TRANG

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 4

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 9

III. PHƯƠNG PHÁP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 32

IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 37

V. PHƯƠNG PHÁP BÂT ĐĂNG THƯC 49

1

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1. Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng :

, ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn

và ta sử dụng phép thế : ta được phương trình :

b) Ví dụ Bai 1. Giải phương trình sau:

(1) Giải: Đk:

2

Vậy tập nghiệm của phương trình là Bai 2. Giải phương trình sau:

Giải: 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

a) Phương pháp Với một số phương trình ta có thể nhẩm được nghiệm

như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích

ta có thể giải phương trình hoặc chứng

minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của

phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm

b) Ví dụ Bai 1 . Giải phương trình sau :

Giải: 3

Ta nhận thấy :

Ta có thể chuyển vế rôi trục căn thức 2 vế :

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .Bai 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :

Giải: Để phương trình có nghiệm thì :

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách các số hạng như sau :

4

Dễ dàng chứng minh được :

Bai 3. Giải phương trình :

Giải: Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

Ta chứng minh :

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=32.2. Đưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp

Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà :

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :

5

, khi đó ta có hệ:

b) Ví dụ Bai 4. Giải phương trình sau :

Giải:

Ta thấy : không phải là nghiệm

Xét Trục căn thức ta có :

Vậy ta có hệ:

Vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=

6

Bai 5. Giải phương trình :

Ta thấy : , ( không có dấu hiệu trên ).

Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng các đẳng thức

Bai 1. Giải phương trình :

Giải: Bai 2. Giải phương trình : Giải:+ , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x:

Bai 3. Giải phương trình: Giải: Đk

pt

7

Bai 4. Giải phương trình : Giải: Đk:

Chia cả hai vế cho : Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng :

Bai 1. Giải phương trình : Giải:Đk: khi đó pt đa cho tương đương:

Bai 2. Giải phương trình sau :Giải:Đk: phương trình tương đương :

Bai 3. Giải phương trình sau :

Giải: ptBai tập đề nghịGiải các phương trình sau :

1)

2) (HSG Toàn Quốc 2002)3)

4)

5)

8

6) (OLYMPIC 30/4-2007)7)

8)

9)

9

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “ hoàn toàn” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ .

Bài 1. Giải phương trình: Giải:Đk: Nhận xét.

Đặt thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải

Điều kiện:

Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:

Ta tìm được bốn nghiệm là:

10

Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l:

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thành:

( với

Từ đó ta tìm được các giá trị của Bai 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :

Giải: đk Đặt pttt

Bai 5. Giải phương trình sau : Giải:Điều kiện:

Chia cả hai vế cho x ta nhận được:

11

Đặt , ta giải được.Bai 6. Giải phương trình : Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta

được:

Đặt t= , Ta có :

Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đa biết cách giải phương trình: (1) bằng cách

Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp

Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)Chúng ta hay thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này.

a) Phương trình dạng :

12

Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu

Xuất phát từ đẳng thức :

Hay tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như :

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”Bai 1. Giải phương trình : Giải: Đặt

phương trình trở thành :

Tìm được:

Bai 2. Giải phương trình :Bai 3: giải phương trình sau :Giải: Đk:

Nhận xét : Ta viết 13

Đông nhất thức ta được

Đặt , ta được: Nghiệm :

Bai 4. Giải phương trình :Giải:Nhận xét : Đặt ta biến pt trình về dạng phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

Pt có nghiệm :b).Phương trình dạng :

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.Bai 1. Giải phương trình : Giải:

Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Bai 2.Giải phương trình sau : Giải

Đk . Bình phương 2 vế ta có :

14

Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ :

Do . Bai 3. giải phương trình : Giải:Đk . Chuyển vế bình phương ta được:

Nhận xét : không tôn tại số để : vậy ta không thể đặt

.Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . Các bạn hãy tự tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoan toan Từ những phương trình tích ,

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .

15

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .

Bai 1. Giải phương trình :Giải:

, ta có: Bai 2. Giải phương trình : Giải:Đặt : Khi đó phương trình trở thành : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t :

Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bai 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pt trở thành (1)Ta rút thay vào thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình

theo t không có dạng bình phương .Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo

Cụ thể như sau : thay vào pt (1)Bai 4. Giải phương trình:

16

Giải:

Bình phương 2 vế phương trình:

Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng số chính phương .

Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

Xuất phát từ đẳng thức , Ta có

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .

Bai 1. Giải phương trình :

Giải : , ta có : , giải hệ ta

được: Bai 2. Giải phương trình sau :

17

Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : Bai 3. Giải các phương trình sau

1)

2)Bai tập đề nghị Giải các phương trình sau

a.b.c.d.e.f.g.h.i.j.

Bai tập tổng hợp:1/ √ x+1+√3−x−√( x+1)(3−x )=n (1)a/ Giải phương trình n = 2 b/ Tìm các giá trị của n để phương trình có nghiệm:

2/ √ x+6√x−9+√ x−6√ x−9= x+m6

18

a/ Giải phương trình với m = 23b/ Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Bài tập tương tự:3/ √ x+√2 x−1+√ x−√2x−1=√2

4/ 1+ 23√ x−x2=√x+√1−x

5/ √2 x+3+√x+1=3 x+2√2 x2+5 x+3−16

6/ √ x−2−10 x+1=5 x2

7/ Tìm m để, phương trình sau có nghiệm√1+x+√8−x+√(1+x )(8−x )=m

8/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: √ x−3−2√ x−4+√ x−4 √x−4=m

9/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:√ x+4√ x−4+x+√ x−4=m

Giải các phương trình sau:

10/ √x+4+√ x−4

2=x+√ x2−16−6

11/ √3 x2+6 x+16+√ x2+2 x=2√x2 2 x+4

12/ ( x−3 )2+3 x−22=√x2−3 x+7

13/ 3√ x2−4 x+4 x−x2+10=0

14/ 3( x2−2 x )−4 √x2−2 x+4+13=0

15/ √ x+1+√12−x+√(x+1 )(12−x )=−1

16/ √ x+5+√8−x+√( x+5)(8−x )=−1

17/ 4 x2+12 x √1+ x=27(1+x )

18/ 2 x2+x √x−1=10 ( x−1)

19/ 4 x2−12−5√4 x2−12 x+11+15=0

19

20/ x+ x

√x2−1=35

12 (1)21/ 3√( x+a )2+

3√( x+a )2+3√(x2−a2)=

3√a2

22/ 4√629−x+ 4√77+x=8

23/ √1+√1−x2 (√(1+x )3−√ (1−x )3 )=2+√1−x2

24/ 1

1−√1−x+ 1

1+√1−x= 4√3√1−x

25/ √2 x+3+√x+1=3 x+2√2 x2+5 x+3−16

25/ √2 x+3+√x+1=3 x+2√2 x2+5 x+3−16

26/ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số α để phương trình sau có nghiệm:( x−3 )( x+1 )+3( x−3 )√ x+1

x−3=(a+2)(a−1)

Bài tập tương tự:

27/ ( x+2)( x+4 )+5( x+2 )√ x+4x+2

=(a−3)(a+2)

28/ 5√(5 x+2)3−16

5√(5 x+2 )3=6

29/ 5√16 y

y−1+ 5√ y−1

16 y=5

2

30/ 6√ x+5

x+4

6√ xx+5

=4

31/ 7√ 5−x

x+3+ 7√ x+3

5−x=2

32/ 20

√x+x√ x+ x=22

(Đặt y = √ x> 0)33/ 5√(5 x+2)3=2( x2+2 ) (1)34/ √ x3−x2−1+√ x3−x2+2=3 (1)

20

35/ √1−x2=( 2

3−√ x)

