sección anterior, establece que el espesor de la losa no debe ser menor que 3.5 pulg y no menor que el perímetro total del panel dividido por 180. Estos límites han dado resultados satisfactorios para losas apoyadas en los bordes. El procedimiento más general para análisis de sistemas en dos direcciones, que se encuentra en ediciones más recientes del Código ACI, contiene tres ecuaciones que regulan el espesor mínimo de la losa. Estas ecuaciones tienen en cuenta la rigidez relativa de la losa y de las vigas de borde, la relación de las dimensiones de los lados largo y corto del panel, y las condiciones de restricción a lo largo de los bordes. Estas ecuaciones más complejas se presentarán en el capítulo 13.

Como opción a la utilización de ecuaciones de espesor mínimo se puede calcular la deflexión en el centro de un panel de losa y comparar los resultados con limitaciones como las estipuladas por el Código ACI 9.5. Estas limitaciones, que se resumen en la tabla 6.3, son aplicables a sistemas de piso en dos direcciones al igual que a vigas.

El cálculo de las deflexiones de losas se complica por varios factores, tales como la restricción rotacional variable en los bordes, la influencia de distribuciones alternas de aplicación de las cargas, las relaciones variables de las longitudes de los lados y los efectos del agrietamiento, al igual que los efectos dependientes del tiempo relacionados con la retracción de fraguado y el flujo plástico. Sin embargo, la deflexión de una losa apoyada en los bordes puede estimarse con suficiente precisión con base en los coeficientes de momento utilizados en el análisis a flexión (ver la sección 12.5). Por lo general, las componentes de la deflexión que interesan son las deflexiones a largo plazo ocasionadas por cargas sostenidas y las deflexiones inmediatas generadas por carga viva. La tabla 6.3 establece los límites superiores para estas componentes de la deflexión en términos de la luz l. Para losas, no está claro en el Código ACI ni en el comentario, si se debe utilizar como base para el cálculo la luz más larga o la más corta, pero es conservador (y razonable cuando se considera el posible daño a los elementos soportados) basar los límites calculados en la luz más corta.

Debe comprenderse que el análisis con base en los coeficientes de momento arroja valores máximos para los momentos positivos y negativos en las secciones críticas de losas apoyadas en los bordes. Los coeficientes de las tablas 12.3,12.4 y 12.5 se desarrollaron teniendo en cuenta condiciones de cargas alternas, tomando cargas muerta y viva completas sobre los dos paneles adyacentes a un borde particular para lograr el máximo momento negativo e incluyendo, para los cálculos de momento positivo, dos patrones de carga: carga muerta en ambos paneles y carga viva únicamente en el panel donde se va a determinar el máximo momento positivo. Para el cálculo de las deflexiones sería incorrecto suponer que los máximos momentos encontrados de esta manera podrían actuar en forma simultánea, puesto que sólo puede haber una distribución de cargas en determinado momento.

Por ejemplo, las deflexiones que genera la carga viva máxima se obtendrán normalmente cuando la carga viva actúa sobre determinado panel pero no sobre los paneles adyacentes, es decir, con una distribución en forma de tablero de ajedrez. Por consiguiente, la deflexión que produce la carga viva debe basarse en los máximos momentos positivos encontrados en la tabla 12.5, correspondientes a esa distribución de cargas, junto con los momentos negativos estáticamente consistentes en los bordes apoyados.

Esto se ilustrará para la losa expuesta en la figura 12.11a, teniendo en cuenta la franja central con ancho unitario en la dirección larga del panel. La variación del momento para una carga uniformemente distribuida es parabólica, y la suma de los momentos positivos y del promedio de los negativos, de acuerdo con la estática, debe ser

386 DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

donde wb es la fracción de la carga transmitida en la dirección larga del panel (ver la figura 12.11~). Si hubiera empotramiento total en los apoyos, el momento negativo sería

y el momento positivo sería:

Anteriormente se indicó que los coeficientes para máximos momentos positivos ocasionados por la carga viva se obtuvieron con el supuesto de un 50 y no del cien por ciento de empotramiento. De acuerdo con esto, la línea base para el momento cero, asociada con el máximo momento positivo Mb obtenido con la tabla 12.5, es como aparece en la figura 12.11~ y los momentos negativos estáticamente consistentes son la mitad del momento positivo Mb.

