ELE401/501 DOĞRUSAL SİSTEMLER – 2015-2016/I - C. KASNAKOĞLU - ÖDEV 1

Açıklama: Aşağıdaki soruları çözerek 22 Ekim 2015 Perşembe günü teslim edin. Aksi belirtilmediği sürece tüm sorular elde çözülmelidir. Bilgisayarda çözüm yapılması isteniyorsa soruda belirtilecektir.

1. Aşağıda verilen kümlerin alan olup olmadıklarını belirleyin. Toplama ve çarpım işlemlerinin bildiğiniz standart işlemler olduğunu varsayın.

a. Reel katsayılı iki veya daha küçük dereceli polinomlardan oluşan küme. b. Rasyonel sayılar kümesi. c. Gerçek kısımları sıfır olan karmaşık sayılardan oluşan küme.

2. Aşağıda verilen kümelerin reel sayılar (ℝ) alanı üzerinde vektör uzayı olup olmadığını belirleyin.

Uzay olanlar için bir taban bulun ve uzayın boyutunu belirleyin. (Vektör toplamı ve vektör-skaler çarpımı işlemlerinin bildiğiniz standart işlemler olduğunu varsayın.)

a. ��𝑥𝑦𝑧� ∈ ℝ3 |𝑥 = 𝑦 = 𝑧� biçimindeki vektörlerden oluşan küme.

b. ��

𝑥𝑦� ∈ ℝ

2 | 𝑥 = 𝑦2� biçimindeki vektörlerden oluşan küme.

c. Tüm 2 × 2 matrislerden oluşan küme. d. 𝑓:ℝ → ℝ biçimindeki tüm sürekli fonksiyonlardan oluşan küme. e. 𝑓:ℝ → ℝ biçimindeki tüm süreksiz fonksiyonlardan oluşan küme.

3. Aşağıda verilen vektörlerin doğrusal bağımsız bir küme oluşturup oluşturmadıklarını ve içinde

bulundukları uzay için bir taban oluşturup oluşturmadıklarını irdeleyin.

a. (ℝ3,ℝ) uzayı altında 𝐯𝟏 = �321� , 𝐯𝟐 = �

342� ve 𝐯𝟑 = �

121� vektörleri.

b. (ℝ3,ℝ) uzayı altında 𝐯𝟏 = �525� ve 𝐯𝟐 = �

234� vektörleri.

c. (ℝ3,ℝ) uzayı altında 𝐯𝟏 = �525� , 𝐯𝟐 = �

234� ve 𝐯𝟑 = �

516� vektörleri.

d. (ℝ3,ℝ) uzayı altında 𝐯𝟏 = �525� , 𝐯𝟐 = �

234�, 𝐯𝟑 = �

516� ve 𝐯𝟒 = �

123009326931789478929

101237896� vektörleri.

4. 𝑇 dönüşümü (ℝ2,ℝ)’de bir vektörü saat yönünde 45 derece döndüren dönüşüm olsun.

a. Bu dönüşümün doğrusal bir dönüşüm olduğunu gösterin. b. Doğal tabanda ({𝑒1, 𝑒2}) bu dönüşüme karşılık gelen A matrisini bulun. c. �̅�1 = −𝑒1 + 𝑒2 ve �̅�2 = 𝑒1 + 𝑒2 olsun. {�̅�1, �̅�2} tabanında bu dönüşüme karşılık gelen �̅�

matrisini bulun. d. 𝐴 ve �̅� arasındaki benzerlik dönüşüm matrisi 𝑃’yi bulun. Bu matrisi uygulayarak bir

matristen diğerine nasıl geçilebileceğini gösterin. (Matris işlemlerini de yapın.)

5. Aşağıdaki matrislerin rankı ve sıfırlığı nedir? Matrislerin sıfırlık uzayı (𝒩) ve erimi (ℛ) için birer taban bulun.

a. 𝐴 = �3 1 −6 0 4 21 2 −2 0 3 −1� b. 𝐴 = �1 1

0 1� c. 𝐴 = [0 0]