néhány háromszögekkel kapcsolatos tétel bizonyítása a...

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematikatanítási és Módszertani Központ

Néhány háromszögekkel kapcsolatos

tétel bizonyítása a gömbön �

A súlypont és a területfelez® vonalak vizsgálata síkon és

gömbön

BSc Szakdolgozat

Konzulens: Témavezet®: Készítette:

Lénárt István Dr. Rózsahegyiné Vásárhelyi Éva Lados Bence Ferenc

Oktatáskutató Egyetemi docens Matematika BSc

Budapest, 2014.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 1

1.1. El®szó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Gömbháromszögtan 3

2.1. Gömbi távolság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Gömbháromszög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3. Gömbi trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1. A derékszög¶ gömbháromszög . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.2. A gömbháromszögtan szinusz-tétele . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.3. A gömbháromszögtan koszinusz-tétele . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Gömbháromszögtan mint nem-euklideszi geometria . . . . . . . . . . 9

3. A súlypont 11

3.1. A gömb mint az euklideszi tér része . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1. A centrális projekció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.2. A síkháromszög súlypontja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.3. A gömbháromszög súlyvonala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.4. A gömbháromszög súlypontja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Papposz és Desargues tételei a gömbi geometriában . . . . . . . . . . 15

3.2.1. Papposz és Desargues tételei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2. Mellékháromszögek oldalfelez® pontjai . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.3. Súlypont-tétel bizonyítása Desargues tételével . . . . . . . . . 18

3.3. A súlypont-tétel bizonyítása gömbi trigonometriával . . . . . . . . . . 20

3.3.1. Menelaosz tétele a gömbön . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2. Ceva tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.3. Súlypont-tétel bizonyítása Ceva tételével . . . . . . . . . . . . 23

4. A területfelez® vonal 25

4.1. Gömbháromszögek területfelez®je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK

4.2. A területfelez®k tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1. A területfelez®k metszéspontja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Összefoglalás 29

Irodalomjegyzék 30

Képek forrásai 31

III

1. fejezet

Bevezetés

1.1. El®szó

Szakdolgozatom alapjául Lénárt István tanár úr Nem-euklideszi geometriák órája

szolgált, mely órák keretében elmélyültünk a gömbi geometriában. Egy új világ nyílt

ki el®ttem, és nagyon érdekesnek találtam. Ennek a világnak szeretném egy kis részét

részletesebben bemutatni.

Dolgozatomban a háromszögek súlypontját veszem fókusz alá, meg fogjuk nézni,

hogy milyen hasonlóságok és különbségek vannak a síkháromszögek és gömbhárom-

szögek esetében.

Ahhoz, hogy kicsit el tudjunk mélyülni ezekben a gondolatokban, a második fe-

jezetben bevezetem a gömbi geometriához szükséges fogalmakat. Valamint az utolsó

alfejezetben, mutatok egy másik interpretációt. Ennek a lényege, hogy gömbi geo-

metriára mint önálló geometriára tekint. Nem használjuk az euklideszi térgeometria

elemeit, ahhoz, hogy bevezessük a gömbi geometria alapfogalmait, hanem egy önál-

ló rendszer alapjait fektetjük le. Az ehhez szükséges ismereteimet a Nem-euklideszi

geometriák órán [2] szereztem, és ennek segítségével vezetem majd be itt is. Még

fontos megemlíteni, hogy ezt a fejezetet, az utolsó alfejezett®l eltekintve, az [1, o.

374-380] könyv alapján építettem fel. A harmadik fejezetben rátérünk a dolgozat

témájára, a súlypont-tétel bizonyítására. A tételt háromféleképpen fogjuk belátni.

Minden alkalommal, ugyanazzal a módszerrel bebizonyítom a gömbön és a síkon is

a tételt.

A negyedik fejezetben pedig a területfelez® vonalakkal és a területfelez®k met-

széspontjával foglalkozunk. Megvizsgáljuk, milyen hasonlóságokat és különbségeket

mutatnak a síkháromszögek súlyvonalai és súlypontja a gömbháromszögek súlyvo-

nalaival, területfelez® vonalaival, illetve a súlyponttal és a területfelez®k metszés-

pontjával.

1

1. Bevezetés 1.2. Köszönetnyilvánítás

1.2. Köszönetnyilvánítás

Köszönet Lénárt István tanár úrnak, hogy egy új világot nyitott ki el®ttem, hogy

megmutatta, hogy máshogy is lehet tanítani, és nem utolsó sorban, hogy segített e

szakdolgozat létrejöttében.

2

2. fejezet

Gömbháromszögtan

2.1. Gömbi távolság

2.1.1. De�níció. Legyen adott a gömbfelület két pontja, P és Q. Ha ezek a gömb

középpontjával, O-val egy egyenesbe esnek, P -t és Q-t átellenes pontoknak nevezzük.

Ha P és Q nem átellenes pontok, rajtuk keresztül csak egy f®kör húzható, melyet az

OPQ sík a gömbfelületen kimetsz.

2.1.2. De�níció. A f®kör olyan gömbi kör, melynek sugara megegyezik a gömb

sugarával.

2.1. ábra. [1]

Két nem átellenes pont tehát egyértelm¶en meg-

határoz egy f®kört. E f®körnek a P és Q közötti kiseb-

bik ívét a P és Q pontok gömbi távolságának nevez-

zük. Két átellenes pont távolságán félf®körívet értünk.

A_

PQ ív hossza:_

PQ= rPOQ^ ahol r a gömb sugara.

Ha ugyanazon gömb különböz® pontjainak távol-

ságát hasonlítjuk össze, a gömb sugarát egységnyinek

vehetjük, így a gömbi távolságokat szögekkel fejezhet-

jük ki. A gömbi távolságmérés tekinthet® euklideszi

értelemben vett szögmérésnek. A szögeket fokokban

vagy radiánban is mérhetjük.

2.2. ábra. [1]

A gömbfelületen a f®körívek játsszák ugyanazt a

szerepet, mint síkban az egyenesek. Eltérés abban

van, hogy két f®kör egymást két (átellenes) pontban

metszi. Így ún. gömbkétszög jön létre. A gömbkétszö-

geket határoló fél-f®köröket, a gömbkétszög oldalai-

nak nevezzük. Ezeknek hossza 180◦-kal egyenl®.

3

2. Gömbháromszögtan 2.2. Gömbháromszög

2.3. ábra. [1]

Két egymást metsz® f®körív által bezárt szögön

a meszéspontjukban húzott érint®k hajlásszögét ért-

jük. Ez a szög megegyezik a f®köríveket kimetsz® két

sík által bezárt lapszöggel. Ennek a szögnek a meg-

határozása akkor válik egyértelm¶vé, ha pl. a f®kör-

ívekenek adunk meg haladási irányt, és a szögön egy

olyan elforgatás nagyságát értjük, mellyel az egyik

f®körív, haladási irányával együtt átmegy a másik

f®körívbe. (2.2)

A középpontban a f®kör síkjára mer®leges egye-

nes a gömbfelületen két átellenes pontot metsz ki. Ezt a két pontot a f®kör pólusainak

nevezzük, a f®kört pedig bármely pólusa polárisának. Az a pólus, mely a f®körön

adott bejárási értelemben haladva bal kéz irányában fekszik, a bal oldali pólus. Két

f®kör által bezárt szög egyenl® a megfelel® pólusok által bezárt szöggel, azaz a pó-

lusok gömbi távolságával. (2.3)

2.2. Gömbháromszög

2.2.1. De�níció. Egy háromél¶ testszöglet (triéder), ha csúcsa a gömb középpont-

ja, a gömbfelületb®l gömbháromszöget vág ki. A gömbháromszöget határoló ívek a

gömbháromszög oldalai, az ívek közös pontjai a gömbháromszög csúcsai, az oldalak

által bezárt bels® szögek a gömbháromszög szögei.

