NỘI DUNG ÔN TẬP Môn: Toán cho máy tính và hệ thống tính toán

Phần: Tính toán khoa học Người biên soạn: PGS.TS. Trần Văn Lăng

I. Phương pháp giải phương trình 1. Bài toán: Cho là hàm số bất kỳ, có thể dạng đại số hoặc siêu việt. Bài toán đặt ra như sau: Tìm sao cho (1.1)

2. Định lý 1: Giả sử f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b]. Khi đó, (i) Nếu thì

(ii) Nếu , f đơn điệu trên (a,b) thì

Ví dụ: Giải phương trình

Đặt

Suy ra

Tìm các giá trị để hàm số đạt cực trị

Ta có bảng biến thiên x

f(x) + 0 - 0 +

Vậy, có 3 khoảng chứa nghiệm là , ,

3. Phương pháp chia đôi: Giả thiết: liên tục

(1.2)

Phương pháp:

• Chia đoạn chứa nghiệm [a,b] với

• Nếu thì (c là nghiệm)

• Ngược lại, o Nếu , thì . Đặt

o Ngược lại, và đặt

• Tiếp tục quá trình với , ta được

Định lý 2: Cho , thỏa giả thiết (1.2). Dãy

€

an{ }, bn{ } xác định như trong thuật giải sẽ hội tụ về là nghiệm duy nhất của (1) và thỏa đánh giá

(1.3)

Tiêu chuẩn hội tụ:

Theo (1.3) để , điều kiện cần và đủ là

Hay

Vậy, với

(1.4)

Thì

Nhận xét: Với sai số cho trước, lần lượt chia đoạn [a,b] thành các đoạn nhỏ cho đến đoạn thì có thể coi là nghiệm gần đúng.

Thuật toán: • Tính như công thức (1.4)

• Cho n một giá trị ban đầu là 0. • Lặp lại các bước sau

o Tính

o Nếu thì gán b = c

o Ngược lại, gán cho a = c o Tăng n lên 1

• Cho đến khi hoặc

• Nghiệm là a Chương trình: Với hàm f cho trước, có thể viết dưới dạng chương trinh con bằng ngôn ngữ C/C++ như sau:

double f( double x ){ return ….; } void ChiaDoi(double a, double b, double eps, double *x ) { unsigned int N0, n; n0 = (log(b-a)/eps)/log(2) + 1; n = 0; do { c = (a+b)/2; if ( f(a)*f(c) < 0 ) b = c; else a = c; n++ } while ( n <= N0 && f(c) != 0 ) *x = a; } 4. Phương pháp lặp đơn Giới thiệu chung: Đối với phương pháp lặp, thay vì giải phương trình (1.1), sử dụng phương trình tương đương (1.5)

với liên tục.

Khi đó, với giá trị ban đầu , xây dựng dãy {xn} như sau:

(1.6)

Nếu chứng minh được khi , do tính liên tục của hàm , ta có:

Do đó là nghiệm của phương trình (1.5) trong đoạn [a,b]

Lưu ý: Điều kiện cần để cho dãy {xn} xác định bởi (1.6) là phương trình (1.5) phải có nghiệm trong [a,b] Phương pháp: Qua phần giới thiệu chung, là nghiệm của hệ:

Nói cách khác, là hoành độ giao điểm của đường cong với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Khi đó, nghiệm này có thể tìm được bởi quá trình như sau:

• Cho , chiếu lên đồ thị của đường cong , ta có .

