Matematikai jaacuteteacutekok SZAKDOLGOZAT

Nyitrai Orsolya Katalin

Matematika BSc tanaacuteri szakiraacuteny

Teacutemavezető

Heacuteger Tamaacutes

tudomaacutenyos segeacutedmunkataacuters

Eoumltvoumls Loraacutend Tudomaacutenyegyetem

Termeacuteszettudomaacutenyi Kar

Budapest 2014

2

Tartalomjegyzeacutek

Bevezeteacutes 3

1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek 3

2 Fejezet Kezdő feladatok 8

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek 8

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok 9

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok 12

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek 12

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes 13

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja 14

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok 16

4 Fejezet Grundy-szaacutemok 18

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai 22

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai 22

5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal 23

5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai 26

5 4 Fibonacci-nim 30

Irodalomjegyzeacutek 35

3

Bevezeteacutes

Szakdolgozatomhoz olyan teacutemaacutet kerestem amit keacutesőbbi tanaacuteri paacutelyaacutem soraacuten

felhasznaacutelhatok Nagyon fontos szaacutemomra hogy a fiatalok eacuterdeklődeacuteseacutet felkeltsem a

matematika iraacutent hogy eacutelvezettel meruumllhessenek bele a megoldandoacute probleacutemaacutekba

feladatokba Ezeacutert esett vaacutelasztaacutesom a matematikai jaacuteteacutekokra

Dolgozatom leacutenyegeacutet keacutetszemeacutelyes strateacutegiai jaacuteteacutekok keacutepezik melyeknek nyereacutesi

lehetőseacutegeit matematikai moacutedszerek segiacutetseacutegeacutevel tanulmaacutenyoztam Sok jaacuteteacutekot magam is

kiproacutebaacuteltam eacutes sok tapasztalatot szereztem mikoumlzben rengeteg eacutelmeacutennyel gazdagodtam

Veacutelemeacutenyem szerint ezek a jaacuteteacutekok alkalmasak a logikus gondolkodaacutes fejleszteacuteseacutere

Koumlzeacutepiskolaacutes szakkoumlroumln vagy fakultaacutecioacuten eacuterdemes egy-egy peacuteldaacuteval sziacutenesebbeacute tenni a

foglalkozaacutesokat

Az alapfogalmak definiaacutelaacutesa eacutes tisztaacutezaacutesa utaacuten a koumlnnyebb jaacuteteacutekokon keresztuumll

eljutunk a kuumlloumlnboumlző neheacutezseacutegű bdquokupacos-kavicsosrdquo jaacuteteacutekokhoz Az elmeacuteleti haacutetteacuter

kidolgozaacutesa soraacuten bemutatom a nim-oumlsszeadaacutes eacutes a Grundy-szaacutemok rejtelmeit melyek

segiacutetseacutegeacutevel a jaacuteteacutekok nyerő strateacutegiaacutei aacutetlaacutethatoacutevaacute vaacutelnak

Az aacuteltalam legtoumlbbet hasznaacutelt forraacutes Csirmaz Laacuteszloacute [2] cikke volt

Koumlszoumlnetnyilvaacuteniacutetaacutes

Szeretneacutem megkoumlszoumlnni Toumlroumlk Judit tanaacuternőnek hogy felkeltette bennem a teacutema

iraacutenti eacuterdeklődeacutest Valamint koumlszoumlnoumlm Heacuteger Tamaacutesnak ez uacuteton is a rengeteg segiacutetseacutegeacutet

eacutes raacutem aacuteldozott idejeacutet amivel nagymeacuterteacutekben hozzaacutejaacuterult a szakdolgozatom

elkeacuteszuumlleacuteseacutehez

4

1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek

A jaacuteteacutekok elemzeacutese soraacuten mindenkeacutepp szuumlkseacuteges hogy felaacutelliacutetsunk bizonyos

szabaacutelyokat eacutes megnevezzuumlnk fogalmakat tulajdonsaacutegokat

A dolgozatban bemutatott jaacuteteacutekok mindegyike keacutetszemeacutelyes jaacuteteacutek amelyekben keacutet

jaacuteteacutekos felvaacuteltott sorrendben keruumll jaacuteteacuteklehetőseacuteghez Aacuteltalaacuteban kezdő vagy első illetve

maacutesodik jaacuteteacutekos neacuteven emliacutetem őket

Az oumlsszes jaacuteteacutek soraacuten felteacutetelezzuumlk hogy mindkeacutet jaacuteteacutekos a legjobb tudaacutesa alapjaacuten

jaacutetszik eacutes mindig a szaacutemukra lehető legjobb leacutepeacutest teszik meg (nem rontanak) Ez azt

jelenti hogy ha keacutesőbbiekben az fog szerepelni hogy az egyik jaacuteteacutekos nem nyerhet egy

jaacuteteacutekban azt uacutegy kell eacuterteni hogy a maacutesik tud uacutegy jaacutetszani hogy nyerjen (eacutes uacutegy is fog

jaacutetszani hogy nyerjen)

Tipikusan diszkreacutet jaacuteteacutekokroacutel foguk foglalkozni melyeknek tulajdonsaacutega hogy

kuumlloumlnboumlző joacutel elhataacuterolt aacutellapotok aacutellaacutesok vannak bennuumlk Tehaacutet a jaacuteteacutek aacutellaacutesainak

tekintjuumlk az oumlsszes előfordulhatoacute egymaacutestoacutel joacutel elkuumlloumlniacutethető aacutellapotokat

Definiacutecioacute (leacutepeacutes) A matematikai jaacuteteacutekok soraacuten leacutepeacutesnek nevezzuumlk az aacutellaacutesboacutel aacutellaacutesba

valoacute aacutetmenetet amit mindig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos vaacutelaszt meg a jaacuteteacutekszabaacutelynak

megfelelő lehetőseacutegek koumlzuumll eacutes amely egyeacutertelműen leiacuterhatoacute egy aacutellaacutespaacuterral ami

tartalmazza a kiindulaacutesi eacutes eacuterkezeacutesi aacutellaacutest

Szuumlkseacuteguumlnk lesz vesztes eacutes nyerő aacutellaacutesok fogalmaacutera is melyeket a soron koumlvetkező

jaacuteteacutekos szempontjaacuteboacutel nevezuumlnk el

Definiacutecioacute (vesztes nyerő aacutellaacutes) Nevezzuumlk a tovaacutebbiakban a jaacuteteacutek vesztes aacutellaacutesainak

(vagy poziacutecioacuteinak helyzeteinek) azokat az aacutellaacutesokat melyekből indulva a soron koumlvetkező

jaacuteteacutekos semmikeacuteppen sem tudja megnyerni a jaacuteteacutekot azaz vesziacutet Maacutes esetben ha egy

aacutellaacutesboacutel indulva lehetőseacuteg van nyereacutesre nyerő aacutellaacutesroacutel beszeacuteluumlnk

Ezek alapjaacuten a vesztes aacutellaacutesok pontosabban azok előaacutelliacutetaacutesa lesz a nyerő jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

kedvező eacutes fontos A jaacuteteacutekokban olyan strateacutegiaacutekat kell kidolgoznunk amelyek soraacuten az

ellenfeacutel vesztes aacutellaacutesboacutel nem tud uacutejabb vesztes aacutellaacutesra leacutepni miacuteg a kialakult nyerőből

mindig tudunk vesztes aacutellaacutest leacutetrehozni Ezeket fogjuk a tovaacutebbiakban nyerő

strateacutegiaacuteknak nevezni

5

Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet

alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk

Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal

hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve

Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi

jaacuteteacutekot1

0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra

vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba

helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval

Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a

mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo

betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet

11 aacutebra

Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy

vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a

mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet

jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is

leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel

laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet

vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp

1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten

8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk

hogyan

Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V

nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza

Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a

csuacutecsok E elemei az eacutelek

Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef

definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza

Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű

(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk

Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot

melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek

meg

A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat

hasznaacutelt fogalmat

Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy

leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek

kiszomszeacutedja az Y)

Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz

tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem

kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az

aacutellaacutes szintjeacutenek

Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok

szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek

Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus

Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is

előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az

7

Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja

szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem

lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1

szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes

Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a

jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest

teszi

Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok

8

2 Fejezet Kezdő feladatok

Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt

egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő

szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg

lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az

lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek

1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy

toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van

nyerő strateacutegiaacuteja

Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi

gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol

mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk

Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az

eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr

koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha

szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben

mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a

kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek

akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is

Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok

aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak

tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken

a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba

hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra

Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet

szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron

lehetne jaacutetszani

9

2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva

(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek

egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer

Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet

alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan

szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es

neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as

neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute

a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben

((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert

nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-

e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet

Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon

halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es

neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő

elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a

tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes

A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg

visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok

Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni

mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute

egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes

mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a

mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as

neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom

egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a

kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

2

Tartalomjegyzeacutek

Bevezeteacutes 3

1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek 3

2 Fejezet Kezdő feladatok 8

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek 8

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok 9

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok 12

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek 12

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes 13

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja 14

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok 16

4 Fejezet Grundy-szaacutemok 18

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai 22

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai 22

5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal 23

5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai 26

5 4 Fibonacci-nim 30

Irodalomjegyzeacutek 35

3

Bevezeteacutes

Szakdolgozatomhoz olyan teacutemaacutet kerestem amit keacutesőbbi tanaacuteri paacutelyaacutem soraacuten

felhasznaacutelhatok Nagyon fontos szaacutemomra hogy a fiatalok eacuterdeklődeacuteseacutet felkeltsem a

matematika iraacutent hogy eacutelvezettel meruumllhessenek bele a megoldandoacute probleacutemaacutekba

feladatokba Ezeacutert esett vaacutelasztaacutesom a matematikai jaacuteteacutekokra

Dolgozatom leacutenyegeacutet keacutetszemeacutelyes strateacutegiai jaacuteteacutekok keacutepezik melyeknek nyereacutesi

lehetőseacutegeit matematikai moacutedszerek segiacutetseacutegeacutevel tanulmaacutenyoztam Sok jaacuteteacutekot magam is

kiproacutebaacuteltam eacutes sok tapasztalatot szereztem mikoumlzben rengeteg eacutelmeacutennyel gazdagodtam

Veacutelemeacutenyem szerint ezek a jaacuteteacutekok alkalmasak a logikus gondolkodaacutes fejleszteacuteseacutere

Koumlzeacutepiskolaacutes szakkoumlroumln vagy fakultaacutecioacuten eacuterdemes egy-egy peacuteldaacuteval sziacutenesebbeacute tenni a

foglalkozaacutesokat

Az alapfogalmak definiaacutelaacutesa eacutes tisztaacutezaacutesa utaacuten a koumlnnyebb jaacuteteacutekokon keresztuumll

eljutunk a kuumlloumlnboumlző neheacutezseacutegű bdquokupacos-kavicsosrdquo jaacuteteacutekokhoz Az elmeacuteleti haacutetteacuter

kidolgozaacutesa soraacuten bemutatom a nim-oumlsszeadaacutes eacutes a Grundy-szaacutemok rejtelmeit melyek

segiacutetseacutegeacutevel a jaacuteteacutekok nyerő strateacutegiaacutei aacutetlaacutethatoacutevaacute vaacutelnak

Az aacuteltalam legtoumlbbet hasznaacutelt forraacutes Csirmaz Laacuteszloacute [2] cikke volt

Koumlszoumlnetnyilvaacuteniacutetaacutes

Szeretneacutem megkoumlszoumlnni Toumlroumlk Judit tanaacuternőnek hogy felkeltette bennem a teacutema

iraacutenti eacuterdeklődeacutest Valamint koumlszoumlnoumlm Heacuteger Tamaacutesnak ez uacuteton is a rengeteg segiacutetseacutegeacutet

eacutes raacutem aacuteldozott idejeacutet amivel nagymeacuterteacutekben hozzaacutejaacuterult a szakdolgozatom

elkeacuteszuumlleacuteseacutehez

4

1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek

A jaacuteteacutekok elemzeacutese soraacuten mindenkeacutepp szuumlkseacuteges hogy felaacutelliacutetsunk bizonyos

szabaacutelyokat eacutes megnevezzuumlnk fogalmakat tulajdonsaacutegokat

A dolgozatban bemutatott jaacuteteacutekok mindegyike keacutetszemeacutelyes jaacuteteacutek amelyekben keacutet

jaacuteteacutekos felvaacuteltott sorrendben keruumll jaacuteteacuteklehetőseacuteghez Aacuteltalaacuteban kezdő vagy első illetve

maacutesodik jaacuteteacutekos neacuteven emliacutetem őket

Az oumlsszes jaacuteteacutek soraacuten felteacutetelezzuumlk hogy mindkeacutet jaacuteteacutekos a legjobb tudaacutesa alapjaacuten

jaacutetszik eacutes mindig a szaacutemukra lehető legjobb leacutepeacutest teszik meg (nem rontanak) Ez azt

jelenti hogy ha keacutesőbbiekben az fog szerepelni hogy az egyik jaacuteteacutekos nem nyerhet egy

jaacuteteacutekban azt uacutegy kell eacuterteni hogy a maacutesik tud uacutegy jaacutetszani hogy nyerjen (eacutes uacutegy is fog

jaacutetszani hogy nyerjen)

Tipikusan diszkreacutet jaacuteteacutekokroacutel foguk foglalkozni melyeknek tulajdonsaacutega hogy

kuumlloumlnboumlző joacutel elhataacuterolt aacutellapotok aacutellaacutesok vannak bennuumlk Tehaacutet a jaacuteteacutek aacutellaacutesainak

tekintjuumlk az oumlsszes előfordulhatoacute egymaacutestoacutel joacutel elkuumlloumlniacutethető aacutellapotokat

Definiacutecioacute (leacutepeacutes) A matematikai jaacuteteacutekok soraacuten leacutepeacutesnek nevezzuumlk az aacutellaacutesboacutel aacutellaacutesba

valoacute aacutetmenetet amit mindig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos vaacutelaszt meg a jaacuteteacutekszabaacutelynak

megfelelő lehetőseacutegek koumlzuumll eacutes amely egyeacutertelműen leiacuterhatoacute egy aacutellaacutespaacuterral ami

tartalmazza a kiindulaacutesi eacutes eacuterkezeacutesi aacutellaacutest

Szuumlkseacuteguumlnk lesz vesztes eacutes nyerő aacutellaacutesok fogalmaacutera is melyeket a soron koumlvetkező

jaacuteteacutekos szempontjaacuteboacutel nevezuumlnk el

Definiacutecioacute (vesztes nyerő aacutellaacutes) Nevezzuumlk a tovaacutebbiakban a jaacuteteacutek vesztes aacutellaacutesainak

(vagy poziacutecioacuteinak helyzeteinek) azokat az aacutellaacutesokat melyekből indulva a soron koumlvetkező

jaacuteteacutekos semmikeacuteppen sem tudja megnyerni a jaacuteteacutekot azaz vesziacutet Maacutes esetben ha egy

aacutellaacutesboacutel indulva lehetőseacuteg van nyereacutesre nyerő aacutellaacutesroacutel beszeacuteluumlnk

Ezek alapjaacuten a vesztes aacutellaacutesok pontosabban azok előaacutelliacutetaacutesa lesz a nyerő jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

kedvező eacutes fontos A jaacuteteacutekokban olyan strateacutegiaacutekat kell kidolgoznunk amelyek soraacuten az

ellenfeacutel vesztes aacutellaacutesboacutel nem tud uacutejabb vesztes aacutellaacutesra leacutepni miacuteg a kialakult nyerőből

mindig tudunk vesztes aacutellaacutest leacutetrehozni Ezeket fogjuk a tovaacutebbiakban nyerő

strateacutegiaacuteknak nevezni

5

Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet

alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk

Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal

hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve

Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi

jaacuteteacutekot1

0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra

vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba

helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval

Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a

mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo

betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet

11 aacutebra

Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy

vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a

mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet

jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is

leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel

laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet

vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp

1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten

8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk

hogyan

Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V

nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza

Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a

csuacutecsok E elemei az eacutelek

Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef

definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza

Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű

(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk

Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot

melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek

meg

A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat

hasznaacutelt fogalmat

Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy

leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek

kiszomszeacutedja az Y)

Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz

tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem

kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az

aacutellaacutes szintjeacutenek

Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok

szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek

Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus

Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is

előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az

7

Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja

szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem

lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1

szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes

Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a

jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest

teszi

Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok

8

2 Fejezet Kezdő feladatok

Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt

egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő

szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg

lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az

lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek

1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy

toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van

nyerő strateacutegiaacuteja

Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi

gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol

mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk

Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az

eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr

koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha

szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben

mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a

kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek

akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is

Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok

aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak

tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken

a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba

hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra

Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet

szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron

lehetne jaacutetszani

9

2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva

(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek

egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer

Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet

alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan

szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es

neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as

neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute

a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben

((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert

nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-

e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet

Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon

halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es

neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő

elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a

tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes

A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg

visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok

Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni

mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute

egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes

mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a

mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as

neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom

egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a

kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

3

Bevezeteacutes

Szakdolgozatomhoz olyan teacutemaacutet kerestem amit keacutesőbbi tanaacuteri paacutelyaacutem soraacuten

felhasznaacutelhatok Nagyon fontos szaacutemomra hogy a fiatalok eacuterdeklődeacuteseacutet felkeltsem a

matematika iraacutent hogy eacutelvezettel meruumllhessenek bele a megoldandoacute probleacutemaacutekba

feladatokba Ezeacutert esett vaacutelasztaacutesom a matematikai jaacuteteacutekokra

Dolgozatom leacutenyegeacutet keacutetszemeacutelyes strateacutegiai jaacuteteacutekok keacutepezik melyeknek nyereacutesi

lehetőseacutegeit matematikai moacutedszerek segiacutetseacutegeacutevel tanulmaacutenyoztam Sok jaacuteteacutekot magam is

kiproacutebaacuteltam eacutes sok tapasztalatot szereztem mikoumlzben rengeteg eacutelmeacutennyel gazdagodtam

Veacutelemeacutenyem szerint ezek a jaacuteteacutekok alkalmasak a logikus gondolkodaacutes fejleszteacuteseacutere

Koumlzeacutepiskolaacutes szakkoumlroumln vagy fakultaacutecioacuten eacuterdemes egy-egy peacuteldaacuteval sziacutenesebbeacute tenni a

foglalkozaacutesokat

Az alapfogalmak definiaacutelaacutesa eacutes tisztaacutezaacutesa utaacuten a koumlnnyebb jaacuteteacutekokon keresztuumll

eljutunk a kuumlloumlnboumlző neheacutezseacutegű bdquokupacos-kavicsosrdquo jaacuteteacutekokhoz Az elmeacuteleti haacutetteacuter

kidolgozaacutesa soraacuten bemutatom a nim-oumlsszeadaacutes eacutes a Grundy-szaacutemok rejtelmeit melyek

segiacutetseacutegeacutevel a jaacuteteacutekok nyerő strateacutegiaacutei aacutetlaacutethatoacutevaacute vaacutelnak

Az aacuteltalam legtoumlbbet hasznaacutelt forraacutes Csirmaz Laacuteszloacute [2] cikke volt

Koumlszoumlnetnyilvaacuteniacutetaacutes

Szeretneacutem megkoumlszoumlnni Toumlroumlk Judit tanaacuternőnek hogy felkeltette bennem a teacutema

iraacutenti eacuterdeklődeacutest Valamint koumlszoumlnoumlm Heacuteger Tamaacutesnak ez uacuteton is a rengeteg segiacutetseacutegeacutet

eacutes raacutem aacuteldozott idejeacutet amivel nagymeacuterteacutekben hozzaacutejaacuterult a szakdolgozatom

elkeacuteszuumlleacuteseacutehez

4

1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek

A jaacuteteacutekok elemzeacutese soraacuten mindenkeacutepp szuumlkseacuteges hogy felaacutelliacutetsunk bizonyos

szabaacutelyokat eacutes megnevezzuumlnk fogalmakat tulajdonsaacutegokat

A dolgozatban bemutatott jaacuteteacutekok mindegyike keacutetszemeacutelyes jaacuteteacutek amelyekben keacutet

jaacuteteacutekos felvaacuteltott sorrendben keruumll jaacuteteacuteklehetőseacuteghez Aacuteltalaacuteban kezdő vagy első illetve

maacutesodik jaacuteteacutekos neacuteven emliacutetem őket

Az oumlsszes jaacuteteacutek soraacuten felteacutetelezzuumlk hogy mindkeacutet jaacuteteacutekos a legjobb tudaacutesa alapjaacuten

jaacutetszik eacutes mindig a szaacutemukra lehető legjobb leacutepeacutest teszik meg (nem rontanak) Ez azt

jelenti hogy ha keacutesőbbiekben az fog szerepelni hogy az egyik jaacuteteacutekos nem nyerhet egy

jaacuteteacutekban azt uacutegy kell eacuterteni hogy a maacutesik tud uacutegy jaacutetszani hogy nyerjen (eacutes uacutegy is fog

jaacutetszani hogy nyerjen)

Tipikusan diszkreacutet jaacuteteacutekokroacutel foguk foglalkozni melyeknek tulajdonsaacutega hogy

kuumlloumlnboumlző joacutel elhataacuterolt aacutellapotok aacutellaacutesok vannak bennuumlk Tehaacutet a jaacuteteacutek aacutellaacutesainak

tekintjuumlk az oumlsszes előfordulhatoacute egymaacutestoacutel joacutel elkuumlloumlniacutethető aacutellapotokat

Definiacutecioacute (leacutepeacutes) A matematikai jaacuteteacutekok soraacuten leacutepeacutesnek nevezzuumlk az aacutellaacutesboacutel aacutellaacutesba

valoacute aacutetmenetet amit mindig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos vaacutelaszt meg a jaacuteteacutekszabaacutelynak

megfelelő lehetőseacutegek koumlzuumll eacutes amely egyeacutertelműen leiacuterhatoacute egy aacutellaacutespaacuterral ami

tartalmazza a kiindulaacutesi eacutes eacuterkezeacutesi aacutellaacutest

Szuumlkseacuteguumlnk lesz vesztes eacutes nyerő aacutellaacutesok fogalmaacutera is melyeket a soron koumlvetkező

jaacuteteacutekos szempontjaacuteboacutel nevezuumlnk el

Definiacutecioacute (vesztes nyerő aacutellaacutes) Nevezzuumlk a tovaacutebbiakban a jaacuteteacutek vesztes aacutellaacutesainak

(vagy poziacutecioacuteinak helyzeteinek) azokat az aacutellaacutesokat melyekből indulva a soron koumlvetkező

jaacuteteacutekos semmikeacuteppen sem tudja megnyerni a jaacuteteacutekot azaz vesziacutet Maacutes esetben ha egy

aacutellaacutesboacutel indulva lehetőseacuteg van nyereacutesre nyerő aacutellaacutesroacutel beszeacuteluumlnk

Ezek alapjaacuten a vesztes aacutellaacutesok pontosabban azok előaacutelliacutetaacutesa lesz a nyerő jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

kedvező eacutes fontos A jaacuteteacutekokban olyan strateacutegiaacutekat kell kidolgoznunk amelyek soraacuten az

ellenfeacutel vesztes aacutellaacutesboacutel nem tud uacutejabb vesztes aacutellaacutesra leacutepni miacuteg a kialakult nyerőből

mindig tudunk vesztes aacutellaacutest leacutetrehozni Ezeket fogjuk a tovaacutebbiakban nyerő

strateacutegiaacuteknak nevezni

5

Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet

alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk

Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal

hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve

Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi

jaacuteteacutekot1

0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra

vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba

helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval

Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a

mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo

betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet

11 aacutebra

Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy

vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a

mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet

jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is

leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel

laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet

vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp

1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten

8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk

hogyan

Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V

nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza

Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a

csuacutecsok E elemei az eacutelek

Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef

definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza

Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű

(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk

Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot

melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek

meg

A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat

hasznaacutelt fogalmat

Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy

leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek

kiszomszeacutedja az Y)

Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz

tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem

kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az

aacutellaacutes szintjeacutenek

Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok

szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek

Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus

Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is

előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az

7

Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja

szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem

lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1

szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes

Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a

jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest

teszi

Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok

8

2 Fejezet Kezdő feladatok

Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt

egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő

szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg

lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az

lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek

1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy

toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van

nyerő strateacutegiaacuteja

Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi

gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol

mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk

Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az

eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr

koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha

szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben

mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a

kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek

akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is

Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok

aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak

tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken

a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba

hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra

Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet

szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron

lehetne jaacutetszani

9

2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva

(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek

egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer

Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet

alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan

szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es

neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as

neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute

a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben

((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert

nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-

e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet

Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon

halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es

neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő

elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a

tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes

A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg

visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok

Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni

mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute

egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes

mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a

mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as

neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom

egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a

kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

4

1 Fejezet Alapfogalmak definiacutecioacutek

A jaacuteteacutekok elemzeacutese soraacuten mindenkeacutepp szuumlkseacuteges hogy felaacutelliacutetsunk bizonyos

szabaacutelyokat eacutes megnevezzuumlnk fogalmakat tulajdonsaacutegokat

A dolgozatban bemutatott jaacuteteacutekok mindegyike keacutetszemeacutelyes jaacuteteacutek amelyekben keacutet

jaacuteteacutekos felvaacuteltott sorrendben keruumll jaacuteteacuteklehetőseacuteghez Aacuteltalaacuteban kezdő vagy első illetve

maacutesodik jaacuteteacutekos neacuteven emliacutetem őket

Az oumlsszes jaacuteteacutek soraacuten felteacutetelezzuumlk hogy mindkeacutet jaacuteteacutekos a legjobb tudaacutesa alapjaacuten

jaacutetszik eacutes mindig a szaacutemukra lehető legjobb leacutepeacutest teszik meg (nem rontanak) Ez azt

jelenti hogy ha keacutesőbbiekben az fog szerepelni hogy az egyik jaacuteteacutekos nem nyerhet egy

jaacuteteacutekban azt uacutegy kell eacuterteni hogy a maacutesik tud uacutegy jaacutetszani hogy nyerjen (eacutes uacutegy is fog

jaacutetszani hogy nyerjen)

Tipikusan diszkreacutet jaacuteteacutekokroacutel foguk foglalkozni melyeknek tulajdonsaacutega hogy

kuumlloumlnboumlző joacutel elhataacuterolt aacutellapotok aacutellaacutesok vannak bennuumlk Tehaacutet a jaacuteteacutek aacutellaacutesainak

tekintjuumlk az oumlsszes előfordulhatoacute egymaacutestoacutel joacutel elkuumlloumlniacutethető aacutellapotokat

Definiacutecioacute (leacutepeacutes) A matematikai jaacuteteacutekok soraacuten leacutepeacutesnek nevezzuumlk az aacutellaacutesboacutel aacutellaacutesba

valoacute aacutetmenetet amit mindig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos vaacutelaszt meg a jaacuteteacutekszabaacutelynak

megfelelő lehetőseacutegek koumlzuumll eacutes amely egyeacutertelműen leiacuterhatoacute egy aacutellaacutespaacuterral ami

tartalmazza a kiindulaacutesi eacutes eacuterkezeacutesi aacutellaacutest

Szuumlkseacuteguumlnk lesz vesztes eacutes nyerő aacutellaacutesok fogalmaacutera is melyeket a soron koumlvetkező

jaacuteteacutekos szempontjaacuteboacutel nevezuumlnk el

Definiacutecioacute (vesztes nyerő aacutellaacutes) Nevezzuumlk a tovaacutebbiakban a jaacuteteacutek vesztes aacutellaacutesainak

(vagy poziacutecioacuteinak helyzeteinek) azokat az aacutellaacutesokat melyekből indulva a soron koumlvetkező

jaacuteteacutekos semmikeacuteppen sem tudja megnyerni a jaacuteteacutekot azaz vesziacutet Maacutes esetben ha egy

aacutellaacutesboacutel indulva lehetőseacuteg van nyereacutesre nyerő aacutellaacutesroacutel beszeacuteluumlnk

Ezek alapjaacuten a vesztes aacutellaacutesok pontosabban azok előaacutelliacutetaacutesa lesz a nyerő jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

kedvező eacutes fontos A jaacuteteacutekokban olyan strateacutegiaacutekat kell kidolgoznunk amelyek soraacuten az

ellenfeacutel vesztes aacutellaacutesboacutel nem tud uacutejabb vesztes aacutellaacutesra leacutepni miacuteg a kialakult nyerőből

mindig tudunk vesztes aacutellaacutest leacutetrehozni Ezeket fogjuk a tovaacutebbiakban nyerő

strateacutegiaacuteknak nevezni

5

Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet

alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk

Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal

hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve

Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi

jaacuteteacutekot1

0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra

vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba

helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval

Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a

mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo

betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet

11 aacutebra

Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy

vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a

mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet

jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is

leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel

laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet

vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp

1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten

8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk

hogyan

Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V

nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza

Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a

csuacutecsok E elemei az eacutelek

Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef

definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza

Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű

(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk

Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot

melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek

meg

A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat

hasznaacutelt fogalmat

Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy

leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek

kiszomszeacutedja az Y)

Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz

tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem

kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az

aacutellaacutes szintjeacutenek

Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok

szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek

Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus

Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is

előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az

7

Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja

szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem

lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1

szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes

Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a

jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest

teszi

Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok

8

2 Fejezet Kezdő feladatok

Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt

egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő

szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg

lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az

lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek

1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy

toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van

nyerő strateacutegiaacuteja

Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi

gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol

mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk

Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az

eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr

koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha

szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben

mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a

kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek

akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is

Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok

aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak

tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken

a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba

hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra

Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet

szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron

lehetne jaacutetszani

9

2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva

(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek

egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer

Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet

alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan

szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es

neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as

neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute

a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben

((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert

nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-

e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet

Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon

halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es

neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő

elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a

tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes

A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg

visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok

Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni

mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute

egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes

mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a

mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as

neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom

egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a

kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

5

Definiacutecioacute (nyerő strateacutegia) Nyerő strateacutegia alatt olyan strateacutegiaacutet eacutertuumlnk melyet

alkalmazva az ellenfeacuteljaacuteteacutekos tetszőleges strateacutegiaacuteja ellen garantaacuteltan nyerni tudunk

Megjegyzeacutes Ha egy jaacuteteacutekosnak leacutetezik nyerő strateacutegiaacuteja akkor az megegyezik azzal

hogy meg is nyeri a jaacuteteacutekot Eacutepp ezt jelenti a fent leiacutert bdquonem rontrdquo felteacutetelezeacuteseacutenek elve

Az eddigi fogalmak biztos elsajaacutetiacutetaacutesa eacutes ellenőrzeacuteseacutere eacuterdekeacuteben tekintsuumlk az alaacutebbi

jaacuteteacutekot1

0 Jaacuteteacutek Egy 10 x 8-as taacutebla jobb felső sarkaacuteban aacutell egy kiraacutelynő amellyel lefeleacute balra

vagy aacutetloacutesan balra leacutephetnek (akaacutermennyit) a jaacuteteacutekosok Az nyer aki a bal alsoacute sarokba

helyezi a kiraacutelynőt Ki nyer milyen strateacutegiaacuteval

Jeloumlljuumlk az 11-es aacutebra szerint a jaacuteteacutektaacuteblaacuten bdquo+rdquo jellel a nyerő aacutellaacutesokat vagyis azokat a

mezőket ahonnan indulva a soron koumlvetkező jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes bdquoVrdquo

betűvel a vesztes aacutellaacutesokat amelyekről indulva a kezdő nem nyerhet

11 aacutebra

Ez joacute peacutelda arra hogy rekurziacutev moacutedon minden mezőről megaacutellapiacutethatoacute hogy nyerő vagy

vesztő aacutellaacutes-e A bal alsoacute mező vesztő mert onnan nincs toumlbb leacutepeacutesi lehetőseacuteg Azok a

mezők melyekről erre koumlzvetlenuumll raacute tudunk leacutepni nyertes aacutellaacutesok lesznek Mindkeacutet

jaacuteteacutekos ceacutelja hogy vesztő mezőre leacutepjen a baacutebuval hiszen onnan ellenfele akaacuterhova is

leacutep a koumlvetkező koumlrben uacutejabb vesztő helyre tudja tenni a kiraacutelynőt eacutes iacutegy tovaacutebb Joacutel

laacutethatoacute hogy ebben a jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja raacuteadaacutesul keacutet

vesztő mezőre is leacutephet kezdeacuteskeacutepp

1 Az [5] szaacutemuacute Elemi matematika feladatgyűjtemeacutenyből szaacutermazoacute peacutelda alapjaacuten

8 + + + + V + + + + + 7 + + + + + + + + + + 6 + + + V + + + + + + 5 + + + + + + + V + + 4 + + + + + V + + + + 3 + V + + + + + + + + 2 + + V + + + + + + + 1 V + + + + + + + + +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk

hogyan

Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V

nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza

Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a

csuacutecsok E elemei az eacutelek

Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef

definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza

Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű

(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk

Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot

melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek

meg

A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat

hasznaacutelt fogalmat

Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy

leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek

kiszomszeacutedja az Y)

Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz

tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem

kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az

aacutellaacutes szintjeacutenek

Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok

szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek

Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus

Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is

előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az

7

Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja

szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem

lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1

szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes

Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a

jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest

teszi

Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok

8

2 Fejezet Kezdő feladatok

Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt

egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő

szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg

lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az

lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek

1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy

toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van

nyerő strateacutegiaacuteja

Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi

gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol

mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk

Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az

eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr

koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha

szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben

mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a

kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek

akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is

Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok

aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak

tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken

a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba

hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra

Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet

szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron

lehetne jaacutetszani

9

2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva

(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek

egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer

Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet

alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan

szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es

neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as

neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute

a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben

((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert

nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-

e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet

Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon

halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es

neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő

elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a

tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes

A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg

visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok

Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni

mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute

egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes

mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a

mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as

neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom

egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a

kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

6

Az aacutellaacutesok eacutes szabaacutelyos leacutepeacutesek oumlsszefoglalhatoacuteak egy fogalommal megmutatjuk

hogyan

Definiacutecioacute (egyszerű graacutef) Vegyuumlnk keacutet diszjunkt halmazt jeloumllje ezeket V eacutes E ahol V

nemuumlres Legyen E a V-beli elemekből keacutepezhető keacutetelemű reacuteszhalmazoknak egy halmaza

Ekkor a G = (V E) rendezett paacutert (egyszerű) graacutefnak nevezzuumlk melyben V elemei a

csuacutecsok E elemei az eacutelek

Definiacutecioacute (iraacutenyiacutetott graacutef) Iraacutenyiacutetott egyszerű graacutefroacutel beszeacuteluumlnk ha a fenti graacutef

definiacutecioacutejaacuteban E a V-beli elemekből keacutepezhető rendezett paacuteroknak egy halmaza

Megjegyzeacutes A tovaacutebbiakban ha (iraacutenyiacutetott) graacutefot emliacutetuumlnk mindig egyszerű

(iraacutenyiacutetott) graacutefra gondolunk

Definiacutecioacute (aacutellapotgraacutef) A jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefjaacutenak nevezzuumlk azt speciaacutelis iraacutenyiacutetott graacutefot

melyben a jaacuteteacutek aacutellaacutesai a graacutef csuacutecsainak a lehetseacuteges leacutepeacutesek a graacutef eacuteleinek felelnek

meg

A koumlnnyebb eacuterthetőseacuteg eacutes az egyeacutertelmű leiacuteraacutesok eacuterdekeacuteben bevezetuumlnk egy keacutesőbb sokat

hasznaacutelt fogalmat

Definiacutecioacute (raacutekoumlvetkező) Egy X aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője az Y aacutellaacutes ha X-ből koumlzvetlenuumll (egy

leacutepeacutessel) el tudunk jutni Y-ba azaz ha az aacutellapotgraacutefban (X Y) eacutel (maacutes szoacuteval az X-nek

kiszomszeacutedja az Y)

Definiacutecioacute (veacuteges jaacuteteacutek) Veacuteges jaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha aacutellapotgraacutefjaacuteban minden csuacutecshoz

tartozik egy nemnegatiacutev egeacutesz szaacutem uacutegy hogy azok minden kiszomszeacutedjaacutehoz rendelt szaacutem

kisebb az oumlveacuteneacutel (pl a haacutetraleacutevő leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema) Ezt a szaacutemot nevezzuumlk az

aacutellaacutes szintjeacutenek

Ez alapjaacuten tegyuumlk fel hogy az aacutellapotgraacutef csuacutecsai szaacutemozva vannak Ekkor az aacutellaacutesok

szintjei a leacutepeacutesek soraacuten szigoruacutean monoton csoumlkkennek

Koumlvetkezmeacuteny Veacuteges jaacuteteacutek aacutellapotgraacutefja nem tartalmaz iraacutenyiacutetott koumlrt azaz aciklikus

Bizonyiacutetaacutes Ha tartalmazna koumlrt akkor lenne olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban ami toumlbbszoumlr is

előfordulhatna vagyis lenne olyan X1 X2 hellip Xk leacutepeacutessorozat ahol minden Xi+1 aacutellaacutes az

7

Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja

szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem

lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1

szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes

Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a

jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest

teszi

Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok

8

2 Fejezet Kezdő feladatok

Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt

egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő

szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg

lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az

lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek

1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy

toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van

nyerő strateacutegiaacuteja

Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi

gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol

mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk

Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az

eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr

koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha

szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben

mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a

kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek

akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is

Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok

aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak

tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken

a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba

hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra

Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet

szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron

lehetne jaacutetszani

9

2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva

(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek

egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer

Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet

alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan

szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es

neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as

neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute

a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben

((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert

nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-

e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet

Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon

halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es

neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő

elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a

tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes

A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg

visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok

Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni

mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute

egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes

mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a

mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as

neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom

egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a

kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

7

Xi aacutellaacutes raacutekoumlvetkezője eacutes Xk-nak kiszomszeacutedja X1 Azonban a veacuteges jaacuteteacutek definiacutecioacuteja

szerint egy aacutellaacutes raacutekoumlvetkezőjeacutenek a szintje kisebb mint az aacutellaacutes szintje ezeacutert Xk-nak nem

lehet X1 a raacutekoumlvetkezője mert akkor a hozzaacuterendelt szaacutem nagyobb keacutene legyen X1

szaacutemaacutenaacutel ami ellentmondaacutes

Definiacutecioacute Normaacutel jaacuteteacuteknak nevezzuumlk a tovaacutebbiakban azokat a jaacuteteacutekokat melyekben az a

jaacuteteacutekos vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni maacuteskeacutepp fogalmazva az nyer aki az utolsoacute leacutepeacutest

teszi

Megjegyzeacutes Aacuteltalaacuteban a dolgozatban hozott jaacuteteacutekok ilyen normaacutel jaacuteteacutekok

8

2 Fejezet Kezdő feladatok

Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt

egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő

szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg

lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az

lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek

1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy

toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van

nyerő strateacutegiaacuteja

Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi

gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol

mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk

Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az

eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr

koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha

szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben

mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a

kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek

akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is

Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok

aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak

tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken

a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba

hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra

Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet

szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron

lehetne jaacutetszani

9

2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva

(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek

egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer

Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet

alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan

szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es

neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as

neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute

a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben

((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert

nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-

e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet

Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon

halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es

neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő

elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a

tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes

A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg

visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok

Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni

mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute

egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes

mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a

mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as

neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom

egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a

kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

8

2 Fejezet Kezdő feladatok

Dolgozatom elejeacuten szeretneacutek bemutatni egy-keacutet toumlbbnyire szeacuteles koumlrben elterjedt

egyszerűbb matematikai jaacuteteacutekot Mindegyik korosztaacutely szaacutemaacutera talaacutelhatoacute megfelelő

szintű eacutes neheacutezseacutegű feladat vagy jaacuteteacutek amivel felkelthető a gyerekek eacuterdeklődeacutese Meg

lehet mutatni nekik hogy a matematikaacutenak van ilyen szoacuterakoztatoacute reacutesze is Persze az

lenne a legjobb ha ezekben tudnaacutek alkalmazni eacutes kamatoztatni a koraacutebban tanultakat

1 1 Lepakoloacutes jaacuteteacutek

1 jaacuteteacutek Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez korongokat egy asztalra Az vesziacutet aki nem tud uacutegy

toumlbb korongot elhelyezni az asztalon hogy az ne fedjen egy maacuter lent fekvőt Kinek van

nyerő strateacutegiaacuteja

Ez a jaacuteteacutek toumlbb tankoumlnyvben is szerepel Tapasztalataim szerint ez inkaacutebb elvi

gondolati jaacuteteacutek mert a gyakorlatba nehezen kivitelezhető A korongok vagy eacutermeacutek (hol

mi szerepel) koumlnnyen egymaacutesra csuacuteszhatnak vagy nem mindig egyeacutertelmű a helyzetuumlk

Mindemellett a jaacuteteacutek megoldaacutesa pofonegyszerű a gyerekek is hamar raacutejoumlhetnek Arra az

eredmeacutenyre jutunk hogy mindig az első jaacuteteacutekos nyer A joacute strateacutegia pedig az ha előszoumlr

koumlzeacutepre tesszuumlk a kezdő korongot (minden esetben van ilyen ha kerek az asztal ha

szoumlgletes leacutenyeg hogy az koumlzeacuteppontosan szimmetrikus legyen) eacutes a koumlvetkezőkben

mindig az ellenfeacutel leacutepeacuteseacutenek koumlzeacuteppontos tuumlkoumlrkeacutepeacutet leacutepjuumlk Ezt a strateacutegiaacutet jaacutetszva a

kezdő jaacuteteacutekos nem tud veszteni hiszen ha van meacuteg hely a maacutesodik jaacuteteacutekos leacutepeacuteseacutenek

akkor biztosan szabad lehetőseacuteg annak keacutepe is

Eacuterdekesseacutegkeacutent vegyuumlk eacuteszre hogy ennek az asztalra pakoloacutes jaacuteteacuteknak veacutegtelen sok

aacutellapota leacutetezik hiszen veacutegtelen sok pontra helyezhető egy korong Meacutegis veacuteges jaacuteteacuteknak

tekinthetjuumlk mert a leacutepeacutesek soraacuten az asztal szabad teruumllete csoumlkken vagyis egyre csoumlkken

a megtehető leacutepeacutesek maximaacutelis szaacutema is miacuteg előbb-utoacutebb eljutunk abba az aacutellapotba

hogy toumlbb korong maacuter nem feacuter az asztalra

Ezzel egyuumltt megproacutebaacutelhatjuk az eredetit veacuteges aacutellapotszaacutemuacute jaacuteteacutekkaacute tenni ez az oumltlet

szakdolgozat iacuteraacutesa koumlzben meruumllt fel A jaacuteteacutekot gyakorlatban neacutegyzetraacutecsos papiacuteron

lehetne jaacutetszani

9

2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva

(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek

egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer

Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet

alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan

szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es

neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as

neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute

a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben

((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert

nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-

e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet

Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon

halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es

neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő

elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a

tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes

A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg

visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok

Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni

mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute

egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes

mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a

mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as

neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom

egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a

kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

9

2 Jaacuteteacutek Adott egy (n x k)-as teacuteglalap alakuacute jaacuteteacutektaacutebla Keacutet jaacuteteacutekosnak uacutegy kell felvaacuteltva

(előre lefixaacutelt) egyforma meacuteretű neacutegyzeteket besziacuteneznie a taacuteblaacuten hogy azok ne takarjaacutek

egymaacutest Az vesziacutet aki nem tud toumlbbet leacutepni Keacuterdeacutes hogy melyik jaacuteteacutekos nyer

Csupa 1x1-es neacutegyzetek sziacutenezeacutese nem hoz laacutezba senki mert a győztes csak a jaacuteteacutektaacuteblaacutet

alkotoacute neacutegyzetek szaacutemaacutetoacutel fuumlgg ha paacuteros sok neacutegyzetből aacutella taacutebla a maacutesodik paacuteratlan

szaacutemuacute neacutegyzet eseteacuten az első szaacutemuacute jaacuteteacutekos nyer Vizsgaacuteljuk most a jaacuteteacutekot 2x2-es

neacutegyzetek sziacutenezeacutese eseteacuten Nem neheacutez felismerni hogy ha a jaacuteteacutektaacutebla (2k x 2k)-as

neacutegyzet vagy (2k x 2l)-es teacuteglalap alakuacute (tetszőleges k l N eseteacuten) akkor műkoumldik raacute

a fent taacutergyalt koumlzeacuteppontos szimmetriaacuten alapuloacute strateacutegia Azonban a toumlbbi esetben

((2k+1)x(2l+1)-es vagy (2k)x(2l+1)-es jaacuteteacutektaacuteblaacutenaacutel) ezt nem tudjuk kihasznaacutelni mert

nincs koumlzeacutepső neacutegyes amivel kezdhetneacutenk a sziacutenezeacutest Hogyan jaacutetsszunk ilyenkor Van-

e egyaacuteltalaacuten abszoluacutet nyertes Neacutezzuumlnk egy kisebb konkreacutet peacuteldaacutet

Aacutelliacutetaacutes (3x2k)-as taacuteblaacuten jaacutetszva az első jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy a paacuteros hosszuacute oldal felezőmerőlegese raacutecsvonalon

halad iacutegy kihasznaacutelhatjuk az erre a tengelyre valoacute szimmetriaacutet Kettő olyan (2x2)-es

neacutegyzet van melyen eme tengely aacutethalad de ezek koumlzuumll csak egy sziacutenezhető Ha a kezdő

elsőkeacutent az egyik ilyet sziacutenezi be akkor ellenfele tetszőleges leacutepeacuteseacutet tuumlkroumlzve a

tuumlkoumlrtengelyre oumlveacute lesz az utolsoacute leacutepeacutes

A 2xn-es jaacuteteacutektaacuteblaacuten valoacute jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera a keacutesőbbiekben majd meacuteg

visszateacuteruumlnk (ld 5 fejezet) A toumlbbi esetről nem lesz szoacute kiproacutebaacutelaacutesukat tudom ajaacutenlani

1 2 Foglaloacutes jaacuteteacutekok

Foglalkozzunk kicsit a foglaloacutes tiacutepusuacute jaacuteteacutekokkal Ezeket azeacutert szokaacutes iacutegy nevezni

mert adott jaacuteteacutektaacuteblaacuten jaacutetsszaacutek uacutegy hogy felvaacuteltva elfoglalnak egy-egy mezőt (tesznek raacute

egy-egy sajaacutet sziacutenű jelet) eacutes a jaacuteteacutek győztese az aki az előre kijeloumllt nyertes

mezőcsoportok valamelyikeacutet előszoumlr el tudja foglalni Ilyen foglaloacutes jaacuteteacutekra peacutelda a

mindenki aacuteltal joacutel ismert angol neveacuten Tic-tac-toe mely soraacuten a jaacuteteacutekosok egy 3x3-as

neacutegyzetbe a szokaacutesos X eacutes koumlr jeleket rakosgatjaacutek eacutes az nyer aki előszoumlr tudja haacuterom

egyforma jeleacutet egy vonalba helyezni (tehaacutet a haacuterom sor a haacuterom oszlop eacutes a keacutet aacutetloacute a

kijeloumllt nyertes mezőcsoportok) A foglaloacutes jaacuteteacutekok nem tekinthetőek normaacutel jaacuteteacutekoknak

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

10

mert kialakulhat doumlntetlen aacutellaacutes is amikor azeacutert nem tudnak toumlbbet leacutepni a jaacuteteacutekosok mert

a taacuteblaacuten a lehetőseacutegek elfogytak de senki sem nyert

Aacutelliacutetaacutes A foglaloacutes jaacuteteacutekokban a maacutesodik jaacuteteacutekos sosem nyerhet (Legfeljebb doumlntetlenre

vezető strateacutegiaacuteja lehet)

Bizonyiacutetaacutes Indirekte tegyuumlk fel hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja Ilyen

helyzetben a kezdő tudja alkalmazni a bdquostrateacutegialopaacutestrdquo Ez azt jelenti hogy a kezdő

jaacuteteacutekos leacutep valamit majd innentől uacutegy fogja fel a jaacuteteacutekot mintha csak most kezdődne eacutes

a maacutesodik jaacuteteacutekos nyerő strateacutegiaacuteja szerint jaacutetszik tovaacutebb Akkor meruumllhetne fel

probleacutema ha azt a mezőt keacutene elfoglalnia melyre az első leacutepeacuteskor leacutepett aacutem ez nem

gond mivel ezen maacuter az ő jele szerepel tehaacutet mi sem egyszerűbb baacuterhova maacuteshova tehet

Ezzel a moacutedszerrel az első jaacuteteacutekosnak nyernie kellene holott a maacutesodiknak van nyerő

strateacutegiaacuteja ellentmondaacutes

Gondoljuk meg a koumlvetkező konkreacutet foglaloacutes jaacuteteacutekot a nyerő strateacutegia szempontjaacuteboacutel

3 Jaacuteteacutek (Trihex) Az 11 aacutebra szerinti jaacuteteacutektaacuteblaacutera keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva helyez egy piros

illetve egy keacutek korongot valamelyik meacuteg uumlres koumlrre Az győz akinek elsőkeacutent sikeruumll

haacuterom egysziacutenű korongot helyeznie a kilenc egyenes vonal valamelyikeacutere

11 Aacutebra A trihex jaacuteteacutek taacuteblaacuteja

Teacutetel A Trihex jaacuteteacutekban az I jaacuteteacutekos nyer

Bizonyiacutetaacutes A teacutetel bizonyiacutetaacutesaacuteban szuumlkseacuteguumlnk lesz keacutet fogalomra szabad egyeneseknek

nevezzuumlk azokat az egyeneseket melyeken egyetlen korong sincs eacutes egy jaacuteteacutekos szaacutemaacutera

feacutelszabad egyenes az az egyenes amelyen van az ő sziacuteneacutenek megfelelő sziacutenű korong de

mentes az ellenfele korongjaitoacutel A bizonyiacutetaacutes soraacuten kollineaacuterisnak nevezuumlnk haacuterom

mezőt ha azok a jaacuteteacutek taacuteblaacutejaacuten egyazon egyenesre illeszkednek

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

11

Az aacutebra uacutegy van megalkotva hogy minden egyenesen haacuterom uumlres koumlr szerepel ahova

a korongokat el kell helyezni tovaacutebbaacute minden ponton aacutet haacuterom egyenes megy aacutet

Megegyezeacutes alapjaacuten I jaacuteteacutekos hasznaacutelja a piros korongokat ellenfele a keacutekeket

Kezdőkeacutent az első leacutepeacutest mindenkeacutepp az egyik olyan mezőre tegyuumlk mely a nagy

haacuteromszoumlg oldalaacuten de nem a csuacutecsaacuten helyezkedik el Ellenfeluumlnk leacutepeacuteseacutetől fuumlggően keacutet

fajta aacutellaacutes joumlhet leacutetre amit kuumlloumln kell vizsgaacutelnunk

a) Ha II nem oldalpontra tesz akkor leacutepeacuteseacutet uacutegy kell koumlvetnuumlnk hogy a keacutet piros

korongunk egyazon feacutelszabad egyenesen legyen Ezutaacuten biztosan adoacutedni fog

legalaacutebb keacutet ilyen feacutelszabad egyenes Ezzel a leacutepeacutessel keacutenyszeriacutetettuumlk a maacutesodik

jaacuteteacutekost hogy keacutek korongjaacutet ezen egyenes harmadik mezőjeacutere helyezze hogy

megakadaacutelyozza a győzelmuumlnket Figyeljuumlnk raacute hogy a feacutelszabad egyenesek koumlzuumll

olyat eacutes annak olyan a pontjaacutet vaacutelasszuk melyen a harmadik ndash meacuteg uumlres hely ndash

nincs egy egyenesen a keacutek koronggal (ellenőrizhető hogy lesz ilyen) hogy ezzel

ne segiacutetsuumlk ellenfeluumlnket Ellenkező esetben megelőlegezzuumlk magunknak a

keacutenyszerhelyzetet Az ezutaacuteni koumlrben ndash a paacutelya sajaacutetossaacutegai miatt ndash lesz olyan

mező ami keacutet 1-1 piros korongot tartalmazoacute feacutelszabad egyenes metszeacutespontja

Foglaljuk el ezt a mezőt Innen koumlnnyen laacutethatoacute hogy megnyerjuumlk a jaacuteteacutekot

b) Maacutesodik eset ha ellenfeluumlnk egy maacutesik oldalpontra (de nem csuacutecsra) teszi keacutek

korongjaacutet Az oldalpontok tulajdonsaacutega hogy minden ponttal kollineaacuterisak csak

egymaacutessal nem Tegyuumlnk most a harmadik oldalpontra Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekos

akaacutermit leacutephet mi fogunk nyerni Ugyanis a keacutet piros sziacutenű oldalpontnak az oumlsszes

meacuteg szabad mezővel van koumlzoumls egyenese tehaacutet baacutermelyik pontra is leszuumlnk

keacutenytelenek tenni (ellenfeluumlnk győzelmeacutenek megakadaacutelyozaacutesa eacuterdekeacuteben) az

biztosan keacutet olyan feacutelszabad egyenesnek lesz metszeacutespontja ami tartalmaz 1-1

piros sziacutenű korongot Innen pedig egyeacutertelműen mi nyeruumlnk

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

12

3 Fejezet Kupacos jaacuteteacutekok

Koumlzkedvelt matematikai jaacuteteacutekok a kupacokba vagy halmokba rendezett taacutergyak

(kavicsok gyufaacutek korongok stb) alkotta jaacuteteacutekok melyekben kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok

szerint szabad elvenni bizonyos szaacutemuacute elemet Ebben a fejezetben kupacokba rendezett

kavicsokroacutel lesz szoacute Tovaacutebbra is a joacute strateacutegia megtalaacutelaacutesa a ceacutel

3 1 Egyszerű egykupacos jaacuteteacutek

4 Jaacuteteacutek Egy kupacban 21 kavics van Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva 1 2 vagy 3

darabot vehetnek el Ez normaacutel jaacuteteacutek vagyis az nyer aki az utolsoacute(ka)t veszi el Kinek

van nyerő strateacutegiaacuteja

Visszafele gondolkodva aki előtt maacuter csak 3 vagy kevesebb korong lesz az meg tudja

nyerni a jaacuteteacutekot hiszen a legfeljebb 3 korongot elvehet Ez nyerő aacutellaacutes A 4 darab kavics

ugyanebből a megfontolaacutesboacutel vesztes aacutellaacutes hiszen akaacuterhaacuteny (1 2 vagy 3) darabot veszuumlnk

is el ellenfeluumlnk elveheti a maradeacutekot eacutes ezzel nyer Tovaacutebbgondolva minden 4∙k (k =

0 1hellip n) darab kavics vesztes aacutellaacutes mert abboacutel leacutepve az elemek szaacutemaacutenak neacuteggyel

oszthatoacutesaacutega nem megtarthatoacute tehaacutet vesztes aacutellaacutesboacutel vesztes aacutellaacutesba nem lehet leacutepni

viszont baacutermely maacutes esetből meg lehet jaacutetszani azokat Speciaacutelisan itt a vesztes aacutellaacutesok

4 8 12 16 20 db korong Ennek megfelelően 21 kavics eseteacuten a kezdő jaacuteteacutekosnak van

nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig előszoumlr 20-ra csoumlkkentve a kavicsok szaacutemaacutet

Eacuterdemes meggondolni ezt a feladatot aacuteltalaacutenosabban is

4 Jaacuteteacutek aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa Adott egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el 1-

től m darabig akaacuterhaacuteny kavicsot Az veszt aki nem tud leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja

eacutes mi az

Aacutelliacutetaacutes Ha m + 1 | n akkor a kezdő jaacuteteacutekos vesziacutet ellenkező esetben viszont neki van

nyerő strateacutegiaacuteja

Bizonyiacutetaacutes Ebben a jaacuteteacutekban biztosan az nyer akinek előszoumlr sikeruumll (m+1)-gyel

oszthatoacute elemszaacutemba leacutepni Ilyen helyzetből indulva baacuterhogyan is leacutepuumlnk nem tudunk

uacutejabb (m+1)-gyel oszthatoacutevaacute tenni a kupac meacutereteacutet miacuteg ellenfeluumlnk ndash akaacuterhogyan is

leacuteptuumlnk ndash a koumlvetkező koumlrben csoumlkkenteni tudja az elemszaacutemot uacutejabb (m+1)-gyel

oszthatoacutevaacute Vegyuumlk eacuteszre hogy a 0 veacutegső vesztes aacutellaacutes is oszthatoacute (m+1)-gyel Ezek

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

13

eacutertelmeacuteben minden (m + 1) ∙ k (k = 0hellipn) darab korong eseteacuten alakul ki vesztes aacutellaacutes

Tehaacutet aki ebből keacutenyszeruumll leacutepni az vesziacutet

Ha a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesakor a kupac meacutereteacutet osztja (m+1) akkor ugyanebből a

meggondolaacutesboacutel koumlvetkezik hogy a kezdő jaacuteteacutekos nem tud nyerni

Tovaacutebbra is kupacokkal eacutes azokboacutel aacutelloacute feladatokkal foglalkozunk A koumlvetkezőkben egy

aacuteltalaacutenosabb jaacuteteacutekcsoportroacutel lesz szoacute

3 2 Nim-jaacuteteacutek eacutes nim-oumlsszeadaacutes

A Nim-jaacuteteacutek Kiacutenaacuteboacutel szaacutermazoacute ma maacuter szeacuteles koumlrben ismert matematikai jaacuteteacutek A

menete a koumlvetkező

Nim-jaacuteteacutek adott n db kupac melyek rendre a1 a2 a3hellip an darab kavicsot tartalmaznak

Keacutet jaacuteteacutekos jaacutetszik akik felvaacuteltva vesznek el akaacuterhaacuteny de legalaacutebb 1 kavicsot valamelyik

tetszőleges kupacboacutel Az nyer aki az utolsoacute kavicsot elveszi Keacuterdeacutes hogy kinek van nyerő

strateacutegiaacuteja

Ezek vagy az ehhez hasonloacute feladvaacutenyok megoldaacutesaacuteban segiacutetseacuteguumlnkre lesz egy uacutej

fogalom a bdquonim-oumlsszeadaacutesrdquo

Definiacutecioacute (nim-oumlsszeadaacutes) Vegyuumlk a nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemok halmazaacutet eacutes azon uacutegy

eacutertelmezzuumlk a nim-oumlsszeadaacutest hogy elemeit kettes szaacutemrendszerbeli alakjukban feliacuterva

adjuk oumlssze modulo 2 azaz nem toumlrődve az egyes helyieacuterteacutekeken adoacutedoacute maradeacutekokkal

Peacutelda 12 25 = 21 hiszen 11002 + 110012 = 101012

Vilaacutegosabbaacute vaacutelik a nim-oumlsszeadaacutes ha a szokaacutesos moacutedon egymaacutes alaacute iacuterva adjuk oumlssze

őket

11002

110012

101012

Ezt a definiacutecioacutet meggondolhatjuk maacuteskeacuteppen is

Definiacutecioacute Jeloumllje 119917120784 a keacutetelemű testet (azaz a modulo 2 szaacutemkoumlrt) eacutes legyen 119917120784infin ennek

veacutegtelen diszkreacutet direktszorzata vagyis az a veacutegtelen dimenzioacutes vektorteacuter amelyben olyan

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

14

0 eacutes 1 koordinaacutetaacutekat tartalmazoacute vektorok vannak melyekben csak veacuteges sok 1-es szaacutem

szerepel

Tekintsuumlk a koumlvetkező koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutest N eacutes 119917120784infin koumlzoumltt iacuterjunk

fel egy adott szaacutemot kettes szaacutemrendszerben de fordiacutetott sorrendben azaz jobbroacutel balra

Vegyuumlk azt a veacutegtelen hosszuacute vektort melynek az első koordinaacutetaacutei eacuteppen ennek a

szaacutemnak a bdquofordiacutetottrdquo kettes szaacutemrendszerbeli alakjaacutenak szaacutemjegyeivel egyezik meg

majd ezeket veacutegtelen sok nulla koumlveti Ez egy egyeacutertelmű megfelelteteacutest ad N eacutes 119917120784infin

elemei koumlzoumltt hiszen egy szaacutem egyetlen vektornak felel meg Azaz ha

119899 = sum 119886119894 ∙ 2119894infin119894=0 ahol 119886119894= 0 vagy 1 akkor az ennek megfelelő vektor (1198860 1198861 1198862 )

Teacutetel A nim-oumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot

Bizonyiacutetaacutes Tudjuk hogy a vektoroumlsszeadaacutes Aacutebel-csoportot alkot Az előzőekben adott

egyeacutertelmű megfelelteteacutessel laacutethatoacute hogy az 119917120784infin-beli veacutegtelen hosszuacute vektorok

oumlsszeadaacutesa eacutes a nim-oumlsszeadaacutes ekvivalens művelet ezeacutert a nim-oumlsszeadaacutes is Aacutebel-

csoportot alkot

A nim-oumlsszeadaacutes tovaacutebbi tulajdonsaacutegai

1 Aacutelliacutetaacutes Minden a szaacutemra a a = 0

Bizonyiacutetaacutes Nem neheacutez meggondolni hogy ha a kettes szaacutemrendszerben keacutet azonos

szaacutemot adunk nim-oumlssze akkor mivel abban az 1-esek eacutes 0-k ugyanazon a helyieacuterteacuteken

aacutellnak az oumlsszeadaacutesukkor azok mind lenullaacutezoacutednak (1 + 1 = 0 + 0 = 0)

2 Aacutelliacutetaacutes Tetszőleges a eacutes b pozitiacutev egeacuteszekre teljesuumll 0 le a b le a + b

Ezt nem bizonyiacutetom de veacutegiggondolhatoacute

3 3 A Nim-jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacuteja

Az egykupacos Nim-jaacuteteacutek nagyon egyszerű nem is nevezhető jaacuteteacuteknak hiszen a kezdő

jaacuteteacutekos elsőre felmarkolhatja az egeacutesz kupacot eacutes veacutege a jaacuteteacuteknak Nem ilyen koumlnnyű

elsőre aacutetlaacutetni a toumlbb kupacos normaacutel Nim-jaacuteteacutekot

Vezessuumlk be a Nim(a1 a2hellip an) jeloumlleacutest arra az n kupacos Nim-jaacuteteacutekra ahol a1

a2hellip an a kuumlloumlnboumlző kupacok elemszaacutema

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

15

Teacutetel

1) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek kupacmeacutereteinek nim-oumlsszege a1 a2 hellip an ne 0

akkor biztosan leacutetezik olyan leacutepeacutes hogy a kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo = 0

2) Ha egy Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekban a1 a2 hellip an = 0 akkor baacutermely leacutepeacutes utaacuten a

kapott Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra a nim-oumlsszeg a1rsquo a2rsquohellip anrsquo 0

Bizonyiacutetaacutes

1) Előszoumlr iacuterjuk fel egymaacutes alaacute a kupacok meacutereteacutet kettes szaacutemrendszerben eacutes adjuk oumlssze

őket nim szerint A ceacutelunk az hogy ezt a kapott oumlsszeget olyan moacutedon 0-ra tudjuk

vaacuteltoztatni ami megfeleltethető egy jaacuteteacutekbeli leacutepeacutessel Ehhez keressuumlk meg azt a

legnagyobb helyieacuterteacuteket (vagyis balroacutel az első olyan oszlopot) ahol paacuteratlan sok 1-es

szerepel - ugyanis ezen a helyieacuterteacuteken a nim-oumlsszegben is 1-es fog szerepelni - eacutes

vaacutelasszuk ki ebből az egyik 1-est legyen ez ai feliacuteraacutesaacuteban Most vaacuteltoztassuk meg ezt

az 1-est 0-ra eacutes ai ettől jobbra leacutevő binaacuteris szaacutemjegyeit is csereacuteljuumlk 1-esre vagy 0-ra

uacutegy hogy veacuteguumll az egeacutesz oumlsszeg 0-ra csoumlkkenjen (Ez megtehető eacutes ezt akkor eacuterjuumlk

el ha minden oszlopban paacuteros szaacutemuacute 1-es lesz) Ezzel a leacutepeacutessel aacuteteacutertuumlnk a Nim(a1rsquo

a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekra ahol aj = aj kiveacuteve j = i-re eacutes ebben 0 a nim-oumlsszeg A

feliacuteraacutesban egy sor a jaacuteteacutekban egy kupac elemszaacutemaacutenak felel meg eacutes egy tetszőleges

sort alkotoacute szaacutem csoumlkkenteacutese valamennyivel ekvivalens azzal hogy a neki megfelelő

kupacboacutel ugyanennyi elemet elveszuumlnk Maacuter csak azt kell belaacutetnunk hogy az eljaacuteraacutes

soraacuten valoacuteban az egyik kupac elemszaacutemaacutet csoumlkkentettuumlk (nem noumlveltuumlk) tehaacutet leacutetezik

ilyen leacutepeacutes Ezt nem neheacutez meggondolni mert a legnagyobb helyieacuterteacuteken aacutelloacute 1-est 0-

ra csereacuteltuumlk ndash legyen ez a 2k helyieacuterteacutek ndash eacutes moumlgoumltte a vaacuteltoztataacutesok utaacuten legfeljebb k

-1 darab 1-es aacutellhat melyek eacuterteacuteke tiacutezes szaacutemrendszerben legfeljebb 1 + 2 + 4 + 8 +

+ 2k-1 = 2kndash1 ami biztosan kisebb az előző szaacutemnaacutel Tehaacutet a leiacutert leacutepeacutesek soraacuten valoacuteban

csoumlkkentettuumlk a kupacok meacutereteacutet

Ezt a bizonyiacutetaacutest egeacutesz egyszerűen aacutet lehet gondolni az előzőek alapjaacuten Laacutettuk hogy

a jaacuteteacutek leacutepeacuteseit hogyan tudjuk maacuteskeacutepp leiacuterni elveacutegezni A levezeteacutesből laacutetszik az

hogy 0 nim-oumlsszegből uacutejabb 0 nim-oumlsszegű aacutellaacutest nem tudunk eleacuterni

a1 a2 hellip an = 0 eseteacuten semelyik oszlopban sem lesz paacuteratlan szaacutemuacute 1-es amit

megcsereacutelve joacutel jaacuternaacutenk viszont egy sorban legalaacutebb egy szaacutemot ki kell csereacutelnuumlnk

mert leacutepni muszaacutej Tehaacutet lesz olyan oszlop a leacutepeacutesuumlnk utaacuten melyben paacuteratlan szaacutemuacute

1-es fog aacutellni iacutegy az oumlsszegben is legalaacutebb egy 1-es szerepelni fog

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

16

Koumlvetkezmeacuteny A Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutek akkor nyerhető meg biztosan ha a kezdő

jaacuteteacutekos előtt leacutevő kupacokban leacutevő kavicsok szaacutemaacutenak Nim-oumlsszege

a1 a2 hellip an ne 0

Bizonyiacutetaacutes Ha 0-toacutel kuumlloumlnboumlző szaacutem a kupacok elemszaacutemaacutenak oumlsszege akkor az előző

teacutetel alapjaacuten a kezdő jaacuteteacutekos tud kialakiacutetani olyan Nim(a1rsquo a2rsquoa3rsquohellip anrsquo) jaacuteteacutekot amire

a1rsquo a2rsquohellip anrsquo= 0 Azt is belaacutettuk hogy ilyen aacutellaacutesboacutel semmilyen leacutepeacutessel nem lehet

uacutejabb 0 nim-oumlsszegűt leacutetrehozni viszont ellenfele tetszőleges leacutepeacutese utaacuten a kezdő mindig

fog tudni uacutegy leacutepni hogy ismeacutet 0 legyen a kupacok szaacutemaacutenak nim-oumlsszege eacutes iacutegy tovaacutebb

Mivel a veacutegső vesztes aacutellaacutesban is 0 a kupacmeacuteretek nim-oumlsszege eacutes oda csak a kezdő tud

leacutepni ezeacutert a Nim(a1 a2hellip an) jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

3 4 Oumlsszegjaacuteteacutekok

Oumlsszegjaacuteteacutekroacutel beszeacuteluumlnk ha toumlbb J veacuteges jaacuteteacutekot egyszerre jaacutetszunk uacutegy hogy egy

leacutepeacutes alatt a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos csak az egyik jaacuteteacutekban leacutephet A Nim-jaacuteteacutek is

oumlsszegjaacuteteacutek amely felfoghatoacute akkeacutepp is hogy egyszerre toumlbb egykupacos jaacuteteacutekot

jaacutetszunk eacutes a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos egyszerre csak az egyik kupacot csoumlkkentheti

Toumlbb ugyanolyan jaacuteteacutek oumlsszegeacutet (mint peacuteldaacuteul a Nim) jeloumlljuumlk nJ-vel ahol J az eredeti

egyszeri jaacuteteacutek n N pedig azt mutatja meg haacutenyszor vesszuumlk ezt a jaacuteteacutekot

Előfordulhat hogy toumlbb kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak akkor

jeloumlleacutesben meg kell kuumlloumlnboumlztetnuumlnk őket egymaacutestoacutel Legyen az előző mintaacutejaacutera ezen

oumlsszegjaacuteteacutek

sum 119869119894

119899

119868=0

ahol n megegyezik a jaacuteteacutekok szaacutemaacuteval eacutes i az elteacuterő jaacuteteacutekokat jeloumlli Iacutegy peacuteldaacuteul keacutet

kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek jeloumlleacutese (J1+J2)

Figyeljuumlk meg hogy az oumlsszegjaacuteteacutekok is veacuteges jaacuteteacutekok hiszen a veacuteges jaacuteteacutekok oumlsszege

is veacuteges jaacuteteacutek előbb-utoacutebb veacuteget eacuternek

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

17

Előszoumlr neacutezzuumlk ugyanannak a jaacuteteacuteknak a valahaacutenyszoros oumlsszegeacutet eacutes keressuumlk meg

azok nyerő jaacuteteacutekosait illetve a joacute strateacutegiaacutejukat

Teacutetel Paacuteratlan n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekot mindig az nyeri akinek az egyszeri J jaacuteteacutekban

van nyerő strateacutegiaacuteja paacuteros n eseteacuten az nJ oumlsszegjaacuteteacutekban mindig a maacutesodik jaacuteteacutekos győz