2.4. ábra. [1]

Most csak az ún. Euler-féle gömbháromszögekkel

foglalkozunk, amelyekben minden oldal és szög ki-

sebb, mint 180◦.

Az ABC gömbháromszög oldalainak meghossza-

bításai egymást a háromszögön kívül fekv® A′, B′ és

C ′ pontokban metszik. A gömbfelületet a három f®-

kör nyolc gömbháromszögre osztja. A csúcsok átelle-

nes pontjai által alkotott A′B′C ′ háromszög az ABC

háromszög átellenes háromszöge. Az A′BC, AB′C,

ABC ′ háromszögek, melyeknek egy-egy oldala közös

az ABC háromszöggel, az ABC háromszög mellékhá-

romszögei. Az átellenes háromszögek megfelel® oldalai és szögei egyenl®k, a mellék-

háromszög közös oldalai és ezen oldalakkal szemközt fekv® szögei egyenl®k, a többi

oldalak és szögek egymást 180◦-ra egészítik ki.

A gömbháromszög minden oldalához két pólus tartozik. Járjuk be az oldalakat

4

2. Gömbháromszögtan 2.3. Gömbi trigonometria

ABCA sorrendben, és vegyük a baloldai pólusokat, melyek egy gömbháromszöget, az

eredeti gömbháromszög polárháromszögét határozzák meg. Bármely gömbháromszög

a saját polárháromszögének a polárháromszöge. Igazolható, hogy a polárháromszö-

gek egyikének az oldalai a másiknak a megfelel® szögeit 180◦-ra egészítik ki.

Egy gömbháromszög két oldalának összege a harmadik oldalnál nagyobb.

A gömbi távolság a két pontot összeköt® rövidebbik f®körívnek felel meg.

A gömbháromszög oldalainak összege kisebb 360◦-nál.

Ha ezt a tételt a polárháromszög oldalaira alkalmazzuk, úgy kapjuk:

A gömbháromszög szögeinek összege nagyobb 180◦-nál (és kisebb 540◦-nál). Ugyanis,

ha a, b, c egy gömbháromszög oldalai és α, β, γ a szögei, akkor a polárgömbhá-

romszög oldalai 180◦ − α; 180◦ − β; 180◦ − γ; tehát ha a + b + c < 360◦, akkor

180◦ − α + 180◦ − β + 180◦ − γ < 360◦, vagy más alakban:

α + β + γ > 180◦ (2.1)

A gömbháromszögre, a síkháromszögekhez hasonlóan, sok tételt írhatnánk fel,

ezek közül csak néhánnyal foglalkozunk, amelyeket bizonyítás nélkül felhasználunk.

(Pl. itt is érvényes, hogy nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög fekszik és ennek

megfordítása.)

2.3. Gömbi trigonometria

2.3.1. A derékszög¶ gömbháromszög

2.5. ábra. [1]

Legyen az ABCgömbháromszögben γ = 90◦,

az a és b oldalak hegyesszögek. A gömbhárom-

szög triéderét egészítsük ki az OA′B′C ′ tetra-

éderré, egy olyan síkkal való metszéssel, mely

B′-ben mer®leges az OB′-re, így az OB′C ′ síkra

is. A′B′ és B′C ′ mer®leges OB′-re. A′C ′ mer®le-

ges OC ′-re, tehát az OB′A′; OC ′A′; OB′C ′ sík-

háromszögek derékszög¶ek (a derékszögek a kö-

zéps® bet¶k által jelzett csúcsoknál vannak). Az

OB′A′ háromszögben az A′B′ befogóval szem-

közti szög a gömbháromszög c oldala, így:

2.3.1. Tétel (Gömbháromszögtan Pitagorasz-tétele).

cos c =OB′

OA′=OB′

OC ′· OC

′

OA′= cos a · cos b (2.2)

5


Az OB′

OC′ és a OC′

OA′ arányokat az OB′C ′ és OC ′A′ derékszög¶ háromszögekb®l fe-

jeztük ki. A kapott cos c = cos a · cos b képlet a derékszög¶ gömbháromszög oldalai

között állapít meg összefüggést, ezért a gömbháromszögtan Pitagorasz-tételének ne-

vezik.

Egy hegyesszög szinusza kifejezhet® két oldal szinuszának arányával.

sin β =A′C ′

A′B′=A′C ′

OA′:A′B′

OA′=

sin b

sin c(2.3)

Hasonlóan

sinα =sin a

sin c(2.4)

A szög koszinuszára a következ®t kapjuk:

cos β =B′C ′

A′B′=B′C ′

OB′:A′B′

OB′=

tg a

tg c(2.5)

Hasonlóan:

cosα =tg b

tg c(2.6)

Ha az a és b oldal nem hegyesszög¶ek, akkor a mellékgömbháromszög oldalai már

igen. Erre alkalmazva a kapott összefüggéseket beláthatjuk, hogy tompaszög esetén

is érvényben maradnak.

2.3.2. A gömbháromszögtan szinusz-tétele

2.6. ábra. [1]

Legyen ABC egy derékszöget nem tartalma-

zó gömbháromszög, így OA nem mer®leges az

OBC síkra. Az OA egyenesen át az OBC sík-

ra csak egy mer®leges sík fektethet®. Ez a sík a

gömbfelületen kimetsz egy f®kört, mely átmegy

a-n, és messe a BC oldalt D-ben. Az AD göm-

bi távolság az ABC gömbháromszöget két de-

rékszög¶ gömbháromszögre bontja (az ADC^ és

ADB^ derékszög). Az ABD és ACD derékszö-

g¶ gömbháromszögben:

sin β =sin

_

AD

sin csin γ =

sin_

AD

sin b(2.7)

Az egyikb®l sinAD-t kifejezve és másikba helyettesítve sin β : sin γ = sin b : sin c

összefüggést kapjuk. Ugyanígy sinα : sin β = sin a sin b, vagy együtt a kett®:

6


2.3.2. Tétel (A gömbháromszögtan szinusz tétele).

sinα : sin β : sin γ = sin a : sin b : sin c. (2.8)

A gömbháromszög szögeinek szinuszai úgy aránylanak egymáshoz, mint a szemben

fekv® oldalak szinuszai. Ez a gömbháromszögtan szinusz tétele.

Ha adott két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög, úgy a szinusz-tétellel kiszá-

mítható a kisebbel szemközti szög.

A megoldás során a szög szinusza a szöget még nem határozza meg egyértelm¶en

hiszen sinα = sin (180◦ − α). Ezért azt a szöget kell választani, amelyik esetében

teljesült a �nagyobb oldallal szemben a nagyobb szög fekszik� tétel. Ha a kisebbikkel

szemközit szög adott, akkor a síkháromszögtanhoz hasonlóan 0, 1 vagy 2 megoldást

kaphatunk. Ugyanez a meggondolás érvényes, ha két szög és valamelyikkel szemben

fekv® oldal adott.

