nelineárna optika - uniba.sk · optika, jedna z najstarších vedných disciplín, sa v polovici...
TRANSCRIPT
-
nelineárnaoptika
-
Vladimír Mesároš, Anton Štrba, Dagmar Senderáková
NELINEÁRNA OPTIKA
BRATISLAVA 2016
-
Autori: doc. RNDr. Vladimír Mesároš, CSc.
prof. RNDr. Anton Štrba, CSc.
RNDr. Dagmar Senderáková, CSc.
Názov: Nelineárna optika
Recenzenti: prof. RNDr. Jarmila Müllerová, PhD.
prof. RNDr. Pavel Veis, CSc.
Vydavateľ: Kniţničné a edičné centrum FMFI UK, Bratislava
Rok vydania: 2016
Miesto vydania: Bratislava
Počet strán: 274
ISBN 978-80-8147-065-3
© Vladimír Mesároš, Anton Štrba, Dagmar Senderáková, 2016
© Kniţničné a edičné centrum FMFI UK, Bratislava, 2016
Na prednej strane obálky je záznam generácie súčtovej frekvencie ţiarenia YAG lasera so satelitmi
vynúteného Ramanovho rozptylu v benzéne - jav upconversion (záznam získaný v Laboratóriu
nelineárnej optiky FMFI UK).
-
Obsah
Predslov.................................................................................................................................7
Úvod ......................................................................................................................................9
1. Dielektrické prostredia ................................................................................................... 11
1.1 Charakteristika prostredia .......................................................................................... 11
1.2 Lineárne izotropné prostredie ...................................................................................... 13
1.2.1 Priehľadné dielektriká .......................................................................................... 16
1.2.2 Absorpčné dielektrika .......................................................................................... 16
1.3 Anizotropné prostredie ................................................................................................ 17
1.4 Klasická mikroskopická teória susceptibility a disperzie ............................................. 28
2. Slabé a silné optické polia ............................................................................................... 33
3. Výpočet nelineárnej polarizácie s využitím mikroskopického modelu susceptibility
s uvážením anharmonického oscilátora. Nelineárna zložka susceptibility ................. 36
3.1 Lineárna zloţka polarizácie ......................................................................................... 40
3.2 Kvadratická zloţka polarizácie .................................................................................... 42
3.3 Kubická zloţka polarizácie ......................................................................................... 44
3.4 Prípad superpozície harmonických vĺn ........................................................................ 46
3.4.1 Lineárna polarizácia ............................................................................................. 47
3.4.2 Kvadratická polarizácia ........................................................................................ 48
3.4.3 Kubická polarizácia .............................................................................................. 49
3.5 Nelineárna polarizácia v anizotropnom prostredí ......................................................... 51
4. Výpočet nelineárnej polarizácie s využitím fenomenologického opisu polarizačnej
odozvy ............................................................................................................................. 55
4.1 Časová reprezentácia .................................................................................................. 55
4.1.1 Lineárna polarizácia ............................................................................................. 55
4.1.2. Kvadratická polarizácia ....................................................................................... 58
4.2 Frekvenčná reprezentácia ............................................................................................ 60
4.2.1 Lineárna zloţka polarizácie .................................................................................. 60
4.2.2 Kvadratická zloţka polarizácie ............................................................................. 61
4.2.3 Prípad superpozície harmonických vĺn ................................................................. 62
-
4.2.4 Úplná frekvenčná reprezentácia ........................................................................... 66
5. Tenzory nelineárnych susceptibilit ................................................................................ 71
5.1 Vlastnosti tenzorov susceptibilit ............................................................................... 71
5.2 Vzťah prvkov tenzorov nelineárnych susceptibilit so symetriou kryštálov ................... 77
5.3 Efektívna hodnota kvadratickej susceptibility ......................................................... 87
5.3.1 Výpočet efektívnej hodnoty susceptibility v jednoosových kryštáloch .................. 89
6. Vlnová rovnica pre nelineárne optické prostredie ...................................................... 92
6.1 Vlnová rovnica pre nelineárne optické izotropné prostredie ....................................... 92
6.2 Vlnová rovnica pre nelineárne optické anizotropné prostredie ................................. 100
6.3 Vzťahy Menleyho – Rowa ....................................................................................... 109
7. Kvadratické nelineárne optické javy ........................................................................... 111
7.1 Optické usmernenie ................................................................................................. 113
7.2 Generácia druhej harmonickej ................................................................................... 114
7.2.1 Prípad neohraničených vĺn ................................................................................. 115
7.2.2 Analýza máloefektívnej GDH – priblíţenie zadaného poľa................................ 116
7.2.3 Analýza GDH pri perfektnej fázovej synchronizácii ........................................... 122
7.2.4 Prípad ohraničených vĺn ................................................................................... 129
7.3 Generácia súčtovej frekvencie ................................................................................... 131
7.3.1 Prípad rovnakých fotónových tokov subfrekvenčných ţiarení ........................... 140
7.3.2 Prípad perfektnej synchronizácie fáz ................................................................. 140
7.3.3 Prípad perfektnej synchronizácie pri rovnakých fotónových tokoch.................... 141
7.3.4 Prípad, ak jedno subfrekvenčné ţiarenie je omnoho menšie ako druhé................ 142
7.3.5 Prípad veľkej desynchronizácie .......................................................................... 143
7.3.6 Riešenie v priblíţení zadaného poľa .................................................................. 144
7.4 Generácia rozdielovej frekvencie .............................................................................. 145
7.4.1 Prípad perfektnej synchronizácie fáz .................................................................. 149
7.4.2 Prípad veľkej desynchronizácie .......................................................................... 151
7.4.3 Prípad, ak subfrekvenčné ţiarenie je omnoho menšie, ako čerpacie ţiarenie .... 151
7.5 Pockelsov jav ............................................................................................................ 156
8. Metódy fázovej synchronizácie .................................................................................... 158
8.1 Metódy získavania fázovej synchronizácie v vyuţitím dvojlomu............................... 160
8.1.1 Prípad generácie druhej harmonickej .................................................................. 162
8.1.2 Prípad generácie súčtovej frekvencie .................................................................. 167
8.1.3 Javy zniţujúce efektívnosť fázovej synchronizácie ............................................. 170
8.2 Metódy vyuţívajúce teplotnú závislosť indexu lomu ................................................. 174
8.3 Kvázisynchronizačné metódy .................................................................................... 178
9. Využitie javov generácie frekvencií v praxi ............................................................. 181
-
9.1 Parametrický zosilňovač - OPA ( Optical Parametric Amplifiers )........................... 181
9.2 Parametrický generátor OPO ( Optical Parametric Oscillators ) ............................... 185
9.3. Frekvenčná konverzia nahor - Up conversion .......................................................... 189
10. Kubické nelineárne optické javy ............................................................................... 193
10.1. Efekty zmiešavania so súčtom a rozdielom frekvencii .......................................... 196
10.2 Generácia tretej harmonickej ................................................................................... 199
10.2.1 Fázová synchronizácia GTH v anizotropných materiáloch ................................ 201
10.2.2 Fázová synchronizácia GTH v izotropných materiáloch ................................... 203
10.2.3 Nekolineárna fázová synchronizácia GTH v izotropných materiáloch .............. 204
10.3 Efekty samopôsobenia ............................................................................................ 205
10.3.1 Samomodulácia fázy ........................................................................................ 209
10.3.2 Samofokusácia a samodefokusácia ................................................................... 211
10.3.3 Samoindukované spektrálne rozšírenie ............................................................. 218
10.3.4 Kríţová fázová modulácia XPM, degenerované štvorvlnové zmiešavanie..... 222
10.3.5 Nelineárna absorpcia ........................................................................................ 232
10.3.6 Dvoj- a viacfotonová absorpcia ........................................................................ 237
10.4 Kombinačné procesy ............................................................................................... 241
10.4.1 Spontánny Ramanov rozptyl............................................................................. 243
10.4.2 Spontánny Mandelštamov – Brillouinov rozptyl ............................................... 250
10.4.3 Vynútený Ramanov a Vynútený Mandelštamov- Brillouinov rozptyl ............ 257
10.4.4 Viazané rovnice VRMB .................................................................................. 259
10.4.5 Viazané rovnice vynúteného Ramanovho rozptylu (VRR) .............................. 266
11. Nelineárne optické javy vyšších rádov ....................................................................... 271
Použitá literatúra ............................................................................................................. 274
-
7
Predslov
Optika, jedna z najstarších vedných disciplín, sa v polovici minulého storočia zdala na
prvý pohľad uzavretou disciplínou. Objav a konštrukcia intenzívnych svetelných zdrojov na
báze stimulovanej emisie - laserov v 60. rokoch minulého storočia vyvolali veľkú renesanciu
optiky. V rámci optiky sa začali rozvíjať nové smery ako koherentná optika a holografia,
koherentná optoelektronika a nelineárna optika. Nové poznatky z nelineárnej optiky, ako
disciplíny, ktorá skúma optické javy pri vysokých svetelných intenzitách, sa v súčasnosti
stali uţ samozrejmosťou. Vyuţívajú sa pri konštrukcii preladiteľných laserov, pri prenose
informácií optickými solitónmi, pri konštrukcii optických prvkov v komunikačných
systémoch s čisto optickými prvkami, v analytických spektroskopických systémoch
s vysokým rozlíšením a pod. Pre hlbšie pochopenie takýchto systémov je potrebné poznať
aspoň základy z nelineárnej optiky. K tomu chce prispieť aj predkladaná učebnica. Táto
vznikla na základe prednášok konaných na FMFI UK v Bratislave pre študentov
magisterského štúdia odboru Optika ako úvodný kurz. V tomto kurze sú javy v prevaţnej
miere objasňované na báze klasickej fyziky s tým, ţe kvantovo mechanický prístup je
prezentovaný v doktorandskom štúdiu.
Obsah textu vyplýva zo snahy prezentovať všetky známe nelineárne optické javy. V tomto
smere sme sa pokúsili o akúsi systemizáciu kvadratických a kubických nelineárnych
optických javov podľa rovnakých kritérií. To znamená, ţe na základe výpočtu nelineárnych
polarizácii ukazujeme pri akých podmienkach aké nelineárne optické javy môţu vznikať.
Získavame tak kvalitatívny pohľad na nelineárne optické javy. Jednotlivé javy sú následne
analyzované a kvantitatívne opísané s vyuţitím viazaných rovníc. Do obsahu textov sú
zaradené kvôli kompaktnosti aj niektoré základné poznatky z lineárneho izotropného
a anizotropného prostredia, ktoré sa pri výklade nelineárnych optických javov vyuţívajú.
K zaradeniu týchto kapitol do textu nás navyše motivoval aj fakt, ţe v poslednom čase sme
svedkami výrazných zmien zniţovania obsahu prednášok v základnom kurze Optiky.
Z dôvodov kompaktnosti textov boli zaradené aj základné poznatky z kryštalografie
a z vlastností tenzorov nelineárnych susceptibilit. Podrobnejšie vysvetlenie niektorých
pojmov, resp. javov nespadajúcich do hlavného zamerania textu, ako aj podrobnejšie
výpočty, sú uvedené v niekoľkých zaradených poznámkach.
Sme vďační, za starostlivé prečítanie rukopisu a ďakujeme za všetky pripomienky
recenzentom prof. RNDr. Jarmile Müllerovej, PhD. a prof. RNDr. Pavlovi Veisovi, PhD.
Autori
Bratislava 2016
-
8
-
9
Úvod
Optické javy, s ktorými sme sa zaoberali v základnom kurze optiky sme študovali za predpokladu, ţe intenzita optického ţiarenia, ktoré sa šíri prostredím, nemá vplyv na tieto
javy. Takéto javy nazývame lineárne a optiku študujúcu tieto javy lineárnu optiku. Prostredie,
v ktorom tieto javy študujeme nazývame tieţ lineárnym prostredím. Predpoklad lineárnosti
optického prostredia má nasledovné štyri dôsledky, resp. zákonitosti: 1. optické parametre
látok ( index lomu, koeficient absorpcie, a i.) závisia len od frekvencie svetelnej vlny a nie od
intenzity svetla, 2. platí princíp superpozície, 3. pri šírení svetelnej vlny v prostredí sa
nemení jej frekvencia, 4. svetelný zväzok nepôsobí na druhý a nijako ho neovplyvňuje.
Pri interakcií svetelnej vlny, charakterizovanej intenzitou elektrického poľa E
( časovo
premenné pole s frekvenciou Hz1510 ) s prostredím dochádza k polarizácii prostredia P
a tým k vzniku vlny polarizácie. Lineárna optika vyuţíva pri opise tejto interakcie závislosť
polarizácie P
od intenzity elektrického poľa v tvare EP
0 , kde je susceptibilita
prostredia. Túto lineárnu závislosť treba chápať ako aproximáciu, ktorá platí len pre malé
intenzity. Treba si uvedomiť, ţe v prírode neexistujú striktné lineárne závislosti odozvy
prostredia na vonkajšie pôsobenie. Ako príklad moţno uviesť ucho, ako nelineárny detektor ,
ktorého citlivosť závisí od intenzity zvuku. Keďţe vo všeobecnosti moţno ľubovoľnú spojitú
funkciu, napísať v tvare mocninového (Taylorovho) rozvoja, potom uvaţovanú funkčnú
závislosť odozvy prostredia od intenzity elektrického poľa, moţno takto napísať v tvare
...200 EEP . V prípade vysokých hodnôt intenzity je potrebné uvaţovať vo
funkčnej závislosti aj s vyššie rády rozvoja. Otázkou je, od akých hodnôt intenzít je potrebné
uvaţovať vyššie rády a či takéto hodnoty intenzít elektrického poľa svetelnej vlny moţno
vôbec v reálnych podmienkach dosiahnuť. V prípade svetelných vĺn z klasických zdrojov, kde
hodnota intenzity elektrického poľa dosahuje hodnôt maximálne 102 Vm
-1
uvedená lineárna závislosť EP
veľmi dobre opisuje reálny stav. Avšak pri hodnotách
intenzity elektrického poľa nad 106 Vm
-1 treba uvaţovať aj vyššie rády rozvoja funkcie EP
a polarizácia sa tak stáva nelineárnou funkciou intenzity elektrického poľa svetelnej vlny.
Takéto hodnoty intenzity a podstatne vyššie moţno získať pri pouţití ţiarenia niektorých
laserov. Preto obdobie do vzniku laserov ( rok 1961) moţno nazvať obdobím lineárnej
optiky.
Svetelné vlny, ktoré nadobúdajú vyššie uvedené hodnoty intenzity elektrického poľa
nazývame aj intenzívne svetelné vlny. Pri šírení intenzívnej svetelnej vlny v prostredí
závislosť polarizácie P
prostredia od intenzity elektrického pola E
svetelnej vlny sa stáva
nelineárnou, takţe odozva prostredia na harmonický signál - svetelnú vlnu o frekvencii , uţ nebude harmonický signál, ale neharmonický signál. Takýto signál, ako je známe moţno
Fourierovou analýzou rozloţiť na súčet harmonických signálov o frekvenciách , 2 , 3,... . To znamená, ţe na výstupe z prostredia sa objavia aj svetelné vlny o
frekvenciách vyšších harmonických, čo v prípade slabých svetelných polí nebolo moţné.
Okrem toho pri svetelnej vlne s vysokou intenzitou, ako uvidíme niţšie, parametre prostredia
-
10
závisia od intenzity tejto vlny a tak v konečnom dôsledku prostredie ovplyvňuje šírenie sa
samotnej vlny, resp. intenzívna svetelná vlna môţe prostredníctvom zmeny parametrov
prostredia ovplyvňovať aj šírenie inej svetelnej vlny. Ako vidieť, pri interakcii intenzívneho
svetelného ţiarenia s prostredím neplatia uvedené štyri zákonitosti lineárnej optiky.
Vznikajú však kvalitatívne nové optické javy ako napr. generácie harmoník, optické
zosilnenie, javy samopôsobenia, samofokusácia, nelineárna absorpcia, konjugované vlny,
vynútené kombinačné javy a pod.. Optické javy, ktoré vznikajú pri interakcii intenzívnych
svetelných zväzkov s prostredím v dôsledku nelineárnej závislosti EP
, nazývame
nelineárnymi optickými javmi a optiku študujúcu tieto javy nelineárnou optikou. Podobne, aj
prostredie v ktorom je vybudená nelineárna polarizácia, nazývame nelineárnym prostredím.
Moţno tieţ povedať, ţe nelineárna optika, ktorá zahŕňa viacero fascinujúcich javov, skúma
optické javy závisiace od intenzity optického ţiarenia.
Nelineárna optika je pomerne mladá disciplína. Jej začiatky moţno poloţiť do 30. rokov
minulého storočia, kedy ruský fyzik S. I. Vavilov experimentálne zistil, ţe koeficient
absorpcie uránového skla klesá s rastúcou intenzitou svetla. Aj pri pouţití, v tých časoch,
najintenzívnejších svetelných zdrojov dosiahol len 1,5 % zmenšenia koeficienta absorpcie.
Intenzívnejšie zdroje svetla neexistovali a to neumoţnilo Vavilovovi pokračovať
v experimentoch. Aţ existencia laserov v 1961 potvrdila Vavilovov experiment v širšom
intervale intenzít a umoţnila búrlivý rozvoj nelineárnej optiky. Tento pokračuje
aj v súčasnosti, kedy sú k dispozícii nové typy laserov, hlavne s veľmi krátkymi impulzmi
s1514 1010 ( stoviek aţ desiatok- fs), pri dosahovaní 11710 VmE . Optické nelineárne javy sa v súčasností vyuţívajú v moderných diagnostických a technologických zariadeniach.
-
11
1. Dielektrické prostredia
1.1 Charakteristika prostredia
Pri interakcii svetelnej vlny s prostredím je potrebné vţdy špecifikovať prostredie,
v ktorom interakciu študujeme a správne ho opísať fyzikálnymi veličinami. Svetelná vlna
dopadajúca na prostredie je opísaná vektorom intenzity elektrického poľa . Odozva
prostredia na intenzitu elektrického poľa svetelnej vlny je polarizácia prostredia,
alebo elektrická indukcia , prípadne magnetická indukcia prostredia. Fyzikálne
veličiny charakterizujúce odozvu prostredia sú merateľné a preto musia byť reálne. Vo
všeobecnosti moţno pre odozvu pomocou indukcií písať
,
kde a sú tenzory kvadrupólových momentov a je magnetizácia prostredia.
V ďalšom budeme uvaţovať len dipólové priblíţenie, to znamená , ţe budeme predpokladať:
, , .