Bizonyiacutetaacutes

Paacuteratlan szaacutemuacute J-t oumlsszeadva

a) nJ-ben az első jaacuteteacutekos nyer ha J-ben neki van nyerő strateacutegiaacuteja Joacute strateacutegiaacutenak az

bizonyul ha kezdeacuteskeacutepp baacutermelyik jaacuteteacutekot elkezdi J joacute strateacutegiaacuteja szerint majd ha

ellenfele ebben a jaacuteteacutekban vaacutelaszol ő is itt folytatja tovaacutebb ha pedig maacutesodik maacutesik

jaacuteteacutekba kezd bele akkor az első egy harmadik jaacuteteacutekban leacutepi ugyanazokat

b) nJ-t a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri ha neki van J-ben nyerő strateacutegiaacuteja Ha a maacutesodik

jaacuteteacutekos tudja megnyerni a J jaacuteteacutekot akkor az nJ oumlsszeg megnyereacuteseacutehez a kezdő

jaacuteteacutekos aacuteltal vaacutelasztott baacutermelyik jaacuteteacutekot kell folytatnia a Jndashbeli nyerő strateacutegiaacuteja

szerint Ezzel a moacutedszerrel a maacutesodik jaacuteteacutekos megnyeri az oumlsszes J jaacuteteacutekot iacutegy az

oumlsszeguumlket is

Paacuteros szaacutemuacute J oumlsszege eseteacuten mindig a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

meacutegpedig uacutegy kell jaacutetszania hogy a kezdő minden leacutepeacuteseacutet leutaacutenozza egy aacuteltala

kivaacutelasztott maacutesik jaacuteteacutekban iacutegy leacutepeacutesei utaacuten azonos aacutellaacutes alakul ki mindkeacutet jaacuteteacutekban Ha

első tud leacutepni maacutesodik is megteszi azt a leacutepeacutest a maacutesik jaacuteteacutekban veacuteguumll ő nyer

Speciaacutelisan ezt az elvet ismerve koumlnnyedeacuten megmondhatjuk ndash a nim-oumlsszeg

hasznaacutelata neacutelkuumll is ndash hogy egy tetszőleges kupacszaacutemuacute Nim-jaacuteteacutekban ki nyer Ismerjuumlk

az egykupacos Nim-jaacuteteacutek győzteseacutet ugyanis a kezdő jaacuteteacutekos elveheti elsőkeacutent az oumlsszes

kavicsot amivel ő nyer Hasznaacutelva az előző teacutetelt megaacutellapiacutethatjuk hogy azonos meacuteretű

paacuteratlan szaacutemuacute kupac eseteacuten az első jaacuteteacutekos paacuteros kupacszaacutemnaacutel a maacutesodik jaacuteteacutekos nyeri

a belőluumlk keacutepzett Nim-jaacuteteacutekot

Nem ilyen egyszerű a helyzet ha kuumlloumlnboumlző jaacuteteacutekokat adunk oumlssze A koumlvetkező

fejezetben ilyenekre is hozunk peacuteldaacutet

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

18

4 Fejezet Grundy-szaacutemok

A koumlvetkezőkben egy aacuteltalaacutenosabb elmeacutelet keruumll bemutataacutesra amit a jaacuteteacutekoknak egy

szeacuteles csoportjaacuten az egyszerű jaacuteteacutekok koumlreacuteben fogunk hasznaacutelni

Definiacutecioacute (egyszerű jaacuteteacutek) Egyszerű jaacuteteacuteknak nevezzuumlk azt a normaacutel keacutetszemeacutelyes veacuteges

jaacuteteacutekot melyben minden aacutellaacutesnak veacuteges a kifoka a jaacuteteacutek soraacuten a jaacuteteacutekosok baacutermely

aacutellaacutesboacutel ugyanazokat a leacutepeacuteseket tehetik meg (azaz szimmetrikus) teljesen ismerik az

aktuaacutelis aacutellaacutest valamint szabadon akaratuk szerint vaacutelasztjaacutek meg leacutepeacuteseiket a szabaacutely

adta lehetőseacutegek koumlzuumll

Előszoumlr bonyolultnak tűnhet a definiacutecioacute ezeacutert mutatunk egy-egy peacuteldaacutet nemegyszerű

jaacuteteacutekra a koumlnnyebb megeacuterteacutes ceacuteljaacuteboacutel

1 Peacutelda A kaacutertyajaacuteteacutekok aacuteltalaacuteban nem egyszerű jaacuteteacutekok mert ott a jaacuteteacutek koumlzben az

ellenfeacutel lapjairoacutel nem tudunk semmit legfeljebb koumlvetkeztetni tudunk azokra Ezzel

ellenteacutetben a fent emliacutetett Nim-jaacuteteacutek olyan melyben minden informaacutecioacutet (aacutellaacutesokat

leacutepeacuteseket) ismeruumlnk

2 Peacutelda Nem szimmetrikus jaacuteteacutekra peacutelda a sakk hiszen ott csak a sajaacutet baacutebuinkkal

leacutephetuumlnk az ellenfeacutel baacutebuacuteihoz nem nyuacutelhatunk Tehaacutet nem ugyanazokat a leacutepeacuteseket

tehetjuumlk meg egyazon aacutellaacutesboacutel Iacutegy a sakk nem egyszerű jaacuteteacutek

3 Peacutelda Ha egy jaacuteteacutek soraacuten a leacutepeacutesek szaacutemaacutet valamilyen veacuteletlen generaacutelja peacuteldaacuteul

annyit leacutephetuumlnk ahaacutenyat dobunk a kockaacuteval akkor ebben a jaacuteteacutekban nem a jaacuteteacutekosok

hataacuterozzaacutek meg a sajaacutet leacutepeacutesuumlket ezeacutert ez sem tekinthető egyszerű jaacuteteacuteknak

A tovaacutebbiakban csak egyszerű jaacuteteacutekokroacutel lesz szoacute emiatt ezt a tulajdonsaacutegot aacuteltalaacuteban

nem fogjuk kuumlloumln hangsuacutelyozni

Ahogy maacuter fentebb utaltam raacute egy aacuteltalaacutenosabb moacutedot mutatunk a nyerő strateacutegia

megtalaacutelaacutesaacutera A jaacuteteacutekok aacutellaacutesaihoz szaacutemokat fogunk rendelni hasonloacutean mint azt a

toumlbbkupacos Nim-jaacuteteacuteknaacutel tettuumlk Ehhez azonban szuumlkseacuteguumlnk lesz a koumlvetkező

fogalomra

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

19

Definiacutecioacute (legkisebb kizaacutert) Az x1 x2hellip xn szaacutemok legkisebb kizaacutertjaacuten azt a legkisebb

nemnegatiacutev egeacutesz szaacutemot eacutertjuumlk amely nem fordul elő az x1 x2 hellip xn szaacutemok koumlzoumltt

Jeloumlleacutes2 mex (x1 x2 hellip xn)

Most maacuter tudunk egy egyszerű jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutehoz rendelni uacuten Grundy-szaacutemot

az alaacutebb leiacutert moacutedon Nem laacutetszik azonnal hogy ez valoacuteban joacute eacutes műkoumldő definiacutecioacute de

roumlgtoumln utaacutena belaacutetjuk hogy iacutegy van

Definiacutecioacute (aacutellaacutes Grundy-szaacutema) Egy veacuteges jaacuteteacutek aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema 0 ha nincs

raacutekoumlvetkezője (azaz az ebből induloacute jaacuteteacutekos vesziacutet) illetve ha egy aacutellaacutes minden

raacutekoumlvetkezőjeacutenek szaacutemaacutet ismerjuumlk akkor a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutema ezek legkisebb

kizaacutertja

Jeloumlleacutes egy tetszőleges Xi aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet G(Xi) jeloumlli

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutek minden poziacutecioacutejaacutenak van Grundy-szaacutema

Bizonyiacutetaacutes3 Indirekt moacutedon bizonyiacutetunk Tegyuumlk fel hogy az aacutelliacutetaacutessal ellenteacutetben

semelyik aacutellaacuteshoz nem lehet maacuter szaacutemot rendelni meacutegis leacutetezik egy olyan X1 poziacutecioacute

aminek nincs Grundy-szaacutema Ez abban az esetben X1ndashnek kell legyen olyan

raacutekoumlvetkezője aminek szinteacuten nincs szaacutema Ha nem lenne raacutekoumlvetkezője G(X1)=0 lenne

ha pedig minden raacutekoumlvetkezőjeacutehez lenne rendelve Grundy-szaacutem akkor azok legkisebb

kizaacutertja megadnaacute a keacuterdeacuteses G(X1)-et Legyen X2 az X1ndashnek egy ilyen szaacutem neacutelkuumlli

raacutekoumlvetkezője Ha X2-nek nincs szaacutema neki is leacutetezik X3 raacutekoumlvetkezője amihez szinteacuten

nem tartozik Grundy-szaacutem X3-nak X4 ilyen eacutes iacutegy tovaacutebb Mivel veacuteges jaacuteteacutekroacutel van szoacute

veacuteges sok leacutepeacutesben veacuteget kell eacuterjen a jaacuteteacutek iacutegy a kapott X1 X2 X3 X4 hellip sorban ahol

minden Xi+1 az Xi raacutekoumlvetkezője előbb-utoacutebb ismeacutetlődnie kell az egyik aacutellaacutesnak

Azonban ilyenkor lenne koumlr az aacutellapotgraacutefban ami ellentmond a veacuteges jaacuteteacutekok

ciklusmentesseacutegeacutenek

Definiacutecioacute Egy veacuteges jaacuteteacutek Grundy-szaacutema a jaacuteteacutek kezdőaacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema

2 Az angol minimal excluded (legkisebb kizaacutert) kifejezeacutes roumlvidiacuteteacutese

3 A [2] cikk alapjaacuten

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

20

Vilaacutegosan laacutetszik hogy a Nim-jaacuteteacutek veacuteges jaacuteteacutek ezeacutert teacuterjuumlnk vissza az egykupacos

Nim-jaacuteteacutekra eacutes első peacuteldakeacutent neacutezzuumlk meg hogyan szaacutemolhatoacuteak ki ebben a poziacutecioacutek

Grundy-szaacutemai

Teacutetel Az n kavicsot tartalmazoacute normaacutel egykupacos Nim-jaacuteteacutek Grundy-szaacutema n

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacutet hasznaacutelunk Egyetlen olyan aacutellaacutes a jaacuteteacutekban amiből tovaacutebb

nem leacutephetuumlnk vagyis nincs raacutekoumlvetkezője az a 0 kavicsos aacutellapot Iacutegy ennek a Grundy-

szaacutema definiacutecioacute szerint 0 Jeloumlljuumlk itt a kuumlloumlnboumlző poziacutecioacutek Grundy-szaacutemaacutet Gi-vel ahol i

a kupacban leacutevő korongok szaacutema Tehaacutet G0 = 0 Az 1 kavicsot tartalmazoacute kupacnak csak

egyetlen raacutekoumlvetkezője van a 0 elemszaacutemuacute kupac aminek Grundy-szaacutemaacutet maacuter ismerjuumlk

ezeacutert ennek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk hogy

G1 = mex (0) = 1 Hasonloacutean folytatva a keacutet kavicsos aacutellaacutes Grundy-szaacutema

G2 = mex (G0 G1) = mex (01) = 2 A tovaacutebbiakban tegyuumlk fel hogy Gn = n Laacutessuk be

hogy Gn+1 = n + 1 Tudjuk hogy Gn+1 = mex (G0 G1hellip Gn) Mivel az indukcioacutes

felteveacutesuumlnk alapjaacuten minden Gi = i ezeacutert mex (G0 G1hellip Gn) = mex (0 1hellip n) ami nem

maacutes mint n + 1 tehaacutet valoacuteban Gn+1 = n + 1

Ahogy a nim-oumlsszegneacutel is felfedeztuumlnk kuumlloumlnboumlző tulajdonsaacutegokat a veacuteges jaacuteteacutekok

illetve azok aacutellaacutesainak Grundy-szaacutemai is rendelkeznek hasonloacutekkal ezek pedig az

alaacutebbiak

1) vesztő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0

2) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor egyik raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutema sem 0

3) ha egy aacutellaacutes Grundy-szaacutema n gt 0 akkor a raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt van n-1 n-2 hellip 1 0

Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutes is

Teacutetel Egy veacuteges jaacuteteacutekban a kezdő jaacuteteacutekosnak akkor eacutes csak akkor van nyerő strateacutegiaacuteja

ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema nem 0

Bizonyiacutetaacutes4 Ha a kiindulaacutesi poziacutecioacute 0-toacutel kuumlloumlnboumlzik akkor a 3) tulajdonsaacuteg eacutertelmeacuteben

van olyan raacutekoumlvetkező (talaacuten toumlbb is) aminek a Grundy-szaacutema 0 A kezdő vaacutelassza ezek

koumlzuumll valamelyiket Ekkor a maacutesodik jaacuteteacutekossal keacutet eset fordulhat elő vagy azonnal

vesziacutet ndash az 1) eset miatt ndash vagy keacutenytelen pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute aacutellaacutest elfoglalni ndash 2)

tulajdonsaacuteg miatt Baacuterhogy doumlnt a kezdő jaacuteteacutekos ismeacutet pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel

4 [2] cikk alapjaacuten

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

21

leacutephet aminek szinteacuten van 0 szaacutemuacute raacutekoumlvetkezője Ezt előaacutelliacutetva ndash a 3) pont eacutertelmeacuteben

megteheti ndash majd ezt a strateacutegiaacutet folytatva a kezdő nem vesziacutethet

Ellenkező esetben ha a kezdő aacutellaacutes Grundy-szaacutema 0 akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos tud

mindig pozitiacutev Grundy-szaacutemuacute poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacuteba leacutepni ami azt jelenti hogy

ő nyeri a jaacuteteacutekot

Teacutetel Toumlbb egyszerű jaacuteteacutek oumlsszegeacutenek Gundy-szaacutema megegyezik a jaacuteteacutekok Grundy-

szaacutemaacutenak nim-oumlsszegeacutevel Azaz G(X1Xn) = G(X1) G(Xn)

Bizonyiacutetaacutes Legyen f szintfuumlggveacuteny melyre a raacutekoumlvetkező neacutelkuumlli aacutellaacutesok szintje 0

Legyen f (X1Xn) = f (X1) + + f (Xn) ez joacute szintfuumlggveacuteny tovaacutebbaacute J1 Jn

direktoumlsszege J eacutes annak egy aacutellapota (X1Xn)

Bizonyiacutetandoacute hogy G(X1Xn) = G(X1) G(Xn) Ezt f (X1Xn) szerinti

indukcioacuteval laacutetjuk be Az f (X1Xn) = 0 akkor eacutes csak akkor ha (X1Xn) vesztes

aacutellapot J-ben amiknek nincsenek raacutekoumlvetkezői tehaacutet ez rendben van Legyen (X1Xn)

valamilyen aacutellapot eacutes tegyuumlk fel hogy minden f (X1Xn)-neacutel kisebb szintű aacutellapotra

maacuter belaacutettuk az aacutelliacutetaacutest A szint definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben egy aacutellapot szintje mindig nagyobb

a raacutekoumlvetkezői szintjeacuteneacutel

Kell meacuteg egyreacuteszt hogy A = G(X1) G(Xn) nem aacutell elő (X1Xn)

raacutekoumlvetkezőjeacutenek Grundy-szaacutemakeacutent (melyekről maacuter tudjuk az aacutelliacutetaacutest) maacutesreacuteszt hogy

minden A-naacutel kisebb szaacutem viszont igen Hasonloacutean bizonyiacutethatjuk ezt a teacutetelt mint ahogy

a nim-oumlsszegre hozott aacutelliacutetaacutest is igazoltuk A Grundy-szaacutemokat egymaacutes alaacute iacuterva azokat

oumlssze tudjuk nim-adni A leacutepeacutesek megfelelnek a Grundy-szaacutemok nim-oumlsszegeacutenek

vaacuteltoztataacutesaacuteval a szokaacutesos moacutedon Ennek segiacutetseacutegeacutevel belaacutethatoacute hogy A nem de minden

A-naacutel kisebb szaacutem előaacutell (X1Xn) raacutekoumlvetkezőinek Grundy-szaacutemakeacutent Ezt azonban

oumlnaacutelloacute meggondolaacutesra biacutezom

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

22

5 Fejezet Tovaacutebbi jaacuteteacutekok eacutes a Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

Neacutezzuumlnk a tovaacutebbiakban peacuteldaacutekat olyan Nim-jaacuteteacutekkal rokon vagy rokoniacutethatoacute

jaacuteteacutekokra melyek nyertes strateacutegiaacutejaacutenak felfedezeacuteseacutehez szuumlkseacuteges a Grundy-szaacutemok

hasznaacutelata

5 1 Koraacutebban előfordult jaacuteteacutekok Grundy-szaacutemai

Vegyuumlk uacutejra elő azt a koraacutebban leiacutert 3 feladat aacuteltalaacutenosiacutetaacutesa neacuteven szerepelő

egykupacos jaacuteteacutekot amiben n kavics van eacutes a szabaacutelynak megfelelően 1 eacutes m koumlzti

darabszaacutemuacute elemet szabad elvenni Vajon mik lesznek ebben a jaacuteteacutekban az aacutellaacutesok

Grundy-szaacutemai

Az egyetlen raacutekoumlvetkezővel nem rendelkező aacutellaacutes a 0 elemű veacutegaacutellaacutes aminek Grundy-

szaacutema G0 = 0 Az 1 elemű kupacnak csak egy kiszomszeacutedja van (a 0-aacutellaacutes) iacutegy az ő

Grundy-szaacutema G1 = 1 A keacutetelemű kupac Grundy-szaacutema szinteacuten nem tuacutel bonyolult hiszen

innen 1-re eacutes 0-ra leacutephetuumlnk (ha m 2) tehaacutet G2 = 2 Aacuteltalaacutenosabban ha k le m akkor Gk

= k (Ez pont ugyanaz mint a Nim(k)-naacutel) A k = m+1 aacutellaacutes Grundy-szaacutema ismeacutet 0 azaz

vesztő aacutellaacutes hiszen az ebből koumlvetkező jaacuteteacutekos egy leacutepeacutessel legfeljebb m kavicsot vehet

el ami utaacuten a maacutesodik el tudja venni az oumlsszes maradeacutekot Joacutel laacutethatoacute hogy periodikusan

ismeacutetlődik a kiszomszeacutedok Grundy-szaacutemainak halmaza Ez a perioacutedus m+1 hosszuacute

Ebből az koumlvetkezik hogy minden k gt m elemszaacutemuacute kupac eseteacuteben a Gk = k (mod m+1)

vagyis k-nak az m+1-gyel vett maradeacuteka adja a keacuterdeacuteses aacutellaacutes Grundy-szaacutemaacutet