2

36/ 4√18+5 x+ 4√64−5 x=4

37/ 5√a+x+ 5√a−x=5√2a

38/ √2x+√ x+1+1+√2 x−√ x+1=2√ x+1+1

39/ √ x3+x2−1+√x3+ x2+2=3

41/ 4√ x+8−4√x−8=2

42/ 12+ 1

√2−x2=2

GIẢI BÀI TẬP TỔNG HỢP

1/ √ x+1+√3−x−√( x+1)(3−x )=n (1)a/ Giải phương trình n = 2 b/ Tìm các giá trị của n để phương trình có nghiệm: Điều kiện {x+1≥03−x≥0

⇔−1≤x≤3

Đặt ẩn phụ t=√ x+1+√3−x , t≥0

Khi đó t2=4+2√( x+1)(3−x )

Hay 2√( x+1)(3−x )=t2−4 (2)a/ Với n = 2 và ẩn phụ t, phương trình (1) trở thành. 2 t−( t2−4 )=4⇔t2−2t=0⇔t1=0 , t2=2

Dễ thấy t1 = 0 không thoả (2). Thay t2 = 2 vào (2) được √( x+1)(3−x )=0 ,⇒ x1=−1 , x2=3, thoả điều kiện ban đầu.

21

b/ Đặt ẩn phụ t như trên, phương trình (1) trở thành:2 t−( t2−4 )=2 n⇔t2−2t+2 n−4=0

+ ∇=5−2 n≥0 thì phương trình có nghiệm

{t1=1+√5−2n

t2=1−√5−2n

Để phương trình có nghiệm thì 2≤t≤2√2 (theo công thức tổng quát ở trên). Với t2 không thoả man. Với t1 có 2≤1+√5−2 n≤2√2

⇔2√2−2≤n≤2

Điều kiện này bảo đảm phương trình (2) có nghiệm x. Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2√2−2≤n≤2

2/ √ x+6√x−9+√ x−6√ x−9= x+m6

a/ Giải phương trình với m = 23b/ Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Điều kiện x−9≥0⇔ x≥9

Đặt ẩn phụ t=√ x−9. Khi đó x = t2 + 9Phương trình đa cho trở thành:6 (√(1+3)2+√( x−3 )2)=t2+9+m

⇔6 (|t+3|+|t−3|)=t2+9+m

⇔{t2−12 t+9+m=0 , t≥0t2−27+m=0,0≤t≤3

a/ Với m = 23 có:

{t2−12 t+32=0 , t≥3t2=4,0≤t≤3

Giải ra ta được t1 = 8, t2 = 4, t3 = 2 nên phương trình có 3 nghiệm là x1 = 73, x2 = 25, x3 = 13.

22

b/ Với t ≥ 3 thì t2 – 12t + 9 + m = 0 ⇔ ( t−6 )2=27−m

Phương trình này có nghiệm khi 18 < m ≤ 27Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 27.

20/ x+ x

√x2−1=35

12 (1)Điều kiện x2 – 1 > 0, x > 0 ⇔ x > 1 Bình phương 2 vế của (1), ta có: x2+ x2

x2−1+ 2 x2

√x2−1=1225

144

⇔ x4

x2−1+ 2 x2

√x2−1=1225

144 (2)

Đặt t= x2

√x2−1 , với t > 0, ta có

(2) ⇔t 2+2 t−1225144

=0 (2)Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu.

{ t 1=2512

t2=−4912

+ Với t 1=2512

⇒12( x2−1)−25√x2−1+12=0 (4)Đặt y=√x2−1 , y>0. Ta có(4 )⇔12 y2−25 y+12=0

⇔ {y=43

y=34

Suy ra phương trình đa cho có 2 nghiệm:

(Chọn)

(Loại)

23

[x=5

4

X=53

Vậy nghiệm của phương trình là S={54 ;

53 }

21/ 3√( x+a )2+3√( x+a )2+

3√(x2−a2)=3√a2

Đặt y = x + a, z = x – a Nhân lượng liên hiệp⇒ y−x=

3√a2 ( 3√ y−3√ z )=2 a

⇒ 3√ y−3√z=23√a

Lập phương 2 vế phương trình ta được- yz = a2

⇒ x = 0 (thử lại thoả)Vậy phương trình đa cho có nghiệm x = 022/ 4√629−x+ 4√77+x=8

Đặt ⇒u+v=8 ,u4+v4=706

Đặt t = uv⇒ t2−128 t+1695=0

⇔[ t=15t=113

Với t = 15 ⇒ x = 4Với t = 113 ⇒ x = 548Thử lại ta thấy tập nghiêm của phương trình là S= {4 ;548 }

23/ √1+√1−x2 (√(1+x )3−√ (1−x )3 )=2+√1−x2

Điều kiện

24

-1 ≤ x ≤ 1 Đặt u=√1+x , v=√1−x , với u, v > 0⇒u . v=√1−x2 ,u2+v2=2 , u2−v2=2 x

Phương trình đa cho trở thành

√u2+v2

2+u. v (u3−v3 )=2+u . v

⇔1√2

(u+v )(u−v )(u2+uv+v2)=2+u . v

⇒1√2

2 x (2+uv+v2 )=2+u . v

⇒ x=√22

Thử lại ta thấu tập nghiệp của phương trình đa cho là S={√2

2 }24/

11−√1−x

+ 11+√1−x

= 4√3√1−x

Điều kiện {x<1x≠0

Đặt t=√1−x ,t>0 và t ≠ 1Phương trình đa cho trở thành:11−t

+11+t

=4√3t

⇒2√3 t2+ t−2√3=0

⇔{t=√32

t=−2√3

Với t= 1

√3⇒ x=1

4¿

¿

Thử lại ta thấy tập nghiệm của phương trình là S={23 }

(Loại)

25

25/ √2x+3+√x+1=3 x+2√2 x2+5 x+3−16

Đặt u=√2 x+3+√ x+1 , với x ≥ -1, u > 0Phương trình đa cho trở thànhU2 – u – 20 = 0⇔[ u=5

u=−4

Do đó√2x+3+√x+1=5 (*)⇔ x+2

√2x+3−√x+1=5

⇔5√2x+3−√ x+1=x+2 (**)Từ (*) và (**) ⇒10 √x+1=23−x

⇒ x=3

Vậy tập nghiệm của phương trình đa cho là S = {3}26/ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số α để phương trình sau có nghiệm:( x−3 )( x+1 )+3( x−3 )√ x+1

x−3=(a+2)(a−1)

Với điều kiện x+1x−3

≥0 , x−3≠0⇔[ x≤−1x>3

Đặt y=( x−3 )√ x+1x−3

, y≥0

Nếu x > 3 và y ≤ 0 nếu x ≤ -1⇒ y=( x−3 )( x+1)

Phương trình đa cho ( x−3 )( x+1 )+3( x−3 )√ x+1

x−3=(a−1 )( a+3 ) (1)

Trở thành y2 + 3y – (a – 1)(a + 2) = 0

(Chọn)

(Loại)

26

⇔[ y=a−1y=−a−2

Do đó

[x−3√ x+1

x−3=a−1

x−3√ x+1x−3

=−a−2

Xét phương trìnhx−3√ x+1

x−3= y (3)

y = 0 ⇒ x = -1 y > 0 ⇒ x > 3 y < 0 ⇒ x < -1

a/ Xét khả năng y > 0 với x ≥ 3, ta có: ( x−3 )( x+1 )= y2 ⇔ x2 – 2x – 3 – y2 = 0 (4)Phương trình (4) có 2 nghiệm trái dấu

{x1=1−√a+ y2≤−1

x2=1+√4+ y2>3

b/ Xét khả năng y ≤ 0 với x ≤ -1Giải được nghiệm x1=1−√a+ y2 (thoả)Do đó ta có: Với y = a – 1, ta có

a > 1: Phương trình (1) có nghiệm: x=x2=1+√4+(a−1)2=1+√a2−2 a+5

a ≤ 1: Phương trình (1) có nghiệm: x=x1=1−√a2−2a+5

Với y = - a – 2 , ta có: a < -2: Phương trình (1) có nghiệm:

x=x2=1+√4+(a−1)2=1+√a2+4 a+8

(Chọn)

(Loại)

27

a ≥ -2: Phương trình (1) có nghiệm: x=x1=1−√a2+4 a+8

Ta suy ra: Nếu a < -2: (1) có 2 nghiệm là: x=1+√a2+4 a+8 ; x=1−√a2−2 a+5

Nếu a = -2 : (1) có 2 nghiệm là: x=−1 ; x=1−√13

Nếu -2 < a < 1: (1) có 2 nghiệm là: x=1−√a2+4 a+8; x=1−√a2−2 a+5

Nếu a = 1: (1) có 2 nghiệm là: x=1−√13 ; x=−1

Nếu a > 1: (1) có 2 nghiệm là: x=1−√a2+4 a+8; x=1+√a2−2 a+5

Vậy phương trình đa cho luôn luôn có nghiệm ∀ a∈R

28/ 5√(5 x+2)3−16

5√(5 x+2 )3=6

Với điều kiện 5x + 2 ≠ 0⇔ x≠−5

2

Đặt y=5√(5 x+2)3

Phương trình đa cho 5√(5 x+2)3−16

5√(5 x+2 )3=6

(1)Trở thànhy−

16y=6

⇔ y2−6 y−16=0

⇔[ y=−2y=8

Do đó ta có:

28

[5√(5 x+2 )3=−25√5 x+2=8

⇔[5 x+2=−23√4

5 x+2=32

⇔[ x=−2(3√4+1)5

x=6

Vậy phương trình đa cho có 2 nghiệm là:

⇔[ x=−2( 3√4+1)

5x=6

33/ 5√(5 x+2)3=2( x2+2 ) (1)Điều kiện: 1 + x3 ≥ 0⇔(1+ x )( x2−x+1)≥0

Mà x2 – x + 1 > 0, ∀ x nên điều kiện đó tương đương với x + 1 ≥ 0. Đặt u=√x+1 , v=√x2−x+1 , u≥0 , v≥0 . Phương trình (1) trở thành 5uv – 2(u2 + v2)⇔2(uv )

2

−5uv+2=0

⇔[

uv=2

uv=

12

Với uv=2, phương trình (1) vô nghiệm

Với uv=1

2 thì

29

√ x2−x+1=2√x+1

⇔{x>−1x2−5 x−3=0

⇔{x1=5−√372

x2=5+√372

Vậy tập nghiệm của phương trình đa cho là S={5−√37

2;

5+√372 }

* Những bài toán dạng trên được giải bằng phương pháp đưa về ẩn phụ. Nhưng cũng là biến đổi phương trình phức tạp thành đơn giản. Để mở rộng phương trình trên ta xét thêm phần mở rộng của phương pháp đặt ẩn phụ.

Đưa về hệ phương trình:34/ √ x3−x2−1+√ x3−x2+2=3 (1)Với điều kiện: x3−x2−1≥0⇒ x3−x2+2>0

Đặt {u=√x3−x2−1

v=√x3−x2+2 Với v > u ≥ 0Phương trình (1) trở thành u + v = 0 Ta có hệ phương trình

30

{u+v=3v2−u2=3

⇔{u+v=3(v+u )(v−u)=3

⇔ {u+v=3v−u=1

⇔{u=1v=2

⇔{√ x3+x2−1=1

√ x3+x2+2=2

⇔{x3+x2−1=1x3+x2+2=4

⇔ x3+ x2−2=0⇔( x−1)( x2+2 x+2)=0⇔ x=1 (dox2+2x+2>0 )

Vậy phương trình đa cho có tập nghiệm là S = {1}

35/ √1−x2=( 2

3−√ x)

2

Điều kiện:

{1−x2≥0x≥0

⇔{−1≤x≤1x≥0

⇔0≤x≤0(*)

