något om funktioner och mathematica -...

Något om Funktioner och MathematicaBertil Nilsson2020-08-15

r a bΘ x

y

HH/ITE/BN Funktioner och Mathematica 1

Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till funktioner med flitig användning av Mathematica. Framställningenär fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteck-ningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs ochtypiska exempel ges.

Funktionsbegreppet

Sedan lång tid har man betraktat en funktion som ett uttryck där det ingår en eller flera variabler. Släktskapet med begreppetekvation är flytande ska vi se och ibland är det inte någon större skillnad när vi betraktar en funktion i sin mer generella form

avbildning. I sin enklaste form kan man se en funktion som en process eller maskin vilken man matar med objekt och som sedanutifrån vissa regler producerar nya objekt. Det vanligaste fallet som vi känner sedan tidigare är att maskinen matas med ett tal x ochdärefter levererar ett tal y, så kallad envariabelanalys. Om vi döper funktionen till f skriver vi y f x och kallar x för den

oberoende variabeln eftersom den i någon mening kan matas in fritt och y kallas för den beroende variabeln då den beror både på

x och f. Man brukar säga att y är värdet eller bilden av x under funktionen f eller att x avbildas av f. Skilj på funktionens namn f ochdess värde f x i punkten x. Sådana här funktionssamband brukar avbildas i vårt vanliga koordinatsystem.

x y

y f x

2 1 1 2 3x

42

2468

y

y f x

Exempel: De vanligaste reglerna som används är naturligtvis våra vanliga räkneregler och funktionen brukar helt enkelt beskrivasmed dessa. Exempelvis har vi den funktion f vilken “tar ett tal adderar 1 och slutligen kvadrerar summan” som f x x 1 2. Vikan nu rita in de bilder y f x vi får för exempelvis x 3, 2 .

Plot x 1 2, x, 3, 2 , PlotStyle Green, PlotRange All, AxesLabel "x", "y"

3 2 1 1 2x

2468

y

Som väntat ligger Mathematica nära det matematiska språket. Här definierar vi funktionen i senaste exemplet.

f x : x 1 2

Notera speciellt hakparenteser kring den oberoende variabeln och att det ska vara ett _ “underscore” direkt efter variabeln för attskilja den från annat x som kanske råkar vara i Notebooken. Konstruktionen med : är lite teknisk. Med endast = så förenklar(beräknar) Mathematica högerledet så långt det är möjligt redan vid definitionstillfället till skillnad mot : som innebär att definitio-nen hålles symboliskt som den är inskriven och beräknas först när f x efterfrågas. Det finns anledning att ha båda möjligheterna! Vikan nu beräkna funktionens värde i de punkter vi önskar, såväl enskilda som en lista av dem.

f 2 , f 3, 4, 8

9, 16, 9, 81

De tal som man vill mata in till funktionen, det vill säga alla tänkbara värden på den oberoende variabeln, kallas för definitionsmäng-

den Df till f. De värden som den beroende variabeln sedan kan anta då x genomlöper D f kallas värdemängden Vf till f. Vanligtvis

brukar man välja D f till de tal som maskinen “står pall för”, den så kallade naturliga definitionsmängden. Men det finns ofta

anledning att inskränka den till en mindre mängd.

Exempel: Vi ser att till funktionen f x x 1 2 kan vi mata in vilket tal som helst, det vill säga x , så D f är dess naturliga

definitionsmängd. Eftersom en kvadrat bara kan anta ickenegativa värden har vi att V f 0, . För funktionen g x 3 x 1

gäller däremot en naturlig Dg 1, och Vg 3, .

2 Funktioner och Mathematica HH/ITE/BN

Plot3 x 1 , x, 0, 10 , PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y"

2 4 6 8 10x

3.54.04.55.05.56.0

y

Mängden av alla punkter x, f x x D f i planet kallas funktionskurvan

eller grafenGf . Denna fås enklast genom att rita funktionen i Mathematica

som vi gjort ovan. Detta ska man göra så ofta man hinner eftersom mycket

information finns att hämta inför nästa steg i ett modelleringsarbete. Vi

sammanfattar situationen i en liten bild.

x

y

Gf

Df

Vf

x

y f x

Exempel: Bestäm värdemängden V f till funktionen f x 1 3x, D f 1, 1 .

Lösningsförslag: Eftersom D f 1, 1 så har vi att max f 1 3 1 4, min f 1 3 1 2 V f 2, 4 .

Plot 1 3 x, x, 1, 1 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "y"

1.0 0.5 0.5 1.0x

21

1234

y

En viktig frågeställning är om det finns någon entydig väg

tillbaka i bilden. Alltså givet s V f finns då ett x D f så

att ekvationen s f x harprecis en lösning x? Om detta

är möjligt kallas funktionen injektiv och betyder helt enkelt

att linjen y s får skära G f i högst en punkt.

x

y

Injektivy s

x

y

Ej injektivy s

För en sådan funktion f kan vi då definiera en ny funktion för

återresan. Denna kallas för inversen till f och betecknas med

f 1 för att markera släktskapet. Obs Ska ej förväxlas med

upphöjt till 1 Naturligtvis gäller då D f 1 V f och V f 1 D f .

x

y

Gf

Df

Vf

x f 1 y

y

Att bestämma inverser kan verka lite akademiskt, men är mycket vanligt i matematisk modellering. Krav c på en modell ställs i

“verkliga” världen c V f så det gäller att lösa ekvationen c f x med avseende på modellparametern x D f . Om vi döper om

variabelnamnen i inversen visar sig släktskapet väldigt tydligt i det att Gf ochGf 1 är varandras spegelbilder i linjen y x.

Exempel: Bestäm inversen till y f x 2x 1.

