Ứng dỤng tÍch phÂn · Ứng dỤng tÍch phÂn hƯỚng dẪn giẢi. dạng 1. diện tích...

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

HƯỚNG DẪN GIẢI.

Dạng 1. Diện tích hình phẳng giới hạn

Bài 1:

1. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số: y x= − và đường thẳng y 2 x= − là

nghiệm của phương trình: x 2 x x x 2− = − = −

2 2

x 2 x 2x 4

x x 4x 4 x 5x 4 0

=

= − + − + =

Diện tích hình phẳng H giới hạn: ( )2 4

0 2

S xdx 2 x x dx= + − +

42 23 3

0 2

2 x 2 4 2 16 4 2 10x 2x x 2

3 2 3 3 3 3 3

= + − + = + − − =

2. Phương trình hoành độ giao điểm : ( ) ( )xe 1 x 1 e x+ = + ( )xx e e 0 − =

x

x 0 x 0

x 1e e

= =

==

Diện tích hình phẳng H giới hạn: ( ) ( ) ( )1 1

x x

0 0

S e 1 x 1 e xdx x e e dx = + − + = −

Với x 0;1 , ta luôn có: ( )xx e e 0−

Vậy, ( )1

x

0

S x e e dx = −

Đặt ( )x x

u x du dx

dv e e dx v ex e

= =

= − = −

( ) ( ) ( )

11 21

x x x

0 0 0

ex e eS x ex e ex e dx e e 1 1

2 2 2

= − − − = − − = − − − − = −

Bài 1:

1. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 35x x 9 x 9x+ = +

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



2 2x x 9. 5 x 9 0 x 0,x 4 + − + = = =

Hơn nữa hàm số ( )2 3y 5x x 9 x 9x= + − + liên tục trên 4;0− , 0;4 , do đó

diện tích cần tính là:

( ) ( ) ( )4 0 4

2 3 2 3 2 3

4 4 0

S 5x x 9 x 9x dx 5x x 9 x 9x dx 5x x 9 x 9x dx− −

= + − + = + − + + + − +

( ) ( )0 4

2 3 2 3

4 0

82 82 1645x x 9 x 9x dx 5x x 9 x 9x dx

3 3 3−

= + − + + + − + = − + =

2.

( )

2

31

1S dx

x x 1=

+ , với

( )3

1x 1;2 0

x x 1

+

( )( )

( )

3 32 2 2 2

33 31 1 1

x 1 xdx 1 xS dx dx

x x 1x x 1 x x 1

+ − = = = −

++ +

( )3 22 223

3 311 1

x 1 '1 1 3x 1 1 1dx dx ln x ln x 1

x 3 x 3 3x 1 x 1

+ = − = − = − + + +

1 1ln 2 ln 9 ln 2 .

3 3

= − − −

Vậy, 4 1

S ln2 ln93 3

= −

3. Ta có phương trình : ( )

2

xln x 2 x 00

x 14 x

+ ==

= −−

. Suy ra hình phẳng cần tính

diện tích chính là hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )2

xln x 2y , y 0, x 1, x 0.

4 x

+= = = − =

−

Diện tích của hình phẳng là ( ) ( )0 0

2 21 1

xln x 2 xln x 2S dx dx.

4 x 4 x− −

+ − += =

− − .

Đặt ( )2

xu ln x 2 , dv dx

4 x

−= + =

−

. Khi đó 2dxdu , v 4 x

x 2= = −

+.

Theo công thức tích phân từng phần ta có

( )0 02 20

2

1 1 1

4 x 4 xS 4 x ln x 2 dx 2ln2 dx.

x 2 x 2− − −

− −= − + − = −

+ +




Đặt x 2sin t dx 2costdt= = . Khi x 1 t ;6

= − = − khi x 0 t 0.= =

( ) ( )

00 0 02 2

16

6 6

4 x 4cos tI dx dt 2 1 sin t dt 2 t cos t 2 3.

x 2 2sin t 2 3− −

− −

− = = = − = + = + −

+ +

4. Phương trình tiếp tuyến tại M : y 6x 9= −

Phương trình tuyng độ giao điểm: 2y 9y 36y y 18y 81

6

+= = + +

Vậy, 9

0

y 9S y dy

6

+= − . Với y 0;9 thì

y 9y 0

6

+− .

939 2

00

2 yy 9 y 9y 27 27 9S y dy 18

6 12 6 3 4 2 4

+ = − = + − = + − =

Bài 3:

1. Bảng xét dấu

x 0 1 3 y − +

( ) ( )1 3

2 2

0 1

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − − + − + − + −

( ) ( )1 3

2 2

0 1

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − − + − + − + −

1 33 3

2 2

0 1

x x 82x 3x 2x 3x

3 3 3

= − − + + + − + + =

.

Vậy 8

S3

= (đvdt).

2. Đặt ( ) ( )3 2 3 2h x x 11x 6 6x x 6x 11x 6= + − − = − + −

( )h x 0 x 1 x 2 x 3= = = = (loại).

Bảng xét dấu

x 0 1 2

( )h x − +




( ) ( )1 2

3 2 3 2

0 1

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= − − + − + − + −

1 24 2 4 2

3 3

0 1

x 11x x 11x 52x 6x 2x 6x

4 2 4 2 2

= − − + − + − + − =

.

Vậy 5

S2

= (đvdt).

3. Phương trình hoành độ giao điểm:

2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0− + = − + = = x 1t 1 x 1

t 3 x 3x 3

= = =

= = =

3 32 2

3 0

S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx−

= − + = − +

( ) ( )1 3

2 2

0 1

2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx = − + + − +

1 33 3

2 2

0 1

x x 162 2x 3x 2x 3x

3 3 3

= − + + − + =

.

Vậy 16

S3

= (đvdt).

4. Phương trình hoành độ giao điểm:

2x 4x 3 x 3− + = + 2

2

x 3 0x 0

x 4x 3 x 3x 5

x 4x 3 x 3

+ = − + = + = − + = − −

.

Bảng xét dấu

x 0 1 3 5 2x 4x 3− + + 0 − 0 +

( ) ( ) ( )1 3 5

2 2 2

0 1 3

S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx = − + − + − + −

1 3 53 2 3 2 3 2

0 1 3

x 5x x 3x x 5x 1096x

3 2 3 2 3 2 6

−= − + + − + − =

.

Vậy 109

S6

= (đvdt).




5. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành: x 0 x 0

xln x 0ln x 0 x 1

= ==

= =

Nhận xét: xlnx 0 , x 1;e

Gọi S là diện tích cần tìm : e e

1 1

S xln xdx xln xdx= =

Đặt: 2

dxdu

u ln x x

dv xdx xv

2

= =

= =

e e ee e2 2 22

11 11 1

x 1 x 1 e 1S xln xdx ln x xdx ln x x

2 2 2 4 4

+= = − = − = (đvdt)

6. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

2 2 x 1x 3x 2 x 1 x 4x 3 0

x 3

=− + = − − + =

=

Gọi S là diện tích cần tìm: ( ) ( )3 3

2 2

1 1

S x 3x 2 x 1 dx x 4x 3dx= − + − − = − +

Cách 1. ( Dựa vào đồ thị ) 2 2x 3x 2 x 1 x 4x 3 0, x 1; 3− + − − +

( )3

3 42 2

1 1

x 4S x 4x 3 dx 2x 3x

4 3

= − + − = − + − =

(đvdt)

Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị )

( )3 3

3 3

1 1

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − + = − +

34

2

1

x 4 42x 3x

4 3 3

= − + = − =

7. Gọi S là diện tích cần tìm và e

1

ln xS dx

2 x=

Vì trên đoạn ln x ln x

1;e : ln x 02 x 2 x

= nên e

1

ln xS dx

2 x= .

Đặt

u ln x 1du dx

x1dv dx

v x2 x

= =

= =




Khi đó ( )e ee

1 11

xS x ln x dx x ln x 2 x 2 e

x= − = − = − ( đvdt ).

8. Ta có ( ) ( )1 2f x f x 0 cosx sinx 0 x 0;4

− = − = =

Vậy diện tich cần tinh là 0

S cos x sin x dx

= −

( ) ( )4

0

4

cosx sin x dx cosx sin x dx

= − + −

( ) ( )40

4

sinx cosx sinx cosx 2 2

= − + − = .

9. PTHĐ giao điểm của hai đồ thị 3y x 3x= + và y x 5= − +

3 3 2x 3x x 5 x 4x 5 0 (x 1)(x x 5) 0+ = − + + − = − + + = x 1 = .

Diện tích cầ tính là: 1 1

3 3D

2 2

S x 4x 5 dx (5 4x x )dx− −

= + − = − −

14

2

2

x 995x 2x

4 4−

= − − =

(đvdt).

10. Xét PTHĐ giao điểm của hai đồ thị 2x

y 44

= − và 2x

y4 2

= :

2 2 2 42x x x x

4 4 x 8 x 2 24 4 324 2

− = − = = = .

Trên 2 2; 2 2 −

, ta có: 2 2x x

44 4 2

− nên diện tích cần tính là:

2 2 2 2 2 22 22 2

D0 02 2

x x 1S 4 dx 16 x dx x dx

4 4 2 2 2−

= − − = − −

Ta có:

2 22 2 32

0 0

x 16 2x dx

3 3= =

Đặt x 4sin t dx 4costdt= = . Khi đó:




2 2 4 42 2

0 0 0

16 x dx 16 cos tdt 8 (1 cos 2x)dx 2 4

− = = + = +

Vậy: D4

S 23

= + .

11. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là: x(e 1)x (1 e )x x 0;x 1+ = + = =

Diện tích cần tính là: 1 1 1

x xD

0 0 0

S |xe xe |dx e xdx xe dx= − = −

Ta có: 1

0

1xdx

2= .

Đặt x x

u x du dx

dv e dx v e

= =

= =

1 11x x x

00 0

xe dx xe e dx 1 = − =

De

S 12

= − (đvdt).

12. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho

2x x(2 tan x) x 0= + = và 2 2x(2 tan x) x x(1 tan x) 0 x 0;4

+ − = +

nên diện tích cần tính là: 4

2D

0

S x(1 tan x)dx

= +

Đặt 2

u x du dx

v tan xdv (1 tan x)dx

= =

== +

44 4

D 0 00

1S x tan x tan xdx ln|cosx| ln 2

4 4 2

= − = + = − .

Bài 4: Ta có: 2y' x 2mx 2= + − .

Do y'(0) 2 0; y'(2) 4m 2 0= − = + y' 0 = có đúng một nghiệm 0x (0;2)

Bảng biến thiên.

x 0 0x 2

y' − 0 +




y

Do 1 5 5

y(0) 2m 0; y(2) 2m 0 m 0; y 0 x (0; 2)3 3 6

= − − = −

23 2

D0

1 1 4m 10S x mx 2x 2m dx

3 3 3

+ = − − + + + =

D1

S 4 4m 10 12 m2

= + = = .

Bài 5: Đường thẳng đi qua A , hệ số góc k có phương trình :

y k(x 1) 4 kx k 4= − + = − + .

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và : 2 2x kx k 4 x kx k 4 0 (1)= − + − + − =

Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm 1 2x x . Khi đó, diện tích (H) là:

x22

x1

S (kx k 4 x )dx= − + −

x232

x1

k xx (4 k)x

2 3

= + − −

2 2 3 32 1 2 1 2 1

k 1(x x ) (4 k)(x x ) (x x )

2 3= − + − − − −

22 11 2 1 2 1 2

x x3k(x x ) 6(4 k) 2(x x ) 2x x

6

− = + + − − + +

22 1x x(k 4k 16)

6

−= − + .

Ta có: 2 2 22 1 2 1 1 2(x x ) (x x ) 4x x (k 2) 12 12− = + − = − +

2 3S .12 4 3

6 = . Đẳng thức xảy ra k 2 = .

Vậy k 2= là giá trị cần tìm

Dạng 2. Thể tích hình phẳng giới hạn Bài 1:

Phương trình hoành độ giao điểm: xlnx 0 x 1= = .

Vậy, ( )e e

2 2 2Ox 1

1 1

V xln x dx x ln xdx I= = =




Đặt: 2

322

2ln xdu dx

u ln x x

xdv x dx v x dx3

= =

= = =

ee3 3

2 21 2

11

x 2 e 2I ln x x lnxdx I

3 3 3 3

= − = −

với e

22

1

I x ln xdx=

Đặt: 32

dxduu ln x x

xdv x dxv

3

= =

= =

e ee3 3 3 3 3 3

22

11 1

x 1 e x e e 1 2e 1I lnx x dx

3 3 3 9 3 9 9 9

+= − = − = − − =

Vậy, ( )3

3 3

Ox

5e 2e 2 2e 1V .

3 3 9 27

− += − =

( đvtt ).

Bài 2:

1. Phương trình hoành độ giao điểm là x 1= .

Khi quay quanh trục Ox , hình phẳng giới hạn bởi y x= , trục Ox và x 1=

thì thể tích khối tròn sinh ra là: 1

10

V xdx2

= =

Khi quay quanh trục Ox , hình phẳng giới hạn bởi y 2 x= − , trục Ox và x 1=

thì thể tích khối tròn sinh ra là: ( )2

22

1

V 2 x dx3

= − = .

Vậy, thể tich khối tròn xoay cần tìm là 1 25

V V V6

= + = .

2. Phương trình hoành độ giao điểm: x sinx 0 x 0= = hoặc x =

( )2

2Ox

0 0 0

1 cos 2xV x sin x dx xsin xdx x dx

2

−

= = =

2 3

0 0 0

xxdx xcos2xdx I I

2 2 4 2 4 2

= − = − = −




Đặt: du dx

u x1

dv cos2xdx v sin2x2

= =

= =

0 00

x 1 1I sin2x sin2xdx 0 cos2x 0

2 2 4

= − = − =

Vậy, 3

OxV4

=

3. Phương trình hoành độ giao điểm: 25 x 3 x− = − 2x x 2 0 x 1 − − = = − hoặc x 2=

( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2 4 2

Ox1 1

V 5 x 3 x dx 25 10x x 9 6x x dx− −

= − − − = − + − − +

24 2

1

x 11x 6x 16dx−

= − + + , với 4 2x 1; 2 , x 11x 6x 16 0 − − + +

( )2

2 5 34 2 2

Ox1 1

x 11xV x 11x 6x 16 dx 3x 16x

5 3− −

= − + + = − + +

32 88 1 11 15344 13

5 3 5 3 5

= − + − − + − =

4. Ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là:

( )2 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0

V y dx xcosx sin x dx xcosxdx sin xdx

= = + = + .

Ta có: ( )2 2 22

00 0

1 1 1sin xdx 1 cos2x dx x sin 2x

2 2 2 4

= − = − =

.

Đặt u x du dx

dv cosxdx v sin x

= =

= =

2 220

0 0

xcosxdx xsin x sin xdx 12

= − = +

Vậy ( )3 4

V 12 4 4

+ = + + =

.

5 Thể tích khối tròn xoay cần tính là: 1

2 2x

0

V x e dx=




Đặt 2

2x2x

du 2xu x

1v edv e dx

2

= =

==

1 1212 2x 2x 2x

00 0

1 eV x e xe dx xe dx

2 2 = − = −

Đặt

2x2x

du dxu x1

v e dxdv e dx2

= =

== 11 1 2 2x 21

2x 2x 2x

00 0 0

1 1 e e e 1xe dx xe e dx

2 2 2 4 4

+ = − = − =

2 2 2e e 1 e 1V

2 4 4

+ − = − = .

6. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường ( )2y x ln 1 x= + và y 0= :

( )2x ln 1 x 0 x 0+ = = .

Thể tích cần tính: ( )1

2 2

0

V x ln 1 x dx= + .

Đặt ( )2

2

32

2xdu dx

u ln 1 x 1 x

xdv x dx v3

= = + +

= =

( ) ( )11 13 4

2 2 2

20 00

x 2 xx ln 1 x dx ln 1 x dx

3 3 1 x + = + −

+

11 13

2

2 20 00

ln2 2 1 ln2 2 x 2 dxx 1 dx x

3 3 3 3 3 31 x 1 x

= − − + = − − − + +

ln2 4 2 12ln2 16 6.

3 9 3 4 36

+ − = + − = (đvtt).

Bài 3:

1. Hoành độ giao điểm 2

2 2x4 x x 3 x 3

3− − = − = =




( )3 4

2

3

xV 4 x dx

9−

= − − ( )3

3 53 4 3

0 0

2 2 x36 3x x dx 36x 3x

9 9 5

= − − = − −

.

Vậy 28 3

V5

= (đvtt).

2. Tung độ giao điểm: 2 y 1y 5 3 y

y 2

= −− + = −

=.

( ) ( ) ( )2 22 22 4 2

1 1

V y 5 3 y dy y 11y 6y 16 dy− −

= − + − − = − + +

25 3

2

1

y 11y 1533y 16y

5 3 5−

= − + + =

.

Vậy 153

V5

= (đvtt).

3. Gọi V là thể tích cần tìm: ( )2 22

x 2 2x

0 0

V xe dx x e dx= =

Đặt: 2

2x2x

du 2xdxu x

1v edv e dx

2

= =

==

2 2 22 2x2x 4 2x

0 00

x eV xe dx 2 e xe dx

2

= − = −

Đặt: 2x2x

du dxu x1

v edv e dx2

= =

==

22 22x4 2x 4 2x

0 00

xeV 2 e xe dx 2 e e dx

2 2

= − = − −

( ) ( )2

4 4 2x 4 4 4 4

0

2 e e e 2 e e e 1 5e 14 4 4

= − − = − + − = −

(đvtt).

4. Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi

các đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox




( ) ( )2

2 2 32 2 2

10 0 0

4x 32V 2x 4 dx 4x 16x 16 dx 8x 16x

3 3

= − = − + = − + =

Gọi V2

là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox

( ) ( )2

2 2 5 322 4 2

20 0 0

x 8x 256V x 4 dx x 8x 16 dx 16x

5 3 15

= − = − + = − + =

Gọi V là thể tích cần tìm:

2 1256 32 32

V V V15 3 5

= − = − = (đvtt)

Bài 4: Hoành độ giao điểm của hai đường 2y x 4x 3= − + và Ox là x 1= hoặc

x 3= .

Ta có: ( )22y x 4x 3 x 2 y 1 x 2 y 1= − + − = + = + với y 1 −

Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi 1x 2 y 1,= − + Oy, y 1,= −

y 0= sinh ra khối tròn xoay có thể tích là ( )0

21 1

1

V x dx−

=

Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi 2x 2 y 1,= + + Oy, y 1,= −

y 0= sinh ra khối tròn xoay có thể tích là ( )0

22 2

1

V x dx−

=

Vậy, thể tích cần tìm là 2 116

V V V3

= − = .


Ứng dỤng tÍch phÂn · Ứng dỤng tÍch phÂn hƯỚng dẪn giẢi. dạng 1. diện tích...

Documents