Los cálculos de las deflexiones se basan entonces en el diagrama parabólico de momentos, con una ordenada máxima Mb en el centro de la luz y momentos negativos en los extremos iguales a la mitad de este valor. La deflexión en el centro de la luz producto de la carga viva, Al, para la franja de la losa expuesta en la figura 12.11b puede encontrarse fácilmente con base en el diagrama de momentos de la figura 12.11~. Para la losa ilustrada, con ambos bordes continuos,

Línea base de momento cero , Parábola para empotramiento total

G= Momento * M estático total

$m

\ Línea base de momento cero para empotramiento del 50%

FIGURA 12.11 Análisis de deflexiones causadas por carga viva: (a) planta de losa; (b ) curva de la deflexión para una franja unitaria; (c) diagrama para momento máximo debido a la carga viva.


donde Mb es el momento positivo%casionado por la carga viva y obtenido mediante la utilización de los coeficientes apropiados de la tabla 12.5, E, es el módulo elástico del concreto, elges el momento de inercia efectivo de la sección transversal de concreto de ancho unitario.

La ecuación (12.3) se dedujo para un panel común de losa interior, con momentos de restricción iguales en cada uno de los extremos de la franja de losa. Ecuaciones similares pueden deducirse para los casos en que uno o los dos extremos son discontinuos. Sin embargo, según el método de los coeficientes para análisis de momentos, los momentos negativos en los bordes discontinuos de las losas se suponen iguales a un tercio del momento positivo en la misma dirección; por consiguiente es claro que la ecuación resultante para la deflexión sería muy similar a la ecuación (12.3). Esta ecuación puede utilizarse, entonces, para franjas de paneles que tengan uno o los dos extremos discontinuos, pero monolíticos con las vigas de apoyo, con un margen de error mínimo. Para el caso especial en que los bordes están completamente libres de restricciones, como en las losas apoyadas en muros de mampos- tería, la deflexión en el centro de la luz que genera la carga viva es

La deflexión por carga muerta debe basarse en el diagrama de momentos que se encuentra utilizando los máximos momentos positivos por carga muerta producto de esta carga, con base en la tabla 12.4, la cual supone que todos los paneles están cargados. Debe recordarse que los bordes continuos se consi- deraron totalmente empotrados en la deducción de los coeficientes de la tabla 12.4. De acuerdo con esto, puede demostrarse que la deflexión en el centro de la luz producida por carga muerta Ad, para el caso con los dos extremos continuos, es

donde Mb es, en este caso, el momento positivo que genera la carga muerta obtenido con los coeficientes de la tabla 12.4. Para el caso especial en que ambos extremos están libres de restricciones, la deflexión en el centro de la luz por carga muerta puede encontrarse a partir de

Aunque las deflexiones estudiadas anteriormente se refieren a una franja unitaria en la dirección larga del panel de la figura 12.1 la, los cálculos también pueden basarse en una franja en la dirección corta. La deflexión resultante en el centro del panel debe ser la misma en cualquiera de los dos casos, aunque debido a la naturaleza aproximada de los cálculos se pueden esperar pequeñas diferencias. Un procedimiento razonable consiste en calcular la deflexión en cada una de las direcciones y luego promediar los resultados.

El Código ACI 9.5.3 sugiere que se utilice el momento de inercia& determinado mediante la ecuación (6.5), para tener en cuenta la influencia del agrietamiento del concreto en la reducción de la rigidez. Para losas en dos direcciones apoyadas en los bordes, el agrietamiento para las cargas de servicio no es, en general, extenso y sólo se introduce un pequeño margen de error si los cálculos se basan en el momento de inercia bruto Ig de la franja unitaria.

Las deflexiones de la losa calculadas según las ecuaciones anteriores, son las deflexiones elásticas iniciales que se producen inmediatamente después de la aplicación de las cargas. Para cargas sostenidas, como las debidas a cargas muertas, el Código ACI 9.5.3 recomienda que el aumento de la deflexión con el tiempo puede determinarse con base en la ecuación (6.11), con un multiplicador dependiente del tiempo que varía de acuerdo con la figura 6.8, y con un valor último igual a 2.0. La experiencia indica que un valor de 2.0 a menudo subestima las deflexiones dependientes del tiempo en losas, probablemente porque las losas tienen relaciones de espesor a luz mucho menores que las de las vigas, con base en las cuales se determinaron los multiplicadores a largo plazo. En la referencia 12.5 Branson sugiere la utilización de un valor de 6 = 3.0 para losas.


Ejemplo 12.3. Deflexiones de una losa en dos direcciones apoyada en los bordes. La losa de piso del ejemplo 12.2 va a soportar particiones rígidas y otros elementos no estructurales que pueden dañarse si ocurren deflexiones grandes. Estos elementos se instalarán tres meses después de que se retiren las formaletas de construcción y se impongan las cargas muertas. Calcule el incremento en las deflexiones por cargas muerta y viva de servicio que afectarán a los elementos superpuestos y compare con los valores límites determinados por el Código ACI.