Lösningsförslag: Vi försöker lösa x som funktion av y. Om detta är möjligt utan att behöva göra några val under processen har vi

entydighet. Eftersom vi har en rät linje kan vi förvänta oss en odramatisk resa y f x 2x 1 x f 1 y 12

y 1

y f 1 x 12

x 1 . Här är D f V f D f 1 V f 1 . Till slut ritar vi f x , f 1 x och spegeln.


Plot2 x 1,1

2x 1 , x, x, 2, 2 , PlotRange 2, 2 , 2, 2 ,

AspectRatio Automatic, PlotStyle Red, Blue, Orange, Dashing 0.025 ,

AxesLabel "x", "y" , PlotLegends "Expressions"

2 1 1 2x

2

1

1

2y

2 x 1x 12

x

Exempel: En funktion behöver inte ha samma beskrivning i hela sin definitionsmängd. Den kan gott variera och då säger man att

den är styckvis definierad. I Mathematica används funktionen Piecewise, pw för att definiera en sådan.

Plot 1 x 1

x 1 x 3

x 2 2 x 3

, x, 4, 4 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "y"

4 2 2 4x

1

1234

y

Exempel: Ibland behöver man rita mätdata som en funktion. Här USA:s befolkningsmängd under några år en gång i tiden. Vi

känner alltså bara funktionen punktvis men känner att vi har tillräckligt på fötterna för att fylla igen med räta linjer däremellan.

ListPlotRest År 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850

befolkning 106 3.9 5.3 7.2 9.6 12 17 23, PlotStyle Orange,

Joined True, PlotRange 0, 25 , AxesLabel "år", "befolkning 106 "

1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850år

5

10

15

20

25befolkning 106

Om två funktioner f och g är sådana att V f Dg kan man bilda en ny funktion genom sammansättningen y h x g f x . Detta

skrivs också y h x g f x och utläses “g ring f “. Observera ordningen! Naturligtvis kan man sätta samman flera funktioner i enkedja förutsatt värdemängden för en funktion är en delmängd av den efterföljande funktionens definitionsmängd. I schematisk formanvänds variabler som mellanresultat för omlastning till nästa maskin. Kaffe genom tvättmaskinen går bra, men omvänd ordningmed tvätt genom kaffebryggaren är förenat med stora besvär!

x u y

u f x y g u g f x

x u y

u g x y f u f g x


Exempel: Antag att f x x2 och g x x 1 så har vi exempelvis sammansättningarna y h1 x f g x x 1 2 ochy h2 x g f x x2 1 vilka är helt olika funktioner. Så ordningen är mycket viktig!

f x : x2; g x : x 1

f g x

x 1 2

g f x

x2 1

Plot Evaluate f g x , g f x , x, 2, 2 , PlotStyle Red, Blue ,

AxesLabel "x", "f g x , g f x " , PlotLabels Automatic

1 x 2

1 x2

2 1 1 2x

2

4

6

8

f g x , g f x

I analys i en variabel säger vi att vi har en funktion som “avbildar ett tal på ett nytt tal” vilket skrivs . Det finns inget somhindrar att man har både fler oberoende variabler och flera beroende variabler vilket inte helt överraskande kallas analys i fleravariabler m n.

Exempel: Om vi mäter temperaturen T i vår lektionssal är det sannolikt att den varierar med platsen i rummet, T x, y, z , eftersom vihar tre rumskoordinater, längd x, bredd y och höjd z för att beskriva läget av termometern. Alltså en funktion 3 . Eftersom vialla är små värmekaminer, med effekt som en stark glödlampa, finns det också anledning anta att temperaturen ökar med tiden sedanlektionen startade, så vi kan bygga på till T x, y, z, t : 4 . Vid samma tidpunkt t har vi då olika temperaturer på olika platser irummet, men om vi å andra sidan fixerar en plats i rummet kommer temperaturen där att variera allt eftersom tiden t går.

Exempel: När en byggingenjör gör en slutkontroll på ett bygge kanske det är av intresse att veta hur plant golvet är, det vill sägafelet i höjdled i förhållande till en nollnivå. Just sådana här samband 2 är mycket vanliga i ingenjörssammanhang och brukarkallas “flygande mattor”, z f x, y . Genom att markera i grafen kan man även rotera den med musen. Hand i hand med dessamattor brukar man se nivåkurvor, likt isobarer på en väderkarta, vilket är kurvor i xy-planet som sammanbinder punkter på mattansom har samma höjd. Ofta brukar man färglägga området mellan dessa (eng. fringe plot), typ temperaturkartor i en väderleksprognos!

Plot3D Sin x Cos y Sin x y , x, 0, 2 Π , y, 0, 2 Π ,

ContourPlot Sin x Cos y Sin x y , x, 0, 2 Π , y, 0, 2 Π

,

Det finns gott om begrepp och teori kring funktioner. Vi nöjer oss med lite terminologi och hänvisar den intresserade till en lärobok,t.ex. PB, för mer rigorös framställning av teorin.


Om f x B för alla x D f säges f vara en uppåt begränsad funktion.

Om f x A för alla x D f säges f vara en nedåt begränsad funktion.

Om A f x B för alla x D f säges f vara en begränsad funktion.

x1, x2 D f och x1 x2 f x1 f x2 säges f vara en växande funktion. Strängt växande om byts mot .

x1, x2 D f och x1 x2 f x1 f x2 säges f vara en avtagande funktion. Strängt avtagande om byts mot .

Om f är strängt växande eller avtagande för alla x D f säges f vara strängt monoton.

Om f x f x för alla x D f säges f vara en jämn funktion. Exempelvis är y x2 en jämn funktion.

Om f x f x för alla x D f säges f vara en udda funktion. Exempelvis är y x en udda funktion.

Om f x p f x säges f vara en periodisk funktion med periodiciteten p.