2.3.3. A gömbháromszögtan koszinusz-tétele

Az el®bb kapott ADB és ADC derékszög¶ gömbháromszögekre alkalmazhatjuk

a megismert Pitagorasz-tételt (2.3.1 Tétel)

cos c = cos_

BD cos_

AD (2.9)

cos b = cos_

CD cos_

AD (2.10)

Elosztva egymással a két egyenletet

cos c

cos b=

cos_

BD

cos_

CD=

cos (a−_

CD)

cos_

CD=

cos a− cos_

CD + sin a− sin_

CD

cos_

CD

cos c

cos b= cos a+ sin a · tg

_

CD (2.11)

Az ADC háromszögb®l cos γ = tg_CDtg b

amib®l tg_

CD= tg b · cos γ.

Így cos ccos b

= cos a+ sin a · tg b · cos γ ebb®l

2.3.3. Tétel (Gömbháromszögtan oldalakra vonatkozó koszinusz-tétele).

cos c = cos a · cos b+ sin a · sin b · cos γ (2.12)

Hasonlóan

cos a = cos b · cos c+ sin b · sin c · cosα (2.13)

cos b = cos a · cos c+ sin a · sin c · cos β (2.14)

7


Ez a gömbháromszögtan oldalakra vonatkozó koszinusz-tétele.

Ennek a tételnek a segítségével három adott oldalból meghatározhatjuk a szö-

geket, továbbá két oldalból és a közbezárt szögb®l meghatározhatjuk a harmadik

oldalt.

Ha a polárgömbháromszögre alkalmazzuk a tételt, úgy a szögekre vonatkozó

koszinusz-tételt kapjuk.

Mint ahogy már láttuk, ha a, b, és c egy gömbháromszög oldalai, és α, β, γ a

szögei, akkor a polárháromszög oldalai 180−α, 180−β, 180−γ, hasonlóan a szögei

pedig 180− a, 180− b és 180− c. Tehát így szól a tétel:

2.3.4. Tétel (Gömbháromszögtan szögekre vonatkozó koszinusz-tétele).

cos γ = − cosα · cos β + sinα · sin β · cos c (2.15)

Ha behelyettesítsük a 2.3.3 tételbe a polárháromszög oldalait és szögeit, majd a

koszinusz azonosságait alkalmazva következik az állítás.

8

2. Gömbháromszögtan 2.4. Gömbháromszögtan mint nem-euklideszi geometria

2.4. Gömbháromszögtan mint nem-euklideszi geomet-

ria

Az el®bbiekben bevezetett fogalmak (mint pl.: gömbi egyenes, egyenesek haj-

lásszöge, gömbi távolság) bevezethet®k az euklideszi geometria nélkül is csak gömbi

eszközök, alapfogalmak használatával. Legyen adott a gömbfelület, valamint az alap-

halmaz elemei: pontok és egyenesek. Itt egyenes alatt a gömb egy f®körét értjük.

Vegyünk egy f®kört és osszuk fel 360 részre, egy ilyen rész a gömbi távolságegység.

Bármely két egyenes egy átellenes pontpárban metszi egymást, valamint bármely

átellenes pontpáron át végtelen sok egyenes fektethet®. Két átellenes pont 180 egy-

ség távolságra van egymástól. Két egyenes meghatároz egy gömbkétszöget, vagyis a

kétszögek csúcsai mindig átellenes pontok. (Tekintsünk el attól az elfajuló esett®l,

amikor két nem átellenes pontot összeköt® szakaszokat veszünk, mert ugyan az is

egy kétszög, de mindkét oldala ugyanazon egyenesben van.) A gömbkétszögek segít-

ségével tudjuk értelmezni az egyenesek hajlásszögét.

Legyen AB egy gömbkétszög, vegyünk fel a csúcsaitól 90 egységnyire az F1 és az

F2 pontokat, ezek felez®pontjai a kétszögnek, hiszen minden kétszög oldalhossza 180

egység. Ez a két pont meghatároz egy egyenest, ezen az egyesen tekintsük az F1 és az

F2 pontok távolságát, ez lesz a gömbkétszög szárainak, illetve az azt alkotó egyene-

seknek a hajlásszöge. Ilyen módon távolsággal tudunk szögeket de�niálni és szögekkel

távolságokat. Ez az egyenes, amit az el®bb de�niáltunk, a kétszög oldalainak fele-

z®mer®legese.

2.7. ábra

Az A csúcstól mind a két felez®pont 90

egységnyire van, vagyis az egyenes is, amit

rajtuk keresztül fektettünk. Az AF1F2^-et,

mint ahogy már láttuk, a szárain 90 egység-

re felvett pontokon keresztül fektetett sza-

kasz hosszával tudjuk megadni. De ez a sza-

kasz az A-ból indul, és a másik felez®pont

rajta van az F1F2 egyenesen, vagyis A-tól 90

egységnyire van tehát AF1F2^ = 90◦ azaz

90 egység. (Az így létrejöv® háromszöget ok-

tánsnak nevezzük, melynek minden oldala és

szöge 90◦.)

Minden átellenes pontpárhoz hozzá tu-

dunk rendelni kölcsönösen egyértelm¶en egy

egyenest, mégpedig úgy, hogy a két pontot

9

2. Gömbháromszögtan 2.4. Gömbháromszögtan mint nem-euklideszi geometria

összeköt® egyenesek valamelyikének vesszük a pontok közötti távolságának a felez®

mer®legesét. Ez az egyenes az összes, a pontpáron áthaladó egyenesre mer®leges,

nevezzük ezt a pontpár polárisának és az egyeneshez rendelhet® pontpárt pedig az

egyenes pólusának.

2.8. ábra

Bármely három nem kollineáris pont egy

gömbháromszöget határoz meg. Ezek közül

azokkal foglalkozunk, melyeknek oldalai nem

nagyobbak 180◦-nál. Ezeket Euler-féle há-

romszögeknek nevezzük.

10

3. fejezet

A súlypont

Ebben a fejezetben a gömbháromszögek súlypontját fogjuk vizsgálni. Háromféle

bizonyítást adunk arra, hogy a gömbön és a síkon egy háromszög súlyvonalai egy

pontpáron illetve egy ponton mennek át, és ez a pont a súlypont. Az el®bbiekben

bevezetett fogalmakat, tételeket is használva fogom bizonyítani a tételt.

A 2.4 fejezetben bevezetett geometriai felépítés nem az euklideszi tér segítségével

történt. Ezzel arra akartam rámutatni, hogy a gömbön is lehet geometriát csinálni

új fogalmakkal, az euklideszi geometria segítsége nélkül. Viszont még nem született

bizonyítás a súlypontra � tudomásom szerint, � mely csak ezen gömbi eszközöket

használná, ezért a tételt az euklideszi geometria, a projektív geometria és gömbi tri-

gonometria eszközeivel fogom bebizonyítani. Minden alkalommal meg fogjuk nézni

a bizonyítást a síkon is, analóg módon, ahogy a gömbön is.

Az egyszer¶ség kedvéért egység sugarú gömbbel foglalkozom ebben a részben is.

Persze az összes állítás igaz lenne nem egység sugarú gömbre, csak a számítások

egyszer¶sítése érdekében tegyük fel ezt. Nem fogok minden egyes tételt, állítást be-

bizonyítani, de ami szorosan kapcsolódik a témához, azokat az állításokat, tételeket

bizonyítom.

Mindenekel®tt de�niálok két fogalmat, amit minden részben használok:

3.0.1. De�níció (Súlyvonal). Egy tetsz®leges háromszög egyik oldalának felez®pont-

ját a szemközti csúccsal összeköt® szakaszt nevezzük súlyvonalnak.

Meg kell jegyezni, hogy a gömbön a súlyvonalak két pontban metszik egymást,

tehát szükséges még egy de�nició:

3.0.2. De�níció (Súlypont). Az Euler-féle gömbháromszögek súlypontjának, azt a

pontot nevezzük, melyet a súlyvonalak a háromszög belsejébe es® szakaszai metszenek

ki.

11

3. A súlypont 3.1. A gömb mint az euklideszi tér része

3.1. A gömb mint az euklideszi tér része

Ennek a résznek a síkgeometriai fogalmaihoz Hajós György könyvét [4] használ-

tam. Tekintsünk most a gömbre, mint az euklideszi tér részére, majd az euklideszi

geometria elemeivel vezessük vissza problémát a gömbr®l a síkra.

3.1.1. A centrális projekció

Legyen ABC egy általános gömbháromszög. A gömb O középpontjával az OABC

egy triéder. Az ABC pontok által kifeszített sík, és az OABC triéder metszete egy

háromszög. Ennek a háromszögnek a segítségével bizonyítjuk a súlypont-tételt a

gömbön. De mindezek el®tt de�niálunk egy projekciót:

3.1.1. De�níció (Centrális projekció). Legyen adott egy nyílt félgömb G, vagyis egy

olyan félgömb, amir®l elhagytuk az egyetlen olyan f®körét, amit teljesen tartalmazna

(az egyenlít®jét), valamint a gömb középpontja C, a vetítés középpontja, és egy S sík,

ami párhuzamos, és nem azonos azzal a síkkal, ami áthalad a gömb középpontján és

tartalmazza azt a f®kört, amit elhagytunk. Legyen P ∈ G egy pont a nyílt félgömb-

felületen, P képét S-en az e �vetít®-félegyenes� határozza meg. Az e félegyenes a C-b®l

indul, és keresztülmegy P -n. A P ′ pont az e∩S lesz. Ez egy kölcsönösen egyértelm¶

megfeleltetés, mert visszafelé S-r®l tudunk vetíteni G-re hasonló módon.

Ilyen módon a gömbi egyenesek az S síkon is egyenesek leszek, és ha két egyenes

metszi egymást a gömbön, akkor metszik egymást a síkon is, és fordítva. Tehát a

centrális projekció illeszkedés tartó.

Azzal, hogy kivettük az egyenlít®t, azt értük el, hogy nem kell b®víteni az euklideszi

síkot ideális pontokkal és ideális egyenessel, tehát az euklideszi térben maradunk.

3.1.2. A síkháromszög súlypontja

Az ebben a részben tárgyalandó bizonyításban felhasználjuk a síkháromszögek

súlypont-tételét, ezért most bebizonyítjuk ezt a tételt:

3.1.2. Tétel (Súlypont-tétel). A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egy-

mást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A háromszög bármely súlyvonalára igaz,

hogy a súlypont a súlyvonal oldalfelez® ponthoz közelebbi harmadoló pontja.

Bizonyítás: [4]

El®ször megmutatjuk, hogy AF1 és BF2 súlyvonalak harmadolják egymást. Jelölje

ABC háromszög sa és sb súlyvonalának metszéspontját S. Legyen továbbá az AS

szakasz felez®pontja P , a BS szakasz felez®pontja Q. Az ABC háromszögben F1F2

középvonal, ezért F1F2 szakasz hossza fele AB szakasz hosszának és párhuzamos vele.

12


3.1. ábra

Az ABS háromszögben PQ közép-

vonal, ezért PQ szakasz hossza fe-

le AB szakasz hosszának és pár-

huzamos vele. A fenti két észre-

vételt összevetve azt kapjuk, hogy

PQF1F2 négyszög paralelogram-

ma, mivel PQ és F1F2 szakaszok

egyenl® hosszúak és párhuzamo-

sak. A paralelogramma átlói fele-

zik egymást, így PS = SF1 és

QS = SF2. Mivel P és Q az AS illetve BS szakaszok felez®pontjai, ezért AS = 2SF1

és BS = 2SF2. Ha bizonyításunkat az sa, sc súlyvonalpárra is elvégeznénk, akkor

azoknak is sa harmadolópontján (S ponton) kellene áthaladniuk. Ezért mindhárom

súlyvonal ugyanazon az S ponton megy keresztül.

�

3.1.3. A gömbháromszög súlyvonala

3.1.3. Állítás. Az ABC síkháromszög súlyvonalának centrális vetülete a gömbhá-

romszög súlyvonala.

3.2. ábra

3.3. ábra

Bizonyítás:

Ahhoz, hogy belássuk a tételt, elég azt meg-

mutatnunk, hogy a gömbháromszögben a BC

oldalon az E pont oldalfelez® valamint, hogy

O, D, E, A egy síkban van. Kezdjük a fele-

z®ponttal:

Az OBC háromszög egyenl® szárú háromszög.

Ebben a háromszögben az OD szakasz súlyvo-

nal, tehát a D pont felezi a CB szakaszt. De

mivel ez egy egyenl® szárú háromszög, ezért

a szögfelez®-tétel alapján (CD : DB = 1 : 1)

OD szögfelez® is. A körcikk ívhossza arányos

a középponti szöggel, tehát egyenl® szögek-

hez egyenl® ívhosszak tartoznak. Tehát ha OD

egyenessel metszve a CB körívet kapjuk az

E pontot, ahol ahogy már megmutattuk, OD

szögfelez®, akkor az E pont az ív felez®pontja

13


lesz, tehát a gömbháromszög BC oldalának is felez®pontja.

Ezek után nyilvánvaló, hogy O, D, E, A pontok egy síkban vannak, mert egy egye-

nesen és egy rajta kívül fekv® ponton keresztül pontosan egy síkot fektethetünk.

Ez a sík tartalmazza a DA szakaszt, is ami az ABC síkháromszög súlyvonala. A

de�niált centrális vetítés alapján az AD síkbeli egyenes szakasz az AE gömbi sza-

kaszba képz®dik, ami valóban egy gömbi egyenes lesz, hiszen olyan síkkal metszettük

ki a gömbb®l ami átmegy a középpontján, tehát a metszet: f®kör. Tehát AE gömbi

szakasz az A csúcshoz tartozó súlyvonal.

�

3.1.4. A gömbháromszög súlypontja

3.1.4. Tétel (Gömbháromszög súlypontja). A gömbháromszög súlyvonalai egy pont-

ban metszik egymást, a súlypontban.

Bizonyítás:

Láttuk, hogy a gömbháromszög súlyvonalát le tudjuk vetíteni arra, a síkra amit

a gömbháromszög három csúcsa feszít ki, így egy síkháromszöget kapunk, aminek

súlyvonalai a gömbi súlyvonalak síkvetületei. Láttuk a 3.1.2-es tételben, hogy a

síkháromszögek súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ennek a pontnak a ké-

pe a gömbháromszög súlypontja, mert a centrális projekció illeszkedéstartó. Ha a

súlyvonalak a kijelölt síkban metszették egymást, akkor a gömbi súlyvonalak egy

pontpárban metszik egymást.

�

14

3. A súlypont 3.2. Papposz és Desargues tételei a gömbi geometriában

3.2. Papposz és Desargues tételei a gömbi geometri-

ában

3.2.1. Papposz és Desargues tételei

3.4. ábra

3.2.1. Tétel (Papposz-tétel). Vegyünk fel két egyenest a gömbön. Mind a két egye-

nesen vegyünk fel három pontot: A1, A2, A3, B1, B2, B3. Ekkor A1B2 és A2B1

metszete, A1B3 és A3B1 metszete és A2B3 és A3B2 metszete egy egyenesen vannak.

3.2.2. Tétel (Desargues-tétel). A projektív síkon két háromszög akkor és csak akkor

perspektív pontra nézve, ha egyenesre nézve is az.

Bizonyításunkhoz Desargues tételére lesz szükségünk, ezért axiómaként feltehet-

jük Desargues tételének érvényességét a gömbi geometriában. Hessenberg bizonyítot-

ta1, hogy Papposz tételének érvényességéb®l Desargues tétele már következik, ezért

axiómaként Papposz tételét is elfogadhatjuk axiómaként a további bizonyításokhoz.

3.2.2. Mellékháromszögek oldalfelez® pontjai

A következ® tételt a Nem-euklideszi geometriák tanítása az iskolában [2] cím¶

jegyzeteim alapján bizonyítom.

1Hessenberg, G.: Beweis des Desargues'sche Satzes aus dem Pascalschen. Mathematische An-

nalen, 6: 161-172. (1905)

15


3.5. ábra

3.2.3. Állítás (A mellékháromszög oldalfelez® pontja [2]). Legyen ABC általános

gömbháromszög. Nevezzük F1-nak az A-val szemközit oldalfelez®pontot, F2-nek a B-

vel és F3-nek a C-vel szemközti felez®pontokat. Tekintsük az ABC ′ mellékháromszö-

get. Az F2F3 egynes (középvonal egyenese) metszete az ABC ′ háromszöggel, a BC ′

oldal F felez®pontja.

Ilyen módon lehet képezni a többi mellékháromszög oldalfelez® pontjait is, a

megfelel® felez®pontokkal.

A következ® lemma segítségével be tudjuk látni, hogy a középvonal meghosszabí-

tása által kimetszett pont a mellékháromszögön felez®pont, és ha felvesszük a mel-

lékháromszög felez®pontját, akkor egy egyenesen lesz az eredeti háromszög megfelel®

felez®pontjaival.

3.2.4. Lemma. Az ABC gömbháromszög F2F3 középvonala, és a BC oldal fele-

z®mer®legese 90◦-os szöget zár be egymással.

Bizonyítás:

Tekintsünk a gömbháromszögre, mint a gömbfelület olyan tartományára, amelyet

egy, a gömbközépponttal azonos csúcspontú triéder metsz ki a felületb®l. Az OMF1

sík mer®leges az OBC síkra, mert F1-ben mer®legest állítottunk BC gömbi egye-

nesre. Az oldalfelez® mer®leges is egy gömbi egyenes, így az a sík amely kivágja a

gömb felületéb®l, átmegy a gömb középpontján, és mer®leges lesz az OBC síkra.

De azt is tudjuk, hogy az ABC síkháromszög középvonala mer®leges a BC oldal

felez®mer®legesére, hiszen BC párhuzamos F2F3-mal.

16


3.6. ábra

Mivel az OMF1 mer®leges a BC síkegye-

nesre, így az ABC sík összes BC-vel pár-

huzamos egyenesére is mer®leges, közte az

F2F3 síkegyenesre is. Hasonlóan, mivel az

OMF1 síkra mer®leges az F2F3 síkegyenes,

így az OF2F3 sík is mer®leges rá. Ez a sík,

az OF2F3 sík, metszi ki a gömbb®l azt a

f®kört amely a gömbi háromszög középvo-

nala, de mivel ez a sík mer®leges az OMF1

síkra, így a benne lev® kör is mer®leges er-

re a síkra, tehát az O középpontú F1-en

és M -en átmen® f®kör is mer®leges arra a

körre. Tehát a gömbháromszög középvona-

la valóban mer®leges a vele szemközti oldal

oldalfelez® mer®legesére.�

És akkor most lássuk a 3.2.3 állítás bizonyítását:

Bizonyítás:[2]

A 3.5-ös ábra alapján. Tekintsük a CC ′ gömbkétszöget, melyben A és B pontok

meghatározzák a háromszöget és a mellékháromszöget. Vegyük az F2F3 egyenes

metszéspontját a BC ′ egyenessel, legyen ez a pont F . Láttuk, hogy az F2F3 egye-

nes mer®leges a BC oldal felez®mer®legesére. Tehát F1MF háromszög egy kétszer

derékszög¶ háromszög, melynek az F1MF szöge és az MF1F szöge 90◦-os. Minden

kétszer derékszög¶ háromszög olyan, hogy a háromszög azon csúcsa, amely nem a

90◦-os szögeknél van, pólusa, annak az oldalnak amelyen a 90◦-os szögek fekszenek.

Másképpen, a póluson átmen® összes egyenes mer®legesen metszi a poláris egyenest.

Mert ha veszünk egy tetsz®leges pontot a polárison, akkor a pólus, a gömb közép-

pontja, és az el®bb vett pont által kifeszített sík mer®leges lesz a polárist tartalmazó

síkra, tehát a kapott sík által kimetszett f®kör is mer®leges lesz a poláris f®körre.

Ezek alapján az F pólusa az F1M egyenesnek. Így ha_

|CF1|=_

|F1B|= x ⇒_

|BF |= 90− x (3.1)

következik. De mivel a_

|CC ′|= 180, ezért

_

|FC ′|= 180−_

|CF1| −_

|F1B| −_

|BF | (3.2)

ami pedig az el®bbiek alapján:_

|FC ′|= 180− (90− x)− x− x ⇒_

|FC ′|= 90− x (3.3)

17


Tehát F valóban felezi a BC ′ oldalt az ABC ′ mellékháromszögben.

Ugyanígy gondolkodunk visszafelé, amikor abból indulunk ki, hogy tekintjük a BC ′

oldal F felez®pontját és belátjuk róla, hogy egy egyenesen van az F2 és F3 pontokkal.

Ha vesszük a BC ′ oldal felez®pontját, akkor az az el®bbiekben látottak alapján 90

egység távolságra van az F1 ponttól. Az F1-ben állított mer®leges egyenesnek így

az F pont pólusa, és az összes olyan egyenes ezen a ponton halad keresztül, ami

mer®leges rá, mármint az F1-ben állított mer®leges egyenesre. De mivel az F2F3

mer®legesen metszi F1M -et így neki is az F ponton kell áthaladnia.

�

3.2.3. Súlypont-tétel bizonyítása Desargues tételével

Nézzük el®ször a bizonyítást a gömbön, majd látni fogjuk, hogy hasonló mód-

szerrel be lehet bizonyítani a tételt a projektív síkon is. Tehát lássuk a gömbi esetet:

3.2.5. Tétel (Gömbi súlypont-tétel). A gömbháromszög súlyvonalai egy pontpárban

metszik egymást. A két pont közül az egyik a háromszög belsejébe esik. Ez a pont a

gömbháromszög súlypontja.

Bizonyítás:[2]

A 3.7-os ábra alapján. Legyen ABC egy tetsz®leges gömbháromszög. Vegyük a kö-

zépvonalak metszéspontjait, mégpedig a következ®ket: F1F2 ∩ BA′ := F ′, F1F3 ∩CA′ := F ′′ és végül F2F3 ∩ CB′ := F ′′′. Az el®z® részben bizonyított 3.2.3 állítás

alapján, tudjuk, hogy F ′, F ′′ és F ′′′ pontok rendre felezik a BA′, CA′ és a CB′

oldalakat.

Most tekintsük a BCA′ háromszöget. Ennek a háromszögnek az F ′ és az F ′′ fele-

z®pontjai, valamint a CA′B′ háromszög, mellékháromszöge. Tehát, a 3.2.3 állítás

alapján az F ′F ′′ egyenes a CA′B′ háromszög CB′ oldalfelez® pontján megy át. Te-

hát F ′, F ′′ és F ′′′ pontok kollineáris pontok, és az egyenes, ami tartalmazza ®ket,

legyen s.

Desargues-tétel alapján, ha két háromszög egyenesre nézre perspektív, akkor pontra

nézve is perspektív. Az ABC háromszög és az F1F2F3 háromszög pedig perspektív

az s egyenesre, mert ahogy már említettük: F1F2 ∩ BA′ := F ′, F1F3 ∩ CA′ := F ′′

és végül F2F3 ∩ CB′ := F ′′′. Tehát a tétel értelmében pontra is perspektívek. Azaz

az AF1, BF2 és a CF3 egyenesek egy ponton mennek át, amely legyen S. Az S pont

valóban a súlypont, mert F1, F2 és F3 pontok felez®pontok, tehát a AF1, BF2 és a

CF3 szakaszok súlyvonalak.

�

18


3.7. ábra


mást. Ez a pont a háromszög súlypontja.

Bizonyítás:

Most is Desargues-tételét fogjuk használni, hogy lássuk, hogy a projektív síkon az

el®z® bizonyítással analóg módon be lehet látni a tételt. Legyen ABC háromszög

a projektív síkon. Vegyük a háromszög középvonalait, ezek párhuzamosak a meg-

felel® oldalakkal. A párhuzamos egyenesek ideális pontokban metszik egymást. Az

így kapott három ideális pont pedig az ideális egyenesen fekszik. Tehát az ABC és

az F1F2F3 háromszögek egyenesre nézve perspektívek. Desargues-tétel alapján pe-

dig, ha egyenesre nézve perspektívek, akkor pontra nézve is perspektívek. Tehát a

súlyvonalak egy ponton mennek át: a súlyponton.

�

19

3. A súlypont 3.3. A súlypont-tétel bizonyítása gömbi trigonometriával

3.3. A súlypont-tétel bizonyítása gömbi trigonomet-

riával

Láttuk az els® fejezetben, hogy gömbháromszögek oldalaira és szögeire be tudunk

vezetni szögfüggvényeket. Most az ott látottak alapján fogjuk a megfelel® szögfügg-

vényeket használni a súlypont-tétel bizonyításához. Ebben a részben Ceva-tételelével

fogjuk bizonyítani. A Ceva-tételt Glen Van Brummelen könyvében szerepl® gömbi

Menelaosz-tétellel bizonyítom [5]. Lássuk, hogyan vezeti le Brummelen Menelaosz

tételét a gömbön.

3.3.1. Menelaosz tétele a gömbön

3.3.1. Tétel (Síkbeli Menelaosz-tétel (3.8a)).

AK

KB=AT

TD· DLLB

(3.4)

Másképpen:

(ABK) = (ADT )(DBL)

Ebb®l pedig már következik a közismertebb alak:

(ADT )(DBL)(BAK) = −1 ⇐⇒ AT

TD· DLLB· BKAK

= −1

Ahol (ABK) jelölés két pont osztóviszonyát jelenti: (ABK) = AKKB

.

(a) Síkbeli Menelaosz-tétel [5] (b) Gömbi Menelaosz-tétel[5]

3.8. ábra

20


Bizonyítás:

Húzzunk párhuzamost D-b®l a TK szakasszal. Így XAD∆ ∼ KAT∆ és DBX∆ ∼LBK∆. Ebb®l pedig következik az állítás:

AK

KB=AK

XK· XKKB

=AT

TD· DLLB

.

�

Az ábrát, amit Menelaosz használt, hogy bizonyítsa a tételét, kicsit nehéz értel-

mezni, mivel egy gömbi képet rajzolunk le a síkba. H a gömb középpontja. A görbék

a f®körívek, amelyek a gömb felszínén futnak, és a szaggatott vonalak a síkbeli Me-

nelaosz-tétel alakzatát adják, ahonnan indultunk. A K pont a gömb belsejében van,

a T pedig azon kívül. Most észrevehetjük, hogy a három arány a Menelaosz síkbeli

tételben, a pontok melyek meghatározzák az arányt, egy egyenesre esnek. Szeretnénk

ezt a három arányt �kivetíteni� a megfelel® ívek arányára. Tehát átalakítani AKB-t_

AZB-re, ADT -t_

ADG-re és DLB-t_

DEB-re. Ezekhez a következ® lemmákra lesz

szükség:

3.9. ábra. Lemma (A)[5]

3.10. ábra. Lemma (B)[5]

3.3.2. Lemma (A).

AB

BC=

sinα

sin β.

Bizonyítás:

Vetítsük mer®legesen A-t és C-t a függ®le-

ges átmér®re. A gömb sugarát 1-nek véve, a

két pontozott szakasz hossza sinα és sin β.

A létrejött két háromszög hasonló, tehát a

megfelel® oldalak aránya megegyezik.

�

3.3.3. Lemma (B).

AC

AB=

sinα

sin β.

Bizonyítás:

Vetítsük mer®legesen B-t és C-t a függ®le-

ges átmér®re. Az állítás azonnal következik

abból, hogy a két létrejött háromszög ha-

sonló.

�

21


3.3.4. Tétel (Gömbi Menelaosz-tétel).

sin_

AZ

sin_

BZ=

sin_

AG

sin_

GD· sin

_

DE

sin_

EB.

3.11. ábra. Gömbi Menelaosz-tétel[5]

Bizonyítás:

A 3.8b ábra alapján, a 3.3.2 lemma és a

3.3.3 lemma segítségével be tudjuk helyet-

tesíteni a gömbháromszög megfelel® olda-

lainak szögfüggvényeit. Ezt a 2.1 részben

leírtak alapján tehetjük meg. Így tulajdon-

képpen, megint a síkháromszögekre vissza-

vezetve bizonyítottuk a tételt.�

3.3.2. Ceva tétele

Ceva tételére több bizonyítás létezik. Hajós Bevezetés a geometriába könyve [4]

például baricentrikus koordinátákra vonatkozó tételek segítségével bizonyítja a tételt.

De van olyan bizonyítás is, mely a Menelaosz-tételt használja fel a bizonyításhoz. Ez

azért hasznos a bizonyítás szempontjából, mert az el®bbiekben láttuk, hogy Men-

elaosz tételét lehet a gömbön is értelmezni. Miel®tt a gömbi bizonyításra térnénk,

lássuk el®ször, hogy hogyan is szól a tétel és bizonyítása a síkon.

3.3.5. Tétel (Ceva tétele). Ha az ABC háromszög BC, CA, AB oldalegyenesein

a csúcsoktól különböz® A1, B1 és C1 pontok úgy helyezkednek el, hogy

AC1

C1B· BA1

A1C· CB1

B1A= 1, (3.5)

akkor az AA1, BB1 és a CC1 egyenesek egy pontban metszik egymást.

3.12. ábra. Ceva tétele

Bizonyítás:[6]

Használjuk Menelaosz tételét az BAB1 háromszög-

re:AC1

C1B· BOOB1

· B1C

CA= −1. (3.6)

Majd használjuk a BCB1 háromszögre is.

BA1

A1C· CAAB1

· B1O

OB= −1. (3.7)

Majd a 3.6 és a 3.7 egyenleteket összeszorozva:

BA1

A1C· CAAB1

·B1O

OB· AC1

C1B· BOOB1

·B1C

CA= (−1) · (−1).

(3.8)

22


Egyszer¶sítés után kapjuk az állítást:

AC1

C1B· BA1

A1C· CB1

B1A= 1. (3.9)

�

3.3.6. Tétel (Gömbi Ceva-tétel). Ha az ABC gömbháromszög BC, CA, AB oldal-

egyenesein a csúcsoktól különböz® A1, B1 és C1 pontok úgy helyezkednek el, hogy

sin_

AC1

sin_

C1B· sin

_

BA1

sin_

A1C· sin

_

CB1

sin_

B1A= 1. (3.10)

akkor az AA1, BB1 és a CC1 gömbi egyenesek egy pontban metszik egymást.

3.13. ábra. Gömbi Ceva-tétel

Bizonyítás:

Használjuk a gömbi Menelaosz-tételt az

BAB1 háromszögre:

sin_

AC1

sin_

C1B· sin

_

BO

sin_

OB1

· sin_

B1C

sin_

CA= −1. (3.11)

Most használjuk a BCB1 háromszögre is.

sin_

BA1

sin_

A1C· sin

_

CA

sin_

AB1

· sin_

B1O

sin_

OB= −1. (3.12)

Majd a 3.11 és a 3.12 egyenleteket összeszorozva:

sin_

AC1

sin_

C1B· sin

_

BO

sin_

OB1

· sin_

B1C

sin_

CA· sin

_

BA1

sin_

A1C· sin

_

CA

sin_

AB1

· sin_

B1O

sin_

OB= (−1) · (−1). (3.13)

Egyszer¶sítés után kapjuk az állítást:

sin_

AC1

sin_

C1B· sin

_

BA1

sin_

A1C· sin

_

CB1

sin_

B1A= 1. (3.14)

�

3.3.3. Súlypont-tétel bizonyítása Ceva tételével

Tehát, ha teljesül ez az egyenl®ség tetsz®leges gömbi háromszög osztópontjaira,

akkor az ®ket a szemközti csúcsokkal összeköt® egyenesek egy pontpáron haladnak

át. Ezt fogjuk kihasználni a súlypont létezésének bizonyítására.

3.3.7. Tétel (Gömbi súlypont-tétel). A gömbháromszög súlyvonalai egy pontban

metszik egymást. Ez a pont a gömbháromszög súlypontja.

23


3.14. ábra. Gömbi súlypont-tétel

Bizonyítás:

Az állítás azonnal következik a 3.3.6 té-

telb®l, mert a hányadosok szögfüggvénye-

inek argumentumában lév® gömbi szaka-

szok hosszai azonosak, hiszen a súlyvonal

az oldalfelez®pontot és a szemközti csúcsot

összeköt® szakasz. Ezek alapján:

sin_

AC1

sin_

C1B· sin

_

BA1

sin_

A1C· sin

_

CB1

sin_

B1A= 1. (3.15)

sin_x

sin_x· sin

_y

sin_y· sin

_z

sin_z

= 1 · 1 · 1 = 1. (3.16)

�

Hasonlóképpen lehet bebizonyítani a tételt a síkon is.


mást. Ez a pont a háromszög súlypontja.

Bizonyítás:

Írjuk fel Ceva tételét a háromszög súlyvonalaira. Mivel a súlyvonalak oldalfelez®k,

ezért a következ® formát ölti az egyenlet:

AF3

F3B· BF1

F1C· CF2

F2A= 1, (3.17)

de mivel oldalfelez®kr®l van szó ezért:

x

x· yy· zz

= 1 · 1 · 1 = 1. (3.18)

�

24

4. fejezet

A területfelez® vonal

Az el®bbiekben láthattuk, hogy a súlyvonalak a gömbön egy pontpárban met-

szik egymást. Ebb®l a szempontból a gömbi és síkbeli súlyvonalak hasonló módon

viselkednek. Nézzünk most egy a súlyvonalakkal kapcsolatos tulajdonságot, mely

különbség lesz a gömbháromszögek és síkháromszögek között.

Ebben a fejezetben megvizsgáljuk a súlyvonalak egy másik tulajdonságát, a te-

rületfelezést. A síkon egy háromszög területe egyenes arányban van oldalhosszával:

T4 =a ·ma

2,

ahol a az egyik oldala ésma az a oldalhoz tartozó magasság. Tehát amikor az a oldalt

felezzük a súlyvonallal akkor az eredeti háromszöget a súlyvonal két egyenl® terület¶

háromszögre vágja. Vagyis a síkháromszögek körében a súlyvonal területfelez® vonal

is egyúttal.

Ebben a fejezetben Lénárt István: Axiomatizálás a gömbön cím¶ el®adás jegyze-

teimet használtam irodalomként [3].

4.1. Gömbháromszögek területfelez®je

4.1. ábra

Nézzük meg el®ször, hogy van-e

különbség a gömbháromszögek kö-

rében a súlyvonal és a területfelez®

vonal között?

Csináljunk egy kétszögb®l egy

háromszöget. Vágjuk le a csúcsát

egy egyenessel, mely nem messze

halad az egyik csúcstól, és mer®-

leges a kétszög szögfelez®jére. Így

25

4. A területfelez® vonal 4.2. A területfelez®k tulajdonságai

kaptunk egy egyenl®szárú háromszöget, mely szinte akkora mint az eredeti kétszög.

Vegyük fel a felez®pontokat, majd kössük össze a csúcsokkal. Ez egy egyenl® szárú

háromszög, így az egyik súlyvonala a gömbháromszögek körében is területfelez® lesz,

de a másik kett®n jól látszik, hogy nem területfelez®k. Még ebben a speciális esetben

is jól látszik, hogy különböznek a tárgyalt vonalak, tehát láthatjuk, hogy van értel-

me különbséget tennünk a gömbháromszögek körében a súlyvonal és a területfelez®

vonal között.

4.2. A területfelez®k tulajdonságai

Meg kell említeni, hogy a gömbháromszögek körében kétféle területfelez®r®l be-

szélhetünk. Az egyik a háromszög csúcsain áthaladó területfelez®k, a másik pedig

az oldal felez®pontján áthaladó területfelez®. Ez a kett® ugyanis azért nem eshet

egy egyenesbe, mert, ahogy az el®bb láttuk, a súlyvonal nem azonos a területfelez®

vonallal (speciális esetekt®l eltekintve). Az alábbi képen a fekete egyenes a három-

szög oldalfelez®-pontján áthaladó területfelez®, a piros egyenes pedig a háromszög

csúcsán áthaladó területfelez®.

A következ®kben pedig azt fogjuk látni, hogy a csúcsokon áthaladó területfelez®k

egy pontpáron haladnak át, a területfelez®-ponton.

4.2. ábra

4.2.1. A területfelez®k metszéspontja

Hasonlóan, mint a síkon, a gömbön is értelmezhet® az a kérdés, hogy mi lesz azon

pontok mértani helye, amivel egy adott gömbháromszög rözített alapját összekötve,

egy az eredetivel azonos terület¶ háromszöget kapunk. A síkon ezen pontok mértani

26


hely egy az alappal párhuzamos egyenes volt ami áthaladt a harmadik csúcson. A

gömbön ez egy kör lesz, mégpedig az úgynevezett Lexell kör.