Soiución. Los cálculos de las deflexiones se basarán en el análisis de momentos del ejemplo 12.2. Sin embargo, estos momentos se basaron en factores de sobrecarga de 1.4 aplicados a las cargas muertas y de 1.7 a las cargas vivas, y los momentos deben, por tanto, reducirse de acuerdo con esto, para obtener los momentos para las cargas de servicio. El módulo de elasticidad tomado de la ecuación (2.4) es E, = 57,000 ,/5G = 3.12 x lo6 lb/pulg2. El momento de inercia se tomará como el de la sección bruta de concreto, y para una franja de 12 pulg es I' = 12 x 63/12 = 216 pulg4.

La deflexión instantánea en el centro del panel que produce la carga muerta se encontrará mediante la ecuación (12.5), primero para la franja de dirección larga y luego para la franja de dirección corta, y los resultados se promediarán si resultan diferentes. En la dirección larga, a partir del ejemplo 12.2, el momento positivo producto de la carga muerta es 12,600 lb-pulg para las cargas mayoradas, o sea, 12,600/1.4 = 9000 lb-pulg para las cargas de servicio. Así que,

Por comparación, en la dirección corta el momento para las cargas de servicio que genera la carga muerta es 19,70011.4 = 14,100 lb-pulg y la deflexión correspondiente en el centro del panel es igual que antes.

El incremento en la deflexión dependiente del tiempo se calculará con base en un multiplicador a cinco años de 5 = 3.0, pero se utilizará la variación en el tiempo establecida por el Código ACI como aparece en la figura 6.8. Ésta indica que la mitad de la deflexión dependiente del tiempo habrá ocurrido en tres meses; sólo la mitad restante se presentará después de la instalación de las particiones y los otros elementos. Así, la fracción de las deflexiones dependientes del tiempo por carga

1 muerta que pueden causar daño es 0.08 x 3 x = 0.12 pulg. La deflexión producida por carga viva se calculará a partir de la ecuación (12.3). En la dirección

de la luz larga, el momento positivo que genera la carga viva para las cargas de servicio es 35,00011.7 = 20,600 lb-pulg y la deflexión en el centro del panel es

A manera de verificación, en dirección de la luz corta el momento positivo por carga viva es 53,70011.7 = 31,600 lb-pulg, y la deflexión es

la misma que antes, para todos los efectos prácticos. La deflexión que produce daño potencial es la suma del incremento en deflexión dependiente

del tiempo ocasionado por la carga muerta que ocurre después de los tres meses, y la deflexión inmediata que produce la carga viva, es decir,

A = 0.12 + 0.26 = 0.38 pulg

De acuerdo con los límites del. Código ACI, de la tabla 6.3, la deflexión máxima admisible para las condiciones establecidas es 20 x 121480 = 0.50 pulg, de manera que, con base en las deflexiones, el diseno puede considerarse satisfactorio.


OTRAS CONSIDERACIONES Con cierta frecuencia, en la práctica deben incluirse aberturas en las losas, por ejemplo, para el paso de ductos de calefacción y ventilación o de tuberías. Las losas en dos direcciones con vigas en los bordes son menos sensibles a los huecos que las losas de placa plana sin vigas, y para aberturas de tamaño moderado por lo general es suficiente suministrar un refuerzo adicional en cada dirección, adyacente a la abertura en cada lado, equivalente al acero interrumpido y extendiéndolo una longitud de desarrollo completa más allá de la abertura en todas las direcciones. Deben especificarse barras en las esquinas, a 45", para controlar el agrietamiento de la losa en las esquinas de las aberturas. Las aberturas más grandes requieren tratamientos especiales y pueden necesitar reforzamiento de la losa con vigas para restaurar la continuidad. Las cargas concentradas también pueden llegar a requerir vigas de apoyo.

Las aberturas en losas se analizarán con mayor detde en el capítulo 13, y en los capítulos 14 y 15 se desarrollarán métodos especiales de análisis que pueden tener en cuenta tanto las aberturas en losas como las cargas concentradas.

REFERENCIAS 12.1. W. L. Gamble, "Moments in Beam-Supported Slabs", J. ACI, vol. 69, no. 3, 1972, pp. 149-157. 12.2. "Building Code Requirements for Reinforced Concrete", ACI Publication 318-63, American Con

crete Institute, Farmington Hills, MI, 1963. 12.3. H. Marcus, Die Véreinfachte Beredhnung Biegsamer Platten, Julius Springer, Berlin, 1929. 12.4. P. Rogers, "Two-Way Reinforced Concrete Slabs", J. ACI, vol. 41, no. 41, 1944, pp. 21-36. 12.5. D. E. Branson, Deformation of Concrete Stmctures, McGraw-Hill, New York, 1977.

PROBLEMAS 12.1. Se va a construir un puente peatonal que consta de una losa maciza en una dirección que se extiende 16

pies entre estribos de mampostería, como se indica en la figura P12.1. El puente debe soportar una carga viva de servicio de 100 lb/pie2. Adicionalmente, puede actuar una carga concentrada de 2000 lb, que se supone uniformemente distribuida a lo ancho del puente y aplicada en cualquier sitio sobre la luz. Se utilizará una superficie de terminado en asfalto de 2 pulg, que pesa 20 lb/pie2. Se colocarán bordillos prefabricados de concreto de manera tal que no tengan ningún efecto estructural. Realice el diseño de la losa utilizando resistencias de los materiales4 = 60,000 lb/pulg2 y fc = 4000 lb/pulg2, y resuma sus resultados en forma de esquemas, mostrando todas las dimensiones del concreto y el refuerzo.

FIGURA P12.1

I 16'-O" 16'-O" -- - Luz extrema Luz interior característica


12.2. Un sistema de entrepiso para un edificio de concreto reforzado consiste en una losa continua en una dirección, construida monolíticamente con sus vigas de apoyo, como se ilustra en la sección transversal de la figura P12.2. La carga viva de servicio será de 125 lb/pie2; las cargas muertas incluyen una consideración de 10 lb/pie2 para el relleno y el terminado del piso en concreto ligero no estructural, y otra de 10 lb/pie2 para las cargas suspendidas, más el propio peso del piso. Utilizando los coeficientes del ACI, calcule los momentos y cortantes de diseño y diseñe la losa haciendo uso de una cuantía de acero a tensión máxima de 0.006. Todo el refuerzo debe ser en barras rectas. La mitad de las barras para momento positivo se interrumpirán cuando no se necesiten más; la otra mitad se prolongará dentro de las vigas de apoyo, como lo especifica el Código ACI. Todo el acero negativo se interrumpi- rá a la misma distancia desde la cara de apoyo en cada caso. Resuma su diseño mediante un esquema que indique las dimensiones del concreto, y el tamaño, espaciamiento y puntos de corte de todas las barras. Las resistencias de los materiales son4 = 60,000 lb/pulg2 y f,' =3000 lb/pulg2.

12.3. Para la losa de piso en una dirección del problema 12.2, calcule las deflexiones instantánea y a largo plazo ocasionadas por la carga muerta. Suponga que todas las cargas muertas se aplican una vez se retiran las formaletas de construcción. Determine también la deflexión por la aplicación de la totalidad de la carga viva de servicio. Si se supone que se instalará un equipo sensible seis meses después de que se retiren las formaletas, calcule las componentes relevantes de la deflexión y compare la deflexión total con los valores máximos establecidos por el Código ACI.

12.4. Una losa de cubierta en concreto, en dos direcciones, debe diseñarse para cubrir una bóveda con transformadores. Las dimensiones exteriores de la bóveda son 17 X 20 pies y los muros de apoyo están hechos en ladrillo de 8 pulg. Se supondrá una carga viva de servicio de 80 lb/pie2 distribuida uniformemente sobre la superficie de la cubierta y se tendrá en cuenta una carga muerta de 10 lb/pie2 adicional al peso propio de la losa. Diseñe la cubierta como una losa en dos direcciones apoyada en los bordes, utilizando f,' = 4000 lb/pulg2 yfy = 50,000 lb/pulg2.

Vigas de 16" x 26"

FIGURA P12.5

12.5. Un garaje de estacionamiento debe diseñarse utilizando una losa en dos direcciones y apoyada en vigas monolíticas de 16 x 26 pulg a lo largo de los ejes de columnas, como se ilustra en la figura P12.5. Se especifica una carga viva de 100 lb/pie2. Determine el espesor requerido para la losa utilizando una


cuantía máxima de acero de aproximadamente 0.005, y diseñe el refuerzo para paneles característicos de esquinad, de borde B e interior C. Detalle el refuerzo mostrando el tamaño, el espaciamiento y las longitudes de las barras. Se utilizarán barras rectas para todo el refuerzo. Las resistencias de los materiales son f, = 60,000 lb/pulg2 y f,' = 4000 lb/pulg2.

12.6. Para el panel interior C característico del garaje de estacionamiento del problema 12.5, (a) calcule las deflexiones instantáneas y a largo plazo ocasionadas por la carga muerta, y (b) calcule la deflexión por la carga viva de servicio total. Compare con los valores máximos permitidos por el Código ACI, considerando que no existen elementos unidos que podrían dañarse por deflegones grandes.

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