Om f ax b y a f x b f y , x, y D f och a, b konstanter säges f vara en linjär funktion.

Som vi kanske kan ana gör kravet på entydighet, det vill säga ett y f x för varje x, att vi inte kan beskriva alla samband som vi ärintresserade av i fysik och ingenjörssammanhang. Man brukar väsentligen skilja på funktioner i några olika skepnader, vilka vibehandlar i tur och ordning.

Explicit form y f x . Man sätter in ett x och räknar fram ett entydigt y relativt smärtfritt. För att en beskrivning ska få

kallas funktion i klassisk mening krävs att den är entydig, så att för varje x får det bara avbildas ett y.

Implicit form f x, y 0. För att bestämma y från givet x krävs att man löser en ekvation. Detta kan kan vara förenat

med stora komplikationer.

Parameterform t x t , y t , . Funktionskurvan eller grafen kan beskrivas med en parameter.

Explicita funktioner

Här bor alla de elementära funktioner som vi kanske känner igen en del av sedan tidigare.

Absolutbelopp

Absolutbeloppet skrivs x och på tallinjen betyder x avståndet från talet x till origo och x y avståndet mellan talen x och y.Funktionen har D . och V . 0, och definieras av

xx då x 0

x då x 0

-2 5x

-2-5= -7=7

Plot Abs x , x, 5, 5 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y"

4 2 2 4x

12345

y

I en del teoretiska överläggningar har man nytta av triangelolikheten x y x y . Den kan enkelt visas med absolutbelop-pet och har sin geometriska grund och därmed namnsättning i det faktum att i en triangel är alltid längden av en sida kortare änsumman av de två andra.

Exempel: Antag att vi behöver två brädor med längderna 2 respektive 3 m för att läggas efter varandra i ett utrymme om 5 m. Pågrund av oundvikliga produktionsfel kan inte tillsågning ske exakt utan de två längderna kommer att representeras av x med felet

0.004 respektive y med felet 0.005. Vad kan man säga om felet i x y?

Lösningsförslag: Enligt förutsättning har vi att x 2 0.004 och y 3 0.005 och söker skillnaden mellan x y och 2 3.Triangelolikheten ger nu en övre gräns för felet

x y 2 3 x 2 y 3 x 2 y 3 0.004 0.005 0.009


Polynom

Ett polynom y pn x i 0n ci xi c0 c1 x c2 x2 cn xn är en summa av monom xi, eller mer noggrant en linjärkombination

av konstanter ci och monom xi. Man säger att polynomet är av grad n. Här har vi exempel på några

Plotx, x2 3, 1 x3, x, 2, 2 , PlotStyle Red, Blue, Orange ,

AxesLabel "x", "x, x2 3, 1 x3"

2 1 1 2x

5

5

x, x2 3, 1 x3

Polynom är mycket vanliga i tillämpad matematik. Anledningen är enkel; vanliga operationer med polynom som addition, subtrak-tion, multiplikation, derivation och integration resulterar i ett nytt polynom. Grafen till ett n:te grads polynom “svänger” högst n 1

gånger. En polynomekvation av n:te graden pn x 0 har alltid n stycken rötter eller nollställen x1, x2, , xn. De komplexa

rötterna förekommer alltid komplexkonjugerade. Man säger ibland att lösningsmängden är x x1, x2, , xn . Enligt faktorsatsenkan man då skriva pn x x x1 x x2 x xn . Speciellt har vi

Andragradsekvationen x2 ax b 0 har rötterna x1,2a2

a22 b .

Det finns även formler för tredje- och fjärdegradsekvationer, som togs fram av de italienska matematikerna Niccolo FontanaTartaglia (1500-1557) och Gerolamo Cardano (1501-1576), men dessa är så krångliga att det är mycket sällsynt att en yrkesmatem-atiker har dem i minnet lika bra som Mathematica har. Däremot existerar det inte några formler för femtegradsekvationer och högre.Detta visades av den norske matematikern Niels Henrik Abel (1802-1829). Man brukar nöja sig med en ren numerisk lösning förpolynomekvationer av ordning högre än två.

Solvex3 2 x2 x 4 0x 1

32

7

71 9 583

71 9 583 ,x 2

3

7 1 3 6 71 9 58

3

1

61 3 71 9 583 , x 2

3

7 1 3 6 71 9 58

3

1

61 3 71 9 583

NSolvex3 2 x2 x 4 0x 2.84547 , x 0.422733 1.10772 , x 0.422733 1.10772

NSolvex5 5 x4 2 x2 x 3 0x 4.92068 , x 1. , x 1. , x 0.039662 0.779807 , x 0.039662 0.779807

Räta linjen

Räta linjen y p1 x kx m är det enklaste polynom (av grad 1) som en ingenjör ska vara mycket god vän med! Här brukar k

kallas riktiningskoefficient eftersom den anger hur den räta linjen lutar. Parametern m anger var linjen skär y-axeln. I figuren nedanhar vi en bukett räta linjer y kx m med samma m men varierande k. Man brukar tala om positiv respektive negativ riktningskoeffi-cient beroende på dess uppenbara geometriska innebörd.


x

y

k 0

k 0

k 0

m

x

y

Θx0,y0

m

x1,y1

x,y

Man kan visa att k tan Θ , där Θ är linjens lutningsvinkel i förhållande till positiva x-axeln. Räta linjen y kx m brukar också

dyka upp som enpunktsformeln y y0 k x x0 , där x0, y0 är en känd punkt på linjen. Denna är en direkt konsekvens av tan Θ ,ty k tan Θ y y0

x x0y y0 k x x0 y kx y0 kx0 kx m.

Andragradspolynom

Ett andragradspolynom y p2 x c0 c1 x c2 x2 kallas parabel.