• Chiếu xuống đường phân giác y = x ta có x1

• Quá trình tiếp tục tương tư, ta nhận được dãy {xn} với

Vấn đề đặt ra, liệu dãy {xn} có hội tụ về một giá trị hay không. Nếu hội tụ, theo như phần trên, giới hạn đó chính là nghiệm của phương trình Định nghĩa (ánh xạ co): là ánh xạ co khi và chỉ khi

(1.7)

Định nghĩa (dãy Cauchy): Dãy {xn} gọi là dãy Cauchy khi và chỉ khi

(1.8)

Lưu ý: Điều kiện (1.8) tương đương với việc dãy {xn} hội tụ. Khi đó ta có

Định lý (điểm bất động): Cho liên tục, ánh xạ co. Khi đó,

(i)

(ii) dãy {xn} xác định bởi

hội tụ về và thỏa đánh giá

(a) (1.9)

(b) (1.10)

Tiêu chuẩn hội tụ: Trên cơ sở hai đánh giá (a), (b) trong định lý điểm bất động. Ta có thể rút ra được các đánh giá tiên nghiệm (priori estimate) và đánh giá hậu nghiệm (posteriori estimate) như sau:

Từ (ii) và (a), ta nhận thấy để , chỉ cần

Hay

Nhưng , suy ra , nên

(1.11)

Theo đánh giá khác, từ (ii) và (b), để , chỉ cần

Hay

(1.12)

Nhận xét: Thông thường, tính co của ánh xạ theo điều kiện (1.7) khó kiểm chứng và nhận thấy. Thế nhưng, sự hội tụ theo các tiêu chuẩn trên lại căn cứ trên điều kiện hàm số phải là ánh xạ co. Chính vì vậy, người ta thường hay sử dụng hệ quả sau đây của ánh xạ co. Hệ quả: Giả sử liên tục, khả vi trong (a,b) sao cho

Khi đó, ta có các kết luận (i), (ii) của định lý điểm bất động.

Thuật toán: Giả sử đã có hàm thỏa mãn giả thiết định lý điểm bất động hoặc hệ quả. Khi đó, ta có thể sử dụng đánh giá tiên nghiệm hoặc hậu nghiệm để tìm nghiệm của hệ phương trình. Sử dụng đánh giá tiên nghiệm

• Tính

• Cho n = 0 • Cho x = x0 • Lặp lại các bước sau

o Cho o Tính

o Tăng n lên 1 • Cho đến khi

• Nghiệm là x Sử dụng đánh giá hậu nghiệm

• Cho x = x0 • Lặp lại các bước sau

o Cho o Tính

• Cho đến khi

• Nghiệm là x Chương trình: void DanhGiaTienNghiem( double eps, double al, x0, double* x ){ unsigned int n = 0, N0; double xp; N0 = log(eps*(1-al)/fabs(phi(x0)-x0))/log(al) + 1; n = 0; *x = x0; do{ xp = *x; *x = phi(xp); n++; } while ( n <= N0 ); }

Chương trình: void DanhGiaHauNghiem( double eps, double al, x0, double* x ){ unsigned int n = 0, N0; double xp; *x = x0; do{ xp = *x; *x = phi(xp); } while ( fabs(*x-xp) >= eps*(1-al)/al ); } II. Giải hệ phương trình theo phương pháp trực tiếp 1. Bài toán: Cho ma trận vuông có giá trị thực cấp n và vector có n thành phần. Xét phương trình (2.1) hoặc

(2.2)

Tìm x thỏa hệ phương trình (2.1) hoặc (2.2) được gọi là bài toán giải hệ phương trình. 2. Hệ phương trình đơn giản Định nghĩa: Ma trận được gọi là ma trận đường chéo khi A có dạng

(2.3)

Hoặc

(2.4)

Tính chất: Khi đó, hệ phương trình (2.2) được viết lại

(2.5)

Từ đây, ta dễ dàng suy ra nghiệm của hệ là

(2.6)

Định nghĩa: Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên khi A có dạng

(2.7)

Hoặc

Tính chất: Do

Nên hệ phương trình (2.2) được viết lại

(2.8)

Thuật toán: • Tính

• Cho i = n – 1 • Lặp lại các bước sau

o Cho j = i + 1 o Cho S = 0 o Lặp lại

Tăng j lên 1 o Cho đến khi j > n

o

o Giảm i xuống 1 • Cho đến khi i < 1

Định nghĩa: Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên khi A có dạng

(2.9)

Hoặc

(2.10)

Tính chất: Nghiệm của hệ (2.2) tương ứng với ma trận tam giác dưới được viết như sau:

(2.11)

Thuật toán: • Tính

• Cho i = 2 • Lặp lại các bước sau

o Cho j = 1 o S = 0 o Lặp lại

Tăng j lên 1 o Cho đến khi j > i – 1

o

• Cho đến khi i > n Tính chất: Cho ma trận A có dạng A = A1A2, trong đó A1 là ma trận tam giác trên, A2 là ma trận tam giác dưới. Khi đó, hệ phương trình (2.1) được viết thành

Hoặc

(2.12)

Như vậy, hệ (2.1) được giải qua hai bước: • Bước 1: Giải hệ tam giác trên để tìm y.

• Bước 2: Giải hệ tám giác dưới để tìm x.

3. Phương pháp Gauss

Định nghĩa: Ma trận có dạng như sau gọi là ma trận Gauss:

(2.13)

Có thể viết (2.13) dưới dạng

(2.14)

Tính chất:

(i)

(ii) Gọi là ma trận cấp n bất kỳ, gọi lần lượt là các vector dòng thứ i của ma trận M và . Khi đó,

(2.15)

Hoặc

(2.16)

Hệ quả: Giả sử , chọn . Khi đó ma trận M và có tính chất sau: (i) Giống nhau k dòng đầu (ii) Trên n – k dòng còn lại, các phần tử trên cột k của ma trận đều bằng không.

(2.17)

Phương pháp: • Bước 1: Xét hệ phương trình (2.2), với giả thiết , khi đó trên cột

thứ nhất của A có ít nhất một phần tử khác không, nghĩa là

Đổi chỗ dòng i1 với dòng 1 của ma trận A ta được hệ tương đương

(2.18)

Hay

Ký hiệu

Ta được hệ tương đương

(2.19)

Trong đó ma trận được xác định qua ma trận theo giá trị

(2.20)

Như vậy, theo hệ quả, dòng thứ nhất của ma trận bằng dòng thứ nhất của ma trận . Các dòng còn lại được xác định qua (2.20) bởi công thức

Khi đó, có dạng

• Bước 2: Giả sử (nếu không, làm tương tự bước 1), khi đó có hệ tương đương với hệ (2.19)

(2.22)

Trong đó,

Với xác định từ bởi

(2.23)

Khi đó ma trận có dạng

(2.24)

• Bước k: Giả sử sau k – 1 bước tính, ta được hệ tương đương với (2.2)

(2.25)

Trong đó, có dạng

• Bước n; Tiếp tục cho đến bước n, ta được hệ tam giác trên

(2.26) Trong đó,

(2.27)

Nhận xét: Theo phương pháp Gauss, hệ Ax = B được đưa về dạng (2.26), với là ma trận tam giác trên có dạng . Từ đó, để giải hệ (2.1), phải lần lượt tính ma trận G, sau đó giải hệ tam giác trên (2.26). Thuật toán:

• Cho k = 1 • Lặp lại các bước sau

o Xét với i = k + 1 o Lặp lại các bước sau

Tính

Xét với j = 1 Lặp lại các bước sau

•

• j = j + 1 Cho đến khi j > n

Cho i = i + 1

o Cho đến khi i > n o Cho k = k + 1

• Cho đến khi k > n – 1 • Tính

• Xét i = n – 1 • Lặp lại các bước sau

o

o Cho i = i – 1 • Cho đến khi i < 1

• Xuất các nghiệm

Ví dụ: Giải hệ phương trình

Đặt

Khi đó hệ phương trình xuất phát được viết lại

Để tìm ma trận ta lần lượt thực hiện các phép biến đổi sau:

Thay dòng 2 và dòng 3 của bởi

Ta được

Và

Suy ra

Tương tự như vậy,

Ta được

Sau đó giải hệ tam giác trên, ta được

III. Giải hệ phương trình theo phương pháp lặp 1. Bài toán lặp: Cho hệ phương trình Ax = B (3.1) Với

Hệ phương trình (3.1) được giải bằng cách cho trước vector bất kỳ, xây dựng một dãy vô hạn có dạng

(3.2)

Sao cho

Trong đó ma trận P có cấp n được gọi là ma trận lặp, còn vector độc lập với k. 2. Sự hội tu

Định nghĩa: Cho , định nghĩa chuẩn của x, ký hiệu có thể nhận một trong các giá trị sau với ký hiệu tương ứng.

(3.3)

Định nghĩa: Chuẩn ma trận A được định nghĩa trên cơ sở chuẩn vector như sau:

(3.4)

Chẳng hạn,

(3.5)

Định lý: (điểm bất động) Cho là một tập hợp đóng (nghĩa là với mọi dãy và , nếu dãy hội từ về x thì ).

Giả sử thỏa điều kiện

(3.6)

Khi đó, (i)

(ii) sẽ thỏa mãn

• (3.7)

• (3.8)

• (3.9)

3. Mô tả phương pháp lặp: Trong hệ phương trình Ax = B, ta tách A = M – N, sao cho và dễ dàng tính được ma trận nghịch đảo của nó (chảng hạn, ma trận đường chéo, ma trận tam giác, ma trận chéo khối, v.v...) Khi đó,

(3.1)

Từ đó xây dựng dãy lặp

(3.10)

Vậy có được dãy lặp , trong đó

Giả sử ma trận A được tách thành A = D – E – F, trong đó các ma trận xác định như sau:

4. Phương pháp Jacobi Phương pháp: Chọn M = D, N = E + F, công thức lặp (3.10) được viết lại như sau

Giả sử , điều đó có nghĩa ma trận D khả đảo, ta có:

(3.11)

Ma trận gọi là ma trận Jacobi.

Thuật toán:

• Cho x = b • Lặp lại các bước sau

o Cho y = x o Cho i = 1 o Lặp lại các bước sau

Tính

Tăng i lên 1 o Cho đến khi i > n

• Cho đến khi

5. Phương pháp Gauss – Seidel Phương pháp: Tương tự phương pháp Jacobi, như ta chọn M = D – E, N = F, khi đó ta có công thức lặp

Hay

Vậy nghiệm lặp được tìm theo công thức

(3.12)

Ta gọi là ma trận Gauss – Seidel. Thuật toán:

• Cho x = b • Lặp lại các bước sau

o Cho y = x o Cho i = 1 o Lặp lại các bước sau

Tính

Tăng i lên 1 o Cho đến khi i > n

• Cho đến khi

IV. Phép tính nội suy 1. Bài toán: Giả sử hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảng

x xo x1 ... xn y y0 y1 ... yn

Bài toán đặt ra, tìm đa thức P(x) = Pn(x) có bậc không lớn hơn n, sao cho (4.1)

Pn(x) được gọi là đa thức nội suy. 2. Định lý (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm): Có duy nhất một đa thức Pn(x) bậc không quá n thỏa điều kiện (4.1) 3. Phép tính nội suy Định nghĩa:

(4.2)

Giả sử

(4.3)

Từ đây suy ra

(4.4)

Định lý (Công thức nội suy Newton thứ nhất): Đa thức nội suy có dạng

(4.5)

Trong đó,

(4.6)

Ví dụ: Hàm số cho dưới dạng bảng nhu sau:

x 1000 1010 1020

y 3,0000000 3,0043214 3,0086002 Hãy tính giá trị của hàm số tại x = 1001 Ta có với x = 1001, h = 10, suy ra q = 0,1

Vậy

Hay

Định lý(Công thức nội suy Newton thứ hai): Đa thức nội suy có dạng

(4.7)

Trong đó,

(4.8)

Ví dụ: Tính giá trị của hàm số trong ví dụ trên tại điểm x = 1018 Ta có h = 10, q = -0,2

Vậy

€

f (1018) ≈ 3,0086002+ (−0,2)×0,0042788+12(−0,2)(0,8)(−0,0000426) = 3,0077477

4. Sai số của công thức nội suy Định nghĩa:

€

R(x) = f (x)−Pn (x) (4.9)

Gọi là sai số của phép tính nội suy Định lý: Công thức nội suy Newton thứ nhất (4.5) có sai số là

€

R(x) =q(q−1)(q−2)(q− n)

(n+1)!Δn+1y0 (4.10)

Định lý 2: Công thức nội suy (4.7) có sai số là

€

R(x) =q(q+1)(q+2)(q+ n)

(n+1)!Δn yn (4.11)

V. Phương pháp bình phương tối thiểu 1. Đặt vấn đề: Phép nội suy để tìm đa thức xấp xỉ bậc n có dạng

€

Pn (x) trong một số trường hợp không cho kết quả đúng. Chẳng hạn,

− Hàm số f(x) là dạng hàm tuần hoàn, trong khi đa thức nội suy lại là đa thức đại số

− Sai số tính toán sẽ tăng lên khi số điểm nội suy nhiều − Sự đòi hỏi

€

Pn (xi ) = yi tại các điểm nội suy đôi khi không có ý nghĩa về mặt thực tiễn (phải là

€

Pn (xi ) = f (xi )). Bởi vì trong thực tế, giá trị

€

yi là giá trị đo đạc không chính xác.

2. Định nghĩa

Cho

€

xi ,∀i =1,n là các điểm nội suy,

€

σ n =1n

f (xi )−P(xi )[ ] 2i=1

n

∑ (5.1)

Là sai số trung bình phương của hàm P(x) so với hàm f(x) trên tập hợp n điểm nội suy

€

X = x1, x2,…, xn{ }.

Phương pháp tìm hàm xấp xỉ P(x) sao cho

€

σ n bé nhất gọi là phương pháp bình phương tối thiểu. 3. Định lý 1: Giải sử

€

f (x),ϕ(x) liên tục trên đoạn

€

a,b[ ]⊃ X . Nếu sai số trung bình phương

€

σ n là bé nhất, thì sai số giữa f(x) và

€

ϕ(x) là khá bé với hầu hết

€

x ∈ a,b[ ] .

4. Bài toán xấp xỉ: Có 2 dạng

Dạng 1: Cho các hàm số

€

ϕ j (x),∀j = 0,m và n giá trị

€

yi tại các điểm

€

xi của hàm số f(x). Tìm hàm

€

Φ m (x) dưới dạng:

€

Φ m (x) = aiϕ i (x)i= 0

m

∑ (5.2)

xấp xỉ tốt nhất hàm f(x)

Dạng 2: Cho hàm số

€

y = f (x,a0,a1,…,am ) và n giá trị

€

yi tại các điểm

€

xi của hàm số f(x). Bài toán đặt ra là tìm các tham số

€

a j ,∀j = 0,m để từ đó suy ra hàm số

€

y = f (x).