Môţeme to urobiť preto, ţe príspevky k polarizácii od kvadrupolových momentov v oblasti
optických javov sú takmer rovné nule.
Vo všeobecnosti charakterizujeme prostredia materiálovými parametrami a to indexom
lomu - n, permitivitou prostredia - a susceptibilitou - , ktoré môţu byť podľa typu
prostredia konštantami, alebo tenzormi, pričom môţu byť reálnymi, alebo komplexnými
veličinami. Prostredia s ktorými sa stretneme v tomto texte a v ktorých budeme interakciu so
svetlom opisovať môţeme rozdeliť nasledovne:
1. Lineárne - odozva prostredia na pole je lineárna =
Nelineárne - odozva je nelineárna
kvadratické prostredie
kubické prostredie
kubické prostredie
parametre a závisia od intenzity svetla a môţu byť aj tenzory
2. Nedisperzné - odozva prostredia na pole je okamţitá (idealizácia)
Disperzné - odozva nastáva po čase to je , kde
trE ,
E
trP ,
trD ,
trB ,
...0 QdivPED
...0 MQdivMHB
Q
MQ
M
0Q
0MQ
0M
P EP
,..,, 32 EEEPP 2,EEPP 32 ,, EEEPP 3,EEPP
00 tEPtP tEPtP 0 0tt
-
12
3. Izotropné - parametre , , sú skaláry a závisia len od frekvencie
Anizotropné - parametre , sú tenzory a závisia len od frekvencie
4. Homogénne - parametre , sú skaláry a závisia len od frekvencie
Nehomogénne - parametre , sú skaláry , ale závisia aj od polohy
5. Absorpčné - všetky reálne prostredia, maximálnu absorpciu a disperziu vykazujú
v oblasti blízko rezonančnej frekvencie
Neabsorpčné - idealizované prostredie, všetky reálne prostredia v oblasti ďaleko
od rezonančnej frekvencie môţeme povaţovať za neabsorpčné
Treba si uvedomiť, ţe reálne prostredia sú rôznymi kombináciami uvedených typov prostredí.
Poznámka k zápisu harmonických vĺn:
Pri štúdiu jednotlivých nelineárnych javov sa stretneme s nasledovnými zápismi a vyjadreniami elektrického
poľa:
monochromatická vlna
vyjadruje reálnu vlnovú funkciu , ktorú môžeme vyjadriť pomocou komplexnej vlnovej funkcie:
Reálnu vlnovú funkciu potom pomocou komplexnej vlnovej funkcie vyjadríme
kde KZ = je komplexne združené k a je komplexná amplitúda a platí
Monochromatické elektrické pole budeme vo všeobecnosti vyjadrovať v tvare:
= (1.0)
kde pre komplexná amplitúdu platí
alebo (1.0)
Keďže monochromatická vlna je idealizáciou ,reálne periodické elektrické pole budeme zapisovať ako sumu
diskrétnych monochromatických vĺn.:
),( trE = ]exp,exp,.[2
1
1
riktitrEriktitrE mmmmm
n
m
m
(1.0 a)
kde v skrátenom zápise predstavuje Fourierov obraz
V prípade, že budeme predpokladať nemennosť jednotlivých amplitúd od času a priestorových súradníc,
potom
Ak nás budú v ďalšom zaujímať len časové, resp. frekvenčné závislosti študovaného javu, budeme pole
vyjadrovať
(1.0 b)
V prípade záujmu o priestorové zmeny môžeme pole vyjadrovať v tvare:
r
rtratru cos, tru ,
tirUtiriratrU expexpexp,
tru ,
trU ,
KZtrUtrUtrUtrUtru ,2
1,,
2
1,Re,
trU , trU ,
rU
rarU
trE ,
tirEtrE expRe,
tirEtirE expexp2
1
rE
rkirErE 00 exp rirErE
exp0
mE mmE
mm EtrE ,
tiEtiEtE mmmmn
m
expexp2
1
1
-
13
),( trE = ]exp.exp.[2
1
1
rktirErktirE mmmmm
n
m
m
(1.0 c)
1.2 Lineárne izotropné prostredie
Lineárne izotropné prostredie moţno opísať nasledujúcimi materiálovými rovnicami:
= (1.1)
= (1.2)
= (1.3)
kde a sú materiálové parametre, ktoré sú v prípade izotropného prostredia konštanty
- skalárne veličiny. Závisia len od frekvencie. V prípade optických frekvencii totiţ platí, ţe
= . Vnútorné magnetické momenty (ak sú) sa nedokáţu zorientovať pod pôsobením
elektrického poľa svetelnej vlny a diamagnetické efekty sú príliš malé na to aby prispeli
k celkovej magnetickej indukcii ( preto ).
Na druhej strane elektróny rýchlo reagujú na vplyvy poľa aj pri optických frekvenciách
. Permitivita alebo vodivosť , niekedy aj obidve, majú hodnoty značne odlišné
od hodnôt vo vákuu. Niţšie ukáţeme, ţe neviazané - voľné elektróny zabezpečujú absorpčný
mechanizmus, čo je charakteristické pre kovové vodiče a plazmu, ktoré vykazujú malý
elektrický odpor, resp. veľkú vodivosť Dielektriká sú charakterizované veľmi malým
mnoţstvom voľných elektrónov, čo odpovedá malej hodnote vodivosti a teda vykazujú
značnú priepustnosť. Optické vlastnosti látok sú charakterizované priepustnosťou a tá, ako
vyplynie z ďalšieho je ovplyvňovaná posuvnými a nie vodivostnými prúdmi.
Ak na látku pôsobí vonkajšie elektrické pole o intenzite posunie viazané elektróny
(pôsobí proti vnútorným silám), ktoré sa snaţia vrátiť elektróny do pôvodnej rovnováţnej
polohy. V dôsledku tohto posunu náboja sa vytvoria vnútorné dipólové momenty. Celková
suma vnútorných dipólových momentov indukovaných v jednotke objemu je polarizácia .
Takţe pre celkovú indukciu v dielektriku môţeme písať:
= + (1.4 )
kde je indukcia vákua. Uvedený vzťah platí len pre tzv. dipólové priblíţenie, to
znamená, ţe pri výpočte indukcie sa neuvaţujú príspevky od vyšších multipólov ako napr.
kvadrupóp a pod. Príspevok od kvadrupólu mení vzťah (1.4) na tvar:
= + + (1.5 )
kde kvadrupólový moment. Príspevky od vyšších multipólov sú veľmi malé a uvaţuje sa
s nimi len pri výpočtoch veľmi jemných efektov. Preto pri našich úvahách vystačíme čisto
s dipólovým priblíţením , ktoré vyjadruje vzťah ( 1.4 ).
Indukované posuny nábojov v dielektriku môţu byť viacerých typov. Viazané náboje na
ktoré pôsobí elektrické pole nemusia totiţ byť len elektróny viazané v atómoch, molekulách,
B
H
D
E
J
E
,
0
1r
1510 Hz
.
E
P
D
0 E
P
E
0
D
0 E
P
div Q
Q
-
14
alebo v kryštáloch, ale aj ióny obidvoch znamienok a permanentné dipóly. Dipóly sú
v prostredí orientované náhodne a nedávajú ţiadnu výslednú makroskopickú polarizáciu
( okrem segnetoelektrik). Vonkajšie elektrické pole ich stáča do svojho smeru, čím dochádza
ku makroskopickej polarizácii. Ako vonkajšie elektrické pole budeme v ďalšom rozumieť
svetelnú vlnu, šíriacu sa v dielektriku, charakterizovanú vektorom elektrickej intenzity .
Budeme predpokladať rovinnú harmonickú vlnu o frekvencii v tvare:
= (1.6 )
Na optické frekvencie najrýchlejšie reagujú elektróny, ktoré sú zodpovedné za elektrónovú
polarizáciu. Preto sa v optike zaoberáme hlavne elektrónovou polarizáciou. V lineárnych
izotropných dielektrikách je indukovaná polarizácia priamoúmerná intenzite elektrického
poľa a je rovnobeţná s ňou, to je:
= ( 1.7 )
Pre indukciu potom moţno písať:
= = ( 1.8 )
Bezrozmerný koeficient je dielektrická susceptibilita a charakterizuje najdôleţitejšie
optické vlastnosti prostredia. Alternatívne moţno pouţívať permitivitu :
= = ( 1.9 )
alebo makroskopickú polarizovateľnosť :
= (1.9a )
Svetelné pole dopadajúce na dielektrikum je časovo premenné a v prostredí spôsobuje
časové posunutie , takţe vzniká Maxwellov posuvný prúd = . Posuvné prúdy, ktoré
tečú v dielektriku v dôsledku pôsobenia v čase sa meniacej intenzity elektrického poľa,
zahŕňajú okrem člena , opisujúceho prúd vo vákuu, aj prúd spôsobený meniacou sa
polarizáciou . Tento prúd pôsobí ako sekundárny zdroj elektromagnetických vĺn.
Pri štúdiu vlastnosti lineárneho izotropného prostredia moţno výjsť z Maxwellových
rovníc
= = -
= = (1.10)
E
E
2
1 KZrktiE
exp0
P
E
P
0 E
D
0 1 E
r 0 E
0 1 r 0
0
D
J
dt
Dd
dt
dE0
dt
dP
D
E
dt
Bd
B
0 Hdt
DdJ
-
15
Známym postupom získame z týchto rovníc vlnovú rovnicu
= - = - = - =-
= - (1.11a)
Po úprave dostávame vlnovú rovnicu:
+ = - - (1.11)
V rovnici je zahrnutý vplyv všetkých pohybujúcich sa nábojov v prostredí (členy na
pravej strane). Tieto ovplyvňujú vlnový vektor, o čom sa presvedčíme tak, ţe do vlnovej
rovnice dosadíme predpokladané riešenie harmonickej vlny:
= (1.12 )
Pri indukovanom pohybe elektrónov v dielektriku dochádza k stratám energie, čo súvisí
s tým, ţe kmitanie elektrónov je tlmené, v dôsledku čoho sa polarizácia fázovo oneskoruje
za intenzitou poľa elektrického poľa . Preto, podľa (1.7), susceptibilita musí byť vo
všeobecnosti komplexnou veličinou:
= + (1.13)
a na základe vzťahu (1.8) musíme aj permitivitu napísať ako komplexnú veličinu
(1.13a)
Ak uvaţujeme izotropné dielektrikum bez voľného náboja ( ), pre ktoré div = 0,
potom dvojnásobný vektorový súčin v rovnici (1.11 ) je rovný - . Aplikáciou
operátorov v tejto rovnici na harmonickú vlnu (1.12) máme:
- = , = - ... , = ... ,
dosadením do rovnice (1.11) dostávame:
- = -
a úpravou:
E
t
B
t
H
0 Ht
0
t
DJ
t
0
E
PE
tE
t
00
E
E
00 0 E
0 0 E
E
2
1 KZrktiE
00 exp
P
E
i
rrr i
0 E
E
2
2 E krtiEk
00
2
exp2
2
2
t
E
2
2
00E
t
E
2
0i 0E
2
0E 2k2
0E00
2
0 2
0E 2000 i
2
0E00
-
16
= (1.14)
Vidíme, ţe vektor k je komplexným vektorom. Veľká rozmanitosť optických vlastností
lineárnych izotropných prostredí je zahrnutá vo vzájomných hodnotách jednotlivých
parametrov , , a v ich frekvenčných závislostiach. Analyzujme vzťah (1.14) len pre
dva základné typy dielektrík.
1.2.1 Priehľadné dielektriká
Sú také, v ktorých prechádzajúce ţiarenie o frekvencii má takmer nulovú absorpciu,
t.j. = 0 a = 0 a . Z rovnice (1.14) potom dostávame:
= ,
odkiaľ ( = ) získame známy vzťah zo základného kurzu optiky
resp. = (1.14a)
tento vzťah, ako sme ukázali platí len pre priehľadné a neabsorpčné dielektriká.
1.2.2 Absorpčné dielektrika
Imaginárne členy v (1.14) uţ nemôţeme zanedbať, pretoţe vlna je tlmená. Ak je absorpcia
malá, pouţívame predchádzajúce výsledky ako dolnú aproximáciu. Ak , čo znamená
existenciu voľných elektrónov a ak , pre vlnové číslo k zo vzťahu (1.14) dostávame
=
takţe
= = - (1.15)
Vo všeobecnosti povaţujeme index lomu prostredia za komplexnú veličinu a označujeme ju
nasledovne:
= = + (1.16)
odkiaľ máme
= (1.17)
Porovnaním vzťahov (1.15) a (1.17) dostávame:
2k2
2
0
c
00
1
i
r
0
2k 1 20k2
0
2 kk 2n
211 n n r
00
2k2
0k
00
1
i
2n20
2
k
k ,r
00
i
n0k
krn i
2n rr nin 222
-
17
= , alebo (1.18)
Odkiaľ moţno získať vzťah pre reálnu zloţku indexu lomu:
(1.19)
Ak do rovnice ( 1.12), ktorá opisuje šírenie sa svetelnej vlny v prostredí dosadíme za
vlnové číslo výraz (1.16) dostávame:
= =
= (1.20)
Činiteľ charakterizuje absorpciu vlny s tlmiacim faktorom , ktorý, ako
vyplýva zo vzťahu (1.18) výrazne závisí od vodivosti prostredia . Uvedený výsledok
potvrdzuje skutočnosť, ţe za absorpčný mechanizmus v látkach sú zodpovedné voľné nosiče
náboja.
1.3 Anizotropné prostredie
Z hľadiska štúdia nelineárnych optických javov, hlavne kvadratických, majú významné miesto anizotropné prostredia, preto stručne uvedieme niektoré ich vlastnosti. V opticky anizotropných prostrediach závisia ich optické vlastnosti od smeru šírenia sa
svetla. Takţe rýchlosť šírenia sa svetla, index lomu a iné optické veličiny sú v rôznych
smeroch rôzne. Táto skutočnosť závisí od rozličných faktorov, ale hlavne od fyzikálnych
vlastností stavebných častíc prostredia a ich vzájomného pôsobenia. Takéto vlastnosti
vykazujú niektoré kryštalické látky. Opis optickej anizotropie je predmetom základného
kurzu a preto sa na tomto mieste sústredíme na najdôleţitejšie výsledky a hlavne na ich
geometrickú interpretáciu, ktorú v ďalších kapitolách budeme vyuţívať.
Anizotropia dielektrických vlastností prostredia znamená, ţe závislosť polarizácie
prostredia od smeru elektrického poľa nie je moţné charakterizovať len jednou skalárnou
veličinou – permitivitou vo vzťahu (1.7). Susceptibilita v takomto prípade závisí od smeru
vektora , teda aj od jeho zloţiek. Na základe toho moţno vzťah (1.7) napísať
zzzyzyxzxz EEEP 000 (1.21)
alebo
, stručne
r 22 rn
00
2
rn
002
rn
rn 212 r
0E ti 0exp ikrexp 0E ti 0exp rinik r 0exp
0E ti 0exp rnik r0exp rk 0exp
rk .exp 0
E
zxzyxyxxxx EEEP 000
zyzyyyxyxy EEEP 000
.,,,
0
EPzyx
EP
0
-
18
kde sú zloţky tenzora suceptibility
(1.22)
Zo vzťahu (1.4) pre anizotropné prostredie dostávame
=
Ak prvky tenzora permitivity , zapíšeme v tvare
dostávame pre elektrickú indukciu
alebo (1.23)
Kvantitatívne vzťahy pre šírenie sa svetla v anizotropnom prostredí vypočítame z vlnovej
rovnice pre anizotropné prostredie, ktorú získame nasledovným postupom.
Budeme predpokladať rovinné harmonické vlny v tvare
;
;
Pre takéto vlny prejdú operátory vystupujúce v Maxwellových rovniciach do tvaru:
Maxwellove rovnice potom môţeme napísať:
; ; ; ; (1.24)
Odkiaľ získavame
( ) a dosadením za z tretej rovnice ( )
dostávame vlnovú rovnicu v tvare
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
EEDzyx
,,
00
Ezyx
,,
0
EDzyx
,,,
0 ED
0
rktiEE .exp0 rktiDD
.exp0
rktiHH .exp0 rktiBB
.exp0
FkiFFrot
FkiFFdiv..
Fit
F
DiHki
0. Bki
BiEki
0. Dki
DHxk
H
EkH
0
1
-
19
(1.25)
Ak za dosadíme z rovnice (1.23) získavame vlnovú rovnicu pre anizotropné prostredie.
Rovnicu (1.25) môţeme získať aj z rovnice (1.11a) pre prípad harmonických polí, za
predpokladu .
Rovnica (1.25) sa často v nelineárnej optike pouţíva vo vyjadrení jednotkových
vektorových polí. Ak v rovnici (1.25) vyjadríme zo vzťahu (1.8) a predelíme
ju veľkosťami vektorov a dostávame:
Zavedením jednotkových vektorov ; a označením; ;
a rovnica (1.25) nadobudne tvar
alebo
(1.26)
V prípade, ţe uvaţujeme svetelné pole v tvare (1.0a), resp. (1.0b) nadobudne rovnica tvar:
(1.26a)
Z rovníc (1.24) a (1.25) moţno určiť vzťahy medzi a smerom šírenia v
anizotropnom prostredí:
1. vlnový vektor je kolmý na plochu rovnakej fázy, udáva teda smer vlnového
frontu. Fázová rýchlosť šírenia sa vlny má smer vektora .
2. Z Maxwellových rovníc vyplýva, ţe vektory a sú kolmé na smer šírenia
sa vlny, a .
3. Z definície Poyntingovho vektora = je jasné , ţe . Ale z podmienky
vyplýva, ţe vektor leţí v rovine určenej vektormi a .
DEkk
2
0
D
0
D
2
k
E
Ek
E
E
E
k
k
k
kr
2
2
00
Kkk
eEE
2
00 1 c
22
2 vk
222 nvc
en
eKK
2
0.2
ekn
eeKK r
0.2
mm
mrmmmm e
kneeKK
DE, H
, k
k
fv k
D
H
Dk
Hk
S
HE
ES
HE
E
k
D
-
20
4. Zo vzťahu (1.23) vyplýva, ţe vektory a medzi sebou zvierajú uhol ,
ktorý závisí od materiálu a nazýva sa uhol anizotropnej divergencie. Smer
šírenia sa toku energie – lúč je určený vektorom a s vektorom zviera uhol .