Plot1 2 x 3 x2, 5 1 x2, x, 1, 1 , AxesLabel "x", "y"

1.0 0.5 0.5 1.0x

123456

y

Rationell funktion

En rationell funktion är en kvot av polynom y pm xpn x

. Dessa är mycket populära

i den matematik som utgör grunden i CAD–system för hantering av skulpterade ytor,

exempelvis en bilkaross eller animerad film. Rationella funktioner dyker också upp i

ämnet reglerteknik. Där söks nollställen till såväl täljare som nämnare, då m n är

polynomdivision av intresse och då m n gäller partialbråksuppdelning. Detta har

plågat generationer av ingenjörer med omfattande handarbete. Med Mathematica

är det lite smidigare.

Solvex3 x 1 0x 0 , x 0 , x 0 , x 1

Solvex2 x 1 0x 1 , x 0 , x 0

Apart x3 x 1

x 1 Polynomdivision

x3 2 x2 2 x2

x 12

pbu Apart x 3

x3 x 1 x 2 Partialbråksuppdelning

11

8 x

4

3 x 1

5

4 x2

3

2 x3

1

24 x 2

Together pbu

x 3

x 2 x3 x 1


Potensfunktion

Uttryck av formen aΑ, a 0 och Α kallar vi potenser med basen a och exponenten Α. Vi har de viktiga potenslagarna.

1. a0 1 3. a Α 1aΑ 5. aΑ Β aΑΒ

2. a1 a 4. aΑaΒ aΑ Β 6. aΑbΑ ab ΑSpeciellt har vi skrivsättet a1 n a

n

för heltal n 1, och säger “n:te roten ur”. Då n 2 enbart “kvadratroten ur” och skriver a .

Skilj speciellt på x2 x och rötterna till ekvationen x2 1 x 1, 1 .

Exempel: Förenkla f x x4 1

x28 x31 4.

Lösningsförslag: Vi har direkt med potenslagarna f x x1 41 2 x 21 8 x31 4 x1 4 1 2 x 2 1 8 x3 1 4 x1 8 1 4 3 4 x5 8.

Simplify x4 1

x28 x31 4

, x 0x5 8

Exempel: Lös ekvationen 3x 1 3x 12.

Lösningsförslag: 3x 1 3x 12 3 3x 3x 12 4 3x 12 3x 3 3x 31 x 1.

Solve3x 1 3x 12, x, Reals Endast reella lösningar, tack

x 1

Exempel: Lös ekvationen 2x 2 3 2x 72

.

Lösningsförslag: Potenslagar 2x 2 3 2x 72

22 2x 3 2x 72

4 3 2x 72

2x 12

2x 2 1 x 1.

Solve2x 2 3 2x7

2, x, Reals Endast reella lösningar, tack

x 1

Vi fixerar nu Α och definierar en potensfunktion y f x xΑ, x 0. Det principiella utseendet beror på valet av Α. Potensfunktio-nen är alltid ickenegativ och de två till vänster är strängt växande och den till höger strängt avtagande.

0.5 1.0 1.5 2.0x

1

2

3

4

y

y xΑ , Α 1

0.5 1.0 1.5 2.0x

0.20.40.60.81.01.21.4

y

y xΑ , 0 Α 1

0.5 1.0 1.5 2.0x

5

10

15

20

y

y xΑ , Α 0

Exponentialfunktion

Om vi till skillnad mot potensfunktionen låter basen a 0 vara fix

och variera exponenten x har vi en exponentialfunktion

y f x ax. Exponentialfunktionen är alltid positiv och dess

principiella utseende beror av a, strängt växande alternativt

strängt avtagande.

2 1 1 2x

1

2

3

4

y

a 1

2 1 1 2x

1

2

3

4

y

0 a 1


De vanligaste baserna är den naturliga basen 2.71828 som är ett irrationellt tal, den historiska basen 10 och den i datorsam-manhang förekommande basen 2. I Mathematica får man antingen från palette eller med escapesekvensen ee .

Exempel: Sök reella lösningar till ekvationen 2x 2 x 8 0.

Lösningsförslag: Vi har en andragradsekvation i x, ty 2x 2 x 8 0 x 2 2 x 8 0 x 1 1 8 1 3.Eftersom x 0 duger bara x 2 varav x ln 2 . Mathematica levererar även den komplexa roten om vi vill

Solve 2 x 2 x 8 0, x, Reals Endast reella lösningar, tack

x log 2

Logaritmfunktion

Om vi låter a vara ett positivt tal skilt från 1, har exponentialfunktionen y ax en entydig lösning x för givet y 0. Denna lösning

kallas a-logaritmen för y och skrives x loga y . Talet a kallas logaritmens bas. Detta kan uttryckas i ord som “loga y är det tal

som man ska upphöja a till för att få y”. Beteckningen loga y är inte standardiserad, ibland ser man även alog y . Släktskapet med

exponentialfunktionen är alltså

x loga y y ax

Genom att snegla på potenslagarna får vi de viktiga logaritmlagarna för x, y 0.

1. loga 1 0 3. loga xy loga x loga y 5. loga xy y loga x

2. loga a 1 4. loga xy loga x loga y 6. logb x

loga x

loga bbasbyte

Exempel: Visa basbyteslagen ovan.

Lösningsförslag: Utgå från x by och ta a- respektive b-logaritmen

x byloga x logabylogb x logbby 5. loga x y logab

logb x y logbb 2. loga x y logablogb x y 1

Eliminera y logb xloga x

logab

Om vi låter basen a 1 vara fix och variera x 0 har vi en logaritmfunktion y f x loga x som är strängt växande. De tidigare

nämnda viktiga baserna och 10 och även 2 har fått speciella beteckningar

Naturliga logaritmen ln x log x

10 logaritmen lg x log10 x

2 logaritmen lb x log2 x

I Mathematica används funktionen Log[x] för ln x . Om man vill ha någon annan bas a måste detta anges Log[a,x]. Till vänster

ser vi en bukett med lite olika baser a, och till höger sammanfattar vi de viktiga syskonen y x och y ln x som är varandrasinverser.

