Ángulos ii 3 - iep mariscal...
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Geometría - 2do Sec.
Capítulo
3Ángulos II
1. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Nota
α
θ
complemento de x = 90º - x
cuando observamos en los problemas la nota-ción: “complemento de x”, la vamos a interpre-tar como la diferencia entre 90º y el ángulo x.
α + θ = 90º
2. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
α
Suplemento de x = 180º - x
θ
α + θ = 180º
Nota
cuando observamos en los problemas la nota-ción: “suplemento de x”, la vamos a interpretar como la diferencia entre 180º y el ángulo x.
3. ÁNGULOS CONSECUTIVOS O ADYACENTES
{α, θ}: ángulos consecutivos
Ladocomún
αθ
4. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
θ α
β
ω
α = θ β = ω
Geometría - 2do Sec.
Veamos algunas aplicaciones acerca del tema de hoy:
complemento de 70º = =Suplemento de 120º = =complemento de 42º = =Suplemento de 135º = =Suplemento del complemento de 40º
Sc(40º) =
complemento del complemento de 60º
cc(60º) =
Ejemplos:
Calcula:
cccc…c(10º) =
SSSS …S(30º) =
128 veces
77 veces
Rpta.: a
1) Si la diferencia de dos ángulos complementarios es 30º, calcula el menor de los ángulos.
a) 30º b) 35º c) 45ºd) 60º e) 75º
Resolución:
a - b = 30ºa + b = 90º
2b = 90º - 30º
b = = 30º
-
Rpta.: e
2) calcula: SSSScccc(45º)
a) 120º b) 180º c) 135ºd) 90º e) 45º
Resolución:
Por propiedad se cancela:
SSSSCCCC (45º) = 45º
60º2
Importante
¿Cómo se originó la Geometría?Herodoto vs. Aristóteles
Herodoto y Aristóteles no querían arriesgarse a situar los orígenes de la Geometría en una época anterior a la de la civilización egipcia, pero está claro que la Geometría en la que ellos pensaban tenía sus raíces en una antigüedad mucho mayor. Herodoto sostenía que la Geometría se había originado en Egipto, porque creía que dicha materia había surgido allí a partir de la necesidad práctica de volver a trazar las lindes de las tierras después de la inundación anual del valle del río Nilo. Aristóteles sostenía en cambio que el cultivo y desarrollo de la Geometría en Egipto se había visto impulsado por la existencia allí de una amplia clase sacerdotal ociosa.
Herodoto(484 - 425 a.C.)
Aristóteles (384 - 322 a.C.)
Geometría - 2do Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
1) Del gráfico, calcula x.
x
4x
θ=40ºα
2) Del gráfico, calcula α si α y θ son complementarios.
βω
3) Del gráfico, calcula β si β y ω son suplementarios (ω = 50º).
4) Si la diferencia de dos ángulos suplementarios es 100º, calcula el mayor de los ángulos.
80º5x
5) calcula x.
6) calcula: ccccccc(35º)
2x
20º
1) Del gráfico, calcula x.
2) Si dos ángulos son complementarios y uno es el doble del otro, calcula el menor de los ángulos.
3) Si la diferencia de dos ángulos suplementarios es 20º, calcula el menor de los ángulos.
4) Si la diferencia de dos ángulos complementarios es 10º, calcula el mayor de los ángulos.
5) calcula x.
3x - 42º
x
6) calcula: cccc(48º)
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
PROBLEMAS PARA CLASE N° 3
Geometría - 2do Sec.
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Si m AOc = 80º y OP es bisectriz del AOc, calcula x.
a) 15º b) 30º c) 40º d) 65º e) 70º
αθ90º − α
θ
α180º − θ90º − α90º − θ
90º − α180º − θ
calcula E =
a) d)
b) e)
c)
cccc(α)
SS(θ)
αθ
90º − α180º − θ
180º − αθα
90º − θ180º − α90º − θ
calcula: E =
a) d)
b) e)
c)
SSS(α)
cccc(θ)
60ºx20º
calcula x.
a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º
x10º
OP
c
A
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Geometría - 2do Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4 Halla la diferencia entre el suplemento de 60º y el complemento de 70º.
a) 80º b) 90º c) 110º d) 100º e) 120º
calcula la diferencia entre el complemento de 20º y el suplemento de 150º.
a) 10º b) 20º c) 30º d) 50º e) 40º
Del gráfico, calcula x.
a) 60º b) 70º c) 80º d) 90º e) 100º
x
4ω
3ω+25º
Del gráfico, calcula x.
a) 33º b) 66º c) 114º d) 147º e) 150º
2βx
99º - β
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Geometría - 2do Sec.
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Dos ángulos complementarios se diferencian en 10º. calcula el mayor de los ángulos.
a) 40º b) 50º c) 60º d) 30º e) 80º
Dos ángulos complementarios se diferencian en 50º. calcula el menor de los ángulos.
a) 20º b) 50º c) 70º d) 40º e) 60º
Dos ángulos suplementarios se diferencian en 20º. calcula el mayor de los ángulos.
a) 80º b) 100º c) 60º d) 120º e) 150º
Dos ángulos suplementarios se diferencian en 40º. Halla el menor de dichos ángulos.
a) 60º b) 65º c) 70º d) 75º e) 80º
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Geometría - 2do Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Dos ángulos son complementarios y uno de ellos es el doble de otro. calcula el menor de ellos.
a) 20º b) 40º c) 50º d) 30º e) 60º
Dos ángulos son complementarios y están en la relación de 4 a 5. calcula el menor de ellos.
a) 30º b) 60º c) 40º d) 50º e) 70º
Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos es el triple del otro. Halla el mayor de ellos.
a) 120º b) 150º c) 160º d) 135º e) 110º
Dos ángulos son suplementarios y están en la rela-ción de 2 a 3. calcula el mayor de los ángulos.
a) 72º b) 36º c) 144º d) 136º e) 108º
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Raz. Matemático - 2do Sec.
Capítulo
2Distribuciones y Analogías Numéricas
El tercer milenio En el siglo VII el Papa encargó al monje benedictino Dionís que fijase la fecha de nacimiento de Cristo. Este fraile calculó que Jesucristo había nacido el año 754 después de la fundación de Roma. Tomó como fecha de inicio el día que fue circuncidado y lo llamó 1 de enero del año 1. No dijo del año 0, porque esta cifra no se utilizaba en Occidente en aquella época. ¿El tercer milenio comienza el 1 de enero de 2000?
Reto
Debes escribir del 1 al 25 en la cuadrícula adjunta, pero con la condición de que vayas como el salto del caballo en el ajedrez. Utiliza lápiz, no vayas a equivocarte.
1
En el presente capítulo, veremos ordenamientos generalmente con números.
Trataremos de relacionar entre sí los valores, mediante una regla de formación o ley.
En el caso de las analogías veremos que el valor central de cada fila está encerrado entre paréntesis. Con los valores extremos de cada fila se tratará de conseguir el valor central, mediante alguna ley de formación, la cual deberá ser confirmada en la primera y segunda fila para luego averiguar el valor pedido.
Generalmente se trabajan con los valores extremos para conseguir el valor central.
En una distribución numérica propiamente dicha, la regla a buscar es indiferente, tanto en forma vertical (columna) o en la horizontal (fila).
En la distribución gráfica, el mismo gráfico dará una idea para averiguar la regla de formación.
1) 2 (13) 3 1 (37) 6 3 ( ) 5
Fila 1 22 + 32 = 13
Fila 2 12 + 62 = 37
Fila 3 32 + 52 = 34
Número buscado
Raz. Matemático - 2do Sec.
2) 80 (30) 20 34 (14) 6 23 ( ) 5
Fila 1 (80 - 20) ÷ 2 = 30
Fila 2 (34 - 6) ÷ 2 = 14
Fila 3 (23 - 5) ÷ 2 = 9
Número buscado
3) 2 3 2 8 1 5 4 9 4 3 1 x
Fila 1 2 x 3 + 2 = 8
Fila 2 1 x 5 + 4 = 9
Fila 3 4 x 3 + 1 = 13
Número buscado
4) 2 5 2 5 3 1 4 2 8 5 x 25
Columna 1 23 = 8
Columna 2 51 = 5
Columna 3 24 = 16
Columna 4 52 = 25
Número buscado
5) 12 6
3 2
3 x 2 + 6 = 12
17 5
4 3
4 x 3 + 5 = 17
x 3
1 7
1 x 7 + 3 = 10
Número buscado
Este truco, es bastante sencillo, pero no es un truco que se pueda improvisar en un momento, a no ser que tengas una gran capacidad de cálculo o una memoria prodigiosa. El truco es el siguiente: deberás enseñar las siguientes columnas.
Pide a alguien que piense en un número del 1 al 15. Pide que te señale en cuáles de las cuatro columnas aparece ese número. Para adivinar el número solo tienes que sumar los números marcados en rojo de las columnas que te señalen.Ejemplo: Si han pensado en el número 7, te señalarán las tres primeras columnas, sumando los tres números rojos, obtendrás 1+2+4=7.Explicación: En la primera carta están todos los números cuyo último dígito en el sistema binario es 1; la segunda contiene todos los números cuyo segundo dígito por la derecha es 1 (en el sistema binario), la tercera y la cuarta lo mismo. Los números marcados en rojo son las potencias de 2. Por lo tanto, cuando te señalen las columnas, te estarán indicando el desarrollo en binario del número elegido (aunque ellos no lo sepan).
Truco de Adivinación
1 9 2 10 4 12 8 12
3 11 3 11 5 13 9 13
5 13 6 14 6 14 10 14
7 15 7 15 7 15 11 15
1) 1022 (7) 101 2031 (10) 11101 10113 ( ) 22013
3) 4 (24) 2 5 (15) 1 2 ( ) 3
82
3
93
2
x5
2
6)
3) 12 ( 8 ) 4 20 (11) 2 13 ( ) 3
1) 1203 (18) 12 2101 ( 8 ) 101 1023 ( ) 2021
2) 2 (24) 3 5 (50) 2 4 ( ) 3
2) 12 ( 81 ) 3 15 (169) 2 24 ( ) 18
4) 2 2 5 9 3 2 1 10 5 3 1 x
4) 2 13 20 6 7 8 50 6 14 3 x 6
5) 2 4 x 3 2 7 5 10 10 11 18 24
18
1 3
2
24
1 2
1 2
x1
1 1
3
2
6)
5) 7 3 2 5 3 4 20 x 1
En cada caso calcula el valor que falta o el valor de x.
En cada caso calcula el valor que falta o el valor de x.
Raz. Matemático - 2do Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Raz. Matemático - 2do Sec.
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
a) 15 b) 16 c) 17d) 20 e)25
PROBLEMAS PARA CLASE N° 2
a) 16 b) 17 c) 20d) 22 e) 21
14 1 5
20
20 3 1
24
12 2 3
x
26
2 5
4 3
13
7 3
2 1
)
a) 27 b) 35 c) 38d) 37 e) 33
5 9 227
7 7 328
17 3 6x
a) 20 b) 25 c) 28d) 35 e) 40
21
8
3
5
4
36
7
5
4
4x
5
3
1
7
Halle "x" Halle "x"
Halle "x" Halle "x"
8 3
4 1
x
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Raz. Matemático - 2do Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
a) 93 b) 15 c) 25d) 39 e) 126
2 5 3
25
4 2 6
20
6 3 7
x
a) 43 b) 56 c) 72d) 76 e) 42
3
2
4 5
40
1
2
6 3
36
4
1
7 1
X
a) 30 b) 35 c) 42d) 60 e) 64
2330
42 7172
45
41X
34
a) 42 b) 48 c) 57d) 52 e) 64
2
20
4
6
5 7
26
7
5
2
8
x
9
7
4
Halle "x" Halle "x"
Halle "x" Halle "x"
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Raz. Matemático - 2do Sec.
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
a) 19 b) 17 c) 20d) 23 e) 27
82 1
3 2
133 5
1 2
5 (32) 7 7 (52) 3 4 ( x ) 5
a) 17 b) 21 c) 23d) 25 e) 32
6 (30) 9 5 (26) 8 4 ( x ) 11
a) 32 b) 30 c) 28d) 24 e) 25
a) 27 - 25 b) 46 - 63 c) 64 - 36 d) 36 - 64 e) 23 - 32
3 2
8 9
5 2
32 25
6 2
x y
Halle "x" Halle "x" e "y"
Halle "x" Halle "x"
4 1
4 1x
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Raz. Matemático - 2do Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
204 (12) 150 217 (16) 141 165 ( x ) 123
a) 17 b) 12 c) 18d) 14 e) 15
10 5 3 7 12 4 3 4 24 8 4 x
a) 2 b) 20 c) 1d) 3 e) 7
42 (11) 5 22 ( 7 ) 3 25 ( x ) 6
a) 12 b) 13 c) 15d) 18 e) 20
2 5 15 3 3 8 4 2 x
a) 4 b) 3 c) 7d) 6 e) 8
Halle "x" Halle "x"
Halle "x" Halle "x"
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: