ANALISIS NUMERICO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA

TEMA: METODO NEWTON – RAPHSON

INTEGRANTES:• LENIN CHUICO

• FERNANDO ESCARABAY

• ALEXANDRA GUAMÁN

• IVAN LOARTE

• ISRAEL QUINTEROS

• DIEGO ROMERO

• LUIS TENE

8vo A

El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

METODO DE NEWTON-RAPHSON

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson).

HISTORIA

Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.

HISTORIA

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.

HISTORIA

Cálculo de las aproximaciones a la raíz:

Para el cálculo del error aproximado:

FÓRMULA

Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades. Un caso especial es en el de las raíces múltiples. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por su lenta convergencia, el delta-x se acerca a cero muy lentamente o no se acerca.

CONSIDERACIONES SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON

RAPHSON:

No siempre trabaja puesto que se encuentra con problemas en varias partes. Existen casos en los que f´ (x)=0, en los cuales se tendrá una error de división por cero, y no se podrá proceder.

CONSIDERACIONES SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON

RAPHSON:

Existen ecuaciones que son bastante complejas. No es posible resolverlas algebraicamente, para lo cual se debe usar un método numérico. El método de Newton-Raphson es la manera más fácil y fehaciente de resolverlas, aunque las ecuaciones y sus derivadas puedan parecer realmente intimidantes.

CONSIDERACIONES SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON

RAPHSON:

Introducir la ecuación a resolver f(x)Introducir la derivada de la función a resolver f ‘ (x)Introducir el máximo número de iteraciones NmaxIntroducir el valor máximo del error porcentual

aproximado Tmax.Seleccionar una aproximación inicial cercana a la

raíz xiInicializar el contador i=1Mientras que i <= Nmax continuar los pasos 8 al 11Calcular la aproximación a la raíz mediante la

ecuación predictiva de Newton–Raphson

ALGORITMO

Calcular el error porcentual aproximadoVerificar que se cumpla la condición |ep|

<= Tmax. Si se cumple, entonces se ha encontrado la aproximación final, ir al paso 13 de lo contrario continuar.

Hacer i = i+1Verificar si se cumple la condición i<=

Nmax. Si después de Nmax iteraciones no se ha cumplido que |ep| <= Tmax, el método ha fracasado. Terminar la ejecución del algoritmo.

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ALGORITMO

EJEMPLO 1

MATLAB

El método de newton es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados.

El método se emplea en la solución de problemas académicos y en problemas propios del mundo real.

El método no puede ser utilizado para los casos en que f´(x)=0

La eficiencia del método depende del valor inicial elegido.

CONCLUSIONES

GRACIAS