1 2 3 4 5x

2

1

1

2y

Ökande bas

2 1 1 2 3 4x

2

1

1

2

3

4y

y x

y ln x


Exempel: Lös ekvationen ln 1 x 1 ln x .

Lösningsförslag: ln 1 x 1 ln x ln 1 x ln ln xx 0

ln 1 x ln x 1 x x x 11

0. Ok!

Solve Log 1 x 1 Log x , x

x 1

1

Exempel: Lös ekvationen ln x 2 ln x 3ln 2 .

Lösningsförslag: Ta hjälp av logaritmlagarna ln x 2 ln x 3ln 2x 2 0

x 0ln x 2 x ln23 x 2 x 8 x 2 eller x 4.

Här är x 2 falsk rot med hänsyn till kravet ovan, ty logaritmlagen ln ab ln a ln b gäller ju bara om a 0 och b 0. Detta vetnaturligtvis Mathematica

Solve Log x 2 Log x 3 Log 2 , x

x 4

Exempel: Lös ekvationen lnx2 1 ln x 1 2ln x 3 .

Lösningsförslag: Logaritmlagar, konjugat- och kvadreringsregeln lnx2 1 ln x 1 2ln x 3x senare

Testa falska x2 1x 1

x 3 2

x 1 x 1x 1

x 3 2 x 1 x 3 2 x2 7x 10 0 x1 2 och x2 5. Här duger endast x2 5 ty ln x1 3 är ej

definierad. Detta vet Mathematica

SolveLogx2 1 Log x 1 2 Log x 3 , xx 5

Exempel: Lös ekvationen ln x 2 ln x .

Lösningsförslag: ln x 2 ln x ln x ln 2 ln xx 0

ln x ln 2x x 2 x x 2 10. Ok!

Solve Log x 2 Log x , x

x2 1

Exempel: Lös ekvationen lg 1 x 1 lg x , där lg s log10 s .

Lösningsförslag: Vi får lg 1 x 1 lg x lg 1 x lg 10 lg xx 0

lg 1 x lg 10x 1 x 10x x 19

0. Ok!

Solve Log 10, 1 x 1 Log 10, x , x

x 1

9

Exempel: För vilka x och y gäller sambandet ln x y ln x ln y ?

Lösningsförslag: Med välkänd logaritmlag får vi ln x y?

ln x ln y ln xy . Alltså ? sann om x y xy y xx 1

.

Solve x y x y, y

yx

x 1

Så för varje givet x 1 finns ett entydigt y 1 sådant att ? gäller. Alltså gäller det för oändligt många x och y. Men omvänt förvarje givet x 1 finns det då oändligt många y som det är falskt för. Detta sista fall brukar vara det vanliga när man försökeranvända den “distributiva logaritmlagen” på t.ex. en tenta. Så sant för oändligt många och falskt för oändligt många!!


Trigonometriska funktioner

Vi sammanfattar de viktigaste egenskaperna och satserna kring godtyckliga trianglar.

Area A 12

bh

Vinkelsumma Α Β Γ 180Likformighet om alla vinklar är likaaa'

bb'

cc'

ab

a'b'

Cosinussatsen c2 a2 b2 2abcos ΓSinussatsen sin Α

asin Β

bsin Γ

cb

h

Α

aΒ

b

Γc

Αa'

Β

b'

Γc'

Notera det vanligaste sättet att namnge vinklar och sidor. Vinklar med grekiska bokstäver och motstående sida med motsvarandelatinska. Ett vanligt beräkningsmoment är att bestämma samtliga vinklar och sidor då en tillräckligt stor blandning av dessa är kända.

Detta kallas att solvera triangeln. Om en av vinklarna är större än 90 säges triangeln vara trubbig och spetsig om samtliga vinklar

är mindre än 90 . Ett mycket viktigt specialfall är om en vinkel är 90 , då säger vi att det är en rätvinklig triangel. För denna kännervi igen de viktiga begreppen

Rätvinklig triangelHypotenusa cKateter a och b

Pytagoras sats a2 b2 c2

cos Α bc

närliggande katethypotenusan

sin Α ac

motstående katethypotenusan

tan Α ab

motstående katetnärliggande katet

sin Αcos Α 1

cot Α Αb

ac

De ovan refererade funktionerna sin och cos kan defineras för godtyckliga argument t . Detta åskådliggörs enklast i

enhetscirkeln, en cirkel med radien 1. Som enhet för vinkeln t används nu inte grader utan radian. Denna definieras som den vinkelsom motsvarar en längdenhet av bågen.

Radian [rad] är helt dominerande i matematik som enhet för vinkel. 1varv 2Π rad 360 . Så 1rad 3602Π 57.3

I enhetscirkeln utgår vi från 1, 0 och låter detta motsvara vinkeln t 0 och räknar sedan moturs som positivt och medurs som

negativt. För att täcka upp t får vi alltså veva på flera varv åt båda hållen. Värdet av de två funktionerna cos t och sin t förgivet t kan sedan avläsas som “skuggan” på x- respektive y-axeln av den punkt på periferin som svarar mot en cirkelbåge medlängden t framvevad åt rätt håll beroende på om t är positiv eller negativ. Se figur till vänster nedan. Där finns inritat ytterligare

två ofta använda trigonometriska funktioner, nämligen tan t sin tcos t

och cot t 1

tan t. Det hör till att kunna alla dessa funktioners

värde för de vinklar som ingår i en triangel genererad av en halv kvadrat respektive halv liksidig triangel, se härledning i mitten, där