Rýchlosť, ktorou sa šíri energia je známa pod pojmom grupová rýchlosť a
v optike nazývaná tieţ lúčová rýchlosť. Vzťah uvaţovaných vektorov je graficky
znázornený na obr. 1.1. Z neho vyplýva, ţe vektory , , a tvoria
v anizotropnom prostredí komplanárnu štvoricu vektorov, teda leţia v kaţdom
okamihu v jednej rovine.
Obr. 1.1 Vzťah vektorov a v anizotropnom kryštáli
Vyjadrime ešte vzťahy medzi jednotkovými vektormi elektromagnetického poľa. K tomu
zaveďme ešte magnetické jednotkové vektory a jednotkový vektor Poyntingovho
vektora. .
a .
Z obrázku 1.1 je zrejme, ţe:
, kde a je reálne číslo.
Platí: = = . = a
resp. a = (1.27)
Z definície Poyntingovho vektoru máme
Z čoho dostávame často vyuţívanú identitu
. = - (1.28)
E
D
S
k
gv
E
D
k
S
kDE,, s
bh
s
HHh
SSs
h
a eK
1 h
a K
e
2sin cos
cos1
eKaehes
KeeeeK....cos1
s
cos K
Kee..
-
21
Riešenie vlnovej rovnice (1.25), resp. (1.26) vedie k známej Fresnelovej rovnici, z ktorej
vyplynú špecifiká šírenia svetla v anizotropnom prostredí. Medzi najdôleţitejšie patrí :
v danom smere sa v takomto prostredí šíria dva lúče s navzájom rôznymi rýchlosťami a rôznymi polarizáciami, pričom roviny polarizácie sú na seba
kolmé
z nekolineárnosti vektorov a vyplývajú rôzne hodnoty grupovej a fázovej
rýchlosti
V ďalšom sa sústredíme na objasnenie vlastností anizotropného prostredia pomocou
geometrickej interpretácie. Z tohto hľadiska je výhodné zaviesť k tenzoru dielektrickej
susceptibility inverzný tenzor , ktorý nazývame tenzor dielektrickej impermitivity ,
pričom
(1.29)
Materiálové vzťahy (1.23) potom píšeme v tvare:
alebo (1.30)
Zo vzťahu pre hustotu energie elektrického poľa
dostaneme vyjadrenie v zloţkovom tvare
(1.31)
Zavedením substitúcie získame vzťah
(1.32)
kde súradnice označíme: , , , pričom rozmer súradníc ,
vyplýva zo substitúcie. Táto rovnica, vyjadrujúca geometrické miesto bodov s rovnakou
hustotou energie, je rovnicou kvadratickej formy a predstavuje rovnicu elipsoidu. Vo
všeobecnosti nazývaný tieţ Fresnellov elipsoid.. Z geometrie je známe, ţe existuje práve
jedna ortogonálna súradná sústava Oxyz, v ktorej sa dá elipsoid zapísať bez zmiešaných
členov, to znamená, ţe tenzor impermitivity má v tejto sústave nenulové len diagonálne prvky
E
D
fg vv
1
DEzyx
,,,0
1DE
0
1
DEw.
2
1
DDwzyx
,,
02
02 wDk kt
zyx ,,,
1 t t
kt xt x yt y zt z zyx ,,
-
22
V tejto súradnej sústave nadobudne vzťah (1.27) tvar:
(1.33)
Pretoţe pre index lomu platí:
pre
môţeme rovnicu (1.33) prepísať:
(1.34)
Táto rovnica predstavuje rovnicu elipsoidu indexov lomu. Dĺţky jeho hlavných osi sú
veľkosti hlavných indexov lomu, ktoré sú charakteristickými veličinami kaţdej opticky
anizotropnej látky. Ak by sme vo vzťahu pre hustotu energie elektrického poľa dosadili
zo vzťahu (1.23), teda nevyuţili by sme tenzor dielektrickej impermitivity, dostali by sme
hustotu energie vyjadrenú prostredníctvom vektora , čo by viedlo k elipsoidu, v ktorom by
hlavné osi elipsoidu predstavovali veľkosti prevrátených hodnôt hlavných dielektrických
permitivít. ( ). Odtiaľ vyplýva aj význam zavedenia tenzora impermitivity.
Elipsoid indexov lomu vyjadrený vzťahom (1.34), udáva hodnoty indexu lomu prostredia
pre daný smer vektora svetla šíriaceho sa prostredím. Hodnotu indexu lomu určíme
nasledovne. Spojnica bodu P na povrchu elipsoidu a stredu elipsoidu O určuje polohový
nx
ny
nzD
0
P x,y,z[ ] R
Obr.1.2 Fresnelov elipsoid indexov lomu, nR
vektor , ktorého veľkosť sa rovná veľkosti indexu lomu pre svetlo polarizované tak, ţe
vektor je kolineárny so smerom (obr. 1.2). Poznamenávame, ţe vektor odpovedajúci
z
y
x
00
00
00
2221 zyx zyx
kkkn 1 zyxk ,,
2
2
2
2
2
2
1zyx n
z
n
y
n
x
D
E
zyx ,,
D
R
D
R
E
-
23
svetelnej vlne s vektorom , je kolmý na dotykovú rovinu elipsoidu, vedenú bodom P.
Z obrázku vidíme, ţe rôznym smerom polarizácie svetla odpovedajú rôzne indexy lomu
a teda aj rôzne rýchlosti. Otázkou je aký smer šírenia svetla odpovedá danej polarizácii
svetla - vektora . Túto úlohu jednoducho vyriešime inverznou úlohou, teda ak k zadanému
smeru šírenia budeme hľadať vektor . Zvoľme k elipsoidu (1.34) smer šírenia
(obr. 1.3). Vektor je vţdy kolmý na , preto bude leţať v rovine kolmej na vektor ,
prechádzajúcej stredom elipsoidu. Táto rovina vytvorí v elipsoide vo všeobecnosti rez v tvare
elipsy. Podmienke komplanárnosti vektorov vyhovujú z mnoţstva smerov vektora
len dva smery a a to také, ktoré majú smer hlavných osí elipsy vytvorenej
rezom. V týchto smeroch je vektor rovnobeţný s a vo všetkých ostatných smeroch
vektora smeruje vektor mimo rovinu určenú vektorom a . Takto získaný
výsledok potvrdzuje aj výsledok získaný z Fresnelovej rovnice, teda ţe v danom smere sa
šíria dve polarizované vlny , ktorých roviny polarizácie a sú navzájom kolmé
( ). Rovina je určená vektorom a vektorom a rovina vektormi a .
Rýchlosti týchto vĺn sú rôzne ( index lomu 1n > 2n , pričom 1n odpovedá veľkosti dlhšej
polosi – smer vektora 1D a 2n odpovedá veľkosti menšej polosi elipsy v smere vektora 2D ).
Vlna, ktorej vektor kmitá v rovine má väčší index lomu a šíri sa menšou rýchlosťou
Obr. 1.3 Možné smery vektorov D k danému smeru šírenia sa svetla
Anizotropné prostredia môţu byť charakterizované dvoma druhmi elipsoidov. Obecný
elipsoid charakterizuje anizotropné prostredie v ktorom . Z geometrie je
známe, ţe v takomto elipsoide existujú dva kruhové rezy , obr. 1.4. Smeru odpovedajúcemu
kruhovému rezu vyhovujú všetky moţné smery vektorov , pretoţe v tomto prípade je
vţdy kolineárne s , takţe rýchlosť šírenia sa svetla v tomto smere nezávisí od
polarizácie. Takýto smer nazývame optickou osou. Uvaţovaný elipsoid indexov lomu má
teda dve optické osi. Kryštály charakterizované obecným elipsoidom indexov lomu
nazývame dvojosové.
D
k
D
k
D
k
D
k
k
kDE,,
D
1D
2D
E
D
D
E
k
D
k
21 DD
1D
k
2D
k
D
zyx nnn
k
D
E
D
k
-
24
Obr. 1.4 Obecný elipsoid indexov lomu charakterizujúci dvojosový kryštál.
Rotačný elipsoid indexov lomu, charakterizuje anizotropné prostredie, v ktorom
. V ňom existuje jeden kruhový rez a priamka kolmá na tento rez odpovedá
optickej osi (obr. 1.5.). Táto, ako vidieť z obrázka je totoţná v danom prípade s osou z.
Kryštály, ktoré charakterizuje rotačný elipsoid indexov lomu nazývame jednoosové kryštály.
Obr. 1.5 Rotačný elipsoid indexov lomu charakterizujúci jednoosový kryštál
Ak budeme v jednoosovom kryštáli sledovať, ako sa menia veľkosti polosí elíps
vzniknutých rezom, reprezentovaných vektormi a pre rôzne smery šírenia svetla
v rovine obrázku (obr. 1.5.), zistíme, ţe kratšia polos reprezentovaná vektorom 2D
, smeruje
vţdy kolmo na rovinu nákresne a jej veľkosť je pre všetky uhly rovnaká. Veľkosť dlhšej
polosi elipsy, reprezentovanej vektorom 1D
, závisí od uhla šírenia sa svetla vzhľadom na
optickú os a vektor leţí v rovine nákresne. Zavedením definície roviny hlavného rezu,
určenej optickou osou a vektorom šírenia , moţno uvedené poznatky interpretovať
nasledovne:
nz
ny
nx
k2 k1
zyx nnn
1D
2D
k
1D
k
-
25
Vlna, ktorej polarizácia odpovedá smeru vektora , pričom, vektor je kolmý na
rovinu hlavného rezu (RHR) a ktorej index lomu
2n je konštantný, nazývame riadnou vlnou,
alebo ordinárnou a index lonu označujeme . Druhú vlnu, ktorej vektor leţí v RHR
nazývame mimoriadnou vlnou, alebo extraordinárnou. Index lomu mimoriadnej vlny
označujeme = 1n . Tento závisí od uhla , ktorý zviera optická os a smer šírenia sa svetla
.
Rotačný elipsoid charakterizujúci jednoosové kryštály je určený riadnym a mimoriadnym
indexom lomu. Podľa vzťahu ich vzájomných veľkosti rozlišujeme k l a d n é a
z á p o r n é jednoosové kryštály: v kladnom platí › (obr. 1.6a) a v zápornom
› , (obr. 1.6b).
a.) b.)
Obr. 1.6 Elipsoid indexov lomu a) jednoosového kladného kryštálu, b) jednoosového záporného kryštálu
Situáciu, zobrazenú na obr. 1.5, moţno vyuţiť na zobrazenie indexových plôch. Ak pre
kaţdý smer šírenia svetla vynesieme jemu odpovedajúce dve hodnoty indexov lomu
a do rovinného polárneho diagramu, v ktorom smer je smerom
optickej osi, dostaneme dve krivky . Na obr. 1.7a a 1.7b. sú tieto krivky zobrazené pre
kladný a záporný jednoosový kryštál. Kruţnica, ktorá v priestorovom zobrazení prejde do
gule, predstavuje indexovú plochu riadnej vlny. Druhé geometrické miesto bodov- elipsa,
ktorá v priestore prejde do rotačného elipsoidu, predstavuje indexovú plochu mimoriadnej
vlny.
Pri konštrukcii indexových plôch pre rôzne frekvencie treba mať na mysli disperziu indexu
lomu. Pri frekvenciách svetla platí v oblasti normálnej disperzie
, pre riadny aj pre mimoriadny index lomu.
V niektorých aplikáciách je výhodnejšie namiesto indexových plôch zobrazovať
vlnoplochy, resp. plochy vlnových vektorov pre danú frekvenciu (obr. 1.8). Tieto ľahko
získame z indexových plôch pomocou vzťahu , resp. , kde c je rýchlosť
svetla vo vákuu.
2D
2D
on 1D
en
k
en on
on en
no
ne
ne
none
no
k
onn 2 enn 100
21
1n 2n
cnk oo cnk ee
-
26
Obr. 1.7 Indexové plochy jednoosového kryštálu a.) kladného, b.) záporného, c.) kladného pre dve rôzne frekvencie
Obr. 1.8 Plochy vlnových vektorov
no
ne
oo
oo
oo
ne( )
ne
no
no( )2
ne( )2
no( )1
ne( )1
a.) b.)
c.)
ko
ke
oo
-
27
Grafický priebeh indexových plôch umoţňuje získať analytický vzťah pre závislosť
mimoriadneho indexu lomu od smeru šírenia = . Indexová plocha v priestore je
plocha rotačného elipsoidu (obr. 1.9a). Pretoţe ide o kruhovú symetriu, stačí vybrať rovinný
rez vytvorený napríklad rovinou xz prechádzajúcou stredom elipsoidu pre x=0. Pre kladný
kryštál , v ktorom optická os je totoţná s osou z dostávame elipsu v súradniciach Ozy,
(obr. 1.9b). Rovnicu takto vzniknutej elipsy moţno vyjadriť v tvare
(1.35)
a) b)
Obr. 1.9 K výpočtu závislosti indexu lomu mimoriadnej vlny od uhla , ktorý zviera smer
šírenia sa svetla s optickou osou kryštálu
Veľkosť úsečky OA určuje index lomu mimoriadnej vlny pre smer šírenia daný uhlom
vzhľadom na optickú os. Veľkosť indexu lomu (obr. 1.9b) sa mení od hodnoty pre
prípad, kedy , aţ po pre , čo je hodnota uvádzaná v tabuľkách.
Z trojuholníka OKA moţno vyjadriť y – ovú a z – ovú zloţku :
a dosadením do vzťahu (1.34) máme:
alebo
en en en
12
2
2
2
eo n
z
n
y
no
ne( )k
o oo o
kA x ,y[ ]
ne( )
no
ne
y
z
en on
0 ee nn 90
en
cos.eny sin.enz
1
sincos2
22
2
22
e
e
o
e
n
n
n
n
-
28
= + (1.36)
Tento vzťah platí aj pre záporný kryštál, čo moţno ľahko ukázať.
1.4 Klasická mikroskopická teória susceptibility
a disperzie
Disperzia vo všeobecnosti charakterizuje závislosť fyzikálnej veličiny od frekvencie. V optike týmto pojmom označujeme závislosť indexu lomu od vlnovej dĺţky resp. od
frekvencie svetelného ţiarenia šíriaceho sa prostredím.. V lineárnych prostrediach, kde index
lomu, resp. permitivita, nezávisia od intenzity elektrického poľa šíriacej sa svetelnej vlny,
odozva prostredia – polarizácia závisí lineárne od intenzity elektrického poľa . Klasická
mikroskopická teória podľa Lorentza interpretuje túto lineárnu závislosť pomocou väzbových
síl elektrónu k jadru, ktoré povaţuje za pruţné sily typu:
= -
Vplyv magnetického poľa je malý, takţe elektróny sú nútené vykonávať kmitavý pohyb pod
vplyvom elektrického poľa. Predpokladajme, ţe na izotropné prostredie zloţené z j druhov
atómov pôsobí svetelné ţiarenie, ktorého intenzita elektrického poľa je daná vzťahom (1.12)
( má len x- ovú zloţku), takţe elektrón bude kmitať v smere osi x. Pre makroskopickú
polarizáciu prostredia potom platí
= - = (1.37)
kde je susceptibilita prostredia, posunutie elektrónu j – tého typu atómu,
veličina známa zo spektroskopie ako sila oscilátora a udáva podiel počtu Nj indukovaných
dipólov daného typu atómov, ktoré kmitajú pod pôsobením poľa, ku koncentrácií N atómov
( je menšie ako 1).
Pod vplyvom svetelnej vlny a pruţných síl môţeme posunutie elektrónu v atóme opísať
pomocou vynútených, tlmených harmonických oscilácií. Pohybová rovnica pre takýto
elektrón má tvar:
= - - - (1.38)
kde prvý člen na pravej strane predstavuje vynucujúcu silu od svetelnej vlny, druhý člen
vyjadruje pruţné sily a tretí tlmenie. Označením upravíme rovnicu na tvar:
(1.39)
Nakoľko elektrón sleduje zmeny priloţeného poľa predpokladáme riešenie rovnice v tvare:
21
en2
2cos
on
2
2sin
en
P
E
F
k r
P
N e jj
j xf
0 E
jx
jf
jf
m jx e E
jk jx
2 m j jx
2
jj mk
m
Eexxx jjjjj
22
-
29
(1.40)
Dosadením tohto výrazu do rovnice (1.39) a vykonaním derivácií dostávame pohybovú
rovnicu (napísanú pre jednoduchosť v skalárnych veličinách, bez komplexne zdruţených
výrazov)
odkiaľ dostávame:
(1.41)
Pre posunutie elektrónu z (1.40) môţeme písať:
(1.42)
Posunutie elektrónu je komplexné číslo, čo znamená, ţe polarizácia prostredia, ako
odozva na pôsobiace pole nie je s ním vo fáze. Dosadením (1.42) do vzťahu (1.37)
pomocou (1.13) dostávame:
= - = (1.43)
Poznámka k lokálnemu poľu: V našom prístupe sme kvôli jednoduchosti predpokladali, že na uvažovaný elektrón pôsobí elektrické pole, ktoré sa rovná veľkosti E intenzity vonkajšieho elektrického poľa svetelnej vlny vzťah (1.12). V skutočnosti, ako je známe zo základného
kurzu Elektromagnetizmu, na elektrón v látke pôsobí lokálne pole , ktorého veľkosť je . Táto
skutočnosť spôsobí malú zmenu vo výsledku (vzťah (1.43), ktorú možno vypočítaným korekčným členom upraviť. Takýto prístup je bežný v nelineárnej optike hlavne pri výpočte vyšších rádov polarizácie, kedy by lokálne pole značne komplikovalo výpočty. Korekčné členy sú v literatúre dobré známe.
Reálnu a imaginárnu zloţku susceptibility ľahko získame z posledného vzťahu
= (1.44)
= (1.45)
Vzťah (1.14) pre prejde na tvar,
KZtixx jj 00 exp2
1
m
eExxix jjjjj
0
0
2
000
2
0 2
02020
0
2 jjj
i
meEx
tixtixx jjj 0*000 expexp2
1
P
E
i
j jj
j
i
f
m
Ne
0
2
0
20
2
2
LE 03PEEL
jjj
jjf
m
Ne
2
0
222
0
2
2
0
2
0
2
4
j jj
jjf
m
Ne
2
0
222
0
2
0
0
2
4
2
0
-
30
na základe vzťahu (1.9) a identity , moţno vo všeobecnosti pre index lomu písať:
n= inr = 21
1 =
21
0
2
0
22
0
2
21
jjj
j
i
f
m
Ne
(1.46)
Druhý člen je malý, hlavne v prípade plynov, preto moţno posledný vzťah rozloţiť do radu.
Ak sa ohraničíme len na prvé dva členy
inr =1 +
j jj
j
i
f
m
Ne
0
2
0
20
2
22 (1.47)
Odkiaľ pre reálnu a imaginárnu zloţku indexu lomu dostaneme.
rn = 1 +
jjj
jjf
m
Ne
2
0
222
0
2
2
0
2
0
2
42
= 1 + (1.48)
= -
j jj
jjf
m
Ne
2
0
222
0
2
0
0
2
4
2
2
= (1.49)
V blízkosti rezonancie, kedy moţno pouţiť priblíţenie
( - ) 2 , tak dostávame namiesto vzťahov (1.44) a (1.45)
= (1.50)
= - (1.51)
Analogicky môţeme napísať vzťahy pre zloţky indexu lomu v prípade keď sa frekvencia
svetla blíţi k rezonančnej frekvencii. Závislosť a od frekvencie (1.50) je na obr.
1.10. V grafickom priebehu zloţky moţno pozorovať dve oblasti. V jednej rastie
s rastúcou frekvenciou. Tejto oblasti hovoríme oblasť normálnej disperzie ( poznamenávame,
ţe pre frekvencie nadobúda susceptibilita záporné hodnoty). V druhej oblasti, ktorá
je pomerne úzka, klesá s rastúcou frekvenciou. Táto oblasť je oblasťou anomálnej
11 202
0
2 kikk
nkk 202
2
1
2
1
0 j
2
j2
0 00 j
0
4
2
22
00
00
0
2
j
jj
jjf
m
Ne
j jj
jjf
m
Ne
22
000
2
2
0 j
-
31
disperzie. V oblasti anomálnej disperzie pri rezonančnej frekvencii nadobúda nulovú
hodnotu. Naopak, práve pri tejto frekvencii nadobúda zloţka maximum. Táto zloţka
charakterizuje absorpciu - absorpčnú čiaru, ktorej priebeh má Lorentzovský tvar. Pološírka
absorpčnej čiary, ktorá určuje priamo frekvenčný interval vymedzený hodnotami priebehu na
úrovni ½ maximálnej hodnoty, je úmerná parametru tlmenia . Pripomíname, ţe
rezonančná frekvencia atómu , vyššie označená ako , je z kvantovo mechanického
pohľadu
Obr. 1.10 Závislosť reálnej a imaginárnej zložky susceptibility od frekvencie
frekvenciou odpovedajúcou rozdielu energii dvoch energetických hladín predelene
Obr. 1.11 Závislosť zložiek susceptibility pre látku s viacerými vlastnými frekvenciami.
j
j2
mk jj 2
,
,,
j
,
-
32
Planckovou konštantou, medzi povolenými energetickými hladinami. Preto je aj šírka
absorpčnej čiary rovnako široká ako šírka emisnej čiary.
V prípade, ţe je látka zloţená z viacerých typov atómov, potom kaţdému typu atómu
odpovedá iná vlastná frekvencia a kaţdej takejto frekvencii odpovedá aj osobitná absorpčná
čiara a samostatný priebeh zloţky . Dostávame tak absorpčné spektrum látky a priebeh
disperzie . Schematicky je takýto priebeh zobrazený na obr. 1.11.
Na základe vzťahov (1.50) a (1.51) moţno povedať, ţe pri rezonančnej frekvencii je
susceptibilita prostredia čisto imaginárna a naopak, pri frekvenciách ďaleko od
rezonančnej. frekvencie je čisto reálna. Pri ostatných frekvenciách je susceptibilita
komplexným číslom. V prípade anizotropného prostredia, kedy je susceptibilita tenzorovou
veličinou, sú v oblasti rezonančnej frekvencie všetky prvky tenzora susceptibility čisto
imaginárne a pri frekvenciách ďaleko od rezonančnej sú prvky tenzora susceptibility čisto
reálne.
V ďalšom, ak budeme hovoriť o absorpčnom prostredí budeme mať na mysli frekvenčnú
oblasť blízko rezonančnej frekvencie prostredia. Naopak pri neabsorbujúcej látke resp. bez
disperznom prostredí, budeme predpokladať frekvenčnú oblasť ďaleko od rezonančnej
frekvencie, kde sa zloţka s frekvenciou takmer nemení a zloţka je v takom prípade
rovná nule, čiţe susceptibilita je čisto reálna.
Poznámka Zo vzťahov (1.41) až (1.51) je zrejme, že reálna a imaginárna časť indexu lomu spolu súvisia. Túto súvislosť možno získať tak, že sa určí prenosová funkcia lineárneho systému, ktorá je daná Fourierovou transformáciou
impulzovej odozvy daného prostredia a uplatní sa princíp kauzality. Vzťahy, ktoré explicitne vyjadrujú reálnu
časť indexu lomu pomocou imaginárnej časti indexu lomu a naopak sa nazývajú Kramersove – Kronigové
vzťahy.
-
33
2. Slabé a silné optické polia
Pri opise interakcie svetelného poľa s látkou sme predpokladali, ţe polarizácia, ako
odozva prostredia na elektrické pole svetla je lineárna, čo je dôsledkom toho, ţe optický
elektrón vykonáva tlmený harmonický oscilačný pohyb. Takáto závislosť, ako sme uviedli
je akousi lineárnou aproximáciou, ktorá verne opisuje interakciu len pre slabé polia . Pri
vyšších intenzitách elektrického poľa, tak ako aj pri iných fyzikálnych javoch, je potrebné
uváţiť aj vyššie členy rozvoja polarizácie, ako sú kvadratické resp. kubické. Polarizácia
potom nadobúda nelineárnu závislosť od intenzity elektrického poľa:
+ ... (2.1)
kde a sú susceptibility druhého a tretieho rádu. Je zrejme, ţe takúto závislosť uţ
nedokáţeme opísať optickým elektrónom ako harmonickým oscilátorom, ale je potrebné
povaţovať elektrón za anharmonický oscilátor.
Zaoberajme sa otázkou, pri akých intenzitách svetelného poľa prestáva platiť lineárna
závislosť medzi polarizáciou a intenzitou elektrického poľa svetelnej vlny, teda s čím
treba porovnávať intenzitu svetelného poľa, aby bolo moţné posúdiť platnosť spomínanej
lineárnej závislosti. Ukazuje sa, ţe rozhodujúcim v tomto smere je elektrické pole vo
vnútri atómu. Toto pole vyjadruje mieru vzájomného pôsobenia optického elektrónu
s atómovým jadrom. Veľkosť moţno určiť z Coulombovho zákona: = ,
kde je náboj elektrónu a je polomer dráhy elektrónu a permitivita vákua. Ak
dosadíme príslušné hodnoty r0=10-10
m, dostávame, E0= 1011
Vm-1
. Táto hodnota
vnútorného poľa predstavuje maximálnu hodnotu, ktorá bola získaná pre model atómu
vodíka. V materiáloch nadobúda vnútorné pole niţších hodnôt, napríklad v polovodičoch
okolo 109 - 10
10 Vm
-1
Najintenzívnejšie klasické zdroje svetla umoţňovali získavať intenzitu (104 - 10
5 )
Wm-2
, čo odpovedá intenzite elektrického poľa E 10 - 102 Vm-1 ( , kde
je index lomu prostredia a je rýchlosť svetla vo vákuu). Takéto polia sú v porovnaní
s vnútorným poľom zanedbateľné a polarizáciu dobre opisuje lineárna časť výrazu (2.1).
Optické javy opísané na základe tohto vzťahu, nazývame l i n e á r n e o p t i c k é j a v y
a optiku lineárnou optikou. V nej sa zachováva tvar harmonickej vlny šíriacej sa prostredím,
platí zákon superpozície a optické javy nezávisia od intenzity svetelnej vlny. V prípade
slabých polí je pohyb elektrónu v poli jadra pohybom v potenciálovej jame konečnej hĺbky,
kde potenciál moţno napísať v tvare = ( pre jednoduchosť neuvaţujeme vplyv
poľa od susedných atómov, ktorý čiastočne prispieva k deformácii potenciálovej jamy).
Deriváciou získame závislosť sily od posunutia , čo predstavuje pruţnú
E
330
22
0
1
0 EEEP
2 3
P
E
0E
0E
0E 200
4
1
r
e
e 0r 0
I
220 EncI
n c
xV 22xk
xxV kxF
-
34
silu a pohyb elektrónu pod vplyvom takejto sily predstavuje vyššie spomínaný
h a r m o n i c k ý o s c i l á t o r.
Intenzívne impulzné lasery s pikosekundovou (ps) dĺţkou impulzu dosahujú intenzitu
ţiarenia I = (1011
- 1015
) Wm-2
, čo odpovedá intenzite elektrického poľa E = ( 106 - 10
10)
Vm-1
. Takúto hodnotu uţ nemoţno zanedbať v porovnaní s vnútorným poľom a pri
interakciách prostredí s takýmito svetelnými poľami je potrebné pouţiť pri výpočtoch vzťah
(2.1). Optické javy, opísané touto nelineárnou závislosťou nazývame
n e l i n e á r n e o p t i c k é j a v y . Pri nich neplatí zákon superpozície, javy závisia od
intenzity dopadajúcej svetelnej vlny a na optický elektrón je potrebné pozerať ako na
a n h a r m o n i c k ý o s c i l á t o r.