4.2.1. Lemma (Lexell-lemma). Legyen adott egy ABC gömbháromszög. Azon P

pontok mértani helye, melyre ABC és ABP gömbháromszögek területének mér®szá-

ma azonos, két körnek, a Lexell-köröknek egy-egy köríve. Ezt a két kört pedig az

alábbi módon kapjuk meg: A′B′C pontokon és az A′B′C ′′ pontokon áthaladó körök,

ahol A′ és B′ az A és B átellenes pontjai, C ′′ pedig C tükörképe az AB egyenesre.

Ezeknek a köröknek pedig csak a C és C ′′ cúcsokat tartalmazó A′B′ nyílt körív lesz

a megoldása, hogy Euler-féle háromszögek körében maradjunk.

4.3. ábra

A másik lemma, amit használni

fogunk, a hatványpont-tétel.

4.2.2. De�níció. A hatványvonal

bármely pontjából a két körhöz húzott

érint®darabok hossza azonos.

4.2.3. Lemma (Hatványpont lem-

ma). Három általános helyzet¶ kör

hatványvonalai egy pontban metszik

egymást.

Tekintsük ennek a tételnek azt

a speciális esetét, hogy három, egy-

mást metsz® kör hatványvonalai egy

pontban metszik egymást. Ahol a

hatványvonalon azt az egyenest értük, mely a két kör metszéspontjain halad át.

Ez az állítás a gömbön is igaz.

A fenti lemmák ismeretében már bizonyítható a következ® tétel:

4.2.4. Tétel. A gömbháromszög csúcsain áthaladó területfelez®k egy pontpárban

metszik egymást, amelyek egyike a területfelez®k bels® metszéspontja.

Bizonyítás:

Legyen adott ABC gömbháromszög. Vegyük, az A csúcsból induló területfelez®

vonalat, ez a BC oldalt D pontban metszi. Szerkesszük meg a A′, B′, és D pontokon

áthaladó Lexell kört. Ezen a körön vannak azok a pontok melyek az A és B pontok-

kal fele akkora terület¶ háromszöget alkotnak mint az eredeti ABC háromszög. Így

rajta van az a pont is melyet a B csúcson áthaladó területfelez® vonal metsz ki az

AC oldalból, azaz az E pont.

27


4.4. ábra. Az ABC háromszög Lexell körei (pi-

ros), területfelez®k (zöld)

4.5. ábra. Lexell körök áthaladnak az átellenes

pontokon

Az AD szakasz két egyenl® terü-

let¶ háromszögre bontja az ere-

deti háromszögünket ABD-re és

ACD-re. Vagyis ha megszerkeszt-

jük az A′, C ′ és D pontokon átha-

ladó Lexell kört is, akkor megkap-

juk azon pontok mértani helyét is

melyek az A és a C csúccsal össze-

kötve fele akkora terület¶ három-

szöget alkotnak mint az ABC há-

romszög. Ez a kör metszi az AB

oldalát az ABC háromszögnek. Ez

a pont az F pont lesz, és ezen

a ponton halad át következéskép-

pen a C csúcs területfelez® egyene-

se. Ezután pedig szerkesszük a B′,

C ′ és F pontokon áthaladó kört,

ez át fog haladni az E ponton is,

mert a BCE és BCF háromszö-

geknek egyaránt fele akkora a terü-

lete, mint az ABC háromszögnek.

Megvan a három egymást metsz®

körünk, ezeknek a köröknek a lé-

tezik egy hatványpontja. Azt kell

látnunk, hogy a hatványvonalak

azonosak a háromszög területfele-

z® vonalaival. Ez pedig abból kö-

vetkezik, hogy a D ponton két kör is áthalad: az A′B′D és az A′C ′D, de ezek a

körök A′-n is áthaladnak, vagyis az A′D hatványvonal áthalad az A ponton is. Ez

ugyan így igaz az E és az F pontokra is, tehát a hatványpont lemma értelmében a

területfelez® egyenesek egy pontpáron haladnak át.

�

28

Összefoglalás

A második fejezetben bevezettük a gömbi geometria alapfogalmait, valamint

láttuk hogyan lehet kiterjeszteni a síkbeli trigonometriai ismereteinket, eleinte de-

rékszög¶ gömbháromszögekre, majd, hogyan lehet általánosítani a többi Euler-féle

gömbháromszögre.

Miután a második fejezetben lefektettük az alapokat a súlypont-tétel bizonyí-

tásához, rátérhettünk magának a tételnek a bizonyítására a harmadik fejezetben.

Láthattunk három bizonyítást arra nézve, hogy az Euler-féle gömbháromszögek súly-

vonalai egy pontpáron haladnak át, a súlyponton.A három bizonyítás a geometria

különböz® eszközeit használta fel, bemutatva ezzel a geometria sokszín¶ségét.

Egészen az utolsó alfejezetig a síkgeometria és gömbi geometria hasonlóságait

láthattuk a bizonyításokon keresztül, de meg kell jegyezni, hogy számos különbség

is van. Ezek egyikére tértem ki dolgozatom végén. Láthattuk, hogy síkbeli súlyvo-

nal a háromszög területfelez®vonala is, de a gömbháromszögeknél általában nem

a súlyvonal a területfelez®vonal. Éppen ezért kétféle területfelez® vonalat tudunk

megkülönböztetni a gömbháromszögek körében, a csúcson és az oldalfelez® ponton

áthaladót. Bebizonyítottuk, hogy a csúcson áthaladó területfelez®k egy pontpárban

metszik egymást.

29

Irodalomjegyzék

[1] Közgazdasági és jogi könyvkiadó (a Gömbháromszögtan cím¶ részt Rábai Imre

írta): A kultúra világa: Matematika, �zika, kémia, Budapest, 1964.

[2] Lénárt István: Nem-euklideszi geometriák tanítása az iskolában I-II cím¶ el®-

adások jegyzete

[3] Lénárt István: Axiomatizálás a gömbön cím¶ el®adások jegyzete

[4] Hajós György: Bevezetés a geometriába, Budapest 1991.

[5] G. van Brummelen: Heavenly mathematics. The Forgotten Art of Spherical Tri-

gonometry., Princeton University Press, 2013.

[6] https://hu.wikipedia.org/wiki/Ceva-tétel

30

Képek forrásai

Az alábbi képeket a Közgazdasági és jogi könyvkiadó (a Gömbháromszögtan cí-

m¶ részt Rábai Imre írta): A kultúra világa: Matematika, �zika, kémia, Budapest,

1964. könyvb®l vettem: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6.

A 2.8 kép a http://hu.wikipedia.org/wiki/Fájl:RechtwKugeldreieck.svg cím¶ ol-

dalról van.

A 3.8a, 3.8b, 3.9, 3.10, 3.11 képek G. van Brummelen: Heavenly Mathematics �

The Forgotten Art of Spherical Trigonometry, USA 2013. könyvéb®l vannak.

A 2.7, 3.1, 3.2, 3.3, 3.6, 3.5, 3.7, 3.12, 3.13, 3.14, 4.1 képeket a Cabri 3D prog-

rammal készítettem.

A 3.4, 4.2, 4.3, 4.4 és a 4.5 képeket a Lénárt rajzgömbbel készítettem.

31

néhány háromszögekkel kapcsolatos tétel bizonyítása a...

Documents