5. Phương pháp bình phương tối thiểu

Định lý 2: Cho hàm

€

ϕ(x) =ϕ(x,ao ,a1,…,am ) Nếu họ các tham số

€

ao ,a1,…,am sao cho tổng bình phương

€

yi −ϕ(xi ,ao ,a1,…,am )[ ] 2i=1

n

∑ (5.3)

đạt cực tiểu, thì hàm

€

ϕ(x) =ϕ(x,ao ,a1,…,am ) xấp xỉ tốt nhất hàm f(x) theo nghĩa trung bình phương. 6. Xấp xỉ bằng đa thức: Cho n giá trị thực nghiệm yi tại xi của hàm số y = f(x). Hãy xấp xỉ hàm số f(x) bởi đa thức bậc m:

€

Pm (x) = ao + a1x + a2x2 ++ am x

m (5.4)

Đây là bài toán xấp xỉ hàm số ở dạng 1, nên bài toán được đưa về tìm các hệ số

€

a j ,∀j = 0,m sao cho

€

Pm (x,ao ,a1,…,am ) xấp xỉ tốt nhất hàm f(x)

Đặt

€

ϕ 0 (x) =1ϕ1(x) = xϕ 2 (x) = x 2

ϕ m (x) = x m

(5.5)

Khi đó (5.3) được viết lại thành

€

F(ao ,a1,…,am ) = yi − a jϕ j (xi )j= 0

m

∑

i=1

n

∑2

= yi − xij a j

j= 0

m

∑

2

i=1

n

∑ (5.6)

Họ các tham số

€

ao ,a1,…,am là điểm cực tiểu của hàm

€

F(ao ,a1,…,am ), nên

€

ao ,a1,…,am là nghiệm của hệ phương trình:

€

∂F∂ak

= 0,∀k =1,m (5.7)

Từ đây suy ra

€

2 yi − xij a j

j= 0

m

∑

−xi

k( )i=1

n

∑ = 0, ∀k = 0,m (5.8)

Hay

€

xij+ka j

i=1

n

∑ =j= 0

m

∑ yi xik

i=1

n

∑ , ∀k = 0,m (5.9)

Như vậy, lời giải của bài toán đưa về giải hệ phương trình (5.9) để tìm các hệ số

€

a j ,∀j = 0,m của đa thức xấp xỉ (5.4)

a) Xấp xỉ dạng tuyến tính

€

Pm (x) = a +bx

Khi đó hàm (5.6) được viết

€

F(a,b) = yi − a −bxi( )2i=1

n

∑ (5.10)

Và hệ phương trình (5.9) trở thành

€

na + b xii=1

n

∑ = yii=1

n

∑

a xii=1

n

∑ +b xi2

i=1

n

∑ = xi y ii=1

n

∑

(5.11)

Ví dụ: Hàm số y = f(x) cho dưới dạng bảng x 1000 1010 1020

y 3,0000000 3,0043214 3,0086002 Hãy tìm đa thức nội suy bậc nhất xấp xỉ f(x) và tính giá trị của hàm tại x = 1001 G i ả i: Ta có

€

xii=1

3

∑ = 3030; yii=1

3

∑ = 9,0129216

xi2

i=1

3

∑ = 3060500; xi y ii=1

3

∑ = 9103,1368

Chọn hàm xấp xỉ dạng

€

Pm (x) = a +bx , thì

€

a = yii=1

3

∑ xi2

i=1

3

∑ − xii=1

3

∑ xi yii=1

3

∑

3 xi

2

i=1

3

∑ − xii=1

3

∑

2

=1541,998600

= 2,569967

b = yii=1

3

∑ − 3a

xi

i=1

3

∑ = 0,00043001

Vậy

€

Pm (x) = 2,5699967+0,00043001x

Và giá trị của hàm tại 1001 là 3,0004371

Lưu ý: Tương tự cho

€

Pm (x) = a +bx m

b) Xấp xỉ dạng

€

Pm (x) = a +bx + cx 2

Hàm (5.6) được viết lại như sau:

€

F(a,b,c) = yi − a −bxi − cxi2( )2

i=1

n

∑ (5.12)

Trong đó a, b, c là nghiệm của hệ phương trình

€

na + b xii=1

n

∑ + c xi2 = yi

i=1

n

∑i=1

n

∑

a xii=1

n

∑ + b xi2

i=1

n

∑ + c xi3

i=1

n

∑ = xi yii=1

n

∑

a xi2

i=1

n

∑ + b xi3 + c xi

4

i=1

n

∑ = xi2yi

i=1

n

∑i=1

n

∑

(5.13)

Ví dụ: Hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng như sau x 6 8 10 12

y 234 239 242 244 Tìm đa thức bậc II xấp xỉ hàm số này và tính giá trị của hàm tại 7, 9 và 11 G i ả i: Ta có

€

xii=1

4

∑ = 36; xi2

i=1

4

∑ = 344; xi3

i=1

4

∑ = 3456; xi4

i=1

4

∑ = 36128

yii=1

4

∑ = 956; xi yii=1

4

∑ = 8664; xi2yi

i=1

4

∑ = 83056

Từ đây suy ra hệ phương trình để tìm các hệ số a, b, c

€

4a + 36b + 344c = 95636a + 344b + 3456c = 8664344a + 3456b + 36128c = 83056

Giải hệ này, có đa thức xấp xỉ là

€

Pm (x) = 237,64842+0.1499817x +0,0000203161x 2

Thay x bởi 7, 9, 11 vào đa thức, ta tìm được giá trị của hàm tại các điểm này 7. Xấp xỉ bởi hàm dạng phi tuyến

a) Dạng

€

Pm (x) = aebx (a > 0)

Từ phương trình

€

Pm (x) = aebx (5.14)

Lấy logarithm 2 vế ta được

€

lnPm (x) = ln a + ln ebx = ln a +bx (5.15)

Đặt

€

P(x) = lnPm (x); A = ln a (5.16)

Nên (5.15) được viết lại là

€

P(x) = A+bx (5.17) Khi đó từ quan hệ phi tuyến (5.14), ta đưa về quan hệ tuyến tính dạng

€

Pm (x) = A+bx , giải theo hệ phương trình theo dạng (5.11) để tìm A và b, sau đó suy trở lại

€

a = eA

b) Dạng

€

Pm (x) = ax b (a > 0)

Từ phương trình

€

Pm (x) = ax b (5.18)

Ta có

€

lnPm (x) = ln a +b ln x (5.19)

Đặt

€

P(x) = lnPm (x); A = ln a; X = ln x (5.20)

Khi đó (5.19) được viết lại

€

P(x) = A+bx (5.21)

c) Dạng

€

Pm (x) = abx

Cũng tương tự dạng trong a), ta đưa về dạng

€

P(x) = A+Bx (5.22) Trong đó

€

P(x) = lnPm (x); A = ln a; B = ln b (5.23)

d) Dạng

€

Pm (x) = aϕ(x)+b

Tương tự, đưa về dạng

€

P(x) = A+Bx (5.24) Trong đó

€

P(x) =Pm (x); A = b; B = a; X =ϕ(x) (5.25)

Ví dụ: Nhiệt độ y của một vật phụ thuộc vào thời gian t cho bởi bảng sau t 0 1 2 3

y 2,01 1,21 0,74 0,45 Hãy tìm công thức về sự phụ thuộc này G i ả i: Trong Vật lý đã chứng minh bằng thực nghiệm là các đại lượng trên có quan hệ như sau

€

y = ae−bt (5.26)

Như vậy, chúng ta chỉ cần xác định các giá trị cụ thể của a và b. Từ phương trình (5.26), suy ra

€

ln y = ln a −bt (5.27)

Đặt

€

Y = ln y; A = ln a; B = −b

Khi đó (5.27) được viết lại

€

Y = A+Bt Bảng các giá trị tương ứng của t với Y như sau

t 0 1 2 3

Y 0,698 0,191 -0,301 -0,796 A, B là nghiệm của hệ phương trình

€

4A+6B = −0,2116A+14B = −2,807

Suy ra A = 0,695; B = -0,498 Hay

€

a = eA = 2,003; b = -B = 0,498

Vậy

€

y = 2,003e−0,498t