Emleacutekezzuumlnk vissza az első fejezetben leiacutert 2 szaacutemuacute sziacutenezeacutesi jaacuteteacutekra ami oumltletkeacutent

meruumllt fel a dolgozatiacuteraacutes soraacuten (A tovaacutebbiakban ez 2 jaacuteteacutek neacuteven fog futni) A nyertes

strateacutegia kitalaacutelaacutesaacutenak eacuterdekeacuteben elkezdtem kiszaacutemolni az aacutellaacutesok Grundy-szaacutemait

Laacutetszoacutelag nem mutatott semmi szeacutepseacuteget vagy speciaacutelis tulajdonsaacutegot az első huacutesz szaacutem

Azonban tovaacutebbra is eacuterdekelt a dolog eacutes kutattam az interneten5 Kideruumllt hogy leacutetezik

ennek megfeleltethető jaacuteteacutek aminek a neve angolul Dawsonrsquos Chess Ennek menete a

koumlvetkező

5 A httpsoeisorg weboldal segiacutetseacutegeacutevel raacute lehet keresni (nevezetes) szaacutemsorozatokra iacutegy

bukkantam raacute arra jaacuteteacutekra melynek Grundy-szaacutemai megegyeznek az aacuteltalam konstruaacutelt 2 jaacuteteacutek

Grundy-szaacutemaival

23

10 Jaacuteteacutek (Dawsonrsquos Chess) Adott egy 1x n-es teacuteglalap melynek neacutegyzeteibe a jaacuteteacutekosok

felvaacuteltva X-et raknak uacutegy hogy az X jellel ellaacutetott cellaacutek szomszeacutedosak nem lehetnek vagyis

egy X melletti neacutegyzetbe maacutesik X nem keruumllhet Az nyer aki az utolsoacute jelet rakja

Ha jobban meggondoljuk a keacutet jaacuteteacutek megfelel egymaacutesnak Annyi a kuumlloumlnbseacuteg hogy az

itteni neacutegyzetek ott a 2x2-es neacutegyzetek felező vonalainak felelnek meg eacutes az itteni vaacutelasztoacute

raacutecsvonalak pedig a sziacutenezős jaacuteteacutek neacutegyzeteivel egyeznek meg Neacutezzuumlk az alaacutebbi 5 1 aacutebraacuten

szemleacuteltetett peacuteldaacutet

Dawsonrsquos Chess taacutebla egy lehetseacuteges veacutegaacutellaacutessal

A 2 jaacuteteacutek ugyanazt jelentő veacutegső aacutellaacutesa

51 aacutebra

Joacutel laacutethatoacute hogy a 2 jaacuteteacutekban a 2x2-es neacutegyzetek hataacutervonalai eacutepp a Dawsonrsquos Chess-

beli bdquotiltott mezőknekrdquo felelnek meg - amikben nem keruumllhet X jel mert szomszeacutedjukban

maacuter szerepel - mert egy ilyen hataacutervonalra nem eshet maacutesik 2x2-es neacutegyzet felezővonala

hisz akkor a neacutegyzetek takarnaacutek egymaacutest

Feacuteny deruumllt arra6 hogy ennek a jaacuteteacuteknak a Grundy-szaacutemaiboacutel aacutelloacute sorozat 34-es

periodicitaacutesuacute de az elejeacuten van heacutet kiveacutetel a 0 14 16 17 31 34 eacutes 51 helyen aacutelloacute szaacutemok

tekinteteacuteben Utaacutena beaacutell a valoacutedi periodicitaacutes Azok az aacutellaacutesok eacuterdekesek szaacutemunkra a

nyerő strateacutegia kutataacutesa kapcsaacuten melyek Grundy-szaacutema 0 mert ezek a vesztes aacutellaacutesok

Tehaacutet vesztes aacutellaacutesok az elejeacutetől kezdve 1 5 9 15 21 25 29 35 neacutegyzetet tartalmazoacute

kezdőaacutellaacutesok majd az 1 a 15 eacutes 35 kiveacuteteleacutevel ezek k ∙ 34-gyel vett oumlsszegei is vesztő

aacutellaacutesok lesznek a periodicitaacutes miatt

5 2 Jaacuteteacutekok korongokkal

A koumlvetkező jaacuteteacutek a [4] koumlnyvből szaacutermazik

6 Szinteacuten a httpsoeisorg weboldal hasznaacutelataacuteval

X X

24

5 Jaacuteteacutek Egy asztalon sorba 10 korong van lerakva melyeknek egyik oldala feheacuter maacutesik

fekete sziacutenű Ketten jaacutetszanak A soron koumlvetkező mindig kivaacutelaszt egy fekete oldalaacuteval

felfeleacute fekvő korongot majd azt eacutes az oumlsszes tőle jobbra leacutevőt aacutetfordiacutetja a maacutesik oldalaacutera

Akkor van veacutege a jaacuteteacuteknak ha mindegyik korongnak a feheacuter oldala van feluumll Az veszt aki

nem tud toumlbbet leacutepni Kinek van nyerő strateacutegiaacuteja eacutes hogyan tud győzni

A jaacuteteacutek kimenetele eacutes nyertese fuumlgg a kiindulaacutesi helyzettől Tekintsuumlk az alaacutebbi konkreacutet

kezdőaacutellaacutest (5 2 aacutebra)

5 2 aacutebra

A nyertes strateacutegia nem bonyolult sőt eleacuteg keacutezenfekvő ha belegondolunk tudniillik a

veacutegeredmeacuteny egyaacuteltalaacuten nem a jaacuteteacutekosok leacutepeacutesein muacutelik hanem csupaacuten az utolsoacute korong

sziacuteneacutetől fuumlgg Ugyanis egy korong az utolsoacute helyen aacutelloacute biztosan megfordul minden

leacutepeacutesben Ez leacutepeacutesenkeacutent vaacuteltakozva hol feheacuter hol fekete oldalaacuteval lesz feluumll miacuteg ki nem

alakul a veacutegső nyertes ndash oumlsszes feheacuter ndash aacutellaacutes Ha peacuteldaacuteul kezdetben fekete az utolsoacute

korong akkor az mindig a kezdő jaacuteteacutekos forgataacutesai nyomaacuten fog a feheacuter oldalaacuteval felfeleacute

keruumllni A jaacuteteacutek egyszer veacuteget eacuter eacutes tudjuk hogy az utolsoacute leacutepeacutes a kezdő jaacuteteacutekoseacute lesz

tehaacutet ő nyer Ellenkező esetben - ha a kezdő aacutellapotban feheacuter az utolsoacute korong - a maacutesodik

jaacuteteacutekoseacute a győzelem Tehaacutet teljesen mindegy haacuteny koronggal jaacutetszunk a győztest mindig

a sorban elhelyezett utolsoacute korong sziacutene fogja elaacuterulni Ha az a fekete oldalaacuteval felfeleacute

fekszik akkor a kezdő ha feheacuter sziacutene laacutetszik akkor a maacutesodik jaacuteteacutekos nyer Iacutegy a fenti

jaacuteteacutekot a kezdő jaacuteteacutekos nyeri

Ha feladatban moacutedosiacutetjuk kicsit a szabaacutelyokat akkor a megoldaacutes is bonyoloacutedik eacutes itt

maacuter fel kell hasznaacutelnunk a Grundy-szaacutemokat illetve a nim-oumlsszeget A koumlvetkező feladat

eacutes megoldaacutesi oumltlete [2] forraacutesboacutel szaacutermazik

6 Jaacuteteacutek Legyen ismeacutet 10 darab korongunk az asztalra sorba lehelyezve A jaacuteteacutekosok

keacutetfeacutele leacutepeacutest hajthatnak veacutegre vagy megfordiacutetanak egy fekete oldalaacuteval felfeleacute fekvő

korongot vagy keacutet korongot fordiacutetanak meg melyek koumlzuumll a jobbraacutebb levő fekte Az vesziacutet

aki nem tud toumlbbet leacutepni

25

A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 3 aacutebra

Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak

nim-oumlsszege

Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik

korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha

feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot

kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet

jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-

jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy

fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal

egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi

kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet

eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is

jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)

1 2 3

5 4 aacutebra

Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet

Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot

Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy

az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel

eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek

26

most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a

Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk

1 2 3

5 5 aacutebra

Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen

formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt

hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a

kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem

befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve

teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek

Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek

vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni

Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel

lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a

győzelemhez

5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam

7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető

akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel

előtti mennyiseacuteghez

Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek

egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el

ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet

azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a

kupacban

Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik

Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet

27

tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1

kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is

elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem

eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =

= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban

G(Rn)-et

Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint

n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az

első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)

Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk

a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics

marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy

minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel

egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab

kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem

joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak

Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz

a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute

kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői

koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0

b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet

hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be

hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes

annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg

1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely

kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent

2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k

1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute

raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash

ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp

a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb

priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a

28

jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek

nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek

elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash

hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert

kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute

kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes

2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m

elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb

priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt

k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek

A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő

strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk

8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad

kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja

legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is

elvehetjuumlk)

Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő

tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz

melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk

Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean

G(Di)

Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1

Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva

laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek

bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1

29

1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i

2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan

1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute

kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute

kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei

azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet

elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =

21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i

2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet

eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n

raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l

paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1

Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban

ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra

G(Da) = 0 + 1 = 1

Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek

9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az

egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a

Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya

szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)

Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg

Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal

Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon

mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)

= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet

a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5

kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre

30

11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik

kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az

nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi

Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-

ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet

Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik

jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem

hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy

speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok

bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A

Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő

nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk

valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval

deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek

a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)

stb kupacmeacuteretek

Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt

de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt

5 4 Fibonacci-nim

A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik

13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el

kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve

utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint

amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben

Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz

szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa

előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban

31

Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat

i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2

Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a

koumlvetkező taacuteblaacutezat

Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok

Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő

Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok

oumlsszegeacutere

Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899

Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel

hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga

Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem

akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-

szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert

119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa

kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem

Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele

keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen

Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip

Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel

minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok

legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot

vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)

7 [1] alapjaacuten

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

32

(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre

kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)

A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten

Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak

kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es

szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak

megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet

Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =

= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862

Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere

Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43

Fibonacci-alakjaacutenak

Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik

szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1

Fibonacci-szaacutemot

A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes

Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es

szaacutemjegy

Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte

tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes

melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben

ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont

levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami

koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez

ellentmondaacutes

A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a

Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera

Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az

első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

25

A megoldaacutes veacutegett szaacutemozzuk meg a korongokat balroacutel jobbra

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 3 aacutebra

Aacutelliacutetaacutes A 6 jaacuteteacutek egy aacutellaacutesaacutenak Grundy-szaacutema eacutepp a fekete sziacutenű korongok sorszaacutemaacutenak

nim-oumlsszege

Bizonyiacutetaacutes Alkossunk ebből a jaacuteteacutekboacutel Nim-jaacuteteacutekot a koumlvetkező keacuteppen Ha az i-edik

korong sziacutene fekete akkor tekintsuumlnk egy ekkora elemszaacutemuacute kupacot a Nim-jaacuteteacutekban ha

feheacuter sziacutenű egy korong akkor nincs ilyen kupacunk Ezzel egy szokaacutesos Nim-jaacuteteacutekot

kapunk Azeacutert tehetjuumlk meg ezt mert a leacutepeacutesek eacutepp ugyanazt eredmeacutenyezik mindkeacutet

jaacuteteacutekban amennyiben megfordiacutetunk egy fekete korongot az annak felel meg ha nim-

jaacuteteacutekban azt a kupacot teljes egeacuteszeacuteben elvesszuumlk eacutes megszűnik Ha egy feheacuter eacutes egy

fekete korongot fordiacutetunk meg melyek koumlzuumll a fekete a jobb oldali akkor azzal

egyeneacuterteacutekű mintha a nim-jaacuteteacutekban bizonyos szaacutemuacute kavicsot elvettuumlnk volna az addigi

kupacboacutel uacutegy hogy a feketeacutere fordiacutetott korong sorszaacutemaacutenak megfelelő kupacmeacuteretet

eacutertuumlnk el (Mert a bal oldali korong sorszaacutema kisebb eacutes iacutegy kisebb elemszaacutemuacute kupacot is

jelent) Tekintsuumlnk erre magyaraacutezatul egy peacuteldaacutet (5 4 aacutebra)

1 2 3

5 4 aacutebra

Ebben a kis jaacuteteacutekban illusztraacuteljuk a korongforgataacutesi leacutepeacutesek eacutes a Nim-jaacuteteacutek kapcsolataacutet

Tekintsuumlk ennek mintaacutejaacutera a 2 eacutes 3 elmeszaacutemuacute kupacokkal jaacutetszott Nim-jaacuteteacutekot

Vilaacutegosan laacutetszik hogy ha megfordiacutetjuk peacuteldaacuteul a 2 szaacutemuacute fekete sziacutenű korongot eacutes iacutegy

az feheacuter lesz akkor ez a leacutepeacutes megegyezik azzal hogy a Nim-jaacuteteacutekban egy leacutepeacutessel

eltuumlntetjuumlk a 2 elemű kupacot Keacutet szabaacutelyos helyzetű korong megfordiacutetaacutesaacuteval ndash legyenek

26

most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a

Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk

1 2 3

5 5 aacutebra

Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen

formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt

hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a

kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem

befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve

teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek

Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek

vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni

Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel

lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a

győzelemhez

5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam

7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető

akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel

előtti mennyiseacuteghez

Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek

egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el

ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet

azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a

kupacban

Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik

Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet

27

tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1

kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is

elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem

eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =

= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban

G(Rn)-et

Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint

n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az

első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)

Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk

a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics

marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy

minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel

egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab

kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem

joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak

Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz

a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute

kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői

koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0

b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet

hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be

hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes

annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg

1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely

kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent

2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k

1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute

raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash

ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp

a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb

priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a

28

jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek

nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek

elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash

hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert

kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute

kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes

2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m

elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb

priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt

k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek

A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő

strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk

8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad

kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja

legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is

elvehetjuumlk)

Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő

tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz

melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk

Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean

G(Di)

Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1

Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva

laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek

bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1

29

1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i

2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan

1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute

kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute

kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei

azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet

elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =

21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i

2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet

eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n

raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l

paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1

Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban

ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra

G(Da) = 0 + 1 = 1

Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek

9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az

egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a

Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya

szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)

Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg

Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal

Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon

mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)

= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet

a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5

kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre

30

11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik

kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az

nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi

Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-

ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet

Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik

jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem

hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy

speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok

bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A

Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő

nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk

valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval

deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek

a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)

stb kupacmeacuteretek

Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt

de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt

5 4 Fibonacci-nim

A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik

13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el

kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve

utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint

amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben

Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz

szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa

előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban

31

Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat

i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2

Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a

koumlvetkező taacuteblaacutezat

Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok

Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő

Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok

oumlsszegeacutere

Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899

Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel

hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga

Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem

akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-

szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert

119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa

kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem

Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele

keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen

Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip

Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel

minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok

legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot

vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)

7 [1] alapjaacuten

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

32

(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre

kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)

A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten

Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak

kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es

szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak

megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet

Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =

= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862

Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere

Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43

Fibonacci-alakjaacutenak

Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik

szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1

Fibonacci-szaacutemot

A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes

Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es

szaacutemjegy

Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte

tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes

melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben

ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont

levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami

koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez

ellentmondaacutes

A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a

Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera

Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az

első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

26

most ezek az 1 eacutes 2 szaacutemuacuteak ndash az 55-oumls aacutebraacuten laacutethatoacute aacutellaacutes joumln leacutetre ami ekvivalens a

Nim-jaacuteteacutek azon leacutepeacuteseacutevel hogy a 2 elemű kupacboacutel 1 kavicsot elveszuumlnk

1 2 3

5 5 aacutebra

Keacutet fekete korong megfordiacutetaacutesa keacutet kupac teljes elveacuteteleacutet jelenteneacute a Nimben ami ilyen

formaacuteban nem szabaacutelyos Azonban ha jobban meggondoljuk ez a leacutepeacutes jelentheti azt

hogy a nagyobb meacuteretű kupacboacutel elveszuumlnk annyi kavicsot hogy az egyenlő legyen a

kisebb elemszaacutemaacuteval mert a nim-oumlsszeadaacutes miatt keacutet azonos meacuteretű kupac nem

befolyaacutesolja az egeacutesz jaacuteteacutek Grundy-szaacutemaacutet azaz a keacutet kupac kiegyenliacuteteacuteseacutevel illetve

teljes elveacuteteluumlkkel kapott Nim-aacutellaacutesok Grundy-szaacutemai megegyeznek

Az 5 3 aacutebra alapjaacuten kialakult aacutellaacutes Grundy-szaacutema tehaacutet 3 10 = 10 A jaacuteteacutek

vesztő aacutellaacutesainak Grundy-szaacutema 0 azaz ha ilyen aacutellaacutesroacutel indul valaki az nem tud nyerni

Ebből a poziacutecioacuteboacutel 0 Grundy-szaacutemuacutet keacutepezni csak a 10 elemű kupac teljes elveacuteteleacutevel

lehetseacuteges Tehaacutet a 10-es szaacutemuacute fekete korongot kell megfordiacutetani előszoumlr a

győzelemhez

5 3 A Nim-jaacuteteacutek variaacutensai

A most koumlvetkező haacuterom jaacuteteacutekkal a [2] cikkben talaacutelkoztam

7 Jaacuteteacutek (Rim-jaacuteteacutek) Adott neacutehaacuteny kupac kavics A kupacok egyikeacuteből elvehető

akaacutermennyi kavics de csak uacutegy hogy az elvett elemek szaacutema relatiacutev priacutem legyen az elveacutetel

előtti mennyiseacuteghez

Ez a jaacuteteacutek toumlbb egykupacos uacuten bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacuteknak oumlsszege A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek

egy n darab taacutergyat (kavicsot) tartalmazoacute kupacroacutel szoacutel amelyből k elemet vehetuumlnk el

ha k eacutes n relatiacutev priacutemek Ebből koumlvetkezik hogy 1-et mindig elvehetuumlnk az oumlsszes elemet

azonban sosem (mert n oumlnmagaacuteval nem relatiacutev priacutem) kiveacuteve ha 1 darab marad a

kupacban

Jeloumlljuumlk itt az i elemszaacutemuacute Rim-kupacok Grundy-szaacutemaacutet G(Ri)-vel Az első eacutes maacutesodik

Grundy-szaacutem koumlnnyen megmondhatoacute G0 = 0 eacutes G1 = mex (G0) = 1 Ha keacutet elemet

27

tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1

kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is

elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem

eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =

= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban

G(Rn)-et

Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint

n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az

első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)

Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk

a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics

marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy

minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel

egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab

kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem

joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak

Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz

a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute

kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői

koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0

b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet

hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be

hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes

annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg

1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely

kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent

2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k

1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute

raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash

ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp

a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb

priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a

28

jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek

nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek

elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash

hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert

kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute

kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes

2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m

elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb

priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt

k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek

A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő

strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk

8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad

kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja

legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is

elvehetjuumlk)

Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő

tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz

melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk

Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean

G(Di)

Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1

Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva

laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek

bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1

29

1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i

2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan

1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute

kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute

kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei

azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet

elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =

21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i

2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet

eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n

raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l

paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1

Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban

ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra

G(Da) = 0 + 1 = 1

Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek

9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az

egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a

Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya

szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)

Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg

Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal

Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon

mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)

= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet

a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5

kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre

30

11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik

kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az

nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi

Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-

ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet

Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik

jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem

hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy

speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok

bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A

Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő

nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk

valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval

deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek

a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)

stb kupacmeacuteretek

Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt

de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt

5 4 Fibonacci-nim

A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik

13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el

kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve

utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint

amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben

Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz

szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa

előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban

31

Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat

i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2

Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a

koumlvetkező taacuteblaacutezat

Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok

Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő

Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok

oumlsszegeacutere

Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899

Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel

hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga

Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem

akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-

szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert

119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa

kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem

Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele

keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen

Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip

Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel

minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok

legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot

vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)

7 [1] alapjaacuten

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

32

(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre

kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)

A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten

Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak

kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es

szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak

megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet

Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =

= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862

Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere

Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43

Fibonacci-alakjaacutenak

Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik

szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1

Fibonacci-szaacutemot

A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes

Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es

szaacutemjegy

Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte

tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes

melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben

ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont

levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami

koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez

ellentmondaacutes

A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a

Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera

Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az

első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

27

tartalmaz a kiindulaacutesi kupac akkor a szabaacutelynak megfelelően az egyetlen lehetőseacuteg 1

kavics elveacutetele ezeacutert G(R2) = mex (1) = 0 Haacuteromelemű kezdőkupacboacutel 1 eacutes 2 elemet is

elvehetuumlnk iacutegy kapjuk hogy G(R3) = mex (G(R1) G(R2) ) = mex (1 0) = 2 Neacutegy elem

eseteacuten G4 = mex (G1 G3) = 0 Hasonloacutean G5 = mex (G(R1) G(R2) G(R3) G(R4)) =

= mex (1 2 0 2) = 3 eacutes iacutegy tovaacutebb A koumlvetkező teacutetelben meghataacuterozzuk aacuteltalaacutenossaacutegban

G(Rn)-et

Teacutetel A bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutekban minden paacuteros n elemszaacutemuacute kupacra G(Rn) = 0 valamint

n paacuteratlan elemszaacutem eseteacuten G(Rn) = k ha n legkisebb priacutemosztoacuteja a k-adik priacutemszaacutem (Az

első priacutemszaacutem a 2 maacutesodik a 3 stb)

Bizonyiacutetaacutes n-re vonatkozoacute teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk

a) ha n paacuteros Semelyik esetben sem lehet az egeacutesz kupacot elvenni kiveacuteve ha 1 kavics

marad a kupacban Laacutettuk hogy G(R0) = G2 = 0 Legyen n paacuteros Tegyuumlk fel hogy

minden n-neacutel nem nagyobb paacuteros k szaacutemra G(Rk) = 0 Laacutessuk be ezt (n+2)-re is Mivel

egy paacuteros szaacutem semelyik maacutesik paacuteros szaacutemmal sem relatiacutev priacutem ezeacutert paacuteros darab

kavicsot nem vehetuumlnk el a kupacboacutel ennek okaacuten uacutejabb paacuteros elemszaacutemuacute aacutellaacutes sem

joumlhet leacutetre Paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac ugyan lehet (n+2) kiszomszeacutedja de annak

Grundy-szaacutema biztosan nem 0 mert 1 kavicsot baacutermelyik aacutellaacutesboacutel elvehetuumlnk iacutegy lesz

a paacuteratlan elemszaacutemuacute kupac raacutekoumlvetkezői koumlzoumltt n-neacutel nem nagyobb paacuteros elemszaacutemuacute

kupac aminek Grundy-szaacutema 0 Tehaacutet (n+2) elemet tartalmazoacute kupac raacutekoumlvetkezői

koumlzoumltt nem lesz 0 Grundy-szaacutemuacute iacutegy azok legkisebb kizaacutertja eacutepp a 0

b) ha n paacuteratlan Tudjuk hogy G1 = 1 eacutes azt is laacutettuk hogy G3 = 2 Itt is teljes indukcioacutet

hasznaacutelunk Tegyuumlk fel hogy igaz a fenti aacutelliacutetaacutes minden paacuteratlan n-re Bizonyiacutetsuk be

hogy ez az n+2 paacuteratlan szaacutemra is oumlroumlklődik Legyen n+2 legkisebb priacutemosztoacuteja p eacutes

annak sorszaacutema k Ahhoz hogy belaacutessuk hogy Gn+2 = k keacutet dologra van szuumlkseacuteg

1) Minden k-naacutel kisebb szaacutem előfordul az n+2 elemszaacutemuacute aacutellaacutes valamely

kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutemakeacutent

2) Az n+2 elemű kupac egyik kiszomszeacutedjaacutenak Grundy-szaacutema sem k

1) igazolaacutesa 1-et eacutes n+1-et mindig leacutephetuumlnk tehaacutet 1 eacutes 0 Grundy-szaacutemuacute

raacutekoumlvetkezője minden aacutellaacutesnak van Legyen q egy tetszőleges p-neacutel kisebb priacutem ndash

ennek sorszaacutema k-naacutel kisebb eacutes az indukcioacute szerint a q elemű aacutellaacutes Grundy-szaacutema eacutepp

a q sorszaacutema Ekkor meg kell mutatnunk hogy n+2ndashből aminek legkisebb

priacutemosztoacuteja p a q elemszaacutemuacute kupacba leacutepeacutes szabaacutelyos Ez azeacutert igaz mert a

28

jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek

nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek

elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash

hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert

kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute

kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes

2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m

elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb

priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt

k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek

A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő

strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk

8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad

kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja

legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is

elvehetjuumlk)

Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő

tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz

melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk

Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean

G(Di)

Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1

Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva

laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek

bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1

29

1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i

2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan

1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute

kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute

kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei

azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet

elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =

21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i

2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet

eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n

raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l

paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1

Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban

ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra

G(Da) = 0 + 1 = 1

Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek

9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az

egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a

Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya

szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)

Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg

Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal

Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon

mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)

= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet

a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5

kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre

30

11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik

kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az

nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi

Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-

ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet

Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik

jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem

hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy

speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok

bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A

Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő

nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk

valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval

deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek

a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)

stb kupacmeacuteretek

Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt

de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt

5 4 Fibonacci-nim

A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik

13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el

kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve

utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint

amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben

Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz

szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa

előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban

31

Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat

i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2

Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a

koumlvetkező taacuteblaacutezat

Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok

Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő

Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok

oumlsszegeacutere

Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899

Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel

hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga

Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem

akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-

szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert

119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa

kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem

Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele

keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen

Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip

Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel

minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok

legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot

vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)

7 [1] alapjaacuten

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

32

(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre

kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)

A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten

Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak

kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es

szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak

megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet

Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =

= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862

Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere

Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43

Fibonacci-alakjaacutenak

Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik

szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1

Fibonacci-szaacutemot

A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes

Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es

szaacutemjegy

Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte

tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes

melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben

ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont

levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami

koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez

ellentmondaacutes

A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a

Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera

Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az

első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

28

jaacuteteacutekszabaacutely eacutertelmeacuteben egy aacutellaacutes elemszaacutemaacutenak eacutes az abboacutel elvett mennyiseacutegnek

nincs valoacutedi koumlzoumls osztoacuteja maacuterpedig ekkor az eredeti kupac eacutes annak raacutekoumlvetkezőinek

elemszaacutema is relatiacutev priacutem egymaacuteshoz Mivel n+2 eacutes q egymaacuteshoz relatiacutev priacutemek ndash

hiszen q nem osztja n+2-t mert annak p a legkisebb priacutemosztoacuteja eacutes q lt p ndash ezeacutert

kuumlloumlnbseacuteguumlk is relatiacutev priacutem mindkettőhoumlz vagyis n+2-ből (n+2 ndash q) darabszaacutemuacute

kavics elveacutetele szabaacutelyos leacutepeacutes

2) igazolaacutesa meg kell mutatnunk hogy n+2-ből szabaacutelyos leacutepeacutes soraacuten a kapott m

elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema sosem k azaz hogy p nem lehet m-nek legkisebb

priacutemosztoacuteja Ezt koumlnnyű meggondolni mert n+2 eacutes m relatiacutev priacutem tulajdonsaacutega miatt

k semmifeacutele osztoacuteja nem lehet m-nek

A Rim-jaacuteteacutek tehaacutet ennek az oumlsszege (avagy toumlbb kupacos verzioacuteja) Iacutegy a nyerő

strateacutegiaacutehoz elegendő a bdquorelatiacutev priacutemrdquo jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait ismernuumlnk

8 jaacuteteacutek (Dim-jaacuteteacutek) Adott toumlbb kupac kavics A szabaacutely eacutertelmeacuteben uacutegy szabad

kavicsokat elvenni az egyik tetszőleges kupacboacutel hogy az elvett darabok szaacutema osztoacuteja

legyen a kupac elveacutetel előtti elemszaacutemaacutenak (Itt akaacuter egy kupac oumlsszes elemeacutet is

elvehetjuumlk)

Itt is megaacutellapiacutethatjuk hogy egy nim-tiacutepusuacute jaacuteteacutek oumlsszegeacuteről van szoacute Azaz elegendő

tudnunk az ugyanilyen szabaacutelyuacute egykupacos jaacuteteacutek Grundy-szaacutemait a nyerő strateacutegiaacutehoz

melyből az első neacutehaacutenyat taacuteblaacutezatba foglaltuk

Jeloumllje az i elemszaacutemuacute Dim-jaacuteteacutekbeli kupacok Grundy-szaacutemaacutet az előzőhoumlz hasonloacutean

G(Di)

Teacutetel Ha n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan akkor G(Dn) = k + 1

Bizonyiacutetaacutes Teljes indukcioacuteval bizonyiacutetunk Tudjuk hogy G(D0) = 0 eacutes G(D1) = 1

Tegyuumlk foumll hogy minden n-neacutel kisebb szaacutemra maacuter igazoltuk az aacutelliacutetaacutest eacutes ezt felhasznaacutelva

laacutessuk be n-re is amire igaz hogy n = (2k)∙m ahol m paacuteratlan Hasonloacutean az előző jaacuteteacutek

bizonyiacutetaacutesaacutehoz itt is keacutet dolgot kell igazolni

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

G(Dn) 0 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1

29

1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i

2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan

1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute

kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute

kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei

azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet

elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =

21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i

2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet

eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n

raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l

paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1

Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban

ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra

G(Da) = 0 + 1 = 1

Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek

9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az

egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a

Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya

szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)

Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg

Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal

Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon

mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)

= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet

a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5

kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre

30

11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik

kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az

nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi

Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-

ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet

Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik

jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem

hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy

speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok

bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A

Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő

nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk

valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval

deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek

a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)

stb kupacmeacuteretek

Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt

de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt

5 4 Fibonacci-nim

A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik

13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el

kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve

utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint

amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben

Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz

szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa

előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban

31

Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat

i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2

Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a

koumlvetkező taacuteblaacutezat

Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok

Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő

Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok

oumlsszegeacutere

Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899

Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel

hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga

Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem

akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-

szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert

119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa

kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem

Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele

keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen

Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip

Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel

minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok

legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot

vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)

7 [1] alapjaacuten

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

32

(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre

kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)

A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten

Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak

kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es

szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak

megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet

Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =

= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862

Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere

Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43

Fibonacci-alakjaacutenak

Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik

szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1

Fibonacci-szaacutemot

A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes

Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es

szaacutemjegy

Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte

tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes

melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben

ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont

levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami

koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez

ellentmondaacutes

A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a

Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera

Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az

első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

29

1) minden i le k szaacutemra van olyan kiszomszeacutedja n-nek amely Grundy-szaacutema i

2) Az n elemű kupac egyik kiszomszeacutedja sem (2k)∙l elemű ahol l paacuteratlan

1)-hez i = 0 triviaacutelis eset Kell meacuteg hogy minden 0 lt i le k-ra nndashnek leacutetezik 2(i-1)∙h alakuacute

kiszomszeacutedja ahol h valamilyen paacuteratlan szaacutem Gondoljuk meg hogy az n elemszaacutemuacute

kupacboacutel szabaacutelyos leacutepeacutessel aacutet lehet leacutepni minden 2(i-1)∙m elemű kupacba mert n osztoacutei

azok a 2v szaacutemok (m-en kiacutevuumll) ahol v = 0 1hellip k eacutes ezen mennyiseacutegek baacutermelyikeacutet

elveacuteve n-ből eacutepp ilyen 2(i-1)∙m alakuacute szaacutemokat kapunk (Peacuteldaacuteul 24 ndash 2 = 23∙ 3 ndash 2 = 22 =

21∙ 11) Ezek Grundy-szaacutema pedig eacuteppen i

2)-hez Ahogy maacuter megaacutellapiacutetottuk n osztoacutei a 2v szaacutemok ahol v = 0 1hellip k eacutes az m tehaacutet

eacutepp n eacutes ezen szaacutemok kuumlloumlnbseacutegeinek megfelelő elemszaacutemuacute kupacok lesznek n

raacutekoumlvetkezői Ezek koumlzoumltt azonban nem szerepelhet olyan (2k)∙l elemszaacutemuacute kupac ahol l

paacuteratlan tehaacutet azok Grundy-szaacutema sem lehet k+1

Koumlvetkezmeacuteny A Dim-jaacuteteacutekban minden paacuteratlan a elemszaacutemuacute kupac Grundy-szaacutema 1

Bizonyiacutetaacutes Vegyuumlk eacuteszre hogy minden a paacuteratlan szaacutem előaacutell a fenti a = (2k)∙m alakban

ahol 2k = 1 eacutes a = m Ekkor k = 0 iacutegy az előző teacutetel alapjaacuten minden a paacuteratlan szaacutemra

G(Da) = 0 + 1 = 1

Az előző jaacuteteacutekok kevereacutekekeacutent előaacutellhat az alaacutebbi jaacuteteacutek

9 Jaacuteteacutek (Ridinim-jaacuteteacutek) Van haacuterom kupac kavicsunk A jaacuteteacutek soraacuten egyszerre csak az

egyik kupacboacutel szabad elvenni kavicsokat a koumlvetkező moacutedon az első kupacboacutel csak a

Rim-jaacuteteacutek szabaacutelya szerint (relatiacutev priacutemek) maacutesodik kupacboacutel csak a Dim-jaacuteteacutek szabaacutelya

szerint (osztoacutek) a harmadik kupacboacutel pedig a Nim-jaacuteteacuteknak megfelelően (akaacutermennyit)

Megaacutellapiacutethatjuk hogy a Ridinim-jaacuteteacutek nyertese a haacuterom jaacuteteacutek kimeneteleacutetől fuumlgg

Neacutezzuumlnk egy konkreacutet peacuteldaacutet erre a vaacuteltozatra Jeloumllje a Rim tipusuacute kupacot i elemszaacutemmal

Ri a Dim- kupacot j elemszaacutemmal Dj eacutes a k elemű Nim-kupacot Nk Tartalmazzon

mindegyik kupac 7 kavicsot Ebben az esetben a koraacutebban megaacutellapiacutetottak alapjaacuten G(R7)

= 4 G(D7) = 1 G(N7) = 7 Ezen szaacutemok nim-oumlsszege azaz a jaacuteteacutek Grundy-szaacutema 2 Tehaacutet

a kezdő jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja meacutegpedig a harmadik kupacot csoumlkkentve 5

kavicsra Ekkor a kupacok nim-oumlsszege 0 lesz tehaacutet vesztő aacutellaacutest hoz leacutetre

30

11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik

kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az

nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi

Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-

ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet

Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik

jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem

hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy

speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok

bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A

Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő

nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk

valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval

deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek

a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)

stb kupacmeacuteretek

Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt

de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt

5 4 Fibonacci-nim

A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik

13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el

kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve

utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint

amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben

Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz

szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa

előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban

31

Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat

i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2

Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a

koumlvetkező taacuteblaacutezat

Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok

Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő

Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok

oumlsszegeacutere

Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899

Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel

hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga

Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem

akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-

szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert

119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa

kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem

Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele

keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen

Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip

Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel

minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok

legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot

vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)

7 [1] alapjaacuten

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

32

(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre

kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)

A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten

Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak

kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es

szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak

megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet

Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =

= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862

Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere

Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43

Fibonacci-alakjaacutenak

Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik

szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1

Fibonacci-szaacutemot

A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes

Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es

szaacutemjegy

Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte

tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes

melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben

ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont

levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami

koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez

ellentmondaacutes

A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a

Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera

Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az

első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

30

11 jaacuteteacutek (Wythoff-nim) Keacutet kupac kavics adott Keacutet jaacuteteacutekos felvaacuteltva vesz el az egyik

kupacboacutel akaacuterhaacuteny vagy mindkeacutet kupacboacutel ugyanannyi (tetszőleges) szaacutemuacute kavicsot Az

nyer aki az utolsoacute(ka)t elveszi

Megjegyzeacutes A jaacuteteacutek neveacutet a holland W A Wythoff matematikusroacutel kapta akinek 1907-

ben sikeruumllt meghataacuteroznia a jaacuteteacutek nyerő strateacutegiaacutejaacutet

Ez a nim-hez hasonloacute jaacuteteacutek nem oumlsszegjaacuteteacutek (mert egyszerre nem csak az egyik

jaacuteteacutekban leacutephetuumlnk) ezeacutert a Grundy-szaacutemait nehezebb meghataacuterozni mert nem

hasznaacutelhatjuk raacute a joacutel bevaacutelt nim-oumlsszeadaacutest Vegyuumlk eacuteszre hogy ennek a jaacuteteacuteknak egy

speciaacutelis esete maacuter szerepelt koraacutebban a szakdolgozat elejeacuten Ez eacutepp az aacutellaacutesok

bemutataacutesaacutera hozott kiraacutelynős 0 jaacuteteacutekkal azonos 8 eacutes 10 elemszaacutemuacute kupacok eseteacuten A

Wythoff-nim jaacuteteacutekban a keacutet kupac valamelyikeacutenek csoumlkkenteacutese megfelel abban a kiraacutelynő

nyugati vagy deacuteli iraacutenyuacute mozgataacutesaacutenak ha pedig itt mindkeacutet kupacboacutel elveszuumlnk

valamennyi egyenlő szaacutemuacute kavicsot az abban a jaacuteteacutekban eacutepp azt jelenti hogy a baacutebuval

deacutelnyugat feleacute azaz aacutetloacutesan leacutepuumlnk A nyerő eacutes vesztes aacutellaacutesok ugyanazon mezők lesznek

a keacutet jaacuteteacutekban iacutegy a Wytthoff-jaacuteteacutek első neacutehaacuteny vesztes aacutellaacutesa az (11) (23) (32) (46)

stb kupacmeacuteretek

Az aacuteltalaacutenos Wythoff-nim jaacuteteacutekra nyerő strateacutegiaacutet nem adunk a jaacuteteacutek bonyolultsaacutega miatt

de [1] koumlnyv reacuteszletesen ismerteti azt

5 4 Fibonacci-nim

A koumlvetkező jaacuteteacutek eacutes annak joacute strateacutegiaacuteja az [1] koumlnyvből szaacutermazik

13 Jaacuteteacutek (Fibonacci-nim) Van egy n elemű kupac melyből keacutet jaacuteteacutekos vesz el

kavicsokat Az első akaacutermennyivel csoumlkkentheti a kupac meacutereteacutet az oumlsszes elemet kiveacuteve

utaacutena pedig a soron koumlvetkező jaacuteteacutekos legfeljebb keacutetszer annyi kavicsot vehet el mint

amennyit ellenfele elvett az előző leacutepeacutesben

Azeacutert kapta ez a jaacuteteacutek a Fibonacci-nim nevet mert a nyerő strateacutegia megaacutellapiacutetaacutesaacutehoz

szuumlkseacuteg van a Fibonacci-szaacutemokra eacutes a szaacutemok Fibonacci-alakjaacutera A jaacuteteacutek megoldaacutesa

előtt neacutezzuumlnk neacutehaacuteny eacuterdekesseacuteget eacutes hasznos tudnivaloacutet ezekkel kapcsolatban

31

Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat

i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2

Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a

koumlvetkező taacuteblaacutezat

Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok

Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő

Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok

oumlsszegeacutere

Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899

Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel

hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga

Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem

akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-

szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert

119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa

kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem

Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele

keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen

Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip

Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel

minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok

legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot

vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)

7 [1] alapjaacuten

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

32

(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre

kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)

A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten

Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak

kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es

szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak

megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet

Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =

= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862

Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere

Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43

Fibonacci-alakjaacutenak

Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik

szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1

Fibonacci-szaacutemot

A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes

Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es

szaacutemjegy

Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte

tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes

melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben

ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont

levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami

koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez

ellentmondaacutes

A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a

Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera

Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az

első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

31

Jeloumllje ezentuacutel az i-edik Fibonacci-szaacutemot 119886119894 Definiacutecioacute szerint a Fibonacci-sorozat

i-edik tagja ekkeacutepp aacutell elő 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2

Oumlsszegyűjtoumlttuumlk az első tiacutez Fibonacci-szaacutemot sorszaacutemukkal egyuumltt mutatja őket a

koumlvetkező taacuteblaacutezat

Hasonloacutean a nim-jaacuteteacuteknaacutel hasznaacutelt kettes szaacutemrendszerhez definiaacutelhatjuk a szaacutemok

Fibonacci-alakjaacutet is Ehhez azt kell tudnunk hogy egy szaacutem mely kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok oumlsszegekeacutent aacutell elő

Aacutelliacutetaacutes Minden termeacuteszetes szaacutem felbomlik paacuteronkeacutent kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutemok

oumlsszegeacutere

Bizonyiacutetaacutes7 Teljes indukcioacute segiacutetseacutegeacutevel bizonyiacutetunk Ha 119899 = 0 vagy 119899 = 1 akkor 119899

Fibonacci-alakja nulla- vagy egytaguacute oumlsszeg tehaacutet leacutetezik Fibonacci-alakjuk Tegyuumlk fel

hogy minden 119899-neacutel kisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutemra teljesuumll a fenti aacutelliacutetaacutes Ha 119899 maga

Fibonacci-szaacutem akkor az ő alakja egytaguacute oumlsszeg (oumlnmaga) ha 119899 nem Fibonacci-szaacutem

akkor legyen k az a legnagyobb egeacutesz szaacutem amire 119886119896 lt 119899 (ahol 119886119896 a k-adik Fibonacci-

szaacutem) Ekkor 119899 minus 119886119896 lt 119899 ami az indukcioacutes felteveacutes miatt előaacutell kuumlloumlnboumlző Fibonacci-

szaacutemok S oumlsszegekeacutent Ebben az oumlsszegben minden tag kisebb 119886119896-naacutel mert

119899 minus 119886119896 lt 119886119896+1 minus 119886119896 = 119886119896minus1 lt 119886119896 Tehaacutet az 119899 = 119886119896 + 119878 oumlsszegben minden tag csupa

kuumlloumlnboumlző Fibonacci-szaacutem

Nem minden esetben egyeacutertelmű a Fibonacci-felbontaacutes ugyanis egy szaacutem toumlbb feacutele

keacuteppen is előaacutellhat ha csak annyi a kiteacutetel hogy az Fibonacci-szaacutemok oumlsszege legyen

Peacuteldaacuteul 24 = 1 + 3 + 8 + 13 = 3 + 21 = hellip

Ezeacutert az egyeacutertelmű Fibonacci-szaacutemokboacutel aacutelloacute alak meghataacuterozaacutesaacutehoz uacutegy bontunk fel

minden szaacutemot hogy előszoumlr az adott szaacutemnaacutel nem nagyobb Fibonacci-szaacutemok

legnagyobbikaacutet majd azok maradeacutekaacuteboacutel is a lehető legnagyobb Fibonacci-szaacutemot

vaacutelasztjuk le eacutes iacutegy tovaacutebb (eacutepp uacutegy ahogy 2 hatvaacutenyaira bontanaacutenk fel)

7 [1] alapjaacuten

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

119938119946 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

32

(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre

kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)

A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten

Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak

kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es

szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak

megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet

Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =

= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862

Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere

Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43

Fibonacci-alakjaacutenak

Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik

szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1

Fibonacci-szaacutemot

A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes

Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es

szaacutemjegy

Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte

tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes

melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben

ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont

levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami

koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez

ellentmondaacutes

A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a

Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera

Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az

első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

32

(Ezzel az eljaacuteraacutessal valoacuteban egyeacutertelműveacute vaacutelik minden szaacutem Fibonacci-alakja aacutem erre

kuumlloumln bizonyiacutetaacutest nem adok)

A Fibonacci-felbontaacutes segiacutetseacutegeacutevel fel tudjuk iacuterni a termeacuteszetes szaacutemokat uacuten

Fibonacci-szaacutemrendszerben (ez lesz a szaacutem Fibonacci-alakja) melyben eacutepp uacutegy fognak

kineacutezni mintha kettes szaacutemrendszerbeli alakokkal dolgoznaacutenk Csupa 0 eacutes 1-es

szemjegyek sorozataacuteval fogjuk megfeleltetni őket a Fibonacci-felbontaacutesuknak

megfelelően Neacutezzuumlk a koumlvetkező peacuteldaacutet

Peacutelda 43 = 34 + 8 + 1 = 1198869 + 1198866 + 1198862 =

= 1∙1198869 + 0∙1198868 + 0∙1198867 + 1∙1198866 + 0∙1198865 + 0∙1198864 + 0∙1198863 + 1∙1198862

Jeloumlleacutes Hasznaacuteljuk az F indexet a Fibonacci-szaacutemrendszer jeloumlleacuteseacutere

Iacutegy 43 = 34 + 8 + 1 = 10010001F ( = 1010112 ) Ezt a 10010001F szaacutemot nevezzuumlk a 43

Fibonacci-alakjaacutenak

Tehaacutet egy szaacutem Fibonacci-szaacutemrendszerben feliacutert alakjaacuteban haacutetulroacutel az i-edik

szaacutemjegy azt mutatja meg hogy a szaacutem Fibonacci-felbontaacutesa tartalmazza-e az 119886119894+1

Fibonacci-szaacutemot

A koumlvetkező alapvető tulajdonsaacuteggal biacuter ez a felbontaacutes

Aacutelliacutetaacutes Semelyik szaacutem Fibonacci-alakjaacuteban sem aacutell egymaacutes mellett keacutet darab 1-es

szaacutemjegy

Bizonyiacutetaacutes Ez az aacutelliacutetaacutes a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacutejaacutenak koumlvetkezmeacutenye Indirekte

tegyuumlk fel hogy b olyan szaacutem melynek Fibonacci-felbontaacutesaacuteban szerepel keacutet egymaacutes

melletti Fibonacci-szaacutem am eacutes am+1 Ekkor a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben

ennek a keacutet szaacutemnak az oumlsszege is Fibonacci-szaacutem ami nagyobb naacuteluk Az viszont

levaacutelaszthatoacute lenne az eredeti szaacutemboacutel az egyeacutertelmű felbontaacutest elveacutegezve ami

koumlvetkezmeacutenyekeacutent am eacutes am+1 nem szerepelhetne b felbontaacutesaacuteban azonban ez

ellentmondaacutes

A teacutemaacutehoz kapcsoloacutedoacute fontos ismeretek megszerzeacutese utaacuten veacuteguumll teacuterjuumlnk vissza a

Fibonacci-nim jaacuteteacutekra eacutes annak nyerő strateacutegiaacutejaacutera

Teacutetel Amennyiben a Fibonacci-nim kezdő kupacaacutenak elemszaacutema Fibonacci-szaacutem az

első jaacuteteacutekos nyer ellenkező esetben a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

33

Bizonyiacutetaacutes8 A bizonyiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteguumlnk lesz az alaacutebbi segeacutedteacutetelre

Lemma Ha an Fibonacci-szaacutem eacutes d naacutela kisebb pozitiacutev egeacutesz akkor an - d Fibonacci-

felbontaacutesaacuteban a legkisebb tag nem nagyobb 2d-neacutel

Bizonyiacutetaacutes Indirekt tegyuumlk fel hogy 119886119899 eacutes 119889 olyan szaacutemok melyekre nem teljesuumll a

fenti aacutelliacutetaacutes Legyen 119886119899 minus 119889 = 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895 ahol 119896119895 lthelliplt 1198961 lt 119899 Ekkor a

fenti felteacutetel eacutertelmeacuteben 119886119896119895gt 2119889 azaz [

119886119896119895

2] ge d ahol a szoumlgletes zaacuteroacutejel az

egeacuteszreacutesz-fuumlggveacutenyt jeloumlli Ebből adoacutedoacutean

119886119899 1198861198961+ 1198861198962

+ ⋯ + 119886119896119895+ [

119886119896119895

2]

Az i ge 3 esetekben a Fibonacci-szaacutemok definiacutecioacuteja eacutertelmeacuteben 119886119894minus2 lt [119886119894

2] lt 119886119894minus1

ezeacutert tudjuk hogy az [119886119896119895

2] szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legnagyobb tagja 119886119896119895minus2

A fenti egyenlőtlenseacutegbe helyettesiacutetsuumlk be [119886119896119895

2] helyeacutere annak Fibonacci-felbontaacutesaacutet

Ekkor azt kapjuk hogy egy 119886119899-neacutel nem kisebb szaacutem Fibonacci-felbontaacutesaacutenak

legnagyobb tagja 1198861198961 viszont ez nem lehetseacuteges 1198961 lt 119899 miatt

Teacutetel bizonyiacutetaacutesa Feltehetjuumlk hogy a kezdőkupac legalaacutebb haacuterom kavicsot tartalmaz

Legyen a kezdeti elemszaacutem 1199040 A tovaacutebbiakban 119904119894 az i-edik aacutellaacutes jeloumlleacuteseacutere szolgaacutel

Tekintsuumlk előszoumlr azt az esetet amikor 1199040 Fibonacci-szaacutem iacutegy legyen 1199040 = 119886119899 A

Fibonacci-szaacutemokra mindig teljesuumll hogy 119886119899minus1 lt 2119886119899minus2 = 2(119886119899 minus 119886119899minus1) Tehaacutet ha a

kezdő jaacuteteacutekos 119886119899minus1ndashre leacutep akkor ellenfele elveheti az oumlsszes maradeacutek kavicsot eacutes azzal

nyerni a jaacuteteacutekot Ugyanez toumlrteacutenik ha kezdeacuteskeacutent (119886119899 minus 119886119899minus1)-neacutel toumlbb kavicsot vesz el

a kezdő Ezeacutert ndash mivel a kezdő nem akar azonnal vesziacuteteni ndash csak 119886119899 eacutes 119886119899minus1 elemszaacutem

koumlzoumltti 1199041-re csoumlkkentheti a kupac elemszaacutemaacutet Ennek az 1199041-nek legalaacutebb keacutettaguacute a

Fibonacci-felbontaacutesa eacutes a koumlvetkező keacuteppen aacutell elő 1199041 = 119865 + 119886119894 + 119886119895 ahol F a

felbontaacutesbeli i-neacutel nagyobb indexű Fibonacci-szaacutemok oumlsszege (F=0-t is beleeacutertve) Joacutel

laacutethatoacute hogy a jaacuteteacutek veacuteges Belaacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekosnak van nyerő strateacutegiaacuteja

Ehhez azt kell megmutatni hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos mindig tud uacutegy leacutepni hogy azt

koumlvetően a kezdő ne vehesse el az egeacutesz kupacot Az 1199041 elemszaacutemuacute kupacboacutel folytatva a

leacutepeacutest a maacutesodik jaacuteteacutekos vegye el 1199041 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb elemeacutet 119886119895-t

amire a segeacutedteacutetel 119889 = 1199040 minus 1199041-re vett alkalmazaacutesa alapjaacuten van moacutedja Az iacutegy kialakult

aacutellaacutes Fibonacci-felbontaacutesa 1199042 = 119865 + 119886119894 lesz amiből a kezdő jaacuteteacutekos nem leacutephet a veacutegső

8 [1] koumlnyv alapjaacuten

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

34

0 aacutellaacutesba mert minden 119895 lt 119894 eseteacuten fennaacutell hogy 119886119894 = 119886119894minus1 + 119886119894minus2 gt 2119886119894minus2 ge 2119886119895

iacutegy 119886119894-neacutel csak kevesebb kavicsot vehet el Az iacutegy leacutetrehozott kupac elemszaacutema legyen

1199043 Ekkor hasonloacutean az előbbiekhez a lemmaacutet 119886119894-re eacutes 119889 = 1199042 minus 1199043-ra tudjuk alkalmazni

amivel laacutetjuk hogy a maacutesodik jaacuteteacutekos elveheti a kupacboacutel az 1199043 minus 119865 Fibonacci-

felbontaacutesaacutenak utolsoacute tagjaacutet ami megegyezik 1199043 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb

tagjaacuteval Az ezt koumlvetően a kapott 1199044 aacutellaacutesboacutel a kezdő uacutejfent csak kevesebb mint ennek

Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet veheti el miacuteg az uacutej 1199045 aacutellaacutesboacutel a maacutesodik uacutejra

elveheti 1199045 Fibonacci-felbontaacutesaacutenak legkisebb tagjaacutet eacutes iacutegy tovaacutebb folytatoacutedik a jaacuteteacutek

miacuteg a maacutesodik jaacuteteacutekos meg nem nyeri azt

Ha a kezdőkupac elemszaacutema nem Fibonacci-szaacutem akkor az imeacutent ismertetett nyerő

strateacutegiaacutet a kezdő jaacuteteacutekos tudja alkalmazni amivel ő nyer

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)

35

Irodalomjegyzeacutek

[1] Csaacutekaacuteny Beacutela Diszkreacutet matematikai jaacuteteacutekok Polygon Kiadoacute Szeged 1998

[2] Csirmaz Laacuteszloacute Jaacuteteacutekok eacutes Grundy-szaacutemaik KoumlMaL archiacutevum

httpwwwkomalhucikkekcsirmazgrundygrundyhshtml (letoumllteacutes 2014 maacutejus)

[3] Hegyvaacuteri Norbert Hraskoacute Andraacutes Koraacutendi Joacutezsef Toumlroumlk Judit Elemi matematika

feladatgyűjtemeacuteny

httpdldropboxusercontentcomu100162898elemijegyzetelemimat_feladatgypdf

(letoumllteacutes ideje 2014 aacuteprilis)

[4] Roacuteka Saacutendor Abacus ndash Barangolaacutes a matematikaacuteban Toacuteth Koumlnyvkereskedeacutes Kft

Debrecen 1997

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesreg (OEISreg) httpsoeisorg

(2014 maacutejus 31)