Obr. 2.1 Potenciálová jama pri slabých a silných svetelných poliach. 1- potenciál pri slabých optických poliach
, 2 – potenciál pri silných optických poliach
V prípade silných svetelných polí dochádza k deformácii potenciálovej jamy (obr. 2.1 )
( príspevok k deformácii závisí od veľkosti poľa) a pre potenciál moţno písať
(2.2)
Odtiaľ, deriváciou , pre závislosť sily od posunutia elektrónu dostávame :
(2.3)
Sila pôsobiaca na elektrón je tak uţ nelineárna a nazývame ju tieţ kvázipruţnou silou.
Elektrón vykonáva pod vplyvom takejto sily anharmonický pohyb - stáva sa
anharmonickým oscilátorom. Dôsledkom toho je, ţe odozva prostredia nelineárne závisí
od intenzity svetelného poľa ( priebeh 2 na (obr. 2.2)). Sekundárne vlny, ktoré vysielajú
elektróny neodpovedajú tvaru harmonickej primárnej vlny 4 na (obr. 2.2), ale sú
deformované – neharmonické ( priebeh 3 na (obr.2.2)). Na základe Fourierovej analýzy
moţno však tieto periodické , neharmonické vlny rozloţiť na súčet harmonických vĺn
s frekvenciámi , , , ... .To znamená, ţe z prostredia sa okrem dopadajúcej vlny s
V x( )1
2
x
22xkxV 32 32 xkxkxV
...432
432
xkxkkx
xV
xxV
32 xkxkkxF
P
E
2 3
-
35
Obr. 2.2 Závislosť polarizácie od intenzity svetelného poľa, 1 – lineárna, 2 – nelineárna, 3 – odozva optického elektrónu kmitajúceho v potenciálnej jame na harmonické svetelné pole 4
v prípade intenzívneho svetelného poľa, kedy je harmonický signál deformovaný
frekvenciou šíri aj vlna s dvojnásobnou a trojnásobnou frekvenciou. Prostredie teda
generuje aj ţiarenie na vyšších harmonických frekvenciách, okrem uvedených generácií
harmoník vyvoláva intenzívna svetelná vlna mnoţstvo ďalších efektov, pričom za niektoré
z nich je zodpovedný aj vynútený pohyb jadra atómu vyvolaný pôsobením práve silného
svetelného poľa. Takéto efekty, predstavujú kvalitatívne nové fyzikálne javy v optike, za
ktoré sú zodpovedné vlny nelineárnej polarizácie.
O tom, aké efekty vznikajú pri interakcii silného svetelného poľa s látkou, hovorí vlna
odozvy prostredia – nelineárna polarizácia prostredia. Preto budeme v ďalšom venovať
pozornosť práve výpočtu nelineárnej polarizácie prostredia hlavne jej kvadratickej
a kubickej zloţky a následne výpočtu ich susceptibilít. Ukáţeme dva prístupy výpočtu
nelineárnej polarizácii prostredia.
P
E
P= E P= E+ E
, 2
12
3
4
-
36
3. Výpočet nelineárnej polarizácie s využitím
mikroskopického modelu susceptibility
s uvážením anharmonického oscilátora –
Nelineárna zložka susceptibility
Na prvom mieste uvedieme metódu výpočtu nelineárnej polarizácie vyplývajúcu
z mikroskopického Lorentzovho modelu susceptibility, kde namiesto lineárneho
harmonického oscilátora budeme uvaţovať anharmonický oscilátor. Analogickým postupom,
ako v časti 1.3, budeme riešiť prípad keď v izotropnom dielektriku pôsobí na optický
elektrón intenzívna svetelná vlna
Nech pod jej vplyvom elektrón kmitá v smere osi x. V pohybovej rovnici pre elektrón, v
prípade intenzívnej svetelnej vlny, bude vystupovať namiesto pruţnej sily kvázipruţná sila
daná vzťahom (2.2). Ak označíme ; ; , pohybová rovnica
(1.39) nadobudne tvar:
(3.1)
Dosadením riešenia do vzťahu (1.21) vypočítame polarizáciu prostredia pre intenzívnu
svetelnú vlnu. Rovnica (3.1) je nelineárna a vo všeobecnom prípade ťaţko riešiteľná.
Pomerne ľahko ju však moţno riešiť ak predpokladáme, ţe riešenie môţeme rozloţiť do
radu, ktorého jednotlivé členy sú priamo úmerné mocninám intenzity elektrického poľa ,
čo moţno napísať:
pričom, sú úmerné . Pre jednoduchosť prejdeme v ďalšom na skalárny zápis.
Pre takýto prípad dostaneme pre sériu rovníc, pričom do kaţdej vstupujú len členy
s rovnakou mocninou vzhľadom na . Takáto schéma je obdobou poruchového počtu
v kvantovej mechanike. V ďalšom, pre jednoduchosť dočasne vynecháme indexovanie podľa
„j“ (predpokladáme sústavu pozostávajúcu z jedného typu atómov). Obmedzíme sa len na
prvé tri členy radu, takţe , pričom , , . Dosadením
za do (3.1) máme:
KZtiEE 00 exp2
1
mk mk mk2
m
Eexxxxx jjjjjjjj
322
2
jx
jx
E
n
jnj xx
jnxnE
jx
E
321 xxxx 1
1 Ex 2
2 Ex 3
3 Ex
x
23213212
321321 2 xxxxxxxxxxxx
-
37
(3.2)
Pri naznačenom roznásobení si treba uvedomiť, úmernosť členov na mocnine E, takţe napr.
členy ; ; a pod. Porovnaním členov úmerných s
dostávame tri rovnice:
(3.3)
(3.4 )
(3.5)
Riešenie rovnice (3.3) pre prípad vynucujúcej sily ako svetelnej vlny danej vzťahom
uţ poznáme (1.41), resp. (1.42)
kde
(3.6)
Pravá strana rovnice (3.4) predstavuje vynucujúcu silu, ktorá má tvar , kde
(3.7)
Dosadením tohto vzťahu do rovnice (3.4) dostávame:
(3.8)
kde
Pri riešení rovnice (3.8) postupujeme rovnako, ako v prípade rovnice (3.3). To znamená, ţe
predpokladáme kmitanie s rovnakou frekvenciou ako vybudzujúce pole (sila), ktoré je
v našom prípade reprezentované pravou stranou rovnice (3.8). Ináč povedané, kmitá tak
ako
m
eExxx
3
321
42
2 Ex 5
32 Exx 93
3 Ex 321 ,, EEE
1Em
eExxx 12
11 2
2E2
12
2
22 2 xxxx
3E3
1213
2
33 22 xxxxxx
titiEE 000 expexp2
1
tixtixx 0*100101 expexp2
1
020210
2 i
meEx
2
1x
KZxxtixx *1010021021 2exp4
1
22
22 2 xxx
KZ
ii
E
i
tiE
m
e
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
222
2exp
4
000 EEE
2x
2x
2
1x
-
38
.
Takţe predpokladáme riešenie v tvare:
(3.9)
Po dosadení (3.9) do (3.8) a derivácii dostávame ( nezávisí od času)
=
Porovnaním členov pri exponentoch a dostávame:
20202020200
2
20
1
222
ii
EE
m
ex
Z toho dostávame výsledné riešenie pre
+
+ (3.10)
Zo vzťahu (3.10) vyplýva, ţe pozostáva z dvoch členov. Prvý opisuje kmitanie
s frekvenciou a druhý je časovo nepremenný- stacionárny
10*10*101002100210212 2exp2exp4
1xxxxtixtixxx
2x
KZxtixx 200202 2exp4
1
10x
KZxtixtixitix 2020202020002020 2exp2exp42exp44
1
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
222
2exp
4
ii
E
i
tiE
m
e
tie 0
2 0e
0
2
0
22
0
2
0
2
2
0
2
2
20
22422
ii
E
m
ex
2x
KZ
ii
tiE
m
ex
0
2
0
22
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2222
2exp
24
1
KZii
EE
m
e2
0
2
0
2
0
2
0
2
00
2
2 1
2224
1
2x
02
-
39
Podobne budeme postupovať aj pri riešení diferenciálnej rovnice (3.5). Po dosadení
vypočítaných riešení a do pravej strany (3.5) a vykonaní naznačených súčinov,
dostávame po úprave diferenciálnu rovnicu:
- (3.11)
kde KZ sú komplexne zdruţené výrazy k výrazom A a B, ktoré majú tvar:
(3.12)
Vidíme, ţe zdrojová funkcia (pravá strana rovnice (3.11) vyjadruje kmitanie na frekvencii
a . Preto budeme predpokladať, ţe riešenie rovnice (3.11) bude obsahovať tie isté
harmonické zloţky, ak zdrojová funkcia, teda
(3.13)
Po dosadení (3.13) a (3.12) do (3 11), vykonaní príslušných derivácií a porovnaní členov
s rovnakými frekvenciami, dostávame
0
2
0
23
0
2
0
2
0
2
0
2
3
0
3
32
30
22223232
iii
E
m
ex -
-
02
0
2
0
2
0
2
3
0
3
3
23234
ii
E
m
e (3.14)
1x 2x
32
33 2 xxx KZAm
e
3
32
8
KZB
m
e
3
3
8
2
0
2
0
22
0
2
0
2
00
2
0
0
2
0
22
0
2
0
2
0
2
0
2
00
2
0
22
0
2
0
2