Vớu điều kiện (*),đặt u=√x

v=23−√x , với u ≥ 0, v≤2

3 Ta có:

{1−x2=1−u4

( 23−√ x)

2

=v2

Do dó ta có hệ

31

{u+v=23

√1−u4=v2

⇔{u+v=23

u4+v4=1

⇔{u+v=23

(u2+v2 )2−2u2 .v2=1

⇔{u+v=23

[ (u+v )2−2u .v ]2=1

⇔{u+v=23

(49 −2u .v )2

−2u2 .v2=1⇔{u+v=2

3

2u2 .v2−169

u .v−6581

=0

⇔[{u+v=2

3

u .v=8−√19418

{u+v=25

u .v=8+√19418

⇒ u và v là nghiệm của phương trình

[y2−2

3y+ 8−√194

18=0( a)

y2−23

y+ 8+√19418

=0(b )

(b) vô nghiệm (a) có 2 nghiệm

y1=1−√√97

2−3

2; y2=

1+√√972−3

3

Do đó:

{u1= y1

v1= y2

∨{u2= y2

v2= y1

Vì u ≥ 0 nên ta chọn u= y2=1+√√97

2−3

3

32

⇒√x=1+√√97

2−3

3

⇒√x=( 1+√√972−3

3)2

Vậy phương trình đa cho có nghiệm duy nhất x=1

9 (1+√√972−3)

2

36/ 4√18+5 x+ 4√64−5 x=4

Với điều kiện

{18+5 x≥064−5 x≥0

⇔ {x≥−185

x≤645

⇔−185≤x≤

645

(*)Đặt u=4√18+5 x , v=4√64−5 x , với u ≥ 0, v ≥ 0

Suy ra {u4=18+5 xv 4=64−5 x

Phương trình đa cho tương đương với hệ:

{ u+v=4u4+v4=82v≥0 , v≥0

⇔{ u+v=4

(u2+v2 )2−2(uv )2=82v≥0 , v≥0

Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:

{S=4

(S2−2P )2−2 P2=82P≥0 , S≥0

⇒ {S=4p2−32 P+87=0P≥0

⇔{S=4P=3∨P=29P≥0

(1) Với S = 4, P = 3u và v là nghiệm của phương trình:

33

y2−4 y+3=0⇔{y=1y=3

Do đó ta có: {u=1v=3

∨{u=3v=1

Suy ra¿¿⇔¿¿⇔ x=−17

5∨x=63

5 thoả (*)(2) Với S = 4, P = 29 ⇒ không tôn tại u và vVậy phương trình đa cho có 2 nghiệm là

{x1=−175

x2=635

37/ 5√a+x+ 5√a−x=5√2a

Đặt u=5√a+x và v=5√a− x, phương trình đa cho tương đương với hệ

{u+v=5√2 au5+v5=2a (*)Ta có: u5+v5=(u+v )(u4−u3 . v+u2 . v2−u .v3+v 4

=(u+v )(u4+v4−u . v (u2+v2 )+u2 . v2)¿(u+v ) {[(u2+v2 )−2u . v ]2−2u2 . v2−u. v (u2+v2)+2 u2 . v2+u2 . v2}Đặt S = u + v

P = u.vTa có: u5+v5=S [ (S2−2 P )2−PS2+P2 ]

Do đó ta có: (*)

34

⇒ {S=5√2aS( S4−5 PS2+5 P2 )=2 a

⇔{S=5√2 aS5−5 PS3+5 PS3=2 a

⇔{S=5√2 a5 P2 S−5 PS3=0

⇔{S=5√2 aP=0∨P=S2

(1) Với S=5√2a , P=0

Ta có {u+v=5√2 au . v=0

⇔{ u=0

v=5√2 a∨{ v=0

u=5√2a

Do dó ta có: ¿¿(2) Với S=5√2a , P=S2

Ta có S2−4 P=S2−4 S2< 0. vô nghiệmVậy phương trình đa cho có 2 nghiệm là

{x1=−ax2=a

38/ √2x+√ x+1+1+√2 x−√ x+1=2√ x+1+1

Đặt u=√2 x+√ x+1+1v=√2x−√x+1

Ta có hệ:

{ u+v=2√ x+1+1u2−v2=2√x+1+1

u , v≥0

Thử lại ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình39/ √ x3+x2−1+√x3+ x2+2=3

Đặt u = x3 + x2

3

1

11

x

xv

xu

35

⇒ {√u−1+√u+2=3√u+2+√u−1=1

⇒√u+2=2⇒u=2

Do dó x3 + x2 – 2 = 0⇒ x=1

Thử lại ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình đa cho.40/ x2+√ x+5=5

⇒√x+5=5−x2 (1)Điều kiện −√5<x<√5

Đặt t=√ x+5 ,t>0⇔t2=x+5

Ta có hệ: {x2+t=5t2=x+5

⇔ x2−t2=−( x+ t )⇔( x+t )( x−t+1)=0

a.Nếu x + 1 = 0⇔ x2−x−5=0

⇔[x=1+√21

2

x=1−√212

b. Nếu x – t + 1 = 0

Vậy nghiệm của phương trình là

thoả

loại

loại

thoả

36

⇔ x2+x−4=0

⇔[x=−1+√17

2

x=−1−√172

⇔[x=1−√21

2

x=−1+√172

41/ 4√ x+8−4√x−8=2

Đặt u=4√x+8 , v=4√ x−8 với u > v ≥ 0Với điều kiện

{x+8≥0x−8≥0

⇔ {x≥−8x≥8

⇔ x≥8(*)

⇒u4=x+8 , v 4=x−8

Phương trình đa cho 4√ x+8−4√x−8=2 (1)Tương đương với hệ

{u−v=2u4+v4=16u>v≥0

⇔{u=v+2(u−v )(u+v )(u2+v2 )=16u>v≥0

⇔{u=v+22(2v+2)(2 v2+4 v+4 )=0u>v≥0

⇔{u=v+2u3+3v2+4 v+2=2u>v≥0

⇔{u=v+2v (v2+3 v+4 )=0u>v≥0

⇔{u=v+2v=0u>v≥0

⇔ {u=2v=0

⇔{4√x+8=24√x−8=0

⇔{x+8=16x−8=0

⇔ x=8

42/ 12+ 1

√2−x2=2

Điều kiện 2−x2>0 , x≠0⇔5√2<x<√2 , x≠0

Đặt y=√2−x2 , y>0. Ta có:

37

(1)⇔{ 1x+

1y=2(2)

x2+ y2=2(3)y>0 (*)

Từ (*)⇒2x2 y2−xy−1=0

⇔{ xy=1

xy=−12

a.Xét xy = 1 so y > 0 nên x > 0Ta có: (2)⇒ x+ y=2

Ta có xy = 1 và x + y = 2 nên x, y là nghiệm của phương trình x2 – 2x + 1 = 0 ⇒ x=1

b. Xét xy = - 12 . Tương tự ta được x = −

√3+12

Vậy phương trình có tập nghiệm là S={1 ;−√3+1

2 }

38

III. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v

Bai 1. Giải phương trình: Đặt

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:

, giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là

Bai 2. Giải phương trình: Điều kiện:

Đặt

Ta đưa về hệ phương trình sau:

Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rôi thay vào tìm nghiệm của phương trình.Bai 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:

39

Vậy

Bài 4. Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Đặt .

Khi đó ta được hệ phương trình:

2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hay đi tìm nguôn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :

việc giải hệ này thì đơn giản Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt

sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :

, ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau :

đặt , khi đó ta có phương trình :

40

Tương tự cho bậc cao hơn : Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng: v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng

là chọn được.

Bai 1. Giải phương trình:

Điều kiện: Ta có phương trình được viết lại là:

Đặt thì ta đưa về hệ sau: Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là:

41