“1” och “1/2” ges direkt av aktuell triangel, och sedan “ ” av Pytagoras sats. Slutligen läser vi av definitionerna ovan och samlari en tabell till höger.

x

y

t

1,tan t

cot t ,1

1 cos t 1

1

sin t

1

1

12

45

45

1

1 2

3 2

60

30

t rad t cos t sin t tan t cot t

0 0 1 0 0 Ej def .Π6 30 3

212

1

3 3

Π4 45

1

2

1

2 1 1

Π3 60 1

232 3

1

3Π2 90 0 1 Ej def . 1

Både cos och sin är periodiska med periodiciteten 2Π, det vill säga cos t n2Π cos t och sin t n2Π sin t för n . I andrakvadranter får vi funktionernas värde genom att titta i enhetscirkeln och “spegla” första kvadranten på för ändamålet lämpligt sätt.Enklast är att fråga Mathematica, exempelvis Sin Π

2t. Vanliga funderingar är

cos t cos t sin t sin t

cos Π2

t sin t sin Π2

t cos t

cos Π t cos t sin Π t sin t

Av första raden framgår speciellt att cos är en jämn funktion och sin en udda funktion.


Eftersom variabelnamn inte har någon betydelse sammanfattar vi och ritar

y cos x Dcos Vcos 1, 1

y sin x Dsin Vsin 1, 1

y tan x Dtan x Π2

nΠ Vtan ,

Plot Cos x , Sin x , x, 10, 10 , PlotStyle Blue, Red ,

AxesLabel "x", "cos x ,sin x " , Ticks Range 3, 3 Π, Automatic

3 Π 2 Π Π Π 2 Π 3 Π x

1.0

0.5

0.5

1.0

cos x ,sin x

PlotTan x , x, 10, 10 , PlotStyle Orange, ExclusionsΠ2Range 5, 5 ,

AxesLabel "x", "tan x " , Ticks Range 3, 3 Π, Automatic

3 Π 2 Π Π Π 2 Π 3 Π x

6

4

2

2

4

6

tan x

Det finns ett stort antal trigonometriska formler härledda ur de basala additions- och subtraktionsformlerna

cos x y cos x cos y sin x sin y

sin x y sin x cos y cos x sin y

Den grundläggande av dessa ärcos x y cos x cos y sin x sin y . Detta

kan enkelt visas med metoder som kommer senarei kursen, men också med hjälp av två rätvinkligatrianglar som delar samma hypotenusa, som härför enkelhets skull har längden 1. Med markerade

vinklar och sträckor ser vi lätt sambandet. De treandra får vi sedan genom att i tur och ordning görade fiffiga valen y y och y Π

2y, följt av

förenkling med speglingsuttrycken ovan.De absolut viktigaste att känna till är

1

cos x y

cos y

sin y

yx y

cos y

sin y

cos x cos y

sin x sin y

x

x

cos2 x sin2 x 1 Trigonometriska ettan

cos 2x cos2 x sin2 x Trig. 1:an 2cos2 x 1 å igen 1 2sin2 x Dubbla vinkeln

sin 2x 2sin x cos x Dubbla vinkeln

I en del utländsk litteratur och i utdata (indata också om man vill) från Mathematica påträffar man ofta funktionerna

sec Α 1cos Α , Sec Α och cosec Α 1

sin Α , Csc Α . Dessa är en kvarleva från navigering på de gamla segelfartygens tid och

anses numera, åtminstone i Europa, som lite “exotiska”, och ingår därför inte i den svenska skolundervisningen. Det samma får nog

gälla för cot Α 1tan Α , Cot Α . Vill man inte se dessa är det lämpligt att också aktivera följande i en inputcell, vilket är gjort i hela

kursmaterialet Tillämpad matematik.


$PrePrint . Csc z 1 Defer Sin z ,

Sec z 1 Defer Cos z ,

Cot z 1 Defer Tan z &;

Inversen till de trigonometriska funktionerna kallar vi arcusfunktioner och skriver arccos x , arcsin x och arctan x . Som vanligtligger Mathematica nära med ArcCos[x], ArcSin[x]och ArcTan[x]. I amerikansk litteratur och på räknedosor är den

“inversa” namnsättningen sin 1 x , cos 1 x och tan 1 x vanlig. Även Mathematica använder dem gärna vid resultatutskrift. För attdessa inverser ska existera är man tvungen att göra en restriktion av definitionsmängderna ovan. Vi sammanfattar och uppmanarläsaren att projicera bilderna på enhetscirkeln!

1 1 Π2

Π x

1

1

Π2

Πcos x ,arccos x

Π2

1 1 Π2

x

Π2

1

1

Π2

sin x ,arcsin x

Π2

Π2

x

Π2

Π2

tan x ,arctan x

Darccos 1, 1 , Varccos 0, Π Darcsin 1, 1 , Varcsin Π2

, Π2 Darctan , , Varctan Π

2, Π

2

I många sammanhang, bland annat vid lösning av differentialekvationer som vi återkommer till i en senare kurs, får man uttryck på

formen asin Ωt bcos Ωt , där a och b är reella konstanter och Ω den så kallade vinkelhastigheten med enheten [rad/s]. Uttrycket

brukar ofta skrivas om till en ren sinusvåg med hjälp av en rätvinklig triangel med kateterna a, b och hypotenusan a2 b2 .

asin Ωt bcos Ωt a2 b2 a

a2 b2sin Ωt b

a2 b2cos Ωt 1 a

a2 b21 och 1 b

a2 b21

a2 b2 cos sin Ωt sin cos Ωt Summaformel för sinus

a2 b2 sin Ωt

och identifierar amplitud R a2 b2 och fasvinkel som naturligtvis mäts i radianer. Punkten aR

, bR ligger på enhetscirkeln

och fasvinkeln bestäms likt argumentet för ett komplext tal. Var och en av de oändligt många vinklar som löser ekvationernaa Rcos

b Rsin kan göra anspråk på att kallas för fasvinkel. På grund av periodiciteten hos cos och sin skiljer de sig åt med en multi-

pel av 2Π så alla ger “samma fotavtryck” i enhetscirkeln. Ofta nöjer man sig med den så kallade principalvinkeln som ligger iintervallet Π, Π . När man räknar för hand gäller det att se till så man hamnar i rätt kvadrant!! Om a 0 eller b 0 är det ju enkelt

annars går det bra att beräkna fasvinkeln som arctan ba Π

om a 0

eftersom arctan levererar vinklar i första och fjärde kvadranten.

Den avslutande korrektionen kommer sig naturligtvis av att vi kan ha dividerat bort “negativ” information, ty ba

ba

och ba

ba

.

Det är inga problem i Mathematica om vi använder versionen med två argument ArcTan[a,b]som alltid levererar rätt vinkel i

intervallet Π, Π och givetvis i radianer.

Exempel: Enkla trigonometriska ekvationer av typen sin 2t 1

2 som löses genom att rita (gör det!) och studera situationen i

enhetscirkeln ska man klara för hand. Dra en rät linje parallell med x-axeln (“cos”-axeln) genom 1

2 på y-axeln (“sin”-axeln). Vi ser

att denna linje skär enhetscirkeln i två punkter som enligt värdetabellen på sid 12 motsvarar vinklarna Π4

respektive Π Π4

, så med

periodiciteten 2Π får vi lösningarna 2t Π4

2nΠ eller 2t Π Π4

2nΠ, för n , vilket förenklas till t Π8

nΠ eller t 3Π8

nΠ för

n . Naturligtvis räknar vi alltid i radianer! Ekvationslösaren Solve är gjord för att lösa polynomekvationer, men gör oftast

tappra försök även då det ingår lite andra elementära funktioner, så här kommer skolbokslösningen i repris

SolveSin 2 t1

2, t Expand

t ConditionalExpressionΠ c1Π8

, c1 , t ConditionalExpressionΠ c13 Π8

, c1 För att få lösningarna i ett speciellt intervall, är det bara att hjälpa Solve med detta. Exempelvis principalvinklarna.


SolveSin 2 t1

2, Π t Π, t

t 7 Π8, t 5 Π

8, t Π

8, t 3 Π

8

Även svårare saker, som man endast efter lite möda reder ut för hand, går fint.

Solve2 Cos 2 t 2 Sin t 2 3 Cos t 0, tt ConditionalExpression2 Π c1

5 Π6

, c1 , t ConditionalExpression2 Π c1Π2

, c1 ,t ConditionalExpression2 Π c1

Π2

, c1 , t ConditionalExpression2 Π c15 Π6

, c1 Vi rör oss dock på mycket tunn is, en till synes harmlös ändring i ekvationen gör att det inte längre går att hitta analytiska lösningarutan endast (väl så bra ;-) numeriska, även om Solve kämpar på ett tag och levererar dessa på ett lite kryptiskt sätt. För en ingenjör

i verkligheten är det då (nästan alltid :-) läge att visualisera situationen med Plot och bestämma just den rot man söker med hjälp

av den generella numeriska ekvationslösaren FindRoot som håller i alla väder! Låt oss hänga på ett t i slutet på vänsterledet i

ekvationen så blir det just ett sådant här läge!

f 2 Cos 2 t 2 Sin t 2 3 Cos t t;

Plot f, t, 2 Π, 2 Π , AxesLabel "t", "f t "

6 4 2 2 4 6t

10

5

5

10

f t

FindRoot f 0, t, 1

t 0.802453

Implicita funktioner

Med en implicit funktion menas samband på formen f x, y 0, där det är svårt, onödigt eller rent av omöjligt att skriva om påexplicit form y f x . För givet x måste vi alltså lösa en ekvation för att få y. Detta är i det allmänna fallet långt ifrån odramatiskt.Det finns gott om tillämpningar där man hamnar i detta läge, inte minst lösningar till första ordningens differentialekvationer som viska se i en senare kurs. Vi nöjer oss här med att visa hur man ritar i Mathematica. Först enhetscirkeln, sedan ett annat litet konstverk

ContourPlotx2 y2 1, x, 1, 1 , y, 1, 1 , ContourStyle Orange,ContourPlot Sin 2 x Cos 3 y 1, x, 2 Π, 2 Π , y, 2 Π, 2 Π , ContourStyle Dashed

1.0 0.5 0.0 0.5 1.01.0

0.5

0.0

0.5

1.0

,

6 4 2 0 2 4 66420246

Parameterform

I många sammanhang har man ofta anledning att studera en partikels läge som funktion av tiden t, t.ex. några viltvårdare som pejlaren vargs läge på kartan, se nedan, som funktion av tiden t, x, y x t , y t , alltså 2. Naturligtvis är det lika lätt att strykaeller lägga till en koordinatfunktion, t.ex. positionen x t , y t , z t som funktion av tiden t för en satellit som används vid GPS-pejling. Vi har nu istället 3.


0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6x

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

y t h x t km y t km

0 0.5 0

0.1 0.47 0.39

0.2 0.45 0.72

0.3 0.42 0.93

0.4 0.39 0.99

Det typiska är att varje koordinat beskrivs av en funktion av en variabel, den så kallade parametern. Man kan naturligtvis användavilket namn man vill på parametern, bara det inte krockar med något annat. Vanliga namn är t (tiden), Θ, (vinkel) och lite mer

allmänt u. Så vi har generellt parameterform u f u , g u , .

Exempel: Cirkeln är ett enkelt exempel som inte ryms inom den explicita funktionsformen. Här med centrum i origo och radien 2.Alltså Θ x Θ , y Θ 2cos Θ , 2sin Θ , Θ 0, 2Π .

ParametricPlot 2 Cos Θ , Sin Θ , Θ, 0, 2 Π ,

PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y" , AspectRatio Automatic

2 1 1 2x

2

1

1

2

y

Exempel: Här en partikelbana vid avloppet i ett badkar.

ParametricPlot3D t Sin 5 t , t Cos 5 t , t , t, 0, Π ,

PlotStyle Thickness 0.03 , ColorFunction Function x, y, z, t , Hue t

Notera att vanliga explicita funktioner är ett specialfall av parameterformen, ty

Explicit form y f x , x D fx u uy u f u

, u D f Parameterform

Exempel: En lodrät linje ryms inte inom den explicita funktionsformen, men med omskrivningen ovan blir det enkelt att rita. Härlinjen x 2, som vi väljer att rita för y 1, 1 .

ParametricPlot 2, u , u, 1, 1 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "y"

1 2 3 4x

1.0

0.5

0.5

1.0

y

Naturligtvis är det lika enkelt att rita en vanlig rät linje, exempelvis y 2x 1, x 1, 3 .


ParametricPlot u, 2 u 1 , u, 1, 3 , PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y"

1 1 2 3x

2

2

4

y

Exempel: Vi vill rita en cirkel utgående från dess allmänna ekvation x x02 y y0

2 r2, där x0, y0 är centrumkoordinaternaoch r dess radie. Vi skriver om denna implicita form till parameterform

x x02 y y0

2 r2 x Θ x0 r cos Θy Θ y0 r sin Θ , Θ 0, 2Π . Provkör slutligen med x0, y0 3, 2 och r 4.

ParametricPlot 3 4 Cos Θ , 2 4 Sin Θ , Θ, 0, 2 Π , PlotStyle Blue,

AxesLabel "x", "y" , AspectRatio Automatic, PlotRange 2, 8 , 3, 7 ,

Epilog Blue, Text " x0,y0 ", 3, 2 , 1, 0

2 2 4 6 8x

2

2

4

6

y

x0,y0

Om man har behov att “mörka” delar av cirkelbågen, görs detta enkelt genom att inskränka intervallet för parametern.

ParametricPlot 3 4 Cos Θ , 2 4 Sin Θ , Θ, Π2, 2 Π, PlotStyle Green,


Epilog Green, Text " x0,y0 ", 3, 2 , 1, 0

2 2 4 6 8x

2

2

4

6

y

x0,y0

Exempel: Dividera båda sidor i cirkelns ekvation x x02 y y0

2 r2 med r2 så får vi x x0

r2 y y0

r2 1. Här har vi nu

möjlighet att välja olika r under “x” respektive “y”, x x0

a2 y y0

b2 1 vilket är ekvationen för en ellips, “en tillplattad cirkel”.

Parametrarna a och b kallas ellipsens halvaxlar.

x x0

a2 y y0

b2 1

x Θ x0 a cos Θy Θ y0 b sin Θ , Θ 0, 2Π . Provkör slutligen med x0, y0 3, 2 och a 4, b 2.


ParametricPlot 3 4 Cos Θ , 2 2 Sin Θ , Θ, 0, 2 Π , PlotStyle Red,


Epilog Red, Text " x0,y0 ", 3, 2 , 1, 0

2 2 4 6 8x

1

1

2

3

4

5y

x0,y0

En vanlig kurvform är den polära formen. En punkt i planet x, y kan pekas ut från origo

genom att man anger en vinkel från positiva x–axeln till punktens syftlinje och sedan talar

om hur långt man ska gå i denna riktning. Om vinkeln är Θ och sträckan i denna riktning är

r Θ får vi följande entydiga översättning till parameterform

r ΘΘ

x Θ , y Θ

x

y

Polär form r r Θ , Θ Drx Θ r Θ cos Θy Θ r Θ sin Θ , Θ Dr Parameterform

I vår omvärld finns det gott om exempel på spiraler och rosetter som ofta anges på polär form. Vi tar några.

Exempel: På ett segelfartyg kan man se vackert ihoprullade tåg, se fig. Detta är exempel

på en så kallad Arkimedes spiral r Θ aΘ. I Mathematica finns naturligtvis en funktion

för att rita kurvor på polär form. Namnet på denna kan man gissa.

PolarPlot Θ, Θ, 0, 12 Π , PlotStyle Thickness 0.05 , Orange , AxesLabel "x", "y"

30 20 10 10 20 30x

30

20

10

10

20

30

y

Exempel : Tillväxten av vissa blommor, tänder på en del rovdjur,

galaxer eller pärlbåtssnäckan chambered nautilus i figuren sker

enligt en så kallad logaritmisk spiral r Θ a bΘ.


PolarPlot Θ 10, Θ, 16 Π, 2.1 Π , PlotStyle Orange,

PlotRange 2, 2 , 2, 2 , AxesLabel "x", "y"

2 1 1 2x

2

1

1

2y

Vi avslutar med en propeller

PolarPlot Sin 3 t , t, 0, 2 Π , PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y"

0.5 0.5x

1.0

0.5

0.5

y

och när vi väl lyft får lite oläslig programkod, “Mathematicapornografi”, generera en så kallad fraktal för att visa på möjligheternaatt visualisera med Mathematica.

poles 1 , 1 , 1 , 1 ;

m TableN j i , i, 1, 1,2

201, j, 1, 1,

2

201;

Dom mm4 4

4 m3, i, 10 ;

m Map Position Abs poles , Min Abs poles 1, 1 &, m, 2 ;

ListDensityPlot m, ColorFunction "SiennaTones"


något om funktioner och mathematica -...

Documents