Método de Newton-Raphson para

la búsqueda de raíces

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia del método anterior, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación xi a la raíz xr de f (x)

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto (xi,f (xi)) ; ésta cruza

al eje x en un punto xi+1 que será nuestra siguiente aproximación a la

raíz xr.

Para calcular el punto xi+1 , calculamos primero la ecuación de la recta

tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos y=0:

Y despejamos x :

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

; si

NOTA: El método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no se tiene ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que f ’(xi)=0 , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso xi mismo es una raíz de f (x).

METODOLOGÍA.

1. Se calcula o determina la primera derivada de la función dada.

2. Se sustituye la función dada y la derivada obtenida de esta en la formula de Newton-Raphson.

3. Se selecciona un punto cualquiera de la función original, el cual será el punto de partida o valor inicial de x (x0) para la determinación de la raíz aproximada de la función.

4. Se sustituye el valor inicial de x en la formula de Newton-Raphson que se obtuvo en el punto 2 para obtener una aproximación a la raíz a la cual nombraremos x1.

5. Se calcula su error de aproximación tomando como valor real el valor obtenido y como valor aproximado el anterior que en este caso es el inicial.

Error relativo: |(xactual - xanterior)/xactual|*100

1. Se repiten los pasos 4 y 5 sustituyendo en la formula de Newton-Raphson el valor obtenido con anterioridad, obteniendo una nueva aproximación a la raíz. Esto se repetirá hasta llegar a obtener un valor de error relativo satisfactorio o pedido.

Por este último punto es que se dice que este método es iterativo ya que se repite tantas veces sea necesario hasta llegar a obtener un valor satisfactorio para uno.

FORMULA DE NEWTON-RAPHSON.

1arctan)( −+= xxxf 00 =x %1<∈a

00 =x

Ejemplo

Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que

.

SoluciónEn este caso, calculando la primera derivada de la función dada se tiene:

La cual sustituimos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener:

Primera iteración.Comenzamos sustituyendopara obtener:

x1= 0 – {(arctan(0)+0-1)/[(1/(1+02))+1]} = 0.5

en la fórmula de Newton-Raphson

En este caso tenemos un error aproximado de:

Eaprox=|(0.5-0)/0.5|*100%=100%

Segunda iteración.

Ahora sustituyendo x0=0.5 como el valor anterior calculado para obtener:

X2= 0.5 – {(arctan(0.5)+0.5-1)/[(1/(1+0.52))+1]} = 0.5201957728

En este caso tenemos un error aproximado de: Eaprox=|(0.5201957728-0)/ 0.5201957728|*100%=3.88%

Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultado en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

0

0.5 100%

0.5201957728 3.88%

0.5202689918 0.01%

De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es: